Bárbara Cánovas Conesa

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Junio 2017

Dada la función 𝑓(𝑥) = {𝑥2 + 𝑎 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 2−𝑥2 − 𝑏𝑥 − 9 𝑠𝑖 𝑥 > 2

a) Calcula razonadamente los parámetros a y b para que 𝑓(𝑥) sea derivable en todo R. b) Enuncia el teorema de Rolle y comprueba si, para los valores hallados en el apartado anterior, la función 𝑓(𝑥)

verifica las hipótesis del teorema en el intervalo [-2, 6]. Para que 𝑓(𝑥) sea derivable, lo primero que tiene que cumplir es que sea continua, por lo que: 𝑙𝑖𝑚

𝑥→2−𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚

𝑥→2+𝑓(𝑥) = 𝑓(2)

𝑙𝑖𝑚𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→2−

(𝑥2 + 𝑎) = 𝟒 + 𝒂

𝑙𝑖𝑚𝑥→2+

𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→2+

(−𝑥2 − 𝑏𝑥 − 9) = −𝟏𝟑 − 𝟐𝒃

𝑓(2) = 𝟒 + 𝒂

| → 4 + 𝑎 = −13 − 2𝑏 → 𝒂 + 𝟐𝒃 = −𝟏𝟕

Además, para que sea derivable se tiene que cumplir: 𝑙𝑖𝑚𝑥→2−

𝑓′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→2+

𝑓′(𝑥):

𝑓′(𝑥) = {2𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 2−2𝑥 − 𝑏 𝑠𝑖 𝑥 > 2

→ |𝑙𝑖𝑚𝑥→2−

𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→2−

(2𝑥) = 𝟒

𝑙𝑖𝑚𝑥→2+

𝑓′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→2+

(−2𝑥 − 𝑏) = −𝟒 − 𝒃 → 𝒃 = −𝟖

Por último, sustituimos en la primera ecuación para obtener el valor de a:

𝑎 − 16 = −17 → 𝒂 = −𝟏 → 𝑓(𝑥) = {𝑥2 − 1 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 2−𝑥2 + 8𝑥 − 9 𝑠𝑖 𝑥 > 2

Teorema de Rolle: si una función 𝑓(𝑥) es continua en el intervalo [𝑎, 𝑏] , derivable en el intervalo (𝑎, 𝑏) y 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) ,

entonces existirá un valor 𝑐 (𝑎, 𝑏) de manera que 𝑓’(𝑐) = 0.

Para los valores hallados anteriormente:

𝑓(𝑥) →

𝐶𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎: [−2, 6] 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 (−2,6) 𝑓(−2) = 3 ≠ 𝑓(6) = 3

|

Por tanto, si cumple el teorema de Rolle.

Con una chapa metálica de 8x5 metros se desea construir, cortando cuadrados en las esquinas, un cajón sin tapa de

volumen máximo. Haya razonadamente las dimensiones de dicho cajón.

La función a optimiza (maximizar) es el volumen:

𝑉(𝑥) = 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 ℎ → 𝑉(𝑥) = (5 − 2𝑥) · (8 − 2𝑥) · 𝑥 → 𝑽(𝒙) = 𝟐𝒙𝟑 − 𝟏𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝟎𝒙

𝑉′(𝑥) = 6𝑥2 − 26𝑥 + 20 → 𝑽′(𝒙) = 𝟎 → 6𝑥2 − 26𝑥 + 20 → {𝒙𝟏 = 𝟑. 𝟑𝟒 𝒎𝒙𝟐 = 𝟏 𝒎

𝑉′′(𝑥) = 12𝑥 − 26 → {𝑉′′(3.34) = 14.08 > 0 → 𝑴í𝒏𝒊𝒎𝒐

𝑉′′(1) = −14 < 0 → 𝑴á𝒙𝒊𝒎𝒐 → 𝒙 = 𝟏 𝒎

Con lo que las dimensiones del cajón son 6x3x1.

8

5

x

5 8

x

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EvAU _ Matemáticas _ CC _ CLM

a) Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro 𝑎 ℝ:

𝑎𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 𝑎 − 42𝑥 + 𝑦 − 𝑎𝑧 = 𝑎 − 1 𝑦 − 𝑧 = −3

}

b) Resuélvelo razonadamente para el valor 𝑎 = −1. Primero estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes:

𝑀 = (𝑎 −1 12 1 −𝑎0 1 −1

) → |𝑀| = 𝑎2 − 𝑎 𝑎2 − 𝑎 = 0 {𝒂 = 𝟎𝒂 = 𝟏

∀ 𝒂 ∈ ℝ − {𝟎, 𝟏}: 𝑹(𝑴) = 𝟑

Segundo, estudiamos para los valores de a obtenidos, el rango de la matriz ampliada:

𝑎 = 0 → 𝑀∗ = (0 −1 12 1 00 1 −1

|−4−1−3) → |𝑑𝑒𝑡| = |𝐶1, 𝐶2, 𝐶3| = −14 ≠ 0 → 𝒂 = 𝟎: 𝑹(𝑴

∗) = 𝟑

𝑎 = 1 → 𝑀∗ = (1 −1 12 1 −10 1 −1

|−30−3) → |𝑑𝑒𝑡| = |𝐶1, 𝐶2, 𝐶3| = −15 ≠ 0 → 𝒂 = 𝟏: 𝑹(𝑴

∗) = 𝟑

Según el Teorema de Rouche-Frobenius: La condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tenga solución es que el rango de la matriz de los coeficientes y el de la matriz ampliada sean iguales.

a R – {0, 1} R(M) = R(M*) = 3 = nº incógnitas SCD

a = {0, 1} R(M)= 2 R(M*) = 3 SI

Para el valor de 𝑎 = −1, el Sistema es Compatible Determinado. Lo resolvemos por Kramer:

−𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = −52𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = −2 𝑦 − 𝑧 = −3

} → |𝑀| = 2 →

|

|

|

|𝑥 =

|−5 −1 1−2 1 1−3 1 −1

|

2=16

2= 8

𝑦 =

|−1 −5 12 −2 10 −3 −1

|

2=−21

2

𝑧 =

|−1 −1 −52 1 −20 1 −3

|

2=−15

2

→ (𝟖,−𝟐𝟏

𝟐,−𝟏𝟓

𝟐)

Dado el punto 𝑃(2,0,−1) y las rectas 𝑟 ≡𝑥−2

−1=𝑦+1

2=𝑧

0 y 𝑠 ≡ {

𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 0𝑥 + 𝑧 + 1 = 0

a) Determina razonadamente la posición relativa de las rectas 𝑟 y 𝑠 b) Encuentra razonadamente la ecuación general del plano que pasando por 𝑃 es paralelo a 𝑟 y a 𝑠.

La posición relativa de ambas rectas la estudiamos con los rangos de las matrices M (formada por los vectores directores

de ambas rectas) y M* (formada por los dos vectores directores y por el vector 𝑅𝑆⃗⃗⃗⃗ ⃗, siendo R y S un punto de la recta r y s, respectivamente):

Recta r: Recta s

d⃗ r = (−1, 2, 0) R = (2,−1,0) 𝑑 𝑟 = (1,−1,2) × (1,0,1) → 𝑑 𝑟= (−1,1,1)

S = (0,−2,−1)

𝑅𝑆⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−2, −1,−1)

𝑀 = (−1 2 0−1 1 1

) → |𝑑𝑒𝑡| = |𝐶1, 𝐶2| = 1 ≠ 0 → 𝑹𝒈(𝑴) = 𝟐

𝑀∗ = (−1 2 0−1 1 1−2 −1 −1

) = −6 ≠ 0 → 𝑹𝒈(𝑴∗) = 𝟑

Es decir, las dos rectas Se Cruzan.

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Junio 2017

El vector normal del plano es perpendicular a los vectores directores de las dos rectas. Por lo que el vector normal del plano lo hallamos haciendo el producto vectorial de los dos vectores directores. Una vez hallado dicho vector normal, usaremos la ecuación normal del plano para, junto con el punto P, hallar la ecuación del plano pedido.

�⃗� 𝜋 = (−1,2,0) × (−1,1,1, ) → �⃗⃗� 𝝅 = (𝟐, 𝟏, 𝟏) → 𝜋 ≡ 2(𝑥 − 2) + 1(𝑦 − 0) + 1(𝑧 + 1) = 0 → 𝝅 ≡ 𝟐𝒙 + 𝒚 + 𝒛 − 𝟑 = 𝟎

a) Los operarios A, B y C producen, respectivamente, el 50%, el 30% y el 20% de las resistencias que se utilizan en un laboratorio de electrónica. Resultan defectuosas el 6% de las resistencias producidas por A, el 5% de las producidas por B y el 3% de las producidas por C. Se selecciona al azar una resistencia:

a.1. Calcula razonadamente la probabilidad de que sea defectuosa. a.2. Si es defectuosa, calcula razonadamente la probabilidad de que proceda del operario A.

b) Las resistencias se empaquetan al azar en cajas de cinco unidades. Calcula razonadamente la probabilidad de: b.1. Que en una caja haya exactamente tres resistencias fabricadas por B. b.2. Que en una caja haya al menos dos fabricadas por B.

Para responder a las preguntas del apartado a), hacemos un diagrama de árbol. Si llamamos a los sucesos:

- A = “que la resistencia escogida proceda del operario A”

- B = “que la resistencia escogida proceda del operario B”

- C = “que la resistencia escogida proceda del operario C”

- D = “que la resistencia escogida sea defectuosa”

- D̅ = “que la resistencia escogida no sea defectuosa”

Para calcular la probabilidad de que sea defectuosa, usamos el teorema de la probabilidad total:

𝑃(𝐷) = 𝑃(𝐴) · 𝑃(𝐷|𝐴) + 𝑃(𝐵) · 𝑃(𝐷|𝐵) + 𝑃(𝐶) · 𝑃(𝐷|𝐶) = 0.5 · 0.06 + 0.3 · 0.05 + 0.2 · 0.03 → 𝑷(𝑫) = 𝟎. 𝟎𝟑𝟕𝟓

Para calcular la probabilidad de que siendo defectuosa sea del operario A, empleamos la probabilidad condicionada y el teorema de Bayes:

𝑃(𝐴|𝐷) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐷)

𝑃(𝐷)=𝑃(𝐷|𝐴) · (𝑃𝐴)

𝑃(𝐷)=0.06 · 0.5

0.0375→ 𝑷(𝑨|𝑫) = 𝟎. 𝟖

En el apartado b) empleamos la distribución Binomial. Si designamos la variable X = “resistencia fabricada por el operario B”, sigue una distribución binomial: 𝐵𝑖𝑛 (𝑛, 𝑝)

𝑿~𝑩𝒊𝒏 (𝟓, 𝟎. 𝟑)

→ {

𝑷(𝑿 = 𝟑) = 𝟎. 𝟏𝟑𝟐𝟑

𝑃(𝑋 ≥ 2) = 1 − 𝑃(𝑋 < 2) = 1 − [𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1)] = 1 − (0.1681 + 0.3602) → 𝑷(𝑿 ≥ 𝟐) = 𝟎. 𝟒𝟕𝟏𝟕

Pr

s

0,5

B

D

0,05

0,95

AD0,06

0,94

CD

D0,97

0,030,2

D

D0,3

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EvAU _ Matemáticas _ CC _ CLM

Calcula razonadamente los siguientes límites:

𝑙𝑖𝑚𝑥→−2

𝑥3 + 3𝑥2 − 4

𝑥3 + 5𝑥2 + 8𝑥 + 4 𝑙𝑖𝑚

𝑥→0

𝑥 𝐿𝑛 (𝑥 + 1)

2 − 2 cos𝑥

𝑙𝑖𝑚𝑥→−2

𝑥3 + 3𝑥2 − 4

𝑥3 + 5𝑥2 + 8𝑥 + 4=𝟎

𝟎

𝑳′𝑯ô𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍→ 𝑙𝑖𝑚

𝑥→−2

3𝑥2 + 6𝑥

3𝑥2 + 10𝑥 + 8=𝟎

𝟎

𝑳′𝑯ô𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍→ 𝑙𝑖𝑚

𝑥→−2

6𝑥 + 6

6𝑥 + 10=−6

−2= 𝟑

𝑙𝑖𝑚𝑥→0

𝑥 𝐿𝑛 (𝑥 + 1)

2 − 2 cos 𝑥=𝟎

𝟎

𝑳′𝑯ô𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍→ 𝑙𝑖𝑚

𝑥→0

𝐿𝑛(𝑥 + 1) +𝑥

𝑥 + 12 𝑠𝑒𝑛 𝑥

=𝟎

𝟎

𝑳′𝑯ô𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍→ 𝑙𝑖𝑚

𝑥→0

1𝑥 + 1 +

1(𝑥 + 1)2

2 cos 𝑥= 𝑙𝑖𝑚𝑥→0

𝑥 + 2(𝑥 + 1)2

2 cos 𝑥=2

2= 𝟏

Dadas las funciones 𝑓(𝑥) = −𝑥2 y 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 − 4

a) Calcula razonadamente el área del recinto cerrado limitado por sus gráficas. b) Encuentra razonadamente la ecuación de la recta normal a la gráfica de 𝑔(𝑥) en el punto de abscisa 𝑥 = −3.

El área del recinto limitado por ambas gráficas la calculamos con la integral definida entre los puntos de corte de ambas gráficas, de la función diferencia: Puntos de Corte:

−𝑥2 = 𝑥2 − 2𝑥 − 4 → −2𝑥2 + 2𝑥 + 4 = 0 → {𝒙𝟏 = −𝟏𝒙𝟐 = 𝟐

Para saber qué función está por encima de la otra y así calcular la función diferencia, sustituimos en cada función un valor que esté dentro del intervalo (-1,2):

𝑓(0) = 0 𝑔(0) = −4

Es decir, f(x) se encuentra por encima de la función g(x). Por tanto:

𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) 𝒹𝑥2

−1

= ∫ −2𝑥2 + 2𝑥 + 4 𝒹𝑥2

−1

= [−2𝑥3

3+ 𝑥2 + 4𝑥]

−1

2

= (−16

3+ 4 + 8) − (

2

3+ 1 − 4) → 𝑨 = 𝟗 𝒖𝟐

La ecuación de la recta normal a una función es:

𝑦 − 𝑦0 =−1

𝑔′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0) → {

𝑥0 = −3

𝑦0 = 𝑔(−3) = 11

𝑔′(𝑥) = 2𝑥 − 2 → 𝑔′(−3) = −8→ 𝑦 − 11 =

−1

−8(𝑥 + 3) → 𝒚 =

𝒙 + 𝟗𝟏

𝟖

Dadas matrices

𝐴 = (2 1 0−1 0 01 2 −1

) 𝐵 = (−1 0 12 −1 01 0 0

) 𝐶 = (0 1 00 3 0−1 0 −1

)

a) ¿Tiene inversa la matriz 2𝐼3 + 𝐵? Razona la respuesta. 𝐼3 es la matriz identidad de orden 3. b) Calcula razonadamente la matriz X que verifica que 2𝑋 + 𝐶 = 𝐴 − 𝑋 · 𝐵

Una matriz tiene inversa cuando es cuadrada y su determinante es distinto de cero.

2𝐼3 + 𝐵 = (2 0 00 2 00 0 2

) + (−1 0 12 −1 01 0 0

) → 𝟐𝑰𝟑 +𝑩 = (𝟏 𝟎 𝟏𝟐 𝟏 𝟎𝟏 𝟎 𝟐

) → |𝟐𝑰𝟑 +𝑩| = 3 ≠ 𝟎

Por lo que dicha matriz si tiene inversa.

2𝑋 + 𝐶 = 𝐴 − 𝑋𝐵 → 2𝑋 + 𝑋𝐵 = 𝐴 − 𝐶 → 𝑋(2𝐼 + 𝐵) = 𝐴 − 𝐶 → 𝑋(2𝐼 + 𝐵)(2𝐼 + 𝐵)−1 = (𝐴 − 𝐶)(2𝐼 + 𝐵)−1 → 𝑋𝐼

= (𝐴 − 𝐶)(2𝐼 + 𝐵)−1 → 𝑿 = (𝑨 − 𝑪)(𝟐𝑰 + 𝑩)−𝟏

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Junio 2017

(2𝐼 + 𝐵)−1 =1

|2𝐼 + 𝐵|((2𝐼 + 𝐵)𝐴𝑑𝑗)𝑡 →

{

|2𝐼 + 𝐵| = 3

(2𝐼 + 𝐵)𝐴𝑑𝑗 = (2 −4 −10 1 0−1 2 1

)

((2𝐼 + 𝐵)𝐴𝑑𝑗) = (2 0 −1−4 1 2−1 0 1

)

→ (𝟐𝑰 + 𝑩)−𝟏 =𝟏

𝟑(𝟐 𝟎 −𝟏−𝟒 𝟏 𝟐−𝟏 𝟎 𝟏

)

(𝐴 − 𝐶) = (2 1 0−1 0 01 2 −1

) − (0 1 00 3 0−1 0 −1

) → (𝑨 − 𝑪) = (𝟐 𝟎 𝟎−𝟏 −𝟑 𝟎𝟐 𝟐 𝟎

)

𝑋 = (𝐴 − 𝐶)(2𝐼 + 𝐵)−1 =1

3(2 0 0−1 −3 02 2 0

) · (2 0 −1−4 1 2−1 0 1

) =1

3(4 0 −210 −3 −5−4 2 2

) → 𝑿 = (𝟒/𝟑 𝟎 −𝟐/𝟑𝟏𝟎/𝟑 −𝟏 −𝟓/𝟑−𝟒/𝟑 𝟐/𝟑 𝟐/𝟑

)

a) Encuentra razonadamente la ecuación de la recta, en su forma general o implícita, que contiene a los puntos 𝑃(0,1,−2) y 𝑄(4,−3,0).

b) Encuentra razonadamente un punto que equidiste de 𝑃 y 𝑄 y que pertenezca a la recta 𝑟 ≡ {𝑥 = 2 + 𝜆𝑦 = −𝜆 𝑧 = −5

𝜆 ∈ ℝ

La recta s que contiene a los dos puntos P y Q, tendrá como vector director el vector 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗ y como punto el P. Para hacer la ecuación general de la recta, hallamos primero la continua y de ahí, operando, llegamos a la general:

d⃗ r = 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (4,−4,2) ∥ (2,−2,1)

𝑃 = (0,1,2) | → 𝑟 ≡

𝑥

2=𝑦 − 1

−2=𝑧 − 2

1→ 𝑟 ≡ {

𝑥

2=𝑦 − 1

−2𝑥

2=𝑧 − 2

1

→ 𝒓 ≡ {−𝟐𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟐 = 𝟎𝒙 − 𝟐𝒛 + 𝟒 = 𝟎

El punto R desconocido es un punto de la recta r que está a igual distancia de los puntos P y Q. Hallamos la ecuación del plano que contiene al punto medio del segmento 𝑃𝑄̅̅ ̅̅

(M) y tiene como vector normal el vector 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗.

𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (2,−2,1)

𝑀 = (2,−1,−1)| → 𝜋 ≡ 2(𝑥 − 2) − 2(𝑦 + 1) + 1(𝑧 + 1) = 0 → 𝝅 ≡ 𝟐𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝒛 + 𝟓 = 𝟎

El punto R lo hallamos como el punto intersección entre la recta r y el plano , para ello ponemos la ecuación de la recta r en forma paramétrica, ésta nos da un punto genérico de R. El cual sustituiremos en la ecuación del plano, hallando el parámetro . Por último, sustituiremos en el punto genérico, calculando así el punto que equidista de P y Q:

𝑟 ≡ {𝑥 = 2𝜆 𝑦 = 1 − 2𝜆𝑧 = 2 + 𝜆

→ 𝑅 = (2𝜆, 1 − 2𝜆, 2 + 𝜆) → 𝜋 ≡ 2(2𝜆) − 2(1 − 2𝜆) + 2 + 𝜆 + 5 = 0 → 𝝀 = −𝟓

𝟗→ 𝑹 = (−

𝟏𝟎

𝟗,𝟏𝟗

𝟗,𝟏𝟑

𝟗)

P

Q

r

R M

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EvAU _ Matemáticas _ CC _ CLM

a) En mi casa dispongo de dos estanterías A y B. En A tengo 20 novelas, 10 ensayos y 10 libros de matemáticas y en la B tengo 12 novelas y 8 libros de matemáticas. Elijo una estantería al azar y de ella, también al azar, un libro. Calcula razonadamente la probabilidad de que:

a.1. El libro elegido sea de matemáticas. a.2. Si el libro elegido resultó ser de matemáticas, que fuera de la estantería B.

b) El tiempo de espera en una parada de autobús se distribuye según una distribución normal de media 15 minutos y desviación típica 5 minutos.

b.1. Calcula razonadamente la probabilidad de esperar menos de 13 minutos. b.2 ¿Cuántos minutos de espera son superados por el 33% de los usuarios?

Para responder a las preguntas del apartado a), hacemos un diagrama de árbol. Si llamamos a los sucesos:

- A = “que el libro escogido sea de la estantería A”

- B = “que el libro escogido sea de la estantería B”

- N = “que el libro escogido sea una Novela”

- E = “que el libro escogido sea un Ensayo”

- M = “que el libro escogido sea de Matemáticas”

Para calcular la probabilidad de que el libro elegido sea de matemáticas, usamos el teorema de la probabilidad total:

𝑃(𝑀) = 𝑃(𝐴) · 𝑃(𝑀|𝐴) + 𝑃(𝐵) · 𝑃(𝑀|𝐵) = 0.5 ·1

4+ 0.5 ·

2

5→ 𝑷(𝑴) = 𝟎. 𝟑𝟐𝟓

Para calcular la probabilidad de que siendo de matemáticas, sea de la estantería B, empleamos la probabilidad condicionada y el teorema de Bayes:

𝑃(𝐵|𝑀) =𝑃(𝐵 ∩𝑀)

𝑃(𝑀)=𝑃(𝑀|𝐵) · 𝑃(𝐵)

𝑃(𝑀)=

25· 0.5

0.325→ 𝑷(𝑩|𝑴) = 𝟎. 𝟔𝟏

En el apartado b) empleamos la distribución Normal. Si designamos la variable X = “tiempo de espera en una parada de autobús”, sigue una distribución normal: 𝑁 (𝜇, 𝜎)

𝑿~𝑵 (𝟏𝟓,𝟓)

La probabilidad de esperar menos de 13 minutos será:

𝑃(𝑋 < 13)𝑻𝒊𝒑𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒎𝒐𝒔→ 𝑃 (

𝑋 − 𝜇

𝜎<13 − 15

5) = 𝑃(𝑍 < −0.4)

Si nos fijamos en la curva de la distribución normal tipificada vemos como, al ser el área debajo de la curva igual a 1:

𝑃(𝑍 < −0.4) = 1 − 𝑃(𝑋 > 0.42)𝑺𝒖𝒄𝒆𝒔𝒐 𝑪𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒓𝒊𝒐→ 1 − [1 − 𝑃(𝑥 < 0.4)

𝑩𝒖𝒔𝒄𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝑻𝒂𝒃𝒍𝒂→ 1 − (1 − 0.6554)] → 𝑷(𝑿 < 𝟏𝟑)

= 𝟎. 𝟔𝟓𝟓𝟒

0,5 M

A

N1/2

1/4

B

N

M2/5

3/50,5

E1/4

E0

0,4-0,4