brojevni sustavi i kodovi

2. Brojevni sustavi i kodovi

13. rujna 2007. FER-Zagreb, Digitalna logika 2007/08 1

Pregled tema

Tipovi i prikaz podataka Brojevni sustavi Zbrajanje i odbijanje prirodnih binarnih brojeva Prikaz brojeva u modulu Binarna aritmetika Binarno kodiranje znamenki i simbola Kodovi za otkrivanje i ispravljanje pogreaka


Tipovi i prikaz podataka

prikaz podataka u digitalnom obliku ~ niz bitova, bitovni vektor

znaenja bitovnog vektora: broj

znak/simbol

specijalni znakovi: upravljaki, instrukcije,



bitovni vektor ~ "tipiziran": pripada nekom tipu podataka (engl. data type) nametanje discipline manipuliranja s podacima

osnovni tipovi podataka: brojevi: prirodni, cijeli, realni,

znak/simbol: pojedine abecede (~ znakovni kodovi) specijalni znakovi ~ posebno znaenje:

logike varijable

znaenje bitovnog vektora ~ utvreno interpretacijom, kontekstom obrade



zapis podataka (~ zapis bitovnog vektora): utvreni oblik = format organizacija niza bitova (grupe bitova ~ polja) znaenje pojedinih bitova/grupa bitova

najjednostavniji zapis: prirodni binarni brojevi vrijednost bita u broju = pozicija bita u binarnom

vektoru

posve openito: pridruivanje znaenja binarnom vektoru = kd broj neto drugo (~ simbol)


Pozicijski brojevni sustavi

pozicija znamenke odreuje njenu teinu faktor kojim se znamenka mnoi

teina - potencija baze brojevnog sustava

dekadski sustav:

baza sustava moe openito biti bilo koji cijeli broj

2 1 0234 2 10 3 10 4 10= + +


Pozicijski brojevni sustavi - II dio

Prikaz n-znamenkastih cijelih brojeva:1 2 1 0

1 2 1 01

0

1 2 1 0

n nB n n

ni

ii

n n

N a B a B a B a B

a B

a a a a

=

= + + + + = =

L

K

B: baza ili korijen brojevnog sustava

ai: koeficijent uz i-tu potenciju (teinu); ai = {0, 1, ., B-1}, i = 0, 1, ., n-1

znamenke


Prikaz razlomljenih brojeva

isti princip, potencije baze koje odgovaraju znamenkama iza zareza - negativne

kod pretvorbe - posebno pretvoriti cjelobrojni a posebno razlomljeni dio broja

1 2 11 2 ( 1)

1

1 2 ( 1)0,

m mB m m

ii

i m

m m

n a B a B a B a B

a B

a a a a

+

=

= + + + + = =

L

K


Mijeani ili racionalni brojevi

prikaz s fiksnim zarezom [fixed-point notation]

1

1 2 1 0 1 2 ( 1),

B Bn

ii

i m

n n m m

N N n

a B

a a a a a a a a

=

= += =

K K


Neki brojevni sustavibaza B brojevni sustav znamenke sustava (B)

2 binarni 0,1 3 ternarni 0,1,2 8 oktalni 0,1,2,3,4,5,6,7

10 dekadski 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 16 heksadekadski 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

dekadski binarni oktalni heksadekadski

0 0 0 0 1 1 1 1 2 10 2 2 3 11 3 3 4 100 4 4 5 101 5 5 6 110 6 6 7 111 7 7 8 1000 10 8 9 1001 11 9

10 1010 12 A 11 1011 13 B 12 1100 14 C 13 1101 15 D 14 1110 16 E 15 1111 17 F


Pretvorba brojeva u razliitim sustavima

pretvorba cijelog dekadskog broja u neki drugi sustav sukcesivno dijeljenje bazom tog sustava ostaci dijeljenja s bazom - znamenke ostatak prvog dijeljenja - najmanje znaajna znamenka

01212

012110

bbbbNaaaaN

ss

nn

LL

==

( )01

00

13

22

1

00

11

22

1110

22222

2222

bAbbbb

bbbbNs

ss

s

ss

ss

+=++++=++++=

LL


Pretvorba dekadskog broja u binarni

Primjer345 : 2 172 1172 : 2 86 086 : 2 43 043: 2 21 121: 2 10 110 : 2 5 0

5 : 2 2 12 : 2 1 01: 2 0 1

=========

10 2345 101011001=


Pretvorba dekadskog broja u ternarni

Primjer

345 : 3 115 0115 : 3 38 1

38 : 3 12 212 : 3 4 04 : 3 1 11: 3 0 1

======

10 3345 110210=


Pretvorba dekadskog broja u heksadekadski

Primjer

345 :16 21 921:16 1 5

1:16 0 1

===

10 16345 159=


Pretvorba necijelog dekadskog broja

pretvorba razlomljenog dijela dekadskog broja u sustav s nekom drugom bazom - uzastopnim mnoenjem s bazom sustava

PrimjerPretvoriti dekadski broj 0,625 u binarni sustav.

0,625 * 2 = 1,25 = 1 + 0,25 10,25 * 2 = 0,5 = 0 + 0,5 00,5 * 2 = 1 = 1 + 0 1 0,62510 = 0,1012

ne mora uvijek zavriti konanim brojem znamenaka !!


Pretvorba u dekadski sustav

izravno - odrediti dekadski zapis svake potencije baze izvornog sustava, pomnoiti vrijednost svake znamenke s odgovarajuom teinom, sumirati

PrimjerPretvoriti binarni broj 10010,101 u dekadski sustav.

10010,1012 = 1*24 + 0*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 + 1*2-1 + 0*2-2 + 1*2-3= 1*16 + 1*2 + 1*0,5 + 1*0,125 = 18,625

10010,1012 = 18,62510


Rekurzivno mnoenje i pribrajanje

umjesto raunanja potencija baze i mnoenjem sa znamenkama i pribrajanja - posmak za 1 mjesto i pribrajanje, za svaku znamenku

12 s 22 s 32 s 42 s 52 s 12 02 1sb 2sb 3sb 4sb 5sb 1b 0b

= ( 1 22 s sb b + ) 3sb 4sb 5sb 1b 0b 2ss 3sb 4sb 5sb 1b 0b

= ( 2 32 s ss b + ) 4sb 5sb 1b 0b 3ss 4sb 5sb 1b 0b

= ( 3 42 s ss b + ) 5sb 1b 0b 4ss 5sb 1b 0b

( 4 52 s ss b + ) 1b 0b 1b 0b



osnovni korak: ss-1 = as-1 korak rekurzije: si-1 = 2si + ai-1

=++=

++=+=+=+=

=

1

0

11

321

12

323

21

212

11

2

22

22

222

si

i

ssss

ss

ss

sss

sss

ss

sss

ss

a

aasaaa

assaaass

as

L

1 1 0 1- 2 6 121 3 6 13



PrimjerMetodom rekurzivnog mnoenja i pribrajanja pretvoriti broj 10011101 u dekadski sustav.

(((1*2*2*2 + 1)*2 + 1)*2 + 1)*2*2 + 1 = ((9*2 + 1)*2 + 1)*2*2 + 1 = (19*2 + 1)*2*2 + 1 =39*2*2 + 1 = 157

postupak vrijedi za cijele brojeve

razlomljeni dio: rekurzivno dijeljenje i pribrajanje


Usporedba brojevnih sustava

Poveanjem baze sustava smanjuje se broj brojnih mjesta

Baza sustava Broj 1110

2 1011 3 201 8 13

10 11 >16 B


Optimalna baza brojevnog sustava

prikladnost brojevnog sustava za fiziku realizaciju ne odgovara njegovoj prikladnosti za ovjekovu upotrebu

prikaz znamenki elektronikim sklopom: toliko razliitih diskretnih stanja koliko ima

znamenki



n-znamenkasti broj u sustavu s bazom BN: broj moguih n-znamenkastih brojeva u brojevnom

sustavu s bazom B: "kapacitet" n pozicijav:ukupni broj razliitih diskretnih stanja

Bn-1 Bn-2 B1 B0

B-1B-2

0

n brojnih mjesta

B razliitihdiskretnih

stanja

pozicija (teina)



nN Bv n B

==

( )( )

2

2

lnln

1lnln

lnln 1lnln

dv d BNdB dB B

B BBN

BBNB

=

=

=

0 ln 2,711 83dv B B edB

= = = =

ln lnlnln

N n BNv BB

= =


"najekonominija" baza: B = 3 ternarni brojevni sustav:

najblii teorijskom minimumu

binarni brojevni sustav: laka realizacija:

tehniki bolji, a samo 5% loiji od ternarnog


B B/lnB 2 2,89 e e (2,718) 3 2,73 4 2,89 5 3,11 6 3,35 7 3,60 8 3,85 9 4,10

10 4,34


Oktalni i heksadekadski sustav

pozicijski brojevni sustavi, baza 8 odnosno 16 baza je potencija broja 2 jednostavna pretvorba u binarni

sustav vea baza manji broj znamenaka za zapis broja oktalni sustav - znamenke 0-7 predstavljaju se s 3 bita

0 0001 0012 0103 0114 1005 1016 1107 111


Oktalni i heksadekadski sustav

Primjer

Pretvoriti broj 1011110110011002 u oktalni sustav.101 111 011 001 1005 7 3 1 4

1011110110011002 = 573148

Primjer

Pretvoriti broj 7654328 u binarni sustav.7 6 5 4 3 2

111 110 101 100 011 010

7654328 = 1111101011000110102


Heksadekadski sustav

baza sustava 16, znamenke 0 - "15", tj. 0-9, A, B,..., F

svaka znamenka predstavljena s 4 bita

jednostavna pretvorba, vrlo rairen brojevni sustav kao saeti zapis binarnog

2 heksa znamenke ~ 1 oktet0 0000 A 10101 0001 B 1011

... C 1100 7 0111 D 11018 1000 E 11109 1001 F 1111


Heksadekadski sustav

Primjer

Pretvoriti broj 010111100011100111002 u heksadekadskisustav.

0101 1110 0011 1001 11005 E 3 9 C

010111100011100111002 = 5E39C16

Primjer

Pretvoriti broj 76A4C216 u binarni sustav.7 6 A 4 C 2

0111 0110 1010 0100 1100 0010

76A4C216 = 0111011010100100110000102


Binarna aritmetika

binarna aritmetika ~ aritmetike operacije u binarnom sustavu

(zbrajanje, odbijanje, mnoenje, ...) specifinosti u odnosu na dekadsku aritmetiku binarno zbrajanje

~ osnovna operacija u digitalnim sustavima (raunalima)


Binarna aritmetika

binarno zbrajanje najjednostavnije

~ zbrajanje dviju binarnih znamenki: suma mod 2 : operator

rezultat: 210 = 102~ pojava prijenosa (engl. carry) na viu bitovnu poziciju

oznake: S : suma, zbroj ; C : prijenos

0 0 1 1

+0 +1 +0 +1

0 1 1 10C: prijenos

S: suma

ab 0 10 0 11 1 10


Binarna aritmetika

binarno zbrajanje dvaju binarnih brojeva : openito n-bitni binarni brojevi prijenos pribrojiti vioj bitovnoj poziciji

~ zbrajanje triju binarnih znamenki 3 7 8

+ 2 73 9 5 : S1.

+ 1 : C3 0 5 : S2.

+ 1 : C4 0 5

1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1

1 0 1 1 0 0 0 0 1 S1 1 1 1 C1

1 0 1 0 1 0 1 0 1 S2 1 C2

1 0 0 0 1 0 1 0 1 S3 1 C4

1 1 0 0 1 0 1 0 1


Binarna aritmetika

binarno zbrajanje dvaju binarnih brojeva : n-bitni binarni brojevi

~ openito promatrati i-ti bit Si = Ai Bi Ci-1Ci = ?

posebna tablica zbrajanja

Primjer : prethodni

Ai Bi C i-1 S i C i0 0 0 0 00 0 1 1 00 1 0 1 00 1 1 0 11 0 0 1 01 0 1 0 11 1 0 0 11 1 1 1 1

1 0 1 1 1 1 0 1 0+ 1 1 0 1 1

1 1 0 0 1 0 1 0 1?


Binarna aritmetika

binarno odbijanje dvaju binarnih znamenki : diferencija = minuend suptrahend

minuend 0 1 1 0

suptrahend 0 0 1 1

0 1 0 11C: posudba

D: diferencija

ab 0 10 0 11 11 0


Binarna aritmetika

binarno odbijanje dvaju binarnih brojeva : n-bitni binarni brojevi

~ openito promatrati i-ti bit diferencija = suma !!!

Di = Ai Bi Ci-1Ci = ?

posebna tablica odbijanja

stvarna izvedba ~ pribrajanje komplementa broja

(vidi kasnije)

Ai Bi C i-1 D i C i0 0 0 0 00 0 1 1 10 1 0 1 10 1 1 0 11 0 0 1 01 0 1 0 01 1 0 0 01 1 1 1 1


Prikaz brojeva u modulu

digitalni sustavi (raunala): pohranjivanje brojeva u registrima

ogranieni broj mjesta ~ n-znamenkasti brojevi

broj moguih n-znamenkastih brojeva kod baze B:

Bn = m : modul ~ broj stanja registra, "kapacitet" registra od n mjesta

W = Bn 1 : najvei n-znamenkasti broj

Dn-1 Dn-2 Dn-3 ...... D2 D1 D0



prikaz n-znamenkastih brojeva: ogranienje na brojeve < m = Bn

grafiki prikaz ~"brojna krunica"

uoiti: a = kBn + b, b < Bn = m, k = 0, 1, 2,

b = a (mod m)

0 1 23Bn-1

Bn Bn+1 Bn+2Bn+3

2.Bn 2.Bn+1 2.Bn+2 2.Bn+3

a = k.Bn+b ~ b



prikaz n-znamenkastih brojeva: interpretacija relacije

b = a (mod m)

"b je ostatak dijeljenja broja a s modulom m"

Primjeri : 23 mod 17 = 6

35 mod 16 = 30 1 2

3Bn-1

Bn Bn+1 Bn+2Bn+3

2.Bn 2.Bn+1 2.Bn+2 2.Bn+3

a = k.Bn+b ~ b


Modulo-aritmetika

umjesto jednakosti, relacija kongruencije, npr. za m = 10:

openito:

primjeri zbrajanja i oduzimanja mod 10:

K 192191111KK ,2,1,0,1,2,10 =+ kkaa

KKK

++

+

9111561010055119954

KKK

1199651010055911145


Modulo-aritmetika

zapis: radi jasnoe na kraju izraza se pie (mod m)

npr.

algebarski izrazi, npr:

jednadbu zadovoljavaju:

a = b + 2, b 8, b + 12, b 18, ...

10) (mod 155 ( )10mod2+ ba


Komplementi brojeva

komplementi brojeva: u odnosu na modul brojevnog sustava m = Bn

~ u odnosu na broj mjesta n za prikaz brojeva u registru

u odnosu na najvei n-znamenkasti broj W = Bn 1

znaaj komplementa brojeva: pojednostavljivanje obavljanja aritmetikih operacija npr. koritenje istog sklopovlja

za obavljanje zbrajanja i odbijanja


Komplement

svaki broj a, 0 a < m, ima svoj komplement: definicijska relacija:

srodan pojmu suprotnog broja (-a):

a

maa =+( )

( )maaaa

mod00

+=+


Komplement

korist od komplementa:oduzimanje pretvara u zbrajanje!

omoguuje koritenje istog sklopovlja za zbrajanje i oduzimanje

( ) babbbababa +=+++= 0baba +


Komplement

B-komplement: naziv za ve prikazani komplement u odnosu na m=Bn:

(n je maksimalan broj znamenki koji se koristi)

B = 10: 10-komplementn= 2: n= 3:

B = 2: 2-komplement

aBama nB ==

( ) 65351035 210 ==

( ) 10101101010110000000101012010101 62 ===

( ) 965351035 310 ==


Komplementi brojeva

praktini algoritam za dobivanje 2-komplementa:

"Poev od najmanje znaajnog bita broja, invertirati svaki bit nakon prve 1."

Primjer :

00010110 1110101000100101 11011011


Komplementi brojeva

(B-1)-komplement~ komplement u odnosu na W

B = 10: 9-komplement

n = 2:

n = 3:

B = 2: 1-komplement

NWNNBN Bn == 11

( ) ( ) 35993510106410351035 0202 ====( ) ( ) 3599935101096410351035 0303 ====

( ) 10101001010111111110101012010101 6 ===


Komplementi brojeva

dobivanje (B-1)-komplementa: svaku znamenku broja odbiti od W = B 1

dobivanje 1-komplementa ~ komplementiranje pojedinih bitova:

vrlo jednostavna sklopovska izvedba!

dobivanje 2-komplementa iz 1-komplementa:

u odnosu na B-komplement je kod (B-1)-komplementa znamenka najmanje teine umanjena za 1

112 += BB


Oduzimanje komplementom

uzmimo da nae sklopovlje podrava: zbrajanje

inverziju svih bitova u broju

problem: izraunati D = M S moemo izraunati komplemente:

1-komplement = inverzija svih bitova

2-komplement = 1-komplement + 1

u nastavku: oduzimanje komplementomu bilo kojoj bazi B


Oduzimanje B-komplementom

Oduzimanje B-komplementom:sklopovlje izraunava

u sklopovskoj izvedbi razlikujemo dva sluaja: 1. M > S D > 02. M < S D < 0

( ) ( )( )

B

nB

nnnB

SMDBSMD

BDBSMSBMSM

++=

+=+=+=+BSM +


Odbijanje pomou komplementa

odbijanje pomou komplementa ~ pribrajanje minuendu komplementa suptrahenda

openiti algoritam za brojevni sustav s bazom B

odbijanje pomou (B-1)-komplementa

odbijanje pomou B-komplementa

dva sluaja:

M > S D > 0 M < S D < 0



sluaj 1: M > S D > 0

rezultat je vei od najveeg prikazivog broja, W dolazi do preljeva u registru je rezultat kojem nedostaje najvia znamenka

njena teina: Bn

u registru je dakle preljev naruava jednakost, ali ne i kongruenciju!

sadraj registra je upravo traeni rezultat:

WWDBDSBMSM nnB >++=+=+=+ 1

Bn

B SMBSM ++

( ) ( ) DBBDBSM nnnB =+=+



primjer: B=2, n=8 (8-bitno binarno raunalo)

izraunati 32, dakle M=3, S=2

12572572543

2542256

>=+=+

===WSM

SBS

B

nB

2551256121 8 ==== nBW

broj koji dobiva sklopovlje

preljev!



registri: A=3, B=2

000000011

11111110 00000011 :BA

11111110B 00000010 B: 00000011 :A2

2

++

=

ne stane u registar preljev!

traeni rezultat

sloenost posla:2x zbrajanje1x inverzija bitova



sluaj 2: M < S D < 0

nema preljeva, sklopovlje dobiva

oduzimanje Bn od rezultata: uzeti mu komplement i tome staviti predznak minus:

( )( )( )

( )BBB

n

nB

SM

SMBBSMD

+=+=

+=

WWDBDSM nB ++=+=+ 1BSM +




( ) ( )12551256255255

255

25525322533256

2 =====

=+=+===

D

BDD

WSMSBS

n

B

nB

nema preljeva,sklopovlje dobivaupravo 255



registri: A=2, B=3

( ) 0000000111111111

11111111

11111101 00000010 :BA

11111101B 00000011 B: 00000010 :A2

2

=

++

=

2

novi sadraj registra A

traeni rezultat



Odbijanje pomou komplementa

algoritam oduzimanja B-komplementom: pribrojiti minuendu komplement suptrahenda

ako se pojavi preljev, to je rezultat

ako nema preljeva, jo jednom komplementirati te promijeniti predznak


Oduzimanje (B-1)-komplementom

oduzimanje (B-1)-komplementom:sklopovski izraunavamo

( ) ( ) WDWSMSWMSM B +=+=+=+ 11+ BSM

( ) ( ) 11 111 ++=+=+= nBnBB BSMBSMWSMD

11 ++ BSMD



sluaj 1: M > S D > 0

dolazi do preljeva u izraunu, registar sadri

dobivanje rezultata:

dakle, registru treba dodati 1 "povratni preljev" (eng. end-around carry)

jer bit prijenosa dodajemo sadraju registra

WWDSM B >+=+ 1

11 ++ BnB SMBSM

( ) 1111

++=++=+=

n

B

nnBB

BSMWBBSMWSMD




1101256256preljev!2562533

2532255

1

1

=+=+=>=+=+

===

DWSM

SWS

B

B


000000001

11111101 00000011 :BA 1

++


registri: A=3, B=2

strojna naredba: SUB A,B11111101B 00000010 B: 00000011 :A 1 =

00000001

0000000100000000

+

povratni prijenos:

rezultat

preljev




sluaj 2: M < S D < 0

nema preljeva

dobivanje rezultata kao i kod B-komplementa, samo radimo (B-1)-komplement:

( ) ( )( ) ( ) 1111 +=+=+= BBBB SMSMWWSMD

WWDSM B




( ) ( )12541255254

preljeva! nema25425222523255

1

1

1

====


( ) 0000000111111110

11111110

11111100 00000010 :BA 1

=

++

1


registri: A=2, B=3

strojna naredba: SUB A,B11111100B 00000011 B: 00000010 :A 1 =

traeni rezultat



Oduzimanje pomou komplementa

algoritam oduzimanja (B-1)-komplementom: pribrojiti minuendu komplement

suptrahenda

ako se pojavi preljev, dodati 1 ~ povratni prijenos

ako nema preljeva, jo jednom komplementiratite promijeniti predznak

SWS

MM

SMD +1

PRELJEV?

111 + DD 11 DD

1DD

NE

DA


Oduzimanja (B-1)-komplementom

SWS

MM

SMD +1

PRELJEV?

111 + DD 11 DD

1DD

NE

DA


Oduzimanje pomou komplementa

oduzimanje (B-1)-komplementom:

Primjer : oduzimanje 1-komplementom M=11 1 0 1 1S=9 - 1 0 0 1

1 0 1 1+ 0 1 1 01 0 0 0 1povratni

prijenos + 10 0 1 0

M=9 1 0 0 1S=11 - 1 0 1 1

1 0 0 1+ 0 1 0 0

1 1 0 1- 0 0 1 0


Operacije nad brojevima s predznakom

zapis brojeva s predznakom: veliina broja ~ iznos predznak

~ jo jedan bit: najznaajniji (najlijeviji) bit tipino:

0 : "+"

1 : "-"

prikaz negativnih brojeva: predznak i veliina predznak i 2-komplement predznak i 1-komplement

Dn Dn-1 Dn-2 ...... D2 D1 D0

bit predznaka


Prikaz brojeva s predznakom

prikaz brojeva predznakom i veliinom : odvojeno manipuliranje predznaka i veliine relativno sloeno izvoenje raunskih operacija problem "negativne nule"

Primjer: prikaz jednim oktetom

63 0011 1 111114 0111 0010

0 0000 0000

+ =+ =

+ =

63 1011 1 111114 1111 0010

0 1000 0000

= =

=



prikaz brojeva predznakom i 2-komplementom : pozitivni brojevi: predznak i veliina negativni brojevi: predznak i 2-komplement

komplementiranje predznaka i veliine zajedno nema problema "negativne nule"

~ nula je jedinstvena !

Primjer: prikaz jednim oktetom 63 0011 1 111

114 0111 00100 0000 0000

+ =+ =

+ =

63 1100 0001114 1000 1 110

0 0000 0000

= =

=



prikaz brojeva predznakom i 1-komplementom : slino prikazu predznakom i 2-komplementom

~ komplementiranje predznaka i veliine zajedno problem "negativne nule"

Primjer: prikaz jednim oktetom

63 0011 1 111114 0111 0010

0 0000 0000

+ =+ =

+ =

63 1100 0000114 1000 1 101

0 1111 1 111

= =

=


Usporedba 1 i 2 komplementa

prikaz predznakom i 2-komplementom praktiniji! nema "negativne nule"

asimetrini raspon pozitivnih i negativnih brojeva ~ nula je "pozitivna"

broj predznak i veliina

2-komplement

1-komplement

-8 - 1000 -

-7 1111 1001 1000

-6 1110 1010 1001

-5 1101 1011 1010

-4 1100 1100 1011

3 1011 1101 1100

-2 1010 1110 1101

-1 1001 1111 1110

0 0000 ili 1000

0000 0000 ili 1111

1 0001 0001 0001

2 0010 0010 0010

3 0011 0011 0011

4 0100 0100 0100

5 0101 0101 0101

6 0110 0110 0110

7 0111 0111 0111


POGRENO

Zbrajanje u 2-komplementu

pojava aritmetikog preljeva (engl. arithmetic overflow): pribrojnici istog predznaka (+ ili ),

a predznak rezultata se razlikuje ( ili +) suma premauje broj mjesta veliine (n-1)

potreba detekcije aritmetikog preljeva Primjer: 7 + 4

0111 +7 + 0100 +4

1011 -5 00111 +7 + 00100 +4

01011 +11


Oduzimanje u 2-komplementu

od suptrahenda dobiti 2-komplement ~ promjena predznaka! 2-komplement suptrahenda pribrojiti minuendu

Primjer:

preljev se nema preljeva! zanemaruje (rezultat je negativan:

1 na najznaajnijem mjestu)

1011- 1001 1011+ 01111 0010

1001- 1011 1001+ 0101 1110


Mnoenje

binarno mnoenje ~ prema pravilima za dekadsko mnoenje:

multiplikand multiplikator 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0

+ 0 0 0

parcijalni produkti

0 1 1 0 0 produkt


Mnoenje

mogunosti ostvarivanja binarnog mnoenja: uzastopna zbrajanja

parcijalna mnoenja s 2 (~ "posmak") i zbrajanje multiplikand multiplikator

efikasnije primjenom Hornerove sheme:

3 2 1 0

3 2 1 0

M m m m mN n n n n

==

( )3 2 1 03 2 1 03 2 1 0

3 2 1 03

0

2 2 2 2

2 2 2 2

2iii

M N M n n n n

M n M n M n M n

M n=

= + + + = + + + =

( )( ) { }3 2 1 02 2 2 , 0,1iM N M n M n M n M n n = + + +


Mnoenje i dijeljenje

n0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 produkt: 0

102

102

102

1101101110

101010111011

====

NMP

NM



102

102

102

1101101110

101010111011

====

NMP

NM

0 0 0 0 0 0 0 0

n1 = 1 1 0 1 1 1 0 1

1 0



102

102

102

1101101110

101010111011

====

NMP

NM

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1

n2 = 0 0 0 0 0 0 1 0 produkt: 1 1 0



102

102

102

1101101110

101010111011

====

NMP

NM

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0

n3 = 1 1 0 1 1 produkt: 1 1 0 1 1 1 0



Primjer:

102

102

102

991100011

91001111011

====

NMP

NM

n0 = 1 1 0 1 1 0 1 0 1

n1 = 0 0 0 0 0 0 0 1 0

n2 = 0 0 0 0 0 0 0 0 1

n3 = 1 1 0 1 1 produkt: 1 1 0 0 0 1 1



binarno mnoenje: Primjer : mnoenje 4-bitnih brojeva

102

102

102

9901100011

91001111011

====

NMP

NM

n0 = 1 1 0 1 11 0 1

n1 = 0 0 0 0 00 1 0

n2 = 0 0 0 0 00 0 1

n3 = 1 1 0 1 1produkt: 1 1 0 0 0 1 1

( )( ) { }1,0,222 0123 +++== innMnMnMnMNMP


Dijeljenje

binarno dijeljenje ~ svodi se na uzastopno oduzimanje

primjer: 57 : 5 = 11, ostatak 2 1. korak: djelitelj potpiemo lijevo ispod djeljenika

i oduzmemo

iza jednakosti stavljamo 1

1 1 1 0 0 1 : 1 0 1 = 1 1 0 1 1 0


Dijeljenje

2. dopiemo sljedeu znamenku djeljenika sad imamo 100, broj manji od djelitelja

iza jednakosti dodajemo nulu

ne radimo oduzimanje

1 1 1 0 0 1 : 1 0 1 = 1 0 1 0 1 1 0 0


Dijeljenje

3. dopiemo jo jednu znamenku djeljenika sad imamo 1000, vei od djelitelja iza jednakosti dodajemo jedinicu

provodimo oduzimanje

1 1 1 0 0 1 : 1 0 1 = 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 - 1 0 1 1 1


Dijeljenje

i tako dalje

1 1 1 0 0 1 : 1 0 1 = 1 0 1 1 1 0 1

1 0 01 0 0 0 1 0 1

1 1 1 1 0 1

1 0 ostatak


Dijeljenje

primjer: 38 : 5 = 7, ostatak 3

1 0 0 1 1 0 : 1 0 1 = 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1


Dijeljenje

binarno dijeljenje ~ svodi se na uzastopno odbijanje

1 1 1 0 0 1 : 1 0 1 = 1 0 1 1 1 0 1

1 0 01 0 0 0 1 0 1

1 1 1 1 0 1

1 0


Binarno kodiranje znamenki i simbola

princip kodiranja binarnim rijeima: izraavanje simbola/znakova u binarnom obliku,

radi dalje obrade digitalnim sklopom ~ binarno kodiranje

kd : grupa simbola kojoj se dogovorno daje znaenje kodna rije : niz bitova kojem se pridaje neko znaenje abeceda : skup svih simbola prikazanih kodnim rijeima znakovi : elementi abecede

kodiranje

dekodiranje

kodnerijeci

kodabeceda

simboli =znakovi



princip kodiranja binarnim rijeima: broj simbola = broj razliitih prikaza

broj bitova kodnih rijei K simbola: n ld K [bit], ld x = log2 x

2n K n bitova: N = 2n moguih kombinacijapridruivanje kodne rijei prvom simbolu N naina pridruivanje kodne rijei drugom simbolu N-1 nain pridruivanje kodne rijei treem simbolu N-2 naina pridruivanje kodne rijei K-tom simbolu N-(K-1) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )!1 2 1 ! KNNN N N N K VN K = =L



dekadski kodovi~ binarni prikaz dekadskih znamenki n 4 bita; 23 < 10 < 24 n = 4 bita

~ 16 kombinacija

broj 4-bitnih kodova ~ mogui broj kodiranja:

odabrati kodove s povoljnim svojstvima!

(10) 916

16! 29,059 106!

V = =


Dekadski kodovi

svojstva dekadskih kodova: aditivnost

~ veza izmeu kodne rijei i prikazane dekadske znamenke

samokomplementarnost (engl. self-complementing) ~ veza kodnih rijei po parovima


Dekadski kodovi

teinski kod: zbroj teina = vrijednost prikazane znamenke

17 teinskih kodova s pozitivnim teinama, 71 s jednom ili dvije negativne teine

1

0

n

i ii

N a w D

== +

N : dekadski ekvivalent wi : i-ta teina ai : koeficijent za i-tu teinu D : konstanta pomaka


Dekadski kodovi

samokomplementirajui kod: ~ 9-komplement dekadskog broja

zamjenom 0 i 1 u kodnoj rijei korisno kod binarno-dekadske aritmetike

teinski je kod samokomplementirajui ako:

9ii

w =


Dekadski kodovi

kod 8421, BCD (engl. Binary Coded Decimal) prvih 10 binarnih brojeva

teine: 8, 4, 2, 1

neupotrijebljene kombinacije: 10011111

23 22 21 20 8 4 2 1

0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 0 3 0 0 1 1 4 0 1 0 0 5 0 1 0 1 6 0 1 1 0 7 0 1 1 1 8 1 0 0 0 9 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1


Dekadski kodovi

kod 2421 (Aikenov kod) teinski kod

~ teine: 2, 4, 2, 1

samokomplementirajui kod: 0-9, 1-8, 2-7, 3-6, 4-5

prvih i zadnjih pet 4-bitnih brojeva

neupotrijebljene kombinacije: 01011010

2 4 2 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 0 3 0 0 1 1 4 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0

5 1 0 1 1 6 1 1 0 0 7 1 1 0 1 8 1 1 1 0 9 1 1 1 1


Dekadski kodovi

kod XS-3 (Stibitzov kod) kod 8421,

s "prekoraenjem" (ekscesom) od 3 uz D = 3

~ teinski kod

ne postoji 0000: detekcije prekida kod prijenosa

neupotrijebljene kombinacije: 00000010, 11011111

simetrina tablica koda ~ samokomplementirajui kod!

23 22 21 20 8 4 2 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0

0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 2 0 1 0 1 3 0 1 1 0 4 0 1 1 1 5 1 0 0 0 6 1 0 0 1 7 1 0 1 0 8 1 0 1 1 9 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1


Dekadski kodovi

bikvinarni kod teinski 7-bitni kod (2+5=7)

kodne rijei s dvije 1: otkrivanje pogreaka ne ako je pogreka

samokompenzirajua velika zalihost:

~ 10 od 128 moguih kombinacija

5 0 4 3 2 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 2 0 1 0 0 1 0 0 3 0 1 0 1 0 0 0 4 0 1 1 0 0 0 0 5 1 0 0 0 0 0 1 6 1 0 0 0 0 1 0 7 1 0 0 0 1 0 0 8 1 0 0 1 0 0 0 9 1 0 1 0 0 0 0


Grayev kod

kod s minimalnom promjenom susjedne kodne rijei

~ razlika u samo 1 bitu

ograniavanje pogreki pri slijednoj promjeni npr. direktno oitavanje poloaja

kodna rije ikodna rije i+1

kodna rije i+2

kodna rije i+3

B3B2

B1B0

B0

B1B2

B3

10


Grayev kod

svojstva Grayevog koda: susjedne kodne rijei

~ razlika u samo jednom bitu ("jedinina distanca")

izgradnja koda:~ zrcaljenje u jednom

bitovnom mjestu: reflektirani kod

neteinski kod

binarni, ali i "dekadski" ~ XS-3 Grayev kod

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1

0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 2 0 1 1 1 3 0 1 0 1 4 0 1 0 0 5 1 1 0 0 6 1 1 0 1 7 1 1 1 1 8 1 1 1 0

9 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1

0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 2 0 1 1 1 3 0 1 0 1 4 0 1 0 0 5 1 1 0 0 6 1 1 0 1 7 1 1 1 1 8 1 1 1 0

d

e

k

a

d

s

k

i

G

r

a

y

e

v

k

o

d

9 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0

b

i

n

a

r

n

i

G

r

a

y

e

v

k

o

d


Grayev kod

izgradnja koda:~ zrcaljenje u jednom bitovnom mjestu:

reflektirani kod


Znakovni kodovi

prikaz skupa znakova: prikaz slova i znamenki:

"grafiki" ~ "alfa-numeriki" znakovi, interpunkcije, simboli, ...

upravljaki znakovi standardizirani znakovni kodovi:

npr. 7-bitni (128 kombinacija) ASCII: ISO IS 646, ITU-T/CCITT No. 5


Znakovni kodovi

kod ASCII (engl. American Standard Codefor Information Interchange):

: 20H, CR : 08H, LF : 0AH

0 9: 30-39H

A - Z : 41-5AH

a z : 61-7AH

npr.

A = 100 0001 = 41H

a = 110 0001 = 61H

* = 010 1010 = 1AH


Kodovi za zatitu podataka

prijenos podataka ~ utjecaj smetnji: mogua pojava pogreke pogreka

~ neeljena promjena jednog/vie bitova u kodnoj rijei

jednostruka pogreka ~ promjena vrijednosti jednog bita

(0 1 ili 1 0) viestruka pogreka ~ vie bitova

rezultat ~ neispravna, ali i ispravna kodna rije !

dobivena kodna rije ispravna~ nemogue otkriti da je dolo do pogreke!!!



princip otkrivanja (i ispravljanja) pogreaka~ razlika kodnih rijei u 1 bita

distanca kodnih rijei (R. W. Hamming) ~ "udaljenost" dviju kodnih rijei: najmanji broj bitova u kojima se dvije kodne rijei razlikuju broj bitova koje treba promijeniti

da se jedna kodna rije pretvori u drugu ~ pogreka ostaje neotkrivena !!!

1000101 1110011

d = 4

uzorci bitovanisu iz koda



raunanje distance kodnih rijei broj razliitih bitovnih mjesta dviju kodnih rijei:

c = a b po bitovima d = aritmetika suma "1" u c

formalno:

c = a b = (an-1 bn-1, an-2 bn-2, ..., a0 b0) d = |c| = |a b| |x| : teina kodne rijei (engl. weight) ,

broj jedinica u kodnoj rijei



minimalna distanca koda dmin ~ najmanji razmak izmeu dvije kodne rijei npr. kod 8421: dmin = 1

bikvinarni kod: dmin = 2

Grayev kod: dmin = d = 1

kod prua zatitu od t pogreaka

t=dmin-1

dmin (t+1)Primjer: dmin = 2

~ otkrivanje jednostruke pogreke



kodovi s dmin > 1 ~ postoji zalihost (redundancija), R:

snaga zatite, viak informacije

vei broj bitova od minimalno potrebnih za prikaz informacije npr. bikvinarni kod

kodna rije = bitovi + zatitni bitovi sistematski kodovi

~ zatitni bitovi nakon informacijskih

n : duljina kodne rijei k



dvije skupine zatitnih kodova: s mogunou otkrivanja pogreaka

~ EDC (engl. Error Detecting Codes): dmin t + 1 za otkrivanje t pogreaka

s mogunou ispravljanja pogreaka ~ ECC (engl. Error Correcting Codes): dmin 2t + 1 za ispravljanje t pogreaka

1000101 1111011

dmin = 5

11001011100001

1110001

1110011

"blii" 1000101



geometrijski prikaz kodnih rijei/koda ~ kubusi u n-dimenzijskom prostoru 0-kubus ~ toka 1-kubus ~ duina

2-kubus ~ kvadrat

3-kubus ~ kocka

n-kubus ~ "hiperkocka"



geometrijski prikaz kodnih rijei/koda Primjer: n-kubus 3-kubus1. za 2n uzoraka: dmin = 1

2. za {100, 011}: dmin = 3

otkriva 2 pogreke:

010, 111, 001

110, 101, 000

ispravlja 1 pogreku:

110, 101, 000

001, 111, 010

101

001

000 010

110111

100

011

x0

x1

x2


Izgradnja 4 kubusa



paritet ~ najjednostavniji nain zatite dodati paritetni bit

~ tipino osmi bit rijei iz ASCII koda: p b6b5b4 b3b2b1b0

nova kodna rije mora imati paran/neparan broj jedinica~ paran/neparan paritet

"vertikalna" (okomita) paritetna zatita (engl. Vertical Redundancy Check, VRC)~ otkrivanje neparnih pogreaka

PARITET ZNAK PARNI NEPARNI

A 100 0001 0 100 0001 1 100 0001 a 110 0001 1 110 0001 0 110 0001 * 010 1010 1 010 1010 0 010 1010



viestruko ispitivanje pariteta : zahtjev: poveati mo zatite!

vei broj paritetnih ispitivanja ~ "nezavisna" (ortogonalna)

vei broj zatitnih bitova ~ vea zalihost

vie mogunosti: dvodimenzijski kod Hammingov kod



dvodimenzijski kod~ 2D matrica informacijskih bitova

"pravokutni" kod

uzduna i poprena paritetna zatita: kodna rije paritetni bit cijelom bloku kodnih rijei

paritetna rije, BCC (engl. Block Check Character) ~ "horizontalna" (uzduna) paritetna zatita

(engl. Longitudinal Redundancy Check, LRC)

ispravljanje jednostruke pogreke



vodoravna i okomita paritetna zatita:

Primjer: kodne rijei iz ASCII koda

zalihost:

R = 1/m + 1/n

R = 0,125 + m-1 (ASCII)

komentar: ~ prevelika zalihost za relativno ogranienu mo zatite!

A a * BCC 0 1 1 x 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0



uzduna i poprena paritetna zatita:

Primjer : kodne rijei iz ASCII koda zalihost:

sa BCC

bez BCC

komentar: ~ prevelika zalihost za relativno ogranienu mo zatite!

A a * BCC 0 1 1 x 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0

)1)(1(1++

++=nm

nmR

1)1)(1( +++=nm

nmR



Hammingovi kodovi: sustavni mehanizam za izgradnju

niza kodova za ispravljanje pogreaka ~ R.W. Hamming, 1950.

princip: ~ viestruko (nezavisno) paritetno ispitivanje

bolja efikasnost kodiranja ~ manja zalihost

usp. dvodimenzijski kod

naroito popularan Hammingov kodza ispravljanje jednostruke pogreke ~ tipina primjena: memorijski sklopovi



Hammingovi kodovi : nezavisna paritetna ispitivanja

~ ne mogu se dobiti kombinacijom preostalih

princip izgradnje kodne rijei: "nezavisna" (ortogonalna) ispitivanja "nezavisni" (ortogonalni) smjetaj zatitnih bitova

"nezavisna" (ortogonalna) ispitivanja: svaki zatitni bit "pokriva" (= titi) drugi podskup

bitova podatka svaki bit podatka zatien s vie zatitnih bitova



Hammingovi kodovi: odnos zatitnih i informacijskih bitova :

2r k + r + 1 , n = k + r r: broj zatitnih bitova k: broj informacijskih bitova n: duljina kodne rijei

obrazloenje: jednostruka pogreka na jednom od n mjesta bez pogreaka



Hammingovi kodovi: zatitni bitovi su na mjestima 2i ( 1, 2, 4, 8, )

ostali bitovi su informacijski

primjer: kod (11,7) ukupno 11 bitova, od ega 7 nose podatke korisno za zatitu ASCII-znakova

d7d6d5P4d4d3d2P3d1P2P1

1110987654321



zatitni bitovi raunaju paritet poevi od sebe: Pozicija 1: provjera 1 bita, preskae 1 bit, provjera 1, ... Pozicija 2: prov. 2 bita, pres. 2 bita, prov. 2 bita, ...

Pozicija 4: prov. 4 bita, pres. 4 bita, prov. 4 bita, ...

...

raspored odgovornosti bitova:

P4P3P2P1

P4P3P2P1

P4P3P2P1

P4P3P2P1

1110987654321

P1:P2:P3:P4:



Hammingovi kodovi: odnos zatitnih i informacijskih bitova :

2r k + r + 1 , n = k + r BROJ

INFORMACIJSKIH BITOVA ()

BROJ ZATITNIH BITOVA

DULJINA KODNE RIJEI

1 2 3 4 3 7

11 4 15 26 5 31 57 6 63

120 7 127



izgradnja Hammingovog koda za ispravljanje jednostruke pogreke : zatitni bitovi na mjesta koja se ne mogu dobiti

kombinacijama drugih zatitnih bitova: 2i

zatitni bitovi "pokrivaju" svoju poziciju ~ sve pozicije iji redni broj sadri 2i

zatitni bitovi: C2 C1 C0

POZICIJA nema

pogreke 1 2 3 4 5 6 7

C2 0 0 0 0 1 1 1 1 C1 0 0 1 1 0 0 1 1 C0 0 1 0 1 0 1 0 1 C0 C1 k1 C2 k2 k3 k4



Hammingov kod za ispravljanje jednostruke pogreke : izraunavanje zatitnih bitova, za parni paritet

POZICIJA nema pogreke 1 2 3 4 5 6 7

C2 0 0 0 0 1 1 1 1 C1 0 0 1 1 0 0 1 1 C0 0 1 0 1 0 1 0 1 C0 C1 k1 C2 k2 k3 k4

C0k1k2k4=0 C0=k1k2k4 C1k1k3k4=0 C1=k1k3k4 C2k2k3k4=0 C2=k2k3k4



Hammingov kod za ispravljanje jednostruke pogreke : izraunavanje zatitnih bitova, za neparni paritet

POZICIJA nema pogreke 1 2 3 4 5 6 7

C2 0 0 0 0 1 1 1 1 C1 0 0 1 1 0 0 1 1 C0 0 1 0 1 0 1 0 1 C0 C1 k1 C2 k2 k3 k4

C0k1k2k41=0 C0=k1k2k41 C1k1k3k41=0 C1=k1k3k41 C2k2k3k41=0 C2=k2k3k41



Hammingov kod za ispravljanje jednostruke pogreke :

Primjer: zatita ASCII znaka A (41H)k = n - r = 7 r = 4

mjesto pogreke:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11C0 C1 k1 C2 k2 k3 k4 C3 k5 k6 k7

k1 k2 k3 k4 k5 k6 k71 0 0 0 0 0 1

C0 = k1 k2 k4 k5 k7 C0 = 0 C1 = k1 k3 k4 k6 k7 C1 = 0 C2 = k2 k3 k4 C2 = 0 C3 = k5 k6 k7 C3 = 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1

k 1 k 2 k 3 k 4 k 5 k 6 k 70 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1C 0 C 1 C 2 C 3 X = C3 C2 C1 C0 = 1 0 1 0

Y = C3' C2' C1' C0' = 1 0 0 0

X Y = 00102 = 210



Hammingov kod za ispravljanje jednostruke pogreke: sindrom

~ uzorak zatitnih bitova koji ukazuje na mjesto pojave pogreke

Primjer:

sindrom = 2 ~ drugi bit kodne rijei je pogrean!

sindrom = 0 ~ nema pogreke

k1 k2 k3 k4 k5 k6 k7 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 C0 C1 C2 C3


Hammingov kod primjer

Podatak = P1P2P3P4P5P6P7P8P9P10P11P12 = 101100011010 Zatita = C1C2C4C8C16

Pozicija 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Rezultat

Binarno 00001 00010 00011 00100 00101 00110 00111 01000 01001 01010 01011 01100 01101 01110 01111 10000 10001

Rije C1 C2 P1 C4 P2 P3 P4 C8 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11 C16 P12

Rije 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0

Provjera:16

Provjera:8

Provjera:4

Provjera:2

Provjera:1


Hammingov kod - zatitni bitovi



Binarno 00001 00010 00011 00100 00101 00110 00111 01000 01001 01010 01011 01100 01101 01110 01111 10000 10001


Rije 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0

Provjera:16 C16

Provjera:8 C8

Provjera:4 C4

Provjera:2 C2

Provjera:1 C1


Hammingov kod zatitni bit C1



Binarno 00001 00010 00011 00100 00101 00110 00111 01000 01001 01010 01011 01100 01101 01110 01111 10000 10001


Rije 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0

Provjera:16 C16

Provjera:8 C8

Provjera:4 C4

Provjera:2 C2

Provjera:1 C1 1 0 1 0 0 1 1 0





Binarno 00001 00010 00011 00100 00101 00110 00111 01000 01001 01010 01011 01100 01101 01110 01111 10000 10001


Rije 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0

Provjera:16 C16

Provjera:8 C8

Provjera:4 C4

Provjera:2 C2

Provjera:1 0 1 0 1 0 0 1 1 0





Binarno 00001 00010 00011 00100 00101 00110 00111 01000 01001 01010 01011 01100 01101 01110 01111 10000 10001


Rije 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0

Provjera:16 C16

Provjera:8 C8

Provjera:4 C4

Provjera:2 C2 1 1 1 0 0 0 1

Provjera:1 0 1 0 1 0 0 1 1 0





Binarno 00001 00010 00011 00100 00101 00110 00111 01000 01001 01010 01011 01100 01101 01110 01111 10000 10001


Rije 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0

Provjera:16 C16

Provjera:8 C8

Provjera:4 C4

Provjera:2 0 1 1 1 0 0 0 1

Provjera:1 0 1 0 1 0 0 1 1 0





Binarno 00001 00010 00011 00100 00101 00110 00111 01000 01001 01010 01011 01100 01101 01110 01111 10000 10001


Rije 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0

Provjera:16 C16

Provjera:8 C8

Provjera:4 C4 0 1 1 1 1 0 1

Provjera:2 0 1 1 1 0 0 0 1

Provjera:1 0 1 0 1 0 0 1 1 0





Binarno 00001 00010 00011 00100 00101 00110 00111 01000 01001 01010 01011 01100 01101 01110 01111 10000 10001


Rije 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0

Provjera:16 C16

Provjera:8 C8

Provjera:4 1 0 1 1 1 1 0 1

Provjera:2 0 1 1 1 0 0 0 1

Provjera:1 0 1 0 1 0 0 1 1 0





Binarno 00001 00010 00011 00100 00101 00110 00111 01000 01001 01010 01011 01100 01101 01110 01111 10000 10001


Rije 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0

Provjera:16 C16

Provjera:8 C8 0 0 0 1 1 0 1

Provjera:4 1 0 1 1 1 1 0 1

Provjera:2 0 1 1 1 0 0 0 1

Provjera:1 0 1 0 1 0 0 1 1 0





Binarno 00001 00010 00011 00100 00101 00110 00111 01000 01001 01010 01011 01100 01101 01110 01111 10000 10001


Rije 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0

Provjera:16 C16

Provjera:8 1 0 0 0 1 1 0 1

Provjera:4 1 0 1 1 1 1 0 1

Provjera:2 0 1 1 1 0 0 0 1

Provjera:1 0 1 0 1 0 0 1 1 0





Binarno 00001 00010 00011 00100 00101 00110 00111 01000 01001 01010 01011 01100 01101 01110 01111 10000 10001


Rije 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0

Provjera:16 C16 0

Provjera:8 1 0 0 0 1 1 0 1

Provjera:4 1 0 1 1 1 1 0 1

Provjera:2 0 1 1 1 0 0 0 1

Provjera:1 0 1 0 1 0 0 1 1 0





Binarno 00001 00010 00011 00100 00101 00110 00111 01000 01001 01010 01011 01100 01101 01110 01111 10000 10001


Rije 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0

Provjera:16 0 0

Provjera:8 1 0 0 0 1 1 0 1

Provjera:4 1 0 1 1 1 1 0 1

Provjera:2 0 1 1 1 0 0 0 1

Provjera:1 0 1 0 1 0 0 1 1 0


Hammingov kod zatiena poruka

Podatak = P1P2P3P4P5P6P7P8P9P10P11P12 = 101100011010 Zatita = C1C2C4C8C16 = 00110


Binarno 00001 00010 00011 00100 00101 00110 00111 01000 01001 01010 01011 01100 01101 01110 01111 10000 10001


Rije 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0

Provjera:16 0 0

Provjera:8 1 0 0 0 1 1 0 1

Provjera:4 1 0 1 1 1 1 0 1

Provjera:2 0 1 1 1 0 0 0 1

Provjera:1 0 1 0 1 0 0 1 1 0


Hammingov kod - otkrivanje i ispravljanje pogreke

Pretpostavimo pogreku na 12. bitu.


Binarno 00001 00010 00011 00100 00101 00110 00111 01000 01001 01010 01011 01100 01101 01110 01111 10000 10001


Rije 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0

Provjera:16 0 0

Provjera:8 1 0 0 0 1 0 1

Provjera:4 1 0 1 1 1 0 1

Provjera:2 0 1 1 1 0 0 0 1

Provjera:1 0 1 0 1 0 0 1 1 0





Binarno 00001 00010 00011 00100 00101 00110 00111 01000 01001 01010 01011 01100 01101 01110 01111 10000 10001


Rije 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0

Provjera:16 0 0

Provjera:8 0 0 0 0 0 1 0 1 X

Provjera:4 0 0 1 1 0 1 0 1 X

Provjera:2 0 1 1 1 0 0 0 1

Provjera:1 0 1 0 1 0 0 1 1 0





Binarno 00001 00010 00011 00100 00101 00110 00111 01000 01001 01010 01011 01100 01101 01110 01111 10000 10001


Rije 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0

Provjera:16 0 0 0

Provjera:8 0 0 0 0 0 1 0 1 1

Provjera:4 0 0 1 1 0 1 0 1 1

Provjera:2 0 1 1 1 0 0 0 1 0

Provjera:1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 Niz zatitnih bitova iz dobivene poruke: 01100 Vrijednost zatitnih bitova dobivena provjerom: 00000 Mjesto pogreke odreuje sindrom: 01100 XOR 00000 = 01100 = 12(10)


Hammingov kod pogreka na zatitnom bitu

Pretpostavimo pogreku na 4. bitu, tj. zatitnom bitu C4.


Binarno 00001 00010 00011 00100 00101 00110 00111 01000 01001 01010 01011 01100 01101 01110 01111 10000 10001


Rije 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0

Provjera:16 0 0

Provjera:8 1 0 0 0 1 1 0 1

Provjera:4 1 0 1 1 1 1 0 1

Provjera:2 0 1 1 1 0 0 0 1

Provjera:1 0 1 0 1 0 0 1 1 0





Binarno 00001 00010 00011 00100 00101 00110 00111 01000 01001 01010 01011 01100 01101 01110 01111 10000 10001


Rije 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0

Provjera:16 0 0

Provjera:8 1 0 0 0 1 1 0 1

Provjera:4 1 0 1 1 1 1 0 1 X

Provjera:2 0 1 1 1 0 0 0 1

Provjera:1 0 1 0 1 0 0 1 1 0





Binarno 00001 00010 00011 00100 00101 00110 00111 01000 01001 01010 01011 01100 01101 01110 01111 10000 10001


Rije 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0

Provjera:16 0 0 0

Provjera:8 1 0 0 0 1 1 0 1 0

Provjera:4 1 0 1 1 1 1 0 1 1

Provjera:2 0 1 1 1 0 0 0 1 0

Provjera:1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 Pogreka je na bitu 001002 = 410


Hammingov kod dvije pogreke

Pretpostavimo pogreku na 4. bitu (tj. zatitnom bitu C4) i 12. bitu.


Binarno 00001 00010 00011 00100 00101 00110 00111 01000 01001 01010 01011 01100 01101 01110 01111 10000 10001


Rije 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0

Provjera:16 0 0

Provjera:8 0 0 0 0 1 0 1

Provjera:4 0 1 1 0 1 0 1

Provjera:2 0 1 1 1 0 0 0 1

Provjera:1 0 1 0 1 0 0 1 1 0





Binarno 00001 00010 00011 00100 00101 00110 00111 01000 01001 01010 01011 01100 01101 01110 01111 10000 10001


Rije 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0

Provjera:16 0 0

Provjera:8 0 0 0 0 0 1 0 1

Provjera:4 0 0 1 1 0 1 0 1

Provjera:2 0 1 1 1 0 0 0 1

Provjera:1 0 1 0 1 0 0 1 1 0





Binarno 00001 00010 00011 00100 00101 00110 00111 01000 01001 01010 01011 01100 01101 01110 01111 10000 10001


Rije 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0

Provjera:16 0 0 0

Provjera:8 0 0 0 0 0 1 0 1 1

Provjera:4 0 0 1 1 0 1 0 1 0

Provjera:2 0 1 1 1 0 0 0 1 0

Provjera:1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 Pogreka na bitu 8. bitu (010002 = 810) !?


Hammingov kod otkrivanje dvostruke pogreke

Dodavanjem paritetnog bita (na poziciji 0) mogue je otkriti prisustvo dvostruke pogreke (ili ispraviti jednu pogreku).

Pozicija 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Rezultat

Binarno 00001 00010 00011 00100 00101 00110 00111 01000 01001 01010 01011 01100 01101 01110 01111 10000 10001


Rije 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0

Provjera:16 0 0 0

Provjera:8 0 0 0 0 0 1 0 1 1

Provjera:4 0 0 1 1 0 1 0 1 0

Provjera:2 0 1 1 1 0 0 0 1 0

Provjera:1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0

Jednostruka pogreka paritetni bit mora biti pogrean U primjeru je: - paritetni bit ispravan - a provjera 8 javlja greku dvostruka pogreka



Hammingov kod za ispravljanje jednostruke pogreke: distanca d = 3

kod za ispravljanje "nezavisnih pogreaka" ~ rezultat djelovanja "bijelog uma"

efikasan kod, jer je R mali

brojevni sustavi i kodovi

Documents