simulacionimodeli za vrednovanje opcija na akcije
DESCRIPTION
economyTRANSCRIPT
-
UNIVERZITET U BEOGRADU
FAKULTET ORGANIZACIONIH NAUKA
Zavrni rad
Tema:
Simulacioni modeli u odreivanju cena opcija
Mentor: Prof.dr Aleksandar Markovid Student: Maa Raenovid 357/09/M
Beograd, Jul, 2014.
-
2
SADRAJ
SADRAJ ........................................................................................................................................................ 2
UVOD............................................................................................................................................................. 4
1. Modeliranje i simulacioni modeli .............................................................................................................. 6
1.1. Raunarska simulacija ................................................................................................................... 6
1.2. Potreba za simulacijom i mogudnosti primene ............................................................................. 6
1.3. Prednosti i nedostaci simulacije .................................................................................................... 8
2. Simulacioni modeli u finansijama ......................................................................................................... 9
2.1. Modeliranje u spreadsheet programima .................................................................................... 10
3. Pojam i vrste opcija ................................................................................................................................. 12
3.1. Vrste opcija ...................................................................................................................................... 13
4. Binomni model za odreivanje cene opcija ............................................................................................ 17
4.1. Dva datuma Binomnog odreivanja cene........................................................................................ 17
4.2. Koridenje Cena stanja za utvrivanje cena opcija .......................................................................... 19
4.3. Koridenje Cena stanja ili Rizik neutralnih cena za utvrivanje cena opcija? ............................... 22
4.4. Multiperiod Binomnog modela ........................................................................................................ 23
4.5. 1. Proirenje Binomnog modela za utvrivanja cena za vie perioda ......................................... 26
4.6. Odreivanje cena Amerikih opcija koridenjem Binomnog modela .............................................. 29
4.7. Koridenje Binomnog modela za utvrivanje cena Nestandardnih opcija ...................................... 31
5. Black Scholes model za utvrivanje cene opcija .................................................................................. 33
5.1. Implementacija Black Scholes formule u Excel tabeli ................................................................... 34
5.2. Izraunavanje podrazumevane nepredvidljivosti (nestabilnosti) .................................................... 35
5.2.1. Sigma istorijskih prinosa ........................................................................................................... 35
5.2.2. Podrazumevana nepredvidljivost ( nestabilnost) ..................................................................... 39
5.3. Korekcija Black-Scholes modela za dividende.................................................................................. 40
5.3.1. Poznata dividenda koja se plada pre isteka opcije (prestanka vaenja) ................................... 40
5.3.2. Korekcije za kontinuirane isplate dividendi: Mertonov model ................................................. 42
5.4. Koridenje Black-Scholes formule za utvrivanje cene Struktuiranih hartija .................................. 44
5.4.1. Jednostavne struktuirane hartije: Zatita glavnice plus uede u pozitivnim trinim
kretanjima ........................................................................................................................................... 44
-
3
5.4.2. Koridenje Black Scholes formule za komplikovanije struktiuirane hartije ............................ 46
6. MONTE KARLO METOD ZA UTVRIVANJE CENA OPCIJA ........................................................................ 52
6.1. Odreivanje cena Obinih-vanila, kupovnih opcija koridenjem Monte Karlo metoda .................. 52
6.2. Utvrivanje cena Azijskih opcija ...................................................................................................... 56
6.2.1. Poetni primer Azijskih opcija ................................................................................................... 57
6.3. Utvrivanje cena Opcija sa barijerom Monte Karlo metodom ........................................................ 62
6.3.1. Jednostavan primer za kupovne opcije sa barijerom ............................................................... 63
6.3.2. Knockin kupovne opcije sa barijerom ....................................................................................... 64
7. ZAKLJUAK .............................................................................................................................................. 67
8. LITERATURA ............................................................................................................................................ 68
-
4
UVOD
Izvedene ili derivativne hartije od vrednosti su ugovori izmeu dve strane kojima se predvia transfer
odreenog sredstva ili novca na ili pre utvrenog datuma u bududnosti, po utvrenoj ceni. Vrednost
izvedene hartije se menja sa promenom jedne ili vedeg broja trinih promenljivih, kao to je kamatna
stopa ili devizni kurs.
Jedan od razloga upotrebe izvedenih hartija od vrednosti je upravljanje rizikom, tj. mogudnost odvajanja
i tanije kontrole rizika kroz promenu strane u ugovoru, ime se stvara osiguranje.
Kod izvedenih hartija se javljaju slededa lica: hedersi (lica koja ele da snize, tj. hediraju rizik),
pekulanti (lica koja zauzimaju suprotnu poziciju u odnosu na hederse i preuzimaju rizik u nadi da de
ostvariti profit od promene cene u njihovu korist), i arbitraeri (koji trguju izvedenim hartijama i nastoje
da ostvare zaradu na osnovu razlike u ceni izvedenih hartija na razliitim tritima izvedenih hartija ili po
osnovu razlike u ceni izvedenih i osnovnih hartija).
Prvobitno su se izvedene hartije odnosile na robu, dok se danas one osim na robu odnose i na dunike
hartije, kamatne stope, berzanske indekse, valute, pa ak i druge izvedene hartije. Osnovnim izvedenim
hartijama od vrednosti se smatraju:
Forvard ugovori
Fjuersi
Svopovi
Opcije
Ovaj rad se pre svega bavi opcijama, zatim problemom utvrivanja cena opcija, kao i simulacionim
modelima koji se koriste u tu svrhu. U prvom poglavlju dat je kratak pregled osnovnih pojmova vezanih
za simulaciju i simulacione modele, potreba koje dovode do nastanka simulacionih modela uopte, kao i
njenih prednosti i nedostataka . Drugo poglavlje predstavlja uvod u simulaciju u finansijama i proces
modeliranja u spreadsheet programima. Ukazuje na koristi od njene primene, kao i na negativne strane i
upozorava na najede greke koje korisnici mogu napraviti u ovom procesu. Trede poglavlje govori
neto vie o samim opcijama, njihovim vrstama, cenama, i njihovim osnovnim karakteristikama.
U naredna tri poglavlja koja predstavljaju sr ovog rada je detaljnije predstavljen svaki od simulacionih
modela koji se koristi za utvrivanje cena opcija, pa je tako, u etvrtom poglavlju, obraen
najrasprostranjeniji model za utvrivanje cena opcija, Binomni model. U nastavku ovog poglavlja je na
primerima predstavljen nain primene Binomnog modela u odreivanju cena Amerikih, Evropskih i
Nestandardnih opcija. Pored ovoga, obraeno je utvrivanje cena putem tzv. Cena stanja i Rizik-
neutralnih cena.
Peto poglavlje nam govori neto vie o Black-Scholes formuli za utvrivanje cena opcija, objanjava kako
se vri njen razvoj i implementacija u Excelu. Takoe, daje objanjenje kako se utvruje kritian
parametar ovog modela, a to je standardna devijacija prinosa na akcije osnovnih opcija, prikazuje kako
-
5
se vri korekcija modela za dividende, kao i kako se model koristi u odreivanju cena Struktuiranih
hartija.
U poslednjem poglavlju je obraen Monte Karlo metod, iji znaaj uoavamo kod odreivanja cene
sredstava za koje ne postoji analitiko reenje. Predstavljen je nain odreivanja cena za Azijske, Knockin
i Knockout opcija sa barijerom, koje su zavisne od putanje kojom se kredu.
-
6
1. Modeliranje i simulacioni modeli
U najirem smislu, modeliranje predstavlja isplativo koridenje modela umesto realnog sistema, sa ciljem
da se doe do odreenog saznanja. Rezultat modeliranja je model. (Markovid, Radenkovid, & Stanojevid,
2009, str. 1) Model predtsavlja uprodenu sliku stvarnosti, odnosno apstrakciju realnog sistema, koji
sadri sve njegove karakteristike koje su bitne za svrhu izuavanja. Znai, tokom procesa modeliranja
neophodno je izvriti izbor izmeu karakteristika sistema, nama znaajnih, koje de na model sadrati i
preostalih koji su za nae istraivanje irelevantni. Svaki model de ostaviti po strani itav niz detalja koji su
u realnosti sastavni deo sistema ili analizirane pojave. Na validnost modela (uspenost predstavljanja
realnog sistema modelom) de direktno uticati nivo apstrakcije u procesu modelovanja. Suvie sloeni ili
skupi modeli, uprkos svojoj sposobnosti da proizvedu gotovo ili potpuno iste rezultate kao i realni
sistemi, po pravilu su ili previe skupi ili neadekvatni za eksperimentisanje. S druge strane rezultati koji
se dobijaju previe jednostavnim modelima (koji ne predstavljaju na pravi nain realni sistem) mogu da
budu neadekvatni, te stoga dovesti do pogrenih zakljuaka.
1.1. Raunarska simulacija
Raunarska simulacija je proces reavanja problema koji se tie predvianja i odreivanja bududih stanja
realnog sistema na osnovu prouavanja raunarskog modela tog sistema (Widman & K.A.Loparo, 1989) .
Simulacijom se prouava ne samo ponaanje sistema koji simuliramo, ved i donoenje zakljuaka o tome
kako bi se isti sistem ponaao kada bi na njega delovao neki drugi skup ulaznih veliina i parametara.
Modeli prikupljaju podatke o promenama stanja sistema i izlaza, fokusirajudi se na ponaanje
individualnih komponenti sistema. (Schmidt, Introduction to Simulation, 1984)
Reenje problema ne dobija se primenom simulacionog modeliranja, ved vrenjem eksperimenata nad
samim modelom. Raunarski model predstavlja skup algoritama i jednaina koji se koriste da bi se
opisalo ponaanje sistema koji se modeluje. Nasuprot njemu, raunarska simulacija se odnosi na
izvravanje programa koji sadre date algoritme ili jednaine. Simulacija se, dakle, odnosi na rezultate
koji se dobijaju radom nad programom. Drugim reima, ne bismo imali izgradnju simulacije, ved
izgradnju modela i sprovoenje simulacije .
1.2. Potreba za simulacijom i mogudnosti primene
Vie je razloga zbog kojih se uopte jedan sistem zamenjuje modelom i zatim simulira, od kojih su
najvaniji slededi :
-
7
Eksperiment nad realnim sistemom moe da bude skup ili ak nemogud
Analitiki model nema analitiko reenje
Sistem moe da bude suvie sloen da bi se opisao analitiki (Naylor & all., 1966)
Eksperimentisanje sa realnim sistemom uglavnom je neisplativo ili suvie sloeno. Modeliranje,
sa druge strane moe da ukae na to da li je dalje ulaganje u eksperiment ekonomski opravdano
ili ne
Izgradnja modela i simulacija ponekad imaju za cilj da se shvati funkcionisanje postojedih
sistema ija je struktura nepoznata i ne moe joj se pridi
Prilikom iznalaenja optimalnog funkcionisanja nekog sistema, uobiajeno je da se menjaju razni
parametri. esto je to neizvodljivo sa realnim sistemom,bilo zato to takvog sistema uopte
nema (tek ga treba graditi) ili zato to bi takav eksperiment bio preskup i tada su gradnja modela
i njegova simulacija mogude reenje
Ponekad treba simulirati uslove pod kojima nastupa razaranje sistema
Vreme moe da bude vrlo jak razlog da se pribegne simulaciji
Pri simulaciji vreme se moe saeti, to je znaajno kod simulacije dugotrajnih procesa. U drugim
sluajevima vreme se moe znatno produiti
Kada se vri realni eksperiment, uvek postoji izvesna greka pri merenju usled nesavrenosti
mernih ureaja. Pri simulaciji, ove greke nema
Ponekad je poeljno zaustaviti dalje odvijanje eksperimenta kako bi se ispitale vrednosti svih
promenljivih u tom trenutku (Markovid, Radenkovid, & Stanojevid, 2009)
Neke od situacija u kojima se simulacija moe uspeno primeniti su sledede (Markovid, Radenkovid, &
Stanojevid, 2009) :
Simulacija omogudava prouavanje i eksperimentisanje koje uzima u obzir sveukupne interakcije
sloenog sistema ili podsistema u okviru sloenog sistema
Informacione i organizacione promene ili promene u okruenju mogu se simulirati, a ujedno se
mogu posmatrati i efekti tih promena na ponaanje modela
Znanje steeno u procesu izgradnje modela i simulacije moe biti od velikog znaaja prilikom
poboljanja sistema koji se ispituje
Menjanjem simulacionog ulaza i posmatranjem rezultujudih izlaza dolazimo do vanih saznanja o
tome koje su promenljive sistema najvanije i kako te promenljive utiu jedna na drugu.
Simulacija se moe koristiti i kao pedagoko sredstvo , sa ciljem da poboljava metodologije
analitikih sistema
Simulacija se moe koristiti za eksperimentisanje sa novim koncepcijama ili politikama pre nego
to se izvri njihova implementacija.
Simulacija se moe koristiti za verifikaciju analitikih reenja.
-
8
1.3. Prednosti i nedostaci simulacije
Osnovne prednosti koridenja simulacije su sledede (Schmidt & Taylor, Simulation and Analysis of
Industrial Systems, 1970):
Jednom izgraeni model moe se viestruko koristiti za analizu predloenih planova i politika.
Simulacione metode mogu se koristiti kao pomod kod analize ak i kada su ulazni podaci na neki
nain nepotpuni.
est je sluaj da se simulacioni podaci mogu mnogo jeftinije dobiti od slinih podataka iz realnog
sistema.
Simulacione metode lake je primeniti nego analitike metode. S toga je krug potencijalnih
korisnika simulacionih metoda znatno iri.
Analitiki modeli uglavnom zahtevaju mnogo vie pojednostavljujudih pretpostavki koje ih ine
matematiki prilagodljivijim. Simulacioni modeli takva odranienja nemaju.
U nekim sluajevima simulacija je jedino sredstvo za reavanje problema
Mogude je opisati i reavati sloene dinamike modele sa sluajnim promenljivim koji su
nedostupni matematikom modeliranju.
U osnovne nedostatke koridenja simulacije ubrajaju se (Law & Kelton, 1982) (Schmidt & Taylor,
Simulation and Analysis of Industrial Systems, 1970) :
Simulacioni modeli za digitalne raunare mogu biti skupi i mogu zahtevati znaajno vreme za
izgradnju i validaciju.
Zbog statistikog karaktera simulacije potrebno je izvoenje vedeg broja simulacionih
eksperimenata kako bi se dobio odgovarajudi uzorak rezultata simulacije, a ved i pojedinano
izvoenje eksperimenta moe zahtevati dosta vremena i raunarske memorije
Ne dobijaju se zavisnosti izlaznih promenljivih od ulaznih promenljivih modela, niti optimalna
reenja.
Za ispravno koridenje simulacionog modeliranja potrebno je poznavanje vie razliitih metoda i
alata.
Vrednovanje modela je dosta sloeno i zahteva dodatne eksperimente.
-
9
2. Simulacioni modeli u finansijama
Predvianje kao polazna taka u procesu planiranja predstavlja jednu od kljunih funkcija finansijskog
menadmenta. Ono predstavlja osnov za planiranje kapaciteta, proizvodnje,zalijha,ljudskih resursa,
prodaje, budeta itd.
Slika 1 : Finansijsko predvianje
Postoje brojni razlozi za koridenje finansijskih modela, a kao najbitniji se izdvajaju :
Ekonomska neizvesnost
Nedostatak resursa
Smanjivanje rasta produktivnosti
Politiki problemi
Problem u okruenju
Pojava meunarodne konkurencije
Nedostatak novca i inflacija
-
10
Finansijski model predstavlja sistem matematikih jednaina koje ukljuuju podatke i pravila, odnosno
logiku i opisuju meusobne veze izmeu finansijksih varijabli, kao i veze sa drugim varijablama od
znaaja. Karakreristike ovakvih modela su sledede :
Postoji jedna ili vie finansijskih promenljivih (trokovi, prihod, investicije, cash flow, porezi itd.)
Korisnik moe da postavi ili promeni vrednosti jedne ili vie finansijskih promenljivih
Osnovna svrha je da donosiocu odluke predoi posledice alternativnih vrednosti finansijskih
promenljivih i na taj nain utie na strateko finansijsko odluivanje
Vrste finasijskih modela :
1. Simulacioni ,koji omogudavaju dobijanje odgovora na razliite oblike scenarija tipa ta ako,
uzimajudi u obzir alternativne politike. Oni imaju za cilj da simuliraju efekte razliitih
menaderskih politika uzimajuzimajudi u obzir eksterno okruenje u kome egzistira preduzede.
2. Optimizacioni , koji imaju za cilj maksimizaciju ili minimizaciju funkcija cilja, kao to je na primer
sadanja vrednost profita ili trokova.
2.1. Modeliranje u spreadsheet programima
Spreadsheet program predstavljaju pogodno sredstvo za izradu finansijskih modela i izvoenje
simulacionih eksperimenata. U svakom spreadsheet modelu jedan od najvanijih koraka je process
ulanavanja. Prednosti modeliranja u ovim programima lee u njihovoj jednostavnosti male i srednje
spreadsheet modele korisnici mogu da razvijaju i koriste samostalno jer ne zahtevaju napredna
informatika znaja (samim tim nisu zavisni od programera). Dalje, vreme potrebno za izradu modela je
znatno krade u odnosu na druge alate, jer korisnici ne moraju da prolaze kroz tradicionalan proces
analize i dizajna. Oni takoe nude mogudnost programiranja dodatnih funkcija i opcija pomodu script
jezika (VBA u Microsoft Excel-u), a danas postoje i brojni add-in programi koji daju nove funkcionalnosti
ovim programima, inedi ih jos modnijim alatima za modeliranje i simulaciju.
Meutim, javljaju se i odreeni nedostaci vezani za njihovu upotrebu. Ovde se pre svega misli na
probleme pouzdanosti (stepen do koga spreadsheet model daje pouzdane izlaze zavisi od stepena
pouzdanosti koji je ugraen u model) , problem revizije (sposobnost da se isprate koraci koji su korideni
za dobijanje izlaza iz sistema) i problem lake izmene modela (mogudnost da se model lako menja i
poboljava i na taj nain odgovori na promenjene potrebe korisnika), kao i na slabu fleksibilnost (sistem
je obino opisan sa vie manjih spreadsheet modela pa nastale promene u sistemu treba uneti u sve
modele), problem saradnje sa drugim modelima (veza izmeu vie spreadsheet modela je slaba),
kontrola verzije modela (ne postoji mogudnost pradenja verzije modela), agregacija (spajanje vie manjih
modela u jedan vedi - ne postoji provera validnosti i tanosti pojedinanih modela ili su podaci u
pojedinim modelima drugaije formatirani) i problem modela u realnom vremenu (ukoliko postoji vedi
br manjih spreadsheet modela, moe se desiti da se ne mogu dobiti svi pokazatelji dovoljno brzo,
odnosno u realnom vremenu, da bi se donela odluka kao odgovor na promene uslova poslovanja.)
-
11
Slika 2 : ivotni ciklus razvoja spreadsheet modela
Promenljive u spreadsheet modelu
1. Unutranje promenljive su one na koje menadment moe da utie i ispolji odreeni stepen
kontrole, ukljuuju sve one promenljive na koje se utie u okviru kompanije
2. Spoljanje promeljive su one promenljive koje predstavljaju uticaj okruenja na kompaniju
3. Izlazne promenljive mere ekonomske i finansijske performance preduzeda. Izlaz moe biti jedna
deija modela ili skup delija - statistiki pokazatelji za odreene serije ili vremenska serija.
Ukoliko su ulazni parametri u posmatranom modelu izlazne promenljive iz nekog drugog modela,
njihove vrednosti moraju biti unapred odreene. Kada se radi o stohastiim modelima, kao to su
modeli za analizu rizika, promenljive se modeliraju pomodu raspodele verovatnode, a njihove vrednosti
se na sluajan nain uzorkuju iz date raspodele.
Najede greke koje se javljaju u spreadsheet modelima su mehanike greke (pogreni tipovi podataka
u delijama, pogreno ulanavanje delija, pogreno unesene formule), logike greke (koridenje
pogrenog algoritma ili matematikog modela se odraava na ceo model, zbog ulanavanja delija) i
izostavljanje (nisu unete sve promenljive).
-
12
3. Pojam i vrste opcija
Opcije predstavljaju vrstu terminskog ugovora koji njegovom imaocu daje pravo da kupi (proda)
odreenu robu, hartije od vrednosti ili fjuerse po odreenoj, unapred utvrenoj ceni u okviru
odreenog vremenskog perioda. Opcija daje pravo ali ne i obavezu da imalac neto uradi. Kupac opcije
de iskoristiti opciju samo ako je to rentabilno, u protivnom se opcija moe odbaciti, odnosno ne izvrava
se. Opcije se mogu odnositi na robu, plemenite metale, valute, hartije od vrednosti (akcije i obveznice),
fjuerse i indekse.
Svaka opcija podrazumeva postojanje tri uesnika: prodavca opcije, kupca opcije i brokera hartije od
vrenosti koji pronalazi kupca i prodavca i radi kao agent kako bi transakcija bila izvrena, dobija
posredniku proviziju.
Svaka opcija ima tri cene: cenu hartije koja je predmet opcije (fluktuirajuda cena hartije), opcionu
premiju ili kupovnu cenu (cena koju kupac opcije plada prodavcu) koja fluktuira u zavisnosti od trinih
uslova, izvrnu cenu (ugovorna cena koja predstavlja cenu po kojoj se od prodavca opcije moe legalno
zahtevati izvrenje opcije) koja se ne menja tokom veka trajanja opcije.
Izvrna cena opcije je predmet ugovaranja izmeu kupca i prodavca opcije. Po ovoj ceni prodavac opcije
mora da proda osnovnu hartiju kupcu opcije, ako je ugovorena kupovna opcija, odnsno po ovoj ceni on
mora da kupi hartiju od kupca opcije ako je ugovorena prodajna opcija, i to samo onda kada kupac
opcije iskoristi pravo iz opcije.
Opcijama se trguje na terminskim berzama efekata, od kojih je najpoznatija ikaka opciona berza.
Opcije imaju i vrednost koja se rauna tako to se od tekude cene hartije odbije izvrna cena . Trina
cena hartije moe biti via od vrednosti opcije i tada se govori o premiji. Ukoliko je cena hartije nia od
izvrne cene, opcija de imati negativnu vrednost, odnosno ukoliko je cena hartije via od izvrne cene,
opcija de imati pozitivnu vrednost. Shodno tome, kada je vrednost opcije negativna, premija je visoka.
Ukoliko je vrednost opcije jedanaka nuli, premija je pozitivna i dalje, kada je vrednost opcije ne samo
pozitivna nego i raste, premija se smanjuje.
Do prodaje opcije iznad nejne vrednosti, odnosno do smanjenja premije sa porastom cene opcije dolazi
zbog pekulativnog karaktera opcije, tj. injenice da opcija obezbeuje investitoru vedi stepen leverida
kada kupuje hartije od vrednosti, pri emu leverid predstavlja finansijsku pekulaciju sredstvima uzetim
u zajam po fiksnoj kamatnoj stopi, koja omogudava investitorima koji imaju mali iznos sredstava da
ostvare veliki dobitak za vrlo kratko vreme. Meutim, leverid omogudava i investitorima sa velikim
portfeljima da prodaju opcije na svoje hartije i zarade vrednost opcija i onda kada cene hartija ostanu
nepromenjene. Smanjenje efekta leverida i zatita od rizika pri visokoj ceni akcije delimino
objanjavaju zato se premija smanjuje sa rastom cene akcije.
Osim visoke zarade, opcije omogudavaju i zatitu ulaganja na tritu akcija kroz tzv. vezanu, odosno
branu pondu, to znai da se istovremeno kupuju akcije i prodajna opcija na iste akcije, tako da u
-
13
sluaju da cena akcije padne, vrednost prdajne opcije raste i deo gubitka se moe pokriti prodajom
prodajne opcije.
Na vrednost opcije, pored cene akcije i izvrne cene utiu i vreme do isteka vanosti opcije,
promenljivost cene utvrene hartije i nerizina stopa.
to je vreme do isteka vanosti opcije due, veda je i vrednost opcije i njena premija jer je trina cena
opcije via od vrednosti opcije, i obrnuto. Veda promenljivost cene utie i na porast trine cene akcije, s
obzirom da imaoci opcije ostvaruju dobitak ako cena hartije raste, ali imaju ogranieni gubitak ako cena
hartija padne na nulu. Opcija de vredeti vie to je nerizina stopa via, odnosno njena vrednost de se
smanjivati sa porastom ove stope i u tom sluaju izvrna cena predstavlja obavezu. Tekuda vrednost ove
obaveze se smanjuje sa povedanjem diskontne stope.
Jo jedan vaan element opcije je isplata, koja se razlikuje kod kupovnih u odnosu na prodajne opcije.
U sluaju kupovne opcije, opcija nede vredeti nita i bide odbaena ako je cena hartija nia od utvrene
izvrne cene, odnosno radide se o tzv. opciji na gubitku, s tim to de ukupan gubitak biti jednak iznosu
koji je pladen za ugovor o opciji. Meutim, ukoliko je trina cena hartija iznad izvrne cene, opcija de biti
iskoridena i radide se o tzv. opciji na dobitku, pri emu de veliina dobitka zavisiti od razlike izmeu
trine cene hartije i izvrne cene po odbitku iznosa koji je pladen za ugovor. Meutim, u sluaju
prodajne opcije, situacija je drugaija, s obzirom da kada je izvrna cena via od tekude cene hartije
kupac prodajne opcije moe kupiti hartije po nioj ceni a zatim ih prodati po vioj izvrnoj ceni i tako
ostvariti dobitak, koji je jednak razlici izmeu cene i iznosa koji je pladen za opciju. Ako bi trina cena
hartije bila via od izvrne cene kupac opcije ovu ne bi iskoristio i imao bi izdatak u visini pladene cene
opcionih ugovora. (Arsid, 2003)
3.1. Vrste opcija
Postoji veliki broj razliitih vrsta opcija. Takoe, postoje i razliiti kriterijumi za klasifikaciju opcija.
Prema tome da li kupcu daje pravo na kupovinu ili na prodaju osnovne hartije od vrednosti, opcija moe
biti:
1. Kupovna
2. Prodajna
3. Kupovna i/ili prodajna
Kupovna opcija je opcija koja kupcu daje pravo na kupovinu odreene koliine osnovne hartije od
vrednosti po odreenoj ceni na odreeni dan ili do isteka utvrenog roka. Ovu opciju kupac kupuje onda
kada oekuje rast cena. Sa druge strane, za prodavca opcije ovo znai obavezu da ako i kadankupac
iskoristi opciju, ovome po ugovorenoj ceni isporui navedene hartije. Kupovna opcija moe biti:
pokrivena i nepokrivena.
-
14
Pokrivena kupovna opcija postoji onda kada u trenutku prodaje opcije prodavac poseduje osnovnu
hartiju (zauzima dugu poziciju). Meutim, mogude je da u trenutku prodaje kupovne opcije njen
prodavac ne poseduje osnovnu hartiju, kad se radi o tzv. nepokrivenoj opciji. Ovde se radi o tzv. prodaji
na prazno, odnosno o nepokrivenoj poziciji prodavca opcije koja postoji sve dok on ne kupi osnovne
hartije ili dok ih ne vrati zajmodavcu od koga ih je uzeo na zajam.
Prodajna opcija je opcija po kojoj kupac ima pravo da proda prodavcu opcije odreenu koliinu osnovnih
hartija od vrednosti po utvrenoj izvrnoj ceni na utvreni dan ili do isteka utvrenog roka. Prodavac
opcije je duan da preuzme osnovne hartije od kupca i da mu za njih plati izvrnu cenu. Ova opcija se
obino kupuje kada se oekuje pad cena osnovne hartije.
Prodajna i/ili kupovna opcija je opcija po kojoj kupac moe da kupi ili da proda osnovnu hartiju od
vrednosti po izvrnoj ceni tokom perioda vanosti opcije pod uslovom da ukupna vrednost osnovnih
hartija ne prelazi vrednost utvrenu ugovorom o opciji. Prodavac opcije je duan da kupi osnovne hartije
ukoliko kupac iskoristi prodajnu opciju ili da proda osnovne hartije, ukoliko kupac iskoristi kupovnu
opciju, i to po izvrnoj ceni u periodu vanosti opcje.
Prema mogudnosti koridenja prava iz opcije, opcija moe biti:
1. Amerika opcija
2. Evropska opcija
Amerika opcija je opcija koja se moe iskoristiti u bil kom trenutku do isteka rka vanosti opcije ili moe
da ostane neiskoridena do tog roka. S obzirom da se ova opcija moe iskoristiti pre datuma isteka roa
vanosti, ona je skuplja od evropske opcije. Amerika opcija se naziva jo i opcijom na hartije kojima se
trguje na berzi, odnosno opcijom koja se nalazi na listingu berze opcija. Prenosive opcie imaju
standardizovanu izvrnu cenu i datume isteka vanosti, s tim to je najdui rok vanosti devet meseci, a
datumi isteka vanostgi su dati po kvartalima
Evropska ocija je opcija koju kupac moe iskoristiti samo na dan isteka utvrenog roka. Prodavac se ovde
ne izlae riziku da de opcija biti iskoridena u nekom trenutku pre datuma isteka vanosti opcije. Ove
opcije su jeftinije od amerikih opcija.
Prema odnosu izvrne i trine cene osnovne hartije, razlikuju se:
1. Opcija na istom
2. Opcija na dobitku
3. Opcija na gubitku
Opcja na istom je opcija ija je izvrna cena jednaka tekudoj trinoj ceni osnovne hartije od vrednosti.
Opcija na dobitku predstavlja kupovnu opciju ija je izvrna cena nia od trine cene osnovne hartije
od vrednosti ili prodajna opcija ija je izvrna cena via od trine cene osnovne hartije.
-
15
Opcija na gubitku je kupovna opcija ija je izvrna cena iznad trine cene osnovne hartije ili prodajna
opcija ija je izvrna cena nia od trine cene osnovne hartije.
Pored ovih postoje i restriktivne opcije koje se javljaju onda kada je trina cena osnovne hartije na
zatvaranju prethodnog dana po kupovnoj (prodajnoj) opciji bila ispod (iznad) njene izvrne cene za vie
od pet poena.
Postoji i tzv. trostruka opcija koja daje vede pravo kupovine ili prodaje od dvostruke opcije.
U praksi se javljaju i tzv. dugorone opcije na akcije sa rokom vanosti do tri godine, koje se zbog dugog
roka smatraju manje rizinim od ostalih opcija jer je potrebno vie vremena da cene akcija ili indeksa na
akcije dostignu oekivani nivo. Novac koji se nutedi kupovinom ovih opcija se moe investirati i u neto
drugo, a njihov glavni nedostatak je to cena akcija mora da dostigne oekivani nivo.
Danas se trguje opcijama na valute, kratkorone i dugorone dravne obveznice, indekse na akcije i
obveznice, fjuerse i svopove.
Kupovinom opcija na valute se tite oni koji su mnogo investirali u inostranstvu (vrednost njihovog
ulaganja zavisi od odnosa domade i drugih valuta) jer im one omogudavaju neutralisanje naglih promena
u deviznom kursu. Kupovinom opcija sa pravom kupovine strane valute moe se neutralisati gubitak na
investiciji ukoliko cena strane valute padne. Najede se trguje opcijama na amerike dolare, kanadske
dolare, britanske funte, evro, japanski jen i vajcarski franak.
Opcije na kratkorone i dugorone dravne obveznice se nazivaju i opcijama na kamatne stope, a
znaajne su zato to omogudavaju imaocima obveznica da zatite svoje investicije. Ovim opcijama se
moe neutralisati gubitak na vrednosti obveznice izmeu datuma kupovine opcije i datuma dospeda
obveznice. Ukoliko izvrna cena raste a datum isteka vanosti je dalji, i prodajna opcija na obveznice sa
pravom prodaje po utvrenoj ceni de vredeti vie. Kupovna opcija sa pravom kupovine obveznice de,
meutim vredeti vie to je izvrna cena nia i to je dali datum isteka vanosti opcije (jer kamatna stopa
raste a cena obveznice pada).
Opcije na indekse su prodajne i kupovne opcije ije premije su zasnovane na vrednosti trinog indeksa.
Pojedini trini indeksi su zasnovani na veoma diversifikovanoj listi akcija (npr. S & P kompozitni indeks),
dok su drugi indeksi zasnovani na malom broju homogenih hartija i nazivaju se subindeksima ili
industrisjkim indeksima. Opcje na subindekse se nazivaju subindeksnim opcijama.
Najtee je koristiti opcije na fjuerse na odreenu robu ili hartije jer je ovaj ugovor najudaljeniji od
osnovnog predmeta ugovora. Ove opcije imaju karakteristike i opcija i fjuersa. Opcija na fjuerse je
ugovor koji njegovom imaocu daje pravo, ali ne i obavezu da kupi ili proda fjuers po fiksnoj ceni
(izvrnoj ceni) do nekog utvrenog isteka vanosti. Opcija za kupovinu fjuersa se naziva kupovnom, dok
se opcija za prodaju naziva prodajnom ocijom. Njaede koridene opcije na fjuerse su opcije na
fjuerse obveznica koje imaju standardizovane uslove, koji se odnose na osnovnu hartiju i veliinu
ugovora, izvrnu cenu, datum isteka vanosti, stil, kotacije premije i pladanje margine. Ove opcije koriste
-
16
investitori koji nastoje da se zatite od rizika porasta ili pada kamatne stope kroz kupovinu ili prodaju
kupovnih ili prodajnih opcija.
Svop opcije ili opcije na svop predstavljaju ugovor koji kupcu daje pravo ali ne i obavezu da ue u svop
kamatne stope (valutni ili robni) koji ima utvrenu fiksnu kamatnu stopu (devizni kurs, cenu) na neki
datum u bududnosti. Kupac svop opcije za ovo pravo mora prodavcu platiti utvrenu premiju. Svop
opcije su vanberzanski ugovori koje koriste trini uesnici koji nastoje da iskoriste predsnoti svopa
kamatne stope, ali koji, takoe ele da ostvare korist i od povoljne promene kamatnih stopa. Korisnici
svop opcija su banke i korporacije, i to u cilju zatite od rizika promene kamatne stope i ostvarenja
profita od neutraliudih transakcijapekulacijama na tritu svopova.
Svopcije mogu biti kupovne i prodajne. Kupovne svopcije se nazivaju i svpcijama dunika. One kupcu
daju pravo da ue u svop pod prethodno utvrenim uslovima kao lice koje de isplatiti fiksnu stopu i primi
varijabilnu stopu od imaoca osnovnog svopa. Prodavac ove svopcije je obavezan da primi fiksnu stopu na
zahtev kupca. Imalac de ovu opciju izvriti ako je trina fiksna svop stopa koja preovladava o isteku
vanosti opcije via od izvrne stope, to mu omogudava da plati niu fiksnu stopu od trine i primi,
primera radi Libor. Na ovaj nain, kupac se titi od pada kamatnih stopa. Prodajne svopcije se nazivaju i
svopcijama primaoca, daju kupcu pravo da primi fiksnu kamatnu stopu ppod prethodno utvrenim
uslovima i plati varijabilnu stopu imaocu osnovnog svopa. Prodavac ove opcije de uz odgovarajudu
premiju koju mu kupac unapred plada morati da ue u svop, odnosno isplati kupcu fiksnu kamatnu stopu
na njegov zahtev. Kupac de ovu opciju izvriti samo ako je trina svop stopa nia od izvrne stope o
isteku vanosti opcije, tj. ako moe dobiti fiksnu stopu koja je via od trine i platiti primera, Libor. Na
ovaj nain se kupac titi od rasta kamatnih stopa. (Arsid, 2003)
-
17
4. Binomni model za odreivanje cene opcija
Pored Black-Scholes modela, Binomni model za odreivanje cene opcije je najrasprostranjeniji model
koji ima mnoge prednosti: jednostavan model, koji pored toga to daje uvid u cene opcija, lako se
programira i adaptira, esto i u prilino komplikovanim cenovnim problemima opcija. Kada ga proirimo
na vie perioda, Binomni model postaje jedan od najboljih naina vrednovanja hartija od vrednosti kao
to su opcije ije su isplate kontigent trine cene ostalih sredstava. Binomni model zavisi od koridenja
cena stanja za izraunavanje vrednosti rizine aktive. Binomni model je intuitivan i lak za
implementaciju.
4.1. Dva datuma Binomnog odreivanja cene
Da bismo ilustrovali koridenje Binomnih modela, ponimo sa slededim, veoma jednostavnim primerom:
Postoji jedan period i dva datuma; datum 0 - reprezentuje dananji datum, i datum 1 - koji reprezentuje
godinu dana od sada.
Postoje dva osnovna sredstva; akcije i obveznice. Takoe postoje i derivativna sredstva, Kupovne opcije
na akcije.
Cena akcije danas iznosi $50. Na datum 1 porade za 10% ili de pasti za 3%.
Kamatna stopa iznosi 6%.
Kupovna opcija dospeva na datum 1 i ima izvrnu cenu X = $50
Na slededoj slici demo prikazati ovaj model.
-
18
Slika 3: Binomno odreivanje cene opcije u One-Period modelu
elimo da odredimo cenu Kupovne opcije. Uradidemo to, pokazujudi da postoji kombinacija obveznica i
akcija koje tano preslikavaju isplatu Kupovnih opcija. Da bi pokazali ovu injenicu, koristidemo neke
osnovne linearne algebre; pretpostavimo da su A udeli u akcijama i B obveznice takve da
55A + 1.06B = 5
48.5A + 1.06B = 0
Ovaj sistem jednaina reidemo tako da dobijemo:
A = 5.4855
5
= 0.7692
B = 06.1
5.480 A= - 35.1959
Tako kupovina 0.77 udela nekih akcija i zaduivanje od $35.20 uz 6% za jedan period de doneti $5 ako
cena akcije poraste i $0 ako cena akcija padne isplata Kupovnih opcija. Dalje, sledi da cena opcije mora
biti jednaka trokovima preslikavanja njene isplate, to jest,
Cena Kupovne opcije = 0.7692$50 $35.1959 = $3.2656
Ova logika se naziva Cena po arbitrai. Ako dva sredstva, ili dva seta sredstava (u naem sluaju
Kupovna opcija i portfolio od 0.77 akcija i -$35.20 obveznica) imaju iste isplate, ona moraju imati istu
trinu cenu.
-
19
Slika 4: Odreivanje cene opcije kombinacijom akcija i obveznica
4.2. Korienje Cena stanja za utvrivanje cena opcija
Postoji i jednostavniji (optiji) nain da se rei ovaj problem. Gledno od danas, postoje dve mogudnosti
za slededi period: cena akcije ide ili gore ili dole. Razmislite o trinom odreivanju cene qU za $1 u
stanju rasta i qD za $1 u sanju pada. Onda cene i obveznica i akcija treba da se odrede koridenjem ovih
Cena stanja:
qU * R + qD * R = 1
Cene stanja su stoga ilustracija linearnog principa odreivanja cena:
Ako cena akcije u jednom period moe da se krede ka gore sa faktorom U i ka dole sa faktorom R, i ako je
1 + kamatna stopa za jedan period R, onda de se cena bilo kojeg drugog sredstva odrediti
diskontovanjem njegove zarade(isplate) , u stanju rasta sa qU, a u stanju pada sa qD.
Reavanjem prethodne dve jednaine dobijamo da:
qU = )( DUR
DR
, qD =
)( DUR
RU
-
20
Slika 5: Izvoenje Cena stanja
U redovima 11 i 12 utvrujemo da Cene stanja zaista vradaju kamatnu stopu i cenu akcija.
Sada moemo Cene stanja da koristimo za odreivanje cena Kupovnih i Prodajnih opcija, i takoe da
utvrdimo Prodajno Kupovnu jednakost. Kupovna i Prodajna opcije treba da budu po ceni:
C = qU max (S*U X, 0) + qD max (S*D X, 0)
P = qU max (X S*U, 0) + qD max (X S*D, 0)
Ili, ako odreujemo cenu primenom prodajno kupovne jednakosti:
P = C + PV(X) - S
Ovo demo predstaviti na slededo slici:
-
21
Slika 6: Primena Binomnog modela za odreivanje cene opcija, pomodu Cena stanja, u modelu
Jedan period-dva datuma
Formule koje koristimo (sa S = 50, X = 50, U = 1.10, D = 0.97, R = 1.06) su
C = qU max (S*U X, 0) + qD max (S*D X, 0) = 0.6531*5 + 0.2903*0 = 3.2656
za kupovne opcije, i
P = qU max (X S*U, 0) + qD max (X S*D, 0) = 0.6531*max (50 55,0) + 0.2903*max (50-48.5,0) =
0.4354 za prodajne.
Po teoriji prodajno kupovne jednakosti:
P + S = 0.4354 + 50 = C + R
X = 3.27 +
06.1
50.
-
22
4.3. Korienje Cena stanja ili Rizik neutralnih cena za utvrivanje cena
opcija?
Mnoenjem Cene stanja sa 1 + kamatna stopa R dobijamo Rizik-Neutralnu cenu: U = qUR,
D = qDR. Rizik neutralne cene izgledaju kao verovatnoda distribucije stanja, jer je zbir 1:
U + D = qUR + qDR = )( DUR
DR
R +
)( DUR
RU
R = 1
Osim toga, postoji bitna jednakost cena po Rizik neutralnim cenama i Cenama stanjama.
Pretpostavimo da sredstvo ima zavisnu isplatu XU u stanju rasta i XD u stanju pada u okviru Modela Dva
datuma. Cena sredstva u datumu 0, koristedi Cene stanja je qUXU + qDXD, a koristedi Rizik neutralne
cene, cena sredstva je diskontovana oekivana isplata, gde se oekivanje obraunava koristedi Rizik
neutralne cene, kao da su one stvarno stanje verovatnode:
R
XX DDUU = r
ojcenikneutrastvaporizisplatasredoekivana
1
ln= qUXU + qDXD
Ova dva prorauna su naravno jednaka. Neki autori preferiraju Cene stanja, ali postoje mnogi istraivai
koji vie koriste pseudo vervatnode Rizik-neutralne cena, a onda diskontuju oekivane isplate.
Ekvivalencija odreivanja cena po Cenama stanja i Rizik Neutralnim cenama
XU
Odreivanje cena po Cenama stanja qU*XU + qD*XD
XD
XU
Odreivanje cena po Rizik-Neutralnim cenama (U*XU + D*XD)/R
XD
Odnos izmeu Rizik-Neutralnih i Cena stanja: U = qU * R, D = qD * R
-
23
Slika 7: Donoenje odluke o upotrebi Rizik-neutralne ili Cene stanja
4.4. Multiperiod Binomnog modela
Binomni model moemo da proirimo na vie od jednog perioda. Uzmimo, na primer, u dva perioda (tri
datuma), binomni model koji de imati sledede karakteristike:
U svakom periodu cena akcija raste za 10%, ili pada za 3% od one koja je bila u prethodnom periodu.
Dakle, U = 1.10, a D = 0.97.
U svakom periodu kamatna stopa je 6%, tako da R = 1.06.
Poto su U, D i R isti u svakom periodu,
qU = )( DUR
DR
= 0.6531, qD =
)( DUR
RU
= 0.2903
Sada moemo da koristimo Cene stanja da bi utvrdili cenu Kupovnih opcija na akcije nakon dva perioda.
Kao i u prethodnom sluaju, jednog perioda, i ovde je poetna cena akcije $50, a izvrna cena Kupovne
opcije je X = 50. Ove pretpostavke daju slededu sliku:
-
24
Cena akcija Cena obveznica
60.5000 55.0000 50.0000 53.3500 48.5000 47.0450
1.1236 1.0600 1.00 1.1236 1.0600 1.1236
Datum 0 Datum 1 Datum 2
Cena Kupovnih opcija
10.5000 7.8302 5.7492 3.3500 2.1880 0.0000
Kako je cena Kupovne opcije od 5.7492 utvrena? Da bi se ona utvrdila krenudemo od drugog perioda:
Na datum 2: Na kraju dva perioda cena akcije je ili $60.50 (to odraava dva porasta cene), $53.35 (jedan
rast i jedan pad cene), ili $47.05 (dva pada cene).
Imajudi u vidu izvrnu cenu od X = 50, isplata opcije u drugom periodu de iznositi ili $10.50, $3.35, ili $0.
Na datum 1: Postoje dve mogudnosti: ili smo postigli stanje rasta, u kom sluaju je cena akcije $55, a
opcija de se u narednom periodu isplatiti $10.5 ili $3.35:
10.5000
???
3.3500
Koristimo Cenu stanja od qU = 0.6531, qD = 0.2903 da bismo odredili cenu opcije u ovom stanju:
Cena opcije u stanju rasta, na datum 1 = 0.653110.50 + 0.29033.35 = 7.8302
Alternativna mogudnost je da smo u stanju pada u period 1:
3.3500
???
0.0000
Koristedi iste Cene stanja ( koje izmeu ostalog zavise samo od kretanja cena akcija gore ili dole, i od
kamatne stope), dobijamo:
Cena opcije u stanju pada, na datum 1 = 0.65313.35 + 0.29030 = 2.1880
-
25
Na datum 0: Idudi unazad na ovaj nain dobijamo slededu sliku:
10.5000
7.8302
??? 3.3500
2.1880
0.0000
Dakle, u periodu 0 kupac opcije ima sigurnost da de opcija da vredi $7.83, ukoliko cena osnovne akcije
ostvari rast, i $2.19 ukoliko cena akcija ostvari pad. Ovde opet moemo da koristimo Cene stanja da
bismo utvrdili cenu opcije:
Cena opcije na datum 0 = 0.65317.830 + 0.29032.188 = 5.749
Slika 8: Binomno odreivanje cene opcije pomodu Cena stanja, u sluaju modela Dva perioda-tri
datuma
-
26
4.5. 1. Proirenje Binomnog modela za utvrivanja cena za vie perioda
Logiku odreivanja cena koju smo gore primenili moemo proiriti i koristiti za vie perioda. U narednom
primeru du pomodu Excel a grafiki prikazati Model pet datuma koristedi iste rastude i opadajude
parametre kao u prethodnom primeru:
Cena akcije
73.2050
60.5500
60.5000 64.5535
55.0000 58.6850
50.0000 53.3500 56.9245
48.5000 51.7495
47.0450 50.1970
45.6337
44.2646
Cena obveznice
1.2625
1.1910
1.1236 1.2625
1.0600 1.1910
1.0000 1.1236 1.2625
1.0600 1.1910
1.1236 1.2625
1.1910
1.2625
-
27
Kupovna cena
23.2050
19.3802
16.0002 14.5535
13.0190 11.5152
10.4360 8.8502 6.9245
6.6593 4.5797
3.0284 0.1970
0.1287
0.0000
Datum 0 Datum 1 Datum 2 Datum 3 Datum 4
Da li se stvarno mora idi unazad da bi se utvrdila cena opcija?
Odgovor je ne. Nije neophodno da se cene Kupovnih opcija utvruju unazad, za svaki vor od
poslednjeg datuma, sve dok su Kupovne opcije Evropske, dok je kod Amerikih opcija, koridenje
principa unazad od izuzetnog znaaja. Kod Kupovnih opcija je dovoljno utvrditi vrednost isplate za
svaki datum putem Cena stanja, pod uslovom da se pravilno izrauna broj putanja za svaki vor.
Ovu tvrdnju du prikazati na slededoj slici:
-
28
Slika 9: Binomno odreivanje cene opcije pomodu Cene stanja, u sluaju modela etiri perioda-
pet datuma
Da bi objasnili gornju sliku razmotridemo slededa pitanja:
1. Kako se krajnja isplata opcije ostvarila?
2. Koliko rastudih koraka su akcije ostvarile, i kolko opadajudih?
3. Kolika je cena isplate po dolaru u odreenom stanju?
4. Koliko je putanja sa istom krajnjom isplatom?
5. Koja je vrednost odreene krajnje isplate na datum 0?
6. Kolika je vrednost opcije na datum 0?
Odgovori:
Cena stanja = qU#up stepsqD#down steps
Odgovor je dao Binomni koeficijent (Broj perioda nad Broj rastudih koraka)
Odgovor je proizvod isplate, cene i i broja putanja.
Zbir vrednosti svake isplate.
Da rezimiramo:
Cena Evropskih Kupovnih opcija se u Binomnom modelu , sa n perioda dobija na slededi nain:
Kupovna cena =
q
iUq
nDmax (S * U
i Dn-i X,0)
Prodajna cena = {
q
iUq
n-iDmax (X S * U
iDn-i,0) Direktno odreivanje cene
-
29
Kupovna cena + nR
X- S Koridenjem Prodajno-Kupovne jednakosti
4.6. Odreivanje cena Amerikih opcija korienjem Binomnog modela
Binomni model moemo da koristimo za odreivanje cena Amerikih opcija, isto kao i kod odreivanja
cena Evropskih opcija. Ponovo demo razmotriti istu osnovu modela, u kojoj je Up = 1.10, Down = 0.97, R
= 1.06, S = 50, X = 50. Ispitademo verziju modela Tri datuma. Obrazac isplate akcija i obveznica je
prethodno dat, ostaje nam da razmotrimo obrazac isplate Prodajne opcija sa X = 50. Referencirademo
moguda stanja koristedi sledede oznake:
Oznake stanja
UU
U
0 UD ili DU
D
DD
Isplate Prodajnih opcija na datum 3
Ovde su vredosti akcija i isplate Prodajnih opcija na datum 3:
Cena akcije Isplate Amerikih Prodajnih opcija
60.5000 55.0000 50.0000 53.3500 48.5000 47.0450
0.0000 ???? ???? 0.0000 ???? 2.9550
Na datum 2 imalac Amerike Prodajne opcije moe da izabere da li de da zadri ili izvri opciju. Sada
imamo slededu funkciju vrednosti:
Prodajna vrednost na datum 2, stanje U
=max{
-
30
Slino vai i za vrednost Prodajnih opcija u stanju D, na datum 2. Kao rezultat dobijamo sledede drvo:
Isplate Amerikih Prodajnih opcija
0.0000
0.0000
???? 0.0000
1.5000
2.9550
U nastavku du dati objanjenje:
U stanju U, Prodajna opcija je bezvredna. Kada je cena akcije $55,neisplativo je izvriti opciju pre
roka dospeda obzirom da je max( X SU, 0 ) = max( 50 55, 0 ) = 0. Meutim, poto bududa
vrednost isplata Prodajne opcije u stanju U je 0, zavisna od stanja, sadanja vrednost ovih
bududih isplata je takoe 0.
U stanju D, imalac Prodajne opcije dobija max( 50 48.5, 0 ) = 1.5, ako izvri Prodajnu opciju,
meutim ukoliko je ne ostvari, njena trina vrednost je zavisna od stanja vrednost bududih
isplata:
qD 0 + qD 2.96 = 0.65310 + 0.29032.95 = 0.8578
Jasno je da je bolje izvriti Prodajnu opciju u ovom stanju, nego je ostaviti u njemu.
Na datum 0, funkcija vrednosti je slina:
Prodajna vrednostna datum 0 =
max{
U nastavku je tabela:
-
31
Slika 10: Odreivanje cene Amerikih kupovnih opcija u modelu Dva-perioda
4.7. Korienje Binomnog modela za utvrivanje cena Nestandardnih opcija
Binomni model moemo da koristimo i za odreivanje cena Nestandardnih opcija. Razmotridemo slededi
primer:
Pretpostavidemo da posedujete opciju da kupite udele(akcije) kompanije. Opcija se moe ostvariti pre
roka dospeda, ali cena izvrenja opcije varira u toku vremena u toku koga ste izabrali da ostvarite opciju.
Opcija ima sledede uslove:
Postoji n mogudih datuma izvrenja opcije (tj. Opcija se moe izvriti-iskoristiti samo na ove
datume)
Izvrenje opcije na datum t iskljuuje mogudnost izvrenja opcije na sve datume s > t. Meutim,
ukoliko ne iskoristite opciju na datum s, i dalje je moete izvriti na datum t > s.
Izvrna cena opcije na datum t je Xt. Drugim reima, izvrna cena opcije moe varirati tokom
vremena.
-
32
elimo da vrednujemo ove opcije koristedi Binomni okvir. Da bismo to uradili, uoavamo da su u osnovi
ovo u stvari Amerike opcije sa tri zasebne cene izvrenja. Ovaj problem demo predstaviti u narednoj
tabeli, koristedi logiku vrednovanja Amerikih opcija koju sam prethodno objasnila u poglavlju 4.6. :
Slika 11: Prikaz vremenski zavisne, izvrne cene opcije
Delije od B15 do H21 u gornjoj tabeli opisuju cene akcija tokom vremena, koje prate Binomni proces sa
Up = 1.10 i Down = 0.95 (delije B3 i B4).
Kao to je i uobiajeno za Amerike opcije, u svakom voru stabla razmatramo da li je vrednije
(isplatljivije) opciju izvriti ili zadrati. Imajte na umu da na ovoj slici izvrna cena varira vremenom, tako
da izvrna cena na datum 3 je E5 = 112, na datum 2 je E4 = 105 i na datum 1 je E3 = 100. Kao to
moemo videti, vrenost Amerike opcije je 8.368, delija B28. (PROCTOR, 2010)
-
33
5. Black Scholes model za utvrivanje cene opcija
U lanku koji je objavljen 1973., Fisher Black i Myron Schols su predstavili formulu za izraunavanje cene
Evropskih Kupovnih i Prodajnih opcija na akcije na koje se ne plada dividenda. Ovaj njihov model je
izuzetno poznat u modernim finansijama. Black Scholes formula je relativno jednostavna za koridenje,
a esto je najadekvatnija aproksimacija cene komplikovanijih opcija.
U nastavku du vam predstaviti razvoj ovog modela; to zahteva poznavanje stohastikih procesa i
znaajnih matematikih ulaganja. U nastavku du prikazati mehaniku modela i kako se sprovodi u Excelu.
Takoe du prikazati nekoliko primera upotrebe Black Scholes modela u vrednovanju strukturirane
imovine.
Black Scholes formula za utvrivanje cena opcija je jedna od najmodnijih inovacija u oblasti finansija.
Izuzetno je iroka upotreba ove formule, koristi se sa jedne strane za utvrivanje cena opcija, a sa druge
strane kao konceptualni okvir za analizu kompleksnih hartija od vrednosti.
Razmotrimo akcije ija cena ima lognormalnu raspodelu. Black Scholes model koristi sldedu formulu za
utvrivanje cene Evropskih Kupovnih opcija na akcije:
C = SN(d1) XerTN(d2), gde d1 =
T
TrXS
)2/()/ln( 2
d2 = d1 T
Ovde C oznaava cenu Kupovne opcije, S je cena osnovne akcije (hartije), X je izvrna cena Kupovne
opcije, T je vreme do dospeda opcije, r je kamatna stopa, i je standardna devijacija logaritma prinosa
na akcije. N () oznaava vrednost standardne normalne raspodele. Pretpostavlja se da se dividenda na
akcije nede isplatiti pre datuma T. Prema Prodajnokupovnoj teoremi jednakosti, Prodajne opcije na
iste akcije, sa istim datumom izvrenja T i cenom izvrenja X de imati cenu P = C S + Xe-rT. Zamenom C u
ovoj jednaini i ukoliko uradimo neke algebra dobijamo Black Scholes formula za izraunavanje cene
Evropskih Prodajnih opcija:
P = Xe-rT N(d2) SN(- d1)
Numeriki je dokazano u poglavlju o Binomnom modelu, da se Black Scholes formula poklapa sa
formulom Binomnog modela za odreivanje cene opcija, kada se duina tipinog perioda pribliava nuli,
rastuda i opadajuda kretanja u Binomnom modelu konvergiraju ka lognormalnom procesu cene i
struktura kamatne stope je ravna.
-
34
5.1. Implementacija Black Scholes formule u Excel tabeli
Black Scholes formulu za odreivanje cena Kupovnih i Prodajnih opcija je vrlo lako sprovesti u Excel
tabeli. Slededi primer pokazuje kako da se izrauna cena Kupovnih opcija na akcije ija je trenutna cena S
= 50, kada je izvrna cena opcije X = 45, kamatna stopa na godinjem nivou r = 4%, i = 30%. Opcija ima
T = 0.75 godina do dospeda opcije. Pretpostavljamo da su sva tri parametra, T, r i na godinjem nivou.
Slika 12: Odreivanje cene opcije pomodu Black-Scholes formule
U tabeli je cena Prodajne opcije izraunata dva puta: u deliji B15 koridenjem Prodajna-Kupovna
jednakosti, a u deliji B16 koridenjemdirektne Black-Scholes formule.
Excel moemo da iskoristimo da bi sproveli i Analizu osetljivosti. Prikazadu kako sa promenom cene
akcije S varira i Black-Scholes cena Kupovna opcije u poreenju sa sutinskom (osnovnom) vrednosti =
Max (S X, 0).
-
35
Slika 13: Black-Scholes cena VS Sutinska vrednost opcije
5.2. Izraunavanje podrazumevane nepredvidljivosti (nestabilnosti)
Black-Scholes formula zavisi od pet parametara: Cene akcije S, cena izvrenja opcije X, vreme do dospeda
opcije T, kamatne stope r, standardne devijacije prinosa na akcije osnovnih opcija (Sigma). etiri prva
parametra su jasni, meutim, peti parameter je problematian. Postoje dva uobiajena naina za
izraunavanje :
moe da se izrauna na osnovu istorijskih prinosa na akcije
moe da se izrauna na osnovu podrazumevane nepredvidljivosti akcija
5.2.1. Sigma istorijskih prinosa
Na narednoj slici su prikazane cene opcija na Nasdaq index QQQQ ,28. Jula 2006.
-
36
Slika 14: Cene opcija na Nasdaq index QQQQ
Index cena opcija
Istorijske cene i rezultati istorijskih nestabilnosti su prikazani u slededoj tabeli:
-
37
Slika 15: QQQQ istorijske cene
Na osnovu dvomesenih dnevnih podataka, na godinjem nivou QQQQ sigma iznosi 21.51%. Imajte na
umu da se rezultat zasniva na pretpostavci o 250 trgovakih dana godinje, mnogi koriste i 365 dana, to
naravno daje vedu .
-
38
Slika 16: Odreivanje cena QQQQ opcija, koridenje istorijske nepredvidljivosti
U poreenju sa stvarnim cenama, ova slika ukazuje na to, da Istorijske nepredvidljivosti(nestabilnosti)
donekle deklariu nestabilnosti u kojoj opcije imaju stvarnu cenu. Meutim, nije jasno koji su korektni
istorijski podaci. Ako, na primer, koristimo dnevne podatke za dve godine da bi utvrdli Istorijsku
nestabilnost za QQQQ, dolazimo do mnogo nieg broja:
-
39
Slika 17: QQQQ Istorijske cene
5.2.2. Podrazumevana nepredvidljivost ( nestabilnost)
Nepredvidljivost (nestabilnost) koja implicira ignorie istoriju; umesgto toga ona odreuje opcije na
osnovu stvarne cene opcije. Dok je istorijska nestabilnost u stvari unazad posmatrana nestabilnost,
podrazumevana nepedvidljivost(nestabilnost) obuhvata dalekovidne procene.
Da bi procenili podrazumevanu nepredvidljivost za Avgust 2006, QQQQ Kupovna opcija na istom,
potrebno je reiti Black-Scholes formula za (Sigmu) koja daje trenutnu trinu cenu:
Slika 18: Podrazumevana nepredvidljivost za Avgust 2006 QQQQ opcije
-
40
Podrazumevana nestabilnost je 17.96% . To daje trinu cenu Kupovne opcije od $0.75 (to moemo
videti u deliji B15) i trinu cenu Prodajne opcije od $0.55 (delija B16). Problem je reen koridenjem
Solvera:
Slika 19: Koridenje Solvera u izraunavanja podrazumevane nepredvidljivosti
5.3. Korekcija Black-Scholes modela za dividende
Black-Scholes formula podrazumeva da je osnovna sigurnost za opcije da se ne ispladuje nikakva
dividenda pre datuma izvrenja T. U nekim sluajevima je lako napraviti korekciju modela za dividende.
U ovom delu du predstaviti takve dve korekcije: Prvo demo sagledati odreivanje cena opcija kada su
budude dividende poznate sa sigurnodu, a onda ispitati odreivanje cena opcija kada je osnovna
sigurnost kontinuirano ispladivanje dividendi.
5.3.1. Poznata dividenda koja se plaa pre isteka opcije (prestanka vaenja)
esto se deava da je bududa dividenda na akcije poznata u vreme kada se trguje opcijama. To je
najedi slulaj onda kada je dividenda ved najavljena(saoptena), ali takoe moe da se desi jer se na
mnoge akcije pladaju prilino redovne i relativno nefleksibilne dividende. U ovom sluaju, cena opcija ne
-
41
bi trebala da se zasniva na trenutnoj ceni akcije S, ved na ceni akcije umanjenoj za sadanju vrednost
dividende ili oekivanih dividendi pre datuma isteka opcije T.
U nastavku du prikazati primer:
Coca-Cola (simbol za akcije KO) plada kvartalno dividende, u Martu, Junu, Septmbru i Novembru svake
godine. Dividende izgledaju prilino stabilno na datum 28. Jul 2006., poslednje dve dividende su bile
$0.31 po akciji.
Izraunavanje podrazumevane nestabilnosti za Januar 2007. Kupovne i Prodajne opcije na Coca-Cola
akcije pokazuje da uzimanje u obzir oekivanih dividendi dovodi do znaajne razlike u cenama. Takoe,
moemo da zakljuimo na osnovu blizine cena koje uzimaju u obzir dividende nasuprot rastojanja
izmeu cena koje ne uzimaju u obzir dividende, da su prve tane.
Period 0 Period t, isplata
dividende
Period T, vreme
isteka opcije
Cena akcije = S Div max[ST-X,0]
Cena akcije PV (div) = S
Div*exp[-rt]
-
42
Slika 20: Odreivanju cena kupovnih i prodajnih opcija na Coca-Cola akcije
5.3.2. Korekcije za kontinuirane isplate dividendi: Mertonov model
U ovom poglavlju du predstaviti Merton model za odreivanje cena opcija na akcije na koje se
kontinuirano pladaju dividende. Kontinuirane dividende mogu da izgledaju kao udna pretpostavka. Ali
korpa akcija kao to je S & P 500 indeks ili Dow Jones 30 se najbolje moe aproksimirati pretpostavkom
o kontinuiranoj isplati dividendi, obzirom da postoji mnogo akcija i obzirom da komponente indeksa
manje ili vie ispladuju svoje dividende tokom godine.
Pod pretpostavkom da imamo kontinuirani prinos od dividendi k, Merton je predstavio slededu formulu
za izraunavanje cena Kupovnih opcija:
C = SekTN(d1) XerTN(d2) gde,
d1 = T
TkrXS
)2/()/ln( 2
d2 = d1 - T
-
43
Ovaj model se koristi u narednoj tabeli za utvrivanje cene fonda kojim se trguje, koji prati S & P 500
indeks:
Slika 21: Mertonov model za utvrivanje cena opcija
Mertonov model se esto koristi za utvrivanje cena Valutnih opcija. Pretpostavimo da uzmemo opciju
na evro. Opcija odreuje kurs dolara za evro ( u slededem primeru Kupovna opcija nam omogudava da
kupimo 10.000 evra u 0.0575 godina, po kursu $1.285 za evro). Osnovno sredstvo ove opcije je
bezbednosna kamatna stopa koja se plada u evrima sa kamatnom stopom r.
Slika 22: Odreivanje cene Valutnih opcija
-
44
5.4. Korienje Black-Scholes formule za utvrivanje cene Struktuiranih
hartija
Strukturirane hartija predstavlja argonski izraz za harije od vrednosti koje ukljuuju kombinaciju
osobina akcija, opcija i obveznica.
5.4.1. Jednostavne struktuirane hartije: Zatita glavnice plus uee u pozitivnim trinim
kretanjima
Jednostavne i popularne struktuirane ponude garantuju povradaj investitorove glavnice plus neka ueda
u pozitivnim trinim kretanjima. Evo primera: Homside banka nudi svojim klijentima sledede Zatita
glavnice, potencijal za rast hartije. (PPUP)
Poetno ulaganje u hartiju je $1,000.
Kamata se ne plada na ove hartije.
Za pet godina PPUP hartija de obezbediti povradaj od $1,000, plus 50% od povedanja indeksa S &
P 500. Oznaavanje cene indeksa kao S0 danas, i kao St za pet godina, povradaj na PPUP se moe
prikazati kao:
$1,000 [
]
Da bismo analizirali PPUP, prvo demo da prepiemo isplatu o dospedu kao:
$1,000 [
] = $1,000 + $1,000 *
0
%50
S* max (St S0,0)
Povradaj na bezkuponske obveznice Povradaj na Kupovne opcije na istom
Ovo pokazuje da se povradaj na PPUP hartije sastoji od dva dela:
1. $1,000 povradaja glavnice. Obzirom da ne postoji kamata koja se plada na ovu glavnicu, njena
vrednost danas je sadanja vrednost povradaja isplate sa nerizinom kamatnom stopom, $1,000
* e-rT, gde je r kamatna stopa i T = 5 je vreme dospeda PPUP.
2. $1,000 * 0
%50
Sputa dananja vrednost Kupovne opcijena istom na S & P 500.
Moemo da koristimo slededu tabelu da bismo odredili cenu ove hartije:
-
45
Slika 23: Analiza jednostavno struktuiranog proizvoda
Vrednost struktuirane hartije je kao to vidimo iz tabele $941.32. Ova vrednost ima dve komponente:
1. Sadanja vrednost dela obveznica na PPUP je $778.80.
2. Vrednost od $1,000 * 950
%50 Kupovna opcija na istom na S & P je $162.52.
Imajudi u vidu parametre u delijama od B2 do B7, PPUP je precenjena prodaje se za $1,000, dok bi
njena trina vrednost trebala da bude $941.32. Drugi nain razmiljanja o struktuiranim hartijama je da
se izrauna njihova podrazumevana nestabilnost: Koja vrednost sp de dati trinu vrednost PPUP od
$1,000? GoalSek ili Solver mogu da ree ovaj problem:
Slika 24: Analiza jednostavno stuktuiranog proizvoda
-
46
5.4.2. Korienje Black Scholes formule za komplikovanije struktiuirane hartije
Pretpostavimo da elite da kreirate hartiju sa slededim modelom isplate:
Strategija isplate
X1
X1 X2 St
Model isplate se povedava (dolar po dolar) kao to se cena o roku dospeda osnovnih sredstava povedava
izmeu 0 ST X1. Izmeu X1 i X2, model isplate je ravan, za vrednosti kada je X2 ST, isplata se ponovo
povedava dolar po dolar sa cenom osnovnih sredstava. Matematika formula za ovaj model isplate:
X1 max(X1 ST, 0) +max(ST X2, 0)
Da bi dokazali da ova formula stvara grafik,
X1 max(X1 ST, 0) +max(ST X2, 0) =
{
1 1 T T T 1
1 1 T 2
1 T 2 2 T
Isplata na Prodajne opcije Isplata Kupovnih opcija
-
47
Dalje du predstaviti malo komplikovaniji model isplate:
Y
X1 X2
Poetni deo isplate ima nagib Y/X1, drugi vedi deo modela isplate ima nagib Y/X2. Ovaj model isplate je
kreiran pomodu sledede formule:
Y - 1X
Y max (X1 ST, 0) +
2X
Y max (ST X2, 0)
Isplata 1X
Y Prodajnih opcija Ispalata
2X
YKupovnih opcija
Da bi dokazali da je ovo zaista isplata opcija,
Y - 1X
Y max (X1 ST, 0) +
2X
Y max (ST X2, 0) =
Isplata 1X
Y Prodajnih opcija Ispalata
2X
YKupovnih opcija =
=
{
1X
Y( 1 T ) TS
X
Y
1
T 1
1 T 2
2X
Y( T 2 )
2X
Y T 2 T
-
48
Kao primer za ovu vrstu isplate struktuiranih hartija, naredna slika prikazuje tabelu za struktuirane
hartije izdate od strane ABN-AMRO banke . Isplata na ove Airbag hartije zavisi od vrednosti StoXX50
indeksa Evropskih akcija. Dalje demo predstaviti detalje:
Datum izdavanja: 24. Mart 2003
Datum dospeda: 24. Mart 2008
Cena: 1,020
Isplata na datum dospeda:
Isplata o roku dospeda:
=
{
(
pocetnaStoxx
odospecuStoxx
50
50)
(pocetnaStoxx
odospecuStoxx
50
50)
Prepoznajemo da je ova hartija kao hartija iju smo isplatu prethodno objasnili i koja izgleda kao :
Y - 1X
Y max (X1 ST, 0) +
2X
Y max (ST X2, 0)
Isplata obveznice 1X
YProdajne opcije sa
2X
Ykupljena Kupovna opcija sa cenom izvrenja X2
cenom izvrenja X1
gde je X1 = 1,618.50, X2 = 2,158, i Y = 1,000.
U nastavku demo Excel-u prikazati isplatu. Delija B7 prikazuje definiciju isplate datu od strane Airbag
akcionara(izdavaoca) , i delija C8 prikazuje isplatu opcije o dospedu definisanu u prethodnim formulama.
Podaci u delijama od A13 do B29 pokazuju da su ove dve definicije jednake:
-
49
Slika 25: ABN-AMRO list za njegov Euro Stoxx50 Airbag hartija
-
50
Slika 26: ABN-AMRO AIRBAG
Da bi videli kako se odreuju cene Airbag hartija, koristidemo Black-Scholes model i utvrditi Stoxx50 nestabilnost koja proizilazi iz Airbag cena:
-
51
Slika 27: Odreivanje cene ABN-AIRBAG hartija, utvrivanje podrazumevane nestabilnosti
Airbag hartiju su prilino stabilne, njihova cena ne varira vise od 10% za irok spektar . (PROCTOR, 2010)
-
52
6. MONTE KARLO METOD ZA UTVRIVANJE CENA OPCIJA
Monte Karlo metode su eksperimentalne tehnike za utvrivanje numerike vrednosti funkcije.
Monte Karlo metode predstavljaju spektar sluajnih (nasuminih) simulacija,koje se koriste za
utvrivanje vrednosti parametara. Monte Karlo metoda ima svoje korene u fizici, gde se esto koristi za
utvrivanje vrednosti modela za koje ne postoji analitiko reenje. Upotreba Monte Karlo metode u
finansijama je slina: Monte Karlo koristi simulaciju da utvrdi cenu sredstava ije cene ne moemo lako
utvrditi analitikim putem. Ukratko ukoliko ne postoji formula za utvrivanje vrednosti imovine, moda
moemo utvrditi njenu vrednost simulacijom.
Jasno je da kategorija opcija za koje ne postoj analitiko reenje ne ukljuuje obine - vanila evropske
kupovne i prodajne opcije, iju cenu moemo utvrditi koridenjem Black Scholes metode. Ipak, mnoge
opcije su komplikovanije od ovih.
Generalno, ovu metodu treba izbegavati kada postoji jo jedan, zatvoren oblik, nain utvrivanja
vrednosti. U sluajevima kada ne postoji takva metoda moete koristiti Monte Karlo za aproksimaciju
vrednosti.
U ovom poglavlju du prikazati kako se utvruje cena Azijskih opcija i Opcije sa barijerom. Azijske opcije
imaju isplatu koja zavisi od prosene cene osnovng sredstva za period pre roka dospeda opcije, a isplata
Opcije sa barijerom zavisi od osnovne cene koja dostie odreeni nivo u nekom trenutku pre roka
dospeda.
Obe, i Azijske i Barrier opcije su opcije zavisne od putanje opcije ija cena ne zavisi samo od
terminalne (krajnje) cene sredstava, ved i od putanje cena kojom je dostignuta krajnja cena. Generalno,
opcije zavisne od putanje nemaju analitiko reenje za utvrivanje cena. Monte Karlo nam obezbeuje
zgodan, numeriki alat za utvrivanje cena ovakvih opcija.
Utvrivanje cena Monte Karlo metodom zavisi od simulacije cenovne putanje osnovnog sredstva.
6.1. Odreivanje cena Obinih-vanila, kupovnih opcija korienjem Monte
Karlo metoda
Sa jedne strane, koridenje Monte Karlo metode za ove oopcije bi predstavljao veliki gubitak vremena,
obzirom da Black Scholes formula daje sjajno reenje za utvrivanje cena Evropskih kupovnih i
prodajnih opcija, a sa druge strane odreivaje cene obinih-vanila, kupovnih opcija koridenjem Monte
Karlo metode nam daje uvid u znaajnu primenu ove metode.
-
53
Primer:
Poinjemo sa veoma jednostavnim primerom. Koristimo Monte Karlo da bi utvrdili cenu Evropskih
kupovnih opcija za dva perioda, u kojima se cena akcije ili raste ili opada, u svakom periodu. U slededoj
tabeli koristimo Monte Karlo metode da bi utvrdili cenu opcije na istom na akcije ija je dananja cena
S0 = 50. Postoje dva perioda, i u svakom periodu cena akcije ili raste ili opada, a kamatna stopa je R =
1.05.
Up = 1.4
Down = 0.9
SUU = 98 = 50 * 1.42
SU = 70
S0 = 50 SUD = SDU = 63 = 50 * 1.4 * 0.9
SD = 45
SDD = 40.5 = 50 * 0.92
Datum 0 Datum 1 Datum 2
Slika: Drvo cene akcije u standardnom kombinujudem Binomnom modelu
U narednoj tabeli du prikazati dve nasumine putanje cene i nain njihvog utvrivanja:
-
54
Slika 28: Jednostavna simulacija: Dve putanje u modelu dva datuma
Cene stanja i rizik-neutralne verovatnode su izraunate u delijama od B10 i B11, i B14 i B15. Delije od B18
do B19 i delije od C18 do C19 pokazuju dve nasumine putanje cena. U svakom periodu koristimo
nasumino izabran br. putem Excel funkcije Rand. Ako je Rand() > D, onda cena akcije raste, i ako je
Rand() D, onda cena akcije opada.
U prvoj cenovnoj putanji (delije B18 i B19), cena akcije opada u oba perioda. Krajnja cena akcije je 40.5, i
isplata opcije je 0.
U drugoj putanji (delije C18 i C19), cena akcije opada u prvom periodu, dok u drugom raste. Krajnja cena
akcije je 63 i isplata opcije je 13.
Ako su ovo bile dve nasumino izabrane putanje cena, Monte Karlo cena opcije bi bila diskontovani
prosek 5.8957. Izraunali smo i stvarnu cenu kupovne opcije koristedi Cene stanja, i ta cena iznosi
8.8707.
-
55
Moramo obratiti panju na vanost rizik-neutralne verovatnode u Monte Karlo simulaciji. Putanja cene je
odreena, ne na osnovu stvarnih verovatnoda ved putem rizik-neutralne verovatnde U i D. Stvarne
verovatnode nemaju znaaja kod Monte Karlo metode utvrivanja cena opcija.
Proirenje modela Dva-perioda
Monte Karlo simulacije ne moe da se pokrene koristedi samo dve putanje cene. U slededoj tabeli su
proirene cenovne putanje.
Slika 29: Jednostavna simulacija u modelu dva datuma
Prosena diskontovana isplata je 8.3900. Ova vrednost je nasumina, to znai da de se promeniti svaki
put kada pritisnemo taster F9 na tastaturi koji proizvodi novi set sluajnih staza. Monte Karlo metode
podrazumevaju da bi za jo vie putanja pribliavali se ka stvarnoj ceni od 8.8707.
-
56
6.2. Utvrivanje cena Azijskih opcija
Azijska opcija je opcija ija isplata zavisi na neki nain od prosene cene sredstva tokom odreenog
vremenskog perioda koji prethodi trenutku isteka opcije. Azijske opcije se ponekad nazivaju Opcije
prosene cene. Postoje dve osnovne vrste Azijskih opcija:
Kod prve vrste Azijskih opcija, isplata opcije je zasnovana na razlici izmeu prosene cene
osnovnog sredstva i izvrne cene: max *Prosena cena osnovnog sredstva Izvrna cena, 0+.
Primeri na Slikama 30 i 31 koje predstavljaju ugovore o trgovini naftom na NYMEX-u, i prosena
cena opcija kojima se trguje (TAPO) na Londonskoj berzi metala su ovakve opcije.
Kod druge vrtse Azijskih opcija, opciona izvrna cena je prosena cena osnovnog sredstva tokom
perioda koji prethodi dospedu opcije: max *Krajnja cena osnovnog sredstva - Prosena cena
osnvnog sredstva, 0]. Ovakve, proseno izvrene opcije su uobiajene na tritu elektrine
energije. One pomau hedersima iji se primarni rizici odnose na prosenu cenu osnovnog
sredstva.
Azijske opcije su naroito korisne kada korisnik prodaje osnovno sredstvo(predmet opcije) tokom
perioda i zbog toga je izloen prosenoj ceni i kada postoji opasnost od manipulacije cenom osnovnog
sredstva. Azijske opcije ublaavaju ovaj efekat manipulacije, bududi da se one ne zasnivaju na jednoj
ceni, ved na itavom nizu cena.
Slika 30: Prosena cena opcija na naftne derivate kojima se trguje na NYMEX-u.
-
57
Slika 31: Azijske opcije na bakar kojima se trguje na Londonskoj berzi metala (LME)
6.2.1. Poetni primer Azijskih opcija
U nastavku du razmotriti Azijsku opciju na akcije ija se cena ili povedava za 40% ili smanjuje za 20% u
svakom periodu. Posmatramo pet datuma, poev od datuma 0:
-
58
Slika 32: Azijske opcije
Da bismo izraunali vrednost opcije prvo raunamo svaku cenovnu putanju. Postoji takvih 16 putanja.
Slededa tabela pokazuje svaki put, prosenu cenu akcije tokom putanje, isplatu opcije, i rizik-neutralnu
verovatnodu tokom putanje:
-
59
Slika 33: Odreivanje cene Azijskih opcija
Putanje su odreene po broju i redosledu kretanjaakcija ka gore i dole. Za objanjenje du izdvojiti dve
putanje cene:
Du putanje ,up, down, up, up- krajnja cena akcije je 65.86, prosena cena je 43.70, isplata
opcije je 13.70, i diskontovana oekivana vrednost koristedi rizik-neutralne cene je 0.5461.
-
60
Slika 34: Primer putanje cene {UP, DOWN, UP, UP}
Prosena cena akcije tokom putanje je 43.699, tak da je isplata opcije = max[43.699 30,0] = 13.699.
Du putanje ,up, up, down, up- krajnja cena akcije je ista kao i pre: 65.86. Meutim, prosena
cena i na taj nain isplata i vrednost opcije su razliite:
-
61
Slika 35: Primer putanje cene {UP, UP, DOWN, UP}
Ove dve putanje prikazuju na ta se misli kada se kae da je cena Azijskih opcija zavisna od putanje: Dve
putanje obe kredu sa poetnom cenom akcije od 30 i zavrava sa 65.856 ove putanje imaju razliite
isplate opcije jer prosena cena akcije tokom putanja razliita.
Ovaj primer nam takoe, ilustruje i tekode u odreivanju cena Azijskih opcija Svaka pojedinana
putanja se mora reiti(baviti se njom), a postoji 16 pojedinanih putanja. Ova linjenica razlikuje Azijske
opcije od obinih opcija (obinih-vanila opcija).
Da bismo utvrdili cenu Azijske opcije, priloili smo rizik-neutralnu verovatnodu svakoj putanji cene:
-
62
Slika 36: Rizik-neutralna verovatnoda na svaku putanju cene
Cena opcije je vrednost oekivane diskontovane isplate, gde se oekivanja obraunavaju sa rizik-
neutralnim verovatnodama:
n
japujeSvepu
R
jiijenapuIsplataopc tan*tantan
= 5.3756
Cena svake putanje je utvrena na osnovu njene diskontovane rizik neutralne verovatnode, koja je
funkcija rasta (Up),pada (Down) i kamatne stope (R). Stvarne, State verovatnode ovde nisu relevantne.
6.3. Utvrivanje cena Opcija sa barijerom Monte Karlo metodom
Utvrivanje cena opcija sa barijerom putem Monte Karlo metode i nije nuno dobra ideja.
Isplata Opcija sa barijerama zavisi od toga da li cena dostie odreeni nivo u toku veka trajanja opcije:
Knockin kupovne opcije sa barijerom imaju isplatu max (ST X, 0), jedino ukoliko u nekom
periodu vai t < T, ST > K. Knockin prodajne opcije imaju iste uslove, ali isplata je max(X ST, 0).
-
63
Knockout kupovne ili prodajne opcije sa barijerom imaju ove isplate pod uslovom da u jednom
trenutku pre T cena akcije dostigne barijeru.
Nametanje barijera oteava mogudnost za opcije da budu opcije na dobitku o isteku roka dospeda;
stoga opcije sa barijerom imaju manju vrednost od redovnih opcija.
6.3.1. Jednostavan primer za kupovne opcije sa barijerom
U nastavku du predstaviti primer za knockout opcije sa barijerom, koji je slian primeru za Azijske opcije
koji sam gore prikazala u poglavlju....
Slika 37: Utvrivanje cene Knockout opcija sa barijerom
U ovom primeru smo modelirali kupovne opcije sa pet datuma, etiri perioda. Barijera je 50. Knock
out opcija se isplati samo ukoliko cena nikada ne pree barijeru. U jednaini
Isplata Barrier knockin kupovne opcije =
={ [ T ] T
-
64
Isplata Barier knockout kupovne opcije
={ [ T ] T
Knockout kupovne opcije sa barijerom koje su ovde predstavljene se isplate samo kada se dve stvari
dogode simultano:
Cena akcije ne prelazi barijeru. Ovaj rezultat se javlja za sve putanje oznaene sa TRUE u koloni
M. Da bismo proverili ovaj uslov u deliji M17, koristi se Bulova funkcija ( = MAX (G17:K17) <
$B$7). Ova funkcija ima vrednost TRUE ili FALSE, u zavisnosti od toga da li je uslov ispunjen.
Ostale delije u koloni M koriste slian uslov. Kada se koristi u formuli kao u taki 2, Bulova
funkcija ima vrednost 1, ukoliko je TRUE i 0 ako je FALSE.
Krajnaj cena akcije ST je veda od izvrne cene opcije od 30. U deliji O17 koristimo uslov M17 *
MAX (K17 - $B$6,0) za procenu isplate opcije.
a) Ako je M17 jednako nuli (to znai da je ST > 50 negde tokom putanje, i opcija je knocked out
izbaena), i onda se opcija ne ispati.
b) Ukoliko je M17 jednako 1 (to znai da je ST < 50 tokom putanje), tada opcija ima standardnu
kupovnu isplatu od max( ST X, 0).
Kao i u prethodnim sluajevima koe sam gore predstavila, vrednost kupovnih opcija sa barijerom je
oekivana diskontovana isplata opcija, gde su verovatnode rizik neutralne verovatnode:
Vrednost opcije = 4
tan
R
Isplata jjjasvas
=1.7375
6.3.2. Knockin kupovne opcije sa barijerom
Promenom uslova u kloni O moemo utvrditi cenu Knockin kupovne opcije sa barijerom. Ovog puta
demo pisati (u deiji O17 na primer) funkciju = (1 M17) * MAX (K17 - $B$6, 0). Vrednost u deliji M17
utvruje da li barijera nije nikada prevaziena(proena); ako je ovo FASE netano (tj. ima vrednost
0), onda je opcija knocked in-oborena i isplata je kao kod regularnih kupovnih opcija. Ukoliko je M17
TRUE tano, to znai da barijera nije preena i opcija se ne isplati:
-
65
Slika 38: Utvrivanje cene Knockin opcija sa barijerom
U tabeli za knockout i knocin opcije sa barijerom predstavljen je drugi princip za utvrivanje cena opcija
sa barijerom: cena knockin plus konckout kupovne opcije jednaka je ceni regularnih obinih vanila
kupovnih opcija:
-
66
Slika 39: Utvrivanje cene obinih vanila opcija putem Knocin i Knockout opcija
Monte Karlo simulacione metode za utvrivanje cene opcije putem iznalaenja mnogih putanja cena
akcija je drugi najbolji nain za utvrivanje cena opcija, ali u sluajevima gde nema dostupnih analitikih
formula. U ovom poglavlju sam predstavila Monte Karlo metode za obine vanila opcije, Azijske opcije,
i opcije sa barijerama. (PROCTOR, 2010)
-
67
7. ZAKLJUAK
Hartije od vrednosti i njihovo trite imaju veliki znaaj u drutvu svake zemlje u kojoj je razvijeno robno
novano trite. U svetu postoji tendencija porasta znaaja hartija od vrednosti iz razloga sve sloenijih
odnosa zbog stalnog porasta vrednosti koje se nalaze u robno novaanoj funkciji. Hartijama od vrednosti
se zadovoljavaju razne potrebe privrede, a derivativne (izvedene) hartije od vrednosti igraju znaajnu
ulogu u kontrolisanju rizika, tzv. hedingu portfolia, kao znaajnom delu upravljanja investicijama u
hartijama od vrednosti.
Takoe, ovo trite karakterie ogromna kompleksnost: promene koje nastaju su rapidne, a transakcije
koje se na njima zakljuuju su velike po vrednosti. Njihova globalizacija, odnostno stvaranje globalnog
meunarodnog finansijskog trita iji su delovi meusobno telekomunikaciono povezani , dovelo je do
stvaranja takvog sistema u kome se informacije prenose gotovo trenutno, a iji je uticaj na trite i cene
na njima direktan i momentalan.
Znaaj finansijksih simulacionih modela u procesu finansijksog odluivanja je mnogostruk. Oni
omogudavaju da se kompleksni finansijski prorauni smeste u neke jednostavnije modele za iju de
upotrebu korisnicima biti dovoljna neka osnovna znanja. Takoe, korisnici ne moraju posedovati
napredna informatika znanja da bi ove modele svakodnevno koristili za obradu velike koliine
informacija i podataka i sprovoenje razliitih analiza.
Tri modela za utvrivanje cena opcija obraena u ovom radu, kao i njihova implementacija u program
Excel, pristupaju problemu utvrivanja cene iz razliitih perspektiva i na razliite naine. Takoe, iz gore
navedenih primera moemo da zakljuimo da Excel umnogome doprinosi ovoj oblasti, kao vrlo efikasan
u raznim proraunima. Sam rad u Excelu je jednostavan i dostupan svima, a rezultati se bre dobijaju i
smanjuje se verovatnoda greke.
Na kraju, iz gore prikazanog moemo da zakljuimo da su Binomni model, kao i Black-Scholes formula
pogodniji i jednostavniji u ovoj oblasti, dok Monte Karlo metod treba koristiti za utvrivanje cena kada ni
jedna od gore navedenih nije ostvariva, i treba je izbegavati kad god postoji neki drugi nain utvrvanja
vrednosti.
-
68
8. LITERATURA
Arsid, d. V. (2003). Trite hartija od vrednosti. Beograd: Fakultet organizacionih nauka, Jove Ilida 154,
Beograd.
Law, A. M., & Kelton, J. S. (1982). Simulation modeling and Analysis. New York: McGraw-Hill.
Markovid, A., Radenkovid, B., & Stanojevid, M. (2009). Raunarska simulacija (T. IV). Beograd: Univerzitet
u Beogradu, Saobradajni fakultet i Fakultet organizacio