sincronizacion de sistemas´ electronicos con sistemas

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

Centro de Investigacion y Desarrollo en Tecnologıa Digital

CITEDI-IPN

Sincronizacion de SistemasElectronicos con Sistemas

Mecanicos

Tesis que para Obtener el Grado de Doctor en Comunicaciones y ElectronicaPresenta:

Sinuhe Imuris Benıtez Escobar

Bajo la Direccion de: Dr. Leonardo Acho Zuppa

Tijuana, B.C. 21 de agosto de 2007

Sincronizacion de Sistemas Electronicos con Sistemas MecanicosSinuhe Imuris Benıtez EscobarTesis Doctoral ESIME-CITEDI-IPN.

Contenido:

Abstract i

Resumen i

Lista de Figuras v

Lista de Tablas vii

1 Introduccion 11.1 Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Justificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 Metodologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.5 Organizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Introduccion a Sistemas Caoticos 52.1 Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Caracterısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Propiedades de los Sistemas Caoticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4 Herramientas para Prueba de Caoticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4.1 Exponentes de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4.2 Mapas de Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Sistemas Jerk y Metodo de Caotificacion 193.1 Sistemas JERK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Caotificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4 Desarrollo de Osciladores Caoticos 234.1 Oscilador Van der Pol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.1.1 Diseno de Sistema JERK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2 Caotificacion del oscilador de Van der Pol . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.2.1 Oscilador Propuesto 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.2.2 Oscilador Propuesto 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2.3 Prueba de Caoticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.3 Implementacion del Primer Oscilador Propuesto . . . . . . . . . . . . . . 31

4.3.1 Simulacion en Computadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.3.2 Implementacion Electronica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5 Sincronizacion de Sistemas Mecanicos con el Oscilador Caotico Propuesto 395.1 Sincronizacion del Oscilador Propuesto 1 con un Motor de CD . . . . . . 39

5.1.1 Resultado Experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6 Diseno de Obervadores Discontinuos 456.1 Diseno de Observador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.1.1 Analisis numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Conclusiones 55

Bibliografıa 57

Lista de Figuras:

2.1 Atractor extrano del sistema de Lorenz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Atractor extrano del sistema de Chua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 Atractor extrano del sistema de Chen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4 Atractor extrano del sistema de Rossler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.5 Sistema de Lorenz inicializado con diferentes condiciones iniciales. . . . 112.6 Sistema de Chua inicializado con diferentes condiciones iniciales. . . . . 122.7 Sistema de Chen inicializado con diferentes condiciones iniciales. . . . . 122.8 Sistema de Rossler inicializado con diferentes condiciones iniciales. . . . 132.9 Mapa de Poincare. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.10 Mapa de Poincare del sistema de Lorenz con el plano de Poincare x1 vs

x2 en x3 = 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.11 Mapa de Poincare del sistema de Chua con el plano de Poincare x1 vs x2

en x3 = 20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.12 Mapa de Poincare del sistema de Chen con el plano de Poincare x2 vs x2

en x1 = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.13 Mapa de Poincare del sistema de Rossler con el plano de Poincare x1 vs

x2 en x3 = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.1 Ciclo limite del oscilador de Van der Pol. . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2 Ciclo limite de la representacion JERK del oscilador de Van der Pol. . . . 264.3 Atractor extrano en 3-D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.4 Diagrama de fase: x2(t) versus x1(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.5 Ciclo limite producido por la dinamica del sistema JERK de la ecuacion

modificada de Van der Pol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.6 Atractor Caotico generado por el sistema propuesto. . . . . . . . . . . . . 294.7 Diagrama de fase: x2 vs x1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.8 Diagrama de fase: x2 vs x3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.9 Diagrama de fase: x1 vs x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.10 Mapa de Poincare: seccion x1 vs x2 en x3 = 2 . . . . . . . . . . . . . . . 324.11 Mapa de Poincare: seccion x2 vs x3 en x1 = 3. . . . . . . . . . . . . . . 324.12 Diagrama esquematico: x1, x2, y x3 son senales de voltaje de salida ref-

erenciadas a tierra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.13 Resultados de la simulacion con PSpice: Plano de fase. . . . . . . . . . . 344.14 Repuesta temporal x1(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.15 Repuesta temporal x2(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.16 Repuesta temporal x3(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.17 Espectro de la senal x1(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.18 Espectro de la senal x2(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.19 Espectro de la senal x3(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.20 Diagrama de fase: x2 vs. x1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.21 Diagrama de fase: x1 vs. x3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.22 Diagrama de fase: x2 vs. x3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.1 x1(t), q(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.2 x1(t), q(t), con perturbaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.3 Error de seguimiento entre el primer estado del observador y la posicion

del motor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.1 Error entre el primer estado del observador y el oscilador. . . . . . . . . . 516.2 Error entre el segundo estado del observador y el oscilador. . . . . . . . . 516.3 Error entre el tercer estado del observador y el oscilador. . . . . . . . . . 526.4 Sincronizacion entre el primer estado del oscilador y el observador. . . . . 526.5 Sincronizacion entre el segundo estado del oscilador y el observador. . . . 536.6 Sincronizacion entre el tercer estado del oscilador y el observador. . . . . 53

Lista de Tablas:

2.1 Exponentes de Lyapunov obtenidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.1 Obtencion de parametros del prototipo electronico . . . . . . . . . . . . . 33

Resumen:Dos nuevos osciladores caoticos fueron desarrollados utilizando la dinamica del sistemade Van der Pol inmersa en una arquitectura JERK; i.e., una ecuacion diferencial de tercerorden. La caotificacion de esta version JERK del sistema de Van der Pol fue posible alintroducir terminos de inovacion en la representacion espacio de estados y el ajuste deparametros proporcionales, la caotificacion fue verificada utilizando mapas de Poincare yexponentes de Lyapunov. Utilizando uno de estos osciladores caoticos como una fuentegeneradora de senales caotica, se desarrollo un sistema de control de seguimiento de unmotor de corriente directa utilizando un algoritmo TWISTING. El algoritmo de controlTWISTING demostro ser adecuado para el objetivo de control trazado y evidenciado enexperimentos armados en laboratorio, donde el oscilador caotico fue construido utilizandodispositivos de electronica analogica.

Abstract:Two new chaotic oscillator were developed by using the Van der Por dynamic immersedinto a JERK architecture; i.e., a third-order differential equation. The chaotification ofthis JERK version of the Van der Pol system was possible by the introduction of innova-tion terms into the state-space representation and the proportional parameters adjustment,chaotification was verified using the Poincare’s maps and Lyapunov’s exponents. Em-ploying one of these chaotic oscillators as a source on chaotic signals, tracking controlof DC motor was designed employing the TWISTING algorithm. TWISTING controlproved to be adequate to ours control objective and evidenced in experiments armed inlaboratory, where the chaotic oscillator was built utilizing analog electronics.

Introduccion 1

1.1 AntecedentesDurante las ultimas tres decadas el estudio del comporatmiento caotico en sistemas nolineales dinamicos ha sido un tema de gran estudio e interes, [1]. Cada dıa se encuen-tran un mayor numero de sistemas no lineales que pueden presentar, bajo ciertas cir-cunstacias, comportamiento caotico, como puenden ser: el comportamiento del cerebrohumano, el latido del corazon, algunos sistemas mecanicos, el sistema climatologico, elcomportamiento de una partıcula, algunos procesos quımicos, entre otros tantos, (ver, porejemplo [2], [3]).

Caotificacion o anti-control, significa crear comportamiento caotico donde y cuando seade utilidad. Ejemplos de sistemas donde se puede encontrar o utilzar el comportamientocaotico pueden ser: en el mezclado de lıquidos, el cerebro humano, regulacion del latidodel corazon, prevencion de resonancia en sistemas mecanicos, sistemas de cominucacionseguras, (ver [4, referencias]). El desarrollo de nuevos osciladores caoticos han sido re-portado en [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], y [12]; entre muchos otros.

1.2 JustificacionDebido a un gran numero de aplicaciones de sistemas con comportamiento caotico, ver[13] y [14], y dado a que no todos los sistemas no lineales presentan comportamientocaotico, la caotificacion o anti-control de sistemas no caoticos ha tomado gran relevancia,como se puede ver en [6] y su bibliografıa.

2 CAPITULO 1

Pero la implementacion fısica de los prototipos derivados de los sistemas a los cuales seles habıa inducido un comportamiento caotico, conducian a implementaciones electronicascomplicadas, donde era necesario utilizar un gran numero de dispostitivos electricos yelectronicos o en algunos casos, era imposible desarrollar un prototipo electronico de losmismos; por esto, en anos recientes el desarrollo de osciladores caoticos de facil imple-mentacion electronica ha cobrado gran auge tal y como se muetra en [8]. En [9] J.C.Sprott muestra varios sistemas caoticos con implementacion electronica sencilla, estossistemas son derivados de la implementacion fısica de sistemas polinomıales de terce or-den o conocidos tambien como sistemas JERK.

1.3 Objetivo

El presente trabajo de investigacion tiene como objetivo, el proponer nuevos sistemascaoticos, desarrollar por lo menos uno en laboratorio, y luego, utilizarlo como generadorde trayectorias caoticas con aplicaciones a motores de corriente directa.

1.4 Metodologıa

Para lograr el objetivo planteado en este trabajo de investigacion, se utilizara el osciladorde Van der Pol para obtener nuevos sistemas que presente comportamiento caotico.

El oscialdor de Van der Pol ha sido utilizado para el diseno de osciladores caoticos, comoes mostrado en [15], [16] y [17], entre otros. Para obtener un arquitectura JERK de laecuacion de Van der Pol, este se convierte en un sistema de tercer orden al agregar unnuevo estado. Una vez obtenida su representacion en espacio de estados, se agreganterminos de inovacion en el espacio estados de la ecuacion, y por medio del ajuste de lasganancias de la parte lineal, se obtiene un oscilador de facil implementacion electronicacon comportamiento caotico.

La confirmacion teorica de comportamiento caotico, despues de la coatificacion de sis-temas, es verificada por medio de los exponentes de Lyapunov y mapas de Ponicare. Esuna practica usual el obtener informacion sobre la complejidad de una senal por mediode la correlacion entropica y su dimension [18], en este trabajo, solo los exponentes deLyapunov y mapas de Poincare fueron obtenidos. De igual forma, el circuito electronicoderivado de este nuevo sistema, fue simulado con el paquete de computo PSpice, dondese obtuvieron las senales del sistema y el espectro de Fourier, observandose el compor-tamiento caotico. Por ultimo, el prototipo electronico simulado en PSpice fue constru-ido en laboratorio comprobandose comportamieto caotico del oscilador por medio de lasgraficas de osciloscopio analogico.

INTRODUCCION 3

Por ultimo, se presenta la sincronizacion del primer estado de uno de los osciladores prop-uestos con la posicion del eje de un motor de corriente directa, por medio de teorıa delalgoritmo TWISTING [19] y [20]. Las principales ventajas del algoritmo TWISTING,aparte de la gran robustez reconocida, ver [21] y [22], son su gran desempeno y conver-gencia en tiempo finito.

1.5 OrganizacionEste trabajo esta organizado de la siguiente manera, el Capıtulo II da una introduccion alos sistemas caoticos, el capıtulo III define un sistema JERK y la caotificacion de sistemas.El capıtulo IV trata el desarrollo de osciladores caoticos. En el capıtulo V se realizala sincronizacion de los osciladores caoticos con sistemas mecanicos. El capıtulo VImuestra el diseno de un observador discontinuo inedito para lograr la sincronizacion desistemas con la metodologıa maestro – esclavo. Por ultimo, en el Capıtulo VII, se dan lasconclusiones.

Introduccion aSistemas Caoticos

2

2.1 Antecedentes

Los sistemas caoticos representan una clase de modelos con comportamiento no peri-odico que difieren de los modelos estocasticos, debido a que pueden ser representadospor ecuaciones diferenciales, [1]. Donde con un conocimiento del estado actual del sis-tema, el modelo determinıstico puede predecir la trayectoria futura por un periodo largoarbitrario, mientras el modelo estocastico no puede hacer dicha prediccion. Hablando demanera general, aun para un periodo arbitrariamente corto, el error de prediccion de unmodelo caotico crece de manera exponencial y, concecuentemente, una prediccion puedeser hecha solo para un tiempo limitado definido por el error de prediccion admisible, [1].Los procesos en los modelos caoticos tienen la forma de oscilaciones no regulares, dondeambos, la frecuencia y amplitud varian, [2].

Antes del siglo XX, las ecuaciones diferenciales lineales fueron los principales mode-los matematicos de las oscilaciones en los sistemas mecanicos, electricos, entre otros.Hasta ya inciado el siglo XX, se vio de manera clara que los modelos de oscilaciones lin-eales fallan al describir de manera adecuada los nuevos modelos y procesos fısicos y de laingenierıa. La teorıa de las oscilaciones no lineales, fueron iniciadas por A. Poincare, B.Van der Pol, A.A. Andronov, N.M. Krylov y N.N. Bogolyubov, [1]. La mas importantede las contribuciones de esta teorıa fue la relacionada al ciclo lımite, [1]. Aun el modelono lineal mas sencillo permite describir oscilaciones complejas tal como las oscilacionesde relajacion, que son, parecidas a oscilaciones rectangulares, tomando en cuenta varia-ciones en la forma de las oscilaciones dependiendo de las condiciones iniciales (sistemascon varios ciclos limites), [1]. Los modelos de oscilaciones lineales y no lineales conciclos lımites satisfacieron las necesidades de los ingenieros por varias decadas. Se creıaque estos modelos describian todos los posibles tipos de oscilaciones de los sistemas de-

6 CAPITULO 2

terminısticos, [1]. Esta conviccion fue sostenida por los encuentros matematicos. Porejemplo, el ya conocido teorema de Poincare-Bendixson dice que el estado de equilibrioy el ciclo lımite son los unicos tipos posibles de movimientos estables en sistemas con-tinuos de segundo orden, [1].

A mediados del siglo pasado, los matematicos M. Cartwright, J. Littlewood, y S. Smale[1] establecieron que este no es el caso para los sistemas de tercer orden, donde movimien-tos complejos, tal como, oscilaciones no perıodicas acotadas, fueron observados en estossistemas. En 1963, el fısico E. Lorenz revoluciono el estudio de los sistemas no linealescontinuos, demostrando que la naturaleza cualitativa de las turbulencias atmosfericas, esrepresentable por un modelo no lineal de tercer orden mas sencillo, [23]:

x = σ(y − x),

y = rx− y − xz,

z = −bz + xy.

(2.1)

Para el siguiente valor de parametros: σ = 10, r = 97, y b = 8/3, el sistema (2.1) parecetener oscilaciones no regulares. Las trayectoria en el espacio de estados puede aproximara un conjunto lımite (Atractor) con una forma muy sofisticada. La atencion de los fısicos,matematicos, y posteriormente de los ingenieros, fue atraido a este tipo de modelos porel trabajo de D. Ruell y F. Takens [24], quienes llamaron a estos atractores (atractoresextranos), y tambien por el trabajo de Li y Yorke [25], quienes introdujeron el terminoCaos para designar el fenomeno no regular en los sistemas determinısticos. El resultadoprincipal de [25] es un caso especial del teorema del matematico A.N. Sharkovrkii que fuepublicado en 1964, y las bases fundamentales para el estudio de los sistemas caoticos sedesarrollo en los anos 1960-1970. Desde entonces, a la fecha, el comportamiento caoticofue encontrado un numerosos sistemas mecanicos, fısica de laser, quımica, biologıa ymedicina, circuitos elctronicos, entre otros, [1, y en sus referencias].

2.2 CaracterısticasExtrictamente hablando, movimientos caoticos se dan cuando las trayectorias del sistemaestan acotadas de manera global y localmente inestable [1]. En los sistemas caoticos, unadivergencia pequena inicial de las trayectorias, no permanece pequena, si no que crece demanera exponencial [1]. El espectro de frecuancia de la trayectoria caotica es continua[1]. En varios casos tales oscilaciones no regulares y no periodicas representan mejor losprocesos en sistemas fısicos.

Acontinuacion se dan las definiciones en [1] para tratar sistemas caoticos.

INTRODUCCION A SISTEMAS CAOTICOS 7

Definicion 1 Un atractor es llamado caotico, si esta acotado y cualquier trayectoria ensu inicio es una trayectoria inestable en el sentido de Lyapunov.

Definicion 2 Un sistema es llamado caotico si por lo menos tiene un atractor caotico.

La principal caracterıstica de las oscilaciones caoticas es conocida como “supersensibili-dad” o “dependencia sensitiva” de las condiciones iniciales: cualquier par de trayectoriascercanas se alejan de entre ellas en una distancia finita.

El teorema Poincare-Bendixson, muestra que un atractor extrano puede solamente serobtenido en sistemas dinamicos continuos si tiene tres o mas dimensiones, [1]. Estarestriccion no se puede aplicar a sistemas discretos, [1]. Los cuales puedes exhibir atrac-tores extranos en dos o aun en sistemas de una dimension. A continuacion se presentanlos atractores extranos mas mencionados.

Sistema de Lorenz:

x1 = σ(x2 − x1),

x2 = rx1 − x2 − x1x3,

x3 = −bx3 + x1x2.

(2.2)

Para el siguiente valor de parametros: σ = 10, r = 97, y b = 8/3 y condiciones inicialesx1(0) x2(0) x3(0) = −14.772 − 4.6602 43.5162, se obtiene el atractor extranomostrado en la Figura 2.1.

−15−10

−50

510

15

−20−10

010

20

0

10

20

30

40

50

x1

x2

x 3

Figura 2.1: Atractor extrano del sistema de Lorenz.

8 CAPITULO 2

Sistema de Chua:

x1 = α(x2 − f(x1)),

x2 = x1 − x2 − x3,

x3 = −βx2 − γx3,

f(x1) = bx1 + a−b2

[|x1 + 1| − |x1 − 1|].

(2.3)

Para el siguiente valor de parametros: α = 4.6, β = 6.02, γ = 0.032 a = −1/7, y b = 8/3y condiciones iniciales x1(0) x2(0) x3(0) = 0.46614 0.066858 − 0.46044, se ob-tiene un atractor extrano como se puede apreciar en la Figura 2.2.

−4

−2

0

2

4 −1

−0.5

0

0.5

1−10

−5

0

5

10

x2

x1

x 3

Figura 2.2: Atractor extrano del sistema de Chua.


Sistema de Chen:

x1 = a(x2 − x1),

x2 = (c− a)x1 + cx2 − x1x3,

x3 = x1x2 − bx3.

(2.4)

Para el siguiente valor de parametros: a = 35, b = 3, c = 28 y condiciones inicialesx1(0) x2(0) x3(0) = −7.9032 − 6.1712 28.85, se obtiene el atractor extranomostrado en la Figura 2.3.

010

2030

4050

−40

−20

0

20

40−30

−20

−10

0

10

20

30

x1

x2

x 3

Figura 2.3: Atractor extrano del sistema de Chen.

10 CAPITULO 2

Sistema de Rossler:

x1 = −(x2 + x3),

x2 = x1 + αx2,

x3 = α + x3(x1 − µ).

(2.5)

Para el siguiente valor de parametros: α = 0.2, µ = 4.3, c = 28 y condiciones ini-ciales x1(0) x2(0) x3(0) = −4.841 4.266 0.025206, se obtiene el atractor extranomostrado en la Figura 2.4.

−10

−5

0

5

10

−10

−5

0

5

100

2

4

6

8

10

12

14

x1

x2

x 3

Figura 2.4: Atractor extrano del sistema de Rossler.


2.3 Propiedades de los Sistemas CaoticosPor lo que, para que un sistema sea considerado caotico, debe tener las siguientes propiedades,[1]:

(a) Ser sensible a las condiciones iniciales.(b) Soluciones acotadas.(c) Comportamiento tipo “aleatorio”.

Estas caracterısticas se pueden apreciar en los siguientes sistemas caoticos como sigue:

Sistema de Lorenz:

Se simularon dos trayectorias del sistema y mostradas en la Figura 2.5, donde la lınea con-tinua es para las condiciones iniciales x1(0) x2(0) x3(0) = −14.772,−4.6602, 43.5162,y la lınea punteada para x1(0) x2(0) x3(0) = −14.772,−4.1602, 43.5162.

0 5 10 15 20 25−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

Tiempo [s]

x 1 (t)

Figura 2.5: Sistema de Lorenz inicializado con diferentes condiciones iniciales.

Sistema de Chua:Se simularon dos trayectorias del sistema y mostradas en la Figura 2.6, donde la lınea

continua es para las condiciones iniciales x1(0) x2(0) x3(0) = 0.46614, 0.066854,−0.46044,y la lınea punteada para X(0) = 0.46614, 0.066854,−0.41044.

12 CAPITULO 2

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Tiempo [s]

x 1 (t)

Figura 2.6: Sistema de Chua inicializado con diferentes condiciones iniciales.

Sistema de Chen:Se simularon dos trayectorias del sistema y mostradas en la Figura 2.7, donde la lınea

continua es para las condiciones iniciales x1(0) x2(0) x3(0) = −7.9032,−6.1712, 28.85,y la lınea punteada para x1(0) x2(0) x3(0) = −7.9032,−6.0701, 28.85.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−25

−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

Tiempo [s]

x 1 (t)

Figura 2.7: Sistema de Chen inicializado con diferentes condiciones iniciales.

Sistema de Rossler:Se simularon dos trayectorias del sistema y mostradas en la Figura 2.8, donde la lınea


continua es para las condiciones iniciales x1(0) x2(0) x3(0) = −4.841, 4.266, 0.0252,y la lınea punteada para x1(0) x2(0) x3(0) = −4.841, 4.066, 0.0252.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

Tiempo [s]

x 1 (t)

Figura 2.8: Sistema de Rossler inicializado con diferentes condiciones iniciales.

En los cuatro casos mostrados, se puede ver que con una muy pequena variacion en lascondiciones iniciales, en un tiempo futuro corto, las trayectorias divergen.

2.4 Herramientas para Prueba de CaoticidadPor ultimo, se han desarrollado varias herramientas para hacer aseveraciones cuantitativassobre sistemas caoticos, estas son, [1]:

(a) Exponentes de Lyapunov,(b) Mapas de Poincare,(c) Espectro de frecuencia.entre otras mas, [1].

2.4.1 Exponentes de Lyapunov

Una forma para caracterizar un sistema caotico es cuantificar la taza de elasticidad y con-traccion en el espacio de estados. Esto se logra por medio del promedio de los exponentede Lyapunov. En la direccion de elasticidad, dos trayectorias cercanas divergen, mien-tras en la direccion de contraccion, trayectorias cercanas convergen. Si se aproximan esta

14 CAPITULO 2

divergencia y convergencia por funciones exponenciales, las tazas de elasticidad y con-traccion sera cuantificada por los exponentes. Estos son los exponentes de Lyapunov, [26].

El numero total de exponentes de Lyapunov es igual a los grados de libertad de un sis-tema. Si las trayectorias de un sistema tiene por lo menos un exponente de Lyapunovpositivo, entonces estas trayectorias son tanto inestables como caoticas. Si las trayecto-rias son acotadas y tienen exponentes de Lyapunov positivo, el sistema definitivamentetiene comportamiento caotico, [26]. La Tabla 2.1 muestra los exponentes de Lyapunov delos sistemas antes mencionados.

2.4.2 Mapas de PoincareUn mapa de Poincare se obtiene cuando se pone una seccion conocida como seccion dePoincare en el espacio de estados y se marcan los puntos en los cuales la trayectoria in-tersecta esta seccion. Si el sistema es periodico, el mapa de Poincare contendra unoscuantos puntos; si la trayectoria es caotica, entonces, el mapa de Poincare contendra unagran cantidad de puntos distribuidos sobre una seccion de Poincare produciendo algo sim-ilar a un atractor extrano, [26], [10]; la Figura 2.9 muestra la representacion de los mapasde Poincare.

Figura 2.9: Mapa de Poincare.

A continuacion, en las Figuras 2.10 - 2.13 se muestran los mapas de Poincare de los sis-temas antes mencionados.


Tabla 2.1: Exponentes de Lyapunov obtenidos.

Sistema λ1 λ2 λ3

Lorenz 0.90533 0.000 −24.0186

Chua 0.30231 0.000 −2.868

Chen 2.0256 0.000 −12.000

Rossler 0.023 0.000 −3.948

Figura 2.10: Mapa de Poincare del sistema de Lorenz con el plano de Poincare x1 vs x2 enx3 = 3.

16 CAPITULO 2

Figura 2.11: Mapa de Poincare del sistema de Chua con el plano de Poincare x1 vs x2 en x3 = 20.

Figura 2.12: Mapa de Poincare del sistema de Chen con el plano de Poincare x2 vs x2 en x1 = 10.


−8 −6 −4 −2 0 2 4 60

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

x1

x 2

Figura 2.13: Mapa de Poincare del sistema de Rossler con el plano de Poincare x1 vs x2 enx3 = 0.

Sistemas Jerk yMetodo deCaotificacion

3En este capıtulo se presenta la definicion general de un sistemas JERK, ası como de uncircuito JERK introducido en el 2000 por J.C. Sprott [8]; de igual forma se presenta ladefinicion de Caotificacion, ası como algunos metodos presentados para lograr obtenercomportamiento caotico en sistemas no caoticos.

3.1 Sistemas JERK

En el ano 2000 J.C. Sprrot y S.J. Linz, [27], publicaron una serie de ecuaciones poli-nomiales de tercer orden con no-linealidades cuadraticas llamando a dichas ecuaciones,ecuaciones o sistemas JERK.

Un sistema JERK es un sistema cuyo comportamiento es descrito por una ecuacion JERK,la cual es una ecuacion de la forma [28]:

d3x

dt3= F

(d2x

dt2,dx

dt, x

)

o de manera general

...x = F (x, x, x)

20 CAPITULO 3

Por ejemplo, algunos circuitos electronicos de sencilla implementacion son descritos poruna ecuacion JERK. Estos circuitos son conocidos como circuitos JERK, [8].

Una de las mas interesantes propiedades de los sistemas JERK es la posibilidad de presen-tar un comportamiento caotico, [27]. Por lo cual, los circuitos JERK tienen aplicacionespracticas, por ejemplo, en la generacion de senales caoticas para emular ruido y en sis-temas de comunicaciones seguras, [9]. Esto es, debido a que son circuitos faciles deconstruir, de re-escalarse (a cualquier frecuancia deseada), y analizar, predecir y controlarcon una gran exactitud.

Un circuito JERK tambien puede ser representado como, [8]:

...x + βx + γx = f(x) (3.1)

donde β, γ son parametros proporcionales, f(x) es una funcion no lineal, x es la ve-locidad, x es la aceleracion,

...x es el comportamiento JERK (o la razon de cambio de la

aceleracion por media mecanica).

3.2 CaotificacionEn los ultimos anos, se ha reconocido que el comportamiento caotico es un compor-tamiento deseable, o util, bajo ciertas circustancias. Recientemente existe un crecienteinteres en tomar ventaja de la naturaleza del comportamiento caotico, particularmente enalgunas aplicaciones crıticas, como son: sistemas mezcladores de lıquidos,[29] [30], enel cerebro humano [31], en regulaciones del latido del corazon [32] [33]. En mecanica,oscilaciones caoticas pueden ser inducidas para la prevencion de resonancia,[34] [3]. Enparticular, existe una vasta literatura de la aplicacion de caos en sistemas de comunicacionsegura [35], entre muchos otros. Estos ejemplos proveen una fuerte motivacion para lainvestigacion de hacer un sistema dinamico no caotico en un sistema con comportamientocaotico, o realzar el comportamiento caotico existente,[36].

Se ha vuelto relativamente sencillo el desarrollar nuevos sistemas caoticos hoy en dıa,basandose en varias ideas y tecnicas maduras. En el caso discreto han sido varios los quehan desarrollado tecnicas para obtener un comportamiento caotico en sistemas que no loson por medio de teorıa de retroalimentacion o conocido como anticontrol. Como se veen [37], [38],[25], [39] , entre muchos otros.

En el caso continuo no se ha podido desarrollar un metodo universal, como en el casodel modo discreto; ejemplos de caotificacion de sistemas continuos pueden observarseen: [40], [41],[42], [43],[13],[4], [44]. Recientemente, una tecnica semiglobal para sis-temas polinomiales continuos en el tiempo y en forma racional fueron introducidos en

SISTEMAS JERK Y METODO DE CAOTIFICACION 21

[45]. Otro metodo de caotificacion desarrollado es una extencion al propuesto en [45],el cual se basa en la desestabilizacion temporal de sistemas que no presentan compor-tamiento caotico, tal y como se ve en [40], donde se aplican perturbaciones externas parapoder deestabilizar al sistema y de esta forma generar el comportamiento caotico.

A pesar de todos estos esfuerzos de exito en la caotificacion de sistemas no caoticos,no existe un metodo general para lograr obtener este tipo de comportamiento, el metodoutilizado en este trabajo se basa en dos pasos fundamentales, los cuales son:

(a) Obtener un sistema polinomial de tercer orden o sistema con arquitectura JERK.(b) Manipular por medio de t’erminos de innovacion y los valores proporcionales, su rep-resentacion en variables de estado.

A diferencia de la mayorıa de los metodos expuestos, se obtuvo el comportamiento caoticosin la necesidad de aplicar perturbaciones externas al sistema, como en [45], [40] y susreferencias.

Desarrollo deOsciladores Caoticos

4

Como se vio en el capıtulo anterior, no existe un metodo universal para lograr la caotifi-cacion de sistemas no caoticos, se ha logrado la caotificacion de sistemas dinamicos pormedio de: retroalimentacion, mediante la alimentacion de perturbaciones externas a unsistema dinamico no caotico, [45] , mediante el acoplamiento entre un par de osciladoresno caoticos de segundo orden, [16], o mediante una retroalimentacion con histeresis, [12],[46].

En este trabajo de investigacion se logra la caotificacion de un oscilador no caotico de se-gundo orden, sin la necesidad de agregar perturbaciones al sistema, sin retroalimentaciony sin el acoplamiento de un oscilador extra.

Para lograr obtener un comportamiento caotico, se tomo el oscilador de Van der Pol,un oscilador de segundo orden, y realizando los siguientes pasos se obtuvo un compor-tamiento caotico:

(a) Convertir la ecuacion de segundo orden de Van der Pol, en una ecuacion con arquite-tura JERK, agregando una dinamica extra, [10].(b) Una vez obtenido el espacio de estados, se agrego un termino de inonvacion en la partelineal de la ecuacion.(c) Por ultimo, se manipularon algunos parametros proporcionales de la parte lineal delsistema.

Obteniendose de esta forma un sistema autonomo, no perturbado de tercer orden concomportamiento caotico.

24 CAPITULO 4

4.1 Oscilador Van der PolBalthazar van der Pol (1889-1959), un ingeniero electrico que trabajo arduamente en elarea de las comunicaciones de radio, realizo una serie de experimentos e investigacionescon circuitos electricos en laboratorio durante los anos 1920 y 1930, donde utilizaba tu-bos de vacio o triodos, donde encontro que estos dispositivos cuentan con oscilacionesestables, llamadas hoy en dıa ciclo lımite. Cuando los circuitos son llevados por una senalportadora cuya frecencia es cercana a la frecuencia del ciclo lımite, la respuesta perıodicaresultante, se desplaza de su frecuencia a la frecuencia de la senal portadora. La formade onda, puede ser de una estructura complicada y ser rica en armonicas y subarmonicas.En septiembre de 1927 publicado en British Journal Nature, Balthazar Van der Pol y sucolega Van der Mark reportaron que un ruido irregular fue escuchado a ciertas frecuen-cias portadoras entre las frecuencias fundamentales. Este trabajo es uno de los primerosreportes experimentales de caos, algo que no pudo reportar a mayor detalle.

El oscilador de Van der Pol fue introducido aun antes de que el termino de caos fuerasistematicamente definido o estudiado y se convirtio en uno de los primeros ejemplos aser analizados para su caotificacion; el oscilador de Van der Pol ha sido utilizado parael diseno de osciladores caoticos (ver [15], [16], y [17]). La caotificacion del osciladorde Van der Pol tambien ha sido posible una vez que su dinamica ha sido inmersa en unaarquitectura de tipo JERK [10].

La ecuacion de Van der Pol esta dada por ([47, p. 13]):

x− εx(1− x2) + x = 0, (4.1)

donde ε es un parametro constante, que influye en la amplitud y frecuencia de la senal.

La Figura 4.1, muestra la presencia de un ciclo lımite del oscilador de Van der Pol, elcual es asintoticamente estable; i.e., cualquier trayectoria inicializada fuera del origenconverge al ciclo limite.

DESARROLLO DE OSCILADORES CAOTICOS 25

−3 −2 −1 0 1 2 3−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

x1

x 2

Figura 4.1: Ciclo limite del oscilador de Van der Pol.

4.1.1 Diseno de Sistema JERK

La transformacion de la ecuacion de Van der Pol en un sistema con arquitectura JERK seobtiene despues de convertir el oscilador de segundo orden en una ecuacion polinomialde tercer orden, esto se obtiene al agregar una nueva dinamica al oscilador de Van der Pol,como se muestra:

...x = −(x + x + εx(x2 − 1)). (4.2)

La representacion en espacio de estados de este sistema JERK es dada por:

x1 = x2

x2 = x3

x3 = −x3 − x1 − x2(x21 − 1), (4.3)

donde x1(t) = x(t), x2(t) = x(t), y x3 = x(t). Con la transformacion del sistema de Vander Pol a una arquitectura JERK y ε = 1 se obtuvo un ciclo lımite estable mostrado en laFigura 4.2

26 CAPITULO 4

−10−5

05

10

−4−2

02

4−4

−2

0

2

4

x3

x2

x 1

Figura 4.2: Ciclo limite de la representacion JERK del oscilador de Van der Pol.

4.2 Caotificacion del oscilador de Van der Pol

4.2.1 Oscilador Propuesto 1Para obtener la caotificacion del sistema (4.3), se agrego un termino de innovacion x3 enel primer estado del sistema, ası como los parametros proporcionales a, b y c se agregaronen el primer y segundo estado del sistema, como se muestra a continuacion, [48], [49]:

x1 = ax2 + bx3

x2 = cx3

x3 = −x3 − x1 − εx2(x21 − 1), (4.4)

donde el valor de los parametros proporcionales fueron ajustados a: a = 1.5, b = −0.4,c = 20 y ε = 1, y con las siguientes condiciones iniciales x1(0) = 1.6, x2(0) = −1, yx3(0) = 0.09; el sistema propuesto genera un atractor extrano, el cual se muestra en laFigura 4.3. La Figura 4.4 muestra una proyeccion del atractor extrano, en x2(t) versusx1(t); este diagrama de fase es parecido al diagrama de fase reportado en [50].


−4−2

02

4

−10−5

05

10−6

−4

−2

0

2

4

6

x1

x2

x 3

Figura 4.3: Atractor extrano en 3-D.

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

x1

x 2

Figura 4.4: Diagrama de fase: x2(t) versus x1(t).

4.2.2 Oscilador Propuesto 2En [51, ecuacion (3)] los autores proponen una ecuacion de Van der Pol modificada, lacual posee una orbita perıodica que atrae cualquier otra solucion con excepcion del unicopunto de equilibrio, esta ecuacion de Van der Pol modificada es descrita por:

x + εx

((x− x0)

2 +x2

µ2− ρ2

)+ µ2(x− x0) = 0, (4.5)

28 CAPITULO 4

donde ρ es una parametro proporcional que controla la amplitud de este ciclo lımite, elparametro µ controla su frecuencia, y el parametro ε controla la velocidad del transitoriodel ciclo limite [52]; x0 puede ser vista como la componente de corriente directa C.D. dela senal x(t). Aquı, se ajustan los parametros ε = 0.1, ρ = 1, y µ = 5; como se mostroen el ejemplo anterior, esta ecuacion modificada puede ser inmersa en una arquitecturaJERK al agregarle un nuevo estado, [10]:

...x = −x− εx

((x− x0)

2 +x2

µ2− ρ2

)− µ2(x− x0). (4.6)

La representacion en espacio de estados de este sistema con arquitectura JERK esta dadapor:

x1 = x2

x2 = x3

x3 = −x− εx

((x− x0)

2 +x2

µ2− ρ2

)− µ2(x− x0),

(4.7)

donde x1(t) = x(t), x2(t) = x(t), y x3 = x(t). Como se vio en el caso anterior, el agre-garle un nuevo estado a la ecuacion modificada de Van der Pol (4.7), no necesariamentesignifica que este nuevo sistema de tercer orden pueda producir un atractor extrano, comose muestra en la Figura 4.5, donde un ciclo lımite estable fue obtenido con condicionesiniciales x1(0) = −0.1, x2(0) = −1.5 y x3(0) = −0.1. Para lograr el anti-control ocaotificacion del sistema (4.7), se modificaron cinco parametros proporcionales y se agre-garon cuatro terminos de innovacion, tal y como se muestra en la nueva representacion deestados:

x1 = −10x1 + 5x2 − 1.5x3

x2 = −1.5x1 − x2 + 5x3

x3 = −x3 − 0.01x1 − 15x2(x21 + x2

2 − 25). (4.8)

Con las siguientes condiciones iniciales x1(0) = −0.1, x2(0) = −1.5, y x3(0) = −0.1,los parametros proporcionales de control µ = 1, ρ = 5, ε = 15, y componente de C.D.x0 = 0, se obtiene un atractor extrano que es mostrado en la Figura 4.6. La Figura 4.7muestra una proyeccion del atractor extrano en x2(t) versus x1(t). La Figura 4.8 muestrauna proyeccion del atractor en x2(t) versus x3(t), y finalmente la Figura 4.9 muestra unaproyeccion del atractor en x1(t) versus x3(t).


−20−10

010

20

−100

−50

0

50

100−400

−200

0

200

400

x1

x2

x 3

Figura 4.5: Ciclo limite producido por la dinamica del sistema JERK de la ecuacion modificadade Van der Pol.

−4−2

02

4

−10−5

05

10−30

−20

−10

0

10

20

30

x1

x2

x 3

Figura 4.6: Atractor Caotico generado por el sistema propuesto.

4.2.3 Prueba de Caoticidad

Las pruebas de caoticidad realizadas a los sistemas propuestos para confirmar su natu-raleza caotica fueron la obtencion de los exponentes de Lyapunov, mapas de Poincare, asıcomo, el espectro de Fourier. Las primeras dos pruebas de caoticidad fueron obtenidadpor medio de programacion computacional, para lo cual se utilizo la utilerıa de MATLAB

30 CAPITULO 4

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

x1

Figura 4.7: Diagrama de fase: x2 vs x1.

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8−30

−20

−10

0

10

20

30

x3

x 2


llamada MATDS ∗, con un paso de iteracion de 0.1 segundos, y una tiempo de analisis de250 segundos se obtuvieron los siguientes resultados.

Para el primer caso se obtuvieron los siguientes valores de los exponentes de Lyapunov:

λ1 = 0.641, λ2 = 0.000, y λ3 = −1.641,

∗disponible en internet [53]


−3 −2 −1 0 1 2 3−30

−20

−10

0

10

20

30

x3

x 1


donde uno de los exponentes es cero, otro es positivo y el ultimo es negativo. Dado que elexponente mas grande (dominante) es positivo, se puede concluir que el sistema presentacomportamiento caotico [9], [26, p. 66].

En este mismo sistema se colocaron dos secciones de Poincare, una en el plano x1 vsx3 en x2 = 2 y otra en el plano x2 vs x3 en x1 = 3; los mapas de Poincare obtenidos sonmostrados en la Figura 4.10 y en la Figura 4.11. Dado que la forma de estos mapas estadada una forma ordenada, se concluye caos [54, p. 232].

Para el segundo oscilador propuesto los exponentes de Lyapunov obtenidos fueron:

λ1 = 1.30, λ2 = 0.00 y λ3 = −13.30.

al igual que en el primer oscilador propuesto uno de los exponentes obtenidos es positivo,otro es negativo y por ultimo otro es igual a cero, por lo cual invocando el mismo teoremaque en el ejemplo anterior se puede concluir comportamiento caotico.

4.3 Implementacion del Primer Oscilador PropuestoPara demostrar la factibilidad de implementacion del sistema propuesto (4.4), se muestraaquı, la simulacion en computadora con PSpice, ası como su implementacion fısica pormedio de dispositivos de electronica analogica.

32 CAPITULO 4

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

x1

x 3

Figura 4.10: Mapa de Poincare: seccion x1 vs x2 en x3 = 2

−3 −2 −1 0 1 2 3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

6

x2

x 3

Figura 4.11: Mapa de Poincare: seccion x2 vs x3 en x1 = 3.

4.3.1 Simulacion en Computadora

Utilizando el software PSpice, se realizo la simulacion de la implementacion electronicadel oscilador propuesto. En la Figura 4.12 se puede observar el diagrama esquematicoderivado de la ecuacion (4.4), con los siguientes valores para los componentes c1 = c2 =c3 = 1 µF , R3 = R4 = R5 = 1 MΩ, R1 = 667 KΩ, R2 = 50 KΩ, R6 = 20 KΩ


y R7 = 2.5 MΩ, con las fuentes de voltaje ajustadas a ±15 V dc. El circuito integradoAD633/AD es un multiplicador analogico, el cual, solo necesita las dos senales a ser mul-tiplicadas, ası como un valor de referencia u offset. Este circuito integrado cuenta conun multiplicador por encapsulado. Los parametros proporcionales a, b y c de la ecuacion(4.4) son implementados en el circuito electronico por medio de las ganancias de los am-plificadores operacionales, tal y como se muestra en la Tabla 4.1. El resultado obtenido dela simulacion computacional del oscilador se mestran el las siguientes figuras. La Figura4.13 muestra el diagrama de fase del oscilador en la proyeccion x2 versus x1, aquı sepuede ver su gran similitud al diagrama de fase obtenido en la simulacion numerica pormedio de MATLAB en la Figura 4.4.

Tabla 4.1: Obtencion de parametros del prototipo electronico

a b c1

R1C1

1R7C1

1R2C2

Figura 4.12: Diagrama esquematico: x1, x2, y x3 son senales de voltaje de salida referenciadas atierra.

En la Figura 4.14 se aprecia la respuesta en el tiempo del primer estado, en la Figura4.15 se puede ver la respuesta en el tiempo del segundo estado, y por ultimo la Figura4.16 muestra la respuesta en funcion del tiempo del tercer estado. Las Figuras 4.17, 4.18y 4.19 muetran los espectros en frecuancias de las senales del oscilador (x1(t), x2(t), yx3(t)). Aquı, es evidente que las senales generadas por el oscilador estan compuestas porcierto ancho de banda continuo; esto indica caos, como se puede comprobar en [54, p.231].

34 CAPITULO 4

Figura 4.13: Resultados de la simulacion con PSpice: Plano de fase.

Figura 4.14: Repuesta temporal x1(t).

4.3.2 Implementacion Electronica

La implementacion del circuito mostrado en la Figura 4.12 se ensamblo en el laboratorio.Para una mejor apreciacion en una osciloscopio analogico se incremento la velocidad en lavariacion de la senal, para lo cual fue necesario rescalar el sistema en frecuancia por mediodel cambio del valor de los componentes, tal y como se muestra c1 = c2 = c3 = 10 nF ,R3 = R4 = R5 = 100 KΩ, R1 = 6.7 KΩ, R2 = 5 KΩ, R6 = 2 KΩ y R7 = 25 KΩ. Coneste ajuste o reescalamiento se incremento el ancho de banda de las senales por un factorde 1, 000. El amplificador operacional utilizado en la implementacion del oscilador fue unLF347N, este circuito integrado cuanta con cuatro amplificadores operacionales con alta




impedancia a la entrada por encapsulado. Las fuentes de voltaje fueron de nueva cuentaajustadas a ±15V dc. Las condiciones iniciales del circuito implementado depende unsinnumero de factores, tal como voltajes de offset de los amplificadores operacionales, losremanentes de corriente electrica, y los voltajes de polarizacion interna del circuito inte-grado, tan solo por nombrar algunos; como sea, es claro que las condiciones iniciales delsistema difieren lo suficiente de cero para generar oscilaciones caoticas cuando el circuitoes energizado. En las Figuras 4.20, 4.21 y 4.22 se muestran los resultados experimentalesde la implementacion del sistema (4.4). Experimentalmente, fue observado que el atractorextrano es sensible a variaciones de las fuentes de voltaje, utilizados para la polarizacionde los dispositivos electronicos.El diagrama de fase mostrado por la Figura 4.20 es muy parecido al diagrama de fase

36 CAPITULO 4

Frecuencia [Hz]

0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00V

1.0V

2.0V

X1(jf)

Figura 4.17: Espectro de la senal x1(t).

0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.00V

1.0V

2.0V

3.0V

Frecuencia [Hz]

X2(jf)


mostrado en [16, Figura 8a], solo que en la implementacion mostrada en este trabajo,son necesarios menos componentes y dispositivos electronicos que la implemetacionmostrada en [16].


Frecuencia [Hz]0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.00V

0.5V

1.0V

X3(jf)


Figura 4.20: Diagrama de fase: x2 vs. x1.

38 CAPITULO 4



Sincronizacion deSistemas Mecanicoscon el OsciladorCaotico Propuesto

5En este capıtulo se presenta la sincronizacion del oscilador caotico propuesto 1 con unmotor de corriente directa, esto es, que la posicion angular del eje de un motor “siga“la trayectoria generada por el oscilador caotico propuesto 1, donde la diferencia entre laposicion angular del eje del motor y el primer estado del oscilador tendera a cero cuandoel tiempo tienda a infinito. Esta capıtulo se dividira en dos partes.

En esta seccion se lleva acabo la sincornizacion de la posicion del eje de un servo motoren dos partes en la primer parte el motor es sincronizado con el oscilador propuesto 1 yen la segunda parte se sincroniza la posicion del eje con el primer estado del observador,para lo cual se utiliza un algoritmo de modo deslizante de segundo orden o TWISTING,[55], primero se presenta de manera formal el algoritmo de sincronizacion y su prueba deestabilidad, el desempeno del algoritmo de sincronizacion propuesto es comprobado pormedio de la grafica del error de sincronizacion entre el eje de un servo motor y el primerestado del socilador y el observador.

5.1 Sincronizacion del Oscilador Propuesto 1 con un Mo-tor de CD

Considerese el servo motor que esta gobernado por, [56]:

Jq + F (q) = u + ω q, u ∈ IR, (5.1)

con el primer estado x1 del oscilador caotico (4.4). En la ecuacion anterior, u es la senal

40 CAPITULO 5

de entrada de control, q es el desplazamiento, J > 0 es la inercia, ω es una perturbacionexterna y F (q) es la fuerza de friccion gobernada por el modelo clasico de friccion:

F (q) = fv q + fcsign(q), (5.2)

con coeficiente de friccion viscosa fv > 0, nivel de friccion de Coulomb fc > 0, y

sign(q) =

1 if q > 0,

[− 1, 1] if q = 0,

−1 if q < 0.

(5.3)

Debido a que el fenomeno de friccion no ha sido entendido completamente aun y esdifıcil de modelar [57], se agrega el termino de incertidumbre ω(t) en la ecuacion delmotor (5.1) para modelar discrepancias capaces de desestabilizar el sistema, tal como sonel efecto Stribeck y el efecto de backlash. Una cota superior constante M > 0 para lamagnitud de ese termino es conocida a priori:

|ω(t)| ≤ M ∀t. (5.4)

El objetivo de control es que la posicion del eje q del servo motor alcance a x1 a pesar delas perturbaciones externas, cuya influencia en el proceso de control debe ser rechazado,i.e.:

limt→∞ q(t)− x1(t) = 0.

Seleccionando el error de sincronizacion como la variable de salida

y = q − x1, (5.5)

su segunda derivada con respecto al tiempo da

y = q − x1,

y = q − x1.

Con la ley de control de retroalimentacion

u = −c1sign(y)− c2sign(y), (5.6)

SINCRONIZACION DE SISTEMAS MECANICOS CON EL OSCILADOR CAOTICO

PROPUESTO 41

donde c1 > c2 son constantes positivas, produce:

z1 = z2,

z2 = J−1[−c1sign(z1)− c2sign(z2)− fvz2 + ha(t)], (5.7)

donde

ha(t) = −fvx1 − fcsign(q) + w − Jx1, (5.8)

y z = (z1, z2)T = (y, y)T . La ley de control (5.6) es conocida como controlador TWIST-

ING [55], el cual es reconocido por sus propiedades de robustez y su convergencia entiempo finito [58]. De acuerdo con [58], el sistema (5.7) puede ser asintoticamente estableporque ha(t) esta uniformemente acotada; i.e., ||ha(t)|| ≤ Ha ∀x, z ∈ IRn, Ha ∈ IR+.Esto es debido a que todos los terminos en ha(t) son acotados (incluyendo la derivada conrespecto al tiempo de la senal caotica x1(t)

∗). Invocando el Teorema 1 en [58], se llegaal siguiente resultado:

Teorema 1 Se permite que el servo-motor (5.1), (5.2) sea dirijido por el controladorTWISTING (5.6) y satisfaga la suposicion |ω(t)| ≤ M ∀t ≥ 0. Entonces, el punto deequilibrio z = 0 del sistema en lazo cerrado (5.7) es global asintoticamente estable si,[59]

c1 > c2 > Ha. (5.9)

5.1.1 Resultado ExperimentalExperimentos utilizando el circuito electronico de la Figura 4.12 con c1 = 37 y c2 = 0.2en (5.6), los resultados son mostrados en las Figuras 5.1 y 5.2. Debido a que no se conoceHa, se escogio experimentalmente c1 > c2 > 0 y se incrementaron hasta obtener losvalores antes mencionados.

En la Figura 5.2, se demuestra las propiedades de robustez del sistema controlado, por lainyeccion aleatoria de una perturbacion externa, la cual es hecha a mano; esto es, en lostiempos mostrados como perturbaciones en la Figura 5.2, se detuvo la posicion del motor,y despues de un perıodo corto (la longitud de las lıneas horizontales en Figura 5.2), selibero el motor obteniendose los resultados experimentales en la Figura 5.2.

∗Una propiedad de los sistemas caoticos es que todas las senales estan acotadas y son suaves tambien.

42 CAPITULO 5

Figura 5.1: x1(t), q(t).

Figura 5.2: x1(t), q(t), con perturbaciones.

SINCRONIZACION DE SISTEMAS MECANICOS CON EL OSCILADOR CAOTICO

PROPUESTO 43

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo [s]

Err

or d

e P

osic

ión

e p(t)

Figura 5.3: Error de seguimiento entre el primer estado del observador y la posicion del motor.

Diseno deObervadoresDiscontinuos

6

En esta seccion se presenta el diseno de un observador, el cual estimara el vector de es-tados del oscilador propuesto, basandose en teorıa de control de sistemas de estructuravariable, desarrollando un observador discontinuo, [60]. La utilizacion de tecnicas deestructura variable en la reconstruccion de estados en sistemas no lineales tiene algunasventajas sobre las tecnicas convencionales, como son: el permitir la presencia de incer-tidumbres en el modelo y su velocidad de convergencia, [61].

El problema de la estimacion de estados utilizando teorıa de control de estructura vari-able ha sido de interes por varios anos [62]. Generalmente, la aproximacion de sistemasde control discontinuo en tiempo continuo es robusto a perturbaciones y sistemas conincertidumbres,[63], [64]. El diseno de observadores discontinuos para sistemas caoticoshan sido de interes debido a su robustez y convergencia en tiempo finito, [61],[65].

Para el diseno del observador solo sera utilizada la informacion provista por la salidadel oscilador, la cual esta compuesta por uno de los estados del oscilador caotico 1. Elobjetivo es que el error entre el estado sincronizador del oscilador propuesto 1 y el estadodel observador converja a cero de manera finita mientras que los errores de sincronizacionentre el resto de los estados convergera de manera asintotica a cero, [60]. Como primerpaso se describe de manera formal el diseno del observador, al igual que su prueba deestabilidad. Para comprobar el desempeno del observador se realiza el analisis numericopor medio de simulacion computacional, mostrando las graficas de sincronizacion, ası,como el error de sincronizacion entre los estados del sistema propuesto 1 y el observadorpropuesto.

46 CAPITULO 6

6.1 Diseno de ObservadorSe considera el sistema no lineal descrito por:

x = Ax + F (x),

y = Cx. (6.1)

donde x ∈ IRn, es el vector de estados del sistema, y ∈ IRm es la salida del sistema, A ∈IRn×n y C ∈ IRm×n son matrices constantes y F (x) es una funcion no lineal dependientedel vector de estados F (x) : IRn → IRn.

Suposicion 1 Se asume que el par (A,C) es observable, por lo cual existe una matriz deganancia K ∈ IRn×m tal que, A0 = A−KC sea Hurwitz.

Debido a que A0 es una matriz Hurwitz, entonces existira una unica solucion simetricapositiva definida P para cualquier Q simetrica definida positiva de la siguiente ecuacionde Lyapunov.

AT0 P + PA0 = −Q. (6.2)

Suposicion 2 Los estados del sistema no son medibles, pero el vector de salida, el cuales una combinacion lineal de los estados del sistema si es medible.

Se propone el siguiente observador, el cual se deriva de [60] y [61]:

z = Az + F (z) + S(x− z) + KC(x− z),

y = Cz. (6.3)

donde z ∈ IRn es el vector de estados del observador, y ∈ IRm es la salida del observador,A y C son matrices constantes y de la misma dimension que en (6.1), K ∈ IRn×m esuna matriz constante de diseno, y F (z) es una funcion vectorial no lineal dependiente delvector de estados del observador, F (z) : IRn → IRn, S(x − z) = 0 es la superficie dedeslizamiento, S(x− z) : IRn → IRn.

La superficie S(x− z) se define como, [61]:

DISENO DE OBERVADORES DISCONTINUOS 47

S(x− z) = ρP−1CT (C(x− z))

‖C(x− z)‖ , (6.4)

donde ρ es una constante positiva disponible para diseno y

sign(x− z) =

sign(x1 − z1)

sign(x2 − z2)

.

.

.

sign(xn − zn)

.

El objetivo del observador es:

limt→∞

‖x− z‖ = 0.

Se define el error de sincronizacion como:

e = x− z, (6.5)

donde la dinamica del error es gobernada por la ecuacion diferencial

e = x− z, (6.6)

e = Ax + F (x)− Az − F (z)− S(x− z)−KC(x− z), (6.7)

e = A(x− z)−KC(x− z) + F (x)− F (z)− S(x− z), (6.8)

sustituyendo (6.1),(6.3) y (6.2) en (6.6) se tiene:

e = A0e + F (x)− F (z)− S(e), (6.9)

48 CAPITULO 6

se define

Ψ(x, z) = F (x)− F (z). (6.10)

por lo que la dinamica del error queda

e = A0e + Ψ(x, z)− S(e). (6.11)

Suposicion 3 Dado que la region de atraccion de un atractor caotico se mantienen den-tro de elipsoide del espacio de estado, las trayectorias convergen a este elipsoide mante-niendo ahi por siempre, por lo que los estados de un sistema caotico estan acotados [65].Esto se cumple para toda x ∈ IRn en el sistema (6.1), su norma euclidiana es acotada‖x‖ ≤ α1 ∀ t ≥ 0, donde α1 es una constante positiva. Por lo que se concluye que para lafuncion no lineal F (x), la cual es una funcion de los estados del sistema es una funcionacotada tambien.

‖F (x)‖ ≤ α2 ∀x ∈ IRn.

donde α2 es una constante positiva.

Suposicion 4 Dado que F (x) es una funcion acotada, y F (z) tambien, se tiene que (6.10)es una funcion acotada; definiendo Ψ(x, z) como:

Ψ(x, z) = P−1CT h(x, z), (6.12)

por lo que partiendo de la suposicion 4 se tiene que

‖h(x, z)‖ ≤ H ∀ x, z ∈ IRn.

donde H es una constante positiva.

Para comprobar el objetivo del observador (6.3)-(6.4), se propone la siguiente funcioncandidata de Lyapunov, la cual es una funcion positiva y radialmente desacotada.

V (e) = eT Pe, (6.13)


la derivada de V (e) es evaluada a lo largo de las trayectorias del sistema en lazo cerrado,y sustituyendo (6.11) en la derivada de V (e)

V = 2eT P (A0e− S(e) + Ψ(x, z)),

V = eT (AT0 P + PA0)e + 2eT P (−S(e) + Ψ(x, z)), (6.14)

sustituyendo (6.2),(6.4) y (6.12) en (6.14)

V = −eT Qe + 2eT P

[−ρP−1CT Ce

‖Ce‖ + P−1CT h(x, z)

],

V = −eT Qe + 2eT CT h(x, z)− 2eT CT Ce

‖Ce‖ρ.

calculando la norma euclidiana de h(x, z) y partiendo de la suposicion 4 se tiene:

V = −eT Qe + 2‖Ce‖H − 2‖Ce‖ρ ≤ 0.

V = −eT Qe + 2‖Ce‖(H − ρ) ≤ 0. (6.15)

Por lo que si ρ ≥ H se garantiza el objetivo de observacion, equivalentemente, estabili-dad de la dinamica del error de observacion. Hay que notar tambien que el esquema delobservador propuesto aqui tiene semejanza con el reportado en [60].

Teorema 2 La sincronizacion entre los sistemas (6.1) y (6.3) es obtenida, si todas lassenales tanto en el sistema a observar (6.1) y el sistema observador (6.3) estan acotadas,y ρ ≥ H .

Mas aun, se tiene la siguiente proposicion.

Proposition 1 La sincronizacion en el teorema 1 es alcanzada en tiempo finito.

50 CAPITULO 6

Teorema 3 Suponga que existe una funcion continuamente diferenciable V : D → IR, unnumero real k > 0 y α ∈ (0, 1), y un vecindario U ⊂ D del origen tal que V es definidapositiva en U y V + kV α es semidefinida negativa en U , donde V (x) = ∂V

∂x(x)f(x).

Entonces el origen es un equilibrio estable en tiempo finito. Mas aun, si T es el tiempo deasentamiento, entonces T (x) ≤ 1

k(1−α)V (x)1−α, para toda x en algun vecindario abierto

del origen, [66].

Prueba.- De la ecuacion(6.15), se tiene que V = −eT Qe + 2‖Ce‖∆ ≤ 0 donde ∆ =

H−ρ. Si se compara con (6.13) se puede observar que V ≤ −2∆V12 ; lo cual, de acuerdo

con el teorema 1 en [66], implica que e(t) converge en tiempo finito ¤.

6.1.1 Analisis numericoPara validar el observador propuesto, se realizo, por medio de un analisis numerico, eldiseno del observador (6.3) al oscilador propuesto 1 (4.4):

x1 = ax2 + bx3

x2 = cx3

x3 = −x3 − x1 − x2(x21 − 1),

y = x1.

la dinamica del observador queda entonces representada por:

z1 = 1.5z2 − 0.4x3 + 150.5sign(x1 − z1) + 90(x1 − z1)

z2 = 20z3 + 108.2sign(x1 − z1) + 15(x1 − z1)

z3 = −z3 − z1 − z2(z21 − 1) + 107.3sign(x1 − z1) + 40(x1 − z1),

y = z1.

El oscilador y el observador fueron inicializados con condiciones iniciales diferentesx0 = 1.6,−1,−0.1 y z0 = 0, 0, 0, obteniendose las siguentes graficas de errorde observacion entre los estados del oscilador y del observador.


0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Tiempo [s]

e 1(s)

Figura 6.1: Error entre el primer estado del observador y el oscilador.

0 5 10 15 20−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

Tiempo [s]

e 2(t)

Figura 6.2: Error entre el segundo estado del observador y el oscilador.

52 CAPITULO 6

0 5 10 15 20−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Tiempo [s]

e 3(t)

Figura 6.3: Error entre el tercer estado del observador y el oscilador.

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Oscilador x1

Obs

erva

dor

z 1

Figura 6.4: Sincronizacion entre el primer estado del oscilador y el observador.


−10 −5 0 5 10−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

x2

z 2

Figura 6.5: Sincronizacion entre el segundo estado del oscilador y el observador.

−6 −4 −2 0 2 4 6−6

−4

−2

0

2

4

6

x3

z 3

Figura 6.6: Sincronizacion entre el tercer estado del oscilador y el observador.

Conclusiones

En el presente trabajo de investigacion se pudieron desarrollar dos nuevos osciladorescaoticos basados en la dinamica de Van der Pol. Una de las principales desventajas ensu implementacion con electronica analogica es la sensibilidad del circuito a los volta-jes de polarizacion, por lo que es vital el disenar reguladores de voltajes para su optimafuncionamiento en campo. El desarrollo de patentes de los esquemas electronicos de es-tos osciladores son factibles. La aportacion que se logro con estos nuevos osciladorescaoticos fue la forma de como se caotificaron estos. Otras alternativas de caotificacionpudieran arrojar otros nuevos esquemas de osciladores caoticos, como las tecnicas de cao-tificacion por perturbacion externa [17] o por acoplamiento a modelo [16], tema abierto ainvestigacion.

Para el apartado de sincronizacion con sistemas mecanicos, se logro la sincronizacion deun motor de corriente continua con un oscilador con dinamica caotica utilizando contro-ladores discontinuos especificamente un algoritmo TWISTING, lo cual fue validado pormedio de resultados experimentales desarrollados en el laboratorio, de igualmanera la ro-bustez del algoritmo de sincronizacion fue demostrada de manera experimental al detenerel eje del motor por un instante y soltandolo de nuevo, donde el motor retomo la trayec-toria del oscilador, es obvio que la extension de la tecnica presente puede extenderse aaplicaciones de desarrollo tecnologico, como en lavadoras automaticas de ropa, bandastransportadoras de materiales, licuadoras, etc., donde un sinfın de patentes pudieran serdesarrollados.

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sincronizacion de sistemas´ electronicos con sistemas

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