DYNAMIC STABILIZATION

Definisi

Misal (𝐹, 𝐺) system berdimensi n atas ring komutatif R.

i. Sistem (𝐹, 𝐺) merupakan coefficient assignable dinamis jika terdapat bilangan bulat

nonnegatif r sedemikian hingga sistem berdimensi n+r :

(�̃�, �̃�) = ((𝐹 00 0

) , (𝐺 00 𝐼

)) , dengan 𝐼 matriks identitas berukuran 𝑟 × 𝑟, coefficient

assignable.

ii. Sistem (𝐹, 𝐺) merupakan pole assignable dinamis jika terdapat bilangan bulat

nonnegatif r sedemikian hingga sistem berdimensi n+r :

(�̃�, �̃�) = ((𝐹 00 0

) , (𝐺 00 𝐼

)) , dengan 𝐼 matriks identitas berukuran 𝑟 × 𝑟, pole assignable.

iii. Sistem (𝐹, 𝐺) merupakan stabilizable dinamis (dengan R merupakan ring fungsi-

fungsi bernilai real atau kompleks), jika terdapat bilangan bulat nonnegatif r

sedemikian hingga sistem berdimensi n+r :

(�̃�, �̃�) = ((𝐹 00 0

) , (𝐺 00 𝐼

)) , dengan 𝐼 matriks identitas berukuran 𝑟 × 𝑟, stabilizable

(dengan R merupakan ring fungsi- fungsi bernilai real atau kompleks).

Hasil yang diharapkan: Sistem (F,G) tercapai jika dan hanya jika (F,G) coefficient assignable

dinamis. Sebelumnya, diberikan lemma berikut.

LEMMA :

Misal (𝐹, 𝐺) sistem atas ring 𝑅 yang berdimensi 𝑛𝑠. Misal terdapat matriks invertibel 𝑉 dan

kolom-kolom dari �̅� = 𝐺𝑉, yaitu �̅�1 ,… , �̅�𝑠, sedemikian hingga matrik\s berukuran 𝑛𝑠 × 𝑛𝑠:

[𝐹𝑛−1�̅�1, … , �̅�1, 𝐹𝑛−1�̅�2 , … , �̅�2 , … , 𝐹𝑛−1�̅�𝑠, … , �̅�𝑠] invertibel.

Maka sistem (𝐹, 𝐺) ekuivalen dengan sistem (�̂� + 𝐺𝐾, 𝐺), dimana �̂� + 𝐺𝐾 mempunyai vector

siklik dalam image dari 𝐺. Lebih lanjut sistem (𝐹, 𝐺) merupakan coefficient assignable.

BUKTI:

Tinjau: sistem (𝐹, 𝐺) ekuivalen dengan sistem (𝐹, �̅�).

Tanpa mengurangi perumuman, asumsikan 𝑉 matriks identitas dan

[𝐹𝑛−1𝑔1, … , 𝑔1, 𝐹𝑛−1𝑔2 , … , 𝑔2 , … , 𝐹𝑛−1𝑔𝑠, … , 𝑔𝑠] invertibel dimana setiap 𝑔𝑖 merupakan kolom

dari 𝐺. Dengan asumsi ini, maka 𝑔𝑖 = �̅�𝑖.

Selanjutnya, urutkan kembali basis standar dari 𝑅𝑚 sehingga diperoleh 𝑔1 kolom pertama dari

𝐺, 𝑔2 kolom kedua dari 𝐺, demikian seterusnya.

Karena matriks [𝐹𝑛−1𝑔1, … , 𝑔1, 𝐹𝑛−1𝑔2 , … , 𝑔2 , … ,𝐹𝑛−1𝑔𝑠 ,… , 𝑔𝑠 ] invertibel, maka 𝛽 =

{𝐹𝑛−1𝑔1, … , 𝑔1, 𝐹𝑛−1𝑔2, … , 𝑔2, … , 𝐹𝑛−1𝑔𝑠 , … , 𝑔𝑠} merupakan basis dari 𝑅𝑛𝑠.

Matriks 𝐹 ̃dan 𝐺 matriks representasi dari 𝐹 dan 𝐺 terhadap basis 𝛽, yaitu:

�̃�𝑛𝑠×𝑛𝑠 = [𝐹]𝛽𝛽

= [[𝐹(𝐹𝑛−1𝑔1)]𝛽,… , [𝐹(𝑔1)]𝛽 ,… , [𝐹(𝐹𝑛−1𝑔𝑠)]𝛽 ,… , [𝐹(𝑔𝑠)]𝛽]

=

[ ∗ 1 0∗ 0 1

⋯ 0⋯ 0

⋮ ⋮ ⋮∗∗

00

00

⋱ ⋮⋯⋯

10

∗ 0∗ 0

⋯ 0⋯ 0

⋮ ⋮∗∗

00

⋯ ⋮⋯⋯

00

∗ 0 0∗ 0 0

⋯ 0⋯ 0

⋮ ⋮ ⋮∗∗

00

00

⋯ ⋮⋯⋯

00

∗ 1∗ 0

⋯ 0⋯ 0

⋮ ⋮∗∗

00

⋯ ⋮⋯⋯

10

⋱

∗ 0∗ 0

⋯ 0⋯ 0

⋮ ⋮∗∗

00

⋯ ⋮⋯⋯

00

⋯

∗ 0∗ 0

⋯ 0⋯ 0

⋮ ⋮∗∗

00

⋯ ⋮⋯⋯

00

⋮ ⋮∗ 0 0∗ 0 0

⋯ 0⋯ 0

⋮ ⋮ ⋮∗∗

00

00

⋯ ⋮⋯⋯

00

∗ 0∗ 0

⋯ 0⋯ 0

⋮ ⋮∗∗

00

⋯ ⋮⋯⋮

00

⋯ ⋮

⋯

∗ 1∗ 0

⋯ 0⋯ 0

⋮ ⋮∗∗

00

⋯ ⋮⋯⋯

10]

dan

�̃�𝑛𝑠×𝑚 = [[𝑔1]𝛽 ,[𝑔2]𝛽 ,… , [𝑔𝑠]𝛽 , [𝑔𝑠+1]𝛽 ,… , [𝑔𝑚]𝛽] =

[ 0 00 0

⋯ 0⋯ 0

⋮ ⋮1 0

⋯ ⋮⋯ 0

0 00 0

⋯ 0⋯ 0

⋮ ⋮0 1

⋯ ⋮⋯ 0

∗ ⋯ ∗∗ ⋯ ∗∗ ⋯ ∗∗ ⋯ ∗∗ ⋯ ∗∗ ⋯ ∗∗ ⋯ ∗∗ ⋯ ∗

⋱0 00 0

⋯ 0⋯ 0

⋮ ⋮0 0

⋯ ⋮⋯ 1

⋱∗ ⋯ ∗∗ ⋯ ∗∗ ⋯ ∗∗ ⋯ ∗]

dimana ∗ menotasikan suatu elemen dalam 𝑅 yang mungkin tidak nol.

Sistem (�̃�, �̃�) merupakan bentuk normal ketercapaian.

Bagaimanapun, bentuk �̃� belum cukup sederhana sehingga kita akan membuat matriks pertukaran basis

yang lain pada 𝑅𝑛𝑠 untuk mendapatkan suatu bentuk kanonik ketercapaian dari 𝐹.

Namakan matriks pertukaran basisnya dengan Φ.

Untuk mendeskripsikan Φ, misalkan

𝐹𝑛𝑔𝑗 = − ∑∑ 𝛼𝑖𝑘𝑗𝐹𝑛−𝑘𝑔𝑖

𝑛

𝑘=1

𝑠

𝑖=1

, 𝑗 = 1, …, 𝑠

= −𝛼11𝑗𝐹𝑛−1𝑔1 − ⋯− 𝛼1𝑛𝑗𝑔1 − 𝛼21𝑗𝐹

𝑛−1𝑔2 − ⋯− 𝛼2𝑛𝑗𝑔2 − ⋯− 𝛼𝑠1𝑗𝐹𝑛−1𝑔𝑠 − ⋯− 𝛼𝑠𝑛𝑗𝑔𝑠

Maka −𝛼𝑖𝑘𝑗 merupakan pengganti elemen-elemen yang sebelumnya bertanda “∗” pada �̃�.

Kolom (𝑗 − 1)𝑛 + 1 dari �̃� adalah [−𝛼11𝑗 , −𝛼12𝑗, … , −𝛼1𝑛𝑗, −𝛼21𝑗,… ,−𝛼2𝑛𝑗,… ,−𝛼𝑠𝑛𝑗]𝑇

Dengan notasi ini, dimisalkan matriks transisi

Φ berukuran 𝑛𝑠 × 𝑛𝑠 yaitu :

111 112 11

121 111 122

1( 1)1 111 1( 1)2 112 1( 1)n 11

21 212 21

2( 1)1 11 2( 1)2 212 2( 1)n

11

n( 1)1 11

1 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

0

1 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0

0 1 0

0 0 0

0 0

n

n n n n

n n

n n n n

n

n n

12 1

n( 1)2 n( 1)n

0 0 0 1 0 0

0 0 1 0

0

0 0 1

n n n

n n

dengan masing-masing diagonal pada setiap blok diagonal adalah 1, dan masing-masing diagonal pada

blok yang lain adalah 0.

Klaim bahwa Φ invertibel dengan det Φ = 1 dan �̂� = Φ−1�̃�Φ dengan �̂� didefinisikan sebagai matriks

yang memiliki 𝑠2 blok yang berukuran 𝑛 ×𝑛 dengan blok �̂�𝑖𝑗 yang sama dengan

[

0 𝛿𝑖𝑗

0 0

0𝛿𝑖𝑗

⋯ 0 ⋯ 0

⋮0

⋮ 0

−𝛼𝑖𝑛𝑗 −𝛼𝑖(𝑛−1)𝑗

⋮0⋯

⋯⋯

⋮𝛿𝑖𝑗

⋯ −𝛼𝑖𝑗]

dan 𝛿𝑖𝑗 merupakan fungsi Kronecker delta.

Perhatikan bahwa �̂� similar dengan �̃� kecuali “∗” yang muncul pada baris ke 𝒏𝒊,𝑖 = 1,… , 𝑠,

menggantikan “∗” yang sebelumnya ada pada kolom 𝒏𝒋+ 𝟏, 𝑗 = 0,… , 𝑠 − 1.

Dengan melakukan induksi pada 𝑛 dan ekspansi berturut-turut pada baris 1, 𝑛 + 1.… ,𝑛(𝑠 − 1) + 1,

dengan mereduksi blok berukuran 𝑛 − 1 dengan tetap mempertahankan bentuk matriks Φ, sehingga

diperoleh det Φ = 1.

Dengan kata lain, Φ invertibel.

Akan ditunjukkan bahwa �̂� = 𝚽−𝟏�̃�𝚽.

Karena Φ invertibel maka cukup ditunjukkan �̃�𝚽 = 𝚽�̂� menggunakan perkalian blok.

Notasikan 𝐴𝑖𝑗 sebagai blok berukuran 𝑛 × 𝑛 ke-𝑖𝑗 dari matriks A yang berukuran 𝑛𝑠× 𝑛𝑠.

Akan ditunjukkan

∑ �̃�𝑖𝑘Φkj

𝑠

𝑘=1

= ∑ Φik�̂�𝑘𝑗

𝑠

𝑘=1

Perhatikan bahwa:

Φ𝑖𝑘�̂�𝑘𝑗 =

[

𝛿𝑖𝑘 0𝛼𝑖1𝑘 𝛿𝑖𝑘

00

⋯ 0⋯ 0

𝛼𝑖2𝑘 𝑎𝑖1𝑘

⋮ ⋮𝛼𝑖(𝑛−1)𝑘 𝛼𝑖(𝑛−2)𝑘

𝛿𝑖𝑘

⋮𝛼𝑖(𝑛−2)𝑘

⋯ 0⋯ ⋮⋯ 𝛿𝑖𝑘]

[

0 𝛿𝑘𝑗

0 0

0𝛿𝑘𝑗

⋯ 0 ⋯ 0

⋮ ⋮0 0

−𝛼𝑘𝑛𝑗 −𝛼𝑘(𝑛−1)𝑗

⋮0

−𝛼𝑘(𝑛−2)𝑗

⋯ ⋮⋯ 𝛿𝑘𝑗

⋯ −𝛼𝑘1𝑗]

=

[

0 𝛿𝑖𝑘𝛿𝑘𝑗

0 𝛼𝑖1𝑘𝛿𝑘𝑗

0𝛿𝑖𝑘𝛿𝑘𝑗

⋯ 0⋯ 0

0 𝑎𝑖2𝑘𝛿𝑘𝑗

⋮ ⋮

𝛿𝑖𝑘(−𝛼𝑘𝑛𝑗) (𝛼𝑖(𝑛−1)𝑘𝛿𝑘𝑗

+𝛿𝑖𝑘(−𝛼𝑘(𝑛−1)𝑗))

𝛼𝑖1𝑘𝛿𝑘𝑗

⋮⋯

⋯ 0 ⋯ ⋮

⋯ (𝛼𝑖1𝑘𝛿𝑘𝑗

+𝛿𝑖𝑘(−𝛼𝑘1𝑗))]

,

sehingga,

1

12

i

1

k

0 0 0

Φ

0 0

ˆ

0

0 0 0

n

n

ij

i j ijs

ki j i j ij

i j

kjF

Demikian juga,

1

2 1

3 1 1

1

11

1 1

2 2

0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0

0 0 0

0 0

n

nn

i k ik kj

i k ik k j kj

i k k j k j kj

ik kj

i k ik

k j k j kji k

i k kj ik k j ik kj

i k kj ik k j

F

1

11 1 2

0

0 0 0

n n n

n

ik k j ik kj

i k kj ik k j ik k j ik k j ik kj

i k kj

Dari sini diperoleh:

1

12

1

k

1

i

0 0

Φ

0

0 0

0

0 0 0

ˆ

n

n

ij

i j ijs

ik kj

ki j i j i

kj

j

i j

s

k

F

F

Terbukti bahwa �̂� = 𝚽−𝟏�̃�𝚽.

Misalkan �̂� = Φ−1�̃�. Karena Φ invertibel maka �̃� = Φ�̂�.

Karena Φenj = 𝑒𝑛𝑗 dengan 𝑒𝑛𝑗 = [0,… ,1,0, … ,0]𝑇 ( 1 pada baris ke-𝑛𝑗) yang merupakan elemen basis

standar pada 𝑅𝑛𝑠, maka diperoleh sebanyak 𝑠 kolom pertama dari �̂� adalah sama dengan sebanyak

𝑠 kolom pertama dari �̃�.

Dengan demikian, �̂� memiliki bentuk yang sama seperti halnya �̃�.

Klaim bahwa dapat dicari matriks 𝐾 dan vektor 𝑢 sedemikian sehingga �̂�𝑢 siklik untuk �̂� + �̂�𝐾.

Perhatikan matriks �̂�𝐾 dengan 𝐾 matriks berukuran 𝑚 × 𝑛𝑠.

Dengan memperhatikan bentuk �̂�, jika kita memilih matriks 𝐾 dengan semua barisnya adalah nol setelah

baris ke-𝑠 maka baris 𝑛,2𝑛, … , 𝑠𝑛 dari �̂�𝐾 adalah sama dengan baris 1, 2,… , 𝑠 pada 𝐾.

Selanjutnya, dengan memilih sebanyak 𝑠 baris pertama dari 𝐾, �̂� + �̂�𝐾 dapat dibuat menjadi matriks

yang elemen superdiagonal pertamanya adalah 1 dan 0 pada yang lain.

Dengan demikian, �̂�𝑒𝑠 = 𝑒𝑛𝑠 adalah vektor siklik untuk �̂� + �̂�𝐾.

Berdasarkan teorema 3.3 maka sistem (�̂� + �̂�𝐾, �̂�) coefficient assignable, yang berarti bahwa sistem

(𝐹,𝐺) coefficient assignable.