sistem persamaan linear
DESCRIPTION
SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Dekomposisi LU. DEKOMPOSISI LU. Metode Dekomposisi LU. Jika matriks A non-singular, maka dapat difaktorkan / diuraikan menjadi matriks segitiga bawah L (lower) dan matriks segitiga atas U (Upper) Ditulis sbb : - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
SISTEM PERSAMAAN LINEAR• Dekomposisi LU
DEKOMPOSISI LU
Metode Dekomposisi LU
• Jika matriks A non-singular, maka dapat difaktorkan/diuraikan menjadi matriks segitiga bawah L (lower) dan matriks segitiga atas U (Upper)
• Ditulis sbb:
– Matriks segitiga bawah L, semua elemen diagonal adalah 1
– Matriks segitigas atas tidak ada syarat khusus untuk nilai diagonalnya
33
2322
131211
3231
21
333231
232221
131211
00
0
1
01
001
u
uu
uuu
ll
l
aaa
aaa
aaa
Metode Dekomposisi LU
• Contoh: hasil pemfaktoran matriks 3x3
• Penyelesaian Ax = b, dengan dekomposisi LU, maka– Faktorkan A = LU, sehingga
Ax = b
LUx = b– Misalkan Ux = y, maka Ly = b
400
240
112
103
010
001
136
240
112
Metode Dekomposisi LU
• Untuk memperoleh y, gunakan teknik substitusi maju
• Untuk memperoleh x, gunakan teknik substitusi mundur
3
2
1
3
2
1
3231
21
1
01
001
b
b
b
y
y
y
ll
lbLy
3
2
1
3
2
1
33
2322
131211
00
0
y
y
y
x
x
x
u
uu
uuu
yUx
Metode Dekomposisi LU
• Langkah menghitung solusi SPL dengan dekomposisi LU:– Membentuk matriks L dan U dari A– Pecahkan Ly = b, lalu hitung y dengan teknik substitusi maju– Pecahkan Ux = y, lalu hitunng x dengan substitusi mundur
Pemfaktoran dengan LU Gauss
• Misalkan matriks 3x3 difaktorkan L dan U
1. Nyatakan A sebagai A = I A
33
2322
131211
3231
21
333231
232221
131211
00
0
1
01
001
u
uu
uuu
ll
l
aaa
aaa
aaa
333231
232221
131211
333231
232221
131211
100
010
001
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
Pemfaktoran dengan LU Gauss
2. Eliminasi matriks A di ruas kanan menjadi matriks segitiga atas U.
• Tempatkan faktor pengali elemenij pada posisi iil di matriks I
3. Setelah seluruh proses eliminasi Gauss selesai, matriks I menjadi matriks L, dan matriks A di ruas kanan menjadi matriks U
Contoh Pemfaktoran dengan LU Gauss
• Faktorkan matriks A berikut dengan metode LU Gauss
• Penyelesaian:
621
542
134
A
621
542
134
100
010
001
621
542
134
A
Contoh Pemfaktoran dengan LU Gauss
• Penyelesaian:
– Eliminasi matriks A di ruas kanan menjadi matriks segitiga atas U, dan tempatkan faktor pengali elemenij pada posisi iij di matriks I
621
542
134
100
010
001
621
542
134
A
25,625,10
5,45,20
134
)41(
)42(
~
621
542
134
13
12
RR
RR
Contoh Pemfaktoran dengan LU Gauss
• Penyelesaian:– Tempatkan faktor pengali elemen21 = -2/4 = -0,5ke i21
dan faktor pengali elemen31 = ¼ = 0,25ke i31 di matriks I
– Teruskan proses eliminasi Gauss
5,800
5,45,20
134
)5,225,1(
~
~
25,625,10
5,45,20
134
23 RR
1025,0
015,0
001
Contoh Pemfaktoran dengan LU Gauss
• Penyelesaian:– Tempatkan faktor pengali elemen32 = -1,25/2,5 = -
0,5ke i32 di matriks I
– Jadi
15,025,0
015,0
001
5,800
5,45,20
134
15,025,0
015,0
001
621
542
134
A
Contoh Pemfaktoran dengan LU Gauss
• Faktorkan matriks A berikut dengan metode LU Gauss dengan memperhatikan poros/pivot (nol atau mendekati nol)
• Penyelesaian:
1
5
1
111
122
111
bA
111
122
111
100
010
001
111
122
111
A
Contoh Pemfaktoran dengan LU Gauss
• Penyelesaian:
– Eliminasi matriks A di ruas kanan menjadi matriks segitiga atas U, dan tempatkan faktor pengali elemenij pada posisi iij di matriks I
020
300
111
)1(
)2(
~
111
122
111
13
12
RR
RR
111
122
111
100
010
001
111
122
111
A
Contoh Pemfaktoran dengan LU Gauss
• Penyelesaian:– Tempatkan faktor pengali elemen21 = 2 ke i21 dan faktor pengali
elemen31 = -1 ke i31 di matriks I
– Teruskan proses eliminasi Gauss. Dimana elemen calon poros/pivot selanjutnya bernilai nol, maka lakukan pertukaran baris.
11
012
001
32i
020
300
111
)1(
)2(
~
111
122
111
13
12
RR
RR
Contoh Pemfaktoran dengan LU Gauss
• Penyelesaian:– Teruskan proses eliminasi Gauss. Dimana elemen calon
poros/pivot selanjutnya bernilai nol, maka lakukan pertukaran baris.
– Jangan lupa mempertukarkan R2 dengan R3 pada matriks I yang akan menjadi metriks L
12
011
001
11
012
001
32
32
32 i
RR
i
300
020
111
020
300
111
32 RR
Contoh Pemfaktoran dengan LU Gauss
• Penyelesaian:– Jangan lupa mempertukarkan R2 dengan R3 pada vektor b
5
1
1
1
5
1
32 RR
Contoh Pemfaktoran dengan LU Gauss
• Penyelesaian:– Teruskan proses eliminasi Gauss pada matriks A
– Tempatkan faktor pengali elemen32 = 0 ke i32 di matriks I
U
RR
300
020
111
)0(
~
~
300
020
111
33
L
102
011
001
Contoh Pemfaktoran dengan LU Gauss
• Penyelesaian:– Jadi
– Berturut-turut x, dan y sebagai berikut:
300
020
111
102
011
001
111
122
111
A
5
1
1
102
011
001
3
2
1
y
y
y
bLy
Contoh Pemfaktoran dengan LU Gauss
• Penyelesaian:– Berturut-turut x, dan y sebagai berikut:
y1 =1 y1 =1
-y1 + y2 = 1 y2 = 1 – y1 = 1 – (-1) = 2
2y1 + 0y2 + y3 = 5 y3 = 5 – 2y1 = 5 – 2(1) = 3
5
1
1
102
011
001
3
2
1
y
y
y
bLy
Contoh Pemfaktoran dengan LU Gauss
• Penyelesaian:– Berturut-turut x, dan y sebagai berikut:
3x3 =3 x3 = 1
2x2 = 2 x2 = 1
x1 + x2 - x3 = 1 x1 = 1 – 1 + 1 = 1
– Jadi solusi SPL di atas adalah x = (1,1,1)T
3
2
1
300
020
111
3
2
1
x
x
x
yUx