sistem persamaan linier
TRANSCRIPT
![Page 1: Sistem Persamaan Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071701/55cf9954550346d0339ccd32/html5/thumbnails/1.jpg)
BY NURUL SAILA
SISTEM PERSAMAAN LINIER(SPL)
Tatap Muka 26 Maret 2012
![Page 2: Sistem Persamaan Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071701/55cf9954550346d0339ccd32/html5/thumbnails/2.jpg)
BY NURUL SAILA
1. Persamaan Linier2. Sistem Persamaan Linier3. Eliminasi Gauss4. Eliminasi Gauss Jordan
Sub Pokok Bahasan:
![Page 3: Sistem Persamaan Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071701/55cf9954550346d0339ccd32/html5/thumbnails/3.jpg)
Definisi: Persamaan linier adalah suatu persamaan
yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah satu.
Persamaan linier dalam n variable x1, x2, …, xn adalah sebuah persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk: a1 x1+ a2 x2 + … + an xn = b
dimana a1, a2, …, an, b adalah konstanta-konstanta riil.
“Persamaan Linier”
![Page 4: Sistem Persamaan Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071701/55cf9954550346d0339ccd32/html5/thumbnails/4.jpg)
Pemecahan persamaan linier:a1 x1+ a2 x2 + … + an xn = b
adalah sebuah urutan dari n bilangan s1, s2, …, sn sehingga persamaan tersebut dipenuhi bila kita mensubstitusikan x1= s1, x2 = s2, …, xn = sn.
Himpunan semua pemecahan persamaan tersebut dinamakan himpunan pemecahannya.
“Menyelesaikan Pers. Linier”
![Page 5: Sistem Persamaan Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071701/55cf9954550346d0339ccd32/html5/thumbnails/5.jpg)
contoh:Tentukan selesaian dari persamaan-persamaan berikut:
1. 2x + 3 = -72. 2x + 3y -2 = 103. 2x + 3y + 5z + 10 = 15
![Page 6: Sistem Persamaan Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071701/55cf9954550346d0339ccd32/html5/thumbnails/6.jpg)
Sebuah himpunan berhingga dari persamaan linier dalam variable-variabel x1, x2, …, xn dinamakan sebuah system persamaan linier atau sebuah system linier.
Sistem persamaan linier yang terdiri dari m persamaan dalam n variable adalah:
“Sistem Persamaan Linier”
൞
𝑎11𝑥1 +𝑎12𝑥2 +⋯+𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1𝑎21𝑥1 +𝑎22𝑥2 +⋯+𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2⋮𝑎𝑚1𝑥1 +𝑎𝑚2𝑥2 +⋯+𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
![Page 7: Sistem Persamaan Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071701/55cf9954550346d0339ccd32/html5/thumbnails/7.jpg)
Sebuah urutan bilangan-bilangan s1, s2, …, sn dinamakan sebuah pemecahan system tersebut jika x1= s1, x2 = s2, …, xn = sn.adalah sebuah pemecahan dari tiap-tiap persamaan di dalam system tersebut.
Contoh:Perhatikan sistem persamaan linier berikut:
2x + 3y – 5z = -8-x –y + 15z = 425x -2y + z = 11Hp: {(x, y, z)/ x = 2, y = 1, z = 3}
![Page 8: Sistem Persamaan Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071701/55cf9954550346d0339ccd32/html5/thumbnails/8.jpg)
Ada beberapa cara menentukan pemecahan system persamaan linier, yaitu:(1) Eliminasi Gauss (2) Eliminasi Gauss Jordan(3) Perkalian Matrik dan(4) Kaidah Cramer
“Metode Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier”
![Page 9: Sistem Persamaan Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071701/55cf9954550346d0339ccd32/html5/thumbnails/9.jpg)
BY NURUL SAILA
Eliminasi Gauss adalah suatu metode yang digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier, yang meliputi langkah-langkah sbb:
1. Mengubah system persamaan linier ke bentuk matriks yang diperbesar (augmented matrix), yaitu matriks yang entri-entrinya adalah koefisien dari variable dan konstanta dari persamaan dalam system;
2. >>>
“Eliminasi Gauss”
![Page 10: Sistem Persamaan Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071701/55cf9954550346d0339ccd32/html5/thumbnails/10.jpg)
BY NURUL SAILA
2. Dengan menggunakan OBE, mengubah bentuk matriks yang diperbesar menjadi matriks bentuk eselon baris (row-echelon form).
3. Mengubah matrik eselon baris ke bentuk sistem persamaan.
4. Menyelesaikan tiap persamaan dalam sistem.
![Page 11: Sistem Persamaan Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071701/55cf9954550346d0339ccd32/html5/thumbnails/11.jpg)
Operasi Baris Elementer (OBE) adalah suatu operasi yang dikenakan pada suatu baris matriks, yaitu:
1. Kalikan suatu baris dengan sebuah konstanta yang bukan 0.
2. Pertukarkan sebarang dua baris.3. Tambahkan kelipatan dari suatu baris kpd
baris yang lain.
Operasi Baris Elementer(OBE)
![Page 12: Sistem Persamaan Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071701/55cf9954550346d0339ccd32/html5/thumbnails/12.jpg)
OBE 1: Kalikan baris 1 dengan 2 (2B1) OBE 2: Pertukarkan B1 dengan B2 (B1 B2) OBE 3: Tambahkan 3B1 kepada B2 (B2 + 3B1)
Contoh:
𝐴= 1 2 3−2 3 13 −2 1−12−3൩
![Page 13: Sistem Persamaan Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071701/55cf9954550346d0339ccd32/html5/thumbnails/13.jpg)
BY NURUL SAILA
Sifat-sifat matriks bentuk eselon baris adalah sebagai berikut:
1. Jika sebuah baris tidak terdiri seluruhnya dari 0, maka bilangan tak 0 pertama di dalam baris tersebut adalah 1(dinamakan 1 utama).
2. Jika ada suatu baris yang terdiri seluruhnya dari 0, maka semua baris seperti itu dikelompokkan bersama-sama di bawah matriks.
3. Di dalam sebarang dua baris yang berturutan, yang tidak terdiri seluruhnya dari 0, maka 1 utama di dalam baris yang lebih rendah terdapat lebih jauh ke kanan daripada 1 utama di dalam baris yang lebih tinggi.
“Matrik Eselon Baris”(Row-echelon form)
![Page 14: Sistem Persamaan Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071701/55cf9954550346d0339ccd32/html5/thumbnails/14.jpg)
BY NURUL SAILA
Contoh:1. Manakah yg merupakan matrik bentuk
eselon baris?
2. Dengan OBE, ubahlah matrik berikut menjadi matrik bentuk eselon baris.
a. 1 0 30 2 80 0 0൩ b. 1 3 00 0 00 1 4൩ c. 1 0 30 1 20 0 3൩
a. 2 1 −31 4 03 2 −1൩ b. −1 1 −30 4 03 −2 −1൩ c. 2 −1 3−1 4 00 2 −1൩
![Page 15: Sistem Persamaan Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071701/55cf9954550346d0339ccd32/html5/thumbnails/15.jpg)
Contoh:Tentukan selesaian dari sistem persamaan berikut menggunakan metode eliminasi Gauss.
1. ൜4𝑥+ 10𝑦= 306𝑥+ 25𝑦= 67
2. ൝2𝑥− 3𝑦+ 𝑧= 16−4𝑥+ 2𝑦− 3𝑧= −633𝑥− 𝑦+ 5𝑧= 80
![Page 16: Sistem Persamaan Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071701/55cf9954550346d0339ccd32/html5/thumbnails/16.jpg)
Langkah-langkah yang ditempuh, yaitu:1. Mengubah system persamaan linier ke
bentuk matriks yang diperbesar (augmented matrix), yaitu matriks yang entri-entrinya adalah koefisien dari variable dan konstanta dari persamaan dalam system;
2. Dengan menggunakan OBE, mengubah bentuk matriks yang diperbesar menjadi matriks bentuk eselon baris yang direduksi (reduced row-echelon form)
“Eliminasi Gauss Jordan”
![Page 17: Sistem Persamaan Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071701/55cf9954550346d0339ccd32/html5/thumbnails/17.jpg)
Sifat-sifat matriks bentuk eselon baris yang direduksi adalah sebagai berikut:
1. Jika sebuah baris tidak terdiri seluruhnya dari 0, maka bilangan tak 0 pertama di dalam baris tersebut adalah 1(dinamakan 1 utama).
2. Jika ada suatu baris yang terdiri seluruhnya dari 0, maka semua baris seperti itu dikelompokkan bersama-sama di bawah matriks.
3. Di dalam sebarang dua baris yang berturutan, yang tidak terdiri seluruhnya dari 0, maka 1 utama di dalam baris yang lebih rendah terdapat lebih jauh ke kanan daripada 1 utama di dalam baris yang lebih tinggi.
4. Setiap kolom yang mengandung sebuah 1 utama mempunyai 0 ditempat lain.
![Page 18: Sistem Persamaan Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071701/55cf9954550346d0339ccd32/html5/thumbnails/18.jpg)
BY NURUL SAILA
Contoh:1. Manakah yg merupakan matrik bentuk
eselon baris yang direduksi?
2. Dengan OBE, ubahlah matrik berikut menjadi matrik bentuk eselon baris yg direduksi.
a. 1 0 30 1 80 0 0൩ b. 1 3 00 0 00 1 4൩ c. 1 0 30 1 20 0 3൩
a. 2 1 −31 4 03 2 −1൩ b. −1 1 −30 4 03 −2 −1൩ c. 2 −1 3−1 4 00 2 −1൩
![Page 19: Sistem Persamaan Linier](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071701/55cf9954550346d0339ccd32/html5/thumbnails/19.jpg)
Contoh:Tentukan selesaian dari sistem persamaan berikut menggunakan metode eliminasi Gauss.
1. ൜4𝑥+ 10𝑦= 306𝑥+ 25𝑦= 67
2. ൝2𝑥− 3𝑦+ 𝑧= 16−4𝑥+ 2𝑦− 3𝑧= −633𝑥− 𝑦+ 5𝑧= 80