sistem persamaan linier

Diktat Metode Numerik PHK A-2 2005

BAB IIISISTIM PERSAMAAN LINIER

3.1 Pendahuluan.

Penyelesaian suatu sistim n persamaan dengan n bilangan tak diketahui banyak

dijumpai dalam permasalahan teknik, seperti penyelesaian numeris persamaan deferensial

biasa dan parsiil, analisa struktur, analisis jaringan dan sebagainya.

Didalam penyelesaian sistim persamaan akan dicari nilai x1,x2,…….,xn yang memenuhi

sistim persamaan berikut;

f1(x1,x2,……,xn) = 0

f2(x1,x2,…...,xn) = 0

.

fn(x1,x2,…...,xn) = 0

Sistim persamaan diatas dapat linier atau tak linier. Penyelesaian sistim persamaan tak

linier adal;ah sulit. Untungnya , sebagian permasalahan yang ada merupakan persamaan

linier, yang mempunyai persamaan sperti berikut :

dengan nilai a adalah koefisien konstan, b adalah konstan, n adalah jumlah persamaan dan

x1,x2,…….,xn adalah bilangan tidak diketahui.

3.2 Notasi Matriks.

A adalah notasi metrik, sedangkan aij adalah elemen metrik, misalnya a23 adalah

elemen yang terletak pada baris 2 dan kolom 3; m adalah baris dan n adalah kolom.

3.2.1 Beberapa metriks bujur sangkar

Didalam persamaan matriks bujur sangkar, jumlah persamaan (baris) dan jumlah

bilangan tidak diketahuio (kolom) harus sama untuk mendapatkan penyelesaian tunggal.

Terdapat beberapa matriks bujur sangkar ;

1.Metriks Simetris, Apabila aij = aji, misalnya metrik 3 x 3 .

Nova R. Ismail, ST.DosenTeknik Jurusan Teknik Mesin Univ. Widyagama Malang

20


2.Metriks diagonal adalah matriks bujur sangkar dimana semua elemen kecuali diagonal

utama adalah nol :

3.Metriks Identitas, adalah matriks diagonal dimana semua elemn pada diagonal utama

adalah 1.

4.Metriks Segitiga atas, adalah matriks dimana semua elemen di bawah diagonal utama

adalah nol, seperti;

5.Metriks Segitiga bawah, adalah matriks dimana semua elemen di atas diagonal utama

adalah nol, seperti;

6.Metriks pita, adalah matriks yang mempunyai elemen sama dengan nol, kecuali pada

satu jalur yang terpusat pada diagonal utama.

Metriks diatas mempunyai tiga jalur yang biasa disebut dengan matriks tridiagonal.

3.2.2 Operasi Metriks

a. Penjumlahan matriks

Apabila A = (aij) dan B = (bij) adalah dua metrik m x n, penjumlahan

(pengurangn), , didefiniosikan sebagai matriks m x n, C = [cij], dimana tiap

elemen matriks C adalah jumlah (selisih) dari elemen-elemen yang berkaitan dari

A dan B.

Contoh;

b. Perkalian matriks

Perkalian matrik A dengan scalar g diperoleh dengan mengalikan semua elemen

dari A dengan scalar g.

Jika g A = C maka cij = g aij

Contoh


21


Perkalian dua matrik A dan B dapat dilakukan jika kolom sama dengan baris, dan

kedua matrik disebut dengan confortable.

Contoh

Perkalian antara matriks m*p, A = [aij] dan matriks p*n, B = [bij] adalah matriks m

*n, C = [cij].

c. Matriks transpost

Matriks transport adalah matriks yang terbentuk dengan mengganti baris menjadi

kolom dan kolom menjadi baris. Matriks ini diberikan notaso AT.

d. Metriks Inversi

e. Peningkatan metrik

3.3 Metode Eliminasi Gauss.

Metode eleminasi Gauss adalah salah satu cara yang paling awal (lama) dan bamyak

digunakan dalam penyelesaian sistem persamaan linier. Prosedur dari penyelesaian ini

adalah mengurangi sistem persamaan ke dalam bentuk segitiga sedemikian sehingga salah

sau persamaan-persamaan tersebut hanya mengandung satu dari bilangan tak diketahui,

dan setiap persamaan berikutnya hanya hanya terdiri dari satu tambahab bilangan tak

diketahui baru. Dalam hitungan dengan tangan, bentuik segitiga diselesaikan dengan

penambahan dan pengurangan dari beberapa persamaan, setelah persamaan tersebut

dikalikan dengan suatu faktor (konstan).

Untuk memudahkan penjelasan pertama kali dipandang suatu sistem dari 3 persamaan

dengan 3 bilangan tak diketahui :

a11x1 +a12x2+a13x3 = b1 (3.3.a)

a21x1 +a22x2+a23x3 = b2 (3.3.b)

a31x1 +a32x2+a33x3 = b3 (3.3.c)

persamaan pertam adari sistem dibagi koefisien pertama dari persamaan pertama, a11

(3.4)

Persamaan (3.4) dikalikan dengan koefisien pertama dari persamaan kedua

(3.5)

Persamaan (3.3.b) dikurangi persamaan (3.5) didapat :


22


atau a’22 + a’23x3 = b’3

Langkah berikutnya, persamaan yang telah dinormalkan (pers. 3.4) dikalikan dengan

koefisien pertama dari persamaan ketiga, dan hasilnya dkurangkan dari persamaan ketiga

dari sistem persamaan asli. Hasilnya adalah

a11x1 +a12x2+a13x3 = b1 (3.6.a)

a’22x2+a’23x3 = b’2 (3.6.b)

a’32x2+a’33x3 = b’3 (3.6.c)

Persamaan 3.6 ekivalaen dengan persamaan aslinya, tetapi variabel x1 hanya muncul

pada persamaan pertama. Dua persamaan terakhir hanya mengandung dua bilangan tak

diketahui. Apabila persamaan terakhir dapat diselesaikan untuk nilai x2 dan x3, maka

hasilnya dapat disubstitusikan ke dalam persamaan pertama untuk mendapatkan nilai x1.

permasalahan menjadi lebih sederhana, dari menyelesaikan 3 persamaan dengan 3

bilangan yang tak diketahui menjadi penyelesaian 2 persamaan dengan 2 bilangan tak

diketahui.

Prosedur beikutnya adalah mengeleminasi x2 dari salah dua persamaan terakhir. Untuk

itu persamaan 3.6.b dibagi dengan koefisien pertama dari persamaan 3.6.b, yaitu a’22

(3.7)

Persamaan (3.7) dikalikan dengan koefisien pertam dari persamaan (3.6.c)

(3.8)

persamaan (3.6.c) dikurangi persamaan (3.8),

atau a”33x33 = b”3

dengan demikian sistem persamaan menjadi :

a11x1 +a12x2+a13x3 = b1 (3.9.a)

a’22x2+a’23x3 = b’2 (3.9.b)

+a”33x3 = b”3 (3.9.c)

Sistem persamaan di atas mempunyai koefisien matik yang berbentuk segitiga atas (ai,j =

0, untuk i > j). Dari sistem persamaan tersebut akan dapat dihitung nilai x1,x2 dan x3,

(3.10.a)

(3.10.b)


23


(3.10.c)

Dengan demikian sistem persamaan telah dapat diselesaikan.

Contoh 5 :

Selesaikan sistem persamaan berikut ini :

3x + y – z = 5 (1.a)

4x +7y – 3z = 20 (1.b)

2x – 2y + 5z = 10 (1.c)

Penyelesaian:

Langkah pertama adalah menormalkan persamaan (1.a) dengan membagi persamaan

tersebut dengan elemen pivot (koefisien pertama persamaan 1.a)

x + 0,3333y – 0,3333z = 1,6666 (2)

Persamaan (2) dikalikan dengan elemen pertama dari persamaan (1.b)

4x + 1,3333y – 1,3333z = 6,6666 (3)

Persamaan (1.b) dikurangi persamaan (3)

5,6667y – 1,6666z = 13,3334 (4)

Kalikan persamaan (2) dengan elemen pertama dari persamaan (1.c) yaitu 2

2x + 0,6666y – 0,6666z = 3,3333 (5)

Persamaan (1.c) dikurangi persamaan (5)

-2,6666y + 5,6666z = 6,6667 (6)

dengan demikian sistem persamaan menjadi :

3x + y - z = 5 (7.a)

5,6667y – 1,6666z = 13,3334 (7.b)

-2,6666y + 5,6666z = 6,6667 (7.c)

Langkah berikutnya adalah mengeleminasi persamaan variabel y3 dari persamaan (7.c).

untuk persamaan (7.b) dinormalkan dengan membaginya dengan elemen pertama dari

persamaan tersebut, yaitu 5,6667.

y – 0,2941z = 2,3529 (8)

Persamaan (8) dikalikan dengan elemen pertama dari persamaan (7.c), yaitu -2,6666

-2,6666y + 0,7842z = -6,2742 (9)

Persamaan (7.c) dikurangi dengan persamaan (9),

4,8824z = 12,9409

setelah dilakukan tiga kali manipulasi, sistem persamaan menjadi :

3x + y - z = 5 (10.a)

5,6667y – 1,6666z = 13,3334 (10.b)

4,8824z = 12,9409 (10.c)

dari persamaan (10.c), dapat dihitung niali z,


24


dari persamaan (10.b) dan nilai z yang diperoleh dapat dihitung nilai y,

y =

Dengan persamana (10.a) dan nilai y dan z yang telah diperoleh , dihitung nilai x

x =

Jadi hasil penyelesaian sistem persamaan adalah :

x = 1,506,

y = 3,1325

z = 2,6505

untuk mengeahui benar tidaknya nilai yang didapat nilai x, y dan z yang diperoleh

disubstitusikan ke dalam sistem persamaan asli,

3 (1,506) + 3,1325 – 2,6505 = 5 (=5)

7 (1,506) + 7 (3,1325) – 3 (2,6505) = 20 (=20)

2 (1,506) - 2 (3,1325) + 5 (2,6505) = 9,9995 (=10)

3.4 Metode Gauss – Jordan

Metode Gauss Jordan adalah mirip dengan metode eleminasi Gauss. Metode ini banyak

digunakan. Penjelasan metode ini dilkukan dengan menggunakan contoh suatu sistem dari

4 persamaan dengan 4 bilangan tak diketahui.

a11x1 + a12x2 + a13x3 + a14x4 = b1 (3.11.a)

a21x1 + a22x2 + a23x3 + a24x4 = b2 (3.11.b)

a31x1 + a32x2 + a33x3 + a34x4 = b3 (3.11.c)

a41x1 + a42x2 + a43x3 + a44x4 = b4 (3.11.d)

Persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk matrik :

4

3

2

1

x

x

x

x

=

(3.12)

Di dalam metode Gauss Jordan, dipilih secara berurutan setiap baris sebagai baris pivot,

degan pivot adalah elemen pertama tidak nol dari baris tersebut.

1. Pertama kali baris pertama dari persamaan (3.12) dibagi dengan elemen pivot, yaitu a11,

sehingga didapat :


25


4

3

2

1

x

x

x

x

=

Elemen pertama dari semua baris lainnya dihilangkan dengan cara :

a. Persamaan pertama dikalikan dengan elemen pertama dari persamaan kedua (a21)

dan kemudian dikurangkan terhadap persamaan kedua

b. Persamaan pertama dikalikan dengan elemen pertama dari persamaan ketiga (a31)

dan kemudian dikurangkan terhadap persamaan ketiga

c. Persamaan pertama dikalikan dengan elemen pertama dari persamaan keempat

(a41) dan kemudian dikurangkan terhadap persamaan keempat

Operasi ini menghasilkan sistem persamaan berikut :

4

3

2

1

x

x

x

x

=

(3.13)

2. Kemudian ditetapkan baris kedua sebagai baris pivot dan a’22 sebagai elemen pivot.

Prosedur di atas diulangi lagi untuk baris kedua.

Baris kedua dari persamaan di atas dibagi dengan elemen pivot, yaitu a’22, sehingga

didapat :

4

3

2

1

x

x

x

x

=

Elemen kedua dari semua baris lainnya dihilangkan dengan cara :

a. Persamaan kedua dikalikan dengan elemen kedua dari persamaan pertama (a’12)

dan kemudian dikurangkan terhadap persamaan pertama.

b. Persamaan kedua dikalikan dengan elemen kedua dari persamaan ketiga (a’32) dan

kemudian dikurangkan terhadap persamaan ketiga.

c. Persamaan kedua dikalikan dengan elemen kedua dari persamaan keempat (a’42)

dan kemudian dikurangkan terhadap persamaan keempat.

Operasi ini menghasilkan sistem persamaan berikut :


26


4

3

2

1

x

x

x

x

=

(3.14)

3. Urutan langkah selanjutnya ditetapkan baris ketiga sebagai pivot. Setelah itu prosedur

diulangi lagi sehingga akhirnya didapat sistem persamaan sebagai berikut :

4

3

2

1

x

x

x

x

=

(3.15)

Dari sistem persamaan (3.15) dapat dihitung dari nilai x1,x2,x3 dan x4

Contoh 6.

3x + y - z = 5 (1.a)

4x + 7y - 3z = 20 (1.b)

2x – 2y + 5z = 10 (1.c)

sistem persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk matrik berikut :

=

(2)

Baris pertama dari persamaan (2) dibagi dengan elemen pivot, yaitu 3 sehingga persamaan

menjadi :

=

Persamaan pertama dikalikan dengan elemen pertama dari persamaan kedua, yaitu 4 dan

kemudian dikurangkan terhadap persamaan kedua. Dengan cara yang sama untuk

persamaan ketiga, sehingga didapat :


27


=

Baris kedua dari persamaan di atas dibagi dengan elemen pivot, yaitu 5,6668, sehingga

sistem persamaan menjadi :

=

Persamaan kedua dikalikan dengan elemen kedua dari persamaan pertama (0,3333) dan

kemudian dikurangkan terhadap persamaan pertama. Kemudian dengan cara yang sama

untuk persamaan ketiga, sehingga didapat :

=

Persamaan ketiga dibagi dengan elemen pivot yaitu 4,8824 sehingga persamaan menjadi :

=

Persamaan ketiga dikalikan elemen ketiga dari persamaan pertama dan kemudian

dikurangkan terhadap persamaan pertama . kemudian dengan cara yang sama untuk

persamaan kedua, sehingga didapat :

=

Dari sistem persamaan di atas didapat nilai x,y danz

x = 1,5061, y = 3,1324, z=2,6505

3.5 Matriks Tridiagonal (Metode Sapuan Ganda Choleski)

Dalam penyelesaian sistem persamaan yang berbentuk matriks tridiagonal, metode

penyelesaian langsung (metode pivot) sering disebut metode sapuan ganda atau metode

Choleski. Metode ini diberikan dalam buku ini karena pemakaiannya mudah dan matriks

tridiagonal banyak dijumpai dalam banyak permasalahan, terutama dalam penyelesaian

persamaan differensial order dua.

Dipandang sistem persamaan berikut :

a1x1 + c1x2 = d1

a2x1 + b2x2 + c2x3 = d2

aixi + bixi + cixi + 1 = di (3.16)

anxn-1 + bnxn = dn


28


Persamaan pertama dari sistem persamaan (3.16) memungkinkan untuk menulis

bilangan tak diketahui x1 sebagai fungsi bilangan tak diketahui x2.

atau (3.17)

dengan dan

Apabila nilai x1 tersebut disubstitusikan ke persamaan kedua dari sistem (3.16)

atau

dengan dan

Persamaan di atas menunjukan bahwa x2 merupakan fungsi dari x3. Prosedur di atas dapat

diulangi untuk persamaan-persamaan berikutnya. Dengan demikian setiap bilangan tak

diketahui dapat dinyatakan sebagai bilanngan tak diketahui berikutnya.

Misalkan telah diperoleh persamaan berikut :

xi -1 = Pi – 1xi + Qi – 1

Apabila xi -1 disubstitusikan ke dalam persamaan ke-i dari sistem persamaan (3.16), maka:

ai (Pi – 1xi + Qi – 1) + bixi + cixi = di

(ai Pi – 1xi + bi) xi + cixi + 1= di – ai Qi – 1

Persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk :

(3.18.a)

dengan (3.18.b)

, untuk i = 1, maka persamaan (3.18.a) menjadi :

(3.19.a)

dengan


29


(3.19.b)

(3.20.c)

Perbandingan persamaan (3.19) dan (3.17) menunjukkan bahwa :

P0 = 0 (3.20.a)

Q0 = 0 (3.20.b)

Persamaan (3.19) dan (3.20) memungkinkan untuk menghitung koefisien Pi dan Qi dari i

= 1 sampai i = n. Langkah ini merupakan sapuan pertama. Setelah sampai titik ke n hitungan

dilakukan dalam arah kebalikannya, yaitu dari n ke 1, untuk menghitung bilangan tak

diketahui xi. Untuk itu persamaan terakhir dari sistem (3.16) ditulis dalam bentuk :

(3.21)

Pada sistem (3.18) apabila i=n-1, maka:

xn-1 = Pn – 1xn + Qn – 1 (3.22)

Substitusi persamaan (3.22) ke dalam persamaan (3.21) akan memberikan :

an(Pn – 1xi + Qn – 1) + bnxn = dn

(anPn – 1+bn) xn = dn – an Qn – 1

(3.23)

Sesuai dengan persamaan (3.18.a). maka :

xn = Qn

Dengan demikian nilai xn dapat diperoleh. Berdasarkan nilai xn tersebut akan dapat dihitung

nilai xn – 1,

xn – 1 = Pn – 1xn + Qn – 1

Dari nilai xn – 1 kemudian dihitung nilai xn – 2, xn – 3, dan seterusnya sampai x1.

Contoh 7.

Selesaikan sistem persamaan berikut ini dengan menggunakan metode sapuan ganda.

2x1 + x2 = 7

x1 + x2 – 3x3 = -10 (1)

6x2 – 2x3 + x4 = 7

2x3 – 3x4 = 13

Penyelesaian :

Sistem persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk matrik tridiagonal, yang

penyelesaiannya dapat dilakukan dengan menggunakan persamaan berikut :

xi = Pi xi +1+ Qi (2)

(3)


30


(4)

Gambar 3.1 adalah skema penyelesaian sistem persamaan dengan metode sapuan ganda :

Gambar 3.1 Skema metode sapuan ganda

Langkah pertama dihitung nilai Pi dan Qi (i = 1,2,3,4) dari kiri ke kanan. Setelah sampai

ke titik i = n = 4, dihitung nilai xn = Qn. Berdasarkan nilai xn tersebut, kemudian hitungan

dilanjutkan dari kanan ke kiri sampai mendapatkan nilai xi (i = 4,3,2,1).

a. Menghitung Koefisien Pi dan Qi (i=1,2,3,4)

Koefisien Pi dan Qi dihitung dengan menggunakan persamaan (3) dan (4) berdasar

sistem persamaan (1).

Untuk i=1, P0 = 0 dan Q0 = 0.

untuk i = 2,

untuk i = 3,

untuk i = n = 4,

Pn = 0

Setelah koefisien Pi dan Qi (i = 1,2,3,4) didapat, kemudian dihitung nilai xi ( i = 4,3,2,1).Nova R. Ismail, ST.DosenTeknik Jurusan Teknik Mesin Univ. Widyagama Malang

31

P1Q1 P2Q2 P3Q3 P4Q4

PiQi (i = 1,2,3,4)

x1 x2 x3 x4

xi (i = 4,3,2,1)


b. Menghitung xi ( i = 4, 3, 2, 1)

Variabel xi ( i = 4, 3, 2, 1) dihitung dengan menggunakan persamaan (2),

xi = Pixi + 1 + Qi

untuk i = 4,

x4 = Q4 = -1,00

untuk i = 3,

x3 = P3x4 + Q3 = -0,02941x(-1,0) + 4,97059 = 5,00

untuk i = 2,

x2 = P2x3 + Q2 = 6(5) + (-27) = 3

untuk i = 1,

x1 = P1x2 + Q1 = -0,5(3) + 3,5 = 2

Dengan demikian hasil yang diperoleh adalah :

x1 = 2, x2 = 3,0, x3 = 5,0 x4 = -1,0

Untuk mengetahui benar tidaknya hasil yang diperoleh, maka nilai-nilai tersebut

dimasukkan ke dalam persamaan yang telah diselesaikan.

2(2) + 3 = 7 (=7)

2 + 3 – 3 (5,0) = -10 (=-10)

6(3) – 2 (5) + (-1) = 7 (=7)

2(5,0) – 3 (-1,0) = 13 (=13)

3.6 Matriks Inverse

Telah dijelaskan di depan bahwa apabila matriks A adalah bujur sangkar, maka terdapat

matriks lain yaitu A-1, yang disebut matriks inverse dari A, sedemikian hingga :

A A-1 = A-1 A = I

dengan I adalah matriks identitas.

Selain itu juga telah ditunjukan bahwa matriks inverse dapat digunakan untuk

menyelesaikan sistem persamaan yang berbentuk :

A X = C (3.24)

Atau

X = A-1 C (3.25)

Persamaan di atas menunjukkan bahwa X dapat dihitung dengan mengalikan matriks

inverse dari koefisien matriks A dengan ruas kanan dari sistem persamaan (3.24) yaitu C.

Matriks inverse dapat dicari dengan menggunakan metode Gauss – Jordan. Untuk itu

matriks koefisien A ditingkatkan dengan matriks identitas I. Kemudian metode Gauss –

Jordan ini digunakan untuk mengubah matriks koefisien menjadi matriks identitas. Setelah

matriks koefisien menjadi matriks identitas, maka sisi kanan dari matriks yang ditingkatkan

adalah matriks inverse. Contoh berikut merupakan prosedur pembuatan matriks inverse.

Contoh 8.

Akan dicari matrik inverse dari matriks berikut :


32


Penyelesaian :

Matriks A ditingkatkan dengan matriks identitas sehingga menjadi :

1. Ditetapkan elemen pertama dari baris pertama sebagai elemen pivot yaitu 2. baris

tersebut dibagi dengan elemen pivot (2) sehingga didapat :

Baris kedua dan ketiga dikurangi oleh baris pertama

2. Baris kedua ditetapkan sebagai baris pivot, kemudian baris tersebut dibagi dengan

elemen pivot, yaitu 3/2

kemudian baris kedua dikalikan dengan ½ dan hasilnya digunakan untuk mengurangi

persamaan pertama dan ketiga

3. Persamaan ketiga ditetapkan sebagai baris pivot dan kemudian baris tersebut dibagi

dengan elemen pivot, yaitu 4/3

Baris pertama dan kedua dikurangi dengan baris ketiga yang dikalikan dengan 1/3

Dengan demikian didapat matrik inversenya adalah :

A-1 =

3.7 Metode Gauss – Seidel

Beberapa metode yang telah dipelajari di depan termasuk dalam metode langsung.

Dalam sub bab ini akan dipelajari metode lain, yaitu metode iteratif. Dalam hal tertentu

metode ini lebih baik dibanding dengan metode langsung, misalnya untuk matriks yang


33


tersebar (sparse matriks) yaitu matriks dengan banya elemen nol. Metode ini juga dapat

menyelesaikan sistem persamaan tidak linier.

Dalam sub bab ini akan dipelajari dua metode iteratif, yaitu metode Jacobi dan Gauss –

Seidel.

1. Metode Jacobi

Dipandang 3 sistem persamaan dengan 3 bilangan tak diketahui :

a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 (3.26)

a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3

Persamaan pertama dari sistem di atas dapat digunakan untuk menghitung x1 sebagai

fungsi dari x2 dan x3. Demikian juga persamaan kedua dan ketiga untuk menghitung x2

dan x3, sehingga di dapat :

(3.27)

Hitungan dimulai dengan nilai perkiraan awal sebarang untuk variabel yang dicari

(biasanya semua variabell diambil sama dengan nol). Nilai perkiraan awal tersebut

disubstitusikan ke dalam ruas kanan dari sistem persamaan (3.27). Selanjutnya nilai

variabel yang didapat tersebut disubstitusikan ke ruas kanan dari sistem (3.27) lagi

untuk mendapatkan nilai perkiraan kedua. Prosedur tersebut diulangi lagi sampai nilai

setiap variabel pada iterasi ke-n mendekati nilai pada iterasi ke – n-1.

(3.27)

iterasi hitungan berakhir setelah :

dan

Contoh 9.

Selesaikan sistem persamaan berikut dengan metode iterasi Jacobi.

3x + y – z = 5

4x + 7y – 3z = 20 (1)

2x – 2y + 5z = 10


34


Penyelesaian :

Sistem persamaan (1) dapat ditulis dalam bnetuk :

(2)

Langkah pertama dicoba x = y = z = 0 dan dihitung dengan nilai x’, y’ dan z’.

Nilai x’,y’,z’ diiperoleh tidak sama dengan permisalan. Iterasi dilanjutkan dengan

memasukkan x’,y’,z’ ke dalam persamaan (2) untuk menghitung nilai x”,y” dan z” dan

kesalahan yang terjadi

Hitungan dilkanjutkan dengan prosedur di atas, dan hasilnya diberikan dalam tabel berikut :

Tabel 3.1 Hasil hitungan dengan Metode Jacobi

Iterasi x1 x2 x3 εx% εy% εz%12345678

0,01,666671,380951,571431,474381,523361,497541,51059

0,02,857142,761903,129153,053063,138843,114433,13549

0,02,02,476192,552382,623132,631472,646192,64675

-100,0020,6912,126,583,221,720,86

-100,003,4511,742,502,730,780,67

-100,0019,232,992,700,320,560,02

2. Metode Gauss – Seidel


35


Di dalam metode Jacobi , nilai x1 yang dihitung ari persamaan pertama tidak digunakan

untuk menghitung nilai x2 dengan persamaan kedua. Demikian juga nilai x2 tidak digunakan

untuk mencari nilai x3, sehingga nilai-nilai tersebut tidak dimanfaatkan. Sebenarnya nilai-

nilai baru tersebut lebih baik dari nilai-nilai yang lama. Di dalam metode Gauss Seidel nilai-

nilai tersebut dimanfaatkan untuk meghitung variabel berikutnya.

Seperti dalam metode Jacobi, sistem persamaan (3.26) diubah ke dalam persamaan

(3.27). Kemudian ke dalam persamaan pertama dari sistem (2) disubstitusikan nilai

sembarang (biasanya diambil nol), sehingga :

(3.29.a)

Nilai baru dari x1 tersebut kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan kedua dari sistem

(3.27)

(3.29.b)

Demikian juga ke dalam persamaan ketiga ari sistem (3.27) disubstitusikan nilai baru dan

, sehingga didapat :

(3.29.c)

Dengan cara seperti ini nilai x1, x2, x3 akan diperoleh lebih cepat daripada metode

Jacobi.

Contoh 10.

Selesaikan soal dalam contoh 9 dengan metode iterasi Gauss – Seidel

Penyelesaian

Langkah pertama dicoba nilai y = z = 0 dan dihitung x’ dengan menggunakan

persamaan (3.29.a)

Persamaan (3.29.b) digunakan untuk menghitung nilai y’,

Nilai z’ dihitung dengan persamaan (3.29.c),

Nilai x’, y’ dan z’ yang diperoleh tidak sama dengan nilai permisalan, iterasi dilanjutkan

dengan prosedur di atas untuk menghitung x“, y“ dan z“ dan kesalahan yang terjadi.


36


Hitungan dilkanjutkan dengan prosedur di atas, dan hasilnya diberikan dalam tabel berikut :

Tabel 3.2 Hasil hitungan dengan Metode Gauss – Seidel

Iterasi x1 x2 x3 εx% εy% εz%

1

2

3

4

5

6

0,0

1,66667

1,73016

1,54936

1,52544

1,51146

0,0

1,90476

2,76644

3,00658

3,09242

3,11922

0,0

2,09524

2,41451

2,58289

2,62679

2,64310

-

-

3,67

11,67

1,57

0,9

-

-

31,15

7,99

2,78

0,86

-

-

13,22

6,52

1,67

0,62


37

sistem persamaan linier

Documents