sistema variables de masa
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Inicio Dinmica Sistemas de masa variable Cohetes
Formulacin discreta de las ecuaciones delmovimiento de un cohete.
Un cohete expulsa una fraccin m de su combustible a intervalos de tiempos fijos(por ejemplo, cada segundo), con una velocidad u respecto del cohete. Este es unproblema similar al de un patinador de masa M en una pista de hielo que arrojarepetidamente bolas de masa m con velocidad constante u respecto del patinador oun vehculo propulsado por los proyectiles disparados, que se ha descrito en laseccin choques de este captulo.
Supondremos que el cohete est en el espacio exterior y por tanto, no acta ningunafuerza exterior sobre el mismo. Para calcular la velocidad del cohete a medida queva expulsando el combustible aplicamos el principio de conservacin del momentolineal.
El cohete tiene una masa M que incluye la carga til, el combustible y la masa del depsito que lo contiene.Supondremos que el cohete expulsa n fracciones de combustible de masa m a intervalos fijos de tiempo, es decir,en los instantes 0, t, 2t...(n-1) t, alcanzando la velocidad en v1, v2, ....vn, tal como se muestra en la figura.
Velocidad del cohete
1. En el intervalo (0-t)
En el instante inicial t=0, expulsa una fraccin m de combustible con una velocidad u respecto del cohete. Elcohete pierde una masa m y adquiere una velocidad v1. Si el cohete estaba inicialmente en reposo, su momentolineal es cero. Por tanto, la suma del momento lineal del cohete ms el momento lineal del combustible expulsadodebe dar cero.
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(M-m)v1+m(-u)=0
El cohete se mover con velocidad constante v1 en el intervalode tiempo 0-t. La fraccin m del combustible expulsado se mover con velocidad constante u.
2. En el intervalo (t-2t)
En el instante t, el cohete expulsa otra fraccin m de combustible con velocidad u respecto del cohete o v1-urespecto de Tierra. El cohete pierde otra masa m y adquiere una velocidad v2.
El momento lineal inicial del cohete (M-m)v1 es igual al momento final del cohete ms el de la fraccin m delcombustible expulsado.
(M-2m)v2+m(v1-u)= (M-m)v1
El cohete se mover con velocidad constante v2 en elintervalo de tiempo t -2t. La fraccin m del combustible expulsado se mover con velocidad constante v1-u.
3. En el intervalo (2t-3t)
En el instante 2t, el cohete expulsa otra fraccin m de combustible con velocidad u respecto del cohete o v2-urespecto de Tierra. El cohete pierde otra masa m y adquiere una velocidad v3. Aplicando el principio deconservacin del momento lineal, despejamos v3.
(M-3m)v3+m(v2-u)= (M-2m)v2
El cohete se mover con velocidad constante v3 en el intervalo de tiempo 2t -3t. La fraccin m del combustibleexpulsado se mover con velocidad constante v2-u.
4. En el intervalo ((n-1)t-nt)
En el instante (n-1)t, el cohete expulsa la ltima fraccin m de combustible con velocidad u respecto del coheteo vn-1-u respecto de Tierra. El cohete pierde otra masa m y adquiere una velocidad vn.
El cohete se mover con velocidad constante vn en a partir del instante t=(n-1) t. La ltima fraccin m delcombustible expulsado se mover con velocidad constante vn-1-u.
Momento lineal
En el intervalo de tiempo comprendido entre (i-1)t -it el momento lineal del cohete es
Pc=(M-im)vi
El momento lineal del combustible expulsado, como podemos comprobar en la primera figura es
Pg=m(-u)+m(v1-u)+m(v2-u)+m(vi-1-u)
La conservacin del momento lineal del sistema aislado formado por el cohete y el combustible que expulsa,exige que ambos momentos sean iguales y de sentido contrario. Pc+Pg=0.
Energa
La energa final del sistema, es la suma de la energa cintica del cohete Ec con velocidad final vn, y la energacintica Eg de las fracciones de masa m de combustible expulsados con velocidad (-u), (v1-u), (v2-u) (vn-1-u),respectivamente.
=v1m uM m
= + = mu( + )v2 v1 m uM 2m 1M m 1M 2m
= + = mu( + + )v3 v2 m uM 3m 1M m 1M 2m 1M 3m
= mu( + + .. + ) = muvn 1M m 1M 2m 1M n m i=1n 1
M i m
= (M n m)c 1 2
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Desplazamiento
El desplazamiento en el intervalo de tiempo (0-t) es x1=v1t
El desplazamiento en el intervalo de tiempo (t-2t), vale x2=v2t
El desplazamiento en el intervalo de tiempo (2t-3t), vale x3=v3t
El desplazamiento total en el intervalo de tiempo (0- nt) ser
Del modelo discreto al continuo
El paso del modelo discreto al modelo continuo, que veremos en la siguiente pgina, implica incrementar elnmero n de fracciones de combustible de modo que la masa m de cada fraccin sea cada vez ms reducida. En ellmite, cuando n tienda a infinito, la masa de cada fraccin ser una cantidad infinitesimal dm. Vamos a compararlas predicciones del modelo discreto frente a las del modelo continuo.
La masa inicial M es la suma de la carga til, ms el combustible y ms la masa del recipiente que serproporcional a la masa del combustible que contiene
masa inicial M =carga til+(1+r) combustible.
donde r es del orden del 5% 0.05.
Tomaremos el intervalo de tiempot =1 s. De modo que, la primera fraccin de combustible se expulsa en elinstante t=0, la segunda en el instante t=1 s., la tercera en el instante t=2 s, y as sucesivamente. El combustible seagota en el instante t=(n-1) s.
Ejemplo 1:
Combustible en el cohete, 9000 kg
Carga til que transporta, 800 kg.
Nmero de fracciones, 3.
La masa inicial del cohete es (carga til+combustible+masa del depsito)
M=800+1.059000=10250 kg.
La masa de cada fraccin de combustible es m=9000/3=3000 kg, y se expulsan en los instantes t=0, t=1, y t=2 s.
La velocidad con la que se expulsa cada una de las fracciones es u=2000 m/s constante respecto del cohete, y estfijada en el programa interactivo.
Modelo discreto
Las velocidades del cohete en los intervalos de tiempo que se indican son
Intervalo (s) Masa del cohete (kg) Velocidad cohete (m/s) Velocidad del combustible(m/s)
0-1 10250-3000 827.6 -2000
1-2 10250-23000 2239.3 827.6-2000
2-3 10250-33000 7039.3 2239.3-2000
1. Desplazamiento del cohete en el intervalo de (0- 3) s es el rea bajo la curva escalonada.
= (M n m)Ec 12 v2n
= m + mEg 12 (u)2 1
2 i=1
n1( u)vi 2
x = = t = t mu i=1
nxi
i=1
nvi
i=1
n
j=1
i 1M m j
(0 1) s = 3000 2000 = 827.6 m/sv1 11025013000(1 2) s = + 3000 2000 ( ) = 2239.3 m/sv2 v1 11025023000(2 3) s = + 3000 2000 ( ) = 7039.3 m/sv3 v2 11025033000
-
x=827.61+2239.31+7039.31=10106.3 m.
2. Momento lineal final del cohete:
Pc=(10250-33000)7039.3=8799188.6 kgm/s
Momento lineal final de los gases expulsados:
Pg=3000(-2000)+3000(827.6-2000)+3000(2239.3-2000)=-8799188.6 kgm/s.
3. Energa del cohete:
Ec=(10250-33000)7039.32/2=3.0971010 J
Energa de los gases expulsados:
Eg=3000(-2000)2/2+3000(827.6-2000)2/2+3000(2239.3-2000)2/2=8.148109 J
La energa total necesaria para que el cohete alcance la velocidad final de 7039.3 m/s es la suma delas dos contribuciones.
E= Ec+ Eg=3.9121010 J
Modelo continuo.
En la formulacin continua, se queman 3000 kg de combustible cada segundo, D=3000 kg/s, resultando
Velocidad final de v=4208 m/s
Desplazamiento en el intervalo de tiempo (0-3)s es, x=4246 m.
Como vemos hay una gran diferencia entre las predicciones de ambos modelos
Ejemplo 2:
Combustible en el cohete 9000 kg
Carga til que transporta 800 kg.
Nmero de fracciones 9.
La masa inicial del cohete es (carga til+combustible+masa del depsito)
M=800+1.059000=10250 kg.
La masa de cada fraccin de combustible es m=9000/9=1000 kg, y se expulsan en los instantes t=0, t=1, ... t=8 s.
La velocidad de expulsin de cada una de las fracciones es de u=2000 m/s respecto del cohete, y est fijada en elprograma interactivo.
Modelo discreto
Las velocidades del cohete en los intervalos de tiempo que se indican son
Intervalo(s)
Masa del cohete(kg)
Velocidadcohete (m/s)
Velocidad delcombustible (m/s)
0-1 9250 216.2 -2000
1-2 8250 458.6 216.2-2000
2-3 7250 734.5 458.6-2000
3-4 6250 1054.5 734.5-2000
4-5 5250 1435.5 1054.5-2000
5-6 4250 1906.0 1435.5-2000
6-7 3250 2521.4 1906.0-2000
7-8 2250 3410.3 2521.4-2000
8-9 1250 5010.3 3410.3-2000
1. El desplazamiento total del cohete en el intervalo (0-9) s es x=16747.4 m
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2. El momento lineal final del cohete es Pc=6262895.8 kgm/s
El momento lineal final del combustible expulsado es Pg=-6262895.8 kgm/s
3. La energa cintica del cohete es Ec=1.571010 J
La energa cintica del combustible expulsado es Eg=7.32 109 J.
La energa total es E= Ec+ Eg=2.301010 J.
Modelo continuo
En la formulacin continua, se queman 1000 kg de combustible cada segundo, D=1000 kg/s, resultando
Velocidad final de v=4208 m/s.
Desplazamiento en el intervalo de tiempo (0-9) s es, x=12740 m.
Los resultados del modelo discreto se van acercando a los del modelo continuo.
Fijarse que en el modelo continuo, la velocidad final del cohete es independiente de D, la cantidad decombustible quemado en la unidad de tiempo.
Actividades
Se introduce
El combustible c, en el control de edicin titulado Combustible en el cohete
La carga til que transporta, en el control de edicin titulado Carga til que transporta
El nmero n de fracciones de combustible de masa m=c/n, que se expulsan a intervalos regulares de tiempo, enel control de edicin titulado Nmero de fracciones
La velocidad de expulsin de cada una de las fracciones se ha fijado en u=2000 m/s respecto del cohete,
Se pulsa el botn titulado Empieza
En la parte inferior del applet, vemos el movimiento del cohete, en color azul, y el movimiento de las fraccionesde combustible expulsados (en color rojo).
En la parte superior izquierda, tenemos un conjunto de tres barras:
La primera, seala el tanto por ciento de combustible (en color blanco) gastado y en color rojo el remanente.
La segunda representa, el momento lineal del cohete (azul) y el momento lineal de los gases expulsados (enrojo), ambos momentos son iguales y de sentido contrario, de modo que el momento lineal total es cero.
La tercera barra, representa la energa: la longitud total de la barra es la energa total disponible, la parte azulcorresponde a la energa cintica del cohete, y la parte roja, la energa cintica de las fracciones de combustibleexpulsadas.
Finalmente, tenemos la representacin de la velocidad del cohete en funcin del tiempo. En color rojo la curvacontinua describe el perfil de la velocidad del cohete calculada siguiendo el modelo continuo. En color azul,tenemos una curva escalonada que representa el perfil de la velocidad del cohete calculada siguiendo el modelodiscreto descrito en esta pgina.
Probar con diversos valores del nmero de fracciones, por ejemplo n=3 y compararla con n=9. Veremos cmo amedida que se incrementa n las predicciones del modelo discreto se acercan a las del modelo continuo.
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Cohete de una etapa
Cohete de dos etapas
Movimiento vertical deun cohete (I)
Movimiento vertical deun cohete (II)
Descenso del mdulolunar
Inicio Dinmica Sistemas de masa variable Cohetes
Un cohete de empuje constanteEn esta pgina, estudiaremos el movimiento de un cohete en el espacio exterior.
Un cohete ordinario funciona a base de reacciones qumicas que proporcionan una velocidad constante u desalida de los gases en el Sistema de Referencia en el cohete. Si la cantidad de combustible D que se quema en launidad de tiempo es constante, entonces el empuje que proporcionan al cohete los gases expulsados es tambinconstante.
En esta pgina, veremos que la velocidad final del cohete no depende de la cantidad D de combustible quemadoen la unidad de tiempo, aunque el tiempo que tarda en alcanzar la velocidad mxima o el desplazamiento delcohete si dependen de esta cantidad.
Ecuacin del movimiento
Consideremos un cohete de masa inicial m que lleva una velocidad v respecto a un Sistema de Referencia Inercial(por ejemplo, la Tierra).
En el instante t+t, una masa se expulsa con una velocidad constante u relativa al cohete, comoconsecuencia la masa restante (m-) del cohete se incrementa en v+v.
En el instante t el cohete de masa m lleva una velocidad v. Su momento lineal es
p(t)=mv
En el instante t+t
El cohete tiene una masa m-, su velocidad es v+v.
La masa expulsada lleva una velocidad u respecto del cohete o una velocidad u+ v, respecto de Tierra
El momento lineal en este instante es
p(t+t)=(m-)(v+v)+ (u+ v)
Si el cohete est en el espacio exterior, el sistema formado por el cohete y el combustible que expulsa es aislado,el momento lineal p permanece constante. La ecuacin del movimiento del cohete es
p= p(t+t)- p(t)=mv- u-v=0
En el lmite cuando t0
La masa M del sistema formado por el cohete m y el combustible expulsado es constante M=+m, por lo qued+dm=0. La masa del cohete disminuye en dm y aumenta la masa del combustible expulsado en la mismacantidad.
(1)
Despejando dv
m u = 0dvdtddt
m + u = 0dvdtdmdt
dv = u dv = uv m
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cuya integracin entre los instantes 0 y t conduce a la siguiente expresin
Suponemos que la cantidad de combustible quemado en la unidad de tiempo, D, es constante, D=-dm/dt. La masam del cohete en el instante t valdr m=m0-Dt. Donde m0 es la suma de la carga til ms el combustible inicial, yDt es el combustible quemado al cabo de un cierto tiempo t.
La ecuacin del movimiento (1), la podemos interpretar afirmando que el cohete se comporta como una partculade masa variable m que se mueve bajo la accin de una fuerza de empuje constante uD.
Para hallar el desplazamiento x del cohete en el tiempo t, seintegra la expresin de la velocidad
para lo cual, es til conocer la integral
resultando la expresin
Cuando se agota el combustible, el cohete se mueve con velocidad constate.
Momento lineal
Un cohete con una masa inicial m0 empieza a expulsar los gases con velocidad u relativa al cohete y porconsiguiente, comienza a moverse en el espacio exterior. Al cabo de un cierto tiempo, alcanza una velocidad v,expulsando los gases con una velocidad u relativa al cohete o con una velocidad v-u relativa al observadorterrestre.
Si el cohete parte del reposo v0=0, la velocidad de los gases respecto del observador terrestre v-u no es constante.Al principio tiene sentido contrario al movimiento del cohete v-u0 es del mimo sentido que la del cohete.
En el instante t=0.632m0/D los gases expulsados estn en reposo respecto del observador terrestre.
El momento lineal del cohete en el instante t, es
dv = u dv = udmm v0
v
m0
mdmm
v = + u ln v = + u lnv0m0m v0
m0 Dtm0
m = u Ddvdt
x = v dtx0 0
t
ln z dz = z ln z z
x = + t + ut ln + [( Dt) ln( Dt) + Dt ln ]x0 v0 m0uD m0 m0 m0 m0
u ln u > 0 > em0 Dtm0m0 Dtm0
t > 0.632 m0D
mv = ( Dt) u lnm0m0 Dtm0
-
El momento lineal de los gases expulsados entre el instante t=0, y el instante t, es
Como el cohete y los gases forman un sistema aislado el momento lineal del cohete es igual y de sentidocontrario al de los gases expulsados desde el instante inicial t=0, al instante t. Como la velocidad de los gasesrespecto del observador terrestre no es constante es necesario calcular una integral para obtener el momento totalde los gases expulsados hasta el instante t, y comprobar de este modo que se cumple el principio de conservacindel momento lineal, principio en el que nos hemos basado por otra parte, para obtener la ecuacin delmovimiento del cohete.
Energas
La energa cintica del cohete en el instante t es
La energa cintica de los gases expulsados desde el instante t=0, al instante t es
Para llegar a esta expresin, es necesario conocer el resultado de las siguientes las integrales :
La energa cintica total del sistema aislado formado por el cohete y los gases en el instante t es
El rendimiento del cohete en el instante t es el cociente entre la energa cintica del cohete y la energa cinticatotal (cohete ms los gases expulsados).
Ejemplo:
Combustible total en el cohete 9000 kg
Carga til que transporta 800 kg
Combustible quemado por segundo D=1000 kg/s
La velocidad constante de salida de los gases es u=2000 m/s respecto del cohete
La masa del recipiente que contiene el combustible es el 5% de la masa del combustible
Masa total del cohete=carga til+combustible+masa del recipiente
m0=800+9000+0.059000=10250 kg
1. Tiempo que tarda en agotarse el combustible
Como hay 9000 kg de combustible que se queman a razn de 1000 kg/s, el combustible se agota en 9 s.
2. Velocidad mxima alcanzada por el cohete
dm(v u) = D (u ln u) dt = u( Dt) ln0
t
0
tm0 Dtm0
m0m0 Dtm0
= m = ( Dt)Ec12 v
2 12 m0 v
2
= dm = Dt ( Dt)Eg 0
t12 (v u)
2 12 u
2 12 m0 (u ln )m0Dtm0
2
= Dt ( Dt)Eg 12 u2 1
2 m0 v2
ln z dz = z ln z z
z dz = z z 2z ln z + 2zln2 ln2
+ = Dt Ec Eg12 u
2
v = u ln = 2000 ln( ) = 4208m/sm0 Dtm010250
10250 9000
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3. Distancia recorrida hasta que se agota el combustible
4. Energas
La energa total proporcionada por el combustible es
La energa cintica del cohete cuando se ha agotado el combustible es
El rendimiento es el cociente entre Ek/Ei=61.5%
Actividades
Se introduce.
El combustible c, en el control de edicin titulado Combustible total en el cohete
La carga til que transporta, en el control de edicin titulado Carga til que transporta
La cantidad D de combustible que se quema por segundo, en el control de edicin titulado Combustiblequemado por seg.
La velocidad constante de salida de los gases se ha fijado en u=2000 m/s respecto del cohete
La masa del recipiente que contiene el combustible se ha fijado en el 5% de la masa del combustible
Se pulsa el botn titulado Empieza
El cohete parte con velocidad inicial cero v0=0 desde el origen x0=0.
La masa inicial m0 es la suma de la carga til, ms el combustible y ms la masa del recipiente cilndrico que serproporcional a la masa del combustible que contiene
masa inicial m0 =carga til +(1+r) combustible.
donde r es del orden del 5% 0.05
El tiempo tmx que tarda en agotarse el combustible es igual al cociente entre la masa de combustible c y lacantidad D que se quema por segundo
tmx=c/D
Cuando se agota el combustible c, el cohete describe un movimiento rectilneo y uniforme, ya que no actanfuerzas sobre el mismo.
En la cola del cohete se dibuja una flecha que indica la intensidad de la fuerza de empuje. Como la velocidad delos gases es constante (en el Sistema de Referencia en el cohete) el empuje es constante.
Comprobar que el cohete alcanza el mismo valor de la velocidad mxima, independientemente de la cantidad Dde combustible quemado en la unidad de tiempo. Mantener constantes la cantidad de de combustible c, la cargatil y variar la cantidad de combustible quemado por segundo. Anotar en una tabla la velocidades finales vmx,una vez agotado todo el combustible, el tiempo empleado en alcanzar la velocidad mxima tmx, y eldesplazamiento del cohete x hasta este instante.
Usar los botones titulados Pausa y Paso para acercarse al instante en el que se agota el combustible.
D tmx vmx x
En el applet se muestra el balance energtico del cohete. Un crculo muestra la energa inicial del combustible enel cohete, y cmo esta energa se va transformando en energa cintica de los gases expulsados y en energacintica del cohete. Al agotarse todo el combustible, una parte de la energa inicial del combustible se ha
x = ut ln + [( Dt) ln( Dt) + Dt ln ]m0 uD m0 m0 m0 m0x = 2000 9 ln 10250 + [1250 ln 1250 + 9000 10250 ln 10250] = 12740m20001000
= Dt = 9000 JEi12 u
2 12 2000
2
= (10250 9000) JEk12 4208
2
v = u ln m0 cm0
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Cohete de una etapa
Cohete de dos etapas
Movimiento vertical deun cohete (I)
Movimiento vertical deun cohete (II)
Descenso del mdulolunar
Inicio Dinmica Sistemas de masa variable Cohetes
Un cohete de dos etapasEn esta pgina, vamos a ver las ventajas que representa un cohete de dos etapas frente a un cohete de las mismascaractersticas de una sola etapa, e investigaremos el reparto ptimo de combustible entre las dos etapas paraconseguir que la velocidad final sea la mxima posible.
Cohete de dos etapas
La masa inicial m0 es la suma de la carga til, ms elcombustible y ms la masa de los recipientes que contienen elcombustible. Para calcular esta ltima cantidad, se ha supuestoque los recipientes metlicos tiene una masa que es el factor rmultiplicado por la masa de combustible. Donde r es del ordendel 5% 0.05.
masa inicial m0 =carga til+(1+r) combustible total.
La cantidad de combustible en la primera fase c0 es igual alproducto del combustible total, por el tanto por ciento, y
dividido por cien.
combustible en la primera fase c0 =combustible total tanto por ciento/100;
Una vez que ha transcurrido un tiempo t0 igual al cociente entre el combustible en la primera fase c0 y la cantidadD que se quema por segundo.
se alcanza una velocidad mxima v1
El cohete se desprende de la primera fase disminuyendo la masa inicial del cohete m0 en una cantidad igual a lasuma de la masa del combustible quemado c0, y la masa del recipiente que lo contiene
masa inicial al encenderse la segunda fase m1=m0 -(1+r) c0
o bien
masa inicial al encenderse la segunda fase m1=carga til+(1+r) c1
Siendo c1 la masa de combustible de la segunda fase, que es igual a la masa del combustible total menos la masade combustible de la primera fase c0 ya quemado.
combustible en la segunda fase c1 =combustible total - combustible en la primera fase c0
En el instante t1 se agota el combustible de la segunda fase, y es igual al cociente entre la masa de combustibletotal y la cantidad D que se quema por segundo
t1=combustible total/D.
Cuando se agota el combustible, el cohete alcanza la velocidad mxima v2, continuando con la misma velocidadya que no actan fuerzas sobre el mismo.
Actividades
Se introduce
=t0c0D
= u lnv1m0m0 c0
= + u lnv2 v1m1m1 c1
-
El combustible total en ambas fases, en el control de edicin titulado Combustible total en el cohete
El tanto por ciento del combustible total en la primera fase, en el control de edicin titulado Tanto por cientode combustible en la primera fase
La carga til que transporta el cohete, en el control de edicin titulado Carga til que transporta
La cantidad D de combustible que se quema por segundo, en el control de edicin titulado Combustiblequemado por seg.
Se pulsa el botn titulado Empieza
Ahora se tratar de comprobar, que un cohete de dos etapas que transporta la misma cantidad de combustible y lamisma carga til, es ms ventajoso que el mismo cohete de una sola etapa.
En segundo lugar, se tratar de investigar la dependencia de la velocidad final del cohete con el reparto decombustible total entre las dos etapas. Manteniendo fijas la cantidad total de combustible y la carga til, se tratarde modificar el tanto por ciento de combustible en la primera etapa, c0/(c0+c1) y anotar la velocidad final unavez agotado todo el combustible de la primera y de la segunda etapa. Cul es aproximadamente la distribucinptima de combustible?, es decir, aquella que da lugar a una mayor velocidad final.
Tanto porciento
Velocidad al desprenderse laprimera fase
Velocidad final al agotarse elcombustible de la segunda fase
10 20 30 40 50 60 70 80 90
Reparto ptimo del combustible
Disearemos un cohete de dos etapas que va a acelerar una carga til mu hasta una velocidad v, en el espacioexterior, libre de la accin del campo gravitatorio y de la resistencia del aire.
El combustible total del cohete es c0+c1 repartido en las dos fases. El recipiente que lo contiene tiene una masade r veces la masa del combustible. La velocidad de los gases relativo al cohete es u.
La masa total del cohete ser la suma de la carga til, del combustible y del recipiente que lo contiene.
m0=mu+(1+r)(c0+c1)
Una vez consumida la primera fase, la masa del cohete es la suma de la carga til, el combustible en la segundafase y el recipiente que lo contiene.
m1=mu+(1+r)c1
-
Como ya hemos demostrado, la velocidad del cohete al consumirse la primera fase ser
Cuando se haya consumido la segunda fase la velocidad final v2 ser
Llamando f0=m1/m0 y f1=mu/m1 se obtiene
Tenemos que minimizar el peso total del cohete m0, para un valor dado de la carga til mu y de la velocidad v2que queremos alcanzar. Utilizando el procedimiento de los multiplicadores de Lagrange para las dos ecuacionesanteriores se obtiene el siguiente resultado
Teniendo en cuenta este resultado, podemos determinar la distribucin ptima de combustible en las dos etapasdel cohete.
Llamando p a la proporcin de combustible en la segunda fase
La igualdad f0=f1 nos conduce a la ecuacin de segundo grado en p
Despejamos la raz positiva de la ecuacin.
Ejemplo
Sea un cohete que transporta una carga til de 800 kg, el combustible total es 9000 kg, y el valor de r=0.05 (eldepsito representas una masa del 5% del combustible que contiene).
Primero calculamos k
y luego p=0.22. La mxima velocidad de la carga til despus de haberse consumido el combustible se obtienepara p=0.22, es decir, poniendo el 22% de combustible en la segunda fase y el 78% en la primera fase.
El cohete que llev el primer hombre a la Luna tena 3 etapas, se podra pensar que este es el nmero ptimo. Sepuede demostrar que a medida que se usan ms y ms etapas decrece el peso total al despegue. Sin embargo,despus de tres etapas las variaciones del peso tienen menos importancia para el diseador que los problemas quese derivan de la complejidad estructural (control de las vibraciones, etc.).
Referencias
Daz-Jimnez, A., Mathieu Valderrama R.. Redistribuyendo la masa con la velocidad: El cohete clsico. RevistaEspaola de Fsica. Volumen 4, n 3, 1990. pgs. 65-67.
Curso Interactivo de Fsica en Internet ngel Franco Garca
= u lnv1m0m0 c0
= + u ln = u ln( )v2 v1 m1m1 c1m0m0 c0
m1m1 c1
=f0f1 mum0= u lnv2 (1+r)
2
(r+ )(r+ )f0 f1
=f0 f1
p = c1+c0 c1
+ 2kp k = 0 k =p2 mu(1 + r) ( + )c0 c1
p = k+ kk 2
k = = 0.08845800(1 + 0.05) 9000
-
Cohete de una etapa
Cohete de dos etapas
Movimiento vertical deun cohete
Descenso del mdulolunar
Inicio Dinmica Sistemas de masa variable Cohetes
Movimiento vertical de un cohete (I)Examinaremos ahora, el movimiento de un cohete que es lanzado verticalmente desde la superficie de la Tierra.Supondremos que se trata de un cohete pequeo, que alcanza una altura limitada. Podemos considerar que laintensidad de la gravedad g es aproximadamente constante e igual a 9.8 m/s2.
Analizaremos las dos etapas en el movimiento del cohete:
1. Desde que se lanza hasta que agota el combustible
2. Desde el momento en el que agota el combustible, hasta que alcanza la mxima altura.
Descripcin
Consideremos un cohete que en el instante t, tiene una masa m quelleva una velocidad v respecto a un Sistema de Referencia Inercial(por ejemplo, la Tierra).
En el instante t+t, una masa de combustible se expulsa conuna velocidad constante u relativa al cohete, como consecuencia lavelocidad de la masa restante (m-) del cohete se incrementa env+v.
En el instante t, el cohete de masa m lleva una velocidad v. Elmomento lineal es
p(t)=mv
En el instante t+t
El cohete tiene una masa m-, su velocidad es v+v.
La masa expulsada lleva una velocidad u respecto del cohete ouna velocidad u+ v, respecto de Tierra
El momento lineal en este instante es
p(t+t)=(m-)(v+v)+ (u+ v)
El cambio de momento lineal entre los instantes t y t+t es
p= p(t+t)- p(t)=mv- u-v
En el lmite cuando t0
El cambio de momento lineal se debe a la accin de las fuerzas exteriores al sistema (la fuerza de atraccingravitatoria, que apunta en sentido contrario al momento lineal).
Por otra parte, la masa M del sistema formado por el cohete m y el combustible expulsado es constante M=+m, por lo que d+dm=0. La masa del cohete disminuye en dm y aumenta la masa del combustible expulsado enla misma cantidad.
La ecuacin del movimiento del cohete se escribe
Suponemos que la cantidad de combustible quemado en la unidad de tiempo, D, esconstante, D=-dm/dt. La masa m del cohete en el instante t valdr m=m0-Dt. Donde m0 es lasuma de la carga til ms el combustible inicial, y Dt es el combustible quemado al cabo de
un cierto tiempo t.
= m udpdtdvdt
ddt
= mgdpdt
mg = m + udvdtdmdt
m = uD mgdv
-
Un cohete puede considerarse una partcula de masa variable m sometida a dos fuerzas de lamisma direccin pero de sentidos contrarios: el empuje de los gases uD y el peso mg.
Como caso particular, mencionaremos que en el espacio exterior el peso mg vale cero, ysobre el cohete actuara nicamente la fuerza de empuje que le proporciona la expulsin delos gases al quemarse el combustible.
La ecuacin anterior la podemos escribir
Que se puede integrar de forma inmediata
obtenindose la expresin de la velocidad en funcin del tiempo
Volviendo a integrar
Se obtiene la posicin x del mvil en cualquier instante t.
Ejemplos
El empuje es mayor que peso
Combustible total en el cohete, 1.0 kg
Carga til que transporta, 2.0 kg
Combustible quemado por segundo, D=0.1 kg/s
Velocidad de salida de los gases u0=1000 m/s
Se considera despreciable la masa del recipiente que contiene el combustible
1. Fuerzas sobre el cohete
Masa total del cohete=carga til+combustible
m0=2.0+1.0=3.0 kg
El peso del cohete m0g (29.4 N) es menor que el empuje uD (100 N)
2. Tiempo que tarda en agotarse el combustible
Como hay 1.0 kg de combustible que se queman a razn de 0.1 kg/s. Luego, el combustible se agotaen el instante t0= 10 s.
3. Velocidad mxima alcanzada por el cohete
4. Altura que alcanza hasta que se agota el combustible
5. Una vez que ha agotado el combustible, el cohete prosigue su movimiento hasta que alcanza la mxima altura.
m = uD mgdvdt
= g + udvdtD Dtm0
dv = (g + u ) dtv0
v
0
tD Dtm0
v = gt + u lnv0m0 Dtm0
x = v dtx0 0
t
x = + t g + ut ln + [( Dt) ln( Dt) + Dt ln ]x0 v012 t
2 m0uD m0 m0 m0 m0
v = 9.8 t + u ln m0Dtm0v = 9.8 10 + 1000 ln( ) = 307 m/s331
x = g + ut ln + [( Dt) ln( Dt) + Dt ln ]12 t2 m0 uD m0 m0 m0 m0
x = 4.9 + 1000 10 ln 3 + [2 ln 2 + 1 3 ln 3] = 1400 m102 10000.1
-
Las ecuaciones del movimiento son
Donde x0, v0 es la posicin, velocidad del cohete en el instante t0 en el que se ha agotado elcombustible.
La altura mxima se alcanza cuando v=0, en el instante t=41.4 s. La posicin del cohete en dichoinstante es x=6223 m.
El empuje es menor que peso
Combustible total en el cohete, 2.0 kg
Carga til que transporta, 9.0 kg
Combustible quemado por segundo, D=0.1 kg/s
Velocidad de salida de los gases u0=1000 m/s
Se considera despreciable la masa del recipiente que contiene el combustible
1. Fuerzas sobre el cohete
El peso del cohete (2.0+9.0)9.8=107.8 N es mayor que el empuje uD=10000.1=100 N
Se va quemando el combustible sin que se mueva el cohete hasta el momento en el que el peso seiguala al empuje.
(c+9)9.8=100
Cuando el combustible c=1.204 kg el cohete empieza a elevarse. Se han desperdiciado 2-1.204=0.796 kg de combustible.
2. Masa inicial del cohete al despegue
m0=1.204+9.0=10.204 kg
3. Tiempo que tarda en agotarse el combustible
Como hay 1.204 kg de combustible que se queman a razn de 0.1 kg/s. Luego, el combustible seagota en 12.04 s.
4. Velocidad mxima alcanzada por el cohete
5. Altura que alcanza hasta que se agota el combustible
6. Tiempo que tarda en alcanzar la mxima altura
0=7.56-9.8(t-12.04) t=12.8 s
Posicin del cohete en dicho instante
x=29.62+7.560.77-4.90.772=32.5 m
Actividades
Se introduce:
Combustible total en el cohete, en el control de edicin titulado Combustible total en el cohete
Carga til que transporta, en el control de edicin titulado Carga til que transporta
Combustible quemado por segundo, en el control de edicin titulado Combustible quemado por seg.
v = g(t )v0 t0x = + (t ) gx0 v0 t0 12 (t )t0
2
v = 9.8 t + u ln m0Dtm0v = 9.8 12.04 + 1000 ln( ) = 7.56 m/s10.2049
x = g + ut ln + [( Dt) ln( Dt) + Dt ln ]12 t2 m0 uD m0 m0 m0 m0
x = 4.9 + 1000 10.204 ln 10.204 + [9 ln 9 + 0.1 12.04 10.204 ln 10.204] = 29.62 m12.042 10000.1
-
Velocidad de salida de los gases u0=1000 m/s
Se pulsa el botn titulado Empieza
Al lado del cohete, dos flechas, se dibujan las fuerzas sobre el cohete: en color rojo el empuje y en color azul elpeso. El empuje permanece constante, el peso va disminuyendo a medida que se va quemando el combustible.
Si el peso inicial del cohete (carga til ms combustible) m0g es mayor que el empuje proporcionado por laexpulsin de los gases uD, el cohete quema el combustible sin despegar, hasta el momento en el que el peso sehace igual o menor que el empuje.
Una vez que despega, el cohete agota el combustible en el instante t, cociente entre la masa combustible y elcombustible quemado por segundo.
La velocidad que alcanza el cohete cuando agota el combustible se obtiene mediante la frmula
donde m0 es la masa del cohete al despegar, y t es el tiempo desde que despega hasta que agota el combustible.Despus, el cohete contina ascendiendo hasta que su velocidad se hace cero.
En la parte derecha del applet, se representa la velocidad del cohete en funcin del tiempo.
En la parte izquierda del applet, observamos la altura del cohete en funcin del tiempo.
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v = 9.8 t + u ln m0 Dtm0
-
Cohete de una etapa
Cohete de dos etapas
Movimiento vertical deun cohete (I)
Movimiento vertical deun cohete (II)
Descenso del mdulolunar
Inicio Dinmica Sistemas de masa variable Cohetes
Descenso del mdulo lunarEn esta pgina, se invita al lector a intentar posar suavemente una nave espacial en la superficie de la Luna o decualquier otro planeta elegido.
Un cuerpo que cae incrementa su velocidad, pero si le aplicamos una fuerza de empuje dirigida verticalmentehacia arriba, el cuerpo no se detiene instantneamente, sino que disminuye su velocidad hasta que se para. Si elcuerpo est ascendiendo debido a la fuerza de empuje, al dejar de aplicar esta fuerza, el cuerpo no se para deinmediato e inicia el descenso.
Sobre la nave de descenso actan solamente dos fuerzas, el peso debido a la atraccin del cuerpo celeste sobre elque intenta aterrizar, y el empuje que proporcionan los gases expulsados. El peso es proporcional a la masa totalde la nave, que a su vez, va disminuyendo debido al consumo de combustible. El empuje es proporcional a lacantidad de combustible que se quema en la unidad de tiempo.
El piloto deber regular el empuje con los controles que proporciona el programa de manera que la nave aterricesuavemente en la superficie del planeta elegido con una velocidad estrictamente menor que 3 m/s. La pericia delpiloto consistir en aterrizar consumiendo la menor cantidad de combustible posible, ya que su transporte a loscuerpos lejanos es muy caro.
El cohete Saturno V y el mdulo Lunar
El cohete Saturno V puso en camino de la Luna a los dos primeros hombres que pisaron la superficie lunar el 20de Julio de 1969. Para darse una idea del gigantismo de esta mquina se proporcionan los siguientes datos:
Altura, 110, 6 m
Dimetro de la base, 10 m
Peso al lanzamiento, 2837 toneladas
Para subir 113 toneladas de carga til a 185 km de altura y regresar de la Luna con una carga de 43 toneladas.
El cohete constaba de tres fases
Parmetros Fase I Fase II Fase III
Longitud 42 m 24.8 m 17.9 mDimetro 10 m 10 m 6,6 mPeso en vaco 136 080 kg 43 100 kg 15 420 kgPeso del carburante 2 034 900 kg 426 800 kg 103 420 kgEmpuje inicial 3 400 000 kg 460 000 kg 102 000 kgAltura alcanzada 61 km 184 km Rumbo a la LunaVelocidad final 9650 km/h 24 600 km/h 39 420 km/hTiempo que tarda 2.30 min 6 min 8 minCombustible keroseno+O2 lquido O2+H2 lquidos
El mdulo Lunar constaba de dos fases:
-
La fase de alunizaje tena un motor de combustiblelquido cuyo empuje se poda graduar en la proporcin1 a 10. Se apoyaba sobre unas patas iban plegadasdentro del cohete Saturno V .
La fase de despegue comprenda el motor paradespegar de la superficie lunar, propulsoresadicionales de estabilizacin y direccin, una cabinade mando biplaza y numerosos equipos electrnicos.Sus datos son:
Altura del mdulo lunar 6.98 mDimetro (diagonal de la base) 9.45 mPeso total (incluido los pilotos) 14 742 kgPeso del carburante 10 730 kgEmpuje (en el vaco) de 475 a 4 480 kgTiempo de funcionamiento 910 s
Fuente: Werner Bdeler. Proyecto Apolo. Editorial Sagitario (1969)
Actividades
Se ha diseado el applet tomando los datos del mdulo de alunizaje: el peso inicial de la nave se calculamultiplicando la carga til (3900 kg) ms el combustible inicial (10800 kg) por la intensidad del campogravitatorio. El peso de la nave disminuye, a medida que el combustible se va quemando.
En este problema-juego intentaremos posar suavemente (con una velocidad estrictamente menor que 3 m/s)dicho mdulo sobre la superficie de la Luna o de otros planetas del sistema solar, partiendo de una altura de 8600m sobre la superficie de dicho planeta.
En la siguiente tabla, se proporcionan datos de la intensidad del campo gravitatorio en la superficie de diversoscuerpos celestes.
Cuerpo celesteIntensidad del campo
gravitatorio (m/s2)
Mercurio 4.00Venus 8.22La Tierra 9.83La Luna 1.62Marte 3.87Jpiter 26.01Saturno 11.18Urano 10.30Neptuno 13.96
La velocidad u de escape de los gases respecto de la nave es constante y se ha fijado en el valor de 3000 m/s.Podemos cambiar el empuje modificando D la cantidad de combustible que se quema por segundo.
-
Se aconseja establecer un empuje inicial en un valor prximo e inferior al peso
Se pulsa en el botn titulado Empieza para que la nave inicie el descenso
Inicialmente el motor de la nave est apagado. Si se pulsa sobre el botn Motor apagado, el botn cambia suttulo a Motor encendido, y se observa la imagen de la nave con su estela de fuego.
Si se quiere apagar el motor basta volver a pulsar sobre el mismo botn, su ttulo cambia a Motor apagado, y lanave pierde su estela de fuego.
Observar en todo momento, el peso de la nave, empuje de los gases, la velocidad de la nave y su altura sobre lasuperficie del planeta. De acuerdo con estos datos, actuar sobre los botones que modifican el empuje con el motorencendido, para controlar la velocidad de la nave de modo que aterrice suavemente con una velocidadestrictamente menor que 3 m/s.
Observar las flechas roja y azul al lado de la nave espacial. La flecha roja indica el peso, la flecha azul el empuje,cuando ambas flechas son iguales, la velocidad de la nave es constante.
La barra vertical de color azul, muestra de forma grfica el tanto por ciento de combustible que queda sin quemar.Cuando se acaba el combustible, la nave cae libremente.
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-
Aceleracin constante
Inicio Dinmica Sistemas de masa variable Cohetes
El cohete "perfecto"Los cohetes que usan combustibles de tipo qumico proporcionan un empuje uD constante. Siendo u la velocidadde salida de los gases (en el Sistema de Referencia en el cohete) y D el combustible expulsado en la unidad detiempo. Si el cohete se mueve con velocidad v, la velocidad de los gases respecto del observador terrestre es v-u,que no es constante. Esta solucin no es la ms eficiente, aunque sea la ms utilizada.
En esta pgina, vamos a estudiar el denominado cohete "perfecto" definido como aqul en el que la velocidad desalida de los gases u0 medida por el observador terrestre es constante. Por tanto, un cohete "perfecto" necesita deun motor que proporcione una velocidad variable de salida de los gases, que se incremente a medida que elcohete acelera.
Los cohetes del futuro probablemente dejarn de emplear combustibles qumicos, y usarn aceleradores de iones,lseres, o motores nucleares, etc. que podran aumentar de este modo el rendimiento del cohete.
Conservacin del momento lineal
Como se ha mencionado en la introduccin a esta pgina y como se muestra en la figura, la velocidad de losgases expulsados respecto del observador terrestre es constante e igual a u0. La velocidad de salida de los gasespara el observador situado en el cohete vale u0+v, si la velocidad del cohete es v.
La conservacin del momento lineal aplicada al sistema aislado formado por el cohete (de masa m y velocidad v)y los gases expulsados hasta el instante t, (masa m0-m y velocidad u0) es
mv-(m0-m)u0=0
La ecuacin del movimiento del cohete es muy simple
Siendo D la masa de combustible quemado en la unidad de tiempo.
Integrando, obtenemos la posicin del cohete en funcin del tiempo (hay que integrar dos veces por partes)
Balance energtico
Energa cintica del cohete
Energa cintica de los gases expulsados desde el instante t=0, al instante t.
v = = mm0m u0Dt Dtm0
u0
x = v dt = [ ln Dt]0
tu0D m0
m0 Dtm0
= m = ( Dt)Ec12 v
2 12 m0 v
2
= Dt g1
-
Energa cintica total del sistema aislado formado por el cohete y los gases
Rendimiento
El rendimiento del cohete es grande, siempre que la masa final o carga til que transporta m=m0-Dt (masa inicialmenos combustible quemado) sea pequea comparada con la masa inicial m0.
Ejemplo
Combustible total en el cohete 9000 kg
Carga til que transporta 800 kg
Combustible quemado por segundo D=1000 kg/s
Velocidad inicial de salida de los gases u0=2000 m/s
Masa del recipiente que contiene el combustible 5% de la masa del combustible
Masa total del cohete=carga til+combustible+masa del recipiente
m0=800+9000+0.059000=10250 kg
1. Tiempo que tarda en agotarse el combustible
Como hay 9000 kg de combustible que se queman a razn de 1000 kg/s. Luego, el combustible seagota en 9 s.
2. Velocidad mxima alcanzada por el cohete
3. En un cohete normal, la velocidad de salida de los gases respecto del cohete es constante (recta de color azul).En un cohete perfecto, el motor impulsor ha de estar diseado de modo que la velocidad v+u0 de salida de losgases respecto del cohete (curva de color rojo) tiene que aumentar con el tiempo en la forma indicada en lafigura
4. Rendimiento cuando se ha agotado todo el combustible
5. Desplazamiento al cabo de 9 s.
= Dt Eg12 u
20
+ = DtEc Eg12
m0 Dtm0
u20
= =Ec+Ec EgDtm0
v = = = 14400m/sDt Dtm0u0
1000 910250 1000 9
= = = 87.8%Dtm01000 910250
= [ ln Dt]u0 0 m0
-
Actividades
Se introduce.
El combustible c, en el control de edicin titulado Combustible total en el cohete
La carga til que transporta, en el control de edicin titulado Carga til que transporta
La cantidad D de combustible que se quema por segundo, en el control de edicin titulado Combustiblequemado por seg.
La velocidad inicial de salida de los gases se ha fijado en u=2000 m/s
La masa del recipiente que contiene el combustible se ha fijado en el 5% de la masa del combustible
Se pulsa el botn titulado Empieza
El applet simula un cohete perfecto, de modo que la velocidad de salida de los gases siempre es constante para elobservador terrestre pero crece en el sistema de referencia del cohete a medida que ste se acelera.
En la cola del cohete se dibuja una flecha que seala la fuerza de empuje uD=(u0+v)D. El empuje vaaumentando a medida que aumenta la velocidad de salida de los gases u0+v en el Sistema de Referencia en elcohete.
El cohete que estudiaremos, expulsar una cantidad constante D de combustible en la unidad de tiempo
Se sugiere al lector que compare el comportamiento de dos cohetes con la misma carga y la misma cantidad decombustible, y el mismo valor para el parmetro D (combustible quemado por segundo).
Cuando la velocidad de salida de los gases es constante en el sistema de referencia del cohete
Cuando la velocidad de salida de los gases es constante en el sistema de referencia terrestre (cohete perfecto)
Referencias
Gowdy, R.H. The physics of perfect rockets. Am. J. Phys. 63 (3) March 1995, pp. 229-232.
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= [ ln Dt]u0D m0 m0Dtm0x = [10250 ln( ) 9000] = 25135m20001000 10250102509000
-
Cohete "perfecto"
Inicio Dinmica Sistemas de masa variable Cohetes
Cohete con aceleracin constante
Si queremos que el cohete viaje con aceleracin constante a, la masa de gas expulsada por segundo D, deja de serconstante
Para que la aceleracin a sea constante D debe variar con el tiempo de la forma indicada en la figura. Los datosson los del ejemplo de ms abajo.
La energa total del cohete ms la de los gases expulsados ser
La potencia (energa por unidad de tiempo) suministrada por el motor es constante
Ejemplo
Supongamos un cohete con una masa inicial de 10000 kg y que la velocidad inicial de salida de los gases de1000m/s, la potencia de su motor es de 50106 W. Determinar, su velocidad al cabo de 5 minutos, la distancia quehabr recorrido y la masa de combustible que ha gastado.
1. En la frmula de la potencia P, despejamos la aceleracin
m0=10000 kgu0=1000 m/sP=50106 W
El resultado es a=10 m/s2
2. La velocidad al cabo de 5 minutos 300 s es v=10300=3000 m/s
3. La distancia que ha viajado
4. Combustible quemado en el tiempo t=300 s.
v = = at D =Dt Dtm0u0
am0+ atu0
= Dt = atEk12
m0 Dtm0
u2012m0u0
P = a12m0u0
x = a = 450 km12t2
D = = = = kg/sdm am0 1000010 1000
-
Curso Interactivo de Fsica en Internet ngel Franco Garca
D = = = = kg/sdmdtam0
+atu010000101000+10t
1000100+t
m = dt = 10000 ln 4 kg0
3001000
100 + t
-
Inicio Dinmica Sistemas de masa variable Cohetes
El cohete de TorricelliEn un cohete de empuje constante, la velocidad de salida de los gases esconstante desde el punto de vista del observador situado en el cohete.
En esta pgina, vamos a estudiar una situacin en el que la velocidad desalida no es constante y por tanto, el empuje es variable.
Sea un depsito cilndrico de radio R, situado sobre una plataforma quepuede moverse sin rozamiento sobre una superficie horizontal. La masadel depsito vaco y la plataforma es M. Se llena el depsito con aguahasta una altura H. Se abre un orificio de radio r en un lado deldepsito. Se tratar de determinar la posicin y velocidad del depsitoen funcin del tiempo.
Vaciado del depsito
En el captulo Fluidos, se estudia el vaciado de un depsito de seccin S1=R2 que se ha llenado de agua hastauna altura H. Si se abre un orificio de rea S2= r2 en el fondo. La velocidad u de salida del agua cuando susuperficie libre est a una altura h sobre el fondo, de acuerdo al teorema de Torricelli es
Un anlisis ms detallado que tenga en cuenta las dimensiones del depsito (de seccin S1) y del orificio (seccinS2) con conduce a la expresin
Podemos considerar a g como una aceleracin de la gravedad efectiva, que coincide con g si el radio del orificior es mucho menor que el radio R del depsito.
A medida que el agua, de densidad , sale por el orificio, la altura h o la masa m=R2h de agua en el depsitova disminuyendo con el tiempo. Como el gasto o volumen del fluido que sale por el orificio en la unidad detiempo es r2u, La masa m de agua disminuye de acuerdo con la ecuacin
Integramos esta ecuacin diferencial entre el instante t=0, en el que la masa de agua es m0= R2H, y el instante ten el que la masa de agua es m.
Finalmente, nos queda
El depsito se vaca completamente en el instante tmx, en el que la altura h, o la masa m de agua es cero
Movimiento del depsito
u = 2gh
u = = =R2 2ghR4 r4
2gh1 /r4 R4
2g'h
= u = dmdt r2 dm
dtr2
R 2g' m
= kt k =m m0 r2
R g'
2
m = ( kt)m0 2
= =tmaxm0 k ( 1)R
4
r42Hg
-
La definicin de fuerza es
El sistema formado por el depsito y el agua es aislado, por lo que la fuerza F=0.
Al estudiar el movimiento de un cohete de empuje constante, deducimos la ecuacin del movimiento
donde u era la velocidad de salida de los gases respecto de cohete, y m la masa total del cohete (recipiente vaco ycombustible).
En este caso, separamos la masa total en dos partes: la masa m de agua que va disminuyendo y la masa constanteM del depsito vaco y la plataforma sobre la que descansa el depsito.
En funcin del tiempo t, la ecuacin del movimiento se escribe
Integramos esta ecuacin entre el instante t=0, en el que la velocidad del depsito es v=0, y el instante t, en el quela velocidad es v. Haciendo el cambio de variable
tenemos que integrar
Deshaciendo el cambio, obtenemos la expresin de la velocidad v en funcin del tiempo t.
Integrando con respecto del tiempo obtenemos la posicin x de la plataforma en funcin del tiempo t. Para ellonecesitamos la integral del arco tangente.
Se ha agotado el agua almacenada en el depsito en el instante tmax tal que
La velocidad mxima es
y se produce cuando el depsito se encuentra en la posicin x.
En un cohete, la velocidad final no depende de la cantidad de combustible D que se quema por segundo, sino dela masa inicial, de la masa final, y de la velocidad constante u de salida de los gases respecto del cohete.
La velocidad final de este cohete peculiar que estudiamos en esta pgina, depende a travs de g' del radio r delorificio de salida del agua, es decir, de la cantidad de agua expulsada en la unidad de tiempo. Ahora bien, si elradio del orifico r de salida del agua es mucho ms pequeo que el radio del depsito R, entonces g'g. La
= Fdpdt
m + u = 0dvdtdmdt
(M + m) = udvdtdmdt
= 2g'dvdtr2
R2( kt)m0 2
M + ( kt)m0 2
z = ktm0
dz2R2g'
z
z0
z2
M + z2
dz = (1 ) dz = z arctan + arctanz
z0
z2
M + z2 z
z0
MM + z2
M zM z0 Mz0M
v = (kt + arctan arctan )2R 2g'
M ktm0 M
Mm0M
arctan z dz = z arctan z ln(1 + )12 z2
x = 2R2g'
k ( arctan ) t 12 t2 M m0M Mk
arctan ln(1 + )ktm0 M ktm0 M 12 ( kt)m0
2
M
arctan + ln(1 + )m0M m0M 12 m0M
kt = 0m0
= ( arctan ) = 2 (1 arctan )vmax 2R 2g'
m0 M m0M 2g'H Mm0 m0M
x = ( M ln(1 + )) = 2 H (1 ln(1 + ))1kR 2g'
m0 m0M R2
r2Mm0
m0M
-
velocidad final vmx depende solamente, de la masa M de la plataforma y depsito vaco y de la masa inicial delagua en el depsito m0= R2H.
A partir de este instante tmx, el conjunto formado por la plataforma y depsito vaco se mueven con velocidadconstante.
Ejemplo
El radio del depsito R=10 cm=0.1 m
El radio del orificio r=1 cm=0.01 m
El peso en vaco (sin agua) M=20 kg
La altura inicial del agua en el depsito H=45 cm=0.45 m
La masa inicial de agua en el depsito es
m0=R2H, m0=10000.120.45=14.14 kg
Calculamos la aceleracin de la gravedad efectiva g'
La velocidad inicial de salida del agua medida por un observador situado en la plataforma es
El tiempo que tarda en salir el agua del depsito es
La velocidad mxima que adquiere la plataforma es
La plataforma se encuentra en la posicin
Actividades
Se introduce:
El radio del depsito, en el control de edicin titulado Radio depsito
El radio del orificio situado en la parte lateral izquierda, en el control de edicin titulado Radio orificio
El peso en vaco del depsito y de la plataforma, actuando en la barra de desplazamiento titulada Peso en vaco.
Se pulsa en el botn titulado Nuevo
Se establece la altura inicial de agua en el depsito, arrastrando la flecha de color rojo con el puntero del ratn.
Una vez que se define el estado inicial. Se pulsa el botn titulado Empieza.
Observamos la salida del agua por la parte inferior izquierda del depsito. Una flecha de color azul nos indica lamagnitud de la velocidad de salida del agua medida por un observador situado en la plataforma. Una flecha decolor rojo, nos indica la velocidad de la plataforma. La diferencia entre los dos vectores es igual a la velocidad desalida del agua medida por un observador situado en Tierra.
La velocidad de salida del agua medida por el observador situado en Tierra, primero es negativa, cuando eldepsito comienza a vaciarse y luego es positiva, cuando el depsito est casi vaco. En un instante dado, lavelocidad de salida del agua, coincide con la velocidad de la plataforma, la velocidad de salida del agua respectodel observador situado en Tierra es cero.
En la parte superior derecha del applet, el programa interactivo nos proporciona los datos del tiempo (en s), laposicin del depsito (su lado izquierdo, donde se encuentra el orificio), y la velocidad de la plataforma. Cuando,el agua ha salido del depsito, la plataforma se mueve con velocidad constante.
g' = g' = = 9.8g1 /r4 R4
9.81 /0.014 0.14
m/s2
u = u = = 2.97 m/s2g'H 2 9.8 0.45
= = = 30.3 stmax ( 1)R4
r42Hg
tmax ( 1)0.1
4
0.0142 0.45
9.8
= 2 (1 arctan ) vmax 2g'H Mm0 m0M = 2 (1 arctan ) = 1.0 m/svmax 2 9.8 0.45 2014.14 14.1420
x = 2 H (1 ln(1 + )) R2r2 Mm0 m0Mx = 2 0.45 (1 ln(1 + )) = 21.93 m0.120.012
2014.14
14.1420
-
El flujo de arena
Un depsito de arenaempujado por unafuerza constante.
Un depsito de arenaempujado por un pesoque cae.
El reloj de arena.
Inicio Dinmica Sistemas de masa variable
El flujo de arenaLos materiales granulares como la arena estn formados por un conglomerado de partculasmacroscpicas. Su comportamiento es diferente de los slidos y de los fluidos.
Descripcin
El flujo (masa por unidad de tiempo) de un material granular de densidad a travs de unaabertura de rea A bajo la accin del campo gravitatorio terrestre g, es
donde k es una constante.
Como se estudiar en el captulo Fluidos, el flujo de un lquido a travs de una abertura depende de la altura dellquido y por tanto, depende del tiempo.
Vamos a disear una experiencia con el objetivo de:
1. comprobar que el flujo de arena es constante en el tiempo y no depende de la altura hde la columna de arena.
2. determinar la dependencia del flujo con el rea A del orificio de salida.
Dispondremos de una botella de plstico invertida, en la que podemos cambiar elradio del orificio de salida e incluso la forma del orificio (circular, rectangular,triangular, etc.).
La botella se cuelga de una balanza o de un dispositivo de medicin de fuerzasconectado a un sistema de adquisicin de datos. De este modo, se mide la masa enfuncin del tiempo.
Representando grficamente, en el eje vertical la masa m de arena contenida en labotella, y en el eje horizontal el tiempo t obtenemos una lnea recta cuya pendiente es-dm/dt. De este modo, comprobamos que el flujo es constante
Para determinar la dependencia del flujo f =dm/dt con el rea A del orificio de salida,escribimos
donde c es una constante. Cambiamos el radio del orificio y repetimos el experimento, midiendo una nuevapendiente -f y as, sucesivamente.
Si representamos logf en el eje vertical y logA en el eje horizontal obtenemos una lnea recta cuya pendiente es5/4 tal como se muestra en la parte derecha de la figura.
Actividades
= kdmdt g A54
f = c log f = log c + log AA54
54
-
Se pulsa el botn titulado Inicio
Se arrastra la flecha de color rojo con el puntero del ratn, para establecer la altura inicial de la arena en labotella invertida.
Se introduce el dimetro d del orificio de salida en mm, actuando en la barra de desplazamiento tituladaDimetro.
Se pulsa el botn titulado Empieza
Una balanza electrnica situada en la parte superior del applet mide solamente el peso de arena, se ha descontadoel peso de las partes que no cambian (botella, abertura, etc.).
Se observa la salida de la arena a travs del orificio, comprobamos que el flujo es constante e independiente de laaltura inicial de la arena en el recipiente.
En la parte derecha, observamos la representacin grfica de la masa m de la arena en funcin del tiempo t.Medimos la pendiente de la recta f en g/s. Calculamos el rea de la abertura circular A=d2/4, siendo d eldimetro en mm. Los pares de datos: rea A y flujo f se guardan el control rea de texto situado a la izquierda delapplet.
Pulsamos el botn titulado Inicio, cambiamos el dimetro del orificio y pulsamos el botn Empieza y as,sucesivamente
Cuando tenemos suficientes datos, se pulsa el botn titulado Grfica, para representar
en el eje horizontal log A (el rea en mm2)
en el eje vertical log f (el flujo en g/s)
Si medimos la pendiente de la recta, obtendremos un valor prximo a 5/4=1.25
Para eliminar los datos guardados en el control rea de texto, y para realizar una nueva experiencia, se pulsa elbotn titulado Borrar.
El lector puede repetir con la calculadora los clculos que realiza el programa interactivo, pare ello precisa de lossiguientes datos adicionales:
densidad de la arena =2.5 g/cm3
a la constante k en la frmula del flujo, se le ha asignado arbitrariamente, el valor k=0.533
la botella tiene forma cilndrica, el radio de la base es R=2.5 cm
Ejemplo:
Si la altura de la arena es de h=20 cm, la masa de la arena contenida en la botella es
m=hR2=2.5202.52=981.7 g
El tiempo que tarda en vaciarse un depsito de altura inicial h=20 cm, cuando la arena sale por un orificio dedimetro d=12 mm=1.2 cm es
t=m/f=981.7/48.6=20.2 s
Cuando la arena sale por una orificio de d=10 mm de dimetro
t=m/f=981.7/30.8=31.8 s
Para determinar la dependencia del flujo f con el rea A, trazamos la recta
logf=b+alogA
Para trazar la recta o bien, para calcular la pendiente a y la ordenada b en el origen necesitamos dos puntos:
El primer punto tiene
abscisa x=log(62)=2.053
ordenada y=log 48.6=1.687
El segundo punto,
abscisa x=log(52)=1.895
ordenada y=log 30.8=1.489
Se resuelve el sistema
f = 0.533 2.5 = 48.6 g/s980 ( )0.6254
f = 0.533 2.5 = 30.8 g/s980 ( )0.5254
-
1.687=b+a2.0531.489=b+a1.695
Despejamos la pendiente a de la recta que vale 1.25
En la prctica real, a partir de una tabla de valores (logA, logf), se aplica el procedimiento de regresin lineal paracalcular la pendiente de la recta a que mejor ajusta a los datos experimentales.
Arrastre con el puntero del ratn la flecha de color rojo
Referencias
Flores J., Solovey G., Gil S., Flow of sand and a variable mass Atwood machine. Am. J. Phys. 71 (7) July 2003,pp. 715-720.
Fotografa de la tolva. Laboratorio de Fsica. E.U. Ingeniera Tcnica de Minas y Obras Pblicas (Barakaldo)
Curso Interactivo de Fsica en Internet ngel Franco Garca
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El flujo de arena
Un depsito de arenaempujado por unafuerza constante.
Un depsito de arenaempujado por un pesoque cae.
El reloj de arena.
Inicio Dinmica Sistemas de masa variable
Un depsito de arena que se mueve sobre unapista horizontal
En esta pgina, se estudia el movimiento de un depsito inicialmente lleno de arena, cuando se abre un orificio enel fondo del depsito
En el primer caso, el depsito se mueve sobre una pista horizontal sin rozamiento, bajo la accin de unfuerza constante.
En el segundo caso, se mueve por una pista horizontal con rozamiento, bajo la accin de la fuerza variable.
En la pgina anterior "Flujo de arena" se ha estudiado el flujo de arena a travs de un orificio practicado en laparte inferior de un depsito estacionario. Supondremos que el flujo vertical de arena no se modifica cuando eldepsito se mueve en la direccin horizontal.
Movimiento de un depsito bajo la accin de una fuerza constante
En la figura, se muestra un depsito cilndrico de radio R, que tiene un orificio en su base inferior de radio r.
La masa del depsito en funcin del tiempo
La masa del depsito vaco es M, se llena con arena hasta una altura h0. La masa inicial del depsito es
m0=M+R2h0
donde es la densidad de la arena
En la pgina titulada "El flujo de arena" mostramos que el flujo f=dm/dt de arena a travs del orificio es constantee independiente de su altura h en el depsito. La masa del depsito disminuye linealmente con el tiempo. En elinstante t vale
m=m0-ft
o bien,
m=M+R2h
donde
El depsito se vaca cuando h=0, es decir, en el instante tm
h = h0f tR2
=tmR2h0
f
-
Movimiento del depsito
La segunda ley de Newton para el movimiento en una dimensin se escribe
donde p es el momento total del sistema y F la fuerza neta que acta sobre el mismo. Como la masa del sistemavara con el tiempo, hemos de ser muy cuidadosos cuando nos referimos al momento p, ya que incluye elmomento de la masa expulsada, tal como vimos en la formulacin de las ecuaciones del movimiento de uncohete, que volvemos a reproducir en esta pgina.
En el instante t el depsito de masa m lleva una velocidad v. Su momento lineal es
p(t)=mv
En el instante t+t
El depsito tiene una masa m-, su velocidad es v+v.
La masa de arena descargada lleva una velocidad u respecto del depsito o una velocidad u+ v, respectode Tierra
El momento lineal del sistema en este instante es
p(t+t)=(m-)(v+v)+ (u+ v)
La variacin del momento lineal entre el instante t y el instante t+t es
p= p(t+t)- p(t)=mv- u-v
En el lmite cuando t0
La masa M del sistema formado por el depsito m y la arena descargada es constante M=+m, por lo que d+dm=0. La masa del depsito disminuye en dm y aumenta la masa de la arena descargada en la misma cantidad.
Si la velocidad u de salida de la arena respecto del depsito es cero, la ecuacin del movimiento se escribe
que es similar a la expresin para el caso de una masa constante, pero con la importante diferencia de que la masaes variable con el tiempo.
Tambin, es similar a la ecuacin del movimiento de un cohete de empuje constante, donde F=uD es la fuerza deempuje que proporcionan los gases al quemarse.
Supondremos que el depsito se mueve con velocidad inicial v0, en el instante inicial t=0, en el que se abre elorificio de salida de la arena.
Integrando de nuevo, obtenemos la expresin de la posicin del mvil en funcin del tiempo. Recordando que
obtenemos
F = dpdt
= m udpdtdvdt
ddt
= m + udpdtdvdt
dmdt
m = Fdvdt
( f t) = Fm0dvdt
v = dt v = + lnv0 0
tF f tm0
v0Ff
m0 f tm0
ln z dz = z ln z z
x = t + t ln + (( f t) ln( f t) + f t ln )oF
0F
0 0 0 0
-
Cuando se agota la arena del depsito, la masa del depsito vaco m=m0-ftm es constante, y la aceleracin esconstante
Las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado son.
Donde x1 y v1 es la posicin del depsito en el instante tm en el que se vaca el depsito de arena
Cuando no se aplica fuerza alguna
Cuando no se aplican fuerzas, podamos pensar errneamente que al disminuir el depsito su masa, su velocidadse iba a incrementar. Pero nos olvidamos del momento lineal de la arena expulsada. De acuerdo a la ecuacin delmovimiento, si F=0, la velocidad del depsito es constante e igual a la velocidad inicial v0.
Energas
La energa cintica inicial del depsito es
La energa cintica del depsito en el instante t es
La energa cintica de la arena descargada hasta el instante t es.
Recurdese que la velocidad de la porcin dm de arena descargada es cero respecto del depsito y v respecto deTierra.
El trabajo realizado por la fuerza constante F es
Fx
Podemos comprobar, que el trabajo de la fuerza F se invierte en incrementar la energa cintica del depsito y dela arena descargada.
Para comprobarlo, nos podemos ayudar de las integrales
Ejemplo
Masa del depsito vaco M=50 kg
Altura inicial de la arena en el depsito h0=45 cm
Flujo f=0.76 kg/s.
Fuerza F=0.7 N
Radio de la base del depsito cilndrico R=10 cm
Densidad de la arena =2500 kg/m3
Velocidad inicial del depsito v0=0.1 m/s
x = t + t ln + (( f t) ln( f t) + f t ln )voFf m0
Ff 2
m0 m0 m0 m0
a = F fm0 tm
v = + a(t )v1 tmx = + (t ) + ax1 v1 tm 12 (t )tm
2
12m0v
20
12 ( f t)m0
2v2
dm = f dt0
t12 v
2 12
0
t
v2
F x = ( f t) + f dt 12 m0 v2 1
2 0
t
v2 12m0v20
ln z dz = z ln z z
z dz = z z 2z ln z + 2zln2 ln2
-
La masa inicial del depsito lleno de arena es
m0=M+R2h0
m0=50+25000.120.45=85.3 kg
El tiempo que tarda en vaciarse el depsito
En el instante tm el depsito se ha vaciado, su masa es M=50 kg. La velocidad final que alcanza el depsito vacoen este instante es
La posicin x del depsito en el instante tm=46.5 s es
A partir de este instante, el depsito se mueve con aceleracin constante
v=0.59+0.014(t-46.5)x=15.08+0.59(t-46.5)+0.014(t-46.5)2/2
Actividades
Se pulsa el botn titulado Inicio
Se arrastra la flecha de color rojo con el puntero del ratn, para establecer la altura inicial de la arena en eldepsito.
Se introduce, el flujo f=dm/dt en (kg/s), actuando en la barra de desplazamiento titulada Flujo.
Se introduce, el peso del depsito vaco M (en kg) en el control de edicin titulado Peso en vaco.
Se introduce, el valor de la fuerza F en N, en el control de edicin titulado Fuerza.
Datos que se han fijado en el programa interactivo
Radio de la base del depsito cilndrico R=10 cm
Densidad de la arena =2500 kg/m3
Velocidad inicial del depsito v0=0.1 m/s
Se pulsa el botn titulado Empieza
El orificio situado en el fondo del depsito se abre y comienza a caer un flujo f constante de arena. El depsitodisminuye su masa e incrementa la velocidad.
Cuando el depsito se vaca, su masa no cambia y por tanto, se mueve con aceleracin constante.
Para realizar otra experiencia se pulsa el botn titulado Inicio, se cambia, la masa del depsito vaco, la alturainicial de la arena en el depsito, la fuerza con la que se tira del depsito y se pulsa el botn titulado Empieza.
= = = 46.5 stmR2h0
f tm2500 0.450.12
0.76
v = + ln v = 0.1 + ln = 0.59 m/sv0Ff
m0 f m0 tm
0.70.76
85.350
x = + ln + (( f ) ln( f ) + f ln )votm Ff tm m0Ff 2
m0 tm m0 tm tm m0 m0
x = 0.1 46.5 + 46.5 ln 85.3 + (50 ln 50 + 0.76 46.5 85.3 ln 85.3) = 15.08 m0.70.760.7
0.762
a = a = = 0.014F f m0 tm0.750 m/s
2
-
El flujo de arena
Un depsito de arenaempujado por unafuerza constante.
Un depsito de arenaempujado por un pesoque cae.
El reloj de arena.
Inicio Dinmica Sistemas de masa variable
Movimiento de un depsito de arena bajo laaccin de un peso que cae.
En este apartado, se estudia un sistema en el que la masa y la fuerza aplicada cambian. Consiste en un depsito dearena que pierde masa por su parte inferior, y que se desplaza sobre dos vas paralelas, que ejercen una fuerza derozamiento cuando el depsito se desplaza. Este depsito est unido mediante una cuerda que pasa por una poleaa un cuerpo cuya masa M es constante, tal como se muestra en la figura
Ecuaciones del movimiento
Dibujamos las fuerzas sobre el bloque y sobre el depsito. Supondremos que la polea tiene un momento deinercia despreciable.
La ecuacin del movimiento del depsito es
T-N=maN=mg
La ecuacin del movimiento del cuerpo que cuelga es
Mg-T=Ma
Primer etapa. La masa del depsito disminuye
La masa del depsito vara con el tiempo de la forma
m=m0-ft
Siendo m0 la masa inicial (depsito vaco ms la arena que contiene), y f el flujo constante de arena que sale porel orificio situado en su parte inferior.
Eliminando T del sistema de ecuaciones
Integrando
= gdvdtM + f tm0M + f tm0
dv = g dtv t
-
La fraccin es fcilmente integrable si se transforma en esta otra expresin equivalente
Despus de hacer algunas operaciones se obtiene
Integrando de nuevo, obtenemos el desplazamiento x en funcin del tiempo t. Recordando que
obtenemos
Segunda etapa: la masa del depsito es constante
La arena se agota en el instante tm. A partir de este instante, la masa del depsito es constante
m=m0-ftm
La aceleracin del depsito y del bloque es constante, el movimiento es uniformemente acelerado
La posicin y velocidad es
donde x0 y v0 es la posicin y velocidad del depsito en el instante tm en el que se quedado vaco.
Ejemplo
Masa inicial de arena 1 kg
Flujo de arena f=0.8 kg/s
Coeficiente de rozamiento =0.5
Masa del bloque M=1 kg.
La masa inicial del depsito de arena es igual a la masa de la arena ms la masa del recipiente que lo contiene. Seha tomado como masa del recipiente el 10% de la masa inicial de arena.
masa inicial del depsito (m0) =1.1 masa inicial de arena
La masa inicial del depsito es m0=1.11=1.1 kg
El depsito de arena se vaca en el instante tm=1.0/0.8=1.25 s.
En dicho instante la velocidad del depsito es
La posicin del depsito es
A partir de este instante, el depsito se mueve con aceleracin constante
dv = g dt0
v
0
tM + f tm0M + f tm0
= +M + f tm0M + f tm0M(1 + )
M + f tm0
v = ln g tgM(1 + )fM + m0
M + f tm0
ln z dz = z ln z z
x = ggM(1 + )f
t(ln(M + ) + 1) ln(M + ) +m0 M+m0f m0
ln(M + f t)M+ f tm0f m0
12 t
2
a = gM ( f )m0 tmM + fm0 tm
v = + a(t )v0 tmx = + (t ) + ax0 v0 tm 12 (t )tm
2
v = ln ggM(1+)fM+m0
M+ fm0 tm tm
v = ln 0.5 9.8 1.25 = 5.76 m/s9.81(1+0.5)0.81+1.1
1+1.10.81.25
x = ( ) 0.5 9.8 = 2.80 m9.8 1(1 + 0.5)0.81.25(ln(1 + 1.1) + 1) ln(1 + 1.1) +1+1.10.8
ln(1 + 1.1 0.8 1.25)1+1.10.81.250.8
12 1.25
2
a = g a = 9.8 = 8.46 m/sM ( f )m0 tmM + fm0 tm1 0.5( 1.1 0.8 1.25)
1 + 1.1 0.8 1.25
-
Las ecuaciones del movimiento son
v=5.76 +8.46(t-1.25)x=2.80+5.76 (t-1.25)+8.46(t-1.25)2/2
Por ejemplo, en el instante t=1.6 s el depsito se encuentra en la posicin x=5.33 m y lleva una velocidad dev=8.72 m/s
Por ejemplo, el depsito llega a la posicin x=4.0 m en el instante t=1.43 s, con una velocidad de v=7.31 m/s
Actividades
Se introduce
La masa de arena (en kg), en el control de edicin titulado Masa de arena
El flujo f de arena (en kg/s), en el control de edicin titulado Flujo de arena
El coeficiente de rozamiento entre le depsito y el plano horizontal, en el control de edicin titulado Coef.rozamiento
La masa del bloque M, se ha fijado en el valor M=1 kg
Se pulsa el botn titulado Empieza
La masa inicial del depsito de arena es igual a la masa de la arena ms la masa del recipiente que lo contiene. Seha tomado como masa del recipiente el 10% de la masa inicial de arena.
masa inicial del depsito (m0) =1.1 masa inicial de arena
masa final del depsito =masa del recipiente =0.1 masa inicial de arena
El programa interactivo no comienza si se cumple que m0>M, se aconseja entonces, disminuir el valor delcoeficiente de rozamiento .
Referencias
Sullivan P., Chaplin B, A system to change both mass and applied force. The Physics Teacher, Vol 37, May 1999,pp. 309-311
Curso Interactivo de Fsica en Internet ngel Franco Garca
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El flujo de arena
Un depsito de arenaempujado por unafuerza constante.
Un depsito de arenaempujado por un pesoque cae.
El reloj de arena.
Inicio Dinmica Sistemas de masa variable
El reloj de arena
El reloj de arena consta de dos recipientes iguales de formaaproximadamente cnica unidos por un cuello cilndrico por dondefluye la arena desde el recipiente superior al inferior. El reloj se colocasobre una balanza electrnica de alta sensibilidad, que mide ladiferencia entre el peso del reloj cuando est en marcha y cuando estparado.
A medida que la arena fluye del recipiente superior al inferior, su centrode masas se mueve hacia abajo, su aceleracin ac es hacia abajo, por loque la resultante de las fuerzas sobre el sistema ser hacia abajo y portanto, la balanza medir una fuerza N que ser menor que el peso mg.
Este razonamiento como vamos a ver es incorrecto, ya que aunque escierto que el centro de masas se mueve hacia abajo, su aceleracin ac eshacia arriba. La balanza medir una fuerza N que ser mayor que el pesomg.
Descripcin
En la figura, se muestra un reloj de arena en un instante t. Sea y2 la posicin de la superficie libre de la arena en laporcin superior e y1 la posicin en la porcin inferior. La posicin del cuello cilndrico que une ambas porcioneses a. Sea A(y) el rea de la seccin trasversal del reloj de arena en la posicin y, y la densidad de la arena.
La posicin Yc del centro de masas del sistema est dada por
M = yA(y) dy + yA(y) dy + Ccy1 y2
-
donde M es la masa total del reloj de arena, y C es una constante que tiene en cuenta la arena que est cayendo, lamasa del recipiente de vidrio y otros detalles fijos de la construccin del reloj de arena.
Derivando con respecto del tiempo, obtenemos la velocidad del centro de masas vc
El flujo f se define como la masa que sale del recipiente superior en la unidad de tiempo, o que entra en elrecipiente inferior en la unidad de tiempo.
La velocidad del c.m. vc tiene una expresin muy simple
Mvc=f(y1-y2)
Como y10, la aceleracin del c.m. es siempre positiva, hacia arriba, aunque el centro de masas se mueve hacia abajo.Cuando el reloj est en marcha, la balanza mide una fuerza N mayor que el peso Mg del reloj parado.
En esta deduccin, no se considera el estado transitorio, cuando la arena comienza a caer ni cuando termina defluir la arena, solamente la situacin intermedia.
Reloj de arena de forma cilndrica
Consta de dos cilindros iguales de radio R y longitud L, unidos por un cuello por el que fluye arena a raznconstante de f kg/s.
Posicin del centro de masa
Calculamos el centro de masas de la arena contenida en ambos recipientes, despreciando el cuello que los une.Los centros de masas de la arena de cada una de las porciones se sealan en la figura mediante puntos de colorrojo.
La masa (o volumen para un cuerpo homogneo) de la porcin inferior esR2y1
La posicin de su centro de masas y1/2
El volumen de la porcin superior R2(y2-a)
La posicin de su centro de masas (y2+a)/2
La posicin del centro de masas del sistema es
Velocidad del c.m.
M = yA(y) dy + yA(y) dy + CYc 0
y1
a
y2
M = (A( ) + A( ) )vc y1 y1 dy1dt y2 y2 dy2dt
f = = A( ) = A( )dmdt y1dy1dt y2
dy2dt
M = f ( ) + ( )ac dy1dt dy2dt y1 y2dfdt
F = N Mg = M = ( + )ac f2
1
A( )y11
A( )y2
= =yc( ) /2 + ( ( a))(( + a)/2)R2y1 y1 R2 y2 y2
LR2+ y21 y22 a22L
-
Derivando con respecto del tiempo
donde se ha definido el flujo f de arena como
Aceleracin del c.m.
Derivando respecto del tiempo
La aceleracin del centro de masas es constante
A partir de la frmula (1) podemos obtener tambin la aceleracin del c.m.
Como A(y1)=A(y2)=R2
y la masa de la arena es M= R2L
Reloj de arena de forma cnica
Consta de dos conos iguales de radio R y altura H, unidos porsus vrtices.
Posicin del centro de masa
En el instante t, la arena est contenida en un cono de radio r yaltura (H-h) y un tronco de cono de radio R de base y altura h.
Centro de masa de un cono macizo o de un tronco de cono
La posicin yc centro de masa de una figura cnica de revolucin alrededor del eje Y se calcula mediante lafrmula
Para integrar se ha de relacionar x e y
= = ( )vc+y1 dy1dt y2
dy2dt
Lf
LR2y1 y2
f = = = dmdt R2 dy1dt R
2 dy2dt
= ( ) = = 2ac f LR2dy1dt
dy2dt
f LR2
2fR2 ( )fR2
2 1L
M = ( + )ac f2
1
A( )y11
A( )y2
( L) = = 2R2 acf 2
2
R2ac ( )fR2
2 1L
=ycy dy
h
0x2
dyh
0x2
= x =R R(H y)
-
La integral es inmediata
El denominador es el volumen del tronco de altura h.
Cuando h=H tenemos el centro de masas de un cono macizo de radio R y altura H
El denominador de yc es el volumen del cono R2H/3
Calculamos la posicin del centro de masas de cada unas de las dos porciones de arena: un tronco de cono y deun cono invertido, respecto del origen situado en el vrtice comn de ambos conos.
Cono de altura (H-h) situado en la porcin superior del reloj de arena (vase la figura de arriba)
El radio r de la base del cono invertido es
Su volumen es
La posicin del centro de masas se encuentra a (H-h)/4 de la base o a y1=3(H-h)/4 del vrtice dondeest situado el origen.
La posicin del centro de masas del tronco de cono
La hemos calculado anteriormente. Est a yc de la base del tronco de cono o a (H-yc) del origensituado en el vrtice. Su posicin y2=-H+yc es
El volumen del tronco de cono V2 lo hemos calculado ya
El centro de masas del conjunto formado por el cono invertido superior y el tronco de cono inferior es
V=V1+V2 es el volumen total, es decir, del cono de radio R y altura H, V=R2H/3, como puedecomprobarse fcilmente.
Velocidad del c.m.
Derivando con respecto del tiempo obtenemos la velocidad del c.m.
= x =x(H y)RH
R(H y)H
=yc( 2H + )R2H2 H 2 h
2
2h33
h44
( h H + )R2H2 H 2 h2 h3
3
= = =yc( )R2H2 H412( )R2H2 H33
112 R2H 2
H13 R2
H4
= r =r(H h)RH
R(H h)H
= V113
R2
H 2(H h)3
= H +y2( 2H + )H 2 h2 h23 h34( Hh + )H 2 h23
= ( h H + )V2 R2
H 2H 2 h2 h
3
3
=Yc+y1V1 y2V2+V1 V2
=Yc 6 h + 9 6H +34H 4 H 3 H 2h2 h3 32 h4
H 3
= = = vcdYcdt
6 + 18 h 18H + 6H 3 H 2 h2 h3H 3
dhdt
6(H h)3
H 3dhdt
-
El flujo es
Aceleracin del c.m.
Derivando respecto del tiempo obtenemos la aceleracin del c.m.
La aceleracin del c.m. es positiva y tiende a infinito cuando hH, es decir, cuando se agota la arena de la partesuperior.
Podemos calcular tambin la aceleracin del c.m. mediante la expresin (1) obtenida en el apartado descripcin
Para un reloj de arena formado por dos conos iguales unidos por sus vrtices,
por lo que
La masa total de arena es
La aceleracin del c.m. es
Altura de la arena en el recipiente cnico inferior.
El flujo f de arena es constante, al cabo de un cierto tiempo t, la arena llena el volumen V=ft/ de un tronco decono de altura h. Ya hemos calculado la frmula del volumen de un tronco de cono.
Conocido el radio de la base R del cono y su altura H, tenemos que resolver una ecuacin cbica, para hallar laaltura h del tronco de cono, en el instante t.
Esta ecuacin se resuelve por procedimientos numricos en el programa interactivo
Ejemplo
Radio de la base del cono, R=0.5 m
Altura del cono H=0.5 m
Densidad de la arena =2500 kg/m3
f = = = dmdt r2 dhdt
R2(Hh)2
H2dhdt
= fvc 6(Hh) HR2
= = f = 6acdvcdt
8 HR2
dhdt ( )fR2
2 H(H h)2
M = ( + )ac f2
1
A( )y11
A( )y2
A( ) = A( ) = A(H h) =y1 y2R2(H h)2
H 2
M =ac2f 2
R2H 2
(H h)2
M = HR2
3
= 6ac ( )fR22 H(H h)2
= ( h H + )f t R2
H 2H 2 h2 h
3
3
H + h = 0h3
3 h2 H 2
f tH 2
R2
-
Flujo de arena f=0.13 kg/s
En un instante dado t la altura h del tronco de cono es de 0.20 m. Calcular el instante t, la posicin del c.m. y ladiferencia de fuerzas F=Mac que seala la balanza.
Instante t
Calculamos el volumen del tronco de cono de altura h=0.2 m
La masa de arena contenida en este volumen es m=V=25000.103=256.6 kg
Como el flujo constante de arena es f=dm/dt=0.13 kg/s,
m=ft, t=1974 s.
Posicin del c.m.
La fuerza que mide la balanza es
Como vemos el efecto es muy pequeo, y para medirlo experimentalmente (vase el artculo citadoen las referencias) es preciso emplear una balanza que mida una masa elevada con una granprecisin.
Actividades
Se introduce
El radio R de la base del cono (en cm), actuando en la barra de desplazamiento titulada Radio cono.
El flujo f (en kg/s), actuando en la barra de desplazamiento titulada Flujo.
La altura H del cono se ha fijado en el valor H=0.5 m
La densidad de la arena se ha fijado en el valor =2500 kg/m3.
Se pulsa el botn titulado Empieza
Cuando el reloj est parado, su peso es Mg
Cuando est en marcha, su peso es algo mayor N
La diferencia es F=N-Mg=Mac
La balanza mide esta diferencia. Al principio cuando el reloj est parado F=0, pero luego, se incrementa hastaque tiende (tericamente) a infinito cuando deja de fluir la arena procedente del recipiente cnico superior.
Vemos como el c.m. del sistema, sealado por un punto de color rojo, desciende a medida que cae la arena delrecipiente cnico superior.
V = ( h H + )R2H2 H 2 h2 h3
3
V = ( 0.2 0.5 + ) = 0.1030.520.52 0.52 0.22 0.23
3 m3
=Yc6 h+9 6H +34 H4 H3 H2h2 h3 32 h
4
H3
= = 0.278 m = 27.8 cmYc6 0.2+9 60.5 +34 0.5
4 0.53 0.52 0.22 0.23 32 0.24
0.53
F = M =ac 2f2
R2H2
(Hh)2
F = = 4.78 kg20.13225000.520.52
(0.50.2)2 105
-
Inicio Dinmica Sistemas de masa variable
La fuerza que ejerce la presin atmosfricaEn esta pgina, se estudia un sistema de masa variable, y se comprueba los efectos de la fuerza que ejerce lapresin atmosfrica.
Disponemos de un tubo de PVC de longitud L y seccin A, sellado por ambos extremos, que tiene en su interioruna pelota de ping-pong. El dimetro del tubo es un poco mayor que el dimetro de la pelota, de modo que stapueda moverse a lo largo del tubo.
Se retira el aire en el interior del tubo, conectndolo auna bomba de vaco. Se rompe con un objetopunzante la lmina que sella el extremo izquierdo, elaire penetra en el interior del tubo y empuja a lapelota, que se mueve a lo largo del tubo, hasta quellega al otro extremo, rompe la tapa derecha y sale agran velocidad.
Tenemos de este modo, un can cuyo proyectil esimpulsado por la fuerza que ejerce la presinatmosfrica. La sucesin de imgenes de la figuranos permite entender como opera este dispositivo.
Movimiento del proyectil en el tubo de lanzamiento
Supongamos que el proyectil tiene seccin A y masa m. La fuerza que ejerce la presin atmosfrica p0 sobre elproyectil es p0A. Pero esta fuerza ha de acelerar el proyectil de masa m y la columna de aire de masa Ax pordetrs del proyectil (en color amarillo en la figura).
La ecuacin del movimiento es
Si el proyectil parte del reposo v=0 en el instante t=0, la expresin de la velocidad v en funcin del tiempo t es
Para obtener la posicin x del proyectil en funcin del tiempo t tenemos que integrar
con la condicin inicial de que en el instante t=0, el proyectil parte del origen x=0.
A = ((m + Ax)v)p0ddt
At = (m + Ax)v p0
At = (m + Ax) p0dxdt
mx + A = A x =2 0 2 m+ 2 2 0 2
-
La velocidad v del proyectil en funcin del tiempo es
Para un can infinitamente largo, cuando t, la velocidad final tiende hacia
Esta velocidad puede comparase con la velocidad del sonido en el aire
Donde =1.4 es el ndice adiabtico del aire
Ejemplo:
Una pelota de ping-pong tiene una masa m=2.5 g y un dimetro de 3.8 cm, o una seccin trasversal de A=1.1310-3 m2, la densidad del aire es =1.29 kg/m3 y la presin atmosfrica es de p0=1.013105 Pa
Calculamos la velocidad final del proyectil en un tubo de longitud L=1.5 m
Movimiento del proyectil fuera del tubo.
Para simular el movimiento de la pelota de ping-pong fuera del tubo de lanzamiento, suponemos que sobre elproyectil acta una fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad.
Integramos esta ecuacin sabiendo que en el instante t=t0, el mvil lleva una velocidad v0, es decir, la velocidadfinal al salir del tubo de lanzamiento.
Integramos de nuevo, para obtener la posicin x en funcin del tiempo, sabiendo que en el instante t0 parte de laposicin x0=L.
Actividades
Se introduce
La masa en gramos de la pelota de ping-pong, actuando en la barra de desplazamiento titulada Masa pelota
La longitud del tubo, en metros, actuando en la barra de desplazamiento titulada Longitud tubo
La densidad del aire vale =1.29 kg/m3
La el rea de la seccin trasversal de la pelota de ping-pong se ha fijado en A=1.1310-3 m2
La presin atmosfrica vale p0=1.013105 Pa
Se pulsa el botn titulado Empieza
Primero, se conecta el tubo a una bomba de vaco, y un manmetro nos seala la disminucin de la presin en eltubo sellado por ambos extremos.
mx + A = A x =12
x2 12p0 t2
m+ m2 A2p0t2 A
v = = =dxdtA tp0+ m2 A2p0t2 ( + )
m2
p20A2t2p0
1/2
=vp0
=vs p0
mL + A = A 12 L2 12 p0 t2
0.0025 1.5 + 1.29 1.13 = 1.013 1.13 t = 0.0097 s12 103 1.52 12 10
5 103 t2
v = = = 237.0 m/sA tp0+m2 A2p0t2
1.13 1.013 0.0097103 105
+1.29 1.013 0.00252 (1.13 )103 2 105 0.00972
m = kdvdt v2
= dt = + (t )v0
vdvv2
km
t0
t1v
1v0
km t0
dx = x = L + ln(1 + (t ))L
x
t0
tdt
+ (t )1v0km t0
mk
km v0 t0
-
A continuacin, se observa el movimiento del proyectil (en color rojo) a lo largo del tubo, y la columna de aire(en color amarillo) detrs.
En la parte superior del applet, se representa, la velocidad v del proyectil en funcin de la posicin x, medidadesde la parte izquierda del tubo que se toma como origen.
El proyectil alcanza una velocidad mxima al final del tubo y luego, disminuye debido al rozamiento con el aire.En esta experiencia anotaremos la velocidad final v0 y la relacionaremos con la masa m del proyectil y con lalongitud L del tubo.
Referencias
Ayars E., Buchholtz L. Analysis of the vacuum cannon. Am. J. Phys. 72 (7) July 2004, pp. 961-963.
Curso Interactivo de Fsica en Internet ngel Franco Garca
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Cuando no se aplicanfuerzas al vagn
Cuando se aplica unafuerza al vagn
La gota de lluvia quecae a travs de unanube
Inicio Dinmica Sistemas de masa variable
La lluvia que cae en un vagn de f