sistemas de control ii (m)

SISTEMAS DE CONTROL II

Grupo de Investigacion en Control Industrial-GICI

Area de Automatica

Profesores:

Jose Miguel Ramırez S.

Esteban Emilio Rosero Garc´ıa

UNIVERSIDAD DEL VALLEEscuela de Ingenier´ıa Electrica y Electr´onica

Santiago de Cali2007

Contenido

1. Estabilidad de sistemas dinamicos 111.1. Definiciones de Estabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.1.1. Estabilidad de Entrada Limitada-Salida Acotada. . . . . 121.1.2. Estabilidad Interna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2. Criterio de Routh-Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3. Estabilidad para Sistemas en Tiempo Discreto. . . . . . . . . . . 19

1.3.1. Prueba de Estabilidad de Jury. . . . . . . . . . . . . . . 191.3.2. Estabilidad absoluta de Sistemas Discretos con Routh. . . 23

2. Analisis mediante el lugar geometrico de las raıces 282.1. Lugar Geométrico de las Ra´ıces en tiempo continuo. . . . . . . . 29

2.1.1. Variacion de Polos de Red Cerrada. . . . . . . . . . . . . 292.1.2. Criterios de Magnitud yAngulo . . . . . . . . . . . . . . 292.1.3. Reglas de Construcción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.1.4. Contorno de las ra´ıces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.1.5. Efectos de adicionar Polos y Ceros al Lugar. . . . . . . . 40

2.2. LGDR Para Sistemas de Tiempo Discreto. . . . . . . . . . . . . 42

3. Analisis mediante la respuesta en frecuencia 503.1. Respuesta en Frecuencia en tiempo continuo. . . . . . . . . . . . 51

3.1.1. Graficas de Respuesta en Frecuencia. . . . . . . . . . . . 513.1.2. Caracterısticas de Funcionamiento en Frecuencia. . . . . 523.1.3. Correlación Tiempo-Frecuencia. . . . . . . . . . . . . . 553.1.4. Especificaciones de Funcionamiento. . . . . . . . . . . . 573.1.5. Diagramas de Bode en Terminos Simples. . . . . . . . . 583.1.6. Respuesta en Red Cerrada. . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.2. Criterio de Estabilidad de Nyquist. . . . . . . . . . . . . . . . . 673.3. Respuesta de Frecuencia de Sistemas Discretos. . . . . . . . . . 72

2

3.4. Estabilidad en Respuesta de Frecuencia Para Sistemas Discretos. 733.4.1. Margenes de Estabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.4.2. La transformada Bilineal o transformadaW . . . . . . . . 76

4. Diseno de sistemas de control 854.1. Diseno de Sistemas de Control. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.1.1. Metodos de Diseño del Controlador. . . . . . . . . . . . 884.1.2. Arquitectura del Control. . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.1.3. Reglas para el Diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.1.4. Restricciones para el Diseño . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.2. Diseno de Sistemas de Control Analogos. . . . . . . . . . . . . . 954.2.1. Diseño con el Controlador PD. . . . . . . . . . . . . . . 954.2.2. Diseño con el Controlador I . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.2.3. Diseño con el Controlador PI. . . . . . . . . . . . . . . . 1034.2.4. Diseño con el Controlador PID. . . . . . . . . . . . . . . 1094.2.5. Diseño para Plantas Sobreamortiguadas de Alto Orden. . 1144.2.6. Compensación Paralela. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.2.7. Compensación Cascada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184.2.8. Compensación Directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4.3. Diseno de Sistemas de Control Digitales. . . . . . . . . . . . . . 1284.3.1. Diseño por Equivalente Discreto. . . . . . . . . . . . . . 1284.3.2. Diseño con el Lugar de las Ra´ıces . . . . . . . . . . . . . 1374.3.3. Diseño por Respuesta de Frecuencia. . . . . . . . . . . . 1404.3.4. El Controlador RST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

4.4. Diseno por Asignación de Polos (Sıntesis). . . . . . . . . . . . . 1474.4.1. Controlador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1474.4.2. Controlador RST. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

5. Diseno en el Espacio de Estado de Sistemas de Control Digitales 1755.1. Diseno de la Ley de Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

5.1.1. Diseño deK a partir de la Forma Canónica Controlable . 1795.1.2. Diseño deK Mediante la Formula de Ackermann. . . . . 187

5.2. Diseno del Observador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1885.2.1. Observador de Predicción . . . . . . . . . . . . . . . . . 1885.2.2. Observabilidad del Estado. . . . . . . . . . . . . . . . . 1905.2.3. Controlabilidad y Observabilidad para Sistemas Continuos1945.2.4. Efecto de la discretización sobre la Observabilidad y Con-

trolabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

5.2.5. Calculo de la Matriz de Realimentaci´on del ObservadorKo 1955.2.6. Observador Corriente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1995.2.7. Observador de Orden Reducido. . . . . . . . . . . . . . 2005.2.8. Efecto del Observador en el Lazo Cerrado. . . . . . . . . 203

5.3. Diseno de Servosistemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

J. Ramırez y E. Rosero 4 GICI

Curso: Sistemas de Control II

Introducci on

A continuacion se realiza una descripción del curso:Codigo: 710018Creditos: 4Programa: MAESTRIA EN INGENIERIA ENFASIS EN AUTOMATICA (7710),ESPECIALIZACION EN AUTOMATIZACION INDUSTRIAL(5778)Intensidad Horaria: 3 Horas Semanales Teor´ıa, 1 Hora semanal PracticaPre-requisitos: Sistemas de Control IPerıodo: Febrero-Junio de 2007Profesor: Jose Miguel Ram´ırez S. ([email protected]), Esteban EmilioRosero Garc´ıa ([email protected])Observaciones:No es habilitable, Si es validable

En anos recientes, los sistemas de control han asumido un papel cada vezmas importante en el desarrollo y avance de la tecnolog´ıa y el desarrollo de lahumanidad. Los sistemas de control se encuentran en todos los sectores de laindustria, e inclusive en cada una de las actividades diarias que realizamos.

Para alcanzar desempeño optimo, productividad máxima, beneficio máximo,costo m´ınimo o la utilizacion mınima de energ´ıa de un proceso, se requiere contro-lar los sistemas dinámicos de una manera adecuada, para ello se requiere analizary disenar controladores con altas exigencias de desempeño.

En este curso se presenta el análisis y diseno de sistemas de control linealesen tiempo continuo y discreto.

5

Mapa conceptual

Figura 1:Mapa conceptual de Sistemas de control II

ObjetivosAl finalizar este curso Uusted estará en capacidad de:

General: Analizar y disenar sistemas de control lineales análogos y discretos,con representación de entrada salida o de estado.

Espec´ıficos

Utilizar las tecnicas de análisis de lugar de las ra´ıces y respuesta de frecuen-cia para el análisis de sistemas de control.

Analizar las propiedades de estabilidad, controlabilidad y observabilidad deun sistema dinámico.


Analizar las diferentes representaciones de un sistema dinámico, obtenidasmediante transformaciones lineales.

Ajustar los parámetros de una ley de control utilizando, los métodos dellugar geometrico de las ra´ıces, respuesta de frecuencia y diseño analıtico.

Disenar la ley de control y el observador de estado apropiado para un sis-tema descrito en el espacio de estado.

Determinar la estabilidad de los sistemas automáticos de control estudiados.

Orientaciones para el estudio

Los temas se desarrollarán mediante lecturas del estudiante, foros, ejerciciospropuestos a desarrollar por los estudiantes, trabajo en el computador y trabajo enun proyecto en el cual se aplicarán los conocimientos adquiridos a la practica.

La evaluacion sera:

Evaluaciones parciales: (4 evaluaciones) 80 %

Proyectos: 20 %

En cada unidad proponemos ejercicios y evaluaciones realizadas en años an-teriores, con el objeto que usted los desarrolle como parte de su preparación yno se debe entregar ningún informe al profesor. Las evaluaciones se realizarán alfinalizar las unidades como se planearon en la presentación de las unidades. Adi-cionalmente habrá 4 proyectos a desarrollar por usted, que deben ser entregadosoportunamente al profesor del curso.

Presentacion de las unidades

A continuacion se describe el contenido de cada una de las unidades del curso:

Unidad 1: Estabilidad de sistemas dinamicos[1]


Conceptualización, criterios de Routh-Hurwitz y de Jury, criterio deRouth para sistemas discretos.

Unidad 2: Analisis mediante el lugar geometrico de las raıces[1,5]

Tiempo continuo: variación de polos en red cerrada, criterios de mag-nitud y angulo, reglas de construcción, contorno de las ra´ıces, efectosde adicionar polos y ceros al lugar.

Lugar para sistemas de tiempo discreto.

Evaluacion: Parcial 1

Unidad 3: Analisis de estabilidad mediante las tecnicas de respuesta de frecuen-cia[1,5]

Tiempo continuo: graficas de respuesta de frecuencia, caracterısticasde funcionamiento en frecuencia, correlación tiempo-frecuencia, es-pecificaciones de funcionamiento, diagramas de Bode, respuesta defrecuencia en red cerrada, análisis de estabilidad con el criterio deNyquist.

Respuesta de frecuencia de sistemas discretos.


Unidad 4: Diseno de sistemas de control

Metodos de diseño, estructuras de control, procedimiento[1,10,14] .

Sistemas de control análogos: ajuste de controladores P, PD, I, PI, PID,para plantas de bajo orden; ajuste para plantas de alto orden. Compen-sacion paralela, cascada y directa[10,12].

Sistemas de control digitales: diseño por equivalente discreto, lugarde las ra´ıces y respuesta de frecuencia; diseño de controladores PID yRST por asignación de polos[2,6,9,10,11].


Unidad 5: Diseno en espacio de estado de sistemas de control digitales[1,2,6]

Diseno de la ley de control: v´ıa la forma canónica controlable, contro-labilidad de estado y de salida, diseño por Ackermann.


Diseno del observador: observador de predicción, observabilidad, ob-servadores corriente y de orden reducido, efecto del observador en ellazo cerrado.

Diseno de servosistemas.


Glosario

Bibliograf ıa

1. TEXTO GUIA: KUO BENJAMIN, Sistemas de Control Autom atico,P.H.H., 1997.

2. KUO BENJAMIN, Sistemas de Control Digital, CECSA, P.H.H., 1997.

3. W. BOLTON, Ingenier´ıa de Control, Alfaomega, 2a. Edición, 2001.

4. ERONINI-UMEZ-ERONINI, Dinamica de Sistemas y Control, ThompsonLearning, 2001.

5. OGATA KATSUSHITO, Ingenier´ıa de Control Moderno, P.H.H., 3 edición,1998.

6. OGATA KATSUSHITO, Sistemas de Control en Tiempo Discreto. P.H.H,Mex. 1996.

7. PAUL H. LEWIS-CHANG YANG, Sistemas de Control en Ingenier´ıa, P.H.H.,Madrid 1999


8. DORF RICHARD, Sistemas Modernos de Control, Addison-Wesley Iberoamer-icana, 2da edición en español, 1989.

9. GENE F. FRANKLIN, Control de Sistemas Dinamicos con retroalimentación,Addison-Wesley Iberoamericana, 1991.

10. KARL J. ASTROM-BJORN WITTENMARK, Computer-Controlled Sys-tems, Pentice Hall Information and Systems Sciences Series. 3ra Edición.

11. SCHULTZ D. and MELSA J., State functions and linear control systems,Mac Graw-Hill Book Company. 1967.

12. SIGURD SKOGESTAD and IAN POSTLETHWAITE, Multivariable Feed-back Control, Jhon Wiley & Sons Ltd, 1996.


Capıtulo 1

Estabilidad de sistemas dinamicos

Introducci on

Entre los muchos tipos de especificaciones de desempeño utilizadas para eldiseno de un sistema de control, el requerimiento más importante es que el sis-tema sea estable; por lo general, un sistema inestable se considera inútil. Existenmuchas nociones de estabilidad, una de ellas es considerar que un sistema es es-table si al aplicarle una entrada de magnitud finita, entonces la salida es tambiénfinita.

Esta unidad trata las condiciones que se deben satisfacer para que los sistemaslineales invariantes de una entrada y una salida, sean estables. Para estos sistemas,el requerimiento de establilidad se puede definir en términos de los polos de lafuncion de transferencia en lazo cerrado.

Objetivo:

Determinar la estabilidad de los sistemas automáticos de control estudiados.(Objetivo de evaluacion)

11

1.1. DEFINICIONES DE ESTABILIDAD

Contenidos

1.1. Definiciones de Estabilidad

1.1.1. Estabilidad de Entrada Limitada-Salida Acotada

Se dice que un sistema lineal, invariante y monovariable, es estable de Entra-da Limitada-Salida Acotada ELSA (en inglés BIBO, ‘Bounded Input - BoundedOutput’), si toda entrada acotada produce una salida acotada. Esta propiedad estamuy asociada con la respuesta al impulsog(t) o g(k) del sistema; consideremosel sistema de tiempo continuo descrito por su función de transferencia:

R(s) → G(s) → C(s)

La condicion de estabilidad ELSA exige que si|r(t)| ≤ N < ∞ parat ≥ 0,entonces|c(t)| ≤ M < ∞ parat ≥ 0.A partir de la respuesta calculada v´ıa la integral de convolución:

|c(t)| ≤∫ ∞

0

|r(t − τ )||g(τ )|dτ ≤ N

∫ ∞

0

|g(τ )|dτ ≤ M

se requiere que el area de la curva debajo de|g(τ )| debe ser finita; note que esnecesario quelım

t→∞g(t) → 0, para que el sistema continuo sea ELSA estable.

Para los sistemas lineales invariantes monovariables de tiempo discreto, ladefinicion de estabilidad ELSA es la misma; un análisis similar lleva a que sedebe cumplir la condición:

∞∑

0

|g(k)| < ∞

lo cual exige quelımk→∞

g(k) → 0, para que el sistema discreto sea ELSA estable.

Las condiciones anteriores eng(t) o g(k) permiten relacionar la estabilidadELSA con la ubicación de las ra´ıces en los planoss o z respectivamente.

1. Planos: Polo(s) en el semiplano izquierdo,g(t) es acotaday decreceasintótica-mente lım

t→∞g(t) → 0; esto garantiza que

∫∞0

|g(τ )|dτ sea acotada, luego el

sistema es ESTABLE.



Planoz: Polo(s) dentro del c´ırculo unitario,g(k) es acotaday decreceasintótica-mente lım

k→∞g(k) → 0; esto garantiza que

∑∞0 |g(k)| sea acotada, luego el

sistema es ESTABLE.

2. Planos: Polo(s) en el semiplano derecholımt→∞

g(t) → ∞, luego el sistema

no es estable ELSA; un sistema que no es estable ELSA, se define comoINESTABLE.

Planoz: Polo(s) fuera del c´ırculo unitario lımk→∞

g(k) → ∞, luego el sistema

es INESTABLE.

3. Planos: Si hay un polo en el origen o complejos no repetidos en el ejeimaginario,|g(t)| es constante o una sinusoide no amortiguada y asintótica-mente no tiende al infinito; sin embargo, la integral deg(t) no es acotada yel sistema es ELSA INESTABLE.

Planoz: Un polo simple enz = 1, tiene una secuencia de respuesta al pul-so unitario constante; pares de polos complejos no repetidos en el c´ırculoimaginario o un polo simple enz = −1 tienen respuestas oscilatorias aco-tadas. Sin embargo, la sumatoria de|g(k)| no es acotada y el sistema esELSA INESTABLE.

Por razones practicas, cuando las ra´ıces de la ecuación caracterıstica estanen el eje complejojw o en el c´ırculo de radio unidad del planoz, se dice queel sistema es MARGINALMENTE ESTABLE o INESTABLE. Recorde-mos que la acción integral adiciona polos ens = 0 o z = 1 y en principioes inestable, sin embargo, sabemos que es muy util.

1.1.2. Estabilidad Interna

Consideremos a un sistema de control realimentado unitario con funcionesde transferenciaG1(s) para el controlador yG2(s) para la planta, con entradasde referenciar(t), perturbaciones a la entrada y salida de la plantad1(t), d2(t) yruido en la medidan(t) y con salidas de interésc(t) y la senal de controla(t).

Para este sistema podemos definir funciones de transferencia entre cada sali-da y cada entrada, ocho en total. Decimos que el sistema de control es INTER-NAMENTE ESTABLE, si las ocho funciones de transferencia son estables. Estoequivale a exigir que todas las señales en el lazo sean acotadas para cada conjunto



r(t) a(t)+

−

+

d2(t)

+

n(t)

c(t)G2(s)G1(s)

+

d1(t)

+ +

+

Figura 1.1:Sistema de control realimentado.

de entradasr(t), d1(t), d2(t) y n(t) acotadas.

La estabilidad interna se puede asociar también a las ra´ıces de la ecuacióncaraterıstica. ConsideremosG1(s) = N1(s)/D1(s) y G2(s) = N2(s)/D2(s). Sepuede probar que el sistema realimentado es internamente estable, si y solo si lasraıces de la ecuación caracterıstica:

D1(s)D2(s) + N1(s)N2(s) = 0

tienen parte real negativa.

La nocion de estabilidad interna es más fuerte que la de estabilidad ELSA dela referencia a la salida; ella exige adicionalmente que no hayan cancelaciones depolos inestables entre la plantaG2(s) y el controladorG1(s).

EjemploConsideremos:G1(s) = (−s+1)

sy G2(s) = 1

(s+1)(−s+1)

La funcion de transferencia entre la salidaC(s) y la entrada de referenciaR(s):

T (s) =C(s)

R(s)=

1

s2 + s + 1

es estable. Sin embargo, la función de transferencia entre la salidaC(s) y la en-



trada de perturbaciónD1(s):

Scd(s) =C(s)

D1(s)=

s

(−s + 1)(s2 + s + 1)

es inestable; el lazo cerrado no es internamente estable, ya queD1(s)D2(s) +N1(s)N2(s) = (−s + 1)(s2 + s + 1) tiene una ra´ız inestable.

De lo anterior, tenemos que el problema de determinar la estabilidad ELSA ointerna de un sistema, se reduce a poder saber si el polinomio caracterıstico:

p(s) = sn + an−1sn−1 + ... + a1s + a0,

con coeficientesai reales, tiene todas sus ra´ıces con parte real negativa, esto es, siesHurwitz. Por supuesto que para ello podrıamos simplemente calcular las ra´ıcesdel polinomio. Sin embargo, en muchos casos es util estudiar la relación entrela posicion de las ra´ıces y ciertos coeficientes del polinomio. Veamos algunaspropiedades polinomiales de interés para ello:

1. El coeficientean−1 satisface:

an−1 = −n∑

i=1

λi

donde losλ1, λ2...λn son las ra´ıces deP (s)

2. El coeficientea0 satisface:

a0 = (−1)nn∏

i=1

λi

3. Si todas las ra´ıces dep(s) tienen parte real negativa, entonces necesaria-menteai > 0, i ∈ {0, 1, ...(n− 1)}.

4. Si cualquiera de los coeficientes del polinomio es no positivo (negativo ocero), entonces al menos una de las ra´ıces tiene parte real no negativa.


1.2. CRITERIO DE ROUTH-HURWITZ

1.2. Criterio de Routh-Hurwitz

En estabilidad se estudian 2 aspectos de interés para análisis y diseno:

* Estabilidad absoluta: Investiga si un sistema de control es estable.

* Estabilidad relativa: Investiga el grado de estabilidad de un sistema estable.

El criterio de Routh-Hurwitz es un algoritmo de aplicación directa para evaluarla estabilidad absoluta de un sistema análogo determinando el numero de polosde lazo cerrado que caen en el semiplano derecho, sin calcular las ra´ıces de laecuacion caracterıstica. Tambien indica el numero de ra´ıces que están sobre el ejeimaginariojw; es uno de los métodos más usados para determinar si un polinomioes Hurwitz o no, basándose en sus coeficientes. Es util sobre todo para polinomiosde grado elevado.



El metodo es el siguiente:

1. Ordenar la ecuación caracterıstica de la forma:

a0sn + a1s

n−1 + · · · + an−1s + an = 0; an 6= 0

2. Verificar que todos los coeficientes de la ecuación tienen el mismo signoy ninguno de los coeficientes es igual a cero (condición necesaria pero nosuficiente); de lo contrario, existe al menos una ra´ız que es imaginaria otiene parte real positiva y el polinomio no es Hurwitz.

3. Elaborar la tabla.

sn a0 a2 a4 . . .sn−1 a1 a3 a5 . . .sn−2 b1 b2 b3 . . .sn−3 c1 c2 c3 . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .s1 d1 . . . . .s0 f1 . . . . .

b1 =a1a2 − a0a3

a1, b2 =

a1a4 − a0a5

a1, b3 =

a1a6 − a0a7

a1, ...

c1 =b1a3 − a1b2

b1

, c2 =b1a5 − a1b3

b1

, ...

etc...hasta la fila enésima.

El arreglo anterior se conoce comotabulacion de Routho arreglo de Routh. Lacolumna de eses en el lado izquierdo se utiliza para propositos de identificación.La columna de referencia mantiene el rastro de los cálculos, y el ultimo renglónde la tabulacion de Routh debe ser siempre el renglón deS0.Una vez que la tabulación de Routh se ha completado, el ultimo paso es aplicar elcriterio, el cual establese que:El numero de cambios de signos en los elementosde la primera columna es igual al número de las ra´ıces con partes reales positivaso en el semiplano derecho del plano s.

Por tanto, un polinomio será Hurwitz si tiene todos sus coeficentes y elementosde la primera columna de la tabulación de Routh, positivos.



Se dificulta aplicar el criterio cuando:

1. El primer elemento de una fila es cero, tendiendo a infinito los elementos dela fila siguiente.En este caso, se reemplazael elemento nulo por un número positivo pequeñoε.

2. Los elementos de una fila son nulos; esto es debido a:

Pares de ra´ıces reales equidistantes del eje imaginario.

Pares de ra´ıces complejas, simétricas al origen.

En este caso se puede crear laEcuacion Auxiliar, con los coeficientes de la filasuperior a la fila nula; esta ecuación es de orden par y sus ra´ıces son también de laecuacion caracterıstica. Para este caso, se reemplaza la fila nula con los coefientesde la ecuación auxiliar.

Ejemplo

Sistema de Control de la excitación con excitatriz y accción I.

G(s) =kI

s(τEs + 1)(τGs + 1)τE, τG > 0

Solucion:Ecuacion caracterıstica:

τEτGs3 + (τE + τG)s2 + s + kI = 0

s3 τEτG 1s2 τE + τG kI

s1 1 − τEQkI 0s0 kI

Donde:τEQ =

τEτG

τE + τG

El sistema es estable si:

1 − τEQkI > 0 y kI > 0


1.3. ESTABILIDAD PARA SISTEMAS EN TIEMPO DISCRETO

−→ 0 < kI <1

τEQ=

τE + τG

τEτG

Por otro lado, si kI = τE+τG

τEτG, la fila s es nula y hay ra´ıces conjugadas en el eje

complejo; la Ecuación Auxiliar es:

(τE + τG)s2 +τE + τG

τEτG= 0

s2 = − 1

τEτG

s1−2 = ±j

√1

τEτG

√1

τEτG: frecuencia de oscilación.

Dividiendo la ecuación caracterıstica por la ecuación auxiliarse obtiene la terceraraız en:

s3 = − 1τEQ

1.3. Estabilidad para Sistemas en Tiempo Discreto

1.3.1. Prueba de Estabilidad de Jury

Permite evaluar la estabilidad absoluta de sistemas discretos, directamente dela ecuacion caracterıstica.Se debe escribir la ecuación caracterıstica en la forma:

P (z) = a0zn + a1z

n−1 + · · · + an−1z + an, a0 > an

El sistema es estable si cumple todaslas siguientes condiciones:

1. |an| < a0

2. P (z)|z=1 > 0

3. P (z)|z=−1 =

{> 0 Si n es par< 0 Si n es impar



4.|bn−1| > |b0|

|cn−2| > |c0|...

|q2| > |q0|

Donde los coeficientesbk, ck, ..., qk de la ultima condici´on, se calculan a partirde la siguiente tabla.

z0 z1 z2 z3 . . . zn−2 zn−1 zn

1 an an−1 an−2 an−3 . . . a2 a1 a0

2 a0 a1 a2 a3 . . . an−2 an−1 an

3 bn−1 bn−2 bn−3 bn−4 . . . b1 b0

4 b0 b1 b2 b3 . . . bn−2 bn−1

5 cn−2 cn−3 cn−4 cn−5 . . . c0

6 c0 c1 c2 c3 . . . cn−2

. . . . .

. . . . .

. . . . .2n − 5 p3 p2 p1 p0

2n − 4 p0 p1 p2 p3

2n − 3 q2 q1 q0

Con:

bk = det

[an an−1−k

a0 ak+1

]k = 0, 1, 2, ..., n − 1

ck = det

[bn−1 bn−2−k

b0 bk+1

]k = 0, 1, 2, ..., n − 2

.

.

.

qk = det

[p3 p2−k

p0 pk+1

]k = 0, 1, 2



Note que la ultima fila tiene 3 elementos, con excepción de los sistemas de se-gundo orden para los cuales habrá 2n − 3 = 1, un elemento; observe que loselementos de una fila par son los de la fila impar superior, en sentido inverso.

Ejemplo

Evaluar la estabilidad del sistema con ecuación caracterıstica:

P (z) = z4 − 1,2z3 + 0,07z2 + 0,3z − 0,08 = 0

Solucion:

a0 = 1, a1 = −1,2, a2 = 0,07, a3 = 0,3, a4 = −0,08

1. |an| < a0 : | − 0,08| < 1 Cumple

2. P (1) = 0,09 > 0 Cumple

3. P (−1) = 1,89 > 0 Cumple

4.z0 z1 z2 z3 z4

1 −0,08 0,3 0,07 −1,2 12 1 −1,2 0,07 0,3 −0,083 −0,994 1,176 −0,075 −0,2044 −0,204 −0,075 1,176 −0,9945 0,946 −− 0,315

|b3 = −0,994| = 0,994 > |b0 = −0,204| = 0,204 Cumple

|c2 = 0,946| = 0,946 > |c0 = −0,315| = 0,315 Cumple

∴ el sistema es estable



Ejemplo

Evaluar el rango de valores de la gananciak para que el siguiente sistema seaestable:

+

−k

R(z) C(z)(0.3679z+0.2642)(z−0.3679)(z−1)

Solucion:

C(z)

R(z)=

k(0,3679z + 0,2642)

z2 + (0,3679k − 1,3679)z + 0,3679 + 0,2642k

Ecuacion caracterıstica:

1︸︷︷︸a0

z2 + (0,3679k − 1,3679)︸︷︷︸a1

z + 0,3679 + 0,2642k︸︷︷︸a2

Para un sistema de segundo orden, las condiciones se reducen a:

1. |a2| < a0

2. P (1) > 0

3. P (−1) > 0

De la condicion1. se obtiene:

|0,3679 + 0,2642k| < 1

−5,1775 < 2,3925k


P (1) = 0,6321k > 0

k > 0




P (−1) = 2,7358 − 0,1037k > 0

k < 26,38

La solucion es la intersección de las tres condiciones previas:

∴ 0 < k < 2,3925

1.3.2. Estabilidad absoluta de Sistemas Discretos con Routh

Si se usa la transformada Bilineal:

W =z + 1

z − 1

El interior del cırculo unitario |z| < 1 corresponderá en el plano complejo deW = σ + jw:

z =W + 1

W − 1→

∣∣∣σ + jw + 1

σ + jw − 1

∣∣∣ < 1 → (σ + 1)2 + w2

(σ − 1)2 + w2< 1

σ2 + 2σ + 1 + w2 < σ2 − 2σ + 1 + w2 → σ < 0

al semiplano izquierdo; por tanto, se puede aplicar el criterio de Routh en el do-minio deW para evaluar la estabilidad absoluta.

EjemploConsideremos el polinomio:

P (z) = z3 − 1,3z2 − 0,08z + 0,24 = 0

Solucion:Con

z =W + 1

W − 1→ P (W ) =

(W + 1

W − 1

)3

−1,3(W + 1

W − 1

)2

−0,08(W + 1

W − 1

)+0,24 = 0

→ W 3 − 7,57W 2 − 36,43W − 14,14 = 0

El sistema es inestable pues los coeficientes no tienen el mismo signo.

Nota: Este procedimiento exige más calculos que Jury, pero permite calcularla frecuencia de oscilación para laGanacia Crıtica: ganancia no nula, para la cualse obtienen polos de lazo cerrado en el eje complejo.



Ejercicios propuestos

Realice los siguientes ejercicios del libro de Kuo:Routh: 6-2, 6-3, 6-4, 6-7, 6-9Jury: 6-18, 6-19, 6-20Transformada Bilineal: 6-17

Resumen

En este cap´ıtulo se dieron las definiciones de estabilidad de entrada-salidae interna en tiempo continuo y discreto, para sistemas lineales e invariantes enel tiempo. Se conoció que la condición para estos tipos de estabilidad se rela-ciona directamente con las ra´ıces de la ecuación caracterıstica. Para que un sis-tema en tiempo continuo sea estable, las ra´ıces de la ecuación caracterıstica debenlocalizarse en el semiplano izquierdo del planos. Para que un sistema en tiem-po discreto sea estable, las ra`ıces de la ecuación caracterıstica deben localizarsedentro del c´ırculo unitario en el planoz.

La condicion necesaria para que un polinomioP (s) no tenga ceros sobre elejejw y en el semiplano derecho del planos es que todos sus coeficientes debenser del mismo signo y ninguno puede ser cero. Mediante el criterio de RouthHurwitz, se verifican las condiciones necesarias y suficientes para queP (s) tengaceros solamente en el semiplano izquierdo del planos.

Para sistemas en tiempo discreto, se debe verificar la ecuación caracterısticaP (z) para ra´ıces sobre y fuera del c´ırculo unitario en el planoz. El criterio deRouth Hurwitz no puede aplicarse directamente a esta situación. Un metodo con-fiable es utilizar la transformada bilineal, que transforma el c´ırculo unitario en elplanoz en el eje imaginario de otro plano de variable compleja, y entonces sepuede aplicar el criterio de Routh Hurwitz a la ecuación transformada.

La prueba de estabilidad de Jury permite evaluar la estabilidad absoluta de sis-temas discretos, directamente de la ecuación caracterıstica.



Actividades de aprendizaje

Los ejercicios propuestos a continuación son para que usted los desarrollecomo parte de su preparación y no se debe entregar ningún informe al profesor.

1. Realice:

Una lectura reflexiva y cr´ıtica del material del curso.

2. Desarrolle los ejercicios propuestos en esta unidad.

3. (Ejercicio6-4. Kuo, 1996) La función de transferencia en lazo de un sistemade control realimentado de un solo lazo está dada como:

G(s)H(s) =K(s + 5)

s(s + 2)(1 + Ts)

Los parametrosK y T pueden estar representados en el plano conK co-mo el eje horizontal yT como el eje vertical. Determine las regiones en elplano de parámetros deT contraK en el cual el sistema en lazo cerrado esasintoticamente estable. Indique el l´ımite en el que el sistema es marginal-mente estable.

4. (Ejercicio 6-9. Kuo, 1996) En la figura1.2 se muestra el diagrama de blo-ques de un sistema de control de un motor con realimentación por tacometro.Encuentre el intervalo de la constante del tacómetroKt para que el sistemasea asintóticamente estable.

r(t)+

−

+10

100s(s+5.6)(s+10)

y(t)

Kts

−e(t)

Figura 1.2:Sistema de realimentación por tacometro



5. (Ejercicio6-17b. Kuo, 1996) Aplique la transformadaw a la siguiente ecuacióncaracterıstica del sistema de control en tiempo discreto, y determine lascondiciones de estabilidad (asintóticamente estable, marginalmente estableo inestable) por medio del criterio de Routh-Hurwitz.

z3 + z2 + 3z + 0,2 = 0

6. (Ejercicio 6-19. Kuo, 1996) La ecuación caracterıstica de un sistema decontrol lineal digital es:

z3 + z2 + 1,5Kz − (K + 0,5) = 0

Determine los valores deK para que el sistema sea asintóticamente estable.

7. Utilice un programa para la búsqueda de raices para encontrar las raices delas siguientes ecuaciones caracterısticas de sitemas lineales y determine lacondicion de estabilidad de los mismos.

s4 + 12s3 + s2 + 2s + 10 = 0

z3 + 2z2 + 1,2z + 0,5 = 0

Lecturas complementarias

Kuo Benjamin. Sistemas de Control Automático, Prentice Hall 1997. Cap´ıtu-lo 6: Estabilidad de sistemas de control lineales

Referencias

KUO BENJAMIN, Sistemas de Control Automático, Prentice Hall 1997.



OGATA KATSUSHITO, Ingenier´ıa de Control Moderno, P.H.H. 3 edici´on,1998.

OGATA KATSUSHITO, Sistemas de Control en Tiempo Discreto. P.H.H,Mex. 1996.


Capıtulo 2

Analisis mediante el lugargeometrico de las raıces

Introducci on

Las caracterısticas basicas de la respuesta transitoria de un sistema de lazocerrado las determinan los polos de lazo cerrado, por lo cual en el análisis de unsistema de control es importante poder ubicar estos polos en lugares apropiadosdel planos. En el diseno de un sistema de control, el ajuste de los parámetrosdel controlador cambia las posiciones de los polos y ceros de lazo abierto, bus-cando ubicar los polos del lazo cerrado en las posiciones deseadas del planos.Como los polos de lazo cerrado son las ra´ıces de la ecuación caracterıstica, esimportante para el análisis conocer los efectos en la ubicación de las ra´ıces delazo cerrado cuando cambia un parámetro en la ecuación caracterıstica. Ellugargeometrico de las raıcesson las trayectorias de la ecuación caracterıstica cuandoun parametro de ella var´ıa.

A continuacion se presentan los conceptos básicos del método del lugar de lasraıces, el procedimiento general para dibujar los lugares de las ra´ıces y se analizanlos efectos de adicionar polos y ceros al lugar, para sistemas de tiempo continuo;al final se presentará la tecnica del lugar de las ra´ıces para sistemas de tiempodiscreto.

Objetivo

Utilizar la tecnica del lugar geométrico de las ra´ıces para el análisis de sis-

28

2.1. LUGAR GEOMETRICO DE LAS RAICES EN TIEMPO CONTINUO

temas de control.Objetivo de aplicacion

Contenidos

2.1. Lugar Geometrico de las Raıces en tiempo con-tinuo

El lugar geometrico de las ra´ıces, es el trazo de las ra´ıces de la ecuación car-acterıstica, para distintos valores de un parámetro del sistema, normalmente laganancia.

2.1.1. Variacion de Polos de Red Cerrada

Consideremos la forma canónica de un sistema de controlT (s) = G(s)1+GH(s)

,

dondeGH(s) = kN(s)D(s)

conk un parametro que var´ıa; as´ı, T (s) = G(s)D(s)D(s)+kN(s)

y laecuacion caracterıstica es:

D(s) + kN(s) = 0

Si k → 0, las ra´ıces de la ecuación caracterıstica son las ra´ıces deD(s) = 0;si k → ∞, las ra´ıces de la ecuación caracterıstica son las ra´ıces deN(s) = 0; portanto, parak : [0,∞), los polos de red cerrada var´ıan desde los polos de redabierta hacia los ceros de red abierta, donde terminan.

2.1.2. Criterios de Magnitud yAngulo

Un puntos1 pertenece al Lugar Geométrico de las ra´ıces si cumple:

D(s1) + kN(s1) = 0

o bienGH(s1) = −1; para esto, se debe cumplir:

1. ∠GH(s1) = ±180(2L + 1), L = 0, 1, 2, ...



Esta expresión se denomina CRITERIO DELANGULO y define que puntodel planos pertenece al Lugar Geométrico de las Ra´ıces.

2. |GH(s1)| = 1, o bien|k| =∣∣∣DN∣∣∣

Esta expresión se denomina CRITERIO DE MAGNITUD y da la gananciak en el punto del Lugar Geométrico de las Ra´ıces.

Con estos dos criterios se podrıa trazar el Lugar Geométrico de las Ra´ıces portanteos en el planos; esta evaluación de forma grafica, se ilustra para la figura,donde se tiene un sistema con un cero ens = −2 y un par de polos complejos ens = −1 ± j para la funcion de transferencia de lazo abierto.

A

B

C

β

K = 0−1 − j

−1 + j

αK = 0

γ

−2

K = ∞

S1

0 σ

jωPlano S

El criterio del angulo se evalúa restandole a la suma de los angulos de losceros, los angulos de los polos; estos angulos se obtienen entre el eje real o un ejedejw constante y el vector dirigido entre el cero o polo y el puntos1; esto es:

∠GH(s)|s1 = γ − β − α

Si se cumple, el puntos1 sera una ra´ız de lazo cerrado para algún valor dek.



El criterio de magnitud es:

|k| =

∏magnitud de los vectores desde polos de GH a s1∏magnitud de los vectores desde ceros de GH a s1

|k|s=s1 =A.C

B

La construcción del Lugar por esta v´ıa ser´ıa muy dispendiosa manualmente;el procedimiento se simplifica usando las reglas de construcción del Lugar.

2.1.3. Reglas de Construccion

1. Ordenar la ecuación caracterıstica de forma que el parámetro a variar aparez-ca como factor:

1 +

km∏

i=0

(s + zi)

n∏

j=0

(s + pj)

= 0

2. Las n ramas del lugar, parten de los polos−pj hacia los ceros−zi.

3. Hay lugar en el eje real, a la izquierda de un numero impar de polos y ceros.

4. El lugar tiende a as´ıntotas rectas paras → ∞ que cortan el eje real en:

σc = −

n∑

i=1

pi −m∑

j=1

zj

n − m

y forman un angulo con el eje real de:

β =(2l + 1)180

n − m[grados] l = 0, 1, 2, ...|n− m| − 1

5. El lugar entra o sale al eje real desde el puntoσB, obtenido de resolver:

n∑

i=1

1

σB + pi

=m∑

i=1

1

σB + zi



Los puntos de ruptura del Lugar corresponden a ra´ıces de orden múltipley pueden ser complejos; en general, los puntos de ruptura del Lugar debensatisfacer:

dGH(s)

ds= 0 ⇔ dk

ds= 0

Estas ecuaciones son solo una condición necesaria; adicionalmente debensatisfacer la ecuación caracterıstica para algúnk real.

6. El lugar parte o llega desde polos o ceros complejos formando angulos de:

ΘP = 180 + ∠GH ′(pc) Partida de polos complejos pc

ΘL = 180 − ∠GH ′′(zc) Llegada a ceros complejos zc

donde,∠GH ′(pc) , ∠GH ′′(zc) son los angulos deGH sin considerar lacontribucion del polo o el cero.

7. Evaluar el corte del Lugar Geométrico de las Ra´ıces con el eje imaginariomediante el criterio de Routh.

8. Con los criterios de magnitud y angulo determinar el lugar con suficienteexactitud alrededor de ejejω y el origen del planos.

Cabe anotar que la regla 7 permite calcular elk crıtico (kc) para inestabilidad,cuandok corresponde a la ganancia de lazo abierto;kc permite calcular la medidade estabilidad relativa:

Margen de ganancia MG: Factor por el cual se puede multiplicar la gananciaactualk0 del sistema, antes de que se haga inestable.

MG =kc

k0

Ejemplo:

Trazar el LGDR para el sistema de control de la excitación con excitatriz yaccion I, variandokI . ConsidereτE = 0,5 seg, τG = 1 seg.CalculekI y las ra´ıces para obtener 2 ra´ıces complejas conjugadas conρ = 0,5.



Solucion:

G(s) =kI

s(s + 1)(0,5s + 1)=

2kI

s(s + 1)(s + 2)

=k

s(s + 1)(s + 2), k = 2kI

1. Parametro de variaci´onk: polos de red abierta ens = 0, − 1, − 2 no hayceros de red abierta.

2. Tres ramas.

3. Lugar en el eje real(−∞, − 2) ∪ (−1, 0)

4. 3 Asıntotas:

* Centroide:

σc = −1 + 2

3= −1

* Angulos eje real:

l = 0 → β =180

3= 60; l = 1 → β = 180; l = 2 → β = 300

5. Punto de separaci´on:

1

σB+

1

σB + 1+

1

σB + 2= 0

3σ2B + 6σB + 2 = 0

σB1 = −0,42, σB2 = −1,57

Como no hay lugar en el eje real entre(−2, − 1)→ σB1 = −0,42

6. No hay polos o ceros complejos de red abierta.



7. Se obtuvo:kI critico =

τE + τG

τEτG

= 3 → k = 6

s1−2 = ±j

√1

τEτGw =

√1

τEτG=

√2

Como la ecuaci´on auxiliar:s2+2 = 0 es factor de la ecuaci´on caracterıstica,entonces:

E.C.

E.A.= s + 3

→ raız real parak = 6

8. Puntos en cercan´ıa del origen:

En el punto de despegue:

k =1

GH(−0,42)= 0,385

Raız realE.C.

(s + 0,42)2= s + 2,16

Raıces complejas con ρ = 0,5 → θ = 60o

Se asume la parte real= −0,4 (menor que -0.42)

sP = −0,4 ± j0,4 tan(θ) = −0,4 ± j0,7

Criterio del angulo:

∠GH(sP ) = −∠sP − ∠(sP + 1) − ∠(sP + 2) = 180

∠GH(sP ) = −193 No cumple

sP = −0,3 ± j0,3 tan(θ) = −0,3 ± j0,5

∠GH(−0,3 ± j0,5) = −173 No cumple

∠GH(−0,33 ± j0,58) = −180 Cumple!



Criterio de la magnitud:∣∣∣∣

k

s(s + 1)(s + 2)

∣∣∣∣sP

= 1

∣∣∣∣s(s + 1)(s + 2)

∣∣∣∣sP

= k

k = 1,04 , kI = 0,52

E.C.

(s + 0,33 + j0,58)(s + 0,33 − j0,58)= s + 2,33

s3 = −2,33 raız real para k = 1,04

Conk0 = 1,06, tenemos un margen de ganancia de:

MG =kc

ko=

6

1,04= 5,77

0 σ

−j

−j2

K → ∞

K → ∞

−3 −2 −1

j

j2

jω

K = 1.04

K = 0.385

K = 6

K = 1.04

K = 0.385

ρ = 0.5

60◦

K = 6



2.1.4. Contorno de las ra´ıces

Permite analizar los efectos de cambios en más de un parámetro.

Ejemplo:

Sistema de control de la excitación con excitatriz, acción I y red estabilizado-ra.

vR(s)+

−

++

kIs

1τEs+1

1τGs+1

vT (s)

TsτFs+1

kIs(s+1)(s+2)

1 + Ts(τGs+1)(τF s+1)

vR(s) +

−

vT (s)

ConτF = τG ; H(s) = 1 + TsEncontrarkI y T para que el sistema cumpla:

a) essv ≤ 13

b) ρ ≥ 0,4

c) ts ≤ 6 seg (5%)

Solucion:Las especificaciones en términos de ganancia y ubicación deseada de ra´ıces son:



a)

essv =1

Kv≤ 1

3; Kv ≥ 3

Kv = lıms→+∞

sk(1 + Ts)

s(s + 1)(s + 2)=

k

2

k ≥ 6

b) Raıces de red cerrada en el semiplano izquierdo por debajo de la l´ıneaθ = cos−1(0,4) = 66,4o

c) ts = 3ρwn

≤ 6 seg (5%) → ρwn ≥ 0,5 esto es tener ra´ıces complejascon parte real≥ 0,5.

jω

σ−0.5

Area Deseada

de Localizacion

de las Raices

La funcion de transferencia de red abierta es:

GH(s) =k(1 + Ts)

s(s + 1)(s + 2)

Consideremos inicialmente las variaciones dek, asumimos entoncesT = 0

GH1(s) =k

s(s + 1)(s + 2)

EstaGH tiene el LGDR del ejemplo anterior.



Para las variciones de T, asumimosk constante

E.C.s3 + 3s2 + 2s + k(1 + Ts) = 0

1 +kTs

s3 + 3s2 + 2s + k= 0 (Regla 1)

GH2(s) =kTs

s3 + 3s2 + 2s + k

Los polos donde inicia el lugar deGH2 dependen dek y corresponden al

lugar deGH1; parak = 6, tenemos

ΘD

σ−1.5−3

jω

asintota

k = 6

Las as´ıntotas tienen centroide enσc = −1,5 con angulos β = ± 90o.

Como el coeficiente des2 en la ecuaci´on caracterıstica es 3 independiente dek y

corresponde a la suma de los polos deGH2, entonces la as´ıntota es del contorno.



Angulo de partida en el polos = j√

2

θd = 180 + ang

[s

(s + j√

2)(s + 3)

]

s=j√

2

= 154,8o

GraficandoGH2 para variosk:

K = 20T = 0

3.85−4 −3 −2 −1

Plano S

Contorno de las raices sobre el eje real

T = ∞σ0

K = 3, T = 0

K = 6, T = 0

K = 3, T = 0

K = 6, T = 0

K = 20, T = 0

K = 3

K = 6

K = 20

K → ∞

T = 1/2

T = 1T = 1/2

T → ∞

T = 1/2

T = 1

T = 7/30

K = 20, T = 0

T = 1/2

T = 7/30

T = 1/2T = 1

T = 1

T → ∞T = 1

T = 1/2

K → ∞

Contorno de las raices

Asintota del contorno

Figura 2.1:Lugar de las ra´ıces



Con k = 6, T = 1:

s1−2 = −1 ± j2,23 → s2 + 2s + 6 → ρ = 0,41, wn = 2,45

s3 = −1

s1−2−3 cumplen las especificaciones.

2.1.5. Efectos de adicionar Polos y Ceros al Lugar

La adicion de un polo aGH(s) desplaza el lugar hacia el semiplano derecho.

Plano SPlano S

−a −a/2 0 σ

K → ∞

K → ∞ jω

K = 0K = 0

(a) (b)

K → ∞ K = 0 K = 0

−b −a 0

K → ∞K → ∞

K = 0

K → ∞K → ∞

b = ∞

σ

jω

K → ∞

K → ∞

K = 0

−c −b −a

K = 0 K = 0

0

K = 0

σ

K → ∞ K → ∞

K → ∞

K → ∞

K → ∞K → ∞

b = c = ∞

c = ∞

Plano S

jω

−a 0 σ

K = 0K = 0

K → ∞

K → ∞

K = 0

K = 0

K → ∞

K → ∞

jω

Plano S



La adicion de ceros a GH(s) desplaza el lugar hacia la izquierda.

(c)

K = ∞

−c −b −a 0 σ

K → ∞K → ∞

K → ∞K → ∞

K = 0K = 0K = 0

Plano S

jω

(a)

K → ∞K = ∞

−b −a −a/2 0

K = 0

σ

K → ∞

K = 0

b = ∞

jω

Plano S

(b)

K = ∞

−b −a −a/2 0

K = 0

σ

K → ∞

K = 0

jω

Plano S

c → ∞


2.2. LGDR PARA SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO

2.2. LGDR Para Sistemas de Tiempo Discreto

Para un sistema de control digital, la ecuación caracteristica es:

1 + GH(z) = 0

Tiene la misma forma de la ecuación caracterıstica usada para trazar el lugar delas ra´ıces en el planoS: 1 + GH(s) = 0; por lo tanto, las reglas de construcciónde LGDR en el planoZ son las mismas usadas para determinar el LGDR en elplanoS.Claro esta que la ubicación de las ra´ıces enZ tiene un significado distinto conrelacion a la respuesta transitoria, permanente y la estabilidad del sistema.

Ejemplo:

Analisis con el LGDR del funcionamiento de un sistema de control digital, parauna planta de primer orden sujeta a una acción integral, ante variaciones delperıodo de muestreo:T = 0,5, 1 y 2 seg.

R(z)+

−1−e−Ts

s1

s+1

C(z)

δT

k1−z−1

Solucion:

G(z) =kz

z − 1Z{

1 − e−Ts

s(s + 1)

}=

kz

z − 1

1 − e−T

z − e−T

La tabla muestra los valores deG(z), para cada valor deT .

T G(z)

0.5 0,3935kz(z−1)(z−0,6065)

1 0,6321kz(z−1)(z−0,3679)

2 0,8647kz(z−1)(z−0,1353)



Las figuras siguientes muestran los diversos lugares generados al variark paracadaG(z) y el valor de los polos parak = 2.

Circulo unitario

Re

ImPlano Z

Circulo unitario

Re

Im Plano Z

Circulo unitario

Re

Im Plano Z

K = 2.626 K = 2.164

K = 0.4622

0.1353

1

K = 2

Z1−2 = 0.3 ± j0.21ρ = 0.36 θ = 143.9

T=2 seg

K = 4.328

K = 4.083

K = 2

K = 0.2449

10.3679

T=1 seg

Z1−2 = 0.051 ± j0.6ρ = 0.32 θ = 85.1

K = 8.041

−0.7788

K = 8.165

0.6065 1

K = 0.1244

K = 2

Z1−2 = 0.41 ± j0.66ρ = 0.24 θ = 58.2

T=0.5 seg

De los lugares se puede observar que:

Si T aumenta elk crıtico disminuye junto con el Margen de Ganancia porlo tanto es sistema se vuelve menos estable.



Si la rata de muestreo no es lo sufientemente altaρ, no es indicador deestabilidad relativa.

Respuestas a un escal´on unitario en la referencia:

kT (s)

c(kT )

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0.5

1.0

1.5

kT (s)

c(kT )

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0.5

1.0

1.5

kT (s)

c(kT )

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0.5

1.0

1.5

K=2

m : # de muestras por ciclo de oscilaci´on amortiguada:m = 360θ

T=0.5, θ = 58,2 m = 6,18

T=1, θ = 85,1 m = 4,23

T=2, θ = 143,9 m = 2,5



Se observa que con unT alto sube un poco el sobrepaso yc(kT ) ya no da unabuena representaci´on de c(t); recuerdese que se recomienda tomar de 8 a 10muestras por ciclo.

Las figuras muestran las respuestas a una rampa unitaria en la referencia:

kT (s)1 2 3 4 5 6 7 8 9

2

4

6

8

10

c(kT )

0

Error en estado permanente = 1.00

1 2 3 4 5 6

2

4

6

c(kT )

kT (s)

Error en estado permanente = 0.50

0 1 2 3 4 5

2

4

6

c(kT )

kT (s)

Error de estado estable = 0.25

K = 2

0

Kv = lımz→1

(1 − z−1)G(z)

T

e∗ss =1

Kv∝ T

T=0.5 Kv = 20,5

= 4

T=1 Kv = 21

= 2

T=2 Kv = 22

= 1

El e∗ss se increment´o de forma proporcional al per´ıodo de muestreo T.




Realice los siguientes ejercicios propuestos:LGDR continuo : 8-7, 8-8, 8-11, 8-17+contorno: 8-20LGRDiscreto: 8-23,8-24

Resumen

En esta unidad se han presentado las técnicas del lugar geométrico de las ra´ıcespara sistemas de control lineales tanto para sistemas continuos como para sistemasdiscretos. Las propiedades y construcción del lugar geométrico de las ra´ıces en elplanoz son en esencia los mismos que aquellos para sistemas en tiempo continuo.La tecnica representa un método grafico para investigar las ra´ıces de la ecuacióncaracterıstica cuando uno o más parametros var´ıan. Se pueden utilizar programasde computadora para realizar la grafica del lugar geométrico de las ra´ıces y obten-er mayor información detallada.



1. Realice:


2. Desarrolle los ejercicios propuestos de este cap´ıtulo.

3. (Evaluacion 1, 25 de febrero de 2005) La figura3 muestra un sistema decontrol de primer orden sujeto a una acción de control PI.

a) (20 %) Cona = 0, calcule el rango de valores dek para el cual elsistema es estable.



R(z)+

−0.4

z−0.6

C(z)k(z−a)z−1

T = 0.5seg

Figura 2.2:Sistema 1

b) (10 %) cona = 0, muestre que el LGDR para variaciones dek, descri-ba una circunferencia en el planoz con centro en el origen, para raicescomplejas.

c) (30 %) Cona = 0 calcule el LGDR en el eje real, el centroide y angulode las asintotas y los puntos de despegue o llegada del lugar al eje real.

d) (30 %) Trace un boceto del LGDR,a = 0 en el abaco de la figura2.3;el sistema puede responder como uno de tiempo continuo, con tiempode estabilizaci´on menor de 4 segundos (criterio del %)?

e) (10 %) Utilice los criterios de magnitud y angulo para calculark y a,de forma que el sistema tenga un par de polos complejos conρ = 0,5y ωn = 1,88

4. (Evaluacion 1, 3 de marzo de 2006) La figura2.4 muestra el LGDR parala variacion de la gananciak de un sistema de control digital realimentadounitario, con periodo de muestreo de 1 seg.

a) (20 %) Calcule el rango de valores dek para el cual el sistema es es-table.

b) (20 %) Cual es la frecuencia de la oscilaci´on para el sistema marginal-mente estable?.

c) (20 %) Ajustek de forma que el sistema tenga un par de polos com-plejos conjugados conρ = 0,5

d) (10 %) Cual es el margen de ganancia para este ajuste?.

e) (30 %) La dinamica del sistema con elk del puntoc. se puede aproxi-mar a una de segundo orden?.



−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

π/T

0.9π/T

0.8π/T

0.7π/T

0.6π/T0.5π/T

0.4π/T

0.3π/T

0.2π/T

0.1π/T

π/T

0.9π/T

0.8π/T

0.7π/T

0.6π/T0.5π/T

0.4π/T

0.3π/T

0.2π/T

0.1π/T

Figura 2.3:Abaco

5. Considere un sistema con realimentación unitaria con la siguiente funciónde transferencia de la trayectoria directaG(s):

G(s) =K(s + 2)2

(s2 + 4)(s + 5)2

Grafique los lugares geométricos de las raices para el sistema con Matlab.


Kuo Benjamin, Sistemas de control automático, Prentice Hall, 1997. Cap´ıtu-lo 8: La tecnica del lugar geométrico de las raices.



−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.1π/T

0.2π/T

0.3π/T

0.4π/T0.5π/T

0.6π/T

0.7π/T

0.8π/T

0.9π/T

π/T

0.1π/T

0.2π/T

0.3π/T

0.4π/T0.5π/T

0.6π/T

0.7π/T

0.8π/T

0.9π/T

π/T

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

k=1

k=0.62

k=0.15

k=1

k=0.26

k=0.30

k=0.35k=0.42

k=0.16

k=0.18

k=0.20

k=0.23

ρ

Figura 2.4:LGDR de un sistema dado

Referencias





Capıtulo 3

Analisis mediante la respuesta enfrecuencia

Introducci on

Por el termino respuesta en frecuencia se entiende la respuesta en estado deregimen permanente de un sistema ante una entrada sinusoidal. Esta respuesta sepuede representar graficamente de diversas formas; también tiene una estrecharelacion con la funcion de transferencia del sistema, lo que hace de esta her-ramienta un método muy poderoso para analizar y diseñar sistemas de control.Este metodo es especialmente util para controlar el ancho de banda del sistemay evitar amplificar ruido en el lazo; también lo es para evaluar la estabilidad in-cluyendo variaciones de la función de transferencia a controlar (estabilidad robus-ta) y para sistemas con tiempos muertos.

En este cap´ıtulo se presentará el analisis en el dominio de la frecuencia deuna funcion de transferencia por medio de diagramas de magnitud y fase de bode,graficas polares, y el criterio de estabilidad de Nyquist tanto para sistemas de tiem-po continuo como discretos.

Objetivos

Utilizar los conceptos y las técnicas de respuesta de frecuencia para el análisisde sistemas de control.Objetivo de aplicacion

50

3.1. RESPUESTA EN FRECUENCIA EN TIEMPO CONTINUO

Contenidos

3.1. Respuesta en Frecuencia en tiempo continuo

Es la respuesta de un sistema en estado estable a una señal sinusoide de entradacon frecuencia variable.

x(t) → G(S) → y(t)

Donde:x(t) = xsen(wt)

y(t) = ysen(wt + φ)

La determinación experimental de la respuesta en frecuencia es simple por la fa-cilidad de generarx(t) y de mediry(t).y(t) es una sinusoide de magnitud y fase distinta a la de la entrada pero con lamisma frecuencia. La relación de magnitudes y el desfase en la respuesta de fre-cuencia, estan directamente relacionados con la función de transferencia:

G(S)∣∣∣S=jw

= G(jw) Funcion de Transferencia Sinusoidal

G(jw) = |G(jw)| ∠G(jw)

|G(jw)| =y

x; ∠G(jw) = φ

G(jw) define la respuesta de frecuencia del sistema y es una función complejade la frecuenciaw:

G(jw) = U(jw) + jV (jw)

3.1.1. Graficas de Respuesta en Frecuencia

La respuesta de frecuencia de un sistema se puede representar mediante:

Grafica polar: parte real (U) versus la imaginaria (V) deG(jw); tambien sellama el plano deG(jw); requiere de cálculos manuales tediosos y no indicael efecto de los polos o ceros individuales por lo que debe trazarse con uncomputador. Esta grafica permite evaluar la estabilidad con el criterio deNyquist al igual que medidas de desempeño robusto.



Diagramas de Bode: son dos graficos, magnitud (en decibeles) y fase versusla frecuencia,

20Log|G(jw)| vs Log w

φ(w) vs Log w

Con el eje de frecuencias lineal en Log w se representan intervalos grandesde frecuencia; la magnitud en decibeles permite buena presición para val-ores grandes y pequeños de|G(jw)|, trazos que tienden a l´ıneas rectas y lafacilidad de adicionar polos o ceros sumando las graficas de cada término.Por ello se simplifica el cálculo y la descripción grafica de la respuesta defrecuencia. La fase se da en una escala lineal en grados o radianes. El eje defrecuencias usualmente se da en decadas, donde una década corresponde aun intervalo de frecuencias dentro del cual la frecuencia final es 10 veces lainicial. Una limitacion de esta grafica es el análisis de estabilidad limitadoparaG(s) con polos inestables.

Diagrama de Black:db|G(jw)| vs φ con parametrow; presenta informa-cion equivalente a la del diagrama de Bode; con la carta de Nichols, dainformacion de respuesta de frecuencia en red cerrada.

3.1.2. Caracterısticas de Funcionamiento en Frecuencia

Son valores importantes que permiten analizar el funcionamiento del sistema;a continuacion se presentan las más importantes y se dan las formulas de cálculopara sistemas de segundo orden.

Maximo pico de Resonancia y Frecuencia de Resonancia. El máximo picode resonancia,MPW , es valor maximo de |G(jw)|; la Frecuencia de Reso-nancia:wR, es la frecuencia a la cual ocurreMPW .La MPW permite preveer cuál sera la maxima salida para el barrido de fre-cuencia; sistemas conMPW elevados se pueden destruir si se exitan confrecuencias cercanas a la de resonancia y es por ello que se considera comoun indicio de la estabilidad relativa del sistema.Para sistemas de segundo orden:

MPW =1

2ρ√

1 − ρ2, 0 ≤ ρ ≤ 0,707

ωR = ωn

√1 − 2ρ2, 0 ≤ ρ ≤ 0,707



Bandas, Frecuencias de Corte y Ancho de Banda: en la banda pasantelascomponentes frecuencialespasan a traves del sistema con aproximadamentela misma atenuación o amplificacion; en la banda de parada, las compo-nentes frecuenciales no pasan a la salida, esto es,|G(jw)| en esta banda,es mucho menor que|G(jw)| en la banda pasante. Entre estas dos bandaspodemos hablar de una banda de transiciónintermedia.La frecuencia de cortewc,es la frecuencia para la cual20Log|G(jw)| esta 3db por debajo de:

• su valor a frecuencia cero para respuestas frecuenciales paso bajo o derechazo de banda,

• su valor a alta frecuencia, para respuestas frecuenciales paso alto,

• MPW en la banda pasante, para respuestas frecuenciales pasa banda.

El ancho de bandawab, mide la banda pasante o de rechazo;wab = wc1 −wc2, dondewc1 > wc2 ≥ 0, siendowci las frecuencias de corte en cada ladode la banda pasante. Para los paso bajos,wc1 = 0.Los sistemas de segundo orden nomalizados son paso bajos con20Log|G(0)| =0:

wc = wab = wn

√(1 − 2ρ2) +

√4ρ4 − 4ρ2 + 2

wc es un indicativo de velocidad de respuesta para los paso bajos.

Rata de Corte: es la pendiente de20Log|T (jw)| en cercan´ıas a wc o biende 20Log|GH(jw)| en cercan´ıas a la frecuenciapara la cual20Log|GH(jw)| =0 (wg). Es un indicativo de la capacidad del sistema para discriminar señalde ruido.

Margen de Ganancia: rec´ıproco deGH(jw) en la frecuencia donde la fasees180o, frecuencia de fase cr´ıticawπ.

MG =1

|GH(jwπ)|

MG = −20Log|GH(jwπ)| [db]

Es el factor por el cual se puede aumentar la ganancia del sistema para quealcance el l´ımite de estabilidad; para un sistema de segundo orden:

wπ → ∞ , MG → ∞



Margen de fase: angulo que el lugar deGH(jw) se debe girar alrededor delorigen para que el punto de magnitud unitaria,|GH(jwg)| = 1, pase por(−1, 0); wg se denomina frecuencia de ganancia cr´ıtica.

Mφ = 180o + ∠GH(jwg)

Para un sistema de segundo orden con0 < ρ < 1:

Mφ = tan−1 2ρ√√1 + 4ρ4 − 2ρ2

Mφ∼= 100ρ

LosMG y Mφ son medidas de estabilidad relativa.

Margen de Retardo. Es también una medida de estabilidad relativa; está aso-ciado con losSistemas con Retardoso tiempos muertos; en ellos la salidasolo responda después de un tiempo dado:

La Funcion de Transferencia Senoidal:GR (jw) = e−Tdjw = 1 ∠−Tdw ;a una frecuencia dada, el retardo no cambia la magnitud pero si adiciona unretardo de fase deTdw

◦.



Se puede por tanto, convertir el margen de fase en un margen de retardo, en-tendido como el tiempo de retardo máximo que puedo adicionar a la dinámi-ca de lazo abiertoGH(s), antes de que el sistema se haga inestable en redcerrada. Como elMφ se calcula en lawg, entonces:

MR =M φ

wg

Margen del Modulo: Es una medida más global de la distancia entre puntocrıtico (−1, 0) en la grafica polar y el lugar deGH(jw); es el radio delcırculo centrado en (-1,0), tangente aGH(jw)

Im(GH)

Re(GH)

1MG

MφMM

−1

ωg

−J

J

MM = |1 + GH(jw)|min = | 1

Scd

|min =1

|Scd|max

Si se reduce el máximo de la funcionScd = 1/(1 + GH(jw)) (sensibilidadperturbacion salida), elMM aumenta, mejorando la estabilidad relativa.

3.1.3. Correlacion Tiempo-Frecuencia

Una desventaja del método de análisis en respuesta de frecuencia, es su relaciónindirecta con la respuesta transitoria del sistema; veamos algunas de estas rela-



ciones a partir de las expresiones dadas para sistemas de segundo orden:

Mφ solo es funcion deρ; se puede asociar el grado de amortiguamiento dela senal en el tiempo con el margen de fase.

Si ρ merma → MPT , MPW aumentan, luego laMPW da una idea dela MPT .

wg, wc son inversamente proporcionales al tiempo de subidatR∼= 3

2ωg

Para ρ pequenos wR∼= wd

∼= wN∼= wg

Para sistemas de orden superior al segundo se pueden aplicar estas correlacionessi existe un par de polos complejos dominantes.

La Respuesta Permanente si tiene una relación directa con la de frecuencia,puesto que el tipo de sistema determina la forma de la curva de20Log|GH(jw)| abaja frecuencia.Para sistemas de tipo cero la as´ıntota de baja frecuencia es una horizontal de al-tura 20 Log KP ya que:

KP = lıms→0

GH(s) = lımjw→0

GH(jw)

Para sistemas tipo uno:KV = lım

jw→0GH(jw)jw

Si solo se considera el polo en el origen,GH(jw) = KV

jwa baja frecuencia;

en w = 1 tenemos:

20Log|GH(jw)|w=1 = 20LogKV

Luego la intersección de la as´ıntota de baja frecuencia o su prolongación con larecta w = 1 vale 20LogKV .De forma analoga, para sistemas tipo 2, la intersección de la as´ıntota de baja fre-cuencia conw = 1 es 20LogKA. Calculadas las constantes de error, se puedeconocer eless para cada entrada t´ıpica.



3.1.4. Especificaciones de Funcionamiento

De la correlacion tiempo-frecuencia y de la experencia en diseño se tienen lassiguientes especificaciones:

40 ≤ Mφ ≤ 70

MG ≥ 6 db

Ratas de corte de20Log|GH(jw)| y 20Log|T (jw)| en cercanias dewg y wc re-spectivamente, de−20db/dec.

wR, wg, wc tan grandes como sea posible sin afectar la estabilidad nientrar en los rangos de frecuenciencia del ruido del sistema.

Pendiente y altura de20Log|GH(jw)| a baja frecuencia que garanticeel ess aceptable.

El MM impone lımites mınimos de buen desempeño para el rechazo deperturbaciones; se especifica como valor apropiado:MM ≥ 0,5 (−6db),mınimo 0,4 (− 8db).

Si se desea un error permanente nulo en estado estable ante un escalón dedisturbio:

Scd(s = 0) = 0 =1

1 + GH(0)

GH(0) → ∞ → GH(s) debe tener un integrador enG(s).

Tambien es deseable que en ciertas bandas de frecuencia no se amplifiqueel efecto de la perturbación, por ello se impone una cota a| Scd (jw) | ; seespecifica:

MM =1

|Scd|max≥ 0,5 −→ |Scd(jw)| ≤ 2 (6db) , ∀ w

Tambien se puede mostrar que elMM impone tolerancias con relación aalinealidades y elementos variantes con el tiempo del sistema.

Note que unMM > 0,5 implica unMG ≥ 2 (6db) y unMφ > 30◦; engeneral un buenMM garantiza buenosMG y Mφ; buenosMG y/o buenosMφ no necesariamente garantizan un buenMM .



3.1.5. Diagramas de Bode en Terminos Simples

Para el trazo de un diagrama de Bode, conviene primero llevarlo a la Formade Bode:

GH(jw) =

kB

m∏

j=1

(1 +

jw

zj

)

(jw)Nn∏

i=1

(1 +

jw

pi

) q∏

k=1

(1 + 2ρk

jw

wk

−(

w

wk

)2)

DondekB es la Constante de Bode.

Magnitud [db]:

20Log |GH(jw)| = 20LogkB+20

m∑

j=1

Log

∣∣∣∣1 +jw

zj

∣∣∣∣−20Log∣∣(jw)N

∣∣−· · ·

Fase:

φ(jw) =m∑

j=1

tan−1

(w

zj

)− N(90o) · · ·

Se observa por tanto que los diagramas de magnitud y fase total, son la sumagrafica de cada factor individual y que existen solo 4 t´erminos simples:

1. Ganancia constantekB.

2. Polos o ceros en el origen.

3. Polos o ceros en el eje real.

4. Polos o ceros conjugados complejos.



1. Ganancia constante: recta horizontal de altura20LogkB , φ(jw) = 0o, kB >0;φ(jw) = −180o, kB < 0.

10−2

10−1

100

101

102

−180

−135

−90

−45

0

45

90

135

180

ω (rad/s)

∠ G

(jω

) (G

rado

s)

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

G

(jω

)

(dB

)

20Log10

K dB (K=10)

∠ K (K>0)

∠ K (K<0)



2. Polos o ceros en el origen; enw = 1, 20 Log (1) = 0db.

10−2

10−1

100

101

102

−360

−270

−180

−90

0

90

180

0

ω (rad/s)

∠ G

(jω

) (g

rado

s)

−100

−80

−60

−40

−20

0

20

40

60

G

(jω

)

(dB

)

+40dB/década (j ω)2

∠ (1/jω)

∠ (1/jω)3

+20dB/década (j ω)

−20dB/década (1/j ω)

−40dB/década (1/j ω) 2−60dB/década (1/j ω) 3

∠ (jω)2

∠ (jω)

∠ (1/jω)2



3. Polos o ceros en el eje real.

Diagrama de bode de(1 + jwT )±1

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

G(j

ω)

(dB

)

10−2

10−1

100

101

102

−90

−45

0

45

90

ω (rad/seg)

∠G

(jω

) (g

rado

s)

1 G(s) = −−−−−−−−− 1+Ts

Asintóticas

G(s) = 1+Ts

G(s) = 1+Ts

1 G(s) = −−−−−−−−−−−− 1+Ts



4. Polos o ceros cojugados complejos.

Diagrama de bode paraG(jw) = [(1 + (2ρ/wn)jw + (jw/wn)2]−1

10−2

10−1

100

101

102

−180

−135

−90

−45

0

u=ω/ωn Relación de frecuencia

∠G

(jω

) (g

rado

s)

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

G(j

ω)

(dB

)

ρ = 0.05

ρ = 0.1

ρ = 0.2

ρ = 0.3

ρ = 0.5

ρ = 1

ρ = 1ρ = 0.5

ρ = 0.3

ρ = 0.2

ρ = 0.1

ρ = 0.05



EjemploAnalizar la estabilidad relativa del sistema de control de la excitación con excita-triz y accion I; evaluar la constante de acción integral kI para un Mφ = 60o;considereτG = 1, τE = 0,2.

Solucion:

G(s) =kI

s (s + 1) (0,2s + 1)

Forma de Bode:

G(s) =

1︷︸︸︷kI

s︸︷︷︸2

(s + 1)︸︷︷︸3

(s

5+ 1)

︸︷︷︸4

1. ConkI = 1 Mdb = 20 Log1 = 0.

2. Mdb con pendiente−20 db/dec y enw = 1; Mdb = 0; φ2 = − 90.

3. Mdb con pendiente−20 db/dec a partir dewc = 1; fase con pendientede −45o/ dec para 0,1 ≤ w ≤ 10.

4. Igual al termino 3. conwc = 5.

Los margenes de ganacia y de fase se evalúan en el Diagrama de Bode deG(jw).



−50

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

50M

agni

tude

(dB

)

10−2

10−1

100

101

102

−270

−225

−180

−135

−90

Pha

se (

deg)

Bode DiagramGm = 15.6 dB (at 2.24 rad/sec) , Pm = 43.2 deg (at 0.779 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

Del diagramawg = 0,78 wπ = 2,24.

Mφ = 180− φ(wg) = 180 − 136,8 = 43,2o; MG = −20Log |G(wπ)| = 15,6db

De la aproximaci´onρ ∼= 0,01Mφ = 0,43, el sobrepaso estimado es de 0.22 %.

Para ajustarkI de forma que se obtenga unMφ = 60o, se observa quela curva de fase vale − 120o en w = 0,42; la Mdb(w = 0,42) ∼= 6db.Cambiar kI equivale a variar la constante de Bode, luego incrementos o decre-mentos en kI suben o bajan la curva de magnitud; para bajar6 db, necesita-mos multiplicar la ganancia inicial por una constante de atenuaci´on kAT ; luego20LogkAT = −6 → kAT = 0,5.

→ kI60o = 0,5kI43,2o = 0,5



3.1.6. Respuesta en Red Cerrada

La magnitud pico de frecuencia, la frecuencia de resonancia y el ancho debanda se leen de la respuesta de frecuencia de red cerrada:

T (jw) → MPW , wR, wc

Los margenes de ganancia y de fase se leen de la respuesta de frecuencia de redabierta:

GH(jw) → MG, Mφ

Podemos obtener ambas curvas facilmente con un computador; sinembargo, parael analisis y diseno, es conveniente obtenerT (jw) a partir deGH(jw).

SiH(jw) = 1, G(jw) = U + jV

T (jw) =G

1 + G=

U + jV

1 + U + jV

Magnitud → M(w) = |T (jw)| =

√U2 + V 2

√(1 + U)2 + V 2

Manipulando obtenemos

(M

1 − M2

)2

=

(U − M2

1 − M2

)+ V 2

Esta ecuaci´on describe una familia de c´ırculos de magnitud de res cerradaM con-

stante en el plano deG, con centro en(

M2

1−M2 , 0)

y radio∣∣ M1−M2

∣∣.La interseccion de la grafica polar deG(jw) con el cırculo de M constante, dala magnitud deT (jw) en la frecuencia indicada para G(jw); as´ı, el cırculo demayor M tangente aG(jw) corresponde a la magnitu pico de frecuenciaMPW

y la frecuencia en el punto de tangencia corresponde ala frecuencia de resonanciaWR.De forma similar, se obtienen los c´ırculos N de fase constante paraT (jw).Nichols pas´o los cırculos de M y N constantes del plano polar al plano de Black yobtuvo lo que se conoce como la Carta de Nichols; en ella se tienen los contornosde M [db] y N [o] constantes, en ejes coordenados deMdb vs φo.



Ejemplo: Evaluar MPW , wR, y wc para el sistema de control de la ex-citacion con acci´on Integral y excitatriz,τG = 1, τE = 0,2 kI = 1:G = 1

s(s+1)(0,2s+1). EL contorno de M constante de mayor valor esta entre 2 y 3 db,

luegoMPW∼= 2,5 db y la tangencia se da aproximadamente enwR

∼= 0,8. Parael ancho de banda, observamos que en baja frecuencia se sigue la curva M de 0db; luego el ancho de banda ser´a en el corte con el contorno M de -3db:wc = 1,35.

Los margenes de ganacia y de fase los leemos de los ejes de Black; el deganacia como la distancia deG en0db, al corte conφG = −180o; el de fase comola distancia entreφG = −180o y el corte conG = 0db, ver la figura.

Nichols Chart

Open−Loop Phase (deg)

Ope

n−Lo

op G

ain

(dB

)

−180 −135 −90 −45 0

−20

−10

0

10

20

30

6 dB

3 dB

1 dB

0.5 dB

0.25 dB

0 dB

−1 dB

−3 dB

−6 dB

−12 dB

−20 dB

ω=1.35

ω=0.8

ω=0.5


3.2. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST

3.2. Criterio de Estabilidad de Nyquist

Los margenes de ganancia y de fase tratan de evaluar la cercan´ıa de la curvade respuesta de frecuencia en la grafica polar (lugar de Nyquist) al punto(−1, 0).

Im(GH(jw))

Re(GH(jw))−1

GH(s) = 1s(s+1)

GH(s) = 1s+1Lugar de

Lugar de

w = 0θ(jw)

w = ∞

| GH(jw) |

1 + GH(jw) GH(jw)

w = 0

α(jw)1

EL vector desde el origen a un punto de la curva, representa aGH(jw) para unacierta frecuenciaw.

El vector desde el punto (-1,0) a la grafica deGH(jw), forma un anguloα conel eje real y tiene magnitud|1 + GH(jw)|; note que1 + GH(jw) = D(jw)

C(jw)es

la Funcion de Transferencia Sinusoidal entre el disturbio y la salida, esto es, laecuacion caracterıstica cons = jw; su inversa es la Funci´on de Sensibilidad Per-turbacion-SalidaScd.



G(s)

H(s)

R(s) C(s)+

+

C(s)D(s) = Scd = 1

1+GH(s)

D(s)

+

−

Note que si el lugar deGH(jw) pasa por el punto cr´ıtico (−1, 0), la ecuacioncaracterıstica sera nula en una frecuencia espec´ıfica y el sistema en red cerrada noes asintóticamente estable; por tanto, una condición necesaria (mas no suficiente)para que el sistema sea asintóticamente estable, es que el lugar deGH(jw) nopase por(−1, 0); el Criterio de Nyquist establece condiciones necesarias y sufi-cientes para la estabilidad asintótica del sistema en red cerrada:

(1) ParaGH(s) estable (Re{polos de GH} ≤ 0), propia y de fase m´ınima,el lugar deGH(jw) recorrido en el sentido de frecuencias crecientes, debedejar a la izquierda el punto(−1, 0). Para sistemas de fase no m´ınima, estaes solo una condición necesaria.

(2) ParaGH(s) inestable (Re{polos de GH} > 0) y propia, el lugar deGH(jw)recorrido en el sentido de las frecuencias crecientes, debe dejar a la izquier-da el punto(−1, 0) y el numero N de rodeos del punto cr´ıtico (-1,0) en elsentido sinestrogiro, debe ser igual al numero de polos inestables de redabierta.

En general:N = # polos inestables︸︷︷︸Z

RC − # polos inestables RA︸︷︷︸P

(3) Criterio Generalizado: paraGH(s) propia, estable o inestable, de fase m´ıni-ma o no-m´ınima, conPw polos en el eje complejo, el angulo total recorridopor α para frecuencias crecientes, debe ser positivo (sinestrogiro).

En general: α = (P − Z + 0,5Pw)180.



Ejemplos:

a.) De la figura paraGH(s) = 1s+1

, tenemos queP = 0 y Pw = 0.

De (1), el punto (-1,0) est´a a la izquierda del lugar deGH(jw), luego esestable.

De (3),α(0) = 0; α(∞) = 0 luego el recorrido deα = 0; ası, P − Z +0,5Pw = 0 −→ Z = 0 y no hay polos inestables de RC.

b.) ParaGH(s) = 1s(s+1)

tenemosP = 0, Pw = 1.

De (1), el punto cr´ıtico esta a la izquierda, sistema estable.

De (3),α(0) = −90; α(∞) = 0; el recorrido esα(∞) − α(0) = +90, ası:90 = (−Z + 0,5 ∗ 1)180 → Z = 0, sistema estable.

c.) ParaGH(s) = [s2−s+1][s(s2−6s+5)]

{P = 2

Pw = 1

ω = ∞

ω = 0

α

−1



El recorrido deα es + 90, → 90 = (2 − Z + 0,5)180→ Z = 2, sistema inestable.

Note queGH(jw), no rodea el punto(−1, 0) y los margenes son:MG = ∞, Mφ =91o, lo que muestra la invalidéz de ellos para evaluar la estabilidadcuandoGH(jw)tiene polos inestables.

Nota: Si GH(s) tiene ceros inestables o tiempo muerto, es de fase no m´ıni-ma pero puede ser estable; en tal caso, el criterio de Nyquist 1) aún aplica y losMG > 0, Mφ > 0 y MM > 0 implican estabilidad en red cerrada y se pude usarBode para analizar la estabilidad del sistema.

Si GH(s) es inestable, los signos de los márgenes no necesariamente implicanestabilidad o inestabilidad, entonces, no se puede usar Bode para análisis de esta-bilidad; se debe usar Nyquist o el Lugar de las Ra´ıces.

Ejemplo:

GH(s) = ks(s+2)(s+10)

; el lugar deGH(jw) se puede bosquejar a partir dela interseccion con el eje real del plano polar, y de los valores deGH(jw) a alta(w → ∞) y baja (w → 0) frecuencia.

GH(jw) =k

jw(jw + 2)(jw + 10)

GH (j0) = ∞ ∠ − 90 ; GH(j∞) −→ k

− jw= 0 ∠ − 270

Racionalizando

GH(jw) =k

jw(−w2 + 12jw + 20)=

k

jw(20 −w2) − 12w2

GH(jw) =k[−jw(20 − w2) − 12w2]

144w2 + w2[20 − w2]2=

k[−12w − j(20 − w2)]

w[144w2 + (20 − w2)2]

Los posibles cortes con el eje real se obtienen de:Im{GH(jw)} = 0



→ −k[20 − w2]

w[144w2 + (20 − w2)2]= 0

→ w = ∞ y wπ = +√

20 [rad/seg].

Evaluando, se obtiene queGH (j√

20) = − k240

, si

GH (j√

20) =− k

240> − 1,→ k < 240

el punto (-1,0) queda a la izquierda deGH(jw), ver la figura.

Im(GH(jw))

Re(GH(jw))

ω = ∞−1

ω =√

20

Conkc = 240 el sistema es marginalmente estable y el sistema oscilar´ıa conuna frecuencia de

√20 [rad/seg].


3.3. RESPUESTA DE FRECUENCIA DE SISTEMAS DISCRETOS

Conk > 240:

α

ω = 0

ω = ∞

Re(GH(jw))

Im(GH(jw))

−1

El vector1 + GH(jw) gira 270o destrogiro→ − 270 = (− Z + 0,5) 180 → Z = 2El sistema tiene dos ra´ıces inestables.

3.3. Respuesta de Frecuencia de Sistemas Discretos

La respuesta en frecuencia para un sistema continuoGH(s) se obtiene evalu-ando la frecuencias enjw: s → jw; para un sistema de tiempo discreto, la fun-cion de transferencia discretaGH(z) se obtiene v´ıa la transformaci´on z = esT ;por tanto, la respuesta de frecuencia de los sistemas discretos se obtiene evaluan-do z = ejwT .

GH(z)|z=ejwT : Funcion de Transferencia de pulsos senoidal.

Observe queej(w+(2π/T )T = ejw × ej2π = ejw; por tanto,GH(ejwT ) es unafuncion compleja peri´odica con la frecuenciaw, con periodoT ; por la simetr´ıadel plano Z con el eje real, basta trazarGH(ejwT ) para w ∈ [0, ws

2= π

T].

Ejemplo:Respuesta de frecuencia paraGH(z) = 1/(z − 0,5).


3.4. ESTABILIDAD EN RESPUESTA DE FRECUENCIA PARA SISTEMAS DISCRETOS

ω = ωs2

−1

−J

ω = 34ωs

J

Im(z)

Re(z)

φp

ω = ωs

1

ω = 0, ωs

GH(z) = 1z−0.5

T = 1

Im(GH)

Re(GH)

|GH|

−23

ω = ωs2

φω = 0

Plano Z

GH(ejw) = 1ejw−0.5

GH(ejw) = 1p6 −φ

ω = ωs4

Plano GH

P

3.4. Estabilidad en Respuesta de Frecuencia ParaSistemas Discretos

La estabilidad de la ecuaci´on caracterıstica 1+GH(z) = 0 se puede tambi´enanalizar con el criterio de estabilidad de Nyquist, aplicado al lugar deGH(z =ejw) con0 < w < π, dondew = wT es una frecuencia normalizada.

Im(GH(ejw))

Re(GH(ejw))−1

1 + GH GH

ω = 0

Plano GH(ejw)

Punto critico

ω = π



Para que el sistema sea asintóticamente, los ceros de1 + GH(z) en el planoZ, deben estar en el interior del circulo unitario|z| < 1; ello se da si el angulototal recorrido por α para frecuencias crecientes de cero aws/2 es positivo; engeneral:

α = (P − Z + 0,5Pw) 180

P : # polos inestables de GH(z) (|polos de GH(z)| > 1)

Pw : # polos en el circulo unitario de GH(z) (|polos de GH(z)| = 1)

Z : # ceros inestables de 1 + GH(z) (| polos deG(z)

1 + GH(z)| > 1)

3.4.1. Margenes de Estabilidad

La estabilidad relativa se mide también con los márgenes de ganancia, fase,modulo y retardo. La definición es la misma cambiandoGH(jw) −→ GH(ejw).Las especificaciones deseadas de desempeño se mantienen:

MG ≥ 2 (6db) ; 30 ≤ Mφ ≤ 60 ; MM ≥ 0,5 (− 6db)

El margen de retardoMR =Mφ [rad]

wg [ radseg

]≥ T (minimo 2 T

3)

Ejemplo:

R(s) +

− T = π2

E(z)

ROC1.57

s(s+1)C(s)

C(z)

ws =2π

T= 4 [rad/seg]

G1(z) = (1− z−1 ) Z

[1,57

s2(s + 1)

]=

1,22z + 0,73

(z − 1)(z − 0,2)=

1,22 (z + 0,6)

(z − 1)(z − 0,2)con ROC



G2(z) = (1 − z−1)Z [1,57

s(s + 1)] =

1,24z

(z − 1)(z − 0,2)sin ROC.

Im(G(ejwT ))

Re(G(ejwT ))

MG = 5.7dB

ω = 2MG = 0.7dB

ω = 2

−0.5

ω → 0

ω → 0

Mφ = 39

Mφ = 2.92

Con ROC

Sin ROC

Para ambos ceros:P = 0. Pw = 1, α = 90 → 90 = (−Z + 0,5) 180.→ z = 0 sistema estable en RC.

El ROC degrada los m´argenes de estabilidad. Ya no se nota con claridad donde

Diagramas de Bode

MdB

Φ

ωω

40302010

0.1 1 20.01

−180

−135

−90

0.01 0.1 1 2

empieza a actuar el polo enz = 0,2 ni el cero; el trazo va hastaw = 2, luego dew = 4, se repetir´ıa, luego el trazo no tiende a as´ıntotas rectas; ello se debe a queGH(ejwT ) ya no es una funci´on racional dew.



3.4.2. La transformada Bilineal o transformada W

Esta transformada se define como:z =1 + T

2W

1 − T2

W; ella lleva al plano deW ,

donde GH(jW ) es de nuevo racional conW ; la relacion entrew y W , se obtienede la transformación inversa:

W =2

T

[z − 1]

[z + 1]=

2

T

esT − 1

esT + 1=

2

Ttan

sT

2

Con s = jw → Im[W] = v =2

Ttan{wT

2}

La transformación s → z → W de la banda primaria es:

∞← cd

bJ

−J

ws2

ws2

bd

ac c a

d

W

bT

z = esT W = 2T

z+1z−1

− 2T

Plano S Plano Z

Plano W

∞↓

El cırculo unitario del plano Z, se traslada a todo el semiplano izquierdo del planoW .

s : 0 → jws/2 → z : 1 → − 1

→ W : 0 → ∞

La ecuacion v = 2T

tan[wT2

], relaciona la frecuencia análogaw a la ficticiav;un ancho de banda análogo wB se traslada al planoW a un ancho de bandavB = 2

Ttan[wBT

2] ; si wT es pequeño: tan[wT

2] ≈ wT

2

→ v ≈ w → G(jw) ≈ G(jv) (a baja frecuenciaw ).



El factor de escala2/T usado en la transformadaW mantiene las mismas con-stantes de error deG(S).

En general siG(z) = bo zm + b1 zm−1 + . . . + bm

zn + a1zn−1 + . . . . + anm ≤ n

y se aplica z = 1 + T/2 W1 − T/2 W → G(W) = β0 Wn + β1 Wn−1 + . + . + . + βn

α0 Wn + α1 Wn−1 + . + . + . + αn

Los grados de los polinomios del numerador y denominador pueden ser difer-entes a los deG(z).

Ejemplo:

+

− T = 0.2

ROC1

s(s+1)C(s)

C(z)

K

G(z) = 0,018K(z + 0,93)

(z − 1)(z − 0,81)

Para pasar al planoW : z = (1+0,1 W)(1−0,1 W)

G(W) = 0,0033K(W + 300) (− 0,1 W + 1)

W (W + 0,997)=

( W300

+ 1) (− W10

+ 1)

W ( W0,997

+ 1)

Note:. La constante de BodeKB es la misma paraG(s) y G( W )

. Los denominadores deG(s) y G( W ) son similares, tienen casi los mismospolos.

. Si G(s) tuviera ceros, tambi´en los tendr´ıa similaresG( W ).

. Aparecieron dos ceros enG(W); uno despreciable enW = −300 y uno



inestable enW = 2/T = 10 ellos se deben al muestreo y retención, su valordependerá deT y si T es pequeño, no tendrán un efecto importante; el cero enW = 10, afectara bastante el diagrama de Bode cuando v→ 10=2/T; estocorresponde a un ancho de bandaWc de:

2

T=

2

Ttan[

WcT

2]

Wc =π

2/T=

ws

4

Esta por tanto en el rango de frecuencias de interés, por ser inestable dará atrasode fase, mermando la estabilidad del sistema; la grafica muestra el diagrama deBode con losMG y Mφ , paraK = 2.

Respuesta en frecuencia 2G(W )

20

0

−20

−40

−60

MdB

0.1 0.4 1 4 10 40 100 400

0

−90

−180

−270

φ

MG = 15dB

Mφ = 300

Resumen

Esta unidad se dedicó al analisis en el dominio de la frecuencia de sistemasde control lineales. Se definieron las especificaciones de desempeño tales como elpico de resonanciaMr, la frecuencia de resonanciaωr y el ancho de bandawc ysus rangos aceptables para diseñar un sistema.

Se planteó el criterio de Nyquist para el análisis de estabilidad de sistemas decontrol lineales.



Por ultimo, todas las especificaciones en el dominio de la frecuencia definidaspara sistemas análogos se pueden extender a sistemas en tiempo discreto. La trans-formadaW tambien se aplica a la graficación de las trazas de Bode de sistemas entiempo discreto.



1. Realice:



3. (Segunda evaluación, abril 7 de 2006) En la figura3.1se presenta la respues-ta de frecuencia en la carta de Nichols, para el sistema de control mostradoen la figura3.2; desde la grafica, conK = 1, estime:

a) (10 %) Las margenes de ganancia y fase.

b) (15 %) La magnitud pico de frecuencia en red cerrada, la frecuenciade resonancia y el ancho de banda.

c) (10 %) El error permanente, para una entrada de referencia escalónunitario.

d) (10 %) El valor deK para que el sistema tenga un margen de gananciade 20 db.

e) (10 %) El valor deK para que el sistema tenga un margen de fase de45o.

f ) (10 %) El valor deK para que el sistema tenga un ancho de banda de30 rad/seg.

g) (15 %) El valor deK para que el sistema sea marginalmente estable;cual es la frecuencia de la oscilación sostenida?.



Figura 3.1:Diagrama de Nichols

R(s)

K G(s)

D(s)

C(s)+

-

++

Figura 3.2:sistema de control

h) (10 %) La magnitud pico dec(t) si r(t) = 0 y d(t) = sen2t, conK = 1.



i) (10 %) El valor maximo del tiempo muerto en la trayectoria directa,para que el sistema permanezca estable

4. (Segunda evaluaci´on, abril 8 de 2005) Las figuras3.3 y 3.4 muestran losdiagramas de bode deG(s) y la carta de Nichols, para el sistema conK = 2:

−100

−80

−60

−40

−20

0

20

40

Mag

nitu

de (

dB)

10−1

100

101

102

−450

−405

−360

−315

−270

−225

−180

−135

−90

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Figura 3.3:Diagrama de bode

A partir de los graficos, muestre el procedimiento, calcule y/o estime:

a) (12 %) Las margenes de ganancia y fase.

b) (12 %) La magnitud pico de frecuencia en red cerrada, la frecuenciade resonancia y el ancho de banda en red cerrada.



Nichols Chart

Open−Loop Phase (deg)

Ope

n−Lo

op G

ain

(dB

)

−225 −180 −135 −90 −45 0−20

−10

0

10

20

30

6 dB

3 dB

1 dB

0.5 dB

0.25 dB

0 dB

−1 dB

−3 dB

−6 dB

−12 dB

−20 dB

ω=0.1

ω=0.2

ω=0.4

ω=1

ω=2

ω=3ω=4

ω=6

Figura 3.4:Diagrama de Nichols

c) (12 %) Los errores permanentes de posici´on y velocidad.

d) (12 %) La forma de onda de la salidac(t) parar(t) = sen2t.

e) (12 %) La forma de onda del errore(t) para para una entrada senoidalr(t) = sen2t.

f ) (10 %) El valor deK para que el sistema tenga unM.G. = 10.

g) (10 %) El valor deK para que el sistema tenga un ancho de banda de1 rad/seg.

h) (20 %) G(s)

5. (Kuo [1996], problema 9.9). Trace la grafica polar y calcule elMG y Mφ



para los trazos asintóticos de:

G(s) =10

s(1 + 0,5s)(1 + 0,1s)(3.1)

G(s) =10(s + 1)

s(s + 2)(s + 10)(3.2)

6. (Kuo [1996], problema 9.10). Las FdT de lazo de un sistema de controlde un solo lazo se dan a continuación. Aplique el critierio de Nyquist ydetermine los valores deK para que el sistema sea estable. Dibuje la trazade Nyquist deL(jw) conK = 1 desdeω = 0 hastaω = ∞. Puede emplearun programa de computadora para graficar las trazas de Nyquist.

G(s) =K

s(s + 2)(s + 10)(3.3)

G(s) =K(s2 − 5s + 2)

s(s3 + 2s2 + 2s + 10)(3.4)

G(s) =K(s2 − 5s + 2)

s(s + 1)(s2 + 4)(3.5)

G(s) =K(s − 2)

s(s2 − 1)(3.6)

7. (Kuo [1996]). Ejercicios del libro de Kuo: 9.12, 9.14, 9.21, 9.29, 9.30, 9.31,9.32, 9.37, 9.38, 9.39, 9.40, 9.41, 9.45, 9.46


Kuo Benjamin, Sistemas de Control Automático, Prentice Hall, 1997. Ca-pitulo 9: Analisis en el dominio de la frecuencia.

Referencias


Capıtulo 4

Diseno de sistemas de control

Introducci on

A lo largo del curso se han estudiado técnicas que permiten analizar el com-portamiento de los sistemas de control realimentados; sabemos que el objetivoprincipal de los sistemas de control es el de disminuir el error del sistema bien seapor cambios del mismo, ruidos o disturbios; este objetivo se traduce en especi-ficaciones deseadas de desempeño que deben lograrse con un diseño apropiado;disenar un sistema de control es por tanto encontrar uno que cumpla estas especi-ficaciones.

En este cap´ıtulo se analizarán las diferentes estrategias de control que se us-an en el diseño de los sistemas de control. Se analizarán inicialente los aspectosgenerales del diseño, se pasará luego al caso más simple de ajuste de contro-ladores PID simples de una bucla t´ıpica realimentada, en tiempo continuo; se us-aran las tecnicas de análisis del lugar de las ra´ıces y respuesta de frecuencia, paraeste proposito; también se usarán estrategias simples que incluyan cancelacionespolo-cero estables; para problemas más complejos se estudiarán otras estrategiascomplementariaso en extensión del lazo simple, como el control directo de pertur-bacion o el control en cascada; finalizaremos el cap´ıtulo con el estudio del diseñode sistemas de control digitales, en donde estudiaremos un diseño por s´ıntesis.

Objetivos

1. Disenar sistemas de control realimentados mediante los métodos del lugar

85

4.1. DISENO DE SISTEMAS DE CONTROL

geometrico de las ra´ıces, respuesta de frecuencia y diseño analıtico. Obje-tivos de aplicacion y evaluacion.

Contenidos

4.1. Diseno de Sistemas de Control

El procedimiento de diseño de los sistemas de control requiere de ciclos, enlos cuales se itera a traves del modelado, análisis, diseño, simulacion, prueba eimplementacion. El diseno tambien puede tomar diferentes formas con diferentesestrategias, no es lo mismo el diseño para un producto de consumo masivo comoel posicionador del láser de un DVD, o el control fino de posición en procesos demanufactura; en el primer caso el bajo costo de la solución es determinante y debellevar a soluciones simples; en el segundo, puede ser más elaborada y está asoci-ada a un análisis de costo-beneficio.

En muchos casos el diseño se desarrolla as´ı:

1. Se analiza cualitativamenteel sistema; se identifican los elementos y señalesimportantes del lazo; se establecen objetivos de control.

2. Se modela el sistema; se simplifica el modelo, de ser necesario.

3. Se analiza el modelo resultante, se determinan sus propiedades.

4. Se escogen las variables a controlar.

5. Se escogen las variables a medir y a manipular y sus respectivos sensores yactuadores

6. Se definen unas especificaciones deseadas de desempeño, basadas en losobjetivos de control.

7. Se escoge la arquitectura del control.



8. Se selecciona el tipo de controlador a usar: PID, adelanto-atraso, RST etc.Normalmentese buscan los controladoresmás simples que permitan cumplirlas especificaciones.

9. Se diseña el controlador, esto es, se obtienen los parámetros (por análisis osıntesis), que permiten cumplir las especificaciones.

10. Se analiza el sistema controlado para verificar si cumple las especifica-ciones; si no se cumplen, se cambia el tipo de controlador o las especifi-caciones.

11. Se verifica en simulación digital (y/o en un prototipo), la respuesta en fre-cuencia y/o la temporal ante diversas entradas y perturbaciones; se analizanlos efectos de dinámicas no modeladas y alinealidades. Reajustes.

12. Se repite desde el paso 2 si es necesario. Reajustes.

13. Se escoge el soporte fısico y lógico y se implementa el control obtenido alsistema.

14. Se prueba y valida el sistema, verificando el desempeño temporal y/o fre-cuencial. Se reajusta el controlador en l´ınea si es necesario.

Los pasos 1 a 3 y el 6, se han tratado previamente; vimos herramientas paraanalizarel funcionamiento de un sistema de control, buscando determinar suscaracterısticas:

Grado de estabilidad:MG, Mφ.

Precision en estado estable:essp, essv.

Respuesta transitoria:MPT ,ts, tr, tp.

Respuesta en frecuencia:wc, wr, MPF .

Robustez:funciones de sensibilidad.

Disenar un sistema de control, es encontrar uno que cumpla las especificacionesdeseadas de desempeño definidas en el paso 6; las especificaciones se establecencomo valores o rangos aceptables de las caracterısticas de desempeño para loscuales se considera que el comportamiento del sistema es apropiado, también sepueden dar en términos de un ındice de desempeño.



Los pasos 4, 5 y 7 están asociados a la selección de la arquitectura del controly trataremos algunos de estos aspectos más adelante para sistemas de una entradauna salida; para sistemas multivariables (fuera del alcance de este curso), exis-ten tecnicas analıticas que permiten soportar al Ingeniero en estos pasos. En estecapıtulo nos centraremos en el estudio de los pasos 8, 9 y 10. Los pasos restantes,se tratan en lo posible de tener en cuenta en el proyecto practico que acompañaeste curso.

Una vez que el sistema de control está operativo, el ciclo de vida de la solu-cion continua con su mantenimiento, esto incluye reajustes por cambios de op-eracion del proceso o de componentes del lazo, fallas en el lazo o simplementeuna modernización tecnologica de la planta. También en ciertos casos se puederequerir el refinamiento de la solución, en particular cuando las especificacionesde desempeño cambian por mayores exigencias en el mercado o la legislación, obien, por la disponibilidad de mejores sensores o actuadores que hacen económi-camente viable su instalación por las mejoras de desempeño a obtener. En al-gunos casos, se puede requerir en la operación de un sistema de control, un es-tudio forense para corregir un problema de control dado o dignosticar una fallegrave en ela operación del sistema.

4.1.1. Metodos de Diseno del Controlador

Para el diseño del controlador en el paso 9, si se tienen especificaciones dadaspor valores o rangos, se puede utilizar un diseño por analisis, donde por tanteo yerror se busca cumplir las especificaciones; para el análisis se puede utilizar ellugar de las ra´ıces o la respuesta en frecuencia del sistema; este método exige delingenio y experiencia por parte del diseñador y es util para problemas de controlde sistemas con pocas entradas y salidas, bajo orden y pocas especificaciones.

Para sistemas multivariables o monovariables con altas exigencias de desempeño,o especificaciones con ındices, es más apropiado un diseño por s´ıntesis, en dondea partir de las especificaciones, se aplica un procedimiento que directamente (sintanteos) lleva al controlador que cumple los requerimientos dados. Bajo este en-foque se estudiará en este cap´ıtulo, la tecnica de asignación de polos para ajustarcontroladores PID y RST de sistemas monovariables y la realimentación de es-tados para sistemas multivariables en el proximo cap´ıtulo. En el curso electivode control optimo, se estudian técnicas de diseño bajo este enfoque para sistemasmono-multivariables con especificaciones de ındices de desempeño.



4.1.2. Arquitectura del Control

Asumiendo que la planta es inalterable, en un lazo simple un primer paso paracumplir las especificaciones, ser´ıa variar la ganancia del lazo:

R(s) +

−kp Gp(s)

H(s)

C(s)

kp debera ser lo mas alta posible para disminuir el error de estado estacionario,pero respetando los requerimientos de estabilidad relativa; esto impondra unkp

maximo, para el cual habrá un error permanente debido a disturbios o bajo tipo enla planta.

Si GH(s) es de primer orden, se puede ajustarkp para cumplir el error perma-nente y verificar que se obtenga la velocidad de respuesta apropiada.

Si GH(s) es de segundo orden:

σ

jω

kp

con el sistema subamortiguado la parte real de las ra´ıces no depende dekp;ajustandokp paraρ = 0,7, si el tiempo de estabilización 4

ρωnes mayor que el

deseado, entonces el control Proporcional no es adecuado aún si se cumple con elerror permanente.

Si GH(s) es de tercer orden o más, con alta ganancia el sistema se hace in-estable, pudiéndose calcular lakp crıtica con el criterio de Routh.

Si kp no es suficiente para cumplir las especificaciones, se deben usar uno o var-ios compensadores de las deficiencias de desempeño; dependiendo del número de



compensadores y su ubicación en el lazo de control, se tienen diferentes arquitec-turas de compensación o control; las más usadas, son:

Compensacion Serie

R(s) +

−

GC(s)U(s)

GP (s)

H(s)

C(s)

Es la bucla de realimentación tıpica, la configuración mas empleada en lapractica.

Compensacion de Realimentacion o Paralela

U(s)GP (s)

C(s)

GC(s)

H(s)

R(s) +

−

Muy usada con control-actuación integrada en los primeros sistemas de con-trol.

Realimentacion de Estado

R(s) +

−

U

X = AX + BU

X C(s)

K

C

Se genera la señal de control mediante la realimentación de las variables de es-tado a traves de ganancias. Normalmente requiere de un observador de los estadosno medidos; se verá en la proxima unidad.



Compensacion Serie-Realimentada

R(s) +

−

H(s)

GC2(s)

GC1(s)

U(s)

GP (s)

C(s)

R(s) +

−GC1(s)

GC2(s)

U(s)

GC2(s)

GP (s)

H(s)

C(s)

Como su nombre lo indica, es una combinaci´on de estas dos estrategias.

Compensacion Prealimentada

a) de entrada b) directa de referencia

R(s)

GC2(s)

+

−GC1(s)

U(s)

GP (s)C(s)

H(s)

R(s)

GC2(s)

+

−GC1(s)

+

+ GP (s)

H(s)

U(s)

C(s)

Tambien se puede usar con un compensador de realimentaci´on; note que ladinamicaGC2(s) no afecta los polos o ceros del lazo; esta estrategia busca mejorarla respuesta transitoria ante variaciones de la referenciaR(s).

Compensacion Directa de Disturbio

R(s)

+

−GC1(s)

+

+

U

GC2(s)

D(s)

GP1(s)

H(s)

GP2(s)

+

+

C(s)

El disturbio debe ser medi-do; compensa fuertementelos efectos del disturbio,antes de que aparezcan enla salida.



Compensacion en Cascada

R1(s) +

−GC2(s)

R2(s)

+

−GC1(s)

U(s)

GP1(s)

H1(s)

H2(s)

C1(s) C2(s)

GP2(s)

A partir de señales internas de la planta (medidas), se adicionan uno o var-ios lazos internos de realimentación; divide la planta para resolver el problemade control por tramos, mediante controladores simples; cada bucla interna dará suaporte al rechazo de disturbios, robustez, linealizacion, etc; es costoso y puede darrespuestas lentas a la referencia.

Por supuesto que se pueden tener esquemas de control, con múltiples convina-ciones entre todos los anteriores.

4.1.3. Reglas para el Diseno

Para el diseño en el tiempo y/o frecuencia, las siguientes reglas son de utilidad:

El diseno en el tiempo se basa principalmente en el LGDR.

El diseno en frecuenciase basa en manipular la gananciay la fase deGH(s).

Busque nodos dominantes de red cerrada, subamortiguados conρ = 0,7o 0,4 ≤ ρ ≤ 1; si no se admite sobrepaso useρ = 1.

No hay una relación exacta entre las caracterısticas entre los dominios detiempo y frecuencia.wc ∝ 1

tr; MG, mφ ∝ ρ; MPT , MPW ∝ 1

ρ.

Polos y ceros del compensador pueden cancelar ceros y polos estables de laplanta,R{p, z} < 0.



En la practica, los polos y ceros de la planta var´ıan o su valor es impreciso,generando una cancelación inexacta en la FDT de red cerrada; sin embargo, el po-lo no cancelado quedara muy cerca del cero en red cerrada, por lo que su residuoen la expansión de fracciones será muy pequeño, contribuyendo poco a la respues-ta transitoria en red cerrada, pudiéndose despreciar.

Cero del compensador,cero de la red cerrada

Polo de la planta

Polo de red cerrada

jω

4.1.4. Restricciones para el Diseno

Polos o ceros inestables de la planta no se pueden cancelar, pues la can-celacion inexacta dejará un polo inestable en red cerrada que aunque tengaresiduo pequeño, con el tiempo tenderá al infinito, dominando de manerainestable la respuesta del sistema.

La respuesta del sistema la dominan los polos más cercanos al origen delplano S; la respuesta es más rapida para los polos más a la izquierda delplano S.

Si los polos dominantes están mas a la izquierda, el sistema tendrá may-or velocidad de respuesta y ancho de banda; en tal caso, mayores son lassenales de control, lo que puede exigir un actuador mayor.

Los ceros estables de red cerrada aumentan el sobrepaso, lo pueden gener-ar aun si el sistema es sobreamortiguado; entre más lento el cero, mayorsera el sobrepaso, esto impone un compromiso entre una rapida velocidadde respuesta al escalón y pequeño sobrepaso (MPT ≥ 1

−cts, c el valor del

cero).



Los ceros inestables de red cerrada generan subpaso; entre más lento elcero, mayor será el subpaso, esto impone un compromiso entre una rapidavelocidad de respuesta al escalón y pequeño subpaso (MMT ≥ 1

cts, c el valor

del cero inestable).

Para la compensación serie con acción integral en el controlador, si se ajus-tan los polos de red cerrada con parte real a la izquierda de un cierto valor,entonces se cumple que [Goodwin]: (1) un cero real estable a la derechade los polos de red cerrada producirá sobrepaso en la respuesta al escalón;(2) Un cero real inestable siempre producirá sobrepaso en la respuesta alescalon, siendo mayor entre más cerca esté al origen; (3) cualquier polo realde red abierta a la derecha de los polos de red cerrada, producirá sobrepaso.Lo anterior implica que el ancho de banda de red cerrada debe ser menor queel menor cero inestable de red abierta y mayor que la parte real de cualquierpolo inestable de red abierta. En el caso particular de tener ceros resonantesen el eje complejo, en la respuesta al escalón habran grandes excursionestransitorias en el error, si el ancho de banda de red cerrada es mayor que lafrecuencia de resonancia de los ceros.

El ruido en la medición impone l´ımites superiores en el ancho de banda dellazo cerrado.

Para evitar saturación en el maximo del actuador, se debe limitar el anchode banda del lazo cerrado.

El actuador puede tener un l´ımite mınimo de respuesta, lo que afecta laprecision de estado estable del lazo.

Los disturbios imponen anchos de banda m´ınimos en el lazo cerrado. Loserrores de modelado imponen anchos de banda máximos en el lazo cerrado.

El tiempo muerto baja los desempeños en el rechazo a disturbios y en gen-eral en el ancho de banda del lazo.

Son ceros de red cerrada los ceros deG(s) y los polos deH(s).

Entre mayor es el tipo del sistema mejor es la presición permanente, pero sepuede degradar el transitorio; un sistema tipo 2, tiene errores de posición yvelocidad nulos, pero como

∫∞0

e(t)dt = 0, forzosamente habrá sobrepasoen la respuesta al escalón en la compensación serie.


4.2. DISENO DE SISTEMAS DE CONTROL ANALOGOS

En la respuesta de frecuencia de Mdb deT (s) o S(s), la diferencia de lasareas por debajo y encima de 0db, es finita; por tanto, si se diseña el lazopara tener baja ganancia en un rango de frecuencias, las funciones de sen-sibilidad, van a incrementarse en otro rango de frecuencias (efecto colchónde agua).

Es importante anotar que restricciones de diseño como la respuesta temporal in-versa por ceros inestables o el efecto colchón de agua en la respuesta de frecuen-cia, sonfundamentalese independientes del método de diseño y de la arquitec-tura del control.

Notese que estas limitaciones provienen de diferentes fuentes, por ejemplo, elmaximo ancho de banda está limitado por la velocidad de respuesta del actuadory su maxima salida, los errores de modelado, los retardos y los ceros inestables ocomplejos. De los diferentes factores, se debe priorizar en el diseño el de mayorimpacto, buscando que todos estos factores generen errores del mismo orden, estoes, manejando homogeneidad en el diseño.

4.2. Diseno de Sistemas de Control Analogos

4.2.1. Diseno con el Controlador PD

La funcion de transferencia del controlador Proporcional Derivativo es:

GC(s) =Kp(1 + Tds)

1 + T ′ds

Kp : Ganancia Proporcional,Td : Conatante de tiempo Derivativa,T ′

d : Constante de tiempo parásita, del orden de0,1Td.

La accion D, mejora el amortiguamiento, reduce el sobrepaso, los tiempos desubida y de estabilización; no actua en regimen estable; se debe por tanto ajustarKp en funcion de los requerimientos de error estacionario yTden funcion de larespuesta transitoria y la estabilidad relativa requeridas.

Por tener dos parámetros ajustables, se puede emplear el contorno de las ra´ıces.

Ejemplo



GP (s) =815265

s(s + 361,2); se desea:essv ≤ 0,000433; SP≤5%; ts ≤ 0,005 seg

GC(s) = kp(1 + Tds) = Kp + Kds

C(s)

R(s)=

815265(Kp + Kds)

s2 + (361,2 + 815265Kd)s + 815265Kp

Se ha adicionado un cero en red cerrada y un t´ermino funcion deKd en el co-eficiente des, lo que aumenta el amoriguamiento.

Kev = lıms→0

sG(s) = 2257,1Kp; essv =1

Kev= 0,000443/Kp → Kp ≥ 1

De la ecuacion caracteristica:ρ =361,2 + 815265Kd

2√

815265Kp

ConKp = 1 y ρ = 1,→ Kd = 0,00177

Note que el cero de red cerrada ens = −Kp

Kd, se acerca al origen siKd aumenta,

lo que aumenta el sobrepaso.La ecuacion caracterıstica conKd como parametro de variaci´on es:

1 +815265Kds

s2 + 361,2s + 845265Kp

= 0

σ

j884

j403

j403

j884

jω

Kp = 1

Kp = 1/4

−180−486−903Kd = 0.00177

Kp = 1/4

Kp = 1Kd = 0

Kd = 0

ρ = 0.2

Kd ↑

Se observa el efecto amor-tiguador deKd



Respuesta temporal:

ms4 8 12 18 24 28 32

0.4

0.8

1.0

1.2

1.6Sin el PD

Con Kp = 1, Kd = 0.00177

Se cumplen las especificaciones dadas

SP = 4.2%

ts = 49ms

Para el ajuste por respuesta de frecuencia,Kp desplaza la curva de Mdb haciaarriba o abajo yTd corre la curva20 db

deca la izquierda si aumenta o a la derecha si

disminuye.

TdTd

20 dBdec

Kp

1/Td ω

La accion P tiende a aumentarwg y el ancho de banda; mejora elMG, Mφ y laMPW ; puede amplificar ruido a altas frecuencias y es ineficaz si la curva de fasees muy pendiente en cercan´ıas dewg, pues la rapida disminuci´on del margen defase puede hacer que la fase adicionada por el controlador no sea suficiente.



Ejemplo

Para el sistema del ejemplo anterior, se deseaessv ≤ 0,00443, Mφ ≥ 80, MPW ≤1,05, wc ≤ 2000 rad/seg.

Curvas de respuesta de frecuencia, para diferentesKd:

20

0dB

−20

MdB

Kd = 0.00177

Kd = 0.0025

Kd = 0.0005

Kd = 0

1000 10000100 w

−130

−160

−110

−90

φ

ω100 1000 10000

Mφ = 22

Kd = 0

Kd = 0.0005

Mφ = 82.9o

Kd = 0.00177

Kd = 0.0025

El MG = ∞ para cualquier valor dekd; con kd = 0,00177, Mφ = 82,9o,MPW = 1,025 y wc = 1669Rad

Segcumpliendose los requisitos exigidos.



Para un ajuste por cancelación polo-cero, con una planta de primer orden:

RTds+1T ′

ds+1

U 1T1s+1

CConTd = T1

1T ′

ds+1R C

jω

σ− 1T1

− 1T ′

d

Td/T′d ≈ 10

U(t)

1

t

Se obtiene un sistema más rapido, si nose satura el actuador; para un escalón deentrada,R(s) = 1

s, el actuador debe ser

capaz de amplificar el salto inicial de sal-ida del controlador; si se satura, el retardooriginal se hará de nuevo efectivo; la re-spuesta rapida continuará solo en pequeñasenal.



Para una planta desegundo orden:

R +

−

Kp(1+Tds)1+T ′

dsKs

(1+T1s)(1+T2s)

C

LGDR si se cancelaT2: LGDR si se cancelaT1:

jω

σ− 1

T1− 1

T2

− 1T ′

d

K2 jω

σ− 1

T1− 1

T2

− 1T ′

d

K1

K2 = Kp2Ks para unρ adecuado. K2 = Kp1Ks para unρ adecuado.

La eleccion adecuada es la que genere el mayorKi para lograr el menoress.Asumiendo que después de la cancelación, queda la planta con una constanteT :

R+

−

Kp

T ′ds+1

KsTs+1

CC

R=

K

(T ′ds + 1)(Ts + 1) + K

; K = KpKs

C

R=

K/T ′dT

s2 +T ′

d+T

T ′dT

s + K+1T ′

dT

→ wn =

√1 + K

T ′dT

; ρ =T ′

d + T

2√

T ′dT (1 + K)

ρ ≈√

T

2√

T ′d(1 + K)

→ K =T

4ρ2T ′d

− 1

Para tener la mayorK, T debe ser la más grande:T = T1; luego debe cance-larseTd = T2, la menor constante.



Para una planta detercer orden:

Gp(s) =Ks

(1 + T1s)(1 + T2s)(1 + T3s); T3 < T2 < T1

G(s) = Gc(s)Gp(s) =KpKs(1 + Tds)

(1 + T1s)(1 + T2s)(1 + T3s)(1 + T ′ds)

Si se cancela la mayor constante:Td = T1

jω

σ− 1

T1− 1

T2− 1

T ′d

K baja

− 1T3

T ′d paraTd grande, puede estar cerca deT2 y T3

resultando bajaK para elρ adecuado.

Si se cancela la menor:Td = T3

jω

σ− 1

T1− 1

T2− 1

T ′d− 1

T3

Cancelado

Sin cancelarPoco se gana pues el sistema sigue dominadopor las dinamicas mas lentas.



jω

σ− 1T1− 1

T2

− 1T ′

d− 1

T3

Se recomienda cancelar la constante de tiempointermedia;Kp se obtiene para elρ adecuado delos polos dominantes.

4.2.2. Diseno con el Controlador I

La funcion de transferencia del controlador Integral es:

Gc(s) =Ki

s=

1

Tis

Ti : Constante de tiempo Integral.

La accion I elimina el error permanente de posisción o el debido a perturba-ciones constantes, tiene remanencia estacionaria, disminuye la velocidad de re-spuesta y merma la estabilidad; por tanto su ajuste se hace en función de obtenerla mayor velocidad de respuesta con un amortiguamiento apropiado. Por tener unsolo parametro, se puede ajustar facilmente con el Lugar de la Ra´ıces o la Re-spuesta en Frecuencia.

Para una planta deprimer orden :

R +

−

1Tis

KsTs+1

C

se puede ajustar analıticamente; la función de transferenciade red cerrada es:C

R=

1

TikTs2 + Tiks + 1, Tik = Ti/Ks

wn = 1/√

TikT , ρ = 12

√Tik

T→ T ik = 4ρ2T



Paraρ = 1/√

2, Tik = 2T , wn = 1√2T

Note que la constante de tiempo equivalente es1

ρwn= 2T , luego el tiempo de

estabilizacion en lazo cerrado pasa al doble del de lazo abierto.

La accion I no se puede usar en plantas de alto orden con integración y sin cerospues serian inestables. Con las plantas de más alto orden sin integración, se puedensimplificar polos rapidos por la fuerte disminución de la velocidad de respuestade la accion Integral.

4.2.3. Diseno con el Controlador PI

La funcion de transferencia del controlador Proporcional Integral es:

Gc(s) =kp(1 + Tis)

Tis

Se adiciona un cero a la acción Integral, con ello se aumenta el tiempo de subiday mejora el amortiguamiento; note queTi define la ubicación del cero; por tenerdos parametros se puede usar el contorno de las ra´ıces para su ajuste.

Ejemplo

Ajustar el controlador PI paraG(s) =Ks

(s + 0,5)(s + 2)

GH(s) = GGc(s) =KsKp(1 + Tis)

(s + 0,5)(s + 2)Tis=

K(s + 1/Ti)

s(s + 0,5)(s + 2)K = KpKs.

Si Ti → ∞, GH(s) = K(s+1/Ti)s(s+0,5)(s+2)

; accion Proporcional sola:



jω

σ

−0.5−2

LGDR del sistema sin compensar.

Si Ti → 0, se adiciona la acción Integral; la ecuación caracterıstica es:

s(s + 0,5)(s + 2) + K(s + 1/Ti) = 0

1 +K/Ti

s[(s + 0,5)(s + 2) + K]= 0

La nuevaGH ′(s) tiene tres polos, uno en el origen y dos en función deK.

jω

σ

−0.5−2

Ti →0

Con K muy bajo,GH ′ tiene polos reales y el lugar despega del eje real, entre0 y el polo que parte de -0.5; esto genera polos complejos con baja velocidad derespuesta; siK es muy alto puede ser imposible ajustarTi para lograr un amor-tiguamiento apropiado. Unρ adecuado para los polos deGH ′(S) puede estar entre1.8 y 0.8, lo que define el valor deK; el amortiguamiento deseado para la red cer-rada defineTi.



Para especificaciones en el tiempo en términos de una ubicación deseada de lasraıces, el LGDR permite facilmente ajustar el controlador PI.

Ejemplo

ParaG(s) = 1(s+2)(s+0,5)

se deseaSP ≤ 10%, ts = 16/3seg → 4ρwn

= 163

→ρwn = 0,75; paraSP = 10% → ρ = 0,6

wn = 0,75/0,6; wd = wn

√1 − ρ2 = 1; polos deseados ens1−2 = −0,75 ± j

GH(s) =Kp(s + 1/Ti)

s(s + 0,5)(s + 2)basta ajustar el cero para que el lugar pase porla raız deseada.

jω

σ

−0.5−2

j

−3/4

θTi

−1Ti

Criterio del angulo:

∠ Kp(s + 1/Ti)

s(s + 0,5)(s + 2)|s=−0,75+j = −180,

→ θT i = 89o → cero en -0.751/Ti = 0,75 → Ti = 4/3 seg.

Kp ajusta con el criterio de magnitud:

| Kp(s+0,75)

s(s+0,5)(S+2)|s=0,75+j

= 1 → Kp = 2,2

Con Kp = 2,2 la tercera ra´ız esta ens = −1; se debe verificar la respuesta enel tiempo, pues el cero del PI también puede en red cerrada afectarla.

Para un ajuste por cancelación polo-cero de una planta deprimer orden , que-da una integración en la red directa, lo que corresponde a un polo real en redcerrada.El ajuste del PI por cancelación para una planta desegundo orden, tipo 0:



R +

−

Kp(s+1/Ti)s

Ks(s+1/T1)(s+1/T2)

C

Cual cancelar?

Cancelando una constante:GH ′(s) =k

s(s + 1/T )

C

R=

k

s2 + 1Ts + K

→ 2ρwn =1

T

La constante no-cancelada debe ser la más pequeña para que la respuesta de redcerrada sea rapida→ cancelar la constante de tiempo mayor.

Ejemplo

Para el ejemplo anteriorGH(s) 1(s+0,5)(s+2)

= 1(0,5s+1)(2s+1)

, el polo mas lento esel de 2 segundos.

1Ti

= 0,5 → Ti = 2seg.

2ρwn = 10,5

; paraρ = 1/√

2 → wn =√

2 → kp = w2n = 2.

Para una planta desegundo orden tipo 1, no es posible realizar la cancelaciónpues lleva a un sistema marginalmente estable en red cerrada.

R +

−

Kp(s+1/Ti)s

1s(s+1/T )

C

GH(s) =Kp(s+1/Ti)

Ts2(s+1/T ); el sistema es estable si1

Ti< 1

T→ Ti > T



Mdb

ω

ω

φ

-180

1/Ti 1/T

1/Ti 1/Tωg

-40

-20

-40

Mφ

El ajuste se puede hacer conla respuesta de frecuencia porla simetrıa de la curva.Conwg en la media geométri-ca del cero y el polo, elMφ

es maximo.

wg = 1/√

TiT

Evaluando el angulo deGH(s) enwg, se obtiene la relación:

sen Mφ =Ti − T

Ti + T

Especificando unMφd apropiado,Ti se ajusta:

Ti =(1 + sen Mφd)

1 − sen Mφd

de | GH(wg) |= 1 se obtiene:Kp = 1√TiT

; este diseño se denominaajuste porsimetrıa optima.

A pesar de ser un sistema de tercer orden, por la simetr´ıa deGH(s), se puedeajustar el PI analıticamente en el dominio del tiempo:

C

R=

Kp

T· (s + 1/Ti)

s3 + 1Ts2 +

Kp

Ts +

Kp

TiT



conKp =1√TiT

la ecuacion caracterıstica es:

s3 +s2

T+

Kp

Ts + K3

p = 0

Hay una ra´ız ens = −Kp.

→ (s + Kp)(s2 + (

1

T− Kp

︸︷︷︸ρ= 1

2( 1

TKp−1)

)s + K2p︸︷︷︸

wn=Kp

) = 0

ρ =1

2(

√Ti

T− 1); paraρ = 1/

√2: Ti = (

√2 + 1)2T ≈ 5,8T

Kp =1√TiT

=1

T (√

2 + 1)' 1

2,4T

t√TiT

C(t)

-180

2 64 8 1210

Con filtro

Sin filtro

La respuesta a un escal´on uni-tario en la referencia muestraun sobrepaso elevado; usandouna compensaci´on de preali-

mentacionGC2(s) =1

Tis + 1se elimina.

Para plantas detercer orden, tipo 0:

GH(S) =kp(Tis + 1)

Tis(T1s + 1)(T2s + 1)(T3s + 1)



−1/T2 −1/T1−1/T3

σ

jw

Es conveniente (al igual que parasistemas de segundo orden) cance-lar el polo mas lento;Kp se ajustapara elρ adecuado.

Si T1 es mucho mayor queT2 y T3, en un factor de 6:T1 > 6T2, T3, el ajusteTi = T , dara respuestas transitorias muy lentas ante disturbios; el PI se puedeajustar en este caso asumiendo el modo lento como una integraci´on:1+Tis ≈ Tis,despreciando el modo rapidoT3 ≈ 0 y aplicando el ajuste por simetr´ıa optima.

4.2.4. Diseno con el Controlador PID

La funcion de transferencia del controlador Proporcional Integral Derivativoparalelo es:

Gc(s) =Kp(1 + T1s + T1T2s

2)

T1s; ceros:Z1−2 = − 1

2T2±√

T 21 − 4T1T2

La mayorıa de las vecesT1 > 4T2 y los ceros son reales

Gc(s) =Kp(1 + Tis)(1 + Tds)

Tis(1 + T ′ds)

, donde se ha adicionado la constante de tiem-

poT ′d por el retardo par´asito de un controlador real; note que es un controlador PI

en cascada con un controlador PD.

La respuesta de frecuencia del controlador es:



Mdb

ω

ω

φ

1/Ti 1/Td 1/T ,d

1/Ti 1/Td1/T ,

d

T ,d = 0

A baja frecuencia actúa como PIA alta frecuencia actúa como PD

El PID se utiliza para plantas de tercer orden o más; se estudiará el ajuste paraplantas con 3 polos reales y con uno real y 2 complejos con bajo amortiguamien-to; por la complejidad, la técnica mas apropiada es la cancelación.

1. GH(s) =Kp(Tis + 1)(Tds + 1)

Tis(T ′ds + 1)(T1s + 1)(T2s + 1)(T3s + 1)

; T1 > T2 > T3

Los criterios de ajuste del PD y el PI se pueden aplicar en este caso; para elPD:Td = T2

GH ′(s) =Kp(Tis + 1)

Tis(T′ds + 1)(T1s + 1)(T3s + 1)

(PI para planta de tercer or-

den)

a) T1 > T3, T′d → Ti = T1 → GH ′′(s) =

Kp/Ti

s(T ′ds + 1)(T3s + 1)



−1/T2 −1/T1−1/T3−1/T ,d

σ

Kp → ∞

jw

Con el LGDR, Kp se ajus-ta para el amortiguamientoapropiado.

b) T1 � T3, T′d → 1

T1s + 1≈ 1

T1s;

1

T ′ds + 1

≈ 1

−1/T2 −1/T1−1/T3

σ−1/Ti

jw

GH(3)(s) = kp(Tis + 1)

TiT1s2(T3s + 1)

Ti = 5,8T3;Kp = T1/(2,4T3)para obtenerρ = 1/

√2

Ejemplo

Ajustar un controlador PID para una planta conT1 = 0,4 seg,T2 = 0,2y T3 = 0,05 seg;T ′

d = 0,1Td

Td = T2 = 0,2 → T ′d = 0,02; comoT1 = 0,4 � 0,02; 0,05

conTi = 5,8T3, Kp = T1/2,4T3 → ρ = 1/√

2

conTi = 4T3, Kp = T1/2T3 → ρ = 0,5



t

CR

0.5 1 1.5

ρ = 0.5

ρ = 0.7 ρ = 0.7 con filtro

Respuesta a la referencia

t

CD

0.5 1 1.5

ρ = 0.5ρ = 0.7

Respuesta al disturbio

Sin regulacion

t

CR

0.5 1 1.5

PIDPD

P

PI

ILazo abierto

Respuestas al escalón paradiferentes acciones de con-trol, se ajustaron paraMφ ≈45o . Ejercicio: ajustar P, PI, Iy PD paraMφ = 45o

2. Gp(s) =w2

n

(s2 + 2ρwns + w2n)(T1s + 1)

0 ≤ ρ � 1

Se desea la acción I para obtener bajo error permanente.

Para estabilizar el sistema, se requieren al menos 2 ceros con adelanto defase→ PID.

Como ρ � 1 hay un pico de resonancia cerca dewn; se puede asumirel caso mas difıcil conρ = 0, lo que simplifica el ajuste.

Para obtener alta velocidad de respuesta y amortiguamiento apropiado,wg

debe estar bien por encima dewn; en rangos dewg, la parte oscilatoria sepuede aproximar por su as´ıntota de alta frecuencia, simplificándose la planta

a:Gp(s) ≈w2

n

s2(T1s + 1).

GH(s) ∼=Kpw

2n

Tis3· Tis + 1

T1s + 1· Tds + 1

T ′ds + 1



A baja frecuencia la fase es−270o por los tres integradores; siKp baja, elsistema se hace inestable, luego se tiene un sistemacondicionalmente es-table.

Se puede realizar un ajuste por simetr´ıa optima buscando el máximo Mφ;las frecuencias de avance de fase máximo,wm son:

si T1 < T ′d

si T1 > T ′d

PI1/√

TiT1

1/√

TiT ′d

PD1/√

TdT ′d

1/√

TdT1

AsumiendoT1 < T ′d y haciendowmPI = wmPD = wg, la fase es simétrica

con respecto awg, lograndose elMφ maximo.

w

φ

1Ti

1Td

wg1

T ,d

1T1

φPID

φPI

φPD

wg =1√TiT1

=1√TdT ′

d

; sen φPI = Ti−T1

Ti+T1; sen φPD =

Td−T ′d

Td+T ′d

El margen de fase será:Mφ = φPI + φPD − 90o

conTi = 20T1 → φPI = 65o → φPD = Mφdeseado + 25o

ConocidoTi y φPD se calculanTd y T ′d resolviendo:sen φPD =

Td−T ′d

Td+T ′d

y TdT′d = TiT1.

Kp se ajusta para tener:| GH(jwg) |= 1, con wg = wm = 1/√

TiT1.



Deduciendo se obtiene:

Kp =

√T ′

d

w2nTiT1

√Td

La figura muestra la Respuesta de Frecuencia y la Respuesta en el Tiem-po conρ = 0; se observa como se compensa la naturaleza oscilatoria de laplanta.

w

φ

t seg

C(t)

wn 1Ti

1Td

wg1

T ,d

1T1

2π 4π 6π 8π

-90

-180

-210

0

w

M db

t seg

C(t)

wn 1Ti

1Td

wg1

T ,d

1T1

2π 4π 6π 8π

-20

-60-60

-40

-40

Mφ

4.2.5. Diseno para Plantas Sobreamortiguadas de Alto Orden

Se considera el sistema a controlar:

G(s) =K

(1 + T1s)(1 + T2s)(1 + T3s)(.....



Para el diseño, se busca una reducción de orden; desarrollando el denominador:

G(s) =K

1 + (T1 + T2 + T3 + ....)s + (T1T2 + T1T3 + T2T3....)s2 + ....

Si existe acción I la respuesta en red cerrada será lenta y se pueden despreciar losterminos de orden superior:

G(s) ≈ 1

1 + Tes;Te = T1 + T2 + T3 + ...

Te: constante de tiempo equivalente.

Si existe tiempo muerto:G(s) =Ke−Tms

(1 + T1)(1 + T2) + ...

expandiendoeTms en series:eTmS = 1 + Tms +(Tms)2

2+ ...

G(s) =k

eTms(1 + T1)(1 + T2)...=

k

(1 + Tms)(1 + T1)(1 + T2)...

La constante de tiempo equivalente es:Te = Tm + T1 + T2 + ...

La aproximacion es valida si el controlador se diseña de modo quewg < 1/Te;normalmente esto se da si se usa la acción I. No se deben incluir en la equivalenciaconstantes importantes cuyo valor sea mayor que la suma de las demás; por ejemp-

lo siT1 > Tm+T2+T3+... → G(s) ∼=k

(1 + T1s)(1 + Tes), Te = Tm+T2+T3+...;

idem si hay 2 constantes importantes; de esta forma se llegará a sistemas reduci-dos de 1o, 2o, 3er orden, los cuales se ajustan con los criterios vistos;T ′

d tambiense pueden incluir enTe; comoTe representa una dinámica equivalente y no fısica,no se puede cancelar.

Ejercicios propuestos:ParaG(s) = 1/(s + 4)2, G(s) = 1/(0,05s + 1)s2 y una planta sobreamortiguadacon constantes de tiempo:T1 = 4, T2 = 0,8, T3 = 0,2, T4 = 0,05, ajuste contro-ladores adecuados para obtener un error permanente de posición nulo, conSP, ts

bajos.

4.2.6. Compensacion Paralela

La arquitectura general de esta compensación se presenta en la figura.



R(s) +

++

+

+Gc(s) G1(s) G2(s)

GR(s)

D(s)

Y2(s)

−

C(s)Y1(s)

La senal de realimantación principal se mezcla con la señal Y2(s) que se obtienede modificar dinamicamente a traves deGR(s), la variable auxiliarY1(s) de laplanta.Como normalmenteG2(s) es de atraso, entoncesY1(s) adelanta aC(s) y ası alrealimentarY1(s) se evitan grandes adelantos de fase enGC(s); comoH(s) = 1,una accion integral enGC(s) la entrada a este controlador se forzará a cero en es-tado estable con entradas al lazo constantes, entonces:ess = lım

s→0s[R(s)−C(s)−

Y2(s)]; esto exige queY2(s) = 0 paras = 0.

Podrıa pensarse en utilizar derivadores para calcularY1(s) a partir deC(s); sinembargo, la derivación repetida de señales genera ruido, por lo que es preferiblesensar directamente las variables.

Ejemplo

Para el sistema de control de la exitación, con excitatriz y dinámica apreciabledel actuador, diseñar el compensador en serie y lared estabilizadoraGR(s); seconsideraTG > TE > TA; se toma como variable auxiliar la tensión de campodel generador. El diagrama de bloques del sistema controlado es:



Vr(s) +

−

++

Gc(s)1

(TAs+1)(TEs+1)

Vf (s)

Y2(s)GR(s)

Vt(s)1TGs+1

1(TAs+1)(TEs+1)(TGs+1)

Vr +

−

GC(s)

1 + GR(s)(TGs + 1)

Vt

Para no disminuir la precisión en estado estable:

Y2ss = 0 −→ GR(s = 0) = 0 −→ Derivacion

GR(s) debe ser de facil diseño e implementación y no debe amplificar armónicosdeY1(s) esto exige tener polos enGR(s).

GH(s) =GCs [(1 + GR(s)) (1 + TGs)]

[1 + TGs][1 + TEs][1 + TAs]

Cancelando el retardo intermedio con el adelanto de la realimentación auxiliar:

(1 + GR(s))(1 + TGs) = 1 + TEs

GR(s) =TEs

1 + TGs

GC(s) se puede escoger como un PI conTI = TG y KP para elρ deseado; nóteseque por el adelanto enGR(s) no se requiere acción D enGc(s).



Vr +

−

TEs + 1

GC(s) 1(TGs+1)(TEs+1)(TAs+1)

Vt

1TEs+1

Vr(s) +

−

GC(s) 1(TGs+1)(TAs+1)

Vt(s)

4.2.7. Compensacion Cascada

Esta estrategia de compensación esta ampliamente difundida en la industria;la figura muestra el diagrama de bloques de esta arquitectura de control para doslazos:

R(s) +

−

GC1(s)+

−

GC2(s) Geq(s) G1(s) G2(s)

Y1(s)C(s)

Se tiene una variable auxilirY1(s) a medir;Geq(s) es la dinamica del Actuadoro la dinamica equivalente de otra bucla interna; veamos las principales ventajas ydesventajas de esta estructura de control.

Ventajas:

Subdivide una planta compleja para resolver el problema de control a pasos,mediante controladores simples.

Los controladores están menos sujetos a saturación.

Se eliminan rapidamente los efectos de disturbios internos.

Se pueden limitar señales intermedias importantes.



Localiza alinealidades.

El diseno y la implementación se pueden realizar de forma sistemática porlazos.

Desventajas:

Se requiere de un controlador y sensor por cada bucla.

Si las buclas tienen acción I la respuesta es más lenta ante cambios en lareferencia que la de un sistema con una sola bucla.

Ejemplo

La figura muestra el diagrama de bloques para el sistema de control de la ex-citacion, con un control en cascada utilizando como variable auxiliar a la tensiónde campo generador.

Vr(s) +

−Gct

Vfr(s)

+

−

1(Tas+1)

1(Tes+1)

1(Tgs+1)

VfGcf

Vt

Ejercicio

Escoja y ajusteGcf y Gct para el ejemplo anterior.

Ejemplo

Consideremos un esquema de control cascada de tres lazos para una planta so-breamortiguada.

Para seleccionar los controladores, es conveniente que por estandarizaciónsean todos del mismo tipo; en este caso Proporcionales Integrales; el ajuste serealiza por pasos coomenzando por la bucla más interna:

GH3(s) =Kp3(1 + Ti3s)

Ti3s(Te4s + 1)(T3s + 1)



+

−Gc2

+

−

1(Te4s+1)

1(T3s+1)

1(T2s+1)Gc3

R1 +

−Gc1

R2 R3

1(T2s+1)

C2 C1C3

Dinamica equivalente del actuador u otra bucla

T1 > T2 > T3 > Te4

ConTi3 = T3, tenemos:

C3

R3=

Kp3

Ti3Te4s2 + Ti3s + Kp3

donde:2ρωn = 1Te4

; ω2n =

Kp3

Ti3Te4; despejandoKp3 obtenemos:

Kp3 =T3

4ρ2Te4(4.1)

con esta expresión podemos ajustarKp3 para elρ deseado.

La dinamica simplificada del lazo es:

C3

R3≈ 1

Ti3

Kp3s + 1

La constante equivalente es:Te3 = Ti3

Kp3, Te3 = 4ρ2Te4.

Para el segundo lazo, la función de transferencia de red abierta es:

GH2(s) =Kp2(1 + Ti2s)

Ti2s(Te3s + 1)(T2s + 1)

la cual tiene la misma forma deGH3(s); igual sucede conGH1(s); por tanto,Gc2(s) y Gc1 se ajustan de la misma forma queGc3(s); si se asigna el mismoρpara todos los lazos, el procedimiento es recursivo, con escalamiento en el tiempo:α = 4ρ2.

La constante de tiempo equivalente de todo el sistema de control,Te seraTe =α3Te4, ası, para una respuesta total rapida, debe tenerse el menor retardo posibleen la bucla más interna.



Es posible no utilizar el lazo interno 3, en cuyo casoGc2(s) puede ser un PIque se ajusta conTe3 = Te4 + T3; o bien,Gc2(s) puede ser un PID que cancelaT2 y T3 conTe3 = Te4 + T ,

d2; en cualquier caso,Gc1(s) sera un PI ajustado de lamisma forma; el PID mejora la velocidad de respuesta a cambios en la referenciay no cuesta más que el PI, lo que permite reducir los costos de la bucla no imple-mentada.

Si una bucla interna tiene una integración:

GH(s) =Kp(1 + Tis)

TiTs2(1 + Tes)

se ajusta por simetr´ıa optima:Ti = (2ρ + 1)2Te; Kp = 1/(2ρ + 1)Te.

Se usar´ıa un filtro en la referencia 1Tis+1

y la dinamica simplificadadel lazo será CR

=1

Tis+1, dondeTe1 = Ti = a2Te cona = (2ρ + 1).

Es posible también que el proceso a controlar no tenga una estructura en ca-dena por las interacciones internas.

Y2+

−G1(s) G2(s)

Y3Y1

G3(s)

En este caso,Y2 es la variable auxiliar medida para la bucla interna; para obten-er la estructura en cadena, basta aplicar el algebra de los diagramas de bloques:

Y2+

−G1(s) G2(s)

Y3Y1

G2G3(s)

G11−G1G2G3



Ejemplo

Se desea regular la velocidadw de un motor de CC, con posibilidad de limitarla corriente de armaduraia para protecci´on del motor; esto nos lleva a una arqui-tectura de control cascada de las variablesia y w.

ea +

−

1(Tas+1)

1Tms

eb

ia w

ea +

−

1(Tas+1)

1Tms

ia w

1Tms

ea Tms(TmTas2+Tms+1)

1Tms

ia w⇒

⇓wn = 1/

√TmTa; ρ = 1

2

√Tm/Ta

Si Tm < 4Ta → ρ < 1; si Tm > 4Ta → ρ > 1, lo que es m´as usual deencontrara en la practica; asumiendoTm > 4Ta, factorizando el denominador deia/ea y usando un PID para la bucla de corriente:

GHI (s) =Kp2(Ti2s + 1)(Td2s + 1)

Ti2s(T,d2s + 1)︸︷︷︸

PID

Tms

(T1s + 1)(T2s + 1)︸︷︷︸iaea

1

T3s + 1︸︷︷︸retardo equivalente del actuador

conT1 > T2 > T3 > T ,d; ajustandoTi2 = T1, Td2 = T2,

GHI (s) =Kp2Tm/Ti2

(T ,2ds + 1)(T3s + 1)

Kp2 se ajusta paraρ = 1/√

2.

iaiaref

=Kp2Tm/Ti2

T ,2dT3s2 + (T ,

2d + T3)s + 1≈ K ′

2

(TeIs + 1)

conK ′2 =

Kp2Tm

Ti2y TeI = T ,

2d + T3.



wr +

−

K,2

TeIs+1

1Tms

wGc1

El lazo de velocidad será:

Gc1(s) puede ser un PI ajustado por simetr´ıa optima:

GHw(s) =Kp1

Ti1Tm

K ′2(Ti1s + 1)

s2(TeIs + 1)

ConTi1 = (2ρ + 1)2TeI y Kp1 = Tm

K′2(2ρ+1)TeI

.

4.2.8. Compensacion Directa

Compensacion Directa de Disturbio en Red Abierta

Si en la planta el disturbio principal es medible y su punto de acción es cono-cido, se puede usar la estrategia de control:

R(s)G1(s)

RD

−

+

GD(s)

G2(s)

D(s)

+

+G3(s)

C(s)

Notese que hay una acción correctiva inmediataRD a partir de la perturbación,sin afectar la estabilidad pues no hay realimentación.

C(s) = [G1(s)G2(s)G3(s)] R(s)︸︷︷︸CR

+ [{1 − GD(s)G2(s)}G3(s)] D(s)︸︷︷︸CD

Si GD(s) = 1G2(s)

, entoncesCD(s) = 0.



ComoG2(s) es usualmentede atraso entoncesGD(s) sera de adelanto; recorde-mos que la compensación durante el transitorio solo es efectiva si no hay satu-racion del actuador.

Ejemplo

El generadorautorreguladoautoexcitado se emplea bastante en pequeñas cen-trales de energ´ıa.La autoexcitación se da a través del transformador saturable TPS, se toma el

G

VI

Vs

TPS

Vt

TI

Vf

+

−

TransformadorSaturable

+-

+-

voltaje generado, se rectifica y se alimenta el campo conVs, lo que genera unarealimentacion positiva; el nivel de saturación se ajusta para que el TPS lleve latension desde la remanencia hasta la nominal; cuando hay corriente de carga enel generador (perturbación), la salida del TI rectificadaVI alimenta el campo delgenerador, compensando la ca´ıda de tensión en la reactancia interna del generador.El siguiente diagrama de bloques describe este sistema.

VI

1(TgS+1)

Vt

−

+

0.15I

VfVs

+

+



La dinamica equivalente entre perturbación y salida para el generador es:

V t

0,15I= [

1

Tgs + 1− 1] = − Tgs

Tgs + 1;

La respuesta a un escalón unitario correspondiente de aplicar la carga nominalI(s) = 1/s , se muestra en la figura, para distintos valores de la constante de

tiempo del generador.

Sin control directo0.85

1.0

Vt

[PU]

Tg

Notese que el control directo es más efectivo entre menor sea el retardo entre elpunto de ataque del disturbio y la señal de compensación.

Compensacion Directa de Disturbio en Red Cerrada

El control directo de perturbaciones es de red abierta por lo que no compensalos efectos de las variaciones parámetricas y los demás disturbios. Podemos usarlocomo complemento a un lazo de compensación serie:

R(s)GCG1 +

−

−

+

GD

G2 G3

C(s)

D(s)



La respuesta en la salida debida a la perturbación es:

CD(s) =[1 − GD(s)G2(s)]G3(s)

1 + G1(s)G2(s)]G3(s)D(s)

luego el criterio de ajuste paraGD(s) es el mismo visto para el lazo abierto:

GD(s) =1

G2(s)

La reduccion del efecto del disturbio de la realimentación permite reducir la ganan-cia deGD(s) o bien, quitar la acción Integral enGC mejorando la velocidad derespuesta y el amortiguamiento.

Compensacion Directa de la Referencia

En servomecanismos interesa mejorar el seguimiento de la entrada, por lo quees usual utilizar una compensación directa de la referencia:

R(s)

GD

G1 G2A C(s)

+

+

+

−

Con este esquema se disminuye el rango de la señalA (salida del controladorG1),por lo que se puede reducir la ganancia deG1; tambien se facilita el control man-ual en caso de falla del controlador.

En servomecanismos de altas prestaciones con control de la 1a y 2a derivadasde la referencia, se puede usar el control en cascada más el control directodinami-code la referencia.El siguiente ejemplo nos ilustrará esta estrategia de control.



Ejemplo

+

−

1T3s+1

1T2s

1T1s

wPIw

x+

−

1Tg2s+1PIx

+

−

1Tm1s+1

1Tm2s

1(Tg1s+1)

r

Modelo de referencia

K

+

Control directo de lareferencia de velocidadcon R(s) = 1/s: wr y xr: continuo

wr

xr

Los filtros con constantes de tiemoTg1 y Tg2 eliminan los ceros de los PI deposicion y velocidad; la entrada directa al lazo de velocidad dewr con gananciak, no ‘esperaél error dinámico en la bucla externa de posición, aumentando lavelocidad de respuesta del sistema.

t

x

1

K = 0Respuesta a un escalón xr(t)sin el control directo.

t

1

xr

x

K = 0

Respuesta a un escalón enr(t)sin control directo; modelo dereferencia conρ = 1.


4.3. DISENO DE SISTEMAS DE CONTROL DIGITALES

t

xr − x

K = 0

K = 0.5 T1Tm2

K = 1.5 T1Tm2

K = T1Tm2

Error dinamico: xr − x paradistintos valores deK; conK = T1/Tm2 el error es de-spreciable y la respuesta delsistema es la del modelo dereferencia para cualquierr(t),aun con cambios de parámet-ros y perturbaciones de carga.

4.3. Diseno de Sistemas de Control Digitales

4.3.1. Diseno por Equivalente Discreto

En el diseno por equivalente discreto, se asume inicialmente que el sistema decontrol es continuo y se diseña el controlador análogo por cualquier técnica cono-cida; luego el controlador análogo se discretiza para obtener el controlador digital;para el diseño del controlador análogo, se adiciona un retardo de primer orden quetome en cuenta la dinámica del retenedor de orden ceroROC = 1−e−Ts

s; usando la

aproximacion de Padé de primer orden para el retardo:e−Ts ∼= 1−Ts/21+Ts/2

, se obtiene:

ROC =1

s[1 − 2 − Ts

2 + Ts] =

2T

2 + Ts

Para no afectar la ganancia estática, se aproxima:

ROC ≈ 1T2s + 1

De esta forma se obtiene el sistema de tiempo continuo:

R(s) +

−

1T2

s+1 Gp(s)Gc(s)



El sistema de control digital obtenido mediante este procedimiento será:

R(z) +

−GD(z) Gp(z)

C(z)

DondeGD(s) es la discretización deGC(s) y G(z) = (1 − z−1)L{GP (s)

s}.

Para aplicar el método descrito, requerimos obtenerequivalentes discretosde funciones de transferencia continuas. Si G(s) no tiene retenedor de ordencero, se puede discretizar mediante técnicas de integración numerica o de mapeopolo-cero.

Discretizacion por Integracion Numerica

Las tecnicas de integración numerica, representan una función de transfe-rencia: C

R= G(s) por una ecuación diferencial, la cual se integra mediante una

tecnica numérica:

Euler(rectangular hacia adelante):s → z − 1

T:dc

dt→ [c(kT + T )− c(kT )]

T

Rectangular atrás:s → z − 1

Tz:dc

dt→ c(kT )− c(kT − T )

T

Trapezoidal o bilineal:s → 2

T

z − 1

z + 1

Cada aproximacion es un mapeo del planos al planoz que aproxima:z = esT



Rectangular adelante:z = 1 + Ts

Rectangular atrás:z =1

1 − Ts

Bilineal: z =1 + Ts/2

1 − Ts/2

Plano z

Region de estabilidad

Ejemplo

Analicemos la discretización de la funcion de transferencia:G(s) =a

s + a

Con la aproximación rectangular adelante:G1(z) =a

z−1T

+ a

Con rectangular atrás:G2(z) =a

z−1Tz

+ a

Con la transformada bilineal:G3(z) =a

2T

z−1z+1

+ a; analicemos la respuesta en

frecuencia paraG3(z), evaluandoz = ejw:

G3(ejw) =

a2T

ejwT/2−e−jwT/2

ejwT/2+e−jwT/2 + a=

a2Tj tan wT

2+ a



Luego la relacion entre las frecuencias continuawcon y discretawdis es:

wcon =2

Ttan

wdisT

2

Esta expresión define ladistorsionen frecuencia debida a la aproximación bili-neal; si la frecuencia de corte continua esa, la discreta será:

wCD =2

Ttan−1aT

2

Note que siwdisT es pequeño, entonceswcon ≈ wdis, esto es que hay baja distor-sion; por el contrario, siwdis → ws

2, entonceswcon → ∞, alta distorsion.

Se puede ajustar la frecuencia del corte del filtro continuo, para que al aplicarla transformada bilineal la frecuencia de corte discreta sea la deseada; a esto sele denominaPrewarpingo prealabeamiento; paraG(s) =

a

s + a, a se ajusta a:

a → 2TtanaT

2, de forma que se tiene la función de transferencia continua:

G′(s) =2/T tan aT/2

S + 2T

tan aT/2

La cual al discretizarse da:

G′(z) =tan aT/2

z−1z+1

+ tan aT/2

Noten que la frecuencia de corte del filtro digital es:wcdis = 2T

tan−1 tan aT2

= a,la deseada.

Discretizacion por Mapeo Polo-Cero

En esta discretización se mapean los polos y ceros deG(s) mediantez = esT

y se ajusta la ganancia en una frecuencia espec´ıfica; el metodo tiene los siguientespasos:

1. Polos y ceros finitos deG(s) en s = −a, se trasladan a polos o ceros enz = e−aT .

2. Si hay exceso de polos, los ceros infinitos deG(s) van a alta frecuenciaws/2 en el sistema discreto:



z → eJ 2π2T

T = −1 → z = −1: punto de mayor frecuencia, cumpliendoel teorema de muestreo.

Tambien se puede trasladar un cero infinito deG(s) a z = ∞ para queG(z) tenga un polo más que un cero; esto garantiza que la expansión deG(z) en series dez−1 no tenga término constante y el controlador tendrá almenos un retardo unitario, disponible como tiempo de cálculo.

3. Ajustar las ganancias deG(s) y G(z) en una frecuencia espec´ıfica; la masusada es para el estado estable:s = 0 → G(s) |s=0= G(z) |z=1

Ejemplo

Obtengamos el equivalente discreto deG(s) = as+a

por mapeo polo-cero.

1. Polo ens = −a → polo enz = e−aT

2. Cero infinito→ cero enz = −1

G(z) = k(z+1)z−e−aT

3. G(s = 0) = 1 = G(z = 1) =2k

1 − e−aT→ k =

1 − e−aT

2

→ G(z) =(1 − eaT)(z + 1)

2(z − e−aT )

Ejemplo

ParaG(s) = 5s+5

con a)fs = 3Hz y b) fs = 15Hz ver las respuestas de fre-cuencia para los diferentes métodos.

Note que:

La regla rectangular adelante no aproxima bien parafs = 3Hz.

La transformada bilineal tiene un cero enz = −1 → eJ2πfT = −1 →2πfT = π → f = fs/2: en la mitad de lafs.



La transformada bilineal con predistorsi´on tiene el mismo ancho de bandadel sistema continuo.

Parafs = 15Hz las aproximaciones son adecuadas hasta la frecuencia deancho de banda:fc = 5

2π= 0,8.

Figura 4.1:Respuestas de frecuencia del filtro continuoG(s) = 5s+5

vs diversosfiltros aproximados para frecuencias de muestreo de 3 y 15Hz.



Ejemplo:

Discretizacion de un filtroButterworth de 4o orden; la funcion de transferen-cia de este filtro es:

G(s) =1

( s2

w2c

+ 2 cos π/8 swc

+ 1)( s2

w2c

+ 2 cos 3π/8 swc

+ 1), Twc = 1, ws = 2πwc

La figura muestra varias respuestas al escal´on de filtros Butterworth de distintoorden.

0 5 10 150

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Respuesta al escalon

Tiempo (sec)

Am

plitu

d n = 8 n = 4

n = 2

Figura 4.2:Respuesta al escal´on de filtros de distinto orden Butterworth.

Discretizandolo por mapeo polo-cero se obtiene:

G(z) =k(z + 1)3

(z2 − 0,736z + 0,157)(z2 − 0,82z + 0,46)

Dondek es tal queG(z = 1) = 1; la figura muestra los mapas de polos y cerosde los filtros en los planoss y z:



Plano s

=⇒

Plano z

La figura muestra la respuesta al escalón del filtro discreto.

0 2 4 6 8 10 12 14 160

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

Figura 4.3:Respuesta al escalón de un filtro Butterworth discreto de 4to orden.

Habiendo revisado diferentes técnicas de discretización de sistemas continuos,volvamos al diseño por esta vıa, lo que se ilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo



Para el sistemaGp(s) =1

s(s + 2), discretizarGD(z) para que el sistema en red

cerrada sea dominado por un par de polos complejos conρ = 0,5 y un ts ≤ 2 seg(criterio del 2 %).

Para4

ρwn= 2, se tiene:ρwn = 2, con ρ = 0,5 tenemoswn = 4 rad/seg;

wd = 4√

1 − 14

= 2√

3

polos ens1−2 = −2 ± j2√

3

Perıodo de la oscilación amortiguada=2π/wd = 1,81 seg; para tener unos nuevemuestreos por ciclo de oscilación:T = 0,2 seg.

GROC =1

T2s + 1

=1

0,1s + 1=

10

s + 10

El sistema a diseñar en tiempo continuo es:

R(s) +

−

10s+10

1s(s+2)Gc(s)

C(s)

Gc(s) se puede diseñar con un cero que cancele el polo ens = −2, un poloy una ganancia ajustados de tal forma que se cumplan los criterios de angulo ymagnitud ens1−2 = −2 ± j2

√3

→ Gc(s) = 20,25(s + 2

s + 6,66)

C(s)

R(s)=

202,5

(s + 2 + j2√

3)(s + 2 − j2√

2) (s + 12,66)︸︷︷︸polo despreciable

DiscretizandoGc(s) con mapeo polo-cero:

Polo ens = −6,66 → z = e−6,66T = 0,2644

Cero ens = −2 → z = e−2T = 0,6703



GD(z) = k(z − 0,6703

z − 0,2644)

En estado estable:GC(0) = GD(1) → k = 13,57

G(z) = z{1−e−0,2S

s· 1

s(s+2)} =

0,0175(z + 0,876)

(z − 1)(z − 0,6703)

GD(z)G(z) = 0,2385 · (1 + 0,876z−1)z−1

(1 − 0,2644z−1)(1 − z−1)se cancela el polo enz =

0,6703

C(z)

R(z)=

0,2385z−1 + 0,2089z−2

(1 − 1,0259z−1 + 0,4733z−2)

Polos en :r =√

0,4733 = 0,69

cos θ =1,0259

2 ∗ 0,69= 0,7456 rad = 41,8o

De r = e−ρθ/√

1−ρ2y θ = wnT

√1 − ρ2, se obtiene:ρ = 0,453, wn = 4,092,

valores muy cercanos a los esperados. La respuesta al escalón se muestra en lafigura siguiente; se observa una buena aproximación entre la respuesta del sis-tema continuo y el digital.

4.3.2. Diseno con el Lugar de las Ra´ıces

Todos los criterios vistos para el diseño por el lugar de las ra´ıces en tiempocontinuo aplican para los sistemas de tiempo discreto; ilustraremos esto medianteun ejemplo.

Ejemplo

Disenar el sistema del ejemplo anterior por el lugar de las ra´ıces.

ts = 2seg;ρ = 0,5 → wn = 4; wd = wn

√1 − ρ2 = 3,46

ws = 2πT

= 31,42; ws

wd≈ 9 (muestreos por ciclo de la oscilación amortiguada)



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


Am

plitu

d

Tiempo (sec)

Respuesta del sistema de control análogoRespuesta del sistema de control digitaldiseñado mediante equivalente discreto

SP = 19%

SP = 16.5%

Ts = 2.0s

Figura 4.4:Respuestas del sistema de control an´alogo y del sistema de controldigital disenado mediante equivalente discreto.

R(s) +

−

1−e−Ts

s

1s(s+2)GD(z)

T = 0.2

C(z)

Polos deseados en z:

r =| z |= e−ρwnT = 0,67; θ = Twd = 0,69 rad → P = 0,515 + j0,428

La funcion de transferencia discreta a controlar es:

G(z) = z{ 1 − e−Ts

s2(s + 2)} =

0,0175(z + 0,876)

(z − 1)(z − 0,67)

Ang{G(z)}z=P = −231,26o se requiere adicionar 51.26o para cumplir el cri-terio del angulo.



Asumiendo un controlador de la forma:GD(z) = kz + α

z + βy cancelando el po-

lo enz = 0,67 obtenemos:α = −0,67; β se calcula para aportar el avance de fasedeseado:

Ang{ z + 0,876

(z − 1)(z + β)}|z=0,51+j0,43 = 17,1 − 138,56 − tan −1 0,482

β + 0,51= −180

β = −0,254 → GD(z) = k z−0,67z−0,254

GDG(z) = k0,017(z + 0,876)

(z − 0,254)(z − 1)

Del criterio de magnitud:

| GD(z)G(z) |z=0,515+j0,428= 1 → k = 12,67

LuegoGD(z) = 12,67 z−0,67z−0,254

.

Por equivalente discreto se obtuvo:GD(z) = 13,57 z−0,67z−0,264

, ligeramente distin-tos pues en el diseño por el lugar de las ra´ıces no hay aproximación del retenedorde orden cero. La función de transferencia de red cerrada es:

C(z)

R(z)=

0,222z + 0,195

z2 − 1,031z + 0,449, tiene un cero enz = −0,876 y polos comple-

jos dominantes. La figura muestra la respuesta al escalón del sistema diseñado.



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


Tiempo (sec)

Am

plitu

d

SP = 16%

Ts = 2.0s

Figura 4.5:Respuesta del sistema, diseñado mediante el lugar de las ra´ıces.

4.3.3. Diseno por Respuesta de Frecuencia

De nuevo ilustramos este caso con un ejemplo.

Ejemplo

Para el sistema analizado en respuesta de frecuencia:

R(s) +

−

1−e−Ts

s

1s(s+1)GD(z)

T = 0.2

C(z)

Se desea diseñar GD(z) en el planow para unMφ = 50o, MG ≥ 10db, conuna constante de error de velocidad:Kev = 2.

Se obtuvo en el ejemplo de análisis por respuesta de frecuencia discreta:



G(z) = z{1−e−Ts

s2(s+1)}z= 1+0,1w

1−0,1w= G(w)

G(w) =(1+ w

300,6)(1− w

10)

w(1+ w0,997

)

Asumiendo un controlador de la forma:GD(w) = k 1+w/α1+w/β

Kev = lımw→0

wGD(w)G(w) = k = 2; la grafica azul a trazos muestra la re-

spuesta de frecuencia de2.G(w); el MG = 15,5db y el Mφ = 30o; cance-lando con el cero del controlador, el polo en0,997, la nueva frecuencia de crucepor cero es de2 rad/seg; en esta frecuencia, la fase deG(j2) = −162o; sedeben adicionar 32o en v = 2, para lograr elMφ = 50o; esto se logra con:arctan 2

0,997− arctan 2

β= 32o → β = 3,27

→ GD(w) = 21+ w

0,997

1+ w3,27

; en rojo se muestra la respuesta de frecuencia del sistema

compensado; del diagrama:Mφ = 51,7 MG = 14,3db.

Para obtener el controlador en el planoz: w = 2T

z−1z+1

= 10 z−1z+1

GD(z) = 21 + 1

0,997[10( z−1

z+1)]

1 + 13,27

[10( z−1z+1

)]= 5,43

z − 0,818

z − 0,507

GD(z)G(z) = 0,108 z+0,935(z−1)(z−0,507)

el MG = 14,3db y el Mφ = 51,7o, practica-mente iguales a los dwl planow.

C(z)

R(z)=

0,1018(z + 0,935)

(z − 0,702 + j0,329)(z − 0,702 − j0,329)(cero despreciable)

Los polos tienenρ = 0,5 y θ = 25,15o → 36025,15

= 14,3 muestreos por ciclo.

El diseno cumple los requerimientos; n´otese que la regla de aproximaci´on ρ ∼=Mφ/100 se cumple: no ser´ıa as´ı si la frecuencia de muestreo fuera muy baja. Lafigura siguiente muestra las respuestas de frecuencia del sistema compensado ysin compensar, en el planow.



10−2

10−1

100

101

102

103

90

135

180

225

270

Fas

e (d

eg)

−80

−60

−40

−20

0

20

40

60

Mag

nitu

d (d

B)

Diagrama de Bode

Frecuencia (rad/sec)

14dB 14.5dB

GD

(jv)G(jv)

G(jv)

50º 30º

Figura 4.6:Diseno por respuesta en frecuencia: – sistema compensado,sistemaa compensar

4.3.4. El Controlador RST

La estructura can´onica RST se muestra en la figura.

r(z)T (z) 1

S(z) ROC

R(z)y(z)

T

u(z)+

−

G(z) = B(z)A(z)

+

d(z)

+

b(z)

c(z)Gp(s)

Disturbio del proceso

Ruido de medicion

Figura 4.7:Lazo de control con controlador RST



La planta discreta a controlar se asume con polinomiosB(z) y A(z) para elnumerador y el denominador;A,B,R, S, T son todos polinomios enz−1; estaarquitectura permite explotar al máximo la flexibilidad de programación de loscontroladores digitales, para un buen diseño robusto que cumpla las especifica-ciones de respuesta.

La ley de control que implementa es:

u(z) = −R(z)

S(z)y(z) +

T (z)

S(z)r(z)

Las funciones de transferencia de red abiertaGRA(z) y red cerradaGRC(z) son:

GRA(z) =B(z)R(z)

A(z)S(z); GRC(z) =

B(z)T (z)

A(z)S(z) + B(z)R(z);

donde:

P (z) = A(z)S(z) + B(z)R(z) = 1 + p1z−1 + p2z

−2 + ...

es la ecuación caracterıstica del lazo que define los polos de red cerrada; en elprocedimiento de diseño se especificará de forma que se cumplan las especifica-ciones deseadas para la respuesta transitoria en la regulación de perturbaciones.Para asegurar esta dinámica, se escogerán apropiadamente los polinomiosR(z)y S(z); el polinomioT (z) introduce un grado de libertad adicional que permitecumplir ciertas especificaciones para el seguimiento de la referenciar(z).

Funciones de Sensibilidad con el RST

En general, los polinomios RST se seleccionan para obtener funciones detransferencia apropiadas:

c(z)

r(z),c(z)

d(z),c(z)

b(z),u(z)

d(z)

que cumplan con los requerimientos de desempeño exigidos para cada una deellas, a saber:

c(z)

r(z)= GRC(z): define la dinamica de regulación del lazo.



c(z)

d(z)= Scd =

1

1 + GRA(z)=

A(z)S(z)

P (z), es la funcion de sensibilidad

perturbacion-salida, ella permite especificar partes deS(z) para rechazarperturbaciones en ciertas frecuencias, por ejemplo, para eliminar el errorpermanente debido a disturbios constantes, debe haber un cero enScd en lafrecuencia nula:z = e0 = 1, si el factor(1 − z−1) no existe en el procesoA(z), debe existir en el polinomioS(z), lo que equivale a tener acción inte-gral en el controlador RST. Recuérdese también que el Margen de Móduloes el inverso del máximo de esta función: MM = 1

|Scd |max; para un margen

de modulo especificadoMM ≥ 0,5 se requiere|Scd|max ≤ 2. En generalpara no amplificar la perturbación, se especifica|Scd(jw)| ≤ 2 ∀w.

c(z)

b(z)= Scb = −B(z)R(z)

P (z), es la funcion de sensibilidad ruido- salida. Permite

especificar partes deR(z) para eliminar el efecto del ruido de medidab(z)sobre la salida.

u(z)

d(z)= Sud = −A(z)R(z)

P (z), funcion de sensibilidad perturbación- entrada,

muestra la influencia de la perturbación sobre la entrada al proceso; permiteespecificar partes deR(z) para que el controlador no responda en ciertasbandas de frecuencia para evitar, por ejemplo, la saturación del actuador.

Analisis de Robustez con el RST

Estas funciones también permiten analizar la robustéz del control a las incer-titudes y/o variaciones del proceso; consideremos los lugares de Nyquist para elmodelo nominalGRA y el sistema realG′

RA,En general, el lugar de Nyquist nominal se encuentra en el interior de un

tubo que corresponde a las variaciones aceptables de la función de transferen-cia del proceso. Para asegurar la estabilidad de lazo cerrado conG′

RA teniendo elmismo numero de polos inestables deGRA, es suficiente que la diferencia entreG′

RA y GRA sea menor que la distancia deGRA al punto cr´ıtico:

|G′RA − GRA| < |1 + GRA| ∀w ∈ [0, π]

|G′RA − GRA| < |S−1

cd | =

∣∣∣∣P (z)

A(z)S(z)

∣∣∣∣z=ejw

(4.2)



ImGRA

w = πReGRA

-1

G′RA − GRA

GRAnominal

G′RAreal

1 + GRA

Figura 4.8:Diagrama de Nyquist

dondeS(z) y R(z) se calculan para obtener elP (z) = AS+BR deseado, usandolos valores nominales deA(z) y B(z).

Por tanto,|S−1cd (ejw)| da una condición suficiente de estabilidad paraG′

RA; esla maxima magnitud de la diferencia tolerada entreG′

RA y GRA. Esta toleranciaes grande a baja frecuencia ya que|S−1

cd | = |1 + GRA| es alta a baja frecuenciapor serGRA de gran magnitud por la acción Integral. La tolerancia esmınimaenla frecuencia delMM , se debe por tanto, verificar que en las frecuencias delMM ,las variaciones del proceso sean compatibles con elMM obtenido; en caso con-trario, o se mejora el conocimiento del modelo o se modifican las especificaciones(P (z)) para asegurar la estabilidad.

La condicion de robustéz (ecuación4.2) se da en función deGRA = Gc(z).G(z):controlador y proceso. Es importante expresarla sólo en terminos deG(z) =B(z)/A(z):

|G′RA − GRA| =

∣∣∣∣B′R

A′S− BR

AS

∣∣∣∣ =∣∣∣∣R

S

∣∣∣∣∣∣∣∣B′

A′ −B

A

∣∣∣∣ <

∣∣∣∣P

AS

∣∣∣∣



→∣∣∣∣B′

A′ −B

A

∣∣∣∣ <∣∣∣∣

P

AR

∣∣∣∣ = |S−1ud |

La curva de−Mdb(Sud) da las condiciones suficientes de la tolerancia permi-tida sobre las variaciones del procesoG(z), esta tolerancia depende de la relación:∣∣∣∣P

A

∣∣∣∣ dondeP son los polos de red cerrada yA los polos del proceso; en decibeles

suponiendo el polinomioT (z) = 1, esto es:∣∣∣∣P

A

∣∣∣∣db

=

∣∣∣∣B

A.B/P

∣∣∣∣db

=

∣∣∣∣B

A

∣∣∣∣db

−∣∣∣∣B

P

∣∣∣∣db

= MdbRA − MdbRC

Tıpicamente se tiene:

w

Mdb

/BA/ /B

P /

/PA/ < 0

RARC

Figura 4.9:Resuestas en frecuencia de red abierta y cerrada

Para frecuencias mayores al ancho de banda del proceso,|PA| se hace más ne-

gativa y menor será la tolerancia a las incertitudes paramétricas; entre mayor seala diferencia de ancho de banda de red cerrada con relación a red abierta, menortolerancia habrá a las incertitudes del proceso. Por lo tanto, para una reducciónimportante de la velocidad de respuesta en red cerrada con relación a la de redabierta, se requiere de un buen modelo del proceso, en particular en las zonas defrecuencia donde|S−1

cd (z)| es pequeña.

Ejemplo


4.4. DISENO POR ASIGNACION DE POLOS (SINTESIS)

Consideremos esta función de transferencia de red abierta:G(z) =z−1

1 − 0,8z−1y

las ecuaciones caracterısticas de red cerrada:P1(z) = 1− 0,6z−1 y la mas rapida,P2(z) = 1 − 0,4z−1. La figura muestra la respuesta de frecuencia deSud paraambos polinomiosP (z).

Mdb

ffs

Sud para P2

Sud para P1

Figura 4.10:Diagrama deMdb paraSud.

Como|S−1ud |p2 < |S−1

ud |p1, se requieren menores variaciones paramétricas en elproceso para obtenerP1(z) en red cerrada.

4.4. Diseno por Asignacion de Polos (Sıntesis)

4.4.1. Controlador PID

Consideremos un controlador PID en la forma posicional:

Gc(s) = Kp[1 +1

Tis+

Tds

1 +Td

Ns

]

Discretizando cons → (1 − z−1)/T :

CD(z) =R(z)

S(z)=

r0 + r1z−1 + r2z

−2

(1 − z−1)(1 + s1z−1)S(z) tiene in integrador y un polo simple; hay cuatro parámetros:

s1 = −Td/(Td + NT )



r0 = Kp(1 +T

Ti− Ns1)

r1 = Kp[s1(1 +T

Ti+ 2N) − 1]

r2 = −Kps1(1 + N)

La figura muestra como el controlador PID es un caso particular del contro-lador RST, paraT = R.

+

−

R/S B/A

c(t)u(t)r(t)

r(t)T = R

+

−

1/S

R

B/Au(t) c(t)

mProcede

Proceso

Figura 4.11:Controladores PID y RST

La funcion de transferencia de red cerrada es:

GRC =T.

B

SA

1 +RB

SA

=RB

SA + RB

Donde:



P = SA + RB: Polos deseados de red cerrada.

RB: ceros de red cerrada.

Si P no tiene como factor aB, no hay cancelación polo-cero en red cerrada;en tal caso, el controlador se puede usar con ceros del procesoB inestables; losceros inestables son frecuentes en los sistemas discretos, por ejemplo, un sistemade primer orden con tiempo muertoTm, tiene un cero inestable al discretizarsecon un per´ıodo de muestreoT < 2Tm.

Note que se requiere0 ≤ |s1| ≤ 1 para que el filtro1/(1 + s1z−1) ten-

ga un equivalente continuo de primer orden:1/(1 +Td

Ns), por lo tanto, pueden

obtenerse PID discretos sin tener un equivalente PID continuo, por ejemplo, si−1 < |s1| < 0.

A parte de tener los cerosB del proceso en red cerrada, el controlador adicionalos ceros deR; estos ceros dependen deA,B y P y por lo tanto no se definen deantemano; los ceros deR pueden causar aumento del sobrepaso.

En lo que sigue, se considerarán sistemas de primer o segundo orden con tiem-po muertoTm < T :

Gp(s) =e−sTm

Tps + 1

Gp(s) =w2

ne−sTm

s2 + a1z−1 + a2z−2

con T < Tp, tal que se tengan al menos 4 muestreos durante el tiempo de esta-bilizacion. La discretización de estas plantas de primer o segundo orden, llevana:

G(z) =B(z)

A(z)=

b1z−1 + b2z

−2

1 + a1z−1 + a2z−2(4.3)

Lasespecificaciones de desempeno se imponen en la función de transferencia de

red cerrada:GRC(z) =BR

P, ası:

B y R : No se especifican a priori

P = 1+p1z−1+p2z

−2: se escogenp1 y p2 para obtener unρ y ωn adecuadosen red cerrada.



El perıodo de muestreo se puede definir bajo el criterio de tener una frecuenciade muestreo entre 6 y 25 veces la frecuencia del ancho de banda en red cerradafRC:

1

T= (6 − 25)fRC

Paraρ en el rango:0,7 ≤ ρ ≤ 1, se tiene:

0,25 ≤ ωnT ≤ 1,5 (4.4)

Para elcalculo de los parametros del controlador, se debe resolverP =AS +BR, conocidos lospi, ai, bi para calcular losri y s1; esto se logra igualandolos coeficientes de los polinomiosP y (AS + BR):

P (z−1) = 1 + p1z−1 + p2z

−2 = A(z−1)S(z−1) + B(z−1)R(z−1)= (1+a1z

−1 +a2z−2)(1−z−1)(1+s1z

−1)+(b1z−1 +b2z

−2)(r0 +r1z−1 +r2z

−2)p1 = b1r0 + s1 + a1 − 1p2 = b2r0 + b1r1 + s1(a1 − 1) + a2 − a1

0 = b2r1 + b1r2 + s1(a2 − a1) − a2

0 = b2r2 − a2s1

SeaD = (a1 − 1)b1b22 − b3

2 − [a2 − a1]b21b2 − a2b

31; D 6= 0 si A y B son pri-

mos entre s´ı, entonces:

r0 =1

D{[p1(a1 − 1) − p2 + a1 − 1 − a2

1 + a2]b22 + a2(a1 − 1 − p1)b

21

+ [p1(a1 − a2) + a1 − a21 + a1a2]b1b2}

r1 =1

D{[p2(a1 − a2) + p1a2 + (a1 − a2)

2]b1b2}

r2 =1

D{[a2(a1 + p2 − a2)]b1b2 + [a2(a1 − p1 − 1)]b2

1 − a22b

20}

s1 =1

D[(p2 + a1 − a2)b0b

21 − (1 + p1 − a1)b

31 + a2b

20b1]

Ejemplo

ParaGp(s) =e−3s

10s + 1, se desea un sobrepasoSP < 10%, dinamica de red



cerrada conρ = 0,8 y wn = 0,05.

EscogiendoωnT = 1/4, de (ecuaci´on 4.4) se tiene:3 < T < 10; escogemosT = 5.

ParaT = 5, Tp = 10, Tm = 3, G(z) es:

B(z−1) = 0,1813z−1 + 0,2122z−2

A(z−1) = 1 − 0,6065z−1

Resolviendo las ecuaciones se obtiene el controlador RST:

R(z−1) = 0,0621 + 0,0681z−1

S(z−1) = (1 − z−1)(1 − 0,0238z−1)

T (z−1) = R(z−1)

El cual tiene los Margenes de estabilidad:Margen de ganancia: 7.712 (≥ 2)Margen de Fase: 67.2 grados (> 30 grados)Margen de m´odulo: 0.7551 (−2,49dB ≥ 0,5)Margen de retardo: 45.4 s (> T )

Existe un PID continuo con:

Kp =r0s1 − r1 − (2 + s1)r2

(1 + s1)2(4.5)

Ti = TKp(1 + s1)

ro + r1 + r2(4.6)

Td

N= − s1T

1 + s1(4.7)

Td = Ts21r0 − s1r1 + r2

Kp(1 + s1)3(4.8)

de donde:



Kp=-0.073,Ti = −2,735, Td = −0,122, Td/N = 0,122

La figura muestra la respuesta del sistema y la señal de control para un escalónde entrada.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

U(t

)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo [s]

C(t

)

Respuesta al escalón filtrada, respuesta mas lentaen red cerrada que en red abierta

Figura 4.12:Respuesta al escalón, controlador PID conwn = 0,05 rad/s.

Se observa que la señal de control tiene una respuesta al escalón filtrada, esto



hace que la respuesta en red cerrada sea más lenta que en red abierta. Esto muestra

porque los PID continuos en procesos conTm >1

5Tp merman la velocidad de

respuesta en red cerrada.El PID digital puede lograr una respuesta más rapida, como se ilustra en el

siguiente ejemplo.

Ejemplo

Consideremos unaωn = 0,1, el doble de velocidad del caso anterior, con el mismoproceso:

ParaTp = 10, Tm = 3B(z−1) = 0,1813z−1 + 0,2122z−2

A(z−1) = 1 − 0,6065z−1

Especificaciones:T = 5, ω0 = 0,1, ρ = 0,8.

El controlador es:

R(z−1) = 0,8954 − 0,4671z−1, r1 es negativo, el cero es positivo y está enz = 0,502, mas cerca az = 1, luego aumenta el sobrepaso.

S(z−1) = (1 − z−1)(1 + 0,16343z−1), no hay equivalente PID continuo!puess1 = 0,1634 > 0

T (z−1) = R(z−1)

Margenes de estabilidad:Margen de ganancia: 6.046Margen de Fase: 65.9 gradosMargen de módulo: 0.759 (−2,39dB)Margen de retardo: 16.8 s

La figura muestra las señales de respuesta al escalón de referencia, donde seaprecia el aumento del sobrepaso.

Ejemplo



0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

C(t

)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

tiempo (s)

u(t)

Aumenta el sobrepaso

Figura 4.13:Desempe˜no del regulador num´erico PID,wn = 0,1 rad/s

Consideremos ahora:ωn = 0,15rad/seg para el mismo proceso.

Especificaciones: T=5,ω0 = 0,15, ρ = 0,8.

El controlador es:

R(z−1) = 1,6874 − 0,8924z−1, cero en 0.53, mayor sobrepaso.



S(z−1) = (1 − z−1)(1 + 0,3122z−1), no hay equivalente PID continuo.

T (z−1) = R(z−1)

Margenes de estabilidad:Margen de ganancia: 3.681Margen de Fase: 58.4 gradosMargen de módulo: 0.664 (−3,56dB)Margen de retardo: 9.4 s

La figura muestra las señales de respuesta al escalón de referencia, donde seaprecia mas aumento del sobrepaso.



0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4C

(t)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Tiempo [s]

U(t

)

Figura 4.14:Desempeño del regulador numérico PID1,w0 = 0,15 rad/s

El sobrepaso debido al cero del controlador se puede evitar usando un PID enforma de velocidad, donde la acción PD solo actúa sobre la medida.

En este caso el controlador tiene la estructura general RST:

S(z)u(z) + R(z)c(z) = T (z)r(z)



T (z)r(z) +

−

1S(z)

R(z)

G(z)u(z) c(z)

Figura 4.15:Diagrama de bloques RST

ConR(z) = r0 + r1z−1 + r2z

−2 y S(z) = (1 − z−1)(1 + s1z−1).

En red cerrada se obtiene:

GRC(z) =TB

AS + BR

La GRC(z) deseada se puede especificar como:GRC(z) =P (1)

B(1)

B(z)

P (z)P (1)

B(1)ajusta la ganancia DC igual a 1.

P (z): polos deseados de red cerradaB(z): cero deG(z)

Luego,T =P (1)

B(1)P = AS + BR → P (1) = A(1)S(1) + B(1)R(1) = B(1)R(1) −→ T = R(1)

Son los mismos polinomios paraR y S, solo cambiaT que ya no esR si noR(1), una constante que preserva la ganacia unitaria del sistema en red cerrada.El PID continuo equivalente es:

Donde en este caso, las ecuaciones que relacionan el PID continuo con el



r(s) +

−

1

1+TdN S

kp

TiS

+

− −

Kp KpTdS

1+TdN S

Gp(s)C

Figura 4.16:PID equivalente

discreto son:

Kp = −(r1 + 2r2)

1 + s1(4.9)

Ti = −T(r1 + 2r2)

ro + r1 + r2

(4.10)

Td

N= − s1T

1 + s1

(4.11)

Td = Ts1r1 + s1r2 − r2

(r1 + 2r2)(1 + s1)(4.12)

Ejemplo

Consideremos ahora un PID de velocidad conωn = 0,15rad/seg para el mis-mo proceso.

Especificaciones: T=5,ω0 = 0,15, ρ = 0,8.

El controlador es:

R(z−1) = 1,6874 − 0,8924z−1, cero en 0.53, mayor sobrepaso.

S(z−1) = (1 − z−1)(1 + 0,3122z−1), no hay equivalente PID continuo.



T (z−1) = 0,795

La figura muestra las señales de respuesta al escalón de referencia, donde se apre-cia como baja el sobrepaso.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

C(t

)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.5

1

1.5

Tiempo [s]

U(t

)

Baja el sobrepaso

Seguimiento

Regulación de la perturbaciónde la carga

Figura 4.17:Desempeños del regulador numérico PID de velocidad,wn = 0,15rad/s en seguimiento y regulación.



4.4.2. Controlador RST

El diseno de el controlador RST por asignaci´on de polos se puede aplicar a :

Plantas estables e inestables.

PolinomiosA y B de cualquier grado, pero sin factores comunes entre ellos.

Cualquier retardo del proceso.

B con ceros estables e inestables.

La figura muestra la estructura del controlador:

T (z−1)r(t) +

−

R(z−1)

z−dBA

1S(z−1)

c(t)

z−dB(z−1)P (z−1)

Proceso

Figura 4.18:Controlador RST

Se considera un proceso a controlar:G(z) =z−dB(z)

A(z), donde:

d es el numero entero de muestreos contenidos en el tiempo muerto,A(z−1) = 1 + a1z

−1 + ...........+ anaz−na ,

B(z−1) = b1z−1 + ...........+ bnbz

−nb = z−1B∗(z−1).

La funcion de transferencia en red cerrada es:

GRC =z−dT (z)B(z)

A(z)S(z) + z−dB(z)R(z)



Su denominador se ajustará para obtener el polinomioP (z):

P (z) = 1 + p1z−1 + ...........+ pnpz

−np = PD(z).PF (z)

donde:PD(z): Polinomio de segundo orden de los polos dominantes en red cerrada paraρ y ωn deseados,PF (z): Polos auxiliares de red cerrada; filtran en cierta zona de frecuencias parareducir efectos del ruido de medida, suavizar las variaciones deu(t) o mejorar larobustez.

Regulacion: Calculo de R y S

Los polinomiosS(z) y R(z) son de la forma:

S(z−1) = 1 + s1z−1 + .... + snsz

−ns (4.13)

R(z−1) = r0 + r1z−1 + .... + rnrz

−nr (4.14)

Para calcularlos, se debe resolver laEcuacion Diofantica:

A(z−1)S(z−1) + z−dB(z−1)R(z−1) = P (z−1) (4.15)

con los polinomiosA y B primos entre ellos; el primer sumando de la ecuacióntiene gradona + ns y el segundod + nb + nr; esta ecuación puede tener infinitassoluciones, pero hay solución unica, si se igualan los grados de cada sumando a:na + nb + d − 1:

ns = nb + d − 1 (4.16)

nr = na − 1 (4.17)

np ≤ na + nb + d − 1 (4.18)

Una forma de solución es escribir la ecuación en la forma matricial:MX = P ,donde:



X =

1s1

.

.sns

r0

.

.rnr

P =

1p1

.

.pnp

0..0

M

1 0 . . . 0 0 . . 0a1 1 . . . . b∗1 . . .a2 a1 . . . 0 b∗2 . . 0. a2 . . . 1 . . . b∗1. . . . . a1 0 . . b∗2

ana . . . . a2 b∗n . . .0 ana . . . . 0 . . .. . . . . . . . . .0 . . . 0 ana 0 . 0 b∗nb

M : Matriz de Silvester, cuadrada de ordenna + nb + d, donde:b∗i = 0; i = 0, 1..db∗i = b∗i−d; i ≥ d + 1

El vector de los coeficientes de los polinomiosR y S, se obtiene de:X = M−1P

Muchas veces los polinomiosR y S tienen partes fijas pre-especificadas; ental caso se factorizan como:

R(z−1) = R′(z−1)Hr(z

−1)

S(z−1) = S′(z−1)Hs(z

−1)

Hr y Hs : pre-especificados.

La ecuacion diofantica será:

AHsS′ + z−dBHrR

′ = P (4.19)

dondeAHs es un nuevoA′ y BHr un nuevoB′.

Veamos los casos más frecuentes que exigen partes fijas enR y S:

Error permanenteess nulo para entrada de referencia o una perturbaciónescalon:

Scd =AS

P|z=1 = 0 → Hs = (1 − z−1)



Rechazo de perturbación armonica de frecuenciawp:

Hs = 1 − 2coswpTz−1 + z−2

Son ceros complejos no amortiguados; para dar solo cierta atenuación, losceros serán complejos amortiguados, dando el coeficientede amortiguamien-to la atenuación deseada.

Bloqueo de señal: En ciertos casos la señal medida contiene componentesa ciertas frecuencias sobre las cuales la realimentación no debe actuar parano atenuar su efecto, pues son inherentes al proceso de fabricación o bien,la senal de control no debe excitar modos oscilatorios de la planta. Parano tener esta señal enu(t), se deben tener ceros enR(z−1) de forma queSud(z

−1) = 0 en la frecuenciawp dada.

Hr(z−1) = 1 − 2coswpTz−1 + z−2

Robustez: Para garantizar ciertos márgenes de robustez, se pueden necesitarterminos enHr y Hs para corregir la respuesta de frecuencia deScd y Sud

en ciertas zonas de frecuencia.

Seguimiento: Calculo de T

El polinomioT (z) define la dinamica del seguimiento; consideramos que sedesean seguir las respuestas de un modelo de referenciaGm(z):

z−(1+d)Bm(z)Am(z)

r(t) C∗(t)trayectoria deseadapara la salida

Modelo dereferencia

:

}

Figura 4.19:Modelo de referencia



Gm(z) =Bm(z)

Am(z)=

z−(1+d)(bm0 + bm1z−1)

1 + am1z−1 + am2z−2

por la restriccion de causalidad, el retardoz−(1+d) no se puede compensar.

ComoG(z) =z−dB

A=

z−dB∗z−1

A=

z−(1+d)B∗

A, la dinamica en red cerrada

es:

GRC =c(z)

r(z)= z−(1+d).

Bm(z)

Am(z).T (z)B∗(z)

P (z)

Noten queT (z) debe:

Cancelar la din´amica de regulaci´onP (z), la cual se asume diferente a la deseguimientoAm(z).

Generar una ganancia de estado estable unitaria entrec(t) y c∗(t)

Por lo tanto,

T (z−1) =

P (z−1)

B(1), si B(1) 6= 0

P (z−1), si B(1) = 0

(4.20)

B(1) = 0 solo en el caso en que exista una derivada enB(z).

La ley de control es:

S(z)u(t) + R(z)c(t) = T (z)c∗(t + d + 1)

como se muestra en la figura.



BmAm

r(t)

c∗(t + d + 1)

T 1S

+

−

R

z−dBA

u(t)

c(t)

z−(d+1)B∗(z−1)P (z−1)

z−(d+1)B∗(z−1)B(1)

z−(d+1)Bm(z−1)B∗(z−1)Am(z−1B(1)

Figura 4.20:Controlador RST para seguimiento y regulación.

Noten que la función de transferencia total en red cerrada del sistema es:

GRC(z−1) =z−(d+1)Bm(z−1)

Am(z−1).B∗(z−1)

B(1)

Ejemplo

Consideremos el proceso:

B(z)

A(z)=

0,1z−1 + 0,2z−2

1 − 1,3z−1 + 0,42z−2

el cual tiene un cero inestable y polos enz1 = 0,6 y z2 = 0,7. Se tiene un per´ıodode muestreo deT = 1 segundos; se requiere acción integral en el controlador ydinamicas deseadas de:

Seguimientoconwn = 0,5; ρ = 0,9; por tanto:Bm

Am=

0,09 + 0,06z−1

1 − 1,24z−1 + 0,4z−2

Regulacion conwn = 0,4; ρ = 0,9, esto es:P (z) = 1 − 1,37z−1 + 0,48z−2



La ley de control es:

S(z−1).u(t) + R(z−1).c(t) = T (z−1)c∗(t + d + 1)

c∗(t + d + 1) = [Bm(z−1)

Am(z−1)]r(t)

Donde:

R(z−1) = 3,0 − 3,94z−1 + 1,3141z−2

S(z−1) = 1 − 0,3742z−1 − 0,6258z−2

T (z−1) = 3,333 − 4,5806z−1 + 1,6225z−2

El sistema en red cerrada tiene unos márgenes de estabilidad:Margen de ganancia: 2.703Margen de Fase: 65.4 gradosMargen de módulo: 0.618 (−4,19dB)Margen de retardo: 2.1 s

La figura4.21muestra la respuesta en el tiempo del sistema controlado paraseguimiento y regulación; se observa que se obtiene el desempeño deseado.

Regulacion y Seguimiento para Plantas con Ceros Estables

Si los ceros deB(z) son estables se pueden cancelar, obteniéndose seguimien-to independiente de la regulación.

Para el diseño de laRegulacion, S(z) contiene los cerosB(z) de la planta:

S(z) = B∗(z)S ′(z)

La funcion de transferencia en red cerrada será:

GRC(z) =z−(1+d)B∗(z)

A(z)S(z) + z−(1+d)B∗(z)R(z)=

z−(1+d)

A(z)S ′(z) + z−(1+d)R(z)

Luego se tiene la ecuación caracterıstica:

P (z) = A(z)S ′(z) + z−(1+d)R(z)



0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

C(t

)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Tiempo [s]

U(t

)

Figura 4.21:Desempeños controlador RST en seguimiento y regulación, asig-nacion de polos.

La Ecuacion Diofantica tiene solución unica escogiendo:

n′s = d (4.21)

nr = na − 1 (4.22)

np ≤ na + d (4.23)

La ecuacionMX = P , tiene los vectoresX y P y la matrizM de Silvester:



X =

1s′1..s′dr0

.

.rn−1

P =

1p1

.

.pna

pna+1

.

.pna+d

M

1 0 0a1 1 .a2 a1 0 .. . . . . 1 1 .ad ad−1 . . . a1 a1 1 .

ad+1 ad a2 0 .ad+2 ad+1 . .

. 00 0 . . . 0 ana 0 0 1

ComoM es triangular inferior se puede resolver el sistema de ecuaciones sin in-version de la matriz.

Para el diseño delSeguimiento, T (z) = P (z), ya no hay ceros en red cerradaque afecten la dinámica de seguimiento; la estructura del controlador se muestraen la figura4.22.

BmAm

r(t)

c∗(t + d + 1)

T 1S

+

−

R

z−dBA

u(t)

c(t)

z−(d+1)

P (z−1)

z−(d+1)

z−(d+1)Bm(z−1)Am(z−1)

Figura 4.22:Controlador RST para plantas con ceros estables.

Cabe anotar que el seguimiento y la regulación independientes no se puedenaplicar a plantas con ceros inestables; ellas se obtienen con un retardo fraccionalmayor aT/2, lo cual se da si se muestrea muy rapido una planta que tenga gradorelativo estrictamente mayor a cero (exceso de polos a ceros). Tampoco en conve-



niente cancelar ceros poco amortiguados, por las oscilaciones que se generan enla senal de controlu(t); la figura4.23muestra la regi´on de ubicaci´on de los cerosque si se pueden cancelar.

ρ cte

wn cte

Region deceros cancelables

Figura 4.23:Region de ceros cancelables.



Ejercicios Propuestos: Asignacion de polos

1. Realice los cálculo para obtener los controladores PID y RST, de los ejem-plos vistos en clase.

2. Para el sistema:

T+

−

1s

R

0.2z−1+0,1z−2

1−1.3z−1+0.42z−2Cr

T = 1seg

Figura 4.24:Ejercicio controlador RST.

Disene el controlador RST para obtener dinámicas de seguimiento y de re-gulacion iguales con:ρ = 0,9 y wn = 0,4 rad/seg; considere acción I en elcontrolador.

3. Para el sistema:

1s

u(t)

d = 0.1sen(π2 t)

c(t)

+

+

Figura 4.25:Planta con perturbación periodica.

disene un controlador digital RST (T=1 seg) que rechace la perturbaciónsenoidal.



4. Repita 3. cond = 0; considere que la planta tiene un modo resonante confrecuencia de0,25 Hz que no debe excitarse.



Resumen

Este cap´ıtulo se dedicó al diseno de sistemas de control lineales. Se revisaronlas consideraciones fundamentales más importantes para el diseño, en terminosde reglas, restricciones, arquitecturas posibles y las especificaciones deseadas dedesenpeño tanto en el tiempo como en la frecuencia. Se estudiaron diversos méto-dos de diseño en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia tanto parasistemas control digitales como continuos. Finalmente estudiamos el método dediseno por s´ıntesis de asignación de polos para controladores PID y RST; para esteultimo, incluımos mas restricciones de diseño como el filtrado de perturbacioneso el bloqueo de señales en el lazo.


1. Realice:


2. Desarrolle los ejercicios propuestos de este cap´ıtulo, ademas desarrolle elprocedimiento para resolver los diferentes ejemplos de controladores RST.

3. Para el sistema de control de la figura4.26:

Se desea un error permanente nulo debido al disturbiod(t) y una dinamicaC/R sin ceros y con un par de polos complejos conρ = 0,75 y wn = 2rad/seg. Seleccione y ajuste los controladoresGci(s), i = 1, 2, 3 apropiados.

4. Para el sistemaG(z) = 0,5(z−0,2)z(z−0,6)

conT = 0,5. Disene un controlador RSTpara obtener un error permanente nulo, una dinámica de regulación conρ = 0,8 y wn = 0,5 y una dinamica de seguimiento sin ceros, conρ = 0,8y wn = 0,5 rad/seg.

5. Para el sistema:G(z) = 0,4z−0,6

; T = 1, disene un controlador RST y su

modelo de referenciaGm(z) = Bm(z)Am(z)

de forma que obtenga dinámicas deregulacion y seguimiento iguales conρ = 0,8 y wn = 0,5; se requiere errorde posicion nulo.



Gc1(s) Gc2(s)

Gc3(s)

10.2s+1

1s+1

1s

+

-

+

D(s) = 1s

+

+

+

E(s) C(s)R(s)

Figura 4.26:Sistema de control


Kuo Benjamin, Sistemas de control autom´atico, Prentice Hall, 1997. Cap´ıtu-lo 10: Diseno de sistemas de control.

Astrom Karl and Wittenmark Bjorn. Computer Controlled systems: theo-ry and design, Prentice Hall information and system sciences series, 1997.Capıtulo 4: Pole place Design: a state space aproach.

Referencias






LANDAU IOAN, Identification et commande des systemes. Hermes, 2daedition. 1993.


Capıtulo 5

Diseno en el Espacio de Estado deSistemas de Control Digitales

Introducci on

Un sistema de control moderno puede tener muchas entradas y muchas salidasinterrelacionadas. Los métodos en el espacio de estado para el análisis y s´ıntesisde sistemas de control son más adecuados para tratar con sistemas con variasentradas y varias salidas. El diseño bajo la representación de espacio de estado, sedesarrolla en dos pasos independientes:

Se diseña la ley de control asumiendoque todos los estados son disponiblespara propositos de realimentación; en la practica, no es usual encontrar quetodos los estados sean medibles.

Disenar un observadorde los estados; este calcula el vector de estados apartir de las salidas y las entradas del proceso.

Al final la estrategia de control será la ley de control y el observador combina-dos, donde la ley de control se calcula a partir de los estados observados en lugarde los estados reales; se verá que la dinamica en lazo cerrado no se modifica pordisenar separadamente la ley de control y el observador. (Principio de separación).En esta unidad se presentarán los conceptos fundamentales de la controlabilidady observabilidad para el control por variables de estado y el diseño de leyes decontrol y observadores de estado bajo este enfoque.

175

5.1. DISENO DE LA LEY DE CONTROL

ObjetivosAnalizar las propiedades de estabilidad, controlabilidad y observabilidad deun sistema dinámico.Objetivo de evaluacion

Analizar las diferentes representaciones de un sistema dinámico, obtenidasmediante transformaciones lineales.Objetivo desıntesis

Disenar y evaluar la ley de control y el observador de estado apropiadopara un sistema descrito en el espacio de estado.Objetivos de sıntesis yevaluacion

Contenidos

5.1. Diseno de la Ley de Control

Una ley de control simple, consiste en realimentar la combinación lineal deestados; para sistemas de una entrada, una salida:

u(k) = −k1x1(k) − k2x2(k) − ...− knxn(k)

u(k) = −[k1k2...kn]

x1

x2

.

.

.

= −Kx(k)

K: Matriz de ganancias de realimentación de estados.

La figura5.1muestra el diagrama de bloques de este arreglo. Para sistemas mono-variables, la matrizK que permite obtener determinados modos de lazo cerradoes unica; para los sistemas de múltiples entradas y múltiples salidas,K es unamatriz de [Numero de entradas× Numero de estados] y no es unica para obtenerciertos modos de red cerrada; en este caso, se puede optimizar el diseño para dar



u(k)+

+

x(k + 1)

Z−1I

G

−K

x(k)

Cy(k)

H

Figura 5.1:Realimentación de estado.

cierta ’forma‘ a la respuesta.

Reemplazandou(k) en la ecuación de estado:

X(k + 1) = GX(k) + HU(k)

X(k + 1) = GX(k) − HKX(k)

X(k + 1) = [G −HK] + X(k)

Dinamica de lazo abierto: Valores propios deGDinamica de lazo cerrado: Valores propios deG − HK

Por tanto, los polos de lazo cerrado se pueden definir escogiendo apropiadamentela matrizK.Considerando la ecuación caracterıstica deseada:

αd (z) = (z − α1)(z − α2).... = 0 (5.1)

Se tendrán los polos deseados en:α1, α2, ...; la ecuacion caracterıstica del sistemaen red cerrada es:

det [zI − G + HK] = 0

K se escoge igualando los coeficientes de ambas ecuaciones.



Ejemplo

Para el sistema:

ROC

K

u(t) 1s

x2

Tu(k)

T = 0.1s

x1 y(t)1s

CalcularK para obtener una ecuaci´on caracterıstica con una din´amica equiv-alente a la de un sistema continuo conρ = 0,5 y unwn = 3,6.

En el planoZ los polos deben estar en:

r = e−ρwnT = 0,835

θ = wdT = 17,9o

La ecuacion caracterıstica sera:

(z − 0,837ej7,19)(z − 0,837e−j7,19) = z2 − 1,6z + 0,7 = 0

La planta continua es:

[x1

x2

]=

[0 10 0

] [x1

x2

]+

[01

]u ; Y =

[1 0

] [ x1

x2

]

Discretizando:

G(T ) = eA T = £−1[(sI − A)−1]t = T =

[1 T0 1

]

H(T ) = [

∫ T

0

eA T dt] B =

T 2

2

T



det[zI−G+HK] = det

[z

[1 00 1

]−[

1 T0 1

]+

T 2

2

T

[

k1 k2

]]

= 0

z2 + [Tk2 +T 2

2k1 − 2]z +

T 2

2k1 − Tk2 + 1 = 0

Igualando coeficientes:

T k2 +T 2

2k1 − 2 = − 1,6

T 2

2k1 − T k2 + 1 = 0,7

ConT = 0,1, se obtiene:k1 = 10, k2 = 3,5.

Para sistemas de alto orden los cálculos deben realizarse con un programa demanipulacion algebraica, o bien, aplicar técnicas analıticas tales como pasar a laforma canonica controlable (FCC) o con la formula de Ackerman.

5.1.1. Diseno deK a partir de la Forma Canonica Controlable

El calculo deK se simplifica si el sistema se encuentra en la Forma CanónicaControlable; si la ecuación caracterıstica es:

|zI −G| = zn + a1 zn−1 + ... + an−1 z + an = 0

La Forma Canónica Controlable de este sistema será:

G =

0 1 0 . . . . 00 0 1 0 . . . 0...

−an − an−1 . . . . . −a1

, H =

00...1



Con:K =[

k1 k2 . . . kn

], el sistema realimentado tiene la matriz

sistema:

G−HK =

0 1 0 . . . . 00 0 1 0 . . . 0...

− an − k1 −an−1 − k2 . . . . . . − a1 − kn

La ecuacion caracterıstica en red cerrada es:

zn + (a1 +kn) zn−1 + (a2 +kn−1) zn−2 + . . . +(an−1 +k2) z + an + k1 = 0

La ecuacion caracterıstica deseada:

zn + α1zn−1 + . . . + αn−1z + αn = 0

Igualando coeficientes:

a1 + kn = α1 → kn = α1 − a1

a2 + kn−1 = α2 → kn−1 = α2 − a2

.

.

.

an + k1 = αn → k1 = αn − an

Si el sistema nose encuentra en la Forma Can´onica Controlable, se puede utilizaruna transformaci´on lineal:

X(k) = T X (K)



En dondeT es una matriz n x n no singular yX el nuevo estado; as´ı, el sistema:

X(k + 1) = GX(k) + HU(k)

Y (k) = CX(k) + DU(k)

Pasa a ser:T X (k + 1) = G T X(k) + H U (k)

X (k + 1) = T−1 G T X (k) + T−1 H U(k)

Y (k) = C T X(k) + D U(k)

El sistema transformado tiene las matrices:

G = T−1GT , H = T−1H ; C = CT ; D = D

Una transformación de este tipo se denomina desimilitud ya que el sistema trans-formado tiene las mismas propiedades dinámicas del sistema original, tales comola misma ecuación caracterıstica, funcion de transferencia y vectores propios; enefecto, la ecuación caracterıstica del sistema transformado es:

|zI −G| = |zI − T−1GT | = |z T−1T − T−1GT |

|T−1(zT − GT )| = |T−1(zI − G)T | = |T−1||zI − G||T |

|T−1||T |︸︷︷︸1

|zI − G| = |zI − G|

Luego la ecuación es la misma y por ende los valores y vectores propios.La matriz de funciones de transferencia del sistema transformado es:

G(z) = C(zI − G)−1 H + D

= CT (zI − T−1GT )−1.T−1 H + D

= C(zI − G)H + D = G(z)

Para obtenerG,H en la Forma Canónica Controlable, la transformadaT debe ser:

T = MW



Con:M = [H : GH : . . . : Gn−1 : H] de rango n, y:

W =

an−1 an−2 . . . a1 1an−2 an−3 . . . 1 0

.

.

.a1 1 . . . 0 01 0 . . . 0 0

Losai son los coeficientes de la ecuaci´on caracterıstica:

zn + a1zn−1 + ... + an = 0

Se puede mostrar que:

T−1GT =

0 1 0 . . . 0...

−an −an−1 . . . . −a1

, T−1H =

00...1

CT = [bn − anb0 : bn−1 − an−1b0 : . . . : b1 − a1b0 ]

bi: coeficientes del polinomio del numerador deG(z).

Ejemplo

Para el ejemplo anterior, calculark1 y k2 via la Forma Can´onica Controlable,con per´ıodo de muestreoT = 0,1.Se obtuvo:

G =

[1 0,10 1

]H =

[5 × 10−3

0,1

]

M = [H : GH] =

[5 × 10−3 1,5 × 10−2

0,1 0,1

];



El rango deM es 2, y define el numero de columnas o filas linealmente indepen-dientes.

|zI−G| =

[z − 1 −0,1

0 z − 1

]= (z−1)2 = z2 − 2z +1 ; a1 = −2 , a2 = 1

W =

[a1 11 1

]=

[−2 01 0

]

T = MW =

[5 × 10−3 5 × 10−2

−0,1 0,1

]; T−1 =

[100 −5100 5

]

[x1(k + 1)x2(k + 1)

]=

[0 1−1 2

] [x1 (k)x2 (k)

]+

[01

]U(k)

Donde:X(k + 1) = T−1 G T X−1 (k) + T−1 u (k)

Siu(k) = −K X (k), con la ecuaci´on caracterıstica deseada:z2 − 1,6 z + 0,7 = 0

α1 = − 1,6 , α2 = 0,7

−→ k1 = α2 − a2 = 0,7 − 1 = − 0,3

k2 = α1 − a1 = − 1,6 + 2 = 0,4

En las coordenadas originales:

u(K) = − K T−1X (k)

−→ K = K T−1

K =[−0,3 0,4

] [100 −5100 5

]=

[10︸︷︷︸k1

3,5︸︷︷︸k2

]

Con este procedimiento, lamatriz de realimentaci´on K puede calcularse directa-mente de:

K = [αn − an : αn − 1 − an − 1 : ...α1 − a]T−1



Notese que el procedimiento es aplicable si T tiene inversaT−1; esto no sucedeen sistemas donde el control no puede ubicar arbitrariamente todos los estados;la nocion que describe cuando un sistema puede controlarse completamente es laControlabilidad Completa de Estado.

Controlabilidad Completa de Estado

Considerando un sistema de una entrada y una salida:

X((k + 1)T ) = GX(kT ) + Hu(kT ),

X ∈ <n, u ∈ <, u(kT ) constante entre muestreos, esto es, para:kT ≤ t <(k + 1)T , el sistema es deestado controlable, si existe una señal de control, con-stante por seccionesu(kT ) en un intervalo finito de muestreos0 ≤ kT ≤ nT , talque, partiendo de cualquier estado inicial, el estadoX(kT ) puede transferirse a unestado deseadoXd en maximon perıodos de muestreo (siu(kT ) no es limitado).

Esta definicion permite obtener una prueba matemática de la controlabilidadde un sistema; la solución de la ecuación de estado en el muestreo n es:

X(nT ) = GnX(0) +

n−1∑

j=0

Gn−j−1 H u(jT )

X(nT ) = GnX(0) + Gn−1Hu(0) + Gn−2Hu(T ) + ... + Hu((n − 1)T )

Luego:

X(nT )−GnX(0) = [

vector columna n×1︷︸︸︷H : GH : . . . : Gn−1H]︸︷︷︸Mn×n: Matriz de Controlabilidad

u((n − 1)T )u((n − 2)T )

.

.

.u(0)

Para que exista solución (unica para sistemas monovariables) para la secuenciade control que lleva del estado inicialX(0) al X(nT ), la matriz de controlabi-lidad debe ser invertible, o sea de rangon; esto es, los vectoresH, GH... debenser linealmente independientes. Para un sistema multivariable la condición es queM(n × nr) sea de rangon, en este caso existen infinitas secuencias del vector de



control que pueden llevar desde el estado inicial al final en máximon muestreos.

Ejemplo

El sistema:[

x1 (k + 1)x2 (k + 1)

]=

[0 1

−0,16 −1

] [x1 (k)x2 (k)

]+

[1

−0,8

]u(k)

y(k) =[

1 0] [

x1 (k)x2 (k)

]

Tiene una matriz de controlabilidad:

M = [H : GH] =

[1 −0,8

−0,8 0,64

]; det[M ] = 0

M es de rango 1−→ el sistema no es de estado completamente controlable.

Ejemplo

El sistema:[

x1 (k + 1)x2 (k + 1)

]=

[0,1 00 0,2

] [x1 (k)x2 (k)

]+

[10

]u(k)

Al ser diagonal, los estados estan desacoplados, para ser de estado completamentecontrolable, ningún elemento (fila para sistemas multivariables) deH debe sernulo; en este caso el modoλ = 0,2 no es controlable; como es estable, el sistemaes Estabilizable.

Controlabilidad en el Plano Z

La condicion de controlabilidad de estado completo se establece en el planoZ en terminos de que no ocurran cancelaciones polo-cero en la función de trans-ferencia discreta (sistemas monovariables) o en la matriz de funciones de trans-ferencia (sistemas multivariables); si ocurren cancelaciones, el sistema será o nocontrolable, o no observable (ver más adelante) o ambos, dependiendo de cómose definan las variables de estado.



Ejemplo

El sistema con

G =

[0 1

−0,16 −1

], H =

[1

−0,8

], C =

[1 0

]

Tiene:y(z)

u(z)= C (zI − G)−1 H =

z + 0,2

(z + 0,8)(z + 0,2)

La cancelación del polo(z + 0,2) con el cero no permite controlar el modo enz = −0,2 y el sistema no es de estado completamente controlable, como se verif-ico al evaluar

|M | =

∣∣∣∣1 −0,8

−0,8 0,64

∣∣∣∣ = 0

Controlabilidad Completa de Salida

En el diseno de sistemas de control, se puede desear controlar la salida enlugar del estado del sistema; la controlabilidad del estado no garantiza la contro-labilidad de la salida.

El sistema:X((k + 1)T ) = GX(kT ) + HU(kT )

Y (kT ) = CX(kT ) + DU(kT )

Con n estados,r entradas ym salidas, se dice que es de salida completamentecontrolable (SCC), si es posible construir un vector de controlU(kT ) no acota-do, sobre un numero finito de periodos de muestreos0 ≤ kT ≤ nT tal queempezando desde la salida inicialY (0), la salidaY (kT ) se puede llevar a unpunto arbitrario deseadoYd, en maximon muestreos. De forma análoga a la con-trolabilidad completa del estado, se puede mostrar que un sistema es de SalidaCompletamente Controlable si y sólo si la matriz:

[ D : C H : C G H : ... : C Gn−1 H ]m×(n+1)r

es de rangom; note queD y C aportan a la controlabilidad de salida.



5.1.2. Diseno deK Mediante la Formula de Ackermann

Ackermann usó el teorema de Carley - Hamilton (Una matriz G satisface supropia ecuación caracterıstica) para sistemas monovariables, lo que lleva a unaformula directa para calcularK:

K = [0 0 0 . . . 1] [M ]−1 αd(G)

Dondeαd(G) es αd(z) el polinomio caraterıstico deseado reemplazandoz porG. (Ver Ogata[1998] para la demostración).

Ejemplo

Para el sistema doble integrador, calcularK vıa la formula de Ackermann.

G =

[1 0,10 1

], H =

[5 × 10−3

0,1

]

Ecuacion caracterıstica deseada:z2 − 1,6 z + 0,7 = 0; se calculo

M =

[5 × 10−3 1,5 × 10−2

0,1 0,1

]

−→ M−1 =

[−100 15100 −5

]

αd (G) =

[1 0,10 1

]2

+ 1,6

[1 0,10 1

]+ 0,7

[1 00 1

]

αd (G) =

[0,1 0,040 0,1

]

−→ K =[

0 1] [

−100 15100 −5

] [0,1 0,040 0,1

]

K = [10 3,5]

El mismo K obtenido con anterioridad.


5.2. DISENO DEL OBSERVADOR

5.2. Diseno del Observador

Como no todos los estados son medibles, se requiere de algoritmos que losreconstruyan a partir de las medidas del sistema y del control aplicado; con elestado calculadox(k) se aplica la ley de controlu (k) = − K x(k), como seilustra en la figura.

u(k)+

+

x(k + 1)

Z−1I

G

Observador

x(k)

Cy(k)

H

de estados

−Kx(k)

Figura 5.2:Observador de Estado.

5.2.1. Observador de Prediccion

Una forma de estimar los estados es construir un modelo de la planta:

X(k + 1) = G X(k) + HU(k)

X es la estimación del estadoX(k); comoG, H y U(k) son conocidos, el esti-mador funciona si se puede obtener el correctoX(0) ajustado aX(0); la figura5.2.1ilustra el diagrama de bloques del estimador.Se desea que el error de observación:e(k) = X(k)−X(k) tienda asintóticamentea cero; la dinamica del error de observación la calculamos evaluandoe(k + 1) enfuncion dee(k):

e(k + 1) = X(k + 1) − X(k + 1) = GX(k) + HU(k) − GX(k) − HU(K)

e(k + 1) = G e(k)

Se observa que la dinámica del error es igual a la de la planta sin control; si laplanta es estable, la dinámica del error será estable yX −→ X pero a una ve-locidad de convergencia inadecuada pues normalmente el control busca mejorarla velocidad de la plantaG; si G inestable el error no converge a cero.



u(k)

x(0)

x(0)

x(k) y(k)

x(k) y(k)Planta G,H

Modelo G,H

EstimadorObservador deLazo Abierto

C

C

Figura 5.3:Estimador de Estados.

Se puede usar la salidaY (k) disponible, para mejorar el comportamiento dinámi-co del error, tomando la diferencia(Y (k)− Y (k)), conY (k) = CX(k) y usandoesta diferencia para disminuir el errore(k):

X(k + 1) = GX(k) + HU(k)︸︷︷︸planta

+ Ko[Y (k) − CX(k)]︸︷︷︸error de estimacion

Ko: Matriz de peso para ajustar la dinámica del observador.

u(k)x(k)

y(k)

K0

x(k)y(k)

+

−

C

C

Planta G,H

Modelo G,H

Observador de prediccion estima x(k + 1) a partir del valor presente Y (k)

Figura 5.4:Observador de Predicción.



Reordenando:

X(k+1) = [ G Ko C ]︸︷︷︸sus valores propios son los polos del observador

X(k) + HU(k) + Ko Y (k)︸︷︷︸entradas al observador

La dinamica del errore(k) = X(k) − X(k) es ahora:

e (k + 1) = (G − Ko C) e (k)

Los polos de(G − KoC) definen la dinamica del error; se deben escoger lo sufi-cientemente rapidos para no afectar la respuesta del sistema en lazo cerrado; porlo menos 4 veces mas rapido que los modos dominantes de lazo cerrado.

5.2.2. Observabilidad del Estado

La matrizKo se calcula de la misma forma que se calcula la matriz de reali-mentacion K; nos preguntamos si siempre existirá una matrizKo que nos ajustelos modos desedados para el observador? la respuesta a esta pregunta es la nocióndeobservabilidad; un sistema no es observable si tiene modos que no aparecenen sus salidas; por ejemplo, si en un sistema de control de posición solo se midela velocidad, no es posible calcular la posición inicial.

Para el análisis consideremos el sistema:

X(kT + T ) = GX(kT )

Y (kT ) = CX(kT )

conn estados ym salidas; diremos que el sistema escompletamente observable,si conocida la salidaY (kT ) en un numero finito de muestreos, es posible calcularel vector de estado inicialX(0); solo consideramos el sistema no-forzado pues:

Y (kT ) = CGkX(0) +

k−1∑

j=0

CGk−j−1HU(jT ) + DU(kT ),

y comoG,H,C,D y U(kT ) son conocidos, los términos de la sumatoria depen-dientes de la entrada son términos conocidos y pueden restarse aY (kT ).

Para el sistema considerado:

Y ( KT ) = C Gk X(0)



Conocidos los vectores de salida en los per´ıodos de muestreo:Y (0), Y (T ),Y (2T ),. . . , se debe poder calcular el vector de estado inicial:x1(0), x2(0), . . ., xn(0);como sonn incognitas, bastar´an solon datos deY (kT ), ası:

Y (0) = C X (0),Y (T ) = C G X (0),

.

.

.Y ((n − 1)T ) = C Gn−1 X (0)

nm ecuaciones que

incluyen a

x1(0), x2(0), . . . , xn(0)

entre lasnm ecuaciones, se debe poder escogern ecuaciones linealmente inde-pendientes, esto exige que la matriz de observabilidadNnm×m:

N =

CC G

.

.

.C Gn−1

debe ser de rangon; como el rango de una matriz es igual al de su transpuestaconjugada, la observabilidad se puede evaluar de:

Rango{C∗ : G∗C∗ : . . . (G∗)n−1C∗} = n

Si G y C son reales:C∗ = CT , G∗ = GT .

De manera dual al caso de controlabilidad para un sistema desacoplado, la ob-servabilidad se garantiza, si no hay ninguna columna deC nula, pues de serlo, elestado correspondiente no aparece en la salida y no puede determinarse su valorinicial a partir deY (kT ); igualmente, en el plano Z si no existen cancelacionespolo-cero en la matriz de transferencia del sistema, se garantiza la observabilidad.

Ejemplo

Consideremos el sistema doble integrador, con salida de velocidad:

t ω θ1s

1s



G =

[1 0,10 1

], H =

[5 × 10−3

0,1

], C =

[0 1

]

NT = [CT : GT CT ] =

[0 |1 |

[1 0

0,1 1

] [01

] ]=

[0 01 1

]

det[NT ] = 0, rango=1 el sistema no es observable.

Ejemplo

El sistema:

G =

0,1 0 0 00 0,2 0 00 0 0,3 00 0 0 0,4

, H =

1100

, C =

[1 0 1 0

], D = 0

Por serG diagonal, se pueden evaluar las condiciones de observabilidad y contro-labilidad de los estados por inspecci´on:x1 : C y O;x2 : C y NO;x3 : NC y O;x4 :NC y NO. Usando una descomposici´on de la funcion de transferencia discreta enfracciones parciales, se obtiene el diagrama:

u(k) x1(k + 1)

x2(k + 1)

x1(k)

x2(k)

x3(k)

x4(k)

y(k)+

+x3(k + 1)

x4(k + 1)

1z−0.1

1z−0.2

1z−0.3

1z−0.4

C,O

C,NO

NC,O

NC,NO



La funcion de transferencia controlable y observable es:

Y (z)

U(z)=

1

z − 0,1

La funcion de transferencia discreta del sistema es:

Y (z)

U(z)= C(zI − G)−1H =

(z − 0,2)(z − 0,3)(z − 0,4)

(z − 0,1)(z − 0,2)(z − 0,3)(z − 0,4)

Tiene 3 cancelaciones polo-cero.

Por lo tanto, si el sistema se modela con una función de transferencia de”ordenmınimo”sin cancelación polo-cero, se asegura que el sistema es controlable y ob-servable independientemente de cómo se obtenga el modelo en variables de esta-do; en el caso de existir cancelación polo-cero, las propiedades de controlabilidady observabilidad dependerán de la elección de las variables de estado.

Ejemplo

Sea:Y (z)U(z)

= z+2(z+1)(z+2)

; por descomposición directa, se obtiene la Forma CanónicaControlable:

G =

[0 1−2 −3

], H =

[01

], C =

[1 1

]

Como se pudo llegar a la Forma Canónica Controlable, tenemos garant´ıa de queel par[G , H] es controlable.

La matriz de observabilidad es:N =

[C

CG

]=

[1 1−2 −2

]como es

singular, el par[G,C] no es observable.

Si los estados se toman para obtener la Forma Canónica Observable:

G =

[0 −21 −3

], H =

[11

], C

[0 1

],

El sistema es observable, pero la matriz de controlabilidad:

M = [H GH] =

[1 −21 −2

], es singular y el sistema no es controlable.



5.2.3. Controlabilidad y Observabilidad para Sistemas Con-tinuos

Las nociones de controlabilidad y observabilidad para los sistemas de tiempocontinuo son equivalentes a las vistas para los sistemas discretos; as´ı, diremos queel sistema de tiempo continuo:

X(t) = A X(t) + B U(t)

Y (t) = C X(t) + D U(t)

Es deestado completamente controlable, si y solo si la matriz:[B : AB : . . . : An−1B](n×nr) es de rangon.

Escompletamente controlable de salida, si y solo si la matriz:[D : CB : CAB : CA2B : . . . : CAn−1B](m×(n+1)r) es de rangom.

Escompletamente observable, si y solo si la matriz:[C∗ : A∗C∗ : . . . : (A∗)n−1 C∗](nm×m) es de rangon.

5.2.4. Efecto de la discretizacionsobre la Observabilidad y Con-trolabilidad

Un sistema continuo con polos complejos puede tener cancelaciones polo-ceroal discretizarlo; un sistema continuo observable y controlable ser´a observable ycontrolable al discretizarse, si y solo si, para un par de polos conjugados comple-jos, su parte imaginariawd es diferente de:nπ

T, n = ±1, ± 2, ...

Ejemplo

El sistema de tiempo continuo:[

x1

x2

]=

[0 1−1 0

] [x1

x2

]+

[01

]u , y =

[1 0

] [ x1

x2

]

[B : AB] =

[0 11 0

]: rango = 2 −→ Controlable



[CT : AT BT ] =

[1 00 1

]: rango = 2 −→ Observable

El sistema tiene valores propiosλ1−2 = ± j; al discretizarlo, se obtiene:[

x1[(k + 1)T ]x2[(k + 1)T ]

]=

[cos(T ) sen(T )−sen(T ) cos(T )

] [x1(kT )x2(kT )

]+

[1 − cos(T )

sen(T )

]u(kT )

y(kT ) = [1 0] =

[x1(kT )x2(kT )

]

M = [H : GH] =

[1 − cos(T ) cos(T ) + 1 − 2cos2(T )

sen(T ) −sen(T ) + 2cos(T )sen(T )

]

El rango deM es 2 si y solo si,T 6= nπ, n = ± 1, ± 2, . . .


[1 cos(T )0 sen(T )

]

N tiene rango 2 si y solo siT 6= nπ.

Se debe escoger el per´ıodo de muestreo, suficientemente pequeño con relacióna la dinamica mas rapida de la planta, y diferente anπ

wd.

5.2.5. Calculo de la Matriz de Realimentacion del ObservadorKo

Ilustraremos este cálculo con un ejemplo.

Ejemplo

Para el sistema doble integrador, diseñar un observador de forma que el vectorde error tenga una respuesta sin oscilación ”deadbeat”.

G =

[1 0,10 1

]H =

[5 × 10−3

0,1

]C =

[1 0

]



Veamos si es completamente observable:


[1 10 0,1

]

det (NT ) = 0,1 6= 0 −→ rango = 2, es observable.

La ecuacion caracterıstica del sistema es:det (zI − G) = z2 − 2z + 1 = 0.

Para una respuesta sin oscilación, se debe alcanzar el valor final en el menornumero de per´ıodos de muestreo; como el sistema es de segundo orden, en 2muestreos.

La ecuacion caracterıstica deseada para el observador será:z2 = 0

Ko =

[k1

k2

]; G −KoC =

[1 0,10 1

]−[

k1

k2

] [1 0

]

G − KoC =

[1 − k1 0,1− k2 1

]

det [zI − (G − KoC)] = det

[z − 1 + k1 − 0,1

k2 z − 1

]

Este determinante nos da la ecuación caracterıstica del observador:

(z − 1 + k1)(z − 1) + 0,1k2 = 0

z2 + (k1 − 2)z + 1 − k1 + 0,1k2 = 0

Igualando coeficientes con la ecuación caracterıstica deseada:z2 = 0, se obtiene:

k1 = 2, k2 = 10



Diseno deKo a partir de la Forma Canonica Observable

La matriz de realimentación del observadorKo se puede obtener llevando elsistema a la forma canónica observable, mediante la transformación:X(k) = QX(k), dondeQ = (WN)−1 y W es igual al caso de la Forma CanónicaControlable.

Para el sistema:X(k + 1) = GX(k) + HU(k)

Y (k) = CX(k),

con|zI − G| = zn + a1zn−1 + ... + an = 0, se obtiene:

X(k + 1) = Q−1GQX(k) + Q−1HU(k)

Y (k) = CQX(k)

G = Q−1GQ =

0 0 0 . . . −an

1 0 0 . . . −an−1

0 1 0 . . . −an−2

.

.

.0 0 0 . . 1 −a1

C = CQ = [0 0 . . . 1]

Para el Ejemplo:

NT =

[1 10 0,1

], W =

[a1 11 0

]=

[− 2 11 0

]

Q = ( WN )−1 =

[[−2 11 0

] [1 01 0,1

] ]−1

=

[0 110 10

]

G =

[0 −11 2

]C =

[0 1

]

G − K0 C =

[0 −11 2

]−

[k1

k2

] [0 1

]=

[0 −1 − k1

1 2 − k2

]



det (z I − G + K0 C) = z2 + (−2 + k2) z + 1 + k1 = z2

−→ k1 = − 1 k2 = 2

Ko = Q Ko =

[0 110 10

] [−12

]=

[210

]

k1 = 2 ; k2 = 10

El procedimiento anterior se reduce a:

Ko = Q

αn − an

αn−1 − an−1

.

.

.α1 − a1

Donde losαi son los coeficientes deseados de la ecuación caracterıstica y losai

son los coeficientes de la ecuación caracterıstica.

Diseno deKo a partir de la F ormula de Ackermann

Para el calculo de la matriz de reralimentación del observador, también pode-mos usar la formula de Ackermann para observadores:

Ko = αo(G)N−1

00...1

αo(G) : Polinomio caracterıstico del observador, conz = G.



Para el Ejemplo:

Ko = αo (G)

C. . .CG

−1 [

01

]

αo(G) = G2 =

[1 0,20 1

]

Ko =

[1 0,20 1

] [1 00 0,1

]−1 [01

]=

[210

]

Matriz Ko igual a la obtenida en los ejemplos anteriores.

5.2.6. Observador Corriente

La ley de controlU(k) = − K X(k) , usando el observador de predicción:

X(K) =

prediccion︷︸︸︷G X(k − 1) + HU(k − 1) +Ko

correccion de la estimacion︷︸︸︷[Y (k − 1) − CX(k − 1)],

no utiliza la medida de la salida en el instantek, Y (k) ası el controlU(k) no de-pende del error de estimación (Y (k)− Y (k)), lo que genera error de observaciónparticularmente importante en sistemas rapidos con tiempos de cálculo elevados.Esto se puede evitar separando la predicción de estado de la corrección de la esti-macion, usando para la corrección de la estimación la medidaY (k), ası se obtieneel Observador Corriente:

V (k) = GX(k − 1) + HU(k − 1)

{aproximacion de X(k)

a partir de X y U en (k − 1)

X(k) = V (k) + Ko [Y (k) − CV (k)︸︷︷︸]

Correccion de la estimacion V (k) con la medicion de Y (k)

En la practica, el observador no se puede implementar exactamente por los re-tardos de tiempo de cálculo, pero el error de observación es menor que con el



observador de prediccón. Se puede mostrar que la ecuación del error del obser-vador es:

e(k) = X(k) − X(k)

e(k + 1) = [G − Ko C G] e (k)

Por tanto,Ko se obtiene de la misma forma que con el observador de predicción,reemplazandoC por CG; de esta forma, la condición de observabilidad es queNG sea de rangon.

Ko a partir de de la formula de Ackermann es:

Ko = αo(G)(NG)−1

00...1

5.2.7. Observador de Orden Reducido

Los observadores anteriores reconstruyen todo el vector de estados, pero puedenexistir estados que se miden directamente y no se requiera estimarlos, o bien, engeneral si haym salidas, ellas son combinación lineal de los estados y por tan-to, no es necesario estimarm de los estados, sino sólo n − m estados, usandoun observador de orden reducido; sin embargo, con ruido fuerte en la medida,el observador de orden completo se desempeña mejor que el reducido, debido aque equivale a una compensación de mas alto orden, lo que genera mayor aten-uacion en las altas frecuencias del ruido; por otro lado la implementación delobservador reducido exige particionar el vector de estados entre los medidos y losno-medidos, lo que la hace más compleja; por todo lo anterior, los observadores deorden reducido no son muy usados en la practica; para los detalles de su diseño,ver[Ogata[1998]].

Ejemplo

Observadores predictor y corriente para el doble integrador.



Observador Predictor:La ecuacion caracterıstica del sistema en lazo cerrado fue:z2 − 1,6z + 0,7 = 0 con polos enz = 0,8 ± j0,25; ello correspond´ıa aunos polos equivalentes en el planoS con ρ = 0,5 y wn = 3,6.

Se pueden ubicar los polos del observador conρ cercano a 0.5 y conwn mu-cho mayor, para que la dinámica del observador sea mucho más rapida quela del sistema en lazo cerrado; con frecuencia natural para el observador de3,6× 3 se obtienen los polos deseados para el observador enz = 0,4± j0,4y la ecuacion caracterıstica del observador es:z2 − 0,8z + 0,32 = 0. Por lotanto:

det[zI−G+KoC] = det

[ [z 00 z

]−[

1 0,10 1

]+

[k1

k2

] [1 0

]]

z2 + (k1 − 2) z + 1 − k1 + 0,1 k2 = z2 − 0,8 z + 0,32 = 0

k1 − 2 = − 0,8 −→ k1 = 1,2

1 − k1 + 0,1 k2 = 0,32 −→ k2 = 5,2

Las ecuaciones del estimador son:

x1 (k + 1) = x1(k) + 0,1 x2(k) + 0,005u(k) + 1,2[y(k) − x1(k)]

x2 (k + 1) = x2(k) + 0,1u(k) + 5,2 [y(k) − x1(k)]

La figura siguente muestra los errores de estimación para el observador cor-riente y el de predicción, dondex1p , x2p son los estados del observadorpredictor yx1c , x2c son los estados del observador corriente.

La velocidad del transitorio se puede aumentar, con mayores ganancias enKo (conk2 = 10, la duración del transitorio baja a dos muestreos) perox1

y x2 seran mas sensibles al ruido de medida; este transitorio inicial de errorde estimación no es muy importante, comparado con el funcionamiento enlargos per´ıodos de tiempo de un sistema de regulación en presencia de rui-do de medida; si los disturbios en la planta son pequeños, polos lentos delobservador dan errores pequeños de estimación ante el ruido en la medición.



Error inicial en X2(velocidad)

Error inicial en X1(posicion)=0

X1P

X2C

X1C

X2P

} 1

-1

0.5 1

0

Figura 5.5:Respuesta de los Observadores Predictor y Corriente.

Observador Corriente:

Ubicando los polos tambi´en enz = 0,4 ± j0,4.

det[zI−G+KoCG)] = det

[ [z 00 z

]−[

1 0,10 1

]+

[k1

k2

] [1 0

] [ 1 0,10 1

] ]

z2 + (k1 + 0,1k2 − 2)z + 1 − k1 = z2 − 0,8z + 0,32

−→ k1 = 0,68 ; k2 = 5,2

Para implementar las ecuaciones del observador:

V (k) =

[1 0,10 1

]X (k − 1) +

[0,0050,1

]u(k − 1)

X(k) = V (k) +

[0,685,2

][Y (k) − [1 0] V (k)]

de forma que se reduzca el tiempo de c´alculo al maximo, se calcula antesdel muestreo:

v1 (k) = x1 (k − 1) + 0,1 x2 (k − 1) + 0,005 u(k − 1)v2 (k) = x2 (k − 1) + 0,1 u(k − 1)x

′

1 = (1 − 0,68) v1(k)



x′2 = ( − 5,2) v1 (k) + v2 (k)

En las dos ultimas ecuaciones se ha calculado el término:

X ′(k) = V (k) −[

k1

k2

][1 0]V (k) de la ecuación de corrección de esti-

macion del observador.

Despues de muestrear el valor dey(k), se calcula:

x1(k) = x′

1 + 0,68 y(k); x2(k) = x′

2 + 5,2 y(k) (5.2)

Luego se calcularıa el controlu(k). Como se puede observar en la figura5.5, la respuesta del observador corriente es un muestreo más rapida que ladel predictor.

Si el tiempo de cálculo de ( ecuación 5.2) es elevado hay un retardo noconsiderado en el diseño, el cual puede incrementar el amortiguamientocon relacion a los polos diseñados; en tal caso, se deben reubicar los polosdeseados del observador o bien incluir el retardo de tiempo de cálculo en elmodelo del sistema.

5.2.8. Efecto del Observador en el Lazo Cerrado

Veamos el efecto de tomar el estado estimadoX(k) en lugar deX(k) en la leyde control, sobre el desempeño de todo el sistema en red cerrada.

Si el sistema:X (k + 1) = G X(k) + H U(k); Y (k) = C X(k)

Se realimenta mediante:U(k) = − Kc X (k)

−→ X (k + 1) = G X(k) − H Kc X (k)

= (G −H Kc ) X (k) + H Kc [ X (k) − X (k) ]

Para el observador predictor se obtuvo:e (k + 1) = (G − KoC) e (k),dondee (k) = X (k) − X (k).

La combinacion de estas dos ecuaciones acopladas da la dinámica completa de


5.3. DISENO DE SERVOSISTEMAS

la planta + ley de control + observador:

[X(k + 1)e(k + 1)

]=

[G − H Kc H Kc

0 G − Ko C

] [X(k)e(k)

]

La ecuacion caracterıstica es:

det

zI − (G −HKc) HKc

0 zI − [G − KoC]

= det[[zI − (G −HKc)][zI − (G − KoC)]

]

La ecuacion caracterıstica es:

αc(z) αo(z) = 0

Esto se conoce como elPrincipio de Separación: la dinamica total es la suma de ladinamica del control con la dinámica del observador y es lo que permite el diseñoindependiente de la observación y el control.

5.3. Diseno de Servosistemas

En los apartados anteriores se resolvió el problema del observador donde nohay entradas de comandos; en los servosistemas el objetivo es seguir lo mejorposible una entrada variante; en estos casos (también aplica al regulador), paraeliminar el error permanente, se introduce un integrador después de la diferenciaentre el comandor(k) y la saliday(k):

K1

z−1I

H Z−1I C

G

K2

r(k)

V (k − 1)

V (k) U(k) X(k) Y (k)

Se asume que la planta es de estado compleamente controlable y observable;las ecuaciones dinámicas de la planta son:

X(k + 1) = GX(k) + HU(k) (5.3)



Y (k) = CX(k) (5.4)

conn estados,m entradas,m salidas. La ecuación de estado del integrador es:

V (k) = V (k − 1) + r(k) − Y (k)

dondeV : vector de error actuante (ordenm), r: vector de entradas de comando.La ecuacion se puede reescribir:

V (k + 1) = V (k) + r(k + 1) − Y (k + 1)

V (k + 1) = V (k) + V (k + 1) − C[GX(k) + HU(k)]

V (k + 1) = −CGX(k) + V (k) − CHU(k) + r(k + 1)

El vector de controlU(k) es:

U(k) = −K2X(k) + K1V (k)

K1, K2: matrices de parámetros de diseño.

U(k + 1) = −K2X(k + 1) + K1V (k + 1)

U(k+1) = −K2GX(k)−K2HU(k)−K1CGX(k)+K1V (k)−K1CHU(k)+K1r(k+1)

Reemplazando en esta ecuación:K1V (k) = U(k) + K2X(k), se obtiene:

U(k+1) = (K2−K2G−K1CG)X(k)+(Im−K2H−K1CH)U(k)+K1r(k+1)

ComoU(k) es una combinación lineal de los vectores de estadoX(k) y V (k),entonces se puede definir el nuevo vector de estado conX(k) y U(k):

[X(k + 1)U(k + 1)

]=

Ar︷︸︸︷[G H

K2 − K2G − K1CG Im − K2H − K1CH

] [X(k)U(k)

]

+

[0

K1

]r(k + 1)

La ecuacion de salida es:

Y (k)[

C 0] [ X(k)

U(k)

]



En este modelo de estado, se puede aplicar la técnica de ubicación de polos; sir(k) es un escalón r(k) = r entonces:

[X(k + 1)U(k + 1)

]= Ar

[X(k)U(k)

]+

[0

K1r

]

En estado estable, por la acción integral:Y (∞) = r, se obtiene:[

X(∞)U(∞)

]= Ar

[X(∞)U(∞)

]+

[0

K1r

]

Definiendo los vectores de error:Xe(k) = X(k) − X(∞) y Ve(k) = U(k) − U(∞), se obtiene:

[Xe(k + 1)Ue(k + 1)

]= Ar

[Xe(k)Ue(k)

]

que equivale a:[

Xe(k + 1)Ue(k + 1)

]=

[G H0 0

] [Xe(k)Ue(k)

]+

[0Im

]W (k)

Donde:

W (k)[

K2 − K2G − K1CG : Im − K2H − K1CH] [ Xe(k)

Ue(k)

]

Definiendo:

X

[Xe(k)Ue(k)

]

(m+n)

G

[G H0 0

]

(n+m)×m

H

[0Im

]

(n+m)×m

K[

K2 − K2G − K1CG : Im − K2H − K1CH]m×(n+m)

Se obtiene:X(k + 1) = GX(k) + HW (k)



W (k) = −KX(k)

La matriz de controlabilidad es:

M[

H : GH : ... : Gn+m−1H](n+m)×m(n+m)

cuyo rango esn + m, luego el sistema es completamente controlable; se puedeprobar (ver [Ogata[1998]]) que una vez calculadaK, K1 y K2 se obtienen de:

[K2 : K1

]=[

K + [0 : Im]] [ G − In H

CG CH

]−1

Ejemplo

Para la plantaY (z)

U(z)=

z−2 + 0,5z−3

1 − z−1 + 0,01z−2 + 0,12z−3

se desea determinarK1 y K2, bajo la estructura planteada, para obtener una res-puesta deadbeat.

La representaci´on de estado en la forma can´onica controlable es:

x1(k + 1)x2(k + 1)x3(k + 1)

0 1 00 0 1

−0,12 −0,01 1

x1(k)x2(k)x3(k)

+

001

u(k)

y(k) =[

0,5 1 0]

x1(k)x2(k)x3(k)

El sistema en lazo cerrado tiene:

G

[G H0 0

]

0 1 0 : 00 0 1 : 0

−0,12 −0,01 1 : 1.. .. .. : ..0 0 0 : 0

H

000..1



La ecuacion caracterıstica deseada es:z4 = 0. Con la formula de Ackermann setiene:

K[

0 0 0 1] [

H GH G2H G3H]−1

G4

K[

0 0 0 1]

0 0 0 10 0 1 10 1 1 0,991 0 0 0

−1

0 1 0 00 0 1 0

−0,12 −0,01 1 10 0 0 0

4

=[−0,12 −0,13 0,99 1

]

Finalmente:

[K2 K1

] [K + [0 : 1]

] [ G − I3 HCG CH

]−1

[K2 K1

] [−0,12 −0,13 0,99 : 2

]

−1 1 0 : 00 −1 1 : 0

−0,12 −0,01 0 : 1.. .. .. : ..−0 0,5 1 : 0

−1

[K2 : K1

] [−0,12 −0,323 2 : 0,66

]

Por lo tanto:k1 = 0,66

K2 =[−0,12 0,323 2

]


Control por realimentaci´on de estadosPara:

X(k + 1) = GX(k) + HU(k)

Y (k) = CX(k)

U(k) = KcX(k)

1. Con

G =

[1 10 1

]



H =

[12

1

]

C =[

1 0]

CalculeKc para obtener polos de red cerrada enz = 0,1 ± j0,1.

Obtenga las ecuaciones del observador predictor y corriente para polosdeseados enz = 0,6 ± J0,3

2. Con

G =

[1 T0 1

]

H =

[T 2

2

T

]

Calcule la transformaciónT , tal que siX = TX las ecuaciones enX estanen la forma canónica controlable; calculeK para obtener una ecuación car-acterısticaαc(z) = z2−1,6z +0,7. Si se aplica el controlu = KX, calculela K correspondiente conX como estado.

3. Con

G =

[1 10 1

]

H =

[12

1

]

Verifique si el sistema es observable para:

a)C =

[0 1

]

b)C =

[1 0

]

por que hay pérdida de la observabilidad?

4. Para el sistema de la figura, calculek1 y k2 de forma que la respuesta a unescalon enr(k), sea con oscilaciones muertas (deadbeat).



k1

z−1

Z−1

0.5

k2

r(k) Y (k)

Resumen

En este cap´ıtulo se analizó la controlabilidad y la observabilidad de los sis-temas de control lineales e invariantes en el tiempo. Se revisaron las transfor-maciones utiles para el análisis y diseno en el espacio de estados; como métodobasicos de diseño en el espacio de estados, se presentó el metodo de ubicación depolos, asumiendo que todas las variables de estado se pueden medir. Se realizó eldiseno de los observadores de estado, que estiman las variables que no son medi-bles; su estimación se basa en las mediciones de las señales de salida y de controlde la planta. Al final se analizó y se diseño un control con acción integral para lossistemas de control de seguimiento de referencia.


1. Realice:



3. Para el sistema:

x1(k + 1) = x1(k) + x2(k) − u(k)

x2(k + 1) = x2(k) + u(k)

y(k) = x1(k)

u: entrada;y: salida;x1, x2: estados



Verifique que el sistema es controlable y/o observable.

Disene una ley de realimentación de estados de forma que el sistematenga una dinámica en lazo cerrado, de respuesta con oscilacionesmuertas.

4. (Evaluacion de Enero 24 de 2003) Para el sistema de la figura5.6:

+

-

r(k) +

+

z−1

k1

+

-

+

+z−1

0.5

kc2

kc1

+

+z−1

0.5

+

+

u(k)x2(k) x1(k) = y(k)

Planta

Figura 5.6:Sistema de control digital de seguimiento.

La representación de estado de la planta es:

x(k + 1) =

[0,5 10 0,5

]x(k) +

[01

]u(k)

y(k) =[

1 0]x(k)

con

x(k) =

[x1(k)x2(k)

]

Determine la ganancia de la trayectoria directak1 y las ganancias derealimentacionkc1, kc2, de forma que la respuesta a una secuencia es-calon unitario enr(k) sea con oscilaciones muertas.



Si x2(k) no es medible, se requiere usar un observador para la reali-mentacion de estados; obtenga las ecuaciones de un observador pre-dictor, de forma que la respuesta al error de observaci´on inicial, seacon oscilaciones muertas.


OGATA KATSUSHITO, Sistemas de Control en Tiempo Discreto. P.H.H,Mex. 1996. Cap´ıtulo 5: analisis en el espacio de estado y cap´ıtulo 6: analisisy diseno en el espacio de estado.

Referencias





Bibliograf ıa

R. Dorf. Sistemas Modernos de Control. Addison Wesley Iberoamericana, 2da.Edicion, 1989.

Benjamin. Kuo. Sistemas de Control Autom´atico. Prentice Hall-Hispanoamericana, 1996.

K. Ogata. Ingenierıa de Control Moderna. Prentice Hall Hispanoamericana, 3a.Edicion, 1998.

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sistemas de control ii (m)

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