1

Six Sigma 를 하려면

꼭 알아야만 하는 통계

2

목 차

1. 기본 통계량 : 평균과 편차

2. 정규분포

3. 통계적 의사결정

- 가설검정

4. 분포를 이용한 추정 , 검정

- 평균치 : z 분포 /t 분포

- 산 포 : χ² 분포 /F 분포

5. 회귀분석

6. 실험계획법

기타 - 공정능력 지수 / 장기 , 단기 Sigma

3

* 통 계 Tools and Techniques

• 친화도• 브레인스토밍• 고객조사• 전개도• 간트차트• 그래프• 카노분석• 회합스킬• Mult-voting

• 명목집단방법• 팀 헌장• 정성적 프로세스 분석• Top Down Mapping

• 고객의 소리 변환• 품질기능전개

• 벤치마킹• 체크시트• 관리도• 데이터 차트• Guage R&R

• 히스토그램• 척도• Run Chart

• 샘플링• 시그마 계산• 층별• 산포

• 인과분석• 상관• 실험계획법• Fault Tree

• FMEA

• 가설검증• 파레토• 프로세스 시뮬레이션• 정량적 프로세스 분석• 회귀• 계층화• Structure Tree

• 가치분석

• Challenge Assumptions

• CDAM

• 비용 효과분석• 기준선정 메트릭스• Force Field Analysis

• How-By Pursuits

• 수평적 사고• Mind Mapping

• Random Word

• Six Hat Thinking

• Storyboards

• Solution Mapping

• FMEA

• 프로세스 관리시스템• Workplanning

Six Sigma 와 통계 Tool

Define Measure Analyze Improve Control

4

통계적 사고의 정의

1. 모든 일은 상호 연결된 프로세스의 연속이며 ,

2. 모든 프로세스는 변화하며 ,

3. 산포를 이해하고 줄이는 것이 성공의 열쇠이다 .

5

확률과 통계

• 확률은 게임의 규칙을 알고 게임을 관전하는 것과 같음.

• 통계는 게임의 규칙을 알기 위해 게임을 관전하는 것과 같음.

• Six Sigma 경영에서는 프로세스를 관찰하고 ( 측정을 통해 게임을 관전함 ) 사실에 근거한 의사결정을 하며 , 프로세스를 관리하기위해 규칙을 적용함 .

6

1. 기본 통계량통계는 표본을 통해 모집단의 특성을 파악하는 것

모집단과 표본

모집단 (Population) 표본 (Sample)

정의 : 파악하고자 하는 대상 ex : 전 국민의 평균 수명 전 국민의 출신 지역

정의 : 통계적 판단을 위해 모집단에서 선택된 작은 집단

▲○

××

××

▲▲▲

○×○

××

▲ ○ ×○

표 본××

▲

○

▲ : 4 개× : 8 개

○ : 4 개

× 2 개에 ▲ , ○ 가 각 1 개씩 존재

통계량통계량 평균 : μ산포 : σ

평균 : χ산포 : s

Sampling

7

통계를 통해 모집단의 특성을 알고 앞으로 일어날 사건도 예측왜 통계가 필요 ?

■ 표본을 통해 모집단의 대표 값이나 변동의 크기를 구하는 것 기술 통계 (Descriptive Statistics) ex) GNP 의 추정 , 평균수명

■ 표본을 통해 얻은 정보를 이용하여 불확실한 사실에 대해 추론하고 통계적 판단을 위한 Model 을 설정하는 것 , 미지의 특성에 대해 주어진 정보를 이용하여 결론을 내리고 미래에 일어날 특성치에 대한 예측을 하는 것 추측 통계 (Inferential Statistics) ex) 회귀분석 Model

8

Input, 프로세스 및 Output 척도

Output척도

Input척도

프로세스척도

효율성 척도• 비용• activity 당 시간• 재작업 양• 대응 시간• activity 의 변동성

효과성 척도• 결점율• 결점수• 총 반응 시간• 대금 청구 정확도• 이익

9

자료가 갖는 의미를 쉽게 이해하고 의미를 찾아냄

그래프 / 도표의 필요성

Delivery Time*

돗 수 분 포

Data 자체는 의미 없는 숫자 덩어리

(Frequency Distribution)

•치우침 , 대칭 등 Data 이 구조를 이해

80 90100110120130

×

××××

×××××

××× 시간

•의문이 명확해짐 왜 치우침이 발생할까 ?

도표화

* 주문접수 후 고객에게 도착한 시간

95, 120, 117, 99, 110, 107125, 98, 85, 127, 105, 114103, 112, 92, 101, 122, 120

×

10

데이터 수집 방법

지표 마련

Step 1지표에 대한

운용정의 마련

Step 2측정계획 수립

Step 3데이터 수집

Step 4 데이터 표현

데이터 평가

11

데이터 표현 방법

12

산포란 무엇인가 ?

• 산포란 제품이나 서비스가 제공될 때 프로세스가 정확하게 동일한 결과를 가져오는 것은 아니라는 것을 의미함

• 산포는 모든 프로세스에 존재함

• 비즈니스 프로세스에서 산포를 측정하고 이해하는 것은 현재의 성과수준이 어느 정도 수준인지 , 산포를 줄이는 한편 불량을 줄이기 위해 필요한 것이 무엇인지를 도출하는 데 도움을 줌

데이터 산포

13

2. 정규분포이항분포는 모집단의 불량율 (P) 를 알고 있을 때 표본집단에서 나타난 불량율이 모집단과 얼마나 다른지를 알고 싶을 때 사용

모집단과 표본

모집단 정보 표본집단에서 나타날 수 있는 경우

흰 공 확율 : 3/4검은 공 확률 : 1/4

4 번 추출

○ : 흰 공 (W)● : 검은 공 (B)

전 제 조 건

•각 실험은 Yes, No 같은 2 가지 결과만 갖음 (P, 1-P)

•각 실험은 독립으로 서로 영향을 주지 않음( 복원추출 )

BBBB공 4 개의 가능한 조합

WBBBBWBBBBWBBBBW

WWBBBWBWBWWBWBBWWBWBBBWW

WWWBWWBWWBWWBWWW

WWWW

추출된 흰 공의 개수

(W)0 1 2 3 4

경우의 수 14C0

44C1

64C2

44C3

44C4

각 경우의 확율

(1/4)⁴ (1/4)³(3/4)

(1/4)²(3/4)²

(3/4)³(1/4)¹

(3/4)⁴

확율 0×(1/4)⁴= 0.004

4×(1/4)³×(3/4) = 0.007

6×(1/4)²×(3/9)² = 0.211

4×(3/4)³×(1/4)¹= 0.422

1×(3/4)³= 0.316

14

주어진 n, p 에 따라 확률분포를 그리고 모집단의 χ, S 를 구할 수 있음

이항분포 (2)

n = 4p = 3/4

( 흰 공 3 개 )

n = 4p = 2/4

( 흰 공 2 개 )

n = 4p = 1/4

( 흰 공 1 개 )

0.0040.047

0.211

0.4220.316

0 1 2 3 4

나타나는 검은 공개수 (X)

0.003

0.25

0.375

0.25

0.063

0 1 2 3 4X

0.422

0.211

0.047

0 1 2 3 4X

0.316

0.004

이항분포 χ S

P(X = 흰 공 개수 )= 4Cχ(3/4) (1/4)χ 4-χ

4Cχ(2/4) (2/4)χ 4-χ

4Cχ(1/4) (3/4)χ 4-χ

nCχP (1-P)χ n-χ

4×0.75= 2.25

4×0.5= 2

4×0.25= 1

χ = np

4×1/4×3/4= 0.87

4×2/4×2/4= 1

4×3/4×1/4= 0.87

S = np(1-8)일반식 :

15

연속형 Data 는 계급의 폭을 작게 하여 분포를 함수형태로 나타낼 수 있음

확률 밀도함수

계급의 폭이 10cm 계급의 폭이 3cm 계급의 폭이 아주 작음

키가 167.5cm 부터 172.5cm 까지의

학생은 전체의 28%

0.01

0.04

0.16

0.28

0.25

0.12

0.08

0.040.02

155160165170175180185190195 155 170 195 155 170 195

P(167.5 ＜ χ ＜172.5)= 0.28

28%

16

정규 분포의 통계적 판단의 출발점 정규분포는 평균치에서 벗어난 정도에 따라 확률 값으로 주어짐

정규 분포

정규 분포란 ?

•Gauss 가 발견•계측 오차에 대한 분포•대부분의 자료에 적합

평균 M, 표준편차 σ

f(χ) = 1 Exp - (χ-Μ)²2π 2σ²

- ∞ ＜ χ ＜ ∞

☞ Data 가 정규 분포에 따르지 않으면 고도의 Approach 가 필요

정규 분포의 특성

평균값= 중앙값 = 최고 값

-2σ -σ Μ +σ 2σ

면적 68%

면적 95%

좌우대칭

χ 축에 닫지 않음

N(M, σ²) 으로 표시

17

Data 가 정규 분포에 따르면 표본집단의 평균치가 정규 분포상에 어디에 위치하는지에 따라 일어날 수 있는 확률을 구할 수 있음

정규 분포의 활용

A 사직원의 신장은χ = 170, σ = 10 이다 .

180cm 이상은 몇 % 일까 ?

150-2σ

160-1σ

1801σ

1902σ

170π

알고 싶은확율

50% - 68% = 16%

2

2-2σ

3-1σ

51σ

62σ

4π

1-3σ

73σ

고객 불만영역

고객의요구수준

50% - 68% = 16%

2

은행에서 고객은 5 분 이내 업무처리를원한다 . A 은행의 업무처리는χ = 4 분 σ = 1 분이다 .

몇 % 고객이 불편을 참고 있는가 ?

18

평균이 0 이고 표준편차가 1 인 정규분포를 표준정규분포라고 부른다 .

z valuez value:: X 라고 지정하는 어떤 값과 모집단의 평균 m 와의 거리를 모집단의 표준편차 s 로 나눈 값을 말한다 .

평균이 0 이고 표준편차가 1 인 정규분포를 표준정규분포라고 부른다 .

z valuez value:: X 라고 지정하는 어떤 값과 모집단의 평균 m 와의 거리를 모집단의 표준편차 s 로 나눈 값을 말한다 .

Z X

정규확률분포의 표준화정규확률분포의 표준화정규확률분포의 표준화정규확률분포의 표준화

19

20

21

이항 분포는 정규 분포로 간주하여 계산할 수 있다 .이항 분포와 정규 분포

B(n, p) n : 반복수 , p : 나타날 확율 χ = np σ = np(1-p)

B(15, 0.4)

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0.1

0.2

9 10111213

빗금부분의확률은 ?

이항 분포에서P(7≤χ≤10) = 15C7(0.4) (0.6) + · · · + 15C10(0.4) (0.6) = 0.381

7 8 10

정규 분포에서P(6.5≤χ≤10.5)= P(6.5 - 6 ≤ Z ≤ 10.5 - 6)

= P(0.263 ＜ Z ＜ 2.368= 0.387

1.9 1.9

☞ np ＞ 15 인 경우에는 거의 정규 분포에 가까움

5

22

모집단이 정규 분포에 따른다는 가정은 통계처리의 출발점모집단에 대한 가정

1. 모집단이 정규분포에 따르는지 어떻게 아나 ?

2. 모집단이 정규분포가 아니면 무엇이 잘못되나 ?

3. 모집단이 정규 분포가 아니면 어떻게 해야 하나 ?

해 답모집단에 대한 의심•Normality Test( 정규성 검증 )

•예를 들어 구간 추정을 할 때 신뢰도 95% 면 t0.025 s 로

하는데 모집단이 정규분포가 아니면 구간이 90% 인지 80% 인지 알 수 없게 됨

•정규성을 해치는 이상 Data 를 제거

•자료를 변환하여 정규화

Minitab사용

Z 값-2-1 0 1 2

· · · ·· ·

· ·

··· ··

· ·

누적확율

n

×Y = logχ

23

모든 Data 는 정규분포에 따르는지를 확인후 통계적의사결정에 사용

• 각 데이터에 대한 정규성 검정을 실시함 .• Graph > Probability Plot • Variables: Data25• OK. • 샘플이 많은 경우 (100 개 이상 ) Anderson-Darling 검정 실행• Stat > Basic Statistics > Normality Test • Variables: Data1000• OK. (p value 가 =.05 보다 크다면 정규 분포를 따름 )

24

정규성 검정 : p 값 >0.05 이상이면 정규분포

5 10 15

1

5

10

20

30

405060

70

80

90

95

99

Data

Pe

rce

nt

Normal Probability Plot for Data

ML Estimates

Mean:

StDev:

9.73630

1.72645

Data 를 직선화된 정규분포 선상에 Plot 하여 정규성을 검정

25

•목적 :

–정규성 검정 연습

•Minitab 연습

– File: Case6Sigma.mpj

– c2 Cycle Time 에 대한 히스토그램 작성

– Y 변수 (c2 Cycle Time) 가 정규 분포를 하는지 검정

정규분포에 따르지 않는 Data 는 정규성을 같도록 변환

26

0 15 30

1

510

20304050607080

9095

99

Data

Per

cent

Normal Probability Plot for Cycle Time

ML Estimates

Mean:

StDev:

9.26931

4.75454

Cycle time 은 정규분포를 따르지 않음 .

사례연구 : 은행의 예금처리 시간

• 정규성과 변환– cycle time 은 대략적으로 정규 분포를 하는가 ?

• Graph > Probability Plot

27

정규성을 갖는 Data 로 변환

•목적 :

–알맞은 변환 방법을 선택함 .

•테이블 연습

–File: Case6Sigma.mpj

–Box-Cox 변환을 이용하여 알맞은 변환 방법을 결정함

–Stat > Control Charts > Box-Cox Transformation

• Single column: Cycle Time Subgroup size: = 1

28

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0

5

10

15

20

25

30

3595% Confidence Interval

StD

ev

Lambda

Last Iteration Info

Lambda StDev

-0.169

-0.112

-0.055

3.730

3.727

3.727

Low

Est

Up

Box-Cox Plot for Cycle Time

= 0 이므로 log 변환이 적합함

정규성 검정과 변환

• cycle time 은 대략적으로 정규분포를 하는가 ? • Graph > Probability Plot •Cycle time 은 정규분포를 하지 않음

• 어떤 변환을 이용해야 하는가 ?• Stat > Control Charts > Box Cox

29

Box-Cox 변환

Stat>Control Charts>Box-Cox

Lambda()

Transfromation

YT Common NamesBack

Transformation-2

21Y

Reciprocal (Inverse)Squared YT

1

-1Y

1 Reciprocal (Inverse)YT1

-.5 Y1 Reciprocal Square Root

(Inverse) 2

1

TY

0 Log (Y) Log YT10.5 Y Square Root 2

TY1 No

Transformation- -

2 Y2 Squared

TY

30

Calc > Calculator “store result in variable” Log10 Cycle Time“Expression”내부를 클릭하고 , functions 메뉴에서 Log 10을 선택함 . C2 Cycle Time 을 식에 대입하기 위해 두번 클릭하여 “ number’가 보이도록 함 .그러면 , 변환된 데이터가 Log 10 Cycle Time 컬럼에 나타남 .

MINITAB Calculator 를 이용하여 데이터를 변환하기

31

• 가설검정은 “ Group 1 은 Group 2 와 비교할 때 유의하게 다른가”에 대한 답을 줌 . Groups 1 과 2 는 개선 전 , 후 프로세스의 싸이클 타임 일수도 있고 , 장소 1 과 장소 2 에서 발생하는 결점 일수도 있음 .

• 가설검정은 연속형 데이터와 이산형 데이터에 적용 할 수 있고 , 두개 이상의 그룹에도 적용됨 .

검정 방법 :– t- 검정 (t-Tests)– 분산분석 (ANOVA tests)– 상관관계 (Correlation)– 회귀 (Regression)– 카이 - 제곱 검정 (Chi-squared tests)

3. 통계적 의사결정

32

가설검정의 가정

• 모집단으로 부터 충분히 많은 시료가 랜덤하게 추출되었음 .

• 통계적으로 서로 독립이다는 가정

• 데이터는 정규분포를 함 .

33

검정은 표본집단이 모집단과 같은지 다른지를 판정하는 것

올바른선택

Ha 가 사실이나Ho 를 선택

Type Ⅱ errorβ

Ho 가 사실이나Ha 를 선택

Type Ⅰ errorα

올바른선택

Ho

Ha

Ho Ha

선 택선 택

사 실사 실

Ho( 귀무가설 ) : 표본에서 얻은 정보를 볼 때 표본은 모집단과 일치한다는 주장Ha( 대립가설 ) : 표본에서 얻은 정보를 볼 때 모집단과 같다고 할 수 없다는 주장

검정의 판단 논리

34

통계적 의사결정 사례

six sigma 팀은 두 부서간 평균 급여에 대해 차이가 있는지를 비교하려 함 .팀은 먼저 두 부서의 모집단으로 부터 무작위로 샘플을 채취한 다음 부서별로 히스토그램을 그린 결과 아래와 같음 .

x =cs x =m

35

가설검정의 해석

우리가 하려는 가설검정은 “귀무가설이 잘못 되었음을 증명하라” 임 .

이것을 위해 앞에서 언급한 p-value 의 개념을 상기 시켜 주고자 함 .

P 에 대한 정의는 아래와 같음 .

만일 p < 0.05 이면 , 차이가 있다는 것을 의미함 .

“ p-value 는 xcs 와 xm 사이에서 관측된 차이는 샘플링 산포에 의해서만 발생할 확률이다”

p-value 에 대한 또 다른 정의는 :

“p-value 는 두 샘플이 같은 모집단에서 추출될 확률이다 .”

결론적으로 우리가 범할 오류가 5% 보다 작지 않다면 우리는 통계적으로 유의 하다고 주장할 수 없게 됨 ..

36

가설검정

이산형 연속형연

속형

이산형

X

Y

Chi Squaret-Test

ANOVA

Logistic Regression

Regression

37

양쪽 검정 한쪽 검정

χ - ＜ μ ＜ χ+t α2 n

σ t α2 n

σ

(1-α) 100% 신뢰

χ ＞ T + t α2 n

σ 이면 (1- ) 100% 의α2

신뢰도를 갖고 Ha 를 채택

T χ

α

Ha 채택Ha 기각

1-α1-α

χ

α

2

α

2

Ha 채택 Ha 채택Ha 기각

38

모집단이 정규분포에 따르면서 모집단의평균 ,산포를 알고 표본집단과 모집단간의 평균의차가있는 지를 알고 싶을 경우

모집단이 정규분포에 따르되 모집단의평균을모르면서 표본집단과 모집단간의 평균의차가있는 지를 알고 싶을 경우

표본의 분산이 정규분포에 따르는모분산과의차이가 있는 지를 알고 싶을 경우

정규분포에 따르는 두집단간의 산포의차가 있는 지를 알고 싶을 경우

중요한 통계적 의사결정 사항

카이자승 (χ²) 분포

F 분포

t 분 포

Z 분포

활용 분포

39

통계적 판단을 위한 샘플의 크기는 허용오차 (d) 와 신뢰수준에 따라 결정됨통계적 판단을 위한 샘플의 크기

모집단이 N(μ, σ²) 에 따를 때μ 추정 값의 100(1-α)% 의

오차 한계는

Case Study

철판 수축의 표준 편차는 4 ㎜로 알려져 있다90% 신뢰수준을 갖고 추정오차가 0.8 ㎜ 이내로 되려면 몇 개를 Test 하여야 하나 ?

nZ σ

2α 로 표시된다

100(1-α)% 의 확신을 갖고오차가 d 이내가 되려면

nZ σ

2α = d

이를 만족시키는 n 값은

n =Z

α2 ·σ

d

²

n =Z

α2 ·σ

d

²

= 1.64· 40.8

²

= 68

Z0.05 = 1.64

40

중심극한의 정리 모집단 평균의 추정

•N(Μ, σ²) 인 모집단에서 n 개 취한 표본 집단들의 평균값은 Μ 이고 평균값의 편차는 σ/ n 이다

•샘플개수 n 이 증가할 수록 표본집단의 평균 X 는 Μ 에 수렴

( 정규분포의 성질 )

Data 수가 n 개인 표본집단의 평균치가 X, 편차가 σ

라면 모집단의 평균치가 존재할 수 있는 범위는 99.

7% 확율에서

모집단

평 균 : Μ

편 차 : σ

N(Μ, σ²)

평균 값

X₁

X₂

X₃

Xn

n 개 추출

• • •

n 개 추출

n 개 추출

• • •

n 개 추출

평균 : Μ편차 : σ/ n

N(Μ, σ/ n)

Μ-3σ +3σσn

σnX

면적 99.7%

3× 3×

4. 분포를 이용한 가설검정 및 추정 Z 분포의 이용

41

표본집단의 평균치 , 편차에서 모집단의 평균치를 측정할 수 있음

사출 부품의 중량 모집단의 평균은 ?

3.6

2.9

2.8

2.6

2.4

3.2

2.2

2.6

2.6

2.5

2.4

2.6

2.3

2.5

2.1

2.6

3.0

2.5

2.7

2.5

2.6

3.1

3.8

2.0

2.2

2.2

2.8

2.7

1.8

2.5

3.0

3.2

2.5

2.6

3.2

3.1

4.1

2.7

2.7

2.2

모집단

N(Μ, σ²)Μ 가 존재하는범위 (95%)

표 본

χ = 2.217S = 0.475

40 개

Μ = 2.217 이고 어떻게 표본을 골라도95% 평균치가 검출되는 구간은2.217 - 2× 0.475 ＜ Μ ＜ 2.217 + 2× 0.475

2.067 ＜ Μ ＜ 2.36740 40

X 의 신뢰구간은 ±2σ 이나 σ 가미지의 양으로표본집단의 편차S 값을 추정량으로 사용

n = 40χ = Σχi = 2.715

S = Σ(χi-χ)² = 0.47539

40

42

t 분 포의 이용

모집단의 편차를 아는 경우 모집단의 편차를 모르는 경우

표본 X 의 표준 정규 분포는

( 정규분포의 성질 )

모집단

N(Μ, σ²)

표본의평균 값

X₁

X₂

Xn

n 개

• • •

n 개

• • •

n 개 추출

N(Μ, σ²/ n)

모집단

N(Μ, σ²)σ : DRI

n 개 XS

S 는 알 수 있음

표본 X 의 표준 정규 분포에서σ 를 표본으로 추정치 S 로 대체하면 X - Μ

t 는 자유 n-1 의 t 분포에 따른다n 이 크면 정규 분포로 수렴

S/ nσ/ nX - Μ

Z =t =

t분포

정의

43

모집단의 정보에 따라 적용하는 분포가 틀려짐Z 분포 / t 분포의 차이

ABS 의 강도의 편차는 8 로 알려져 있는데 모집단의 평균은 잘 모른다

100 개를 Sampling 하여 Test 해보니평균치가 42.7 이었다

모평균의 90% 신뢰구간은 ?

Z 분포 t 분포

새로운 ABS 를 개발하여 충격강도를15회 측정하여 보니 평균이 39.3,

표준편차가 2.6 이었다새로운 ABS 의 충격강도 Μ 에 대해

90% 신뢰구간은 ?

1-α

Zα2 Zα

20

α2

α2신뢰구간신뢰구간

χ - ＜ χ ＜ χ+Zα2 n

σ Zα2 n

σ

rd

t α2 t α

20

α2

α2

자유도 n-1 인t 분포

χ - ＜ χ ＜ χ+t α2 n

S t α2 n

S

= Z0.05 = 1.64Zα2

Μ 의 구간은 42.7± 1.64× 8/ 100

= 42.7 ± 1.31

n = 15 : 자유도 14

t 분포표에서 자유도가 14 일 때 = t0.05 = 1.7t α2

Μ 의 구간은 39.3± 1.761× 2.6/ 15

= 39.3 + 1.18

( 모평균 , 편차가 기지 ) ( 모평균을 모를 때 )

사 례사 례

44

모집단의 편차 (σ) 를 알고 있으면 Z 값을 이용하여 검정평균치의 검정 (1)

Case

AL 사 C/S팀은 A/S 접수 후 처리가평균 15 시간 , 편차 3 시간 내에 처리하고 있다C/S팀에서는 새로운 업무 절차를 만들어 처리 70 건의 A/S 요청에 적용해 본 결과 시간을 단축하였다고한다 ( 편차는 같음 )이런 주장을 97.5% 신뢰 수준에서 받아들이려면 처리 시간은 얼마가되어야 하나 ?

Ho = Μ ≥ 15Ha = Μ ＜ 15

평균치 검정 (Z 검정 )

15

2.5%

Z0.025 = -1.96

검정 통계량 : Zα ＜ χ - Μσ/ n

-1.96 ＜ χ - 153/ 70

χ ＜ 14.3

결론 : Test 평균이 14.3 시간 보다는 작아야 95% 수준에서 단축되었다고 말할 수 있다

45

모집단의 편차를 모를 때는 t 값을 이용하여 검정평균치의 검정 (2)

Case

자동차 부품의 평탄도는 200 ㎛ 까지허용된다10 개를 임의로 택해 Test 하여 175, 190, 215, 198, 184207, 210, 193, 196, 18010 개의 Data 를 얻었다

이 부품 모집단의 평균치를 Μ,편차를 σ 로 할 때 가설은Ho : Μ ＞ 200Ha : Μ＜ 200 이며유의 수준 0.01 에서 검정하면

평균치 검정 (t 검정 )

검정 통계량 : t = χ - ΜS / n

결론 : 주어진 표본의 Data 로는 200 이하로 개선되었다 할 수 없다

t0.01 = -2.82

표본의 t 값 = -1.25

표본집단 통계량 : χ = 194 S = 13.14

t = 194.8 - 200 = -1.2513.14/ 10

자유도 9, α = 0.01 일 때 t 값은 표에서 -2.82 ＜ -1.25

46

평균치 검정 (3)

모편차 (σ) 를 알 때 모편차 (σ) 를 모를 때

Ho Ha 기각역

Μ≤Μo

Μ≥Μo

Μ = Μo

Μ ＞ Μo

Μ ＜ Μo

Μ ≠ Μo

Z ≥ Za

Z ≤ Za

│Z│≥ Z2α

한쪽 검정

양쪽 검정

통계량통계량

Ho Ha 기각역

Μ≤Μo

Μ≥Μo

Μ = Μo

Μ ＞ Μo

Μ ＜ Μo

Μ ≠ Μo

t ≥ ta

t ≤ ta

│t│≥ t 2α

χ - ΜS / nZ = χ - Μo

S / nt =

47

카이자승 (χ²) 분포

정 의 특성 / 활용방법

활용방법 : 표본의 산포 (S²) 를 알고 모집단의 산포 (σ²) 를 추정할 때 95% 에서 모집단 σ² 의 신뢰구간을

구하려면

모집단

N(Μ, σ²)

확률 표본n 개

X₁

X₂

X₃

Xn

• • •

산포의 크기 σ² Σ(χi - χ)²

χ² = Σ(χi-χ)² = (n-1)S² σ² σ²

확율

χ²

자유도 n-1 인 함수

αα

χ1² χα²

P[χ²0.975 ＜ (n-1)S² ＜ χ²0.025] = 0.95σ²

(n-1)S² ＜ σ² ＜ (n-1)S² = 0.95χ² 0.025 χ² 0.975

특성 : 긴 꼬리 비대칭 항상 양수

P

48

Case

전지는 전압이 균일하게 유지되어야 함

생산시 검사에 통과한 전지 10 개를

10 시간 사용 후 전압차이를 Test 해보니

평균차이가 0.7V, 편차가 0.4V 였다

( 편차가 큰 문제임 )

이러한 차이가 정규 분포에 따른다고

가정할 때 모집단의 편차는 90% 신뢰

수준으로 얼마라고 말할 수 있는가 ?

카이자승 (χ²) 분포의 이용 (1)

χ²

n - 1 = 9, 1-α = 0.9

5%5%

χ²-α = χ²0.95

= 3.3252

χ²-α = χ²0.05

= 16.9192

(n-1)S² (n-1)S²χ²0.05 χ²0.95

9×(0.4)² 9×(0.4)²16.919 3.325

0.085 ＜ σ² ＜ 0.433

0.29 ＜ σ² ＜ 0.66

＜ σ² ＜

＜ σ² ＜

49

카이자승 분포를 이용하여 표본의 분산이 모분산과 같은지를 검정할 수 있음

카이자승 (χ²) 분포의 이용 (2)

Case

앞의 전지 예에서 전해질의 처방을 변경하여 전압차의 편차를 0.2 로 줄였다고 한다(n = 10)

95% 신뢰수준에서 산포가 개선되었다고 할 수 있는가

전지 전압차의 편차는 0.25 이하로 관리되어야 한다

해 답

자유도 9, 95% 에서 χ²0.95 = 3.325

Ho : σ = σ² Ha : σ² ＞ σ²

검정 통계량 : χ² =(n-1)s²

σ²

=(10-1)(0.2)²

(0.25)²= 5.76

5.76 ＞ 3.325(Ho 를 기각 개선되었다고 할 수 있음 )

5%

기각역χ²0.95

= 3.325

표본의χ²=5.76

50

F 분포 개념

모집단 X

N(μ1, σ1²)

표본집단

X₁

X₂

X₃

Xn1

• • •

F 분포는 두 집단의 산포를 비교하는데 이용됨

Σ(χi-χ)²n1-1

S1² =

모집단 Y

N(μ1, σ2²)

표본집단

Y₁

Y₂

Y₃

Yn2

• • •

Σ(Yi-Y)²n2-1

S2² =두 집단간의

모분산 비교는 표본의 분산을

이용

두 집단의분산 검정

X, Y 두 집단의 분산이동일한가 하는 가설은

Ho : σ1²σ2²

= 1

σ₁, σ₂ 는 모르므로 표본집단의 S₁, S₂ 를 이용하여 값이Fα(n1-1, n2-1) 값보다 크면 Ho 를 기각

S1²S2²

F 분포

F = 은 자유도

(n1-1, n2-1) 인 F 분포에따른다 신뢰도 α 에서Fα (n1-1, n2-1) 값은

F 표로 주어짐

S1²/σ1²S2²/σ2²

51

F 분포는 산포가 중요한 제품에서 두 집단의 산포를 평가할 수 있게 해줌F 분포의 이용

Case

A 기계

해 답

표에서 F0.05(11, 9) = 3.10

기각역은 F ＞ 3.10( 유의 수준 5%)

기각역에 속하지 않으므로 Ho 를기각할 수 없다

(σA, σB 는 다르다고 할 수 없다 )

B 기계

12 번 측정

10 번 측정

편차 : 2.3

편차 : 1.5

A 기계의 생산품이 B 기계생산품보다 산포가 크다고

할 수 있는가 ?

Ho : σA = σB²= 1 Ha : ＞ 1σA² σB²

검정 통계량 :F = =SA² SB²

5.292.25

= 2.35

52

5.회귀분석 (Regression Analysis)

독립변수 (X) 가 종속변수 (Y) 에 어떻게 영향을 끼치는지를 정량화 한 것

B 사 T 제품 출시 후광고투자와 매출액을 분석해보니 아래의 결과를 얻었다 .이 Data 에서 광고투자를늘리면 매출액이 상승한다고

결론 내릴 수 있을까 ?

월 광고료 (억원 ) 매출액 (십억원 )

123456789

10

48988

126

1069

9202215173018251020

매출액 (Y)

30

20

10

2 4 6 8 10 12광고료 (X)

·

····

·

·

·

·1

9

4

510

32

7

6

매출액과 광고비는선형관계가 있음

53

회귀 직선식은 오차항의 크기가 가장 작아지도록 설정함최소 자승법

χ, y 간에 선형관계가 있다고 가정하면

최소자승법회귀분석의 Model

• 어떤 yi 값에서 오차항은 ei = yi - (a + bχi)

• 모든 점 y₁y₂··· yn 의 오차의 합은 Σei = Σ(yi - a - bχi)

• 최소자승법 (Σei)² 이 최소가 되도록 a, b 값을 정하는 것

y

χ

y ·

e₁

a+bχ₁

·e₂

a+bχ₂

y = a + bχ

χ₁ χ₂

y₁ = a + bχ₁+ e₁y₂ = a + bχ₂+ e₂• • •

• • •

• • •

• • •

yn = a + bχn + en

선형식으로 설명안 되는 부분 오차항으로

N(0, σ²) 에 따른

b = ,SχySχ²

^a = y - bχ

^

54

회귀 직선식은 오차항의 크기가 가장 작아지도록 설정함최소 자승법

달 χ y (χ₁- χ)² (χ₁- χ) (y₁- y)

123456789

10

48988

126

1069

9202215173018251020

160100

164441

(-4)× (-9.6)0

3.400

4 × 11.4(-2)× (-0.6)

2× 6.4(-2)× (-8.6)

1.4

계 80 186 46 120

S²χ =Σ(χi-χ)²

n - 1=

46 9

Sχy =Σ(χi-χ)²(yi- y)

n - 2=

1209

b =SχyS²χ =

12046

= 2.609

9 = y - bχ = -2.270

(χ 가 변할 때y 가 변한 크기 )

y

χ

y = -2.27 + -2.609χ

χ₁

y = 18.6(yi - y)

(χi - χ)

χ

55

회귀직선을 구한 다음에는 그 회귀직선이 얼마나 문제를 설명하는지를 검증해야 함회귀직선의 분산 분석

회귀직선의 분산분석회귀분석의 설명력

y

χ

· y = a + bχ

yi - yi^

yi - y^

yi

y

r² = SSR Sy²

총변동 회귀선으로설명되는

변동

설명 안 되는오차항 ( 잔차 )

Sy² = SSR + SSE

(yi - yi)² = (yi - y)² + (yi - yi)²^ ^

요 인 제곱합 자유도 제곱합 평균 Fo

회귀선잔차

계

SSR

SSE

Sy²

1

n - 2

n - 1

SSR

SSE n - 2

SSR SSE/n-2

Fo ＞ Fα(1, n-2) 이면 회귀직선은 유의

yi 가 y 에서 떨어진 크기를 SSR,

SSE 로 구분하여 2 집단으로 만든 후

2 집단의 분산을 비교하는

F 검정을 통해 판단

56

B 사 T 제품 매출증가의 85% 를 광고비가 설명해 줌 분산분석의 예

R² = 313.04

368.40= 85%

달 χ y yi = a+bχi 잔차

123456789

10

48988

126

1069

9202215173018251020

8.1718.6021.2118.6018.6029.0413.3823.8113.3821.21

0.831.430.79-3.60-1.600.964.621.19-3.38-1.21

계 80 186 0

^ yi - y

-8.630

2.6100

1.04-5.245.21-5.222.61

^분산분석

Fo0.05(1, 8) = 5.31

회귀선은 95% 신뢰수준으로믿을 수 있으며 Data 변화의

85% 를 설명해 준다

요 인 자유도 MS Fo

회귀선잔차

313.04

55.36

368.40

313.04

6.92

45.24

Ho : b = 0( 상관관계가 없다 )Ha : b ≠ 0( 상관관계가 있다 )

제곱합

1

8

9

Fo ＞ 5.31(Ho 기각 )

광고비를 증가 시키면 매출액이 증가 ! ! !

57

B 사 T 제품의 매출이 광고비뿐 아니라 판촉에 투입된 영업사원 숫자에도 상관 관계가 있는 것 같다면 어떻게 해석될 수 있을까 ?

다중회귀분석

분산분석

Fo0.05(2, 7) = 4.75회귀식 y = a+b1+χ1+b2χ2 는y = -0.651+1.551χ1+0.760χ2 으로

표시됨

Ho : b₁ = b₂( 상관관계가 없다 )Ha : b ≠ b₂ ≠ 0( 상관관계가 있다 )

Fo ＞ 4.75(Ho 기각 )

더욱 설명력이 향상되었음

요 인 자유도 MS Fo

회귀선잔차

332.12

36.28

367.40

166.06

5.17

32.04

제곱합

2

7

9

r² = 332.12

368.40= 90.15%

유의수준 α = 0.05 에서

χ1(광고 ) χ( 판촉인원 )

48988

126

1069

41085

10158

135

12

y(매출 )

9202215133018251020

58

6. 실험계획법 (DOE)

실험계획법은 품질을 결정하는 인자를 찾고 최적화 시켜 나가는 방법

왜 DOE 가 필요 ?

DOE 전개순서 /Tool

• 과거의 Data 가 근본원인을 밝혀 주지 못할 때

• 공정에 대한 지식이 부족할 때

• 최적 작업조건 설정이 필요할 때

• Screening

- 품질에 영향을 미치는 인자를 검출 - 교락법 (Resolution )Ⅲ• 공정정의 (Proce

ss Characterization)

- 공정의 개선방향을 제시 - 요인 배치법 (Full Factoria

l)

• 최적화 (Optimization)

- 최적 조건을 선정 - 반응표면 분석 (Response Surface)

반제품 수율반제품 수율

개시제농도(○)

반응온도(×)

반응압력(×)

교반력

(×)

원료투입비

(○)

작업방법(×)

LH

--

--

--

L-

--

수율 = f( 개시제 - χ₁, 원료 투입비 χ₂)

수율 최적점

χ₁χ₂

유의인자

개선방향

최적점

59

DOE 사례

강도

BS 사 원사의 강도는 Nylon 함량에 따라달라진다고 추정된다Nylon 함량별로 5 번씩 시험한 결과를 정리하면

인자(Factor)

Nylon함량

1520253035

Test Data(강도 )

1회 2회 3회 4회 5회7

1214197

717182510

1512182211

1118191915

918192311

Total

497788

10854

AVE.

9.815.417.621.610.8

376 15.4반복 (Repetition)

수준(Level)

처리 (Treatment) : 인자가 2 개 이상일 때 인자별 수준의 조합된 상태 ex) A₁ 수준 (100 )× B₂℃ 수준 (5kg)

Scatter Daigram( 산점도 )

× - × : 평균· : 측정치 분포

10

20

15 20 25 30 35

Nylon함량

Ave = 15.4

··

×·

· ·

×·

· ·

· ·

×· ·· ··

×· ·

···

·· ···

×

과연 Nylon 함량이 강도를결정한다고 할 수 있을까 ?

60

인자의 유의 여부는 총변동을 수준의 변화로 인한 변동 (SST) 와 수준내 오차로 인한 변동 (SSE) 로 나누어 두 변동간의 차이를 F 분포를 이용하여 검정

분산 분석

분 산 분 석

(yi - y)² = (y1 - y)² + (yi - y1)²

반응 × - × : 평균

1 수준 2 수준 3 수준 4 수준 5 수준

y(총평균 )

×

× ×

×

×yi - y

·yi

yi - y1

y1

yi - y

총변동모집단

평균에서떨어진 크기

(TSS)

수준으로인한 변동

(SST)

수준 내피할 수 없는오차 때문에생기는 변동

(SSE)

(y1-y) 보다 (yi-y1) 가 크면수준의 변화가 오차에 묻혀버림

요 인 제곱합 제곱평균 Fo

Nylon

함량오차

475.76

(SST)

161.20

(SSE)

118

8.6

14.76

자유도

4

20

계 636.96(TSS)

24

F0.05(4, 20) = 2.87 ＜ 14.76Nlyon 함량은 유의하다

Ho : (y1 - y) = (y2 - y) = · · · = (y5 - y) = 0Ho : 적어도 한 수준의 효과는 있다

61

분산 분석 Data 구조

Test No. Test 순서 Nylon 함량 반복 강도 (yi) yi - y y - y yi - y

12345

678910

11

20

3911715

210481

5

1515151515

2020202020

25

12345

12345

1

7715119

1217121818

14

- 8.4- 8.4- 0.4- 4.4- 6.4

- 3.41.6

- 3.42.62.3

- 1.6

- 5.6

0

- 2.8- 2.85.21.2

- 0.8

- 3.41.6

- 3.42.62.6

• • •

• • •

• • •

• • •

• • •

• • •

y = 15.4 TSS= Σ(yi-y)²

SST= Σ(y-y)²

SSE= Σ(yi-y)²

SSTSSE =

ST²SE² = Fo

1 수준

2 수준

62

인자가 2 개 이상일 때도 똑같은 원리로 결과치의 차이가 인자의 수준차인지 단순한 오차 범위에 해당되는 것인지를 판단

인자가 2 개인 경우

온도변화와 재질변화가 모두수명을 단축하는 방향

두 인자간 교호작용이 없다

인자의 영향

수명

1 2 3온도

▲■

·

■

▲

·

■

▲

·

재질 3

재질 1

재질 2

A 인자 (온도 , )℉

A1(15)계 Ave.

83.2

108.3

125.1

-

105.5

Test Data 표

전지의 전해질과 사용온도에 따른 수명

A1(15) A1(15)

계

Ave.

20, 70

82, 58

136, 122

106, 115

25, 70

58, 45

96, 104

82, 60B₁

770

998

1,300

1,501

3,799

148.6 107.6 64.2 -

150, 188

159, 126

138, 110

168, 160

174, 120

150, 139

1738 1291

B 인자( 재질 )

130, 155

74, 180B₁

B₂

34, 40

80, 75

63

요 인제곱합(TSS) 자유도 제곱평균 Fo P 값 F 값 결론

재질

온도

교호

오차

10,683

39,119

9,614

18,231

2

2

4

27

5,342

19,558

2,403

675

7.91

28.97

3.56

-

0.0020

0.0001

0.0186

-

F0.05, 2, 27 = 2.73

상동F0.05, 4, 27 = 3.35

-

유의유의유의

-

이 실험을 다중회귀 분석으로 표현하면

2 인자 분산 분석

계 77,647 35

Y( 수명 ) = a + bχ1( 재질 ) + cχ2(온도 ) + dχ1χ2 로 표시

이 Model 의 설명력은 r² =10,683( 재질 ) + 39,119( 온도 ) + 9,614( 교호 )77,647

= 76%

64

Process Width

Design Width

LSL USLT

m0

+3sst-3sst

• 공정능력지수는 설계능력 ( 규격 ) 대비 공정이 나타내고 있는 6 sigma 범위 ( 공정능력 ) 의 비율임 .

공정능력지수 / 장기 , 단기 Sigma

설계능력 ( 규격 )

공정능력

Cp = 설계능력 ( 규격 ) / 공정능력

65

Cp(Process Capability) 프로세스 능력

INPUT PROCESS OUTPUT

프로세스프로세스

사람설비재료방법환경

제품 또는서비스

프로세스 능력 =INPUT

OUTPUT=

Process 산포

Process 표준

프로세스능력은 공정능력 , 영업능력 , 구매능력 , 개발능력 등등

고객

66

산포의 문제산포의 문제

불안정 문제불안정 문제

중심치 이탈중심치 이탈

정상 단계정상 단계

Cp < 1.0

Cp-Cpk > 0.33

• 기형 (freak)• 경향 (trend)• 주기 (cycle)• 변화 (shift)

공정문제의 일반적 증상

67

가피 원인 (special causes) 의 발견

관리 범위 내의 산포 관리 범위 밖의 산포

공정문제는 공정에 영향을 주는 가피원인에 기인함 .

68

단기 Process Capability Ratios: Cp• 설계 여유 (Margin) 가 클수록 , 단위당 총 결함수 (TDU; Total Defects Per Unit ) 는 작아진다 . • 설계 여유는 공정능력지수 (Cp) 에 의해 측정된다 .

Cp = ( 특성치의 최대 허용가능한 범위 )

( 공정의 자연적인 변동 -- Short Term)

Process Width

Design Width

LSL USLT

m0

+3sst-3sst

Cp =

ZST = 3 CpZST = 3 Cp

±3s st

│USL-LSL│

Note: Pp 는 한가지 예외를 제외하고는 Cp 와 공식이 같다 . 즉 , Pp 는 long-term 의 표준편차를 적용하고 Cp는 short-term 의 표준편차를 적용한다 .

69

단기 Process Capability Ratios: Cpk

Cpk = Cp (1 - k)

│T - │

(USL-LSL)/2k =

Example: Cp = 2, k = .25

Cpk = 2( 1 - .25 ) = 1.5

LSLLSL USLUSLTT

stst

stst

0 1

3.4 ppm0 ppm

K 는 공차범위에서 정적인 (Static) 평균의 변화 (Shift) 가 차지하는 비율을 말한다 .

Note: PpK 는 한가지 예외를 제외하고는 CpK 와 공식이 같다 . 즉 , PpK 는 long-term 의 표준편차를 적용하고 CpK 는 short-term 의 표준편차를 적용한다 .

70

장기 Process Capability Ratios: Pp

Pp = ( 특성치의 최대 허용가능한 범위 )

( 공정의 정상적인 변동 -- Long Term)

Process Width

Design Width

LSL USLT

0

ltlt

Pp = ZLT = 3 PpZLT = 3 Pplt

│USL-LSL│

Short-term 분포오직 순수한 에러 , 즉 White Noise 만을 보여준다 . 평균은 인위적으로 목표값 (target) 에 일치한다 .( 계산식을 통해 )

Long-term 분포white noise 와 black noise 를 보여준다 .이 경우에 black noise 는 표준편차를 크게하는 경향이 있는 공정의 non-random 한 변동을 말한다 .Pp 의 경우에 , 평균은 인위적으로 목표값(target) 에 일치한다 .( 계산식을 통해 )

Note: Pp 는 한가지 예외를 제외하고는 Cp 와 공식이 같다 . 즉 , Pp 는 long-term 의 표준편차를 적용하고 Cp 는 short-term 의 표준편차를 적용한다 .

71

장기 Process Capability Ratios: Ppk

Ppk = Pp (1 - k)

K 는 공차범위에서 정적인 (Static) 평균의 변화 (Shift) 가 차지하는 비율을 말한다 .

│T - │

(USL-LSL)/2k =

LSLLSL USLUSLTT

0 1

ShortTerm

ShortTerm

LongTerm

LongTerm 정적인 변화가 있는

Long Term

정적인 변화가 있는Long Term

Note: Ppk 는 한가지 예외를 제외하고는 Cpk 와 공식이 같다 . 즉 , Ppk 는 long-term 의 표준편차를 적용하고 Cpk 는 short-term 의 표준편차를 적용한다 .

72

Minitab 의 Stat>Quality Tools>Capability Analysis 에서 ‘ Estimate’ 에서 지정할 수 있음 . 단 , Pooled Stdev 는 n>1 일 때만 구할 수 있음Minitab 의 Stat>Quality Tools>Capability Analysis 에서 ‘ Estimate’ 에서 지정할 수 있음 . 단 , Pooled Stdev 는 n>1 일 때만 구할 수 있음

Pooled 표준편차와 Overall 표준편차

Pooled 표준편차 : 군내변동 (Within Variation), 우연요인 / Noise 만 작용한 변동 . 시간에 지남에 따라 군간에 발생하는 차이는 고려하지 않는다 .

Overall 표준편차 : 총변동 , 즉 우연요인과 이상요인이 모두 작용한 변동 .

Group 1 2 3 4

1

2

3

4

5

1 2 3 4

2 3 4 5

3 4 5 6

4 5 6 7

5 6 7 8

Example

SSW (g)

5.0

Overall 표준편차 는 전체 20 개의 데이터를 일반적인 샘플 표준편차 (s) 를 구하는 공식에 따라 구함 . Overall 표준편차 = 1.8496

n= 4, g= 5 : 4 개의 연속 샘플을 5 회에 걸쳐 수집

SSW : Within Sum of Square( 군내변동 )

( )ij j

i

n

j

g

X X

1

2

1

SSW=

n

Pooled 표준편차 = SSW / g(n-1) = 1.2909

5.0

5.0

5.0

5.0

73

Six Sigma 에서는 단기 / 장기간 1.5σ Shift 를 인정

• 주요 공정 조건이 일정하다고 보고 공정이 나타내는 변동만 관찰

• 설비 노후 , 종업원의 숙달 환경변화 등의 통제 불가능 요소 (Special Cause) 의 영향으로 χ, σ 값이 변하게 됨

• Data 누적에 따라 분포가 완만해짐

( 산업마다 다름 )

• 공정 / 품질의 장기적 변동이 반영됨

Data 해석의 주요 Point

Data 의 의미 품 질 능 력

제 1 기간제 1 기간 • Z 분포에서 Spec-Out 부분의 확률로부터 직접 계산

장기장기

Ex)σst

Su-χZst =

0.510-7

= = 3

• Cpk 값에서 계산Cpk = 1.0Zst = Cpk×3=3.0

• 단기 6 Sigma 가 품질 목표Zlt = Zst-1.5: 1.5σ Shift 는 최대 인정 폭

• Z 분포표에서 직접 계산

1.010-8.5

Zlt = = 1.5

• Ppk 값에서 계산Ppk = 0.5Zlt = 3×Ppk=1.5

• 장기 4.5 Sigma 가 3.4ppm 수준

σst₁ (0.5)

σst₂

σlt(1.0)

χ₁

Su(10)

DataDrift

Χ₂(7)

χ 8.5

제 2 기간제 2 기간

단기단기

(0.5)

74

Short-term PerformanceShort-term Performance Long-term PerformanceLong-term Performance

제품설계에서 제품설계에서 1.5 Sigma Shift1.5 Sigma Shift 의 의미의 의미