sjankovic-mehanika leta zrakoplova

!"#$%&"

'"()**+

, --

(.(/(01

(&"$2.$03(4(. !"#$"$2.$!(0"(2 5'"("$2.$"20 5""2200%05'"(

(0"1&36(7%6 /61%0(020"3"20"'"3(5%6 85'"( %"(1!"#$($2.$&2(0

"(3((0(%690%'"(%"$*)7+):+;<7)**+++"%3)**+

=(

"#6"3(9(3(2.(1"(3(0>4?"'@0%0(020"3"20"'"3(5'"(21$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$1AAAAA$

>!70'/.3%4%.3.2(%693=.5'"(8<<$B1B)<$CD5-(@ (0 /"4 ; 7'"(1%0(020"3"20 "'"3(5)**+$7:+*20"$1%20"$1):.&$7E=(.(%690%'"(%F-%("200220%"%&'"(22G'"#3/"3%3'($H8<7B<+<7<C78$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$

I

SADRŽAJ PREDGOVOR.......................................................................................XIII

UVOD.....................................................................................................XV

1 Kinematika leta ................................................................................ 1-1

1.1 Matrični zapis vektora......................................................................................1-1

1.1.1 Baza koordinatnog sustava................................................................................. 1-1

1.1.2 Vektorski i skalarni produkt vektora...................................................................1-2

1.1.3 Derivacija vektora ..............................................................................................1-4

1.2 Matrice transformacija......................................................................................1-6

1.2.1 Definicija i svojstva matrice transformacija........................................................1-6

1.2.2 Derivacija matrice transformacija.......................................................................1-9

1.2.3 Određivanje matrice transformacije pomoću kutova........................................1-10

1.2.4 Određivanje matrice transformacije pomoću parametra ..................................1-13

1.2.5 Veze između parametara i kutova.....................................................................1-17

1.2.6 Diferencijalne jednadžbe parametara................................................................1-19

1.3 Koordinatni sustavi ........................................................................................1-23

1.3.1 Lokalni koordinatni sustav (L) .........................................................................1-24

1.3.2 Nošeni koordinatni sustav (O) ..........................................................................1-26

1.3.3 Koordinanti sustav letjelice (F) ........................................................................1-27

1.4 Brzine letjelice ...............................................................................................1-30

1.4.1 Brzina leta i brzinski koordinatni sustav (V) ....................................................1-30

1.4.2 Aerodinamička brzina i aerodinamički koordinatni sustav (A) .......................1-33

1.4.3 Primjer ..............................................................................................................1-39

2 Aerodinamika

2.1 Aerodinamički koeficijenti zrakoplova..............................................................2-1

2.1.1 Definicije.............................................................................................................2-1

II

2.1.2 Aerodinamički moedel zrakoplova.....................................................................2-6

2.1.3 Veze između aerodinamičkih koeficijenata........................................................2-9

2.2 Noseća površina ...........................................................................................2-11

2.2.1 Geometrijske karakteristike ..............................................................................2-11

2.2.2 Veza između uzgona i normalne sile ................................................................2-11

2.2.3 Gradijent normalne sile ....................................................................................2-11

2.2.4 Položaj hvatišta normalne sile ..........................................................................2-14

2.2.5 Hvatište normlane sile polovice noseće površine .............................................2-16

2.2.6 Maksimalni uzgon ............................................................................................2-17

2.2.7 Gradijent normlane sile po otklonu upravljačke površine ................................2-19

2.3 Normalna sila kombinacije tijelo - noseća površina ......................................2-21

2.4 Usporenje i savijanje struje ...........................................................................2-23

3 Otpor, normalna sila i moment propinjanja

3.1 Otpor................................................................................................................3-1

3.1.1 Otpor trenja..........................................................................................................3-1

3.1.2 Otpor dna ............................................................................................................3-1

3.1.3 Valni otpor ..........................................................................................................3-5

3.1.4 Otpor u transonici ...............................................................................................3-8

3.1.5 Dodatni otpor ....................................................................................................3-11

3.1.6 Nulti otpor ........................................................................................................3-13

3.1.7 Inducirani otpor ................................................................................................3-14

3.1.8 Primjer ..............................................................................................................3-19

3.2 Normalna sila i moment propinjanja .............................................................3-20

3.2.1 Normalna sila i moment propinjanja kombinacije BW.....................................3-21

3.2.2 Normalna sila i moment propinjanja kombinacije hB ......................................3-25

3.2.3 Moment propinjanja tijela ................................................................................3-28

3.2.4 Nulti članovi i stacionarni gradijenti normalne sile i momenta propinajnja ....3-29

III

3.2.5 Gradijent zbog promenljivog napadnog kuta ...................................................3-30

3.2.6 Gradijent zbog kutne brzine propinajnja ..........................................................3-31

4 Bočna sila, moment skretanja i valjanja

4.1 Bočna sila i moment skretanja ........................................................................4-1

4.1.1 Gradijent bočne sile i momenta skretanja po kutu klizanja ................................4-1

4.1.2 Gradijent bočne sile i momenta skretanja od otklona kormila pravca ...............4-4

4.1.3 Gradijent momenta skretanja zbog otklona krilaca ............................................4-5

4.1.4 Bočna sila i momenta skretanja zbog kutne brzine valjanja ..............................4-6

4.1.5 Bočna sila i momenta skretanja zbog kutne brzine skretanja .............................4-9

4.2 Moment valjanja ............................................................................................4-10

4.2.1 Gradijent po kutu klizanja ................................................................................4-10

4.2.2 Gradijent po otklonu kormila pravca ................................................................4-15

4.2.3 Gradijent po otklonu krilaca .............................................................................4-17

4.2.4 Gradijent po kutnoj brzini valjanja ...................................................................4-18

4.2.5 Gradijent po kutnoj brzini skretanja .................................................................4-21

5 Primjer

5.1 Podaci i geometrija .......................................................................…...............5-1

5.1.1 Krilo (dva polukrila) ..........................................................................….............5-1

5.1.2 Tijelo .......................................……...................................................................5-4

5.1.3 Horizontalni rep ...............................……...........................................................5-4

5.1.4 Vertikalni rep ............................................……..................................................5-5

5.1.5 Zrakoplov ...........................................................…............................................5-6

5.2 Otpor ...............................................................................................................5-7

5.2.1 Krilo ....................................................................................................................5-7

5.2.2 Tijelo ..............................................................................................……............5-7

5.2.3 Horizontalni rep .......................................................................................……...5-9

5.2.4 Vertikalni rep ........……......................................................................................5-9

IV

5.2.5 Otpor podvozja ..............……...........................................................................5-10

5.2.6 Otpor zrakoplova ....................……..................................................................5-10

5.3 Normalna sila i moment propinjanja .............................................................5-10

5.3.1 Krilo ..................................................................................................................5-10

5.3.2 Tijelo ................................................................................................................5-12

5.3.3 Savijanje struje .................................................................................................5-12

5.3.4 Horizontalni rep ................................................................................................5-13

5.3.5 Stacionarni koeficijenti normlane sile zrakoplova............................................5-15

5.3.6 Stacionarni koeficijenti mojmenta propinjanja zrakoplova ..............................5-16

5.3.7 Nestacionarni gradijenti normalne sile i momenta propinajnja ........................5-16

5.4 Bočna sila i moment skretanja ......................................................................5-17

5.4.1 Vertikalni rep ....................................................................................................5-17

5.4.2 Skretanje struje .................................................................................................5-18

5.4.3 Bočna sila zrakoplova ......................................................................................5-18

5.4.4 Moment skretanja zrakoplova ..........................................................................5-18

5.5 Moment valjanja ............................................................................................5-20

6 Dinamika letjelica

6.1 Relativno gibanje ............................................................................................6-1

6.1.1 Kinematika relativnog gibanja ...........................................................................6-1

6.1.2 Inercijekse sile ....................................................................................................6-4

6.1.3 Akcelerometri .....................................................................................................6-5

6.2 Temeljni zakoni gibanja letjelica konstantne mase..........................................6-6

6.2.1 Gibanje središta mase..........................................................................................6-6

6.2.2 Gibanje oko središta mase...................................................................................6-9

6.2.3 Tenzor tromosti ................................................................................................6-11

6.2.4 Transformacija tenzora tromosti.......................................................................6-13

6.2.5 Primjer ..............................................................................................................6-16

V

6.3 Zakoni gibanja letjelice promjenljive mase ...................................................6-18

6.3.1 Sustav pšromenljive mase ................................................................................6-18

6.3.2 Prividni sustav ............................................................................................6-19 ∗Σ

6.3.3 Očvrsnuti sustav S ............................................................................................6-20

6.3.4 Veze između sustava Σ i S .............................................................................6-21 ∗

6.3.5 Načelo očvršćivanja .........................................................................................6-22

6.4 Pogonska sila i moment mlaznog motora .....................................................6-25

6.4.1 Napadni kut i kut klizanja motora.....................................................................6-25

6.4.2 Komponente pogonske sile . ........................................................................... 6-27

6.4.3 komponente pogonskog momenta ....................................................................6-30

6.4.4 Raspoloživa sila mlaznog motora .....................................................................6-32

6.5 Pogonska sila i moment elisnog motora .......................................................6-34

6.5.1 Komponenta pgonske sile u ravni diska elise ..................................................6-34

6.5.2 Komponente momenta pogonske sile elise ......................................................6-35

6.5.3 Primjer ..............................................................................................................6-37

7 Ravnotežni let, stabilnost i upravljivost

7.1 Ravnotežni let .................................................................................................7-1

7.1.1 Definicija ravnotežnog leta .................................... ...........................................7-1

7.1.2 Zbroj pogonske i aerodinamičke sile i momenta ................................................7-2

7.1.3 Uzgon u ravnotežnom letu .................................................................................7-5

7.1.4 Normlano opterećenje ........................................................................................7-7

7.1.5 Primjer ................................................................................................................7-8

7.2 Stabilnost ravnotežnog leta ............................................................................7-8

7.2.1 Uvjeti uzdužne stabilnosti ravnotežnog leta .......................................................7-9

7.2.2 Uzdužna statička stabilnost ..............................................................................7-11

7.2.3 Neutralno točka ................................................................................................7-11

7.2.4 Primjer...............................................................................................................7-13

VI

7.2.5 Bočna statička stabilnost...................................................................................7-14

7.3 Upravljivost u ravnotežnom letu ....................................................................7-16

7.3.1 Upravljivost u uzdužnom gibanju ....................................................................7-16

7.3.2 Primjer ..............................................................................................................7-19

7.3.3 Upravljivost bočnog gibanja ...........................................................................7-21

7.3.4 Primjer...............................................................................................................7-23

7.4 Jednadžbe gibanja ravnotežnog leta ............................................................7-24

7.4.1 Komponente ubrzanja .......................................................................................7-25

7.4.2 Komponente sile ...............................................................................................7-25

7.4.3 Veza između kutova valjanja............................................................................7-28

7.4.4 Model gibanja središta mase ............................................................................7-29

7.4.5 Program gibanja zrakoplova kao materijalne točke .........................................7-30

8 Performanse zrakoplova

8.1 Horizontalni let ................................................................................................8-1

8.1.1 Režim leta ...........................................................................................................8-1

8.1.2 Potrebna sila ili snaga .........................................................................................8-2

8.1.3 Raspoloživa sila ili snaga ...................................................................................8-5

8.1.4 Ovojnice .............................................................................................................8-6

8.1.5 Dolet zrakoplova (Breguetova jednadžba) .........................................................8-8

8.1.6 Maksimalno trajanje leta (endurance) ..............................................................8-11

8.1.7 Primjeri .............................................................................................................8-13

8.2 Stacionarno penjanje i spuštanje zrakoplova ...............................................8-15

8.2.1 Najveći kut penjanja .........................................................................................8-16

8.2.2 Najveća brzina penjanja ...................................................................................8-19

8.2.3 Vrijeme penjanja i potrošnja goriva u penjanju ...............................................8-21

8.3 Horizontalni zaokret ......................................................................................8-22

8.3.1 Jednadžbe zaokreta ...........................................................................................8-23

VII

8.3.2 Ograničenje kutne brzine ..................................................................................8-24

8.3.3 Koordinirani zaokret .........................................................................................8-25

8.3.4 Raspoloživo opterećenje u koordiniranom zaokretu.........................................8-26

8.3.5 Najveća kutna brzina u koordiniranom zaokretu .............................................8-27

8.3.6 Najmanji polumjer zaokreta .............................................................................8-28

8.3.7 Primjer ..............................................................................................................8-29

8.4 Vertikalni zaokret ..........................................................................................8-30

8.4.1 Jednadžbe .........................................................................................................8-30

8.4.2 Najveća kutna brzina ........................................................................................8-31

8.4.3 Analiza vertikalne petlje ...................................................................................8-32

9 Polijetanje i slijetanje

9.1 Polijetanje (take off) ........................................................................................9-1

9.1.1 Tehnika polijetanja .............................................................................................9-1

9.1.2 Duljina zalijetanja - prva faza polijetanja...........................................................9-4

9.1.3 Propinjanje zrakoplova - druga faza polijetanja ...............................................9-10

9.1.4 Treća faza polijetanja .......................................................................................9-12

9.1.5 Sigurnost polijetanja .........................................................................................9-15

9.1.6 Primjeri .............................................................................................................9-17

9.2 Slijetanje .......................................................................................................9-22

9.2.1 Opis slijetanja ...................................................................................................9-22

9.2.2 Prva faza - spuštanje .........................................................................................9-23

9.2.3 Druga faza - zaokret do dodira piste ................................................................9-23

9.2.4 Usporavanje - treća faza ...................................................................................9-23

9.2.5 Primjer...............................................................................................................9-25

10 Ukupna energija

10.1 Energetska jednadžba ................................................................................10-1

10.2 Specifični višak snage zrakoplova ..............................................................10-2

VIII

10.2.1 Jednadžba specifičnog viška snage ................................................................10-2

10.2.2 Primjer ............................................................................................................10-3

10.3 Usporedba performansi zrakoplova ............................................................10-4

10.3.1 Specifična snaga u funkciji kutne brzine ........................................................10-4

10.3.2 Krivulje normalnog opterećenja .....................................................................10-5

10.4 Područje horizontalnog leta i optimalno penjanje .......................................10-6

10.4.1 Krivulje za određeno opterećenje ....................................10-6 ( ) consthMaPS =,

10.4.2 Područje uporabe zrakoplova .........................................................................10-7

10.4.3 Minimalno vrijeme penjanja ..........................................................................10-9

10.4.4 Penjanje s najmanjom potrošnjom goriva ....................................................10-11

11 Model leta sa 6 stupnjeva slobode gibanja

11.1 Opće odrednice ..........................................................................................11-1

11.1.1 Derivacija vektora položaja ............................................................................11-2

11.1.2 Derivacija brzine leta ......................................................................................11-3

11.1.3 Derivacija kinetičkog momenta ......................................................................11-4

11.1.4 Derivacija kutova ili parametara ....................................................................11-6

11.2 Model 6DOF u simulatorima leta ................................................................11-7

11.3 Pojednostavljeni model 6DOF u trenažerima ...........................................11-12

12 Linearizacija modela 6DOF

12.1 Princip linearizacije .....................................................................................12-1

12.1.1 Jendadžbe stvarnog gibanja ...........................................................................12-1

12.1.2 Referentno gibanje .........................................................................................12-3

12.1.3 Linearne diferencijalne jednadžbe poremećaja .............................................12-4

12.2 Linearizacija modela 6DOF ........................................................................12-6

12.2.1 Linearizacija kinematičkih jednadžbi .............................................................12-6

12.2.2 Linearizacija sila .............................................................................................12-7

IX

12.2.3 Linearizacija jednadžbi gibanja središta mase ...............................................12-9

12.2.4 Linearizacija kutnih brzina ...........................................................................12-11

12.2.5 Linearizacija komponenata aerodinamičkog momenta ................................12-11

12.2.6 Linearizacija jednadžbi gibanja zrakoplova oko središta mase ....................12-13

12.2.7 Linearni model zrakoplova ...........................................................................12-14

13 Dinamička stabilnost uzdužnog gibanja

13.1 Modovi uzdužnog gibanja .........................................................................13-15

13.2 Odgovor letjelice u vremenskom području ................................................13-17

13.2.1 Homogeno rješenje .........................................................................................13-2

13.2.2 Partikularni integral ........................................................................................13-6

13.2.3 Opće rješenje ..................................................................................................13-7

13.2.4 Primjer ............................................................................................................13-8

13.3 Prijenosne funkcije (open loop transfer function) ......................................13-10

13.4 Odgovor na jedinični impuls (impulsive admittance) .................................13-11

13.4.1 Primjer ..........................................................................................................13-12

13.5 Odgovor na jedinični odskok (impulsive admittance) ................................13-15

13.5.1 Primjer ..........................................................................................................13-16

13.6 Odgovor na harmonijsku pobudu ..............................................................13-18

13.6.1 Primjer .........................................................................................................13-20

13.7 Ocjena kvalitete neposrednog upravljanja uzdužnim gibanjem ................13-21

13.7.1 Primjer ..........................................................................................................13-23

14 Dinamička stabilnost bočnog gibanja

14.1 Modovi bočnog gibanja ...............................................................................14-1

14.1.1 Primjer ............................................................................................................14-4

14.2 Prenosne funkcije po otklonu kormila pravca ili krilca.................................14-5

14.2.1 Primjer ............................................................................................................14-8

X

14.3 Odgovor na impuls kormila pravca ili krilca..................................................14-7

14.3.1 Primjer ............................................................................................................14-8

14.4 Odgovor na odskok kormila pravca ili krilca .............................................14-12

14.4.1 Primjer ..........................................................................................................14-13

14.5 Odgovor na harmonijski otklon kormila pravca ili krilca.............................14-18

14.5.1 Primjer ..........................................................................................................14-19

14.6 Ocjena kvalitete direktnog upravljanja bočnog gibanja .............................14-22

14.6.1 Primjer ..........................................................................................................14-24

Prilozi:

A Maksimalni uzgon krila

B Atmosfera

B.1 Opće o atmosferi ..................................................................................................B-1

B.2 Ubrzanje Zemljine teže ........................................................................................B-2

B.3 Značajke vlažnog zraka ........................................................................................B-3

B.4 Vertikalna ravnoteža ............................................................................................B-6

B.5 Standardna atmosfera ...........................................................................................B-7

B.6 Tablica standardne atmosfere ISO 2533 ............................................................B-11

C Performanse klipnog motora

C.1 Snaga klipnog motora...........................................................................................C-1

C.2 Grafička metoda određivanja snage .....................................................................C-3

D. Vrijednosti nekih jedinica izvan sustava ISO u zrakoplovstvu

Literatura

XI

PREDGOVOR

Osnutkom studija zrakoplovstva na Fakultetu strojarstva i brodogradnje u Zagrebu, pojavila

se potreba za udžbenikom iz mehanike leta kako bi studenti mogli na najbrži način u skladu

sa svojim temeljnim znanjem stečenim na ovom fakultetu, ovladati mehanikom leta

zrakoplova, kao jednom od bitnih komponenata znanja zrakoplovne struke. Točno je da

postoji na engleskom jeziku nekoliko vrlo dobrih knjiga iz mehanike leta, ali studentima nije

lako, niti imaju dovoljno vremena učiti iz više knjiga. Osim toga, ti udžbenici obuhvaćaju

sadržaje koje su studenti tijekom studija na našem fakultetu već usvojili kroz druge kolegije,

ili zahtijevaju znanja koja ne odgovaraju programu temeljnog obrazovanja studenata na našem

fakultetu. Zato je ovaj udžbenik prije svega kompilacija najboljih knjiga po autorovu izboru,

ali prilagođena nastavnom planu fakulteta. Manjim dijelom u knjizi je i osobni autorov pristup

nekim problemima kojima se on bavio u svojoj praksi, kao što su aerodinamika letjelica i

metoda 6DOF.

S obzirom na ovako postavljenu namjenu knjige, u njoj su odabrani sadržaji prema

nastavnom planu i programu studija zrakoplovstva na našem fakultetu. Oni zadovoljavaju tri

zahtjeva: prvo, studentima daju potrebna znanja iz mehanike leta zrakoplova koja su nužna

zrakoplovnom inženjeru, drugo, temelje se na kolegijima koje su studenti slušali u prethodnim

semestrima i, treće, čine temelj za predmete koji slijede, kao upravljanje zrakoplovom,

konstrukcija zrakoplova i dr. Ako ovim uvjetima dodamo i broj sati koji je predviđen

nastavnim planom, onda je sadržaj knjige, koji ispunjava te zahtjeve, u potpunosti određen.

To je razlog što se u knjizi nalaze i neki sadržaji iz drugih oblasti, jer nisu obuhvaćeni

odgovarajućim kolegijima u zajedničkom temeljnom dijelu studija. a prijeko su potrebni za

suvremeni pristup mehanici leta. Takav je slučaj s matricama transformacija iz linearne

algebre i s mehanikom tijela promjenljive mase. Osim toga, u prilogu knjige dana su i neka

posebna znanja koja su potrebna za mehaniku leta a nisu obuhvaćena ni jednim kolegijem

postojećeg nastavnog plana, kao npr. temeljna znanja o atmosferi. U prilogu je i postupak

određivanja maksimalne sile uzgona krila jer taj sadržaj nije studijskog već empirijskog

karaktera, ali je nužan za rješavanje problema u procesu projektiranja zrakoplova.

Knjiga je pisana kao udžbenik a ne kao monografija sa znanstvenim pretenzijama. To

ne znači da su objašnjenja površna i modeli nepotpuni. Uvijek je specificirano je li neka

pojava u potpunosti objašnjena, odnosno modelirana, ili su objašnjeni samo najvažniji učinci i

samo oni modelirani. Tako se u poglavljima, u kojima se razmatra aerodinamika zrakoplova,

XII

upotrebljavan riječ "procjena" za aerodinamičke koeficijente, čime se iskazuje da to nisu

egzaktne veličine već približne aproksimativne vrijednosti. Isto tako dinamika zrakoplova u

ovoj knjizi temelji se na gibanju krutog tijela, što znači da nisu uzeta u obzir elastična

svojstva krila koja ponekad utječu na dinamičku stabilnost zrakoplova. Ti se sadržaji prema

koncepciji našeg fakulteta izučavaju na poslijediplomskom studiju.

Mehanika leta je vrlo široka oblast tehnike, u kojoj razvoj tehnologije otvara stalno

nove i nove mogućnosti. Koliko god našim radom širili naše spoznaje, napredak tehnologije

još brže širi polje mogućnosti. Ta utrka je vrlo teška, a posljedica je to da sve što se danas

uradi ma koliko dobro bilo, sutra se može bolje i više.

Sve metode i svi proračuni u ovoj oblasti u potpunosti se oslanjaju na suvremene

mogućnosti računala tijekom pisanja knjige. U objašnjenjima, a posebno u primjerima,

korišten je MATLAB software koji se sve više upotrebljava u mehanici leta. Čitatelj student

može se koristiti i nekim drugim jezikom za programiranje. Uz objašnjenja ima dovoljno

primjera. Što više, na jednom istom, malom lakom putničkom zrakoplovu, procijenjeni su svi

aerodinamički koeficijenti, izvršen je proračun performansi, urađen proračun uzdužne i bočne

stabilnosti i konačno dana ocjenjena kvalitete tog zrakoplova. Da bi se olakšalo slijediti tekst,

svi su programi dani na disketi u prilogu knjige.

U otklanjanju propusta i u kompletiranju primjera veliku pomoć pružio je autoru

njegov neposredni suradnik Milan Vrdoljak, za što mu autor toplo zahvaljuje. Katedra motora

pomogla je autoru uskladiti sadržaj knjige s predmetima pogona zrakoplova. Svojim stručnim

savjetima autoru su pomogli i kolege sa Zrakoplovnog usmjerenja na Fakultetu prometnih

znanosti. Iskustvo i praktično znanje mehanike leta njihovih instruktora bilo je od velike

pomoći autoru. Posebno je bila dragocjena pomoć koju je autoru pružilo zapovjedništvo

Hrvatskog ratnog zrakoplovstva. Svojim primjedbama pomogli su i studenti koji su čitali

prve verzije teksta u obliku skripata i ukazali autoru na neke nedostatke. Autor svima njima

posebno zahvaljuje.

Osim ove neposredne stručne pomoći, podršku autoru pružili su odgovorni ljudi na

Fakultetu: prof. Žanić, akademik Jecić i prof. Filetin, a posebno ohrabrenije pružio je autoru i

savjetnik predsjednika Republike general Agotić. Svima njima autor srdačno zahvaljuje.

Konačno, svi oni koji su stvarali ovakva djela znaju od kolike je pomoći obitelj i domaća

atmosfera. Te uvjete rada autor duguje svojoj supruzi.

U Zagrebu, svibanja 2001 g. Autor

XIII

UVOD

Sadržaj ove knjiga obuhvaća mehaniku leta zrakoplova kao krutog tijela. U tako definiranom

sadržaju razlikujemo pet cjelina: kinematiku leta, aerodinamiku zrakoplova, performanse

zrakoplova, simulatore leta i dinamičku stabilnost.

Prvu cjelinu čini prvo poglavlje koje se zato naziva kinematika leta. U tom poglavlju

objašnjena su ukratko načela linearne algebre na kojima se temelji suvremena mehanika leta

svih letjelica, a zatim su obrađene matrice transformacija koje se koriste u mehanici leta. Za

razliku od matrica transformacija u klasičnoj mehanici na temelju Eulerovih kutova, u

mehanici leta koriste se matrice transformacije na temelju De Sparreovih kutova. Ta dva

sustava kutova nisu kompatibilni, te ih treba razlikovati. Zato se u okviru kinematike leta

posebna pažnja poklanja matricama transformacijama na temelju De Sparreovih kutova. Ti

kutovi kompatibilni su (mogu biti zamijenjeni) s Hamilton Rodriguezovim parametrima koji

se nazivaju i Eulerovi parametri, a ponekad, zato što su četiri, kvaternion transformacije.

Poslije ovih temeljnih odrednica u prvom poglavlju, počinje kinematika leta zrakoplova u

pravom smislu riječi. Definirani su svi koordinatni sustavi koji se primjenjuju u ovoj knjizi,

dane su definicije svih kutova i veze između njih, zatim su definirane kutne brzine i drugi

kinematički pojmovi kao primjerice stav zrakoplova, veze između kutne brzine zrakoplova i

derivacije stava.

Aerodinamika zrakoplova predstavlja drugu cjelinu. Čine je drugo, treće, četvrto i peto

poglavlje. To je nastavak teorijske aerodinamike koja je primijenjena na složenu zrakoplovnu

konfiguraciju. Uglavnom je razmatrana normalna konfiguracija zrakoplova, manjim dijelom i

"canard" konfiguracija, a "bezrepac" nije obrađivan. U toj cjelini promatra se aerodinamička

uloga pojedinih dijelova zrakoplova: krila, horizontalnog repa, vertikalnog repa, krilaca,

kormila visine i kormila pravca. Razumijevanje uloge pojedinih dijelova zrakoplova

omogućuje procjenu derivativa koja se temelji na načelu aerodinamičke superpozicije. Taj

pristup predstavlja uvod u aerodinamičko projektiranje zrakoplova sa svjetskim bazama

podataka kao što su DATCOM, ESDU i dr.

U drugom poglavlju na početku ove cjeline definiraju se aerodinamički koeficijenti

zrakoplova, zatim opće zakonitosti ovisnosti aerodinamičkih koeficijenata o parametrima

gibanja s obzirom na geometrijsku konfiguraciju zrakoplova i način upravljanja. Na temelju

tih zakonitosti uvodi se pojam aerodinamičkog modela zrakoplova, a zatim linearni model

aerodinamike zrakoplova.

XIV

Otpor, normalna sila i moment propinjanja čine drugo poglavlje jer pripadaju

uzdužnom gibanju (u ravnini simetrije zrakoplova), a bočna sila i moment skretanja čine treće

poglavlje. Moment valjanja obrađen je u četvrtom poglavlju. Tako se aerodinamičke sile i

momenti bočnoga gibanja nalaze u trećem i četvrtom poglavlju. U opisu aerodinamičkih sila i

momenata objašnjena je uloga svakog dijela zrakoplova. Na temelju tih objašnjenja izvode se

jednadžbe za procjenu derivativa pojedinih dijelova zrakoplova, te konačno primjenom načela

superpozicije i zrakoplova u cjelini.

Treća cjelina mehanike leta izučava performanse zrakoplova. Tu cjelinu čini pet

poglavlja: šesto, sedmo, osmo, deveto i deseto. Performanse leta određuju se na temelju

gibanja središta mase zrakoplova. Gibanje zrakoplova predstavlja gibanje tijela promjenljive

mase. Takvo gibanje je vrlo složeno i ono se može izučavati samo uz pomoć računala.

Modeliranje tog gibanja u računalu izvodi se pomoću matričnog računa na temelju primjene

linearne algebre u mehanici.

Da bi se studentima olakšao taj pristup, u šestom poglavlju izloženi su poznati

temeljni zakoni dinamike krutog tijela, ali na temelju linearne algebre, s posebnim osvrtom na

određivanje glavnih osi tenzora tromosti i na zakone relativnog gibanja koji su potrebni u

dinamici leta. Budući da se suvremena mehanika leta zrakoplova temelji na teoriji o gibanju

tijela promjenljive mase, u nastavku ovog poglavlja cjelovito je objašnjena Gantmaherova

teorija o gibanju tijela promjenljive mase. Na temelju te teorije, korištenjem kontrolne

površine i načela očvrsnuća, izvedene su jednadžbe gibanja zrakoplova kao i komponente

pogonske sile i pogonskog momenta mlaznog motora. Time su u šestom poglavlju postavljeni

temelji za izučavanje performansa zrakoplova.

Sedmo poglavlje obrađuje ravnotežni let, koji se razlikuje od klasičnog pristupa

mehanike leta zrakoplova po kome su zrakoplovi morali biti statički stabilni da bi letjeli.

Suvremena mehanika leta omogućuje let zrakoplova koji su statički nestabilni, jer imaju bolje

manevarske sposobnosti. Zato je posebna pozornost poklonjena ovoj problematici. U ovom

poglavlju u vezi s problemom statičke stabilnosti objašnjen je i pojam neutralne točke, a zatim

je u ravnotežnom letu definiran pojam vektora opterećenja kao i upravljivost letjelice. Taj isti

pristup primijenjen je na uzdužno i na bočno gibanje. Pri izučavanju bočnoga gibanja

objašnjen je i utjecaj bočnog vjetra kao i potreban otklon kormila pravca za njegovu

kompenzaciju. Posebna pažnja posvećena je sigurnosti leta u slučaju otkaza bočnog motora.

Kako je zbroj momenata za središte mase u ravnotežnom letu jednak nuli, gibanje zrakoplova

u ravnotežnom letu zamjenjuje se gibanjem upravljive materijalne točke. S tim modelom

izučavaju se performanse zrakoplova.

XV

U osmom poglavlju najprije se objašnjava veza između performansa pogona i

aerodinamike letjelice i s tim u vezi ovojnica leta u horizontalnom letu. Zatim su objašnjeni

optimalni režimi horizontalnog leta, penjanja i spuštanja. Posebno detaljno razmatran je

koordinirani horizontalni zaokret za zrakoplove s elisom i s mlaznim motorom.

U devetom poglavlju objašnjeni su principi polijetanja i slijetanja zrakoplova, a

posebna je pažnja usmjerena na problem sigurnosti.

U desetom poglavlju proučava se totalna energija. Osim uobičajenih teorema o

specifičnom višku snage, obrađeni su i problemi usporedbe dvaju zrakoplova lovaca s gledišta

performansi. Konačno objašnjeni su načini određivanja optimalnog penjanja za najmanje

vrijeme i za najmanju potrošnju goriva.

Četvrta cjelina u jedanaestom poglavlju izučava gibanja zrakoplova kao krutog tijela

promjenljive mase (6DOF, six degrees of freedom). Postavljena su dva modela 6DOFa. Za

simulatore leta koji služe za izučavanje mnogih pojava u letu koristi se prvi model u kome

vjetar može biti promjenljiv u vremenu i prostoru. Drugi model pretpostavlja konstantan

vjetar. Taj model se prije koristio u mnogim trenažerima leta, pa je zato ovdje izložen. U oba

modela izvedene su po dvije varijante, pomoću De Sparreovih kutova ili pomoću Hamilton-

Rodriguezovih parametara.

Udžbenik Mehanike leta završava petom cjelinom koju čine dvanaesto, trinaesto i

četrnaesto poglavlje. U dvanaestom poglavlju objašnjeno je načelo linearizacije, a zatim su

pomoću njega linearizirane jednadžbe 6DOF modela. Tako su dobiveni linearni modeli

uzdužnog i bočnog gibanja. U trinaestom poglavlju analizirana je dinamička stabilnost

uzdužnog gibanja. Prvo su određeni mogući oblici poremećaja (modovi) uzdužnog gibanja, a

zatim su primjenom teorije linearnih sustava dobivene prijenosne funkcije zrakoplova i

poremećaji zbog impulsa i odskoka otklona kormila visine. Izvršena je harmonijska analiza i

objašnjena pojava rezonance. Na kraju tog poglavlja dani su kriteriji ocjene upravljivosti

zrakoplova bez povratne veze u uzdužnom gibanju. Isto tako, u četrnaestom poglavlju prvo su

određeni mogući oblici gibanja po pravcu i valjanju. Zatim se primjenom teorije linearnih

sustava istodobno dobivene prijenosne funkcije i poremećaji skretanja i valjanja zbog impulsa

i odskoka otklona kormila pravca ili krilca. Izvršena je harmonijska analiza i bočnog gibanja,

a na kraju tog poglavlja dani su kriteriji za klasifikaciju zrakoplova s obzirom na njegovu

namjenu ako se bočnim gibanje upravlja bez povratne veze.

Kinematika leta 1-1

1 KINEMATIKA LETA

1.1 Matrični zapis vektora

1.1.1 Baza koordinatnog sustava

Svaki Deckartov koordinatni sustav određen je s tri jedinična vektora njegovih koordinatnih

osi:

zyx bbbrrr

1.1

koje zovemo baza koordinatnog sustava. U slučaju desnog koordinatnog sustava (uvijek

ćemo se služiti desnim koordinatnim sustavom), prva dva vektora pomnožena vektorski daju

treći (drugi pomnožen s trećim daje prvi, a treći s prvim daje drugi). Bilo koji vektor r

V bit će

u tom koordinatnom sustavu određen jednadžbom:

zzyyxx bVbVbVVrrrr

++= 1.2

u kojoj su V V Vx y z projekcije vektora r

V na osi koordinatnog sustava A. Uvodimo

oznaku za matricu od jednog stupca koju čine tri komponente jednog vektora:

[ ]V Ax

y

z

x y z

TV

V

V

V V V=

= 1.3

i matricu od jednog stupca koju čine tri jedinična vektora nekog koordinatnog sustava

[ ]Tzyx

z

y

x

bbb

b

b

brrr

r

r

r

r=

=b 1.4

Tu matricu od tri jedinična vektora nekog koordinatnog sustava zovemo baza toga

koordinatnog sustava. Matrice označavamo masnim slovima. Indeks gore označava u kojemu

su koordinatnom sustavu zadane komponente vektora i izostavljamo ga ako se

podrazumijeva u kojem su koordinatnom sustavu dane komponente. S ovim oznakama bit će:

( ) ( ) bVVrrr TAAT

bV == 1.5

ili

Kinematika leta 1-2

VArr

bV = 1.6

1.1.2 Vektorski i skalarni produkt vektora

Poznate su nam komponente C i D dvaju vektora u koordinatnom sustavu čija je baza rb

r r

r rC

D

T=

=

b C

b DT

Želimo matrično izračunati komponente u istom koordinatnom sustavu od skalarnog i

vektorskog produkta:

S C D

A C D

= ⋅

= ×

r r

r r r

Skalarni produkt lako nalazimo prema definiciji:

S T T T= ⋅ =C b b D C Dr r

,

jer je r rbbT jedinična matrica.

Da bi smo odredili komponente vektorskog produkta, pomnožimo skalarno jednadžbu

vektorskog produkta

( )r r rb A b DT TC= ×

s bazom rb . Dobivamo:

( )[ ]

A b b D

b D

= ⋅ ×

= ⋅ × × ×

r r r

r r r r r r rC

C b C b C b

T

x y z

Kako je:

( )( )( )

r r r r r r

r r r r r r

r r r r r r

b C b C b C b C b C b



x x y y z z x y z z y

x x y y z z y x z z x

x x y y z z z x y y x

+ + × = − +

+ + × = −

+ + × = − +

bit će:

( ) [ ]r r r

r

r

r

r r r r r rb b⋅ × =

⋅ − + − − +C

b

b

b

C b C b C b C b C b C bTx

y

z

y z z y x z z x x y y x 1.7

ili

Kinematika leta 1-3

( )r r rb b⋅ × =

−−

−

C

C C

C C

C C

Tz y

z x

y x

0

0

0

1.8

Ovu antisimetričnu matricu koja ima nule na glavnoj dijagonali, sastavljenu od komponenti

vektora nazivamo kososimetrična matrica. Obično je obilježavamo sa ~C . Tako konačno

dobivamo matricu A od komponenti vektorskog produkta:

A CD=−

−−

=0

0

0

C C

C C

C C

D

D

D

z y

z x

y x

x

y

z

~ 1.9

Zapamtit ćemo da vektorski produkt dvaju vektora, čije su komponente poznate, ima

komponente koje se dobivaju matričnim množenjem kososimetrične matrice prvoga vektora s

matricom od jednog stupca drugog vektora.

1.1.3 Derivacija vektora

U dinamici leta vrlo se često susrećemo s problemom koji možemo formulirati ovako: u

nekom koordinatnom sustavu B, koji rotira poznatom kutnom brzinom rΩ (poznate

komponente p, q i r duž osi toga koordinatnog sustava), poznate su nam komponente duž osi

toga koordinatnog sustava od vektora r

V

[ ]V = u v wT

1.10

koje su funkcije vremena, a nama su potrebne komponente (duž osi toga istog koordinatnog

sustava B) derivacije po vremenu vektora r

V . Obilježimo tu derivaciju sa ra .

Ako je rb baza promatranog koordinatnog sustava, onda je

r r

V T= b V .

Po definiciji, tražena derivacija je

( )r rr

ra b V

bV b

V= = +

d

dt

d

dt

d

dtT

TT .

Komponente bilo kojeg vektora, tj. matricu komponenata, dobivamo kad dani vektor

pomnožimo skalarno ispred s bazom koordinatnog sustava:

a bb V V= +r r& &T 1.11

Kinematika leta 1-4

Napomenimo najprije da izvod po vremenu komponenata koje obilježavamo sa

[ ]& & & &V = u v wT

nije isto što i komponente izvoda koje obilježavamo sa a. Kao što vidimo,

razlika je član r rbb V& T . Razvijmo produkt

r rbb& T .

Kako je derivacija po vremenu bilo kojeg jediničnog vektora jednaka vektorskom

produktu kutne brzine toga jediničnog vektora te samog jediničnog vektora, a sva tri

jedinična vektora imaju istu kutnu brzinu koja je jednaka kutnoj brzini koordinatnog sustava

B, bit će:

r r r r rbb b b& T T= ×Ω , 1.12

a prema definiciji kososimetrične matrice, na desnoj strani je upravo kososimetrična matrica

kutne brzine koordinatnog sustava B, tj.

r rbb&

~= Ω . 1.13

Kako vidimo, dobiveni rezultat je koso simetrična matrica komponenti trenutne kutne brzine

[ ]Ω = p q rT

koordinatinog sustava B, te je

a V V= +~ &Ω . 1.14

Prema tomu, zapamtimo, ako vektor rV ima komponente u v w poznate u koordinatnom

sustavu B čija je kutna brzina [ ]Ω = p q rT

, onda derivacija po vremenu vektora rV ima

komponente (u koordinatnom sustavu B)

a

a

a

r q

r p

q p

u

v

w

u

v

w

x

y

z

=−

−−

+

0

0

0

&

&

&

1.15

Moguće je [ ]& & & &V = u v wT nazvati relativna derivacija vektora

rV , jer ona ne uzima u obzir

rotaciju koordinatnih osi, dok apsolutna derivacija jest zbroj relativne derivacije i člana zbog

rotacije koordinatnih osi. U jednadžbi apsolutna derivacija nalazi se na lijevoj strani, a na

desnoj strani prvi član je posljedica rotacije koordinatnog sustava B, a drugi član predstavlja

relativnu derivaciju.

Kinematika leta 1-5

1.2 Matrice transformacija

Kad izračunavamo složene probleme mehanike leta kao što je let zrakoplova, tada

primjenjujemo znanja iz više oblasti. Na primjer, aerodinamičke sile određujemo prema

teoriji i praksi aerodinamike, pogonske sile prema konstrukciji motora, a sila Zemljine teže

određena je u geofizici. Tako se susrećemo s problemom da je jedna sila poznata u jednom

koordinatnom sustavu, druga u drugomu, treća u trećemu, a mi želimo kretanje tijela u

četvrtome koordinatnom sustavu. Ovaj problem nameće potrebu za nekim jednostavnim

načinom prijelaza iz jednoga koordinativnog sustava u drugi, što znači ne zadržavati se na

problemu određivanja komponenti vektora u nekom koordinatnom sustavu ako su one

poznate u drugome. Za rješenje tog problema služit ćemo se matricama transformacija, jer je

matrični račun pogodan za rad na računalu.

1.2.1 Definicija i svojstva matrice transformacije

Ako imamo neki drugi desni koordinatni sustav čija je matrica jediničnih vektora rb (baza

koordinatnog sustava B), onda je taj isti vektor r

V u tom drugom koordinatnom sustavu:

( )r rV

T B= b V

te mora biti:

( ) ( )r ra V b V

T A T B=

Množenjem ove matrice ispred s matricom rb dobivamo:

V b a VB T A=r r

Produkt matrica r rba T nazivamo matricom transformacije u koordinatni sustav B iz

koordinatnog sustava A, te je označavamo sa L BA , tj. bit će:

[ ]L b aBAT

x

y

z

x y z

x x x y x z

y x y y yz z

z x z y z z

b

b

b

a a a

b a b a b a

b a b a b a

b a b a b a

= =

=

r r

r

r

rr r r

r r r r r rr r r r r rr r r r r r

1.16

ili

[ ]L BA xb

yb

zba a a= . 1.17

Korisno je znati zapis ove matrice u računalu npr. u FORTRANU ona ima oblik

Kinematika leta 1-6

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

=

3,33,23,1

2,32,22,1

1,31,21,1

LLL

LLL

LLL

BAL 1.18

Matrica transformacije ima dimenzije 3x3 (kvadratna trećega reda). Njen član lij predstavlja

kosinus kuta između osi “i koordinatnog sustava B” i osi “j koordinatnog sustava A”.

Prvo svojstvo matrice transformacije dobivamo polazeći od jednakosti:

V L VBBA

A=

Množenjem inverznom matricom ispred dobivamo:

L V VBAB A− =1

te je prvo svojstvo matrice transformacije

L LA B BA= −1 . 1.19

Drugo svojstvo matrice transformacije dobivamo iz jednakosti intenziteta vektora

( ) ( )V V V VB T B A T A=

iz koje slijedi:

( ) ( )V L V V VB T

BAA A T A=

( ) ( )V L VB T

BAA T

=

L V VBAT B A=

L LBAT

AB= . 1.20

To je vrlo važno svojstvo matrice transformacije jer je mnogo lakše transponirati matricu

negoli odrediti njenu inverznu matricu. Iz ove jednadžbe slijedi i zaključak da je determinanta

matrice transformacije jednaka jedinici:

L BA = 1. 1.21

Zbroj kvadrata članova jednog stupca ili jednog retka bit će zbroj kvadrata kosinusa kutova

koje čini jedna od osi s osima drugoga koordinatnog sustava, te taj zbroj mora biti jednak

jedinici.

Ako kososimetričnu matricu treba množiti s matricom transformacije ispred LP E ,

onda će se ona transformirati, tj. sve će komponente iz jednog koordinatnog sustava prijeći u

Kinematika leta 1-7

komponente drugoga sustava, a matrica transformacije bit će iza novo oblikovane

kososimetrične matrice

L C C LP EE P

P E

~ ~= . 1.22

Da bismo dokazali ovo svojstvo, pretpostavimo dva različita koordinatna sustava “E” i “P”.

Vektorsko množenje možemo obaviti u oba koordinatna sustava:

EEE CBA =~

PPP CBA =~.

Kako je

L C CPEE P= ,

mora biti

L A B A BPEE E P P~ ~=

odakle dobivamo:

L A A LPEE P

PE

~ ~= . 1.23

Ova jednadžba pokazuje kako množenjem ispred, kososimetrične matrice sastavljene od

komponenata vektora u koordinatni sustav “E” s matricom transformacije, dobivamo

kososimetričnu matricu istog vektora, ali sastavljenu od komponenata u koordinatnom

sustavu “P” pomnoženu iza s istom matricom transformacije, što ima za posljedicu

transformaciju vektorskog produkta u matričnom obliku:

( )L A B L A B A L B A BPEE E

PEE E P

PEE P P~ ~ ~ ~= = = . 1.24

1.2.2 Derivacija matrice transformacije

Neka je vektor rr konstantan u prostoru u kojemu se nalazi koordinatni sustav A koji miruje.

Matrica r A (koju čine komponente toga vektora u koordinativnom sustavu A) bit će

konstantna matrica. Koordinatni sustav B ima kutnu brzinu rΩB A/ (u odnosu na koordinatni

sustav A), te zato su komponente konstantnog vektora u koordinatnom sustavu B

promjenljive veličine, a to znači da su članovi matrice r B funkcije vremena. U svakom

trenutku postoji matrica transformacija LBA koja je također funkcija vremena, takva da je

r L rBBA

A= 1.25

te je

Kinematika leta 1-8

& &r L rBBA

A= , 1.26

jer su članovi matrice r A konstante. Sa &r B označili smo matricu koju čine derivacije

komponenti vektora rr u koordinatnom sustavu B. Komponente derivacije bilo kojeg vektora

u koordinatnom sustavu B koji rotira kutnom brzinom rΩB A/ bit će u koordinatnom sustavu B

~&Ω r rB B+ .

Međutim, kako je vektor rr konstantan, njegova derivacija je nulti vektor, te je

&~

r rB B= −Ω .

Zamijenimo li u ovoj jednadžbi &r B sa &L rBAA i r B sa L rBA

A , dobivamo traženi izvod

matrice transformacije

BAABBA LL /

~Ω−=& . 1.27

1.2.3 Određivanje matrice transformacije pomoću kutova

Vrijednosti članova matrice transformacija LBA ovise o položaju koordinatnog sustava B u

odnosu na koordinatni sustav 1. U mehanici postoje tri načina za određivanje položaja jednog

koordinatnog sustava u odnosu na drugi koordinatni sustav. To su: Eulerovi kutovi, de

Sparreovi kutovi i Hamilton - Rodriguezovi parametri.

Eulerovi kutovi ne primjenjuju se u mehanici leta, već tzv. de Sparreovi kutovi, te

ćemo se i mi koristiti njima. Zadani koordinatni sustav B zaokrenut je u odnosu na

koordinatni sustav A: za kut ψ oko z osi , za kut ϑ oko novog položaja y osi i konačno za kut

φ oko najnovijeg položaja x osi. Te kutove φ ϑ ψ nazivamo de Sparreovi kutovi (sl.1-1).

Slika 1-1 De Sparreovi kutovi

Kinematika leta 1-9

Matricu transformacije odredit ćemo postupno od ta tri kuta. Promatrat ćemo transformaciju

LBA (u B iz A) kao rezultat triju sukcesivnih transformacija:

1) za kut ψ oko treće osi Lz(ψ),

2) za kut ϑ oko druge osi L(ϑ),

3) za kut φ oko treće osi L(φ).

Svakoj od tih transformacija odgovara po jedna matrica transformacije. Rezultat svake

sljedeće transformacije jest produkt matrice transformacije ispred vektora. Tako će poslije

prve transformacije (rotacija za kut ψ oko treće osi) komponente vektora r

V biti

( )L VzAψ , 1.28

poslije druge transformacije (rotacija za kut ϑ oko druge osi) bit će

( ) ( )L L Vy zAϑ ψ 1.29

i poslije treće transformacije (rotacija za kut φ oko prve osi), bit će

( ) ( ) ( )L L L Vx y zAφ ϑ ψ . 1.30

Prema tome vidimo da je matrica transformacija u koordinatni sustav B iz koordnatnog

sustava A

( ) ( ) ( )L L L LBA x y z= φ ϑ ψ . 1.31

Koristeći se definicijom matrice transformacija, dobivamo:

( )L x φ φ φφ φ

=−

1 0 0

0

0

cos sin

sin cos

1.32

( )L y ϑϑ ϑ

ϑ ϑ=

−

cos sin

sin cos

0

0 1 0

0

1.33

( )Lz ψψ ψψ ψ= −

cos sin

sin cos

0

0

0 0 1

1.34

Produkt svih triju matrica transformacije daje:

LBA

c c c s s

c s s s c c c s s s s c

s s c s c s c c s s c c

=−

− + +− + − +

ϑ ψ ϑ ψ ϑφ ψ φ ϑ ψ φ ψ φ ϑ ψ φ ϑφ ψ φ ϑ ψ φ ψ φ ϑ ψ φ ϑ

1.35

Kinematika leta 1-10

Radi kraćeg pisanja označili smo sa “s” sinusnu, a sa “c” kosinusnu funkciju. Općenito,

možemo reći kako je matrica transformacija jedna matrična funkciju od tri parametra te je

( ) ( ) ( ) ( )ψϑφψϑϕ ,,LLLLL =⋅⋅= ZYXBA . 1.36

U korisničkoj biblioteci možemo napraviti potprogram u kojeme su ulazni parametri ta tri

kuta (u radijanima) ϕ, ϑ i ψ, a izlaz je matrica transformacije BAL , dimenzija 3x3.

1.2.4 Određivanje matrice transformacije pomoću parametra

Proračun trigonometrijskih funkcija pomoću računala razmjerno je dugotrajan u usporedbi s

proračunom osnovnih računskih operacija. To je razlog zašto se nastoji izbjeći proračun

matrica transformacija na osnovi kutova ϕ, ϑ i ψ.

Slika 1-2. Hamilton-Rodriguezovi (Eulerovi) parametri

Prijelaz iz koordinatnog sustava A u koordinatni sustav B može se ostvariti zaokretom za

jedan kut χ oko neke osi čiji je jedinični vektor ru . Matrica od jednog stupca sastavljena od

komponenti toga jediničnog vektora u koordinatnom sustavu A poznata je i označit ćemo je

sa “u”. Cijeli koordinatni sustav okrene se oko ru za kut χ kao kruto tijelo te prijeđe iz


položaja A u položaj B (slika 1-2). Pri tomu, svaka os koordinatnog sustava napravi isti kut

rotacije χ oko ru . Hamilton - Rodriguezovi parametri (u literaturi iz SADa nazivaju se

Eulerovi parametri) po definiciji su:

[ ] .

2

2cos

321

0

χ

χ

sineee

e

T ue ==

= 1.37

To znači da imamo četiri parametra od kojih prvi 0e jest kosinus polukuta rotacije, a preostala

tri su komponente vektora duž osi rotacije čiji je intenzitet sinus polukuta rotacije. Iz toga

slijedi prvo svojstvo parametara:

e e e e02

12

22

32 1+ + + = . 1.38

Uvedemo li oznaku za matricu od jednog stupca

[ ]p = e e e eT

0 1 2 3 , 1.39

prvo je svojstvo parametara

p pT = 1, 1.40

a deriviranjem te jednadžbe bit će i

p pT & = 0 . 1.41

Za daljnje izvođenje nužne su neke jednadžbe veza između tih parametara, koje lako

dobivamo na osnovi gornjih definicija:

( )~~

~& ~ & &

~~& & &

e e I ee

e e ee I

e e ee I

= − +

= +

= +

e

e e

e e

T

T

T

02

0 0

0 0

1

1.42

Promatrajmo jednu os određenu jediničnim vektorom ra kada je koordinatni sustav u položaju

A. Trebamo odrediti jedinični vektor te iste osi poslije rotacije χ oko ru . Obilježimo sa

rb taj

novi položaj jediničnog vektora osi poslije rotacije kad je koordinatni sustav došao u položaj

A. Znači jedinični vektor ra poslije rotacije χ oko osi

ru postaje jedinični vektor

rb (slika 1-2).

Vrh jediničnog vektora ra opisao je jedan dio kružnice KH sa središtem u C na osi rotacije

ru .

U ravnini kružnice iz točke H spustimo okomicu na polumjer kružnice CK. Nazovimo tu

okomicu vektor rn , a neka je vektor

rr udaljenost od središta kružnice do okomice. Intenzitet

tog vektora ra je HC sin χ , a smjer i pravac podudaraju se s vektorskim produktom

r ru a× . S


obzirom na intenzitet toga vektorskog produkta, koji je jednak polumjeru CK ili CH, bit će u

matričnom obliku:

( )[ ] .cos

~

χχ

uauar

aunT

sin

−==

Sad smo u mogućnosti izraziti u matričnom obliku i jedinični vektor b:

( )( ) ( )[ ]

( )( ) .~1

~

χχχχχ

sincoscos

sincosT

TT

T

auauua

auuauauau

nruaub

+−+=+−+=

++=

S obzirom na vrijednosti Hamilton-Rodriguezovih parametara zamijenit ćemo

trigonometrijske funkcije njihovim vrijednostima ovisno o polukutu χ 2 .

.2

cos2

sin2sin

2sin2cos1

12

cos2cos

2

2

χχχ

χχ

χχ

=

=−

−=

Poslije tih zamjena dobivamo:

( )( ) ( ) .~2212

2cos

22~

2sin21

22

020

22

aeaeea

auauuab

ee

sincos

T

T

++−=

++

−= χχχχ

Razvijanjem matrica možemo pokazati da je

( ) ( )e e a ee aT T= ,

te pomoću ove relacije imamo konačni izraz za zarotirani jedinični vektor osi-z:

( )[ ]b ee e a= − + +2 1 202

0e eT ~ 1.43

b je matrica komponenti (u koordinatnom sustavu A) jediničnog vektora osi koja je zarotirana

u novi položaj B, a a je matrica komponenti te osi (u istom koordinatnom sustavu A) prije

rotacije.

Prema definiciji matricu transformacije čine tri jedinična vektora osi koordinatnoga

sustava iz kojega se polazi u odnosu na sustav u koji se dolazi, a to znači da je:

[ ] ( ) ( )[ ][ ]zyxTA

ZAZ

AXAB ee aaaeeebbbL ~212 0

20 ++−==

( ) ( ),~212 020 eeeIL ee T

AB ++−= 1.44

ili


−++−

−−++

+−−+

=

2

12

12

1

2

20

2310322013

103220

223021

2013302120

21

eeeeeeeeee

eeeeeeeeee

eeeeeeeeee

ABL . 1.45

S obzirom na to što je eeT simetrična matrica, a ~e kososimetrična, bit će

( ) ( )L I ee eBATe e= − + −2 1 20

20~ , 1.46

ili

L BA

e e e e e e e e e e

e e e e e e e e e e

e e e e e e e e e e

=

+ − + −

− + − +

+ − + −

2

1

21

21

2

12

02

1 2 0 3 3 1 0 2

1 2 0 3 22

02

2 3 0 1

3 1 0 2 2 3 0 1 32

02

. 1.47

Time smo odredili matricu transformacije ovisno o Hamilton - Rodriguezovim parametrima i,

kao što vidimo, članovi matrice nisu trigonometrijske funkcije parametara, već polinomi

drugoga reda koji se vrlo brzo računaju u procesoru računala.

1.2.5 Veze između parametara i kutova

Možemo lako naći vezu između Hamilton - Rodriguezovih parametara i de Sparreovih

kutova. Razmotrimo prvo slučaj kad poznamo de Sparreove kutove, a želimo naći Hamilton -

Rodriguezove parametre. Pomoću de Sparreovih kutova možemo izračunati matricu

transformacije ABL . Kad su nam poznati članovi ijl te matrice transformacije

=

333231

232221

131211

lll

lll

lll

ABL . 1.48

Usporedbom dobivamo zbroj članova jednak dijagonali:

142

332 2

020

23

22

21 −=

−+++= eeeeetr ABL 1.49

te je:

( )

4

120

+= ABtre

L. 1.50


Predznak parametra 0e time je neodređen. Pretpostavimo li da je predznak +, tada je 0e

određeno. Uspoređivanjem razlika članova simetričnih u odnosu na glavnu dijagonalu

dobivamo

0

23321 4e

ell −= ,

0

31132 4e

ell −= ,

0

12213 4e

ell −= . 1.51

Ako smo odabrali pogrešan predznak za 0e vektor e promijenit će smjer te je transformacija

ista jer koordinatni sustav transformiramo iz položaja A u položaj B na isti način (suprotna

rotacija na obratnom smjeru osi rotacije isto je što i zadana rotacija oko zadanog smjera osi

rotacije).

Drugi slučaj, kada znamo Hamilton-Rodriguezove parametre, a trebamo de Sparreove

kutove, lakši je jer jednostavnom usporedbom matrica ABL , napisane pomoću de Sparreovih

kutova i pomoću Hamilton-Rodriguezovih parametara, dobivamo:

( )

tge e e e

e e

e e e e

tge e e e

e e

ψ

ϑ

φ

=−

+ −= − −

=+

+ −

0 3 1 2

02

12

1 3 0 2

2 3 0 1

02

32

1 2

2

1 2

sin 1.52

1.2.6 Diferencijalne jednadžbe parametara

Poseban problem jest taj kako za vrijeme gibanja nekog objekta u svakom trenutku odrediti

Hamilton-Rodriguez-ove parametre p. Budući da dinamičke jednadžbe određuju kutnu brzinu

objekta u ovisno o vremenu, problem se svodi na kinematičku zadaću iznalaženja veze

između te kutne brzine i derivacija po vremenu Hamilton-Rodriguez-ovih parametara. Da bi

lakše riješili taj problem uvodimo dvije nove pomoćne matrice:

[ ]E e J e= − +e0~ 1.53

[ ]G e J e= − −e0~ . 1.54

Te matrice imaju neka svojstva na kojima ćemo temeljiti nalaženje derivacija Hamilton-

Rodriguezovih parametara.

Prva Lema

TAB EGL = 1.55


Dokaz

[ ] eeeJeeeJ

eeJeEG ~~~2~~

00

0

0 +++=

+−

+−= eee

e TT

T

Pomoću jednadžbe za matricu ABL bit će

( ) ( ) ABTT ee LeeeJEG =++−= ~212 0

20

Druga lema

& &EG EGT T= 1.56

Dokaz

eeeeJeeeJ

eeJeGE ~~~~

~]~[ 0000

0

0&&&&&&&&& ++++=

+−

⋅+−= eeeee

e TT

T

eeeeJeeeJ

eeJeGE &&&&&

&&

&& ~~~~~]~[ 0000

0

0 ++++=

+−

⋅+−= eeeee

e TT

T

a s obzirom na svojstva Hamilton-Rodriguezovih parametara dokazana je druga lema.

Treća lema

E E J ppT T= − 1.57

Dokaz

[ ]

−−−−

=+−

−−

=eeJe

eeeeeeJe

eJ

eEE ~~

~~

~ 200

00

0 ee

ee

e

TTTTT

Kako je

( )− = =e e eeT T~ ~ 0

i prema polaznoj jednadžbi, dobivamo konačno

E Ee

e J eeJ ppT

T

T

Te e

e=

− −− −

= −

1 02

0

0

.

Isto tako možemo dokazati i drugi oblik treće leme

G G J ppT T= − . 1.58

Četvrta lema

Gp Ep= = 0 1.59


Dokaz:

[ ]Gp e J ee

e e ee 0= − −

= − + − =e

ee e0

00 0

~ ~

Analogno tomu je i Ep = 0.

Peta lema

GG& T jednako je koso simetričnoj matrici od Gp& 1.60

Dokaz

[ ] TT

T

TT ee

ee eeeeee

eJ

eeJeGG &&&&

&&

&& −−+=

+−

−−= ~~~

~000 .

Uz pomoć treće leme biti će

( ) TTTTT eeeeeeee eeeeeeJeeeeJeeGG &&&&&&&&&&& −−+=+−−++= ~~~~00000000 .

Odredimo vektor

[ ] eeeee

eJepG &&&&

&& ~~

000

0 −+−=

−−= eee

e .

Kako je

~&

& &

& &

& &

ee =− +

−− +

e e e e

e e e e

e e e e

3 2 2 3

3 1 1 3

2 1 1 2

,

bit će koso simetrična matrica od ovog vektora

0

0

0

1 2 1 2 1 3 1 3

2 1 2 1 2 3 2 3

3 1 3 1 3 2 3 2

& & & &

& & & &

& & & &

& &

e e e e e e e e

e e e e e e e e

e e e e e e e e

T T

− −− −− −

= −ee ee .

Na temelju ovog rezultata koso simetrična matrica Gp& bit će

− + − +& ~ ~& & &e e T T0 0e e ee ee ,

što je trebalo dokazati.

Derivacije Hamilton-Rodriguezovih parametara nalazimo na slijedeći način. Polazimo

od jednadžbe:

& ~L LBA B A

BBA= −Ω ,

ili poslije transformiranja

ABTAB

BAB LL &=Ω~ .


Prema značajkama pomoćnih matrica iz prve i druge leme:

TAB EGL =

TTTAB GEGEGEL &&&& 2=+=

bit će

( ) ( ) TTTTTTTTTTBAB GGppGGGppJGGEGEGEEG &&&&& 22222

~ −=−===Ω

te s obzirom na četvrtu lemu po kojoj je Gp = 0, bit će:

TAAB GG &2

~ =Ω ,

a s obzirom na petu lemu

pG &2~ =B

ABΩ .

Pomnožimo ispred ovu jednadžbu s GT .

pGGG &TBAB

T 2~ =Ω .

S obzirom na dodatnu treće lemu, dobivamo:

( ) ( )pppppppJG &&& TTBAB

T −=−= 22Ω .

Kako je p pT & = 0 bit će konačno:

BAB

T

2

1 ΩGp =& . 1.61

U ovoj jednadžbi komponente rotacije definirane su u koordinatnom sustavu B. Ova matrična

jednadžba trebati će nam u raspisanom obliku.

&

&

&

&

~

e

e

e

e

e

p

q

r

T

0

1

2

3

0

1

2

=−

+

e

J e

&

&

&

&

e

e

e

e

e e e

e e e

e e e

e e e

p

q

r

0

1

2

3

1 2 3

0 3 2

3 0 1

2 1 0

1

2

=

− − −−

−−

1.62


1.3 Koordinatni sustavi

U mehanici leta zrakoplova koristimo nekoliko koordinatnih sustava. Svaki problem zahtijeva

neki primjeren kooordinatni sustav. Tako određivanje aerodinamičkih sila i njihovih

momenata vezujemo za ravninu simetrije letjelica ili za pravac aerodinamičke brzine, dok

performanse zrakoplova izučavamo u odnosu na Zemlju, pa u tom slučaju postavljamo

koordinatni sustav vezan za Zemlju. Kada se bavimo interkontinentalnim letovima, koristimo

koordinatni sustav postavljen u središtu zemlje, a kad promatramo lokalne letove, služimo se

nekim lokalnim kooridnatnim sustavom, itd. Gibanje središta Zemlje oko Sunca u

vremenskom intervalu u kojemu izučavamo letjelicu je praktično pravocrtno s konstantnom

brzinom. Zato je koordinatni sustav s ishodištem u središtu Zemlje, a koji se ne okreće sa

Zemljom, inercijski koordinatni sustav (I). Svi ostali koordinatni sustavi jesu relativni, u

kojima djeluju i inercijske sile, jer svi imaju neku kutnu brzinu. Kao što je spomenuto na

početku, svaki se problem može najprikladnije riješiti u nekom od koordinatnih sustava. S

obzirom na probleme koje ćemo razmatrati u ovoj knjizi, trebamo pet koordinatnih sustava:

• lokalni koordinatni sustav (L),

• nošeni koordinatni sustav (O),

• koordinatni sustav letjelice (F),

• aerodinamički koordinatni sustav (A) i

• brzinski koordinatni sustav (V).

Napomenimo da su svi koordinatni sustavi desni, što znači da je dovoljno definirati dvije osi,

a treća čini desni trijedar. Uvijek si možemo pomoći desnom šakom, ako palac, kažiprst i

srednjak namjestimo okomito jedan na drugi. Palac tada označuje os-x, kažiprst os-y, a

srednjak os-z. Za svaki koordinatni sustav trebamo znati, osim definicije pravca dviju osi,

njegovu kutnu brzinu i kutove u odnosu na neki prethodno definirani koordinatni sustav.

Kutna brzina nužna je da bismo odredili inercijsku silu, a kutovi da bismo odredili matricu

transformacije u taj koordinatni sustav iz nekog drugog koordinatnog sustava.

Kutna brzina i njene komponente imat će indeks dolje kako bi se označilo na koji se

koordinatni sustav odnosi ta kutna brzina, a indeks gore označavat će koordinatni sustav na

čijim osima su komponente. Primjerice komponente kutne brzine označavamo uvijek sa

[ ]rqp . Ako su to komponente kutne brzine brzinskog koordinatnog sustava na osi

aerodinamičkog koordinatnog sustava ona ih označavamo sa [ ] AV

AV

AV

AV rqp Ω= .


1.3.1 Lokalni koordinatni sustav (L)

Ishodište je ovog koordinatnog sustava na mjestu polijetanja letjelice. Os Lx je horizontalna u

pravcu zadanog azimuta A 0 . Kut azimuta se mjeri u pozitivnom trigonometrijskom smjeru

kada se gleda odozdo, a kad kut azimuta gledamo odozgo onda je on pozitivan u smjeru

kazaljke na satu. Os Ly je vertikalna prema gore. Geocentrične koordinate ishodišta su

λ ϕ0 0 0, , h (indeks nula podsjeća da se radi o ishodištu, kada je vrijeme obično jednako nuli).

(slika 1-3). S obzirom na to što je lokalni koordinatni sustav vezan za Zemlju, on ima istu

kutnu brzinu kao i zemlja Ω E s= − −7 27 10 5 1. .

Slika 1-3. Lokalni koordinatni sustav

Budući da se taj koordinatni sustav okreće sa Zemljom konstantnom kutnom brzinom, gibanje

je u tom kordinatnom sustavu relativno gibanje. To znači da postoje dvije inercijalne sile:

centrifugalna i Coriolisova. Inercijalna centrifugalna sila koja se pojavljuje zbog ove kutne

brzine zbraja se s privlačnom silom Zemlje i zajedno čine silu Zemljine teže. Drugim

riječima, težina svake mase je zbroj dviju sila: privlačne sile Zemlje i centrifugalne sile zbog

rotacije te mase zajedno sa Zemljom. Drugu inercijalnu silu uslijed Coriolisova ubrzanja

KE Vrr

×Ω2 zanemarujemo jer je ona zbog male kutne brzine vrlo mala u odnosu na težinu.

Primjerice je za brzinu leta 240 m/s u smjeru istoka ili zapada Coriolisova ubrzanja najveće i

iznosi 2035.0 sm , što zanemarujemo u odnosu na ubrzanje težine 281.9 sm , a u slučaju leta

s juga na sjever i obrnuto Coriolisovo ubrzanje je nula.


1.3.2 Nošeni koordinatni sustav (O)

Nošeni koordinatni sustav ima ishodište u središtu mase letjelice. Os Ox je u horizontalnoj

ravnini, a Oz je vertikalna u smjeru prema dolje (slika 1-4). Zanemarujemo li

• zakrivljenost Zemljine površine, onda su kutovi λ λ= 0 i ϕ ϕ= 0 konstantni i

• kutnu brzinu Zemlje 0=EΩ ,

onda nošeni koordinatni sustav nema kutnu brzinu 0=OOΩ , tj. nošeni koordinatni sustav ne

rotira tijekom leta, već ostaje paralelan samom sebi. U svim problemima koje razmatramo u

ovoj knjizi opravdane su ove dvije pretpostavke o zanemarivanju zakrivljenosti Zemljinine

površine i o zanemarivanju kutne brzine..

Slika 1-4. Translacija nošenog koordinatnog sustava kada je & &λ ϕ= = 0

Radi pojednostavljenja, postavljamo nošeni koordinatni sustav paralelno s lokalnim, pa zato

on ostaje u tijeku leta paralelan s lokalnim koordinatnim sustavom, ali putuje sa središtem

mase letjelice (zato smo mu dali ime "nošeni", slika 1-5). U odnosu na nošeni koordinatni

sustav definiramo “stav” letjelice i izučavamo njeno gibanje oko središta mase.

1.3.3 Koordinatni sustav letjelice (F)

Ovaj koordinatni sustav Oxyz kruto je vezan za letjelicu. Najprikladnije je usvojiti glavne

ose tromosti kao koordinatni sustav letjelice, a da je njegovo ishodište u središtu mase (ako se

drukčije ne odredi). Os x i os z nalaze se u ravnini simetrije letjelice i to os x duž tijela u


smjeru leta, a os z je nadolje, dok je os y okomita na ravninu simetrije. Zato što je taj

koordinatni sustav kruto vezan za letjelicu, njegova je kutna brzina ujedno i kutna brzina

letjelice. Slovo F sa kojim označavamo taj koordinatni sustav dolazi od engleske riječi

"frame", ali kako je to najviše upotrebljavan koordinatni sustav, sve veličine definirane u tom

koordinatnom sustavu nemaju nikakvih oznaka. Usmjerenost tog koordinatnog sustava

određena je u odnosu na nošeni pomoću tri kuta (slika 1-5)

ψ u horizontalnoj ravnini oko osi z O , nazivamo ga kut zanosa,

θ u vertikalnoj ravnini oko horizontalne osi ~y , nazivamo ga kut propinjanja,

φ oko osi x, nazivamo ga kut valjanja letjelice.

Matrica transformacije za ove tri rotacije ψ θ φ, , je

( ) ( ) ( )L L L LF O X Y Z= φ θ ψ , 1.63

Slika 1-5. Koordinatni sustav letjelice

što pišemo kraće ( )ψϑφ ,,OFL . Kutna brzina letjelice koja je i kutna brzina njenog

koordinatnog sustava

φθψr&

r&

r&

r++=Ω 1.64

ima projekcije na osi tog koordinatnog sustava


( )

+

+

=

0

0

0

0

0

0 φθφ

ψ

&

&

&XOF LLΩ .

Poslije množenja matrica i zamjene dobivamo

−++−

=

=

φθθφψφθθφψ

φθψ

sincoscos

coscossin

sin

&&

&&

&&

r

q

p

Ω . 1.65

Kao što je već spomenuto, nije potrebno posebno označavati da su to projekcije na osi

letjelice, jer kada nije tako onda to i posebno označimo. Matricu na desnoj strani gornje

jednadžbe možemo rastaviti u produkt dviju matrica

−

−=

−++−

ψθφ

θφφθφφ

θ

φθθφψφθθφψ

φθψ

&

&

&

&&

&&

&&

coscossin0

cossincos0

sin01

sincoscos

coscossin

sin

Matricu 3 3× na desnoj strani označavamo sa R. Ona je funkcija dvaju kutova ϑφ i , nije

matrica transformacije i na nju se ne odnose pravila o matrici transformacija. Sa s

označavamo novi pojam stav. To je matrica koju čine tri kuta

[ ]s = φ θ ψT

. 1.66

S ovim oznakama je

( ) sR &⋅= ϑφ,Ω

( ) Ω⋅= −1Rs ϑφ,& , 1.67

ili

−=

r

q

ptgtg

θφθφφφθφθφ

ψθφ

coscoscossin0

sincos0

cossin1

&

&

&

. 1.68

1.4 Brzine letjelice

Razlikujemo dvije brzine letjelice. Prva je brzina letjelice u odnosu na Zemlju. Nazivamo je

brzina leta i označavamo je sa r

VK . Druga je brzina letjelice u odnosu na zrak r

V i nju

nazivamo aerodinamička brzina (bez indeksa). Između te dvije brzine imamo vezu

r r r

V V VK W= + , 1.69


gdje je WVr

brzina zraka (u odnosu na Zemlju) ili, kratko, vjetar.

Ponekad nam je potrebna brzina zraka u odnosu na letjelicu, ali ne u neposrednoj

blizini letjelice, gdje je zračna struja poremećena prisutnošću letjelice. Tu brzinu nazivamo

"brzina opstrujavanja", a označavamo je sa ∞Vr

. Ona je jednaka po intenzitetu i pravcu

aerodinamičkoj brzini, ali suprotnog je smjera. Drugim riječima, brzina opstrujavanja je

VVrr

−=∞ .

1.4.1 Brzina leta i brzinski koordinatni sustav (V)

Kao što je rečeno brzina leta je brzina letjelice u odnosu na Zemlju. Ona je određena svojim

intenzitetom VK i pomoću dva kuta (slika 1-6).

• χ je kut u horizontalnoj ravnini oko osi Oz od osi Ox do horizontalne projekcije

brzine (pozitivan oko osi z prema dolje), nazivamo ga kut skretanja,

• γ je u vertikalnoj ravnini od horizontalne projekcije do brzine leta (pozitivan

prema gore), nazivamo ga kut prenjanja.

Slika 1-6. Brzinski koordinatni sustav

Projekcije brzine leta na osi letjelice obilježavamo uvijek sa

[ ]VK K K K

Tu v w= . 1.70

Za rješenje nekih problema kao što su to izračunavanja performansa zrakoplova,

dovoljno je promatrati samo gibanje središta mase. Tada je pogodno primjenjivati brzinski

koordinatni sustav. Brzinski koordinatni sustav ima os Vx u pravcu i smjeru brzine leta, os


Vz mu je u vertikalnoj ravnini kroz brzinu leta prema dolje, a os Vy koja čini desni

koordinatni sustav je horizontalna. Prema slici 1-6 iz nošenog koordinatnog sustava “O” u

brzinski prelazi se s dvije rotacije: prvo oko osi 0z za kut χ , a zatim oko osi Vy za kut γ :

( ) ( )χγ ZYVO LLL = . 1.71

Taj koordinatni sustav ima dvije kutne brzine:

• χ& kutnu brzinu oko vertikalne osi 0z i

• γ& oko horizontalne osi Vy

γχr&

r&

r+=VΩ , 1.72

ili

−=

+

=

γχγ

γχγ

χΩ

cos

sin

VOVV

&

&

&

&

& 0

0

0

0

L . 1.73

γ&KV

γχ cos&KV

KV&

Slika 1-7. Ubrzanja uzduž osi brzinskoga koordinatnog sustava

Komponente brzine leta u brzinskom koordinatnom sustavu su [ ]TK

VK 00V=V , pa su

komponente ubrzanja u brzinskom koordinatnom sustavu


T

K

K

KKVK

VV

VK

V

V

V

VV

0

0

V

−=

−−

−+

=+=γ

γχγχγ

γχγχγγχ

&

&

&

&&

&&

&&&

& cos

0

0

0sin

sin0cos

cos0~

VVa Ω . 1.74

Do tih komponenata ubrzanja u brzinskom koordinatnom sustavu mogli smo doći ako tražimo

komponente brzine hodografa. Iz mehanike znamo da je hodograf putanja točke čiji je vektor

položaja brzina. Znamo da je brzina derivacija vektora položaja. Ako je vektor položaja

jednak brzini leta, onda je derivacija tog vektora položaja tj. brzina hodografa jednaka

ubrzanju.

1.4.2 Aerodinamička brzina i aerodinamički koordinanti sustav (A)

Položaj aerodinamičke brzine određujemo prvenstveno u odnosu na letjelicu, jer o njenom

intenzitetu i položaju u odnosu na letjelicu ovise aerodinamičke sile i momenti. Primjenjuju

se dva načina za određivanje položaja aerodinamičke brzine u odnosu na letjelicu.

Slika 1-8. Napadni kut i kut klizanja

Prvi način su kutovi α βi . Napadni kut α nalazi su u ravnini simetrije (vanjske

površine letjelice), od projekcije aerodinamičke brzine na tu ravninu do osi x letjelice u toj

ravnini (slika 1-8), a kut klizanja β je od projekcije aerodinamičke brzine do aerodinamičke

brzine. Drugim riječima, kut klizanja je otklon aerodinamičke brzine od ravnine simetrije

letjelice (simetrije vanjske površine letjelice). Sa tim kutovima komponente aerodinamičke

brzine u koordinatnom sustavu letjelice su


.sincos

sin

coscos

αββ

αβ

Vw

Vv

Vu

===

1.75

Na osnovu tih jednadžbi dobivamo zavisnost napadnog kuta i kuta klizanja od komponenti

aerodinamičke brzine:

sin β α= =v

Vtg

w

u . 1.76

Uočavamo da je napadni kut α pozitivan kad je pozitivna komponenta w , te isto tako da je

kut klizanja pozitivan ako je pozitivna komponenta v aerodinamičke brzine. To je

najsigurniji način kontrole predznaka napadnog kuta i kuta klizanja. Vrlo često su os letjelice

i aerodinamička brzina vrlo blizu, te su napadni kut i kut klizanja mali kutovi. To nam

omogućava primjenu pojednostavljenih jednadžba

v V w V= =β α . 1.77

Slika 1-9. Kutovi ψ θ φ, , , α β, , γχ , .

Drugi način su kutovi χ A i γ A (isto kao što su kutovi χ i γ za brzinu leta).

Kut χ A je u horizontalnoj ravnini od osi x0 nošenog koordinatnog sustava do

projekcije aerodinamičke brzine na horizontalnu ravninu, a kut γ A je u vertikalnoj ravnini od

horizontalne projekcije aerodinamičke brzine do aerodinamičke brzine letjelice.


Između kutova χ γA A, i kutova ψ θ φ, , , α β, postoje veze. Te veze dobivaju se iz

relacije:

OFO

w

v

u

VL=

( )

−=

A

AA

AA

FO

V

V

V

V

V

V

γχγχγ

ψϑφαβ

βαβ

sin

sincos

coscos

,,

sincos

sin

coscos

L .

Možemo skratiti aerodinamičku brzinu na lijevoj strani s aerodinamičkom brzinom na desnoj

i tako dobiti tri jednadžbe, od kojih su dvije neovisne, a treća se može dobiti kombinacijom

tih dviju odabranih jednadžbi.

Slika 1-10. Aerodinamičke osi i glavne osi tromosti

U aerodinamici zrakoplovnih konfiguracija upotrebljava se osim koordinatnog sustava

letjelice i aerodinamički koordinatni sustav (slika 1-10). Njegovo ishodište je u središtu mase

ili nekoj određenoj točki letjelice, a os Ax je u pravcu i smjeru aerodinamičke brzine. Os Az

je u ravnini simetrije letjelice. Kako je ta os okomita na aerodinamičku brzinu (jer je brzina


na osi Ax ), ona se nalazi u presjeku dviju ravnina, ravnine okomite na aerodinamičku brzinu i

ravnine simetrije letjelice.

Najviše trebamo matricu transformacije u koordinatni sustav letjelice iz

aerodinamičkog koordinatnog sustava. Ta transformacija predstavlja dvije sukcesivne rotacije

(vidi sliku 1-10):

• prvo, oko osi zA za kut β i to u negativnom smjeru rotacije (dok os Ax ne uđe u

ravninu simetrije letjelice)

• drugo, oko novodobivene osi y , za kut α (dok os Ax ne dođe u položaj osi x ).

Prema tome je matrica transformacije

( ) ( )L L LFA Y Z= −α β , 1.78

što množenjem daje

−

−−=

αβαβαββ

αβαβα

cossinsincossin

0cossin

sinsincoscoscos

FAL . 1.79

Ako su kutovi mali, onda je

−−=

10

01

1

αβ

αβ

FAL . 1.80

Od nošenog koordinatnog sustava do brzinskog dolazimo pomoću tri rotacije (slika

1-11)

• za kut χ A u horizontalnoj ravnini oko osi z0 do horizontalne projekcije

aerodinamičke brzine;

• za kut γ A u vertikalnoj ravnini oko osi y, od horizontalne projekcije do

aerodinamičke brzine;

• za kut µ A oko aerodinamičke brzine dok os z ne uđe u ravninu simetrije letjelice.

To znači da je matrica transformacije u aerodinamički iz nošenog koordinatnog sustava

( ) ( ) ( ) ( )AZAYAXAAAAO χγµχγµ LLLL =,, . 1.81

Uočimo da je to ista matrična funkcija kao ( )ψϑφ ,,FOL .


Slika 1-11. Transformacija iz nošenog koordinatnog sustava

u aerodinamički koordinatni sustav

Kada nema vjetra, možemo lako usporediti aerodinamički i brzinski koordinatni

sustav, jer su tada brzina leta i aerodinamička brzina jednake, pa oba koordinatna sustava

imaju istu os x. Osi Az i Vz se razlikuju. Obje su u ravnini okomitoj na brzinu, ali dok je os

Az u ravnini simetrije letjelice, os Vz je u vertikalnoj ravnini kroz brzinu (slika 1-11).

Između njih je kut Aµ koji se nalazi u ravnini okomitoj na brzinu od osi Vz do osi Az ,

mjeren oko brzine. Zato je matrica transformacije iz aerodinamičkog u brzinski koordinatni

sustav

( )AXVA µ−= LL . 1.82

Kada nema vjetra, može se lako prijeći iz koordinatnog sustava letjelice u brzinski kroz

aerodinamički koordinatni sustav. Matrica transformacije u brzinski iz koordinatnog sustav

letjelice jest produkt dviju matrica

AFVAVF LLL = , 1.83


pa se množenjem matrica ( )AXVA µ−= LL i ( ) ( )αβ −= YZAF LLL , dobiva tražena matrica

transformacije

( ) ( ) ( )αβµ −−= YZAXVF LLLL 1.84

koja vrijedi samo u slučaju ako nema vjetra.

1.4.3 Primjer

Zadana je brzina horizontalnog leta [ ]smVK 4.54= i njen kut pravca 08.10=χ . Intenzitet

brzine vjetra je [ ]smVW 8= , koji puše iz pravca čiji je azimut 0120=WA , a to znači da je kut

pravca kud puše vjetar 0300=Wχ . Treba odrediti aerodinamičku brzinu, napadni kut i kut

klizanja kada je stav zrakoplova [ ]T000 192.5 9.2−=s

Projekcije su brzine leta na osi nošenog koordinatnog sustava:

−=

γχγχγ

sin

sincos

coscos

K

K

KOK

V

V

V

Vr

Uvijek pretpostavljamo da je vjetar horizontalan te su njegove projekcije na osi nošenog

koordinatnog sustava:

=

0

sin

cos

WW

WWO

W V

V

χχ

Vr

.

Projekcije aerodinamačke brzine na iste osi nošenog koordinatnog sustava bit će:

OW

OK

O VVV −= .

Intenzitet ove brzine je

( ) ( ) ( )222 OOO wvuV ++= ,

a njene su projekcije na osi letjelice

( )OW

OKFO

OFO VVLVLV −== .

Matrica transformacije u koordinatni sustav letjelice iz nošenog koordinatnog sustava jest

produkt triju temeljnih matrica:

( ) ( ) ( )ψϑφ ZYXFO LLLL ⋅⋅=

Na osnovu tih vrijednosti izračunavamo komponente aerodinamičke brzine u koordinatnom

sustavu letjelice, a s tim komponentama bit će napadni kut i kut klizanja


.arcsin

arctan

V

vu

w

=

=

β

α

Rješenje se nalazi u fileu primjer.m. na disketi u direktoriju kinematika.

!"

! " # #

!

!

$

% & '( ( (

!

'( )!

!

* +! * +!

#

!

,(, -

! ."

/

)

0 )

# /

/ !

)/'//

/ 1/ /) / !

///

1/

! *

!)+

23

' / "

. / !

/ / !

/ ' /

( !

/

/

/

/

4

/

5

!

" / / (

) !

) 6 / !!!

!! 0

/

) )

/ / )

7"

)!)#/

!

) /!

/! )3 !

# ( /

))

8/"/

#

9#

1:

! 5

) ! / !

$ ;

##

$ <

##

""

$ =

#

*+

;

:*+

*+

*/+

#*+

8. !#

# / /)

"

# / # /#

!

> /

! ))

. " ) ? @

/

<

! !"

" /) #

! !#0!#

)!))- ##

)"##)

9 !## ) !#

)

'#//#

"

"

"

A

"

"

"

B

. C#$

/)

"

) !)

D )!

)! )

/) ) !

" /

' )

0 ! !

)!)) !!! " 7

! ! &!

4! E 4

&!4E/ )) !

"

"

"

=

0) " "

) ) !!! " ) )"

))'9

)) " !!!

!!!

!!!

4/! ## *

" +! ) ! #

!)

/ !

/

"

"

"

F

( )

#/

"

"

C

C

C

"

"

"

"

C

. # / %%

& 0 ; # #

//9# #

) !/##

; ! G%C !

A

/ G'C C !

A/9#

# $ %&

. / /

* + ."/ (H

* ) +

0 # )

/ )

'

( ( ( ( (

( ( ( ( (

( (C

/ /

G

G

G

G

G

G

E

(H

%

&

'

5

;

"

' C

C

CC

<

CC ! !

C =

- ) C 0"#

*! # ! + C )

B

) ) '

"

! C

4!

'

A

4

B

'( ")

*''

"##!#

! ) " ! $ *

+

*"(())

C

C

)))#

# ! F

) )#C )' "

#

=

+

#

C

*%"

F

))

' "

5

0## " #

# 9 !

)!)

*(,-( .C # !

) # # (IC( J

)#! #,

# !)# ,

)!

, 5

8(#

7 #

! /

0"

,, ;

C

$ %%+!'!

. )

! #

3 ) )

#)

C <

! # !

# ! (/ "%-4

"

"!

! " C C C *

K+! ) ! ! C )

CC =

!/ )

5

85 )

4"!) * CC! +!

"

0 ! A

*9#+

C

!

C

CC B

4 # ! )

) )!

)

*;+

CC " F

0 CC # ! )*+

C# 0 ! # *

+) 0 )

* + ? ) )@(

! #! )!!

!" / ) *

+ CC 0 ( " * /

+) )) )

)/ /

/ )" !/ )/

! /)

!

# *!'!

)/ )"

) )*)+

.

.

&

;

" ! $ )) " !

) ) / )! "

E " !

) )*)+!/

!! ! 5C

D

5

%&

%'(

)#

5

0 "! $

)) # 4 ; A!

) 5C L<M 4) $

! 1+

8;

C

5

0LCM"

) ' ?@

,

%

F $ 5

#?@! ?N)@

( (// 55

8<

8=

;

8A

5

, !-&")!'!

.

, 5;

' 5C )B

L<M

8B , C

<

8F ,

8C ,

8 ) ! )

# 4#

=

! , #

)#

8 , 5

. /")!'! !"'( ")

0)#/#

" ) 4 L5M )

) !! 5<

. ) 4 ) /

)/ * +! * C +8/

;!C 4

* +! * + 4

#

))

A

)

)

8.

) C ! <C

0 '!%+

.*?//@+!*?)@+ )

) "

! / )'

/ ) J J ) .

B

J )/ )*?@+

) / ) "

859 ) J ) J

.)!

#.#)

)/ )!

)!

))))/4))

) )

/ CC<C C=C !

)

)

CC 5=

= / !

/=; 5 ! =< 5F

/ ) ) J ) J

) *! !)

+ + 9# 0 )

)/ ) J ) J

F

1 *!'! !%% "! ")

0) " "

0 "

!") !

) ) # # ! 0

)"

! " 0 !

" ! )

* ! #

+)/

2

(

FC ! 5A

) ) )/! ) )

8;

!

D/ "

!/ "

C

;LAM8 "

<

8<.

/ ) !

=LAM

8=

!

.# ) # !

.! "

)!

)

* )

)!A

#

8A.#

# !'!2!3'( ")

. O "

*B+)

3 !

8BO"

( 48 3

'

) 3

3

8FO"

++

1 0"!

" 3

"4 0 ) ! " "(% 5

4! "

. /) LBM! 1.

" ) .

) !

0//

1. 5 ! 5B

) ! !)

0!

! * !

+ 1. ")

1.

5

;C

5F

0/)

! )

! )

)

! # ) )

)

') # ! LCM! 1.

* +" AK//

5

CA

1. ;C

1.1. ) L=! A! =M /!

1.1. !

0 0

) )!

/ C *)+ )

/)

.1..1.1. C ;

1.1..1. C ;

- ) * )+

)%%4 " 5

1.1. C ;5

, 4' '"'%

- " "1

"! "O"

" ) ) '

O /

). /) FBC !

) < FCC ! "

- )

)! ) ) ))

!

# - ) ! !

" ) '

;

!) # !)

(%(59

)

3

;;

D

#!

, C

,

8C.

' )

LA!F!BM

F;;;; 2

! ;<

)

5

A

A5C

,

2

0 ! ,

C

!

! "

#$ %

&

$ $

'

# % $

"!

#%$

! ! "

# % $

(" $ " $

$ )" "*

"

+

$" # %

$ # %(

$$",

+

-

. , $

" $ /0

1

23 .

# % 4! !$

15+

6

7

8 19 "

: 79 "

"

71 991

, ,

$

!" 9

!,

99

9

; "

7-7999

, $

1

99

9159

< $

=

59

1

9<+9

<

; & 19<+9 $ $

. $

4! ! $ $

5915+

6

5

> 23

6

4

! 2

( ? "&

"" 23 &

, " ,

!"@ =

:!

>/10

! & & $

+!

-

"&,

$

719+--9

!

!"

9

: " "

$ A $

&$ "" "=

$

&$ "

" ""

,"/+90

-99

79

"

" +

" " + $$ .

$ ! ; ! $

$ !>

",

+59 "

$

! $ A " "" ,

" 9 B , "

"

/+90

-99

79

"" " -

$

$ #

C7% $,#

C1,-9B%= "

,$ -9B

,"/+90

1

"" "

19

;", " ""

(

" "

$ > $ # 8

/+90

,19B# 1# %

'

" $$ +1# '

," # '

"D 9# "@ 95#

; $

#

> !!

"! #""" 1

$

"! #"""

7

" "

" $ " &

$ "!$

"!

#""" <

= ,

"

,!" "

# " , "% >

$

7

5

: ," &

,"

6

!

"" $

&/50,&

+79-6969 ! +9

+5-9-+997-9 ! +

+ $ :!

&

4 +($ !

D " ; E.

:

E. 2

<

! :

! $ &

"

>$ $ #

% /0

; ! A

D,

E.

: ! $

" !

" /0 # ! %

:! "

# , %

>

" ;

! /+0 %

#4@ %&

+

+

++

>

+F

F +

6

%

+

> ,

4G@ " & 2

+!

%& , 4@ #$ %& ,+9

"%4:! +!

<<91<9 <969+579

+ '&'&%

% !!

! +-

'&

5

+F

F +

6+

& %%

+1

>& +! &

'&

% !

&

+

6+

+F

+7

!!"

" :!

:!

,>

"

!! 4 (

:! :!

( ) ! !

4 (:!!!# !%

>" A $

! !9 999+9#H% !9

99# %: &!

4,:! :!&

, !

,

:!

6

4 -

! ' -9

( :! & "

,$ , >,

, ,

, :! ! H,

:!

H 9'!

- 9' - $

4 1 !

9

> , :!

1 !

( ! , !

!

A 9 :!

! 99+99 ! =

+! " ! ! + >

> & , , &

&

99599 % !

99+99% !

+

+99

%

% +<

+91 %%

%%

& +

+F

+6

+

( !

! # !! % ! # +! %

7

4 7( !

#$

"!

! ,"

&

4,

A , = ,

>, " ,

.

,

& "

""

",

;, $&

( +5

# %

($ ( ;

$ /+90

(

A# %79B 7

D# %

"

99<

91

( 9+1

91

+

, $ &

&

%

9 +6

4 <"

" < $ "

$ #%

4 5

> " , &

, >

"" &A

&

$

1+5 9

5

",

($ ,

.$&

A

(

. , 9( ,

59( #/50%" ( *+ +

*

A ,

9 +

,"

A," &

"/+90

:!

, "

$" "

; "

= " "

$ 4

,$1B

-

%

! !"# "!$"!"%#"

4 6A

( , !

! ! !

! >! 6

& "

# %

! ;

'9

# '9 % , , 9 $ 9

& $ ! $ &

,'- $ ,./0 &

'-0

A '9 9 , 9 9'

" 9-

,

99 0

> (

. & $

'9

1

'0

, 0

99 00 >

> ,

, >

' 9

& D

>

%

(

'''

'

9

9

& # %

+99

'

'''

-

&

$'

(!)

"

&

9

9

4 9

= &

+9'

7

+

99 +

'

'

1

,

+9

9'

'' ' '

7

'9 9

+9' '

, ' & &

+ ''

'

<

> &

A&

+ '' - 5

: $ " ,

$

+9 ' - 6

" 9 9 ' A $

!

($- $ I

& " $ ,

;

>

>

" 2 !

1 $

++'' -

*

<

A &

J $

++'' -

*

-9

*

-

-

519719 J $&

7-99-19<5 759 * -+

9-197- 19759 '&* -

>- " ! !

: ,:!-,> ,"

,

"

; :!

'&'&

!!

A =

"

; $ $

- +' +

=&

'

-

--

! *

-

'&! 9 '

-

5

A:! '& !!!

9 ,

! *- '&! '- 9

*

*

'

'

'&

!

*

2

4 ($(:!

> :!$

'&

!!

!!

-1

- !&

**-

'

-7

!- ; !! *- ;

'&!! '-

( * 2 & ,

$-*2

4 +4$

6

;

=!

,$

> $

=,

K

+

+

7

7

-<

;&

'(

: 59!

' 9999 999 9-99 9199 9799 9<99 9<<7

99++5 99-+ 9916 995- 97 9197 959

+

&

&,%

* !#"!"#"

4 4

+9

!

+9 ' -

; :.>L.H

++ 9579+699+++9+6+-99++799++79 '''

> .&

$

++1999++59 '

, ' '

(!((

$

$

++

. $ $

++++++

-5

-6

& &

$ + "

>

! #

$%

2 2%2

2+ 2+%2++

19

> >

+

9999

9999

2 2%2

2+ 2+%2++

1

2 2%2

2+ 2+%2++

1+

=& "

!

2

2++

1

A,

!

(!(()(*"+,

>

(

# %

(" $

%%++ 9

> ! :

9 ($ 9 9

$ A $

9 9 # /0%. $

% 99

.

3

+

9

+

% ++

++

> #

% 9 9 ;

&$

'&

'& *

*

+

+

99 1-

A , %%2 99 % 9

&

; +

%%2%2%2% (- 9 11

"

%%2%2%+%2% (-

+ 9

+

+

17

% " ( > "

*

*+

+

-

*

*

*

'&

%

+

-

%

+

4 -(

> * * 4

*%2%2%+2%

(-

+++

+

9

+

4 1

$

+

+ $

*'2%2%+

2%+ (-

9 1<

; , * + A ,

$

%2%2%+

2%+ (-

9 15

=&

%2%+

2%+ (

99 16

2%+

2%+ -

79

92%+

7

+-

( %+ %*

4 9 ! 3

4* + * +

4

+

*

"

"4

4 7 &

; ! "

!

+

4*4

+

*+

4* + *+

;,

+

4*4

+

*

>&

2,

!

"

%2%2% +!!

+1

'2%2%+%2*%2* (-

9

+

9

++

+++

& $ *

+

+ $

"

'2%2%+

%22% (-

99 7+

( $

'2%+

2% (

99 7

$

+2%

2% -

7-

I 92%

(!(()(*"-+

!

! ! "

! ,

!"

4 <!

%% 9

##

;!

!

+7

25%%2525 ( -

##

9

71

; & $ ! "!

$ 99

!

> &

$ ( " $ "

# ! % ,

"# %>"

&, " $

519 &# %

> !

+ 25'%25 + 2

( -

+

++

+

9

+

%&'

()*

##

&$

+

+$

!

+ 25%25 +

2+ ( -

%&'

()*

##

9 77

;& + ++ 25-

! ! M 25(

+ ( !

$$# 2%2% (- %

%&'

()*

##

+ % +

2+

9 7<

=&

##

% +

2+

99

75

##

+

2+

76

+

2+

<9

+<

$ ! # $ $

" %

2+ 2+ 2+ 2+

9 <

H, ! $ !

"!

"

2+ 9 2+ !"

! ! # $

* %A$"

2+ 2 99 <+

2+ 2 <

( ! "

!" ! $

2+ 2 <-

> $"!

2+ 2+ 2+ 2 9 <1

%&'

()*

##

+ % +

2

9

<7

>$

% +

2

##

99

<<

+

2

##

<5

,

+5

+

2

<6

K + ! ++<

; ! + + !"

(

# %

#%>

& !

>&,

$ /50

*

222

%-

+

59

2

4 5($

22% " - $

! 2

. &

& ; /+<0

+6

./!"0(!((

4 !

$

#&16%! #&75%

2+%2++ 999 5

##

2% 2 +

'%2%+

%+ ( -

(

999

5+

$ #&7<<%

2%2 999 5

2% 2 +

'2%+

( -

(

##

9

999

5-

; ,

! #&7976%

2+%2++ 51

##

2 +

2%+

+ -

-

57

;

2 2%2 5<

>&7- <559

*

22 +

+2%

%-

-

+

##

55

;

! #&<9<6%

+

2++

56

+

2

69

9

& &

! ! > ++

&, /+50/+60

#12*0(/00)

@" ! !"

.

! !

!

!

!

##

4 6!

##

##

##

99

(!

!

>

##

4

+

*.

##

++

++

(,

*

+

.

##

6

> " 3 ;

!" "

+ *

*

##

++

++

",

.*

*

+

##

6+

%12*0) *2

A 3 ,

&

"D

!" &

!" "

&( !

& "

"( &,D ,

& &

! > &

! &!

+9@" !

" ">

!

D!

+

4 +9@

> !

!

+ *

.

++

++

",

*

+

.

6

@" " "

+++

++ + *

*

(,

.*

+

+

6-

!

!" #$

" "

%

#

! "

" "

&

' " " &

" &

$$"

" (

) *#+,*#-,

" #!$ !%&&'!

. (

/

#

#

0

1

"

( '

#

"

2

" "

( "

" )

% ) 3

) )

4

3 "

##

##

5

6

7 " )

"

!!

"

"

#

"

" $$-$$

$50

8#$

8

.

7

! +

3

(

0

#

#

9

7

$#% $ -

& 7

#

#

$

:

&

&

; !

/ %*+,"

7

#

!

#

#

" #

#

#

#

5

+#

##

#

#

#

'

' " )

+

+

# #

#

#

#

#

#

# #

# #

"

( # # #

!

( (

"

( )

"

! " )

)

&!

0 " 0

" " !

(" #!$ !# % )*

/

<= ) 7

##

##

"

"

% ##8 )

$

>/

& <0=

&

##

##

4

9 "

##8 ; % " %

"

$ ( %% $ :

&

&

4

+" #! !'$, *

3 / $ <

#=" ##

#

!

/

$ '

!

###

##

##

#

!!

!

!!

!

#

#

##

!

!

"

#

#

#

####

!

!!

5

$

>#:

2 $ "

#

#

#

####

!

!!

3

9 # "

? "

7

#!

!!

!!

#

#

#

#

#

######

"

#! &

#

#

&

#

#

#

"

: )

8

#

! # 5

% #

##"

( )

!'$,&$ ')!!

/ 0

# "%

# (

# %

#

"

>0

>

7

&

#

##

##

"

+

&

#

8

& 3

"

&

##

#

#

' "

" (

"

/

; "

@

"

3

"

"

>>

-

@

"

7

##

&

&

##

##

&

&&

#

##

+

- !'$,&$ ' !

> "

# " (

)

#

#

#

>4

/ 4 #

" (

7

&

#

##

##

&

#

-

$

& "

&&

#

###

##

&

&

#

#

#

#

#$

()!!

! ))

&

#

# #

( "

"""" ( )

&

&

"""" " ##

(

> "

" "

( )

*#+,*#-,

(" #!%&&'!

&

!

#0

(# !

. !

!! !!!

A #

! "

!

"

! !

!

<

BC= ' " 5"

)

<

= #

< $ =

< $ =

$ $

#&

>5%

(

##

#

"

#

! 2

" %

7

!

!!

&

###

#

#

#

"

: &)

&

!

" #4

3 ## ) )

(

:

/ " "

" $ < 8 =

>8/

3

/ "

0

'

:

/

"

'

"

#

#

#

#

#

#

!!!!

!!!!

*

7

#

##

#

#

#

#

#

#

!!!!

!!!!

*

&

: ! "

&

!

!

#5

3 )

##

!

( ;

< "8="

" "

< 8="

/

!

! &

!"

# #8

!

!

>+= "=

! " !

< =

&

((#) , %

&

<-=(

+

#

#

#+

9 ##4

% %

%7

4

"

#

>-&

>)

" "

' "

"

>

+

#

#

" #-

%7

&

##

##

: )

&

0$

%

((" #!%& % )*

5

+

#

#

0

; < -="

.

##8 & )

%& "

"

&

##

##

:

&

0#

$

>$3

(+" #!%& *

&

" *#* % &

,#*

*

#

#

8

> , "

2 - < 4=

' 7

-

, *##

&

##

#

##

$

>

: "

7

&

*##

,

-

#

00

3 " #$D #

" >

"

4& )

*##-

"

,

&

#

0

+

(" #!%&!$ ')!!

1

&: " " 7

$! 04

/ " )

! 05

% & !

! & < = & " !

/ %

% " *

%" '

"

( )

%"

" %

" <

=

#

'

>#!

# '

' " *#* "

-

#*

* #

#

A

# (

*

#

** ##

#

%

! #! %" #& :

"

#

#

###

##

#

&

!

*

#

&

&

"

)"

#

#

##

#&

!

*#&

08

2 )

#

$

##

$

##

#

# ###

!&&

!

*#*#*# "

0

(

>03 E &.

#

$

##

$

##

## !&

*#*#

& 0+

1

#$

*#& !

&

""# #

$

##

0-

: "

)F 0*0,3

# ((

# ((

) * * ) + ,-.

-./

-)

-)/

-/

-//

-+

-+/

-0

-0/

1( 1

()

!(2

!(

1(*1()

1(

>

' )

" #&

!&

& """"

###

$

% & #

< &=" <

! =

% &

!! ""

#

(-" #!%&!$ ' !

&

! #

!

@

% * < 4=

%

>4!

' "

(

> "

%

6

#*

** #

#

"

# (

#*

** #

#

/ "

##

#*

* #

#

#*

* #

#

6 " %

#

$

##

$

#

##

&&

* #*

#*

"

#

$

#

##

&

! *#&

&

!

#

$

##

#

&

! *#

&

0

: "

/ # " &

&

&##&

#&

#*# 5

##0

#0#

$

#

' &# " )

) "

!! 5 " 4

' " #

" ( )

" %

" 5

#0

#

>5&

; # " @

#

"

#

#

#

( %

7

#

#

&&

##

##

!

&

&

##

5

!

" # $ %&'()'' *+

,-,'( . /0 $ $ 1

,-,'( 2340 $ $

5%&'()''*+,-,'(

**"

6 ++

( 7++8

5 $ +

9 :;3+

< 3=

37"

# "+>

:

$?

+**"+++7++8

++**"

"> ?

+33 33+""+

*++:++**"

"+++:+"

"+

$ ?

+*++++*++:

++**"3+++:+

"

+8:+:++*++:

++**"*+++:+

"

,

"*"7+++8"

++**"""

"

3*"

7++8 ""

@

+;"+++:+

8;8+78;8+"

7++87"

7;*

8;8+

8;8+

7++8*"

:3

:3

""

3*7+;"+:;3+

@ 37" 24.7"*7";/0

3+

+

7+7

++ 7"

++3"+

+7++

+7

# ++3"+

+" +3 @ $

3

A

:83

8"

"+

!

!

"

A

"+

8""

@

"8

8

37

#

#

""

8""

$ 0

0 07"

++ "" :++

7* 7+ "7:

5:

#$

"7:**78:7733 #

!"# #

& +:+3 ?

87"+

+:

"*:373*;:+

;:+

++

+

, 1B%B+++;@ 24033

30 ?

+;+

:++

7+:

+;7

+"+

1 ?

"+

"+*"87"+:7+++:

$% #

3*

3+

++;

+

$

+:

:7""

$

5C ?

3+++;3+

-C

"+*:7""

3+++;""

6

+:

+*":7"" ""

$

B

!! !!

*:3+:3+++;

+* :7"

+

""

+

"

B

$$ 3";+8+++3++73++"

8"3"7"

, 5 $

7

++ ;:+:7"

3+++;:+:

"

%%

%

5

++ ;"8:7"

3+++;+:

"+

%%

%

&

:7

;3

87**

+

+

8"

,

"+ +;87**"

++;3""

"

@

+7+++:+88:+788:+"

87**7"

8:+88:+

88:+

87**+;

:3

:3

""

, ,

0 ?

38+7+:7+

":8+388+*

:8+8:+":8+

D &$ 3

6 ?

+;+;

87** ""

)E 7++ 1

+3++;7++

'

8

'

( F$

*+*"

;::

( F$

7

+"+378:3

(

$

5$ ( F $ 7+

$

++::+

+"

;:*"7

$ $ ?

"8+++3++7+

++7+

33

(

(

@ < $ $ . )( / 9

?

++*3+++::+""8" )( ((

)

*+"*++"*+

3+

&&(

$ " ?

++8++++*3+*"

* (

( F$ ?

7

+""++37

373

$ #

@$ $ 0

*

++"7;+

+""+

;:;:*"7*"

' ""

:7""37 # $$

3+3++:7

:7

7+

3++7+

::

((

) $ $

$0 $ $$ +>0$$

C $ $:+>?

++":++3+ ((

0 $ )( ,

. /

"7:* +#

0 #, 0 ?

++77+++"++"8+7*

((

)(

#

#*

G $ :+ 6 $ $

+8+ $ $

++3+:+

+8+

#$

:;+7+:"+3;+:;+7+3;+:;+ "" )

,$ +8+3:+ "

&

$

+++8+

+8+:;+

+

&&*

#

++*8++++8+++3+++77+ ##$##*

!"# #

, 1B%B +++; , ( F $

?

;

7

+";"+37

87"+3;+

+

$

, $

( F$ 7+

++:*+

+";"

;:

(

;:*"7*"

(( $ $ +;+ :++

:++;+++:++

+;+7++++

7++ 33

(

(

$ )( 0

++;;+:+++:*+"" ) ((

)

+ "*+"*+ (

-C "+*"

++3+++;;+

+*"

* (

$% #

( F$

7

+7"+37

*:3+3

$

6 C 0 $ 0

0

?

++;;+

@ ;:+ 0

?

;7+;:+ "*+"*+ $(

+

+++8+;7+++;;+

+7 $

$$* (

'"

G "+7++++7++ 0

0 $$ $C

@ "+;+++:++"+:++ G

"++++:++ 9 @ ?

++*++

++"

+;++

"+::

%%

*

)$

('"

$ .$ /?

+";+

++*+++++8+++3+++*8+++8+

-*$**#***.

) # * # # #

,

@ $

,$ &$ 3 0<$

:"+:3+3

$)

;;+:"+ "" )

A 1B%B 37" +7 0 3

+"

+3

;;+

+

+7+3"

3"

3"

"

3"

"

"

"

"

"""

%

@ C $

++3

3;;+3

*++

%

, "*

"3+

1$

##

# '

+

@

:;+88*""

C$?

:":;+:;+*++:;+:: ' #

3:":;+

:;+3+

3+""

'

##

1B%B 37" ++ : 5

?

:8:

3:"+ ' ##

+7++3:"

$

+7++3:"*"

+3

#

"++*;:+3 #

5 1B%B 37" +8+++ 0

"

+3+"*"

"33

+8++"++

&

&

$

$ ?

## "3+"++*;:+3+3++

/# "+++;++*;:;:3++3+*

)$ C 0

$ 0 C$

#

'

"

@ C

"*+37

"3+7;*:;337

+

3*$ 7+' 0

;7+7;*3787+ "

#

+ #*

-$ C$

;

3333

&'''

:8++;

+;

88

'

+*78

*++:+8:+

'

"+337;*

3*7387"+

;:+33+

/

;38+

:*3"388*8+

"

::

'/

:

+""+*++:

++**""+++:+

""+3

+3 33

3:+33;38++*7:8+333;

+ &

$!"# #

1

+7++3:"3:+ /

+"7+3;+3:+ /

@ $ ?

;;+:"+;*+ "" )

@1B%B+++; +;7 0 7*" "+3" 0 : +"

$

7+:

++;+7+:"

3"

3;:"

"

3"

""

"

"""

%

&

7;387"+":+3*7;:+":++

8"+"7;*7;3

1

##

& # '

$

$ C$

"++::8+

3

"7"+"+++"+:: ' #

+"7"+

"+3+

3+""

'

##

A $

C$

'&

;+

9$ 0

@ "+

+;+

"3 7+: 0

''&

;"+7+:+;77+:

+;+

5 $ $

/# ' ;"++"7+3;+3:+"77+:

+3"*+;*+

5 $

/# ' "7++:+337+"++""++

) , +:+337+"++""++ / $

' "7+ ,

8"+" $

0 0

D

0 $

$ 9

$ $ + $

$ 5 :8 "+

3+

#

$ ?

*;"7;*

3++87"+3*7;:++

/# ' *;""7+8"+"+:+337+"++""++

5 $

/

#

'

+:++:+337+"""++7*++

"7+7+;+""++;*+

+ # #,## #*"

##

/ ' "7++:+337+"++""++"++*;:+3

;"+337+73:"7+8"3 / '

!

53 0 + +

1

<B#HBD 0 + + 3

7

(+ # #,## # # "

###

/

/

'

+:++:+337+"""++7*++

"7+7+8+""++;*+

;7+"+++;++*;:;:3++3+*+

/

'

;"+++337+""73+:"3+

"7+7+8+8"33*"

!

!

!

!

!

!

!

!

!

5)

:8+ 0 + +

1

<B#HBD 0 :8+ 0 + +

-)* # # ## #*# # #

- :8+ A

?

8

"+"3+8""3:+7+:

+*";*+

/

$0

:3:8+8"""+ 0

A $

"7:8+8""7+:

+*";*+

$01

"3::8+8"""7 011

$./# * #* #

$% #

,

::

;;++

+;7+:"

3"

+:"

"

3"

"

"

"

"

"""

$

%

@ :+

+;+

"3 3+3 0

$ C$

$$ '''

;733

+;7::

;++;+;+

, ?

38:;;++:

*:+++:"

)

3+

, "" 33+! 0 ";

. / "+ . " / $ * ":+ 1

!

- $

$ 8*"+33+:7"*:+"

$$ 87*:3+":+3";+3*+

1

*

$$$$ :373:+*:3+3";+3*+

@ :++

:8 3:+

@ *+3

:7"3

$ 0

:+*+3+*+:: '$#

$+ #*

A$ $

$$

$ ./# * "

22222

A

:8+:+::

+*

$#

2 '

$$$

$$2 ''

:8+;7

+*

+"*:+88*8*"+

:8+

-

22

;+88*

8;7;7::

+*

$2

$2 ' :8+;++"*:+:8+

$$#* # "

A $

#$

A

;

++:8+

8"7*+"++++*++:+3

38:+

3 "

"

"

/

##

++++*+33333

3373

7

+:+

33*

"

33333

33*"

3

++

"+

33

"3

"

+

"+

+

+

3

"

33

3

#

%#

A ?

+++888*

"8+:::

#

#

#

*

$

A ?

7+88*

8;7;7:8+

2

A ?

3++++7+++:8+ #$

A $

+3:+88*

8;7;7+"*:+

2

A $ ?

+7+3+88*

8;7;7;+

2

@ *++ 0 3;;+3 ++3 % 0

3:;+! 0

?

!

!

"""3:;+"7++8

"7*

""

9 0 "0?

!!

! " 7:"

:838""

5 $ ?

+:33+7+:"""

"+38:++3+""

!

!'

A

"+

$$$

2 ''

+8"+88*

8;::77:8+

+8"++:33++7+3++3:+3+

# #

A $

$

$

-

-

# ?

38+:88

88*"""

+3*"

!

/

/

++"7+38:+88*"""

33*"

+3

/

!

+3;+88*8++

88*7*"78

3""

-

*-

+++3;+++"7+38+

+"+;+88*8*"+

::

+*

-

$

$

$$$$

$

+::7++"+;++"8+

A $

$

/

0000

"""

@ ?

"

88+;3++

+

+;;++

+++ %

5

"+3

;;++

+7+"

3"

+"

"

3"

"

"

"

"

"""

%

+37++0+088+00

""3+37+"+388*00 ""

@ ?

;8++;3**"

:++383

7*

3737***";3

+

""

"+

387+

;;++

+7:++"

3"

:++"

"

3"

"

"

"

"

"""

%

+:+:++0+0;8+00

+;++:+3*+7*38300 ""

6 .++;

""3/

;:++37+"+300

A $ ?

-

2

$ 7

"++*;:+3 # 0 +8++ 0$

"8:++3 #

$ ?

88*8*"+

;+7

"8:+3

""

+7+8+

@

8:+0"+0

9 $

8+8:88*7:

:

**""

+

''

!

A ?

$

2 ''

-

+""+

88*8*"+

:8+

?

+""+8++7+8+;:+++

! " !

" !!#

$ % !# ! &

! # % !# '!('

)!%!#'*'

+'*' !$! , ! !% ! ! !% '*' !

+& ! $ -&

. '*'& & ,

! ! & *

&!! & !

/& ! '*'

&,

, ,

!& & !

'*'& ,

, , , 0

1 ! ! !

$ & ! !%

!, &!!%'*'

& /

!

! !$.%

0

2$ !

+'3'!!

! !% ! '*' ! '3'

+& ! !

'3'* &!! & &

! /& !

'3' .#

4

/& &!

5

6 '3' !$! *

!7 &,

, $ 8

2$ & -& ! $

!/ !!!7

!! $ $ $ ,

9:

4

+ !& & -& $ !

& ! ! $

!$! !

!$ !!$

9 9: : $ $ ;

/& '3'

) % & & !& & &

& !$

,

<

/%! !!

,

!! $

$$ $

$ $$

$ $ $$

$ $

9 9 9 9: : : : =

!&

$ &

! !! !

&

!

!

,

, 0

+ -& ! & & ! !

& ! !! ! 3

!!&-&$ !

, 0

0

3& !-& ! &

! ! & !

& ! $ !

-!

.'+' -

'3'/ '3'

'' '+' .

.!#! +>

#'3' + +>$

5

+ ! # ! !

! !

999

4

)!! !!! !+

3

! !! %

!! ?

90 5

@!-& ?!

! ?

+ 8

!$!

!!

@A ! !% !

! !

&!3

!!" "#

! " ! +

! ! )!!

@ ! ! ! &

!

)!!!! !

#%!& 7

&

?&

8

+ &

? & ? .

& !

%7

;

"! @A !

!! ! & 7 ?

. & ! !

!

&

"

. & B! & &&

* && ! & +& ! &

! B!

!'' !-&

&6!-&! &

"% ! & / !!

& ! !! && @

!7

!&&

"%

&& %

&& !&

! &

&7 +?

++&!%

''B!!&7

! &

? &

!!

!!7

,

+!!&!

&!

,

<

@ !

! !! ! 7 !

!& &&&

& "% / ! &

& !! & "%

& . & !!

! ! & &

&

# !!

$!%&!

!

- " #

!-&3!&

#'!' !!%!#

6

+ &'!'!-!

!

! ' ' ! &

! $ &

! !!%! &/

!!&&!!&

! & ! ! & !

!!&!!C ! &!

! ! & ! ! ! !

!! % %!

;

"!-'!%' !!

!

=

/ !!%

!

!

0,

!!&! !!

0

# & &

!$ &! !

!!

"!# !% !

!

D!!!

& # !&@&

! " & %!!

%/!&

&#% ! *

!!&%&

& &! !!

!

)&&

!!

? !!

!!&!

!!!!!!!

+ # !- !

! " !! & &

/#

<

! ! !

.% !

, % !%

7

! !

*'*'!%! &!%

&! , !

?

! ! ! !

0 0 0, , ,

! *!!

! # ? ! ?

&!%2## &7

!!!

!& !& !

&&!%

. # & ?

!! !% ! !!

&7

00

*!!! !%&6

! !

!! & ? "

& !% , $ &!

" ! & &-! &"

" "& "%7

04

!& ! "

!7

=

$ !

& ! !! ! &

&-&

!!

!&!

?!! 0 ! /&&

.%!!!

!

05

$!%&!

/ !! &!# #! !!

! ! #!!!6!!

& #!!

! ! ! !

.#!&*!

&

!

! & ! ! & + !!

/

! ! ! ! ,

! 9! ! & ! !

! ! !

% /!!

%"#!!

% ! !! !% #

% !# ! !% !%

,

!!% !#"%

!% !% !% "% !%

!1#&

!%! %

!% !% #

!

,

!

!

, E

& !%

! !!

, !

.! &

1 ! / !! !

!-&7 "

, !

/!7

!!

!!

!"

,

+&# 3

! !&

!!&7

"!&7

!!!!!

!!!!

,

!!!!!!

,,

$ !% !% ! , !

!!!!!&!%7

!!

!"

! -

!! !

!

!!44,/ #7

,,,!!

#"

08

,,,

999 0

!%!%7

?3!!

" 0;

9 0<

"#!

.&

% !&! #

& !& !

&!& !

!!!

!% &! !!!

!

+ !!-&&7

" !

0=

+!!

& ! !%!

! ! & ! + !-&

0

!

!!

!

,

,

,,

"

!999 4,

$!%!%

" !

!99 4

3& ! 4F4 ! !

!!''7

! !

$ %

$

$

$ %

$

$

,

,

,

,

,

,

% $ % $

% $ %$

$ %$ %

0 0

0 0

0 0

! ! !

! ! !

! ! !

$%$$

%$%%

$%

&&&

&&&

&&&

40

G+!'7

& % $ 0 0 ! F

& $ % 0 0 ! (

& % $ 0 0 !

! ()'7

& %$ %$ ! & $ $ ! & % % !

.&-$!

! ! & ! ! & !

4

!! ! !

!!*F(

&- ! ! '$' # &%$ * &%

! -& '$' !

! &!$!

&-!

) ! !! ! ! ! ! &

!%?

44

&*!%7

9

, 45

/# $

!!%! ? )

#" !%

"

'!( #!

6 & !

" &

! @ ! ''

!%!%! 7

%

$

+

& & , &

) ) )F

(

,

&!3 #

! ! '/' !% !%

& "!

$ &- ! !

'/' / !/

!

//

5

/ //

! ! -&

!7

48

"!'/'!!!!

/H

+#!!!

#!

/ ,

'' !&H !

& + !!

// / /

/

/

/

! !&! !!& #

//

/

!&-&!!&

/

! ! !!

!

$%

&'&'&'' 4

"&&&!

& &%

$ !!!

+!!!#!

!/ #!!

3&-&/ #

-.

/ 4;

! / !!

7

8

4

0

,,

,,

,,

'

'

'

000

000

000

--.-/-

-.../.

-/.///

-./

!!

4

0

'

'

'

--

..

//

@ &-&$!!

!!7

,

,

,

4

0

-

.

/

'

'

'

4<

. -./ &

. ! ,

! /, !% , !

/&!%!%&*

& ! !/,

&!/&!%!%!

&

!& !%!/,

!/, !-&7

!99,

999999!999!9!9999

!99!99!99!99

!9999,

& ,%!%!/&!%

!%,#

99, 4=

#

2&+

! ! !%

" !% !

!!% !

!% ! "

! ! ! !

!% !

)*

$ -&!&.

!% & & &

&& $ !"

-

-/

.

-/

/

&&

&

&&

,

,,

,

D !! %

#

7

.

. &&

H $ % !

$ !

.

&0

;

$$

20+!%

/ !! # -

/ &&

!!

, '

,

,

,,

,

'&&

'&

&'&

-

-/

.

-/

/

%!!!

,0

'&&'&'&'& .

-/

-

.

/

,0

-/-

/ &'&'&

,00

-/-

/

-

&&&'&&'

!

-

/

-/

-

/

-

/ &&&

&&&&'

00

0 00

!! '& / 0'& - #

! .

. && !!&7

-

.

/

&

&

&

,,

,,

,,

<

)!!!

!!! &7

-

-/

.

-/

/

-

.

/

&&

&

&&

&

&

&

,

,,

,

&,

,,

,&

,,

,,

,,

&,

,,

,&

%&!7

-

-/

.

-/

/

-

/

/

-

.

/

-

-

/

&&

&

&&

&&&&

&

&&&&

,

,,

,

&,&

,,

&,&

00

00

)!!!7

.

. &&

-

-

/

-/

/

-

/

-

/

&&&

&&&

&&&

00

00

&

&

&

"!!!!

-

/

-

/ &&&&

#!!7

-/

.

- &&&

00

!

" + ,!

# ! !

3

*&

"-.!,!

I&

% & & %

! & @ &

7 & #

.! & # @ &

=

"

&

+ & &

! #

C % % & %

% .!

%C!-.& %

#

+#!!&

!! #!-&

!!

!%!

. ! !% & !

%& !%

! % !%

!%3#! ! %.

!% . !

! % H

! ! ! ! !

@ !! &

! %"1

" , !!%!7

"

1

!

!

,

5,

+ & ! % C 6 !

& ! !% !

H !! !

!%*

0,

"*%!.!

/% !

& %C@ @

& @ # . !#

&% %&%C !%C

.2!

% C %

%C.!*!&

! &

%C"!&!

%C

" # 1

" ,

"

1

!

!

,

5

! !&

#

!!

!!

,

"

1

50

""/0!.!.!-

+ % ! $ &

%C !&

2 2 !# ! 2 - !

& 2 !%

%# %&

# ! 3 &

2 1 3

" 3

, #

2

0

4"

1

3

3

!

!

,

54

2 !& !7

"

1

3

3

!!!!!

!!

!!

!

,,

"

1

3

3

!!!!

!

!!

,,,

55

.!2

! %!%

! & !%

! %

"'1## .!.!

. !-&7

,, ""

11

58

# !# ! ! & %

!% % !&!

*!! !&+#

"

! %

& 1

" , !

!%

& 1

" , !

!%

+ #

,,,,

""""

1111

00

$! !!!!!48< ! !

! !& !& !

7

!!

!!

,,,

5

"

"

1

1

5

!

,

11

5;

,

,,,

""5

5<

6

5 ,

& %!&%

% 6

5 , ! & !

!$!

5 , !

% C

! %C

")00&2

.!5 &

& !2!!

! & 2 2

!

& % & !

& & # & " % &

! !% !

@!-& 2 !

JK !

!&

04

1! !@!%

- % !%

! %

.!!&

!7 6 ! ! ! ! ! !

+& ! !! !

!!!!7

6 ! ! ! !

# ! ! ! ! !,

2 ) !! !

!& !

!! ! !&

!% ! &&#

,!

,!

+ 2

0!0!

!!!

3

)7

!0!

!!!

3

!!!7

!

1

6

!

0

"

#

,

, 0

!! !

# !&!7

05

6

1

!

!0

# 5

"

!

!!, ,

, 0

"& !!5=#

1

3

!!

+ !

&

2 !- ! @

&#

"

3

3

! !!

!

,,

6, !% ! ! !!

!

16

1

3

0!!

!

"5#

"

3

!0!!

! ,,,,

,

@! !! !!

6 7

1

6

0

! 8,

)!!! !!

# 5

"

6

, ,, 0

!! 8

+ ! !& !% !% $ !%

! !%&2

! , )# "

!%#!

. !! !&

& !7

08

6

3

61

!

! 80

6

3

##"

,,,,

!!

84

$ ! % ! !!

5 , % !

" ,

!&!&

&!& !

&

2 !!% !

5 ,

!&

% !

5 , %!&

&!

!% ! ,

,. ! !!

!7

6

3 ##"

!

! 85

' *!!#

@ & # 6 % &

% 3 % & 3

7 7 7) 8 + & ! @ $%

!@ % %

! + . % 3

% 3 !

',%..#

" !#

!! $%

0

+

$

%

24

*!!

! % + 7

+

88

-& $ !

! ! , *

! . !

&7

##

##

8

. !!#7

##

##

+

+

8;

0;

25

@ & 5 ! # & !

& !

! *

!!!

& - % "

!

',,!!

+ !4

1

0 8<

!

11

8=

*!! #+# !%

+ ! & !

& + &

$ ! & ! !&

!!!7

,

1

0<

1 !%&

7

,$

.#!! 7

,

11

,

! % 3 3

! !

1# 31

. % 3 3

! !

# 31

! &- !

.!! 7

,

%

%

3

3

11

33 %%

1

! !

@ !

!! $% ) #!!

! ! !

$% 7

+ &&& 0

! %! !! ! !!

8;

+ 4

6 3

"

+ 3 ,, 5

0=

2!! $% !7

33 %%

8

& !

9 &&

%

+ 9 ,,

& ) % 3

&

+ 3 ,, !7

933 %

;

2 !#!! 7

933 <

393 =

! $%

7

-

.

/

39

9

3

,

, ;,

.!7

3

39

0

0

;

.# ! 7

-

.

/

;0

! / ! *

+

339+ 00 ;4

+! !

&

4,

-

.

$

$ ;5

'",,!

L% !%

+ $% ;8

$

%

+

%

$$

+

.

-

28

% ! % ! !

7

39 0 %!% + $%

3 0 %!% + $%

!% +

00

00

00

00

00

00

339

3$39$$

339

3%39%%

339

339

%%

%%

%%

;

6 %7

4

+ $% ;;

.#

+

,9

,

,9C+C+

C? ;<

6 +

! +

+ ! !

!&

$

,,

C+

!!;<7

+

,9

,

,9C+

C? ;=

MC+ # !

&7

%

%

%

++

++

%

$

%$

+

%

$

%$

:

#

,

,

,

,

,

,

&,

,,

,&

,

,

,

<,

3!7

+

++

+

$%

+%

++$

+%

:

#

&

&

<

.!!&

40

&' + !

+

!

&' / ! !% ! , %%

7

++

$

++$

:

#

,

&

,

<0

&' # % ! % %

! !!!!

# %

&' G ! ! $

+ +%: % & <4

&' + #

++ ++$# & <5

-& ! !!88

+

+

##

### , <8

!7

&,

##

+++

#

++$#

<

''!,3!#

$ + ! + " #

! + /!%

44

!#

+4 +?N;O

+ !7!

,

! +

+,

3& 7

#

+

+(

,

,

* % % !&

#

+

+(

++

,0

,,

+ %#.!!-

! !-&3&+ !

!&<5

2

! -&

B!!# &-& 3&

# %

,

45

,

3# # ! !

,

###

! ! ! # ! 5 . -&

) *!!!

),,!!.%!!

) ! & !#

& P ! -&

&

+( 3:

0:

#

#

0

0

<;

!7

3 %!

: %&

#

# 0: ! %& !&

2; 0% 07$

48

+( -& !&; !

; E! !

2<

$!! ! 3

! + ! &

! !

+ <<

*& !

!! 7

-

.

+ !

7

++. + % <=

.! !!!1%!

3 0 ! ! !!

),,!!!

!%@ &=

+ $%

4

!!%!!& ! !!

!& !!%!&

(

+

2=

!&! -&

! +

+

,9

,

,9C+C+

C?

!

+ ! +4 +

+ #!!#7

+

,9

,

,9C+

C? =,

!

+

++

+

$%

+%

++$

+%

:

#

&

&

=

! 7

4;

&' $ !!% ! ,% %

% ! !# %

!!7

&

++

:

++$#

$

=0

&' .! : 7

+ +%: & =4

&' 3 -& !

### , =5

!

&,

##

+++

#

++$#

=8

+

)"*

" !8!!

,85+

"

,,<<5,

584

4

;

%

! %&

,4,,4 0: #

#

! !

04,

<<0=5,,5,,04,8

0

0

0

0

0,

00

%%%

3

+

+ (

2!!

,40,0,4,4,,

80<<

00

%%#

#

)

+(

3

3:

3,

0:

(

(

4<

) ! + !

7

%%

))

,40,,,,4,,;<,,40,+ (

(

3,

3,

3 ! !!=0#7

++ ++$# &

* !% ,$ #

7

++ +#

%%

))+

(

+

(

3,

3,#

0,

,,<,,40,

,;<,,40,,;<,=5,,5,,04,,=<;= 0

%

%%%

)

(

3,#

!

!

"

# $

# $ %

&

'

(

(

(

$'

" #$ %!&' ()*'&))

) ( *

&

%

+

,

,

,

,

, -

.

/

%

!! 0

! %

!

$

'

! !

!

!

1

! ! 2

/ '

!

!

"

((

3 '

!!

#!! (

! $

#! %

(

! )41 455*

# ( 4

-

((

!

%

%

! 3

% %

& ) *

(

)454*'

(

#

# #

$

)461*'

(

#

#

$

$ (

#7

# 5

& % #

$ '

####!!

&% ( 6

"

# ( (

'

0

#!

#!

#!

&

&

&

,

,

,

,

,

(

,

((

. ### / 8%

###

% ) *

%

+ ,-!. ).

# (

## (

/ 9

% #

/ % #

% # $ %

%

9 ## '

# %

/ &

& # 9

! /

! ! ## ' # 3

(( #! ,

1

!

# #(

#

'

#

( -

$ !

'

#

## !

"

"!

#

##

#

: &

# (

'

##

#

(((

4

#

(

( 0

3

#

;

# 3

& ( #

'

(( 1

. /

) 4

) * &

# %

&/ ( ( %%

9 / (

:

'

## ) (

/ )% 0

2

# *+&,

'

-

5

. /

8 / # .

#

( $ ###

<

$

#

#

(=

,

+# (

(

= 3

# '

$ #

& # #$

#'

.--"

+ ( " &

# '

...-

--

..--

# '

.##...#

6

; # #. #.

#

# #.

! ) *

# */

! %

- # %

(

#-

# #

.##.

#. ) *

5

> /

0# 3

/ ! /#

# /

%

1 2 )

/ 1? 01@

# 1(

#.

-

,

,

(6011(

# 1(

-4,56(55

(61,1(,,1 ,

@

" $& !

"

# )

*& '

) %

* #

$

' ) *

6

" ,.-(.&$& !

; !

&

#

'

# ((

# ( !

1' !

)#&*

& .

%

# A #

# ( "

# (

8 (( #

: + (

3

( $

(

#

( ,(

(

# (

'

(

(

(

#

,

: ,:

2(

8

. # #

+

&

# # # ##

# # $

### (

# ((

#

2/

"" ,-(.&*'&$&

. !

##

' #!#

! " ! ) ( *

!"

(

" ( #"#" $ "

# "

& ! " $ &

: % #

#

! %

#

(

"+ . *'

7

#! %& ,,

5'

# ,-

) 45*

)45* :

# ( # $

,

/ (# (

7 #

; '

. / '

#!

!

&%

&%

,0

7 / '

% )-40-5 -5(*

#0#-#!# ,1

!

'

!

&0#0

0&3#--

3

#

!

&

-)

)

%

&%

,

,4

& # ( 9 2(

$%

. '

(

,

!

&00

0&3--

3

&

-)

)

%

,

% '

#0

0--

3

!

)

%

&%

,5

!

,

,

0

0--

3

!

)

'

-

#! %

&%

,6

: (

# -(

# B # #

&

, '

,

0

0--

3

!

&00

0&3--

3

)

%

&

-)

)

%

-

"/ 2 )

)1*

$%

(

(

#!

&%

$ 41- /

#

!

%

&%

/

!

%

&%

9 ) ( *

!

%

&%

(-,(

+ 1-4

0

#0#3#

####

000

)00

6,((11(004(,,40(-,10(

,4(4((,005,

2 - 0

# 0 ,005,

$ '

(,005,(-,( 0

3

51(465054

!

! &0

(51(,005,(-,(

54

%

#&! (0,46554

+ # % ## 6

(465

6(0,

#

%

"1 *&*'&$&

$

& ( (

( $

( % $

9 %

( - !

'

1

!

!

,

,,

,

-,

45 46'

$

#

(

: -

$

# !

,

,

&

! (

4

(,

,

#

#

,

,

--

! 05

-

&0 0-

)

#

-

"

-

- /

-

"

)

#

-#

-

,

,

# #

# (. $

-

"

)

# #

-

,

,

# %

+ ,% &. ).

+ ,% &..-(.)!$.

: '

#! %%%% (( -0

3 '

(

,

(( ,

-1

!

,

,

-4

%#

##

#

,

,

-

$ ( %

%

%/ %

#

/

:

#

( -5

$ '

##

#

(((

#

(

( -6

+

#

0(

. #

#'

#! %

&%

0

3 ) *

5

#!&

0,

0( #

'

#

# &

#!#

0-

#

# -56 -6(-,0$

/

) / *

# -5

. 0-

-5

C 0- #

# #

#

#

# )

* /

%& %

#,?1?

(1((,( # 00

8

3

#4

)*/ @#

# ,1?

/ @#

@1( 3

6

#

@(

@1( 01

) *

+" 2 )

%

(5# 51

01 ( 3 #

% # -(/0#

C /

1-1 1-4'

6,(004(40-,4(,0 03#! )

#0#3#

###!#

000

)00

6,((11(004(,,40(-,10(

,4(4((,005,

-(/0# (3 '

,14(004(,4(,0 0#! )

(,0(11(5-1( 0#!# )

/ /

# 41-

(-,(((((

%

((45((-0(

!

# &%

/ &

'

,11(004(,4(-0 0# )

((11(5,,( 0## )

3 -0(5( # ) 5() *

1? '

,(

,11(004(-0(5(,4(-0011( 0

((1-0(5(1(5,,( 0

!

56,(004(-0 0

0(15,,( 0

3 % 0 9 %#

(

(@

((-(

6(6((

0

: % /

'

,06(,4(-0 # )

((,(1(5,,( ## )

$ %

(.# (55 # 010 '

00(1

,010((56(55

,

,,

#.

%

,06(,4(-000( #)

((,(1(5,,(( #)

,,1(,4(-0 #)

((,(1(5,,( #)

"# %

(

(

00(4,(

6,(1((

#

)

%# (( ,4 )

,

++ ,% &$*!

2 D E #

.

.

'

(,

,

! )

$

(,

,

#! )

'

#

)

$

)

,

,

,

,

04

. #

# !

@ 8%

$ # % #

) 46-

45-*

# 1 0

'

$1 05

,,

<

$ 1

#

! /

$#'

!1

) 1

*

,

,

!1

,

) ( 1 * C '

(,

,

# )

!1

3 !1 '

(,

,

)

$!1

! '

#

1

!)

$

1

!)

,,

,,

,,

,,

06

2 # !

% %

/

) (,*

##$ )###& , &#

,-

+/ 2 )

8 # ( #- 5

(( !

$41-

(-,(

,

,

((,4(

56

(-,(

,

10(,

#

#& 01(((

'

#

)

$

)

,

,

,

,

/ 10

11 # ( $

'

01(10(56

(,1((,((-00(

01((1((,,(1(

)

)

& '

(,-((,((-00(

(5-((,,(1(

)

)

"#

(

(

(,-44(

1(,45(

)

,0

! 6? ,4

(() (-( 2

((

# +

#-( ((

# )- -1(-( (

/ (($!$ !

F # &

#

!-#

1(

# &

)

&

: 0$

' ! ! !

,1

! & #

/ 3)%.$ -

! 66

'

6

6

(

(

(

(

(G

1

/" 3)%&

& '

(

# '

7 -((

+ '

! " (

& '

"

-

&

&

# !7

((

(

(

1,

& # #

4 !$

$ !

$ !$ &

4 !

!! 1-

8 /

'

!!

,4

$ &

1 $ :

/ (

!

'

!!! 10

: 1"

8 / # '

7 11

& % # '

)

"

-

&

&

# !

!

(

(

(

8 '

!!

!!

&&-&&&&#

&&&#

"-&&#

,

9 /

/ '

&-&#

&#

"-&#

14

& 4

&

!$

: 4$

: #

&

$ 4 !$

) *

' ! & %

!

! &

!

!

$!$

: &

,5

$ ! & $

H 5 -

&- $

! &

-"

-

$

4-

: 5;

: " !

/

/+ --) .'.

& +

8

77 1

&&&

&&&&&

&&&&&&

&&

&

&&&

&&&

&&

&

!!!

!!!

(

(

3

'

! "+

! " ! "+

,6

! " ! "+

+ %

! "+ +

I ! "

+ + +

+

15

# ( : +

# ( ( )# *

(1

(

(1

: 6" !

& 6 +

) *

) (( *

// 4(!$& (5)&

8 # '

&-&#

&#

"-&#

16

-(

2 +

+

$/ '

&-&#

&#

"-&#

4(

. #

%

7 '

#

-

#

-"

#

4

! / $

#

#

(

'

# ( 4,

/1 2 ! )!$- '%. ).

2% #

(

/

) *

) *

$

'

( 4-

-

( $ C

=/ 2

$% '

"

)

"

,

,,

,(

,

40

/

##

#

#

#

#

(( 41

#

#

.

#

.#"

#

# #

0

1

4

#

(

(

#

(

(

(

(

(

(

(

#

0

1

4

: (2%

!/ ###" )#

((( / 8% '

! #

Performanse zrakoplova 8-1

8 PERFORMANSE ZRAKOPLOVA

Pod pojmom performanse letjelica razumijevamo neke općenite karakteristike leta u uvjetima

zadane energije letjelice kao što su na primjer daljina do koje može zrakoplov letjeti, vrijeme

koje može zrakoplov provesti u zraku, maksimalna zakrivljenost putanje, optimalna brzina

letjelice i drugo. U svim tim slučajevima ne zanima nas ni stabilnost letjelice, niti njeno

ponašanje u određenom trenutku (kao što su npr. njihanja letjelice).

8.1 Horizontalni let

8.1.1 Režim leta

Ako zrakoplov leti u atmosferi bez vjetra, horizontalno ( )γ = 0 i pravocrtno ( )0=χ& , onda iz

jednadžbi gibanja 7.61

φχγ

γφγ

γ

sincos

coscos

sin

LdtdmV

WLdtdmV

WDTdtdVm

=

−=

−−=

8.1

slijedi da mora biti:

WL

L==

φφ

cos0sin

8.2

Iz njih zaključujemo da za horizontalni pravocrtni let kut valjanja φ zrakoplova mora biti

jednak nuli, a normalno opterećenje (load factor) mora biti jednako jedinici:

10

==

nφ 8.3

Kako je

WSCVL L ==2

2ρ , 8.4

slijedi da u horizontalnom letu mora biti

S

WCV L ρ22 = . 8.5


Svaka kombinacija moguće brzine i mogućeg napadnog kuta koja ispunjava ovaj uvjet

horizontalnog leta naziva se režim horizontalnog leta, a iz tog uvjeta za horizontalni let slijedi

da je brzina leta ovisna o izabranom koeficijentu uzgona:

LCS

WV 12ρ

= , 8.6

ili obrnuto, da za izabranu brzinu leta slijedi odgovarajući koeficijent sile uzgona. Međutim,

treba uzeti u obzir da zrakoplov ne smije letjeti brzinom manjom od

max

2

Lrefstall CS

WVρ

= , 8.7

kojoj odgovara najveći mogući koeficijent uzgona, koji zrakoplov postiže pri najvećem

dopuštenom napadnom kutu. Za manje brzine bi napadni kut trebao biti još veći, no tada

nastaje pad koeficijenta uzgona. Prema tome, mogući su režimi leta brzinom V stallV>

8.1.2 Potrebna sila ili potrebna snaga

Ako želimo dodatno da horizontalan pravocrtan let bude i stacionaran, tj. da brzina leta bude

konstantna, onda treba biti ispunjen i treći uvjet da pogonska sila bude jednaka otporu:

DT =

Tu potrebnu pogonsku silu, za izabrani režim leta, označavamo sa T (Thrust required).

Potrebna sila pomnožena s brzinom leta daje potrebnu snagu. Pri određivanju performansi

zrakoplova služit ćemo se jednostavnom polarom zrakoplova te će potrebna sila biti određena

jednadžbom

r

( )20

2

2 LDr CKCSVDT +==ρ

U tim jednadžbama, za potrebnu silu ili potrebnu snagu, imamo i koeficijent uzgona C i

kvadrat brzine leta V (odnosno kub ako je u pitanju potrebna snaga).. Da bismo dobili

potrebnu pogonsku silu, odnosno potrebnu snagu, ovisno samo o brzini leta eliminirat ćemo

koeficijent uzgona iz uvjeta da je u horizontalnom letu

L

SVW

L 22

ρ=C :

2

22

012

2 VSKWVCSDT Dr ρ

ρ+== 8.8

Kako je otpor zraka D u horizontalnom letu ovisan samo o brzini leta V, možemo odrediti

režim leta pri kome je potrebna pogonska sila T minimalna. Taj problem se može r


matematički formulirati tako da se traži minimum funkcije ( )VrT u ovisnosti o brzini leta V.

Izjednačavanjem s nulom derivacije jednadžbe 8.8 po brzini V, dobivamo:

0

0D

)2

1422 3

2

0 =−VS

KWVCSD ρ

ρ

Uz pomoć drugog uvjeta za horizontalni let LW = i poslije sređivanja dobivamo:

, 8.9 02

DL CKC =

Slika 8-1 Potrebna pogonska sila T , nulti otpor i inducirani otpor r iD

što znači da je u režimu za minimalnu silu inducirani otpor jednak otporu pri nultom uzgonu.

Kada iz ove jednadžbe odredimo koeficijent uzgona

K

CC D

L0= , 8.10

jednadžba za horizontalni let daje nam brzinu leta u tom režimu. Važno je uočiti da je

potrebna sila ili potrebna snaga karakteristika letjelice, što je neka vrsta aerodinamičke

kvalitete letjelice. Aerodinamički je bolja ona letjelica koja ima manju potrebnu snagu ili

manju potrebnu silu.

Potrebna snaga (Power required) bit će određena jednadžbom rP

( 03

2 LDr CKCVSVDP +==ρ


koja također predstavlja zbroj snage koji je potreban da se svlada parazitski otpor i snage da

se svlada inducirani otpor. Kao i za potrebnu silu, postoji režim leta kada je potrebna snaga

u minimumu. Eliminacijom koeficijenta uzgona iz uvjeta za horizontalni let: rP

SWCV L ρ

22 =

dobivamo ovisnost potrebne snage samo o brzini:

VS

KWVCSDVP Dr12

2

23

0 ρρ

+== 8.11

Slika 8-2 Potrebna snaga VDPr = , snaga VD i VD za "mali" zrakoplov 0 i

Derivacijom po brzini leta potrebne snage dobivamo:

( )2

22

0123

2 VSKWVCS

dVDVd

D ρρ

−=

Uočimo da je prvi član na desnoj strani 3 , a drugi točno . Izjednačavanjem ove

derivacije s nulom i korištenjem drugoga uvjeta za horizontalni let

0D iD

L W= dobivamo:

SVKLSCV

D

22

3 2

2

0

2

ρρ

= ,

ili

. 8.12 02 3 DL CKC =


To znači da je u režimu leta za minimalnu potrebnu snagu inducirani otpor jednak trostrukoj

vrijednosti otpora pri nultom uzgonu. Kada smo odredili koeficijent uzgona C koji

odgovara ovom režimu leta,

LP

KCC D

L03

= . 8.13

Brzinu leta nalazimo iz uvjeta za horizontalni let: WL =

LCS

gmV 12ρ

= 8.14

Tijekom leta smanjuje se masa zrakoplova zbog potrošnje goriva, pa će i brzina potrebna za

horizontalan let opadati. Međutim ta promjena mase nije velika. Obično je krajnja masa oko

80% od početne, pa je krajnja brzina oko 0.9 od početne. Za tako mali pad brzine leta ne

mijenja se kao ni koeficijent K, pa koeficijent uzgona C ostaje konstantan. 0DC L

Slika 8-3 Raspoloživa i potrebna sila.

8.1.3 Raspoloživa sila ili snaga

S druge strane, imamo pogon i njegove karakteristike. Ako je pogon zrakoplova pomoću

elise, onda motor daje neku snagu elisi koja razvija raspoloživu pogonsku snagu

(Power available):

motP aP

motPa PP ⋅=η 8.15


Ova jednadžba nam omogućuje da odredimo i raspoloživu silu kombinacije elisa-motor:

VPT motP

a⋅

=η 8.16

U prilogu C nalazi se opisan postupak određivanja snage jednog tipičnog zrakoplovnog

motora u ovisnosti o tlaku i temperaturi okolnog zraka, za razne režime rada motora. Posebno

je pitanje koeficijenta učinkovitosti elise Pη . On ovisi o parametru ; D je

promjer diska elise, a n je broj okretaja elise u sekundi. Kad odredimo raspoloživu silu

)/(nDVJ =

( )VaT

ili raspoloživu snagu ovisno o brzini, možemo ih usporediti s potrebnom silom ( )VPa ( )VrT

ili potrebnom snagom , kao na slici 8-3 i 8-4. Iz te usporedbe dobivamo interval

mogućih brzina leta od V do V s obzirom na pogon.

(VPr

min

)

max

Slika 8-4 Raspoloživa i potrebna snaga.

Ako zrakoplov ima mlazni motor, onda je raspoloživa sila jednaka maksimalnoj

pogonskoj sili mlaznog motora o kojoj je bilo riječi u odjeljku 6.4.4.

8.1.4 Ovojnice

Horizontalni let moguć je samo kada je

DTT ra =≥ ili DVPP ra =≥

Da bi se odredila najmanja i najveća moguća brzinu leta iz ove jednadžbe, promatrat ćemo

najveću raspoloživu snagu motora pri maksimalnom broju okretaja motora. Ta snaga prema


dijagramu C-2 (prilog C) ovisi o tlaku okolnog zraka i pada kada taj tlak pada. Isto tako otpor

ovisi o gustoći okolnog zraka. Prema tome najmanja i najveća moguća brzina bit će različite

za razne visini leta jer su tlak i gustoća različiti. Dijagram koji nam daje V i V ovisno o

visini za standardnu atmosferu predstavlja karakteristiku zrakoplova. Svakako se na taj

dijagram moraju unijeti i druga ograničenja, kao npr. V , koje je iz istih razloga različito na

raznim visinama.

min max

stall

Izjednačavanjem raspoložive potrebne sile T i raspoložive sile T u uvjetima

standardne atmosfere, dobivamo jednadžbu iz koje možemo izračunati i V ovisno o

visini leta H :

r a

minV max

( ) ( )2

22

012

2,

VSKWVCS

VVHPJ D

mot

ρρη += 8.17

Isto se tako iz jednadžbe WL = , za najveći mogući koeficijent uzgona C , izračunava

ovisno o visini, jer gustoća zraka ovisi o visini:

maxL

stallV

max

2

Lrefstall CS

WVρ

= 8.18

Slika 8-5 Ovojnica za "mali" zrakoplov

Za "mali" zrakoplov nacrtane su krivulje ( )HminV , ( )HmaxV i ( )HstallV na slici 8-5 . Jasno je

da zrakoplov ne smije letjeti s brzinom koja je manja od ( )H stallV ili V , niti može letjeti min (H )


s brzinom koja je veća od V . Zato ove krivulje predstavljaju teoretske ovojnice

područja režima leta zrakoplova.

(Hstall

motP P

)

8.1.5 Dolet zrakoplova (Breguetova jednadžba)

Dolet zrakoplova jest daljina do koje zrakoplov može letjeti kad se uzme u obzir njegova

specifična potrošnja goriva i količina goriva koju nosi. Za vrijeme leta masa zrakoplova m

umanjuje se za potrošeno gorivo. Neka je dm promjena mase u vremenskom intervalu dt. Ta

promjena mase dm jednaka je produktu vremena dt i derivacije mase po vremenu m . Ako sa

dR označimo element puta, za vrijeme promjene mase dm, onda je duž tog elementarnog puta

&

mV

dtmVdt

dmdR

&&== 8.19

Jasno je da je ta promjena mase pad mase, tj. da je 0<m&

c

. Masa zrakoplova je zbroj

promjenljive mase goriva (fuel) i konstantnog dijela mase m . fm&

fc mmm +=

To znači da je . fmm && =

Za zrakoplove s elisom potrošnja goriva praktički je proporcionalna razvijenoj

snazi motora. Zato je . Koeficijent C nazivamo specifična masena potrošnja.

On ima dimenziju masenog protoka po jedinici snage

fm&

PCm −=&

[ ]Wskg . Raspoloživa snaga motora

pomnožena s koeficijentom elise motP Pη daje raspoloživu pogonsku snagu, ili snagu na elisi

. Vidjeli smo da je u horizontalnom ravnotežnom letu konstantnom brzinom: VTa

VDPmotP =η

te je

PP

VDCmη

−=&

gmDL

CVDCV

mV

dmdR

P

PP

P

1ηη−=

−==

&

Integrirat ćemo gornju jednadžbu od početka leta kada je masa zrakoplova , do kraja leta

kada se masa zrakoplova smanji za masu goriva , te je

im

fm fik mmm −= :

∫=k

i

m

m D

L

P

P

mdm

CC

gCR η


Odnos 20 LD

L

D

L

KCCC

CC

+= bit će konstantan tijekom leta ako je koeficijent uzgona C

konstantan tijekom leta. To znači da se tijekom leta mora smanjivati brzina tako da je

ispunjen uvjet za horizontalan let:

L

LSC

WVρ2

= 8.20

Ako se tako leti, odnos DL CC konstantan je tijekom leta, pa se može izvući iz integrala.

Integriranjem od početnog stanja i do krajnjeg stanja k dobivamo:

=

k

i

D

L

P

P

mmn

CC

gCR l

η 8.21

Ovo je poznata Breguetova jednadžba doleta za zrakoplove s elisnim motorom. Ne

zaboravimo da je ona dobivena uz pretpostavku da je koeficijent uzgona tijekom leta bio

konstantan a s tim konstantnim koeficijentom uzgona, ovisno o masi zrakoplova, određena je

brzina leta tako da je u svakom trenutku zadovoljen uvjet horizontalnog leta.

Breguetova jednadžba zahtijevala je da odnos DL CC tijekom horizontalnog leta

bude konstantan, a taj uvjete ispunjavamo ako letimo horizontalno s konstantnim

koeficijentom uzgona C . Ostaje otvoreno pitanje kolika je ta konstanta vrijednost

koeficijenta uzgona. Možemo ga izabrati da dolet bude najveći, a to znači da odaberemo onu

vrijednost koeficijenta uzgona C za koju je funkcija

L

L

( ) 20 LD

L

D

LL KCC

CCCCf

+==

u maksimumu. Izjednačavanjem derivacije ove funkcije po koeficijentu uzgona s nulom

( )( )

02122

0

20 =

+

⋅−+⋅=

LD

LLLD

L KCCKCCKCC

dCdf

dobivamo:

. 02

DL CKC =

To znači da trebamo letjeti u režimu leta za najmanji otpor pri kome je inducirani otpor

jednak parazitskom otporu. To je logično, zato što je u horizontalnom letu uzgon jednak

težini, pa ako je otpor u minimumu bit će odnos uzgona prema otporu najveći.

Za mlazne motore je specifična masena potrošnja goriva proporcionalna pogonskoj

sili . Taj koeficijent masene potrošnje goriva C ima dimenziju masenog protoka

po jedinici sile

TCm T−=& T

[ . U horizontalnom ravnotežnom letu konstantnom brzinom, ]Nskg


pogonska sila T jednaka je otporu D, a uzgon L jednak je težini mg, te se polazna jednadžba

transformira u oblik:

gmDL

CV

TCV

mV

dmdR

TT

1−=

−==

&

Normalno je koeficijent masene potrošnje mlaznog motora C konstantan, pa se

integriranjem te jednadžbe od početka leta do kraja dobiva:

T

∫−=k

i

m

m D

L

T mdm

CCV

gCR 1 ;

im

LC

je početna masa zrakoplova, a krajnja masa. Ako je tijekom leta koeficijent uzgona

konstantan, onda je i koeficijent otpora konstantan jer je C , a brzina leta

se mijenja tako da je zadovoljen uvjet horizontalnog leta.

km

20 LDD KCC +=

LCm

SgV

ρ2

=

Ta brzina tijekom leta opada kao što smo to već napomenuli, jer se masa zrakoplova smanjuje

s potrošnjom goriva. Zamjenom te brzine ovisno o masi u jednadžbu za dolet, dobivamo

∫−=f

i

m

mL

DT mdmC

Sg

CgCR

ρ21

Integriranjem od do dobivamo dolet leta za zrakoplove s mlaznim motorima im km

( kiLDT

mmCSg

CgCR −=

ρ22 ), 8.22

ili

( kiD

L

T

VVCC

gCR −=

2 ). 8.23

To je Breguetovu jednadžba doleta za zrakoplove s mlaznim motorima. Zapamtimo da je ta

jednadžba za zrakoplove s mlaznim motorima izvedena uz pretpostavku da je tijekom leta

koeficijent uzgona C konstantan, a da zrakoplov u svakom trenutku ima brzinu leta kojom

zadovoljava uvjet za horizontalni let.

L

Breguetova jednadžba za dolet leta može se staviti u oblik:

( ) 20

22

LD

Lfi

T KCCC

mmSg

gCR

+−=

ρ


Vidimo da dolet leta ovisi o usvojenom koeficijentu uzgona. Potražimo maksimum te

ovisnosti. Dolet leta bit će najveći kada je funkcija

( ) 20 LD

LL KCC

CCf

+=

u maksimumu po C : L

( )

( )0

22

1

220

20

=+

−+

=LD

LLLDL

L KCC

KCCKCCC

dCdf

Odatle dobivamo da je

02

31

DL CKC = . 8.24

To znači da je dolet leta zrakoplova s mlaznim motorima u maksimumu ako je inducirani

otpor jednak trećini parazitskog otpora. Iz ove jednadžbe je

K

CC D

L0

31

= , 8.25

a brzina leta je određena iz uvjeta za horizontalni let, što znači da će ona opadati jer masa

zrakoplova opada zbog potrošnje goriva.

8.1.6 Maksimalno trajanje leta (Endurance)

Ponekad nam je potrebno što dulje boraviti u zraku. To je slučaj kada ne možemo sletjeti iz

bilo kojih razloga te moramo čekati da se stvore uvjeti za slijetanje. Takvo čekanje treba

ostvariti s režimom leta u kome je najveće vrijeme trajanja leta za određenu količinu goriva.

Sa E označavamo vrijeme trajanja letenja (endurance). To vrijeme jednako je potrebnom

vremenu da se masa zrakoplova smanji za masu goriva, jer let traje dok ima goriva:

∫∫ ==k

i

k

i mdmdtE&

I u ovom slučaju treba također odrediti u kojem režimu leta treba letjeti zrakoplov s elisom, a

u kojem zrakoplov s mlaznim motorom.

Zrakoplov s elisom ima masenu potrošnju motP PCm −=&

P

, gdje je snaga motora. Ta

snaga motora pomnožena s koeficijentom elise

motP

η daje potrebnu snagu koja je jednaka

produktu VD. Zato je trajanje leta zrakoplova s elisom:

∫∫∫∫ ==−

==i

f D

L

P

Pi

fP

Pf

i PP

f

i mdm

CC

VgCgmdm

DL

VCVDCdm

mdmE 11 ηη

η&


Koeficijent uzgona bira se prema nekom kriterijumu i držimo ga konstantnim tijekom leta.

Samim tim je i koeficijent otpora konstantan tijekom leta jer je C , a brzina

leta određena je iz uvjeta za horizontalni let

20 LDD KCC +=

LCm

SgV

ρ2

=

i promjenljiva je tijekom leta, jer se mijenja masa zrakoplova zbog potrošnje goriva.

Zamjenom u integral dobivamo:

∫−

=i

fD

L

P

P dmmCC

gS

gCE 2

323

2ρη

a poslije integracije

−=

ifD

L

P

P

mmCC

gS

gCE 11

22 23ρη

8.26

ili

−=

ifD

L

P

P

VVCC

gCE 112η

. 8.27

Pri tome smo pretpostavili da je koeficijent uzgona konstantan, a mijenja se brzina leta kako

bi bio uvijek zadovoljen uvjet horizontalnog leta mgL = .

Da bi E bilo što veće, trebamo taj konstantni koeficijent uzgona odabrati tako da

funkcija koeficijenta uzgona

( ) 20

2323

LD

L

D

LL KCC

CCCCf

+==

bude u maksimumu.

( )( )

02

23

220

20

=+

−+=

LD

LLLLDL

L KCC

KCCCKCCC

dCdf ,

odakle je

, 8.28 02 3 DL CKC =

što znači da je inducirani otpor trostruko veći od parazitskog otpora ili da je potrebna snaga u

minimumu.

Za zrakoplov s mlaznim motorom izraz za trajanje letenja bit će:


∫∫∫∫ −=−=−

==f

i D

L

T

f

iT

f

i T

f

i gmdm

CC

Cgmdm

DL

CTCdm

mdmE 11&

Ako se leti s konstantnim koeficijentom uzgona, a pomoću brzine leta zadovoljen je uvjet

horizontalnog leta, onda ovaj integral lako rješavamo jer je odnos DL CC konstantan pa je:

=

f

i

D

L

T mm

CC

gCE n1

l 8.29

Da bi se postigao maksimum trajanja leta, treba letjeti s koeficijentom uzgona koji će odnos

DL CC D učiniti maksimalnim. Vidjeli smo da je taj odnos najveći ako je inducirani otpor

jednak parazitskom otporu

, 02

DL CKC =

a to je slučaj najmanjeg otpora u horizontalnom letu.

8.1.7 Primjeri

Primjer 1

Nacrtati dijagram ovojnica za "mali" zrakoplov (slika 8-5), ako klipni motor, prema prilogu

C, ima kutnu brzinu srad240=ω , a elisa ima koeficijent učinkovitosti

( ) 2644.05670.04815.16923.1 23 +++−= JJJJη ,

gdje je nDVJ = parametar rada elise, n broj okretaja u sekundi, D promjer diska elise.

Najmanja i najveća brzina dobivaju se iz jednadžbe

ra PP =

u kojoj je raspoloživa snaga

),,,()( TpVomegaPJPa mot⋅= η ,

jer je za najveću snagu motora tlak punjenja ppS = , a potrebna snaga

+⋅=SV

KWSCVVP Dr

22 2

2

0

2

ρρ

Krivulje V i V na slici 8-5 nacrtane su pomoću programa Ovojnica.m , koji se

nalazi na disketu u direktoriju Performanse\Horizontalni let.

(Hmin ) )(Hmax


Primjer 2

Odrediti za mali putnički zrakoplov otklone kormila visine za režim leta za najveći dolet.

U režimu leta za maksimalni dolet inducirani otpor jednak je parazitskom otporu

499.0104.0

0259.00 ===K

CC DL .

Kut otklona kormila visine dobivamo iz uvjeta da je koeficijent sile uzgona u ravnotežnom

letu C i da je u ravnotežnom letu (474.0=L 0=mC )

mmRmm

mLRLLL

CCCCCCC

δαδα

δα

δα

++=++=

0

0

0

ili

mfK δα ⋅++= 216.073.4249.0499.0

mfK δα ⋅−⋅−−= 577.0822.0002.00 .

08.40842.0 −=−=mδ 02.3567.0 ==rα

Primjer 3

Odrediti najveći dolet ako motor radi s 75% snage, na visini 2000 m za potrošenih 200 litara

goriva.

U režimu za najveći dolet inducirani otpor jednak je nultom otporu, pa je prema

prethodnom primjeru

0518.00259.022499.0

0 =⋅=⋅==

DD

L

CCC

Na početku leta masa 1088=+= gLi mmm . Tom koeficijentu uzgona i toj masi odgovara

brzina horizontalnog leta:

smCS

gmVL

ii .1.53

499.01

1.1581.91089

006.1212

=⋅

==ρ

,

Specifična masa goriva je litkg720.0

kg945

, pa je poslije potrošenih 200 litara masa zrakoplova

. Na kraju leta bit će brzina leta: m f 72.0*2001089 =−=

smVmm

V ii

ff 5.491.53

1089945

=⋅== .


Prema dijagramu C-5 u prilogu, specifična potrošnja je 0 , a u intervalu od

do V možemo uzeti da je prosječni koeficijent učinkovitosti elise, prema

jednadžbi u primjeru 1,

710850. −⋅

5.49=fV 1.53=i

81.0=elisaη . Tako dobivamo dolet u tom režimu:

kmmm

CC

gCR

f

i

D

L

P

elisa 1330945

1089ln0518.0499.0

10850.081.981.0ln 7 =

⋅⋅

⋅⋅=

= −

η .

8.2 Stacionarno penjanje i spuštanje zrakoplova

Jednadžbe gibanja središta mase zrakoplova 7.62 izveli smo na kraju prethodnog poglavlja:

φχγ

γφγ

γ

sincos

coscos

sin

LdtdmV

WLdtdmV

WDTdtdVm

=

−=

−−=

D

T

L

W

γγcosW

γsinW

γ

V

Slika 8-6 Zrakoplov u penjanju

Za gibanje u vertikalnoj ravnini kut skretanja χ je konstantan, te iz treće jednadžbe proizlazi

da tada nema ni kuta valjanja 0=φ , te ove jednadžbe imaju oblik:

γγ

γ

cosWLdtdmV

sinWDTdtdVm

−=

−−= 8.30


Za pravocrtno ( const=γ ) i stacionarno (V const= ) penjanje ili spuštanje bit će

γγ

cosWLsinWDT

=+=

Te jednadžbe možemo direktno napisati promatrajući zrakoplov u stacionarnom penjanju. Iz

prve jednadžbe su kut penjanja γ i brzina penjanja : Vv

WDTVsinVV

WDTsin

v−

==

−=

γ

γ 8.31

Brzina penjanja označava se u zrakoplovnoj praksi s R/C (Rate of Climb), a tangens kuta

γ označava se sa G i naziva se gradijent penjanja (Climb Gradient).

Vv

Iz jednakosti γcosL W= , koja je potrebna za penjanje (ili spuštanje), nameće se uvjet

za penjanje pod kutom γ :

S

WCV L

ργ2

cos

2

= 8.32

Kojom brzinom leta V, kojim koeficijentom uzgona , te kojim će se kutom LC γ zrakoplov

penjati, nije apriorni određeno. Ovdje je problem optimizacije teži od onoga koji je bio u

horizontalnom letu. Koriste se dvije mogućnosti optimizacije:

• najveći kut penjanja (Best Angle of Climb)

• najveća brzina penjanja (Best Rate of Climb)

8.2.1 Najveći kut penjanja

U stacionarnom penjanju pod kutom potrebna je pogonska sila γ

γsinWDTr +=

Najprije valja uočiti da više nemamo jednakost otpora i potrebne pogonske sile. Potrebna

pogonska sila treba svladati ne samo otpor, već i komponentu težine. Taj otpor u penjanju

( )qSLKqSCKCCqSD DLD

2

02

0 +=+=

ne može se izraziti samo kao funkcija brzine, jer on ovisi i o kutu penjanja, zato što više nema

jednakosti uzgona i težine već L W= cosγ . Eliminacije uzgona, biti će otpor u penjanju pod

kutom : γ

SW

qKqSCD D

γ22

0cos

+=


te je potrebna sila u penjanju

γγρ

ρ sincos122

22

220 W

VSKWVSCT D

r ++= 8.33

Potrebna sila ovisi o tri parametra. Prvo, o kutu penjanja γ , zatim o brzini leta V i konačno o

gustoći zraka. To znači da će na određenoj visini, gdje je gustoća zraka neka određena

vrijednost, potrebna sila ovisiti o brzini leta i o izabranom kutu penjanja ( )γ,VTr . S druge

strane imamo raspoloživu silu (ili snagu pogona). Raspoloživa pogonska sila ovisi također o

brzini ali ne o kutu penjanja. Ako se pretpostavi da je visina konstantna, može se

promatrati dijagram kao na slici 8-7

( )VTa

Slika 8-7 Potrebna sila ovisno o brzini leta i kutu penjanja.

na komu su ucrtane krivulje potrebne sile ( )γ,VrT za konstantne kutove penjanja (od 00 do

90). Za neki određeni kut penjanja, u presjeku krivulja ( ) ( )VTV arT =γ, dobivamo V i V ,

granice intervala mogućih brzina s kojima se može zrakoplov penjati pod tim kutom.

min max

Povećavanjem kuta penjanja, kao što se to vidi sa slike 8-7 taj se interval smanjuje, da bi se za

neki određeni kut penjanja te dvije krivulje ( )VaT i ( )γ,VrT tangirale u točki A. Kut penjanja

ne može biti veći od te vrijednosti, jer pogon ne raspolaže dovoljnom silom, da bi se taj

zrakoplov mogao penjati pod većim kutom. Dakle, krivulja ( )γ,VrT , na kojoj je točka A,

određuje najveći kut penjanja, s kojim se taj zrakoplov s tim pogonom može penjati.

Označimo taj kut sa BAC (Best angle of climb). Međutim, ne zaboravimo da smo to rješenje

dobili za određenu visinu, što znači da će za drugu visinu biti drugo rješenje za BAC, tj.


najveći mogući kut penjanja nije konstantan već se mijenja s visinom. Koeficijent uzgona, za

taj najveći kut penjanja, nalazimo iz uvjeta da je γcosWL = :

2cos

SVγ

)V 0=γ

9-

2WCL ρ= 8.34

Povećavanjem visine smanjivat će se BAC, tako da će za najveću visinu on biti jednak nuli,

jer tada krivulja T tangira krivulju ( )Va (T za r . Tim istim postupkom za isti

zrakoplov ali za visinu h nacrtana slika 8 , prema kojoj je dobiven krajnji slučaj

mogućega leta i to za

m5400=

0=γ , tj. s tim motorom na tom zrakoplovu više se nije moguće penjati.

Slika 8-8 BAC za "mali" zrakoplov na razini mora

Na temelju ove analize vidimo da svakoj visini odgovara neki najveći kut ( )hmaxγ koji se

smanjuje s visinom da bi na vrhuncu bio jednak nuli. Isto tako, na svakoj visini imamo

odgovarajuću brzinu leta V s kojom trebamo letjeti. To je režim leta s najvećim mogućim

kutom penjanja.

U slučaju zrakoplova s elisom dobivene vrijednosti brzine leta za najveći kut penjanja

ili su manje od onih koje su propisane kao minimalne za pravilan i siguran rad elise, ili su

tako male da neki drugi efekti dominiraju u penjanju, kao npr. povećani otpor zbog odvajanja

struje od elise, pa se zato elisni zrakoplovi obično penju ili spuštaju u režimu najveće brzine

penjanja.


8.2.2 Najveća brzina penjanja

Brzina penjanja se definira kao

γsinVVdtdh

V == . 8.35

Za lovce presretače vrlo je važno da u što kraćem vremenu budu na određenoj visini. Taj

zahtjev znači da trebaju što veću brzinu penjanja VV . Brzina penjanja označili smo sa RC, a

najveću sa BRC. Jasno je a priori da je BRC različit na različitim visinama.

Slika 8-9 Potrebna sila ( )γ,VrT i raspoloživa sila ( )VaT , za određenu visinu

Neka su na slici 8-9 nacrtane krivulje potrebne pogonske sile ( )γ,VTr i raspoložive pogonske

sile , za neku određenu visinu za koju je nacrtana slika. Označimo sa ( )VTa ( )γmaxV apscisu

točke desnog presjeka krivulje T sa krivuljama ( )Va ( )γ,Vr

max

T . Svaka točka odgovara nekom

kutu penjanja i predstavlja maksimalnu brzinu V koju može postići zrakoplov s tim

motorom na tom kutu penjanja. Drugim riječima u svakoj točki dobivamo par vrijednosti V

i

max

γ . Pomoću tih parova možemo nacrtati novi dijagram koji na apscisi ima brzinu leta V, a na

ordinati brzinu penjanja γsinmaxVV =V . Taj dijagram 8-10 urađen je za onu istu visinu za

koju smo nacrtali polazne krivulje na slici 8-9. Taj dijagram pokazuje s kojim se brzinama

leta V može penjati zrakoplov i koje će biti brzine penjanja VV s raspoloživom silom pogona.

Ta krivulja je geometrijsko mjesto točaka koje imaju apscisu ( )γmaxV a ordinatu


( ) ( ) γγγ sinmax ⋅= VVV . Na njenom tjemenu nalazi se točka C koja predstavlja najveću

moguću brzinu penjanja.

γsinVVV =

2WCL ρ=

γ,

2cos2

SVW

L ργ

=

Slika 8-10 Brzina penjanja ( )VVV za određenu visinu,

U toj točki C određujemo brzinu leta V i kut γ koji osiguravaju najveću brzinu penjanja

na visini h za koju smo konstruirali taj dijagram. Koeficijent uzgona određen je

jednadžbom 2cos

SVγ . Te vrijednosti određuju režim leta BRC za visinu h. Za neku

drugu h visinu dobili bi drugu krivulju i druge vrijednosti γ,V potrebne za BRC . Drugim

riječima V su funkcije visine h, a samim tim i brzina penjanja γsinVVV = i koeficijent sile

uzgona C isto su poznate funkcije visine.

Primjer

Za mali putnički zrakoplov na visini mH 2000= , odrediti režim leta za najveću brzinu

penjanja.

Rješenje grafičkom metodom nalazi se u direktoriju Performanse\Penjanje pod imenom

BRC1.m s kojim je nacrtana slika 8.9, a zatim očitane točke nacrtane su pomoću programa

BRC2.m S tim programom dobiva se vrijednost za brzinu leta 0max 5.3=γ smBAC 2.46=V

na zadanoj visini.


8.2.3 Vrijeme penjanja i potrošnja goriva u penjanju

Nakon analiza, iz prethodnog odjeljka, o režimu penjanja u mogućnosti smo izračunati

vrijeme penjanja. Iz jednadžbe da je

∫=2

1

h

h VVdht

vidimo da će najkraće vrijeme penjanja biti za najveću brzinu penjanja:

∫=2

1 maxmin

h

h VVdht 8.36

U prethodnom odjeljku odredili smo funkcije ( )hV maxV , ( )hV i ( )hγ . S tom funkcijom

trebamo izračunati ovaj integral. ( )hVV max

Potrošnju goriva u penjanja zrakoplova određujemo na temelju jednadžbe

VV

mdhdm &

−= 8.37

u kojoj je za elisne zrakoplove

elisa

PmotPg

TVCPCmmη

−=−== && ,

a za mlazne

TCmm Tg −== && .

U ovim jednadžbama pogonska sila u penjanju određena je jednadžbom

( ) γργ sin2

sin 20

2

WKCCVWDT LD ++=+=

u kojoj su V i ( )h ( )hγ određene u prethodnom poglavlju, a ( )hρ je karakteristika atmosfere

za vrijeme penjanja.

8.3 Horizontalni zaokret

Ako zrakoplov leti

• konstantnom brzinom

• u horizontalnoj ravnini 0=γ ,

• bez kuta klizanja β = 0 , te

• ako je ravT αα ≈ i φµ ≈A ,

jednadžbe gibanja centa mase zrakoplova dobivaju oblik:


.cos0

sin

0

WL

LdtdmV

DT

−=

=

−=

φ

φχ 8.38

φ

W

L φcosL

φsinL

Slika 8-11 Zrakoplov u horizontalnom zaokretu

Do tih jednadžbi može se doći neposredno promatrajući sile koje djeluju na zrakoplov u

zaokretu, kao na slici 8-11. Da bi zrakoplov letio u horizontalnoj ravnini, mora biti vertikalna

komponenta uzgona jednaka težini:

WL =φcos 8.39

a horizontalna komponenta stvara centripetalno ubrzanje koje je okomito na brzinu leta:

φsin2

LR

Vm = , 8.40

χd

V

VR

ds

Slika 8-12

gdje je R polumjer zakrivljenosti putanje središta mase zrakoplova u horizontalnoj ravnini kao

na slici 8-12. Podsjetimo se iz mehanike da je kutna brzina vektora brzine


RVV

dsd

dsds

dtd

=⋅=⋅=χχχ& , 8.41

jer je polumjer zakrivljenosti:

χd

dsR = 8.42

8.3.1 Jednadžbe zaokreta

Prethodne jednadžbe mogu se s normalnim opterećenjem n napisati u obliku:

φ

φχ

cos1

sin

=

=

n

Vng

&

8.43

Iz ovih jednadžbi eliminacijom kuta valjanja φ dobivamo najčešće korištene veze koje nam

daju opterećenja u ovisnosti o kutnoj brzini zaokreta, ili obrnuto, kutnu brzinu zaokreta u

ovisnosti o opterećenju:

Vng 12 −

=χ& , 8.44

ili što je isto

12

+

=

gVn χ& . 8.45

Osim ovih veličina, u praksi je potreban i polumjer zaokreta R. Znajući iz klasične mehanike

da je

χχ &

VddsR == , 8.46

bit će polumjer u horizontalnom zaokretu ovisan o opterećenju:

12

2

−=

ng

VR , 8.47

ili obrnuto, opterećenje bit će ovisno o polumjeru zakrivljenosti:

122

+

=

gRVn 8.48


8.3.2 Ograničenja kutne brzine

Opterećenje ne smije biti veće od onog što može izdržati konstrukcija n . Maksimalno

opterećenje koje može izdržati konstrukcija poznata je vrijednost, te kutna brzina ne smije biti

veća od:

Sn<

( )V

constVng

V SS =

−=

12

χ& 8.49

Ta jednadžba u dijagramu χ&,V ograničava sa gornje strane područje mogućih kutnih brzina u

ovisnosti od brzine leta.

Isto tako, koeficijent uzgona ne smije biti veći od maksimalne vrijednosti

. Ako u jednadžbi za kutnu brzinu, izrazimo opterećenje odnosom (MaCC LL max≤ ) WLn = ,

dobivamo utjecaj koeficijenta uzgona na kutnu brzinu:

( ) 12

22

−

=W

SCV

VgV

Lρ

χ&

u koju, kada unesemo najveći koeficijent uzgona, dobivamo najveće dopušteno opterećenje s

obzirom na stall, ovisno o brzini leta:

( ) 22

22

2max 11

2 VVconstg

VV

WSCgV L

L −⋅=−

=

ρχ& 8.50

Ta krivulja također ograničava s gornje strane moguće kutne brzine s obzirom na najveći

koeficijent uzgona. Taj maksimalni koeficijent uzgona C može biti također ovisan o

Mahovu broju.

maxL

Vidimo da je najveća moguća kutna brzina ovisno o brzini leta ograničena s gornje

strane krivuljama ( )VSχ& i ( )VLχ& . S obzirom na oblik ovih krivulja (krivulja ( )VLχ& raste, a

krivulja ( )VSχ& opada) u njihovu presjeku bit će najveća moguća kutna brzina koja

zadovoljava oba ograničenja. Ta kutna brzina se naziva corner speed, a brzina leta pri kojoj

se ona ostvaruje označava se sa V , kao i odgovarajući Machov broj sa . U presjeku

brzinu leta dobivamo izjednačavanjem kutnih brzina:

C CM

( ) ( )VV SL χχ =&

Iz te jednadžbe dobivamo


max

2

L

SC SC

WnV

ρ= 8.51

a toj brzini leta odgovara kutna brzina corner speed

−=

SS

Lspeedcorner n

nW

SCg 12

maxρχ& 8.52

8.3.3 Koordinirani zaokret

Uočimo da se u zaokretu povećava otpor. Prije zaokreta otpor je bio

( )20

2

2 LD KCCSVD +⋅=ρ

gdje je koeficijent uzgona bio određen iz uvjeta horizontalnog leta . Međutim, u

horizontalnom zaokretu taj uvjet se mijenja

WL =

φcosWL =

Prema tome, u zaokretu je povećan koeficijent uzgona, zbog čega se povećava inducirani

otpor. Da ne bi u horizontalnom zaokretu brzina leta opadala, potrebno je povećati pogonsku

silu za onoliko koliko se povećao otpor.

U horizontalnom zaokretu polumjera R, brzinom V, vrijednost opterećenja određena

je jednadžbom:

122

+

=

gRVn .

Da bi se ostvario takav zaokret, potrebno je:

• otklonom krilaca lδ zavaljati letjelicu za kut valjanja

narc 1cos=φ ;

• otklonom kormila visine mδ postaviti ravnotežni napadni kut ravα za koji je koeficijent

uzgona

ref

L

SVnWC

2

2ρ= ;

• otklonom ručice pogona Pδ postići novu potrebnu pogonsku silu koja održava

konstantnu brzinu leta.


( )20

2

2 LDr KCCSVT +=ρ

Za takav koordinirani zaokret moraju se uskladiti: otklon krilaca lδ , kormila visine mδ i

pogonske sile Pδ . Zato se takav zaokret u kome su usklađene ove tri veličine naziva

koordinirani zaokret. U njemu se leti sa zadanom konstantnom brzinom, na zadanoj visini i

izvodi zaokret sa zadanim polumjerom R.

Kako su faktor opterećenja n, koeficijent uzgona C i pogonska sila T ograničeni, bit

će ograničen i horizontalni zaokret zrakoplova. Sve tri veličine imaju svoje maksimalne

vrijednosti , i . Te granice određuju najmanji mogući polumjer zakrivljenosti R,

odnosno najveću moguću kutnu brzinu

L

Sn maxLC aT

χ& u koordiniranom zaokretu za zadanu brzinu leta V

na promatranoj visini leta.

8.3.4 Raspoloživo opterećenje u koordiniranom zaokretu

U horizontalnom letu je normalno opterećenje

WLn =

bilo jednako jedinici jer je . U horizontalnom zaokretu ono se povećava jer je u

horizontalnom zaokretu

WL =

φcos1=n i to utoliko više ukoliko je manji polumjer zakrivljenosti

122

+

=

gRVn

Potrebno normalno opterećenje postiže se povećanjem sile uzgona, odnosno povećanjem

ravnotežnog napadnog kuta. Međutim, povećana sila uzgona znači i znatno veći inducirani

otpor. Da bi u koordiniranom zaokretu brzina leta ostala nepromijenjena, treba povećati

pogonsku silu isto toliko koliko je povećan inducirani otpor. Ta potrebna pogonska sila ne

može biti veća od raspoložive, pa se postavlja pitanje za koliko je moguće povećavati

normalno opterećenje s obzirom na raspoloživu silu (ili snagu) motora. To najveće

opterećenje nazivamo raspoloživo opterećenje. Ono ovisi o brzini leta . Da bi

zrakoplov letio konstantnom brzinom leta V potrebna je sila

( )Vnrasp

+⋅=

2

20

2

22 SV

LKCSVT Dr ρρ .


Kako je , ta potrebna sila ovisi o normalnom opterećenju nWL =

( )2

220 12

2 VSnWKVSCT D

r ρρ

+= 8.53

Raspoloživa sila T mora biti veća od potrebne, ili u najgoremu slučaju jednaka potrebnoj, pa

izjednačavanjem potrebne i raspoložive sile dobivamo

a

( )a

D TVS

nWKVSC=+ 2

220 12

2 ρρ , 8.54

ili

( ) 42

02

22

2

42V

KWCSV

KWSTn Da

raspρρ

−= . 8.55

Ova jednadžba direktno je primjenljiva za mlazne zrakoplove. Za elisne zrakoplove

raspoloživa sila ovisno od raspoložive snage određena je jednadžbom:

VP

VPT motelisaa

amaxη

== 8.56

Zato raspoloživo opterećenje za elisne zrakoplove određujemo pomoću jednadžbe:

( ) 42

02

2max2

42V

KWCSV

KWSP

n Dmotelisarasp

ρρη−= 8.57

Ovisnost raspoloživog opterećenja o brzini leta bit će različita na različitim visinama zato što

ovisi i o gustoći zraka. Ovisnost normalnog opterećenja o brzini leta n ima

maksimalnu vrijednost za brzinu leta koju dobivamo derivacijom funkcije .

( )Vrasp

( )Vnrasp

8.3.5 Najveća kutna brzina u koordiniranom zaokretu

Kutna brzina je određena jednadžbom

Vng 12 −

=χ&

i bit će utoliko veća ukoliko je veće opterećenje, pa zato promatramo kutnu brzinu pri

raspoloživom opterećenju.

V

ng raspP

12 −=χ& 8.58

Ta kutna brzina ovisi o brzini leta direktno i indirektno preko ( )Vnrasp . Da bismo odredili

najveću kutnu brzinu ovisno o brzini leta, zamijenimo raspoloživo opterećenje s njegovom


funkcijom o brzini leta. Ako je u pitanju mlazni zrakoplov, raspoloživo opterećenje

određeno je jednadžbom 8.55, te dobivamo ovisnost

raspn

( )Vχ& :

2

1V

−

raspn

2

1V

−

1

nW

1−

n

12 −S

S

n

n

2BVVAg −=χ& 8.59

s konstantama kao u jednadžbi 8.55.

Za elisne zrakoplov, raspoloživo opterećenje određeno je jednadžbom 8.57 što

daje ovisnost ( )Vχ& :

2BVAg −=χ& 8.60

u kojoj su konstante kao u jednadžbi 8.57. Tu ovisnost ( )Vχ& nazivamo ovojnica

koordiniranog zaokreta zrakoplova. Ona ima maksimum za brzinu leta V , pri kojoj je

najveća moguća kutna brzina leta

( )χ&max

maxχ& u koordiniranom zaokretu.

8.3.6 Najmanji polumjer zaokreta

Iz jednadžbi horizontalnog zaokreta:

22

+

=

gRVn

CSVL =

2

2ρ ,

eliminacijom brzine dobivamo ovisnost polumjera zaokreta o opterećenju n:

22

=nSCg

WRLρ

8. 61

Polumjer zaokreta ovisi o koeficijentu uzgona i o opterećenju. Za najmanji zaokret treba

najveći koeficijent uzgona i najveće opterećenje. Zato se najmanji polumjer zaokreta

ostvaruje u režimu leta za corner speed. Za najveći koeficijent sile uzgona C i najveće

strukturalno opterećenje dobivamo najmanji polumjer koji odgovara najvećoj kutnoj

brzini (corner speed):

maxL

Sn

2

max

=L

C SCgWR

ρ 8.62

8.3.7 Primjer

Odrediti za mali zrakoplov koji leti na visi 2000 m kolika je ovisno o brzini leta :


• raspoloživa kutna brzina u koordiniranom zaokretu s obzirom na performanse motora iz

priloga C,

• raspoloživa kutna brzina ovisno s obzirom na maksimalni koeficijent uzgona C i 5.1=L

• raspoloživa kutna s obzirom na maksimalno strukturalno naprezanje n . 3=S

Prema prilogu C napravljen je pod program Rasp_snaga koji daje raspoloživu snagu motora

ovisno o kutnoj brzini elise, brzine leta, temperaturi i tlaku okolnog zraka. Nominalni broj

obrtaja motora je ][240 srad=ω .

Slika 8-13. Ograničenja kutnih brzina malog zrakoplova

Izjednačavanjem potrebne i raspoložive snage ar PP = dobivamo:

( )VP

VSWnK

VSC araspD =+ 2

220 12

2 ρρ .

Iz ove je jednadžbe kvadrat raspoloživog opterećenja:

−= 40

22

22VSCVP

KWSn D

araspρρ ,

S ovim raspoloživim opterećenjem određujemo najveću kutnu brzinu Pχ& u koordiniranom

zaokretu, prema jednadžbi 8.58.

Vng rasp

P

12 −=χ&


Na disketi u direktoriju performanse nalazi se program Maxkutbr.m koji crta u MATLABu

krivu ( )VPχ& kao i dvije krive ( )VLχ& prema jednadžbi 8.50 i ( )VSχ& prema jednadžbi 8.49 u

čijem presjeku C se nalazi najveća moguća kutna brzina (corner speed). Taj presjek ima

koordinate. Na slici 8-13 prikazan je dijagram dobiven tim programom.

8.4 Vertikalni zaokret

8.4.1 Jednadžbe

Jednadžbe gibanja središta mase s kojima određujemo performanse zrakoplova:

8.63 γφγ

φχγγ

coscossincos

sin

WLmVLmVWDTVm

−==

−−=

&

&

&

u slučaju zaokreta u vertikalnoj ravnini 0=χ& dobivaju oblik

,coscos

sin0sin

γφγφ

γ

WLmVL

WDTVm

−==

−−=

&

&

pa iz druge jednadžbe zaključujemo da u slučaju vertikalnog zaokreta mora biti 0=φ , tj. da

nema valjanja. Prva i treća jednadžba postaju:

γγ

γ

cos

sin

WLdtdmV

WDTdtdVm

−=

−−= 8.64

Iz druge jednadžbe je

γγ cos−= ngV& . 8.65

Kako je γ&R=V , ova jednadžba daje vezu između polumjera krivine i normalnog opterećenja

γcos2

+=gRVn 8.66

8.4.2 Najveća kutna brzina

Kao i za horizontalni zaokret, i ovdje je kutna brzina ograničena najvećim konstruktivnim

opterećenjem : nS


( )V

ngV SS

γγ cos−=& . 8.67

Zamjenom opterećenja prema definiciji

WSCV

n L

2

2ρ=

dobivamo jednadžbu za kutnu brzinu u ovisnosti o koeficijentu uzgona:

( )

−=V

cosVW

SCgV L γρ

γ2

& .

Iz toga je očito da je najveća kutna brzina ovisno o maksimalnom koeficijentu uzgona dana

jednadžbom:

( )

−=V

VW

SCgV L

Lγρ

γ cos2

max& 8.68

U presjeku tih dviju ovisnosti ( )VSγ& i ( )VLγ& :

−=

−V

VW

SCgV

ng LS γργ cos2

cos max

CL

C

S VW

SCVn

2maxρ

=

dobiva se brzina leta V : C

max

2

L

SC SC

WnV

ρ= , 8.69

pri kojoj se može ostvariti najveća kutna brzina u vertikalnoj ravnini. Ta brzina ne ovisi o

kutu γ što znači da se bilo u kojemu nagibu putanje može dobiti najveća kutna brzina

propinjanja pri ovoj brzini leta. Činjenica je da je to ista brzina pri kojoj se može ostvariti i u

horizontalnom zaokretu najveća kutna brzina (corner speed). U vertikalnom zaokretu bit će

ta najveća kutna brzina (corner speed) :

S

SL

nn

WSC

gγρ

γcos

2max

max−

=& 8.70

Ta kutna brzina ovisi o kutu penjanja. Zanimljivo je usporediti ovu maksimalnu kutnu brzinu

u vertikalnoj ravnini s kutnom brzinom u horizontalnoj ravnini (jednadžba 8.55)

−=

SS

Lspeedcorner n

nW

SCg 12

maxρχ&


Ako zrakoplov leti horizontalno onda je odnos kutnih brzina u vertikalnom zaokretu prema

horizontalnom zaokretu:

1max

max −= Snχγ&

& 8.71

8.4.3 Analiza vertikalne petlje

Da bismo pojednostavili analizu vertikalne petlje, pretpostavimo da je u svakom trenutku

raspoloživa sila jednaka otporu. Jednadžbe se pojednostavnjuju:

γγ

γ

cos

sin

ggndtdV

gdtdV

−=

−= 8.72

Eliminacijom vremena iz ovih dviju jednadžbi, dobivamo:

γγ

γ dnV

dVcos

sin−

−= 8.73

Ako zrakoplov sve vrijeme leta u petlji ima isto opterećenje, onda poslije integracije od

polazne točke 0=γ u kojoj je brzina leta V do bilo koje točke, dobivamo: 0

γcos

10 −

−=

nnVV 8.74

Ova ovisnost ( )γV prikazana je na slici 8-14.

Slika 8-14 Promjena brzine u petlji

U ovakvom letu zrakoplov bi imao najmanju brzinu na vrhuncu petlje

11

0min +−

=nnVV , 8.75


Jednadžbu 8.66 možemo napisati u obliku

( )γcos

2

−=

ngVR

Ona daje veličinu polumjera petlje R ovisno o brzini leta u petlji V i nagibu brzine γ .

Zamjenom ( )γV prema jednadžbi 8.74 u jednadžbu 8.66 dobivamo ovisnost polumjera petlje

samo o nagibu tangente.

( )( )3

220

cos1

γ−−

=n

ng

VR

Iz ove jednadžbe možemo za razne položaje odrediti polumjer krivine petlje Tako je u tablici

izračunat polumjer krivine za petlju u kojoj je opterećenje 3=n , a za tri karakteristična

položaja zrakoplova.

0=γ 0=γ 0=γ

gVR

205.0=

gVR

20148.0=

gVR

200625.0=

Na slici 8.15 prikazan je približan izgled ove petlje.

1R2R3R

γ

Slika 8-15. Zrakoplov u vertikalnoj petlji

Da bi zrakoplov sve vrijeme petlje imao konstantno normalno opterećenje u uvjetima

promjenljive brzine, on mora mijenjati napadni kut tako da se koeficijent uzgona mijenja

ovisno o kutu γ :

2

2VC

WS

WLn L

ρ==


( )

( 222

0

cos1

2 γρ

−−

= nnSV

WnCL ) 8.76

Ta promjena koeficijenta uzgona prikazana je na dijagramu slike 8-16

Slika 8-16

Minimalna vrijednost koeficijenta uzgona je na ulazu u petlju ( 0=γ )

20

02SVWnCL ρ

= ,

a maksimalna na vrhuncu petlje:

2

20 1

12

−+

=nn

SVWnC 1L ρ

8.77

a pri toj brzini centrifugalna sila mora biti veća od težine zrakoplova, što znači da će uvjet za

početnu brzinu, ovisno o veličini petlje i normalnog opterećenja s kojim se izvodi petlja, biti:

gRnnV

11

0 −+

≥ 8.78

!

"

# $%

% &

%'( $ (

!

"

" "

#)

(

!

*

& &

+ %

(

, ++ +

- & + -

, % +

+ + (

* +.

&

'

+

+

. % / 0

#

+ &

0

!

!

' 0 (

0 0

( + & &

( ,

)12 !3 0 (

!0

!

# + + ++ &

+

!

! "

"

4 ! "5 &+

&+ ( +

-

,

+1+(

+ 5 +

+ +

+'

&

-

/($

, % +(

1 + ( 4 + +

+

+

++ + -3 %

+ -

+

+ ++

+ + 5

+ %

, + ! #

'(

(&' &

( -

$ $ " 5 + $ +

6

+ $

( '

$ " $ ( + """

$% ,

-78 "3 3!6 3- '

& % $ (

+ "" 9&

9 $(

+ $ "

" +

"!

!"#

, &++ %

&

6

# &

'&

#!#

3

: $ &+ + +

& '

!

!

3

+ , (

$

+

5 &+3 &

&++ %++

. & +

' +

&++

7

+ &+3

#

'

!

!

8

+ &+ + ,

+ +

- :

$ &++ ++ +

+ &+

;

+ &+3+

#

'

!

!

7

. & + + &+

+ (

/++

&

-

, ')

+

+

+

+

!!-

:#987-"6( ! " + .

22<+24!3"3:6 "! -3!!

7" -"66

'( +

5 +

9 +(

( +

5 (++

+ 9+

&%:#98-3=!>

' & &

( =8>

!3- * $+' !

8

&+ * (

!, $+ 3-;3

3-7"

+

9+ &%(:#98!-!"

=!>+& + "8 &+"68

%

!

!

7

7

%

%

'

#+' "

/

+"

* 4 #$ --"--3 -"-3

? --3 -3-" --! --7--

' --3 -6@ --6 -"

? --8 -!*& --; -!

'+"'+

A &+;+ -

+

--

, (

+ &+;

!"!-

;

+ &+( +

!-.

& 6

!

-

-

!-

-!

-

-

'

-

#

.

3

' +$( &

-!

-.

-.

--

!! 7

9

-.

--.

-

-.--

---

!!!

!!

!!

!

+

-.

--.

-

--

!!

!!

!

2 % $ ! -! -. .

$

.

-

-

!

! !! 8

5 * * ! + - +

+ +

4(

-.

-

-

!!

!!

!

-.

-

-

!!!

!

!!

!

!

!

--

!

-!

-

!!

!

!

!

-.

-.

-

;

-!

--

'

#

.

!

-

!

.

-

!! !-

.

.

-

-

!

!

!

6

!

!

$ &

& ? ++

+ , + -/

-/ (

+ &+

.++

& / -

'

!-.

'

-

#

.

!

!!

B &+ - "6- %

-/ &

-

!!! -.

-.

-.

!

--

-!

-!-

!

--

.-

-.-

.--.

-.

!"

/ + +

&++

'

-.

!

-

#.

'

! !6

-.

-

"

!

- !3

' & (

$!!" %!&#

.

////

-

- !7

+

' &

)12 !3

++

!0

-

!8

+

- 5 $ $

$

$ +

& %

$ %

/ $(

/

$+( $

#6

+ $+(5

- '

&+

/

0

!

!

0 $,%

-

, &+

////

-

-

!

% &

& ,

+ 4 + +

+ &

-

!

! !;

9 ( *

+ + &

! +

+ & &+

% + ' &+ +

+ +

+

#

--

! !

2 +

,+ &+!!6 + '+

+ + + &+

! #

!

--

!

-!

-

!!

!

!

!

-.

-.

-

#

"-

5.( - &+ 3 ! &+ 8

+(

# .

.

-

-

!

!

!

!

6

!

"

5. &+ ! &+!-

"

'!(#

4 ( , +

+ % + ( .

+ - + +

' + - +

&+;76

'

$

#

!

"!

9 - +

+ )12 +

- !- +

!

-

"

#3

9

0;!7- .+ (

6

+ .

(

;!7-!

!-! 0

!!

5 #

#

#

#

!!!

78;

!-

5

. ?(

&'+ '

+ ( &+

' + ( 4

- 1 + !-

+ 3

-!

;!7-!

3! 0

!!

1 + &

&

#

#

#

!!!

6-!

3

""

.$ &,

% "6

'( % %

"" $ $$ + % 8- "3

% !3 3-1 +

+ ( +$(

%

3

C $ ?

% 3- 3-- + (

(& %

)&!*

5 % % 8"

+ (

+

.+ $ +$"D ++

+ + 1 +

+ $

$ (

&& &

D + %$ &

+5 (+E9

+ 7. +

9 F F

+ ++

+ A

+

+ + +

+ + ' +(&

+ ( + 9

+ +

$"1 (

+ A + +

7

%

+ +

+

! " #

!

$%

&

'()$%*&

#79

& ++$(

'& # &

+ & (

# $ &D

+ + + ( $

+

&+

. '+&

+

+ ( %

+

+ + &

8

+ (

$%

5 + + +

+

1+(

+ , +

++ &

* (

+ +

%(

+ -- 5 + (

( + + '

+ #+%

+$

% . % +

+!,!

!%

/ ( +

- '& , "!7-

2 % !3 +

+ -"76-- ' -;!-- ' 5

-7;-

;-0 5 -!- ,

+ - 6G

/ , +

&+

, !7" -86-6!!8-3

,

;

-3----7;-6-6- !! 11111 '

-63---3--"76-- '''

A &++

0

!

!

87;3!!3

"!7----!!

0

+

6;-;!7-;!7- 0

# ( +

!

!

7;"63!!3

"!7----!!

, - +(

!7-!-""!"--8-3!--- ##

.

""- -!67

""!"--8-3!--

-6!

-

3

7-!

-";8

---!---"76-""!"--!

3!!3""!"--8-3!--

-86!

'

5

3!

3

"!

! ";8-!7

7!"-";8!

-!67!!

.

-

-

"77-

6!-

!

, *H - &+ ;++

!

!

!!

!

!

!

-

.

-.

#

!7. "-!67 - 3-";8 +

1!1

2

#

!"!-78-";3!666-;7!878;"8-"7-6

6!-"77-8;""77-6!-8;"

"77-6!--";8!

-!67

!78;"-";88;"-!67!7

-";8!

!3

"

3"

3

. # /

#

;

?&(

& 6!

/ +++

"87!-!-

+

,

!37

6;8-866;8-6!!8-3

-86-6!!8-3!7"

!7"

!

#

!

,$%

&

'-$%*&

#8

!-

5 5 %

+ %

, -"76-- ' &

'

7-;!--7;-

3"!7----

!!3!!

-

+

,

3-8

7-867-6!!8-3

-86-6!!8-3!7"

!7"

#

,

' ' "!!-;!-!3!

7!!3!

!

!

-

!

-378-"!7-

"!!3-8

'

-""

#

;!76

;87

66!!

%

687"";!76

8""";!76

' ( + 8- (

+ &+

%

;!768-

-!!;8-

6!-!!;!76"

' +

# !86-6!-!"!-"

!

!%

,$ +

+

+

+

# ( , 7"3!-

!--

5

!7;-!-""!"--8-3!--- #

.

--7!"6-""!"--8-3!--

-6! "-!

-

37

-"

-";3---!--63-""!"--!

3!!3""!"--8-3!--

-86

!

'

5

;73-;-!-""!"--!

8-3!--!-

#

.

--"!--""!"--!

8-3!---6!

! "-!

-

37

-"

-!---!--63-""!"--!

3!!3""!"--!

8-3!---86

!

!

'

5

6-63--!--63-""!"--!

3!!3!

-

6"!;!-""!"--!"3!7--!

'

-

#

.

+ - +

!!

!

--

!

-!

!-

!!

!

!

!

-.

-.

-

/ +

!

!

!

!

!!

!

!

!

-.

-.

-

'

1 + -

!

!

!

!!

!

!

!

-.

.

-

!

6

**

# % /

,

+ + (

" #

$+ %

%

(

% %

+

(

!"

+ + +

(

$

!"# *-

* % .

+( + " /

% + %

%% % %

$

" %%

"3

$!&# !%%%!*

9+ % &+

% "7

9+ + &

( &+;77$

#

!

"8

C +(

! ";

& % +

+ + $

- & $+%+&

'!(# *!"

. +

$

$ $ .

!6

? +

% -

+

#

& '

!

!

- "

+

-! .

& 6-

+

'

#

.

!-

-

!

5 .&+ %

- '

+

2 % . &

'9+$%*+ +

+ '

+ + -

+ - '9

--

'

'

#

A

--

!!

#

''.

.

1 &+ -! . .$

%

-

-

-

!

!

!!

!

!

!

#

'

'

.

6

!3

! &+ .

%

-

-

-

!!

#

'

'

..

$#

.

6!

5 ( + +

+

)!,!

A +

+

38-- ' + "--

6G , 7"3!-

5

3!"

!-

-

-!8"--!-"---7;-6-38--""!!3!!3

!

-!3"!-""!"--"3"!--

'

##

.

/+ +

..

# -8

;3-!8-!3"-!3"

-!8!

!

!33!

! "

#

$

$

$

$

%

$

$

& ' (

) & '

*

%

&'%

$

$

) ( " +,-.

/

0

* " "

!"#$#%

!#%&

* &

'

!

"!""

$

$

1

% "

!"

#

$

$$0

2

3

*" 4 / $

& $ '

5 "

" $" $! "

$ $ "

6 "" $

!

"

#

$

$$0

$!!$"" #

$ $

( " 4 /

$ ( " $

$ !

0

$ " !

" $"" # $!!

& '

" )

& ' " $

%

78 $

8 $

4 / $

'

%" $" $!

" $0 4 9$

$1 4 "

1

4 / $& (

: $

210$ 2 % $

4;(<;=!

:#

(# #'"#$#%

( !) ))"

. / " / =

"

/5 "

'&

% 4 / $%

" "

$ /

$

$ $

7$5 '&

> $ " 4 /

$

%$%$

$$

9

2

5 $!

!7 ! $

) 0 '&

/ !

70* "/

4 / $$

7

002?

7+$-

02,&$'

(%)$#'$##*"+

% " /

'$

:

$$

$0

!$"

#

9

(

!

$"

$ # $$

0

?

4;(<;='' $

'$ !

1 /

71. '$

= '$ /

4 /

4 / /

?

,#)!$#'$#

,%)$ "# ##*

@ & '

$( & / 4 /

' " & '

'

72. '$

% " '$

" '

'

!"

$

A

8 /

* 2

A

/ !

#

( )/

,#)!)#"#$#%

/ "&A1'

/

&4 / ' (

//

)/

/ // % /

A1 ) 9

) / &)'*

*'

79*

B

% /

7 2&2"'

7

2;

/

5

(

) 9 C

)

(

.

: !

.

/

//

,(-'$#%'

= / ' $(

'$ & ' '

D " & '

'

$

$

B

'$

$$

$

( $ '$

'$ & '( 4 /

$ ' " ' 7?

#

7?8 '$ '$

:

@ $%

$$ $% $

$

5 " ( "

$ $

$$ $ $ (

" $ A

7A! $E $ 2E1 $

5 "

3 4 / $ +

( $(.

'$ '$ (

%

'$ @

$

'$

'$ '$ (

,-

5 '

' 4 /

" $" $! !

' ; $

'

*

'

,,'#'##&#'#%

: 5

" ''&*'

$

;

$ "

"

0

5 " " 4 /

% "

4 / $ %

%$ 1

) B " '%$ :

" " $

$

2

0

5$7

$% "

' ' (

$ %

5

* /

' %$

'$ 5 /

" ( B

7B!$

Model leta 6DOF 11-1

11 MODEL LETA SA 6 STUPNJEVA SLOBODE GIBANJA

11.1 Opće odrednice

U ovoj knjizi razmatraju se problemi upravljivosti, stabilnosti, polijetanje i slijetanje a

posebno dinamičko ponašanje zrakoplova pri upravljanju u odnosu na Zemlju. Kako se

Zemlja okreće kutnom brzinom EΩr

, gibanje zrakoplova u odnosu na Zemlju jest relativno

gibanje, okretanje Zemlje je prijenosno gibanje, a gibanje letjelice u svemiru je apsolutno

gibanje. Pri izučavanju relativnoga gibanja osim realnih sila treba dodati i sile tromosti. U

ovom slučaju to su dvije sile tromosti: centrifugalna sila zbog rotacije Zemlje i Coriolisova

sila. Time smo uzeli u obzir bitnu činjenicu da je let u odnosu na Zemlju relativno gibanje.

U ovom knjizi ograničili smo se na krutu letjelicu. Zrakoplov kao kruto tijelo ima šest

stupnjeva slobode te zato ovaj model nazivamo skraćeno 6DOF od engleskog punog naziva

six degrees of freedom. Čine ga četiri matrične jednadžbe:

• derivacija vektora položaja središta mase letjelice,

• derivacija brzine leta središta mase letjelice,

• derivacija kinetičkog momenta letjelice za središte mase,

• derivacija stava letjelice.

Budući da ne izučavamo probleme navigacije, zanemarit ćemo Zemljanu zakrivljenost.

Zanemarivanjem zakrivljenosti Zemlje, nošeni koordinatni sustav ostaje sve vrijeme leta

paralelan sam sebi, tj on ima samo translatorno gibanje u odnosu na zemlju. Kako lokalni

koordinatni sustav miruje u odnosu na zemlju, u proučavanju relativnog gibanja ta dva

koordinatna sustava, lokalni i nošeni, nemaju kutnih brzina, njihov međusobni kutni položaj

je uvijek isti. Da bismo pojednostavili izvođenja, obično ih biramo tako da su im osi paralelne

kao na slici 11-1. Za tako izabrane koordinatne sustave je matrica transformacije iz jednog u

drugi

−=

=

010100001

2π

XOL LL

jer nošeni dobivamo rotacijom lokalnog oko x osi za kut 2π .


Lx

Ly

Lz

Ox

Oy

Oz

nošeni k.s.

lokalni k.s.

Slika 11-1Položaj nošenog u odnosu na lokalni koordinatni sustav

11.1.1 Derivacija vektora položaja

Vektor položaja rr počinje u ishodištu lokalnog koordinatnog sustava (vezan za Zemlju) i

završava se u središtu mase letjelice. Njegove projekcije na osi lokalnog koordinatnog sustava

su:

[ ]Tzyx=r 11.1

Brzinu leta definirali smo kao brzinu u odnosu na Zemlju, a to znači da su komponente brzine

leta u lokalnom koordinatnom sustavu derivacije komponenata vektora položaja.

11.2

=

LK

LK

LK

wvu

zyx

&

&

&

To pišemo matrično ovako:

11.3 LKVr =&

To je vektorska jednadžba čijom integracijom dobivamo koordinate središta mase letjelice. Za

tu integraciju potrebne su komponente brzine leta u lokalnom koordinatnom sustavu. Kako

komponente brzine leta V metodom 6DOF dobivamo duž osi tromosti

letjelice, onda ovu vektorsku jednadžbu koristimo u obliku

[ TKKKK wvu= ]

KLF VLr =& 11.4

ili


11.5

=

K

K

K

LF

wvu

zyx

L&

&

&

11.1.2 Derivacija brzine leta

Kao što smo to rekli u poglavlju 6.1.1 po definiciji su komponente relativnog ubrzanja

jednake derivacijama komponenata relativne brzine u prenosnom koordinantnom sustavu. To

znači da je relativno ubrzanje

( )LK

Lr dt

d Va =

S obzirom na to da su komponente brzine [ ]TKKKK wvu=V poznate duž glavnih osi

tromosti letjelice, a taj koordinatni sustav ima kutnu brzinu Ωr

u odnosu na zemlju, čije su

komponente duž tih istih glavnih osi tromosti [ ]Trqp=Ω , bit će prema odjeljku 1.1.3

komponente relativnog ubrzanja duž glavnih osi tromosti

KKr VVa &+Ω= ~ 11.6

Za vrijeme leta zrakoplov mijenja masu, pa se a priori na njega ne može primijeniti Newtonov

zakon, prema kojemu je produkt mase zrakoplova s relativnim ubrzanjem jednak zbroju

vanjskih sila i sila tromosti. Zrakoplov se mora promatrati kao materijalni sustav promjenljive

mase. Taj sustav je definiran vanjskom površinom zrakoplova na kojoj se nalaze ulazne

površine kroz koje ulazi zrak i izlazne površine kroz koje istječu plinovi, produkti

izgaranja. Na takav sustav primjenjuje se načelo očvršćivanja (odjeljak 6.3.5) po kojemu

umjesto zrakoplova s promjenljivom masom, promatramo drugi fiktivni zrakoplov konstantne

mase koja je jednaka masi zrakoplova u promatranom trenutku . To znači da je u

svakom trenutku drugi očvrsnuti sustav. Na taj očvrsnuti sustav u kontrolnoj površini

možemo primijeniti Newtonov zakon klasične mehanike za relativno gibanje 6.24:

uS iS

Sm ( )tm

( )~ &Ω V VR

g aK K+ = + + −m CK . 11.7

Rezultantu R čine:

• aerodinamička sila [ čije su komponente duž glavnih osi tromosti zrakoplova, ]

]

TZYX

• pogonska sila koja je objašnjena detaljno u odjeljku 6.4 za slučaj

mlaznog motora i 6.5 za slučaj elisnog pogona,

[ TZYX FFF


• vektor gr je zbroj ubrzanja privlačne sile Zemlje i prijenosnog centrifugalnog ubrzanja

uslijed rotacije Zemlje. I ako on ovisi o geografskoj širini i visini, ovdje usvajamo da je

vektor gr konstantan, intenziteta , po pravcu vertikalan, a po smjeru prema dolje. 806169.

U gornjoj matričnoj jednadžbi zanemarujemo Coriolisuvu silu tromosti pa matrična jednadža

gibanje središta mase zrakoplova ima oblik:

11.8 ( )

+

+

=+g

mFFF

ZYX

m FO

Z

y

x

A

A

A

KK 00

~ LVV &Ω

Komponente aerodinamičke sile poznate su nam duž glavnih osi tromosti zrakoplova obično u

obliku:

( )

( )

( )mAZ

A

nA

YA

AX

A

qMaCSVZ

rpMaCSVY

MaCSVX

δααρ

δδβρ

βαρ

,,,,2

,,,,2

,,2

2

2

22

&

l

=

=

=

11.9

Za transportne zrakoplove napadni kut i kut klizanja nisu veliki pa možemo aerodinamičke

koeficijente linearizirati po ovim varijablama.

11.10

mZZqZZZZ

nYYrYpYY

XXXX

m

n

CqCCCCC

CrCpCCC

CCCC

δαα

δβ

βα

δαα

δβ

βα

++++=

+++=

++=

∗∗

∗∗

&&0

20 2

11.1.3 Derivacija kinetičkog momenta

Kinetički moment gibanja rH kao i aerodinamički i pogonski moment uzimamo za središte

mase. Komponente kinetičkog momenta duž osi koordinatnog sustava letjelice jednake su

produktu tenzora tromosti I i vektora kutne brzine letjelice Ω .

ΩIH =

Budući da smo usvojili glavne osi tromosti, tenzor tromosti ima samo članove na dijagonali.

To su momenti tromosti za te osi pa su komponente kinetičkog momenta za glavne osi

tromosti

( )( )

( )

( )( )( )

=

=

rtIqtIptI

rqp

tItI

tI

z

y

x

z

y

x

000000

H


Zbog promjenljivosti momenata tromosti s vremenom, jer zrakoplov nije tijelo konstantne

mase, na derivaciju toga momenta ne može se primijeniti teorem o derivaciji kinetičkog

momenta iz klasične mehanike. I ovdje se mora primijeniti načelo očvršćivanja (prema 6.3.5),

prema kojemu određujemo derivaciju kinetičkog momenta letjelice koja ima u promatranom

trenutku isti tenzor tromosti ali konstantan ( )tS I=I . Na tu očvrsnutu letjelicu primjenjujemo

zakon o derivaciji kinetičkog momenta iz klasične mehanike:

Fs

MMdtHd rrr

+=

Budući da su komponente kinetičkog momenta poznate duž glavnih osi tromosti ΩIH = ,

koje imaju kutnu brzinu kao i letjelica [ ]Trqp=Ω , komponente derivacije kinetičkog

momenta duž istih osi izračunavamo prema odjelu 1.1.3 po jednadžbi SS HH &+Ω~ .

S obzirom na to što se radi o očvrsnutoj letjelici, prilikom deriviranja komponenata

kinetičkog momenta H tenzor tromosti trebamo smatrati konstantnim: S&

( )( )( )

=

=rtIqtIptI

HHH

Z

Y

X

SZ

SY

SX

S

&

&

&

&

&

&

&H ,

iako su momenti tromosti funkcije vremena. Izjednačavanjem derivacije kinetičkog momenta

i zbroja momenata, duž osi tromosti bit će

FAS ~ MMHH +=+ Ω& . 11.11

Komponente aerodinamičkog momenta za središte mase duž glavnih osi tromosti

zrakoplova dane su obično jednadžbama:

AM

( )

( )

( ).,,,,2

,,,,2

,,,,,2

,

2

2

2

nnA

mmA

nA

rpMaSbCVN

qMaCcSVM

rpMaSbCVL

δδβρ

δααρ

δδβρ

l

ll

&

=

=

=

11.12

Za transportne su zrakoplove kutovi α i β mali, pa je moguće aerodinamičke koeficijente

momenata linearizirati po ovim varijablama. Tada oni imaju oblik:


11.13

C C C p C r C C

C C C C C q C

C C C r C p C C

p r

m m m m mq m

n n nr np n n

n

m

n

l l l l l l l

l

l

l

= + + + +

= + + + +

= + + + +

∗ ∗

∗ ∗

∗ ∗

β δ

α α δ

β δ

β δ

α α

β δ0 & &

n

m

n

δ

δ

δ

δ

δ

Pogonski moment za središte mase FMr

ima komponente duž glavnih osi tromosti

[ ]TFFFF NML=M , 11.14

Njih smo detaljno objasnili u odjeljku 6.4 za slučaj mlaznog motora i u odjeljku 6.5 za slučaj

elisnog pogona.

11.1.4 Derivacija stava ili parametara

U prvoj matričnoj jednadžbi treba nam matrica transformacije L . Da bismo odredili tu

matricu transformacije, trebaju nam ili

OF

• stav zrakoplova ili [ ]Tψϑφ=s

• Eulerovi parametri . [ ]T0 eeee 321=p

Ako se odlučimo za stav s, onda je

( ) ( ) ( )ψϑφ ZYXFO LLLL ⋅⋅= , 11.15

a kutove dobit ćemo iz kutne brzine letjelice Ω . U poglavlju 1.3.3, izveli smo jednadžbu

koja daje derivaciju stava kada znamo kutnu brzinu letjelice:

, Ω⋅= −1Rs&

gdje je s i [ ]Tψϑφ=

, 11.16

−

−=

θφφθφφ

θ

coscossincossincos

sin

00

01R

ili u razvijenom obliku

−=

rqp

coscoscossinsincos

tgcostgsin


ψθφ

001

&

&

&

. 11.17

Ukoliko se odlučimo raditi s Eulerovim parametrima e onda na mjesto matrične

diferencijalne jednadžba , imamo matričnu diferencijalnu jednadžbu

parametara

( ) Ω⋅= −1Rs ϑφ ,&


ΩT

21 Gp =& 11.18

ili u razvijenom obliku

−−

−−−−

=

rqp

eeeeee

eeeeee

eeee

012

103

230

321

3

2

1

0

21

&

&

&

&

. 11.19

U tom slučaju matrica transformacije, određena je jednadžbom

−++−

−−++

+−−+

=

21

21

21

2

20

2310322013

103220

223021

2013302120

21

eeeeeeeeee

eeeeeeeeee

eeeeeeeeee

OFL 11.20

11.2 Model 6DOF u simulatorima leta

Okosnicu modela čine četiri matrične jednadžbe: derivacija vektor položaja (11.4), derivacija

vektora brzine leta (11.8), derivacija vektor kinematičkog momenta (11.11) i derivacija stava

ili derivacija Eulerovih parametara (11.18).

KLF VLr =&

( ) gLFRVV AFOKK mm ++=+Ω &~

FAS ~ MMHH +=+ Ω&

Ω⋅= −1Rs& , ili ΩT

21 Gp =& .

U tim jednadžbama ima 12 nepoznanice:

ψθφrqpwvuzyx KKK

Međutim, u tim jednadžbama imamo još promjenljivih veličina, eksplicitno i implicitno.

Eksplicitno to su masa zrakoplova i tenzor tromosti, a implicitno to su u aerodinamičkim

silama i momentima: aerodinamička brzina, napadni kut i kut klizanja, ako i karakteristike

zraka gustoća i brzina zvuka koja je potrebna radi određivanja Machovog broja.

Masa zrakoplova je zbroj mase letjelice, tereta i goriva. Tijekom leta prve dvije su

konstantne i označavamo ih sa , a masa goriva opada ovisno o potrošnji goriva. Potrošnja

goriva označava se sa FC predstavlja masu gorivu koja se troši u jedinici vremena Ona se

može izraziti specifičnom potrošnjom C , koja predstavlja masenu potrošnju goriva u

Lm

P


jedinici vremena po jedinici snage motora, ili koja predstavlja masenu potrošnju u jedinici

vremena po jedinici sile motora. Ukupna masa zrakoplova je zbroj

TC

( ) ( )tmmtm GL += .

Deriviranjem te jednadžbe je m , pa je Gm&& =

=

pvuz K

(mI

(0mtm

Vvuw

v+2

⋅⋅

=motP

motP

PCPC

FCdtdm 11.21

S obzirom da je i masa zrakoplova određena diferencijalnom jednadžbom imamo trinaest

varijabla koje su određene diferencijalnim jednadžbama:

mrqwyx Kk ψϑφ . 11.22

One čine jedan vektor koji nazivamo vektor stanja letjelice.

Promjena tenzora tromosti nastaje zbog promjene mase i kao posljedica pomjeranja

središta mase zbog potrošnje goriva. Zato je jedan od načni određivanja tenzora tromosti

napraviti funkciju

)GI = 11.23

Kada konstrukcijska rješenja osiguravaju male promjene središta mase zbog potrošnje goriva,

može se taj utjecaj zanemariti. Onda je utjecaj promjene mase na tenzor tromosi linearan, pa

približna jednadžba promjene tenzora tromosti može biti:

( ) )0II t = . 11.24

Pored varijabla vektora stanja, promjenljive mase i tenzora tromosti u jednadžbama

imamo još varijabla, koje su neophodne za određivanje aerodinamičkih sila i momenata:

napadni kut i njegova derivacija po vremenu, kut klizanja. gustoća zraka, brzina zvuka koja

nam je potrebna za Machov broj i aerodinamička brzina.

Da bi odredili napadni kut i kut klizanja prema jednadžbama:

wuV

=

=

+=

β

α

sin

tan

22

11.25

potrebne su nam sve komponente aerodinamičke brzine. U sustavu diferencijalnih jednadžbi,

tj. u vektoru stanja, nema komponenata aerodinamičke brzine već samo komponenata brzine

leta. Aerodinamičku brzinu određujemo iz jednadžbe V WK VVrrr

−= . Komponente vjetra

poznate su u lokalnom odnosno u nošenom koordinatnom sustavu. Projiciranjem ove


jednadžbe na koordinatni sustav letjelice dobivamo tražene komponente aerodinamičke

brzine:

11.26

−

=

OW

OW

OW

FO

k

k

k

wvu

wvu

wvu

L

U projekcijama aerodinamičke sile i momenta pojavljuje se i derivacija napadnog kuta.

Određujemo je deriviranjem jednadžbe uwtan =α . Tako dobivamo

22 wuuwuw

+−

=&&

&α 11.27

Derivacije aerodinamičke brzine i njenih komponenata dobivamo deriviranjem matrične

jednadžbe koja definira komponente aerodinamičke brzine:

11.28

−

+

=

OW

OW

OW

OFOW

OW

OW

OF

k

k

k

wvu

wvu

~

wvu

wvu

&

&

&

&

&

&

&

&

&

LLΩ

Derivacije komponenata brzine leta su poznate, a derivacije vjetra trebaju biti zadane (udari

vjetra). Ako vjetar nije funkcija vremena, drugi se član na desnoj strani jednadžbe poništava.

Za određivanje gustoće zraka i brzine zvuka u zraku najčešće koristimo podatke o

standardnoj atmosferi. Za taj slučaj ove jednadžbe dane su u prilogu B.

( )

( )yaay

== ρρ

11.29

Ukoliko želimo simulirati let u nekoj drugoj atmosferi onda se koristimo mjerenjima

temperature, tlaka i vlažnosti zraka ovisno o visini (sondaža atmosfere, vidi prilog B), a zatim

na temelju tih podatak određujemo promjenu gustoće i brzine zvuka ovisno o visini.

Sad smo u mogućnosti napisati cjelokupan razvijen sustav jednadžba koji čini model

6DOF

11.30

=

− K

K

K

OF

wvu

yzx

L&

&

&

+

+

+

⋅

−−

−−=

gFFF

mZYX

mwvu

pqpr

qr

wvu

FO

Z

y

x

A

A

A

K

K

K

K

K

K

00

11

00

0L

&

&

&

11.31


( )( )( )

( )( )( )

+

+

⋅

−−

−−=

F

F

F

A

A

A

Z

Y

X

Z

Y

X

NML

NML

trItqItpI

pqpr

qr

tIrtIqtIp

00

0

&

&

&

11.32

−=

rqp

coscoscossinsincos

tgcostgsin


ψθφ

001

&

&

&

11.33

⋅⋅

==motP

motP

PCPC

FCdtdm 11.34

Matricu transformacije možemo odrediti ili pomoću de Sparreovih kutova tada ima oblik FOL

( ) ( ) ( )ψϑφ ZYXFO LLLL ⋅⋅= 11.35

U ovom slučaju vektor stanja ima trinaest komponenti. Te su veličine zavisne varijable, a

vrijeme je nezavisna varijabla.

Ako umjesto kutova de Sparre koristimo Eulerove parametre. U tom slučaju namjesto

matrične diferencijalne jednadžba ( ) Ω⋅= −1R ϑφ ,&s , tj. na mjesto tri diferencijalne jednadžbe

11.32, treba uzeti matričnu diferencijalnu jednadžbu Eulerovih parametara ΩT

21 Gp =& , a to

znači na mjesto tri diferencijalne jednadžbe 11.32 imamo četiri diferencijalne jednadžbe

parametara

−−

−−−−

=

rqp

eeeeee

eeeeee

eeee

012

103

230

321

3

2

1

0

21

&

&

&

&

, 11.36

a matrica transformacije ima oblik: OFL

−++−

−−++

+−−+

=

21

21

21

2

20

2310322013

103220

223021

2013302120

21

eeeeeeeeee

eeeeeeeeee

eeeeeeeeee

OFL . 11.37

Vektor stanja ima četrnaest komponenta

meeeerqpwvuyzx KKK 3210

Pored tih varijabli koje čine vektor stanja, a koje su određene diferencijalnim jednadžbama

imamo varijable koje su određene algebarskim jednadžbama. To su:


• komponente aerodinamičke brzine:

11.38

−

=

OW

OW

OW

FO

k

k

k

wvu

wvu

wvu

L

• derivacije komponenata aerodinamičke brzine:

11.39

−

+

=

OW

OW

OW

OFOW

OW

OW

OF

k

k

k

wvu

wvu

~

wvu

wvu

&

&

&

&

&

&

&

&

&

LLΩ

• komponente vjetra ovisne o visini

( )( )hvv

huuOW

OW

OW

OW

=

= 11.40

• napadni kut α i njegovu derivaciju po vremenu α& , kao i kut klizanja β

Vvuw

wvuV

=

=

++=

β

α

sin

tan

222

11.41

22 wuuwuw

+−

=&&

&α 11.42

• tenzor tromosti

( )mII = . 11.43

• ovisnost pogonske sile T i specifične potrošnje od brzine leta, stanja okolnog zraka i

otklona

TC

Tδ

( )

( TTT

T

TVCCTVTT

δρ )δρ

,,,,,,

==

11.44

• ovisnost karakteristika zraka temperature T i gustoće ρ o položaju zrakoplova

( )( )hhTT

ρρ ==

11.45

Ovaj model je važan za projektiranje i ispitivanje sustava upravljanja letjelicom. Vrlo često se

dijelovi tog matematičkog modela zamjenjuju realnim sklopovima, što omogućuje da se

ispituju ti sklopovi. Te kombinacije realnog i matematičkog dijela letjelice u engleskoj se

literaturi sreću pod imenom HIL (hardware in the loop).


11.3 Pojednostavljeni model 6DOF u trenažerima

Simulatore treba razlikovati od trenažera. Za trenažere leta upotrebljava se obično

jednostavniji model u kome je letjelica uvijek kruto tijelo a vjetar je konstantan i u prostoru i

vremenu. Ta druga pretpostavka da je vjetar konstantan omogućuje da se gibanje središta

mase promatra u odnosu na relativni koordinatni sustav vezan za zrak (tzv. Didionov princip).

Gibanje zraka je prijenosno gibanje, a gibanje letjelice u odnosu na zrak je relativno gibanje.

Koordinatni sustav vezan za zrak giba se u odnosu na Zemlju konstantom brzinom vjetra te je

on inercijski koordinatni sustav. Jednadžbe relativnog gibanja iste su kao one koje smo pisali

u odnosu na Zemlju, jer je prijenosno ubrzanje jednako nuli. U prvoj jednadžbi trebamo

dodati prijenosnu brzinu (brzina vjetra) a u drugoj jednadžbi, brzina leta postaje

aerodinamička brzina:

11.46

+

=

− WZ

WY

WX

OF

VVV

wvu

yzx

L&

&

&

Međutim, druga matrična jednadžba daje neposredno aerodinamičku brzinu:

11.47 ( )

+

+

=+g

mFFF

ZYX

~m FO

Z

y

x

A

A

A

00

LVV &Ω

Treća i četvrta matrične jednadžbe iste su kao jednadžbe 11.21 i 11.22, a isto je i određivanje

napadnog kuta prema jednadžbama 11.34, kao i derivacije napadnog kuta po vremenu prema

jednadžbi 11.36. Ovaj sustav jednadžbi koristi se u trenažerima leta. Ne zaboravimo da ovaj

model možemo primijeniti samo za slučaj konstantnog vjetra. To znači da on ne može

pokazati utjecaj "udara vjetra". Vektor položaja [ ]Tzyx određuje točku iz koje pilot

promatra sliku, a stav letjelice [ određuje pravac promatranja i rotaciju slike oko

osi promatranja. Na temelju tih šest veličina izrađuje se slika koju vidi pilot na ekranu

trenažera.

]Tψϑφ

Linearizacija 6DOF 12-1

12 LINEARIZACIJA 6DOF MODELA

12.1 Princip linearizacije

12.1.1 Jednadžbe stvarnog gibanja

U sedmom poglavlju promatrali smo ravnotežna stanja u letu koja su bila okarakterizirana

momentom za središte mase jednakim nuli. To ravnotežno stanje odgovaralo je određenim

otklonima upravljačkih površina. Svaki otklon upravljačkih površina ima svoje ravnotežno

stanje. U ovom poglavlju promatrat ćemo prijelaz iz jednoga ravnotežnog stanja u drugo.

Pretpostavljamo da je bilo ravnotežno stanje za određene otklone upravljačkih površina. U

tom ravnotećnom stanju promijenili smo otklone upravljačkih površina i zrakoplov treba

prijeći u novi ravnotežni položaj. Taj prijelaz predstavlja problem dinamičke stabilnosti

zrakoplova.

Za razmatranje dinamičke stabilnosti poći ćemo od modela 6DOF za slučaj kada nema

vjetra i radit ćemo pomoću Eulerovih kutova. Pretpostavljamo da su komponente pogonske

sile . Jednadžbe gibanja središta mase i oko središta mase

zrakoplova u razvijenom obliku su :

[ TTT FF αα sin0cos ]

φϑα

φϑ

ϑα

coscossin

sincos

sincos

gmZ

mT

pvquw

gmYpwruv

gmX

mT

qwrvu

T

T

+++−=

+++−=

−++−=

&

&

&

12.1

zz

yx

yy

xz

xx

zy

INpq

III

r

IMrp

III

q

ILqr

III

p

+−

=

+−

=

+−

=

&

&

&

12.2

( ) ( )( ) ( )

rq

rq

rtgqtgp

θφ

θφψ

φφθ

θφθφφ

coscos

cossin

sincos

cossin

+=

−=

++=

&

&

&

12.3

Nismo uzeli u obzir prve tri jednadžbe, jer se dinamički proces prijelaza iz jednoga u drugo

ravnotežno stanje odvija na vrlo maloj promjeni visine, pa se gustoća i brzina zvuka gotovo

Linearizacija 6DOF modela 12-2

ne mijenjaju, te nam nije potrebna visina leta. Aerodinamičke sile i aerodinamički

momenti duž glavnih osi tromosti letjelice zadani su jednadžbama :

ZYX i,

NML i,

( )

( )

( )mz

ny

x

qcSVZ

rpcSVY

cSVX

δααρ

δβρ

βαρ

,,,2

,,,2

,2

2

2

22

&=

=

=

( )

( )

( )nn

mmA

n

prcSbVN

qcScVM

prcSbVL

δβρ

δααρ

δδβρ

,,,2

,,,2

,,,,2

2

2

2

=

=

=

&

ll

12.4

Gornji sustav diferencijalnih jednadžbi vrijedi za bilo koji režim leta. On određuje vektor

stanja

12.5 [ Trqpwvu ψθφ=X ]kao funkciju vremena. Taj vektor stanja zvat ćemo stvarni vektor stanja, jer odgovara

stvarnom gibanju. Drugim riječima znači da je

, v , , 1xu = 2x= 3xw = 4xp = , q 5x= , r 6x= , 7x=φ , 8x=ϑ i 9x=ψ . 12.6

Na desnoj strani sustava diferencijalnih jednadžbi imamo vektor

, 12.7 [ ]T1 fffffffff 98765432=F

gdje nam je

φϑα

φϑ

ϑα

coscossin

sincos

sincos

3

2

1

gmZ

mT

pvquf

gmYpwruf

gmX

mT

qwrvf

T

T

+++−=

+++−=

−++−=

12.8

zz

yx

yy

xz

xx

zy

INpq

III

f

IMrp

III

f

ILqr

III

f

+−

=

+−

=

+−

=

6

5

4

12.9

( ) ( )

( ) ( )

rqf

rqfrtgqtgpf

θφ

θφ

φφθφθφ

coscos

cossin

sincoscossin

9

8

7

+=

−=++=

12.10

Članovi vektora F su funkcije članova vektora stanja. Osim vektora X i F uvodimo i vektor

upravljanja


[ ]Tnm δδδ l=e 12.11

Vektor F ovisi o vektoru stanja, ali preko aerodinamičkih sila i momenata on je funkcija i

vektora upravljanja. Zato cijeli sustav diferencijalnih jednadžbi 12.1-3 kratko pišemo:

( eXFX ,=dtd ) 12.12

Taj sustav diferencijalnih jednadžbi određuje promjenu stanja letjelice tijekom vremena u

ovisnosti o vektoru upravljanja. Taj sustav diferencijalnih jednadžbi nije pogodan za analizu

ponašanja letjelice u ovisnosti o njenim parametrima, niti za izbor tih parametara da bi se

letjelica ponašala kako se to a priori želi.

U ovim jednadžbama za sile i momente, brzina V i kutovi α i β funkcije su

varijabla stanja u, v i w preko kinematičkih jednadžba:

.sinsincoscoscos

αβαβα

VwVvVu

===

12.13

Kako smo pretpostavili da nema vjetra, ne razlikujemo brzinu leta od aerodinamičke brzine

jer su one jednake.

12.1.2 Referentno gibanje

Ravnotežno stanje u kome je bila letjelica prije nego što smo promijenili vektor upravljanja,

nazivamo referentno stanje. Vektor stanja u takvom gibanju označit ćemo sa i nazvati ga

referentni vektor stanja.

0X

( 000

,eXFX=

dtd ) 12.14

Pretpostavit ćemo da su svi uvjeti nominalni (standardna atmosfera, nema vjetra, normalne

težine itd.). Odabrat ćemo kao referentni let

• jednoli let:

, 12.15 constV =0

• pravocrtni let (horizontalno ili u penjanju ili u spuštanju):

0 12.16 0 =χ

12.17 const=0γ

Neka je u takvom referentnom letu vektor upravljanja [ ]Tm 00 00 δ=e . Budući da nema

klizanja (nema vjetra v ), niti kuta valjanja (pravocrtni let), onda su : 0=


000 == χψ 12.18

12.19 000 αγϑ +=

U tom letu, pri konstantnoj brzini leta i konstantnoj gustoći zraka, napadni kut je

konstantan, pa su konstanti kutovi osi letjelice

0α0ψ i . Kada su sva tri de Sparreova kuta

konstanti, onda su i sve tri kutne brzine jednake nuli. Konačno zaključujemo da je za izabrani

referentni let:

0ϑ

0 12.20 000 === wvu &&&

12.21 0000000 ====== ψϑφ &&&rqp

12.22 0

000

0

==

=

ψφ

v

S obzirom da su za ovakvo referentno gibanje derivacije svih varijabla jednake nuli, matrični

je oblik sustava diferencijalnih jednadžbi vektora stanja

( )00 ,0 eXF= 12.23

koji nam omogućuje da za zadani referentni let odredimo potrebni vektor upravljanja e ,

ili obrnuto.

0X 0

12.1.3 Linearne diferencijalne jednadžbe poremećaja

Kada promijenimo otklon upravljačkih površina vrijednosti varijabli vektora stanja bit

će različite od referentnih vrijednosti (uspoređujemo ih u istom trenutku t), a tu razliku

između stvarnih i referentnih vrijednosti označavamo sa , a za cijeli vektor

stanja sa

0ee ≠

0iii xxx −=∆

0XXX −=∆ , i nazivamo ih poremećaj vektora stanja. Uzrok koji je izazvao

poremećaje

[ ]Tnm δ∆δ∆δ∆∆ l=−= 0eee

nazivamo također poremećaj (ili perturbacija).

U sustavu diferencijalnih jednadžbi vektora stanja 12.12

( )eXFX ,=dtd

zamijenimo li stvarni vektor stanja s referentnim, povećanim za poremećaj, kao i vektor

upravljanja s referentnim povećanim za poremećaj vektora upravljanja, onda dobivamo sustav

diferencijalnih jednadžbi stvarnog stanja:


( ) ( )eeXXFXX 00 ∆+∆+=∆+ ,dtd

Kad razvijmo u Taylorov red članove matrice F oko referentnog stanja, dobit ćemo

( ) ( ) K+

∂∂

+

∂∂

+=++ eeFX

XFeXFeeXXF 000 ∆∆∆∆

000 ,,,, tt

A je kvadratna matrica koju čine parcijalne derivacije stupca F po varijablama stanja X:.

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂

=

9

9

2

9

1

9

9

2

2

2

1

2

9

1

2

1

1

1

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

L

LLLL

L

L

XFA 12.24

a B je matrica koja pretstavlja derivaciju stupca F po parametrima upravljanja (onoliko

stupaca koliko je parametara upravljanja, a broj vrsta je jednak dimenziji vektora stanja).

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

==∂∂

=

m

nm

ff

f

fff

δδ

δ

δδδ

99

2

111

L

LLL

LL

l

l

l

eFB 12.25

Opći član matrice A u redu i u stupcu j je

j

iij x

fa

∂∂

=

Kada provodimo linearizaciju, pretpostavljamo da se realni vektor stanja X ne razlikuje

mnogo od referentnog vektora stanja tj. da su poremećaji 0X X∆ i e∆ male veličine. To nam

omogućuje da pri razvijanju u red funkcije F zanemarimo produkte poremećaja kao male

veličine višega reda u odnosu na bilo koji poremećaj. Tako u daljnjem radu nećemo imati niti

produkte poremećaja niti njihove stupnjeve nego ćemo imati linearne jednadžbe po

poremećajima. Kasnije, kada budemo primjenjivali linearizirane diferencijalne jednadžbe

trebamo voditi računa da ti uvjeti budu zadovoljeni.

Oduzimanjem diferencijalnih jednadžbi za referentno stanje 12.14 od diferencijalnih

jednadžbi za stvarno stanje 12.12 dobivamo:

eBXAX ∆∆∆ +=dtd 12.26


To su tzv. diferencijalne jednadžbe poremećaja, koje su linearne po poremećajima eX ∆∆ i .

Obratimo pažnju na to da su članovi matrica A i B funkcije od vremena i od referentnog

stanja, što znači da se svaki član tih matrica određuje na temelju referentnog vektora stanja

i za referentni vektor upravljanja . 0X 0e

Činjenica je da linearizaciju jednadžbi možemo raditi po istim pravilima po kojima

izvodimo diferenciranje jednadžbi.

12.2 Linearizacija model 6DOF

12.2.1 Linearizacija kinematičkih jednadžbi

Počet ćemo s jednadžbama veze između brzina i kutova:

α

βαβα

sinsincoscoscos

VwVvVu

===

12.27

Primijenimo pravilo diferenciranja umjesto linearizacije na prvu jednadžbu:

ββαβααβα ∆−∆+∆=∆ 00000000 sincoscossincoscos VVVu

Kako u referentnom stanju nema klizanja , dobivamo lineariziranu prvu jednadžbu: 00 =β

ααα ∆−∆=∆ 000 sincos VVu

Na isti način dobivamo i preostale dvije linearizirane jednadžbe:

α∆αα∆∆

β∆α∆ooo

oo

VVwVv

cossincos

+=

=

U referentnom režimu napadni kut je mali. Zato u ovim jednadžbama možemo zamijeniti

i cos : 00sin αα ≈ 10 ≈α

αα

β

αα

∆+∆=∆

∆=∆

∆−∆=∆

oo

o

VVwVv

VVu 00

Po svojoj veličini produkt V reda je veličine poremećaja brzine, te je drugi član na desnoj

strani mala veličina drugoga reda koju možemo zanemariti. Isto tako produkt na

desnoj strani treće jednadžbe predstavlja malu veličinu drugoga reda koju možemo

zanemariti. Tako dobivamo konačno:

00α0αV∆


α

β

∆=∆

∆=∆

∆=∆

o

o

VwVv

Vu 12.28

12.2.2 Linearizacija sila

Za mlaazne motore smatramo da poremećaji gibanja ne utječu na potisnu silu pa nema

poremećaja pogonske sile, a za elisne motore usvajamo da nema poremećaja snage. Prema

tome, za elisne motore je

( ) 0=⋅∆ VT ,

ili

000 =∆+⋅∆ VTVT .

Iz ove jednadžbe dobivamo da je poremećaj pogonske sile elisnog motora

oo T

VVT ∆∆ −= , 12.29

a za mlazne motore je

0=∆T . 12.30

Komponente sile Zemljine teže duž osi tromosti zrakoplova jesu:

( )

−=

ϑφϑφ

ϑψϑφ

coscoscossin

sin00

,, mgmg

FOL

Primjenjujući pravilo diferenciranja dobivamo poremećaje komponente sile Zemljine teže:

−−−

−

ϑ∆ϑφϑφ∆φϑ∆ϑφϑφ∆φ

ϑ∆ϑ

oooo

oooo

o

mgsincoscossin

sinsincoscoscos

Za referentni let je , te dobivamo konačno poremećaje komponenata sile Zemljine

teže:

0=oφ

12.31

−

−

ϑ∆ϑφ∆ϑϑ∆ϑ

o

o

o

mgsin

coscos

Linearizacija komponenata aerodinamičke sile:


( )

( )

( )mZ

nY

X

qCSVZ

rpCSVY

CSVX

δααρ

δβρ

βαρ

,,,2

,,,2

,2

2

2

22

∗∗

∗∗

=

=

=

&

12.32

prema pravilu o diferenciranju, daje poremećaje:

ZZ

YY

XX

CSVCSVVZ

CSVCSVVY

CSVCSVVX

∆⋅+∆=∆

∆⋅+∆=∆

∆⋅+∆=∆

2

2

2

2000

2000

2000

ρρ

ρρ

ρρ

Poremećaji aerodinamičkih koeficijenata sila su:

12.33

moZ

oZq

oZ

oZZ

noY

oYr

oYp

oYY

ooX

oXX

m

n

CqCCCC

CrCpCCC

CCC

δ∆∆α∆α∆∆

δ∆∆∆β∆∆

β∆βα∆∆

δαα

δβ

βα

+++=

+++=

+=

∗∗

∗∗

&&

22

Poremećaj bezdimenzijske kutne brzine valjanja je

( )

pVb

VVbppVb

Vbpp ∆=

∆−∆=

∆=∆ ∗

0200

0

, 12.34

jer je . Isto tako su i poremećaji bezdimenzijskih kutnih brzina: 00 =p

qVc

q A ∆∆ 0=∗ 12.35

rVbr ∆∆ 0=∗ 12.36

Kako je u referentnom stanju , bit će konačno poremećaji aerodinamičkih brzina: 0=oYC

++++=

+++=

+=

moZ

AoZq

AoZ

oZ

ooZ

o

noY

oYr

oYp

oY

o

oX

ooX

o

m

n

CVc

qCVc

CCSVVSCVZ

CVbrC

VbpCCSVY

SCVVSCVX

δ∆∆α∆α∆ρ∆ρ∆

δ∆∆∆β∆ρ∆

α∆ρ∆ρ∆

δαα

δβ

α

00

2

00

2

2

2

2

2

&&

U ove jednadžbe uvodimo oznake za koeficijente dinamičke stabilnosti uz poremećaje:


oX

oo

oX

oou

Cm

SVXm

X

Cm

SVuX

mX

ααρ

∂α∂

ρ∂∂

21

1

2

==

==

oY

o

n

o

oYr

oo

r

oYp

oop

oY

oo

nnC

mSVY

mY

Cm

SbVrY

m

Cm

SbVpY

mY

Cm

SVYm

Y

δδ

ββ

ρ∂δ∂

ρ∂∂

ρ∂∂

ρ∂β∂

21

21

21

21

2

2

==

==

==

==

Y

oZ

o

m

o

oZq

Ao

oq

oZ

Ao

o

oZ

oo

oZ

oou

mmC

mSVZ

mZ

CmScV

qZ

mZ

CmScVZ

mZ

Cm

SVZm

Z

Cm

SVuZ

mZ

δδ

αα

αα

ρ∂δ∂

ρ∂∂

ρα∂

∂

ρ∂α∂

ρ∂∂

21

21

21

21

1

2

2

==

==

==

==

==

&& & 12.37

Svi ovi koeficijenti dinamičke stabilnosti trebaju biti izračunani za vrijednosti parametara u

referentnom stanju. S tim koeficijentima jednadžbe možemo napisati u obliku:

moo

qooo

u

noo

rpo

oou

m

n

ZqZZZuZmZ

YrYpYYmY

XuXmX

δ∆∆α∆α∆∆∆

δ∆∆∆β∆∆

α∆∆∆

δαα

δβ

α

++++=

+++=

+=

&&

0 12.38

12.2.3 Linearizacija jednadžbi gibanja središta mase

Linearizaciju prvih triju jednadžbi gibanja središta mase:

φϑα

φϑ

ϑα

coscossin

sincos

sincos

gmZ

mT

pvquw

gmYpwruv

gmX

mT

qwrvu

T

T

+++−=

+++−=

−++−=

&

&

&

12.39

izvest ćemo po pravilu diferenciranja. Tako dobivamo

ϑ∆ϑ∆α∆∆∆∆∆∆

φ∆ϑ∆∆∆∆∆∆

ϑ∆ϑ∆α∆∆∆∆∆∆

oToooo

ooooo

oToooo

gmZ

mT

pvvpquuqw

gmYpwwpruurv

gmX

mT

qwwqrvvru

sinsin

cos

coscos

−++−−+=

++++−−=

−++−−+=

&

&

&

12.40

U referentnom letu je v kao i sve kutne brzine . Kut u referentnom

letu je obično mala veličina, te je reda veličina poremećaja

00 = 0=== ooo rqp 0α

uooo uw α= ∆ ili w∆ . Zato se


njegovi produkti sa drugim poremećajima mogu zanemaruju kao male veličine drugog reda.

To nam omogućava da u prvoj jednadžbi zanemarimo produkt , a u drugoj . Tako

linearizirane jednadžbe poremećaja gibanja središta mase dobivaju oblik:

qw ∆0 pw ∆0

ϑϑ ∆o

δδ −∆ mo

m

0

mδ∆o

o

o

Z

u

Yn

ϑ∆ϑ

∆

α

δ

&

0

α

φϑ

ϑϑα

∆∆∆∆

∆∆

∆∆

∆∆∆

∆

To

oo

oT

gmZ

mTquw

gmYruv

gmX

mTu

sinsin

cos

coscos

−++=

++−=

−+=

&

&

&

12.41

Derivacijom lineariziranih jednadžbi veza između kutova i komponenti brzine dobivamo:

12.42 α∆∆

β∆∆&&

&&o

o

VwVv

=

=

Zamjenom poremećaja aerodinamičkih sila ZYX ∆∆∆ ,, i poremećaja derivacija bočnih

brzina u gornje linearizirane jednadžbe poremećaja gibanja središta mase, bit će

konačno:

wv && ∆∆ ,

ϑϑαααα

φϑδββ

ϑϑαα

αα

δβ

α

∆+∆+∆+∆+∆+∆

+∆=∆

∆+∆+∆+∆+∆+∆−=∆

∆−∆+∆+∆

=∆

ooq

ooou

To

on

oorp

oo

ooou

T

gZqZZZuZm

Tquu

gYrYpYYruu

gXuXm

Tu

n

sinsin

cos

coscos

0

00

&&

&

&

&

12.43

Za mlazne motore nema poremećaja potiska, pa dijeljenjem jednadžbe druge sa u i treće

jednadžbe sa dobivamo: 00α&Zu −

oo

o

ooo

oq

o

oo

o

oo

ou

n

oorp

o

ooou

Zu

Z

ugq

ZuZu

ZuZ

uZu

Z

ugr

uY

puY

uY

gXuXu

m∆α∆∆α∆

δφ∆ϑ∆∆β∆β∆

ϑ∆ϑα∆∆∆

α

δ

αα

α

α

β

α

&&&&

&

&

&

−+

−−

−

++

−+

−=

++

+−++=

−+=

sin

cos1

cos

000

0

0 12.44

Za zrakoplove s elisnim motorima poremećaj pogonske sile određen je jednadžbom 12.29

uuTT

o

∆∆ 0−=

pa gornje jednadžbe 12.43 za zrakoplove s elisnim motorima imaju oblik:


m

oooq

ooT

oou

n

ooorp

o

ooTo

ou

ZuZ

Zugq

ZuZu

ZuZu

Zumu

TZ

uY

ugr

uYp

uY

uY

gXumu

TXu

m

n

δϑϑα

α

α

δφϑββ

ϑϑαα

α

δ

ααα

α

α

δβ

α

∆∆∆∆∆∆

∆∆∆∆∆∆

∆∆∆∆

0000000000

0000

0

0

0

sinsin

cos1

coscos

&&&&&

&

&

&

−+

−−

−

++

−+

−

−=

++

+−++=

−+

−=

12.45

12.2.4 Linearizacija kutnih brzina

Linearizaciju jednadžbi:

( ) ( )( ) ( )

rq

rq

rtgqtgp

θφ

θφψ

φφθ

θφθφφ

coscos

cossin

sincos

cossin

+=

−=

++=

&

&

&

12.46

izvodimo primjenom pravila diferenciranja. Tako dobivamo:

rrqq

rrqq

rtgrrtg

qtgqqtgp

oooo

∆⋅+⋅

∆+∆⋅+⋅

∆=∆

∆−⋅∆−∆+⋅∆−=∆

∆+∆

+⋅⋅∆−

−∆+∆

+⋅⋅∆+∆=∆

0

00

0

00

00

00002

0000

00002

0000

coscos

coscos

cossin

cossin

sincoscossin

coscos

cossin

sincos

sincos

ϑφ

ϑφ

ϑφ

ϑφψ

φφφφφφϑ

ϑφϑ

ϑφϑφφ

ϑφϑ

ϑφϑφφφ

&

&

&

U tim jednadžbama treba uzeti u obzir da su u referentnom stanju sve kutne brzine , i 0p 0q0r jednake nuli (jednadžbe 12.21) kao i kut valjanja (jednadžbe 12.22). Tako konačno

dobivamo linearizirane jednadžbe:

0φ

0

0

cos

tan

θψ

ϑ

ϑφ

rq

rp

∆=∆

∆=∆

∆+∆=∆

&

&

&

12.47

12.2.5 Linearizacija komponenata aerodinamičkog momenta

Ovisnosti komponenata aerodinamičkog momenta zrakoplova o parametarima dane su

jednadžbama:


( )

( )

( )nn

mmA

n

rpSbCVN

qCScVM

rpSbCVL

δδβρ

δααρ

δδβρ

,,,,2

,,,2

,,,,2

2

2

2

l

ll

&

∗∗

∗∗

∗∗

=

=

=

12.48

Primjenom pravila diferenciranja dobivamo:

n

oon

o

mA

oomA

o

ooo

CSbVSbCVVN

CScVCScVVM

CSbVSbCVVL

∆⋅+∆=∆

∆⋅+∆=∆

∆⋅+∆=∆

2

2

2

2

2

2

ρρ

ρρ

ρρ ll

12.49

U ravnotežnom stanju jednaki su nuli, a poremećaji aerodinamičkih koeficijenata

momenata su:

on

om

o CCC ,,l

nonno

onro

onp

onn

mom

Aomq

Aom

omm

nooo

rop

o

n

m

n

CCVbrC

VbpCCC

CVc

qCVc

CCC

CCVbrC

VbpCCC

δ∆δ∆∆∆β∆∆

δ∆∆α∆α∆∆

δ∆δ∆∆∆β∆∆

δδβ

δαα

δδβ

++++=

+++=

++++=

l

&

lllllll

l

l

&

0

00

00

12.50

Uvest ćemo koeficijente momenata dinamičke stabilnosti:

ll l

l

l

l

l

l

δδ

δδ

ββ

ρ∂δ∂

ρ∂δ∂

ρ∂∂

ρ∂∂

ρ∂β∂

CI

SbVLI

L

CI

SbVLI

L

CI

VSbrL

IL

CI

VSbpL

IL

CI

SbVLI

L

xx

xnx

rxx

r

pxx

p

xx

nn

21

21

21

21

21

2

2

2

2

2

==

==

==

==

==

mm my

A

my

qmy

A

yq

my

A

y

my

A

y

CIScVM

IM

CI

VScqM

IM

CI

VScMI

M

CIScVM

IM

δδ

αα

αα

ρ∂δ∂

ρ∂∂

ρα∂

∂

ρ∂α∂

21

21

21

21

2

2

2

2

==

==

==

==

&& &

nn nznz

nrzz

r

npzz

p

nzz

CI

SbVNI

N

CI

VSbrN

IN

CI

VSbpN

IN

CI

SbVNI

N

δδ

ββ

ρ∂δ∂

ρ∂∂

ρ∂∂

ρ∂β∂

21

21

21

21

2

2

2

2

==

==

==

==

12.51

Napomenimo da sve ove koeficijente treba izračunati za referentno stanje. Sa ovim oznakama

bit će:


nprz

mqy

nrpx

n

m

n

NNNrNNIN

MqMMMIM

LLrLpLLIL

δ∆δ∆φ∆∆β∆∆

δ∆∆α∆α∆∆

δ∆δ∆∆∆β∆∆

δδβ

δαα

δδβ

00000

0000

00000

++++=

+++=

++++=

l

&

l

l

l

&

& 12.52

12.2.6 Linearizacija jednadžbi gibanja zrakoplova oko središta mase

Jednadžbe gibanja oko središta mase za glavne osi tromosti su:

( )( )( ) NpqIIrI

MrpIIqI

LqrIIpI

yxz

xzy

zyx

+−=

+−=

+−=

&

&

&

12.53

Pravilom diferenciranja dobivamo

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) NqpqpIIrI

MprprIIqILpqpqIIpI

yxz

xzy

zyx

∆∆∆∆

∆∆∆∆

∆∆∆∆

+⋅+⋅⋅−=

+⋅+⋅⋅−=

+⋅+⋅⋅−=

&

&

&

U ravnotežnom stanju sve kutne brzine jednake su nuli te ove jednadžbe dobivaju oblik:

NrI

MqILpI

z

y

x

∆∆

∆∆∆∆

=

==

&

&

&

12.54

ili poslije linearizacije aerodinamičkih momenata:

12.55

nrp

mq

nrp

n

m

n

NNrNpNNr

MqMMMq

LLrLpLLp

δ∆δ∆∆∆β∆∆

δ∆∆α∆α∆∆

δ∆δ∆∆∆β∆∆

δδβ

δαα

δδβ

00000

0000

00000

++++=

+++=

++++=

l

&

l

l

l

&

&&

&

U drugoj jednadžbi na desnoj strani imamo poremećaj derivacije napadnog kuta α&∆ . Taj kut

eliminiramo pomoću treće jednadžbe gibanja središta mase:

m

oooq

ooT

oou

ZuZ

Zugq

ZuZu

ZuZu

Zumu

TZm δϑϑα

α

αα

δ

ααα

α

α

∆−

+∆−

−∆−

++∆

−+∆

−

−=∆ 0000000000

sinsin

&&&&&

& 12.56

Sređivanjem dobivamo konačno:


nrp

m

o

oq

o

q

ooT

oou

nrp

n

m

m

n

NNrNpNNr

ZuZM

M

qZuZu

MMZu

gMZuZMMu

Zumu

TZMq

LLrLpLLp

δδβ

δ

ϑϑ

α

α

δδβ

δδβ

α

δαδ

αα

α

α

α

ααα

αα

δδβ

∆+∆+∆+∆+∆=∆

∆

−++

∆

−

+++∆

−−∆

−

++∆−

−=∆

∆+∆+∆+∆+∆=∆

00000

00

00

0000

00

0

00

00

000

00000

sinsin

l

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

l

l

l

&

&

&

12.57

12.2.7 Linearni model zrakoplova

Objedinjavanjem lineariziranih jednadžbi gibanja središta mase i oko središta mase dobivamo

sustav linearnih jednadžbi prijelaznog procesa. Prve tri linearizirane jednadžbe gibanja

središta mase malo se razlikuju za zrakoplove s elisnim pogonom od jednadžba za zrakoplove

s mlaznim pogonom, dok su linearizirane jednadžbe za gibanje oko središta mase iste. Zato

ćemo objedinjavanjem dobiti dva različita sustava jednadžbi.

Za zrakoplove s mlaznim pogonom:

moo

o

oo

o

oo

oq

o

oo

o

oo

ou

n

ooorp

o

ooou

Zu

Z

Zugq

ZuZu

ZuZ

uZu

Z

u

Y

ugr

uY

puY

uY

gXuXu

m

n

δ∆ϑ∆ϑ∆α∆∆α∆

δ∆φ∆ϑ∆∆β∆β∆

ϑ∆ϑα∆∆∆

α

δ

ααα

α

α

δβ

α

&&&&&

&

&

&

−+

−−

−

++

−+

−=

++

+−++=

−+=

sin

cos1

cos

0000

0

0

nrp

m

ooq

o

q

ooT

oou

nrp

n

m

m

n

NNrNpNNr

ZuZM

MqZuZu

MM

ZugM

ZuZMMu

Zumu

TZMq

LLrLpLLp

δδβ

δ

ϑϑ

α

α

δδβ

δδβ

α

δαδ

αα

α

α

α

ααα

αα

δδβ

∆∆∆∆∆∆

∆∆

∆∆∆∆

∆∆∆∆∆∆

00000

00

00

0000

00

0

00

00

000

00000

sinsin

++++=

−++

−

+++

+−

−

−

++−

−=

++++=

l

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

l

l

l

&

&

&

12.58

0

0

cos

tan

θψ

ϑ

ϑφ

rq

rp

∆=∆

∆=∆

∆+∆=∆

&

&

&

Za zrakoplove s elisnim pogonom sustav diferencijalnih jednadžbi poremećaja ima oblik:


m

oooq

ooT

oou

n

ooorp

o

ooTo

ou

Zu

Z

Zugq

ZuZu

ZuZ

uZumu

TZ

u

Y

ugr

uY

puY

uY

gXumu

TXu

m

n

δ∆ϑ∆ϑ∆α∆∆

α

α∆


ϑ∆ϑα∆∆α

∆

α

δ

ααα

α

α

δβ

α

0000000000

0000

0

0

sinsin

cos1

coscos

&&&&&

&

&

&

−+

−−

−

++

−+

−

−=

++

+−++=

−+

−=

nrp

m

ooq

o

q

ooT

oou

nrp

n

m

m

n

NNrNpNNr

ZuZM

MqZuZu

MM

ZugM

ZuZM

MuZumu

TZMq

LLrLpLLp

δδβ

δ

ϑϑ

α

α

δδβ

δδβ

α

δαδ

αα

α

α

α

ααα

αα

δδβ

∆+∆+∆+∆+∆=∆

∆

−++∆

−

+++

+∆−

−∆

−

++∆−

−=∆

∆+∆+∆+∆+∆=∆

00000

00

00

0000

00

0

00

00

000

00000

sinsin

l

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

l

l

l

&

&

&

12.59

0

0

cos

tan

θψ

ϑ

ϑφ

rq

rp

∆=∆

∆=∆

∆+∆=∆

&

&

&

U oba slučaja, u jednadžbama imamo devet varijabli

ψϑφαβ ∆∆∆∆∆∆∆∆∆ rqpu

koje su funkcije vremena, i tri zadana otklona nm δδδ ∆∆∆ l . Koeficijenti uz varijable i

uz zadane otklone poznate su konstante.

Dinamička stabilnost uzdužnog gibanja 13-1

13 DINAMIČKA STABILNOST UZDUŽNOG GIBANJA

13.1 Modovi uzdužnog gibanja

Sustav linearnih jednadžbi zrakoplova može se rastaviti na dva podsustava koji se rješavaju

neovisno. Prvi podsustav čine četiri jednadžbe gibanja s četiri varijable: θ∆α∆∆ ,,u i q∆ . To

su: prva i treća jednadžba gibanja središta mase, druga jednadžba gibanja oko središta mase i

druga jednadžba veza između kutnih brzina i derivacija kutova.

Za zrakoplove s elisnim pogonom to su jednadžbe:

q

ZuZM

MqZuZu

MM

ZugM

ZuZMMu

Zumu

TZMq

ZuZ

Zugq

ZuZu

ZuZu

Zumu

TZ

gXumu

TXu

m

ooq

o

q

ooT

oou

m

oooq

ooT

oou

ooTo

ou

m

m

m

∆∆

∆∆

∆∆∆∆

∆∆∆∆∆∆

∆∆∆∆

=

−++

−

+++

+−

−

−

++−

−=

−+

−−

−

++

−+

−

−=

−+

−=

ϑ

δ

ϑϑ

α

α

δϑϑα

α

α

ϑϑαα

α

δαδ

αα

α

α

α

ααα

αα

α

δ

ααα

α

α

α

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&&&&&

00

00

0000

00

0

00

00

000

0000000000

sinsin

sinsin

coscos

13.1

Gibanje opisano ovim jednadžbama nazivamo uzdužno gibanje. U njima se ne pojavljuju

varijable skretanja ( )r∆β∆ , niti varijable valjanja ( )p∆φ∆ , . Mali poremećaj kuta valjanja

φ∆ ne mijenja ništa u ovim jednadžbama, što drugim riječima znači da malo valjanje letjelice

ne utječe na uzdužno gibanje. Gornje jednadžbe uzdužnog gibanje možemo napisati kao

linearni sustav diferencijalnih jednadžbi

, 13.2 eBXAX ∆∆∆ +=&

u kome je vektor stanja

[ ]Tqu ϑ∆∆α∆∆∆ =X ,

a vektor upravljanja svodi se na skalar mδ∆∆ =e . Matrica A sustava je:

Dinamička stabilnostuzdužnog gibanja 13-2

( )

−−

−

++

−+

−

−

−−

−

+

−−

−

−−

=

0100

sinsin

sinsin

cos0cos

00

00

00

0000

00

000

00

0

00

0

00

0

00

00

00

0

00

0

000

00

α

α

α

α

α

ααα

αα

ααα

α

α

α

ϑα

ϑα

ϑα

&

&

&

&

&

&

&

&

&&&&

ZugM

ZuZuM

MZuZMM

Zumu

TZM

Zug

ZuZu

ZuZ

Zumu

TZ

gXmu

TX

qq

Tu

qoT

o

u

Tu

A 13.3

a matrica B je :

−+

−=

0

Z0

00

000

00

0m

α

δαδ

α

δ

&

&

&

ZuZM

M

Zu

m

m

B 13.4

Podsjetimo se da smo ove jednadžbe dobili za pretpostavljeno stacionarno pravocrtno

referentno gibanje, što znači da su matrice A i B konstantne.

Interesira nas kako se zrakoplov ponaša kada se u stacionarnom pravocrtnom letu

promijenimo otklon kormila visine. Tražit ćemo odgovor letjelice na tri tipa promjene

otklona:

• jedinični impuls otklona

• jedinični odskok otklona i

• harmonijski otklon

13.2 Odgovor letjelice na odskok otklona u vremenskom području

Rješenje linearnog sustava diferencijalnih jednadžbi s konstantnim koeficijentima

13.5 eBXAX ∆∆∆ +=&

poznato je. Ono je zbroj homogenog i partikularnog integrala:

ph XXX ∆+∆=∆ 13.6

13.2.1 Homogeno rješenje

Homogeni integrali rješenjr je homogenog sustava tj. kada nema pobude ∆ : hX∆ 0=e


13.7 0=∆−∆ hh XAX&

Tražimo rješenje u obliku eksponencijalne funkcije hX∆

13.8

=

∆∆∆∆

=∆

st

st

st

st

h

h

h

h

h

eeee

q

u

ϑ

αX

isto za svaku komponentu. U tom slučaju je . Ako takvo rješenje postoji onda

ono mora zadovoljavati diferencijalnu jednadžbu. Zamjenom u gornju jednadžbu dobivamo

hh s XX ∆=∆ &

( ) 0=− hs XJA ∆ 13.9

Ovo je sustav od četiri linearne jednadžbe u kojima su četiri nepoznanice:

[ ]Thhhhh qu ϑα ∆∆∆∆=∆X

S obzirom na to što nemamo slobodne članove na desnoj strani, determinanta sustava

( ) JA ssD −=

mora biti jednaka nuli, jer bismo u protivnom imali trivijalno rješenje 0=hX∆ :

( )

( )

sZu

gMsZu

ZuMM

ZuZMM

Zumu

TZM

Zug

ZuZu

sZu

ZZumu

TZ

gXsmu

TX

sD

qq

Tu

q

Tu

Tu

−−

−−−

++

−+

−

−

−−

−

+−

−−

−

−−−

=

100

sincos

sinsin

cos0cos

00

00

00

0000

00

000

00

0

00

0

00

0

00

00

00

0

00

0

00

000

00

α

α

α

α

α

ααα

αα

ααα

α

α

α

ϑα

ϑα

ϑα

&

&

&

&

&

&

&

&

&&&& 13.10

Kad se razvije ta determinanta matrice A, dobiva se tzv. karakteristični polinom četvrtog

reda:

13.11 ( ) 0234 =++++= dscsbsassD

Taj karakteristični polinom ima 4 korijena koje u MATLABu dobivamo

pomoću naredbi

4ssss i,, 321

( )psAp

rootpoly

== )(

Tim korijenima odgovaraju četiri moguća rješenja e . Zato što svaka varijabla

ima opće rješenje u obliku linearne kombinacije tih četiri mogućih rješenja, dobivamo:

tstststs eee 4321 i,,


tsu4

tsu3

tsu2

tsu1h

4321 eCeCeCeC∆u +++=

ts4

ts3

ts2

ts1h

4321 eCeCeCeC∆ ααααα +++=

tsq4

tsq3

tsq2

tsq1h

4321 eCeCeCeC∆q +++=

ts4

ts3

ts2

ts1h

4321 eCeCeCeC∆ ϑϑϑϑϑ +++=

To možemo napisati matrično:

=

ts

ts

ts

ts

qqqq

uuuu

h

h

h

h

eeee

CCCCCCCCCCCCCCCC

q

u

4

3

2

1

4321

4321

4321

4321

ϑϑϑϑ

αααα

ϑ∆∆

α∆∆

Uvedimo četverodimenzionalne konstante uz moguća rješenja:

[

=

ts

ts

ts

ts

h

h

h

h

eeee

q

u

4

3

2

1

4321 CCCC

ϑ∆∆

α∆∆

]

ili

13.12 ∑=

=4

1i

tsih

ieCX∆

Konstante imaju četiri dimenzije, koliko ima dimenzija i vektor stanja 432 CCCC1 ,,, X∆ .

U općem slučaju korijeni mogu biti realni (pozitivni i/ili negativni) i

kompleksni korijeni. A priori jednadžbe uzdužnog gibanja zrakoplova imaju četiri

kompleksna korijena. Budući da su koeficijenti karakterističnog polinoma realni brojevi,

kompleksni korijeni moraju biti konjugirani. Znači da imamo dva para konjugiranih

kompleksnih korijena. Te konjugirane korijene pišemo u obliku

4ssss i,, 321

iii ωδ ±− 13.13

gde je . Opće rješenje svake varijable možemo napisati u obliku gušene

trigonometrijske funkcije. Na primjer za poremećaj

2,1=i

hu∆ , koje mora biti realno, možemo opći

oblik transformirati kako slijedi: ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( tiu

tiu

ttiu

tiu

t

tiu

tiu

tiu

tiuh

eCeCeeCeCe

eCeCeCeCu222111

22221111

4321

4321ωωδωωδ

ωδωδωδωδ

−−−−

−−+−−−+−

+++=

+++=∆

)

( ) ( )[ ]( ) ([ ]titCtitCe

titCtitCeu

uut

uut

h

224223

112111

sincossincos

sincossincos2

1

ωωωω

ωωωωδ

δ

−+++

+−++=∆−

−

)

ili


( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]tCCitCCe

tCCitCCeu

uuuut

uuuut

h

243243

121121

sincos

sincos2

1

ωω

ωωδ

δ

−+++

+−++=∆−

−

Promatrajmo prvi član na desnoj strani

( ) ( )[ ]tCCitCCe uuuut

121121 sincos1 ωωδ −++−

Da bi on bio realan, mora biti C realan broj uu C21 + C ′ , a C uu C21 − mora biti imaginaran broj

. S obzirom na jednakost Ci ′′

( ) ( )110111 sincossin 11 ϕωωω δδ +=′′+′ −− tAetCtCe tt ,

gdje su

,arctan1

2201

CC

CCA

′′′

=

′′+′=

ϕ

može se poremećaj uzdužne brzine staviti u oblik:

( ) ( )22021101 sinsin 21 ϕωϕω δδ +++=∆ −− tAetAeu tt 13.14

Tako se mogu napisati i poremećaji ϑα ∆∆∆ ,, q . Prema tome homogeno rješenje, za svaku

komponentu poremećaja, je zbroj dva gušena harmonijska moda. Realni dio konjugirano

kompleksnih korijena iδ− mora biti negativan, tj. 0>iδ da bi mod bio gušen. To iδ naziva

se koeficijent gušenja (dumping coefficient). Imaginarni dio i

i Tπω 2

= predstavlja kružnu

učestalost. T je perioda tog moda, a i ii

fT

=1 je učestalost moda.

Osim ovih parametara iδ i iω upotrebljavaju se i od njih izvedeni parametri.

Vrjemenska konstanta predstavlja recipročnu vrijednost konstante gušenja

δ

τ 1= , 13.15

a to znači kada je vrijeme gibanja jednako vremenskoj konstanti, amplituda se smanjila

puta. Sa

t e

21τ označava se vrijeme za koje se amplituda moda prepolovi. To vrijeme dobivamo

iz jednadžbe

2121 =−δτe ,

odakle je

δ

τ 2ln21 = . 13.16


U slučaju ne gušenog moda koristi se vrijeme 2τ za koje se amplituda moda udvostruči:

2 2 =−δτe

δ

τ−

=2ln

2 13.17

Konačno za ocjenu moda upotrebljava se parametar gušenje. Da bismo objasnili taj

parametar, zamislimo sustav koji ima korijene jednog moda ωδ is ±−=2,1 . Karakteristična

jednadžba tog sustava je

( ) 021212 =+⋅+− ssssss ,

ili

( ) 02 222 =++⋅+ ωδδ ss .

Ako uvedemo novu varijablu 22 ωδσ += s , dobit ćemo novu jednadžbu:

01222

2 =++

+ σωδ

δσ

Tu jednadžbu možemo napisati u općem obliku

0122 =++ σζσ

u kojoj imamo samo jedan parametar koji se naziva gušenje moda.

22 ωδ

δζ+

= 13.18

Veličina

22 ωδω +=n 13.19

naziva se prirodna učestalost i koristi se za ocjenu kvalitete upravljivosti objekta.

13.2.2 Partikularni integral

Partikularni integrali se mogu naći na temelju pretpostavke da ih tražimo u obliku konstanta.

Ako su oni konstantni, onda je , pa je 0X =p&∆

eBXA ∆∆ += p0

eBAX ∆∆ ⋅−= −1p .

Uvest ćemo pojam aerodinamičko pojačanje:

BAK 1−−= 13.20

To je matrica koja ima onoliko redaka koliko ima varijabli vektor stanja, a onoliko stupaca

koliko ima dimenzija vektor upravljanja. S tom veličinom je partikularni integral :


mδ∆⋅=∆ KXp 13.21

Taj partikularni integral vektor stanja je konstantan vektor i predstavljanja razliku od

početnog ravnotežnog stanja do novog ravnotežnog stanja.

13.2.3 Opće rješenje

Konačno rješenje je zbroj homogenog i partikularnog integrala. Svaka varijabla stanja (ima ih

četiri) ima dva moda sa po dvije konstante. Rješenje nehomogenog sustava diferencijalnih

jednadžbi uzdužnog gibanja je :

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

mq

u

ttqq

tqq

t

ttuu

tuu

t

KKKK

tAetAetAetAetAetAetAetAe

q

u

δ

ϕωϕωϕωϕωϕωϕωϕωϕω

ϑ

α

ϑ

α

ϑϑδ

ϑϑδ

δδαα

δαα

δ

δδ

∆

+

++++++++++++

=

∆∆∆∆

−−

−−

−−

−−

222111

222111

222111

222111

sinsinsinsinsinsinsinsin

21

21

21

21

, 13.22

gdje su amplitude moda i poremećaja ixA 2,1= qux ∆∆∆= ,, α i ϑ∆ , a ixϕ njihovi fazni

pomaci. Konstanta ima i isto toliko faznih pomaka. Ukupno to je 16 konstanti. ixA 82 =⋅4

Opće rješenje možemo napisati i u obliku koji nam je pogodniji za usporedbu s

Laplaceovom analizom:

mq

u

ts

ts

ts

ts

qqqq

uuuu

KKKK

eeee

CCCCCCCCCCCCCCCC

q

u

δ∆

ϑ∆∆α∆

∆

ϑ

α

ϑϑϑϑ

αααα

+

=

4

3

2

1

4321

4321

4321

4321

Kraće napisano to je:

, 13.23 mi

tsi

ie δ∆∆ KCX += ∑=

4

1

u kome su

[ ]

=

4321

4321

4321

4321

4321

ϑϑϑϑ

αααα

CCCCCCCCCCCCCCCC

qqqq

uuuu

CCCC

Ukupno imamo šesnaest konstanta. Veličine tih konstanti najlakše ćemo odrediti, kao i druga

svojstva uzdužnog gibanja, pomoću Laplaceove transformacije.


13.2.4 Primjer

Za laki mali putnički zrakoplov treba odrediti korijene uzdužnog gibanja zrakoplova i

aerodinamičko pojačanje kada leti horizontalno na visini 2000 m u režimu za maksimalni

dolet koji smo odredili u primjeru 8.1.7, primjer 2.

499.053

==

LCV

Aerodinamički proračun tog zrakoplova urađen je u petom poglavlju, gdje smo dobili

koeficijente normalne sile i momenta propinjanja u stacionarnom režimu kada 0== qα&

m233.0=

. Ti

su rezultati ovisili o postavim kutovima krila i repa, kao i o položaju središta mase. Za

postavne kutove i te za središte mase na udaljenosti od

ravnine elise ili

01=Wi01−=hi ml

137.0=mh od aerodinamičkog ishodišta dobili smo koeficijente:

δα

δα

fm

mfN

KCKC⋅−−−=

⋅++=

577.0835.0001.0216.072.4247.0

Na kraju aerodinamičkog proračuna malog zrakoplova u poglavlju 3.9.7 urađen je i proračun

nestacionarnih koeficijenata za isti položaj središta mase 137.0=mh :

34.152.0

−=−=

α

α

&

&

m

Z

CC

25.326.1

−=

−=

mq

Zq

CC

Masene karakteristike zrakoplova su:

kgm .1088= 21693 mkgIY ⋅=

Rješenje

Ako zrakoplov leti horizontalno onda je Tααγϑ =+= jer je 0=γ , a motor je tako

postavljen da je u tom režimu leta pogonska sila u pravcu brzine leta. To znači da je u

referentnom letu (vidi primjer 8.1.7.2) potreban koeficijent uzgona 499.0=LC , a brzina leta

smV 1.53= .

Iz gornjih jednadžba za aerodinamičke koeficijente normalne sile i momenta

propinjanja, vidimo da su gradijenti po napadnom kutu:

72.4−=αZC

835.0−=αmC

U ravnotežnom letu je , a za željeni koeficijent uzgona gornje jednadžbe daju nam

ravnotežni napadni kut i kut otklona za koji se on ostvaruje:

0=mC


δα

δα

frav

mfrav

KK

⋅−−−=

⋅++=

577.0835.0001.00216.072.4247.0499.0

Dobivamo traženi ravnotežni napadni kut 03.30573.0 ==ravα

koji se ostvaruje s otklonom kormila visine . Taj otklon je u linearnom

području te je . Pretpostavimo da je postavni kut motora , onda je u

referentnom režimu . Pogonska sila jednaka je otporu. Prema odjeljku 5.2.6

, a otpor pri ravnotežnom napadnom kutu bit će

08.40846.0 −=−=mδ

1=fK

0ϑ

03.3== ravT αα

03.3== Tα

0259.00 =DC

0518.00259.022 0 =⋅=⋅= DD CC

NCSVT Dref 11100518.009.152

1.53007.12

20

2

=⋅⋅

==ρ

Da bismo odredili potrebne derivative aerodinamičkih koeficijenata u koordinatnom sustavu

letjelice, kao npr. C , korist ćemo se vezama između aerodinamičkih koeficijenata koje

smo izveli u odjeljku 2.1.3. U ovom slučaju nema bočnog gibanja pa su veze između

aerodinamičkih koeficijenata u uzdužnom gibanju:

αX

αLDX CCC +−=

U referentnom režimu je

0232.00573.0499.00518.00000 −=⋅+−=+−= αLDX CCC

Ovisnost aksijalne sile o napadnom kutu može se dobiti na sljedeći način:

α

α

LLD

LDX

CKCCCCC

+−−=

+−=2

0

Derivacijom po napadnom kutu dobivamo: 000000 2 ααα α LLLLX CCCKCC ++−=

Za izabranom referenti let dobivamo:

279.073.40573.0499.073.4499.0104.020 =⋅++⋅⋅⋅−=αXC

Napravljen je program u MATLAB-u pod imenom ABROOT.m koji se nalazi na CDu u

direktoriju Dinamicka\ stabilnost\uzduzna. S njim su dobivene matrice:

−−−−−−−

=

0100009801353.307621600670010609790074351006907937904945503640

..........

A

−−

=

03407.12079600.

B


Korijeni su karakterističnog polinoma matrice A :

i..si..si.si.s

237600108023760010809067.3446929067.344692

4

3

2

1

−−=+−=−−=+−=

Prema ovim rezultatima određene su periode :

• kratka perioda sT 61.19067.322

11 ===

πωπ ,

• duga perioda sT 4.262376.022

22 ===

πωπ

13.3 Prijenosne funkcije (open loop transfer function)

Izvedimo Laplaceovu transformaciju lineariziranih jednadžbi:

( )tdt

dmBXAX δ∆∆∆

+= 13.24

Tom transformacijom dobivamo (pod uvjetom da su početni poremećaji vektora stanja

jednaki nuli, što je zadovoljeno):

( ) ( ) ( )ssss mδ∆∆∆ BXAX += ,

odakle je

( ) ( ) ( )sss mδ∆∆ ⋅=⋅− BXAJ , 13.25

ili

( ) ( ) BAJX 1−−= ss

mδ∆∆ . 13.26

Odnos Laplaceove transformacije vektora stanja poremećaja prema Laplaceovoj

transformaciji otklona kormila visine nazivamo prijenosna funkcija po otklonu kormila

visine. Taj vektor ima četiri dimenzije

( ) [ ]Tqu mmmmmGGGGs ϑδδαδδδ =G

Ako gornju jednadžbu 13.25 napišemo u obliku

( ) BGJA −=⋅−m

s δ , 13.27

dobivamo linearni sustav algebarskih jednadžbi po prijenosnim funkcijama. Rješenje toga

sustava algebarskih jednadžbi daje nam četiri komponente vektora prijenosne funkcije :


[ ] ( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )sDs

sDsN

sDsN

sDsN

sDsNGGGG quT

qu mmmmm

NG =

== ϑα

ϑδδαδδδ

D je determinanta JA s−

( )q sN

, tj. karakteristični polinom matrice A, a polinomi

determinante su koje dobivamo kada u determinanti ( ) ( ) ( ) ( )[ Tu sNsNsNs ϑα=N ]

JA s− zamijenimo stupac uz varijablu sa stupcem matrice -B. Kako u stupcu koji

zamjenjujemo ima s, a u stupcu koji ga zamjenjuje -B nema s, nove determinante bit će

polinomi po s za jedan stupanj niži od polinoma

( )sN

( )sD .

Pomoću prijenosne funkcije možemo Laplaceovu transformaciju poremećaja prikazati

kao produkt prijenosne funkcije i Laplaceove transformacije otklona kormila visine:

( ) ( ) ( )sss mmδδ ∆⋅=∆ GX 13.28

Primjerice poremećaj napadnog kuta bit će:

( ) ( ) ( )ssGs mδ∆α∆ αδ ⋅= .

Isto tako bit će Laplaceova transformacija poremećaja svake druge varijable jednaka produktu

njene prijenosne funkcije i Laplaceove transformacije otklona kormila visine.

13.4 Odgovor na jedinični impuls (impulsive admittance)

Promatrajmo posebni slučaj otklona. Ako u trenutku 0=t zadamo otklon ( )tmδ∆ koji ima

jedinični impuls, nije važno kakva je to funkcija od vremena, samo je potrebno da

, ( ) 10

=⋅∫t

m dtt∆

δ∆

s tim da t∆ bude malo u odnosu na periodu kratkoperiodičnog moda (matematički je točnije

reći da ovaj integral teži k jedinici kada t∆ teži k nuli). Laplaceova transformacija jediničnog

impulsa jednaka je jedinici

( ) 1=smδ∆ ,

pa je Laplaceova transformacija izlaza

( ) ( ) ( ) ( )ssssmm m δδ δ GGX =∆⋅=∆ 13.29

jednaka prijenosnoj funkciji. Kada na ulazu imamo jedinični impuls otklona kormila visine,

izlaze veličine u realnom vremenu ( ) ( ) ( ) ( ) Tttqttu θ∆∆α∆∆[ ] označimo sa

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]Tqu ththththt ϑα=h .

Ti izlazi bit će jednaki inverznim Laplaceovim transformacijama od prijenosnih funkcija


( ) ( )[ ]sLtmδGh 1−= , 13.30

a ta inverzna transformacija može se dobiti primjenom Heavisideova teorema razvoja.

Imajući na umu da je ( ) ( )( )sDss

m

N=δG , dobit ćemo

( ) ( )

( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( ) .43

21

342414

4

432313

3

423212

2

413121

11

tsts

tsts

essssss

sessssss

s

essssss

sessssss

ssDsLt

−−−+

−−−+

+−−−

+−−−

=

= −

NN

NNNh

13.31

Ovu jednadžbu možemo napisati u obliku:

( ) tstststs eeeet 43214321 CCCCh +++=

Primjerice vektor konstanta uz e ima komponente 1C ts1

( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )413121

44

413121

31

413121

21

413121

11

sssssssNC

sssssssN

C

sssssssNC

sssssssNC

i

qq

uu

−−−=

−−−=

−−−=

−−−=

ϑ

αα

Tako možemo dobiti poremećaje svih varijabli stanja uzdužnog gibanja za slučaj kada

zadamo jedinični impulsni otklon kormila visine.

13.4.1 Primjer

Treba izračunati i nacrtati za zrakoplov iz prethodnog primjera odgovor u uzdužnom gibanju

na jedinični impuls otklona kormila visine.

Zadatak je riješen u MATLABu. Napravljen je program pod imenom Impuls.m", koji se

nalazi na CD-u u direktoriju "Dinamicka stabilnost\Uzduzna. Primijenili smo ga na

matrice A i B koje smo izračunali u prethodnom promjeru za mali zrakoplov. Iz dobivenih

rezultata na slikama 13-1, 13-2, 13-3 i 13-4 vidimo da su za poremećaje gibanja središta mase

i u∆ αϑγ ∆−∆=∆ dominantni dugoperiodični modovi, dok su za gibanje oko središta mase

α∆ dominantni kratkoperiodični modovi.


Slika 13-1 kao odgovor na jedinični impuls kormila visine ( )tu∆

Slika 13-2 ( )tα∆ kao odgovor na jedinični impuls kormila visine


Slika 13-3 kao odgovor na jedinični impuls kormila visine ( )tq∆

Slika 13-4 ( )tϑ∆ kao odgovor na jedinični impuls kormila visine


13.5 Odgovor na jedinični odskok (indicial admittance)

Ako je u realnom vremenu otklon kormila visine jedinični odskok

, 13.32

>≤

=0100

tt

mδ∆

onda je njegova Laplaceova transformacija ulaza

( )s

sm1

=δ∆ . 13.33

Izlaz iz linearnog sustava:

( ) ( ) ( )sss mmδδ ∆⋅=∆ GX

Kako je prijenosna funkcija poremećaja po otklonu kormila visine

( ) ( )( )sDss

n

NG =δ , 13.34

bit će izlaz u realnom vremenu za poremećaj:

( ) ( )( )

⋅=∆ −

sDssLt NX 1 13.35

( )sDs ⋅ je polinom petog reda koji ima četiri korijena karakteristične jednadžbe i peti korijen

jednak nuli: , a 0i4321 =5ss,s,s,s ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]Tqu sNsNsNsNs ϑα=N su poznati

polinomi trećega reda. Primjenom Heavisideova teorema bit će

( )( )( )( )

( )( )( ) ( )

( )( ) ( )( )

( )( )( )( )

( )43214342414

4

2313343

3

1224232

2

1413121

1

043

21

sssse

sssssssse

ssssssss

esssssss

sesssssss

s

tsts

tsts

NNN

NNX

+−−−

+−−−

+

+−−−

+−−−

=∆

13.36

Usporedimo ovo rješenje s onim koje smo dobili kao zbroj homogenog i partikularnog

rješenja kada je otklon kormila visine na jedinični odskok

13.37 KCX +=∆ ∑=

4

1i

tsi

ie

Izjednačavanjem ova dva rješenja dobivamo

( )( )( )( )

( )( )( )( )4232122

22

4131211

11

ssssssss

ssssssss

−−−=

−−−=

NC

NC


( )( )( )( )4323133

33 sssssss

s−−−

=NC 13.38

( )( )( )( )( )

4321

3424144

44

0ssss

ssssssss

NK

NC

=

−−−=

13.5.1 Primjer

Treba odrediti izlaz poremećaja varijabli stanja uzdužnog gibanja ako je ulaz jedinična

odskočna funkcija otklona kormila visine za laki zrakoplov kao iz prethodnog primjera.

Program je napisan u MATLAB-u pod imenom Odskok.m, a nalazi se na disketi u

direktoriju "Dinamicka stabilnost\Uzduzna ". Isti rezultati mogu se dobiti u MATLAB-u

pomoću rutine LSIM. To je sistemski program koji obavlja numeričku integraciju

diferencijalnih jednadžbi . Program koji poziva tu rutinu naziva se Odsk.m.

Nalazi se također na CD-u u istom direktoriju. Dobiveni dijagrami nacrtani su na slikama 13-

5, 13-6, 13-7 i 13-8.

BeAXX +=&

Slika 13-5 na jedinični odskok kormila visine ( )tu∆


Slika 13-6 ( )tα∆ na jedinični odskok kormila visine

Slika 13-7 na jedinični odskok kormila visine ( )tq∆


Slika 13-8 ( )tϑ∆ na jedinični odskok kormila visine

Prvo uočimo da su poslije nekoliko dugih perioda poremećaji , u∆ α∆ i ϑ∆

konstantni i različiti od nule, dok je poremećaj 0=∆q . To znači da je letjelica prešla u drugi

ravnotežni let. Ta konstantna vrijednost na primjer za α∆ predstavlja razliku između

prvobitnog ravnotežnog leta i ovog drugog u kojem se nalazi poslije smirivanja.

13.6 Odgovor na harmonijsku pobudu

Posebno je zanimljiv odgovor letjelice ako je ulaz sinusna funkcija zato što se proizvoljan

otklon u funkciji vremena može uvijek spektralnom analizom prikazati kao zbroj sinusnih

funkcija različite učestalosti i amplitude.

Promatramo odgovor letjelice na sinusnu promjenu otklona kormila visine konstantne

učestalosti i jedinične amplitude. Pri tome ne promatramo početak gibanja letjelice već

ustaljeno uzdužno gibanje, jer je početni dio opterećen prijelaznim procesom koji se bolje

izučava odskočnim ulazom. Pretpostavljamo da je uzdužno gibanje stabilno, tj. da su realni

dijelovi korijena negativni.

Neka je ulaz


( ) tim et ωδ∆ = 13.39

Laplaceova transformacija ovog ulaza je

( )ω

δ∆is

sm −=

1 , 13.40

pa je odgovor letjelice

( ) ( )ω

∆isss

−=

GX . 13.41

Potražimo odgovor u realnom vremenu, tj. inverznu transformaciju ovog odgovora letjelice.

Kako je ( ) ( )( )sDss NG = bit će

( ) ( )( ) ( )

⋅−

=∆sDis

sLtωNX 1' . 13.42

Polinom ( ) sDis ( )ω−

( )sD

petoga je reda i ima četiri korijena ista kao i karakteristični

polinom i još jedan korijen koji je imaginaran

4321 ,,, ssss

ωis =5 . Zato primjenom Heavisideova

teorema razvoja dobivamo:

( ) ( )( )( )( )( )

( )( )( )( )( )

( )( )( )( )( )

( )( )( )( )( )

( )( )( )( )( )

ti

tsts

tsts

esisisisi

i

eisssssss

seisssssss

s

eisssssss

seisssssss

st

ω

ωωωωω

ωω

ωω

4321

4342414

4

3432313

3

2423212

2

1413121

1

43

21

−−−−+

+−−−−

+−−−−

+

+−−−−

+−−−−

=∆

N

NN

NNX

13.43

Kako smo uvjetovali da se radi o stabilnoj letjelici, realni dijelovi korijena

moraju biti negativni pa prva četiri člana na desnoj strani iščezavaju poslije određenog

vremena pa na desnoj strani ostaje samo peti član koji predstavlja ustaljeni izlaz, dok prva

četiri predstavljaju prijelazni proces koji nas ovdje ne zanima.

4321 ,,, ssss

( ) ( )( )( )( )( )

tiesisisisi

it ω

ωωωωω

4321 −−−−=∆

NX 13.44

Kompleksna amplituda može se prikazati u obliku trigonometrijskog broja. Npr. za napadni

kut bit će

( ) ( ) ( )ϕωωα += tieKt∆ 13.45

gdje je

( )( )( )( )( ) ( ) ( )ωϕα ω

ωωωωω ieK

sisisisiiN

=−−−− 4321

.


To znači da je ustaljeni izlaz pri harmonijskoj pobudi također harmonijska funkcija, ali koja

ima amplitudu ovisnu o veličini periode pobude, a periodičnost ima vremenski pomak

unaprijed za kut ϕ koji je također funkcija od veličine periode pobude.

13.6.1 Primjer

Za slučaj malog zrakoplova iz prethodnih primjera treba usporediti pojačanje na odskočni

otklon s pojačanjem na sinusni otklon kormila visine. Napravljen je program u MATLAB-u

pod pod imenom Odziv.m, u direktoriju Dinamicka stabilnost\Uzduzna na disketi. Kao

što se moglo očekivati, pri malim učestalostima pojačanje je jednako pojačanju na odskok.

Slika 13-9 Pojačanje ovisno o ω otklona kormila visine

Nakon toga dostiže maksimalnu vrijednost pri ω koja odgovara imaginarnom dijelu manjega

korijena, tj. učestalosti dugoperiodičnog moda. To je rezonanca. Pri tim učestalostima

pojačanje je suviše veliko i opasno. Uočimo da se ona pojavljuje u okolini učestalosti

dugoperiodičnog moda. U okolini učestalosti kratkoperiodičnog moda analiza pokazuje da

nema nikakve rezonance.


Slika 13-10 Fazni pomak ovisno o ω otklona kormila visine

13.7 Ocjena kvalitete neposrednog upravljanja uzdužnim gibanjem

Vlastite vrijednosti matrice A (korijeni karakteristične jednadžbe) jedna su od objektivnih

ocjena kvalitete zrakoplova. Ta se ocjena provodi na osnovi veličina koje ovise o korijenima

karakteristične jednadžbe. Letovi se svrstavaju u tri kategorije: A, B i C, a u svakoj kategoriji

letova zrakoplovi se svrstavaju u tri klase. Klase su određene uvjetima koji se postavljaju

korijenim akarakteristične jednadžbe, a ti uvjeti ovise o kategoriji leta

U kategoriju A spadaju letovi tijekom kojih se izvode brzi manevri i čije putanje

moraju biti vrlo precizne, kao na primjer borbeni zrakoplovi koji ciljaju za vrijeme leta, ili

letjelice koje tijekom leta moraju pratiti konfiguraciju Zemljišta itd.

U kategoriju B uvrštavaju se letovi tijekom kojih nema zahtjeva za velikim

manevarskim sposobnostima niti za velikom točnosti putanja, ali ti zahtjevi mogu biti

postavljeni u blažoj formi, kao npr. za slučaj zrakoplova koji opskrbljuje gorivom u letu druge

zrakoplove, zatim letovi za vrijeme penjanja i spuštanja te letovi pri odbacivanju praznih

spremnika goriva itd.


U treću kategoriju C spadaju letovi tijekom kojih nema velikih manevarskih zahtjeva,

ali se zahtijevaju precizne putanje da bi zrakoplov mogao doći u neku određenu putanju, kao

što su zrakoplovi koji se pune gorivom u letu, bombardiranja, polijetanje i slijetanje itd.

Dugoperiodičnim modovima se ocjenjuje klasa zrakoplova prema parametru gušenje

ζ ili prema vremenu 2τ za sve kategorije letova.

Prva klasa zrakoplova ima gušenje 04.0>ζ

Druga klasa zrakoplova ima 0>ζ

Treća klasa zrakoplova može biti s negušenim modom ako je .552 s>τ

Kratkoperiodičnih modova ocjenjuju se parametrom gušenja koji ima tri klase ovisno

o kategoriji leta prema tablici 13-1. Ako je gušenje malo, onda zrakoplov može imati vrlo

neugodna njihanja, a ako je gušenje jako, tada zrakoplov može biti trom (lijen). To znači da

imamo i gornju i donju granicu gušenja kratkoperiodičnih modova.

Tablica 13-1 ζ za kratko periodične modove

Kategorija A i C Kategorija B Klasa

od do od do

I 0.35 1.30 0.30 2.00

II 0.25 2.00 0.20 2.00

III 0.15 - 0.15 -

Tablica 13-2

α

ωn

n2

Kateg. A B C

Klasa od do od do od do

I 0.28 3.6 0.085 3.6 0.16 3.6

II 0.16 10.0 0.038 10.0 0.096 10.0

III 0.16 - 0.038 - 0.096 -

Isto tako propisuju se prema tablici 13-2 granice za odnos prirodne frekvencije

22 ωδω +=n kratkoperiodičnih modova prema gradijentu normalnog opterećenja po

napadnom kutu


WCSV

n Lref αα

ρ 221

=

13.7.1 Primjer

Provedimo ocjenjivanje malog zrakoplova iz prethodnih primjera prema ovim kriterijima.

Za dugoperiodično gibanje faktor gušenja je pri najvećoj masi

046.0237.00108.0

0108.02222

=+

=+

=ωδ

δζ .

Ova vrijednost odgovara za prvu klasu zrakoplova jer je 040.0>ζ .

Slika 13-11

Međutim mali zrakoplov može imati razne vrijdnosti mase tijekom leta. Zato smo napravili

program Dugoperiodicni.m koji se nalazi u direktoriju Dinamicka stabilnost\uzduzna, s

kojim kontroliramo ovaj uvjet od maksimalne do minimalne mase. Taj program crta krivulju

( )mζ , a na slici 13-11 nacrtana je i vrijednost minζ od koje mora biti veće ζ bez obzira na

masu m. S kružićem "o" označena je točka s najvećem masom za koju smo izračunali gušanje.

S dijagrama vidimo da uvjet za prvu klasu nije zadovoljen kad je masa manja od 730 kg.


Parametar gušenja kratkoperiodičnog gibanja za najveću masu ima vrijednost

53.091.345.2

45.22222

=+

=+

=ωδ

δζ .

Prema kriteriju za kratkoperiodično gibanje za letove grupe A treba biti

3.135.0 << ζ

Taj uvjet zrakoplov ispunjava kada ima najveću masu. Pogledajmo pomoću programa

Kratkoperiodicni.m da li zrakoplov zadovoljava taj uvjet kada masa opada zbog potršnje

goriva ili zbog manjeg tereta. Program crta krivulju ( )mζ za kratkoperiodični mod i kao što

se vidi sa slike 13-12 uvjet je bolje zadovoljen kad je masa manja od maksimalne.

Slika 13-12

Konačno proverimo i uvjet za kratkoperiodične modove

6.328.02

<<α

ωn

n

Za maksimalnu masu bit će

61.4907.3447.2 2222 =+=+= ωδωn .

45.981,91088

72.406.151.530066.1 2212

21

=⋅

⋅⋅⋅⋅==

WCSV

n Lref αα

ρ


Traženi parametar ima vrijednost

25.245.961.4 22

==α

ωn

n

Prema kriteriju za kratkoperiodične modove, mali zrakoplov s maksimalnom masom, spada u

prvu klasu za letove A grupe. Pomoću programa Uvjeti.m pogledajmo da li pri manjim

masama zrakoplov ispunjava ovaj uvjet za kratkoperiodične modove. Rezultat toga programa

je slika 13-13 .

Slika 13-13

Vidimo da zrakoplov za sve vrijednosti mase od maksimalne do minimalne ispunajva uvjet za

kratkoperiodične modove.

Dinamička stabilnost bočnog gibanja 14-1

14 DINAMIČKA STABILNOST BOČNOG GIBANJA

14.1 Modovi bočnog gibanja

Cjelokupan sustav diferencijalnih jednadžbi poremećaja zrakoplova s elisnim pogonom bio je:

m

oooq

ooT

oou

n

ooorp

o

ooTo

ou

Zu

Z

Zugq

ZuZu

ZuZ

uZumu

TZ

u

Y

ugr

uY

puY

uY

gXumu

TXu

m

n

δ∆ϑ∆ϑ∆α∆∆

α

α∆


ϑ∆ϑα∆∆α

∆

α

δ

ααα

α

α

δβ

α

0000000000

0000

0

0

sinsin

cos1

coscos

&&&&&

&

&

&

−+

−−

−

++

−+

−

−=

++

+−++=

−+

−=

nrp

m

o

oq

o

q

ooT

oou

nrp

n

m

m

n

NNrNpNNr

ZuZM

M

qZuZu

MMZu

gMZuZMMu

Zumu

TZMq

LLrLpLLp

δδβ

δ

ϑϑ

α

α

δδβ

δδβ

α

δαδ

αα

α

α

α

ααα

αα

δδβ

∆+∆+∆+∆+∆=∆

∆

−++

∆

−

+++∆

−−∆

−

++∆−

−=∆

∆+∆+∆+∆+∆=∆

00000

00

00

0000

00

0

00

00

000

00000

sinsin

l

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

l

l

l

&

&

&

0

0

cos

tan

θψ

ϑ

ϑφ

rq

rp

∆=∆

∆=∆

∆+∆=∆

&

&

&

Prva, treća, peta i osma bile su jednadžbe uzdužnog gibanja koje smo proučili u prethodnom

poglavlju. Preostalih pet jednadžba

0

0

00000

00000

0000

0

0

cos

tan

cos1

θψ

ϑφ

δδβ

δδβ

δφϑββ

δδβ

δδβ

δβ

rrp

NNrNpNNr

LLrLpLLp

uY

ugr

uYp

uY

uY

nrp

nrp

n

ooorp

o

n

n

n

∆∆

∆∆∆

∆∆∆∆∆∆

∆∆∆∆∆∆

∆∆∆∆∆∆

=

+=

++++=

++++=

++

+−++=

&

&

&

&

&

l

l

l

l

14.1

odnose se na skretanje i valjanje. Možemo ih riješiti neovisno o uzdužnom gibanju, ali ova

dva gibanje (skretanje i valjanje) ne možemo rastaviti jer su im jednadžbe spregnute, tj.


moramo ih simultano rješavati. Zato ta dva simultana gibanja, skretanje i valjanje, zajednički

nazivamo bočno gibanje. Zadnja jednadžba definira kut skretanja letjelice, a on se ne

pojavljuje u prethodnim jednadžbama. Zato se ovaj sustav raspada na četiri + jedna

jednadžba. Prve četiri jednadžbe:

rp

NNrNpNNr

LLrLpLLp

uY

ugr

uYp

uY

uY

nrp

nrp

n

ooorp

o

n

n

n

∆+∆=∆

∆+∆+∆+∆+∆=∆

∆+∆+∆+∆+∆=∆

∆+∆+∆

+−+∆+∆=∆

0

00000

00000

0000

0

0

tan

cos1

ϑφ

δδβ

δδβ

δφϑββ

δδβ

δδβ

δβ

&

&

&

&

l

l

l

l 14.2

imaju varijable

[ ]Trp φβ ∆∆∆∆ ,

a petu varijablu ψ∆ ako je trebamo rješavamo naknadno. I ovdje smo dobili nehomogene

linearne diferencijalne jednadžbe oblika:

∆∆

+

∆∆∆∆

−

=

∆∆∆∆

nrp

rl

rp

n

n

n

NNLLuY

rp

NNNLLL

ug

uY

uY

uY

rp

dtd

δδ

φ

β

ϑ

ϑ

φ

β

δδ

δδ

δ

β

β

β

l

l

l

00

0

0tan1000

cos1

00

00

0

0

0

000

000

0

0

0

0

0

0

0

0

14.3

koje kraće pišemo

BeXAX += ∆∆dtd . 14.4

U toj matričnoj jednadžbi poremećaja bočnog gibanja, vektor stanja ima četiri komponente

, a vektor upravljanja [ Trp φ∆∆∆β∆∆ =X ] [ ]Tnδ∆δ∆ l=e , za razliku od uzdužnog

gibanja, ima dvije dimenzije. Matrica sustava i matrica upravljanja su

−

=

0tan1000

cos1

0

000

000

0

0

0

0

0

0

0

0

ϑ

θ

β

β

β

rp

rp

rp

NNNLLL

ug

uY

uY

uY

A

=

00

0

00

00

0

0

n

n

n

NNLLu

Y

δδ

δδ

δ

l

lB 14.5

Kao što vidimo matrica A je opet četvrtog reda pa je i karakteristična jednadžba bočnog

gibanja

0=− JA s 14.6

polinom četvrtoga reda kao i u slučaju uzdužnog gibanja:


14.7 ( ) 0012

23

34 =++++= dsdsdsdssD

Taj polinom ima četiri korijena Korijene određujemo u MATLAB-u na isti

način kao i u slučaju uzdužnog gibanja pomoću sistemskih rutina

4321 i,, ssss

( )

( ) ,psAp

rootpoly

==

gdje su p koeficijenti karakterističnog polinoma matrice A.

Homogeno rješenje je oblika:

14.8

=

ts

ts

ts

ts

rrrr

pppp

h

h

h

h

eeee

CCCCCCCCCCCCCCCC

rp

4

3

2

1

4321

4321

4321

4321

φφφφ

ββββ

φ∆∆∆

β∆

a možemo ga napisati u obliku:

14.9 tstststs eeee 4321432 CCCCX 1h +++=∆

Svakom korijenu, tj. svakom članu gibanja, odgovara jedan vektor konstanta, a to znači

da vektor uz član ima 4 konstante, tj.

tsie

iC tsie [ ]Tiripiii CCCC φβ=C , prva je u

jednadžbi za β∆ , druga u jednadžbi za p∆ , treća u jednadžbi za r∆ i četvrta u jednadžbi za

φ∆ .

Partikularni integral pX∆ tražimo u obliku konstantnog vektora za slučaj konstantnog

odskoka otklona lδ∆ i nδ∆ pa on mora zadovoljiti jednadžbu

eBXA ∆∆ += p0

u kojoj je vektor upravljanja konstantan. To znači da je e∆

14.10

Kao i u slučaju uzdužnog gibanja, uvodimo matricu aerodinamičkog pojačanja bočnog

gibanja

eBAXp ∆∆ 1−−=

BAK 1−−= 14.11

koja ima dva stupca svaki s četiri člana, jer imamo dva parametra upravljanja.

Konačno, bočno gibanje je zbroj homogenog i partikularnog integrala:

. 14.12

⋅+= ∑

= n

l

i

tsieδ∆δ∆

∆ KCX i

4

1


14.1.1 Primjer

Za laki putnički zrakoplov za koji smo odredili modove uzdužnog gibanja treba odrediti

modove bočnog gibanja. Potrebne karakteristike za bočno gibanje su

;77.809.15 2

mbmS

==

masene karakteristike:

kgm .1088= ; 21450 mkgI X ⋅= 23134 mkgI Z ⋅=

aerodinamičke karakteristike (vidi primjere 5.4.3, 5.5 i 5.4.4):

137.0119.0

0283.0317.0

==

−=

−=

nY

Yr

Yp

Y

CCCC

δ

β

0122.0

517.0

056.075.0

193.0

105.0

=

=

+=

−=

−=

nC

C

C

C

C

r

p

δ

δ

β

α

l

l

l

l

l

l

0721.0

0344.0

0604.0

0143.0

154.0

−=

−=

−=

=

=

nn

n

rn

pn

n

C

C

C

C

C

δ

δ

β

l

Zrakoplov leti horizontalno brzinom sm1.53V = pa je , pa je 03.3=== ravT ααϑ

0992.0056.03.573.375.0 =+⋅=rCl

Rješenje pomoću MATLAB-a dano je u programu koji se zove ABroot.m, a nalazi se

na CD-u u direktoriju "Dinamicka stabilnost\Bocna":

00.05771000.5981-0.14169.233602.12324.1309-13.6073-

0.18440.9927-0.0017- 0.1176-

= A

−−003230.40626.2

5810.19997.660508.00

= B

Korijeni su

0.0634 si3.0327- -0.3389si3.0327 -0.3389s

-4.2323= s

4

3

2

1

==

+=

Kao što vidimo iz ovog primjera bočno gibanje ima tri tipa korijena karakteristične jednadžbe:

• negativni realni korijen kome odgovara aperiodični mod,

• konjugirano kompleksni korijen kome odgovara gušeni harmonijski mod, tzv.

Dutch mod,

• jedan mali realni korijen koji može biti pozitivan kome odgovara aperiodični mod,

tzv. spiralni mod.


14.2 Prijenosne funkcije po otklonu kormila pravca ili krilaca

Općenito uzevši, analiza bočnoga gibanja po otklonu kormila pravca ista je kao analiza

uzdužnoga gibanja zbog otklona kormila visine. Međutim s obzirom na druge vrijednosti

matrica A i B rezultat analize je različit.

Laplace-ova transformacija linearnog sustava bočnog gibanja je

( ) ( ) ( )ssss eBXAX ⋅+⋅= ∆∆ . 14.13

Matrice A i B su konstantne (jednadžbe 14.5), a vektor upravljanja e ima dvije

komponente koje su Laplace-ova transformacija zadanih funkcija

( )s

( )tlδ∆ i ( )tnδ∆ . Zbog

linearnog karaktera odgovor na istodobne otklone kormila pravca i krilca bit će zbroj

odgovora na otklon samo kormila pravca i samo krilca. Zato ćemo te odgovore analizirati

odvojeno.

Pretpostavimo da nema otklona krilaca već je otklonjeno samo kormilo pravca. Tada

linearni sustav jednadžbi 14.13 ima oblik:

( ) ( ) ( )ssss nδ∆+∆⋅=∆ 2BXAX 14.14

gdje je matrica A

−

=

0tan1000

cos1

0

000

000

0

0

0

0

0

0

0

0

ϑ

θ

β

β

β

rp

rp

rp

NNNLLL

ug

uY

uY

uY

A 14.15

a matrica je drugi stupac od matrice B (jednadžba 14.5) 2B

=

0

0

0

0

0

2

n

n

n

NLuY

δ

δ

δ

B 14.16

Ako nema otklona kormila pravca ( ) 0=∆ tnδ , ali su otklonjena krilca onda je Laplace-ova

transformacija linearnog sustava bočnog gibanja

( ) ( ) ( )ssss lδ∆+∆⋅=∆ 1BXAX 14.17

Matrica A je ista kao i u prethodnom slučaju, ali matrica B je prvi stupac od matrice B. 1


14.18

=

0

0

0

0

1l

l

δ

δ

NL

B

U oba slučaja uvodimo prijenosne funkcije bočnog gibanja:

• po otklonu kormila pravca.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

T

nnnn

Trp

ss

ssr

ssp

ss

sGsGsGsGsnnnnn

∆∆

∆∆

∆∆

∆∆

=

==

δφ

δδδβ

δφδδδβδG

14.19

gdje su φβ ∆∆∆∆ i,, rp odgovori na otklon nδ∆ ,

• po otklonu krilca

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

T

nnnn

Trp

ss

ssr

ssp

ss

sGsGsGsGs

∆∆

∆∆

∆∆

∆∆

=

==

δφ

δδδβ

δφδδδβδ lllllG

gdje su φβ ∆∆∆∆ i,, rp odgovori na otklon lδ∆ .

14.20

Poslije smjene ( )( ) ( )sss

nn

δδGX

=∆∆ u jednadžbe 14.14 i ( )

( ) ( )sss

l

l

δδGX

=∆∆ u jednadžbu 14.17

dobivamo sustave algebarskih jednadžbi koji određuje prijenosne funkcije

( ) ( ) 2BGJA −=⋅− ssnδ 14.21

( ) ( ) 1BGJA −=⋅− sslδ 14.22

Rješenjem ovih sustava algebarskih jednadžbi dobivamo prijenosne funkcije

( ) ( )( )sD

ss nδ

δ

NG

n= 14.23

( ) ( )( )sD

ss nδ

δ

NG =

l 14.24

Polinomi ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ Trp sNsNsNsNs

nnnnn δφδδδβδ =N ] trećeg reda predstavljaju vrijednosti

determinanta koje dobivamo kada u determinantu sustava JA s− zamjenimo odgovarajući

stupac uz poremećaj sa stupcem (drugim stupcem matrice B) kome prethodno

promijenimo predznak.

2B


Isto tako dobivamo polinome ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]Trp sNsNsNsNslllll δφδδδβδ =N stim da

stupce u determinanti JA s− zamjenjujemo sa stupcem B . Uočimo da je determinanta

sustava

1

JA s− ista za otklone kormila pravca i krilca.

14.3 Odgovor na impuls kormila pravca ili krilaca

Kada znamo prijenosne funkcije lako je odrediti odgovor na neki određeni otklon kormila

pravca ili krilaca. Taj odgovor bit će u Laplace-ovom području

( ) ( ) ( )sss nnδδ ∆⋅=∆ GX

( ) ( ) ( )sss llδδ ∆⋅=∆ GX

Ako je ∆ ( ) 1=snδ , onda je

( ) ( )ssnδGX =∆ 14.25

ili ako je ∆ ( ) 1=slδ , onda je

( ) ( )sslδGX =∆ 14.26

Kao i u slučaju uzdužnog gibanja izlaze veličine u realnom vremenu ( )tX∆ zbog jediničnog

impulsa označimo sa

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]Trp shshshshs φβ=h .

One će biti jednake inverznim Laplace-ovim transformacijama od prijenosnih funkcija

( ) ( )[ ]sLtnδGh 1−= , 14.27

ili

( ) ( )[ ]sLtlδGh 1−= , 14.28

Te inverzne transformacije vršimo primjenom Heavisideova teorema razvoja. jer su

prijenosne funkcije, određene jednadžbama 14.23 i 14.24, pravi razlomci koji u brojniku

imaju polinome trećeg reda ili ( )sn

Nδ ( )slδ

1,s

N , a i nazivniku sve prijenosne funkcije imaju isti

polinom četvrtog reda čiji su korijeni . (sD ) 432 si, ss

( ) ( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( ) .43

21

342414

4

432313

3

423212

2

413121

11

tsts

tsts

essssss

sessssss

s

essssss

sessssss

ssDsLt

−−−+

−−−+

+−−−

+−−−

=

= −

NN

NNNh 14.29


Ukoliko tražimo odgovor na impuls kormila pravca treba uzeti polinome , a odgovor

na impuls krilaca dobivamo uvrštavanjem polinoma

( )sn

Nδ

( )slδN . U oba slučaja, imamo u realnom

vremenu odgovore na impuls kormila pravca ili krilca, u obliku

. 14.30 ( ) tstststs eeeet 43214321 CCCCh +++=

14.3.1 Primjer

Pogledajmo odgovore našeg malog zrakoplova čije smo korijene karakteristične jednadžbe

bočnog gibanja već odredili. Prvo ćemo analizirati odgovore na impulsi otklon kormila

pravca. Oni su određeni primjenom programa impuls.m, koji se nalazi na disketi u direktoriju

"Dinamicka stabilnost\Bocna", a koji je sličan onom koji smo koristili za uzdužno gibanje.

U programu matrica B ima dva stupca: prvi stupcu za slučaj otklona krilaca, a drugi za slučaj

otklona kormila pravca pa je zato za analizu odgovora na impuls kormila pravca potrebno

staviti parametar ib=2. Rezultati su prikazani dijagramima na slikama 14-1, 14-2, 14-3 i 14-4.

Slika 14-1 za jedinični impuls kormila pravca ( )tu∆


Slika 14-2 za jedinični impuls kormila pravca ( )tp∆

Slika 14-3 za jedinični impuls kormila pravca ( )tr∆


Slika 14-4 ( )tφ∆ za jedinični impuls kormila pravca

Slika 14-5 ( )tβ∆ zbog impulsa krilca


Slika 14-6 ( )tp∆ zbog impulsa krilca

Slika 14-7 ( )tr∆ zbog impulsa krilca


Slika 14-8 ( )tφ∆ zbog impulsa krilca

Za analizu odgovora na impuls krilca treba staviti u program ib=1. Rezultati su na slikama

14-5, 14-6 14-7 i 14-8. Kao što vidimo s ovih dijagrama Dutch mod dao je početne ali gušene

titraje, dok je spiralni mod (pozitivni korijen) uzrok stalnom porastu poremećaja poslije

gušenja Dutch moda. Srećom to povećanje poremećaja nije brzo te je pilot u mogućnosti

ručno ga korigirati.

14.4 Odgovor na odskok kormila pravca ili krilca

Ako tražimo odgovor na jedinični odskok kormila pravca ili krilaca. Laplace-ova je

transformacija od jediničnog odskoka je s1 , pa je u Laplace-ovom području

( ) ( )sss GX =∆

ili u realnom vremenu :

( ) ( )( )

⋅

=∆ −

sDssLt NX 1


s tim da treba uzeti polinome u slučaju odskoka kormila pravca, odnosno ( )sn

Nδ ( )slδN u

slučaju odskoka krilaca. Polinom ( )sDs ⋅ petog je reda koji ima četiri korijena od

karakteristične jednadžbe bočnog gibanja i peti korijen koji je jednak nuli

. Primjenom Heavisideova teorema bit će poremećaji bočnog gibanja u realnom

vremenu

432 sss1,s

05 =s

( )( )( )( )

( )( )( ) ( )

( )( ) ( )( )

( )( )( )( )

( )43214342414

4

2313343

3

1224232

2

1413121

1

043

21

sssse

sssssssse

ssssssss

esssssss

sesssssss

s

tsts

tsts

NNN

NNX

+−−−

+−−−

+

+−−−

+−−−

=∆

14.31

To rješenje možemo napisati u obliku

( ) ∑=

+=∆4.1i

tsi

ies KCX 14.32

I ako su rješenja po obliku ista za odskok kormila pravca i krilca, poremećaji bočnog gibanja

bit će različiti zato što smo polinome ( )sn

Nδ dobili pomoću stupca , a polinome 2B ( )slδN

pomoću stupca . Podsjetimo se, da su u oba slučaja korijeni isti, dva

kompleksno konjugirana korijena daju Dutch mod, jedan realan ali negativan daje aperiodičan

mod i konačno jedna realan i pozitivan, ali mali, daje spiralni mod u oba odgovora.

1B 432 sss1, s

14.4.1 Primjer

Za mali zrakoplov odredili smo odgovore na jedinični odskok kormila pravca i zatim i krilaca

pomoću programa otsk.m (nalazi se u istom direktoriju na CD-u). Rezultati su prikazani za

slučaj odskoka kormila pravca dijagramima na slikama 14-9, 14-10, 14-11 i 14-12. Program

je napravljen korištenjem naredbe LSIM iz MATLAB-a pomoću koje se definira jedan

linearni sistem tipa

( ) ( )sss eBXAX ⋅+∆⋅=∆⋅

u kome vektor upravljanja e ima dva stupca: prvi definira otklon krilaca na svakom koraku

integracije, a drugi otklon kormila pravca također u svakom koraku integracije. I u ovom

slučaju analizom poremećaja na odskok kormila pravca vidimo da poslije smirivanja Dutch

moda svi poremećaji polako rasu zbog spiralnog moda (pozitivni realni korijen).

S istim programom otsk.m analizirali smo i poremećaje bočnog gibanja zbog odskoka

krilca, a rezultati su prikazani na slikama 14-13, 14-14, 14-15 i 14-16.


Slika 14-9 ( )tβ∆ za jedinični odskok kormila pravca

Slika 14-10 ∆ za jedinični odskok kormila pravca ( )tp


Slika 14-11 za jedinični odskok kormila pravca ( )tr∆

Slika 14-12 ( )tφ∆ za jedinični odskok kormila pravca


Slika 14-13 ( )tβ∆ zbog odskoka krilca

Slika 14-14 ( )tp∆ zbog odskoka krilca


Slika 14-15 ( )tr∆ zbog odskoka krilca

Slika 14-16 ( )tφ∆ zbog odskoka krilca


Iako odksok krilaca ne bi trebao utjecati na kut klizanja vidimo da se zbog njega ipak pojavio

kut klizanja. Taj je kut vrlo mali tako da su posljedice male i spore, te ih pilot može bez

teškoće otkloniti. Isto tako loša posljedica pozitivnog korijena je i pojava kutne brzina

skretanja, koju pilot također može ručno poništiti. Međutim, odskok krilaca daje poslije

prijelaznog procesa kutnu brzinu valjanja koja raste s vremenom, a ona uzrokuje kut valjanja

koji još brže raste s vremenom. To znači da se ne može upravljati kutom valjanja. Očigledno

je da se željeni kut valjanja ne može postaviti otklonom krilaca, kao što se to može učinili s

napadnim kutom otklonom kormila visine. U slučaju napadnog kuta, upravljački moment,

stvoren otklonom kormila visine, povećava napadni kut, a s povećanjem napadnog kuta za

statički stabilne letjelice stvara se suprotan moment (efekt opruge) koji uravnotežuje

upravljački moment. I upravo u toj ravnoteži postižemo željeni napadni kut (ravnotežni

napadni kut). To se ne može postići pri valjnju jer ne postoji moment valjanja koji je

proporionalan kutu valjnja i suprotnog smjera (efekta opruge). U valjanju postoji samo

moment proporcionalan otklonu krilaca. Zbog toga direktnim otklonom krilaca ne možemo

postaviti željeni kut valjanja.

14.5 Odgovor na harmonijski otklon kormilom pravca ili krilaca

Tražimo odgovor letjelice na harmonijski otklon kormila pravca ili krilaca

. U oba slučaja Laplace-ovu transformaciju ove pobude je

( ) tin et ωδ =∆

( ) tiet ωδ =∆ l

ωis −

1

pa su poremećaji bočnog gibanja

( ) ( )ωisss

−=∆

GX .

s tim da uzmemo odgovarajući set prijenosnih funkcija po kormilu pravca ili krilaca. U

realnom vremenu poremećaji bočnog gibanja bit će određeni inverznom Laplace-ovom

transformacijom

( ) ( )( ) ( )

⋅−

=∆ −

sDissLt

ωNX 1 .

u kojoj opet trebamo uzeti odgovarajuće polinome ( )sn

Nδ za slučaj otklona kormila pravca,

odnosno u slučaju otklona krilaca. ( )slδN


Polinom u nazivniku ( ) ( )sDis ⋅− ω petoga je reda i ima četiri korijena ista kao i

karakteristični polinom bočnog gibanja ( )sD , a peti korijen je ωis = . Primjenom

Heavisideova teorema razvoja dobivamo:

( ) ( )( )( )( )( )

( )( )( )( )( )

( )( )( )( )( )

( )( )( )( )( )

( )( )( )( )( )

ti

tsts

tsts

esisisisi

i

eisssssss

seisssssss

s

eisssssss

seisssssss

st

ω

ωωωωω

ωω

ωω

4321

4342414

4

3432313

3

2423212

2

1413121

1

43

21

−−−−+

+−−−−

+−−−−

+

+−−−−

+−−−−

=∆

N

NN

NNX

14.33

Od četiri korijena karakteristične jednadžbe bočnog gibanja, jedan je realan i pozitivan i zbog

toga jedan od prva četiri člana na desnoj strani tijekom vremena raste, dok tri iščezavaju

(aperiodični mod i Dutch mod). Peti član

( ) ( )( )( )( )( )

tiesisisisi

it ω

ωωωωω

4321 −−−−=∆

NX

predstavlja mod bočnog gibanja zbog harmonijskog otklona kormila pravca. Kompleksna

amplituda ovog moda može se prikazati u obliku trigonometrijskog broja, pa taj mod ima

oblik

( ) ( ) tieK ωωϕω +⋅ . 14.34

Taj mod bit će u svakoj varijabli bočnog poremećaja. Vidimo da je on također harmonijska

funkcija. Njegova amplituda ovisi o kutnoj brzini pobude, a periodičnost moda ima vremenski

pomak unaprijed za kut također u funkciji kutne brzine. Pri tome svaka varijabla bočnog

gibanja ima svoje funkcije ( )ωK i ( )ωϕ . Zato što je amplituda pobude bila jedinična,

amplituda ( )ωK predstavlja pojačanje amplitude u odgovoru.

14.5.1 Primjer

Za mali zrakoplov pomoću programa odziv.m, koji se nalazi u direktoriju Dinamička

stabilnost \bocna na CD-u, nacrtane su na slikama 14-17 i 14-18 funkcije ( )ωK i ( )ωϕ za

kut skretanja (m=1). Na tim slikama vidimo da i ovdje postoji rezonanca u području periode

Dutch moda. Rezonanca postoji i na otklon kormila pravca i na otklon krilaca, ali je dva puta

veća na otklon kormila pravca. Međutim pri analizi uzdužnog gibanja rezonanca napadnog

kuta na otklon kormila visine bila je znatno veća.


Slika 14-17 Pojačanje kuta klizanja ( )ωK u funkciji kutne brzine pobude kormila pravca

Slika 14-18 Pomak kuta klizanja ( )ωϕ u funkciji kutne brzine kormila pravca


Slika 14-19 Pojačanje kuta ( )ωK klizanja na otklon krilca

Slika 14-20 Fazni pomak kuta klizanja ( )ωϕ na otklon krilca


Tamo je maksimalno pojačanjeza mali zrakoplov bilo reda veličine 45, dok je ovdje

maksimalno pojačanje za otklon kormila pravca oko 2.1, a za otklon krilaca 1.1.

14.6 Ocjena kvalitete direktnog upravljnja bočnog gibanja

Prvi kriterij odnosi se na ocjenu aperiodičnog moda (mod koji odgovara realnom negativnom

korijenu) upotrebljava se parametar vremenska konstanta. Kada je realni koren negativan,

recipročna vrijednost s promijenjenim predznakom korijena naziva se vremenska konstanta

moda. Ona pokazuje koliko brzo iščezava aperiodičan mod.

Tablica 14-1

Maksimalna vremenska konstanta maxτ

Razina kvalitete Kategorija

leta

Klasa

zrakoplova 1 2 3

A I, IV 1.0 1.4 10

II, III 1.4 3.0 10

B svi 1.4 3.0 10

C I, II-C, IV 1.0 1.4 10

II-L, III 1.4 3.0 10

U tablici 14-1 dane su prema [14, 17], dopuštene maksimalne vrijednosti za vremensku

konstantu moda. Te vrijednosti ovise ne samo o kategoriji letova (A, B i C vidi 13.7) već i o

klasifikaciji zrakoplova. Zrakoplovi se svrstavaju u četiri klase, s tim da se druga klasa dijeli

još u dvije pod klase:

• prvu klasu čine mali laki zrakoplovi;

• drugu klasu čine zrakoplovi srednje težine i srednje manevarske sposobnosti koji

se dijele u dvije pod klase:

o II-C (carrier operation)

o II-L (land operation)

• u trećoj klasi su teški zrakoplovi male do srednje manevarske sposobnosti;

• četvrtu klasu čine zrakoplovi velike manevarske sposobnosti.

Drugi kriterij kvalitete bočnog gibanja odnosi se na Duch mod (gušeno harmonijsko

gibanje) od kompleksno konjugiranih korijena. Ovisno o kategoriji leta, razini kvalitete i klasi

zrakoplova zahtijevaju se tri uvjeta:


• prvi uvjet minδ

• drugi uvjet ( )min22

min ωδω +=n

• treći uvjet minζ

Pregled ovih minimalnih vrijednosti dat je u tablici 14-2.

Tablica 14-2 Minimlani uvjeti za Duch mod

minδ minnω minζ Razina

kvalitete

Kategorija

leta

Klasa

zrakoplova -

I, IV 0.35 1.0 0.19 A

II, III 0.35 0.4 0.19

B svi 0.15 1.0 0.08

I, II-C, IV 0.15 1.0 0.08

1

C

II-L, III 0.15 0.4 0.08

2 sve svi 0.05 0.4 0.02

3 sve svi - 0.4 0.02

Konačno treći kriterij se odnosi na spiralni mod (mod od pozitivnog realnog

korijena), tj. onaj koji je nestabilan. Jasno je da on mora imati propisano minimalno vrijeme

za koje će udvostruči amplitudu. Te propisane vrijednosti za vrijeme udvostručenja amplitude

dane su u tablici 14-3 za razne razine kvalitete ovisno o klasi zrakoplova i kategoriji leta .

Tablica 14-3 Minimalno vrijeme udvostručavanja t min2

Razina kvalitete Klasa zra-

koplova

Kategorija

leta 1 2 3

A 12 12 4.0 I i IV

B i C 20 12 4.0

II i III svi 20 12 4.0


14.6.1 Primjer

Vremenska konstanta aperiodičnog moda iznosi

236.0232.411

1

==−

=s

τ

Prema postavljenom kriteriju, ova je vrijednost znatno ispod postavljene granice 00.1max =τ

za letove A s prvom klasom i najboljom kvalitetom zrakoplova. To je slučaj

Tri uvjeta za Dutch mod

Apsolutnu vrijednost realnog dijela korijena

339.0=δ ,

a prema kriterijima za letove A realni dio korena treba biti veći od za prvu klasu

zrakoplova. Znači da mali zrakoplov ne udovoljava tom uvjetu.

35.0

Modul korijena je

05.3033.3339.0 2222 =+=+ ωδ ,

a prema kriteriju on treba bti veći od 1, što je zadovoljeno

Faktor gušenja

111.005.3

339.022

==+

=ωδ

δζ

a prema kriteriju za letove A za zrakoplove prve klase taj faktor treba biti veći od 0.19. Ni

ovdje mali zrakoplov ne udovoljava tom zahtjevu

Međutim, za letove B, mali zrakoplov udovoljava sva tri uvjete za prvu klasu.

Konačno, spiralni mod (onaj koji je nestabilan, zbog realnog pozitivnog korijena) ima

vremensku konstantu

9.100634.0

2ln2ln

4

===s

t

što je iznad propisanog minimuma 12 s. na letovima A za prvu klasu zrakoplova.

Time smo provjerili uvjete samo u slučaju kada je masa maskisimalna, a režim leta

odgovara najvećem doletu. Potrebno je prevjeriti ove uvjete i za druge slučajeve. Zato smo

napravili program u MATLAB-u koji se zove uvjeti.m nalazi se na CD-u u direktoriju

Dinamicka stabilnost\bocna . Taj program provjerava sve ove uvjete od maksimalne mase

(četiri člana posade, puni spremnici goriva i najveća dozvoljena prtljaga) do minimalne mase

(prazan zrakoplov). Dijagrami dobiveni programom pokazuju da se u cijelom intervalu od

maksimalne do minimalne mase rezultati isti kao za maksimalnu masu.

Prilozi 1

A MAKSIMALNI UZGON KRILA Ovaj postupak procjene maksimalnog koeficijenta uzgona krila i napadnog kuta CL max α max

prema [18], razlikuje se za krila male vitkosti od postupka procjene za krila velike vitkosti.

Granica malih i velikih vitkosti krila A ovisi o Machovu broju kao i o obliku krila. B

( )[ ]A

Ma

CBLE

=−

+

3 1

1

2

1 λ cos Λ A.1

λ je suženje krila, odnos vršne prema korijenskoj tetivi krila, a LEΛ je strijela prednjeg

napadnog ruba krila. Eksperimentalna funkcija ( )C1 λ prikazana je na slici A-1

Slika A-1. Funkcija ( )C1 λ

Ako je krilo male vitkosti, tj. ako je A A B< ,onda je

( ) ( )

( ) ( )C f A f A M

f A f A Ma

L L y L

a

max

max

, ,

,

= ′ + ′′

= ′ + ′′

∆ ∆

∆α α

a A.2

Uz već objašnjeni parametar , koji predstavlja utjecaj oblika prednjeg ruba na maksimalni

koeficijent uzgona, pojavljuju se još dva parametra:

∆ y

( )

( ) LE

LE

ACA

Ma

ACA

Λ

Λ

tan1

1

cos1

2

21

+=′′

−+=′

A.3

U ovim parametrima pojavljuje se još jedna funkcija od suženja krila . Ona je

prikazana na slici A-2.

( )C2 λ

Prilozi 2

Slika A-2. Funkcija ( )C2 λ

Eksperimentalne funkcije i ovisno o ovim parametrima prikazane su na slikama A-3 i

A-4. Na tim dijagramima je

fL fα

Y∆ označeno s Dy.

Slika A-3. Funkcija ( )f AL y′, ∆

Funkcije i dane su dijagramima na slikama A-5 i A-6. ∆fL ∆fα

Za krila velike vitkosti, a to su krila koja imaju , koeficijent maksimalnog

uzgona krila za 0 zbroj je dvaju dijelova :

A A B>

maxLC 6.02. ≤≤ Ma

Prilozi 3

Slika A-4. Funckija ( )f Aα ′

Slika A-5. Funckija ( )∆f A MaL ′′,

Slika A-6. Funkcija ( )∆f A Maα ′′,

Prilozi 4

maxmaxmax LLL CCfC ∆+= ll A.4

• Prvi dio maxllCf L , koeficijent maksimalnog uzgona krila pri 2.0=Ma proporcionalan je

maksimalnom uzgonu profila krila. Koeficijent proporcionalnosti lLf ovisi o strijeli

napadnog ruba LEΛ i o parametru Y∆ . Ta ovisnost prikazana je na dijagramu slike A-7, a

koeficijent maksimalnog uzgona profila koji ovisi o relativnoj debljini maxlC ct prikazan

je na slici A-8.

Slika A-7. Funkcija ( )f fL L LEl l= Λ ∆, y

Slika A-8. Maksimalni koeficijent uzgona profila u ovisnosti o relativnoj debljini maxlC ct

Prilozi 5

• Drugi dio maxLC∆ predstavlja korekciju maksimalnog uzgona krila za . Ta

korekcija je negativna. Osim

∆M Ma= − 0 2.

Ma∆ ta korekcija ovisi o strijeli napadnog ruba LEΛ i o

parametru Y∆ .Ta ovisnost ( )LEYMaCL Λ∆∆∆ ,,max prikazana je na slici A-9.

Slika A-9.

Koeficijenti maksimalnog uzgona krila i napadnog kuta CL max α max , osim o vrijednosti ∆ y ,

ovise i o obliku krila (vitkosti krila A, suženja krila λ , strijele napadnog ruba krila ), o LEΛ

Prilozi 6

relativnoj debljini krila i o Machovu broju Ma. Napadni kut pri kome krilo ostvaruje

maksimalni uzgon je zbroj tri dijela:

maxmax

max α∆ααα

++=L

LOL C

C A.5

Prva dva člana predstavljaju linearni dio. Prvi je aerodinamička značajka krila i ako krilo nije

uvijeno, treći je prirast pri kojemu se dostiže maksimalni uzgon. Na slici A-10 prikazan je

dijagram pomoću kojega određujemo maxα∆ u ovisnosti o strijeli napadnog ruba LEΛ i o

parametru Y∆ .

Slika A-10.

Prilozi 7

B ATMOSFERA

B.1 Opće o atmosferi

Prema kemijskom sastavu Zemljinu atmosferu čine: dušik (70 %), kisik (21 %), vodena para

(≅3 %), vodik, ugljik i u veoma malim količinama plemeniti plinovi. Teško je reći dokle se

doseže atmosfera, jer gustoća zraka pada s visinom i na kraju je tako mala da se ne može reći

od koje visine više nema zraka. Obično se uzima da atmosfera prestaje na visinama od 2000

do 3000 km.

Cjelokupni Zemljin atmosferski omotač zemlje dijelimo na dva dijela:

- homosferu, koju čine tri sloja tropsfera, stratosfera i mezosfera. Temeljna značajka

homosfere je molekularno stanje plinova. Gornja granica homosfere je na 90 km visine.

- heterosferu, koju čine termosfera i egzosfera. U heterosferi počinju disocijacije

molekula plinova pod utjecajem kozmičkih zraka, tj. molekule su razbijene na atome.

Između ovih slojeva postoje prijelazni slojevi od nekoliko stotina metara. Ti prijelazni

slojevi imaju imena složena od imena prethodnoga sloja i nastavka “pauza”. Tako je

primjerice iznad troposfere tropopauzu, a iznad stratosfere je stratopauza itd.

Od svih tih slojeva zapravo nas zanima samo troposfera i iznimno i stratosfera. Troposfera

nije iste visine na svim geografskim širinama. Na našoj geografskoj širini ona doseže visinu

oko 11 km, a u blizini ekvatora i do 16 Km. Ta visina se također mijenja i s godišnjom dobi;

ljeti se povećava, a zimi smanjuje. U troposferi se nalazi oko 75 % ukupne mase atmosfere i

osnovni dio vodene pare. Bitno obilježje troposfere jest smanjenje temperature ovisno o

visini. Zimi i ljeti, poslije vedrih hladnih noći, mogu nastupiti inverzije temperature, kad

temperatura u početku raste s visinom, a onda od neke visine počinje opadati. U troposferi

mogu nastupiti značajna horizontalna, a rijetko i vertikalna strujanja zračne mase, koja

nazivamo vjetrovima. Horizontalni vjetrovi nastaju zbog razlike tlaka na raznim mjestima

Zemljine površine, dok su vertikalni vjetrovi posljedice prevelikih razlika temperature ovisno

s visini.

Stratosfera, sljedeći sloj, ima donju granicu na 11 km i gornju na približno 50 km.

Taj sloj ima konstantnu temperaturu do približno 30 Km. Od te visine do gornje granice sloja

temperatura raste. Promjena temperaturnog gradijenta između troposfere i stratosfere zbiva se

u uzanom međusloju od nekoliko stotina metara koji nazivamo tropopauza. U tom međusloju

javljaju se velika pomicanja zračne mase od zapada prema istoku brzine i do 110 m/s.

Prilozi 8

Voda u obliku vodene pare nalazi se u atmosferi kao jedna od njenih sastavnica smeše.

Nazivamo je vlaga i mjerimo je obično u postocima (najviše do 4 % ). Vlaga naglo opada s

visinom. Najveći dio cjelokupne vlage nalazi se u donjemu graničnom sloju atmosfere.

Konkretno, 60 % od ukupne vodene pare na sjevernoj polusferi je do 2 km visine, a 99 % do

10 km. To znači da vlagu postoji zapravo samo u troposferi.

B.2 Ubrzanje Zemljine teže

Zemljina površina ima oblik geoida. U mehanici leta taj se oblik obično zamjenjuje sfernim

oblikom. U standardu ISO 5878 dani su polumjeri geoida r u zavisnosti od geografske širine

ϕ. Kada se Zemljin geoid zamijeni sa sferom, onda se uzima polumjer

kmR 6357= . B.1

Atmosferu izučavamo u odnosu na zemlju. Zato je sila koja djeluje na element mase dm na

visini h od razine mora i na geografskoj širini ϕ, vektorski zbroj gravitacijske sile i sile

tromosti uslijed rotacije Zemlje. Gravitacijska sila koja djeluje na elementarnu masu, ako je

Zemlja smatramo sfernim oblikom polumjera R, bit će:

dm

RhR

M22

1

1

+

γ B.2

i ona je u pravcu od središta mase dm do središta zemlje, sa smjerom od središta mase dm

prema središtu Zemlje.

Sila tromosti posljedica je koordinatnog sustava vezanog za Zemlju u odnosu na koji

promatramo atmosferu. Po pravcu okomita je na osu zemlje, po smjeru od Zemljine osi, a

njen je intenzitet

( )Ω 2 R h dm+ cos ϕ

Rezultantu tih dviju sila nazivamo sila Zemljane teže. Jasno je da ubrzanje rezultante tih sila

ne prolazi kroz središte Zemljinog geoida, a intenzitet tog ubrzanja složena je funkcija od ϕ i

h. Tu funkciju s dovoljnom točnošću za geografske širine oko 45o zamjenjujemo

jednadžbom:

( ) ( )2

1,

+

=

Rh

fghg N ϕ

ϕ , B.3

gdje je

Prilozi 9

80616.9=Ng B.4

( ) ( )ϕϕϕ 2cos0000059.02cos0026372.01 2+−=f B.5

Drugim riječima, za visinu mora (h=0) ubrzanje sile Zemljine teže je , a za geografsku

širinu , ubrzanje je

( )g fN ϕ

045=ϕ 280616.9 smg N = . Za područja bliže ekvatoru ili polovima

Zemlje treba pogledati standard ISO 5878. Radi lakšega izučavanja promjena tlaka u

atmosferi, uvodi se geopotencijalna visina. Po definiciji geopotencijalne visine H bit će

( )dhhgdHg N ϕ,=

Kako je

( ) ( )2

1,

+

=

Rh

fghg N ϕ

ϕ ,

bit će diferencijal geopotencijalne visine

( )dh

Rh

fgdHg N

N 2

1

+

=ϕ

.

Ako je ishodište geopotencijalne visine isto kao i ishodište realne visine (razina mora) postoji

veza između realne i geopotencijalne visine:

( ) h

Rh

fH+

=1

ϕ B.6

i

( )

RHf

Hh−

=ϕ

B.7

B.3 Značajke vlažnog zraka

U mehanici leta potrebne su nam temeljne fizičke značajke zraka - gustoća, brzina zvuka u

zraku, temperatura, tlak i vjetar. Sve te značajke zraka izučavaju na razini Međunarodne

meteorološke organizacije. Za mjerenje atmosfere postoji niz meteoroloških stanica koje su

postavljene na raznim mjestima Zemljine površine. Ispitivanja se obavljaju pomoću složenih

meteoroloških uređaja kojima su opremljeni sondažni baloni, specijalni zrakoplovi, sondažne

rakete te sateliti. Rezultati mjerenja se prikupljaju s raznih strana svijeta, obrađuju i objavljuju

u obliku međunarodnih meteoroloških standarda

Prilozi 10

Navest ćemo bitne značajke tih ispitivanja koja nas posebno zanimaju u mehanici leta

Zrak je smijesa: dušika, kisika, vodika, ugljičnogdioksida, vodene pare i plemenitih

plinova. Isključimo li problem onečišćenja zraka u gradovima i industrijskim središtima, svi

sastojci zraka, osim vodene pare (pa i ugljinogdioksida i sumporovodika), u stalnom su

međusobnom omjeru i čine suhi zrak. Ta činjenica da je suhi zrak uvijek istoga sastava

omogućava nam da ga smatramo kao jednu sastavnicu vlažnog zraka, a druga je vodena para.

Utvrđeno je da se suhi zrak ponaša kao idealni plin čija je plinska konstanta

( )kgKJR 0053.287= . B.8

Odnos kgJ ima dimenziju brzine na kvadrat, te možemo također napisati da je dimenzija

plinske konstante ( ) ( )[ ]KsmkgKJ 0220 ⋅= . Zato u anglosaksonskim jedinicama plinska

konstanta ima dimenziju brzine na kvadrat po stupnju temperature:

( )RsftR 0221716= B.9

Isto tako i vodena para se može promatrati kao idealni plin čija je plinska konstanta

RRV 58

= . B.10

U zraku oko nas pomiješani su suhi zrak i vodena para. Taj omjer vodene pare prema suhom

zraku je vrlo promjenljiv. Zato vlažan zrak promatramo kao smjesu koja je okarakterizirana

omjerom vlage prema suhom zraku.

Na vlažan zrak možemo primijeniti d’Alambertov zakon o parcijalnim tlakovima.

Neka je na temperaturi T u volumenu V smjesa plinova ma + mv (ma je masa suhog zraka, a

mv masa vodene pare). Totalnim tlakom nazivamo tlak p na kome se nalazi smjesa u

volumenu V i na temperaturi T. Ako je masa jedne komponente plinske smjese sama u tojm

istom volumenu smjese i na toj istoj temperaturi smjese T, onda će ona biti na parcijalnom

tlaku. Po d’Alambertovu zakonu, zbroj parcijalnih tlakova jednak je ukupnom tlaku. S pa

označimo parcijalni tlak suhog zraka, a s e’ parcijalni tlak vodene pare:

epp a ′+=

Jednadžbe stanja komponenata suhog zraka i vodene pare kao idealnih plinova uzete u istom

volumenu V i na istoj temperaturi T, kao i smjesa ma + mv , jesu

TRmVeRTmVp

vv

aa

=′=

Budući da je R v =85

R druga jednadžba može se transformirati u oblik

Prilozi 11

RTmVe v=′85 .

Zbrajanjem prve i druge transformirane jednadžbe te imaju na umu da je

,V

mmepp

Va

a

+=

′−=

ρ

dobivamo

.

831

T

pe

Rp

′−

=ρ B.11

Iz ove jednadžbe zaključujemo da, vlažan zrak možemo promatrati kao idealan plin

TR

p

s

=ρ B.12

samo što vlažan zrak ima plinsku konstantu RS koja ovisi o odnosu parcijalnog tlaka vodene

pare prema totalnom tlaku smjese ′e p :

pe

RRs ′−

=

831

B.13

To znači da i brzinu zvuka možemo odrediti pomoću jednadžbe za idealne plinove samo što

treba uvest plinsku konstantu vlažnog zraka

TkRa s= ; B.14

k je odnos specifične topline pri konstantnom tlaku i konstantnom volumenu:

4.1== vp cck B.15

Gustoća ili specifična masa zraka ρ kao i brzina zvuka veličine su koje nam

trebaju u dinamici leta. One se ne mjere, već računaju na osnovi izmjerenih vrijednosti u

atmosferi: temperature T, totalnog tlaka p i relativne vlažnosti

a

pe′ . Izmjerenu temperaturu T

pomoću izmjerene relativne vlažnosti pe′ pretvorit ćemo u fiktivnu temperaturu τ i s njom

ćemo računati tražene vrijednosti koristeći plinsku konstantu suhoga zraka

Za vlažan zrak kaže se da je zasićen pri danoj temperaturi i tlaku ako u zraku ima

toliko vlage da voda ne može više isparavati na toj temperaturi i pri tom tlaku, tj. vodena para

u vlažnom zraku i voda su u relativnoj ravnoteži. U intervalu od -200 do +300 C možemo

koristiti empirijsku formulu za parcijalni tlak vodene pare u zasićenom vlažnom zraku izražen

u milibarima (10 ) . Pa5−

Prilozi 12

′ =−

−

e

AT BT CW 6107. exp , B.16

gdje su

T <273 >273

A 21.87 17.27

B 5972. 4714.

C 7.50 35.7

Dobiveni broj Pa parcijalnog tlaka vlage u zasićenom zraku možemo preračunati u

anglosaksonske jedinice koristeći relaciju 3386 HginPa .1= . U meteorološkoj praksi,

najčešće se koristi relativna vlažnost U koja predstavlja postotak parcijalnog tlaka vodene

pare u odnosu na parcijalni tlak vlage u zasićenom vlažnom zraku (pri istoj

temperaturi i tlaku vlažnoga zraka):

′e ′eW

UeeW

=′′

100 B.17

B.4 Vertikalna ravnoteža

Ovisnost tlaka o visini zasniva se na hipotezi o vertikalnoj ravnoteži atmosfere. Prema toj

hipotezi, težina horizontalnog sloja zraka elementarne debljine dh i proizvoljne površine A

uravnotežava se razlikom sila tlaka s donje Ap i gornje strane A(p + dp) na istu površinu A.

( )dppApAdhAg +−=ρ

ili

dhgdp ρ−= .

U ovoj jednadžbi promjenljiva je s visinom ne samo gustoća zraka ρ već i ubrzanje sile

Zemljišne teže g. Zato uvodimo na mjesto realne visine h geopotencijalnu visinu H. Prema

definiciji o geopotencijalnoj visini, dHggdh N= , te je diferencijalna promjena tlaka obzirom

na geopotencijalnu visinu

dHgdp N ρ−= .

Uzima se da je 280665.9 smg N = ili u anglosaksonskim jedinicama 2174.32 sftgN = .

Gustoću možemo izraziti pomoću jednadžbe stanja vlažnog zraka

TRp

s

=ρ ,

Prilozi 13

u kojoj je

.

831

pe

RRs ′−

=

Oznaka treba nas podsjetiti na to da je riječ o plinskoj konstanti smjese koju čini suhi zrak

i vodena para, a

sR

′ pe odnos parcijalnog tlaka vlage prema totalnom tlaku vlažnog zraka. Tako

dobivamo promjenu tlaka ovisno o visini:

T

dHRg

pdp

S

n−= B.18

Integracijom od visine na kojoj je tlak do visine H na kojoj je tlak dobivamo

promjenu tlaka s visinom za poznatu ovisnost temperature o visini:

H 0 p0 ( )p H

( ) ( )

−= ∫

H

H SN HTR

dHgpHp0

exp0 B.19

To znači da možemo odrediti tlak na visini H ako znamo promjenu temperature T s visinom

H, ali i vrijednost tlaka na visini . Obično uzimamo da je razina mora od koje

mjerimo visinu, te je .

op

0=

0H 0H

0H

U praksi pri sondaži atmosfere usvaja se hipoteza o vertikalnoj ravnoteži, te se ne mjeri

promjena tlaka s visinom, već je računamo na temelju izmjerene temperature na raznim

visinama. Zato je i plinska konstanta vlažnog zraka promjenljiva s visinom , a kako je

poznat tlak pri zemlji ova jednadžba omogućuje da odredimo tlak u ovisnosti o visini. Još

je zanimljivije to što možemo obrnuto mjerenjem temperature, tlaka i relativne vlažnosti

pomoću ove jednadžbi dobiti visinu mjerenja.

(HRs )

op

B.5 Standardna atmosfera

Iz svakodnevnoga života znamo da se stanje atmosfere značajno mijenja u ovisnosti o

klimatskim uvjetima, godišnjim dobima, visini pa i tijekom jednog dana. Budući da

aerodinamičke karakteristike letjelica bitno ovise o gustoći zraka i brzini zvuka, proračuni se

u dinamici leta izvode za standardne (normalne) meteorološke uvjete. Ti standardni

meteorološki uvjeti odgovaraju srednjim vrijednostima mjerenja u duljim razdobljima i na

raznim mjernim mjestima. Oni čine tzv. standardnu, normalnu ili referentnu atmosferu.

Utjecaj odstupanja meteoroloških uvjeta od normalnih veličina na let izučava se u teoriji

poremećaja. Međunarodna organizacija za standardizaciju usvojila je tipične atmosfere u

Prilozi 14

ovisnosti o geografskoj širini (ISO 5878). Te tipične atmosfere obuhvaćaju zakonitost

promjene najvažnijih parametara do visine 80 km. One se uzimaju u obzir pri proračunu

performansi i projektiranju letjelica, pri obradi geofizičkih i meteoroloških podataka, za

prikazivanje rezultata ispitivanja letjelica pod istim uvjetima. U tipičnoj atmosferi određena je

promjena parametara atmosfere ovisno o visini. Međunarodna organizacija za standardizaciju

propisala je standardnom atmosferom tipičnu atmosferu koja vrijedi za geografsku širinu ϕ =

450.

U standardnoj atmosferi zadane su promjene temperature T sa visinom H. U

troposferi, od 0 do 11 km, u ISO standardima tj. za temperaturu u Kelvinovim stupnjevima

[ ]K0 i za visinu u metrima [ : ]m

HHTT N ⋅−=+= 0065.015.2880 β , B.20

a u anglosaksonskim jedinicama kad je temperatura u Reaumurovim stupnjevima [ ]R0 i

visina i u stopama , [ ]ft

HT ⋅−= 00035745.0519 B.21

U toj standardnoj atmosferi nema vlage i vlada vertikalna ravnoteža. U tim uvjetima u

troposferi (do visine 11 km), rješenjem integrala koji daje vertikalna ravnoteža, dobivamo

zakon promjene tlaka s visinom:

ββ R

g

NN

n

HT

pp−

+=

00 1 B.22

• u ISO jedinicama (tlak u i visina u [Pa] [ ]m )

256.5

100002256.01101325

−⋅=

Hp , B.23

• a u anglosaksonskim jedinicama (visina u [ ]ft )

256.5

0 100000688.01

−⋅=

Hpp . B.24

gdje je [ ] [ ]22.2116.92.29 ftlbHginpo == .

U stratosferi (od 11 Km visine do 20 Km), temperatura je konstantna

, B.25 RKT 00 0.3906.216 ==

Prilozi 15

te integracijom dobivamo diferencijalne jednadžbe vertikalne ravnoteže od donje granice

stratosfere do bilo koje visine u stratosferi:

( )

⋅−

−=

−= ∫

0

0

0

0

0expexpH

NH

H

HNH TR

HHgpHRT

dHgpp B.26

• u ISO sustavu (visina u metrima, a tlak u paskalima)

−−⋅=

1000110001577.0exp22632 Hp , B.27

• ili u anglosaksonskim jedinicama (visina u [ ]ft )

−

−⋅=1000

3608904806.0exp36089

Hpp . B.28

a tlak se može mjeriti u [ ]2ftlb ili u [ ]Hgin. . U prvom slučaju je tlak između

troposfere i stratosfere [ ]2ft36089 7.472 lbp = , a u drugom [ ]Hginp .684.636089 = .

Gustoća zraka i brzina zvuka ovisno o visini izračunavaju se za standardnu atmosferu po

jednadžbama:

• u ISO jedinicama (gustoća u [ ]3mKg , tlak u [ ]Pa , temperatura u [ ]K0 ) imaju oblik:

NN

N

NN

Ta

Tp

⋅=

⋅=

05.20

003484.0ρ B.29

Na razini mora te jednadžbe daju:

smamkg

N

N

3.340225.1

0

30

==ρ

B.30

• u anglosaksonskim jedinicama (gustoća u [ ] [ ]423 ftslbftslug ⋅= , tlak u [ ]2ftlb ,

temperatura u [ ]R0 ) te jednadžbe imaju oblik

,02.49

10826.5 4

NN

N

NN

Ta

Tp

⋅=

⋅⋅= −ρ B.31

što na razini mora daje:

sfta

ftslug

N

N

4.11163769.2

0

30

==ρ

B.32

Prilozi 16

Na mnogim zrakoplovima instrument za mjerenje tlaka ima skalu u [ ]Hgin. . Pri tome treba

imati na umu da je [ ] [ ] PaftlbHgin 1013252.2116.92. 2 ==29

Konačno, u normalnim uvjetima postoji veza između tlaka i temperature koju

dobivamo eliminiramo visinu iz jednadžbi za promjenu tlaka i temperature. U troposferi je

promjena tlaka s obzirom na visinu dana jednadžbom

ββ Rgn

HT

pp−

+=

00 1 ,

a temperature

HTT ⋅+= β0 .

Eliminacijom visine dobivamo jednadžbu po kojoj svakom tlaku odgovara određena

temperatura.

ng

R

ppTT

β−

=

00 B.33

U sustavu ISO jedinica ta jednadžba ima oblik

1903.0

10132515.288

⋅=

pT . B.34

Prilozi 17

STANDARDNA ATMOSFERA ISO 2533

H T p ρ a ν [m] [K] [N/m2] [Kg/m3] [m/s] [m2/s]

0 288.1 101325. 1.2250 340.3 0.146E-4 200 286.9 98946. 1.2017 339.5 0.148E-4 400 285.6 96612. 1.1787 338.8 0.151E-4 600 284.3 94323. 1.1560 338.0 0.153E-4 800 283.0 92078. 1.1337 337.2 0.156E-4

1000 281.7 89877. 1.1117 336.4 0.158E-4 1200 280.4 87719. 1.0900 335.7 0.161E-4 1400 279.1 85603. 1.0687 334.9 0.163E-4 1600 277.8 83528. 1.0476 334.1 0.166E-4 1800 276.5 81495. 1.0269 333.3 0.169E-4

2000 275.2 79502. 1.0066 332.5 0.171E-4 2200 273.9 77549. 0.9865 331.7 0.174E-4 2400 272.6 75635. 0.9667 331.0 0.177E-4 2600 271.3 73760. 0.9473 330.2 0.180E-4 2800 270.0 71923. 0.9281 329.4 0.183E-4

3000 268.7 70122. 0.9093 328.6 0.186E-4 3200 267.4 68359. 0.8907 327.8 0.189E-4 3400 266.1 66632. 0.8724 327.0 0.193E-4 3600 264.8 64940. 0.8545 326.2 0.196E-4 3800 263.5 63284. 0.8368 325.4 0.199E-4

4000 262.2 61662. 0.8194 324.6 0.203E-4 4200 260.9 60074. 0.8022 323.8 0.206E-4 4400 259.6 58519. 0.7854 323.0 0.210E-4 4600 258.3 56997. 0.7688 322.2 0.214E-4 4800 257.0 55508. 0.7525 321.4 0.217E-4

5000 255.7 54050. 0.7365 320.5 0.221E-4 5200 254.4 52623. 0.7207 319.7 0.225E-4 5400 253.1 51228. 0.7052 318.9 0.229E-4 5600 251.8 49862. 0.6899 318.1 0.233E-4 5800 250.5 48526. 0.6749 317.3 0.237E-4

6000 249.2 47219. 0.6601 316.5 0.242E-4

Prilozi 18

H T p ρ a ν[m] [K] [N/m2] [Kg/m3] [m/s] [m2/s]

6000 249.2 47219. 0.6601 316.5 0.242E-4 6200 247.9 45941. 0.6456 315.6 0.246E-4 6400 246.6 44692. 0.6314 314.8 0.250E-4 6600 245.3 43470. 0.6174 314.0 0.255E-4 6800 244.0 42275. 0.6036 313.1 0.260E-4

7000 242.7 41107. 0.5900 312.3 0.265E-4 7200 241.4 39966. 0.5767 311.5 0.270E-4 7400 240.1 38850. 0.5637 310.6 0.275E-4 7600 238.8 37760. 0.5508 309.8 0.280E-4 7800 237.5 36694. 0.5382 308.9 0.285E-4

8000 236.2 35653. 0.5258 308.1 0.290E-4 8200 234.9 34637. 0.5136 307.3 0.296E-4 8400 233.6 33644. 0.5017 306.4 0.302E-4 8600 232.3 32674. 0.4899 305.6 0.307E-4 8800 231.0 31727. 0.4784 304.7 0.313E-4

9000 229.7 30803. 0.4671 303.8 0.320E-4 9200 228.4 29900. 0.4560 303.0 0.326E-4 9400 227.1 29019. 0.4451 302.1 0.332E-4 9600 225.8 28159. 0.4344 301.3 0.339E-4 9800 224.5 27320. 0.4239 300.4 0.346E-4

10000 223.3 26502. 0.4135 299.5 0.352E-4 10200 222.0 25703. 0.4034 298.7 0.360E-4 10400 220.7 24924. 0.3935 297.8 0.367E-4 10600 219.4 24165. 0.3838 296.9 0.374E-4 10800 218.1 23424. 0.3742 296.0 0.382E-4

11000 216.8 22702. 0.3648 295.2 0.390E-4 11200 216.6 21998. 0.3537 295.1 0.402E-4 11400 216.6 21317. 0.3428 295.1 0.415E-4 11600 216.6 20658. 0.3322 295.1 0.428E-4 11800 216.6 20019. 0.3219 295.1 0.442E-4

12000 216.6 19400. 0.3119 295.1 0.456E-4 12200 216.6 18800. 0.3023 295.1 0.470E-4 12400 216.6 18218. 0.2929 295.1 0.485E-4 12600 216.6 17655. 0.2839 295.1 0.501E-4 12800 216.6 17109. 0.2751 295.1 0.517E-4

13000 216.6 16580. 0.2666 295.1 0.533E-4

Prilozi 19

H T p ρ a ν[m] [K] [N/m2] [Kg/m3] [m/s] [m2/s]

13000 216.6 16580. 0.2666 295.1 0.533E-4 13200 216.6 16067. 0.2584 295.1 0.550E-4 13400 216.6 15570. 0.2504 295.1 0.568E-4 13600 216.6 15089. 0.2426 295.1 0.586E-4 13800 216.6 14623. 0.2351 295.1 0.605E-4

14000 216.6 14171. 0.2279 295.1 0.624E-4 14200 216.6 13733. 0.2208 295.1 0.644E-4 14400 216.6 13308. 0.2140 295.1 0.664E-4 14600 216.6 12897. 0.2074 295.1 0.686E-4 14800 216.6 12498. 0.2010 295.1 0.707E-4

15000 216.6 12112. 0.1948 295.1 0.730E-4 15200 216.6 11738. 0.1887 295.1 0.753E-4 15400 216.6 11375. 0.1829 295.1 0.777E-4 15600 216.6 11024. 0.1773 295.1 0.802E-4 15800 216.6 10683. 0.1718 295.1 0.828E-4

16000 216.6 10353. 0.1665 295.1 0.854E-4 16200 216.6 10033. 0.1613 295.1 0.881E-4 16400 216.6 9723. 0.1564 295.1 0.909E-4 16600 216.6 9423. 0.1515 295.1 0.938E-4 16800 216.6 9132. 0.1468 295.1 0.968E-4

17000 216.6 8850. 0.1423 295.1 0.999E-4 17200 216.6 8577. 0.1379 295.1 0.103E-3 17400 216.6 8312. 0.1337 295.1 0.106E-3 17600 216.6 8055. 0.1295 295.1 0.110E-3 17800 216.6 7807. 0.1255 295.1 0.113E-3

18000 216.6 7566. 0.1217 295.1 0.117E-3 18200 216.6 7332. 0.1179 295.1 0.121E-3 18400 216.6 7106. 0.1143 295.1 0.124E-3 18600 216.6 6886. 0.1107 295.1 0.128E-3 18800 216.6 6674. 0.1073 295.1 0.132E-3

19000 216.6 6468. 0.1040 295.1 0.137E-3 19200 216.6 6268. 0.1008 295.1 0.141E-3 19400 216.6 6075. 0.0977 295.1 0.146E-3 19600 216.6 5887. 0.0947 295.1 0.150E-3 19800 216.6 5706. 0.0917 295.1 0.155E-3

20000 216.6 5530. 0.0889 295.1 0.160E-3

Prilozi 20

C PERFORMANSE KLIPNOG MOTORA

C.1 Snaga klipnog motora

Proizvođači motora na temelju ispitivanja motora daju dva dijagrama prema kojima se može

odrediti snaga motora ovisno o parametrima:

• kutna brzina motora ω u [ ]srad , a u AS sustavu (anglosaksonske jedinice)

RPM u broju okretaja u minuti (revolutions per minute),

• tlak punjenja u Sp [ ]Pa , a u AS jedinicama označava se sa MAP (manifold

absolute pressure) i mjeri se in.Hg (inch of Hg) ili u psi (pounds per square

inch),

• tlak i temperatura okolnog zraka (vidi prilog B) i

• aerodinamička brzina letjelice V u [ ]sm , a u AS u miljama po satu mph

(miles per hour).

Ta snaga se određuje pomoću dva dijagrama kao na slikama C-1 i C-2.

C.1.1 Prvi dijagram, snaga PB

50 60 70 80 90 100 11040

60

80

100

120

140

160

ps [kPa]

PB

[kW

]

[rad/s]280

260240220

200

Slika C-1 Prvi dijagram snage motora LYCOMING O-360-A (180 HP)

Prilozi 21

Prvi dijagram je familija krivulja ( )SB pfP ,ω= dobivena na temelju ispitivanja motora na

probnom stolu. Taj dijagram, u statičkim uvjetima (aerodinamička brzina jednaka je nuli),

daje snagu ovisno o tlaku punjenja a za razne kutne brzine BP Sp ω motora, kada je

temperatura i tlak okolnog zraka u normalnim uvjetima na razini mora (vidi prilog C). Na

apscisi nalazi se tlak punjenja . To je tlak smjese zraka i goriva odmah iza zaklopke

rasplinjača. Na ordinati je snaga motora . Svaka krivulja je za jednu određenu kutnu

brzinu motora

S

BP

p

ω .

C.1.2 Drugi dijagram, snaga PA

Na drugom dijagramu su dvije familije krivulja

( )ω,pfPA =

( )SA ppfP ,=

30 40 50 60 70 80 90 100 11040

60

80

100

120

140

160

p [kPa]

PA

[kW

]

280

260240220200

omega[rad/s]

ps [kPa]

40

50

60

70

80

90

Slika C-2 Drugi dijagram motora LYCOMING O-360-A (180 HP)

Obje familije krivulja daju snagu motora ovisno o promjeni tlaka okolnog zraka p, ali za

temperaturu koja odgovara tom tlaku u normalnim uvjetima. Iz priloga C znamo da je ta

temperatura

AP

Prilozi 22

1903.0

00 101325

15.288

⋅=

=

−p

ppTT

ngR

N

β

.

Krivulje prve familije ( )ω,pfPA = daju snagu za određenu kutnu brzinu motora ω , a

krivulje druge familije daju istu snagu ( )SA ppfP ,= za određeni tlak punjenja . Analizom

ovog drugog dijagrama vidimo da na određenom tlaku okolnog zraka p, malo se mijenja u

normalnom radnom intervalu motora (od

Sp

Sp

minω do maxω ). Kada opada tlak okolnog zraka,

motor radi na sve manjem i manjem , i snaga motora pada te ako je mali tlak okolnog

zraka, bit će mala i raspoloživa snaga motora.

Sp

Na osi x ovog drugog dijagrama često se nanosi visina umjesto tlaka, koja odgovara u

normalnim uvjetima tom tlaku okolnog zraka. Ta visina vezana je za okolni tlak jednadžbom

normalne atmosfere (vidi prilog B). U tom slučaju ove dvije familije krivulja imaju visinu kao

neovisnu varijablu:

( )ω,HfPA =

( )SA pHfP ,=

Takvi dijagrami obično se sreću u literaturi (npr. [14], [26] i dr.) Treba još reći kada umjesto

tlaka okolnog zraka na os x nanesemo odgovarajuću visinu onda se dijagram C-2 okrene

(desna strana postane lijeva i obratno), jer kad raste visina, tlak pada.

C.2 Grafička metoda određivanja snage PD

Snaga motora, u okolnom zraku koji ima temperaturu T i tlak , za određene vrijednosti

parametara

D Dp

ω i može se odrediti pomoću ova dva prikazana dijagrama. Postupak

određivanja snage je slijedeći

Sp

1) Na prvom dijagramu, na odgovarajućoj krivulji za zadani broj okretaja motora ω , očita se

snaga ovisno o tlaku punjenja . BP Sp

2) Na drugom dijagramu ucrta se točka A u presjeku krivulje za zadani tlak punjenja i

krivulje za zadanu kutnu brzinu motora

Sp

ω . Odredi se ordinata i apscisa te točke.

To je snaga koju bi motor razvio u okolnom zraku koji ima taj tlak i njemu odgovarajuću

temperaturu u normalnim uvjetima.

AP Ap

3) Ucrta se na tom istom dijagramu točka C koja ima apscisu jednaku normalnom tlaku na

razini mora , a ordinatu jednaku dobivenoj snazi prema prvom dijagramu . Ta Np0 BP

Prilozi 23

točka predstavlja snagu motora za zadani tlak punjenja i zadanu kutnu brzinu motora Sp

ω , ali u zraku koji ima i tlak koji odgovara razini mora i odgovarajuću temperaturu u

normalnim uvjetima..

D

pS

4) Spoje se točke C i A. Ako prihvatimo pretpostavku da je snaga motora, za zadani tlak

punjenja i zadanu kutnu brzinu motora Sp ω , linearno ovisna o tlaku okolnog zraka (i na

odgovarajućoj temperaturi u normalnim uvjetima), onda je to pravac CA.

5) Na tom pravcu CA odredimo točku D koja ima apscisu jednaku zadanom tlaku okolnog

zraka . Dp

6) Ordinata točke D predstavlja snagu motora za zadane radne parametre motora i Sp ω u

okolnom zraku koji ima zadani tlak i temperaturi koja odgovara tom tlaku u

normalnim uvjetima T , a ne odgovara zadanoj temperaturi okolnog zraka T :

Dp

N D

1903.0

10132515.288

⋅= D

NpT

7) Da bismo konačno dobili traženu snagu na zadanoj temperaturi, pretpostavit ćemo da je

snaga obrnuto proporcionalna kvadratnom korijenu iz temperature okolnog zraka. Zato se

očitana snaga u točki D množi sa DN TT .

C.2.1 Primjer

Da bismo prikazali originalnu primjenu dijagrama, u ovom ćemo se primjeru služiti

anslosaksonskim jedinicama. Temperatura okolnog zraka je T , a tlak

je . Kutna brzina elise je

KD0269=

kPap 95= sradelise 240=ω , a tlak punjenja je .

Treba grafički odrediti raspoloživu snagu motora čije su performanse dane dijagramom na

slici G-1 i G-2.

kPa5.78pS =

1) Na prvom dijagramu nacrtana je točka B koja predstavlja raspoloživu snagu na razini

mora. Ona se nalazi na krivulji 240=ω za vrijednost apscise kPapS 5.78= :

kWPB 91=

2) točka A određena je na drugom dijagramu u presjeku krivulja srad240=ω i

: kPa5.78=

kPapkWP

A

A

80103

==

Na tom tlaku temperatura u normalnim uvjetima ima vrijednost:

Prilozi 24

KpT AA

01903.01903.0

5.275101325

0.8015.288101325

15.288 =

⋅=

⋅=

U normalnim uvjetima atmosfere taj tlak i ta temperatura vladaju na visini .

Drugim riječima, za zadane i

mH 1950=

Sp ω , pri tlaku okolnog zraka i temperaturi

, snaga je 103 .

kPa80

K05.275 kW

3) Ucrtamo točku C u drugi dijagram. Apscisa te točke je kPap N 3.1010 = , a ordinata je

. kWPB 91=

4) Od A do C snaga opada od vrijednosti kWPA 103= do kWPB 91= , zbog porasta tlaka i

temperature okolnog zraka od kPa80pA = i T do , i

. Zato pravac AC predstavlja promjenu snage ovisno o tlaku i

odgovarajućoj temperaturi okolnoga zraka, pri zadanim parametrima i

K05.275A = kPap N 3.1010 =

Sp

KT N0

0 2.288=

ω .

5) Na pravcu AC odredimo točku D u kojoj je zadani tlak okolnog zraka i

odgovarajuća temperatura

kPapD 0.95=

KpT DN

01903.01903.0

6.284325.1010.9515.288

10132515.288 =

⋅=

⋅= .

6) Ordinata te točke predstavlja snagu motora za zadani i Sp ω u okolnom zraku koji ima

tlak i njemu odgovarajuću temperaturu T : Dp N

kWPD 95=′

7) Tu snagu trebamo još svesti na zadanu temperaturu:

kWTTPP

D

NDD 98

2696.28495 =⋅=⋅′=

C.2.2 Analitička metoda određivanja snage PD

Prema lit. [22], dana je metoda kojom se mogu ova dva dijagrama motora pretvoriti u

jednadžbe. Tako su u lit. [26], za motor LYCOMING O-360-A (180 HP) dane jednadžbe u

AS jedinicama:

RPMMAPRPMMAPBHPB ⋅−⋅⋅+⋅+−= 0018.000186.008.38.42

RPMMAPRPMMAPBHPA ⋅+⋅⋅+⋅+= 003.00018.037.13.4

Prilozi 25

U tim jednadžbama je kutna brzina motora RPM izražena brojem okretaja u minuti, tlak

punjenja MAP iražen je u palcima živinoga stupca in.Hg, a snaga BPH (brake power hors) u

konjskim snagama. Te jednadžbe možemo transformirati u sustav ISO jedinica. U ISO

sustavu jedinica koristit ćemo oznake u vatima, tlak punjenja u , a za kutnu

brzinu motora

AB PP , Sp Pa

ω u srad :

ωω 5493.90018.03386

5493.900186.03386

08.38.427.745

⋅−⋅⋅+⋅+−= SSB ppP

i

ωω 5493.9003.03386

5493.90018.03386

37.13.47.745

⋅+⋅⋅+⋅+= SSA ppP

Sređivanjem dobivamo tražene jednadžbe u ISO sustavu jedinica:

ωω ⋅−⋅⋅+⋅+−= 817.12003912.06783.031916 SSB ppP C.1

ωω ⋅+⋅⋅+⋅+= 363.21003785.03017.05.3206 SSA ppP C.2

Prva jednadžba ( )ω,SB pfP = omogućuje nam izračunati ordinatu točke C (slika C-2).

Apscisa točke C je normalni tlak na razini mora, jer je cijela jednadžba određena za uvjete na

razini mora. Prema tome koordinate točke C na slici C-2 jesu:

BC

NC

PPpp

== 0

Tako smo odredili radno stanje C, u kome je snaga pri tlaku zraka . Drugo radno

stanje koje možemo odrediti jest snaga motora ako je kutna brzina

CP

A

NC pp 0=

P srad240elise =ω i

tlak okolnog zraka p . Da bismo odredili položaj te točke A (slika C-2), znamo da je ona na

pravcu ( )ω,pfPA = za sradelise 240=ω . Jednadžba familije pravaca na slici C-1 ima oblik

ppPA ⋅+⋅⋅+⋅+= 41009.00034406.0638.13922 ωω C.3

Iz ove jednadžbe možemo odrediti tlak okolnog zraka ako je poznata snaga motora i

njegova kutna brzina

AP

ω . Taj tlak je apscisa točke A:

41009.00034406.0

638.13922+⋅

⋅−−=

ωωA

APp C.4

U točki A imamo snagu motora pri tlaku okolnog zraka i njemu odgovarajućoj

temperaturi , a u točki C snagu pri tlaku okolnog zraka i temperaturi T . Obje

točke daju snagu za zadane parametre i

AP

BP

Ap

Np0AT N0

Sp ω . Zato možemo linearno interpolirati između

Prilozi 26

točaka A i C da bismo odredili snagu DP′ ako je tlak okolnog zraka jednak zadanom tlaku

i njemu odgovarajućoj temperaturi T :

Dp

N

BP +=

288=N

P

T

p

ω

p

.0003912+

.0

003785.0

( )NA

NDBAD pp

ppPPP0

0

−−

−′ C.5

Tako smo dobili snagu za zadane parametre i DP′ Sp ω , u okolnom zraku koji ima zadani

tlak , ali kad je temperatura okolnog zraka jednaka temperaturi (vidi prilog B): Dp

1903.0

10132515.

⋅ DpT C.6

Da bismo konačno dobili snagu pri zadanoj temperaturi T , koristimo činjenicu da je snaga

obrnuto proporcionalna kvadratnom korijenu iz temperature:

D

D

NDD T

TP '= C.7

Tako dobivamo snagu za zadane parametre motora i DP Sp ω , u atmosferi koja ima zadani

tlak i zadanu temperaturu T zraka. Dp D

C.2.3 Primjer

Uradimo isti primjer analitički. Karakteristike su okolnoga zraka:

KD0269=

kPaD 95=

Parametri rada motora su

srad240=

kPaS 5.78=

Treba odrediti analitički istu raspoloživu snagu motora LYCOMING O-360-A (180 HP) kao

u prethodnom primjeru:

kW

ppP SSB

0.92240817.1278500240003912785006783.031916

817.126783.031916

=⋅−⋅⋅⋅+−=

−⋅++−= ωω

PapB 101325=

kW

ppP SSA

2.103240363.217850024000378.0785003017.05.3206

363.213017.05.3206

=⋅+⋅⋅+⋅+=

+⋅++= ωω

Prilozi 27

kPaPp AA 0.80

41009.02400034406.0240638.13922103200

41009.00034406.0638.13922

=+⋅

⋅−−=

+⋅⋅−−

=ω

ω

( ) ( ) kWppppPPPP

NA

NDBABD 3.95

3.1010.803.1010.950.922.1030.92

0

0 =−−

⋅−+=−−

−+=′

KpT DN

01903.01903.0

6.284325.101

9515.288101325

15.288 =

⋅=

⋅=

kWTTPP

D

NDD 0.98

2696.2843.95 =⋅=′=

C.2.4 Vježba

Treba odrediti promjenu raspoložive snage pogonske grupe koju čini motor LYCOMING O-

360-A (180 HP) i elisa zrakoplova Piper Cherokee PA-28, ovisno o aeerodinamičkoj brzini za

visine 0, 1000, 2000, 3000 i 4000 m. Pretpostavimo da motor radi na kutnoj brzini

srad240max =ω , a koeficijent učinkovitosti elise neka je

2644.05670.04815.16923.1 23 +++−= JJJeliseη ,

gdje je parametar elise 80.0==nDVJ (promjer elise je mD 88.1= , n broj okretaja u s.).

Slika C-3 Raspoloživa snaga motora LYCOMING O-360-A (180 HP) i

elise zrakoplova Piper Cherokee PA-28

Prilozi 28

Pretpostavljamo normalne uvjete atmosfere. Zbog aerodinamičke brzine tlak okolnog zraka

treba povećati za dinamički tlak, tako da ulazni tlak bude jednak totalnom tlaku, koji je zbroj

okolnog tlaka i dinamičkog tlaka. Taj dinamički tlak umanjuje se do 15% zbog gubitaka u

strujanju oko motora do otvora gdje zrak ulazi u motor:

285.0

2Vpp NNtotal

ρ⋅+=

Snaga motora računa se prema analitičkom postupku iz prethodnog primjera C.2.3.

Raspoloživa snaga bit će

motP

motelisea PP ⋅= η .

S ovim jednadžbama napravljen je program u MATLAB-u, koji se zove Rasp_snaga ,

nalazi se na disketi u direktoriju Motor. Pomoću toga programa nacrtan je dijagram C-3.

Slika C-4 Potrošnja goriva za motor LYCOMING O-360-A (180 HP)

C.2.5 Potrošnja goriva

Na temelju eksperimentalnih ispitivanja proizvođači motora izrađuju dijagrame koji daju

potrošnju goriva u normalnim uvjetima okolnog zraka (T i ) za razne kutne brzine

motora ovisno o tlaku punjenja MAP. Na temelju takvog dijagrama za slučaj motora

N0 Np0

Prilozi 29

LYCOMING O-360-A (180 HP) usklađen je polinom drugog reda koji daje potrošnju goriva

FC (fuel consumption) ovisno o tlaku punjenja:

, C.8 322

1 apapaFC SS ++=

u kome su koeficijenti funkcije kutne brzine motora:

( )3600/785.3720.0

17.3017431.0386.3

35685.00000090642.0386.3

0081068.0000053562.0

3

2

21

⋅=⋅+⋅=

⋅+⋅

−=

⋅+⋅

=

CCa

Ca

Ca

ω

ω

ω

C.9

Da bi dobili potrošnju u [ za slučaj specifične mase goriva ]skg lkg72.0 koeficijente

trebamo pomnožiti sa C. Bez koeficijenta C dobili potrošnju u USA galonima na sat. S tom

jednadžbom nacrtan je dijagram prikazan na slici C-4. Na ordinati je potrošnja goriva FC

(fuel consumption) u [ ]skg . U mehanici leta upotrebljavamo specifičnu potrošnju goriva C .

Ona pokazuje kolika je potrošnja goriva u jedinici vremena po jednoj jedinici proizvedene

snage, a to znači da je njena dimenzija

P

( )[ ]sWkg . Da bismo dobili dijagram specifične

potrošnje , moramo vrijednosti očitane na dijagramu potrošnje FC podijeliti s ostvarenom

snagom u istim uvjetima.

PC

Slika C-5 Specifična potrošnja motora LYCOMING O-360-A (180 H

30

Na temelju jednadžba raspoložive snage motora i potrošnje goriva, treba za motor

LYCOMING O-360-A (180 HP), odrediti ovisnost specifične potrošnje goriva (potrošnja

goriva po jedinici ostvarene snage) o tlaku punjenja za razne kutne brzine motora u

normalnim atmosferskim uvjetima. Potrošnju goriva, koja ovisi o tlaku punjenja, dana je

jednadžbama C-8 i C-9, a ostvarena snaga u istim uvjetima je

ωω 817.12003912.06783.031916 −⋅++−= SSB ppP , C.10

Tako dobivamo da je tražena specifična potrošnja

B

P PFCC = . C.11

Prema ovom algoritmu napravljen je program u MATLAB-u koji se zove spec.m. Nalazi se

u direktoriju Motor na disketi. Pomoću njega nacrtan je dijagram na slici C-5

Prilozi 31

D ODNOSI VELIČINA

Vrijednosti nekih jedinica izvan sustava ISO u zrakoplovnoj uporabi

mmnftinyd

mydmmft

mmin

185213361

9144.018.3041

4.251

===

===

kgslugs 59.141 =

Nlb 448.41 =

Wph 7451 =

litGBgallon 546.41 =

litUSAgallon 785.31 =

mGBmille 16091 =

smkt 5151.01 =

sradRPM 1047.01 =

PaHgin 3386.1 =

1

LITERATURA

1. Abbott, I. H., Von Doenhoff, A. E., “Theory of Wing Section”, Dover, New York, 1959.

Anderson, J.D., "Aircraft Performance and Design", McGraw Hill, New York, 1999.

Anderson, J.D., "Introduction to Flight", McGraw Hill, New York, 1989.

Boiffier, Jean-Luc, “The Dynamics of Flight - The Equations”, John Wiley & Sons, New

York, 1998.

Covert, E. Eugene (editor), “Thrust and Drag: Its Prediction and Verification”, AIAA,

Progress in Astronautics and Aeronautics, Vol. 98, New York, 1985.

Etkin, B. “Dynamics of Atmospheric Flight, John Wiley & Sons, Inc. New York, 1972.

Etkin, B., Reid, L. D. “Dynamics of Flight, Stability and Control”, Third Edition, John Wiley

& Sons, Inc. New York, 1996.

Goldstein, H., “Classical Mechanics”, Second edition, Addison-Westley Publishing

Company, London, 1981.

Gantmakher, F. R. and Levin, L. M., “The Flight of uncontrolled Rockets, Pergamon Press,

Oxford, 1964.

Haug, E.,” Computer Aided Kinematics and Dynamics of Mechanical Systems”, Volume I:

Basic Methods, Allyn and Bacon, Boston, 1989.

ISO Concepts, Quantities and Symbols for Flight Dynamics, 1988, Part 1: Aircraft motion

relative to the air, ISO/DIS 1151/1, and Part 2: Motion of the aircraft and the atmosphere

relative to the Earth, ISO/DIS 1151/2

Janković, S. “Mehanika leta projektila ”, udžbenik Sveučilišta u Zagrebu, 1998.

Jumper, E.J., “Wave Drag Prediction Using a Simplified Supersonic Area Rule”, J. Aircraft,

Vol. 20, No. 10, October 1983.

Jecić, S. “ Mehanika II, Kinematika i mehanika”, Tehnička knjiga d.d., Zagreb, 1995.

Лeбeдeв, A.A., Чepнoбroвкин, Л.C. “Динaмикa полeтa”, Maшинocтpoeниe, Moskva,

1973.

McCormick, B. “Aerodynamics, Aeronautics and Flight Mechanics”, John Wiley & Sons,

Inc. New York, 1995.

Mair, W.A. and Birdsall, D. “Aircraft Performance”, Cambridge, University Press, 1992.

Nielsen, J. N., “Missile Aerodynamics”, McGraw-Hill, New York, 1960.

Pamadi, B. N., “Performance, Stability, Dynamics and Control of Airplanes”, Education

Series AIAA, Washington, 1998.

2

Raymer, D. “Aircraft Design: A Conceptual Approach, AIAA Education Series, Washington,

1992.

Rendulić, Z., “Aerodinamika”, RO Sava Mihić, Zemun, 1984.

Rendulić, Z., “Mehanika leta”, Vojno-izdavački i novinarski centar, Beograd, 1987.

Schmidt, V. Luis, “Introduction to Aircraft Flight Dynamics”, Education Series AIAA,

Washington, 1998.

Smith, H. C. and Dreier, "A Computer Technique for the Determination of Brake Horsepower

Output of Normally-Aspirated Reciprocating Aircraft Engine""", SAE Paper No. 770465,

March 1977.

Steinberg, D. “Computational Matrix Algebra”, McGraw-Hill Kogakusha, Tokyo, 1974.

Vinh, N. X. “Flight Mechanics of High Performance Aircraft”, Cambridge, University Press,

1995.

.... ,"Introduction to Aircraft Flight Test Engineering", Epperson Sanderson Inc. JS312647C,

ISBN 0-89100-225-1.

USAF Stability and Control DATCOM, AD-B072 483/1 INZ.

ESDU (Engineering scientific data units), The Royal Aeronautical Society, London.

A.Φ. Бoчkapeвa, "Aэpoмeхaниka caмaлeтa" , Maшинocтpoeниe, Moskva 1977.

3

KAZALO Pojmovi aerodinamička

apscisa krila, 2.2.1

ishodište, 2.2.1

tetiva, 2.2.1

aerodinamički

koeficijenti, 2.1.1

model zrakoplova, 2.1.2

parametri, 2.1.1

aerodinamičko pojačanje, 13.2., 14.1

akcelerometar, 6.1.3

atmosfera

standardna, B.5

baza koordinatnog sustava, 1.1.1

bočna sila, 4.3

brzina

aerodinačka 1.4.2

apsolutna, 6.1.1

leta, 1.4.1

najmanje upravljivosti (Minimum Control Speed), 9.1.3.1

odvajanja (Take off Velocity), 9.1.1

penjanja (Rate of Climb, R/C), 8.2

penjanja najveća (Best Rate of Climb, BRC), 8.2.2

prijenosna, 6.1.1

relativna, 6.1.1

derivacija matrice transformacije, 1.2.2

derivacija vektora, 1.1.3

derivativi, 2.1.2

diferencijalne jednadžbe parametara, 1.2.6

diferencijalne jednadžbe poremećaja, 12.1.3

dolet (Range), 8.1.5

4

energetska visina (Energy Height), 10.1

gradijent bočne sile

po kutu klizanja,4.1.1

po otklonu kormila pravca, 4.1.2

po kutnoj brzini valjanja, 4.1.4

po kutnoj brzini skretanja, 4.1.5

gradijent momenta propinjanja

po promjenljivom napadnom kutu, 3.2.5

po kutnoj brzini, 3.2.6

po napadnom kutu, 3.2.4

po otklonu kormila visine, 3.2.4

stacionarni gradijenti, 3.2.4

gradijent momenta skretanja, 2.1, 4.1


po kutnoj brzini valjanja,4.1.4

po kutu klizanja, 4.3


po otklonu krilaca, 4.1.3

gradijent momenta valjanja, 2.1, 4.2


po kutnoj brzini valjanja, 4.2.4

po kutu klizanja, 4.2.1


po otklonu krilaca, 4.2.3

gradijent normalne sile

po napadnom kutu, 3.2.4

po otklonu kormila visine, 3.2.4

po promjenljivom napadnom kutu, 3.2.5

po kutnoj brzini, 3.2.

gradijent penjanja (Climb Gradient), 8.2

gradijenti, 2.1.2

harmonijska pobuda

uzdužnog gibanja, 13.3

bočnog gibanja, 14.5

5

Heavisideov teorem razvoja, 13.4, 13.5, 13.6, 14.3, 14.4, 14.5

horizontalni zaokret, 8.3.1

inercijaksa sila, 6.1.2

jedinični impuls (Impulsive Admittance), 13.4, 14.3

jedinični otskok (Indicial Admittance), 13.5, 14.4

jednadžba stanja zraka, B.3

karakteristični polinom, 13.2.1, 14.1

kinetički moment, 6.2.2

koeficijenti dinamičke stabilnosti

sila , 12.2.2

momenata, 12.2.5

koeficijent gušenja (Dumping Coefficient), 13.2.1

koordinatni sustavi, 1.3

koordinanti sustav

aerodinamički, 1.4.2

brzinski, 1.4.1

letjelice, 1.3.3

lokalni, 1.3.1

nošeni, 1.3.2

koordinirani zaokret, 8.3.2

korak elise, 6.5.1

kružna učestalost, 13.2.1

kut

napadni, 1.4.2

napadni motora, 6.4.1

klizanja, 1.4.2

klizanja motora, 6.4.1

penjanja najveći (Best Angle of Climb, BAC), 8.2.1

postavni, 2.3

propinjanja, 1.3.3

prostorni krila, 4.2.1.1

ravnotežni napadni, 7.1.3

skretanja, 1.4.1

valjanja, 7.4.3

6

valjanja letjelice, 1.3.3

zanosa, 1.3.3

zakretanja motora, 6.4.1

kutna brzina letjelice, 1.3.3

kutna brzina motora (Revolution Per Minute, RPM), C.1

kvašena površina, 3.1.1

linearizacija, 12.1.3

matrica

kososimetrična, 1.1.2

transformacija, 1.2, 1.2.1

temeljna, jed. 1.32-4

minimalno vrijeme penjanja, 10.4.3

model zrakoplova

kao materijalne točke, 7.4.4

kao krutog tijela (6DOF), 11.2

linearizirani, 12.2.7

modovi

uzdužnog gibanja, 13.2.1

bočnog gibanja, 14.1

momenta propinjanja

horizontalni rep - trup, 3.2.2

krilo - tijelo, 3.2.1

nulti članovi, 3.2.4

tijela, 3.2.3


moment pogonske sile, 6.4.3 i 6.5.2

moment tromosti

centrifugalni 6.2.3

za os, 6.2.3

načelo očvršćivanja, 6.3.5

neutralna točka, 7.2.3

normalna sila

kombinacije tijelo-noseća površina, 2.3

krilo - tijelo, 3.2.1

7

nulti članovi, 3.2.4

horizontalni rep - trup, 3.2.2


normalno opterećenje, 7.1.4 i 10.3.2

otpor, 2.1.1, 3.1

dna, 3.1.2

dodatni, 3.1.5

inducirani, 3.1.7

nulti, 3.1.6

transonični, 3.1.4

trenja, 3.1.1

valni, 3.1.3

Oswaldov koeficijent, 3.1.7

otklon upravljačke površine, 2.2.7

ovojnice horizontalnog leta, 8.1.4

ovojnica koordiniranog zaokreta, 8.3.4

parametar gušenja, 13.2.1

parametri

Eulerovi, jed. 1.37

Hamilton-Rodriguezovi, jed. 1.37

petlja, 8.4.3

plinska konstanta zraka, B.3

područje uporabe zrakoplova, 10.4.2

polara, 3.1.7

polijetanje (Take off), 9.1

pogonska sila, 6.4.2 i 6.5.1

poremećaji gibanja (perturabation), 12.1.3

potrebna sila, 8.1.2

potrebna snaga, 8.1.2

potrošnja goriva (Fuel Cosumption, FC), C.2.5

površina

referentna, 2.1.1

krila, 2.3

kvašenja, 3.1.1

8

diska elise, 6.5.1

poprečna, 3.1.3 i 3.1.5

prijenosne funkcije (Open Loop Transfer Function)

po otklonu kormila visine, 13.3

po otklonu kormila pravca, 14.2

po otklonu krilaca, 14.2

prirast specifične energije po jedinici goriva (Fuel Specific Energy), 10.4.4

prirodna učestalost, 13.2.1

raspoloživo opterećenje, 8.3.3

raspoloživa sila, 8.1.3

raspoloživa snaga, 8.1.3

referentno gibanje, 12.1.2

relativno gibanje, 6.1

savijanje struje, 2.4 i 6.4.1

sigurnost polijetanja, 9.1.3

skretanje struje, 4.1.1 i 6.4.1

slijetanje (Landing), 9.2

specifična energija (Specific Energy) 10.1

specifična potrošnja goriva (Specific Fuel Consumption), C.2.5

stabilnost

statička, 7.2.2

dinamička uzdužna 13

dinamička bočna, 14

Steinerov teorem, 6.2.4

sustav

očvrsnuti, 6.3.2

prividni, 6.3.2

promjenljive mase, 6.3.1

tenzor tromosti, 6.2.3

tlak punjenja (Manifold Absolute Pressure, MAP), C.1

trajanje leta (Endurance) 8.1.6

ubrzanje

apsolutno, 6.1.1

Coriolisovo, 6.1.1

9

komponente, 1.4.1

kutno, 6.1.1

prijenosno, 6.1.1

relativno, 6.1.1

Zemljane teže, B.2

učestalost, 13.2.1

ukupna energija (Energy State), 10.1

upravljivost

uzdužna, 7.3.1

bočna 7.3.3

usporenje struje, 2. 4

uzgon, 3.2, 2.1.1

vektor stanja, 11.2 i 12.1.1

vektor upravljanja, 12.1.1

vektorski i skalarni produkt 1.12

vertikalna ravnoteža zraka, B.4

vertikalni zaokret, 8.4

veze između parametara i kutova, 1.2.5

visina nadvisivanja prepreke (Obstacle Clearance Altitude), 9.1.5

višak specifične snage, 10.2.1

vlažnost zraka, B.3

vrijeme penjanja, 8.2.4

vrjemenska konstanta, 13.2.1

Oznake

Opće oznake

a brzina zvuka, ubrzanje

A vitkost krila, azimut

b raspon krila

c tetiva profila

Ac aerodinamička tetiva krila

C napadna točka normlane sile

10

KLD CCC aerodinamički koeficijenti sila u aerodinamičkom koordinatnom sustavu

ZYX CCC aerodinamički koeficijenti sila u koordinatnom sustavu letjelice

nm CCCl aerodinamički koeficijenti momenata u koordinatnom sustavu letjelice

XA CC −= aerodinamički koeficijent aksijalne sile

ZN CC −= aerodinamički koeficijent normalne sile

d promjer

D otpor

e Oswaldov koeficijent krila

e Hamilton R

E trajanje leta

f otklon zakrilca

F sila

g ubrzanje sile Zemljine teže

h udaljenost od aerodinamičkog ishodišta u pravcu x osi zrakoplova, visina leta

he specifična energija

H visina leta

i postavni kut noseće površine, imaginarna jedinica

I tenzor tromosti

J jedinična matrica

BWk koeficijent interferencije otklonjene kombinacije krilo - tijelo

K koeficijent induciranog otpora zrakoplova

BWK koeficijent interferencije planarne kombinacije krilo - tijelo

l udaljen ost od elise u pravcu x osi zrakoplova

L uzgon, moment valjanja

ABL matrica transformacije iz koordinatnog sustava A u koordinatni sustav B

ZYX LLL temeljne matrice transformacija

m masa zrakoplova

M moment propinjanja

Ma Machov broj

n normalno opterećenje

N moment skretanja

N neutralna točka.

11

brzine kutne komponente

rqp

p tlak

P snaga

Pa Pr raspoloživa snaga, potrebna snaga

Ps specifični višak snage

R dolet

is ωδ +−= korijen karakteristične jednadžbe

[ ]ψϑφ=s stav zrakoplova

S površina

t vrijeme

T pogonska sila, temperatura zraka

Ta Tr raspoloživa, potrebna pogonska sila

brzine komponente

wvu

V intenzitet aerodinamičke brzine

Vk intenzitet brzine leta

W težina

fW širina trupa

X vektor stanja

X aerodinamička sila u pravcu x osi

Y aerodinamička sila u pravcu y osi

Z aerodinamička sila u pravcu z osi

Grčka slova

βα napadni kut, kut klizanja

γχ kut skretanja brzine, kut propinjanja brzine

φϑψ De Sparraini kutovi zrakoplova

AAA µγχ De Sparraini kutovi aerodinamičkog koordinatnog sustava

nm δδδ l otklon krilaca, otklon kormila visine, otklon kormila pravca

12

λ suženje krila

Vη koerficijent umanjenja dinamičkog tlaka na vertikalnom stabilizatoru

hη koeficijent umanjenja dinamičkog tlaka na horizontalnom stabilizatoru

ρ gustoća zraka

ω kutna brzina

ζ gušenje

Indeksi

( )A veličina aerodinamičkog koordinatnog sustava

( ) ( ) fB = veličina tijela

( )F veličina koordinatnog sustava letjelice

( )h veličina horizontalnog repa

( )K brzina ili ubrzanje u odnosu na zemlju

( )L veličina lokalnog koordinatnog sustava

( )m veličina za središte mase

( )n veličina za neutralnu točku

( )O veličina nošenog koordinatnog sustava

( )V veličina brzinskog koordinatnog sustava

veličina vertikalnog repa

( )W veličina krila (od dva polukrila)

Eksponenti

( )L komponente u lokalnom koordinatnom sustavu

( )O komponente u nošenom koordinatnom sustavu

( )F komponente u koordinatnom sustavu letjelice (obično se izostavlja)

( )V komponente u brzinskom koordinatnom sustavu

( )A komponente u aerodinamičkom koordinatnom sustavu

sjankovic-mehanika leta zrakoplova

Documents