Dr Biljana Radivojević

PROJEKCIJE STANOVNIŠTVA

Novembar 2014. godine

Radni materijal pod nazivom Projekcije stanovništva namenjen je studentima

Demografije na Geografskom fakultetu za spremanje ispita na istoimenom predmetu. On

pokriva uglavnom materiju koja je predviđena programom za ovaj predmet, a

istovremeno je prilagođen i njihovim do sada usvojenim znanjima u okviru drugih

disciplina. Ovako koncipiran ovaj materijal treba da omogući da studenti savladaju, pored

metodološke osnove, i samu tehniku izrade projekcija. Iako postupak obračuna kod

projiciranja nije cilj sam za sebe, jer ga je lako sprovesti korišćenjem računara, u ovom

materijalu on treba da pomogne boljem razumevanju postupka i logike sadržane u

projekcijama.

Projekcije stanovništva su u bliskoj vezi sa modelima stanovništva. Počev od toga

da su projekcije u suštini vid modeliranja demografske budućnosti, ali i činjenice da se

pojedine projekcije ne mogu izraditi bez korišćenja odgovarajućih teorijskih modela.

Stoga će u ovom materijalu biti prezentirani demografski modeli koji imaju široku

primenu u analizi stanovništva. To su stacionarno i stabilno stanovništvo. Iako

objašnjenje ovih modela podrazumeva matematički pristup i dokaze oni su maksimalno

prilagođeni i onima kojima taj pristup nije blizak.

Prof.dr Biljana Radivojević

2

S A D R Ž A J

UVOD ........................................................................................................................... 2

POJAM PROJEKCIJA STANOVNIŠTVA .................................................................. 5

Prognoza, perspektiva, projekcija, procena ................................................................... 5

Projekcioni horizont ........................................................................................................ 6

ZNAČAJ PROJEKCIJA STANOVNIŠTVA ………………………………………… 7

METODI PROJEKCIJA ................................................................................................ 8

Podela metoda projekcija ............................................................................................... 8

Izbor metoda projekcija .................................................................................................. 9

MATEMATIČKI METOD ............................................................................................ 10

Osnovne osobine ........................................................................................................... 10

Upotreba matematičkog metoda ................................................................................... 11

Prednosti i nedostaci matematičkog metoda ................................................................. 12

Projekcija na osnovu podataka iz dva popisa ............................................................... 13

Projekcija na osnovu podataka iz tri i više popisa ........................................................ 17

METOD KOMPONENATA (ANALITIČKI METOD) ................................................ 27

Osobine i primena ......................................................................................................... 27

Hipoteze o fertilitetu ...................................................................................................... 28

Hipoteze o mortalitetu ....................................................................................................32

Hipoteze o migracijama ................................................................................................. 33

Obračun budućeg stanovništva po starosti i polu .......................................................... 35

PROJEKCIJA RADNE SNAGE .................................................................................... 43

Projekcija radne snage Republike Srbije, 2002-2052........................................................45

DOSADAŠNJI RAD NA PROJEKCIJAMA U NAŠOJ ZEMLJI ................................. 46

Projekcije stanovništva Srbije 2011-2041 ...................................................................... 49

DEMOGRAFSKI MODELI ......................................................................................... 55

PODELA DEMOGRAFSKIH MODELA ..................................................................... 56

ANALITIČKO-SINTETIČKI MODELI ....................................................................... 58

3

Linearna funkcija ........................................................................................................... 59

Eksponencijalna funkcija ............................................................................................... 61

Modeli ograničenog porasta ........................................................................................... 63

Logistička krivulja ......................................................................................................... 64

FUNKCIONALNO SINTETIČKI MODELI ................................................................ 67

Maltuzijanske populacije ............................................................................................... 68

Model stacionarnog stanovništva .................................................................................. 72

Tablice mortaliteta ......................................................................................................... 74

Model stacionarnog stanovništva u prekidnom slučaju .............................................. 80

Model stabilnog stanovništva ........................................................................................ 83

Ispitna pitanja za predmet Projekcije stanovništva ...................................................... 86

4

POJAM PROJEKCIJA STANOVNIŠTVA

Projekcije stanovništva, najopštije rečeno, odnose se na budući period i ono što bi

uz određene pretpostavke moglo da se očekuje ili dogodi po pitanju veličine i strukture

date populacije u budućnosti. Projekcije stanovništva ne znače onaj obim i strukturu

stanovništva koja će se stvarno i desiti, već onu koja je manje ili više verovatna u

zavisnosti od pretpostavljenih promena fertiliteta, mortaliteta i migracija.

Danas, u razvijenim zemljama, statističke, naučne i druge institucije redovno

izrađuju demografske projekcije primenjujući određene metode. Sam proces izrade

projekcija, osim neposrednog obračuna, odnosno rezultata ili ishoda, podrazumeva

nekoliko faza. Počev od identifikacije i opisa stanovništva za koje se izrađuje projekcija,

preko izbora i konstrukcije modela koji će se koristiti, a zatim ekstrapolacije i obračuna

budućeg stanovništva, sve do analize izlaznih rezultata, a u nekom budućem periodu i

poređenja sa ostvarenim, empirijskim rezultatima za izabranu populaciju. U tom smislu

proces projiciranja pruža mogućnost kontinuiranog praćenja date populacije i promena

unutar nje.

Prognoza, perspektiva, projekcija, procena

Kada se govori o brojnosti ili drugim karakteristikama nekog stanovništva u

budućnosti (stopa rasta, različite strukture i sl.), često se koristi nekoliko termina, koji

iako pojmovno različiti, upotrebljavaju se, ne retko, istovremeno. To su već pomenuti

termin projekcija, ali i termini perspektiva i prognoza. Perspektiva se odnosi na buduće

promene veličine i strukture stanovništva pod uslovom više ili manje verovatnih

pretpostavki. Autor se, međutim, ne izjašnjava o stepenu verovatnosti budućih veličina ili

karakteristika. Kod prognoze upravo dolazi do izražaja stav autora koji je daje, jer je ona

izbor najverovatnijeg kretanja stanovništva u budućnosti. Može se reći da je svaka

prognoza o stanovništvu ujedno i projekcija, ali da svaka projekcija nije prognoza. To

znači da je termin projekcija najširi po značenju i obuhvata i perspektivu i prognozu.

5

Projekcije daju odgovor o veličini i strukturi populacije koje možemo očekivati u

budućnosti ako bi se usvojene pretpostavke ostvarile. One se, međutim, ne bave i

pitanjem da li će se usvojene pretpostavke i sa kojom verovatnoćom i ostvariti. Projekcije

su zbog toga uvek "ispravne", dok prognoza može biti i pogrešna.

Projekcije stanovništva, bazirane na manje ili više verovatnim hipotezama, su

neophodne u različitim oblastima ljudske delatnosti, zapravo svuda gde postoji potreba za

planiranjem. Međutim, postoje i tzv. benčmark (benchmark) projekcije zasnovane na

gotovo nerealnim pretpostavkama. One treba da ilustruju demografske posledice

usvojenih hipoteza, i osim naučnog, mogu imati i konkretan doprinos u rešavanju

negativnih tendencija u demografskom razvitku. Poznate su benchmark projekcije

Ujedinjenih nacija na osnovu pretpostavke o konstantnom fertilitetu tokom projekcionog

perioda.

Na ovom mestu objasnićemo i značenje termina procena stanovništva. On se ne

odnosi na budući period, ali se za obračun procene mogu koristiti metodi i tehnike kao

kod projekcija. Inače, procena stanovništva se daje za sadašnji period (npr. za godine

između popisa redovno se u našoj zemlji izrađuju procene ukupnog stanovništva i

stanovništva po starosti i polu) ili za neki prošli. Potsećamo da se, na primer, osnovni

demografski pokazatelji kao što su stope nataliteta, mortaliteta i drugi izračunavaju

upravo pomoću procenjenog ukupnog broja stanovnika sredinom date kalendarske godine

(30. juni) za koju se računaju. Takođe, i analiza istorijskog razvitka stanovništva, njegove

brojnosti i drugih pokazatelja, bazirana je na procenama različite vrsta.

Projekcioni horizont

Projekcioni horizont je vremensko razdoblje koje pokriva projekcija. Od početne,

odnosno bazne godine (ili perioda) do poslednje projekcione godine. Projekcioni horizont

nije isti kod svih projekcija. Njegova dužina zavisi od više faktora, među kojima su:

svrha (cilj) korišćenja projekcija, veličina populacije, stepen pouzdanosti koji se očekuje,

raspoloživost neophodnim podacima i slično. Namena projekcija je ipak presaudna za

izbor vremenskog horizonta. Na primer, kod dugoročnih projekcija prvenstveni cilj je

sagledavanje dugoročnih demografskih posledica u slučaju ostvarenja usvojenih hipoteza.

6

Taj tip projekcija i njegovi rezultati imaju naučni značaj. Oni doprinose određenom

teorijskom uopštavanju i razvoju teorije po pitanju veze između demografskih procesa i

demografskih struktura. Kod tih projekcija nije primarna buduća veličina ili struktura

ispitivane populacije. Suprotno, projekcije čiji rezultati treba da posluže donošenju

konkretnih odluka (u okviru različitih politika), često imaju kraći projekcioni period, ali

je u tom slučaju veoma bitna izvesnost kod ostvarenja polaznih pretpostavki.

Navode se različite podele projekcija prema vremenskom horizontu na koji se

odnose. Po jednoj, kratkoročne projekcije se odnose na period do 10 godina, srednjoročne

od 10 do 25 godina i dugoročne preko 25 godina. Moguće je, međutim, definisati granice

i drugačije.

Rezultati projekcija se obično daju po petogodišnjim projekcionim intervalima

unutar projekcionog horizonta. Na primer, poslednja zvanična projekcija za stanovništvo

Srbije, na bazi podataka popisa 2011. godine, data je u razmacima od pet godina (za

2016, 2021, 2026, 2031, 2036. godinu) do 2041. godine kao poslednje projekcione

godine (RZS, 2014).

ZNAČAJ PROJEKCIJA STANOVNIŠTVA

Značaj izrade projekcija stanovništva proizilazi iz važnosti koju stanovništvo,

njegova veličina i dinamika, razmeštaj u prostoru i brojne strukture imaju u svakoj

državi. Aktuelni, kao i budući razvoj stanovništva tiče se ne samo demografije, već je od

interesa i za ekonomiju, sociologiju, geografiju, ekologiju i druge discipline koje se sa

svog aspekta bave pitanjima stanovništva. Na globalnom nivou, u svetskim razmerama,

potreba za izradom projekcija u vezi je sa mogućnostima da se ishrane, obuku, obezbede

krov nad glavom, leče, školuju milijarde ljudi. Države su zainteresovane za ekonomske,

socijalne, političke i ekološke posledice rasta stanovništva i demografskih promena.

Posmatrano lokalno, demografske projekcije su neophodne za sve one oblasti ljudske

delatnosti koje se bave planiranjem. Različiti društveno-ekonomski i prostorni planovi ne

mogu se ni zamisliti bez prethodno izrađenih projekcija za ukupno stanovništvo ili

određene kategorije stanovništva, a koje se tiču njegove veličine i sastava prema

7

različitim karakteristikama (npr. planiranje u oblasti zapošljavanja, obrazovanja,

zdravstva, socijalnog osiguranja, pa prostorno i urbanističko planiranje i drugo).

Primeri za vežbu

1. Koje institucije u Srbiji izrađuju projekcije stanovništva?

2. Da li ste koristili rezultate neke zvanične projekcije stanovništva i u koje svrhe?

3. Navedite primer gde je potrebno raspolagati projekcijom stanovništva.

4. Da li su za izgradnju škole u nekoj opštini potrebne demografske projekcije i

koje?

METODI PROJEKCIJA

Kada se govori o projiciranju stanovništva i metodima koji se koriste u te svrhe

imaju se u vidu tzv. objektivni metodi. Nasuprot njima, kod subjektivnih metoda,

projekcija (najčešće je to prognoza) se daje na osnovu opšteg utiska, intuicije ili analogije

sa nekim populacijskim veličinama. No, i kod objektivno zasnovanih metoda prisutni su

određeni subjektivni elementi. Izbor podataka, vremenski period, funkcionalna veza i

drugo sadrže dozu subjektivizma.

Podela metoda projekcija

Za potrebe izrade projekcija stanovništva koriste se uglavnom dva osnovna

metoda. To su matematički (u literaturi često označen i kao metod formule ili metod

ekstrapolacije) i analitički metod (ili metod komponenata). Iako oba metoda

omogućavaju obračun budućeg stanovništva, osnovna razlika među njima ogleda se u

tome što se kod matematičkih metoda osnovne komponente populacionih promena ne

uključuju u model eksplicitno, kao što je to slučaj kod analitičke projekcije. To znači da

je kod matematičkih metoda uticaj fertiliteta, mortaliteta i migracija na promene u

8

stanovništvu u budućnosti, predstavljen zbirno preko promene ukupnog stanovništva,

dakle implicitno.

Upravo različite karakteristike ova dva osnovna metoda projekcija stanovništva,

opredeljuju i primenu svakog od njih.

U literaturi se mogu sresti i tzv. metodi odnosa, koji se uglavnom koriste za

projekcije stanovništva pojedinih geografskih delova jedne teritorije. Ovi metodi baziraju

na sličnosti dinamike stanovništva, ili njegovih delova, među različitim teritorijama, kod

kojih, i po pitanju faktora koji opredeljuju demografski razvitak svake od njih, postoji

sličnost. No, u ovom materijalu se nećemo detaljnije baviti ovim metodima.

Izbor metoda projekcija

Izradi svake projekcije prethodi izbor metoda koji će se koristiti. Kriterijumi za

izbor svode se na nekoliko važnih elemenata koje treba imati u vidu, a zasnovani su na

osnovnim karakteristikama matematičkog metoda projekcija, odnosno metoda

komponenata. Svrha korišćenja rezultata projekcija, takođe nameće izbor jednog od

metoda.

Izbor metoda zavisi od

- raspoloživih podataka o populaciji za koju se izrađuje projekcija

- dužine projekcionog horizonta za koji se radi projekcija

- veličine i tipa ("zatvoreno" ili "otvoreno" stanovništvo) populacije

- stepena opštosti dobijenih rezultata

- stepena pouzdanosti

Raspoloživost podataka neophodnih za izradu projekcija stanovništva direktno

određuje koji će metod biti primenjen. Za primenu matematičkog metoda dovoljno je

raspolagati podacima o ukupnom stanovništvu ili nekoj njegovoj kategoriji kao celini, a

ne i o starosnoj strukturi. Istovremeno, neophodni podaci za obračun budućeg

stanovništva često su usko povezani i sa veličinom populacije. Po pravilu, za male

populacije često nisu raspoloživi detaljni podaci (npr. različite demografske strukture),

niti je moguće detaljnije analizirati komponente rasta (natalitet, mortalitet, migracije). U

9

tom slučaju moguće je primeniti samo matematički metod. S druge strane, tip populacije

je takođe važan za izbor metoda. Jer, kod "zatvorenog" stanovništva, promene su

najčešće dugoročne (pošto su u pitanju biološki procesi rađanja i umiranja), što može da

ide u prilog ekstrapolaciji uočenih prošlih trendova i primeni matematičkog metoda.

Suprotno, "otvorena" populacija determinisana je i migracionim kretanjima, koja su po

svojoj prirodi drugačija od prirodnog kretanja, i kod kojih su značajne promene moguće i

u kraćim vremenskim periodima. U tim slučajevima neophodno je analizirati ponaosob

svaku od razvojnih komponenti stanovništva i definisati hipoteze o njihovim budućim

promenama. To pruža metod komponenata.

Što se dužine projekcionog perioda tiče, za kraće vremenske horizonte mogu se

koristiti matematičke projekcije, dok se dugoročne projekcije izrađuju primenom metoda

komponenata. Ovo direktno proizilazi iz osnovnih osobenosti svakog od dva metoda.

Potreba da se raspolaže projekcijama o strukturama stanovništva (npr. struktura

stanovništva po pojedinačnim godinama starosti, ili struktura po starosti i bračnom stanju,

i slično), a ne samo o ukupnoj populaciji, postiže se primenom analitičkog metoda

(metod komponenata), dok matematički metodi po pravilu to ne omogućavaju.

I najzad, metod komponenata pruža i veći stepen pouzdanosti i verovatnosti

ostvarenja pretpostavljenih promena u stanovništvu u toku projekcionog perioda, što je

pretpostavka da se rezultati projekcija mogu iskoristiti za donošenje odluka.

MATEMATIČKI METOD PROJEKCIJA

Osnovne osobine

Kod matematičkog metoda projekcija pretpostavlja se da će se stanovništvo (ili

neka druga populacijska kategorija, npr. radna snaga, ženski fertilni kontingent, stopa

rasta i slično) razvijati na isti način kao i u dosadašnjem periodu. Otuda se kod obračuna

budućeg stanovništva često navodi da će budućnost ličiti na prošlost, što imajući u vidu

da demografski razvitak nije skokovit, za blisku budućnost može biti prihvatljivo. U

10

tom slučaju taj razvitak se obično pretstavlja pomoću neke, manje ili više složene,

formule, pomoću koje se vrši ekstrapolacija za izabrane projekcione godine.

Projekcija stanovništva matematičkim metodom izrađuje se relativno jednostavno

i brzo, a od podataka dovoljno je raspolagati podacima o ukupnom stanovništvu, ili nekoj

drugoj populacijskoj veličini. Projekciju ovim metodom moguće je izraditi i za podgrupe

stanovništva, koje imaju osobine totala, ali je važno da se ne uključuje starosna struktura.

Na primer, kontingent žena u fertilnom periodu, ili školoobavezni kontingent dece, ili

broj udatih žena i dr. Svaka od ovih kategorija se odvojeno projektuje na osnovu

sopstvenog kretanja u prošlom periodu. Isti postupak moguće je primeniti i npr. kod

projiciranja broja živorođenih, ali i za ekstrapolaciju stope nataliteta, ili bilo kog drugog

pokazatelja. Jednostavno, ekstrapoliraju se njihove vrednosti za buduće godine, na bazi

prošlih trendova. Za kraće vremenske periode primena ovog metoda je sasvim opravdana.

Upotreba matematičkog metoda

S obzirom da je za primenu matematičkog metoda dovoljno znati veličinu ukupne

populacije, to je on podesan uvek kada nije moguće raspolagati detaljnim podacima.

Obično je to slučaj za brojčano male populacije, za koje je dostupna njihova ukupna

brojnost, a ne uvek i starosni sastav.

Iako je veličina stanovništva rezultanta delovanja nataliteta, mortaliteta i

migracija, uticaj ovih komponenata manifestuje se (zbirno) samo preko ukupne

populacije u dosadašnjem periodu. Otuda, projektovanje demografske budućnosti

matematičkim metodom može dati dobre rezultate samo za kratkoročne i srednjoročne

periode. Jer, kao što je poznato, kada su u pitanju komponente prirodnog kretanja

(natalitet i mortalitet), one su dugoročne po svom delovanju i ne ispoljavaju značajnije

promene u kraćim vremenskim periodima, čime se opravdava stav da će budućnost ličiti

na prošlost. Pouzdanost takvih projekcija je znatna ukoliko nema nekih događaja koji

bitno utiču na demografski razvitak, kao što su npr. ratovi i slično.

11

Prednosti i ograničenja matematičkog metoda

Lako dostupni, i uglavnom raspoloživi, podaci neophodni za primenu

matematičkog metoda su prednost za njegov izbor. U svim slučajevima kada se želi brza

prognoza ukupnog stanovništva ili nekih njegovih delova primena ovog metoda je veoma

prihvatljiva. Takođe, i uvek kada se raspolaže samo podacima o ukupnom stanovništvu a

ne i o njegovoj starosnoj strukturi, a to je često slučaj kod predviđanja za mala područja,

odnosno populacije. I najzad, njegova primena u uslovima regularnog odvijanja

demografskog razvitka, bez značajnijih potresa, za kratkoročne ili srednjoročne

projekcije, je veoma opravdana.

Ograničenja ovog metoda direktno se vezuju za prednosti koje nudi metod

komponenata, o čemu će kasnije biti reči. No ipak, osnovni njegov nedostatak je što

uzimajući samo podatak o ukupnom broju stanovnika na nekom području, zapravo

ignoriše podatke o godišnjem broju rođenih, umrlih i migranata. Jer, u uslovima dobre

registracije vitalnih događaja i migracija, predviđanje je pouzdanije ako se uzmu u obzir

sve četiri komponente rasta stanovništva (živorođeni, umrli, useljeni i iseljeni). Sledeći

jednostavan primer to potvrđuje. Naime, obračun stanovništva Srbije za 2007. godinu,

pod pretpostavkom da će se nastaviti uočeni rast iz međupopisnog perioda 1991-2002,

moguće je dobiti korišćenjem samo podataka o ukupnom broju stanovnika iz ta dva

popisa (1991. i 2002. godine). Ako bismo koristili komponente rasta, pod uslovom da su

podaci raspoloživi i tačni, dobili bismo pouzdanije ocene. To možemo napisati na sledeći

način

P2007 = P2002 + ( N2002-2007 – M2002-2007 ) + ( I2002-2007 – E2002-2007 ),

gde je P2002 broj stanovnika iz popisa 2002. godine, P2007 očekivani broj stanovnika u

2007. godini, a N, M, I, E su brojevi živorođenih, umrlih, useljenih i iseljenih za period

2002-2007. Potsećamo da je gornja jednačina poznata kao osnovna demografska

jednačina ili jednačina ravnoteže stanovništva.

Ograničenje za primenu matematičkog metoda je i da budućnost ne mora da liči

na prošlost, što je sadržano u osnovi metoda. To je naročito neodrživo ako su u pitanju

12

duži vremenski periodi. Primenom matematičkih formula često se u projekcijama

precenjuje buduća veličina populacije, uglavnom zbog fertiliteta čije se dugoročno

opadanje ne uključuje u obračun, jer se zapravo samo ekstrapoliraju prošli trendovi date

populacije.

Primena matematičkog metoda za projekcije različitih podgrupa stanovništva

jedne populacije ignoriše prirodnu međuzavisnost među njima, što je takođe jedno od

ograničenja ovog metoda.

Projekcija ukupnog stanovništva na osnovu podataka iz dva popisa

Matematički metod projekcije može da se bazira na kretanju stanovništva bilo

tokom kraćeg ili dužeg perioda u prošlosti. Ako polazi od kraćeg, mogu se koristiti

podaci iz samo dva vremensaka preseka. Objasnićemo projekciju ukupnog stanovništva

na osnovu podataka iz dva sukcesivna popisa.

Ako sa obeležimo broj stanovnika prema prvom popisu održanom u momentu

, a sa broj stanovnika prema drugom popisu sprovedenom u momentu , između

kojih je proteklo n godina ( ), možemo vrlo lako odrediti broj stanovnika u bilo

kojoj godini posle drugog popisa. Može se primeniti a) ekstrapolacija pomoću aritmetičke

progresije, b) ekstrapolacija pomoću geometrijske progresije i c) ekstrapolacija pomoću

eksponencijalne stope rasta.

a) Ekstrapolacija pomoću aritmetičke progresije (ili linearna ekstrapolacija)

podrazumeva da se najpre izračuna prosečni godišnji porast stanovništva između dva

sukcesivna popisa za koja se raspolaže podacima. Zatim se tako izračunat porast dodaje

broju stanovnika poslednjeg popisa onoliko puta za koliko godina unapred želimo

projekciju.

Koristeći već navedene simbole, prosečni godišnji porast stanovništva između dva

sukcesivna popisa (obeležen sa ) izračunava se na sledeći način

.

13

Na osnovu broja stanovnika iz poslednjeg popisa i prosečnog godišnjeg porasta

, projekcija (budući broj stanovnika) za godinu n + t, koja je t godina posle poslednjeg

popisa, dobija se ekstrapolacijom na sledeći način:

Primena aritmetičke progresije, dakle, podrazumeva da će stanovništvo u

budućnosti rasti ili opadati za isti apsolutni broj svake godine ( ). To onda znači da ako

je u pitanju populacija koja je u porastu, stopa rasta biće sve manja, što nije od većeg

uticaja u kraćem vremenskom periodu, pa primena može biti opravdana.

Projekcija pomoću aritmetičke progresije pogodna je kada je potrebno izraditi

obračun za celu populaciju, ali i za sve njene delove (npr. po teritorijama). Jer, ovaj

metod obezbeđuje da zbir projektovanih vrednosti svih delova jedne populacije bude

jednak projekciji ukupnog stanovništva. Na primer, ako znamo projektovano

stanovništvo Centralne Srbije, Vojvodine i Kosova i Metohije, projekciju za stanovništvo

Srbije u celini možemo dobiti njihovim zbirom.

P r i m e r

Stanovništvo Centralne Srbije

P0 = 5 606 642 , popis 1991. godine

Pn = 5 466 009 , popis 2002. godine

=

Projicirani broj stanovnika u 2005. godini iznosiće

14

Broj godina između dva popisa, čiji se podaci koriste za obračun budućeg

stanovništva, u ovom primeru je n=11. A t=3, jer od poslednjeg popisa (2002.) do

projekcione godine (2005.) ima upravo 3 godine.

b) Ekstrapolacija pomoću geometrijske progresije podrazumeva da se najpre

izračuna vrednost za q , iz sledeće jednakosti

,

gde Po i Pn imaju ista, gore navedena značenja.

Sa q je označen količnik između dva uzastopna člana u geometrijskoj progresiji.

Može se izračunati iz prethodne formule na sledeći način

Projekcija stanovništva ( ) za godinu n + t može se tada dobiti pomoću formule

gde je t broj godina koji protekne od poslednjeg popisa do godine za koju se radi

projekcija.

Kod ekstrapolacije pomoću geometrijske sredine sadržana je pretpostavka da će

stopa rasta stanovništva (geometrijska) iz međupopisnog perioda biti ista u svim

godinama projekcionog perioda.

Potsećamo da se geometrijska stopa rasta izračunava pomoću sledeće formule

15

c) Ista pretpostavka važi i kod eksponencijalnog rasta, u kom slučaju se polazi od

sledeće formule:

U formuli je sa e obeležena osnova prirodnog logaritma koja je konstantna vrednost i

iznosi približno e=2,71... Malo slovo r označava eksponencijalnu stopu rasta, a sa n je,

kao i u prethodnim slučajevima, označena dužina intervala između dva popisa na osnovu

kojih se radi projekcija.

Iz prethodne relacije vrednost stope rasta r može se izračunati na sledeći način:

Kada je izračunata vrednost za r, tada se projekcija za godinu n + t određuje preko

formule

gde je sa t označen broj godina između poslednjeg popisa i projekcione godine.

P r i m e r

a) Geometrijska stopa rasta

P0 = 5 606 642 , popis 1991.

Pn = 5 466 009 , popis 2002.

16

0,9976932798

Projektovani broj stanovnika u 2005. godini iznosiće

P2005 =

b) Eksponencijalna stopa rasta

P0 = 5 606 642 , popis 1991.

Pn = 5 466 009 , popis 2002.

Projektovani broj stanovnika u 2005. godini iznosiće

Treba još pomenuti i sledeće. Gore navedeni postupci mogu da se primene i za obračun

broja stanovnika za godine između dva popisa. U pitanju je tada metod interpolacije

podataka kojim se zapravo dobija procena stanovništva za međupopisne godine.

Projekcija ukupnog stanovništva na osnovu podataka iz tri i više popisa

Obračun budućeg stanovništva može se izvesti i na osnovu ispoljenog toka

kretanja stanovništva u dužem vremenskom periodu. To znači da je potrebno da

raspolažemo podacima o brojnosti ispitivane populacije iz više vremenskih momenata

(popisa). U tom slučaju koriste se različite funkcije pomoću kojih ekstrapoliramo

vrednosti za budući period. Izabrana funkcija (krivulja) treba najbolje da reprezentuje

17

kretanje stanovništva u prethodnom periodu i da posluži za obračun u budućem. Zbog

toga je izbor funkcije prvi korak u izradi projekcije i može se izvršiti pomoću dijagrama.

Naime, treba grafički pretstaviti brojeve stanovnika za odabrane popise i onda izabrati

funkciju koja se najbolje prilagođava tim empirijskim podacima. Na horizontalnoj osi

pretstavljeno je vreme, tj. godine popisa (u formuli označeno sa ), a na vertikalnoj osi

broj stanovnika, (u formuli označeno sa y). Po pravilu, kod izbora funkcije treba voditi

računa da ona nije suviše komplikovana, jer je onda teže odrediti nepoznate parametre.

Još važnije je da izabrana funkcija svojim oblikom ne ugrožava logiku populacione

dinamike. Kada se krivulja izabere potrebno je odrediti (izračunati) njene parametre

primenjujući neki od poznatih metoda, npr. metod najmanjih kvadrata. I najzad, da

bismo na osnovu izabrane funkcije i izračunatih parametara na osnovu empirijskih

podataka, projicirali buduću veličinu stanovništva treba u izabranoj funkciji umesto

staviti godinu za koju želimo projekciju.

Sledeće funkcije su uglavnom korišćene za ispitivanje razvojnih tendencija, pa

onda i za prognoziranje:

-prava (linearna funkcija) tj.

-parabola drugog stepena tj.

-eksponencijalna funkcija tj.

-modifikovana eksponencijalna tj.

-Pearl-Read-ova logistička funkcija

U gornjim funkcijama sa je označena vrednost funkcije, odnosno broj

stanovnika; je vreme, odnosno godina popisa; a, b, c, k, T su parametri koje treba da

izračunamo na osnovu empirijskih podataka o broju stanovnika iz popisa.

Na ovom mestu prikazaćemo jednačine koje se koriste za izračunavanje

parametara kod nekih od pomenutih funkcija. U pitanju su tzv. normalne jednačine

dobijene primenom metoda najmanjih kvadrata.

Kod linearne funkcije nepoznati parametri su označeni sa a i b. Njih

možemo izračunati rešenjem sledećeg sistema od dve jednačine, tj.

18

Sa N je označen broj podataka, odnosno vremenskih momenata koji će biti

korišćeni (broj popisa), sa je označena godina popisa, a sa broj stanovnika iz popisa.

Na primer, ako bi želeli da projiciramo stanovništvo nekog naselja u Srbiji na osnovu

podataka svih popisa od 1953. do 2002. godine, a pomoću linearne funkcije, tada je N=6

(jer se radi o ukupno 6 popisa, tj. 1953, 1961, 1971, 1981, 1991. i 2002. godine). Prva

vrednost za x je 1953, zatim 1961, pa 1971. itd. do poslednje vrednosti koja iznosi 2002.

Odgovarajuće vrednosti za Y su brojevi stanovnika u tim godinama za to naselje.

Projektovani broj stanovnika za npr. 2010. godinu dobiće se kada se u funkciji ,

gde su parametri a i b poznati (izračunati), umesto x stavi 2010.

Kod parabole treba izračunati tri nepoznata parametra a, b i c . U

tom slučaju rešava se sistem od tri jednačine

Izračunavanje parametara kod eksponencijalne funkcije

praktično se svodi na sistem jednačina kao kod linearne funkcije, ali je prethodno

potrebno logaritmovati celu funkciju i uvesti određene zamene, posle čega se postupa kao

sa linearnom funkcijom.

Inače, opisani postupak izračunavanja nepoznatih parametara poznat je u analizi

vremenskih serija kao metod trenda i često korišćen statistički metod.

19

P r i m e r

Kao primer, data je projekcija stanovništva grada Beograda za 2011. godinu na

osnovu podataka iz šest popisa od 1948. do 1991.godine. Dobijene rezultate treba shvatiti

uslovno.

Kao što je rečeno, izabrana funkcija treba najbolje da pretstavlja kretanje

stanovništva u posmatranom periodu, da bi nam poslužila za obračun u budućem periodu.

Kada izaberemo odgovarajuću funkciju, izračunavamo njene parametre primenjujući neki

od poznatih metoda.

Testiramo dve funkcije: linearni trend i parabolu drugog stepena, da bi smo

izabrali onu koja najbolje aproksimira popisne podatke. Može se postupiti na sledeći

način. Koristimo podatke iz popisa od 1948. do 1991. godine na bazi kojih, najpre

izračunavamo (projektujemo) broj stanovnika za 2002. godinu, pomoću obe navedene

funkcije. Pošto raspolažemo i popisnim podatkom o broju stanovnika u 2002. godini,

upoređujemo popisni rezultat sa projektovanim rezultatima. I najzad, biramo onu funkciju

kod koje je uočena najmanja apsolutna razlika između projektovanih i originalnih

vrednosti. Na bazi te funkcije izračunavamo projekciju stanovništva za npr. 2011. godinu.

U tabeli 1 su dati podaci potrebni za izračunavanje linearne funkcije i parabole

drugog stepena.

Tabela 1. Ukupno stanovništvo Beograda po popisima i međurezultati1)

20

Godina popisa

xBroj

stanovništva (Y)

x2 x3 x4 x*Y x2*Y

1948. 8 634.003 64 512 4.096 5.072.024 40.576.1921953. 13 731.837 169 2.197 28.561 9.513.881 123.680.4531961. 21 942.190 441 9.261 194.481 19.785.990 415.505.7901971. 31 1.209.360 961 29.791 923.521 37.490.160 1.162.194.9601981. 41 1.470.073 1.681 68.921 2.825.761 60.272.993 2.471.192.7131991. 51 1.602.226 2.601 132.651 6.765.201 81.713.526 4.167.389.826

Σ 165 6.589.689 5.917 243.333 10.741.621 213.848.574 8.380.539.934

1) Popisne godine 1948, 1953...., označene sa x, iskazane su brojevima 8, 13, 21.... radi lakšeg računanja, što ne utiče na rezultat s obzirom da su zadržani isti razmaci među godinama.

1. Linearni trend

parametare računamo preko normalnih jednačina:

,

Odnosno kada uvrstimo podatke iz tabele dobijamo:

6.589.689 = 6a + 165b

213.848.574 = 165a + 5.197b

Rešenja su sledeća:

a = 447.768

b = 23.655

Najzad, jednačina linearnog trenda glasi:

y = 447.768 + 23.655x

Zamenom vrednosti za x=61 (tj. 2002. godinu) u jednačinu trenda dobijamo

(projektujemo) broj stanovnika za 2002. godinu, tj.

y = 447.768 + 23.655* 61= 1890725

21

Zamenom i ostalih vrednosti za x u jednačinu trenda, dobijamo vrednosti za y

koje upoređujemo sa orginalnim vrednostima Y. Odstupanje originalnih vrednosti Y od

vrednosti linearnog trenda y dato je u Tabeli 2. Kontrolu prilagođenosti funkcije

empirijskim vrednostima vršimo preko razlike Y – y, gde je zbir odstupanja približno

jednak nuli, tj. (poslednja kolona u tabeli 2).

Tabela 2. Odstupanje originalnih od izračunatih vrednosti preko funkcije linearnog trenda

Godina popisa

xBroj stanovništva

po popisima (Y)

Broj stanovništva na osnovu trenda

(y) (Y-y)

1948. 8 634.003 637.008 -3.0051953. 13 731.837 755.283 -23.4461961. 21 942.190 944.524 -2.3341971. 31 1.209.360 1.181.074 28.2861981. 41 1.470.073 1.417.625 52.4481991. 51 1.602.226 1.654.175 -51.949

Σ 0,000000

Dakle, na osnovu izračunate funkcije linernog trenda broj stanovnika za 2002.

godinu u Beogradu je 1.890.725 što je znatno iznad broja stanovnika na osnovu popisa za

istu godinu koji iznosi 1.638.643.

22

Grafik 1 Stanovništvo po popisima i na osnovu linearnog trenda

0

200.000

400.000

600.000

800.000

1.000.000

1.200.000

1.400.000

1.600.000

1.800.000

1948. 1953. 1961. 1971. 1981. 1991.

Broj

sta

novn

ika

Broj stanovništva po popisima(Y)

Broj stanovništva na osnovu trenda(y)

Sa grafika možemo zaključiti da linearni trend dobro aproksimira oginalne

vrednosti za period od 1948. do 1971. godine, dok u narednom periodu dolazi do

odstupanja.

2. Parabola drugog stepena

Vrednosti parametara izračunavamo preko normalnih jednačina, odnosno:

23

Zamenom sa odgovarajućim vrednostima iz tabele dolazimo do sistema jednačina:

6.589.689 = 6a + 165b + 5.917c

213.848.574 = 165a + 5.917b + 243.333c

8.380.539.934,00 = 5.917a + 243.333b + 10.741.621c

čijim rešenjem dobijamo sledeće vrednosti parametara:

a = 368.494,37

b = 31.116,34

c = -127,68

Parabolični trend tada glasi:

y = 368.494,37 + 31.116,34x – 127,68x2

Kao i kod linearnog trenda, računamo broj stanovnika za 2002. godinu (tj. za x=61) na

sledeći način:

y = 368.494,37 + 31.116,34*61 – 127,68*612=1.791.499

Broj stanovnika za 2002. godinu, i na osnovu ove funkcije, veći je od broja stanovnika na

osnovu popisa za istu godinu, ali je razlika (-152 856) znatno manja u odnosu na linearni

trend (-252 082).

Zbir odstupanja orginalnih vrednosti Y od vrednosti paraboličkog trenda y koje je

jednako nuli, pokazuje da je račun dobar, dok su pojedinačne razlike između orginalnih

podataka i vrednosti na osnovu jednačine paraboličnog trenda relativno visoke (Tabela

3).

24

Tabela 3. Odstupanje originalnih od izračunatih vrednosti preko funkcije paraboličkog trenda

Godina popisa xBroj stanovništva

(Y)

Broj stanovništva na osnovu trenda

(y) (Y - y)

1948. 8 634.003 609.254 24.7491953. 13 731.837 751.429 -19.5921961. 21 942.190 965.631 -23.4411971. 31 1.209.360 1.210.402 -1.0421981. 41 1.470.073 1.429.637 40.4361991. 51 1.602.226 1.623.336 -21.110

Σ 0,000000

I na grafičkom prikazu se vidi da funkcija paraboličkog trenda bolje aproksimira originalne podatke. Jedina značajna razlika se primećuje kod podataka za 1981. godinu (Grafik 2).

Grafik 2 Stanovništvo po popisima i na osnovu paraboličkog trenda

0

200.000

400.000

600.000

800.000

1.000.000

1.200.000

1.400.000

1.600.000

1.800.000

1948. 1953. 1961. 1971. 1981. 1991.

Broj

sta

novn

ika

Broj stanovništva (Y)

Broj stanovništva na osnovu trenda(y)

25

Iz tih razloga, tj. manje apsolutne razlike između projektovanog i stvarnog broja

stanovnika za 2002. godinu na bazi parabole drugog stepena, projekciju za 2011. godinu

izračunaćemo pomoću te funkcije.

Ekstrapolacija (projekcija) za 2011. godinu (x=71) je u tom slučaju:

y = 368.494,37 + 31.116,34*71 – 127,68*712=1.934.127

Dakle, projektovano stanovništvo Beograda u 2011. godini, na bazi parabole drugog stepena, iznosi 1.934.127 stanovnika.

Primeri za vežbu

1. Opština Čukarica je imala 1991. godine 150257 stanovnika, a 2002. godine

168508. Ako bi se nastavio rast po istoj stopi (geometrijskoj) kao u međupopisnom

periodu koliko bi stanovnika bilo 2009. godine?

2. Opština Sopot je ostvarila porast od 413 stanovnika u periodu 1991-2002. Ako

bi se nastavio linearni rast, koliko bi stanovnika više bilo 2008. u odnosu na 2002.

godinu?

3. Severno-bački okrug je po popisu iz 2002. godine imao 200140 stanovnika.

Koliki se broj stanovnika može očekivati 2010. godine, ukoliko se nastavi rast po

geometrijskoj stopi od -1.061998‰?

4. Na bazi podataka datih u zadatku broj 3 proceniti broj stanovnika u 1998.

godini.

5. Pretstaviti grafički brojeve živorođenih u Beogradu u periodu 1990-2006.

Koja funkcija najbolje aproksimira empirijske podatke?

26

METOD KOMPONENATA

Osobine i primena

Metod komponenata, ili često u literaturi označen i kao analitički metod, ima

drugačiji pristup obračunu stanovništva u budućnosti. On podrazumeva da se na osnovu

proučavanja dosadašnjih promena u stanovništvu definišu pretpostavke (hipoteze) o

budućim promenama komponenata kretanja stanovništva (fertilitetu, mortalitetu i

migracijama) pomoću kojih, polazeći od aktuelne starosne strukture, projiciramo buduće

stanovništvo i njegovu strukturu. A osnovna teza da će budućnost ličiti na prošlost,

koja je polazna kod matematičkih metoda, najčešće je neodrživa, što tim metodima

ograničava domet primene i nameće pristup uključivanja budućih promena razvojnih

komponenata. Brojne su prednosti analitičkog metoda i u mnogim slučajevima to dolazi

do izražaja. Otuda se ovaj metod danas široko primenjuje u izradi nacionalnih projekcija.

Kada je u pitanju buduće stanovništvo nije dovoljno raspolagati samo njegovom

ukupnom veličinom već i njegovom starosnom strukturom. Tada se po pravilu koristi

metod komponenata. Na primer, za potrebe planiranja obrazovanja, neophodno je

poznavati brojnost onih starosnih grupa koje su obuhvaćene nekim od vidova

obrazovanja. Ili, kod planiranja trajnih potrošnih dobara, važan je budući broj

domaćinstava, a on sa druge strane zavisi od udela pojedinih kategorija stanovništva

prema bračnom stanju, tj od udela lica van braka (koji nikada nisu bili u braku), lica u

braku, razvedenih i udovaca. Brojni su i drugi primeri.

Metod komponenata (ili analitički metod) za obračun budućeg stanovništva po

starosti polazi od date starosne strukture (iz bazne godine) i unapred definisanih hipoteza

o determinišućim komponetama rasta (fertilitet, mortalitet, migracije). Polazna starosna

struktura se najčešće uzima iz poslednjeg popisa, dakle aktuelna starosna struktura. Kao

bazna, u nekim slučajevima, može da posluži umesto popisanog i procena stanovništva

po starosti za neku od godina između popisa. U najnovijim zvaničnim projekcijama za

27

stanovništvo Srbije kao bazna populacija poslužila je procena stanovništva na dan 30.

juna 2002. godine (u kojoj je i sproveden popis). Što se tiče hipoteza (pretpostavki) one

se definišu za svaku komponentu pojedinačno, i to je u suštini najvažniji korak u

projiciranju stanovništva. Postavljanje hipoteza podrazumeva poznavanje kompletnog

demografskog razvitka date populacije, poznavanje osnovnih činilaca koji utiču na

komponente rasta, ali i trendove u demografskom razvitku populacija sa sličnim

karakteristikama. Dobro definisane hipoteze omogućavaju demografski logične i bliske

realnosti rezultate za potrebe različitih vidova planiranja, mada se često definišu i takve

hipoteze čija je svrha samo analitička. Uobičajeno je kod izrade projekcija istovremeno

definisanje više različitih hipoteza za svaku od komponenata rasta. Verovatnost budućih

promena u fertilitetu, mortalitetu i migracijama nameće i broj tih pretpostavki. To se

naročito odnosi na fertilitet, s obzirom na njegov presudan uticaj na starosnu strukturu.

Veći broj varijanti hipoteza, za svaku od komponenata rasta, kao rezultat ima različite

scenarije buduće starosne strukture, koji se i označavaju prema nazivima hipoteza o

fertilitetu. Uobičajene varijante za budući fertilitet su: niska, srednja, visoka i konstantna

prema kojima su i projekcije označene istim imenima. Moguće je naravno definisati i

neke druge varijante (npr. srednje-niska, srednje-visoka). U svakom slučaju hipoteze

treba da zadovolje logičnost demografskog razvitka i da budu u verovatnim intervalima

budućih promena u fertilitetu stanovništva, pogotovo ako su one osnova za izradu

različitih planova. Prema tome, kada se govori o različitim scenarijima u budućnosti,

misli se na različite rezultate projekcija na bazi više varijanti hipoteza o fertilitetu. Druge

dve komponente (mortalitet i migracije) se takođe mogu dati u više varijanti, ali najčešće

kao konstantna i promenljiva.

Hipoteze o fertilitetu

Kao što je već rečeno, definisanje hipoteza je najvažnije pitanje kod izrade

projekcija, jer od pretpostavljenih budućih promena fertiliteta, mortaliteta i migracija

zavisi buduća starosna struktura. Pitanje budućeg fertiliteta ima u tome prioritet, jer on i

najviše opredeljuje starosnu strukturu. S druge strane, visok stepen neizvesnosti u

projekcijama stanovništva na nacionalnom nivou potiče upravo od fertiliteta i njegove

28

kompleksne prirode. Iako biološki proces, brojni su faktori koji na njega deluju

(ekonomski, socijalni, kulturni, psihološki), a njihova dinamičnost i međuzavisnost

opredeljuje karakter promena u fertilitetu. Stoga, za definisanje pretpostavki o

promenama fertiliteta u budućnosti neophodna je analiza tendencija fertiliteta u dužem

vremenskom periodu, ali i poznavanje faktora koji utiču na fertilitet, kao i mogućih

promena tog delovanja. Kako se svaka populacija nalazi u određenoj fazi demografske

tranzicije i u uslovima određenog društvenog i ekonomskog razvoja, to i te činjenice

mogu biti od važnosti kod mogućih varijacija fertiliteta u budućnosti. Hipoteze za

kratkoročne i srednjoročne projekcije je svakako lakše definisati, dok je za dalju

budućnost teže pretpostaviti kakvi će biti stavovi budućih generacija o veličini porodice,

pa prema tome i njihovo reproduktivno ponašanje.

Dakle, nakon analize fertiliteta u dosadašnjem periodu i imajući u vidu način i

eventualnu promenu delovanja determinišućih faktora fertiliteta, autor projekcija se

odlučuje za moguće varijante budućeg fertiliteta. Uobičajeno se definišu niska, srednja,

visoka i varijanta konstantnog fertiliteta. Postavlja se pitanje kako, na koji način, uključiti

tako definisane pretpostavke o fertilitetu u konkretan obračun buduće starosno-polne

strukture.

Izabrana hipoteza o fertilitetu direktno će se odraziti na broj živorođenih u

budućem periodu. To znači da se usvojena hipoteza koristi za izračunavanje budućeg

broja živorođenih. Postoje različiti načini da se to učini i objasnićemo neke od njih.

a) pomoću opšte stope fertiliteta (konkretan primer biće baziran na obračunu broja

živorođenih upravo na ovaj način, dakle na osnovu opšte stope fertiliteta). Objasnićemo

prvo obračun broja živorođenih u toku jedne godine, tj od sredine godine t (početna, tj.

bazna godina) do sredine godine t+1 (za koju se izrađuje projekcija), da bi se lakše

razumela njegova suština. Posle će biti dat i obračun živorođenih za period od pet godina,

tj. od sredine godine t do sredine godine t+5

Ako je, dakle, usvojena hipoteza o konstantnoj opštoj stopi fertiliteta na nivou f za

budući period, onda broj živorođenih od sredine bazne godine t do sredine godine t+1,

označen sa , može da se izračuna na sledeći način:

29

(Potsećamo da ova formula proističe iz poznate formule za opštu stopu fertiliteta,

naime )

U gornjoj formuli sa označen je prosečan broj žena u fertilnom periodu

za godine t i t+1, tj.

.

Broj fertilnih žena u baznoj godini ( ) dobijen je popisom stanovništva (to

je inače starosna struktura od koje se polazi kod izrade projekcije stanovništva po

starosti). U godini t+1 (za koju se radi projekcija) broj fertilnih žena označen sa

dobijen je na bazi obračuna, pomoću stopa doživljenja.

Kada je izračunat broj živorođene dece od sredine godine t do sredine godine t+1,

broj muških, odnosno ženskih živorođenja, može se oceniti na osnovu verovatnoće

rađanja muške ( ), odnosno verovatnoće rađanja ženske dece ( ), tj.

i

Sličan obračun se može sprovesti i ako se raspolaže starosnom strukturom po

petogodišnjim starosnim grupama, ali se konačan broj živorođenih dobija množenjem sa

brojem 5, jer se odnosi na živorođene u toku pet godina, tj.od sredine godine t do sredine

godine t+5. U tom slučaju bi bilo

.

30

Dalji postupak određivanja živorođenja prema polu je isti kao u prethodnom

slučaju.

b) Budući broj živorođenih može da se oceni i preko specifičnih stopa fertiliteta

po starosti. Naime, ako su pretpostavljene stope za petogodišnje starosne grupe na nivou

u periodu t do t+5 , proizvod odgovarajuće stope i broja žena u istoj starosnoj

grupi pomnožen sa 5 (jer je u pitanju rađanje u toku 5 godina) daće broj živorođenih u toj

starosnoj grupi. Zbir tih proizvoda u svim starostima fertilnog perioda daće ukupan broj

živorođenih, tj.

Sa je označen prosečan broj žena u starosnoj grupi od x do x+5 godina u

periodu od t do t+5, tj.

Podsećamo da je broj žena u starosti x do x+5 u baznoj godini t (najčešće

podatak iz popisa), a broj žena takođe u starosti od x do x+5, ali iz obračuna za

projekcionu godinu t+5.

Ocena muške, odnosno ženske živorođene dece vrši se na isti način kao što je već

objašnjeno u primeru pod a).

c) pomoću stope nataliteta (n), ili apsolutnog broja živorođenih (N) i njihove

ekstrapolacije za projekcionu godinu. Praktično koristi se neki od matematičkih metoda

koji za kraće periode može biti vrlo prihvatljiv.

Ako se vrši ekstrapolacija apsolutnog broja živorođenih, u pitanju je zapravo

jedna kategorija ukupnog stanovništva (znači bez starosne strukture) i postupa se na isti

način kako je to objašnjeno u poglavlju o matematičkim metodama. Na primer, može se

primeniti metod trenda. Slično je i kada se koristi stopa nataliteta, ali je onda potrebno da

se najpre izračunaju stope nataliteta i, odvojeno, ukupno stanovništvo za budući period

31

(npr. pomoću trenda), pa da se na osnovu njih izračuna budući broj živorođenih. Za neku

budući godinu t+1 , broj živorođenih bio bi obračunat na sledeći način:

gde su i ukupno stanovništvo i stopa nataliteta određeni (izračunati) nekim od

matematičkih metoda i odnose se na projekcionu godinu t+1.

Na ovom mestu treba skrenuti pažnju da broj živorođenih u nekoj budućoj godini,

izračunat na neki od pomenutih načina, služi zatim za obračun lica starih 0 godina,

odnosno 0 do 4 godine, u zavisnosti da li se projektuje stanovništvo po pojedinačnim

godinama starosti ili po petogodišnjim intervalima.

Hipoteze o mortalitetu

Definisanje hipoteza o mortalitetu je znatno jednostavnije nego hipoteza o

fertilitetu. Iako i u ovom slučaju treba predvideti moguće promene smrtnosti u budućem

periodu, u zemljama koje redovno izrađuju tablice mortaliteta, hipoteze je relativno lako

definisati. S druge strane, u uslovima niskog mortaliteta, njegov uticaj na brojnost i

strukturu stanovništva je od daleko manjeg značaja od uticaja fertiliteta.

Prema tome, za obračun budućeg stanovništva po starosti i polu potrebno je da

raspolažemo tablicama mortaliteta za najnoviji period. Na osnovu njih izračunavaju se

stope doživljenja, koje neposredno služe za obračun projektovane populacije. Stope su

date posebno za muško i žensko stanovništvo. Ako se radi projekcija za pojedinačne

godine starosti, onda se koriste stope doživljenja iz potpunih tablica mortaliteta, dok se za

obračun po petogodištima upotrebljavaju skraćene tablice i odgovarajuće stope

doživljenja.

Uzmimo primer skraćenih tablica mortaliteta. Izračunate stope doživljenja po

petogodištima, za svaki pol, prikazane su na sledeći način

32

. . . (muški

pol)

. . . (ženski pol)

Osim ovih stopa potrebne su i stope doživljenja za obračun prve starosne grupe, tj

od 0 do 4 godine. Te stope obeležavamo redom za muško, odnosno žensko stanovništvo,

i .

Na ovom mestu podsetićemo i na značenje stopa doživljenja. Stopa (bez

razlike prema polu) označava proporciju lica starih od x do ispod x+5 godina koji će se

posle pet godina nalaziti u starosnoj grupi od x+5 do x+10 godina. Takođe, stopa

doživljenja označena sa (bez razlike po polu) pokazuje proporciju živorođenih u

toku pet godina koji će se na kraju tog perioda nalaziti u starosnoj grupi od 0 do ispod 5

godina.

Stopa doživljenja izračunava se pomoću biometrijskih funkcija iz tablica

mortaliteta na sledeću način , a stopa

Hipoteze o migracijama

Na kretanje ukupnog stanovništva i njegove starosne strukture, naročito kod nekih

populacija i, posebno u nekim periodima, značajan uticaj imaju migracije stanovništva.

Otuda, uvek kada je njihovo delovanje očigledno, treba ih uključiti u projekcije.

Migracije su po prirodi znatno dinamičnije od komponenata prirodnog kretanja, a faktori

koji ih uslovljavaju mogu da ispolje svoj uticaj i u kratkim vremenskim periodima.

Uvažavanje ovih činjenica doprinosi i stepenu pouzdanosti hipoteza o budućim

promenama migracija. Inače, kada su u pitanju migracije treba razgraničiti spoljne od

unutrašnjih, s obzirom na različit uticaj svake od njih na promene u stanovništvu,. Znatno

složenije su svakako unutrašnje migracije, te je i postavljanje hipoteza o budućim

33

promenama u unutrašnjim preseljavanjima znatno teže. Praktično svaki slučaj tretiranja

migracionih kretanja zahteva posebnu analizu, jer je nemoguće generalizovati način

njihovog uključivanja za projekcije. Svakom takvom postupku prethodi analiza

demografskog razvitka u dosadašnjem periodu, ali je poželjno imati u vidu i opšti

društveno-ekonomski razvitak samog područja i eventualno moguće promene.

S obzirom da je definisanje hipoteza o budućim migracijama često vrlo otežano

iz različitih razloga (njihova velika dinamičnost, nepostojanje pouzdanih podataka i sl.),

ono se svodi uglavnom samo na prognoziranje ukupnog migracionog salda. Utvrđivanje

budućeg migracionog salda moguće je oceniti na različite načine. Može se primeniti

ekstrapolacija vrednosti na osnovu trendova iz prošlih perioda. Takođe, može se

primeniti analitički metod u svom integralnom obliku, a to znači da se raspolaže

podacima o ukupnom broju migranata, njihovoj starosnoj strukturi, kao i informacijama o

rođenjima i umiranjima kod migranata.

Najednostavniji način postavljanja hipoteza o budućim migracijama svodi se,

ipak, na hipoteze o promeni samo ukupnog migracionog salda, a tek posle njegovu

distribuciju po starosnim grupama.

Kada je već ocenjen budući migracioni saldo, potrebno je izvršiti njegovu

raspodelu po starosnim grupama, da bi se ocenio uticaj migracija na svaku od njih.Taj

postupak moguće je sprovesti na više načina. Na primer, moguće je izvršiti distribuciju

ukupnog migracionog salda po starosnim grupama po principu sličnosti sa starosnom

strukturom za ukupno stanovništvo. Jer, u nekim slučajevima starosni sastav migracionih

tokova (npr. kod prisilnih migracija) može biti veoma sličan sastavu ukupnog

stanovništva. Ipak, treba voditi računa da je najčešće veoma izražena selektivnost

migranata prema starosti, pa u skladu sa tim izvršiti distribuciju salda po starosnim

grupama. U tu svrhu mogu se primeniti teorijski modeli starosne strukture migracionog

salda na konkretan migracioni saldo.

Konačno, na bazi migracionog salda po starosno-polnim grupama, izračunavaju

se stope migracija, takođe prema starosti i polu, koje zatim služe kao korektivni faktor

kod obračuna budućeg stanovništva po starosno-polnim grupama, u slučaju projekcija za

otvoreno stanovništvo. Postupak obračuna budućeg stanovništva po starosti i polu

34

svodi se tada na već opisani postupak, na osnovu samo hipoteza o fertilitetu i mortalitetu,

i korekciji svake starono-polne grupe pod uticajem promena u migracijama.

Obračun budućeg stanovništva prema starosti i polu

Kada su definisane i usvojene hipoteze, obračun budućeg stanovništva prema starosti i

polu (izrada projekcije) sprovodi se na sledeći način. Objasnićemo najpre slučaj

zatvorenog stanovništva, tj. onog kod kojeg nema uticaja migracionih kretanja, pa se

stoga uključuju samo hipoteze o budućem fertilitetu i mortalitetu.

Dakle, ako je starosno-polna struktura iz bazne godine t data po petogodišnjim

starosnim grupama (bez razlikovanja prema polu), tj.

. . . ,

i ako su date stope doživljenja na bazi skraćenih tablica mortaliteta, takođe za godinu t, i

bez razlike po polu, tj.

. . . , a takođe i stopa označena sa ,

onda se obračun stanovništva za godinu t+5 svodi na množenje pojedinih starosnih grupa

sa odgovarajućim stopama doživljenja, ili

(1) (2) (3)

35

i tako dalje za sve ostale starosne grupe.

.

.

.

Ili u opštem slučaju,

Prema tome, u prvoj koloni prethodnih formula data je projekcija stanovništva po

petogodišnjim starosnim grupama za godinu t+5. U drugoj koloni data je starosna

struktura iz bazne godine t, kao i ocenjeni broj živorođenih od sredine godine t do sredine

godine t+5 (u prvom redu). Potsećamo da se broj živorođenih izračunava na jedan od

prikazanih načina u odeljku o hipotezama o fertilitetu. Prema tome, uticaj budućih

promena u fertilitetu, iskazan kroz usvojenu hipotezu, realizuje se u obračunu budućeg

broja živorođenih, a preko njega i na obračun prve starosne grupe. U trećoj koloni date su

odgovarajuće stope doživljenja.

Ovako prikazan obračun buduće starosne strukture sprovodi se posebno za

muško, odnosno žensko stanovništvo (u indeksu kod pojedinih simbola u tom slučaju

stoji m ili f).

Uključivanje u obračun i migracionih kretanja podrazumeva da se njihov uticaj

izrazi kroz tzv. korektivne faktore, kojim će se svaka starosna grupa dodatno korigovati.

U tom slučaju obračun za starosnu grupu od x do x+5 godina svodi se na sledeće:

,

gde je sa označen korektivni faktor.

P r i m e r 1

Prikazaćemo postupak izrade projekcije stanovništva po starosti primenom

metoda komponenata, na konkretnom primeru za žensko stanovništvo Centralne Srbije.

Kao bazna poslužiće starosno-polna struktura iz poslednjeg popisa 2002. godine. Primer

36

je krajnje pojednostavljen što se tiče hipoteza o budućim promenama komponenata rasta,

da bi se lakše razumeo ceo postupak. Naime, po pitanju fertiliteta prihvaćena je hipoteza

o njegovoj nepromenljivosti u projekcionom periodu. Broj živorođenih oceniće se

pomoću opšte stope fertiliteta (primer pod a) kod hipoteze o fertilitetu). I po pitanju

mortaliteta, takođe, usvojena je varijanta konstantnog mortaliteta. Što se tiče migracija,

one u ovom primeru nisu uključene. Obračun je prikazan u Tabeli 1.

Tabela 1. Obračun ženskog stanovništva Centralne Srbije po starosti

za 2007. godinu

Starosne

grupe

Stanovništvo

po popisu

2002. g.

Stope

doživljenja

Projekcija

za 2007.g

bez

migracija

(1) (2) (3) (4)

Ukupno 2 805 021 - 2 693 335

0-4 121 542 0.99790 122 443

5-9 139 125 0.99893 121287

10-14 154 963 0.99863 138 976

15-19 174 886 0.99820 154 750

20-24 181 842 0.99780 174 571

25-29 184 057 0.99688 181 442

30-34 174 730 0.99521 183 483

35-39 176 171 0.99301 173 893

40-44 193 546 0.98801 174 940

45-49 227 489 0.98054 191 225

50-54 212 185 0.96815 223 062

55-59 145 967 0.94856 205 427

60-64 170 771 0.91317 138 458

65-69 184 297 0.85388 155 943

70-74 163 645 0.76208 157 368

37

75-79 112 937 0.65216 124 711

80 i više 65 775 0.65162 73 653

U koloni (2) prethodne tabele data je starosna struktura ženskog stanovništva

Centralne Srbije dobijena popisom iz 2002. godine. Ona je poslužila kao početna (bazna)

starosna struktura. Na osnovu nje izračunato je buduće stanovništvo po starosti za 2007.

godinu. U koloni (4) prikazan je rezultat projekcije pod pretpostavkom da migracije

nemaju uticaja na buduće stanovništvo. Dakle, pošlo se samo od uticaja mortaliteta i

fertiliteta. Kolona (4) izračunata je množenjem broja stanovnika iz kolone (2) i stopa

doživljenja iz kolone (3). Potsećamo da svaki od proizvoda za određenu starosnu grupu

daje stanovništvo u narednoj starosnoj grupi. Na taj način izračunava se stanovništvo za

sve starosne grupe osim za prvu. Prvi red u koloni (4) označava broj lica koji će u 2007.

godini biti u starosti 0-4. On je izračunat na osnovu broja živorođenih od 2002. do 2007. i

odgovarajuće stope doživljenja. Broj živorođenih izračunat je na bazi usvojene opšte

stope fertiliteta (f) od 40‰. To je urađeno na sledeći način.

Broj žena u fertilnom periodu 2002. iznosi 1 312 721 (podatak iz popisa)

Broj žena u fertilnom periodu 2007. iznosi 1 234 304 (podatak iz projekcije)

Prosečan broj žena sredinom perioda 2002/2007 iznosi

(1312721+1234304) : 2 = 1 273 513

Ako je opšta stopa fertiliteta 40‰, broj živorođenih u toku 5 godina se dobija na

sledeći način (objašnjeno pod a) kod hipoteze o fertilitetu)

5 (1273513 40) : 1000 = 254703, a broj živorođenih beba ženskog pola

množenjem tog broja verovatnoćom rađanja ženskog deteta, tj

254703 0.485 = 123531

Konačno, pošto stopa doživljenja za žensku živorođenu decu iznosi

0.99119, to se broj lica u starosti 0-4 dobija

123531 0.99119 = 122443

38

Što se tiče hipoteze o mortalitetu, prihvaćena je hipoteza o konstantnom

mortalitetu u narednom periodu, i to na nivou mortaliteta iz skraćenih tablica mortaliteta

za žensko stanovništvo Centralne Srbije za period 2000-2001. U koloni (3) date su stope

doživljenja izračunate na bazi pomenutih tablica.

P r i m e r 2

U sledećem primeru data je projekcija ženskog stanovništva Beograda po starosti

i polu primenom metoda komponenata. Projekcija je urađena za 2007. i 2012. godinu.

Najpre je izračunata projekcija za zatvoreno stanovništvo (bez hipoteze o migracijama), a

zatim su u obračun uključena i migraciona kretanja. Kao bazna uzeta je starosno-polna

struktura iz popisa 2002. godine. U oba slučaja pošlo se od pretpostavke o konstantnom

fertilitetu i mortalitetu tokom projekcionog perioda. Za hipotezu o mortalitetu, korišćene

su skraćene tablice mortaliteta za 2002. godinu za grad Beograd, a za fertilitet je uzeta

stopa fertiliteta iz 2005. godine na nivou od 41,3‰.

a) Projekcija stanovništva bez migracija

Sa hipotezom o nultom migracionom saldu obračun budućeg stanovništva

prikazan je u tabeli 1 :

Tabela 1

Projekcije ženskog stanovništva Beograda, za 2007god. i 2012god,bez migracija

Starosne grupe Popis st.2002

Stope doživljenja

Projekcija st.2007

Projekcija st.2012

(1) (2) (3) (4) (5)0-4 33323 0,99832 38291 3552555-9 37245 0,99905 33267 38227

10-14 40812 0,99880 37210 3323515-19 49658 0,99869 40763 3716520-24 56153 0,99799 49593 4071025-29 57939 0,99706 56040 4949330-34 54409 0,99614 57769 5587535-39 53416 0,99331 54199 5754640-44 58900 0,98742 53059 53836

39

45-49 72318 0,98005 58159 5239150-54 71215 0,97072 70875 5699955-59 44934 0,95258 69130 6880060-64 50897 0,91935 42803 6585265-69 50529 0,86455 46792 3935170-74 43445 0,77684 43685 4045475-79 30303 0,65163 33750 33936

80 i više 18124 19746 21992 Ukupno 823620 805131 781389* Osenčene starosne grupe označavaju ženski fertilni kontingent

U koloni 3 prikazane su stope doživljenja izračunate na bazi tablica mortaliteta iz 2002.

godine.

Množenjem kolone 2 i kolone 3 dobija se tražena projekcija za 2007. godinu (kolona 4)1.

Broj živorođenih u periodu 2002-2007 izračunat je na sledeći način:

Broj žena u fertilnom u 2002. godini (osenčene starosne grupe) iznosi 402793

Broj žena u fertilnom u 2002. godini iznosi 369581

Prosečan broj žena u fertilnom periodu sredinom perioda 2002/2007 iznosi

(402793+369581):2 = 386187

Broj živorođenih u toku pet godina, pod uslovom da je opšta stopa fertiliteta 41,3‰,

iznosi 5 (386187 41.3):1000=79748, a broj živorođenih beba ženskog pola dobija se

množenjem tog broja verovatnoćom rađanja ženskog deteta, tj. 79748 0.485=38678.

Broj živorođenih od 2002. do 2007. godine služi da se izračuna broj lica u starosnoj grupi

0-4. Pošto stopa doživljenja za žensku živorođenu decu iznosi 0.98999 (na bazi

tablica iz 2002. godine), broj lica u starosti 0-4 za 2007. godinu dobija se 38678

0.98999=38291, što je i prikazano u tabeli.

Isti postupak projektovanja primenjen je i za 2012. godinu. Starosna struktura iz

2007. godine (kolona 4) je sada bazna i množi se sa stopama doživljenja (kolona 3) da bi

se dobila projekcija za 2012. godinu (kolona 5). Broj živorođenih se izračunava za period

1 Postupak je objašnjen u prethodnom primeru za populaciju Centralne Srbije.

40

2007-2012. Koristi se isti postupak. Treba ponoviti da je prihvaćena hipoteza o

konstantnoj smrtnosti po starosti iz 2002. godine i konstantnom fertilitetu iz 2005.

godine.

a) Projekcija stanovništva uključujući i migracije

U tabeli 2 prikazan je obračun korektivnog faktora koji u obračun budućeg

stanovništva treba da uključi i migracije.

Na osnovu migracionog salda iz 2002 godine izračunate su godišnje stope

migracionog salda (neto migracije) koje su prikazane u koloni 4 (podaci u koloni 2

podele se sa podacima u koloni 3). U koloni 5 stope migracionog salda pomnožene su sa

5 jer se odnose na petogodišnji period. Korektivni faktor prikazan je u koloni 6. Izračunat

je kao zbir petostruke vrednosti stope migracionog salda (kolona 5) i jedinice. U

starosnim grupama od 60-64, 65-69 i 75-79 stope migracionog salda su negativne (više

je odseljenih nego doseljenih), pa je faktor migracija manji od 1. U ostalim starosnim

grupama stope migracija su pozitivne, pa je korektivni factor veći od jedinice.

Tabela 2Migracioni saldo, stope i faktori migracija po starosti za žensko stanovništvo Beograda

Starosne grupeMigracioni

saldoPopis st.

2002

Stope migracionog

salda (godišnje)

Stope migracionog

salda5

Faktori migracije

(1) (2) (3) (4) (5) (6)0-4 99 33323 0,00297 0,01485 1,014855-9 91 37245 0,00244 0,01222 1,01222

10-14 77 40812 0,00189 0,00943 1,0094315-19 251 49658 0,00505 0,02527 1,0252720-24 955 56153 0,01701 0,08504 1,0850425-29 1101 57939 0,01900 0,09501 1,0950130-34 166 54409 0,00305 0,01525 1,0152535-39 66 53416 0,00124 0,00618 1,0061840-44 92 58900 0,00156 0,00781 1,0078145-49 88 72318 0,00122 0,00608 1,0060850-54 19 71215 0,00027 0,00133 1,00133

41

55-59 20 44934 0,00045 0,00223 1,0022360-64 -1 50897 -0,00002 -0,00010 0.9999065-69 -18 50529 -0,00036 -0,00178 0.9982270-74 4 43445 0,00009 0,00046 1,0004675-79 -3 30303 -0,00010 -0,00050 0,99950

80 i više 13 18124 0,00072 0,00359 1,00359

Projekcija ženskog stanovništva Beograda uključujući i migracije prikazana je u

tabeli 3. Brojevi stanovnika po starosnim grupama iz kolone 2 množe se redom

odgovarajućom stopom doživljenja (kolona 3) i faktorom migracija (kolona 4) da bi se

dobila projekcija za 2007. godinu. Na taj način dobija se projektovano stanovništvo za

sve starosne grupe počev od 5-9, 10-14 ...., osim za prvu starosnu grupu, koja se

izračunava pomoću broja živorođenih u periodu 2002-2007, o čemu je bilo reči.

Tabela 3Projekcije ženskog stanovništva Beograda, za 2007god. i 2012god,sa migracijama

Starosne grupe

Popis st.2002

Stope doživljenja

Faktori migracije

Projekcija 2007

Projekcija 2012

1 2 3 4 5 60-4 33323 0,99832 1,01485 38960 375165-9 37245 0,99905 1,01222 33761 39472

10-14 40812 0,99880 1,00943 37664 3414115-19 49658 0,99869 1,02527 41148 3797420-24 56153 0,99799 1,08504 50846 4213225-29 57939 0,99706 1,09501 60806 5505930-34 54409 0,99614 1,01525 63257 6638735-39 53416 0,99331 1,00618 55026 6397540-44 58900 0,98742 1,00781 53386 5499545-49 72318 0,98005 1,00608 58613 5312750-54 71215 0,97072 1,00133 71306 5779355-59 44934 0,95258 1,00223 69222 6931160-64 50897 0,91935 0.99990 42898 6608665-69 50529 0,86455 0.99822 46787 3943470-74 43445 0,77684 1,00046 43607 4037875-79 30303 0,65163 0,99950 33765 34012

80 i više 18124 1,00359 19736 21991 

823620 820976 791792

42

I u ovom slučaju prihvaćene su hipoteze o konstantnom mortalitetu i fertilitetu u

toku projekcionog perioda. Osim toga, prihvaćena je hipoteza i o konstantnom

migracionom saldu po starosnim grupama na nivou salda iz 2002. godine. Treba imati u

vidu da su prihvaćene pretpostavke date ilustrativno u cilju što jednostavnijeg prikaza

samog obračuna budućeg stanovništva. Više puta je naglašeno da je definisanje hipoteza

najvažnija faza procesa projektovanja. Njihovo definisanje mora da uvaži ne samo

dosadašnje demografske trendove, nego i opšte socio-ekonomske i političke uslove u

kojima se jedna populacija razvija, kao i njeno okruženje. To se naročito odnosi na

migraciona kretanja, čija se dinamičnost ispoljava i u relativno kratkim periodima.

Primeri za vežbu

1. Na osnovu specifičnih stopa fertiliteta po starosnim grupama za Vojvodinu u

2002. godini (koristiti odgovarajuću Demografsku statistiku), izračunati broj živorođene

muške dece u toj godini.

2. Da li se stope doživljenja nalaze neposredno u tablicama mortaliteta. Kako se

izračunava stopa doživljenja i šta ona pokazuje?

3. Broj stanovnika u starosnoj grupi 15-19 iznosi 200186. Koliko će ih iz te

generacije biti za pet godina u jednoj zatvorenoj populaciji? ( = 0.9939155 )

4. Potseti se kako se izračunava migracioni saldo pomoću vitalno-statističkog

metoda.

5. U kojim situacijama je starosna struktura migracionog salda slična strukturi

kod ukupnog stanovništva.

6. Posmatraj Tabelu 1. Koje bi starosne grupe u projiciranoj populaciji (kolona

4) najviše bile korigovane pod uticajem migracija? Od čega zavisi da li će biti više ili

manje stanovnika po projekciji nego u baznoj godini ako se posmatra ista kohorta

živorođenih?

7. Probaj da uradiš projekciju za 2012. godinu, sa istim pretpostavkama i

podacima iz Tabele 1.

43

PROJEKCIJA RADNE SNAGE

Objasnićemo u osnovnim crtama projekciju radne snage ili aktivnog stanovništva.

Osnovni metodi projekcija, matematički i metod komponenata, o kojima je bilo reči,

praktično se koriste i kod prognoziranja aktivnog stanovništva. Jer, ono može da se

posmatra kao kategorija ukupnog stanovništva, u kom slučaju su pogodni matematički

metodi, ili može da dođe do izražaja njegova starosna struktura, pa se koristi i analitički

metod. Potsećamo međutim, da radna snaga, ili aktivno stanovništvo zavisi od mnogih

faktora, kao što su demografski, socijalni, ekonomski, o čemu u tim razmatranjima treba

voditi računa.

Primena matematičkog metoda za projekciju ukupnog aktivnog stanovništva

podrazumeva analizu njegovog kretanja u dosadašnjem periodu, a zatim ekstrapolaciju

pomoću, na primer, krive koja se najviše prilagođava tom razvitku. Ako je starosna

struktura ukupnog stanovništva stabilna, onda se na ovaj način za kraće periode mogu

dobiti zadovoljavajući rezultati.

Kombinacija matematičkog i komponentnog metoda takođe dolazi u obzir kod

prognoziranja veličine radne snage. Tada se koristi buduća starosna struktura (dobijena

metodom komponenata), i na nju se primenjuju specifične stope aktivnosti po starosti

npr. iz popisa.

Moguće je u potpunosti primeniti analitički metod. U tom slučaju se polazi od

analitičke projekcije za ukupno stanovništvo po starosti, a specifične stope aktivnosti po

starosti i polu ocenjuju se na bazi njihovog dosadašnjeg kretanja i pretpostavki o

budućem delovanju pojedinih faktora na veličinu radne snage.

Poslednja dva pristupa u projiciranju buduće radne snage zapravo podrazumevaju

da se već raspolaže projekcijom za ukupno stanovništvo ili njegovu starosnu strukturu i

tada je moguće dalje postupiti na jedan od sledećih načina.

1) pomoću opšte stope aktivnosti.

Naime, ako je sa označen projektovani broj ukupnog stanovništva za godinu t

(primenom nekog od objašnjenih metoda) , a iz popisa je poznata opšta stopa aktivnosti

, ukupan broj aktivnih u projekcionoj godini t , označen sa , dobiće se na sledeći

način:

44

2) pomoću stope iskorišćenosti radnog kontingenta

Ako raspolažemo projekcijom radnog kontingenta za godinu t, (dobijenom

primenom metoda komponenata), a iz popisa stopom iskorišćenosti radnog kontingenta

, projektovani broja aktivnih u godini t dobiće se na sledeći način:

3) pomoću specifičnih stopa aktivnosti po starosti i polu

Raspolaže se analitičkom projekcijom stanovništva po starosnim grupama i polu

za godinu t ( i ). Iz popisa su poznate specifične stope aktivnosti po starosti

i polu, obeležene redom i . Projekcija aktivnog muškog, odnosno

ženskog stanovništva u godini t dobija se na sledeći način:

Pretpostavka u ovom slučaju je da se stope aktivnosti po starosti znatnije ne

menjaju.

Projekcija radne snage Republike Srbije, 2002-2052

Republički zavod za statistiku Srbije objavio je 2011. godine rezultate projekcija

radne snage (aktivnog stanovništva) za period 2002-2052 (RZS, 2011). Kao osnov za

projekcije radne snage poslužile su projekcije za ukupno stanovništvo. U pitanju su

45

zvanične projekcije RZS-a sa vremenskim horizontom od 2002. do 2032. godine (o

kojima će u nastavku biti reči), kod kojih je za potrebe projektovanja radne snage

produžen projekcioni period do 2052. godine. Ove projekcije izrađene su primenom

analitičkog metoda i uz korišćenje tzv. dekomponovanog pristupa. Naime, hipoteze o

fertilitetu, mortalitetu i migracijama definisane su za populacije Centralne Srbije i

Vojvodine, pojedinačno, dok je rezultat projekcija za Srbiju zapravo zbir projektovanih

vrednosti za dve navedene populacije. Treba napomenuti da je u pitanju stanovništvo

Republike Srbije bez podataka za Kosovo i Metohiju.

Projekcija radne snage urađena je u dve varijante.

Prva varijanta bazira se na pretpostavci o nepromenjenim (konstantnim) stopama

aktivnosti po starosnim grupama. U pitanju su stope po starosti i polu zabeležene u 2009.

godini, a pretpostavka je da će se zadržati na tom nivou u čitavom projekcionom periodu.

Ova varijanta omogućava da se sagledaju čisti uticaji promena u starosnoj strukturi, na

veličinu i starosni sastav radne snage.

Druga varijanta polazi od pretpostavke o rastućim stopama aktivnosti po

starosnim grupama. Naime, pretpostavlja se rast specifičnih stopa aktivnosti do 2030.

godine do nivoa prosečnih stopa koje su već dostigle države EU10 (nove članice) i dalje

njihovo zadržavanje na tom nivou do 2050. godine.

DOSADAŠNJI RAD NA DEMOGRAFSKIM PROJEKCIJAMA

U NAŠOJ ZEMLJI

S obzirom na važnost prognoziranja buduće veličine i strukture stanovništva

postoji potreba da se kontinuirano izrađuju projekcije. U našoj zemlji, počev od

najstarijih projekcija (u pitanju je zapravo projekcija Ive Laha iz 1951. godine koja se

odnosi na stanovništvo FNRJ u periodu 1948-1960) praksa izrade zvaničnih projekcija

nastavljena je do danas. Brojne serije tih projekcija moguće je posmatrati iz više uglova

(u odnosu na korišćene metode za njihovu izradu, zatim u pogledu ciljeva svake od

projekcija, ili u zavisnosti od vremenskog horizonta na koji su se odnosile), ali ćemo se

na ovom mestu zadržati na nekim osnovnim karakteristikama i prvenstveno na

najnovijim projekcijama.

46

Prvu projekciju objavljenu posle II svetskog rata uradio je Ivo Lah 1951. godine

za stanovništvo Federativne Narodne Republike Jugoslavije za period 1948-1960. Prema

tome ona je sadržala i projekcije tadašnjih republika i pokrajina. U ovoj projekciji, iako s

namerom da se primeni, metod komponenata nije dosledno sproveden zbog nedostatka

potrebnih podataka. Naime, definisanje hipoteza o fertilitetu i mortalitetu nije moglo biti

urađeno na osnovu tablica fertiliteta i mortaliteta jer one nisu postojale za svaku od

tretiranih populacija. Umesto njih, za fertilitet, npr.stanovništva Srbije, pretpostavke su

izvedene na bazi stopa rađanja u godinama posle Prvog svetskog rata. Za mortalitet,

hipoteze su definisane na osnovu tablica smrtnosti Slovenije (za populaciju Vojvodine) ili

austrijskih tablica (za Centralnu Srbiju i Kosovo i Metohiju). Što se tiče migracija ove

projekcije urađene su bez hipoteza o migracionim kretanjima, što je bio slučaj i sa nikim

od sledećih projekcija.

Tabela 2. Pregled savremenih projekcije stanovništva Srbije

Projekcioni period Autor/institucija Teritorija Dužina perioda

1948-1960 I. Lah C.Srbija,Vojvodina,KiM 12

1953-1970 D. Breznik C.Srbija,Vojvodina,KiM 17

1961-1981 CDI IDN C.Srbija,Vojvodina,KiM 20

1965-1986 CDI IDN C.Srbija,Vojvodina,KiM 19

1970-2000 SZS-CDI IDN C.Srbija,Vojvodina,KiM 30

1971-2000 Ekonomski institut Republika Srbija 29

1981-2000 JUGINUS Centralna Srbija 19

1981-2011 SZS-CDI IDN C.Srbija,Vojvodina,KiM 30

1981-2011 G. Todorović.R. Stevanović

Grad Beograd 30

1981-2001 CDI IDN C.Srbija,Vojvodina,KiM 20

1991-2011 CDI IDN C.Srbija,Vojvodina,KiM 20

1991-2021 SZS-CDI IDN C.Srbija,Vojvodina,KiM 30

1991-2150 G. Penev C.Srbija,Vojvodina,KiM 159

2002-2032 RZS (Lj. Sekulić) C. Srbija,Vojvodina 30

47

2002-2052 CDI IDN(G. Penev)

C. Srbija,Vojvodina 50

2011-2041 RZS C. Srbija,Vojvodina 30

Sistematski rad na projekcijama u našoj zamlji naročito je došao do izražaja posle

1970. godine zbog sve izraženijih potreba da se raspolaže različitim projekcijama,

odnosno projekcijama brojnih demografskih struktura i pokazatelja. Otuda su se

pitanjima projekcija bavile zvanične institucije (uglavnom Savezni zavod za statistiku i

Centar za demografska istraživanja Instituta društvenih nauka, u saradnji ili

pojedinačno), koje su po pravilu na bazi konačnih rezultata popisa i pristupale izradi i

objavljivanju projekcija. Projekcije su rađene primenom metoda komponenata, a broj

mogućih (različitih) varijanti kod svake od njih određivan je u skladu sa vremenom

njihove izrade i međunarodnim preporukama. Zadržaćemo se malo detaljnije na

objavljenim projekcijama za period 1991-2021, kao i projekcijama na bazi poslenjeg

popisa iz 2002. godine.

Projekcije koje su urađene na osnovu konačnih rezultata popisa 1991. godine,

izradili su u saradnji Savezni zavod za statistiku i Centar za demografska istraživanja

IDN. Primenjen je komponentni metod, a projekcije su date u deset varijanti, od kojih pet

uključuju migracije, a pet ne. Naziv svake od varijanti potiče od naziva usvojene hipoteze

o fertilitetu. U pitanju su sledeće varijante: niska, srednja srednje-niska, visoka i

konstantna. Hipoteze o mortalitetu date su samo u dve varijante i to konstantna i

promenljiva smrtnost. Iste hipoteze (konstantna i promenljiva varijanta) primenjene su i

kod migracija kada su one uključene u projekciju.

Hipoteza o fertilitetu (u svim varijantama) iskazana je preko stope ukupnog

fertiliteta i pretpostavke o distribuciji rađanja prema starosti majke. Kod varijante

konstantnog fertiliteta pošlo se od stope od 1,73 u Centralnoj Srbiji, 1,72 u Vojvodini i

3,51 na Kosovu i Metohiji.

Kod hipoteze o mortalitetu za konstantnu varijantu pretpostavio se nivo smrtnosti

po starosti i polu iz skraćenih aproksimativnih tablica smrtnosti za 1990-1991. Kod

promenljive varijante predviđeno je izvesno smanjenje smrtnosti i to uglavnom u drugoj

polovini projekcionog perioda. Iskazano je kroz porast očekivanog trajanja života.

48

Kod migracija, konstantna varijanta pretpostavlja zadržavanje konstantnog

migracionog salda na nivou salda iz perioda 1981-1991, kao i zadržavanje konstantnog

odnosa između specifičnih stopa migracionog salda po starosti i polu. Promenljiva

varijanta predpostavila je upravo promenljive opšte i specifične stope migracionog salda

kao i njihov promenljivi međuodnos.

Od svih ponuđenih varijanti, autori ovih projekcija, kao najrealnije označili su one

sa srednje-niskom varijantom fertiliteta koje uključuju i migracije.

Projekcije stanovništva Srbije 2011-2041

Najnovije zvanične projekcije (Republički zavod za statistiku) stanovništva Srbije

(bez podataka za Region Kosova i Metohije) pokrivaju period 2011-2041. Urađene su

metodom komponenata sa dekomponovanim pristupom, pa je projektovano stanovništvo

Srbije dobijeno kao zbir projekcija stanovništva konstitutivnih regiona (Beogradski

region, Region Vojvodine, Region Šumadije i Zapadne Srbije i Region Južne i Istočne

Srbije, bez podataka za Region Kosova i Metohije), a ne kao rezultat posebno

postavljenih hipoteza. Kao bazna populacija poslužila je procena stanovništva po starosti

i polu (do 80 i više godina) na dan 30. juna 2011. godine. Projekcije su urađene u pet

varijanti: niska, srednja, visoka, varijanta konstantnog fertiliteta i mortaliteta i najzad

varijanta nultog migracionog salda. U tabeli 3 su prikazane varijante projekcija u odnosu

na usvojene hipoteze.

Tabela 3. Varijante projekcija prema usvojenim hipotezama o fertilitetu,

mortalitetu i migracijama

Varijante

Hipoteze

Fertilitet Mortalitet Migracije

Niska Nizak Očekivan Očekivane

Srednja Srednji Očekivan Očekivane

Visoka Visok Očekivan Očekivane

Konstantnog fertiliteta i

Konstantan Konstantan Očekivane

49

mortalitetaBez

migracija(nultog migracionog salda)

Srednji Očekivan Nulti migracioni saldo

Hipoteze o fertilitetu

Hipoteze o fertilitetu date su preko stope ukupnog fertiliteta. Pretpostavljene vrednosti

ove stope za svaku od varijanti hipoteza o fertilitetu prikazane su u Tabeli 4. Na kraju

projekcionog perioda pretpostavljen je nivo od 1.20 deteta po ženi kod varijante niskog

(Region Šumadije i Zapadne Srbije i Region Južne i Istočne Srbije) , i nivo od 2.16

deteta kod varijante visokog fertiliteta (Beogradski region i Region Vojvodine).

Tabela 4. Hipoteze o vrednostima stope ukupnog fertiliteta po varijantama i regionima

za početak i kraj projekcionog perioda

Region 20112041

Niska Srednja Visoka Konstantna

Beogradski region 1,41 1,30 1,80 2,16 1,41

Region Vojvodine 1,35 1,30 1,75 2,16 1,35

Region Šumadije i

Zapadne Srbije1,36 1,20 1,75 2,11 1,36

Region Južne i

Istočne Srbije1,33 1,20 1,65 2,11 1,33

Region Kosova i

Metohije- - - -

50

Hipoteze o mortalitetu

Hipoteze o mortalitetu date su preko pokazatelja očekivanog trajanja života na rođenju.

Predviđene su dve varijante – konstantna i promenljiva. Varijanta promenljivog je

zapravo varijanta očekivanog mortaliteta. Po ovoj varijanti za kraj projekcionog perioda

za muško stanovništvo je predviđen nivo očekivanog trajanja života u rasponu od 76,2

godine (Region Vojvodine) do 79,5 godina (Region Šumadije i Zapadne Srbije). Kod

ženskog stanovništva pretpostavljen je nivo od 81,7 godina (Region Vojvodine) do 84,0

(Region Šumadije i Zapadne Srbije), (Tabela 5 ).

Tabela 5. Očekivano trajanje života po polu po regionima u varijanti očekivanog

mortaliteta za početak i kraj projekcionog perioda

Region PolPočetak i kraj projekcionog perioda

2011 2041

Beogradski regionMuški 72,7 79,1

Ženski 77,8 82,2

Region VojvodineMuški 70,7 76,2

Ženski 75,0 81,7

Region Šumadije i

Zapadne Srbije

Muški 72,1 79,5

Ženski 76,9 84,0

Region Južne i

Istočne Srbije

Muški 71,4 76,3

Ženski 76,5 81,9

Region Kosova i

Metohije

Muški - -

Ženski - -

Hipoteze o migracijama

51

Postavljene su dve varijante hipoteza o migracijama – nultog migracionog salda i

varijanta očekivanih migracija. U Tabeli 6 su prikazane vrednosti godišnjeg migracionog

salda po regionima za početak i kraj projekcionog perioda u varijanti očekivanih

migracija. Na početku projekcionog perioda 2011-2041 jedino Beogradski region ima

pozitivan migracioni saldo. Ostala tri regiona su emigraciona područja. U drugoj polovini

projekcionog perioda, posle 2026. godine pretpostavljeno je da će Srbija postati

imigraciono područje (na nivou od oko 32 hiljade godišnje u periodu 2036-2041).

Tabela 6. Godišnji migracioni saldo po regionima u varijanti očekivanih

migracija za početak i kraj projekcionog perioda

Region

Period

2011-2016 2036-2041

Beogradski region 9692 14867

Region Vojvodine -3193 6088

Region Šumadije i Zapadne

Srbije-3540 10127

Region Južne i

Istočne Srbije-2445 1867

Region Kosova i Metohije - -

Rezultati projekcija

Projicirano stanovništvo Srbije prikazano je u Tabeli 7. Prema svakoj od pet

varijanti projekcija broj stanovnika Republike Srbije u poslednjoj projekcionoj godini bio

bi manji nego 2011. godine. Depopulacija bi bila najintenzivnija pri ostvarenju varijante

52

konstantnog fertiliteta i mortaliteta. U tom slučaju stanovništvo bi u 2041. godini bilo

manje za oko milion nego 2011. godine. Najmanji pad broja stanovnika (za oko 260

hiljada) ostavrio bi se u slučaju ostvarenja varijante visokog fertiliteta.

Tabela 7. Ukupno stanovništvo Republike Srbije 2011. i 2041. godine po

varijantama projekcija

Varijante projekcija 2011 2041Indeks rasta

2011=100

Niska 7234099 6522206 90,2

Srednja 7234099 6830008 94,4

Visoka 7234099 6973926 96,4

Konstantnog fertiliteta i mortaliteta

7234099 6173971 85,3

Bez migracija(nultog

migracionog salda)7234099 6180614 85,4

53

Što se tiče promena u starosnoj strukturi, rezultati projekcija ukazuju na nastavak

procesa demografskog starenja tokom čitavog projekcionog perioda. On će se nastaviti

pri ostvarenju ma koje kombinacije pretpostavki o komponentama rasta stanovništva, a

razlika će se javiti jedino u brzini odvijanja procesa starenja. U uslovima niske varijante

projekcija on bi bio vrlo intenzivan, a na kraju projekcionog perioda više nego svaki

četvrti stanovnik bio bi stariji od 65 godina (25,2%). Po toj varijanti, udeo mlađih od 15

godina u ukupnom stanovništvu smanjio bi se od 14,4% na 11.7% . Prosečna starost

stanovništva porasla bi za 4,4 godine, od 42,1 godine na 46,5 godina.

O rezultatima zvaničnih projekcija stanovništva za ukupno, kao i po starosno

polnim grupama, koje su urađene u RZS-u, za period 2011-2041 , kao i o usvojenim

hipotezama i njihovim varijantama, pogledati na stranici:

http://pod2.stat.gov.rs/ObjavljenePublikacije/Popis2011/Projekcije%20stanovnistva%202011-

2041.pdf

54

DEMOGRAFSKI MODELI

Brži razvoj demografskih modela vezan je za savremeno doba, iako su

pokušaji modeliranja demografskih pojava postojali i znatno ranije. Tako, poznati su

primeri utvrđivanja veza u razvoju stanovništva koje se ispoljavaju u većini ili svim

populacijama, sa namerom predviđanja budućih promena. Među najpoznatijim

pokušajima, kojim su se bavili mnogi autori još od početka 19. veka pa sve do najnovijeg

perioda, je utvrđivanje pravilnosti u kretanju smrtnosti po starosti. Opšte je poznat tok

mortaliteta tokom ljudskog života. On je isti za sve populacije, jer je mortalitet biološki

proces. Upravo to saznanje motivisalo je iznalaženje neke matematičke formule, obrasca

ili jednačine kojom bi se taj tok smrtnosti izrazio. U literaturi se sreće više matematičkih

izraza, poznatih kao „zakon mortaliteta“, upravo zbog toga što odražavaju zakonitost u

toku mortaliteta prema starosti.

Kod izgradnje modela polazi se od stvarnosti i teži apstraktnoj ideji pomoću koje

se ta stvarnost opisuje. Zato i kažemo da su demografski modeli teorijski izrazi ili

teorijske konstrukcije određenih činjenica vezanih za stanovništvo. S druge strane,

demografska stvarnost je veoma složena, jer na razvitak stanovništva utiče veliki broj

faktora, dinamičnih po svojoj prirodi i međusobno uslovljenih po delovanju. Teško ih je

sve obuhvatiti i ugraditi u model. Osim toga, model treba da bude pojednostavljena slika

stvarnosti. Izgradnja modela mora da se bazira samo na najvažnijim karakteristikama

populacije, jer bi bilo nemoguće čitavu kompleksnu stvarnost izraziti modelom. Modeli,

po pravilu, treba da budu ralativno jednostavni i laki za korišćenje. Inače, izgradnja

modela pretpostavlja minimum teorijskih saznanja o stanovništvu. U pitanju su saznanja

o faktorima koji opredeljuju osnovne procese u stanovništvu, o zakonomernostima u

razvitku populacija, povezanosti demografskih procesa i struktura. Demografski modeli

su po pravilu matematički, jer odražavaju činjenice brojnog karaktera, ali su poznati i

šematski modeli.

Dakle, demografski modeli su teorijski izrazi određenih demografskih činjenica.

Teorijski pristup i čini suštinu modeliranja. A često se modelima označavaju i slučajevi

kada su zapravo u pitanju tipovi stanovništva. Razlika između demografskih modela i

tipova stanovništva je u tome što se tipovi stanovništva zasnivaju na empirijski

55

ustanovljenim činjenicama (npr. tipovi starosne strukture koji su izvedeni na bazi

stvarnih razlika u sastavu stanovništva prema starosti), dok su demografski modeli, kao

što je rečeno, teorijski zasnovani.

Primena demografskih modela je višestruka. Koriste se za proveru određenih

teorijskih stavova i bazičnih hipoteza u izučavanju stanovništva. Zatim, za analizu

određenih aspekata demografskog razvitka za populacije za koje se ne raspolaže

neophodnim podacima (u pitanju su tzv. indirektne tehnike demografske analize).

Takođe, modeli se mogu koristiti i u oblasti projekcija stanovništva.

Prikazaćemo na ovom mestu jedan jednostavan model i njegove osnovne

karakteristike. Pretstavljen je preko jednačine koja je poznata u demografiji kao bazična

ili jednačina ravnoteže. Naime,

Pt = P1+ ( N – M ) + ( I – E )

Ako su poznati brojevi živorođenih (N) i umrlih (M), kao i migracioni saldo (I-E)

u nekom periodu t, i početni broj stanovnika (P0), broj stanovnika na kraju perioda (Pt)

može se pretstaviti (izračunati) preko prikazane jednačine. Praktično, modelirali smo

brojnost populacije pomoću veličina P0, N, M, I, E a preko date relacije. Ove veličine

su nezavisne varijable (promenljive) i menjaju se tokom vremena u skladu sa prirodom

svake od njih. One determinišu veličinu Pt, koja je u ovom slučaju zavisna varijabla

(promenljiva). Inače, ovo je primer determinističkog modela, jer je jedna varijabla

zavisna, a ostale su nezavisne varijable.

PODELA DEMOGRAFSKIH MODELA

Rad sa demografskim modelima vezan je i za njihovo razvrstavanje prema nekim

zajedničkim osobinama. Grupisanje modela sa sličnim karakteristikama olakšava njihovo

izučavanje, dok istovremeno razvoj demografskih modela nameće i nove klasifikacije.

Klasifikacija demografskih modela izvršena je prema različitim kriterijumima.

Oni su uglavnom u vezi sa karakterom varijabli u modelu, ili sa načinom izgradnje

modela.

56

Navodimo sledeće grupe demografskih modela.

1) Po kriterijumu određenosti varijabli u modelu, modeli mogu biti:

Deterministički modeli - neke varijable (promenljive) se javljaju kao nezavisne, a

druge kao zavisne varijable (gore pomenuti primer, Pt je zavisna a P0, N, M, I, E su

nezavisne varijable)

Stohastički modeli - su modeli gde određene populacijske veličine mogu imati

različite vrednosti sa različitim verovatnoćama. Pomenute varijable, kao i vremanski

momenat, u modelu mogu biti dati kao prekidne (diskontinuirane) ili kao neprekidne

(kontinuirane) veličine.

2) U pogledu načina izgradnje, modeli mogu biti:

Analitički modeli – su modeli koji se izvode iz jednačina, funkcija ili nekih

distribucija frekvencija.

Sintetički modeli – su modeli koji se izgrađuju na pretpostavkama (klasični

sintetički modeli su model stabilnog i model stacionarnog stanovništva)

Često nije jasna granica između analitičkih i sintetičkih modela jer su istovremeno

prisutne osobenosti i jednih i drugih, pa u tom slučaju govorimo o analitičko-sintetičkim

modelima.

3) U zavisnosti da li su bazirani na skupovima, ili pojedinim elementima skupova

modeli se dele na:

Agregatne modele – to su modeli koji se odnose na skupove (stanovništvo kao

skup, skup svih domaćinstava, skup svih porodica itd.)

Individualne modele – modeli koji su izgrađeni imajući u vidu pojedince (lica) ili

porodice kao jedinice, ili domaćinstva, takođe kao jedinice.

4) U zavisnosti od načina izgradnje, modeli mogu biti:

57

Čisti modeli – modeli koji se izgrađuju na bazi homogenih izvora podataka (npr.

model stacionarnog stanovništva izgrađen je samo na bazi pretpostavke o broju

živorođenih i smrtnosti po starosti)

Mešoviti modeli – modeli koji se izgrađuju na bazi nehomogenih izvora (npr.

analitička projekcija po starosti i polu (metod komponenata) kojom se zapravo modelira

budućnost, zasnovana je na podacima popisa stanovništva (bazna starosna struktura) i

unapred definisanim hipotezama (pretpostavkama) o smrtnosti, fertilitetu i migracijama)

5) Demografski modeli mogu biti:

Potpuni modeli – modeli koji su izgrađeni na bazi svih demografskih činjenica o

nekoj populaciji (takav model bi bila projekcija buduće starosno-polne strukture na

osnovu hipoteza o mortalitetu, fertilitetu i o migracijama)

Nepotpuni modeli – modeli koji se izgrađuju na bazi samo nekih činjenica (npr.

projekcija stanovništva po starosti i polu za zatvoreno stanovništvo, što znači na bazi

hipoteza o mortalitetu i fertilitetu, dakle, bez uključivanja migracija)

ANALITIČKO-SINTETIČKI MODELI

Analitički modeli su izvedeni iz funkcija. Prikazaćemo neke jednostavne funkcije

pomoću kojih možemo da modeliramo određenu demografsku stvarnost. No, ne postoji

jasna granica između analitičkih i sintetičkih modela. Jer, svi oni, bez obzira na

pretpostavke, treba da daju teorijsku sliku koja je bliska demografskoj stvarnosti. Takve

osobine imaju linearna i eksponencijalna funkcija, koje ćemo u daljem tekstu prikazati. U

oba primera pretstavićemo najjednostavniji slučaj izračunavanja tih funkcija. A to je kada

se nepoznati koeficijenti izračunavaju samo pomoću dve tačke (npr. dva sukcesivna

popisa)

58

Linearna funkcija

Jedan od najprostijih analitičko-sintetičkih modela je linearna funkcija, čiji je

opšti matematički oblik pretstavljen sledećim izrazom

y = ax + b,

U gornjem izrazu y pretstavlja zavisno promenljivu veličinu (npr. broj stanovnika

u funkciji vremena), i u pravouglom koordinatnom sistemu prikazana je na ordinati

(vertikalnoj osi). Sa x je pretstavljena nezavisna promenljiva i ona je prikazana na apcisi

(horizontalnoj osi). Kada je broj stanovnika zavisno promenljiva, nezavisna promenljiva

(x) je vreme (npr. godine). Veličine a i b su koeficijenti (konstante) koje treba odrediti.

Pošto je prava linija određena sa dve tačke u prostoru, za određivanje konstanti u modelu

dovoljno je raspolagati odgovarajućim podacima u dva momenta. Ako je u pitanju npr.

ukupno stanovništvo koje treba pretstaviti pomoću linearne funkcije, onda to mogu da

budu podaci iz dva popisa stanovništva.

Prikazaćemo modelovanje preko prave linije, odnosno preko linearne funkcije, uz

pomoć sledećih podataka.

Neka je:

t0 – moment (vreme) prvog popisa

t1 – moment (vreme) drugog popisa

P0 – broj stanovnika po prvom popisu

P1 – broj stanovnika po drugom popisu

Linearna funkcija se u tom slučaju može pretstaviti na sledeći način

gde je t – vreme ili nezavisna varijabla (promenljiva), a Pt – broj stanovnika u momentu t

(model kao funkcija vremena)

Do jednačine prave linije na osnovu podataka iz dva vremenska momenta može se

doći na sledeći način:

59

Potsećamo da su u opštoj jednačini prave ( ), sa a i b, obeleženi

koeficijenti (konstante), t je vreme (nezavisna promenljiva), a Pt je broj stanovnika u

funkciji vremena.

Primer

Dati su podaci o ukupnom broju stanovnika Centralne Srbije na osnovu popisa 1981. i

1991. godine, tj.

t0 =1981 , t1 =1991

P0 =5694 (u hiljadama) , P1 =5809 (u hiljadama)

Tako smo dobili model oblika koji reprezentuje ukupno

stanovništvo date populacije kao funkciju vremena, sa pretpostavkom linearnog rasta.

Relativan porast dobijamo ako uporedimo porast sa početnom vrednošću. Ako je

porast dat preko prvog izvoda funkcije, označenog sa , onda se relativan porast dobija

na osnovu količnika .

Prvi izvod funkcije je konstantan, tj. (u zavisnosti da li je

funkcija rastuća ili opadajuća konstanta a može imati pozitivan ili negativan predznak),

odakle sledi da je

Poslednja jednakost pokazuje da relativan porast opada ako stanovništvo ( Pt )

linearno raste (kao u prethodnom primeru).

60

Eksponencijalna funkcija

Označimo isto kao i u prethodnom slučaju sa t0 – moment prvog popisa; t1 –

moment drugog popisa; P0 – broj stanovnika iz prvog popisa; P1 – broj stanovnika iz

drugog popisa; t – vreme, nezavisna varijabla; Pt – broj stanovnika u momentu t (broj

stanovnika kao funkcija vremena). Moguće je ove podatke povezati i preko

eksponencijalne funkcije.

Naime, eksponencijalna krivulja ima sledeći oblik

(1)

U gornjoj jednačini sa r je obeležena eksponencijalna stopa rasta, a sa e osnova

prirodnog logaritma (konstantan broj).

Da bi smo izgradili model potrebno je da izračunamo stopu rasta r. Ona se može

izračunati iz sledećeg obrasca

(2)

gde je sa t obeležen broj godina između dva popisa.

U tom slučaju, prvo se izračunava q na sledeći način :

.

Kada se izračuna q, lako je izračunati stopu rasta r . Iz jednačina (1) i (2) sledi da

je . Ako se logaritmuju obe strane, dobija se , odakle sledi da je

, ili konačno (jer je po definiciji ln e =1), što je trebalo izračunati.

Primer

Dati su isti podaci kao u prethodnom primeru, ali se brojnost stanovnika modelira

pomoću eksponencijalne krivulje oblika .

Eksponencijalnu stopu rasta izračunaćemo preko sledećih relacija

, odakle je , a

61

Za konkretne podatke, obračun je sledeći

t=10;

r = ln q, r = ln 1.002001545 = 0.0019995445 x 1000= 1.99‰

Sada možemo da napišemo model na sledeći način

Ovo je model eksponencijalne funkcije. Modelirana je brojnost stanovništva kao

funkcija vremena sa relativnim porastom koji ostaje konstantan.

Relativan porast kod eksponencijalne funkcije je:

Jer, prvi izvod funkcije je .

U ovom primeru smo dokazali da se stanovništvo menja po stopi r i da relativan

porast ostaje konstantan.

Modeli ograničenog rasta stanovništva

Nasuprot eksponencijalnom rastu stanovništva, o kome je govorio i Maltus,

postoje i modeli kod kojih se porast stanovništva suočava sa granicama. To su tzv. modeli

ograničenog porasta. Prema ovim modelima stanovništvo ne može beskonačno da raste,

već postoje određene granice. Osnovni oblik modela ograničenog rasta dat je preko

sledeće diferencijalne jednačine:

62

gde je B granica (asimptota) kojoj stanovništvo teži; P(t)-broj stanovnika kao funkcija

vremena t ; ili je prvi izvod koji pokazuje promenu broja stanovnika kao

funkciju promene vremena ; k je pozitivna konstanta.

Rešenjem diferencijalne jednačine dobija se pomenuti model, tj.

Sa k (u početnoj jednačini) je označena pozitivna konstanta koja pokazuje kako se

brzo porast stanovništva približava nuli. Inače, (čitamo "teži nuli") kada

izraz , odnosno kada se stanovništvo približava asimptoti, ali je nikada ne

dostiže, tj. (čitamo "stanovništvo teži granici B").

U gornjoj funkciji (modelu) sa c je označena konstanta kaja se dobija rešenjem

integrala, a e je osnova prirodnog logaritma (takođe konstantna vrednost).

Logistička krivulja

Najpoznatiji model sa osobinama ograničenog porasta je logistička krivulja

Definisao ju je Verhulst 1844. godine. Osnovna pretpostavka kod ovog modela je da se

porast stanovništva kod prirodnih procesa mora sukobiti sa granicama, koje su određene

mogućnošću rasta egzistencijalnih sredstava za život. Logistička funkcija ima primenu u

63

mnogim poljima kao što su veštačke neuronske mreže, biologija, biomatematika,

demografija, hemija, sociologija, statistika idr.

Logistčka krivulja je u vremenu rastuća. Dolazi iz beskonačnosti, kada je porast

stanovništva bio veoma nizak, nastavlja sa rastom tokom vremena, i za (kada

vreme teži beskonačnosti) približava se granici (asimptoti). Rast stanovništva je sve veći

do prevojne tačke (ili tačke infleksije), a posle toga slabi i postaje zanemarljiv (kriva P'(t)

na grafiku 1).

Grafik 1

64

B

P(t)

(t)P'

vreme (t)

stanovništvo

2

B,

kB

cln M

2

B

P(t)(asimptota)B

P(t)

(t)P'

vreme (t)

stanovništvo

2

B,

kB

cln M

2

B

P(t)(asimptota)

Logistička funkcija se izvodi iz sledeće diferencijalne jednačine

gde je k pozitivna konstanta, a B asimptota.

Rešenjem ove jednačine dobija se logistička funkcija, tj.

Kada vreme teži beskonačnosti ( ) porast stanovništva teži nuli ( ),

a stanovništvo teži granici (asimptoti) B, tj. .

65

Kao što je pomenuto, porast stanovništva je najpre lagan, zatim sve brži, a najbrži

oko prevojne tačke. Položaj te tačke može se lako odrediti. Njena ordinata je P(t) = ,

što znači da se rast stanovništva usporava od momenta kada ono dostiže polovinu svog

maksimalnog nivoa. Apcisa prevojne tačke je . Dakle, ako je prevojna tačka

označena sa M, može se napisati M .

Isto kao u prethodnom slučaju, sa c je označena konstanta kaja se dobija rešenjem

integrala, a e je osnova prirodnog logaritma.

66

FUNKCIONALNO-SINTETIČKI MODELI

Funkcionalno-sintetički modeli su modeli zatvorenog stanovništva (to je

stanovništvo bez migracija), a što znači da na njegovu veličinu deluju samo rađanje i

umiranje. Dati su u funkcionalnom obliku a bazirani su na pretpostavkama.

Pošto deluju samo komponente prirodnog kretanja, osnovno pitanje koje se ovde

postavlja je upravo kako uključiti u model rađanje i umiranje?

Smrtnost se najčešće izražava preko verovatnoće doživljenja. Ako sa x obeležimo

starost, tada je p(x) verovatnoća doživljenja, tj. verovatnoća da će živorođeno dete

doživeti starost x. Dakle, pretpostavka o mortalitetu u modelu je realizovana pomoću

verovatnoće p(x).

Pretpostavka o natalitetu se uvodi u model ili preko stope fertiliteta ili pomoću

broja živorođenih.

Ako se pretpostavka bazira na broju živorođenih, postupa se na sledeći način.

Obeležimo vremenski momenat (tj. vreme) sa t, a starost sa x, tada sa N(t) označavamo

broj rođenih u momentu t, a sa N (t - x) broj rođenih iz koga potiču lica koja imaju x

godina u momentu t.

Na bazi navedenih pretpostavki o natalitetu i mortalitetu, broj lica starih x

godina, označen sa Vx , možemo da izračunamo preko relacije

Ukupno stanovništvo je tada jednako zbiru stanovnika u svim starostima, tj. u

čitavom intervalu od početne do gornje granice života - , tj.

Gornja jednačina, dakle, pokazuje da ukupno stanovništvo zavisi samo od

komponenata prirodnog kretanja.

67

U zavisnosti od toga koje su pretpostavke o rađanju i umiranju definisane

dobijamo i različite modele:

a) Ako su brojevi živorođenih i smrtnost po starosti konstantni tokom vremena, u

pitanju su pretpostavke za model stacionarnog stanovništva

b) Brojevi živorođenih se menjaju, a smrtnost ostaje konstantna. U tom slučaju ako

se brojevi živorođenih menjaju po geometrijskoj progresiji, u pitanju su

pretpostavke za model stabilnog stanovništva

c) Brojevi živorođenih su nepromenjeni (konstantni), a smrtnost po starosti se menja

d) I brojevi živorođenih i smrtnost po starosti su promenljivi tokom vremena

U daljem pretstavljanju demografskih modela, posebno ćemo se baviti modelim pod a) i

b).

MALTUZIJANSKE POPULACIJE

Maltuzijanske populacije pripadaju grupi funkcionalno-sintetičkih modela.

Maltuzijanske populacije su bazirane na dve početne pretpostavke:

Starosna struktura stanovništva se ne menja tokom vremena

Smrtnost po starosti i polu je nepromenjena tokom vremena

Na osnovu ovih uslova, koji treba da budu ispunjeni, ali ne i poznata starosna struktura i

smrtnost po starosti, ukupno stanovništvo se menja po eksponencijalnoj funkciji, pa otuda

i naziv maltuzijanske populacije (po Maltusu koji je govorio o eksponencijalnom rastu

stanovništva).

Modeli koji sadrže ove dve gore navedene pretpostavke, imaju i sledeće zajedničke

osobine:

Direktno, iz dve početne pretpostavke, sledi da je struktura umrlih po starosti

takođe nepromenjena

Ako sa C(x) označimo starosnu strukturu stanovništva (za oba pola), a sa n stopu

nataliteta, onda je C(0) = n, pa je i stopa nataliteta takođe konstantna

(nepromenjena) tokom vremena, jer je starosna struktura konstantna

Opšta stopa mortaliteta, označena sa m, je takođe nepromenjena

68

Stopa prirodnog priraštaja (r ili j), kao razlika stope nataliteta i mortaliteta, je

takođe konstantna

Ukupno stanovništvo u momentu t može se odrediti na sledeći način.

Označimo sa

P(t) - broj stanovnika u momentu t

N(t) - broj živorođenih u momentu t

M(t) - broj umrlih u momentu t

I(t) - broj useljenih u momentu t

E(t) - broj iseljenih u momentu t

- godišnji porast stanovništva, = N – M + I – E

Pošto je u pitanju zatvoreno stanovništvo, godišnji porast možemo pretstaviti na sledeći

način:

,

gde smo isključili I i E, jer je u pitanju zatvorena populacija.

Ako podelimo ceo gornji izraz sa P, dobijamo

Pošto je c konstanta, tada je i vrednost ec konstanta, ili možemo reći da je to početni broj

stanovnika P(0), dakle P(0)= ec. Na taj način dobijamo ukupno stanovništvo kod

maltuzijanskih populacija, preko formule koja izražava eksponencijalni porast što je i

trebalo pokazati, tj.

69

Na osnovu prethodne formule možemo dalje izračunati broj umrlih M(t) i broj

živorođenih N(t). Potrebno je da poznajemo stopu mortaliteta m i stopu nataliteta n.

Dakle, sledi

Potsećamo da prethodne relacije proizilaze iz dobro poznatih formula:

Gde je M broj umrlih, N broj živorođenih, m opšta stopa mortaliteta, n stopa nataliteta, a

P ukupno stanovništvo.

Starosnu strukturu možemo odrediti na sledeći način:

Obeležimo sa C(x) starosnu strukturu, sa p(x) verovatnoću doživljenja za oba pola, a sa

Vx broj lica starih x godina u momentu t. Tada možemo pisati redom

A posle skraćivanja

čime je dobijena formula za starosnu strukturu, tj.

70

,

gde je sa r obeležena stopa prirodnog priraštaja, a sa x starost. Potsećamo da je sa p(x)

označena verovatnoća da će živorođeno dete doživeti starost od x godina.

MODEL STACIONARNOG STANOVNIŠTVA

Model stacionarnog stanovništva je tip (podtip) maltuzijanskih populacija, kod

kojeg osim osnovnih preduslova (da je smrtnost po starosti i polu tokom vremena

konstantna, kao i starosno-polna struktura) važi još i dodatna pretpostavka da je stopa

prirodnog priraštaja jednaka nuli. Dakle, r=0. Pošto je u pitanju zatvorena populacija

(bez uticaja migracija), stopa prirodnog priraštaja je ujedno i stopa rasta stanovništva.

Za stacionarno stanovništvo važe sledeće osobine:

1) stopa nataliteta jednaka je stopi mortaliteta, jer je , iz čega direktno sledi

da je

2) Ukupan broj stanovnika u godini t, , je tokom vremena konstantan, što

proizilazi direktno iz , tj.

, jer je

Slično se može dokazati i za brojeve živorođenih i umrlih. Oni su takođe

konstantni u vremenu.

broj živorođenih

Dakle, broj živorođenih je konstantan tokom vremena na nivou N.

71

M(t) - broj umrlih

Dakle, broj umrlih je konstantan tokom vremena na nivou M.

3) Broj stanovnika starih x godina, , može se izračunati preko formule

gde je p(x) verovatnoća da će živorođeno dete doživeti starost od x godina.

Ukupno stanovništvo je, tada, zbir lica svih starosti od 0 godina do ω kao gornje

granice života, tj.

4) Opšta stopa mortaliteta kod stacionarnog stanovništva može da se izrazi preko

očekivanog trajanja života za novorođene.

Naime, pretpostavimo da je .

Tada je

S druge strane, očekivano trajanje života živorođenih izračunava se na sledeći

način:

, a

72

sledi da je .

Dakle, opšta stopa smrtnosti stacionarnog stanovništva jednaka je recipročnoj

vrednosti očekivanog trajanja za nultu godinu života. S obzirom da je očekivano trajanje

života sintetički pokazatelj smrtnosti i odražava smrtnost u svim starostima života,

poznato je da se koristi u komparativnim analizama smrtnosti. A pošto je opšta stopa

smrtnosti stacionarnog stanovništva upravo izražena preko očekivanog trajanja života, to

ona ima iste te osobine, što je razlikuje od stvarne opšte stope smrtnosti.

Ovo su osobine stacionarnog stanovništva kada je starost (x) data kao neprekidna

veličina. Stacionarno stanovništvo možemo posmatrati i u prekidnom slučaju, tj kada je

starost prekidna veličina. U tom slučaju govorimo, zapravo, o tablicama mortaliteta.

Naime, tablice mortaliteta imaju karakteristike stacionarnog stanovništva, ili

drugačije rečeno, izgrađene su na pretpostavkama koje važe za stacionarno stan

ovništvo. Pokazuju kako se neka kohorta od 100 000 istovremeno rođenih lica, usled

delovanja mortaliteta, iz godine u godinu smanjuje. U tablicama se polazi od 100 000

živorođenih (u pitanju je fiktivna, teorijska, kohorta) da bi na kraju bilo 100 000 umrlih,

što znači da je N=M. Tada je stopa prirodnog priraštaja r = 0. Smrtnost po starosti i polu

je konstantna (nepromenjena) na nivou smrtnosti iz godine posmatranja (godine za koju

su tablice izrađene). Potsećamo da su tablice mortaliteta osnivni metod analize smrtnosti,

a koriste se, između ostalog, i za projekcije stanovništva, o čemu je bilo govora.

TABLICE MORTALITETA

Ukratko ćemo objasniti tablice mortaliteta na način kako se one tretiraju u

demografskoj analizi. Svrha je da se ukaže na tačno značenje pojedinih funkcija u njima,

kako bi se bolje razumeo modelski pristup tablicama mortaliteta.

73

Osnovna biometrijska funkcija u tablicama mortaliteta je verovatnoća umiranja

koja zavisi od starosti, i obeležena je sa qx. Verovatnoća umiranja (qx) je osnovna

funkcija, jer se jedino ona dobija na osnovu poređenja podataka o umrlima licima po

starosti i određenih skupova živih lica po starosti. Sve ostale funkcije se izvode iz nje.

Inače, tablice mortaliteta mogu biti detaljne (kada se daju po pojedinačnim godinama

starosti), i skraćene tablice mortaliteta (ako su u pitanju starosni intervali, a najčešće

petogodišnji). Skraćene tablice mortaliteta su po pravilu aproksimativne, jer se

verovatnoća umiranja određuje aproksimacijom pomoću stope smrtnosti po starosti

(dakle vrši se konverzija stope smrtnosti u verovatnoću umiranja).

Verovatnoća umiranja qx pokazuje verovatnoću da lice staro x godina neće

doživeti starost od x+1 godinu. Slično,

q0 je verovatnoća da živorođeno lice neće navršiti prvu godinu života

q1 je verovatnoća da lice koje ima 1 godinu neće navršiti dve godine života

q2 je verovatnoća da lice starosti 2 godine neće navršiti tri godine života i td.

Za izračunavanje verovatnoće umiranja se može koristiti Leksisov dijagram, gde

su prikazani skupovi živih i skupovi umrlih lica.

74

je skup umrlih lica 0 godina starosti (donji desni ugao), rođenih u godini t

(gornji levi ugao), koje je smrt zadesila u godini t (gornji desni ugao). Na osnovu toga

možemo izračunati verovatnoću q0, tj.

; umesto Nt može stajati L0.

Slično se izračunava i verovatnoća , tj.

, i tako dalje.

U opštem slučaju verovatnoću umiranja izračunavamo na sledeći način:

Kao što je rečeno, ako je verovatnoća umiranja data po pojedinim godinama

starosti, onda su u pitanju detaljne tablice, ako su u pitanju intervali, onda su to skraćene

tablice mortaliteta. Verovatnoća umiranja je osnovna funkcija, jer se dobija na osnovu

skupova umrlih po starosti i određenih skupova živih lica po starosti (kod detaljnih ili

potpunih tablica), ili aproksimacijom pomoću specifičnih stopa smrtnosti po starosti (kod

skraćenih tablica). Sve ostale funkcije se izvode iz verovatnoće umiranja.

Inače, potpune tablice mortaliteta u našoj zemlji, se izrađuju za trogodišta oko

popisa (godina popisa je središnja godina). Skraćene tablice se izrađuju za dvogodišta.

Navešćemo redom sve biometrijske funkcije

1. Verovatnoća umiranja - qx

75

2. Verovatnoća doživljenja - px - verovatnoća da će lice staro x godina doživeti

starost x+1 godina . Dobija se

3. Broj živih starih tačno x godina - lx

l0 - broj lica starih tačno 0 godina,

l0=100 000, to je koren tablice

Ostale vrednosti se dobijaju na sledeći način

l1 = 100 000 · p0 = l0 · p0

l2 = l1 · p1 i tako dalje.

U opštem slučaju ova funkcija se izračunava po formuli

lx+1 = lx · px

4. Srednji broj živih lica - Lx - to su lica u starosti od x do x+1 godine

;

Prethodna formula se koristi za sve starosti, osim za vrednosti L0 i L1.

Za njihovo izračunavanje se koristi empirijska aproksimacija i to:

i

A ostale prema gornjoj formuli, npr. itd.

5. Očekivano trajanje života za lica stara x godina -

,

odnosno za živorođene

76

Na sledećoj strani prikazane su Skraćene aproksimativne tablice mortaliteta za

muško i žensko stanovništvo Srbije za period 2001-2003.

SKRAĆENE APROKSIMATIVNE TABLICE MORTALITETA ZA SRBIJU

(2001-2003)

Starost Stope

mortaliteta

Verovatnoće

smrti

Broj živih Srednji broj

živih

Zbir srednjih

brojeva živih

Očekivano

trajanje života

X 1000 nmx 1000 nqx 1x nLx Tx ex

o

M U Š K O

0 g. 11.47 11.091 100000 99168 6 972 865 69.7286

1- 4 0.441 1.762 98891 395198 6873697 69.5079

5- 9 0.248 1.236 98717 493279 6478499 65.6272

10-14 0.287 1.432 98595 492620 5985220 60.7053

15-19 0.62 3.093 98453 491506 5492600 55.7888

20-24 1.008 5.028 98149 489511 5001094 50.9541

25-29 1.172 5.844 97655 486850 4511583 46.199

30-34 1.351 6.730 97085 483790 4024733 41.4559

35-39 2.065 10.277 96431 479679 3540942 36.7198

40-44 3.557 17.636 95440 472994 3061263 32.0751

45-49 6.497 32.000 93757 461286 2588269 27.6061

50-54 10.864 52.982 90757 441764 2126983 23.436

55-59 16.939 81.469 85949 412237 1685219 19.6073

60-64 24.376 115.270 78946 371982 1272982 16.1246

65-69 37.851 173.610 69846 318916 901001 12.8998

70-74 59.051 258.247 57720 251336 582084 10.0846

75-79 91.669 372.959 42814 174151 330748 7.7252

80-84 133.956 497.280 26846 100856 156598 5.8331

85 i vi{e 236.823 710.674 13496 55742 55742 4.1302

Ž E N S K O

0 g. 8.574 8.361 100000 99373 7 505 146 75.0515

1- 4 0.356 1.421 99164 396360 7405773 74.6821

5- 9 0.164 0.818 99023 494913 7009413 70.7856

77

Starost Stope

mortaliteta

Verovatnoće

smrti

Broj živih Srednji broj

živih

Zbir srednjih

brojeva živih

Očekivano

trajanje života

X 1000 nmx 1000 nqx 1x nLx Tx ex

o

10-14 0.167 0.831 98942 494505 6514500 65.8416

15-19 0.278 1.389 98860 493956 6019996 60.8943

20-24 0.363 1.812 98722 493165 5526040 55.9755

25-29 0.453 2.262 98544 492160 5032875 51.0726

30-34 0.677 3.377 98321 490773 4540715 46.1827

35-39 1.093 5.452 97989 488608 4049942 41.3307

40-44 1.895 9.434 97454 484973 3561334 36.5436

45-49 3.361 16.674 96535 478651 3076361 31.8678

50-54 5.247 25.918 94925 468476 2597710 27.3658

55-59 7.966 39.106 92465 453285 2129234 23.0274

60-64 13.329 64.637 88849 429888 1675948 18.8629

65-69 22.589 107.253 83106 393247 1246060 14.9936

70-74 40.533 184.787 74193 336689 852813 11.4945

75-79 72.333 307.116 60483 255976 516123 8.5334

80-84 120.046 459.164 41908 161432 260147 6.2076

85 i vi{e 232.234 703.319 22665 98715 98715 4.3554

78

Primeri za vežbu

1. Prikazati grafički verovatnoću umiranja i broj živih iz tablica za Srbiju 2001-2003.

2. Na osnovu pomenutih tablica izračunati stope doživljenja

3. Uporediti verovatnoće umiranja muškog i ženskog stanovništva

79

STACIONARNO STANOVNIŠTVO U PREKIDNOM SLUČAJU

Za potrebe modelskog pristupa tablicama mortaliteta, navedimo još neke funkcije

koje se izračunavaju na osnovu navedenih u tablicama. To su:

1. Verovatnoća doživljenja p(x) koja pokazuje verovatnoću da će živorođeno

dete doživeti starost od tačno x godina. Izračunava se na sledeći način

Na primer, ili itd.

(100000 je koren tablice, odnosno broj živorođenih u teorijskoj (fiktivnoj) generaciji od

koje se polazi)

2. Verovatnoća doživljenja koja pokazuje verovatnoću da će živorođeno

dete doživeti starost od x do x+1 godine. Izračunava se na sledeći način

Ukupan broj stacionarnog stanovništva može se odrediti na sledeći način (imajući

u vidu gore navedene verovatnoće)

( gde je zapravo N=100000, a pošto je taj broj konstantan može da stoji ispred znaka za

sabiranje)

Kako je sledi da je

80

Dakle, ukupno stacionarno stanovništvo je proizvod konstantnog broja živorođenih i

očekivanog trajanja života na dan rođenja, odnosno

P =

U tablicama mortaliteta ukupno stacionarno stanovništvo se dobija kao P =

, jer broj živorođenih iznosi 100000. U tablici mortaliteta za Srbiju 2001-2003, ukupno

stacionarno stanovništvo Srbije prikazano je u koloni 6 , u redu koji se odnosi na nultu

godinu starosti (boldirano) i kod muškog i kod ženskog stanovništva. Treba imati u vidu

da je u pitanju stacionarno stanovništvo izračunato pod uslovom da je broj živorođenih

100000. Za realan broj živorođenih, ukupno stacionarno stanovništvo se dobija kao

proizvod tog broja i očekivanog trajanja života za nultu godinu, kao što je već navedeno

(pogledaj primer).

Dakle, ukupno stacionarno stanovništvo za realnu populaciju dobija se kao proizvod

realnog broja živorođenih ( npr. konstanta N) i očekivane dužine života za nultu godinu

. Pošto se raspolaže verovatnoćama P(x) na bazi tablica, može se i za svaku starost

izračunati broj lica sa novom konstantom (npr. N), odnosno sa realnim brojem

živorođenih iz date godine posmatranja, tj.

Lx =

ili kod skraćenih tablica

Ova izračunavanja omogućavaju poređenje konkretnog (realnog) ukupnog stanovništva i

njegove strukture sa odgovarajućim stacionarnim stanovništvom izračunatim na bazi

broja živorođenih i prema zakonu smrtnosti iz godine posmatranja. Dakle, omogućavaju

da se vidi koliko se konkretna populacija razlikuje od odgovarajućeg stacionarnog

stanovništva.

81

Primer

Podaci se odnose na stanovništvo Centralne Srbije (korišćeni simboli su uobičajeni kao u

čitavom materijalu)

N1999=53536

N2000=54972

U primeru je izračunato žensko stacionarno stanovništvo Centralne Srbije za 1999/2000.

godinu. Pošlo se od prosečnog broja živorođenih , na bazi čega je ocenjen

broj živorođenih ženskog pola . Pošto je očekivano trajanje života

novorođenih devojčica za 1999/2000 iznosilo , to je ukupno

stacionarno stanovništvo izračunato na nivou . Dakle,

ukupno žensko stacionarno stanovništvo Centralne Srbije iznosilo bi 1976033, pod

pretpostavkom nataliteta i mortaliteta iz 1999/2000. godine.

I na kraju, treba napomenuti da su sve osobine stacionarnog stanovništva, o

kojima je bilo reči, prisutne u tablicama mortaliteta, jer su one model u prekidnom

slučaju. Naime, u tablicama mortaliteta, smrtnost po starosti određene populacije za

određenu godinu je distribuirana fiktivnoj kohorti od 100000 živorođenih lica, čime se

obezbeđuje konstantnost smrtnosti. Takođe, broj živorođenih jednak je broju umrlih,

čime je zadovoljen i uslov o nultom prirodnom priraštaju.

82

STABILNO STANOVNIŠTVO

Stabilno stanovništvo takođe spada u maltuzijanske populacije. To znači da i kod

ovog modela važe osnovni uslovi maltuzijanskih populacija: da je starosno-polna

struktura nepromenjena i smrtnost po starosti i polu takođe nepromenjena. Dodatni uslov

je da je poznat i konstantan zakon fertiliteta po starosti. U tom slučaju dovoljno je da

poznajemo odlike smrtnosti (zakon mortaliteta), kao i stopu prirodnog priraštaja (u

literaturi poznata kao "stvarna" ili "čista" stopa prirodnog priraštaja), pa da izračunamo

odgovarajući model stabilnog stanovništva.

Odnos između fertiliteta, mortaliteta i prirodnog priraštaja može se predstaviti

sledećom jednačinom

,

gde je r-stopa prirodnog priraštaja, x - starost, pf (x ) - funkcija doživljenja, (x) -

funkcija fertiliteta po starosti, u i v su donja i gornja granica fertilnog perioda.

Iz gornje jednačine može se izračunati "čista" stopa prirodnog priraštaja r i to

samo sa jednim realnim korenom. Na taj način dobija se model stabilnog stanovništva.

Bruto stopa reprodukcije za vreme t može se odrediti kao

(x,t) je funkcija fertiliteta po starosti samo za žensku živorođenu decu.

Potsećamo na sličnost sa poznatom formulom za bruto stopu reprodukcije, tj

Sa u i v označene su gornja i donja granica fertilnog perioda, tj (15-49).

Neto stopa reprodukcije iznosi

83

pf (x ) je funkcija doživljenja za žensko stanovništvo.

Poznata formula za neto stopu reprodukcije iz demografske analize je

Starosna struktura stabilnog stanovništva može se napisati (već pomenuta formula kod

maltuzijanskih populacija):

a za žensko stanovništvo:

Stvarna stopa prirodnog priraštaja r može da se izračuna na sledeći način (aproksimacija

A. Lotke):

Ili

T je razmak između dve sukcesivne generacije, izražen u godinama. Baziran je na istim

pretpostavkama kao i neto stopa reprodukcije, tj na konstantnom fertilitetu i mortalitetu

po starosti iz godine posmatranja. Izračunava se kao

84

Gde je R1 prvi momenat, tj.

a neto stopa reprodukcije, tj.

Koncept stabilnog stanovništva veoma je zanačajan za demografsku analizu. Upravo

pomenuta neto stopa reprodukcije, "stvarna" stopa prirodnog priraštaja,

pokazatelj T, koriste se kao klasični pokazatelji u demografskoj analizi.

Ispitna pitanja za predmet Projekcije stanovništva

1. Pojam projekcija stanovništva i osnovni metodi projekcija

85

2. Pojam prognoze, perspektive, projekcije i procene stanovništva

3. Kriterijumi za izbor metoda projekcija

4. Osnovne osobine matematičkih metoda projekcija stanovništva

5. Prednosti i nedostatci matematičkih projekcija stanovništva

6. Matematička projekcija stanovništva na osnovu podataka iz dva popisa

(aritmetička progresija)

7. Matematička projekcija stanovništva na osnovu podataka iz dva popisa

(geometrijska progresija)

8. Matematička projekcija stanovništva na osnovu podataka iz tri i više popisa

9. Osnovne osobine analitičkog metoda (metod komponenata)

10. Prednosti i ograničenja metoda komponenata

11. Objasniti pojam "varijante projekcija"

12. Hipoteza o fertilitetu

13. Hipoteza o mortalitetu

14. Hipoteza o migracijama

15. Obračun buduće starosno-polne strukture za zatvoreno stanovništvo

16. Projekcija radne snage

17. Pojam demografskih modela

18. Klasifikacija demografskih modela

19. Osobine modela ograničenog porasta

20. Logistička funkcija i njene osobine

21. Pretpostavke i osobine modela "maltuzijanske populacije"

22. Ukupno stanovništvo kod maltuzijanskih populacija

23. Osobine modela stacionarnog stanovništva

24. Ukupno stanovništvo kod modela stacionarnog stanovništva u prekidnom slučaju

25. Osobine modela stabilnog stanovništva

26. Neto i bruto stopa reprodukcije kod stabilnog stanovništva

27. Izračunavanje "stvarne" stope prirodnog priraštaja kod stabilnog stanovništva

28. Zakon latencije

86