SNLAs 2D: El pendulo simple

SNLAs 2D: El pendulo simple

Rafael Ramırez Ros

Clase SNL18

SNLAs 2D: El pendulo simple

Problema

Queremos modelar y analizar el movimiento de una masa queesta suspendida de un punto fijo mediante una varilla.

Variable independiente: t = tiempo [s].

Variable dependiente: θ = angulo que forma la varilla con eleje vertical inferior [rad]. Es una variable adimensional.

Parametros:m = masa [kg];l = longitud de la varilla [m]; yg = aceleracion debida al campo gravitatorio [m/s2].

Idealizaciones:La masa es puntual;La varilla es completamente rıgida y tiene masa cero;Despreciamos los terminos de friccion;La intensidad de la gravedad es constante; yEl pendulo esta aislado del resto del Universo.

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Objetivos

1 Modelar el movimiento del pendulo con un SNLA 2D.

2 Entender la estructura cilındrica del espacio de fases.

3 Calcular las dos PEQs del pendulo.

4 Estudiar la estabilidad de las PEQs por linealizacion.

5 Calcular el periodo de las (pequenas y no pequenas)oscilaciones alrededor de la PEQ inferior.

6 Probar que la energıa mecanica total se conserva.

7 Estudiar la estabilidad de la PEQ inferior por Liapunov.

8 Dibujar el croquis global del SNLA 2D.

9 Estudiar la simetrıa y reversibilidad del pendulo.

10 Escalar el tiempo para eliminar los parametros fısicos.

11 Mostrar algunas figuras y animaciones.

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Ecuacion del movimiento

Velocidad angular: ω = θ′ [rad/s].

Velocidad (lineal): lω = lθ′ [m/s].

Aceleracion angular: θ′′ [rad/s2].

Aceleracion (lineal): lθ′′ [m/s2].

Componente tangencial del peso: −mg sin θ [N=kg·m/s2].

2a Ley de Newton: masa × aceleracion (lineal) =∑

fuerzas.

La ecuacion del movimiento es la EDO de 2o orden

mlθ′′ = −mg sin θ ⇒ θ′′ = −gl−1 sin θ.

Variable auxiliar: ω = θ′.

La EDO de 2o orden se convierte en el SNLA 2D de 1er orden{θ′ = ωω′ = −gl−1 sin θ

.

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Espacio de fases vs. series temporales

Podemos representar el movimiento del pendulo de dos formas:

1 Como graficas de θ (y ω = θ′) sobre t; o

2 Como orbitas del SNLA 2D en el espacio de fases (θ, ω).

En este curso, usaremos el espacio de fases.

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El espacio de fases es un cilindro

El angulo θ esta definido modulo 2π: θ ∈ T = R( mod 2π).Notacion: θ1 = θ2( mod 2π)⇔ θ1 − θ2 = 2πk con k ∈ Z.Por tanto, (θ, ω) = T× R es un cilindro.Solo dibujaremos el croquis en el trozo de plano [−π, π]× R.

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Posiciones de equilibrio

Las coordenadas (θ, ω) no determinan (solo) una posicion.

Sus derivadas (θ′, ω′) no determinan (solo) una velocidad.

Un angulo θ? es una posicion de equilibrio cuando la funcionconstante θ(t) ≡ θ? es una solucion de la EDO de 2o orden.

En cuyo caso, (θ?, ω? = 0) es un PEQ del SNLA 2D.

Buscamos los puntos donde se anulan ambas derivadas:

θ′ = ω = 0ω′ = −gl−1 sin θ = 0

}⇒ (θ, ω) = (kπ, 0), k ∈ Z

Obtenemos dos posiciones de equilibrio:

1 θ? = 0( mod 2π) = posicion de equilibrio inferior; y2 θ? = π( mod 2π) = posicion de equilibrio superior.

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SLH asociado

La matriz del SLH asociado al PEQ (θ?, ω? = 0) es

Aθ? =

(∂θ′

∂θ (θ?, 0) ∂θ′

∂ω (θ?, 0)∂ω′

∂θ (θ?, 0) ∂ω′

∂ω (θ?, 0)

)=

(0 1

−gl−1 cos(θ?) 0

).

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Linealizacion en el PEQ superior

Si θ? = π( mod 2π), entonces Aπ =

(0 1g/l 0

).

Polinomio caracterıstico: QAπ(λ) = λ2 − g/l .

VAPs: λs = −√g/l < 0 y λu =

√g/l > 0.

VEPs: v s =

(1

−√

g/l

)y vu =

(1√g/l

).

Conclusiones:

1 El SLH es una silla inestable no repulsor;2 El PEQ P = (±π, 0) es una silla no lineal inestable no repulsor;3 Existen unas CIs estable e inestable (C s(P) y C u(P)) que en el

PEQ P tienen las direcciones de los VEPs v s y vu;4 C s tiene pendiente −

√g/l en (±π, 0); y

5 C u tiene pendiente√g/l en (±π, 0).

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Linealizacion en el PEQ inferior

Si θ? = 0( mod 2π), entonces A0 =

(0 1−g/l 0

).

Polinomio caracterıstico: QA0(λ) = λ2 + g/l .

VAPs: λ± = ±βi con β =√g/l .

Conclusiones:

1 El SLH es un centro (horario) estable no atractor;2 La linealizacion no decide la estabilidad del PEQ O = (0, 0);3 Las trayectorias cerca de O = (0, 0) giran en sentido horario; y4 Si T (Q) es el tiempo que tarda en completar una “vuelta” la

trayectoria que empieza en un punto Q ' O, entonces

limQ→O

T (Q) =2π

β= 2π

√l

g.

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Conservacion de la energıa mecanica

Ponemos el nivel de energıa potencial nula en la PEQ inferior.

Energıa cinetica, potencial y mecanica:

K = K (ω) =masa × (velocidad lineal)2

2=

ml2ω2

2,

U = U(θ) = masa × gravedad × altura = mgl(1− cos θ),

E = E (θ, ω) = K (ω) + U(θ) =ml2

2ω2 + mgl(1− cos θ).

La PEQ inferior tiene energıa E = 0. Es el mınimo absolutode la energıa.

La PEQ superior tiene energıa E = 2mgl .Calculamos la derivada temporal de la energıa mecanica:

dE

dt= ml2ωω′ + mglθ′ sin θ = −mglω sin θ + mglω sin θ ≡ 0.

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Consecuencias fısicas de la conservacion

1 El pendulo pierde energıa cinetica (y, por tanto, velocidad envalor absoluto) cuando se aleja de la PEQ inferior.

2 Si el pendulo tiene ‘poca’ energıa: 0 < E0 < 2mgl , entonces:

|ω| es maxima cuando el pendulo pasa por la PEQ inferior;El pendulo oscila en el rango [−θ0, θ0], donde

mgl(1− cos θ0) = E0 ⇒ cos θ0 = 1− E0/mgl ∈ (−1, 1);

ω = 0 cuando el pendulo alcanza su maxima amplitud ±θ0.

3 Si el pendulo tiene ‘mucha’ energıa: E0 > 2mgl , entonces

|ω| es maxima cuando el pendulo pasa por la PEQ inferior;|ω| es mınima cuando el pendulo pasa por la PEQ superior; yEl pendulo rota sin restricciones.

4 ¿Que pasa cuando el pendulo tiene energıa E = 2mgl?

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Consecuencias dinamicas de la conservacion

1 O = (0, 0) es un centro no lineal (horario) estable no atractor;

2 Todas las soluciones cerca de O son periodicas;

3 Si T = T (θ0) es el periodo de las oscilaciones entorno a laPEQ inferior cuando dejamos caer el pendulo desde un anguloθ(0) = θ0 con velocidad angular nula: θ′(0) = 0, entonces

limθ0→0

T (θ0) = 2π/β = 2π√l/g ;

4 Las orbitas del SNLA estan contenidas en las curvas de nivel

C (E0) = {(θ, ω) ∈ T× R : E (θ, ω) = E0}

=

{(θ, ω) ∈ T× R : ω = ±

√2g

l

√E0

mgl− 1 + cos θ

}.

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La separatriz

Estudiamos la curva de nivel S = C (2mgl):

(θ, ω) ∈ S ⇔ ω = ±√

2g

l

√2mgl

mgl− 1 + cos θ

= ±√

2g/l√

1 + cos θ

= ±√

2g/l√

2 cos2(θ/2)

= ±2√g/l cos(θ/2) =: ±g(θ).

Por tanto, S esta formada por las dos graficas de ±g(θ).

S pasa por el PEQ superior (±π, 0) con las mismas pendientesque las CIs C s y Cu, pues g(±π) = 0 y g ′(±π) = ∓

√g/l .

Las curvas C s y Cu estan contenidas en S . ¿Por que?

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Croquis global (con el sentido de las trayectorias)

Las curvas de nivel se recorren hacia la derecha/izquierda mientrasestan en el semiplano superior/inferior, pues θ′(t) = ω(t).

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Periodo de las oscilaciones no pequenas (1a parte)

Sea T = T (θ0) el periodo de la oscilacion que corresponde a lascondiciones iniciales

θ(0) = θ0 ∈ (0, π), θ′(0) = 0.

Este pendulo repite las siguientes cuatro acciones de forma cıclica:

1 Cae ganando velocidad y pasa por la posicion θ(T/4) = 0;

2 Sube perdiendo velocidad y llega a la posicion θ(T/2) = −θ0;

3 Cae ganando velocidad y pasa por la posicion θ(3T/4) = 0;

4 Sube perdiendo velocidad y vuelve a la posicion θ(T ) = θ0.

Para calcular el periodo T basta calcular el tiempo se invierte enrealizar la primera accion y multiplicar por cuatro.

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Periodo de las oscilaciones no pequenas (2a parte)

La energıa mecanica de esta oscilacion es constante:

ml2(θ′)2/2+mgl

(1−cos θ

)= E (θ, θ′) ≡ E (θ0, 0) = mgl(1−cos θ0).

Despejando la derivada θ′ de esta relacion, obtenemos que

dθ

dt= θ′ = −

√2g

l

√cos θ − cos θ0 ⇒ dt = −

√l

2g

dθ√cos θ − cos θ0

.

El signo menos es debido a que θ′ < 0 mientras el pendulooscila desde el angulo maximo θ0 hasta el angulo mınimo −θ0.

Integrando la relacion anterior en el intervalo t ∈ [0,T/4] o,equivalentemente, en el intervalo θ ∈ [0, θ0], vemos que

T (θ0) = T = 4

∫ T/4

0dt = 4

√l

2g

∫ θ0

0

dθ√cos θ − cos θ0

.

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Simetrıa & reversibilidad

Si θ(t) es una trayectoria, entonces θ(t) = −θ(t) tambien:

θ′′(t) = −θ′′(t) = gl−1 sin(θ(t)) = −gl−1 sin(−θ(t))

= −gl−1 sin(θ(t)).

El movimiento es simetrico respecto la PEQ inferior.

Si θ(t) es una trayectoria, entonces θ(t) = θ(−t) tambien:

θ′′(t) = (−1)2θ′′(−t) = −gl−1 sin(θ(−t)) = −gl−1 sin(θ(t)).

El movimiento es reversible. Al ver un video del pendulo nosabemos si lo estamos viendo hacia adelante o hacia atras.

Pregunta: ¿Cual de estas dos propiedades fallara al tener encuenta la friccion?

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Escalado del tiempo

Cambiamos la escala del tiempo: s = ct, donde las unidadesdel factor c =

√g/l son [1/s].

El nuevo “tiempo” s es adimensional.Si expresamos el angulo como ϑ(s) = θ(t), entonces

dϑ

ds=

dθ

dt

dt

ds=

1

c

dθ

dt,

d2ϑ

ds2=

d

ds

[1

c

dθ

dt

]=

1

c

d

ds

[dθ

dt

]=

1

c

1

c

d

dt

[dθ

dt

]=

1

c2

d2ϑ

dt2=

l

g

d2ϑ

dt2.

Por tanto, la EDO de 2o orden original se tranforma en

d2ϑ

ds2=

l

g

d2ϑ

dt2= − l

g

g

lsin θ = − sinϑ.

Moraleja: La unica diferencia entre pendulos simples sinfriccion es un escalado en el tiempo.

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Pregunta: ¿Que pasa con friccion?

La EDO de 2o orden que modela el movimiento del pendulo simplecon friccion es

mlθ′′ = −mg sin θ − µlθ′,

donde µ > 0 es el coeficiente de friccion.

a) Determinar la estabilidad de las dos PEQs.

b) Calcular la derivada temporal de la energıa mecanica.

c) Dibujar un croquis global aproximado.

d) ¿Tiene oscilaciones periodicas el pendulo con friccion?

e) ¿Es simetrico el movimiento del pendulo con friccion?

f) ¿Y es reversible?