sổ tay cdt chuong 9-mo hinh hoa ud cdien

8/6/2019 s tay cdt Chuong 9-Mo Hinh Hoa UD CDien

1/42

9M hnh ha ca cc h c hc cho cc ngdng c in t

Raul G. LongoriaThe University of Texas at Austin

9.1 M u .............................................................. ......... ....1

9.2 M hnh ha h c hc trong cc h c in t ..... .... ....1

9.3 M t cc thnh phn m hnh c hc c bn ............. ...6

9.4 Cc nh lut vt l cho to lp m hnh ...................15

9.5 Phng php nng lng cho m hnh ho h c hc. 22

9.6 ng lc hc vt rn nhiu chiu .................................24

9.7 H phng trnh Lagrange ................................. ......... .37

9.1 M u

Cc ng dng c in t c phn bit bi chuyn ng c iu khin ca cc h c hc lin kt vi cc c cu chphnh v cc u o. M hnh ha ng vai tr hiu xem cc tnh cht v s th hin ca cc thnh phn c hc v cc hnh hng n ton b thit k h c in t nh th no. Chng ny im li cc phng php dng cho m hnh ha cc

h ca cc thnh phn c hc kt cu, u tin hn ch vic ng dng cho cc phn t c bn quay v tnh tin, c trng chomt lp kh rng ca ng dng c in t. Phn c s ca chuyn ng c hc (ng hc) c xem nh bit v khngnhc li y, vic tho lun v nhn mnh nhiu hn ginh cho vn ng lc hc ca h. Nhng ng dng nng cao hnph thuc vo cc chuyn ng hai, ba chiu c trnh by trong mc 9.6.

Cc h c hc c th khi qut nh vt th rn hoc vt th n hi c th chuyn ng tng i vi nhau, ph thuc vos kt ni nh th no ca cc thnh phn trong h nh khp ni, gim chn v cc thit b th ng khc. Chng ny tptrung vo nhng h c th biu din c khi dng m t tham s tp trung, cc vt th c xem l vt th rn, khngi hi phi xt n hiu ng n hi. Vic m hnh ha cc h c hc,ni chung, t n trnh kh cao v s thunthc, da trn cc phng php kinh in bt ngun t cc nh lut chuyn ng Newton. Li ch ny c c t nn kinthc to ln v mnh m c pht trin cho cc vn trong phm vi t nhng h khi lng-l xo c bn n cc h nhiuvt phc tp. Trong khi vt l c s c hiu kh tt, th cn tn ti nhiu phng php v ng li khc nhau i nkt qu cui cng. iu c th c bit ng khi ny sinh nhu cu lp m hnh h nhiu vt, trong i hi phi u t

ng k v cc phng php cho vic to lp v gii cc phng trnh chuyn ng. Cc p dng y khng nm trong khunkh ca chng ny, v tp trung ngay vo vic m hmh ha cc h c bn v tng i phc tp, c th l s quan tmu tin cho cc nh thit k v nh phn tich h c in t.

9.2 M hnh ha h c hc trong cc h c in t

Cc bc u tin trong m hnh ha mt h vt l no bao gm xc nh bin gii ca h, v nhn dng cc b phnno c th tch ra v sau kt hp li. Trong cc h c hc, cc phn tch ny thng c trang b bi nhn dng cc imtrong mt h c vn tc phn bit. V mc ch phn tch, cc lc v cc m men ch ng s t ti cc im ny, chng cth th hin tng tc nng lng bin gii ca h. Cc lc v cc m men ny c tc dng in hnh bi c cu chphnh nhng phi biu din cc ti trng khc c tc dng bi mi trng.

Mt b phn c hc c m hnh ha nh mt khi lng im hoc mt vt th rn c d dng nhn dng bi vntc ca n, v ph thuc vo s lng cc vt th v tnh phc tp ca chuyn ng m cn phi a vo mt h ta m

t ng hc mt cch hnh thc ( chng hn xem [12] hoc [15]). Qua phn tch ng hc, cc vn tc b sung ( lin quan) cth c nhn dng ch ra s lin kt v chuyn ng ca cc thnh phn c hc b sung nh l xo, gim chn v/hoc ccu chp hnh. S tng tc ca cc b phn c hc ni chung ph thuc vo dng hnh hc. Tht vy, s ph thuc ca cc

1


2/42

S tay C in t

h c hc vo hnh hc, trong nhiu trng hp lm phc tp s phn tch v i hi s kho st c bit nht l khi iukhin cc h phc tp.

M t s b ca mt h c hc cng nn tnh n nhng lin kt no trn trng thi chuyn ng, chng c th l hmca thi gian hoc ca bn thn trng thi. Trong nhiu trng hp thc t, ng lc hc ca cc h c hc ph thuc vo tcdng ca cc lin kt. Vic nh lng v tnh ton i vi lin kt l quan trng bc nht, c bit trong ng lc hc hnhiu vt, v c cc trng phi suy ngh khc nhau v s pht trin m hnh nh th no. Cui cng, vic quyt nhphng php ring ph thuc vo mc tiu ng dng v s thch con ngi.

Thnh ra mt lp h tng i ln c th c hiu v c m hnh ho bng vic nm vng u tin chuyn ng quayquanh trc c nh v chuyn ng tnh tin mt chiu. Cc h ny c th c m hnh ho khi dng cc phng php phhp vi cc phng php dng nghin cu cc h khc, nh cc h thu lc v h in. Hn na vic xy dng cc mhnh h c in t kt ni s c thun li v thng d dng hn i vi ngi phn tch h nhn thc v phn tch ccm hnh ny.

Tm li mt khi hiu c (a) cc thnh phn ca h v s kt ni chng (k c s ph thuc vo hnh hc), (b) cc lcv cc m men tc dng v (c) vai tr ca lin kt, c pht trin, cc phng trnh ng lc hc bn da theo Newton cth c thit lp. Phn cn li ca mc ny s gii thiu s la chn cc bin vt l ph hp vi mt dng lc v phngphp da vo nng lng m hnh ho cc h c hc quay v tnh tin. lm vic phng php th kt ni[28,3,17] c gii thiu pht trin cc m hnh ca cc h c hc. iu cung cp c s cho vic gii thiu cc khinim nhn qu, s t c quan h vo ra gia cc bin chuyn lc trong mt h. Phng php th kt ni cung cp mtphng thc hiu v lp m hnh ton hc c bn cng nh nhng h c hc phc tp ph hp vi cc min nng lngkhc (in, c in, nhit, cht lng, ho hc, ...).

Cc bin vt l v cc kt ni cng sut

C s nng lng v cng sut

Mt cch tch ra v kt ni hp l cc m hnh h con l dng cc bin nng lng v cng sut nh lng tngtc ca h, nh c minh ho i vi h c hc trong hnh 9.1(a). Trong hnh ny mt cng c ch ra dng cngsut c cho bi tch ca lc v vn tc, F.V, v cng khc cng sut l tch ca m men v vn tc gc, T. . Cc bin linkt cng sut ny (tc l tch ca chng sinh cng sut dc theo chng c th dng cho min nng lng thu lc v inc tm tt trong bng 9.1. Tng t cc bin lc (e) v dng (f) c nhn dng i vi lnh vc nng lng tng t ccbin lc v dng c th c nhn dng i vi cc min nng lng c quan tm khc (nhit, t, ho,...). C s ny mbo cho cc m hnh chnh xc v nng lng v cung cp phng php ph hp hiu chnh ng thi cc phn t ca h.

Trong vic m hnh ho cc h nng lng, tnh lin tc v nng lng c dng nh c s phn loi v nh lngcc h. PAYNTER [28] ch ra phng trnh lin tc nng lng nh th no cng vi khi nim cng c xc nh thntrng, cung cp mt c s cho khung m hnh ho tng qut n n phng php th kt ni. Phng trnh li paynterv tnh lin tc nng lng.

1 1 1

( )l m n

j

i d k

i j k

dEP P

dt= = = = + (9.1)

nhn dng nhanh chng ldng cng sut phn bit,Pi, m tng nng lng phn bitEj, v n gi l b gim nng lng phnbit,Pd. Vic m hnh ho tm kim s chnh xc ca vic m t t im ny. V d trong h khi lng l xo - gim chnn gin, khi lng v l xo tch tr nng lng, gim chn hao tn nng lng v s kt ni cc phn t ny c th m tcc dng cng sut gia chng nh th no.

Mt vi chi tit hon thin cc bc m hnh ha ny c trnh by trong mc sau.

Bng 9.1 Cc bin cng sut v nng lng cho cc h c hc

Min nng lng Lc, e Dng,f Cng sut,P

Tng qut e f e.f [W]

Tnh tin Lc, F[N] Vn tc,V[m/sec] F.V[Nm/sec,W]

Quay M men, T Vn tc gc, T. [Nm/sec,W]

hoc [Nm] [rad/sec]

in in th, v[V] Cng dng, i[A] v.i [W]

Thy lc p sut,P[Pa] Tc dng P.Q[W]

Q[m3/sec]

2


3/42

M hnh ha cc h c hc cho cc ng dng c in t

Hnh 9.1 S kt ni c bn ca cc h khi dng cc bin cng sut

Mt phng php thc hin l xc nh v phn loi cc phn t ca h da trn phng trnh lin tc nng lng chiali (9.1). V d, xt mt h ch bao gm cc vt th rn nh cc kho tr nng lng (c bit l ng nng), khi Pd=0 (tac th thm vo sau), ni chung, c lcng c th mang nng lng vo h tr nng lng (c ng nng) thun ty ny, hny c m ng ring bit a nng lng vo cc vt th rn. l mt khi nim rt tng qut, ph hp vi nhiu cchkhc lp m hnh cc h vt l. Tuy nhin, l c s cung cp con ng tng qut lp m hnh v tch phn cc loikhc nhau ca cc h nng lng.

S ca ng c mt chiu nam chm vnh cu (PMDC) cho trn hnh 9.1(b) minh ha cc bin cng sut c thdng nh th no nhn dng cc im kt ni. V d ny cng dng nhn dng nhng ci cn thit cho m hnh ha ccc cu, nh tng tc c in (EM), c th biu din s trao i nng lng gia 2 phn ca mt h. M hnh ny biu din

mi quan h c n gin ha gia dng nng lng in, v.i, v dng nng lng c, T. , n to nn c s cho mt mhnh ng c. Hn na, l mi quan h bo ton cng sut l tng, ch cha cc dng cng sut trong phng trnh lintc nng lng, khng c tch tr hoc hao tn. Cc hiu ng vt l b sung c th a vo sau.

Dng tn hiu v cng sut

Trong s to lp th kt ni ca ng c PMDC, s kt ni cng sut c dng nhn dng dng cng sut. Nhngkt ni cng sut nh lng dng cng sut qua cp dng lc, c th ghi nhn cc kt ni nh trn hnh 9.2(a) ( quy c gil lc nhn v tr bn trn i vi nh hng ca kt ni). l m hnh th kt ni bng li, mt dng c dng nhn dng cc phn t chnh trong m hnh h phc tp. giai on ny ca m hnh, ch c nhng tng tc ca cc h acng c th hin trong hnh dng chung. Vic thm cc na mi tn vo kt ni cng sut xc nh hng dng cng sutgia 2 h (dng theo chiu mi tn). Cc kt ni tn hiu c dng trong cc gin h iu khin, c cc mi tn yv c th c dng trong cc m hnh th kt ni ch ra nhng tng tc ch truyn t thng tin (hoc cng sut c

th b qua) gia cc a cng. V d, th kt ni bng li trn hnh 9.2(b) ch ra mt tn hiu t khi c hc th hin phpo l tng c truyn n mt b iu khin nh l mt tn hiu thun ty. B iu khin ny c c tn hiu ny v cc tnhiu dng cng sut, khi ng kn bng phng din in ca m hnh. Cc gin khi nim ny tin dng cho vic hiu vtruyn qua cc khu ni ca h, nhng khng dy v thch ng nh lng s th hin ca h.

Hnh 9.2 M hnh th kt ni theo cng sut (a) th kt ni bng ch ng c PMDC, (b) th kt ni bng chng c PMDC vi b iu khin

Trong khi vic dng cng sut v nng lng thun li trong vic to lp cc m hnh h thng i vi cc h c hc, thnn chuyn ngc l ti hn cho vic nhn dng cc khu ni v khi to lp cc m hnh ton hc nh lng c. ivi nhiu h quay v tnh tin c hc ch cn da trn cc khi nim chuyn ng 1 chiu c bn v chuyn ng tng i nhn dng s tng quan gia nhiu loi thnh phn thc t. S nhn dng kt cu dng li trong cc h ny l c scho vic xy dng tng t in trong mt thi gian no . Cc phng php ny, cng nh phng php phn tch dng tnhiu, khng c trnh by y nhng l phng php c chn trong mt s cch tip cn n ng lc hc h. Cc m

3


4/42

S tay C in t

hnh th kt ni c trnh by, v s c ch ra trong cc mc sau s nht qun nh th no vi vic to lp h c hcphc tp ca ng lc hc 3 chiu cng nh vic dng cc m hnh Lagrange.

S cn thit i vi c s chuyn ng

Trong m hnh ha cc h quay v tnh tin c hc, quan trng l nhn dng cu hnh thay i th no, v mt h ta phi c xc nh v hiu ng ca s thay i hnh hc phi c nhn dng. Gi thit rng, c gi quen vi cc khinim c bn ny[12]. Thng thng mt cu hnh gc c xc nh th cc ta da vo n. l chnh yu ngay c i

vi s chuyn ng tnh tin mt chiu n gin hay chuyn ng quay quanh trc c nh. S ti thiu cc ta c lphnh hc cn thit m t cu hnh ca h c xc nh mt cch truyn thng nh l bc t do. Cc lin kt cn cnhn dng v c th c dng chn mt tp ta thun li nht m t h. Chng ta phn bit gia bc t do v s tithiu ca bin trng thi ng cn thit m t h. Chng c th lin h vi nhau, nhng khng nht thit trng nhau ngayc v s lng (v d, mt h bc hai c 2 bin trng thi, nhng ch l h mt bc t do).

Mt minh ha hon ho v li ch ca bc t do, lin kt v vai tr ca nhng khi nim ny trong m hnh ha v hinthc ha h thc nh ch ra trn hnh 93. Minh ha ny (theo Matschinsky [22]) ch ra bn phng php khc nhau cuhnh s treo ca bnh xe. Trng hp (a), n to nn mt c s cho m hnh - xe t r rng ch c mt bc t do. Cngng nh vy cho cc trng hp (b) v (c) mc d c nhng lin kt rt bt s ta xung cn 1 cho mi trng hp ny.Cui cng trc xe dng dm cng ch ra n phi c hai bc t do nh th no trong chuyn ng ng v quay ca dm t c t nht mi bc t do mi bnh.

Hnh 9.3 Cc loi treo bnh xe: (a) ch chuyn ng ng, 1 DOF (bc t do); (b) trc xe o vi cc chuyn v ng vngang, 1 DOF; (c) thit k ni 4 thanh, chuyn ng lin kt, 1 DOF; (d) trc xe dng dm cng, 2 bnh chuyn ng quay

v ng, 2 DOF

S kt ni ca cc thnh phn

Trong chng ny chng ta s dng cc th kt ni m hnh cc h c hc. Ging nh trnh by cc th khcdng trong cc h ng lc [33] v phn tch h nhiu vt [30, 39], cc th kt ni i hi s am hiu v cc thnh phnm hnh c bn dng biu din mt h. Tuy nhin mi ln hiu c cc phng php th s cung cp 1 phng phph thng biu din kt ni ca cc yu t ca h a nng lng. Thm vo , cc th kt ni l duy nht sao cho chngkhng l nhng dng th tuyn tnh : cc kt ni cng sut thay th cc nhnh, cc cng thay th cc nt [28]. Hn na,

chng bao gm cch tip cn h thng i vi nhn qu tnh ton.Nhc li rng 1 ng n gin biu din dng cng sut, v mt na mi tn xc nh hng dng cng sut dng.Cc nt trong th tuyn tnh biu din cc bin cho (v d vn tc, in th, tc dng); Tuy nhin a cng trong thkt ni biu din mt yu t ca h c chc nng vt l xc nh bi mt c s nng lng. Cc yu t m hnh ca h biudin cc khi lng, l xo, v cc thnh phn khc s c tho lun trong mc sau. Hai yu t m hnh ng vai tr ct yutrong m t cc yu t m hnh nh th no c lin kt bi khp-1 v khp-0. l cc yu t cng l tng ha (bo toncng sut), c th biu din quan h vt l c bit trong mt h, tin dng trong ni kt nhng phn t m hnh khc nhau.

Mt im trong h c hc c vn tc phn bit c th hin bi khp-1. Khi mt hoc nhiu yu t m hnh (nh khilng) c cng vn tc nh khp-1 cho, iu c ch ra bi s kt ni chng khp-1 vi lin kt cng sut. bi vkhp-1 c lin kt bo ton cng sut, n c th chng t rng cc lc (lc, mmen) trn tt c cc ch kt ni phi c

tng bng 0, tc li

e 0= . iu c minh ha trn hnh 9.4 (a). Khp-1 to lc cho s ph hp ng hc v a vomt phng php biu din bng th tng hp lc! V d trn hnh 9.4 (b) ch ra ba h (cc khi c nh nhn 1,2,3)

lin quan n mt im ca vn tc chung. Trong th kt ni, ba h phi c lin kt bi khp-1. Ch rng quy c nyc lin kt theo ngha mi tn cng sut.

Vi mc ch tng t cho cc h in khp-1 c th c coi nh mt chui cc lin kt in. Bng cch y cc yu tlin kt vo khp-1 c cng dng (bin dng) v hp lc suy ra trong khp-1 tun theo nh lut v in th Kirchhoff.

4


5/42


Trong cc h c hc cc khp-1 c th biu din cc im trong mt h, th hin vn tc ca mt khi lng, v tng hp lc

c pht biu bi nh lut Newton (trong dng DAlembert) 0F p =& .

Hnh 9.4 minh ha cc thnh phn vi vn tc chung c kt ni nh th no. Nhiu thnh phn vt l c th c ktni bi hnh nh ca lc chung (lc hoc mmen) hoc khp-0. V d hai l xo kt ni bin dng lin tip v cc mt u cachng c cc vn tc ko, nn khc nhau; tuy nhin chng c cng lc chuyn qua cc u mt (cc l xo l tng khngkhi lng). Cc thnh phn ca h, c loi quan h ny, c biu din bng th dng khp-0. nh ngha khp-0 c bnc ch ra trong hnh 9.5 (a). Cc khp-0 c bit tin li trong m hnh ha h c hc v chng cng c th c dng

m hnh s kt ni ca cc thnh phn c chuyn ng tng i. V d thit b trong hnh 9.5 (b), ging nh mt l xo ccc u mt chuyn ng tng i vi nhau nhng trn mi mt u mt l nh nhau (ch gi thit b qua khi lng).

Hnh 9.4 Khp-1 c hc: (a) nh ngha c bn, (b) v d s dng khp khng khi lng

Hnh 9.5 Khp-0 c hc: (a) nh ngha c bn, (b) v d s dng khp khng khi lng

Hnh 9.6 (a) Lc c bit t S1 vo S2, (b) dng c bit t S1 vo S2, (c) mt v d c sp xp ch ra lin kt trn c snhn qu t ra trong cc nh ngha vt l ca khp-0 v khp-1

nh ngha ca khp-0 suy ra rng tt c s kt ni c cc vn tc khc nhau, nn mt s khc dng c th c to ra lp nn vn tc tng i V3. Tt c cc kt ni ny c cng lc, tuy nhin lc ny phi c tc dng cc khp-1, nhndng 3 vn tc khc nhau trong v d ny. Chng hn, mt l xo phi c kt ni trn mt b kt ni vi khp V 3, nh ch ratrn hnh 9.5(b), v l xo 3V V= .

Cc phn t khp-0 v khp-1 biu din bng th cu trc i s trong mt m hnh, vi nhng s tham gia v vt lkhc nhau t s ph hp ng hc (khp-1) v lc hoc m men (khp-0). th ny c th phn nh, iu g c th hiuc v s tng quan ca cc thit b vt l vi th kt ni. C s u vit trong s to dng th kt ni, v khi cth dng tnh nhn qu xy dng cc m hnh ton hc. Chng hn c th xem cng trnh ca Karnopp, Margolis, vRosenberg [17]. C mt mi quan h cho cc bin trc tip v bin cho, c dng trong cc phng php th tuyn tnh

[33].

Nhn qu

5


6/42

S tay C in t

M hnh ha th kt ni din t c phng php lun v thut ton v s gn b i vi nhn nh nhn qu(xem Paynter[28], trang 126). Trong phm vi m hnh ha th kt ni, nhn qu a n mi quan h vo-ra gia cc bintrn kt ni cng sut, v ph thuc vo cc h lin kt vi mi u mt ca b kt ni. Paynter ng nht s cn thit cakhi nim ny khi b li cun mnh m vo tnh ton tng t, trong nhng li gii da trn nhng quan h xc nh rgia cc tn hiu. V d, nu h S1 trong hnh 9.6(a) l mt ngun lc bit, th khi kt ni vi h S 2, n phi xc nh lctrong S2 v n lt mnh S2 phi tr li bin dng, f, trn b kt ni lin kt 2 h. Trong th kt ni, quan h nhn qu nyc th hin bi nt v ng trn b kt ni, nh ch ra trong hnh 9.6(a). Nt v ng mt u mt ca b kt ni ch rarng lc c xc nh trong phn t a cng lin kt u mt ny. Trong hnh 9.6(b), tnh nhn qu c o li t nhngiu th hin trong (a). V d trong hnh 9.6(c) minh ha, tnh nhn qu truyn nh th no qua th kt ni ca cc b ktni lin kt v cc h. Ch rng mt khp-1 vi cc a cng ch c th c mt b kt ni xc nh dng khp ny, nnnhng b kt ni khc xc nh lc trong khp-1. Mt khp-0 i hi mt b kt ni xc nh lc, trong khi tt c ccb kt ni khc xc nh dng. Cng lu rng, mt hng i vi dng cng sut dng khng c phn nh trn ccb kt ni ny. y mun nhn mnh ngha cng sut v xc nh nhn qu trn mt kt ni l c lp vi nhau.

Xc nh nhn qu trong cc m hnh h s c p dng trong cc v d sau y. Mt s tho lun si ni v quy trnhxc nh nhn qu k tip (xem SCAP) c th tm trong Rosenberg v Karnopp [32] hoc Karnopp, Margolis v Rosenberg[17]. Bng cch dng cc phn t th kt ni xc nh, vic phn nh nhn qu c lm mt cch h thng. Qui trnh ny c lp trnh trong nhiu gi phn mm c gi tr thng mi, dng th kt ni nh m t hnh thc cc m hnh hvt l.

V c th pht hin quan h vo-ra ca cc bin trn tt c cc b kt ni trong m hnh h, nn tnh nhn qu c th onnhn kh nng gii bng my tnh ca m hnh th kt ni.Cc kt qu c dng ch ra s trng thi ng lc i hi

trong mt h, v th nhn qu rt tin li trong vic a ra chnh xc m hnh c hc. Ngay c nu khng rt ra c ccphng trnh, tnh nhn qu cng c th dng a ra cch nhn vt l xem h lm vic th no.

9.3 M t cc thnh phn m hnh c hc c bn

Cc thnh phn c hc trong cc h c in t biu th s hin din ca chng thng qua p ng chuyn ng v biphn ng lc v m men ng k trn kt cu , cc c cu chp hnh, v cc sen s. Khi hiu v on nhn cc thuc tnhp ng ny, xy ra do kt hp vi cc hiu ng ma st, n hi v qun tnh, c th thu nhn c bn cht tch ly nnglng v hao tn bng nhn dng. S nhn mnh ny n s hao tn v tch ly nng lng dn n mt nh ngha h thngca cc quan h c thit lp i vi cc phn t m hnh ha h c hc c bn.Cc phn t m hnh ny to thnh c scho vic xy dng cc m hnh h phi tuyn phc tp v cho vic xc nh cc quan h tr khng tin li trong vic to lphm truyn.

Ngi ta coi rng quyt nh m hnh ha c thc hin sao cho cc phn t hao tn v tch ly nng lng (ng v thnng) c th c nhn dng biu din trung thc mt h c quan tm. Hnh mt li l mt phn c bn ca qu trnhm hnh ha, nhng i khi vic nh ngha v lin kt cc phn t khng phi d dng hoc trc gic. Trong mc ny, utin l xem li cc phn t m hnh vo v ra ca h c hc, v sau xem xt cc phn t hao tn th ng v cc phn ttch ly nng lng. Mc ny cng bn v cc phn t kt ni dng cho m hnh ha cc bnh rng, n by v cc loi phnt truyn nng lng khc. Chng ny kt thc bng vic a vo cc quan h tr khng cho tt c cc phn t ny.

nh ngha cc phn t m hnh c hc u vo v u ra

Trong m hnh ha h ng lc, yu cu trc tin l xc nh bin ca h, mt khi nim c mn t nhit ng hcc bn. Trong nhng h c hc c lp, bin ca h ng nht vi cc cng, tn hiu v cng sut c th i qua. mi cngc m t bng cp lin hp cng sut vn tc-lc hoc vn tc gc-m men. Tht l thun li, khi tp trung vo m hnhha h c hc, lm c s cho tnh nhn qu mi cng. V d, nu mt ng c gn vi mt cng th phi c th xc nh

m men nh bin u vo v vn tc gc nh u ra (sau ng c).iu quan trng l nhn ra rng l nhng gi thit m hnh. Ta xc nh cc phn t c bit nh ngun lc, hocdng c th gn vo bin ca h c quan tm. Cc u vo ny phi c bit v hoc l tng ha, hoc chng c th lo din m sau ny ta s gn cho m hnh mt c cu chp hnh hoc sen s. Trong trng hp ny tnh nhn qu xcnh ti cng c c nh sao cho m hnh h (bn trong) s khng thay i. Nu tnh nhn qu thay i th cn thit phito lp li m hnh mi.

Trong thut ng th kt ni, thut ng effort source c s dng nh ngha mt thnh phn ch r s tc ng nnvt nh lc hoc momen . Biu trng Se hocEc th c dng th hin mt ngun lc trn th kt ni.

6


7/42


Hnh 9.7 Hai trng hp ngun lc v ngun dng c ch ra trong th kt ni ch

Hnh 9.8 (a) Quan h cu thnh in tr (b) V d m hnh in tr gim chn

Mt ngun dng l mt phn t nh r mt dng trn mt b kt ni, nh vn tc tnh tin, vn tc quay hoc vn tcgc, k hiu trn th kt ni l Sf hocF. Hai v d ngun c bn c ch ra trn hnh 9.7. Ch rng mi b kt ni clc hoc dng xc nh, ph thuc vo loi ngun. Tnh nhn qu trn cc phn t m hnh ny lun lun c bit, nh ch ra. Hn na, mi b kt ni mang c hai mu thng tin: (1) bin lc hoc dng nh r bi ngun, v (2) phn ng ngcc ch ra bi tnh nhn qu. V d, ti ch kt ni vi nn trong hnh 9.7(b) ngun nh r lin kt vn tc 0 trong h, v hny, n lt n, li xc nh lcphn hi ti nn. S trnh by mang tnh cht biu trng ny nhn mnh bn cht nhn qu

ca cc m hnh th kt ni v nhn mnh cc bin no c gi tr cho vic kim tra. Trong trng hp ny lc tc dng linn phi l bin u ra ti hn.

Hiu ng hao tn trong cc h c hc

Cc h c hc s hao tn nng lng do ma st khi tip xc trt, cc b gim chn (th ng hay tch cc), v thng quatng tc vi cc min nng lng khc nhau( nh ti thy lc, cn dng xoy). Cc hiu ng khng thun nghch ny cm hnh ha bi cc hm c bn gia lc v vn tc hoc m men v vn tc gc. Trong mi trng hp tch ca cc bin

lc-dng biu din cng sut b hao tn, dP e f = , v nng lng tng th b hao tn l ( )d dE P dt e f dt = = . Nng lngny c th xc nh c khi cho hm c bn, ( )e f= , c ch ra bng th trn hnh 9.8(a). Chng ta coi n nh lquan h thit lp tr khng c bn, cha ng nhng hn ch quy nh bi nh lut th hai ca nhit ng lc hc; chnh l

0e f . Mt gim chn c hc in hnh, i theo m t m hnh loi tr khng, c tm tt trong hnh 9.8(b).

Trong m hnh th kt ni, cc phn t tr khng c k hiu bi phn t R, v mt m hnh phn t-R a cng,tng qut ha c ch ra trn hnh 9.9(a). Ch rng phn t R c phn bit bi kh nng biu din tch en-tr-pi trongmt h. Trn phn t R,cng nhitv b kt ni c ch ra, v hng cng sut i ra t Rlun lun dng. Trong cc hnhit, nhit , T, l bin lc v tc dng en-tr-pi , fs, l bin dng. tnh ton nhit sinh ra bi phn t R, hy kt hptnh ton khi Q (nhit trong in nng watt) = T.fs = iei.fi trn n cng.

Hnh 9.9 (a) Phn t th kt ni tr khng (b) Tnh nhn qu tr khng v dn sut

7


8/42

S tay C in t

Hnh 9.10 (a) 2 mt tip xc trt (b) M hnh th kt ni vi nhn qu suy ra cc vn tc nh u vo bit

H gn vi phn t tr khng qua b kt ni cng sut ni chung s xc nh nhn qu trn b kt ni ny, v cc phn ttr khng ni chung khng c dng nhn qu gc.1Hai trng hp c th trn phn t cng R cho c ch ra trn hnh9.9(b). S khi nhn mnh phng din tnh ton ca tnh nhn qu. V d, trong trng hp tr khng, dng (hoc vn

tc) l u vo bit , nn cng sut b hao tn l ( )dP e f f f = = . i vi cn tuyn tnh, F b V = , nn

( )2dP F V b V W = = .

Trong cc h c hc, nhiu hiu ng ma st c rt ra bi chuyn ng tng i. Do , vic nhn dng hiu ng haotn c cu hnh nh th no trong mt h c hc i hi nhn dng cc bin chuyn ng ti hn. Hy xt v d v 2 mtphng trt ln nhau vi cc vn tc khc nhau c nhn dng bi khp-1, nh ch ra trn hnh 9.10(a). Khi nhn dng mtmt vi vn tc V1, v mt kia vi vn tc V2 cu trc n gin trn hnh 9.10(b) ch ra mt phn t Rc th c kt ni

vn tc tng i V3. iu ghi nhn tnh hp l ca thuyt nhn qu. Hai vn tc kt ni ti khp-0 to thnh vn tctng i, l u vo cho R. Cn u ra l lc F3, tnh c t quan h c bn ( )3F V= . Khp-1 c to lp biudin V3 c th b loi ra khi ch c phn t n c gn vo nh ch ra. Trong trng hp ny, Rc th thay th khp-1.

Khi mi quan h dng-lc l tuyn tnh, hng s t l l tr khng, trong cc h c hc cc i lng ny thng l cchng s cn (gim chn). Cn tuyn tnh c th xut hin trong cc trng hp khi hai mt phn cch bi cht lng trttng i vi nhau v sinh ra dng nht thnh lp. Trong trng hp ny c th ch ra rng lc v vn tc tng i c quanh tuyn tnh, v tnh cht hnh hc v vt liu ca bi ton s nh lng hng s cn tuyn tnh. Bng 9.2 tng kt cc phnt cn quay v tnh tin, bao gm cc trng hp tuyn tnh. Cc thnh phn ny c chuyn cho cc b gim chn, v loigim chn c m t y dn n ma st nht trong cc ng dng c hc, thun li trong nhiu ng dng c cha cc mtbi trn. Nu vn tc tng i kh cao, dng c th tr thnh dng xoy v dn n s th hin ca b gim chn phi tuyn.Khi quan h c bn ny l hm phi tuyn, nhng cu trc hoc s kt ni ca m hnh ny trong h khng thay i. Ccb gim chn cng c cu to dng thit k piston/ cht lng v chng hn, chung cho cc b hp th va chm. Trong

nhng trng hp ny, cc c trng vn tc lc thng hp vi tnh phi tuyn.Bng 9.2 Cc phn t hao tn c hc

H vt l Cc quan h c bn th kt ni

Phn t hao tn tng qut

- Phn t tr khng

- in tr R

S hao tn: e f i i si

e f T f = =

Lut tr khng: ( )Re f=

Lut in dn: ( )1Rf e=

Hm lng: fP e df

= ng hm lng: eP f de=

Phn t R a cng tng qut

Tnh tin c hc C s: ( )F V=

Hm lng: VP F dV = ng nng lng: FP V dF = S hao tn: d V FP P P = +

R:FV

B

Tuyn tnh F b V =

Hao tn 2dP bV =

Quay c hc C s: ( )T = R:T B

1 iu ny l ng vi hu ht cc trng hp. Cc phn t tch ly nng lng s ch ra sau, c dng nhn qu d dng m t bng cng thc.8


9/42


Hm lng:P T d = ng nng lng: TP dT = Hao tn: d TP P P = +

Tuyn tnh T B =

Hao tn 2dP B=

Bng 9.3 Cc h s ma st in hnh Ch : cc gi tr ny thay iph thuc nhiu vo cc iu kin

Cc mt tip xc Tnh, s Trt hoc ng, k

Thepe trn thp (kh) 0.6 0.4

Thp trn thp (nhn) 0.1 0.05

Teflon trn thp 0.04 0.04

Teflon trn teflon 0.04 -

ng trn thp (kh) 0.5 0.4

Lt phanh trn st c 0.4 0.3

Cao su trn nha ng - 0.5

Cao su trn b tng - 0.6Lp cao su trn ng lt nhn (kh) 0.9 0.8

Cp kim loi trn pu ly st (kh) 0.2 0.15

Dy gai trn kim loi 0.3 0.2

Kim loai trn bng - 0.02

M hnh nht s khng l m hnh ma st hu hiu gia cc vt th rn kh, l qu trnh phc tp hn nhiu v dn nth hin s gii hn c bit cc tc tng i thp hn. Mt cch th hin loi ma st ny l m hnh Coulomb kinhin, ph thuc vo ti trng php tuyn gia cc mt, v vo h s ma st, thng k hiu bi (xem bng 9.3). M hnhCoulomb nh lng lc ma st l F N= , trong Nl lc php tuyn. Hm ny c v trn hnh 9.11(a) minh halc ma st lun lun ngc vi chuyn ng nh th no. M hnh ny kh nng nh mt hm tr khng c bn lin hvi lc ma st v vn tc tng i ca cc mt. Tuy nhin, trong trng hp ny, vn tc ch c tc dng xc nh du ca

lc, tc l, ( )sgnF N V = , trong sgn l hm signum (ly gi tr 1 khi V> 0, ly gi tr -1 khi V< 0).

Hnh 9.11 (a) Ma st Coulomb kinh in cho cc mt trt. (b) th kt ni ch ra tc dng ca lc php tuyn nh s iubin ca lut phn t -R

M hnh ny i hi iu kin c bit khi V0. Ma st kh c th dn n hin tng trt-dnh, c bit ph bin khivn tc tng i gia cc mt tip xc tin n gi tr thp. Lc ma st trt-dnh c phn bit theo cch chng thay inh hu qu cc bin khc, nh lc php tuyn hoc ti trng tc dng khc. Trt-dnh l mt loi p ng ca h xy ra dohiu ng ma st. Trn th kt ni, mt kt ni tn hiu c th c dng ch rng lc php tuyn c xc nh bi yut bn ngoi (chng hn, trng lng, ti trng tc dng, v.v...). iu c minh ha trn hnh 9.11(b). Khi cc tnh chtc bn ca phn t vt l b thay i bi cc kt ni tn hiu trong cch ny, chng c coi l b iu bin. l mtphng php m hnh ha rt tin dng, nhng cn lu , khng p dng c khi vi phm nguyn l nng lng c bn.

Kh khn na vi m hnh ma st kh tiu chun l n c tnh nhn qu u i. Ni cch khc, nu u vo l vn tc thquan h ch yu ny tnh ra lc. Tuy nhin, nu u vo l lc th khng c u ra vn tc duy nht. Hm ny l a tr.Nhng kh khn loi ny thng chng t rng cc hiu ng vt l cha c k ht khi m hnh ha. Trong khi quan h c

bn dng lc c dng, th dng ca quan h c bn ny cn thit cho tham s ha bi cc bin ti hn khc (nhit , m, v.v...). Cc m hnh chi tit hn nm ngoi phm vi ca chng ny, nhng c gi c th tham kho Rabinowicz (1995)v Armstrong-Helouvry (1991), cc tc gi ny trnh by k trong m hnh ha ma st v tc dng ca chng. Ma stthng l ngun bt nh tri trong nhiu lc m hnh ha d on ( l s tht trong nhiu min nng lng).

9


10/42

S tay C in t

Cc phn t tch ly th nng

Mt phn nng lng lm bin dng phn t c hc no c th tham gia vo vic d tr th nng thun ty. Thngthng, quyt nh m hnh ha mt phn t c hc theo cch ny c nhn dng thng qua mi lin h cu to c bn giabin lc e (lc, m men), v bin dch chuyn q (dch chuyn tnh tin, dch chuyn gc). Mi quan h ny c th rt ra t chc c s [29] hoc qua o c trc tip. Mt v d l l xo di, trong dch chuyn ca cc im mt x lin h vi lc tc

dngFnh sau: ( ) F F x= .

Trong m hnh tham s tp trung da vo nng lng, bin dch chuyn suy rng q c dng xc nh hm th nngtrng thi nht nh,

( ) qE E q U = =

Nng lng ny gn vi quan h cu to ( )e q= F bi

( ) ( )edqU q U q q d = = = Ni chung phng php ny l thun li v nhn thy rng cc thit b thc t c quan tm c t nht mt ch kt ni

(cng) trong cng sut c th tch ly th nng. Ti cng ny bin dch chuyn c quan tm l dch chuyn tnh tin xhoc dch chuyn gc , v vn tc ph hp l V x= &v = . Phn t tch ly th nng m rng c tm tt trong bng9.4, trong cc v d c cho i vi mt cng tnh tin hoc quay.

L xo di tuyn tnh l mt phn t trong ( ) ( )1/F F x kx C x= = = , trong kl cng, 1Ck

l mm ca l

xo. Nh ch ra trong bng 9.4 th nng c tch ly trong l xo tuyn tnh l 21

2xU Fdx kx dx kx= = = , v ng nng

lng l ( ) 2/ / 2FU Fdx F k dF F k = = = . V l xo l tuyn tnh, c th ch ra rng x FU U= . Nu l xo l phi tuyn dobin dng do hoc cng ha cng th iu khng ng.

Th nng n hi c th c tch ly trong mt thit b qua nhiu cng v qua cc min nng lng khc nhau. Mt vd v loi ny l dm cng xn c ti mt c lc v m men. Dm ny c th tch ly nng lng bi c dch chuyn tnh tinv dch chuyn quay tai mt. Quan h c bn cho phn t C hai cng lin h lc v m men vi dch chuyn thng v dchchuyn quay, nh ch ra trn hnh 9.12. Ma trn cng (hoc mm) i vi lch nh c rt ra bi s chng chttuyn tnh.

Bng 9.4. Cc phn t tch ly th nng c hc (dng tch phn)


Phn t tch ly nng lng Trng thi: =q dch chuyn

Tc : q f=&

C s: e (q)=

Nng lng: e. qqU d= ng nng lng: e q eU d=

Phn t a cng C tng qut

Tnh tin c hc-L xo

- cng k, mm C

Trng thi: x = dch chuyn

Tc : x V=&

C s: ( )F F x=

Nng lng: .xU F dx=

ng nng lng: FU x dF =

:1 /Fx V

C k=

=& C

Tuyn tnh: F k x=

Nng lng: 21

2xU kx=

ng nng lng:2

2FF

Uk

=

Quay c hc

-L xo m men

- cng k, mm C

Trng thi: = gc

Tc =&

C s: ( )T T =

Nng lng: U T d =

:1 /T C K =

=& C

Tuyn tnh: T K =

Nng lng: 21

2U k =

10


11/42


ng nng lng: TU dT= ng nng lng:2

2TT

UK

=

Hnh 9.12 V d phn t tch ly nng lng 2 cng: (a) Dm cng xn vi cc kt ni mt quay v tnh tin, (b) Phn t Cv m hnh 2-cng

Tch ly ng nng

Tt c cc thnh phn cu to nn cc h c hc u c khi lng, nhng trong phn tch mt h, trong s lin quan lth hin ng lc hc, th ch cn tp trung vo cc thnh phn c th tch ly lng ng nng thch hp thng qua chuynng ca chng. iu d on rng mt c s nng lng c dng cho m hnh ha, v s theo ri ng nng s cungcp ci nhn bn trong ng lc hc h. l tm im ca s tho lun, lin quan n khonh khc chuyn ng tnh tinmt chiu v chuyn ng quay quanh mt trc c nh. Sau s c ch ra cch din t c trnh by y c li nhth no hiu cc h phc tp hn.

Khi nim v khi lng v s dng n nh phn t m hnh c thun li bi quan h Newton gia tc thay i cam men ng lng ca khi lng i vi cc lc thc t nh hng n n, F p= &, trong p l m men ng lng.Nng lng tch ly trong h do chuyn ng tnh tin vi vn tc V l ng nng. Khi dng quan h t nh lut Newton,

dp Fdt = , nng lng ny l ( ) ( ) pE p T p T Pdt FV dt V dp= = = = = . Nu vn tc c biu din ch nh hm mmen ng lngp, th h ny l khi lng tnh tin thun ty, ( )V p= . Nu vn tc t l thun vi m men ng lng,

th /V p m= , trong m l khi lng. Cc nh ngha c bn tng t c lm cho vt th quay quanh mt trc v ccphn t ny c tm tt trong bng 9.5.

Bng 9.5 Cc thnh phn tch ly ng nng c hc


Thnh phn tch ly ng nngtng qut

Trng thi: =p m men ng l ng

Tc : =p e&

C s: ( )= f p

Nng lng: pT f dp= ng nng lng: fT p df =

Phn t a cng I tng

qut

Chuyn ng tnh tin c hc Trng thi: p = m men ng l ng

Tc :p F=&

Cu to: ( )V V p=

Nng lng: .pT f dp= ng nng lng: VT p dV =

Chuyn ng quay c hc Trng thi:h = m men ng l ng gc

Tc : h T=&

Cu to: ( )h =

11


12/42

S tay C in t

Nng lng: hT dh= ng nng lng:T h d =

i vi nhiu ng dng thc tin trong k thut, quan h vn tc m men ng lng, V=V(p) (quan h cu to) l tuyntnh. Ch trong trng hp tng i c th c quan h phi tuyn trong lut cu to i vi khi lng. Tuy nhin, iu chra rng, trong trng hp tch ly ng nng tng qut, quan h cu to c thit lp gia bin dng v bin m men ng

lng, f = f(p). iu gip cho vic nh gi s tng t cho min nng lng khc, c bit trong cc h in trong ccb cm ng (tng t nh khi lng) c th c quan h phi tuyn gia lung (dng) v s kt ni lung (m men nglng).

Chuyn ng quay ca vt rn c xt y b hn ch cho trng hp n gin quay phng quanh trc c nh. Mmen qun tnh ca khi lng ca mt vt i vi mt trc c xc nh nh l tng ca cc tch cc phn t khi lng v

bnh phng khong cch ca chng tnh n trc ny. i vi trng hp ri rc, 2I r m= , cn i vi trng hp lintc tr thnh 2I r dm= (n v kgm2). Mt s dng thng dng v m men qun tnh khi lng ca chng c cho trnhnh 9.13. Cc vt th rn tng qut c bn ti trong mc cc tnh cht qun tnh.

Hnh 9.13 Cc m men qun tnh khi lng i vi mt s vt th thng dng

C nhiu khi nim v nh l thun li lin quan n cc tnh cht ca vt th rn m s hu ch trong mc ny. u tin,nu m men qun tnh khi lng c bit i vi mt trc i qua tm khi (IG), th nh l Steiner (nh l trc song song)lin h m men qun tnh ny vi m men qun tnh i vi trc khc khong cch d cho bi I = IG + md2, trong m lkhi lng ca vt th. Cng c th thit lp m men qun tnh ca cc vt th t hp, khi b qua chuyn ng ring cami vt th. Mt khi nim tin dng l bn knh quay, k, l bn knh ca mt xi lanh tng tng c thnh mng v hn, ckhi lng m v c cng m men qun tnh I nh vt th kho st, th /k I m= . Bn knh quay c th dng tm khi

lng tng ng i vi vt th ln, dng 2/eqm I k= .

Cc c cu niNhiu loi thit b dng nh cc b ni ghp hoc cc c cu truyn nng lng, thng dng nht l n by, truyn ng

bnh rng, pu li, rng rc, ti v cn cu. Mt cch l tng, cc thit b ny v tng t ca chng trong min nng lngkhc l bo ton cng sut v biu din chng mt cch thun li khi s dng m hnh 2 cng. Trong phn t m hnh ny,cng sut vo bng cng sut ra, hoc qua cp dng-lc, 1 1 2 2e f e f = . Suy ra rng c 2 loi thit b c bn c trnh by theocch ny da trn mi quan h gia cc bin cng sut trn 2 cng. i vi c hai loi mi quan h gia 2 bin thng c thc nhn dng t hnh hc hoc tnh cht vt l c bn ca thit b. Bi vic a vo hn ch l c s truyn bo ton cngsut vn c trong thit b, mt quan h th hai c rt ra. Mt khi mi quan h c thit lp th thit b thng c th cphn loi nh b chuyn i hoc hi chuyn. Nhn mnh rng, cc phn t m hnh ny c dng biu din ccphng din bo ton cng sut l tng ca thit b. Nhng tn tht hoc hiu ng ng lc hc c thm vo m hnhcc thit b thc.

Mt thit b c th c m hnh nh b chuyn i khi 1 2e me= v 1 2mf f= . Trong quan h ny, m l m un ca bchuyn i c xc nh bi tnh cht vt l ca thit b s l hng s hoc trong mt s trng hp l mt hm ca trngthi ca h. V d, trong truyn ng bnh rng n gin, vn tc gc c th c lin h l tng bi t s ca cc bn knhc s ca cc bnh rng, v trong tay quay con trt c th to lp c mi quan h gia chuyn ng ca con trt v gctay quay. Do , hai m men lin h vi nhau, v truyn ng bnh rng l mt b chuyn i. Mt thit b c th c m12


13/42


hnh ha nh b hi chuyn nu 1 2e rf= v 1 2rf e= , trong rl m un b hi chuyn. Ch rng, m hnh ny c thbiu din s chuyn i bo ton cng sut trong cc thit b i vi chng mi quan h cho gia cc bin cng sut (tc llc lin h vi dng) c nhn dng2.

Hnh 9.14 Cc thit b thng thng c th c m hnh ho nh cc my bin th hoc b hi chuyn trong h c hc

Mt s v d v b chuyn i v b hi chuyn c ch ra trn hnh 9.14. Trong m hnh th kt ni, b chuyn ic th c biu din bi TF hoc T, trong khi b hi chuyn c biu din bi GY hoc G (ch , k hiu 2 ch ci lthng dng). Cc v d trn hnh 9.14 ch ra m un m hoc r, c th ly hoc khng ly gi tr hng. Nhiu thit b c ththam gia vo s bo ton cng sut, tuy nhin, mi quan h gia cc bin lc-dng c th khng l hng, nn mi quan hny c coi l iu bin khi m un l hm ca bin ng lc ( ng hn l mt trng thi ca h). Trn th kt ni, iu c ch ra khi dng kt ni tn hiu hng vo m un T hoc G.

Cc v d v b chuyn i hoc b hi chuyn iu bin c cho trn hnh 9.15. Cc v d ny lm ni bt cc phngphp tin dng trong m hnh ha cc thit b thc t. Trong tay quay con trt, ch rng s iu bin l do s thay i v

tr gc ca tay quay. Chng ta nhn thng tin ny t b kt ni lin k b chuyn i trong bi ton; tc l, nu chng ta tchhp vn tc gc tm c trn kt ni k bn, nh ch ra trn hnh 9.15(a).i vi trng kch ng bi ng c mt chiunh trn hnh 9.15(b), quan h m men-dng trong ng c ph thuc vo lung sinh ra bi trng ny; do trng ny bkch ng bi mt mch, c cp ngun c lp vi mch phn ng (armature). Thng tin tn hiu i vi s iu binkhng n t b kt ni k bn, nh trong trng hp tay quay con trt. Hai v d ny minh ha hai cch m cc lin kt tvo cc c cu ni.S iu bin trong tay quay con trt c th ni biu din lin kt h l nm, cn theo chnh cc conng ny kch ng trng trong ng c t vo lin kt khng h l nm. Chng ta khng th lin h dng v m mentrong trng hp sau m khng gii bi ton ng lc hc ca mt h c lp - mch trng (field circuit). Trong tay quaycon trt v tr gc i hi cho iu bin nhn c mt cch n gin bi tch phn vn tc, v =q . Vic tho lun thmv cc lin kt c th tm trong mc 9.7.

2 Suy ra rng phn t m hnh hi chuyn l chnh trong tt c cc loi h. S cn thit i vi mt phn t nh vy biu din hiu ng con quay(gyroscop) trong cc h c hc c ghi nhn u tin bi Thomson v Tait vo cui th k 19. Tuy nhin, G.D. Birkhoff (1927) v B.D.H. Tellegen (1948) nhn ra mt cch c lp s cn thit ca thnh phn ny trong phn tch v tng hp cc h.

13


14/42

S tay C in t

Hnh 9.15 Khi nim v iu bin trong cc b chuyn i v cc b hi chuyn

H cho trn hnh 9.16(a) l b phn ca truyn ng c hc vn tc hng. Mt lc phn hi c hc,F2, s iu chnh v trr to giax2. Hiu ng ny c nhn thy trong m hnh th kt ni hnh 9.16(b), c hai b chuyn i biu din t svn tc gia u vo (bn quay) 1 v r to gia 2, v t s tc gia r to gia v con ln u ra 3. B chuyn i th nhtl mt phin bn c hc ca php bin i khng hlnm. c bit, chng ta cn phi gii i vi ng lc hc ca v tr rto (x2) truyn cng sut gia cc thnh phn u vo v u ra ca thit b ny.

Hnh 9.16 Lin kt khng hlnm trong m hnh b chuyn i

Cc quan h tr khng

Nhng m t thnh phn c bn c trnh by n by gi l c s cho vic xy dng cc m hnh c bn, v mtphng php rt hiu dng da trn cc cch thit lp tr khng. Mt hm tr khng Zl t s ca bin lc i vi bin dng

ti mt cng ca h cho ca mt thit b vt l, v vic ng dng ph bin nht l i vi cc h tuyn tnh ( )Z Z s= ,trong s l bin tn s phc (i khi gi l ton t Laplace). dn l nghch o ca tr khng, 1/Y Z= . i vi mithnh phn c bn xc nh, quan h tr khng tuyn tnh c th c rt ra dng trong pht trin m hnh. u tin, nh

li rng ton t o hm c th biu din bi ton t s, nn /dx dt trong mins n gin lsx v xdt

lx/s v v.v...

BNG 9.6 Cc thnh phn tr khng c hc c bn

H Tr khngZR Dung lngZC Qun tnhZI

Tnh tin b k/s m s

Quay B K/s J s

Hnh 9.17 (a) Tr khng ca b ni ni tip (b) dn cho t hp song song

Hnh 9.18 Qun tnh quay gn vo truyn ng bnh rng, v m hnh tng ng trong dng tr khng. V d ny minh hab chuyn i c th dng tr khng nh th no

14


15/42


i vi thnh phn qun tnh c bn trong chuyn ng quay, chng hn, lut tc c bn (xem bng 9.5) l h T=& .Trong mins, sh T = . Khi dng quan h cu to tuyn tnh, h J= , sJ T = . Chng ta c th quan st thy rng tr khngqun tnh quay c xc nh bng cch ly t s ca lc v dng, hoc / IT Z sJ = . Mt bi tp tng t c th cdn sut i vi phn t rt c bn thit lp bng 9.6.

Khi dng khi nim c bn ca khp 0 v khp 1, tng t nh cc b ni mch song song v ni tip, vic to lp cctr khng tng ng c th rt ra i vi cc th kt ni theo cch tng t nh lm i vi cc mch. c bit khi cctr khng c kt ni ni tip th tr khng tng th l tng cc tr khng, trong khi nu cc tr khng ni song song th dn tng l tng cc dn. Cc quan h c bn ny c minh ha trn hnh 9.17, i vi chng:

1 2 1 2,n nZ Z Z Z Y Y Y Y = + + + = + + +1 4 4 2 4 4 3 1 442 4 43

n tr kh ng ni tip n in dn song song(9.2)

Cc quan h tr khng c li khi cu to hm truyn ca mt h, v chng c th c pht trin trc tip t tng tmch hoc th kt ni. Cc thnh phn b chuyn i hoc hi chuyn cng c th c a vo trong cc m hnh ny.Mt thit b c th c m hnh ha vi b chuyn i v b hi chuyn s biu din kh nng dng t l tr khng, vinhng m un dng lm c s trong iu chnh tr khng gn vo mt "pha" ca thit b xut hin nh th no khi "cquan st" t pha kia. V d, i vi thit b c tr khng Z2 c gn trn cng 2, th tr khng khi c quan st t cng 1c rt ra nh sau:

[ ] [ ] 21 1 2 21 2 21 2 2 1

( ) [ ] ( )e e e f

Z m Z s m m Z sf e f f

= = = =

(9.3)

Khi nim ny c minh ha bi h truyn ng bnh rng trong hnh 9.18. Qun tnh quay c gn vo trc u raca cp bnh rng, c m hnh ha nh mt b chuyn i (s tn tht, v cc yu t khc s b qua y).

Hnh 9.19 Qun tnh quay gn vo my quay c bn c m hnh ha nh mt b hi chuyn n gin. V d ny minh

ha, b hi chuyn c th dng vo mc ch ny nh th no nhng cng bin i tr khng thnh dng dn

Tr khng ca qun tnh l 2 2Z sJ = , trong J2 l m men qun tnh khi lng. Truyn ng bnh rng c kh nngdng t l tr khng, c thit k qua vic chn t l n khp, m. Tr khng c th thay i vi b chuyn i theo mcch khuych i. B hi chuyn c th nh hng c li v hn na c th thay i tr khng vo trong dn. Nh liquan h hi chuyn c bn, 1 2e rf= v 2 1e rf= , th i vi trng hp tng t nh trc:

[ ] (1

21 2 2

2 21

2 2 1

. [ ] ( ) [ ]e f e

r Y s r r Y sf e f

= = =

(9.4)

Kh nng phim hm ny ca cc b hi chuyn gip nhn dng thit k my pht c bn khi cc b phn tch hp ca hc quy bnh . Mt minh chng rt n gin cho trn hnh 9.19, trong mt bnh (qun tnh quay) c gn vo cng

c ca b hi chuyn c in c bn. Khi c quan st t cng in, bn c th thy rng b hi chuyn lm cho qun tnhging nh thit b tch tr th nng, v tr khng hot ng nh 1/(sC), ging nh phn t in dung, mc du y Clqun tnh c hc.

9.4 Cc nh lut vt l cho to lp m hnh

Mc ny s minh ha vic thit lp phng trnh c bn cho cc h sp xp theo tnh phc tp t nhng m hnh khilng-l xo-gim chn n cc m hnh hi phc tp hn, ch ra giao din vi m hnh khng c hc nh th no.

Cc mc trc ca chng ny cung cp cch m t cc phn t c bn tin dng trong m hnh ha cc h c hc, nhnmnh n phng php h ng lc. C s cng sut v nng lng ca phng php th kt ni lm cho vic thit lpny ph hp vi cc m hnh ca cc h t cc min nng lng khc. Mt li ch na ca vic dng phng php th ktni l ch, mt phng php h thng i vi chc nng nhn qu s c gi tr. Cng vi cc nh lut vt l, chc nngnhn qu cung cp ci nhn xem pht trin m hnh tnh ton nh th no. Thm ch khng c vic to lp cc phng

trnh, tnh nhn qu cng tr thnh cng c hu hiu.

Cc nh lut ng hc v ng lc hc

15


16/42

S tay C in t

Vic dng cc phng trnh ng hc v ng lc hc c bn t vo mt cu trc trn cc m hnh chng ta xy dng biu din chuyn ng quay v chuyn ng tnh tin c hc. Cc phng trnh ng lc hc c rt ra t cc nh lutNewton, v ta lp gin vt th t do hiu cc lc t vo cc h c hc nh th no. Hn na, ta phi dng cc phngdin hnh hc ca mt h pht trin cc phng trnh ng hc, da trn cc h ta xc nh ng n. Nu mc ch lphn tch mt h c hc ring r, th in hnh l p dng s bo ton m men ng lng hoc cc phng php nng lngv (hoc) phn tch ng hc c dng tm nghim ca bi ton cho. Trong h c in t, mt h c hc lin kt vicc loi h khc (thy lc, thit b c in, v.v...). Do y ta tp trung vo vic xy dng m hnh nh th no s d dngtch hp c trong cc m hnh ton h. Bn lun kinh in chi tit v ng hc v ng lc hc t trin vng c bn c thtm c trong nhiu cng trnh nhp mn nh Meriam v Kraige[23], Bedford v Fowler[5], hoc trong nhiu nghin cunng cao bi Goldstein[11] v Greenwood[12].

Khi m hnh ha cc h tnh tin n gin hoc cc h quay quanh trc c nh, mt b c bn cc nh lut c tm ttdi y l xy dng cc m hnh ton hc cn thit.

Cc nh lut ng hc v ng lc hc c bn

H ng lc hc ng hc

Tnh tin

Quay

Loi khp

0N

iiF =

0N

iiT =

Khp-1

0N

iiV =

0N

iiW = Wi

= 0

Khp-0

C mt lp kh ln cc h c hc c th biu din c khi dng cc phng trnh c bn ny, v trong dng ny c ththy (a) Cc thnh phn khp th kt ni c th c dng cu to cc m hnh ny nh th no, (b) Cc phng trnhny h tr cho cc phng trnh tng t ca mch in nh th no, v chng rt ging cc nh lut mch Kirchhoff i viin th v dng. y ta trnh by phng php th kt ni, phng php ny truyn t bng th cc nh lut vt lthng qua cc phn t khp-0 v khp-1.

Nhn dng v biu din chuyn ng trong th kt ni

S thun li khi nghin cu mt h c hc tp trung vo nhn dng nhng im ca h c cc vn tc r rt (V hoc ). Ngi ta c th kt hp mt cch n gin khp 1 vi cc im ny. Mt khi lm iu th dng nhn dng cc

im ni i vi cc thnh phn c hc khc (khi lng, l xo, gim chn v.v...) cng nh cc im gn c cu chphnh hoc sen s. Hn na, cng l then cht xc nh cc vn tc b sung lin kt vi chuyn ng tng i. yc th khng c nhng im r rng nhn dng c v phng din vt l trong mt h, nhng cn thit khoanh vng nhngim ny gn cc thnh phn da trn chuyn ng tng i m t s lm vic ca chng (nh vt treo chng hn).

Hnh 9.20 ch ra vic nhn dng vn tc cn quan tm c th tr gip nh th no vic nhn dng cc khp 1 ccphn t c hc c th c gn kt. i vi phn t khi lng c bn trong phn (a), gi thuyt c bn l mt thnh phnca h a vo nghin cu c l tng ha nh khi lng tnh tin thun ty i vi n m men ng lng v vn tcc lin quan qua mi quan h cu to. iu suy ra l vn tc ca khi lng nh nhau trn ton phn t, nn khp 1 cdng nhn dng chuyn ng ni bt ny. Mt kt ni gn vo khp 1 biu din nh th no mt cng sut bt k i vokhp ny c th i vo phn t tch ly ng nng, I, biu din khi lng m. Ch rng lc trn b kt ni bng tc bini ca m men ng lng p , trong p mV= .

Hnh 9.20Nhn dng cc vn tc trong mt h c hc c th gip cho nhn dng s ni kt chnh xc ca cc phn t vthit b (a) khi lng tnh tin c bn, (b) H c bn 2 bc t do, (c) ni ghp ma st quay gia 2 qun tnh quay

16


17/42


Hai v d trn hnh 9.20(b) v 9.20(c) minh ha vn tc tng i c th to lp nh th no. Hai khi lng ng nhtvi hai im vn tc ni bt trong cc h ny. Dng khp 0 cho php cu to s khc nhau v vn tc, v trong mi trnghp n to ra vn tc tng i. Trong mi trng hp vn tc tng i c biu din bi khp 1, v l then cht nhn dng c rng khp 1 chnh l mt im kt ni cho phn t m hnh ha c hc c bn.

S n nh v s dng tnh nhn qu

Cc th kt ni m t cc quyt nh m hnh ha c thc hin nh th no, v cc phn t m hnh ( R, C, v.v...)

c kt ni nh th no. Mt b kt ni cng sut biu din dng cng sut, v n nh quy c cng sut dng na mi tnl phn chnh to lp th tin dng cho m hnh ha. Mt quy c du l ct yu cho vic biu din tng i s ca ccbin lc v dng ti cc khp 0 v 1. Cng sut ni chung c ghi du dng khi i vo cc phn t b ng (in tr, indung, qun tnh), v n thng an ton lun lun ph hp vi quy c ny. Quy c du i hi s kho st thn trng vchc chn cc iu kin tham chiu trong gin vt th t do.

Tnh nhn qu bao gm s m rng th kt ni, nhng c lp thc s vi quy c dng cng sut. Nh tho luntrc y, mt s n nh c lm trn mi kt ni ch ra mi quan h u vo u ra ca cc bin lc-dng. S n nh canhn qu theo mt tp hp cc lut rt cht ch. Mt m hnh h c n nh thnh cng nhn qu trn tt c cc b ktni s thng tin y kh nng gii c ca cc phng trnh ton hc c bn. hiu ci n t u, ta c th bt ubi vic kim tra cc ni dung ca bng 9.4 v 9.5. Cc bng ny chuyn n dng tch phn ca cc phn t tch ly nnglng. Mt phn t tch ly nng lng trong dng tch phn nu n c n nh nhn qu tch phn. Nhn qu tch phnsuy ra rng bin u vo nhn qu (lc hoc dng) dn n iu kin trong trng thi ca nng lng c tch ly trong

yu t y c th c xc nh ch bi tch phn nh lut tc c bn. Nh ch ra trong bng 9.7, nhn qu tch phn ivi phn t I suy ra lc l u vo, trong khi nhn qu tch phn i vi phn t C suy ra dng l u vo.

Bng 9.7 Bng tng hp nhn qu i vi cc phn t tch ly nng lng

Nhn qu tch phn Nhn qu o hm

Bng 9.8 Bng hng dn n nh nhn qu

Ngun Cc khp Cc phn t ni l tng

17


18/42

S tay C in t

Hnh 9.21 Dn ra (a) Qun tnh quay vi mt ngun vn tc; (b) th kt ni n gin vi tnh nhn qu; (c) Gii thch

hiu ng ngc

Nh ch ra trong bng ny, tnh nhn qu khc cho mi phn t dn n nhn qu o hm, mt iu kin trong trngthi ca phn t tch ly nng lng c bit tc thi v nh vy c ni l ph thuc vo bin u vo, v trong trngthi nhn qu ph thuc. Suy ra rng cc phn t tch ly nng lng trong nhn qu tch phn i hi mt phng trnh viphn (lut vn tc) c gii ra xc nh gi tr ca bin trng thi (p hoc q). Cc phn t tch ly nng lng trong nhnqu o hm khng i hi phng trnh vi phn; tuy nhin, chng vn th hin s hin din ca mnh qua phn ng ngc.V d, nu my in cho trn hnh 9.21(a) c gi thit dn ng qun tnh quay vi vn tc bit, , th qun tnh trong nhn qu o hm. Cng s c s tht thot, nhng bi ton ny c n gin ha minh chng cho cc ng dngnhn qu. Nng lng lun lun c bit v h J= nn 2 / 2hT h J= . Tuy nhin, my ny s cm nhn mt m men qun

tnh ngc, h&, chng no c s bin i i vi . Hiu ng ny khng th b qua.

Vic n nh nhn qu trn mt s phn t m hnh ha khc l rt ring bit, nh ch ra trong bng 9.8. V d, i vi ccngun lc v dng, hm tnh nhn qu. Trn b chuyn i v b hi chuyn hai cng, c hai s sp t nhn qu c thcho mi b. Cui cng, i vi cc khp 0 v 1, tnh nhn qu cng rt ring bit v trong mi trng hp ch mt kt ni cth nh r lc v dng mi trng hp. Vi tt c nhng hng dn c xc lp quy trnh n nh nhn qu c th kotheo vic bo m tt c cc kt ni l nhn qu n nh (xem Rosenberg v Karnopp[32], Karnopp, Margolis vRosenberg[17]).

1. i vi mt h cho, hy n nh nhn qu cho cc ngun lc v dng, v i vi mi ngun hy n nh nhnqu nh c i hi qua cc khp 0 v 1 v cc phn t chuyn i hoc hi chuyn. Tnh nhn qu cn c trirng qua m hnh n mt im khng c hm n nh. Lp li quy trnh ny n khi tt c cc ngun c n nh nhn qu.

2. n nh nhn qu cho phn t C hoc I no , c gng n nh nhn qu tch phn nu c th. i vi mi s nnh, hy truyn nhn qu qua h nh c i hi. Lp li quy trnh ny n khi tt c cc phn t tch ly cn nh nhn qu.

3. Hy thc hin nhng n nh nhn qu cui cng trn cc phn t Rm cha c n nh nhn qu qua cc bc1 v 2, v li truyn nhn qu nh c i hi. S n nh bt k no trn phn t Rs ch r s cn thit giimt phng trnh i s.

4. Hy n nh cc kt ni cn li mt cch ty , m rng mi trng hp khi cn thit.

Tnh nhn qu c th cung cp thng tin v s vn hnh ca h. Theo ngha ny, th kt ni cung cp mt hnh nh ccu vo ca mt h dn n cc u ra no nh th no. Vic dng tnh nhn qu vi mt th kt ni thay th cho vicn nh chuyn ng nhn qu trong mt h. Loi thng tin ny cng hu ch hiu mt h c th tch ra thnh cc m un m phng nh th no hoc no c th khng nh cc gii hn vt l thc ca cc thnh phn. Vic hon thnh n nhnhn qu trn mt th kt ni cng s pht hin thng tin v kh nng gii c ca m hnh h. Di y l cc kt qumu cht t vic n nh nhn qu:

n nh nhn qu s pht hin bc ca h, bng s phn t tch ly nng lng c lp (tc l s phn t vi nhnqu tch phn). Bin trng thi (p hoc q) i vi phn t bt k nh vy s l mt trng thi ca h, v mtphng trnh vi phn bc nht s cn thit m t trang thi ny pht trin theo thi gian nh th no.

Vic n ng nhn qu bt k no trn phn t Rch r tn ti mt vng i s. S cc n nh ty c th linquan n s cc phng trnh i s i hi trong m hnh.

Pht trin m hnh ton hc

Cc m hnh ton hc i vi cc h c hc tham s tp trung s nhn dng cc phng trnh vi phn thng lin kthoc, i vi h tuyn tnh hay tuyn tnh ha, cc hm truyn gia cc bin quan tm v cc u vo ca h. Dng m hnhton hc ny hp vi ng dng, v ngi ta sn sng chuyn i gia cc dng khc nhau. Mt phng php kinh in phttrin m hnh ton hc ny s bao gm vic p dng nh lut th hai ca Newton trc tip cho mi vt th, tnh n cc lcv cc m men. Ni chung, kt qu l mt phng trnh vi phn thng bc hai cho mi vt th trong mt h. Cch lm khcl dng cc phng trnh Lagrange, v i vi ng lc hc nhiu chiu, trong cc vt c th, trong cc vt th c tht hp c chuyn ng tnh tin v chuyn ng quay, cn thit phi kho st b sung nh s c tho lun trong mc 9.6.

mc ny hy xt cc h trong vt th cho chu chuyn ng tnh tin hoc chuyn ng quay.

Khi lng-l xo-gim chn: Phng php kinh in

18


19/42


H c hc c bn bao gm mt vt rn c th chuyn ng tnh tin theo hng z c ch ra trn hnh 9.22(a). H nyc m hnh ha bng cch dng mt khi lng, mt l xo v mt gim chn (damper), cn mt lc F(t) tc dng trc tipvo khi lng.

Hnh 9.22 H khi lng-l xo-gim chn c bn (a) s (b) gin vt t do

Mt gin vt th t do trong phn (b) ch ra cc lc c sinh ra trn h. L xo v gim chn sinh ra lc FkvFb tcdng vo khi lng, v chnh cc lc ny cng c sinh ra trn nn c nh v l xo v gim chn c gi thit khng ckhi lng. Mt thnh phn trng lng W, lun lun i theo trc chuyn ng. Khi tng cc lc tc dng l

( ) k bF F t W F F = + . Mi tn nt cch ch lc qun tnh bng tc bin thin ca m men ng lng theo hngz,pz hoc / z z z dp dt p mV = = && . Thnh phn ny ni chung c dng trong cng thc DAlembert, ngi ta c th coi lc nynh lc chng li tc dng ca cc lc t vo tng tc vt th. Ni chung c th coi lc qun tnh nh mt lc tc dng,c bit khi tin hnh phn tch c bn (xem chng 3 hoc chng 6 ca [23]).

nh lut hai Newton lin h tc bin i ca m men ng lng vi lc tc dng p F= & , nn( ) z k bp F t W F F = + & . rt ra m hnh ton hc, lp mt h ta c bn vi hng dng ca trc z hng ln trn.

Nh li cc quan h cu to i vi mi mt thnh phn m hnh ha, y c gi thit l tuyn tnh, z zp mV = , k kF kz= ,v b bF bV = . Trong mi phn t ny, vn tc tng ng Vhoc dch chuynz phi c nhn dng. Khi lng c vn tc

zV z= &, lin quan ti ta tham chiu qun tnh. L xo v gim chn c cng vn tc tng i v mt mt ca mi thnhphn ny gn vi khi lng cn mt kia gn vi nn. S thay i di l xo l z, cn vn tc l z V& nn . Tuy nhin

0V =nn v nn c nh, v vy, t cc kt qu cng vi nh lut hai cua Newton ta c ( ) - -mz F t W kz bz= +&& &. Mtphng trnh vi phn thng bc 2 (ODE) c rt ra i vi h mt bc t do l

( )mz bz kz F t W + + = +&& &

Trong v d ring bit ny, nu W khng c mt th z l dao ng quanh v tr cn bng tnh, /Z W k =tnh .

Nu cn c hm truyn th php bin i Laplace n gin dn n (gi thit cc iu kin u bng khng i vichuyn ng quanh ztnh)

2

( ) 1

( )

Z s

F s ms bs k = + +

V d h khi lng-l xo- gim chn n gin minh ha rng cc m hnh c th nhn c cho cc h c hc bng cchng dng trc tip ng hc v cc nh lut Newton. Khi cc h tr thnh phc tp hn do s vt th hoc do tng tc canhiu loi h (thy lc, c in, v.v...), th nn dng cc cng c c th pht trin c dng cho pht trin m hnh.Trong mc sau, cc bi ton h nhiu vt v cc phng php phn tch s c tho lun n mt cch ngn gn. Vn thng c bn ci l li ch ca th kt ni ch c th thy c khi h a nng lng v rt phc tp c phn tch.iu khng nht thit v ngi phn tch h c in t c th thy rng vic pht biu cht ch v li ch nhn qu rtthun tin trong vic phn tch nhiu loi h vt l khc nhau. Hy ghi nh iu v cc phng php th kt ni c bnny c dng kim tra li h khi lng-l xo- gim chn n gin.

Khi lng-l xo-gim chn: Phng php th kt ni

Hnh 9.23 minh ha s pht trin ca m hnh th kt ni i vi h khi lng-l xo- gim chn. Trong phn (a), ccim vn tc khc nhau c nhn dng v khp-1 c dng biu din chng trn th kt ni. Ngay c khi nn c vntc bng khng, v khng c dng cng sut i vo v i ra khi im ny th cng thun li nhn dng n ti im ny.

19


20/42

S tay C in t

Vn tc tng i c to lp khi dng khp-0, v ch rng tt c cc kt ni c p dng quy c nh du, nn tikhp-0, 0V V V =khi l ng t ng i nn , cho ta V V V= t ng i khi l ng nn nh thng thy.

Cc phn t ca m hnh cn thit biu din h c ni vo khp-1, nh ch ra trn hnh 9.23(b). Hai ngun c yucu, mt biu din lc tc dng (lc Se) do trng lng, v ngun th hai biu din vn tc c s c nh (ngun dng Sf).Ngun dng c gn trc tip vo khp-1 (b kt ni thm c th khng k n). Phn t I biu din khi lng, phn t Cbiu din l xo, cn phn t Rbiu din s mt mt trong b gim chn.

Hnh 9.23 H khi lng-l xo-gim chn c bn (a) nhn dng cc khp-1 vn tc, (b) Gn cc phn t m hnh, (c) nnh tnh nhn qu

Hnh 9.24 Rt ra phng trnh cho khi lng-l xo-gim chn. Du * ch rng cc quan h ny c rt gn v cc hmtrng thi hoc u vo. A** ch ra bin trung gian c th rt gn v * ni no

Ch rng khi lng v ngun lc c ni vo khp-1 nh th no khi biu din vn tc khi lng (trng lng lunchu tc dng vn tc ny). L xo v gim chn c ni qua b kt ni cng sut n vn tc tng i gia khi lng vnn.

Cui cng trn hnh 9.23(c) 8 b kt ni c ghi nhn v tnh nhn qu c n nh. u tin, ngun c bn c nh nnh nhn qu trn b kt ni1, nh r vn tc tai khp 1, v nh vy hn ch nhn qu ca b kt ni 2 c lc trong khp1. V b ni 2 khng nh r lc trong khp 0 nn vic n nh nhn qu cn thc hin ngun khc, v ngun lc n nhnhn qu trn b kt ni 7. B kt ni ny khng nh r dng khp 1 lin k, nn ti im ny ta c th tm cc ngun xcnh khc. V khng c nn ta n nh nhn qu cho cc phn t tch ly nng lng no c tnh nhn qu tch phn phhp. B kt ni 8 c n nh cho nhn qu tch phn phn t I (xem bng 9.7), nn nh r vn tc khp 1 v nh vyhn ch b kt ni 6. Ti im ny cc b kt ni 6 v 2 nh r dng trong khp 0, v vy b kt ni 3 cn lai phi nh r

lc. iu thc hin tt v by gi b kt ni 3 nh r dng trong khp 1 cn li (vn tc tng i), ci xc nh vntc trong cc phn t C v R. i vi phn t C iu cho tnh nhn qu tch phn.

Tm li, tnh nhn qu c n nh, khng c mu thun nhn qu (tc l, hai b kt ni c gng nh r vn tc trongkhp 1). C hai phn t tch ly nng lng u c nhn qu tch phn. iu ch ra rng cc trng thi i vi I (khilng) v C (l xo) s tham gia vo cc bin trng thi ca h. Quy trnh ny m bo vec t trng thi c ti thiu, trongtrng hp ny n c bc hai (h bc hai). Hnh 9.24 ch ra th kt ni c ch thch y , vi cc bin lc-vn tcghi nhn mi b kt ni. Trng thi cho phn t I l m men ng lng, trong trng hp ny m men ng lng tnh tinca khi lngp8. i vi phn t C bin dch chuyn l trng thi z 5, y biu din thay i chiu di ca l xo. Vec t

trng thi l [ ]8 5,x p z=T .

20


21/42


Hnh 9.25 V d m hnh dao ng ng trong m hnh treo mt gc xe t vi phn t treo ch ng. V d ny xy dngtrn m hnh khi lng-l xo-gim chn n gin, v ch ra tch hp c cu chp hnh trong cu trc m hnh th kt ni

M hnh ton hc c th rt ra bng cch s dng th kt ni ny, tp trung vo cc phn t tch ly nng lng clp. nh lut tc (xem bng 9.4 v 9.5) i vi mi phn t tch ly nng lng trong nhn qu tch phn cu to mtphng trnh trng thi vi phn thng cp mt i vi h ny. thit lp cc phng trnh ny, v phi ca mi nhlut tc phi l mt hm ch ca trng thi hoc cc u vo cho h ny. Qu trnh ny c tm tt trong bng trn hnh9.24. Ch rng v d ny gi thit cc mi quan h cu to tuyn tnh i vi cc phn t ny, nhng r rng rng trong qutrnh ny iu khng nht thit. Tt nhin, trong mt s trng hp tnh phi tuyn lm phc tp s phn tch cng nh qutrnh m hnh ha trong cch khc.

Treo ch ng mt gc xe t: Phng php th kt ni

H khi lng-l xo- gim chn n gin to nn mt c s cho xy dng m hnh phc tp hn. Mt m hnh i vidao ng ng ca mt gc xe t c ch ra trn hnh 9.25. M hnh th kt ni minh ha vic s dng m hnh khilng-l xo- gim chn, mc du c mt s s thay i cn thit. Trong trng hp ny, nn chuyn ng vi vn tc bngvn tc ng mt phn cch gia ng v lp xe (ci i hi hiu bit v cao a hnh ti khong cch di chuyn v

tc di ca xe). Hng cng sut thay i trn nhiu b kt ni vi nhiu cng sut dng hng t ng n h treo.H treo ch ng c cch ly minh ha tt hn xem m hnh ha th kt ni gip cho phng php m un

nghin cu cc h phc tp nh th no. Thun li nht l m hnh ny ng nht quan h nhn qu i hi ti giao din vis treo ch ng, nh r rng vn tc tng i l mt u vo nhn qu, v lc l u ra nhn qu ca h treo ch ng.Lc ch ng c dng cu thnh lc bng v ngc chiu trn cc phn t treo v khng treo.

S n nh nhn qu nhn dng bn trng thi (hai trng thi m men ng lng v hai trng thi dch chuyn ca l xo).Bn phng trnh trng thi bc nht c th c rt ra khi dng cc nh lut vn tc ca mi mt phn t tch ly nnglng c lp (C5, I8, C12, I15). Ti im ny, ph thuc vo cc mc tiu phn tch, hoc l cc phng trnh phi tuyn crt ra (n c th cha lc treo ch ng ph thuc vo vn tc u vo), hoc l phng trnh tuyn tnh ha c th c phttrin v cc phng php tr khng c ng dng rt ra hm truyn mt cch trc tip.

Hnh 9.26 ng i s trong mt m hnh ti n gin

Ghi ch mt s kh khn trong nhng phng trnh dn xut.

Hai tnh hung chung dn n nhng kh khn trong vic pht trin m hnh ton hc. Nhng vn ny pht sinh vibt k phng php no v khng r rng trong cc th kt ni. C hai iu ny dn n mt tnh hung cn phng trnhi s ph thm trong phng trnh dn xut, v n c th khng d dng hon thnh trong dng ng. C vi cch thay im hnh loi b nhng vn ny, nhng n c th a thm ra nhng bi ton ph. Hai bi ton l (1) nhn qu pht

sinh, (2) v nhng vng lp i s. C hai vn u c th tm thy trong n nh nhn qu bi ton c th tm ra trckhi tiu tn qu nhiu thi gian

Vic xut hin nhn qu pht sinh c th s dng bng 9.1 m t trong th kt ni. Vn l, trng thi ca mtphn t lu tr nng lng (I hoc C) ph thuc vo h cha n, iu ny ng rng khng cn gii phng trnh vi phn

21


22/42

S tay C in t

tm trng thi. Cn thy rng vn cn tnh ton hiu ng phn hi m h thng bt phn t a vo trng thi cho. V d,mt khi lng chuyn ng vi vn tc V, chng ta bit trng thi nng lng ca n p mV = , lc qun tnh c tnh,p mV ma= =&& . Rt kh thi trong vic gii li bi ton ny bng i s vi hiu ng ca phn t ny ( mc kh ph thucvo s phc tp ca h). Thnh thong, cc trng thi ph thuc pht sinh do h khng c m hnh ha chi tit v y .V d, chn vo gia hai bnh rng mt compliance, s ph thuc b loi b. Gi duy nht phi tr l s a thm mt trngthi. Mt tr ngi nghim trng ca cch tip cn ny s xut hin nu compliance nh, do phi a ra bi ton s v cng ( vi nhng th tc gii ton s hin i, thm ch bi ton ny c th b qua). C mt cch khc gii bi ton

nguyn nhn pht sinh trong h c hc l dng cch tip cn Lagrangian cho cc m hnh h c hc. iu ny s c nin trong phn 9.7.

Mt kh khn khc c th pht sinh khi pht trin h phng trnh kh gii l s xut hin ca mt vng lp i s.Nhng vng lp i s lin quan rt d sinh rac to ra tng i d dng, c bit trong cc s khi m hnh. Tht vy,nhng vng lp i s thng xuyn pht sinh do nhng quyt nh trong lp m hnh, v cch ny, mt nguyn nhn ca th kt ni cung cp s phn hi nhanh cnh bo kh nng gii quyt ca h thng. Vng lp i s ng rng c mt cchty tnh ton m hnh, v cch ny t khm ph khi mt quyt nh ty c a ra trong s gn nguyn nhn cho mtphn t R3.

V d, xem xt m hnh Thevenin trong hnh 9.26(a), m hnh ny s dng mt effort source v mt phn t khng mhnh mt effort-flow ( trng thi bn vng) ng cong c trng, nh ng cong lc xon- tc ca mt ng c hay mt hoc ng cong lc-vn tc ca mt c cu chp hnh tuyn tnh. Mt c tnh in hnh trnh by trong hnh 9.26(b).Khi mt khng ti t ln im ny nh hnh 9.26(c), m hnh l i s thun ty. Khi nguyn nhn c gn vo, lu rng

sau khi p dng hiu ng nguyn nhn ln lin kt 1, c hai phn t khng tn ti. Vic gn nguyn nhn l ty , li gii ihi phn tch nhng quan h i s vi im hat ng bng cch p dng th nh hnh 9.26(d).

y l mt v d n gin ch ra cch dng th quan h tm nhng vng lp i s v gii php yu cu gii nhngmi quan h i s. Trong nhng h phc tp c th kh dng cch ny. Mt s trng hp c th thm vo hay loi trnhng phn t k sinh, c ngha l nhng phn t c th b qua do nh hng qu nh. Du sao, nhng phn t ny c thlm nh i nhng nguyn nhn rng buc. Trong khi iu ny c th quyt nh bi ton, nh trong trng hp nguyn nhnrt ra, c nhng trng hp nh phn gii thiu bi ton cng s. Trong mt s trng hp, li gi c th tm c bngphng php nng lng nh trong phn k tip.

9.5 Phng php nng lng cho m hnh ho h c hc.

Phn ny miu t cc phng php s dng cc hm nng lng m t nhng phn t mang nng lng c bn trongnhng h c hc. Mt cch m t s thu thp-lu tr nng lng trong cc phn t trong trng a cng. Cc phng php

nng lng c th lm n gin ho vic pht trin m hnh, cung cp cc phng tin t c nhng mi lin h ch yu,v cng l c s cho vic lai b nhng vt cha nng lng ph thuc ( xem phn sau). S gii thiu nhng phng phpny t nn tng cho h phng trnh Lagrange trong phn 9.7 nh mt cch tip cn ch yu cho h phng trnh rt ra hoctrong t hp cc dng th kt ni.

Cc m hnh a cng

Nhng m hnh mang nng lng v tr khng trong phn 9.3 c tng kt trong bng 9.2, 9.4 v 9.5 nh nhngphn t a cng. Trong phn ny, chng ta xem xt vic s dng cc phn t a cng trong m hnh cc h c hc, v ccphng php chung ly c cc mi tng quan ch yu. Mt cch t nhin,cc phng php ny p dng rt tt chonhng phn t n cng.

Mt v d v phn t C vi hai cng nh hnh 9.12 c m hnh nh mt dm cng xn c th quay v dch chuyn ti1 u. Mt phn t hai cng c dng trong m hnh ny bi v c hai cch c lp cha th nng trong dm. Mt imc trng trong v d ny l m hnh da trn mi lin h gia effort v cc bin chuyn v (trong trng hp ca phn tdung khng).M hnh cc phn t a cng pht trin bng cch ny c phn loi nh cc trng hin phn bit vi cctrng n [17]. Cc trng n c nh dng bng cch tp hp cc phn t mt cng lu tr nng lng vi cu trc linkt ( v d, 1, 0 v phn t TF) nhn dng phn t a cng

Cc trng hin thng thng c rt ra bng cc nh lut vt l, da vo nhng hiu bit v cc tnh cht vt liu vhnh hc nh hng c bn n mi quan h gia cc bin vt l. Trong mt vi trng hp, cc tnh cht ny c th l hmtrng thi, tht vy, nhng trng hp ny i hi s m t a cng, n c s dng rng ri trong nhiu thit b thc t, cbit l cc sensor v cc c cu tay my. M hnh a cng nn theo mt cn bn cht ch nh c m t di y.

S cht ch vi nhng quan h cu thnh

Cc phn t a cng lu tr nng lng phi tun theo hai hn ch c bn m n cng hu dng trong vic hng dn rt

ra nhng quan h cu thnh. Nhng m t v lu tr nng lng c tng kt trong bng 9.4 v 9.5 ch ra rng tn ti mt3 S khi gn ty ln phn t R khng ging nh s ty trong khi gn tch phn hoc o hm nguyn nhn cho phn t cha nng lng. Mt ty

quyt nh gn nguyn nhn tch hp ln mt phn t cha nng lng i hi phi gii phng trnh vi phn tm trng thi cn quan tm. Trong vnglp i s, quyt nh ty ng dng cho vic gn nguyn nhn ln phn t Rng rng t nht mt phng trnh i stheo bt k h phng trnh khc.Hay h thng c m t bng h phng trnh o hm i s (DAEs)22


23/42


hm trng thi nng lng, ( )E E x= , vi x l chuyn v tng qut ha, q, phn t dung khng hay m men tng qut, p,phn t qun tnh (I). Vi phn t lu tr nng lng a cng, c im k thut yu cu nhng c im sau [2, 3]

1. Tn ti mt lut t l, i ix u=& , y ui l nguyn nhn a vo cng i.

2. Nng lng lu tr trong mt phn t a cng xc nh nh sau.

1

( )n

i i

i

E x y dx=

= (9.5)

3. Mt s hn ch u tin vi quan h cu thnh a cng i hi nguyn nhn a ra bt k cng no c cho bi

( )( )i si

i

E xy x

x

= =

(9.6)

vi Fsi() l hm n tr.

4. S hn ch th hai vi quan h cu thnh a cng i hi cc mi quan h cu thnh tun theo tnh o Maxwell.

2 ( ) ji

j j i i

yy E x

x x x x

= =

(9.7)

Rt ra cc quan h cu thnhS hn ch u tin vi cc quan h cu thnh, phng trnh (9.6), vic thit lp cc quan h c bn th no c th rt

ra cho mt phn t a cng nu mt hm nng lng c lm thnh cng thc. S hn ch ny nh hnh cn bn cho mtphng php s dng nhiu trong nhng ng dng thc t tm nhng mi quan h cu thnh t cc hm nng lng (v dnng lng bin dng, c in t, v.v...). Nhng phng php ny gi thit rng t nht mt trong nhng quan h cu thnhcho mt phn t a cng cha nng lng c a ra. Do hm nng lng c thit lp bng phng trnh (9.5), saukhi trao i tch phn v tng.

1 1

1

( )n

i i n

i

x y dx y dx y d =

= = + + (9.8)

Gi thit yi l cc hm trng thi bit, ( )i siy x= . Do phn t l bo ton, bt k trng thi nng lng no cng cth t ti bng mt hng thun tin khi 0idx = vi mi 1i . iu ny cho php xc nh E(x).

chng minh, nghin cu c cu bnh rng, thanh rng n gin nh hnh 9.27. Bnh rng c qun tnh quay Jquanhtrc quay v thanh rng c khi lng m. D dng tnh c ng nng trong trng hp ny. Bnh rng c vn tc gc v thanh rng c vn tc V lin h vi nhau bng biu thc V R= vi R l bn knh c s ca bnh rng. Nu h c mhnh ha trc tip, ta s thy mt trong hai qun tnh thnh phn (bnh rng, thanh rng) s l nguyn nhn rt ra. C th ni l mong mun lin kt h bng cng quay, T . nh dng mt phn t n cng I cha thanh rng, ng nng

2 2( , ) / 2 / 2T T V J mV = = + , s dng iu kin lin kt vit li, 2 2( ) ( ) / 2T T J mR = = + . tm mi lin h cu

thnh cho phn t quay mt cng ta ly o hm 2( ) / ( )h T J mR = = + , y chng ta c th (nh ngha) xc nh

m men qun tnh tng ng 2eqJ J mR= +

Hnh 9.27 H thanh rng v bnh rng vi mmen quay u vo. (b) M hnh mt chiu, ch ra khi lng ph thuc. (c) Mhnh tng ng, bt ngun t vic s dng nguyn l nng lng

V d h bnh rng, thanh rng minh ha mt phng php c bn lm gim nguyn nhn rt ra, n c th c dng xy dng cc m hnh phn t c bn lu tr nng lng. Mt vi bi ton c th ny sinh khi ng nng ph thuc vocu hnh ca h. Trong trng hp ny,mt phng php h thng s dng h phng trnh Lagrange thch hp hn (xem

phn 9.7).Cch tip cn c trnh by y tm ra nhng mi quan h cu thnh cng ging nh nh l Castigliano [6,9].

nh l Castigliano da trn cc hm nng lng bin dng vi cc bin l lc hoc m men cng nh dng cc hm ngth nng. c bit l tm cc kt qu chuyn v (tnh tin, quay) v cc hm tc dng (lc, m men xon). Trong nhng

23


24/42

S tay C in t

trng hp trn, cc hm ny c tnh bng cch ly o hm ring ca cc hm ng nng lng theo lc v m men.nh l Castigliano rt thch hp trong vic tm cc hm lc-chuyn v cho cc cu trc dm (xem [6]).

Thit lp cng thc s dng cc hm nng lng tm nhng mi quan h cu thnh c dng trong nhiu lnh vckhc, mt vi tham kho nh Lyshevsky cho c in t, v Karnopp, Margolis, Rosenberg [17] ng dng trong m hnh th kt ni.

Kim tra cc mi quan h cu thnh

S hn ch th hai ca cc mi quan h cu thnh, phng trnh (9.7) cung cp mt nn tng kim tra hay th nghimnu cc mi lin h l ng. y l mt iu kin o quy nh mt s kim tra nng lng bo ton trong m hnh phn tlu tr nng lng, v kim tra nhanh h c hc tuyn tnh tm ra hoc ma trn qun tnh hoc ma trn cng phi ixng.

Xem li v d dm cng xn hai cng trong hnh 9.12 vi chuyn v nh. Chuyn v ti u dm v gc lch di tcdng ca lc v m men xon c th a vo (s dng cc h s nh hng do), c th biu din di dng ma trn

3 21 1

3 2 1

21

2

1 l lx F F F C K

T T TEI l l

= = =

y, C v K l cc ma trn theo v ma trn cng. Mi quan h cu thnh ny tha mn tnh o Maxell khi/ /x T F = . Phn t hai cng C c dng m hnh ha h c trnh by trong hnh 9.28(a) bao gm mt thanh

chung gn cng vo u dm. Di tc dng ca bin dng nh, mt th kt ni trnh by trong hnh 9.28(b) c dngln. Nguyn nhn c p dng cho h ny ch ra mi cng ca phn t hai cng C c nguyn nhn tch hp. Trong phn tlu tr nng lng a cng, mi cng c lp vi nguyn nhn c gn ging nh cc quy tc vi phn t mt cng. Numt phn t a cng c gn nguyn nhn, mt phn ca h phng trnh trng thi b nghch o. S kh khn i s ttnht l trnh bng cch th khi gn cc nguyn nhn tch hp ln tt c cc phn t a cng trong m hnh nu c th.

Trong v d ny, khi gn nguyn nhn ln phn t I cng l tch phn. C bn phn t lu tr nng lng c lp, v

y c bn bin trng thi [ ], , ,T

x x p h= . Bn phng trnh trng thi rt ra bng cc lut t l nh trong hnh 9.28.

Hnh 9.28: M hnh dm cng mt qu t:(a) s , (b) m hnh th lin kt dng mt C hai cng biu din dm.Qu t c biu din bng khi lng tnh tin, m, v mt qun tnh quay,J.

9.6 ng lc hc vt rn nhiu chiu

S m hnh cc vt th trong cc h c hc vi gi thit mt vt th rn c th quay v chuyn ng tnh tin. Trongtrng hp ny nhng tnh cht ng lc hc phc tp hn nhiu so vi cht im. Trong nhng phn trc, mt vt th rnn gin c trnh by, v n c bit hu dng cho loi bi ton quay quanh mt trc c nh.

Trong vt th rn, khong cch gia hai phn t khi lng bt k trn mt vt rn l khng i. Trong mt vi trng

hp, n thun li xt s phn b lin tc ca khi lng trong khi mt h cc phn t rn ring bit khc c c nhvi nhau da vo khi nim bi ton Trong phn sau, cc tnh cht ca vt rn c th tm c bng s tng kt tt c ccphn t ri rc, cc cng thc tch phn c dng vi khi nim khi lng lin tc. Nhng khi nim c bn cng cdng v dn xut cho phn tch ng lc hc vt rn. S m hnh ha cc h c kh gii hn trong c hc Newton khi vn tctuyn tnh-m men c quan h vi nhau (nng lng v ng nng lng bng nhau).

ng hc vt rn

Phn ny trnh by ngn gn nhng tnh ton chuyn ng ba chiu ca vt rn. Mc tiu l a ra nhng phng phpphn tch chuyn ng quay ca vt rn quanh mt trc c nh v nhng phng php phn tch chuyn ng tng quanca vt rn s dng cc trc quay v tnh tin. Nhng khi nim ny trnh by nn tng tm hiu nhng cng thc phc tp

hn. M t vc t (k hiu bng mt mi tn bn trn mt k t, a

) rt hu dng trong nghin cu cc bi ton c bn. Dng

ma trn thch hp hn vi nhng h vt rn phc tp. Nhng tho lun m rng v cc v d c th tm nhng sch trnh

by v ng lc hc (v d [23]).

Vt th quay quanh mt im c nh

24


25/42


Nhng khi nim c bn trnh by y lin quan n chuyn ng ca mt vt rn quanh mt im c nh. Chuynng c bn ny ch ra rng mi im thuc vt u nm trn mt mt mt hnh cu c bn knh l khong cch tim n im c nh. C th ni vt rn c chuyn ng hnh cu.

nh l Euler. nh l Euler pht biu rng bt k chuyn ng no thuc vt c chuyn ng hnh cu u c th biudin nh mt s quay quanh mt trc i qua tm ca chuyn ng cu. Trc ny c th gi l trc nh hng ca php quay[26]. V d, hai chuyn ng quay quanh hai trc khc nhau i qua mt im c nh th tng ng vi mt chuyn ngquay quanh mt trc i qua im c nh .

Php quay hu hn. Nu cc php quay s dng nh l Euler l hu hn, trnh t p dng l rt quan trng do s quayhu hn khng tun theo lut cng vc t.

Php quay v hn. Nhng php quay v hn nh c th a vo vc t theo phng bt k v n c xem xt tng qutkhi xc nh chuyn ng vt rn

Vn tc gc. Mt vt th quay quanh mt im c nh mt gc d

c vn tc gc

c hng tip tuyn vi d

v

c nh ngha bng o hm theo thi gian /d dt

. Nu vt th gm hai chuyn ng quay thnh phn vi vn tc gc1

v2

, vn tc gc tng hp ca vt th1 2

= + .

Gia tc gc. Gia tc gc ca mt vt l o hm theo thi gian ca vn tc gc, /d dt

= . Trng hp tng qut, gia

tc gc khng tip tuyn vi vn tc gc.

Chuyn ng ca im trong vt th. Cho bit

,vn tc ca mt im trong vt th v x r

= , vi r

l vc t v tr

ca im vi im c nh m vt quay quanh. Gia tc ca im c tnh, ( )r r

= + .

Nhc li o hm theo thi gian ca vect trong h to

Trng hp thng thng l chng ta cn nh ngha t l thay i theo thi gian ca vc t nh vc t A

trong hnh 9.29

lin quan ti h to khc. Chng ta c th nh ngha A

vi cc to xa, ya, za, nhng chng ta cn tm cc gi tr x0, y0,

z0 ca n. Vc t A c biu din trn cc trc xa, ya, za vi cc vc t n v nh sau.

x a y a z aA A i A j A k

= + +

Hnh 9.29 Cn tm o hm theo thi gian ca A

lin quan n cc trc x0, y0, z0, gi tr ca n c cho trong h tnh tin-

quay xa, ya, za

tm t l thay i theo thi gian, ta nhn ra rng trong chuyn ng quy chiu, o hm theo thi gian ca A l.

yx za a a

a

dAdA dAd Ai j k

dt dt dt dt

= + +

Hng ca cc vc t n v , ,a aai j k

lin quan n cc trcx0,y0,z0ch ph thuc vo gc quay v

25


26/42

S tay C in t

, ,

a a a x y z

a a aa a a

di dj dk d A d AA A A

dt dt dt dt dt

di dj dk i j k

dt dt dt

= + + +

= = =

nn

a

d A d AA

dt dt

= +

(9.9)

Mi lin h ny khng ch hu dng cho vic tnh ton cc o hm m cn cho c vic cng thc cc th kt ni. iuny c trnh by trong phn ng lc hc vt rn

Chuyn ng ca vt th lin quan n h to

Cc trc to tnh tin

Gc ca cc trc to xa,ya,za c nh trn vt th ti A nh hnh 9.30(a) v trt khng quay vi cc trc x0,y0,z0 vi

vn tc v gia tc bit. Vt th rn trong khng gian ba chiu c vn tc gc

v gia tc gc

.Chuyn ng ca im B tng quan vi A. Chuyn ng ca im B tng quan vi A ging nh chuyn ng quanh

mt im c nh. Nn / / B A B Av v

= v / // ( ) B A B AB Aa r r

= + .

Hnh 9.30 Chuyn ng tng th ca mt vt rn (a) vt rn vi h to tnh tin (b) vt rn vi h to tnh tin v quay

Chuyn ng ca im B vi O. Vi cc trc chuyn ng tnh tin, khng quay, vn tc v gia tc ca im B so vi

gc O rt n gin, / B A B Av v v

= + v / B A B Aa a a

= +

/ B A B Av v r

= + (9.10)

/ /( ) B A B A B Aa a r r

= + + (9.11)

Cc trc ta tnh tin v quay

Mt cch tng qut m t chuyn ng trong khng gian ba chiu ca vt th rn bng vic s dng h ta quay vtnh tin so vi h trc th hai, nh hnh 9.30 (b). Cc vc t v tr xc nh im A v B trong vt th tng quan vi x0,y0,

z0 v cc trcxa,ya,za c vn tc gc v gia tc gc r& . V tr ca im B nh sau

/ B A B Ar r r

= + (9.12)

Vn tc v gia tc c tnh theo o hm trc tip.

/ /( ) B A B A B A av v r v

= + + (9.13)

26


27/42


( ) ( ) ( )A / / / / 2 B B A B A B A B Aaa r r v a= + + + +rr r r& (9.14)

Vi (vB/A)a v (aB/A)a l vn tc v gia tc ca im B tng quan vi A trong h trc xa,ya,za.

Nhng phng trnh trn c p dng trong chuyn ng phng ca ca vt rn vi v r& c hng khng i.

Trong khng gian ba chiu, r& phi c tnh theo phng trnh (9.9).

Dng ma trn v chuyn h ta Mt vc t trong khng gian ba chiu c biu th trn h ta thun xa,ya,za, x a y a z aA A i A j A k = + + , c th trnh

by nh sau.

xT

y x y z a

z a

A

A A A A A

A

= =

y, cc phn t ca vc t ct biu hin hng ca vc t trn cc trc ta . K hiu Aa l vc t ct tng quan vixa,

ya,za. C th biu din vc t A

trong h ta thun khcxb,yb,zb bng ma trn chuyn.

b aab

A C A= (9.15)

vi abC l ma trn 3x3.

a b a b a b

ab a b a b a b

a b a b a b

cx x cx y cx z

C cy x cy y cy z

cz x cz y cz z

=

(9.16)

Cc phn t ca ma trn ny l cc cosin ca gc gia cc trc ta tng ng. V d, cz ayb l cosin ca gc giaza vyb. y l ma trn quay v trc giao.

1 T

ab ab baC C C = =

v vi h ta thun, Cab = +1.

Gc biu din ca php quay

Su bc t do cn thit m t chuyn ng tng qut ca vt rn c c trng bng ba bc t do tnh tin v ba bcquay. Mc ch y l m t php quay.

nh l Euler (11) chng minh rng ch cn ba thng s xc nh php quay. Hai thng s nh ngha trc quay v mtthng s xc nh gc quay quanh trc . Ba thng s ny xc nh ba bc t do ca vt rn. Ba thng s quay ny gip xy

dng ma trn quay C . Sau y ta tho lun v vic xy dng ma trn quay hay ma trn ch hng.

Php quay tng qut. Cc vc t n v ca h trc a, au c th chuyn sang h trc b, b ba au C u= . C th ch ra rngma trn cosine ch hng c th xy dng theo cng thc [30]

( )cos ( )sinT TC E S = + (9.17)

vi E l ma trn ng nht, l vc t n v, [ ]1 2 3, ,T

= song song vi trc quay, l gc quay quanh trc

[30]. Trong mi tng quan ny, ( )S l ma trn phn i xng nh ngha nh sau

3 2

3 1

2 1

0

( ) 0

0

S

=

27


28/42

S tay C in t

Hnh 9.31 Mt php quay c bn vi gc quanh trcx

Cc phn t ca C c th tm bng cch khai trin cng thc trn, s dng ( )S ta c

2

1 1 2 3 1 3 2

2

2 1 3 2 2 3 1

2

3 1 2 3 2 1 3

(1 cos ) cos (1 cos ) sin (1 cos ) sin

(1 cos ) sin (1 cos ) cos (1 cos ) sin

(1 cos ) sin (1 cos ) sin (1 cos ) cos

C

+ + + = + + + + + +

(9.18)

Gi tr ca cng thc ny l chng t rng c nhng trc chnh c trng bi v cc gc quay xc nh hng ca

vt th. Nhng php quay ny m t cc bin gc c in bng cc php quay c bn, v c th a ra hai trng hp ctrng v thit thc, c to thnh t hai trc quay ring bit lin tip.

Cc php quay c bn. Ba php quay c bn c to thnh khi trc quay ( nh ngha bng vc t ring ) trng vi mttrong ba vc t c s xc nh h ta . V d, [1, 0 , 0 ]T = nh ngha trc quay x, nh hnh 9.31, mt php quay c bn c ma trn quay,

,

1 0 0

0 cos sin

0 sin cosxC

=

Hai php quay c bn quanh cc trc y, z nh sau.

, ,

cos 0 sin cos sin 0

0 1 0 sin cos 0

sin 0 cos 0 0 1y zC C

= =

Ba ma trn quay c bn ny c th dng lin tip nh ngha ma trn cosin ch hng, v d.

, , , z y xC C C C =

v cc ma trn quay c bn v ma trn cosin ch hng l trc giao,

T T

C C C C E = = =

y, E l ma trn n v. Do , nghch o ca ma trn quay hay ma trn tnh tin c th tm bng nghch o ca1 T

C C

= .

Hnh 9.32 nh ngha gc Euler (Theo Goklstein[11])

28


29/42


C th chng t rng tn ti hai s quay lin tip c lp v n a n gc quay Euler ni ting v gc quay Tait-Bryanhoc Cardan.

Cc gc Euler. Cc gc quay Euler c nh ngha bng mt chui php quay ring bit. Xt mt h ta thunnh ngha bng cc vc t c s, x,y,z nh hnh 9.32(a). Chui quay lin tip bao gm cc php quay quanh cc trc theotrnh t sau: (1) quanh trcz, (2) quanhxa, (3) quanhzb. Tp hp cc php quay theo trnh t ny c m t bngcc ma trn quay c bn sau,

, , ,

cos sin 0 1 0 0 cos sin 0sin cos 0 , 0 cos sin , sin cos 0

0 0 1 0 sin cos 0 0 1a b z x z

C C C

= = =

cc ma trn C th hin cc trc v cc php quay. S dng cc php bin i ny lin h vi i lng A trong x, y, z vi

bA trongxb,yb,zb,

, , ,b ab Euler z x z A C A C C C A = =

y EulerC nh sau

cos cos sin cos sin cos sin sin cos cos sin sin

sin cos cos cos sin sin sin cos cos cos cos sinsin sin sin cos cos

EulerC

+

= +

(9.19)

V EulerC trc giao, chuyn i gia hai h trc to l n gin khi ma trn o c tnh bng chuyn v ca (9.19).

Trong mt vi ng dng, iu mong mun l ly c cc gc a ra ma trn cosin ch phng. Do , nu (3.3) c

bit phn t ca EulerC , d dng tm c . Nhng tht kh khn khi nghin cu cc gc quay nh. Nu tin ti khng,

c s suy bin trong khi gii tm v , do xc nh hng ca vt th tr nn kh khn. Bi ton cng tr thnh khhiu khi chuyn cc vn tc gc gia cc h to . Nu bi ton trnh c trng hp ny ( v d khng tin ti khng)th cc gc Euler c th dng gii. Trong nhiu ng dng khng th gii bng bi ton ny c th theo nhng phng phpkhc, nh phng php cc thng s Euler s c bn ti.

Trong ng lc hc vt th rn c in, c gi l gc tin ng, l gc chng ngv lgc quay. Mi lin

h gia o hm theo thi gian ca cc gc Euler, , ,T

=

, v vn tc gc ca vt th , , x y z = c tnh

bng [11]

( )b T = & (9.20)

ma trn chuyn, ( )T nh sau.

sin sin cos 0

( ) sin cos sin 0

cos 0 1

T

=

Nhc li l ( )T suy bin ti im / 2 = .

Cc gc Tail-Bryan hoc Cardan. Cc gc Tail-Bryan hoc Cardan c thit lp khi ba php quay lin tip trn ba trckhc nhau. y trnh by cc php quay lin tip dng trong ng lc hc my bay v t. Nhng gc ny c thit lptheo trnh t sau: (1) quanh trc i( s lch hng ), (2) quanhya ( s nhp nh ), (3) quanh trc chxb ( s ln nho ),a v b k hiu cho tng th hai v ba trong mt chui lin tip ba tng hoc ba trc ( nh s dng trong s m t cc gcEuler ). Nhng php quay ny hnh thnh ma trn chuyn nh sau,

, , ,b ab x y zA C A C C C A = =

vi

, , ,

cos sin 0 cos 0 sin 1 0 0

sin cos 0 , 0 1 0 , 0 cos sin0 0 1 sin 0 cos 0 sin cos

a b z y xC C C

= = =

v ma trn chuyn h ta ch vi cc gc Tait-Bryan l,

29


30/42

S tay C in t

( )

cos cos cos sin sin

sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos cos sin 9.21

cos sin cos sin sin cos sin sin sin cos cos cosTait BryanC

= + +

Mt dng tuyn tnh ha ca Tait BryanC rt ra t cc gc Euler, n rt hu dng trong vi bi ton phn tch v iu khin.

N tn ti bi ton suy bin trong trng hp tin n / 2 .

Vi cc gc Tait-Bryan, ma trn chuyn gia v b nh sau.

sin 0 1

( ) cos sin cos 0

cos cos sin 0

T

=

ma trn trn suy bin ti 0, = .

Cc thng s Euler v Quaternion.

Cc iu kin suy bin trong cc h ta tnh tin vi cc gc Euler v Tait-Bryan c th trnh c bng cch s dngnhiu hn mt tp hp ti thiu cc bin c tham s ha ( tr ba gc ). Tp hp ng ch nht l cc thng s Euler, hay

l cc n v Quaternion. C rt nhiu cc kh nng, nhng phng php bn thng s ny c p dng trong nhiu lnhvc, bao gm ng lc hc tu v tr/my bay, r bt v tnh ton ng hc v ng lc hc. Thut ng quaternion cHamilton ni n khong nm 1840, nhng Euler pht minh v s dng cc thng s Euler t 70 nm trc . CcQuaternion c Goldstein [11] ni n v dng trong ng lc hc vt rn v iu khin cho n cui nhng nm nmmi, u su mi [13, 14]. Quaternion c ng dng rng ri trong iu khin khng gian [38] v hng hi. Gn y( hn 20 nm v trc ), nhng phng php ny tm c v tr ca n trong iu khin r bt [34] v tnh ton ng hcv ng lc hc [14, 25, 26]. Tng qut v quaternion v cc thng s Euler c Wehage[37] nu ra. Quaternion v s quaytun t v vai tr ca n ng dng trong nhiu lnh vc, bao gm c cm nhn v cc th, l ch trong cun sch caKuipers[19]. C mt s trnh by c th hng dn ngi c mt lnh vc p dng. Tng quan nh sau.

Quaternion Quaternion c nh ngha l tng ca mt v hng, q0 v mt vc t q

, hoc

0 0 1 2 3 q q q q q i q j q k = + = + + +

Tn ti mt mn i s v gii tch c bit gii nhng i tng ton hc kiu ny [7, 19, 37]. S lin hp nh ngha

nh sau0

q q q

= .

Cc thng s Euler. Cc thng s Euler l cc quaternion tiu chun ha, do c cng tnh cht, i s v gii tch. Mtvc t ring chnh ca php quay c mt tr ring bng 1 v xc nh trc quay Euler ( xem nh l Euler v [11]), vi gc

quay . Vc t ring [ ]1 2 3, ,T

e e e e= , t phng trnh (9.17), ma trn ch hng nh sau

( ) cos ( )sinT TC ee I ee S e = +

vi ( )S e l ma trn phn i xng. Cc thng s Euler nh ngha nh sau.

0

11

22

33

cos( / 2)sin( / 2)

sin( / 2)

sin( / 2)

qeq

qeq

eq

= =

Vi

2 2 2 2

0 1 2 31q q q q+ + + =

Cc Quaternion tng quan v Ma trn chuyn h ta . ma trn cosine ch phng vi cc thng s Euler nh sau.

2

0 0( ) 2 2 ( )T TqC q q q E qq q S q= +

y [ ]1 2 3, ,T

q q q q= v E l ma trn ng nht. Ma trn cosine ch phng vi cc quaternion.

30


31/42


32/42

S tay C in t

nng). Thng thng, cc m men qun tnh c bit vi cc trc c nh thuc vt th, nh hnh 9.33(b). Nu trng tmc xc nh vi cc ta (xG,yG,zG) theo cc trcx,y,z, nh l trc song song c th c dng tnh m men quntnh i vi cc trc x, y, z nh sau.

2 2

2 2

2 2

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

xx xx a G G

yy yy a G G

zz zz a G G

I I m y z

I I m x z

I I m x y

= + +

= + +

= + +

y, v d, (Ixx)a l m men qun tnh vi trc xa i qua trng tm. Chuyn cc tch qun tnh yu cu dng nh l mtphng song song

( )

( )

( )

xy xy a G G

yz yz a G G

zx zx a G G

I I mx y

I I my z

I I mz x

= +

= +

= +

Tensor qun tnh. ng lc hc ca vt th quay da vo kin thc v tnh cht qun tnh, n hon ton c xc nhbng chn thnh phn trong tensor qun tnh, su thnh phn c lp. Tensor qun tnh nh sau

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

I I I

I I I I I I I

=

v n da vo v tr xc nh v hng ca cc trc ta . Vi mt vt th rn, mt gc v hng ca cc trc ta c thxc nh sao cho tensor qun tnh l cho ha.

0 0

0 0

0 0

x

y

z

I

I I

I

=

Hnh 9.34 Vt rn trong chuyn ng tng qut gn vi mt h qui chiu qun tnh, x, y, z.

Hng ca cc trc ta ny l cc trc chnh ca m men qun tnh v cc m men qun tnh chnh Ix =Ixx,Iy =Iyy,Iz =Izz ( mt ci s l cc i cn ci th 3 l cc tiu). Trong mt vi trng hp, hng ny c th c xc nh bng s kimtra. V d, nu hai trong ba mt phng trc giao l mt phng i xng, th cc tch qun tnh bng khng, nh vy iu nys xc nh cc trc qun tnh chnh.

Hng ca cc trc chnh c th hiu nh mt bi ton tr ring v iu ny cho php bn tm c cc hng chnh, nh nh ngha tensor qun tnh theo hng bt k. bit chi tit hn v phng php ny, xin xem thm Crandall [8].

M men ng lng gc

Vt th rn trong hnh 9.34, khi nim ha l tp hp cc phn t i, c khi lng m. M men gc i vi im A nhngha nh sau.

( )A Ai i ih m V=

Vi iV

l vn tc o c tng quan vi qun tnh khung. Do i A AV V p

= + , nn

( ) ( )A A A A Ai i i i A ih m V m V m = = +

Tch phn trn ton b khi lng vt th, tng m men gc ca vt th l

( ) ( )A A A AAm m

h dm V dm = + (9.24)32


33/42


Phng trnh ny c th s dng tm m men gc i vi mt im bng cch t im A: (1) c nh, (2) ti trngtm, (3) ty trong vt th. Dng tng qut trong trng hp 1 v 2.

( )m

h dm = Khi m rng dng ny theo ba thnh phn x, y, z th

( ) ( ) ( ) x y z x y z m

h h i h j h k xi yj zk i j k xi yj zk dm = + + = + + + + + +

cng c th m rng nh sau2 2

2 2

2 2

( )

( )

( )

x y z x y z m m m

x y z m m m

x y z m m m

h i h j h k y z dm xy dm xz dm i

xy dm x z dm yz dm j

xy dm zy dm x y dm k

+ + = + = + + = +

Biu thc m men v tch qun tnh c th nh ngha y, v biu thc ny dn n ba thnh phn m men gc cvit di dng ma trn

xx xy xz x

yx yy yz y

zx zy zz z

I I I

h I I I I

I I I

= =

(9.25)

Lu trong trng hp cc trc chnh c xc nh dn n biu thc n gin hn

xx x yy y zz z h I i I j I k = + +

iu ny chng t rng khi vt th quay quanh mt trc song song vi trc chnh, vc t m men gc h

song song vi

vc t vn tc gc. Trong trng hp tng qut th iu ny l khng ng (iu ny ni cui phn Cc thuc tnhqun tnh).

M men gc i vi im bt k, trng hp 3 l kt qu ca m men gc i vi khi tm

sổ tay cdt chuong 9-mo hinh hoa ud cdien

Documents