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Sociedad Mexicana de Ingenier ía EstructuralSociedad Mexicana de Ingenier ía Estructural

APORTACIONES DEL INGENIERO FEDERICO GARZA TAMEZ (1923-2008)

A LA ENSEÑANZA DE LA INGENIERÍA ESTRUCTURAL

Treviño-Treviño, Ernesto L. (*); González-Alcorta Ricardo (**)

RESUMEN

Como un reconocimiento al Sr. Ingeniero Federico Garza Tamez (1923-2008), miembro honorario de la

Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural, se presenta una de sus aportaciones más relevantes en el ámbito

de la docencia de la ingeniería estructural. Se trata del desarrollo original de un método numérico para el

análisis de marcos rígidos sujetos a la acción de cargas laterales. El presente artículo incluye: a) exposición

teórica del método; b) aplicación al análisis de un edificio de 21 niveles, sometido a la acción de cargas de

viento; c) aplicación a la obtención de las formas y períodos de los tres primeros modos de vibración del

mismo edificio, tomando en cuenta la forma de los modos en el cálculo de las rigideces de entrepiso; y c)

comparación con las respuestas obtenidas mediante el programa de cómputo SAP-2000. Se concluye que

existe buena concordancia entre los resultados obtenidos, y se exponen las ventajas del método, con respecto

a otros semejantes.

ABSTRACT

As an acknowledgment for Ing. Federico Garza Tamez (1923-2008), honorary member of the Mexican

Society of Structural Engineering, this paper presents one of his most relevant contributions to the area of

structural engineering pedagogy. This paper refers to the original development of a numeric method for the

analysis of rigid frames subject to the action of lateral loads. It includes: a) theoretical explanation of the

method, b) its application to the analysis of a 21-story building, exposed to the action of wind loads, c) its

application to obtain the shapes and periods of the first three vibration modes of the same building,

considering the shape of the modes in the calculation of the inter-story stiffnesses, and c) the comparison of

the obtained responses using the method to the ones obtained through the computer program SAP-2000. We

conclude there is a good agreement between the obtained results, and we present the advantages of the

method in relation to similar ones.

_________________________________________________________

(*) Profesor Titular Investigador, Subdirección de Estudios de Posgrado

Facultad de Ingeniería Civil, Universidad Autónoma de Nuevo León

Correo electrónico: [email protected], [email protected]

(**) Jefe del Departamento de Estructuras y Materiales

Instituto de Ingeniería Civil, Universidad Autónoma de Nuevo León

Correo electrónico: [email protected]

XVI Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Veracruz, Ver., 2008

2

INTRODUCCIÓN

Actualmente, en la práctica profesional de la ingeniería estructural, el análisis de marcos planos de edificios

sujetos a fuerzas laterales, —como las inducidas por viento o sismo—, se lleva a cabo mediante el método de

las rigideces, de los desplazamientos, o del equilibrio en formato matricial, el cual puede considerarse

“exacto” si se acepta la hipótesis de comportamiento elástico lineal de la estructura motivo de estudio. Esto es

posible gracias a la gran disponibilidad en el mercado de computadoras personales de gran capacidad, así

como de los excelentes programas de cómputo desarrollados extensivamente en las últimas décadas para ese

fin.

Al mismo tiempo, el empleo de métodos “aproximados” sigue siendo de utilidad y conveniencia,

principalmente en las etapas de análisis y dimensionamiento preliminares, así como para la verificación del

orden de magnitud de los resultados obtenidos al emplear programas de cómputo, asegurando en ésta forma el

que no se hayan cometido errores graves.

Existe una gran cantidad de este tipo de métodos que se distinguen entre sí por la cantidad de hipótesis

introducidas para simplificar su aplicación, y consecuentemente por la precisión de los resultados que se

obtienen. Entre los de mayor difusión pueden citarse el del portal, el del voladizo, el de Bowman, y el del

factor. Otros métodos “aproximados” muy conocidos, de mejor precisión pero más laboriosos que los

anteriores, son el de Grinter-Tsao, el de Morris y el de Maney-Goldberg.

Otros, —que tuvieron gran auge hasta los años setenta del siglo pasado—, de aún mayor precisión pero

también significativamente más laboriosos, son el de Hardy Cross y el de Gaspar Kani. De hecho, los

resultados que se obtienen con éstos dos últimos métodos, son “exactos” cuando se ignoran las deformaciones

por cortante y por fuerza normal en las barras de la estructura, y no se toma en cuenta el efecto de las

llamadas “zonas rígidas” o de las dimensiones finitas de los nudos.

El propósito de este artículo es el exponer una de las aportaciones más relevantes del Ingeniero Federico

Garza Tamez en el área de docencia. Consiste en el desarrollo original de un método numérico para el

análisis de marcos rígidos, sujetos a la acción de cargas laterales como las inducidas por viento o sismo.

Dicho método fue enseñado por él desde 1951, en su cátedra de Estructuras Indeterminadas en la Facultad de

Ingeniería Civil de la Universidad de Nuevo León.

También fue presentado en diversos foros, tales como la Reunión Extraordinaria del Instituto Americano del

Concreto (ACI) celebrada en Marzo de 1964 en la ciudad de Monterrey, Nuevo León; y en el Segundo

Congreso Nacional de Ingeniería Sísmica celebrado justamente hace 40 años, en Mayo de 1968, en ésta

misma ciudad de Veracruz, Ver (Garza-Tamez, 1968). Lo inmediato anterior resulta ser de gran significación

dentro del contexto de éste XVI Congreso Nacional de Ingeniería Estructural.

EXPOSICIÓN GENERAL DEL MÉTODO

APLICABILIDAD

En principio, el método es aplicable a marcos que cumplan con las siguientes condiciones: a) estar

constituidos por barras de eje recto que sean ortogonales; b) tener una sola crujía; c) ser geométricamente

simétricos; d) que el estado de carga sea antisimétrico; e) que la contribución del cortante y de las fuerzas

normales a las deformaciones de las barras sea despreciable; y f) que se ignore el efecto de las llamadas

“zonas rígidas”.

También es aplicable a marcos de varias crujías, siempre y cuando sea válido el “principio de los múltiplos”

de Kloucek (Kloucek, 1955); es decir, que sus rigideces guarden relaciones tales que sea posible subdividirlos

en marcos simétricos de una crujía, que cumplan las condiciones expuestas en el párrafo inmediato anterior.

3


En éstos casos los resultados que se obtengan serán “exactos”. También puede emplearse, con grandes

ventajas, para el análisis de vigas Vierendel

Asimismo, el método puede aplicarse al análisis aproximado de cualquier marco, que pueda idealizarse como

simétrico y de una crujía, igualando la suma de rigideces de las columnas y de las trabes en cada entrepiso en

el marco original y en el marco idealizado; lo cual equivale a considerar que las rotaciones de todos los nudos

de un mismo nivel son iguales. Esto implica que, con los resultados obtenidos, se satisfará el equilibrio de

cortantes en cada entrepiso, mas no el equilibrio de momentos en cada nudo de la estructura original. Esto

puede corregirse fácilmente mediante el método de distribución de momentos de Cross, y de esa forma

conseguir la precisión deseada.

PLANTEAMIENTO TEÓRICO

Considérese el sector intermedio de una estructura como el que se muestra en la figura 1. Permítase el

desplazamiento lateral sin que los extremos de las trabes giren. En estas condiciones, los momentos en los

extremos de las trabes será igual a la suma de los momentos de empotramiento perfecto de las columnas que

concurren al nudo correspondiente. Entonces, para el caso específico del nivel “j”, y designando positivos a

los momentos flexionantes “nudo sobre barra” en dirección contraria a la de las manecillas del reloj, se tiene:

(1)

Si ahora se permite la rotación simultánea de todos los nudos, sin alterar los cortantes (ver figura 2), el

momento en la trabe “j” se modificará por la influencia del giro del propio nudo “j” y por los giros de los

nudos inferior y superior, “i” y “k”. Estos últimos dependen, a su vez, de los momentos finales “Mi” y “Mk”

Figura 1: Desplazamiento lateral sin rotación de los nudos. Se inducen momentos de empotramiento perfecto en los extremos de las columnas


4

en los extremos de las trabes que concurren a esos nudos. Por lo tanto, es posible expresar el valor del

momento final en el extremo de la trabe “j” mediante la siguiente ecuación:

(2)

En la ecuación inmediata anterior, como se demuestra más adelante, los factores “a” y “b” dependen

exclusivamente de las propiedades geométricas y elásticas de las barras de la estructura, y sus valores

típicamente son, —para la gran mayoría de las estructuras usuales—, bastante menores que la unidad.

En virtud de lo anteriormente expuesto, si conocemos los momentos de empotramiento perfecto “ME” en

todos los nudos de la estructura, y los tomamos inicialmente como momentos en los extremos de las trabes de

acuerdo con la ecuación (1), resulta posible iniciar un procedimiento de iteraciones, el cual puede continuarse

sucesivamente hasta obtener, —con la precisión deseada—, los valores finales de los momentos en los

extremos de las trabes.

Es importante mencionar que, si se tiene experiencia, el proceso iterativo puede iniciarse con valores distintos

de los momentos de empotramiento perfecto para los momentos en los extremos de las trabes, más cercanos a

los finales, lo cual acelera la convergencia del proceso. Es también importante mencionar que el método es

auto-comprobante; esto significa que algún error aritmético que se haya cometido involuntariamente durante

las iteraciones se corrige automáticamente en los ciclos siguientes. Generalmente, los errores cometidos

eventualmente, sólo retardan la convergencia.

Es igualmente importante señalar que durante el proceso iterativo se trabaja exclusivamente con los

momentos en las trabes, y sólo al final se calculan en forma sencilla los momentos en los extremos de las

columnas. Enseguida, con referencia a la figura 2, se deducen las expresiones para obtener los factores “a” y

“b” que aparecen en la ecuación (2), para el caso de barras prismáticas.

Al girar los nudos “i” y “j”, sin variar el cortante, se inducirá en la columna “ij” un momento flexionante

uniforme “m”, cuyo valor dependerá de su propia rigidez y de dichos giros. A su vez, estas rotaciones “ i” y

Figura 2: Rotación de los nudos, sin alterar el cortante. Se inducen momentos flexionantes uniformes en las columnas.

5


“ j”, pueden expresarse en función de los momentos “Mi” y “Mj” en los extremos de las trabes, las cuales

se flexionan anti-simétricamente, como sigue:

i =Mi

6EKi

; j =M j

6EK j

(3)

Dado que la desviación angular j i( ) entre los extremos de las columnas es igual al área del diagrama de

curvaturas, podemos escribir:

m ji = M j

K ji

6K j

Mi

Kij

6Ki

(4)

Si ahora hacemos que:

f ji =K ji

6K j

y fij =Kij

6Ki

(5)

Entonces:

m ji = M j f ji( ) Mi fij( ) (6)

m jk = M j f jk( ) Mk fkj( ) (7)

Si se superponen los efectos del desplazamiento lateral sin rotación, a los efectos de los giros en las columnas

“ij” y “jk” , el equilibrio del nudo “j” exige que se cumpla la siguiente condición:

ME ji + m ji( ) + ME jk + m jk( ) + M j = 0 (8)

Substituyendo las ecuaciones (6) y (7) en la ecuación (8) y despejando, se obtiene la expresión para el

momento final en el extremo “j” de la trabe según se indica enseguida:

M j =1

1+ f ji + f jkME ji + ME jk[ ] +

f ij1+ f ji + f jk

Mi[ ] +fkj

1+ f ji + f jkMk[ ] (9)

Comparando la ecuación (9) con la ecuación (2), es posible inferir que:


6

a j =1

1+ f ji + f jk ; bij =

fij1+ f ji + f jk

; bkj =fkj

1+ f ji + f jk (10)

Una vez terminado el proceso de iteración, y conocidos los momentos en las trabes, los momentos finales en

los extremos de las columnas se calculan fácilmente mediante las ecuaciones (6) y (7).

Caso de marcos con varias crujías

Como se mencionó brevemente más arriba, el método puede aplicarse en forma directa al análisis de marcos

de varias crujías, siempre y cuando sea válido el “principio de los múltiplos” de Kloucek; es decir, que sus

rigideces guarden relaciones tales que sea posible descomponerlos en marcos simétricos de una crujía, que

cumplan las condiciones de aplicabilidad del método que se expusieron con anterioridad.

Por ejemplo, el marco de la figura 3 se puede subdividir en los cuatro marcos que se muestran en la figura 4

(Ramírez, 1974). Las figuras 3 y 4 aparecen en la página siguiente. Puede observarse que los cuatro marcos

son simétricos, y que además poseen la característica de que las rigideces relativas de todas sus barras

guardan la misma proporción, entre cada dos de ellas.

Lo inmediato anterior significa que Kb = 3Ka ; Kc = 2Ka ; y Kd = 4Ka . Además, la suma de las rigideces

relativas de las barras de los cuatro marcos, es igual a diez veces las rigideces del marco (a). En virtud de lo

anterior, las cargas P que actúan en el marco original, se prorratean en proporción inversa a las rigideces de

cada uno de los cuatro marcos, tal y como se muestra en la misma figura 4.

Para el caso de marcos en los cuales no es válido el “principio de los

múltiplos”, se hace necesario considerar primeramente que los giros de

todos los nudos de un mismo nivel son iguales. De esta manera, es

posible sustituir la estructura original por una “equivalente” como la

mostrada en la figura 5, en la cual los factores “f” serán iguales a

f =Kcolumnas

12E Ktrabes

Esto implica que los momentos resultantes del proceso de iteración,

deberán prorratearse en cada extremo de las trabes que concurran a

cada nudo, proporcionalmente a sus rigideces. Enseguida se calculan

los momentos en las columnas. Como se habían supuesto giros iguales

en todos los nudos de un mismo nivel, se satisfará el equilibrio de

cortantes en cada entrepiso, mas no el equilibrio de momentos en cada

nudo de la estructura original. Estos desequilibrios pueden corregirse

fácilmente mediante el método de distribución de momentos de Cross.

Al efectuar la distribución de momentos, se desequilibrarán los

cortantes de entrepiso, por lo que será necesario efectuar ciclos de

iteraciones y distribuciones sucesivas; todo esto de acuerdo con la

precisión que se desee.

Figura 5: Estructura “equivalente”

7


Flexibilidades o rigideces de entrepiso

El método permite calcular, de una manera sencilla y directa, las flexibilidades de entrepiso como se explica a

continuación. El desplazamiento relativo entre los niveles inferior y superior de un entrepiso es igual a la

suma del desplazamiento por cortante más el desplazamiento debido a la rotación de los extremos; es decir:

relativo = corte + giro =VH 3

12EI+ i + j( )

H

2 (11)

Por lo tanto, la flexibilidad de entrepiso será:

Figura 3: Marco rígido de cuatro crujías que cumple con las características de validez del “principio de los múltiplos” de Kloucek

(a) (b) (c) (d)

Figura 4: Subdivisión del marco rígido de la figura 3, en cuatro marcos simétricos de una crujía


8

Flexibilidad = relativo

V=

H 3

12EI+ i + j( )

H

2V (12)

Sustituyendo en (12) los valores de i y de j dados por las ecuaciones (3), y tomando en cuenta que

V =2 ME( )H

, se obtiene la siguiente expresión, la cual permite calcular las flexibilidades de entrespiso.

Flexibilidad =H 3

12EI1 3

M j( ) f ji + Mi( ) f ijME

(13)

En la ecuación anterior al factor entre llaves, que multiplica a la flexibilidad al cortante, se le llama

“coeficiente de flexibilidad”. Es decir:

C.F .=1 3M j( ) f ji + Mi( ) f ij

ME

(14)

EJEMPLO ILUSTRATIVO

En la tabla que se incluye en el Anexo A, se presenta el análisis de uno de los marcos interiores (por ejemplo,

el marco del eje 5) del edificio de 21 niveles que se muestra en las figuras 6 y 7, cuando se le somete a la

acción de las cargas de viento que se indican en la misma figura 7.

Figura 6: Media planta del edificio de 21 niveles analizado bajo la acción de cargas de viento

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NOTAS:

• Las cargas de viento

se indican actuando sobre los nudos del eje A.

• Las rigideces relativas de cada barra se anotan a un lado de las mismas.

• Los pesos de cada nivel se anotan del lado derecho de la figura.

Figura 7: Media elevación del edificio de 21 niveles,cuya

planta se muestra en la figura 6 de la página anterior


10

La respuesta del marco plano en estudio, sometido a las mismas cargas de viento, fue calculada también

mediante el programa de cómputo SAP-2000, el cual considera los tres grados de libertad posibles en cada

nudo. Los resultados obtenidos por ambos procedimientos se compararon entre sí, los cuales mostraron buena

concordancia. Las diferencias entre ambos fueron del orden del 10% como máximo, tanto en acciones

internas como en desplazamientos..

Por otra parte, se calcularon las formas y los periodos de los cuatro primeros modos de vibración del mismo

marco, considerándolo como “de cortante”, mediante los métodos numéricos de Newmark/Stodola-Vianello y

de Holzer, pero utilizando el método del Ing. Garza Tamez para tomar en cuenta la forma de los modos en los

valores de las rigideces de entrepiso. Igualmente, las formas y los periodos se calcularon mediante el

programa SAP-2000, considerando los tres grados de libertad posibles por nudo. Asimismo, los resultados

obtenidos por ambos procedimientos se compararon entre sí.

Los periodos obtenidos del programa SAP-2000 fueron: T1 = 2.67 seg, T2 = 0.91 seg, T3 = 0.52 seg, y T4 =

0.36 seg. Los obtenidos bajo la consideración de marco “de cortante” fueron: T1 = 2.52 seg, T2 = 0.86 seg,

T3 = 0.51 seg, y T4 = 0.35 seg. Las amplitudes normalizadas de las formas modales obtenidas por ambos

procedimientos mostraron muy buena concordancia por lo cual, en la figura 7, sólo se grafican las formas de

los tres primeros modos obtenidas con el programa SAP-2000.

CONCLUSIONES

1. Además de su indiscutible valor didáctico, el método del Ing. Garza Tamez tiene las siguientes ventajas con

respecto a otros métodos numéricos semejantes para el análisis de marcos planos sujetos a cargas laterales: a)

convergencia rápida para la mayoría de las estructuras comunes; b) en el proceso iterativo se trabaja

únicamente con las trabes; c) sencillez de las operaciones que se efectúan, así como del registro de las

Figura 8: Amplitudes normalizadas de los tres primeros modos de vibración del edificio en estudio

11


mismas; d) errores cometidos durante el proceso iterativo se corrigen automáticamente, y no afectan los

resultados finales; e) el cálculo de las flexibilidades de entrepiso es muy simple, y directa a partir de los

resultados del proceso iterativo.

2. La comparación de los resultados obtenidos de los análisis practicados al marco plano del ejemplo

ilustrativo mediante el método del Ing. Garza Tamez, con los obtenidos mediante el programa SAP-2000,

evidenció muy buena concordancia para las respuestas evaluadas.

REFERENCIAS Y BIBLIOGRAFÍA

Bazán, E. y Meli, R. (1985), “Manual de diseño sísmico de edificios”. Editorial Limusa. México

Bazán, E. y Meli, R. (2004), “Diseño sísmico de edificios”. Editorial Limusa Noriega. México

Garza-Tamez, F. (1968), “Método para el cálculo de marcos rígidos sujetos a cargas transversales”,

Memorias del Segundo Congreso Nacional de Ingeniería Sísmica. Sociedad Mexicana de Ingeniería Sísmica.

Veracruz, Ver., México

Kloucek, C.V. (1955). “Distribution of deformation. A new method of structural analysis”. Ed. Artia.

Praga, República Checa (antes Checoslovaquia)., pp. 386-400

Ramírez, E. (1974). “Análisis de reticulados hiperestáticos. Método de los desplazamientos”. Editorial

Pueblo y Educación. Ministerio de Educación Superior. La Habana, República de Cuba., pp. 225-226.

Rosenblueth, E. y Esteva, L. (1962), “Diseño sísmico de edificios. Folleto complementario al proyecto de

reglamento de construcciones del Distrito Federal”. Ediciones Ingeniería. México.

Silva, F., y Garza-Tamez, F. (2004), “El aislamiento sísmico pendular: una alternativa para la mitigación

de daños por sismo”, Memorias del XIV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural. Sociedad Mexicana

de Ingeniería Estructural. Acapulco, Gro., México

SEMBLANZA

El Ingeniero Federico Garza Tamez, miembro honorario de la Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural,

nació en Monterrey, N.L. el 31 de Mayo de 1923. Cursó sus estudios profesionales de 1940 a 1945, y el 18 de

Julio de 1947 obtuvo el título de Ingeniero Civil de la Universidad de Nuevo León. A partir de su recepción

profesional, inicia una continua, ascendente y muy destacada carrera como docente e investigador. Además,

su participación en cargos públicos, y en el ejercicio privado de su profesión como consultor en ingeniería

estructural, dan testimonio de la preocupación que siempre tuvo por extender, más allá de las aulas, su

vocación de servicio hacia los demás.

Entre las cátedras impartidas por el Ingeniero Garza Tamez destacan las de Cálculo Diferencial, Cálculo

Integral, Ecuaciones Diferenciales, Estructuras Indeterminadas y Estructuras de Concreto; sin embargo, sus

enseñanzas nunca se limitaron al salón de clase, sino que ejerció el arte de enseñar en todo momento: en la

consulta, al dictar una conferencia, en sus escritos y artículos, en conversaciones con él en los corredores de

la facultad y hasta en la charla de sobremesa. La dedicación que brindó a sus alumnos, nunca descuidó ningún

aspecto fundamental para la formación de un ingeniero, tanto en lo referente a los conocimientos y aptitudes

propias de la profesión, como en las actitudes indispensables para ser personas útiles a la sociedad. Además,

fue poseedor de la habilidad de sugerir y de despertar la curiosidad intelectual en sus alumnos y

colaboradores.


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El Ingeniero Garza Tamez fue director de la Facultad de Ingeniería Civil de la Universidad de Nuevo León de

1954 a 1958; miembro del Honorable Consejo Universitario de 1954 a 1966 y miembro de la Comisión de

Hacienda de 1971 a 1973. Durante su gestión como director, estableció en 1955 los primeros laboratorios de

la Facultad, cuyo más sazonado fruto es el actual Instituto de Ingeniería Civil de la Universidad Autónoma de

Nuevo León. Resulta interesante mencionar que, en ese mismo año de 1955, fue creado el Instituto de

Ingeniería de la Universidad Nacional Autónoma de México.

La labor del ingeniero Garza Tamez en el campo de la investigación científica fue constante y extensa,

impulsada por una visión creativa de alta efectividad. Sería largo mencionar todo lo que realizó, por lo cual

sólo subrayaremos los dos trabajos más notables dentro del contexto de éste XVI congreso de ingeniería

estructural: a) el desarrollo de un sistema de aislamiento sísmico de base, de acción pendular, el cual es muy

eficiente tanto en regiones de periodos largos, —como la ciudad de México—, como en regiones de priodos

cortos; y b) el desarrollo original del método numérico para análisis de marcos sujetos a cargas laterales, el

cual es motivo de éste artículo.

Entre los trabajos de consultoría en ingeniería estructural, y en general en el ramo de la construcción, realizó

más de doscientas edificaciones y obras, entre las cuales destacan el puente sobre el río Santa Catarina que

une las colonias Del Valle y Miravalle, el estadio universitario, el templo del Perpetuo Socorro, entre otras.

Asimismo, fungió como director de construcción y asesor en ingeniería estructural para importantes empresas

comerciales e inmobiliarias tales como Salinas y Rocha, S.A., e Inmobiliaria Nuevo León, S.A.

Nada puede hablar mejor de la honradez en su trabajo que su trayectoria como Director de Planificación y

como Director de Urbanización del Estado de Nuevo León durante varios períodos gubernamentales, de 1956

a 1967 y de 1967 a 1969 respectivamente. Esta larga permanencia en una dependencia oficial, desempeñando

una labor sumamente difícil por la existencia de tantos intereses creados por los distintos sectores de la

sociedad, durante la cual nunca se le reprochó absolutamente nada —ni a su competencia profesional ni a su

conducta ética—, es todo un precedente y un ejemplo.

El Ingeniero Federico Garza Tamez falleció el 22 de Julio del presente año 2008, en su ciudad natal,

Monterrey, Nuevo León.

AGRADECIMIENTOS

Los autores agradecen la participación de los ingenieros Walter OmarVélez Rodríguez y Saúl García Santana,

alumnos del programa de maestría en ingeniería estructural de la Facultad de Ingeniería Civil de la

Universidad Autónoma de Nuevo León, en la ejecución de los cálculos numéricos correspondientes al

ejemplo ilustrativo incluido en este artículo.

<

S 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

12200

3,4 3,4 3,4 3,1 3,9 3,2 3,2 3,2 3,2 3,2 3,2 3,2 3,2 3,2 3,2 3,2 3,2 3,2 3,2 3,2 3,25.549 3.536 3.808 7.725 6.963 6.963 6.963 6.963 6.963 6.963 6.963 6.963 6.963 6.963 6.963 6.963 6.963 6.963 6.963 3.482

294 287 301 318 189,4 244,2 193,6 193,6 134 134 92,2 92,2 82,95 82,95 48,68 48,68 23,7 23,7 7,53 7,53 3,56

29 4,7

3,3

8,5

7,5

7,5

7,5

7,5

7,5

7,5

7,5

7,5

7,5

7,5

7,5

7,5

7,5

7,5

7,5

7,5

8,5

0,825 5,337 8,030 1,853 2,732 2,166 2,166 1,499 1,499 1,031 1,031 0,928 0,928 0,545 0,545 0,265 0,265 0,084 0,084 0,0400,845 5,089 7,601 3,110 2,119 2,732 2,166 2,166 1,499 1,499 1,031 1,031 0,928 0,928 0,545 0,545 0,265 0,265 0,084 0,084 0,035

∞ 2,670 11,426 16,631 5,963 5,850 5,897 5,331 4,664 3,998 3,530 3,063 2,959 2,856 2,472 2,089 1,810 1,530 1,349 1,168 1,124 1,035∞ 0,072 0,321 1,347 0,317 0,463 0,406 0,464 0,375 0,425 0,337 0,349 0,325 0,375 0,261 0,301 0,173 0,196 0,072 0,075 0,038

Indeterm 1,906 0,665 0,187 0,355 0,467 0,367 0,406 0,321 0,375 0,292 0,337 0,314 0,325 0,220 0,261 0,146 0,173 0,062 0,072 0,031

168 160 126 335 175 220 220 318 318 463 463 514 514 876 876 1.800 1.800 5.666 5.666 11.985

218.527 218.527 209.093 185.163 225.521 172.683 161.542 150.402 139.261 128.120 116.979 105.838 94.698 83.557 72.416 61.275 50.134 38.994 27.853 16.712 5.571-163.718 -37.427 -23.706 -68.874 -68.068 -56.676 -58.514 -62.100 -66.883 -69.429 -72.753 -67.768 -62.420 -63.086 -63.997 -61.565 -58.246 -49.540 -38.140 -19.824 -5.384-437.053 -427.620 -394.256 -410.684 -398.205 -334.226 -311.944 -289.662 -267.381 -245.099 -222.818 -200.536 -178.254 -155.973 -133.691 -111.410 -89.128 -66.846 -44.565 -22.283 -5.571

-672.233 -266.770 -297.319 -729.312 -364.437 -356.209 -313.388 -293.216 -268.530 -248.164 -223.205 -201.688 -179.442 -159.629 -134.608 -114.926 -89.646 -69.838 -44.642 -23.357 -6.241-616.199 -237.374 -227.616 -632.592 -459.646 -344.025 -322.804 -294.414 -270.170 -248.985 -224.346 -202.009 -180.037 -160.306 -135.657 -115.294 -90.275 -69.953 -44.858 -23.364 -6.283-573.374 -214.908 -199.925 -534.967 -449.082 -386.997 -319.729 -299.028 -270.927 -249.807 -224.776 -202.468 -180.232 -160.587 -135.919 -115.622 -90.361 -70.078 -44.868 -23.380 -6.283-546.946 -201.044 -183.731 -486.923 -418.820 -388.392 -336.852 -298.208 -272.816 -250.230 -225.123 -202.674 -180.412 -160.681 -136.015 -115.710 -90.421 -70.095 -44.877 -23.381 -6.283-530.717 -192.530 -173.801 -457.615 -397.712 -375.769 -340.649 -306.162 -272.830 -251.088 -225.316 -202.824 -180.503 -160.756 -136.048 -115.741 -90.438 -70.107 -44.878 -23.381 -6.283-520.623 -187.234 -167.602 -439.077 -383.177 -364.516 -336.632 -308.895 -275.849 -251.187 -225.634 -202.910 -180.565 -160.795 -136.070 -115.752 -90.444 -70.110 -44.879 -23.382 -6.283-514.265 -183.899 -163.684 -427.214 -373.284 -355.900 -331.501 -307.516 -277.363 -252.490 -225.708 -203.032 -180.601 -160.821 -136.082 -115.759 -90.446 -70.111 -44.879 -23.382 -6.283-510.221 -181.777 -161.184 -419.569 -366.616 -349.665 -327.003 -305.062 -277.137 -253.265 -226.161 -203.072 -180.646 -160.836 -136.090 -115.763 -90.447 -70.112 -44.879 -23.382 -6.283-507.626 -180.416 -159.577 -414.616 -362.153 -345.291 -323.503 -302.677 -276.215 -253.261 -226.477 -203.236 -180.664 -160.854 -136.094 -115.765 -90.448 -70.112 -44.879 -23.382 -6.283-505.951 -179.537 -158.538 -411.395 -359.178 -342.279 -320.930 -300.719 -275.179 -252.882 -226.518 -203.363 -180.720 -160.862 -136.099 -115.767 -90.448 -70.112 -44.879 -23.382 -6.283-504.865 -178.967 -157.863 -409.293 -357.202 -340.230 -319.103 -299.232 -274.267 -252.408 -226.401 -203.393 -180.769 -160.884 -136.102 -115.768 -90.449 -70.112 -44.879 -23.382 -6.283-504.157 -178.596 -157.423 -407.918 -355.890 -338.848 -317.831 -298.151 -273.545 -251.970 -226.229 -203.357 -180.785 -160.903 -136.108 -115.769 -90.449 -70.112 -44.879 -23.382 -6.283-503.695 -178.354 -157.135 -407.017 -355.022 -337.920 -316.960 -297.388 -273.006 -251.615 -226.060 -203.294 -180.775 -160.910 -136.113 -115.771 -90.449 -70.112 -44.879 -23.382 -6.283-503.392 -178.195 -156.946 -406.425 -354.447 -337.301 -316.368 -296.859 -272.619 -251.345 -225.919 -203.229 -180.754 -160.907 -136.115 -115.772 -90.449 -70.112 -44.879 -23.382 -6.283-503.194 -178.091 -156.823 -406.037 -354.067 -336.888 -315.969 -296.497 -272.347 -251.148 -225.808 -203.172 -180.730 -160.899 -136.115 -115.773 -90.450 -70.112 -44.879 -23.382 -6.283-503.064 -178.023 -156.742 -405.781 -353.816 -336.614 -315.702 -296.251 -272.159 -251.009 -225.727 -203.127 -180.709 -160.890 -136.113 -115.773 -90.450 -70.112 -44.879 -23.382 -6.283-502.978 -177.978 -156.688 -405.613 -353.650 -336.432 -315.524 -296.086 -272.031 -250.912 -225.669 -203.093 -180.691 -160.881 -136.110 -115.772 -90.450 -70.112 -44.879 -23.382 -6.283-502.922 -177.948 -156.653 -405.502 -353.541 -336.312 -315.405 -295.975 -271.944 -250.846 -225.628 -203.069 -180.678 -160.874 -136.108 -115.771 -90.450 -70.112 -44.879 -23.382 -6.283-502.885 -177.929 -156.630 -405.429 -353.469 -336.232 -315.326 -295.901 -271.885 -250.800 -225.600 -203.051 -180.668 -160.869 -136.106 -115.771 -90.450 -70.112 -44.879 -23.382 -6.283-502.860 -177.916 -156.615 -405.380 -353.421 -336.179 -315.273 -295.852 -271.846 -250.770 -225.580 -203.039 -180.661 -160.865 -136.104 -115.770 -90.449 -70.112 -44.879 -23.382 -6.283-502.844 -177.908 -156.605 -405.349 -353.389 -336.144 -315.239 -295.819 -271.820 -250.750 -225.567 -203.031 -180.656 -160.862 -136.103 -115.770 -90.449 -70.112 -44.879 -23.382 -6.283-502.833 -177.902 -156.598 -405.328 -353.368 -336.121 -315.216 -295.797 -271.803 -250.736 -225.559 -203.025 -180.653 -160.860 -136.102 -115.769 -90.449 -70.112 -44.879 -23.382 -6.283-502.826 -177.898 -156.594 -405.314 -353.355 -336.106 -315.200 -295.783 -271.791 -250.727 -225.553 -203.022 -180.651 -160.858 -136.101 -115.769 -90.449 -70.112 -44.879 -23.382 -6.283-502.822 -177.896 -156.591 -405.305 -353.346 -336.096 -315.190 -295.774 -271.783 -250.721 -225.549 -203.019 -180.649 -160.857 -136.101 -115.769 -90.449 -70.112 -44.879 -23.382 -6.283-502.819 -177.894 -156.589 -405.299 -353.340 -336.089 -315.184 -295.767 -271.778 -250.717 -225.546 -203.018 -180.648 -160.857 -136.101 -115.769 -90.449 -70.112 -44.879 -23.382 -6.283-502.817 -177.893 -156.588 -405.295 -353.336 -336.085 -315.179 -295.763 -271.775 -250.714 -225.545 -203.016 -180.647 -160.856 -136.100 -115.769 -90.449 -70.112 -44.879 -23.382 -6.283-502.815 -177.892 -156.587 -405.292 -353.333 -336.082 -315.176 -295.760 -271.773 -250.712 -225.543 -203.016 -180.647 -160.856 -136.100 -115.769 -90.449 -70.112 -44.879 -23.382 -6.283-502.815 -177.892 -156.586 -405.291 -353.331 -336.080 -315.174 -295.759 -271.771 -250.711 -225.543 -203.015 -180.647 -160.856 -136.100 -115.768 -90.449 -70.112 -44.879 -23.382 -6.283-502.814 -177.892 -156.586 -405.289 -353.330 -336.079 -315.173 -295.757 -271.770 -250.710 -225.542 -203.015 -180.646 -160.856 -136.100 -115.768 -90.449 -70.112 -44.879 -23.382 -6.283-502.814 -177.892 -156.586 -405.289 -353.329 -336.078 -315.172 -295.757 -271.770 -250.710 -225.542 -203.015 -180.646 -160.856 -136.100 -115.768 -90.449 -70.112 -44.879 -23.382 -6.283-502.813 -177.891 -156.585 -405.288 -353.329 -336.078 -315.172 -295.756 -271.769 -250.710 -225.542 -203.014 -180.646 -160.856 -136.100 -115.768 -90.449 -70.112 -44.879 -23.382 -6.283-502.813 -177.891 -156.585 -405.288 -353.329 -336.077 -315.171 -295.756 -271.769 -250.709 -225.541 -203.014 -180.646 -160.856 -136.100 -115.768 -90.449 -70.112 -44.879 -23.382 -6.283-502.813 -177.891 -156.585 -405.288 -353.328 -336.077 -315.171 -295.755 -271.769 -250.709 -225.541 -203.014 -180.646 -160.856 -136.100 -115.768 -90.449 -70.112 -44.879 -23.382 -6.283-502.813 -177.891 -156.585 -405.288 -353.328 -336.077 -315.171 -295.755 -271.769 -250.709 -225.541 -203.014 -180.646 -160.856 -136.100 -115.768 -90.449 -70.112 -44.879 -23.382 -6.283-502.813 -177.891 -156.585 -405.287 -353.328 -336.077 -315.171 -295.755 -271.768 -250.709 -225.541 -203.014 -180.646 -160.856 -136.100 -115.768 -90.449 -70.112 -44.879 -23.382 -6.283-502.813 -177.891 -156.585 -405.287 -353.328 -336.077 -315.171 -295.755 -271.768 -250.709 -225.541 -203.014 -180.646 -160.856 -136.100 -115.768 -90.449 -70.112 -44.879 -23.382 -6.283

-424.790 -490.550 -240.822 -3.151 2.247 47.123 45.272 42.046 35.953 31.566 25.956 23.232 20.754 18.363 13.480 11.071 6.712 5.391 2.125 1.811 712

643.317 709.077 449.915 188.314 223.275 125.560 116.270 108.356 103.308 96.554 91.023 82.606 73.943 65.194 58.936 50.204 43.422 33.602 25.727 14.901 4.859-206.264 -272.024 -31.728 182.012 227.768 219.806 206.815 192.447 175.214 159.686 142.935 129.071 115.452 101.919 85.896 72.346 56.847 44.385 29.978 18.523 6.283

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

19,120035 31,698117 41,796539 20,945063 33,7155 27,19079 27,389138 19,32498 19,337455 13,596245 13,527902 12,277375 12,376566 7,6987135 7,7146496 4,271308 4,2747607 2,0432214 2,0321033 1,6191872

0,0032089 0,0050724 0,0052629 0,0070084 0,0058908 0,0059925 0,0060362 0,0061532 0,0061572 0,0062918 0,0062602 0,0063151 0,0063661 0,0067477 0,0067617 0,0076896 0,0076958 0,0115773 0,0115144 0,019406

311.635 197.145 190.009 142.686 169.757 166.876 165.668 162.516 162.411 158.936 159.739 158.351 157.082 148.198 147.892 130.047 129.941 86.376 86.848 51.530Rigidez de entrepiso (t/cm)

fij / [ 1 + fji + fjk ] (der inf) fij / [ 1 + fji + fjk ] (der inf)

106 (H3 / 12EI ) (cm/t)

Momento de empotramiento en columnas (kg-m) Momento en columnas

Momento inicial Momento inicial

Coeficiente de flexibilidad

Flexibilidad de entrepiso (cm/t)

Momento Fijo Momento Fijo

Factores f (der inf) Factores f (der inf)

1 + fji + fjk 1 + fji + fjk fij / [ 1 + fji + fjk ] (izq sup) fij / [ 1 + fji + fjk ] (izq sup)

Rigidez relativa en columnas

Rigidez relativa en trabes Rigidez relativa en trabes

Factores f (izq sup) Factores f (izq sup)

Coeficiente de flexibilidad

Flexibilidad de entrepiso (cm/t)

Rigidez de entrepiso (t/cm)

Nivel Nivel

Alturas de entrepiso (m) Alturas de entrepiso (m)Carga de viento por nivel (kg) Carga de viento por nivel (kg)Rigidez relativa en columnas

sociedad mexicana de ingeniería estructural … · anteriores, son el de grinter-tsao, el de...

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