softwaretechnologie ii (teil 1): simulation und 3d programmierung manfred thaller ws 2012/2013...
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Softwaretechnologie II (Teil 1):Simulation und 3D ProgrammierungManfred ThallerWS 2012/2013
3D-Grafik: Mathe
Linda Scholz
Was ist 3D Grafik?
Vektoren Matrizen Aufbau Direct3D – Zuständigkeitsbereich
Schnittstellen Ebenen Farbgebung
Zweidimensionales kartesisches Koordinatensystem
Dreidimensionales kartesisches Koordinatensystem
Darstellung dreidimensionaler Objekte
Abbildung auf dem Bildschirmdurch Projektion Bildtiefe wird vermittelt
Einsatz von Polygongrafik Verbindung von Bildpunkten zu
mehreren Dreiecken Annährung an den „perfekten“ Körper Durchschnittliche Größenordnung zur Annährung
liegt bei 10.000 Polygonen
Vektoren
Positionsvektoren Koordinaten eines Punktes
Richtungsvektor Gibt Bewegungsrichtung an In Kombination mit der Geschwindigkeit auch
Bewegungsvektoren genannt Vektorkomponenten vom Blickwinkel des
Betrachters abhängig
Rechenoperationen
Grundrechenarten zur Bewegung, Verlängerung oder Stauchung
Punktprodukt / Skalarprodukt Bestimmt Kosinus eines Winkel zwischen zwei
Richtungsvektoren Kreuzprodukt
Steht senkrecht auf den Vektoren aus denen es gebildet wurde
Rechenoperationen
Länge eines Vektors / Distanz zwischen zwei Punkten Berechnung durch Satz des Pythagoras
Normalisierte Vektoren (Richtungsvektoren) Länge 1 – pure Richtungsangabe Bewegungsvektor wird durch seine Länge geteilt Verhindert unerwartete Werte Wichtig bei Berechnung des Punktprodukts
Implementierte Klasse : tbVector3 TBVECTOR3.H
Deklaration und Inline-Methoden TBVECTOR3.CPP
Definition / Implementierung Variablen
Drei float Variablen für die Komponenten x, y, z
Programmierung einer Vektorklasse
Konstruktoren
Standardkonstruktor Kopierkonstruktor
Erwartet Referenz auf ein anderes tbVector3-Objekt Kopiert den angegeben Vektor
Konstruktor Setzt Vektorkomponenten ein
Operatoren
Arithmetische Operatoren lassen sich komponentenweise durchführen
Bsp:
inline tbVector3 operator * (const tbVector3& a,
const tbVector3& b)
{
return tbVector3(a.x * b.x, a.y * b.y, a.z * b.z);
}
Operatoren
Zuweisungsoperatoren Werden innerhalb der Klasse definiert
Vergleichsoperatoren Überprüfung zur Gleichheit bzw. Ungleichheit
zweier Vektoren
D3DVECTOR
Struktur zur Darstellung von Vektoren Wird von Direct3D verwendet Identisch mit tbVector3 Verbindung zur tbVector3 Klasse durch Casting
operator D3DVECTOR& ()
{
return *((D3DVECTOR*)(this));
}
3D Spieleprogrammierung Seite 56
Hilfsfunktionen
Vektorlänge und Quadrat der Vektorlänge tbVector3Length tbVector3LengthSq
inline float tbVector3Length(const tbVector3& v)
{
return sqrtf(v.x * v.x + v.y * v.y + v.z * v.z);
}
Hilfsfunktionen
Normalisieren eines Vektors tbVector3Normalize Teilt Vektor durch seine Länge
inline tbVector3NormalizeEX(const tbVector3& v)
{
return v / (sqrtf(v.x * v.x + v.y * v.y + v.z * v.z) + 0.0001f);
}
Wenn man nicht sicher ist ob der Vektor die Länge null hat, erreicht man durch Addition eines Kontrollwerts „sicheres“ Normalisieren
Hilfsfunktionen
Das Kreuzprodukt tbVector3Cross
inline tbVector3 tbVectorCross(const tbVector3& a,
const tbVector3& b)
{
return tbVector3(a.y * b.z - a.z * b.y,
a.z * b.x - a.x * b.z,
a.x * b.y - a.y * b.x);
}
Hilfsfunktionen
Punktprodukt tbVector3Dot (berechnet lediglich Punktprodukt) Seite 59
tbVector3Angle rechnet Kosinuswert zusätzlich um
inline float tbVector3Angle(const tbVector3& a,
const tbVector3& b)
{
return acosf((a.x * b.x + a.y * b.y + a.z * b.z) / //Punktprodukt
sqrtf((a.x * a.x + a.y * a.y + a.z * a.z) * //Vektorlänge
(b.x * b.x + b.y * b.y + b.z * b.z)));
}
Man erhält Kosinuswert des Winkels
Durch ArcusFunktion
Hilfsfunktionen
Minimum- und Maximumvektoren Geben Minimum- bzw. Maximumvektor mehrerer
Vektoren an tbVector3Min bzw. tbVector3Max
Zufallsvektoren Liefert zufälligen normalisierten Vektor tbVector3Random Funktion für die Richtung : tbFloatRandom Einsatz für Explosionen, Rauch, etc.
Hilfsfunktionen
Lineare Interpolation Positionsbestimmung eines Objekts zu einer
gewissen Zeit Start- und Zielpunkt sind bekannt tbVector3InterpolateCoords Seite 61
Interpoliert man Normalenvektoren ist das Ergebnis nicht gleichzeitig auch ein Normalenvektor
tbVector3InterpolateNormale (Interpoliert und normalisiert)
tbVector3InterpolateNormalizeEx (Interpoliert, normalisiert und prüft ob Vektor die Länge null hat)
Hilfsfunktionen
inline tbVector3 tbVector3InterpolateNormal(const tbVector3& a,
const tbVector3& b,
const float s)
{
return tbVector3NormalizeEx(a + s * (b – a));
}
Hilfsfunktionen
Zur Überprüfung ist es hilfreich, wenn man Vektoren ins Logbuch schreibt tbWriteVector3ToLog
Übersicht der Hilfsfunktionen für Vektoren und Beispielcode auf Seite 63
Für die Arbeit mit 2D-Vektoren gibt es die Klasse tbVector2 mit 2D Funktion ähnlich zu den gerade kennengelernten
Matrizen
Matrix = rechteckige Anordnung von Zahlen
Verschiedene Menge Zeilen und Spalten
IdentitätsmatrixVerkörpert das neutrale Element
Rechenoperationen
Multiplikation von Matrizen
Spaltenanzahlvon Matrize Amuss mit Zeilenanzahlvon Matrize Bidentisch sein
Matrizen dividieren
Division durch Multiplikation mit dem Kehrwert Kehrwert ist das inverse Element – bei einer
Matrix muss es die Identitätsmatrix ergeben Invertierte Matrix bringt man durch Exponenten
-1 zum Ausdruck
Transformationen
Verschiebung Rotation Skalierung Man betrachtet Vektoren als Matrix mit Zeilen
und Spalten Man geht von absoluten Koordinaten mit dem
Objektmittelpunkt (0, 0, 0) aus
Transformationsmatrix
Transformationsmatrix verwendet 4 Spalten und 4 Zeilen
Verbleibende Zeilefüllt man mit einer 1 (w Koordinate)
Resultierende w Koordinate muss 1 sein. Ist dies nicht der Fall teilt man alle Komponenten durch sie
Transformationen
Translationsmatrix Verschiebt einen Vektor Simple Vektoraddition
Xp = xm*C11 + ym*C21 + zm*C31 + C41
Matrixelement C41 fließt „nur“ durch Addition ein Bei Yp C42 und bei Zp C43 Füllt man diese Elemente (innerhalb einer
Identitätsmatrix) aus, wird eine Translation durchgeführt
Transformation
Skalierungsmatrix Skalierung bedeutet Multiplikation eines Vektors Man nutzt die Identitätsmatrix Xo = x*Sx + y*0 + z*0 + 0 Es finden lediglich Multiplikationen der
einzelnen Komponenten statt
Transformationen
Rotationsmatrizen Gleichung zur Drehung eines Punktes um den
Koordinatenursprung: x = (x * cos α) + (y * (- sin α))
y = (x * sin α) + (y * cos α) Dieses Verfahren kann man auf die Rechnung mit
der Matrix anwenden Es muss beachtet werden, welche Komponenten
angesprochen werden
Transformationen von Richtungsvektoren
Können nicht verschoben werden (haben keine Position, beschreiben lediglich eine Richtung)
Bei einer Transformation müssen die m und n Werte vertauscht werden (transformierte invertierte Transformationsmatrix)
Transformationen
Man kann innerhalb einer Matrix mehrere Funktionen (Translation, Skalierung, Rotation) vieler Matrizen vereinen
Reihenfolge ist wichtig Skalierung Rotation Translation
Matrix als Koordinatensystem
Um eine Matrix zu erhalten die einen Punkt in ein anderes Koordinatensystem umrechnet, muss eine Translation um den Ursprung stattfinden
Um Koordinatensystemmatrix zu erhalten muss man Rotationsmatrix mit Translationsmatrix multiplizieren
Projektionsmatrix
Projektion eines dreidimensionalen Vektors auf eine Ebene (Bildschirm)
Dreiecke die vor oder hinter einer gewissen Ebene (nahe und ferne Clipping-Ebene) werden nicht mehr dargestellt Entfernung der Clipping Ebene Blickfeld des Betrachters Seitenverhältnisse des Bildes
Projektionsmatrix
Projektionsmatrize bestimmt das Sichtfeld des Betrachters
Sichtfelder – Clipping Ebenen
Kameramatrix
Virtueller Beobachter lässt sich in 3D Szene einfügen Position und Ausrichtung muss bekannt sein
- Blickpunkt der Kamera Nach-oben-Vektor –Kamerabewegung Dreht man Kamera nach links werden
Objektvektoren nach rechts bewegt Man wendet Kameramatrix vor Projektions- und
nach Transformationsmatrizen an beinhaltet eigenes Koordinatensystem
Implementierung
• Variablen der Klasse tbMatrix
• 16 float Variablen (m11 bis m44)
• Konstruktoren
• Standardkonstruktor
• Kopierkonstruktor mit Referenz auf eine andere Matrix. Kopiert die angegebene Matrix
• Konstruktor der die Werte der float-Parameter in die Matrix hineinkopiert
Operatoren
• Addition und Subtraktion sind identisch zur Vektorklasse
• Divisionsoperator invertiert rechte Matrix und multipliziert linke damit
• tbMatrixInvert
• tbMatrixTranspose
• Multiplikation ist recht komplex
Operatoren
inline tbMatrix operator * (const tbMatrix& a,
const tbMatrix& b)
{
return tbMatrix(b.m11 * a.m11 + b.m21 * a.m12 + b.m31 * a.m13 + b.m41 * a.m14,
b.m12 * a.m11 + b.m22 * a.m12 + b.m32 * a.m13 + b.m42 * a.m14,
b.m13 * a.m11 + b.m23 * a.m12 + b.m33 * a.m13 + b.m43 * a.m14,
[…]
[…]
[…] );
}
• Es lohnt sich auf vorhandene CPU-Features zurückzugreifen
Zugriffsoperatoren
• Zur Übergabe von Variablen benötigt man ein zweidimensionales Array
class TRIBASE_API tbMatrix{public:
union{
struct {
float m11, m12, m13, m14, //Elemente der Matrixm21, m22, m23, m24,m31, m32, m33, m34,m41, m42, m43, m44;
}float m[4] [4]; //Zweidimensionales Array
};[…]
Zugriffsoperatoren
• Durch Überladen des „()“-Operators der tbMatrix-Klasse kann man Elemente einzeln ansprechen
class TRIBASE_API tbMatrix{public:
[…] //Zugriffsoperatorenfloat& operator () (int iRow, int iColumn) {return m[iRow - 1] [iColumn - 1];}float operator () (int iRow, int iColumn) const {return m[iRow - 1] [iColumn - 1];}};
tbMatrix m; //Matrixelemente lassen sich einzeln verändernm(1, 3) = 100.0f; m(2, 1) = -50.0f;
float f = m(1, 2); // zur allgemeinen Abfrage
Implementierung
• Identitätsmatrix und Translationsmatrix lassen sich leicht erzeugen
TRIBASE_API tbMatrix tbMatrixTranslation (const tbVector3& v){
return tbMatrix (1.0f, 0.0f, 0.0f, 0.0f,
0.0f, 1.0f, 0.0f, 0.0f,
0.0f, 0.0f, 1.0f, 0.0f,
v.x, v.y, v.z, 1.0f);
• Identitätsmatrix wird durch tbMatrixIdentity erzeugt, in dem man die ersten drei Zeichen der letzten Zeile auf 0.0f setzt.
Implementierung
• Rotationsmatrix
• Man kann Rotation für alle Achsen separat vornehmen Seite 79-80
• tbMatrixRotationX
• tbMatrixRotationY
• tbMatrixRotationZ
• Sinus- und Kosinuswerte müssen nur einmal berechnet werden.
Implementierung
• Rotation um alle drei Achsen
TRIBASE_API tbMatrix tbMatrixRotation (const tbVector3& v)
{
return tbMatrixRotationZ(v.z) * tbMatrixRotationX(v.x) * tbMatrixRotationY(v.y);
}
• Rotation um eine beliebige Achse ebenfalls möglich Seite 81
• tbMatrixRotationAxis
Implementierung
• Skalierungsmatrix
TRIBASE_API tbMatrix tbMatrixScaling (const tbVector3& v)
{
return tbMatrix(v.x, 0.0f, 0.0f, 0.0f,
0.0f, v.y, 0.0f, 0.0f,
0.0f, 0.0f, v.z, 0.0f,
0.0f, 0.0f, 0.0f, 1.0f);
}
Weitere Hilfsfunktionen
• tbMatrixAxes
• Man übergibt Achsenvektoren zur Berechnung der Achsenmatrix
• Ausgabe der Ausrichtung eines Objekts
• tbMatrixDet
• Bestimmt Determinante einer Matrix
• tbMatrixInvert
• Invertiert angegebene Matrix
• tbMatrixTranspose
• Transponiert eine Matrix
Weitere Hilfsfunktionen
• tbMatrixcamera
• Kameramatrix berechnen durch Positionsvektor vPos, Richtungsvektor vLookAt und „Nach-Oben-Vektor“ vUp für Kameradrehung
• Translationsmatrix wird entgegengesetzt der Kameraposition erzeugt
• Achsenvektoren der Kamera in eine Matrix eintragen
• Beide multiplizieren und man erhält die Kameramatrix
• tbMatrixProjection
• Erzeugt eine Projektionsmatrix
Weitere Hilfsfunktionen
• tbVector3TransformCoords
• Positionsvektor mit Matrix multiplizieren
• W-Koordinate wird für den Fall einer Projektion geprüft
• tbVector3TransformNormal
• Richtungsvektor mit Matrix multiplizieren
• Transponierte invertierte Matrix wird benötigt
• Transformierter Vektor soll selbe Länge wie Originalvektor erhalten
• Hierfür wird ursprüngliche Länge gespeichert
Hilfsfunktionen
Auch die Matrix kann man ins Logbuch schreiben tbWriteMatrixToLog
Übersicht der Hilfsfunktionen für Matrizen und Beispielcode auf Seite 87
Für die Transformation von 2D-Vektoren gibt es die Funktionen tbVector2TransformNormal und tbVector2TransformCoords
Ebenen
Ebenengleichung
• Bestimmt die Menge der Punkte aus denen eine Ebene besteht
• Stützvektor
• Liegt in der Ebene
• Normalenvektor
• Steht senkrecht auf der Ebene
• Verbindet man einen Punkt mit dem Stützvektor muss der Verbindungsvektor senkrecht zum Normalenvektor stehen
Lage eines Punktes
• Durch Ebenengleichung lässt sich herausfinden ob ein Punkt auf der Ebene liegt (Ergebnis null)
• Ist das Ergebnis positiv, liegt der Punkt auf der Vorderseite (sichtbaren Seite) einer Ebene
• Ist das Ergebnis negativ, liegt der Punkt auf der Rückseite (nicht sichtbaren Seite) einer Ebene
• Ergebnis der Ebenengleichung wird mit Normalenvektor dividiert um Entfernung des Punktes zu der Ebene herauszufinden.
Implementierung
• tbPlane
• Vier Variablen (Fließkommazahlen) a, b, c und d
• Zusätzlich eine tbVector3-Variable n (Normalenvektor)
• Kopierkonstruktor
• Leerer Konstruktor
• Konstruktor der vier float-Werte erwartet
• Konstruktor, der tbVector3-Wert und einen float-Wert erwartet
• Operatoren gibt es nicht
Hilfsfunktionen
• tbPlaneNormalize
• Normalisiert Ebenen
• tbPlaneDotNormal
• Punktprodukt aus einem Vektor und dem Normalenvektor aus der Ebene
• tbPlaneDotCoord
• Soll Punkt in Ebenengleichung einsetzen und das Ergebnis zurückliefern
• tbPointPlaneDistance
• Distanz eines Produkts zur Ebene
Hilfsfunktionen
• tbPlaneFromPointNormal
• Erwartet einen Punkt und einen Normalenvektor und liefert die Ebene
• tbPlaneTransform
• Man kann auch Ebenen mit Matrizen transformieren
• tbWritePlaneToLook
• Schreibt eine Ebene in die Logbuchdatei
• Übersicht der Hilfsfunktionen und Beispielcode auf Seite 94
RGB-Farbsystem
• Ehemalige 8-Bit Grafik erschwerte eine ausgewogene Farbgebung
RGB-Farbsystem
• 16-Bit-Grafik
• Darstellung eines Pixels basierte auf dem RGB-System
• 16 Bits aufgeteilt in 5 Rotanteile, 6 Grünanteile und 5 Blauanteile
• 24-Bit-Grafik gefolgt von 32-Bit-Grafik
• Bei 32 Bits bleiben 8 Bits für Farbinformationen wie Transparenz
RGB-Farbsystem
• Die vier Komponenten betrachtet man jeweils als ein Byte
• Bei Direct3D ist es auch möglich Fließkommazahlen (float-Wert) für die einzelnen Farbkomponenten zu verwendet
Implementierung
• Klasse tbColor
• Vier float-Variablen (r, g, b und a – Alpha)
• Konstruktoren:
tbColor a(); //kein Parameter
tbColor b(0.5f); //Fließkommazahl r,g,b bekommen den Wert
tbColor c(0.0f, 1.0f, 0.0f, 0.5f); //float-Werte
tbColor d((BYTE) (0), 255, 0, 128); //Byte-Werte
tbColor e((DWORD) (0xFF00FF80)); //DWORD-Wert
Operatoren
• Addition ergibt additive Mischung zweier Farben
• Multiplikation
• mit positivem Wert über 1 hellt auf
• Mit positivem Wert unter 1 dunkelt ab
Casting
• Farbe in ein DWORD-Wert verwandeln
tbColor Red(1.0f, 0.0f, 0.0f);
DWORD dwRed = (DWORD) (Red); //Casting verwenden
Red = tbColor(dwRed); //Konstruktor verwenden
Weitere Hilfsfunktionen
• tbColorNegate
• Berechnen des Negativs
• tbColorBrightness
• Berechnung der Helligkeit
• tbColorRandom
• Erzeugt Zufallsfarbe
Diese und weitere auf Seite 97