soldovieri c., terenzio introducción a la mecánica de lagrange y hamilton

2011 (Desde el 2009)

S O L D O V I E R I

LA UNIVERSIDAD DEL ZULIA

Introduccin a la Mecnica de

Lagrange y Hamilton

Con numerosos ejemplos y una

presentacin que facilita la

comprensin del contenido.

(EN CONSTRUCCION Y REVISION)

Terenzio Soldovieri C.

www.cmc.org.ve/tsweb

Giuseppe Lodovico Lagrangia ( Joseph Louis Lagrange ) (1736-1813).

Matemtico y astrnomo francs nacido en Turn (Italia), en cuya universidad estudi.

Fue nombrado profesor de geometra en la Academia Militar de Turn a los 19 aos y en 1758

fund una sociedad que ms tarde se convertira en la Academia de Ciencias de Turn. En 1766

fue nombrado director de la Academia de Ciencias de Berln, y 20 aos despus lleg a Pars

invitado por el rey Luis XVI. Durante el periodo de la Revolucin Francesa, estuvo al cargo de

la comisin para el establecimiento de un nuevo sistema de pesos y medidas. Despus de la

Revolucin, fue profesor de la nueva cole Normale y con Napolen fue miembro del Senado y

recibi el ttulo de conde. Fue uno de los matemticos ms importantes del siglo XVIII; cre el

clculo de variaciones, sistematiz el campo de las ecuaciones diferenciales y trabaj en la

teora de nmeros. Entre sus investigaciones en astronoma destacan los clculos de la libracin

de la Luna y los movimientos de los planetas. Su obra ms importante es Mecnica analtica

(1788).

Sir William Rowan Hamilton (1805-1865).

Matemtico y astrnomo britnico, conocido sobre todo por sus trabajos en anlisis de

vectores y en ptica. Naci en Dubln y estudi en el Trinity College. En 1827, sin haber

obtenido su ttulo, fue nombrado profesor de astronoma, y al ao siguiente astrnomo real para

Irlanda. Hamilton pas el resto de su vida trabajando en el Trinity College y en el observatorio

de Dunsink, cerca de Dubln. En el campo de la dinmica, introdujo las funciones de Hamilton,

que expresan la suma de las energas cintica y potencial de un sistema dinmico; son muy

importantes en el desarrollo de la dinmica moderna y para el estudio de la teora cuntica.

SOLDOVIERI C., Terenzio

Licenciado en Fsica

Profesor agregado del Departamento de Fsica

Facultad de Ciencias - La Universidad del Zulia (LUZ)

[email protected]

[email protected]

www.cmc.org.ve/tsweb

INTRODUCCION A LA MECANICA DE

LAGRANGE Y HAMILTONCon numerosos ejemplos y una presentacin que

facilita la comprensin del contenido.

1era edicin (preprint)

(EN CONSTRUCCION Y REVISION)Comenzado en el 2009 - Actualizacin 2011 (versin 26)

Escrito usando LATEX

Copyright c 2011 por Terenzio Soldovieri C.Repblica Bolivariana de Venezuela

? ? ? ? ? ? ??

AgradecimientosAgradezco muy especialmente a los Bachilleres ANDREA ANGELICA VILLA TO-

RREALBA, ANDRES ELOYCOLINA LEON yCESAR ALEJANDRO RODRIGUEZ CASAS, quienesfueron mis alumnos (destacados) en Mecnica Clsica, por su valiosa ayuda en la co-rreccin del presente texto.

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introduccin a la Mecnica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). Repblica Bolivariana de Venezuela, 2011. Pg.: I

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introduccin a la Mecnica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). Repblica Bolivariana de Venezuela, 2011. Pg.: II

Prefacio

El presente texto constituye un intento de ...

III

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introduccin a la Mecnica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). Repblica Bolivariana de Venezuela, 2011. Pg.: IV

NDICE GENERAL

I Fundamentos fsicos y matemticos bsicos para estudiar Mecni-ca de Lagrange y Hamilton 1

1 Dinmica de un sistema de partculas 3

1.1. Sistema de partculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Clasificacin de los sistemas de partculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1. Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2. Continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. Fuerzas en un sistema de partculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.1. Externas e internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Fuerzas externas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Fuerzas internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.2. Aplicadas y de reaccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Aplicadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6De reaccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4. Centro de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4.1. Para un sistema discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4.2. Para un sistema continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.3. Para un sistema compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5. Movimiento del centro de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6. Momento lineal y su conservacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.7. Momento angular y su conservacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.8. Energa y su conservacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.8.1. Energa cintica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

V

NDICE GENERAL

1.8.2. Energa potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.8.3. Conservacin de la energa mecnica . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.9. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2 Definiciones y principios bsicos 39

2.1. Propiedades del espacio y el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.2. Ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.3. Clasificacin de las ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.3.1. Si son o no desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Unilaterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Bilaterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.3.2. Si dependen explcita o implcitamente del tiempo . . . . . . . . . . 46Ligaduras renomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Ligaduras esclernomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.3.3. Por su integrabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Ligaduras holnomas o geomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Ligaduras no-holnomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.4. Fuerza de ligadura y fuerza aplicada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.4.1. Ligaduras lisas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.4.2. Ligaduras rugosas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.5. Dificultades introducidas por las ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.6. Coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.7. Espacio de configuracin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.8. Magnitudes mecnicas en coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . 58

2.8.1. Desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.8.2. Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.8.3. Aceleracin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.8.4. Trabajo mecnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.8.5. Energa cintica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.9. Desplazamiento virtual y trabajo virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.9.1. Desplazamiento virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.9.2. Trabajo virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.10.Algunos principios mecnicos bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.10.1. Principio de los trabajos virtuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.10.2. Principio de DAlembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.10.3. Principio de Hamilton o de accin estacionaria . . . . . . . . . . . . 74

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introduccin a la Mecnica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). Repblica Bolivariana de Venezuela, 2011. Pg.: VI

NDICE GENERAL

3 Clculo variacional con fronteras fijas 77

3.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.2. Clculo de extremales sin restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.2.1. Para una variable dependiente Ecuacin de Euler . . . . . . . . 823.2.2. Para mltiples variables dependientes Ecuaciones de Euler - La-

grange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.3. Clculo de extremales con restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3.3.1. Restricciones del tipo g [yi (x) ; x] = 0 y g [yi (x) ; y0i (x) ; x] = 0 . . . . . . 1023.3.2. Restricciones del tipo isoperimtrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3.4. La notacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4 Transformacin de Legendre 127

4.1. Definicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274.2. Para una variable independiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1304.3. Para ms de una variable independiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1344.4. Variables activas y pasivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1374.5. Algunas propiedades matemticas de la transformacin de Legendre . . 142

4.5.1. La inversa de la transformacin de Legendre . . . . . . . . . . . . . . 1424.5.2. Valores extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1454.5.3. Simetras y relaciones entre derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

4.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

II Mecnica de Lagrange y Hamilton 151

5 Mecnica Lagrangiana 153

5.1. Ecuaciones de Lagrange partiendo del Principio de DAlembert . . . . . . 1545.1.1. Sistemas holnomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

Cuando las ligaduras se usan en forma implcita . . . . . . . . . . . . 157Cuando las ligaduras se usan en forma explcita . . . . . . . . . . . . 158

5.1.2. Sistemas no-holnomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1605.2. Ecuaciones de Lagrange partiendo del Principio de Hamilton . . . . . . . 162

5.2.1. Sistemas holnomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162Cuando las ligaduras se usan en forma implcita . . . . . . . . . . . . 162Cuando las ligaduras se usan en forma explcita . . . . . . . . . . . . 163

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introduccin a la Mecnica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). Repblica Bolivariana de Venezuela, 2011. Pg.: VII

NDICE GENERAL

5.2.2. Sistemas no-holnomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1635.3. Ejemplos con ligaduras holnomas (forma implcita) . . . . . . . . . . . . . 1635.4. Ejemplos con ligaduras holnomas (forma explcita) . . . . . . . . . . . . . 1825.5. Ejemplos con ligaduras semi-holnomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1945.6. Condicin de integrabilidad de las ecuaciones de Lagrange . . . . . . . . 2015.7. Invariancia de las ecuaciones de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2025.8. Equivalencia entre las ecuaciones de Lagrange y de Newton . . . . . . . 2045.9. Momentos generalizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2055.10.Coordenadas cclicas o ignorables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2065.11.Integrales primeras de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2065.12.Integrales primeras de movimiento para un sistema cerrado . . . . . . . . 2085.13.Teoremas de conservacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

5.13.1.Conservacin de la energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2095.13.2.Conservacin del momento generalizado - Conservacin del mo-

mento lineal y angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212Conservacin del momento lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213Conservacin del momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

5.14.Teorema de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2175.15.Mecnica Lagrangiana vs la Newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2205.16.Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

6 Mecnica Hamiltoniana 235

6.1. Ecuaciones de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2376.1.1. Sistemas holnomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

Las ligaduras se usan en forma implcita . . . . . . . . . . . . . . . . . 237Las ligaduras se usan en forma explcita . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

6.1.2. Sistemas no-holnomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2416.2. Pasos a seguir para construir un Hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . 2436.3. Ejemplos con ligaduras holnomas (forma implcita) . . . . . . . . . . . . . 2466.4. Ejemplos con ligaduras holnomas (forma explcita) . . . . . . . . . . . . . 2596.5. Ejemplos con ligaduras semi-holnomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2676.6. Ecuaciones de Hamilton a partir del principio de Hamilton . . . . . . . . . 2726.7. Espacio de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2736.8. Teorema de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2786.9. Forma simplctica de las Ecuaciones de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . 2856.10.El mtodo de Routh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2876.11.Dinmica Lagrangiana vs Hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introduccin a la Mecnica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). Repblica Bolivariana de Venezuela, 2011. Pg.: VIII

NDICE GENERAL

6.12.Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

7 Transformaciones cannicas 295

7.1. Definicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

7.2. Ecuaciones de transformacin cannicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

7.2.1. Caso 1: Funcin generatriz F1 = F1 (qi; eqi; t) . . . . . . . . . . . . . . . 2987.2.2. Caso 2: Funcin generatriz F2 = F2 (qi; epi; t) . . . . . . . . . . . . . . . 2997.2.3. Caso 3: Funcin generatriz F3 = F3 (pi; eqi; t) . . . . . . . . . . . . . . . 3007.2.4. Caso 4: Funcin generatriz F4 = F4 (pi; epi; t) . . . . . . . . . . . . . . . 301

7.3. Invariante integral universal de Poincar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

7.4. Corchetes de Lagrange y Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

7.4.1. Corchetes de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

7.4.2. Corchetes de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

7.4.3. Ecuaciones de Hamilton en corchetes de Poisson . . . . . . . . . . . 320

7.5. Transformaciones cannicas infinitesimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

7.6. Forma simplctica de las transformaciones cannicas . . . . . . . . . . . . 325

7.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

8 Teora de Hamilton-Jacobi 331

8.1. Ecuacin de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

8.2. Solucin completa de la ecuacin de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . 335

8.2.1. Para sistemas con H independiente del tiempo . . . . . . . . . . . . 335

8.2.2. Para sistemas con H independiente del tiempo y alguna coorde-nada cclica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

8.2.3. Para sistemas con H independiente del tiempo y coordenadas nocclicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

8.3. Ejemplos de aplicacin de la ecuacin de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . 338

8.4. Variables accin-ngulo en sistemas con un grado de libertad . . . . . . . 338

A Teorema de Euler 339

B Funciones montonas y continuidad 341

C Lema fundamental del clculo de variaciones 343

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introduccin a la Mecnica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). Repblica Bolivariana de Venezuela, 2011. Pg.: IX

NDICE GENERAL

D Propiedades de los determinantes 345

E Identidad de Jacobi 349

E.1. Por transformaciones cannicas infinitesimales . . . . . . . . . . . . . . . . . 349E.2. Por clculo directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

Bibliografa 353

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introduccin a la Mecnica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). Repblica Bolivariana de Venezuela, 2011. Pg.: X

NDICE DE FIGURAS

1.1. Tipos de fuerzas en un sistema de partculas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Forma fuerte de la tercera ley de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3. Fuerzas interaccin electromagntica de entre dos partculas cargadasqi y qj en movimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4. Posicin del centro de masa de un sistema de partculas. . . . . . . . . . . 9

1.5. Sistema discreto formado por tres partculas situadas en los vrtices de untringulo rectngulo (Ejemplo 1.1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.6. Aro semicircular homogneo de radio a y densidad lineal (Ejemplo 1.2). 11

1.7. Cono slido homogneo de altura h y base de radio a (Ejemplo 1.3). . . . 12

1.8. Sistema S discreto de N partculas subdividido (por completo) en s subsis-temas S1,S2,S3,...,Ss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.9. Centro de masa de un sistema compuesto por una concha hemisfrica yun hemisferio slido homogneo acoplados (Ejemplo 1.4). . . . . . . . . . 15

1.10.Dos partculas de masas iguales que se deslizan sobre correderas lisas enngulo recto (Ejemplo 1.5). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.11.Vector de posicin !r 0i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.12.Aro homogneo, de radio a, que rueda sobre una superficie lisa con fre-

cuencia angular constante (Ejemplo 1.6). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.13.Vector de posicin !r ij. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.14.Centro de masa de un cono slido homogneo (Problema 1). . . . . . . . 29

1.15.Centro de masa de un sistema formado por un cono slido homogneocuya base est unida a la correspondiente de un hemisferio slido ho-mogneo (Problema 3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

XI

NDICE DE FIGURAS

1.16.Centro de masa de un alambre uniforme que substiende un arco circu-lar de radio a (Problema 5). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.17.Centro de gravedad y centro de masa de un sistema de partculas (Pro-blema 6). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.18.Centro de masa de un modelo de la molcula de H2O (Problema 8). . . . 321.19.Centro de masa de un tringulo rectngulo issceles homogneo (Pro-

blema 9). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.20.Centro de masa de una pirmide homognea (Problema 10). . . . . . . . 331.21.Proyectil disparado con un ngulo de elevacin el cual estalla en el aire

(Problema 14). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.22.Sistema discreto formado por N partculas de igual masa m, que delizan

libremente sobre alambres paralelos lisos y se atraen unas a otras confuerzas proporcionales al producto de sus masas y a sus distancias (Pro-blema 17). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.23.Dos partculas demasam se mueven, cada una, sobre las correderas lisasperpendiculares OX y OY , atrayndose con una fuerza proporcional a sudistancia (Problema 18). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.24.Torque de un sistema de partculas con respecto a dos sistemas de coor-denadas cuyos orgenes no coinciden (Problema 19). . . . . . . . . . . . . 37

2.1. Pndulo simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.2. Un bloque de masa m que se mueve sobre una superficie inclinada. . . . 432.3. Cuerpo rgido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.4. Dos masas m1 y m2 unidas por una barra rgida de longitud `. . . . . . . . . 442.5. Molculas de gas encerradas en una esfera de radio R. . . . . . . . . . . . 452.6. Partcula que se desliza sobre la superficie de una esfera de radio R. . . . 462.7. Una partcula de masa m que se mueve en un aro cuyo radio cambia

con el tiempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.8. Partcula que se mueve sobre un plano inclinado cuyo ngulo de incli-

nacin vara con el tiempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.9. Un disco que rueda (sin deslizar) sobre el plano horizontal xy (Ejemplo 2.7). 512.10.Movimiento de un crculo que se desplaza sobre un plano inclinado. . . . 522.11.Dos masas m1 y m2 acopladas por un resorte. . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.12.Ligaduras lisa (a) y rugosa (b). Para el movimiento permitido por la liga-

dura (deslizamiento horizontal) la reaccin lisa no realiza trabajo, mientrasque en el caso rugoso s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.13.El historial temporal de un sistema es representado mediante una curvaen el espacio de configuracin. Se muestran cuatro posibles. . . . . . . . . 58

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introduccin a la Mecnica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). Repblica Bolivariana de Venezuela, 2011. Pg.: XII

NDICE DE FIGURAS

2.14.Desplazamiento real d!r y desplazamiento virtual !r . . . . . . . . . . . . . 632.15.Coordenada real q (t) y la coordenada desplazada virtualmente q (t)+q (t). 642.16.Palanca horizontal en equilibrio esttico (Ejemplo 2.10). . . . . . . . . . . . 672.17.Pndulo en equilibrio esttico (Ejemplo 2.11). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.18.Sistema de dos masas unidas por una cuerda que pasa a travs de una

polea (Ejemplo 2.12). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.19.Dos masas unidas por una cuerda que pasa a travs de una polea y

donde una de las masas se desliza sobre un plano inclinado (Ejemplo 2.13). 72

3.1. La funcin y (x) es el camino que hace que el funcional J tome un valorextremal. Las funciones y (; x) = y (x) + (x) son las funciones vecinasdonde (x) se anula en las fronteras del intervalo [x1; x2]. . . . . . . . . . . . 79

3.2. Funcin y (x) = 3x entre los lmites de x = 0 y x = 2 y dos de sus variacionesy (; x) = 3x+ [Sen (x) Cos (x) + 1] (Ejemplo 3.1). . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.3. Funcin y (x) = x2 entre los lmites de x = 1 y x = 1 y dos de sus varia-ciones y (; x) = x2 + (x3 x) (Ejemplo 3.2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.4. El problema de la braquistcrona (Ejemplo 3.6). . . . . . . . . . . . . . . . . 873.5. Camino resultante para que la partcula se mueva desde (x1; y1) = (0; 0)

hasta (x2; y2) en el menor tiempo posible (Ejemplo 3.6). . . . . . . . . . . . . 883.6. Distancia ms corta entre dos puntos del plano (Ejemplo 3.7). . . . . . . . 893.7. Superficie mnima de revolucin (Ejemplo 3.8). . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.8. Pelcula de jabn entre dos anillos concntricos de radio a y separados

por una distancia 2d (Ejemplo 3.10). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943.9. Geodsicas sobre una esfera (Ejemplo 3.11). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963.10.Geodsicas en un cilindro circular recto de radio R (Ejemplo 3.15). . . . . 1043.11.Funcin y (x) cuya rea encerrada ha de maximizarse (Ejemplo 3.18). . . 1103.12.Cuerda de longitud ` colocada entre las orillas de un ro de ancho 2a

(Ejemplo 3.19). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123.13.Desplazamiento virtual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1153.14.Camino ms corto sobre la superficie de un cono de semingulo (Pro-

blema 43). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233.15.Geodsicas sobre la superficie de un cilindro circular recto de radio R

(Problema 51). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.1. (a) Representacin de la relacin fundamental F = F (u). (b) Repre-sentacin de una familia de relaciones fundamentales. . . . . . . . . . . . 129

4.2. Una curva dada puede representarse igualmente bien como envolventede una familia de lneas tangentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introduccin a la Mecnica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). Repblica Bolivariana de Venezuela, 2011. Pg.: XIII

NDICE DE FIGURAS

4.3. (a) Grfica de una funcin convexa F = F (u). (b) Grfica de su tangentev en funcin de u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

4.4. Representacin de la relacin fundamental F para el caso de una solavariable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5.1. Partcula de masa m que se desplaza hacia abajo en un plano inclinadoun ngulo con respecto a la horizontal (Ejemplo 5.1). . . . . . . . . . . . . 164

5.2. Partcula de masa m que se encuentra inmersa en un campo de fuerzaconservativo (Ejemplo 5.2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

5.3. La mquina simple de Atwood (Ejemplo 5.3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

5.4. Anillo de masa m que se desliza por un alambre, de masa despreciable,que gira uniformemente (Ejemplo 5.4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

5.5. Movimieno de un proyectil de masa m bajo la accin de la gravedad endos dimensiones (Ejemplo 5.5). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

5.6. Partcula de masa m que est obligada a moverse sobre la superficieinterna de un cono liso (Ejemplo 5.6). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

5.7. Un pndulo simple de longitud b y masa pendular m cuyo punto de so-porte mueve sobre un anillo con velocidad angular constante (Ejemplo5.7). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

5.8. Pndulo simple colocado dentro de un vagn que se mueve con unaaceleracin constante a en la direccin +x (Ejemplo 5.8). . . . . . . . . . . 176

5.9. Cuenta de masa m se desplaza a lo largo de un alambre liso, de masadespreciable, que tiene la forma de la parbola z = cr2 (Ejemplo 5.9). . . 178

5.10.Sistema de doble polea (Ejemplo 5.10). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

5.11.Cilindro slido de centro O0 y radio R1 que rueda sin deslizar dentro de lasuperficie semicilndrica fija con centro O y radio R2 > R1 (Ejemplo 5.11). . 181

5.12.Disco de masa M y radio R rueda, sin deslizar, hacia abajo en un planoinclinado (Ejemplo 5.15). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

5.13.Partcula demasam que comienza amoverse desde el reposo, partiendode la parte ms alta de un hemisferio fijo y liso (Ejemplo 5.17). . . . . . . . 191

5.14.Partcula de masa m que se mueve sobre un plano inclinado mvil (Ejem-plo 5.18). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

5.15.Un disco que rueda (sin deslizar) sobre el plano horizontal xy (Ejemplo 5.20).196

5.16.Carrito rectangular homogneo de masa M inmerso en un campo elc-trico uniforme

!E (Ejemplo 5.21). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

5.17.Cambio del vector de posicin debido una traslacin del sistema. . . . . 214

5.18.Variacin del vector de posicin al rotar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introduccin a la Mecnica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). Repblica Bolivariana de Venezuela, 2011. Pg.: XIV

NDICE DE FIGURAS

5.19.Una partcula de masa m est obligada a moverse sobre la superficieinterna de un cono liso (Problema 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

5.20.Una partcula demasam se desplaza sobre un plano inclinado (Problema4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

5.21.Esfera que se desliza, sin rozamiento, en un alambre liso doblado en formade cicloide (Problema 7). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

5.22.Pndulo simple (Problema 8). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2255.23.Pndulo doble (Problema 9). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2265.24.Dos bloques acoplados mediante una cuerda que pasa a travs de una

polea (Problema 11). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2275.25.Bloque de masa m que se desplaza sobre un plano inclinado de masaM

mvil (Problema 12). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2275.26.Dos bloques acoplados mediante una cuerda que pasa a travs de una

polea (Problema 14). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2285.27.Pndulo esfrico (Problema 17). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2295.28.Pndulo simple cuyo soporte se mueve verticalmente (Problema 19). . . . 2305.29.Masa m unida a una vara liviana que pivotea por la accin de un aro

que gira (Problema 20). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2315.30.Masa m sujeta a un soporte fijo mediante un resorte (Problema 21). . . . . 2325.31.Pndulo demasam y longitud ` sujeto a un bloque demasa despreciable

el cual esta sujeto, a la vez, a una pared mediante un resorte de masadespreciable (Problema 24). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

6.1. Partcula demasam obligada amoverse sobre la superficie de un cilindro(Ejemplo 6.1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

6.2. Pndulo esfrico (Ejemplo 6.8). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2546.3. Partcula de masa m que se mueve a lo largo del eje x sometida a una

fuerza Kx (Ejemplo 6.9). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2556.4. Partcula de masa m que se mueve en un plano, inmersa en un campo

con energa potencial U = U (r) (Ejemplo 6.10). . . . . . . . . . . . . . . . . 2576.5. Pndulo simple de masa m y longitud ` (Ejemplo 6.11). . . . . . . . . . . . . 2586.6. Trayectoria de fase en un espacio de fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2746.7. Diagrama de fase para una partcula de masa m obligada a moverse

sobre la superficie de un cilindro (Ejemplo 6.23). . . . . . . . . . . . . . . . . 2756.8. Diagrama de fase para el pndulo simple (Ejemplo 6.24). . . . . . . . . . . 2766.9. Partcula de masa m que se desliza bajo la accin de la gravedad y sin

friccin sobre un alambre que tiene forma de parbola y = x2

2(Ejemplo

6.25). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introduccin a la Mecnica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). Repblica Bolivariana de Venezuela, 2011. Pg.: XV

NDICE DE FIGURAS

6.10.Diagrama de fase para la partcula de masa m que se mueve sobre unalambre en forma de parbola, para m = 1 y g = 1 (Ejemplo 6.25). . . . . . 278

6.11.Pndulo cnico (Ejemplo 6.26). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2786.12.Diagrama de fase para el pndulo cnico (Ejemplo 6.26). . . . . . . . . . . 2796.13.Diagrama de fase para el ejemplo 6.4 (Ejemplo 6.27). . . . . . . . . . . . . 2806.14.Evolucin de una regin en el espacio de fase. . . . . . . . . . . . . . . . . 2806.15.Proyeccin del elemento de volumen sobre el plano qk; pk. . . . . . . . . . 2826.16.Diagrama de fase para un conjunto de partculas de masam en un cam-

po gravitacional constante (Ejemplo 6.258). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2846.17.Partcula de masa m est obligada a moverse sobre la superficie interna

de un cono liso (Problema 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2916.18.Mquina simple de Atwood (Problema 2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2926.19.Partcula de masam que se desplaza sobre un plano inclinado (Problema

3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2936.20.Pequea esfera que se desliza, sin rozamiento, en un alambre liso dobla-

do en forma de cicloide (Problema 4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2936.21.Pndulo simple cuya cuerda es de longitud variable (Problema 8). . . . . 2946.22.Partcula de masa m que se mueve, bajo la influencia de la gravedad, a

lo largo de la espiral (Problema 9). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

C.1. Funcin arbitraria (x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introduccin a la Mecnica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). Repblica Bolivariana de Venezuela, 2011. Pg.: XVI

Parte I

Fundamentos fsicos y matemticosbsicos para estudiar Mecnica de

Lagrange y Hamilton

1

CAPTULO 1

Dinmica de un sistema de partculas

Contents1.1. Sistema de partculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Clasicacin de los sistemas de partculas . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1. Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.2. Continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. Fuerzas en un sistema de partculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.1. Externas e internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.2. Aplicadas y de reaccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4. Centro de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.1. Para un sistema discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.2. Para un sistema continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.3. Para un sistema compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5. Movimiento del centro de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6. Momento lineal y su conservacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.7. Momento angular y su conservacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.8. Energa y su conservacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.8.1. Energa cintica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.8.2. Energa potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.8.3. Conservacin de la energa mecnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3

CAPTULO 1. DINMICA DE UN SISTEMA DE PARTCULAS

1.9. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.1. Sistema de partculas

Los cuerpos que se observan a simple vista estn formados por un gran nmerode partculas, macroscpicas, atmicas o subatmicas. Slo en ciertos casos es vli-da la simplificacin que supone el modelo de la masa puntual. En otros casos, por elcontrario, ser necesario considerar el sistema como si estuviesen formados por variaspartculas.

Se llama sistema de partculas o sistema mecnico a un conjunto de variaspartculas, de nmero finito o infinito, de las cuales se quiere estudiar su movi-miento.

Por otro lado,

Se llama configuracin de un sistema a la posicin de cada una de suspartculas en un instante dado.

Para definir la configuracin se necesita un determinado nmero de parmetros,segn el sistema de que se trate. Por ejemplo, una partcula libre precisa de tres par-metros: las coordenadas Cartesianas, (x; y; z). Un sistema de N partculas libres quedadefinido por 3N parmetros. Sin embargo, si existen ligaduras (detalles en el captulo2) que restrinjan el movimiento, el nmero de parmetros preciso para definir la confi-guracin ser menor.

1.2. Clasificacin de los sistemas de partculas

Un sistema de partculas puede ser clasificado como:

1.2.1. Discreto

Este modelo de sistema de partculas considera el cuerpo formado por unnmero finito de partculas. Dentro de este modelo se pueden considerar los sistemasindeformables, en los cuales la distancia relativa entre las partculas del sistema per-manece inalterable en el tiempo y los deformables, en los cuales puede cambiar ladistancia relativa entre las partculas.

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introduccin a la Mecnica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). Repblica Bolivariana de Venezuela, 2011. Pg.: 4

1.3. FUERZAS EN UN SISTEMA DE PARTCULAS

1.2.2. Continuo

Este modelo de sistema de partculas considera el cuerpo formado por unadistribucin continua de materia, es decir, por un nmero infinito de partculas. A nivelmacroscpico, un cuerpo puede considerarse formado por una distribucin continuade materia, llenando todo el espacio que ocupa (esta consideracin no es cierta anivel microscpico ya que se sabe de la discontinuidad de la materia). En este modelotambin se consideran los sistemas deformables y los indeformables (slidos rgidos).

1.3. Fuerzas en un sistema de partculas

En un sistema de partculas estn involucradas fuerzas. Las fuerzas ejercidas so-bre las partculas de un sistema son las causantes de la variacin del movimiento delas mismas y es posible clasificarlas atendiendo a varios criterios (ver figura 1.1):

Figura (1.1): Tipos de fuerzas en un sistema de partculas.

1.3.1. Externas e internas

Resulta conveniente en estos modelos clasificar las fuerzas que intervienen, yaque las partculas del sistema no slo estn interaccionando entre s sino con otraspartculas que no pertenecen al sistema en estudio, en fuerzas externas y fuerzas inter-nas.



Fuerzas externas

Las fuerzas externas son ejercidas por agentes externos al sistema, es decir,son las que estn aplicadas a partculas del sistema debidas a partculas que nopertenecen al sistema.

A un sistema de partculas sobre el cual no se aplican fuerzas externas sele denomina Sistema Aislado o sistema cerrado. Es decir, es un sistema que nointeracciona con otros agentes fsicos situados fuera de l y, por tanto, no estconectado causalmente ni correlacionalmente con nada externo a l.

Fuerzas internas

Las fuerzas internas, en caso contrario, son ejercidas entre las partculas queconstituyen al sistema, es decir, son las que estn aplicadas en las partculas del sis-tema debidas a otras partculas del mismo sistema. Tanto la accin como la reaccinse producen sobre partculas del propio sistema.

1.3.2. Aplicadas y de reaccin

Se pueden clasificar tambin en aplicadas y de reaccin.

Aplicadas

A este tipo de fuerzas tambin se les denomina fuerzas activas. Las fuerzas apli-cadas son aquellas que actan a motu propio sobre el sistema, es decir, son lasfuerzas impuestas.

De reaccin

A este tipo de fuerzas tambin se les denomina fuerzas reactivas o tambinfuerzas de ligadura. Este tipo de fuerzas son aquellas que actan como respuesta aun movimiento determinado que intentan impedir, en cuyo caso slo se dan cuandoexiste la tendencia a este movimiento.

La tercera ley de Newton juega un papel muy importante en la dinmica de unsistema de partculas debido a las fuerzas internas entre las partculas que constituyenel sistema. Dos suposiciones son necesarias referentes a las fuerzas internas:


1.3. FUERZAS EN UN SISTEMA DE PARTCULAS

Figura (1.2): Forma fuerte de la tercera ley de Newton.

1. Las fuerzas ejercidas entre dos partculas mi y mj son iguales en magnitud y opues-tas en direccin. Si se denota por

!F(in)ij la fuerza (interna del sistema de partculas)

ejercida sobre la i-sima partcula debido a la j-sima, entonces la llamada formadbil de la tercera ley de Newton se escribe como,

!F(in)ij =

!F(in)ji (1.1)

2. Las fuerzas ejercidas entre dos partculasmi ymj, adems de ser iguales y opuestas,deben darse sobre la lnea recta que une a ambas partculas, es decir, si

!F(in)ij es

paralela a !r i!r j. Esta forma ms restringida de la tercera ley de Newton, llamadatambin la forma fuerte, es mostrada en la figura 1.2. A las fuerzas que cumplenesta forma de la tercera ley de Newton se le denominan fuerzas centrales.

Se debe tener cuidado en saber cundo es aplicable cada una de las formas dela tercera ley de Newton. En verdad, muchas son las fuerzas que obedecen ambasformas de la tercera ley de Newton. Por ejemplo, las fuerza gravitacional y la fuerzaelectrosttica tienen esta propiedad, conservndose el momento lineal total y el mo-mento angular en estos sistemas. Sin embargo, existen algunas fuerzas que, en gener-al, no cumplen con ambas formas a la vez! y el ejemplo ms famoso lo constituye lafuerza de Lorentz que viene dada por,

!F ij = qi

!v i !B ij (1.2)



que se estudia en el curso de electromagnetismo y donde !v i es la velocidad de lacarga qi y

!B ij es el campo magntico sobre la carga qi generado por el movimiento

de la carga qj. Esta fuerza, en general, slo obedece a la forma dbil de la terceraley de Newton. Para visualizar esto, considrense dos partculas cargadas qi y qj quese mueven con velocidades respectivas !v i y !v j en el plano de esta pgina, como semuestra en la figura 1.3.

Figura (1.3): Fuerzas interaccin electromagntica de entre dos partculas cargadas qi y qj enmovimien-to.

Puesto que!F ij es perpendicular a ambos !v i y !B ij ( el cual puede apuntar hacia

adentro o hacia afuera del plano de esta pgina),!F ij puede ser paralela a

!F ji slo

cuando !v i y !v j son paralelas, lo cual no es cierto en general.

Cualquier fuerza que dependa de las velocidades de los cuerpos interactuantesno es central, por lo tanto no es aplicable la forma fuerte. La fuerza gravitacionalentre cuerpos en movimiento tambin depende de la velocidad, pero el efecto espequeo y difcil de detectar. El nico efecto observable es la precesin del periheliode los planetas interiores (Mercurio, Venus, Tierra y Marte).

1.4. Centro de masa

1.4.1. Para un sistema discreto

Para definir el centro de masa de un sistema de partculas discreto, prtasede uno formado por N partculas de masas m1;m2; :::;mN cuyos vectores de posicinson !r 1; !r 2; :::;!r N respectivamente con respecto al origen del sistema de referenciaescogido, el cual es inercial (ver figura 1.4). La masa total M del sistema vendr dadapor,


1.4. CENTRO DE MASA

Figura (1.4): Posicin del centro de masa de un sistema de partculas.

M =NXi=1

mi (1.3)

Ahora bien,

El centro demasa de un sistema de partculas se define como el punto cuyovector de posicin

!R viene dado por,

!R =

1

M

NXi=1

mi!r i (1.4)

Las componentes Cartesianas de (1.4) son,

xcm =1M

NPi=1

mixi ycm =1M

NPi=1

miyi zcm =1M

NPi=1

mizi (1.5)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ejemplo 1.1Sistema discreto bidimensional. Un sistema consta de tres partculas

de masas m1 = 2 Kg, m2 = 4 Kg y m3 = 8 Kg, localizadas en los vrtices de un tringulorectngulo como se muestra en la figura 1.5. Encuntrese la posicin del centro demasa del sistema respecto al referencial dado.



Figura (1.5): Sistema discreto formado por tres partculas situadas en los vrtices de un tringulo rectn-gulo (Ejemplo 1.1).

Solucin: Al usar (1.5),

xcm =1

M

3Xi=1

mixi =m1x1 +m2x2 +m3x3

m1 +m2 +m3

=(2Kg) (b+ d) + (4Kg) (b) + (8Kg) (b+ d)

2Kg + 4Kg + 8Kg=5

7d+ b (1.6)

ycm =1

M

3Xi=1

miyi =m1y1 +m2y2 +m3y3

m1 +m2 +m3

=(2Kg) (0) + (4Kg) (0) + (8Kg) (h)

2Kg + 4Kg + 8Kg=4

7h (1.7)

Entonces, de los resultados (1.6) y (1.7), el centro de masa est en la posicin,

!R =

5

7d+ b;

4

7h

=

5

7d+ b

bex + 47hbey

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4.2. Para un sistema continuo

En el caso de un sistema continuo se tiene que,

!R =

1

M

Z!r dm, conM =

Zdm (1.8)

cuyas componentes Cartesianas son,

xcm =1M

Rxdm ycm =

1M

Rydm zcm =

1M

Rzdm (1.9)


1.4. CENTRO DE MASA

Las anteriores integrales pueden ser simples si el sistema continuo es unidimensional,dobles (integrales de superficie) si lo es bidimensional y triples (integrales de volumen)si lo es tridimensional.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ejemplo 1.2Sistema continuo unidimensional. Encuntrese el centro de masa de

un aro semicircular homogneo de radio a y densidad lineal (ver figura 1.6).

Figura (1.6): Aro semicircular homogneo de radio a y densidad lineal (Ejemplo 1.2).

Solucin: Tomando un referencial cuyo origen est en el centro de la circunsferen-cia que genera el aro, por la simetra del problema,

xcm = 0 (1.10)

Por otro lado, a partir de (1.9),

ycm =1

M

Zydm =

RydmRdm

(1.11)

donde, en coordenadas polares,dm = ad (1.12)

por lo tanto, al sustituir (1.12) en (1.11),

ycm =

RydmRdm

=

R 0yadR

0ad

=

R 0(a Sen ) dR

0d

=2a

(1.13)

Entonces, de los resultados (1.10) y (1.13), el centro de masa est en la posicin,

!R =

0;2a

=2a

bey



Figura (1.7): Cono slido homogneo de altura h y base de radio a (Ejemplo 1.3).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ejemplo 1.3Sistema continuo tridimensional. Encuntrese el centro de masa de

un cono slido homogneo de altura h y radio de la base a (ver figura 1.7).Solucin: Tomando un referencial cuyo origen est en el centro de la base del cono,

de manera que esta ltima est contenida en el plano xy, se encuentra, por la simetradel problema,

xcm = ycm = 0 (1.14)

Por otro lado, a partir de (1.9), utilizando coordenadas cilndricas y puesto que ladensidad del cono es =constante (por ser homogneo), se puede escribir,

zcm =1

M

Zzdm =

RzdmRdm

(1.15)

donde,dm = rdrddz (1.16)

por lo tanto, al sustituir (1.16) en (1.15),

zcm =

RzdmRdm

=

R har+h

0

R 20

R a0zrdrddzR h

ar+h

0

R 20

R a0rdrddz

=1

4h (1.17)

con respecto a su base. Entonces, de los resultados (1.14) y (1.17), el centro de masaest en la posicin,

!R =

0; 0;

1

4h

=1

4hbez

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


1.4. CENTRO DE MASA

1.4.3. Para un sistema compuesto

Considrese un sistema S discreto de N partculas que ha sido subdividido (porcompleto) en s subsistemas S1,S2,S3,...,Ss (ver figura 1.8). Si n1, n2, n3,...,ns representan elnmero de partculas de cada uno de los subsistemas debe cumplirse que,

Figura (1.8): Sistema S discreto deN partculas subdividido (por completo) en s subsistemas S1,S2,S3,...,Ss.

N = n1 + n2 + n3 + :::+ ns =sXj=1

nj (1.18)

Cada uno de los subsistemas tienen su centro demasa posicionados en!R 1,

!R 2,

!R 3,...,

!R s

y masas totales M1,M2,M3,...,Ms. Para el subsistema 1 se tiene que su masa total vienedada por,

M1 = m11 +m12 +m13 + :::+m1n1 =

n1Xi=1

m1i (1.19)

(el primer ndice indica el sistema y el segundo cada una de las masas de dicho sis-tema) y los vectores de posicin de cada una de las masas de las partculas que lointegran viene dado por !r 11,!r 12,!r 13,...,!r 1n1 . Para los restantes s 1 subsistemas sehace de forma anloga.

Por la definicin de centro de masa (1.4) se tendr, para cada uno de los s subsis-



temas de partculas,

Subsistema 1:!R 1 =

1M1

n1Pi=1

m1i!r 1i

Subsistema 2:!R 2 =

1M2

n2Pi=1

m2i!r 2i

Subsistema 3:!R 3 =

1M3

n3Pi=1

m3i!r 3i

...

Subsistema s:!R s =

1Ms

nsPi=1

msi!r si

(1.20)

Por otro lado, al usar la definicin(1.4), el centro de masa del sistema S viene dadopor,

!R S =

n1Pi=1

m1i!r 1i +

n2Pi=1

m2i!r 2i +

n3Pi=1

m3i!r 3i + ::::+

nsPi=1

msi!r si

n1Pi=1

m1i +n2Pi=1

m2i +n3Pi=1

m3i + ::::+nsPi=1

msi

(1.21)

Finalmente, al sustituir (1.20) en (1.21) resulta,

!R S =

M1!R 1 +M2

!R 2 +M3

!R 3 + ::::+Ms

!R s

M1 +M2 +M3 + ::::+Ms

=1

MS

sXj=1

Mj!R j, con j = 1; 2; 3; :::; s (1.22)

por lo tanto:

En los sistemas compuestos se pueden encontrar los centros de masa de lossistemas parciales o subsistemas y, a partir de ellos, calcular el centro de masadel sistema completo. A esta propiedad del centro demasa se le conoce comopropiedad de agrupamiento.

Es fcil mostrar que lo mismo ocurre para sistemas compuestos continuos.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ejemplo 1.4Sistema compuesto. Encuntrese el centro de masa del sistema mos-

trado en la figura 1.9 que consiste en una concha hemisfrica de radio externo a einterno b y un hemisferio slido de radio a, ambos homogneos de densidad .

Solucin: La posicin del centro de masa de la concha hemisfrica y el hemisferioslido vienen dadas por (ver problemas 2 y 3),

!R concha =

!R 1 =

3 (a4 b4)8 (a3 b3)bez, conM1 = 43 a3 b3

!R hemisferio =

!R 2 = 3

8abez, conM2 = 4

3a3


1.5. MOVIMIENTO DEL CENTRO DE MASA

Figura (1.9): Centro de masa de un sistema compuesto por una concha hemisfrica y un hemisferioslido homogneo acoplados (Ejemplo 1.4).

Ahora, por la propiedad de agrupamiento del centro de masa (1.22),

!R S =

1

MS

Xj

Mj!R j =

M1!R 1 +M2

!R 2

M1 +M2

=

43 (a3 b3) 3(a

4b4)8(a3b3) bez + 43a3 38abez

43 (a3 b3) + 4

3a3

= 38

b4

2a3 b3bez. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5. Movimiento del centro de masa

Supngase que se tiene un sistema constituido porN partculas que interactanentre s y sobre el cual actan fuerzas externas, entonces la fuerza resultante sobre lai-sima partcula estar compuesta (en general) por dos partes: una parte es la resul-tante de todas las fuerzas externas

!F(ex)i y, la otra parte, de todas las fuerzas internas!

F(in)i que se originan de la interaccin de todas las otrasN1 partculas con la i-sima.

La fuerza!F(in)i podr ser calculada mediante la suma vectorial de todas las fuerzas

individuales!F(in)ij (como se dijo antes, debe leerse como la fuerza aplicada sobre la



i-sima partcula debida a la j-sima),

!F(in)i =

NXj=1

!F(in)ij (1.23)

Por lo tanto, la fuerza total!F i sobre la i-sima partcula vendr dada por,

!F i =

!F(ex)i +

!F(in)i (1.24)

Ahora bien, a partir de la segunda ley de Newton, se puede escribir para la i-simapartcula,

!F i =

!p i = mi!r i = !F (ex)i +

!F(in)i (1.25)

o tambin, en virtud de (1.23) y un pequeo cambio en la derivada,

d2

dt2(mi

!r i) = !F (ex)i +NXj=1

!F(in)ij (1.26)

y al sumar sobre i en ambos miembros de esta expresin,

d2

dt2

NXi=1

mi!r i!=

NXi=1

!F(ex)i +

NXi=1

NXj=1

!F(in)ij

i6=j (no hay auto-fuerzas)

(1.27)

que representa la fuerza total respecto al origen del referencial escogido.

Si se sustituyeNPi=1

mi!r i a partir de (1.4) en (1.27) resulta,

d2

dt2

M!R=!F (ex) +

NXi;j=1 i6=j

!F(in)ij (1.28)

donde!F (ex) =

NPi=1

!F(ex)i es la resultante de todas las fuerzas externas y se ha hecho el

cambio de notacinNPi=1

NPj=1

i6=j

=NP

i;j=1 i6=j. Pero si se supone que se cumple la tercera ley de

Newton (1.1),NX

i;j=1 i6=j

!F(in)ij =

NXi;j=1 i

1.5. MOVIMIENTO DEL CENTRO DE MASA

que es un resultado importantsimo que dice lo siguiente:

El centro de masa de un sistema de partculas se mueve como si fuera unapartcula real, de masa igual a la masa total del sistema sobre el cual actala fuerza externa total e independientemente de la naturaleza de las fuerzasinternas, siempre que se cumpla la tercera ley de Newton.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ejemplo 1.5Dos partculas de masas iguales se atraen con una fuerza inversa-

mente proporcional al cuadrado de su distancia k=d2 (k constante positiva). Si laspartculas se deslizan sobre correderas lisas en ngulo recto (ver figura 1.10), demuestreque el centro de masa describe una cnica con su foco en la interseccin de lascorrederas.

Figura (1.10): Dos partculas de masas iguales que se deslizan sobre correderas lisas en ngulo recto(Ejemplo 1.5).

Solucin: De la figura 1.10, las coordenadas de cada partcula vendrn dadas por,

Para la que se mueve verticalmente (partcula 1) ! (0; y)Para la que se mueve horizontalmente (partcula 2) ! (x; 0)



por lo tanto, al usar (1.5),

xcm =1

M

Xi

mixi =m1x1 +m2x2m1 +m2

=m (0) +m (x)

m+m=1

2x (1.31)

ycm =1

M

Xi

miyi =m1y1 +m2y2m1 +m2

=(m) (y) + (m) (0)

m+m=1

2y (1.32)

de aqu que,!R =

1

2x;1

2y

=1

2xbex + 1

2ybey

y,

R =1

2

px2 + y2 =

1

2d) d = 2R (1.33)

Por otro lado, la ecuacin de movimiento de la partcula 1 y la 2 vendrn dadasrespectivamente por,

mx = F Cos = k

d2Cos = kx

d3(1.34)

my = F Sen = k

d2Sen = ky

d3(1.35)

ya que, de la figura 1.10,Cos =

x

dy Sen =

y

d(1.36)

Ahora bien, al sustituir (1.31) para x en (1.34) resulta,

md2

dt2(2xcm) = k (2xcm)

d3

o,xcm = kxcm

md3(1.37)

y, de forma anloga, al sustituir (1.32) para y en (1.35) resulta,

y cm =

kycmmd3

(1.38)

entonces,

!a cm =!R =

xcmbex + y cmbey = kxcmmd3 bex kycmmd3 bey

= kmd3

(xcmbex + ycmbey) = kmd3

!R (1.39)


1.6. MOMENTO LINEAL Y SU CONSERVACIN

y por (1.33),!a cm = k

8mR3!R

o,!a cm = k

8mR2beR (1.40)

donde beR = !RR es un vector unitario en la direccin de !R .Del resultado (1.40) se puede argir que el centro de masa es atrado hacia O con

una fuerza que es inversamente proporcional al cuadrado de su distancia a dichopunto O. Cuando se estudi el movimiento de una partcula en un campo de fuerzacentral, se pudo demostrar que para una fuerza de este tipo la trayectoria seguida esuna cnica, por lo tanto, en este caso el centro de masa del sistema sigue este tipode trayectoria.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6. Momento lineal y su conservacin

El momento lineal de la i-sima partcula puede escribirse como,

!p i = mi!r i (1.41)

y al sumar sobre i en ambos miembros de esta expresin, se obtiene el momento linealtotal !p del sistema,

!p =NXi=1

!p i =NXi=1

mi!r i (1.42)

o tambin,

!p = ddt

NXi=1

mi!r i!

(1.43)

ahora, si se sustituyeNPi=1

(mi!r i) a partir de (1.4) resulta,

!p = ddt

M!R=M

!R (1.44)

que es otro resultado importantsimo y que dice lo siguiente:

El momento lineal de un sistema de partculas es el mismo que si fuera unapartcula real de masaM localizada en la posicin de centro de masa y que semueve de la manera en que l lo hace. Es decir, el momento lineal del sistemade partculas es el mismo de su centro de masa.



Adems, al derivar con respecto al tiempo (1.44) y teniendo presente (1.30) se ob-tiene,

!p =M!R =

!F (ex) (1.45)

de la cual se puede enunciar la ley de conservacin del momento lineal para unsistema de partculas de la siguiente manera:

El momento lineal para un sistema de partculas libre de fuerzas externas(!F (ex) =

!0 ) se conserva (es constante en el tiempo) e igual al momento lineal

de su centro de masa.

1.7. Momento angular y su conservacin

El momento angular!L de la i-sima partcula en torno al origen del sistema de

referencia viene dado por,!L i =

!r i !p i (1.46)que al sumar sobre i en sus dos miembros proporciona el momento angular total

!L del

sistema de partculas, pudindose escribir,

Figura (1.11): Vector de posicin !r 0i.

!L =

Xi

!L i =

Xi

!r i !p i =Xi

!r i mi

!r i

(1.47)


1.7. MOMENTO ANGULAR Y SU CONSERVACIN

Defnase ahora un vector de posicin !r 0i, que posicione a la i-sima partcula conrespecto al centro de masa del sistema. Este vector es mostrado en la figura 1.11, dela cual se puede deducir que,

!r i = !r 0i +!R (1.48)

Ahora, al sustituir (1.48) en (1.47) resulta,

!L =

NXi=1

"!r 0i +!Rmi

!r0i +

!R

!#

=

NXi=1

"mi

!r 0i

!r0i +!r 0i

!R +

!R

!r0i +!R

!R

!#

=NXi=1

!r 0i mi

!r0i

+

NXi=1

mi!r 0i!

!R +

!R d

dt

NXi=1

mi!r 0i!

+NXi=1

mi

!R

!R

!(1.49)

pero,

mi!r0i =

!p 0i,NXi=1

mi =M (1.50)

NXi=1

mi!r 0i =

NXi=1

hmi

!r i !Ri| {z } =Por (1.48)

NXi=1

mi!r i

NXi=1

mi!R

= M!R|{z}

Por (1.4)

M!R = !0 (1.51)

esta ltima indica queNPi=1

mi!r 0i especifica la posicin del centro de masa en el sistema

de coordenadas del mismo centro de masa. Ahora debido a (1.50) y (1.51), la expre-sin (1.49) queda escrita como,

!L =

!R M

!R +

NXi=1

!r 0i !p 0i

o debido a (1.44),

!L =

!R !p| {z }Trmino 1

+

NXi=1

!r 0i !p 0i| {z }Trmino 2

(1.52)

de la que se puede concluir que:



El momento angular total del sistema de partculas respecto al origen de unreferencial escogido es la suma del momento angular del centro de masa delsistema respecto a dicho origen (trmino 1) y el momento angular del sistemacon respecto a la posicin del centro de masa (trmino 2).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ejemplo 1.6Un aro homogneo, de radio a, rueda sobre una superficie lisa con

frecuencia angular constante (ver figura 1.12). Encuentre el momento angular total.

Figura (1.12): Aro homogneo, de radio a, que rueda sobre una superficie lisa con frecuencia angularconstante (Ejemplo 1.6).

Solucin: El centro de masa del aro coincide con su centro geomtrico por serhomogneo. Segn (1.52) el momento angular total respecto al origen O es la sumadel momento angular del centro de masa del sistema respecto a dicho origen

!R !p

y el momento angular del sistema con respecto a la posicin del centro de masa!L cm,

!L =

!R !p +!L cm (1.53)

Para el presente caso,Lcm = Icm! (1.54)

donde Icm es el momento de inercia en torno al centro de masa y,!R !p = Rp = aMv (1.55)donde v es la velocidad del centro de masa. Por lo tanto, al sustituir (1.54) y (1.55) en(1.53),

L = aMv + Icm! = a2M!| {z }v=a!

+ Icm!

=Icm +Ma

2! (1.56)


1.7. MOMENTO ANGULAR Y SU CONSERVACIN

pero1,Icm +Ma

2 = I (1.57)

donde I es el momento de inercia en torno a O, entonces, de (1.56) y (1.57),

L = I!

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Por otro lado, la derivada temporal del momento angular de la i-sima partculaes, a partir de (1.46),

!L i =

!r i !p i| {z }=!0

+!r i !p i = !r i

!p i = !r i !F(ex)i +

NXj=1

!F(in)ij

!| {z }

Por (1.23) y (1.25)

(1.58)

y al sumar sobre i en ambos miembros,

!L =

NXi=1

!L i =

NXi=1

!r i !F (ex)i +NX

i;j=1 i6=j

!r i !F (in)ij (1.59)

pero,

NXi;j=1 i6=j

!r i !F (in)ij =NX

i;j=1 i


Figura (1.13): Vector de posicin !r ij .

Si en estemomento se limita el estudio a fuerzas internas centrales, entonces debidoa que en este caso

!F(in)ij va a lo largo de la misma direccin de !r ij, entonces

NXi;j=1 i

1.8. ENERGA Y SU CONSERVACIN

es el torque sobre la i-sima partcula debido a todas las fuerzas internas, es decir, esel torque interno. Puesto que la suma de esta cantidad sobre todas las partculas i seanula [ver (1.63)], el torque interno total se anula, es decir:

El torque interno total de un sistema de partculas se anula si las fuerzasinternas son centrales, es decir, si cumplen con la forma fuerte de la tercera leyde Newton y el momento angular de un sistema de partculas no se altera si nohay fuerzas externas aplicadas.

1.8. Energa y su conservacin

1.8.1. Energa cintica

Supngase que un determinado sistema de partculas pasa de una configura-cin 1 en la cual todas las coordenadas !r i se especifican a una configuracin 2 enla cual las coordenadas !r i se especifican de alguna forma diferente. El trabajo W12realizado para pasar de la configuracin 1 a la 2 vendr dado por,

W12 =NXi=1

Z conf. 2conf. 1

!F i d!r i (1.67)

donde!F i es la fuerza resultante que acta sobre la i-sima partcula. Pero,

!F i d!r i =

mid!v idt

d!r idt

dt

=

mid!v idt

(!v idt)

=1

2mi

d

dt(!v i !v i) dt = 1

2mi

d

dt

v2idt = d

1

2miv

2i

(1.68)

entonces, al sustituir (1.68) en (1.67) resulta,

W12 =

NXi=1

Z conf. 2conf. 1

d

1

2miv

2i

=

NXi=1

1

2miv

2i

conf. 2

conf. 1

=NXi=1

1

2miv

2i2

NXi=1

1

2miv

2i1 = T2 T1 (1.69)

donde,

T =NXi=1

Ti =NXi=1

1

2miv

2i (1.70)

es la energa cintica total.



Por otro lado, si se deriva con respecto al tiempo la expresin (1.48) y se despeja!r i; resulta,

!r i =!r0i +

!R (1.71)

entonces,

v2i =!r i

!r i =

!r0i +

!R

!

!r0i +

!R

!

=!r0i

!r0i +

!r0i

!R +

!R

!r0i +

!R

!R

= v02i + 2!r0i

!R + V 2 (1.72)

donde !v 0i =!r0i y V es la velocidad del centro de masa del sistema de partculas.

Entonces en base a (1.72) se puede escribir (1.70) como,

T =NXi=1

1

2mi

v02i + 2

!r0i

!R + V 2

!

=NXi=1

1

2miv

02i +

!R d

dt

NXi=1

mi!r 0i!+

NXi=1

1

2miV

2 (1.73)

pero debido a (1.50) y (1.51) se puede escribir (1.73) como,

T =NXi=1

1

2miv

02i +

1

2MV 2 (1.74)

de la cual es posible concluir que:

La energa cintica total de un sistema de partculas es igual a la suma de laenerga cintica de una partcula de masa M que se mueve con la velocidaddel centro de masa y la energa cintica total del movimiento de las partculasindividuales relativas al centro de masa.

1.8.2. Energa potencial

Al sustituir (1.23) y (1.24) en (1.67) resulta,

W12 =

NXi=1

Z conf. 2conf. 1

!F(ex)i +

NXj=1

!F(in)ij

! d!r i

=NXi=1

Z conf. 2conf. 1

!F(ex)i d!r i| {z }

Trmino 1

+

NXi;j=1 i6=j

Z conf. 2conf. 1

!F(in)ij d!r i| {z }

Trmino 2

(1.75)


1.8. ENERGA Y SU CONSERVACIN

Ahora, si se supone que las fuerzas!F(ex)i y

!F(in)ij son conservativas, entonces son

derivables a partir de energas potenciales como sigue,

!F(ex)i =

!r iUi!F(in)ij =

!r iU ij

)(1.76)

donde Ui y U ij son funciones de energa potencial que no tienen necesariamente lamisma forma. Aqu

!r i significa que la operacin gradiente es realizada con respectoa las coordenadas de la i-sima partcula.

Desarrllense ahora los trminos 1 y 2 de (1.75) con la finalidad de transformar susintegrandos en diferenciales exactas para as efectuar la integracin indicada [sesupondr que se cumple la tercera ley de Newton (1.1)]:

Trmino 1: al sustituir la primera de las expresiones (1.76) en el trmino 1 de (1.75)resulta,

Trmino 1 =NXi=1

Z conf. 2conf. 1

!F(ex)i d!r i =

NXi=1

Z conf. 2conf. 1

!r iUi d!r i=

NXi=1

Z conf. 2conf. 1

dUi = NXi=1

Ui

conf. 1

conf. 1

(1.77)

Trmino 2: de (1.75),

Trmino 2 =NX

i;j=1 i6=j

Z conf. 2conf. 1

!F(in)ij d!r i =

NXi;j=1 i


mantenidas constantes en el segundo trmino. As,

dU ij =!r iU ij d!r i + !rjU ij d!r j (1.80)

pero como,U ij = U ji (por ser escalar no cambia con la direccin) (1.81)

entonces, !rjU ij = !rjU ji| {z }Por

= !F (in)ji| {z }Por (1.76)

=!F(in)ij| {z }

Por (1.1)

(1.82)

Ahora, debido a (1.76) y (1.82), la expresin (1.80) puede escribirse como,

dU ij = !F (in)ij d!r i +!F(in)ij d!r j =

!F(in)ij (d!r i d!r j)

= !F (in)ij d (!r i !r j) = !F(in)ij d!r ij| {z }Por (1.61)

(1.83)

y entonces, al sustituir (1.83) en (1.78), se obtiene,

Trmino 2 =NX

i;j=1 i

1.9. PROBLEMAS

1.8.3. Conservacin de la energa mecnica

Si se igualan (1.69) y (1.87) resulta,

T2 T1 = U1 U2 ) T1 + U1 = T2 + U2) E1 = E2 (1.88)

que expresa la conservacin de la energa total del sistema en el cual todas las fuerzasson derivables a partir de energas potenciales que no dependen explcitamente deltiempo. A tales sistemas, como se sabe, se denominan sistemas conservativos:

La energa total de un sistema de partculas se conserva cuando sus fuerzasexternas e internas son derivables a partir de energas poteciales que no de-penden explcitamente del tiempo.

Si el sistema es un cuerpo rgido donde, como se sabe, las partculas que lo cons-tituyen estn restringidas a mantener sus posiciones relativas, entonces, en cualquierproceso en el que se involucre el cuerpo, la energa potencial interna permanececonstante. En esta situacin, la energa potencial interna puede ser ignorada cuan-do se calcule la energa potencial total del sistema. Esta cantidad contribuye simple-mente a definir la posicin cero en la energa potencial, pero esta posicin es elegidaarbitrariamente en cualquier caso; es decir, slo la diferencia de energas potencialeses fsicamente significativa. El valor absoluto de la energa potencial es una cantidadarbitraria.

1.9. Problemas

1. Encuentre el centro de masa de un cono slido homogneo de base 2a y altura h(ver figura 1.14). Resp.:

!R = 3

4bez.

2. Encuentre el centro de masa de una concha semiesfrica de densidad constantede radio interno ri y radio externo re. Posicione el origen del sistema de coordenadasen el centro de la base, de manera tal que sta quede contenida en el plano XY .

Resp.:!R =

3(r4er4i )8(r3er3i )

bez.3. Encuentre el centro de masa de un cono slido homogneo cuya base tiene un

dimetro 2a y altura h y un hemisferio slido homogneo de radio a, de manera talque ambas bases se tocan (ver figura 1.15). Resp.:

!R = h

23a24(2a+h)

bez.SOLDOVIERI C., Terenzio. Introduccin a la Mecnica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). Repblica Bolivariana de Venezuela, 2011. Pg.: 29


Figura (1.14): Centro de masa de un cono slido homogneo (Problema 1).

4. Un conjunto de N partculas de masas m1;m2;m3; :::;mN estn situadas en puntoscuyos vectores de posicin con respecto a un origen O son !r 1;!r 2;!r 3; :::;!r N re-spectivamente. Como ya se sabe, el centro demasa CM del conjunto de partculasse define como el punto en el espacio cuyo vector de posicin

!R viene dado por,

!R =

NPi=1

mi!r i

NPi=1

mi

Mostrar que si se usara un origen O0 diferente, la anterior definicin situara al CM enel mismo punto del espacio.

5. Encuentre el centro de masa de un alambre uniforme que substiende un arco circular de radio a, como el mostrado en la figura 1.16. Resp.:

!R = 2a

Sen

2

bex.6. El centro de gravedad de un sistema de partculas es el punto en torno al cual las

fuerzas externas gravitacionales no ejercen torque. Para una fuerza gravitacionaluniforme, mostrar que el centro de gravedad es idntico al centro de masa para elsistema de partculas. Ayuda: Establecer un sistema como el mostrado en la figura1.17 donde !ro indica la posicin del centro de gravedad y calcular el torque totaldel sistema en torno a este punto.

7. Considere dos partculas de masa m. Las fuerzas sobre las partculas son!F 1 =

!0

y!F 2 = Fobi. Si las partculas estn inicialmente en reposo en el origen, cul es la


1.9. PROBLEMAS

Figura (1.15): Centro de masa de un sistema formado por un cono slido homogneo cuya base estunida a la correspondiente de un hemisferio slido homogneo (Problema 3).

posicin, velocidad y aceleracin del centro de masas?. Resp.:!R = Fo

4mt2bex, !v =

Fo2mtbex, !a = Fo2mbex.

8. Un modelo de la molcula de H2O es mostrado en la figura 1.18. Localice el centrode masas. Resp.:

!R = 0; 068abex

9. Dnde est el centro de masas del tringulo rectngulo issceles de densidadsuperficial uniforme mostrado en la figura 1.19?. Resp.:

!R = a

3p2bey.

10. Hallar la posicin del centro de masa de la pirmide mostrada en la figura 1.20.Resp.:

!R = a

4bex + a4bey + a4bez.

11. Mostrar que la expresinNPi=1

NPj=1

!f ij en verdad se anula para un sistema de 3 partcu-

las.

12. Mostrar que lamagnitudR del vector de posicin del centro demasa con respectoa un origen arbitrario es dado por la expresin,

M2R2 =M

NXi=1

mir2i

1

2

NXi;j=1

mimjr2ij

13. Mostrar que para una sola partcula de masa constante m la ecuacin de movi-miento implica la siguiente ecuacin diferencial para la energa cintica T ,

T =

!F !v



Figura (1.16): Centro de masa de un alambre uniforme que substiende un arco circular de radio a(Problema 5).

mientras que si la masa vara con el tiempo la ecuacin correspondiente es,

d (mT )

dt=!F !p

14. Se dispara un proyectil a un ngulo de 45o con energa cintica inicial Eo. En elpunto ms alto de su trayectoria, el proyectil explota con energa adicional Eo endos fragmentos. Un fragmento de masa m1 cae verticalmente (ver figura 1.21). (a)Cul es la velocidad (magnitud y direccin) del primer fragmeto y del segundofragmento de masa m2?, (b) Cunto vale la razn m1=m2 cuando m1 es un mx-

imo?. Resp.: (a) v1 = q

Eo(2m2m1)m1(m1+m2)

, verticalmente hacia abajo; v2 =q

Eo(4m1+m2)m2(m1+m2)

,

= tan1p

m1(2m2m1)m1+m2

; (b) m1

m2= 1

2.

15. Un sistema de partculas discreto interacta mediante fuerzas que siguen la formafuerte de la tercera ley de Newton. Dada la relacin usual entre las coordenadasfijas y las coordenadas del centro de masa,

!r i = !r 0i +!R

y la fuerza total sobre la i-sima partcula,

!p i =!F(ex)i +

NXj=1

!F(in)ij

mostrar que el torque total ! ,

! =!L =

NXi=1

!L i, con

!L i =

!r i !p i


1.9. PROBLEMAS

Figura (1.17): Centro de gravedad y centro de masa de un sistema de partculas (Problema 6).

para una fuerza externa de la forma!F(ex)i = mi

!g , es simplemente dada por,! = !R !F (ex)

donde!F (ex) =

NPi=1

!F(ex)i es la fuerza externa total.

16. Si cada partcula de un sistema discreto es atraida hacia un punto fijo O con unafuerza proporcional a su masa y a su distancia a dicho punto kmi!r i (k constantepositiva), demostrar que el centro de masa se mueve como si fuera una partculadel sistema.

17. Un sistema discreto est formado por N partculas de igual masa m que delizanlibremente sobre alambres paralelos lisos y se atraen unas a otras con fuerzas pro-porcionales al producto de sus masas y a sus distancias kmimj!r ij. Supngase quelas correderas estn en la direccin 0X y considere dos de ellas, la i-sima y la j-sima (ver figura 1.22). En la figura, ij es el ngulo que forma la lnea de la fuerzacon respecto al eje X.

a) Muestre que la aceleracin de la i-sima partcula viene dada por,

x i = km

NXj=1

(xj xi)

b) Muestre que la posicin del centro de masa viene dada por,

xcm =1

N

NXi=1

xi



Figura (1.18): Centro de masa de un modelo de la molcula de H2O (Problema 8).

Figura (1.19): Centro de masa de un tringulo rectngulo issceles homogneo (Problema 9).

c) Ahora, combinando lo mostrado en (a) y (b), mostrar que las partculas oscilancon igual frecuencia angular dada por,

! =pkmN

donde se ha supuesto que el centro de masa est en reposo. La independenciade i de esta cantidad es lo que indica que es igual para todas las N partculasdel sistema.

18. Dos partculas de masam se mueven, cada una, sobre las correderas lisas perpen-diculares OX y OY (ver figura 1.23), atrayndose con una fuerza proporcional a su


1.9. PROBLEMAS

Figura (1.20): Centro de masa de una pirmide homognea (Problema 10).

distancia kmi!r i. Si inicialmente,

x (t = 0) = a,x (t = 0) = Vo

y (t = 0) = a,y (t = 0) = 0

a) Muestre que,

x (t) = aCos (!t) Vo2!Sen (!t)

y (t) = aCos (!t)

b) Muestre que la ecuacin cartesiana de la trayectoria del centro de masa delsistema viene dada por,

y2cm

"1 +

Voa!

2# 2xcmycm + x2cm =

Voa!

2que representa una elipse.

19. El torque total ! sobre un sistema de partculas, como el mostrado en la figura1.24, con respecto al origen O del sistema de coordenadas S viene, como ya sesabe, dado por,

! =NXi=1

!r (s)i !F(ex)i



Figura (1.21): Proyectil disparado con un ngulo de elevacin el cual estalla en el aire (Problema 14).

Establecer un nuevo sistema de coordenadas S 0 de origen O0 cuya posicin respec-to de O sea dada por !r o y donde !r (s

0)i sea la posicin del sistema de partculas

respecto a S 0. Mostrar que el torque total sobre mismo sistema de partculas con

respecto a O0 es el mismo ! siNPi=1

!F(ex)i =

!0 , es decir, que el torque resultante tiene

el mismo valor en cualquier sistema de coordenadas.


1.9. PROBLEMAS

Figura (1.22): Sistema discreto formado por N partculas de igual masa m, que delizan libremente sobrealambres paralelos lisos y se atraen unas a otras con fuerzas proporcionales al producto de sus masas ya sus distancias (Problema 17).

Figura (1.23): Dos partculas de masam se mueven, cada una, sobre las correderas lisas perpendicularesOX y OY , atrayndose con una fuerza proporcional a su distancia (Problema 18).



Figura (1.24): Torque de un sistema de partculas con respecto a dos sistemas de coordenadas cuyosorgenes no coinciden (Problema 19).


CAPTULO 2

Deniciones y principios bsicos

En este captulo se estudiarn una serie de definiciones y trminos que son bsi-cos para la comprensin de lo expuesto en los captulos subsiguientes.

Contents2.1. Propiedades del espacio y el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.2. Ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.3. Clasicacin de las ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.3.1. Si son o no desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.3.2. Si dependen explcita o implcitamente del tiempo . . . . . . . . . . . . 46

2.3.3. Por su integrabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.4. Fuerza de ligadura y fuerza aplicada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.4.1. Ligaduras lisas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.4.2. Ligaduras rugosas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.5. Dicultades introducidas por las ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.6. Coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.7. Espacio de conguracin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.8. Magnitudes mecnicas en coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . 58

2.8.1. Desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.8.2. Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.8.3. Aceleracin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.8.4. Trabajo mecnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

39

CAPTULO 2. DEFINICIONES Y PRINCIPIOS BSICOS

2.8.5. Energa cintica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.9. Desplazamiento virtual y trabajo virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.9.1. Desplazamiento virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.9.2. Trabajo virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.10. Algunos principios mecnicos bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.10.1. Principio de los trabajos virtuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.10.2. Principio de DAlembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.10.3. Principio de Hamilton o de accin estacionaria . . . . . . . . . . . . . . 74

2.1. Propiedades del espacio y el tiempo

El espacio y el tiempo son dos conceptos fundamentales de la Fsica y particu-larmente en la Mecnica Clsica, por lo tanto, sus propiedades son importantsimasen el desarrollo de las teoras que la conforman. Aqu se abordarn las propiedadesque tienen el espacio y el tiempo en Mecnica Clsica o Newtoniana.

El espacio, y por tanto su mtrica, tienen las propiedades siguientes:

1. El espacio se caracteriza por una mtrica Eucldea1, lo que lo convierte en un es-pacio puntual Euclidiano en 3 dimensiones, R3.

2. Independencia de los objetos en l inmersos, es decir, la mtrica del espacio no seve afectada por los mismos.

3. Constancia a lo largo del tiempo.

4. Homogeneidad: Es igual en todos los puntos, no existiendo puntos privilegiados. Lapropiedad de homogeneidad del espacio significa que las leyes de la fsica tienenvalidez en todos los lugares del universo, es decir, las propiedades mecnicas de unsistema dado no son afectadas por las traslacin del mismo en el espacio.

1Euclides (fl. 300 a.C.), matemtico griego, cuya obra principal, Elementos de geometra, es un extensotratado dematemticas en 13 volmenes sobre materias tales como geometra plana, proporciones engeneral, propiedades de los nmeros, magnitudes inconmensurables y geometra del espacio. Proba-blemente estudi en Atenas con discpulos de Platn. Ense geometra en Alejandra y all fund unaescuela de matemticas.


2.1. PROPIEDADES DEL ESPACIO Y EL TIEMPO

5. Isotropa2: Es igual en todas las direcciones, no existiendo direcciones privilegiadas.La isotropa del espacio se refiere a que las propiedades mecnicas de un sistemaen particular no son afectadas por la orientacin del mismo. Aparece en el hechode que la orientacin de los ejes de coordenadas, los cuales sirven de marco dereferencia para analizar un fenmeno fsico, es arbitraria. La isotropa del espaciosignifica que si un experimento es efectuado en un laboratorio donde el equipoexperimental tenga una cierta orientacin espacial, los resultados obtenidos sernlos mismos si la orientacin de todos los instrumentos, el sistema que se va a analizary el medio ambiente se modifica.

El tiempo se caracteriza, a su vez, por las siguientes propiedades:

1. Homogeneidad: No existen instantes privilegiados. La homogeneidad del tiempo serefiere a la equivalencia entre cualesquiera dos instantes de tiempo, independien-temente de en que momento se tomen. Se introduce en forma prctica al utilizarmarcos de referencia donde el origen de coordenadas puede seleccionarse arbi-trariamente. Una forma equivalente de expresar la homogeneidad del tiempo esplantear que las leyes de la fsica son las mismas ahora que hace mil aos.

2. Anisotropa: Fluye constantemente en un sentido, por lo que no se puede retroce-der ni volve

soldovieri c., terenzio introducción a la mecánica de lagrange y hamilton

Documents