solución semi-analítica del flujo electroosmótico...

MEMORIAS DEL XXV CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 18 al 20 DE SEPTIEMBRE DE 2019 MAZATLÁN, SINALOA, MÉXICO

Tema A4 Termofluidos: Electrocinética

Solución semi-analítica del flujo electroosmótico transitorio de dos fluidos de Maxwell inmiscibles en nano- y microcanales transicionales

Escandón Colin Juan Pablo*, Torres Cano David Alejandro

Instituto Politécnico Nacional, SEPI-ESIME Azcapotzalco, Av. De las Granjas No. 682, Col. Santa Catarina, Alcaldía de Azcapotzalco, Ciudad de México,

C.P. 02250, México

*Autor de contacto: [email protected]

R E S U M E N

En este trabajo, se estudia el flujo electroosmótico transitorio de dos fluidos viscoelásticos inmiscibles en nano- y

microcanales transicionales de placas planas paralelas. Con una apropiada combinación de la ecuación de conservación

de la cantidad de movimiento y la ecuación constitutiva del modelo reológico de Maxwell, se obtiene una ecuación

diferencial parcial hiperbólica que describe el campo de velocidad, misma que se resuelve de manera semi-analítica

utilizando el método de la transformada de Laplace. Adoptando un modelo matemático adimensional de las ecuaciones

gobernantes y constitutivas, se reporta la influencia de los parámetros adimensionales sobre el flujo electroosmótico

transitorio, siendo éstos, una diferencia de potencial y una densidad de carga superficial en la interfase líquido-líquido,

los tiempos de relajación, la razón de viscosidades y la razón de densidades entre los fluidos.

Palabras Clave: Flujo electroosmótico, fluidos de Maxwell, fluidos inmiscibles, nanocanales, microcanales.

A B S T R A C T

In this work, the transient electroosmotic flow of two immiscible viscoelastic fluids in transitional nano- and microchannels

of parallel flat plates is studied. With a proper combination of the momentum conservation equation and the constitutive

equation of Maxwell's rheological model, we obtain a partial hyperbolic differential equation that describes the velocity

field, which is solved semi-analytically using the method of the Laplace transform. Adopting a dimensionless mathematical

model of the governing and constitutive equations, the influence of the dimensionless parameters on the transient

electroosmotic flow is reported, being these, a potential difference and a surface charge density on the liquid-liquid

interface, the relaxation times, the viscosities ratio and the densities ratio between fluids.

Keywords: Electroosmotic flow, Maxwell fluids, immiscible fluids, nanochannels, microchannels.

Nomenclatura

Ex campo eléctrico en la coordenada x, Vm-1

e carga del electrón, C

H mitad de altura del microcanal, m

kB constante de Boltzmann, JK-1

n0 densidad de iones, m-3

t tiempo, s

T temperatura, K

u velocidad del fluido, ms-1

uc velocidad característica, ms-1

u velocidad adimensional, ms-1

x, y coordenadas cartesianas

y1 posición de interfase, m

1y posición adimensional de la interfase

z valencia del electrolito

Símbolos griegos

constante dieléctrica, CV-1 m-1

razón de constantes dieléctricas

potencial zeta en las paredes, V

potencial zeta adimensional en las paredes

viscosidad dinámica, Nm-2s razón de viscosidades

-1 longitud de Debye, m

parámetro electrocinético

densidad del fluido, kgm-3

e densidad de carga eléctrica, Cm-3

razón de densidades

yx esfuerzo cortante, kgm-1s-2

potencial eléctrico, V

potencial eléctrico adimensional

Subíndices

1,2 capa de fluido


1. Introducción

En el campo de la miniaturización de sistemas, se obtienen

ventajas como el manejo de pequeños volúmenes de

muestras, escalabilidad, integración de múltiples funciones

y campos, bajos costos de operación, bajo consumo de

energía, entre otros. El resultado es un microsistema

conocido como laboratorio en un chip, con un tamaño de

milímetros a centímetros que facilita la implementación de

muchas tareas de laboratorio, en donde se incluye la

preparación de muestras, mezclado, separación, diagnostico,

manipulación, control, detección y análisis [1]. La

aplicación de estos microsistemas abarca las áreas de

mecánica, biología, química y medicina, buscando mejorar

las tecnologías para preservar la salud del ser humano y

mejorar la calidad de vida [2].

Un problema inherente en los pequeños dispositivos

antes mencionados, es la fabricación de partes móviles para

la manipulación de fluidos o muestras. Es por eso, que

surgen las técnicas basadas en efectos electrocinéticos que

no necesitan partes móviles [3]. La electroósmosis es uno de

los fenómenos estudiados por la electrocinética y que se

utiliza para el transporte de una solución electrolítica en

contacto con una superficie estacionaria eléctricamente

cargada. El movimiento sucede cuando se aplica un campo

eléctrico externo sobre una región de alta concentración de

iones llamada doble capa eléctrica (por sus siglas el idioma

inglés EDL, electrical double layer, y cuya magnitud se

define por la longitud de Debye) en las cercanías de las

paredes polarizadas del conducto; esta acción arrastra los

iones dentro de la EDL y fuera de ella el movimiento se

transmite al resto del fluido por arrastre viscoso [4].

En este contexto, la microfluídica y nanofluídica son

términos que se utilizan en campos de la ciencia con

sistemas miniaturizados donde los fluidos se usan como

componentes clave de control y de detección; por lo cual, es

de principal interés establecer que teoría de la mecánica

utilizar, ya sea la mecánica del medio continuo o la mecánica

estadística, para la descripción adecuada de los fenómenos

de flujo y transferencia de calor que suceden ahí [5]. Para

esto, Kandlikar y Grande [6], propusieron una uniformidad

en la clasificación de conductos con Dh ≤0.1 m para

nanocanales, 0.1≤Dh ≤1 m para nanocanales transicionales,

1≤Dh ≤10 m para microcanales transicionales, 10≤Dh ≤200

m para microcanales, 200≤Dh ≤3 mm para minicanales;

aquí, Dh es el diámetro hidráulico del conducto o canal. Por

su lado Qiao y Aluru [7] establecieron que la teoría de flujo

continuo deja de ser útil en aplicaciones de flujos

electroosmóticos en canales de hasta 0.95 nm; sin embargo,

esta teoría se puede utilizar en canales de hasta 2.22 nm con

correcciones de la viscosidad de los líquidos dentro de la

EDL. Cuando la teoría del medio continuo no es aplicable,

los flujos electroosmóticos en nanoescala se estudian con

técnicas de dinámica molecular [8] o simulaciones

atomísticas [9].

Los flujos electroosmóticos se han estudiado

extensivamente con fluidos de una sola fase o una sola capa,

tanto en régimen permanente como en estado transitorio, y

usando conductos formados por canales cilíndricos [10],

anulares [11], de placas paralelas [12] y rectangulares [13].

Sin embargo, estas investigaciones se han extendido al

bombeo de fluidos no conductores por arrastre viscoso

debido a efectos electroosmóticos sobre un líquido

conductor, es decir el transporte de dos fluidos paralelos

inmiscibles [14-16]; en estos trabajos, al considerar que uno

de los fluidos en el arreglo es conductor y el otro no, derivan

en un empleo parcial o nulo de los esfuerzos eléctricos de

Maxwell en la interfase líquido-líquido entre los fluidos. Por

lo tanto, y como una extensión a este último aspecto,

también se han realizado investigaciones teóricas sobre el

flujo electroosmótico transitorio de dos fluidos conductores

inmiscibles, como el estudio de Jian et al. [17] con un fluido

de Maxwell y el otro newtoniano, y el estudio de Su et al.

[18] con ambos fluidos newtonianos, en donde se utilizaron

los esfuerzos eléctricos en ambos fluidos.

Por lo anterior y debido a que el estudio del flujo

electroosmótico transitorio de dos fluidos conductores de

Maxwell inmiscibles en un conducto de placas planas

paralelas no ha sido estudiado aun por la comunidad

científica en conjunto con los efectos interfaciales eléctricos

en interfases líquido-líquido, el presente trabajo tiene como

objetivo extender este tipo de conocimiento sobre flujos

electrocinéticos en nano- y microcanales transicionales, en

donde la teoría del medio continuo es todavía aplicable.

2. Formulación del problema

2.1. Descripción del modelo físico

La presente investigación considera un flujo

electroosmótico transitorio de dos fluidos inmiscibles de

Maxwell, los cuales son incompresible y circulan en un

nano-microcanal de placas planas paralelas de altura 2H. El

origen del sistema de coordenadas cartesianas (x, y) está

ubicado en la pared inferior del conducto según se muestra

en la Fig. 1; además, la posición de la interfase líquido-

líquido entre los fluidos se encuentra en una posición y1=H.

Cada fluido del sistema se conforma de una mezcla de un

electrolito simétrico con un soluto que exhibe un

comportamiento viscoelástico. Las paredes del conducto

están polarizadas, adquiriendo los potenciales zeta 1 y 2,

cuando se ponen en contacto con la solución electrolítica,

formando una EDL en las interfases sólido-líquido. Debido

a que ambos fluidos son considerados inmiscibles y

eléctricamente conductores y la interfase entre ellos es

polarizable debido a su impermeabilidad a partículas

cargadas [19], aparece una EDL con una densidad de carga

qs y una diferencia de potencial en la interfase líquido-

líquido [4]. Por lo tanto, el flujo electroosmótico aparece

cuando un campo eléctrico Ex, se aplica en la dirección x-

positiva.

2.2. Ecuaciones gobernantes y constitutiva

El campo de flujo de cada fluido en el presente sistema está

gobernado por la ecuación de continuidad:


Figura 1 – Esquema del flujo electroosmótico de dos fluidos

inmiscibles en un nano-microcanal de placas planas paralelas.

0,v (1)

por la ecuación de Cauchy de conservación de la cantidad de

movimiento:

,v

FD

pDt

(2)

y por la ecuación de Poisson-Boltzmann, que describe la

distribución del potencial eléctrico en la doble capa

eléctrica:

2 02sinh ,e

B

n ze ze

k T

(3)

donde v es el vector de velocidad, es la densidad del fluido,

t es el tiempo, p es la presión, es el tensor de esfuerzos y

F es el vector de fuerza de cuerpo. Adicionalmente, es el

potencial eléctrico, e es la densidad de carga eléctrica

libre, es la constante dieléctrica, n0 es la densidad de iones,

z es la valencia del electrolito, kB es la constante de

Boltzmann y T es la temperatura absoluta del fluido. El

modelo reológico que describe el comportamiento

viscoelástico del fluido es el modelo de Maxwell, dado por

la siguiente ecuación:

,TD

Dt

v v

(4)

donde es el tiempo de relajación, es la viscosidad

dinámica, y es el tensor de la rapidez de deformación

dado por ( ) ( ) .T v v

2.3. Simplificación de las ecuaciones gobernantes

Las ecuaciones gobernantes de la sección anterior

representan el modelo matemático general para resolver el

flujo electroosmótico de los fluidos inmiscibles planteado;

sin embargo, este modelo puede ser simplificado tomando

en cuenta las siguientes consideraciones:

El nano-microcanal es lo suficientemente largo, por lo

tanto, el análisis se centra en una región donde se

desprecian los efectos de entrada y salida al conducto,

asumiendo un flujo completamente desarrollado y

unidireccional [4, 20].

Las propiedades físicas de los fluidos son independientes

del campo eléctrico y la temperatura [16].

La interfase líquido-líquido entre los fluidos se

representa como una frontera con espesor cero [19].

La interfase líquido-líquido está bien definida con una

posición fija y plana a lo largo del conducto [21]. Esto se

asume debido a que el flujo es laminar con números de

Reynolds bajos Re(=Huc/)≤1 [4, 5], donde uc es la

velocidad característica del flujo; y números capilares

pequeños Ca(=uc/)≤1 [22], donde es la tensión

superficial entre los electrolitos en un rango de valores

de =0.01-3 mNm-1 [23].

Los potenciales zeta en las paredes son bajos con un

valor de ≤25 mV, para considerar la aproximación de

Debye-Hückel en donde siendo , se tiene que

sinh(ze/kBT) ze/kBT [4].

No existe ningún gradiente de presión externo.

La columna hidrostática por el espesor de cada capa de

fluido es tan pequeña, que los efectos gravitacionales se

pueden despreciar [4].

De esta manera, las ecuaciones gobernantes y

constitutivas (1)-(4), pueden ser reescritas en coordenadas

cartesianas de la siguiente manera, para el fluido 1:

,1 21

1 1 1 1 1, 0, 2 ,yx

x

uE t y y H

t y

(5)

21

1 1 1, 0, 2 ,d

t y y Hdy

(6)

,1 1

,1 1 1 10, 2 ,yx

yx

ut y y H

t y

(7)

para el fluido 2, se tiene que:

,2 22

2 2 2 2 1, 0,0 ,yx

x

uE t y y

t y

(8)

22

2 2 1, 0,0 ,d

t y ydy

(9)

,2 2

,2 2 2 10,0 ,yx

yx

ut y y

t y

(10)

donde u1 y u2 son las velocidades de cada fluido en la

dirección x; yx,1 y yx,2 son esfuerzos cortantes; 2 2 2

1,2 0;1,2 1,2 1,2 1,22 / Bn z e k T son los parámetros de Debye

Hückel, relacionados a la longitud de Debye de cada fluido 1 2 2 1/2

1,2 1,2 1,2 0;1,2 1,2( / 2 )Bk T n z e .

Para obtener un modelo matemático del campo de

velocidad del flujo electroosmótico de los fluidos

inmiscibles, se derivan las ecs. (7) y (10) con respecto a la


coordenada transversal y, quedando las siguientes

expresiones:

2 2,1 ,1 1

1 1 2,

yx yx u

y t y y

(11)

2 2,2 ,2 2

2 2 2.

yx yx u

y t y y

(12)

Ahora, sustituyendo la ec. (11) en la ec. (5) y la ec. (12)

en la ec. (8), se obtiene:

2 2,1 21 1

1 1 1 1 1 12,

yx

x

u uE

t t y y

(13)

2 2,2 22 2

2 2 2 2 2 22.

yx

x

u uE

t t y y

(14)

Para reemplazar las derivadas cruzadas de las ecuaciones

anteriores, las ecs. (5) y (8) se derivan con respecto al tiempo

obteniéndose lo siguiente:

2 22 2,1 ,21 2

1 22 2, .

yx yxu u

t y t yt t

(15)

Así, sustituyendo la ec. (15) en las ecs. (13) y (14) de

forma correspondiente, se obtienen las ecuaciones

hiperbólicas de conservación de la cantidad de movimiento

para los dos fluidos en términos de la velocidad como sigue:

2 2

21 1 1

1 1 1 1 1 1 12 2,x

u u uE

tt y

(16)

2 2

22 2 2

2 2 2 2 2 2 22 2.x

u u uE

tt y

(17)

2.4. Condiciones de frontera e iniciales

Las condiciones de frontera para las ecs. (6), (9), (16) y (17),

son las condiciones de no deslizamiento de velocidad y de

potencial especificado en las interfases sólido-líquido de las

paredes del conducto con:

2 1( 0) ( 2 ) 0, 0.u y u y H t (18)

2 2 1 1( 0) , ( 2 ) , 0.y y H t (19)

Complementariamente, en la interfase líquido-líquido

entre los fluidos, las condiciones de frontera para el campo

de velocidad son las condiciones de continuidad de

velocidad y de balance de esfuerzos siguientes:

1 1 2 1( ) ( ), 0,u y y u y y t (20)

1 1,1 ,1 ,2 ,2 , 0,yx e yx ey y y y

t

(21)

donde, el esfuerzo eléctrico para cada fluido es:

1 2

,1 1 ,2 1, , 0.e x e x

d dE E t

dy dy

(22)

Para el potencial eléctrico en la interfase líquido-líquido,

se tiene una diferencia de potencial y la ley de Gauss

siguientes:

2 1 1 1( ) ( ) , 0,y y y y t (23)

1 1

1 2

1 2 , 0,s

y y y y

d dq t

dy dy

(24)

donde es una diferencia de potencial eléctrico en la

interfase líquido-líquido, y qs es la densidad de carga

eléctrica. Por otro lado, las condiciones iniciales son:

1 2 ,1 ,2

1 2

0 0

( 0) ( 0) 0, ( 0) ( 0) 0,

0,0 2 .

yx yx

t t

u t u t t t

u uy H

t t

(25)

2.5. Modelo matemático adimensional

Para normalizar el modelo matemático dado en las secciones

2.3 y 2.4, se introducen las siguientes variables

adimensionales:

;1,21,2 1,2 11

1,2 ;1,2 1,22

1 11

, , , , ,yx

yx

c c B

Hu z etyy t u

H u u k TH

(26)

donde 1 1 1 1/c B xu k T E z e es la velocidad característica

de un flujo electroosmótico. Por lo tanto, las ecs. (6), (7),

(9), (10), (16) y (17), quedan en forma adimensional para

cada fluido de la siguiente manera; en primer lugar para el

fluido 1 como:

2 2

21 1 1

1 1 1 12 2, 0, 2,

u u ut y y

tt y

(27)

21

1 1 1, 0, 2,d

t y ydy

(28)

,1 1

,1 1 1, 0, 2,yx

yx

ut y y

t y

(29)

y en segundo lugar para el fluido 2 como:


2 2

22 2 2

2 2 22 2,

u u u

tt y

(30)

22

2 2 1, 0,0 ,d

t y ydy

(31)

,2 2

,2 2 1, 0,0 ,yx

yx

ut y y

t y

(32)

con sus correspondientes condiciones de frontera, en las

interfases sólido-líquido a partir de las ecs. (18) y (19), se

tiene para la velocidad y para el potencial eléctrico como:

2 1( 0) ( 2) 0, 0,u y u y t (33)

2 2 1 1( 0) , ( 2) , 0.y y t (34)

En el caso de la interfase líquido-líquido a partir de las

ecs. (20), (21), (23) y (24), se tiene para la velocidad:

1 1 2 1( ) ( ), 0,u y y u y y t (35)

1 1

1 2

,1 ,2 , 0.yx yx

y y y y

d dt

dy dy

(36)

y para el potencial eléctrico, respectivamente:

2 1 1 1( ) ( ) , 0.y y y y t (37)

1 1

1 2 , 0.s

y y y y

d dQ t

dy dy

(38)

Ahora, sustituyendo la ec. (26) en la ec. (25), se tiene la

versión adimensional de las condiciones iniciales como:

1 2 ,1 ,2

1 2

0 0

( 0) ( 0) 0, ( 0) ( 0) 0,

0,0 2.

yx yx

t t

u t u t t t

u uy

t t

(39)

Los parámetros adimensionales que surgen en el modelo

matemático adimensional planteado en esta sección son:

1,2

1,2 1,21

1,2

2

1 1,22 1 2 2

1 1,2

1 1 1 1

, , , ,

, , , , ,

s

s

B B B

ze q zeHH zeQ

k T k T k T

Hyy

H

(40)

donde 1,2 son los parámetros electrocinéticos, 1,2 son los

potenciales zeta en las paredes del conducto, es la

diferencia de potencial, sQ es la densidad de carga

superficial, es la razón de constantes dieléctricas, 1y es la

posición de la interfase líquido-líquido, 1,2 son los

tiempos de relajación de cada fluido, es la razón de

densidades y es la razón de viscosidades.

3. Metodología de solución

3.1. Solución del potencial eléctrico

Las ecuaciones de Poisson-Boltzmann (28) y (31) se

integran dos veces respecto a la coordenada transversal

adimensional y , quedando:

1 1

1 1 2 ,y y

C e C e

(41)

2 2

2 3 4 ,y y

C e C e

(42)

donde 21 3, ,C C C y

4C son constantes de integración, las

cuales se determinan al sustituir las condiciones de frontera

dadas por las ecs. (34), (37) y (38) en las anteriores ecs. (41)

|y (42), resultando en las siguientes expresiones:

1 12

1 2

2

1,C e C e (43)

2 1 2 1 1 1 1 1

3 24 1 ,y y y y

C e C e C e C e

(44)

1 1 1 1 2 1 2 1

31 1 1 2 2 2 4 ,y y y y

sC e C e C e C e Q (45)

3 4 2 .C C (46)

El sistema de ecuaciones dado por las ecs. (43)-(46), se

arregla de forma matricial como sigue a continuación:

1 1

1 1 1 1 2 1 2 1

1 1 1 1 2 1 2 1

2

1

1 1 2 2

2

21

2

3

4

0 0

0

,

0 1 1

y y y y

y y y y

s

Ce e

Ce e e e

Ce e e e Q

C

(47)

el cual, se resuelve para las constantes 21 3, ,C C C y 4C por

el método de la matriz inversa [24].

3.2. Solución del perfil de velocidades

Para resolver el campo de velocidad de los dos fluidos

inmiscibles, se utiliza el método de la transformada de

Laplace para la velocidad, teniendo en cuenta la siguiente

ec. (48):

1,2 1,2 1,20

( , ) [ ( , )] ( , ) ,stU y s L u y t u y t e dt

(48)

y para el esfuerzo cortante se emplea la siguiente ec. (49):

;1,2 1,2 1,20

( , ) [ ( , )] ( , ) .st

yx y s L y t y t e dt

(49)


Por lo tanto, las ecuaciones de conservación de la

cantidad de movimiento, ecs. (27) y (30), se reescriben de la

siguiente forma:

2 1

1 1 1

0

2 2

1 1 1

1 1 2

( , ) ( , 0)

( , ) ( )( , ) ( , 0) ,

t

us U y s su y t

t

U y s ysU y s su y t

sy

(50)

2 2

2 2 2

0

2 2

2 2 2

2 2 2

( , ) ( , 0)

( , ) ( )( , ) ( , 0) .

t

us U y s su y t

t

U y s ysU y s su y t

sy

(51)

Aplicando las condiciones iniciales correspondientes

para la velocidad de la ec. (39), en las ecs. (50) y (51), resulta

lo siguiente:

2 2

1 1 1

1 12

( , ) ( )1 ( , ) ,

U y s ys s U y s

sy

(52)

2 2

2 2 2

2 22

( , ) ( )( 1) ( , ) .

U y s ys s U y s

sy

(53)

También, al aplicar la transformada de Laplace

establecida por la ec. (48) a las condiciones de frontera dadas

en las ecs. (33) y (35), éstas se reescriben, respectivamente

como:

2 1( 0, ) ( 2, ) 0,U y s U y s (54)

1 1 2 1( , ) ( , ).U y y s U y y s (55)

Por otro lado, al aplicar la transformada de Laplace de la

ec. (49) a la condición de frontera de la ec. (36), esta queda

como:

1 1

1 2

,1 ,2

( ) ( )1( , ) ( , ) .yx yx

y y y y

d y d yy s y s

s dy s dy

(56)

Sin embargo, aplicando la transformada de Laplace de las

ecs. (48) y (49) a las ecs. (29) y (32), se obtiene la versión

transformada de los modelos reológicos como sigue:

1

,1 1 ,1 ,1

( , )( , ) ( , ) ( , 0) ,yx yx yx

U y sy s s y s y t

y

(57)

2

,2 2 ,2 ,2

( , )( , ) ( , ) ( , 0) .yx yx yx

U y sy s s y s y t

y

(58)

Aplicando las condiciones iniciales para el esfuerzo

cortante de la ec. (39), en las ecs. (57) y (58), resulta en:

1

,1

1

( , )1( , ) ,

1yx

U y sy s

ys

(59)

2

,2

2

( , )( , ) .

1yx

U y sy s

ys

(60)

Ahora, sustituyendo las ecs. (59) y (60) en la ec. (56),

deja la siguiente ecuación del balance de esfuerzos en la

interfase líquido-líquido en términos de la velocidad como:

1

1

1 1

1

2 2

2

( , ) ( )1 1

1

( , ) ( ).

1

y y

y y

U y s d y

y s dys

U y s d y

y s dys

(61)

Por lo tanto, el modelo matemático del flujo

electroosmótico de los dos fluidos de Maxwell inmiscibles

en el espacio de la transformada de Laplace se conforma de

las ecs. (52)-(55) y (61). Respecto a los fluidos 1 y 2, las ecs.

(52) y (53) se puede tratar como unas ecuaciones

diferenciales ordinarias de segundo orden para la

coordenada transversal; además, su solución general, se trata

por el método de coeficientes indeterminados mediante la

suma de una solución a la ecuación homogénea y una

solución particular a la ecuación no homogénea como sigue:

1 ,1 ,1( , ) ( , ) ( , ).H PU y s U y s U y s (62)

2 ,2 ,2( , ) ( , ) ( , ).H PU y s U y s U y s (63)

La solución homogénea de las ecs. (62) y (63), está dadas

respectivamente por las siguientes ecuaciones:

,1 1 2( , ) ,y y

HU y s Ae A e (64)

,2 3 4( , ) ,y y

HU y s A e A e (65)

donde 1 2 3, ,A A A y 4A son constantes a ser determinadas;

mientras que 1/2

1[ ( 1)]s s y 1/2

2[ ( 1) / ]s s .

Por otro lado, la solución particular de las ecs. (62) y (63)

está dada respectivamente para cada fluido como:

1 1

,1 1 2( , ) ,y y

PU y s B e B e

(66)

2 2

,2 3 4( , ) ,y y

PU y s B e B e

(67)

donde 1 2 3, ,B B B y 4B son constantes a ser determinadas.

Las constantes 1B y 2B se obtienen de sustituir las ecs. (41)

y (66) en la ec. (52), dejando:


2 2

1 1 2 1

1 22 2

1 1 1 1

, .C C

B Bs s s s

(68)

De manera similar, las constantes 3B y

4B se obtienen

de sustituir las ecs. (42) y (67) en la ec. (53), quedando:

2 2

3 2 4 2

3 4

2 22 22 2

, ,C C

B Bs s

s s

(69)

donde 1 1( 1)s y 2 2( 1)s . Con lo anterior, el

perfil de velocidad de cada uno de los fluidos inmiscibles en

el flujo electroosmótico se obtiene al substituir las ecs. (64)-

(67), de manera correspondiente en las ecs. (62) y (63),

obteniendo las siguientes expresiones:

1 1

1 1 2 1 2( , ) ,y yy yU y s A e A e B e B e

(70)

2 2

2 3 4 3 4( , ) .y yy yU y s A e A e B e B e

(71)

Para encontrar las constantes 1 2 3, ,A A A y

4A , en primer

lugar, se aplican las condiciones de frontera dadas por la ec.

(54) a las ecs. (70) y (71), las cuales se reescriben como:

1 12 22 2

1 2 1 2 0,A e A e B e B e (72)

3 4 3 4 0.A A B B (73)

En segundo lugar, se aplica la condición de frontera de la

ec. (55) a las ecs. (70) y (71) quedando la siguiente

expresión:

1 1 1 1

1 1 1 1 2 1 2 1

1 2 3 4

1 2 3 4 0,

y y y y

y y y y

A e A e A e A e

B e B e B e B e

(74)

En tercer lugar, se aplica la condición de frontera de la

ec. (61) a las ecs. (70) y (71), y con las expresiones para el

potencial eléctrico dadas por las ecs. (41) y (42), quedando

la siguiente expresión:

1 1 1 1 1 1

1 1 2 1 2 1

1 1 1 1

2 1 2 1

1 2 1 1 1 2

1

3 4 2 3 2 4

2

2

1

3

1 1

2

2

4

1

0.

y y y y

y y y y

y y

y yC e

A e A e B e B e

A e A e B e

C

B

C ee

s sC e

e

(75)

El sistema de ecuaciones dado por las ecs. (72)-(75),

puede arreglarse de forma matricial como sigue:

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1

1 1 1 1 2 1 2 1

2

1 1 2 2

2 2

1 2

3 4

1

2

2

1

2

3

2 3 4

1

4

0 0

0 0 1

,

1y y y y

y y y y

y y y y

e e

e e e eA

e e e e

D

A

A

B e B e

B B

B e B

A

e B e B e

E F G

s s

(76)

donde

1 1 1 1 2 1 2 1

1 1 1 1 2 1 2 1

1 1 1 2 2 3 2

3

4

1 1 2 21 2 4

, ,

, .

y y y y

y y y y

D B e B e E

F C C

B e

e C

e

e e C e

B

G

(77)

La ec. (76) representa un sistema de ecuaciones que

incluye el término “s”, ahora llamado variable simbólica al

aplicar el método de la matriz inversa [30] para resolver las

constantes 1 2 3, ,A A A y

4A . Finalmente, las constantes

1 2 3, ,A A A y 4A se reemplazan en las ecs. (70) y (71), en

donde se aplica la transformada inversa de Laplace para

resolver el perfil de velocidad del flujo. Para ello, las

distribuciones de velocidad a lo largo de la coordenada

transversal para ambos fluidos 1u y

2u , se aproximan

mediante una combinación lineal finita de valores

transformados por el algoritmo Gaver-Stehfest [25] como:

1,2 1,2;

2

1,2

1

( , ) ( , , )

ln(2) ln(2), ,0 ,

g

M

k

k

u y t u y t M

kU y t

t t

(78)

donde la función aproximada 1,2; ( , , )gu y t M depende de la

posición y , del tiempo t , de un valor entero positivo M, del

coeficiente k , y de la evaluación en el tiempo de la función

transformada 1,2 ( , )U y t . Aquí, k es:

1

[( 1)/2]

2( 1) ,

1!

Mk MM k

k

j k

M j jj

j j kM

(79)

donde 1 2k M . Para este trabajo 2 22.M

4. Análisis de resultados

Los parámetros físicos y geométricos para la estimación de

los parámetros adimensionales en este trabajo son:

0.1 10H m , 1

1,21 100 nm, 11 9

1,27 10 10 CV-1m-1, 4 2

1,210 10 Nm-2s,410xE Vm-1,

1,2700 1500 kgm-3, T=300 K,1,2 25 mV y 1,2z ~

010 , 12.5 12.5 mV y 20 20sq mCm-1.


Adicionalmente, en esta sección de análisis de resultados, se

considera que1,2 1 y

1,2 20 .

La Fig. 2 muestra la validación de la solución de la

velocidad en estado transitorio de dos fluidos inmiscibles

(líneas) con los resultados obtenidos en la investigación

desarrollada por Escandón et al. [14] (marcas) para un solo

fluido en un conducto de placas planas paralelas, tomando

en cuenta los siguientes parámetros adimensionales

1 . Como se observa en la Fig. 2(a), para el caso

de fluidos newtonianos con un valor de los tiempos de

relajación adimensional 1,2 0 , las soluciones tienen una

excelente convergencia con un promedio para todos los

tiempos de la raíz del error cuadrático medio (PRECM) de

0.048%; este porcentaje se determinó con el siguiente

promedio 1( ... ) / ,n n iPRECM RECM RECM i donde

n=1,…,i, es el número de perfiles de velocidad con i=6 y

con: 1/2

100 1002 2

, , ,

0 0

( ) 100,n a p b p a p

p p

RECM u u u

(80)

donde RECM representa la raíz del error cuadrático medio,

au representa el arreglo de valores de un perfil de velocidad

del presente trabajo y bu el arreglo de los resultados

obtenidos por Escandón et al. [14]; p es el contador nodal

del perfil de velocidad, con p=100 nodos. En el caso de los

fluidos viscoelásticos de Maxwell con 1,2 2.5 en la Fig.

2(b), hay una buena convergencia para los primeros tiempos

de la evolución del perfil de velocidad en 0.2,0.8,1.25t

y para el régimen permanente ;t sin embargo, para los

tiempos 1.9t y 3.2t , hay una ligera desviación de la

Figura 2 – Comparación de perfiles de velocidad de un flujo

electroosmótico del presente trabajo (líneas-dos fluidos) con la

investigación de Escandón et al. [14] (marcas-un fluido);

(a) y (b) .

Figura 3 –Perfiles de velocidad de un flujo electroosmótico con

y diferentes

valores de y ; (a) , (b) , (c)

y (d) .


solución semi-analítica presentada aquí con respecto a la

solución exacta del trabajo de Escandón et al. [14] con un

valor calculado del PRECM para esta gráfica del 5.16%. Con

lo anterior se observa que el PRECM se incrementa con el

valor del tiempo de relajación adimensional; sin embargo, la

presente investigación puede describir de manera apropiada

tanto cuantitativamente como cualitativamente el fenómeno

del flujo electroosmótico de dos fluidos inmiscibles de

Maxwell y su comportamiento oscilatorio explicado por

Escandón et al. [14] para un solo fluido.

En la Fig. 3, se muestra el desarrollo en el tiempo de los

perfiles de velocidad adimensional en función de la

coordenada transversal de un flujo electroosmótico de dos

fluidos de Maxwell bajo la influencia de efectos interfaciales

eléctricos con los parámetros y sQ , y para los tiempos

0.1t en la Fig. 3(a), 0.5t en la Fig. 3(b), 4t en la

Fig. 3(c) y hasta que se alcanza el régimen permanente con

t en la Fig. 3(d), respectivamente. Los valores de los

parámetros adimensionales seleccionados se presentan en la

figura. Se observa que, para cualquier tiempo, los valores de

polaridades positivas de las cargas eléctricas en la interfase

líquido-líquido con 0.5 y 1,sQ genera un salto de

la velocidad alrededor de esa zona del perfil de velocidad y

en sentido favorable al flujo; de forma contraria, los valores

negativos de 0.5 y 1,sQ genera un salto de la

velocidad en sentido desfavorable produciendo un flujo

inverso. Para una interacción iónica nula entre las capas de

fluido con 0 y 0,sQ el perfil de velocidad

evolucionará bajo los efectos de memoria de los fluidos

viscoelásticos hasta recuperar el clásico flujo

electroosmótico tapón cuando t .

En la Fig. 4, se presentan la evolución transitoria de los

perfiles de velocidad de dos fluidos inmiscibles como

función de la coordenada transversal del conducto, y para

dos casos de los tiempos de relajación con 1,2 0

(newtonianos) y con 1,2 0.5 (Maxwell). Se observa un

incremento uniforme del perfil de velocidad para los fluidos

newtonianos (líneas sólidas) cuando sigue su evolución del

perfil numerado con “1” ( 0.1t ) y hasta que llega al perfil

de régimen permanente con número “5” ( t ). Mientras

que los fluidos de Maxwell (líneas con marcas) presentan

efectos de retardación en los primeros tiempos de la puesta

en marcha del flujo en los perfiles numerados con “a”, “b” y

“c”; sin embargo, el comportamiento elástico y oscilatorio

de este tipo de fluidos hace que el perfil “d” sobrepase la

magnitud del régimen permanente “e”. Al final, en el

régimen de estado permanente, los fluidos de Maxwell se

comportan como fluidos newtonianos, esto se observa con

el traslape de los perfiles numerados con “5” y “e”.


y diferentes valores de ; (a) , (b) , (c)

y (d) .

Figura 4 – Perfiles de velocidad de un flujo electroosmótico con

.

Líneas sólidas y líneas con marcas


En la Fig. 5, se muestra la evolución de los perfiles de

velocidad del flujo electroosmótico de dos fluidos de

Maxwell como función de la razón de viscosidad entre los

fluidos , y para los tiempos 0.1t en la Fig. 5(a), 0.5t en la Fig. 5(b), 1t en la Fig. 5(c) y hasta t

en la Fig. 5(d), respectivamente. Cuando el fluido 2 tiene

una viscosidad menor a la del fluido 1 con 0.5 , el perfil

de velocidad tiene una magnitud mayor; de forma contraria,

cuando 2.5 el conjunto de fluidos presentará el perfil de

velocidad con menor magnitud al ofrecer mayor resistencia

al flujo por efecto de la viscosidad.

En la Fig. 6, se muestra el flujo electroosmótico

transitorio de dos fluidos de Maxwell inmiscibles como

función de la coordenada transversal y tres valores de la

razón de densidades . Se observa que, cuando el fluido 2

es más ligero que el fluido 1 con 0.8 , se tendrá el perfil

de velocidad con mayor magnitud durante el régimen

transitorio con 0.1,0.5,2t ; y cuando del fluido 2 es más

pesado con 1.2 , se tiene el perfil de velocidad con

menor magnitud. La condición de 1 representa la

igualdad de densidades de los fluidos. Por otro lado, en el

régimen permanente con t , el efecto de la razón de

densidades desaparece y todos los perfiles se traslapan para

cualquier valor de .

5. Conclusiones

Esta investigación presenta resultados sobre un flujo

electroosmótico conduciendo dos fluidos viscoelásticos de

Maxwell inmiscibles bajo efectos interfaciales eléctricos en

nano-microcanales transicionales. Se concluye que una

diferencia de potencial eléctrico y la presencia de una carga

eléctrica neta en la interfase líquido-líquido, rompe con la

continuidad de esfuerzos viscosos, produciendo saltos de

velocidad a favor o en contra del flujo. Adicionalmente, al

llegar al régimen permanente, el campo de flujo deja de

experimentar los efectos de los parámetros adimensionales

de los tiempos de relajación 1,2 y de la razón de densidades

. También, cuando el flujo con fluidos de Maxwell llega

al régimen permanente, estos se comportarán como fluidos

newtonianos. Finalmente, la confiabilidad del método

numérico en el presente trabajo, alcanza un PRECM

máximo de 5.16%, describiendo de forma cuantitativa y

cualitativa el fenómeno del flujo electroosmótico estudiado.

Agradecimientos

Este trabajo tuvo el respaldo del proyecto de investigación

SIP-20195892 del Instituto Politécnico Nacional.

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solución semi-analítica del flujo electroosmótico...

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