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UNIVERSIDAD DEL NORTE

Departamento de Matemáticas y Estad́ıstica.

Examen final de  Álgebra Lineal.

Mayo 21 de 2013.

A.

1. En cada caso indique si la proposición dada es verdadera o falsa. Justifique sus respuesta

a ) El punto  P (−

1, 2,−

5) está en el octante VIII.(Verdadero)

De acuerdo a la convención establecida, el punto está atrás (V a VIII octantes), derecha (resa V y VIII) y abajo ( Restringe solo al VIII)

b) Un vector paralelo a la recta, en el plano, de ecuación 2x + 3y = 6 es (−3, 2). (Verdader

La pendiente de la recta (de ecuación  y  =   −23   x + 2) es  m =  −23   =

  2−3   =

  ∆(y)∆(x) , por lo que

vector paralelo a la recta es de la forma  v =  α(−3, 2),  α = 0.c ) Un punto del plano que contiene al punto P (1, 1, 2) y tiene como un vector normal a  n  = (1

es

2,  12 , 2

.(Verdadero).

Se satisface que  n

•P 

  = (1,

2,

3) • (1,

1,

2) = 9 = n

• 2, 1

2,

2

.d ) Una ecuación de la recta que pasa por los puntos  P (1, 1, 2) y  Q(0, 1, 3) es

(x , y , z) = (−2 + 2s, 1, 5 − 2s), s ∈ R.(Verdadero).

La ecuación dada puede escribirse como  (x , y , z) = (−2, 1, 5) + s(2, 0, −2)  por lo que un v paralelo a la misma es  (2, 0, −2) = −2(−1, 0, 1) = −2−−→P Q.Ahora, para  (x , y , z) = (0, 1, 3) =  Q  en la ecuación dada, se obtiene  s = 1  (o para  (x , y , z)se tiene  s  =   32) por lo que  Q  pertenece a la recta de ecuación dada y es, por tanto, la mism pasa por  P   y  Q.

e ) Las columnas (transpuestas) de1 2 31 3 5

2 5 8

 generan a  R3.(Falso)

Se tiene que 

1 2 31 3 52 5 8

=1 2 30 1 20 1 2

= 0, por lo que la matriz dada no es invertible, condnecesaria y suficiente para que las columnas generen a  R3.

2. Considere los puntos  P (1, 1, 2), Q(1,−3, 5) y  R(2, 1, 3).a ) Muestre que P, Q y R no son colineales y determine una ecuación vectorial y una carte

para el plano único que los contiene.

Se tiene que  −−→P Q = (0, −4, 3), −→P R = (1, 0, 1), vectores que no son múltiplos y, por tanto, n

 paralelos. Se tiene entonces que los puntos no son colineales y los vectores indicados form

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 par de generadores del plano único que los contiene. Una ecuación vectorial de dicho plan por tanto:

(x , y , z) = (1, 1, 2) + t(0, −4, 3) + s(1, 0, 1), t , s ∈ R.Ahora  n =

 −−→P Q × −→P R = (−4, 3, 4) es una normal al plano, por lo que una ecuaci ón cartesia

(−4, 3, 4) • (x,y,z) = (−4, 3, 4) • (1, 1, 2) ⇐⇒ −4x + 3y + 4z = 7.

b) Encuentre las coordenadas de los puntos que dividen a  P Q  en tres partes iguales.

Si  P 1, P 2  son los puntos pedidos (ordenados de  P   a  Q), entonces se tiene que 

−−→P P i =

  i

3

−−→P Q =⇒ P i =  P  +   i

3

−−→P Q

Obteníendose 

P 1   = (1, 1, 2) + (0, −43

, 1) = (1, −13

, 3)

P 2   = (1, 1, 2) + (0, −83

, 2) = (1, −53

, 4)

c ) Halle el área del triángulo con vértices en los puntos dados.

Se tiene que el área pedida es 

1

2−−→P Q × −→P R =  1

2(−4, 3, 4) =

√ 41

2  .

3. Sean  A y  B  matrices 2 × 2 sobre el campo real. Si

(2A)−1 =

1 21 4

, BT  =

1 35 4

,

determine:a ) (3AB−1)−1.

b) (3AT )−1

c ) Una matriz  X  tal que 2AX  = B.

Se tiene que 

(2A)−1 =

1 21 4

=⇒  1

2A−1 =

1 21 4

=⇒ A−1 = 2

1 21 4

=

2 42 8

, B = (BT )T  =

1 3

Tenemos entonces 

(3AB−1)−1 = 1

3(B−1)−1A−1 =

 1

3BA−1 =

 1

3

1 53 4

2 42 8

=

4   443143

443

.

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(3AT )−1 = 1

3(A−1)T  =

 1

3

2 24 8

=

23

23

43

83

.

2AX  = B  =⇒ X  = (2A)−1B =

1 21 4

1 53 4

=

7 13

13 21

.

4. Considere el conjunto S  = {A|AT  = A} ⊆ R2×2. Muestre que S  es un subespacio de  R2×2 y encu

un conjunto de generadores del mismo.

Se tiene que  A =

t r

s u

∈ S  ⇐⇒

t r

s u

=

t s

r u

⇐⇒ s  =  r. Por lo que 

S  =

t r

r u

t,r,u ∈ R

=

1 00 0

,

0 11 0

,

0 00 1

.

Valoración: 1 y 2: 1.5 cada uno, 3 y 4: 1.0 cada uno.

Tiempo máximo: 1 hora 30 minutos.

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Ahora  n = −−→QP  × −−→QR = (−4, 3, 4)  es una normal al plano, por lo que una ecuaci ón cartesia

(−4, 3, 4) • (x,y,z) = (−4, 3, 4) • (1, 1, 2) ⇐⇒ −4x + 3y + 4z = 7.b) Encuentre las coordenadas de los puntos que dividen a  P Q  en tres partes iguales.

Si  P 1, P 2  son los puntos pedidos (ordenados de  Q  a  P ), entonces se tiene que 

−−→QP i =

  i

3

−−→QP   =⇒ P i =  Q +   i

3

−−→QP 

Obteníendose 

P 1   = (1, 1, 2) + (0, −43

, 1) = (1, −13

, 3)

P 2   = (1, 1, 2) + (0, −83

, 2) = (1, −53

, 4)

c ) Halle el área del triángulo con vértices en los puntos dados.

Se tiene que el área pedida es 

1

2−−→QP  × −−→QR =  1

2(−4, 3, 4) =

√ 41

2  .

3. Sean  A y  B  matrices 2 × 2 sobre el campo real. Si(2A)−1 =

1 41 2

, BT  =

1 35 4

,

determine:

a ) (3AB−1)−1.

b) (3AT )−1

c ) Una matriz  X  tal que 2AX  = B.

Se tiene que 

(2A)−1 =

1 41 2

=⇒  1

2A−1 =

1 41 2

=⇒ A−1 = 2

1 41 2

=

2 82 4

, B = (BT )T  =

1 3

Tenemos entonces 

(3AB−1)−1 = 1

3(B−1)−1A−1 =

 1

3BA−1 =

 1

3

1 53 4

2 82 4

=

4   283143

403

.

(3AT )−1 = 1

3(A−1)T  =

 1

3

2 24 8

=

23

23

83

43

.

2AX  = B  =⇒ X  = (2A)−1B =

1 41 2

1 53 4

=

13 217 13

.

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4. Considere el conjunto T  = {A|AT  = A} ⊆ R2×2. Muestre que T  es un subespacio de  R2×2 y encuun conjunto de generadores del mismo.

Se tiene que  A =

t r

s u

∈ S  ⇐⇒

t r

s u

=

t s

r u

⇐⇒ s  =  r. Por lo que 

S  =

t r

r u

t,r,u ∈ R

=

1 00 0

,

0 11 0

,

0 00 1

.

Valoración: 1 y 2: 1.5 cada uno, 3 y 4: 1.0 cada uno.

Tiempo máximo: 1 hora 30 minutos.