solusi kuadrat terkecil

(scanned by M. Gamal,Sept.2002 & rewritten by Oktavia D., Oct.2006 at Geodesy Laboratory)

SOLUSI KUADRAT TERKECIL OLEH: Drs. Koesdiono KELOMPOK BIDANG KEAHLIAN GEODESI JURUSAN TEKNIK GEODESI FAKULTAS SIPIL DAN PERENCANAAN INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG 1993


SOLUSI KUADRAT TERKECIL

1. PENDAHULUAN

Dalam Geodesi,khususnya dalam Hitung Perataan,sering kita dihadapkan kepada masalah.

Diberikan system persamaan linear

BxA = (1.1) dengan syarat agar

TBxA )( )( BxA minimum (1.2) TBxA )( adalah transpose dari )( BxA

Dengan demikian (1.2) adalah kuadrat dari suatu bilangan.

Bila A matriks bujursangkar yang nonsingular, maka solusi dari (1.1) dan (1.2) adalah

1= Ax B

1A adalah matriks invers dari matriks A .Seperti diketahui, suatu system persamaan linear dapat

(a) mempunnyai jawab tunggal (b) mempunyai tak hingga banyak jawab (c) tidak ada jawab (sitem persamaan tidak konsisten)

Untuk kasus (a),terjadi bila

rank dari A = rank dari BA / = n dengan n banyaknya anu

Kasus (b) terjadi bila rank dari A = rank dari BA / < n

Sedangkan untuk kasus (c) terjadi bila rank dari A rank dari BA /

BA / adalah matriks A yang diperluas dengan B

Sebagai contoh, bila

A =

2221

1211

aaaa

, B =

2

1

bb

, maka


BA / =

2221

1211

aaaa

2

1

bb

Untuk kasus (b) dan (c), jawab (solusi) yang memenuhi (1) dan (2) adalah

+= Ax B

+A adalah matriks invers umum dari A

Yang akan dibahas dalam penulisan ini adalah kasus (b) dan (c) yang memenuhi syarat (2). 2. POKOK BAHASAN 2.1 Definisi matriks invers umum Moore-Penrose.

Matriks invers umum dari matriks A (tak selalu matriks bujursangkar),ditulis +A adalah matriks yang memenuhi syarat_syarat,

1) A +A dan +A A masing-masing adalah matriks simetrik 2) A +A A = A 3) +A A +A = A

Untuk setiap A , ada matriks invers umumnya. Bila A bertingkat nxm, maka +A bertingkat mxn

2.2 Prosedur untuk mendapatkan matriks invers umum dari sebarang matriks A .

Misalkan A bertingkat mxn. Diminta unutk menentukan matriks invers umumnya +A

Langkah 1. Teruskan rank dari A , misalkan k Langkah 2. Pilih submariks dari A ,dengan tingkat k yang mempunyai rank k.

Namakan submatriks tersebut 11A Langkah 3. Melalui penukaran baris-baris dan penukaran kolom-kolom, tempatkan

11A di bagian kiri atas dari A semula. Langkah 4. Ambil matriks satuan mI

Misalkan dalam langkah 3, didapat dari menukar baris 1 dengan baris j. Bentuk matriks P yang didapat dari mI dengan juga menukar baris 1 dengan baris j. Ambil matriks satuan nI . Misalkan dalam langkah 3, diperlukan untuk menukar kolom k dngan kolom p. Bentuk matriks Q yang didapat dari nI dengan juga menukar kolom k dengan kolom p.


Matriks P dan Q masing-masing adalah matriks orthogonal dengan elemen-elemen 1 dan 0

Langkah 5. Hitung

P A Q =

22

12

21

11

AA

AA

11A adalah submatriks yang didapat dari langkah 3, 12A , 21A , dan 22A

adalah matriks-matriks bagian yang didapat dari A , sesudah langkah 3. Langkah 6. Ambil

B =

21

11

AA

, 121

11 AAF= , C = [ ]FI k

dengan kI matriks satuan tingkat k Langkah 7. Maka

+A = Q PBBBCCC 11'1'1 )()(

Bila kolom-kolom dari A membentuk himpunan vektor yang bebas linear,maka

+A = 111 )( AAA 2.3 Contoh-Contoh

Contoh 1. Pecahkan system persamaan berikut, dengan syarat memenuhi (1.2)

2x1 + 2x2 2x3 = 1 2x1 + 2x2 2x3 = 3 -2x1 - 2x2 + 6x3 = 2

Penyelesaian

Sistem persamaan linear di atas dapat dinyatakan sebagai persamaan matriks, BxA =

dengan A =

622222222

,

=

3

2

1

xxx

x ,

=

231

B

Terlihat bahwa rank dari matriks A =2, sedangkan rank dari matriks A yang diperluas dengan matriks B , yaitu rank dari BA / sama dengan 3. Berarti persamaan di atas tak konsisten. Diperlukan matriks invers umum dari A , yaitu +A .


Menghapus baris kedua dan kolom kedua dari matriks A didapat submatriks,

62

22= 11A dengan determinan 0

Tempatkan 11A di bagian kiri atas dari A semula. Penempatan tersebut didapat dari baris kedua dengan baris ketiga.,diikuti dengan menukar kolom kedua dengan kolom ketiga A .

Untuk mendapatkan matriks P dalam langkah 4, kita lihat banyak baris dari A sama dengan 3. Maka ambil matriks satuan,

3I =

100010001

Untuk mendapatkan matriks 11A , dilakukan penukaran baris kedua dengan baris ketiga. Bila cara penukaran ini diterapkan pada matriks 3I , didapat matriks P ,

P =

010100001

Banyak kolom dari A adalah 3 juga, maka 3I . 11A didapat dari A dengan menukar kolom kedua dengan kolom ketiga.

Maka PQ =

=

010100001

Hitung

=

=

2221

1211

222

22

6222

AAAA

QAP

Dengan

= 22

12A , [ ]2221 =A , [ ] 2222 ==A


Maka

=

=

226222

21

11

AA

B

=

==

01

22

8/28/28/28/6

121

11 AAF ,

[ ] ,01

1001

== FIC

( ) ,1002/1

1002 111

=

=

CC

( )

=

=

=32/332/532/532/11

44202012 111BB

dan ( ) ( ) PBBBCCCQA 111111 + =

=

010100001

262222

32/332/532/532/11

011001

010100001

=

4/18/18/18/116/316/38/116/316/3

BAX +=

=

4/18/18/18/116/316/38/116/316/3

=

111

231

Maka didapat 1321 === XXX sebagai solusi dari system persamaan yang

diberikan yang memenuhi syarat (1.2). Contoh 2.

Pecahkan system persamaan,

232212

4321

43

=+++=+

xxxxxx

dengan syarat kuadrat terkecil (1.2)


Penyelesaian Matriks A untuk persamaan di atas,

=32212100

A

Rank dari A =2, demikian juga rank dari BA / ,sedangkan banyak anu adalah 4. Sistem persamaan diatas termasuk kasus (b), maka diperlukan matriks invers umum +A .

Submatriks dari A dengan rank 2 didapat dari menghapus kolom kedua dan kolom keempat dari A . Submatriks yang didapat ini, ditempatkan di posisi kiri atas dari A melalui penukaran koom kedua dengan kolom ketiga,tanpa menukar baris-baris dari A .

Maka 21001

IP =

=

Dan

=

1000001001000001

Q , didapat dari 4I dengan menukar kolom kedua dengan kolom

keempat.

=3220

2110

QAP dengan

=2110

11A ,

Matriks-matriks 21A dan 22A tidak ada .

Maka 121

1111 ,2110

AAFAB =

==

=

3220

0112

=2012

1001

C

( )

=

=

1225

5221 111BB , dan


( )

=

=

26/626/226/226/5

0126 11CC

Maka ( ) ( ) PBBBCCCQA 111111 + =

=

26/126/1226/226/2

26/1026/1626/526/8

1001

2110

1225

26/626/226/226/5

2102

1001

1000001001000001

dan

=

=13/513/313/213/1

21

26/126/1226/226/2

26/1026/1626/526/8

X

Maka didapat 13/11 =x , 13/22 =x , 13/33 =x , dan 13/54 =x


SUMBER PUSTAKA

1. Ayres,F,JR:Matrics McGraw-Hill Book Company,New York 1974 2. Bronson,R: Matrics Operations, McGraw-Hill Book Company,New York 1989 3. Hadly,G : Linear Algebra, Addison Wesley Company Inc, London 1961

solusi kuadrat terkecil

Documents