Solusi Sistem Persamaan Linear

Bentuk Umum SPL

mnmnjmjmm

ininjijii

nnjj

nnjj

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

......

.....................

......

.....................

......

......

2211

2211

222222121

111212111

mnmjmm

inijii

nj

nj

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

......

..................

......

..................

......

......

21

21

222221

111211

Atau dalam bentuk matriks bAX

m

i

n

j

b

b

b

b

bdan

x

x

x

x

X

...

...

...

...

2

1

2

1

Model Penyelesaian

- Operasi Baris Elementer (OBE)

- Bentuk SPL segitiga (atas atau bawah)

- Eliminasi Gauss Naif

- Eliminasi Gauss dengan pivoting parsial

- Dekomposisi matriks (A = LU)

- Metode Iterasi Jacobi

- Metode Iterasi Gauss-Siedel

SPL dengan Matriks Koefisien Segitiga

Perhatikan SPL dalam bentuk segitiga bawah berikut:

nnnn

ininjij

nnjj

nnjj

bxa

bxaxa

bxaxaxa

bxaxaxaxa

.........

...

............

......

......

222222

111212111

Catatan : Matriks segitiga merupakan matriks persegi ; berordo (n x n)

jj

n

k

kjkjjj

j

jj

njnjnjnjjjjjjj

j

nn

nnnnnnnn

nn

nnnnn

nn

nn

a

xab

x

atau

a

xaxxaxaxabx

a

xaxabx

a

xabx

a

bx

1

112211

22

211222

11

1111

...

Eliminasi Gauss Naif (tanpa Pivoting)

nnnnjnjnn

ininjijii

nnjj

nnjj

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

......

.....................

......

.....................

......

......

2211

2211

222222121

111212111

Perhatikan kembali SPL dengan memisalkan matrikkoefisiennya merupakan matriks persegi.

Tanpa mengurangi keumuman, pandang SPL dengan matrik koefisien 3 x 3. Dengan operasi gauss naif kita peroleh

3323232131

2323222121

1313212111

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

'

33

'

332

'

32

'

23

'

232

'

22

1313212111

11

3113

11

2112 ,

bxaxa

bxaxa

bxaxaxa

makaa

apdan

a

ap

11

2113

'

3

11

2112

'

2

11

211333

'

33

11

211232

'

32

11

211323

'

23

11

211222

'

22

,

,

,

a

abbb

a

abbb

a

aaaa

a

aaaa

a

aaaa

a

aaaa

Kemudian

'

33

''

33

'

23

'

232

'

22

1313212111

'

22

'

3223 ,

bxa

bxaxa

bxaxaxa

makaa

ap

Langkah berikutnya lakukan mundur.

'

23

'

22'

23

'

33

''

33a

aaaa

132

3344

532

321

321

321

xxx

xxx

xxx

Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan eliminasi Gauss naif!

13

5

132

344

132

6

7

5

260

120

132

15

7

5

500

120

132

Dengan subsitutusi mundur, maka diperoleh :

12

)63(5532

22

2772

3155

1321

232

33

xxxx

xxx

xx

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah (1, 2, 3)

12 2RR

)( 13 RR

)3( 23 RR

Eliminasi Gauss dengan Pivoting

Dua cara pivoting:1. Pivoting sebagian (Partial pivoting)2. Pivoting lengkap (Complete pivoting)Pivoting lengkap jarang dipakai, karena kerumitan dalam menyusunprogram komputernya

Pada pivoting sebagian, pivot (elemen utama) dipilih dari semua elemenpada kolom p yang mempunyai nilai mutlak terbesar,

pnpnpppppppk aaaaamaksa ,,1,2,1,, ,,...,

Kemudian tukarkan baris ke-k, dengan baris ke-p

132

3344

532

321

321

321

xxx

xxx

xxx

Perhatikan kembali contoh pada eliminaso Gauss naif

1

3

5

132

344

132

Jawab:

1

5

3

132

132

344

2

52

73

2

550

2

110

344

2

72

53

2

110

2

550

344

32

53

1002

550

344

Dengan substitusi mundur, maka diperoleh himpunanpenyelesaiannya adalah (1, 2, 3).Hasilnya sama dengan eliminasi Gauss naif (tanpa pivoting)

Dekomposisi LU

Sebuah matriks persegi A yang non singular dapat difaktorkan (dekomposisi) menjadi perkalian dua matriks segitiga L (lower) dan U (upper), yakni

LUAartinya

nn

nn

nn

nn

nnnnnnnnnn

nn

nn

nnn

u

uu

uuu

uuuu

lll

ll

l

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

0...00

...............

...00

...0

...

1...

...............

00...

00...1

00...01

...

..................

...

...

...

313

21222

1111211

121

3231

21

1121

3133231

2122221

111211

Dengan dekomposisi tersebut, maka kita dapatmenyelesaikan sistem persamaan linear Ax = b.

bLUx

makabAx ,

Dengan memisalkan Ux = y, maka diperoleh Ly= b.Langkah pertama digunakan metode substitusi maju untukmenyelesaikan SPL Ly = b,Langkah kedua digunakan metode substitusi mundur untukmenyelesaikan SPL Ux = y.

Menyusun A = LU

Cara yang paling baik digunakan untuk memfaktorkan A menjadi perkalian L dan U adalah metode Gauss. Selain ituAda 3 cara lain yang juga banyak dipakai, yakni1. Crout2. Doolitle3. Cholesky

Eliminasi Gauss1. Kita tulis A = IA2. Eliminasikan matriks A di ruas kanan menjadi matriks

segitiga atas (U), dan tempatkan bilangan pengalipada posisi di matriks I.

3. Setelah proses eliminasi Gauss selesai, matriks I menjadiL, dan matriks A disebelah kanan menjadi U.

ijp

ijl

Perhatikan kembali contoh soal pada eliminasi Gauss naif.

132

344

132

100

010

001

132

344

132

132

344

132

260

120

132

500

120

13212 2RR

)( 13 RR

)3( 23 RR

Dengan demikian diperoleh:

danL

131

012

001

500

120

132

U