[sopt] 데이터 구조 및 알고리즘 스터디 - #04 : 트리 기초, 이진 트리,...

1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0

0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1

0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0

1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1

DATA STRUCTURES

@Override

public void add(Node<T> node) {

Node pointer = header;

while (pointer.next != null) {

pointer = pointer.next;}pointer.next = node;

size++;}

Tree · Binary Tree · Binary Search Tree · 우선순위큐

A

B

H

G

front

rear

TABLE OF CONTENTS

SHOUT OUR PASSION TOGETHER DATA STRUCTURES INDEX

004

005

019

021

024

027

046

047

051

053

055

066

069

Tree - 개요

Tree - 용어

Binary Tree - 개요

Binary Tree - 성질 / 종류

Binary Tree - 구현

Binary Tree - 순회

Binary Search Tree - 개요

Binary Search Tree – 코드 분석

Binary Search Tree – 성능 분석

우선순위큐 - 개요

우선순위큐 - 힙정렬

우선순위큐 - 코드분석

우선순위큐 - 성능분석

Tree개요 · 용어

Tree개요

Study - Data Structures

아래로내려가면서확장되는트리형태의자료구조

요소들간에 1 : n 계층관계를갖는비선형자료구조


Tree용어

A

B C D

E F GH

I


Tree용어

노드 (Node)

- 트리의 구성요소 (A, B, C, D, E, F, G, H, I)


Tree용어

간선 (Edge)

- 노드를 연결하는선


Tree용어 형제노드 (Sibling Node)

- 같은 부모노드의자식 노드들


Tree용어

조상노드 (Ancestor Node)

- 단말노드에서 간선을따라 루트노드까지이르는경로에 있는모든 노드들


Tree용어

서브트리 (Subtree)

- 부모노드와 연결된간선을 끊었을때생성되는 트리- 각노드는 자식노드 개수만큼의서브트리를 가짐


Tree용어

루트노드 (Root Node)

- 부모가없는 노드 (A)


Tree용어

단말노드 (Terminal Node)

- 자식이없는 노드 (E, F, G, H, I)- 리프 (Leaf) 노드


Tree용어

비단말노드 (Nonterminal Node)

- 적어도하나의 자식을가지는 노드


Tree용어

트리의레벨 (Level)

- 트리의각 층의번호

- 루트 노드의레벨은 1- 한 층내려갈때마다 1씩증가


Tree용어

트리의높이 (Height)

- 트리가가지고 있는최대 레벨


Tree용어

차수 (Dregree)

- 노드의차수 : 노드에연결된자식 노드의개수( 단말 노드의차수 = 0 )

- 트리의차수 : 노드의차수중 가장큰값


Tree용어

포리스트 (Forest)

- 서브트리의 집합

예) 노드 A를 제거하면, 각각노드 B, C, D를루트로하는서브트리가 생기고, 이들의 집합은포리스트가 됨

Binary Tree개요 · 성질 · 종류 · 순회 · 코드

Binary Tree개요


트리의노드구조를일정하게정의하여구현과연산이쉬움

모든노드가 0개이상 2개이하의서브트리를가지는트리


Binary Tree개요

왼쪽서브트리 : 이진트리

오른쪽서브트리 : 이진트리

Binary Tree성질


n 개의노드를가지는이진트리의높이는최소 log ₂ n, 최대 n 이다

높이가 h 인이진트리가가질수있는노드의갯수는최대 h 개이다

n 개의노드를가진이진트리는항상 (n-1) 개의간선을가진다


Binary Tree종류 –포화이진트리(Full Binary Tree)

루트를 1번으로 (2^h-1)까지정해진위치번호를가짐

모든레벨에노드의차수가 2로차있는이진트리

높이가 h일때, 최대노드개수를가진이진트리

왼쪽에서오른쪽으로번호를붙임


Binary Tree종류 –완전이진트리(Complete Binary Tree)

레벨 h 에서는왼쪽부터순서대로채워지는이진트리

레벨 1부터 h-1까지의노드가모두채워져있는트리


Binary Tree구현 –배열표현법

A

B

C

D

E

Index

0

1

2

3

4

5

6

7

8

B

A

C

D E

B

A

C

D

A

B

C

D

Index

0

1

2

3

4

5

6

7

8

각노드에번호를붙여그번호를배열인덱스로삼아배열에데이터를저장하는방법

모든이진트리를포화이진트리로가정


Binary Tree구현 –배열표현법

A

B

C

D

E

Index

0

1

2

3

4

5

6

7

8

B

A

C

D E

노드 i의왼쪽자식노드 인텍스 = 2i

노드 i의부모노드인텍스 = i/2

노드 i의오른쪽자식노드 인텍스 = 2i+1

1

2 3

4 5


Binary Tree구현 –링크표현법

B

A

C

D E

B

A

C

D

포인터를이용해부모노드가자식노드를가리키게하는방법

A

B C

D E

A

B

C

D


Binary Tree이진트리의순회

노드의접근순서에따라세가지방법이존재 : 특정노드와자식노드의순서를고려

트리의모든노드들을체계적으로방문하여각노드가가지고있는데이터를목적에맞게처리

전위순회 (Preorder Traversal) : VLR

중위순회 (Inorder Traversal) : LVR

후위순회 (Postorder Traversal) : LRV


Binary Tree이진트리의순회 –전위순회

루트를 먼저 방문



왼쪽 서브 트리 방문



오른쪽 서브 트리 방문



1

2

3 4

5

6 7


Binary Tree이진트리의순회 –중위순회




루트 노드를 방문



4

2

1 3

6

5 7


Binary Tree이진트리의순회 –후위순회




루트 노드를 방문



7

3

1 2

6

4 5


Binary Tree이진트리의순회 –레벨순회

각노드를레벨순으로검사하는순회방법

동일레벨인 경우좌에서 우로,위에서부터 아래로순회

큐를사용하여 트리순회를 구현할수있다


Binary Tree이진트순회코드분석

private void inorder(Node r){

if (r != null){

inorder(r.getLeft());System.out.print(r.getData().id +" ");inorder(r.getRight());

}}

private void preorder(Node r){

if (r != null){

System.out.print(r.getData().id +" ");preorder(r.getLeft());preorder(r.getRight());

}}

private void postorder(Node r){

if (r != null){

postorder(r.getLeft());postorder(r.getRight());System.out.print(r.getData().id +" ");

}}

중위순회

전위순회

후위순회


산술식을 트리형태로 표현한것

Binary Tree순회응용 –수식트리

a x

b c

-

중위순회 : a - b × c

후위순회 : :a b c × -

전위순회 : - a × b c


산술식을 트리형태로 표현한것

Binary Tree순회응용 –수식트리

a x

b c

-

중위순회 : a - b × c

후위순회 : :a b c × -

전위순회 : - a × b c

수식트리의계산후위순회사용

구조화된문서 출력 폴더용량 계산


Binary Tree사례

Binary Search Tree개요 · 코드분석 · 성능 분석


Binary Search Tree개요 - 이진트리에탐색조건을추가한자료구조

오른쪽서브트리에있는원소의키들은그루트의키보다큼

왼쪽서브트리에있는원소의키들은그루트의키보다작음

모든요소는서로다른유일한키를가진다는가정을함

왼쪽서브트리와오른쪽서브트리또한이진탐색트리의성격을띔


코드분석 - 삽입

class BST<T extends Data>{

private Node root;public BST() { root = null; }

public boolean isEmpty() {return root == null; }

public void insert(T data) {

root = insert(root, data); }

private Node insert(Node node, T data) {

if (node == null)node = new Node(data);

else {

if (data.compareTo(node.getData()) <0 )node.left = insert(node.left, data);

elsenode.right = insert(node.right, data);

}

return node;}

}

Binary Search Tree

트리의 root 초기화

삽입된노드를 자식으로가지는 루트노드를리턴

삽입될위치를 찾아서노드를 삽입


public void delete(T data) {

if (isEmpty()) {System.out.println("Tree Empty");return;

}

Node p = root, p2 = null;

while (p != null && p.getData().compareTo(data) != 0) {

p2 = p;

if (data.compareTo(p.getData()) < 0) p = p.getLeft();else p = p.getRight();

}

if (p == null) {System.out.println(data + " is not present");return;

}if (p.getLeft() == null && p.getRight() == null) {

if (p2 != null) {if (p2.getLeft() == p) p2.setLeft(null);else p2.setRight(null);

} else root = null;

}

…

코드분석 - 삭제

Binary Search Tree

노드설정

data를 갖는노드 p 탐색

찾는키가 없는경우

삭제할노드의 단말노드 차수가 0인경우

부모의자식 필드를 NULL로 설정


…

else if (p.getLeft() == null || p.getRight() == null) {

Node c = p.getLeft() == null ?p.getRight() : p.getLeft();

if (p2 != null) {

if (p2.getLeft() == p) p2.setLeft(c);else p2.setRight(c);

} else

root = c;}else if (p.getLeft() != null && p.getRight() != null) {

Node q2 = p;Node q = p.getRight();

while (q.getLeft() != null) {

q2 = q;q = q.getLeft();

}

if(q2.getLeft() == q) q2.setLeft(q.getRight());else q2.setRight(q.getLeft());

p.setData(q.getData());}

}

차수가 1인노드의 삭제

c : 자식노드

차수가 2인노드의 삭제

오른쪽서브 트리에서후계자검색

후계자찾아 왼쪽으로이동

후계자(q)의부모와자식을 연결


Binary Search Tree

후계자키 값을현재 노드에복사

부모의삭제 : 자식필드를 c로 설정


코드분석 - 탐색

Binary Search Tree

public boolean search(T val) {

return search(root, val);}

private boolean search(Node root, T data) {

boolean found = false;

Node pp;Node p = root;

while ((p != null) && !found) {pp = p;

if (data.compareTo(p.getData()) < 0)p = pp.getLeft();

else if (data.compareTo(p.getData()) > 0)p = pp.getRight();

else {

found = true;break;

}}

return found;}

Binary Search Tree성능분석


기본

검색, 삽입, 삭제등의연산에대한시간복잡도는트리의높이 h에비례

연산시간

평균시간복잡도

O (log n)

1. 최선의경우 : 이진트리가균형적으로생성되어있는경우에해당

→ h = log n

2. 최악의경우 : 트리를구성하는요소가한쪽으로치우쳐진경사이진트리

→ h = n

우선순위큐개요 · 사례 · 힙 정렬 · 코드분석 · 성능 분석


우선순위큐개요

IN OUT

1 2 3우선순위를가진항목들을저장하는큐

우선순위가높은데이터가먼저나가게된다


우선순위큐사례

시물레이션시스템 네트워크트래픽 제어 운영체에서의 작업스케쥴링

http://sopt.org

…

Prev. SFP

Return Address

Parameters +

Local Variables

Heap개요

삭제 연산시 항상루트 노드요소를 삭제하여반환

여러 개의값 중에서가장 큰값 (혹은가장작은 값) 을 빠르게찾기 위해설계된 자료구조

히프 정렬은요소의 개수만큼삭제 연산을수행하여 내림차순 / 오름차순으로 정렬수행


최대 히프에서는항상 가장큰 요소가루트 노드가됨


수행과정

10

69

22

30

318162

22

69

2

31

3081610

- 69 10 30 2 16 8 31 22

Heap


수행과정

10

22

30

318162

22

31

30

281610

- 69

Heap


수행과정

22 30

281610

22

30

8

21610

- 31 69

Heap


수행과정

22 8

21610

16

22

8

210

- 30 31 69

Heap


수행과정

16 8

210

10

16

8

2

- 22 30 31 69

Heap


수행과정

10 8

2

2

10

8

- 16 22 30 31 69

Heap


수행과정

2 8 2

8

- 10 16 22 30 31 69

Heap


수행과정

2

2

- 8 10 16 22 30 31 69

Heap


수행과정

- 2 8 10 16 22 30 31 69

Heap


수행과정

- 2 8 10 16 22 30 31 69

Heap

공백히프가되었으므로정렬종료


코드분석

Heap

public class Heap {

private Node[] node;private int MAXSIZE = 50;private int length;

public Heap() {

node = new Node[MAXSIZE];length= 0;

}

public Node getNode(int i) { return node[i]; }public int getLength() { return length; }public boolean isEmpty() { return length == 0; }public boolean isFull() { return MAXSIZE == length; }

…}

Node 타입의배열 선언

MAXSIZE 크기의 배열생성및 length 초기화

객체의속성을 받아오는메소드

배열의크기를 알수 있는메소드


코드분석 - 삽입

Heap

…

public void insert(Node node) {

if (isFull()) {

System.out.println("Heap is full");return;

}

int i = ++length;

while (i != 1 && node.getData().compareTo(this.node[i / 2].getData()) > 0) {

this.node[i] = this.node[i / 2];i = i / 2;

}

this.node[i] = node;}

…

노드의삽입이 가능한지판별

i 에 1증가한 length를 넣음

삽입할 node와 해당부모노드의 크기비교-> 삽입할 node보다 작으면 자식노드로이동

해당되는 i 인덱스에 node 삽입



Heap

public Node delete() {

Node item = node[1];node[1] = node[length--];

int i = 2, largest;

while (i <= length) {

if (i < length &&node[i].getData().compareTo(node[i + 1].getData()) < 0)

largest = i + 1;

else largest = i;

if (node[largest /2].getData()..compareTo(node[largest].getData()) > 0)break;

Node tmp = node[largest / 2];node[largest / 2] = node[largest];node[largest] = tmp;

i = largest * 2;}

return item;}

}

우선순위가가장 높은원소 삭제

삭제할원소는 item에저장

노드가내려가면서 원소재배열

우선순위가가장 낮은단말 노드를삭제된노드와 변경

Heap성능분석


메모리사용공간

O (n) : n 개의원소에대하여 n 개 + 힙을구현하기위한 n 개의메모리

연산시간

평균시간복잡도

O (n log n)

n 개의요소에대해완전이진트리의레벨은 log (n + 1) 이므로,힙구성시간은 O (log n) 을따른다

따라서, 힙을구성하고다시순서대로뽑아정렬하는시간은 O (n log n) 이다

[sopt] 데이터 구조 및 알고리즘 스터디 - #04 : 트리 기초, 이진 트리,...

Software