square root

7/18/2019 Square Root

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2-1、平方根與近似值第二章平方根與勾股定理

1

觀念篇

33 −−−−==== 或 x

求出下列各數的平方根：：：：

平方根平方根與近似值

定義 b 為 a 的平方根 a b ====⇔⇔⇔⇔ 2

例題講解

64)1( 0)2(

16)3( −−−−

92

==== x ，

當 b2＝＝＝＝ a 時，稱 b 為 a 的平方根。

若 a＞＞＞＞0， a 有兩個平方根 ± b；

若 a＝＝＝＝0， a 只有一個平方根 0；

若 a＜＜＜＜0，則 a 無平方根。

1. 求出下列各數的平方根：：：：

根號的意義平方根與近似值

例題講解

7)1( 12)2(

22

==== x

b 為 a 的平方根

平方根

a b ====⇔⇔⇔⇔ 2

2. 求出下列各數開根號的值：：：：

196

169)1(

2)3()2( −−−−

=2

9 x

x = ±3

延續前面的定義，當 a＞＞＞＞0 且非完全平方數

時，我們無法確切知道平方根 b 的值。

因此，用符號 a ( 根號 a) 來代表 a 的正正正正平

方根( a ＞＞＞＞0)，另外一個平方根就是－－－－ a 。

Q: 若 a＝0，，，， a ＝?

NOTE:

NOTE:




2

A: 當 a＝0，，，， a ＝ 0 ，習慣上規定 00 ==== ，所以當 a＝0，，，， a ＝0。

根號的大小關係平方根與近似值

例題講解

比較及的大小。2243 ++++

221113 −−−−

12 18

1218

兩個根號的大小關係，我們可以透過正方形

面積的觀念來理解。因為邊長與面積之間的

關係剛好就是平方根的定義，設兩個正方形

的面積分別為 a、 b，若面積 a＞ b，很明顯

的，邊長 a 就會大於邊長 b 。

Q: 如何用平方差公式來證明: 兩個正數 a、 b，若 a＞ b，則 a2＞ b2；若 a

2＞ b2，則 a＞ b ?

A: 已知 a＞ b，移項得 a－ b＞0，兩邊同時乘以一個正數 a＋ b 得到 a2－ b

2＞0，移項得 a2＞ b2，故得証。

已知 a

2

＞ b2

，移項得 a

2

－ b

2

＞0，根據平方差公式，可以寫成 ( a＋ b)( a－ b)＞0，兩邊同時除以一個正數 a＋ b 得到 a－ b＞0，移項得 a＞ b，故得証。

根號 2 的近似值平方根與近似值

方根大小關係

b a b a >>>>⇔⇔⇔⇔≥≥≥≥>>>> 0

利用十分逼近法求的近似值到小數下第 1 位。

例題講解

3

2

根號的近似值，可藉由不斷逼近的方式求得

以 2 為例:

整數部分，可由 221 <<<<<<<< 得知是 1；

小數第一位，可從 5.124.1 <<<<<<<< 得知是 4，

依此類推，我們就可以求得 2 的近似值。

由於每一步驟都會多計算出一位小數 (十分

之一)而更接近 2 的值，因此，此種方法稱

為十分逼近法。

NOTE:

NOTE:




3

利用右表求出下列各數開根號的值：：：：

1. 2.

查表法求根號的近似值平方根與近似值

利用乘方開方表，求下列各數的近似值：

(1) (2)

22.360687.071068250050 . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

22.135947.000000240149

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

15.165754.79583252923

3.1622781.00000011

4.4721361.41421442

14.832404.69041648422

14.491384.58257644121

N 2 N

22.360687.071068250050 . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

22.135947.000000240149

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

15.165754.79583252923

3.1622781.00000011

4.4721361.41421442

14.832404.69041648422

14.491384.58257644121

N 2 N

例題講解

484 220−−−−

N N 1021 230

平方根的近似值也可藉由查乘方開方表來

獲得，詳細作法請參考講解。

且，

1. 十分逼近法

2. 乘方開方表

例

例

例

重點整理

L4.12 ====

89 >>>>

平方根的定義

平方根與近似值

根號的大小關係0≥≥≥≥ A 0≥≥≥≥ B

B A B A ≥≥≥≥⇔⇔⇔⇔≥≥≥≥

根號的近似值

b為 a的平方根 a b ====⇔⇔⇔⇔2

64 的平方根＝ 8±±±±

本節重點為：

1. 平方根與根號的定義。

2. 如何求平方根的近似值?

十分逼近法、查表法。

NOTE:

NOTE:




4

題型解析篇

求下列各數的平方根：

(1) 0.49 的平方根＝________ (2) 11025 的平方根＝_______

(3) 的平方根＝_______ (4) 36 的正平方根＝_______

(5) 13 的負平方根＝_______ (6) –17 的平方根＝______

例題 1. 求平方根

學生演練

平方根與近似值 -- 題型解析

求下列各數的平方根：

(1) 1.96 的平方根＝ (2) 1764 的平方根＝

(3) 5 的平方根＝ (4) 11 的負平方根＝

222253 ××××××××

思路:

這些題目都是平方根的基本練習，只要了解

定義，就可以輕易求出。如果同學還不會，

請參考觀念篇的講解。

1. 若 –4 是 5 x – 4 的負平方根，則 x＝＝＝＝?

2. 若 2 x – y＋＋＋＋4 的正平方根為 3，且 –2 是 3 x＋＋＋＋2 y的一個平方根，

則 x＋＋＋＋ y＝＝＝＝?

例題 2. 已知平方根求未知數

若 5 是的平方根，則 (1) x＝＝＝＝? (2)

學生演練


23 −−−− x ?7 ====++++ x

思路:

1. 根據平方根的定義，得到 52＝＝＝＝3 x－－－－2。

2. 解方程式可得 x 值，接著只要代入計算

就能解第 2 小題。

NOTE:

NOTE:




5




6

1. 設 a為正整數，且，請問可使得為整數的 a有幾個 ?

2. a為正整數，欲使為整數，則：

(1) a的最小值為何 ? (2) 若 a為二位數，則 a可能的值有幾個?

例題 3. 根號與平方數

設 a為正整數，且，則使得為整數的 a共有多少個 ?

學生演練


601 <<<<<<<< a a

15050 <<<<<<<< a a

a24

思路:

1. a 為整數，從根號的定義就可知道 a 會

是整數的平方，例如 12、2

2、32…

2. 又 1 < a < 60。

3. 由以上兩個條件可找出 a 的可能值。

學生演練

1. 若 b為任意數，化簡 (1) (2)

2. 為圓周率，試化簡

3. 若，化簡

例題 4. 根號化簡

1. 若 a為任意數，化簡

2. 若，化簡


______2==== a

2<<<< x ______)42(2====−−−− x

?4==== b ?

6==== b

π ππ π ?)4(2====−−−−π ππ π

23 <<<<<<<<−−−− x ?)2()3(22====−−−−++++++++ x x

思路:

1. 根號內的值必須 ≧≧≧≧0，雖然 a2 會 ≧≧≧≧0，

但 a 卻可能是負數。

2. 依根號的定義，因此需考慮 a 的正負。

NOTE:

NOTE:




7

1. 計算下列各小題的值：

(1) (2)

2. 設，且，求

例題 5. 根號與乘法公式

1. 計算

2. 計算

學生演練


====++++××××−−−−22

13132412

====256

1258

497297972

++++××××××××−−−−3241322

511

2

2====++++

a a 1>>>> a ?

1====−−−−

a a

思路:

複雜的計算可利用乘法公式來簡化，不熟的

同學請先複習前面的乘法公式單元。

例題 6. 根號和＝＝＝＝0

若，求

學生演練

1. 若，求 (1) a＝＝＝＝? (2) b＝＝＝＝? (3) 的平方根＝?

2. 設，且 a、 b均為整數，求 a、 b之值。


0125 ====−−−−++++++++ y x ?22====++++ y x

043 ====++++++++−−−− b a 22 b a ++++

0)22()52(22====++++++++++++−−−−++++ b a b a

思路:

1. 5＋＋＋＋ x 跟 12－－－－ y 都≧≧≧≧0。

2. 兩個≧≧≧≧0 的數相加等於 0，則兩數都是 0。

3. 由 5＋＋＋＋ x 跟 12－－－－ y 都是 0，可分別算出

x 跟 y，並代入式子中算出答案。

NOTE:

NOTE:




8

利用十分逼近法求的近似值四捨五入到小數點後第一位。

例題 7. 十分逼近法

利用十分逼近法，求的十分位及百分位。

學生演練


42

10

思路:

這邊只是要利用十分逼近法來求平方根的

近似值，做法可以參考觀念篇的講解。

1. 若，則 (1) x的整數部份＝＝＝＝? (2) x的小數部份＝＝＝＝?

(3) 最接近 x的整數＝＝＝＝?

2. 設 x為整數，且定義符號表示的整數部份，則：

(1)

(2) 若，求正整數 n＝＝＝＝?

例題 8. 近似值整數部份

若，請問：

(1) a介於哪兩個整數之間 ? (2) a的整數部份是多少 ?

(3) 若 a的小數部份為 b，則 b＝＝＝＝?

學生演練


150==== a

120==== x

][ x x

?]14[...]4[]3[]2[]1[ ====++++++++++++++++++++

42][...]4[]3[]2[]1[ ====++++++++++++++++++++ n

思路:

1. 150 大約是多少? 可用十分逼近法求。

2. a 可以分成整數與小數部分，所以

a 的小數部分＝＝＝＝ a －－－－ ( a 的整數部分)。

NOTE:

NOTE:




9

已知 a、 b、 c、 d 均為正整數，且，欲使得

、、、之值均為整數，

則 a、 b、 c、 d的最小值各為多少 ?

例題 9. 十分逼近法應用

已知 a、 b皆為正整數，且，欲使及之值均為正整數，

則 a、 b的最小值各為何 ?

學生演練


L9.18360 ==== a++++360 b−−−−360

L8.26720 ====

a720 b÷÷÷÷720 c++++720 d −−−−720

思路:

1. a＋＋＋＋360 及 b－－－－360 均為正整數，則

360＋＋＋＋ a 與 360－－－－ b 都是某個整數的平方。

2. 由 360 ＝18.9…，得 182＜360＜19

2。

3. 從以上條件知: 360 加最小的 a 會＝192，

減最小的 b 會＝182，由此可算出 a、 b。

NOTE:




10

實戰篇~各校段考考題

1. 若 A 是 9

4 的負平方根， B 的平方根其中一個是

9

4，則 A＋＋＋＋ B＝＝＝＝?

(A) 0 (B)81

38 －－－－ (C)

81

93 －－－－ (D)

81

40 －－－－

[北市石牌 100]

2. 4 的平方根為?

[北市弘道 100]

3.22

)7()5(4

1

4

120049.0 －－－－－－－－－－－－＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＝＝＝＝?

[北市弘道 100]

4. 已知一正方形的面積為 324，則其周長為何?

[ 高市五福 99]

5. 若 3≦≦≦≦ x≦≦≦≦8，化簡 22)2()9( −−−−++++−−−− x x 。

[ 改自高市陽明 99]

6. 下列四個選項中，哪一個是錯誤的?

(A) 0 只有一個平方根 (B) 若 x2＝＝＝＝3，則 x＝＝＝＝ 3±±±±

(C) －－－－2 為 16 的負平方根 (D) 若 b 的平方根為 a，則 a＝＝＝＝ b2

[北市石牌 100]

7. 下列比較大小何者正確?

(A)5

11

2

31－－－－－－－－ >>>> (B) 121 151 －－－－>>>>−−−− (C) 6 33 >>>> (D) 65 35 －－－－－－－－－－－－－－－－ >>>>

[北市石牌 99]

8. 比較 a＝＝＝＝3.2、 b＝＝＝＝ 17 、 c＝＝＝＝3

55 的大小關係?

(A) c < b < a (B) a < b < c (C) b < a < c (D) a < c < b

[北市弘道 99]

9. 試求滿足 52 ≤≤≤≤<<<< x－－－－的整數 x 共有幾個?

(A) 21 (B) 22 (C) 25 (D) 26

[ 高市陽明 99]




11

10. 若將 29231917131175 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、所表示的各點標示於附圖的數線上，

則位於線段 AC 上的點共有多少個?

(A) 3 個 (B) 4 個 (C) 5 個 (D) 6 個

543210 543210

DC B A DC B A

[北市石牌 100]

11. 若 a 為正整數，當 1123 ++++<<<<<<<< a a ，則 a＝＝＝＝?

[ 高市正興 99]

12. 下列哪一個數值最接近 1000 的正平方根?

(A) 30 (B) 31 (C) 32 (D) 33

[ 高市陽明 100]

13. 利用下表已知的數值，以十分逼近法求 70 的近似值(以四捨五入法求到小數第一位)。

70.3970.2270.0569.8869.7272.2570.5668.8967.2465.61 N 2

8.398.388.378.368.358.58.48.38.28.1 N

70.3970.2270.0569.8869.7272.2570.5668.8967.2465.61 N 2

8.398.388.378.368.358.58.48.38.28.1 N

[北市仁愛 99]

14. 利用下表計算 21023529 ＋＋＋＋＋＋＋＋ ≒≒≒≒?

(A) 32.3784 (B) 42.2872 (C) 42.7484 (D) 52.6572

15.16584.795852923

14.49144.582644121

N 2 N

15.16584.795852923

14.49144.582644121

N 2 N N N 10

[北市弘道 100]




12

15. 觀察下表，已知 x 與 y 為正整數，若 x 與 y10 四捨五入後，取近似值到小數第一位

分別為 6.7 跟 25.7 則 x＋＋＋＋ y＝＝＝＝?

(A) 111 (B) 112 (C) 705 (D) 706

21.447616.782330211646

21.213206.708204202545

20.976186.633250193644

20.736446.557439184943

N 2 N

21.447616.782330211646

21.213206.708204202545

20.976186.633250193644

20.736446.557439184943

N 2 N

26.076818.246211462468

25.884368.185353448967

25.690478.124038435666

25.495108.062258422565

N 2 N

26.076818.246211462468

25.884368.185353448967

25.690478.124038435666

25.495108.062258422565

N 2 N N N 10 N N 10

[北市弘道 99]

16. 已知 x、 y 為整數，且 0)1343()332(22====−−−−−−−−++++−−−−++++ y x y x ，則 y x 22 ++++ 的平方根為?

[ 高市陽明 100]

17. 設 5 是 9－－－－2 x 的一個平方根，則 362++++ x ＝＝＝＝?

[ 高市五福 99]

18. 若 93 ++++ a 的平方根是±±±±3，那麼 a＝＝＝＝?

[北市仁愛 99]

19. 若 x＋＋＋＋ y 的正平方根是 4， x－－－－ y 的負平方根是－－－－2，則 x2＋＋＋＋ y2＝＝＝＝?

[ 高市正興 99]

20. 若 x－－－－2 y－－－－4 是 16 的正平方根，且 2 x＋＋＋＋5 y－－－－10 是 9 的負平方根，

則 x＋＋＋＋2 y 的平方根是多少?

[ 高市五福 99]

21. 使 x 為三位整數，則 x 共有多少個?

[ 改自高市五福 99]

22. 設 a−−−−15 為整數，則正整數 a 的值可能為?

[北市石牌 99]

23.. 已知 4200＝＝＝＝23××××3××××5

2××××7， a、 b 均為正整數，欲滿足 a4200 和

b

4200 為整數，

則 a 的最小值與 b 的最小值的差為何?

[ 改自高市陽明 99]




13

實戰篇解答：

1. B 2. 2±±±± 3. 0.07 4. 72 5. 7

6. D 7. D 8. B 9. D 10. B

11. 11 12. C 13. 8.4 14. B 15. A

16. 2±±±± 17. 10 18. 24 19. 136 20. ±±±±2

21. 900 22. 15、14、11、6 23. 0

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