FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA NOVI SAD

Ispitni zadatak

Stabilnost elastičnih štapova

Tema: Rotirajući stub opterećen horizontalnom silom

Prof. Atanacković Teodor student: Trkulja Goran Ass. Novaković Branislava M14831

2

1. Uvod U ovom radu će se izračunati vrednost kritične sile koja deluje na kraj štapa koji se obrće oko svoje ose konstantnom ugaonom brzinom. Prvo će se izvesti diferencijalna jednačina koja predstavlja skup funkcija a koje definišu oblik štapa pri opterećenoj rotaciji. Ova diferencijalna jednačina zajedno sa graničnim uslovima omogućava sopstveno rešavanje i kao takva nudi smernice i uputsva pri konstrukciji elenenta u sklopu koji je na ovakav način opterećen. Koristiće se direktan metod varijacionog računa tj. Ritz-ov metod. Pored njega u ovoj oblasti mehanike bitnu ulogu ima i Galerkinov metod, koji je uopšteno govoreći primenjiviji od korišćenog na većoj oblasti dok je kod ovog metoda potrebno znati Ojler-Lagranžev funkcijonal da bi se primenio. Pošto u ovom slučaju opterećenja O.L jednačina je poznata i lako ju je izvesti metod je koristan. Na kraju će se rezultati obe metode uporediti. U nastavku je data skica problema.

Skica

Kao što se sa slike vidi rotacija uzrokuje centrifugalnu silu koja izvija štap i koji se izlaže zatezanju. Potrebno je odrediti do koje mere izlagati štap pritisku i pri kojim ugaonim brzinama da bi ostao stabilan. Uz pomoć Ritz-ovog metoda, poznavajući ukupnu potencijalnu i kinetičku energiju sistema, doći ćemo do ovih vrednosti u bezdimenzijskom obliku.

3

2. Analiza problema

2.1 Diferencijalne jednačine ravnoteže

Da bi se problen analizirao, i na kraju, rešio, potrebno je ispisati jednačine čijim se rešavanjem dobija funkcija koja definiše njegov oblik pri dejstvu horizontalne i centrifugalne sile koja potiče od obrtanja. Same jednačine važe kako za beskonačno mali elementarni deo štapa tako i za ceo. Jednačine glase,

dx

dIEM

AESinVCosH

Sindx

dy

SinHCosVdx

dM

qdx

dV

qdx

dH

y

x

)()(

0)(

0)()(

0

0

2.1

Napisane jednačine, definišu, redom: horizontalnu silu preko elementarnog opterećenja u x-pravcu, vertikalnu silu, transferzalnu silu preko horizontalne i vertikalne, elementarni deo štapa, u deformisanom stanju, normalnu i tangentu komponentu sile i moment savijanja štapa preko ugla koji štap zaklapa sa x-osom. Sa slike se vidi sledeća diferencijalna jednačina a koja se uz pomoć prve dve jednačine, treće, kao i zadnje izvodi, i ona glasi,

022

2

4

4

ydx

ydF

dx

ydIE 2.2

Jednačina predstavlja sledeće: prvi član je prvi izvod transferzalne sile, drugi predstavlja konstantnu silu koja deluje na vrh štapa i ponaša se distributivno što se tiče opterećenja i treći član je matematički zapis centrifugalne sile koja deluje zapreminski na štap. Da bi se kompletirao skup jednačina koji rešenje mora da zadovolji, potrebno je definisati granične uslove, kojih ima četiri zbog reda izvoda iste.

1. Pomeranje tačaka na mestu uklještenja štapa su jednaka nuli (važi za sve tačke u preseku zida i štapa).

2. Nagib skupa tačaka na mestu opterećenja ne postoji. 3. Moment savijanja na vrhu štapa iznosi nula 4. Transverzalna sila se nalazi na vrhu (kraju štapa).

4

Matematička formulacija graničnih uslova glasi,

Fxdx

yd

xdx

yd

xdx

dy

xy

)1(

0)1(

0)0(

0)0(

3

3

2

2 2.3

Sada je skup jednačina koji rešenje mora da zadovolji, kompletiran. Sledeći korak je bezdimenzionisanje problem. Uvode se sledeće smene,

IE

L

IE

LFLxLuy

422

,,,

pa se posle kraćeg sređivaja dobija

02

2

4

4

ud

ud

d

ud

2.4

Bezdimenzijska difrencijalna jednačina i granični uslovi sada postaju,

fd

ud

d

ud

d

du

u

)1(

0)1(

0)0(

0)0(

3

3

2

2

2.5

Pošto se u ovom radi kritično opterećenje i kritična ugaona brzina izračunavaju Ritz-ovom metodom, potrebno je izvesti izraz za ukupnu mehaničku energiju sistema (Lagranžijan), pa sa takvom Ojler-Lagranžovom jednačinom dalje postupati kako procedura nalaže. Nakon kraće kalkulacije i sređivanja izraz za mehaničku energiju glasi,

)()(2

1

2

1)( 2

1

2

2

2

2

CosfSin

d

d

d

udL 2.6

gde je ugaona brzina ose štapa.

5

2.2 Izračunavanje probnih funkcija

Probne funkcije moraju zadovoljiti granične uslove i samu diferencijalnu jednačinu, gde će se jednačina zadovoljiti korišćenjem Ritz-ove metode. Naime, probne funkcije će se pretpostaviti u vidu stepenog reda, a red će sadržati osam članova što glasi,

77

66

55

44

33

2210

7

CCCCCCCCCm

mm 2.2.1

Prva dva granična uslova (2.5) iniciraju jednakost prve dve konstante sa nulom, što glasi 010 CC . Zadnja dva uslova uzrokuju sledeće

)2(3

15210241201560)3(82

14168990540)6(2

776625413

776625412

CCCCCCCCC

CCCCCCCCC

2.2.2

Ovako rešene konstante uvrštavamo u izraz 2.2.1 i posle kraćeg sređivanja i kalkulacija dobija se sledeći rezultat,

244

2353

2362

2371

))3(3

46(

)2(

2(

))8()2(

5)4(

)2(

5(

))10()2(

9)5(

)2(

8(

))12()2(

14)2

3(

)2(

35()(

C

C

C

Cu

2.2.3

Izraz za pomeranje sada sadrži četiri konstante koje nisu određene, sam izraz zadovoljava prethodno zadate granične uslove, međutim određivanje preostalih konstanti mora da se izvrši zadovoljavanjem diferencijalne jednačine 2.4, što će se u nastavku i uraditi, primenom Ritz-ovog metoda korišćenjem ukupne mehaničke energije (Lagranžijana). Ovde su donji indeksi na konstantama permutovani radi preglednosti računice i oni ne utiču na rezultat koji će se izračunati.

6

2.3 Ritz-ov metod

Stepeni redovi funkcija brzo konvergiraju, tako da će se u daljoj računici koristiti samo prve dve probne funkcije tj. one koje stoje uz konstante C1 i C2 razlog ovoga je što kada bi se koristile sve četiri probne funkcije imali bi razliku u rezultatu manju od jedan posto, što opravdava način kojim će se stvari dalje razvijati. Kao što je na početku rečeno, Ritz-ov metod je jedan od metoda varijacionog računa koji je direktan i pomalo teško upotrebljiv, postoji ograničenje na širini njegove primenjivosti. Jedno od tih ograničenja o najvažnije, je to što se primena ograničava na procese koji se opisuju Ojler-Lagranžovim jednačinama, što je ponekad vrlo nezgodno, jer je često nemoguće diferencijalne jednačine procesa svesti na njih. Rotirajući štap sa horizontalnom silom može da se opiše ovim jednačinama tj. moguće je od jednačinu 2.2 svesti na oblik 2.6, što je i učinjeno. Koraci procedure su sledeći; nakon što smo dobili jednačinu 2.6 u nju uvrštavamo probno rešenje 2.2.3 i integralimo ju u granicama od nula do jedan. Ovako dobijeno rešenje diferenciramo po konstantama (variramo), i pošto su granice integracije poznate varijacija konstante mora biti različita od nule što sugeriše da su izrazi uz variranu konstantu jednaki nuli. Pošto se u ovom radu koriste dve probne funkcije biti će potrebno dva puta diferencirati integraljenu ukupnu mehaničku energiju što nam daje dovoljan broj linearnih algebarskih jednačina za rešavanje konstanti. Izraz u nastavku ćemo linearizovati i i njega uvrstiti prva dva člana izraza 2.2.3 pa se dobija

1

02

1

2

2

2

21

0)

2

1

2

1()(

d

d

duf

d

d

d

uddL 2.3.1

gde je

))10()2(

9)5(

)2(

8(

))12()2(

14)2

3(

)2(

35()(

2362

2371

C

Cu

pa se posle smena i integracije, dobija

)))15(180(350))4(13

1992(33))13(130(132()2(33

8)))30(5)26(3(

)2(3

)(2

2221

21221

2

1

CCC

CCC

7

U ovom izrazu figureišu brojne veličine ali je od najvećeg značaja odrediti vrednosti konstanti C1 i C2 što će se izvesti na sledeći način. Prvo nalazimo izvode izraza 2.3.2 po C1 i C2, respektivno i dobijamo sledeće izraze

)))14((527968(

))13((130(32)2)(26(()2(

2

2

121

C

CC

I

2.3.3

)))15(180(2800(

))14(131992(132)2)(30(55()2(33

2

2

122

C

CC

I

Sada smo dobili sistem od dve linearne algebarske jednačine koji rešavamo po dve konstante C1 i C2 da bi rešenja uvrstili u izraz za pomeranje 2.2.3 i tako analizirali ponašanje štapa i odredili kritične vrednosti, sile i obrtanja. Jednačine 2.3.3 izjednačavamo sa nulom i dobijamo sledeći rezultat

01

C

I

)24(92

)2()180(151

C 2.3.4

02

C

I

)24(92

)2()156(112

C

Ovako rešene konstante uvrštavamo u izraz 2.2.3, pa posle kratkog sređivanja izraza dobijamo, Rešenje pomeranja srednje ose

22

32

67

)23472)24(23(12

13586466657

)23472)24(23(12

))72728465(5

)23472)24(23(4

)2()180(15

)23472)24(23(4

)2()156(11)(

u

2.3.5

Gubitak stabilnosti štapa može da se odredi ako se nađu izvodi, tj ako se izračunaju najveći nagibi, poslednjeg izraza po α, odnosno β, pa se dobije

0)1(

u

02347)24(23

)229223()2(

2.3.6

8

0)1(

u

02347)24(23

4680)96(

U izrazu se vidi da sopstvena frekvencija sistema ne zavisi od horizontalne sile, što je bilo i za očekivati. Rešenja za bezdimenzijsku horizontalnu silu iznosi

2

2

23

2293

23

2292

22

L

EIF

L

EIF

kr

kr

Ako se traži kada je pomeranje beskonačno, uzima se rešenje imenitelja izraza 2.3.5 pa se dobija

0)24(2323472 Ćije rešenje iznosi

)805223(23

12ia gde ako uzmemo samo realni deo rešenja imamo

a=12, 2

12L

EIFkr .