stability profili aperti

Stabilita` profili aperti, ver1.1, LW 1

Stabilita` di travi con profili aperti in parete sottile

Walter Lacarbonara

20 novembre 2006

Indice

1 La torsione uniforme 2

1.1 La funzione dingobbamento riferita al centro di torsione . . . . . . . . . . . 3

2 La torsione non uniforme 4

2.1 Effetto della rigidezza allingobbamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Sezioni di interesse tecnico 7

3.1 Sezione a T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.2 Sezione a L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.3 Sezione a doppio T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.4 Sezione a doppio T con ali diseguali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.5 Sezione a C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4 Le equazioni di equilibrio linearizzate 10

4.1 LEnergia potenziale totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.1.1 La stazionarieta` dellenergia potenziale totale . . . . . . . . . . . . . 13

5 Casi notevoli di instabilita` flesso-torsionale 13

5.1 Trave a profilo aperto compressa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5.1.1 Sezioni monosimmetriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.2 Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.3 Trave a profilo aperto soggetta a coppie flettenti destremita` . . . . . . . . . 15

5.3.1 Sezioni monosimmetriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.4 Altri casi notevoli di sollecitazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.4.1 Il lavoro delle forze esterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Draft: 20 novembre 2006


Sommario

Si mostrano gli elementi essenziali della teoria della stabilita` di travi con profili aperti in

parete sottile. Si richiama dapprima la teoria della torsione uniforme, si illustra la torsione

non uniforme secondo Vlasov. Si deducono, ricorrendo alla formulazione variazionale, le

equazioni linearizzate di equilibrio di una trave in condizioni di presollecitazione indotta da

forza assiale, coppie flettenti destremita`, di taglio e carichi distribuiti. Si discutono alcuni

casi notevoli di instabilita` flesso-torsionale quali la trave compressa da una forza normale

centrata o sollecitata da coppie flettenti.

1 La torsione uniforme

Il problema di torsione uniforme, nello spirito del metodo degli spostamenti, si rias-

sume come segue. Il campo di spostamenti (v, w) congruente, ove si assuma come polo il

baricentro della sezione, si pone nella forma

v = y, w(y) = kT(y), = k

Tza (1.1)

dove kT = 1 indica la curvatura torsionale uniforme e la funzione dingobbamento speci-

fica riferita al baricentro. Il campo di tensione congruente si ottiene attraverso lequazione di

legame = G, in cui si sostituisca lequazione di congruenza = w+v = kT (+ay).Le equazioni di equilibrio di campo e al contorno, = 0 e n = 0, conducono al seguenteproblema di Neumann per la funzione dingobbamento:

2 = 0, su D

n= y l, su D

(1.2)

dove l indica il versore tangente al bordo del dominio. Le coordinate del centro di torsione

sono date da

xT:= 1

Ix

D y dA, y

T:=

1Iy

D x dA (1.3)

Nel caso di profili aperti in parete sottile, la piccolezza dello spessore consente di trascurare

le variazioni della funzione di ingobbamento lungo lo spessore. Percio`, con riferimento alla

linea media C della sezione (Fig. 1), fissata unorigine aritraria ed un verso positivo e dettas lascissa curvilinea lungo C, la funzione dipende soltanto da s. Inoltre, dallannnullarsidella tensione tangenziale sulla linea media consegue

= kT ( + a y) = 0 (1.4)1Lapice indica la derivata rispetto a z.



E quindi possibile esprimere il gradiente di lungo la linea media come

d = ds = a y ds = y ds a = r(s)ds = 2d (1.5)dove d e` larea settoriale spazzata dal vettore y nel percorrere lelemento darco ds. A

meno di una costante inessenziale, la funzione dingobbamento si esprime come = 2.Di conseguenza, il centro di torsione, posto dA= b(s)ds, assume le coordinate

xT:=

2Ix

D(s) y(s)b(s) ds, y

T:= 2

Iy

D(s) x(s)b(s) ds (1.6)

La parte puramente deformativa della funzione dingobbamento, univocamente determinabile,

si ottiene come

d = (0 xT y + yT x) = 2 0 + xT y yT x (1.7)dove 0 = 2/A

D (s)b(s)ds.

s = 0

s = c

b(s)

T

yTy

d

dT

G

sds

x

y

C

Figura 1: Profilo aperto in parete sottile: centro di torsione, aree settoriali riferite al

baricentro e al centro di torsione.

1.1 La funzione dingobbamento riferita al centro di torsione

Se si assume come polo di riduzione il centro di torsione, si ottiene la funzione dingob-

bamento riferita al centro di torsione stesso e indicata con T .

Poiche` v = (y yT )dT = (y yT ) ds a = rT (s)ds = 2dT (1.8)



Quindi, T = 2T + 0. Se si determina la costante 0 (cio` corrisponde anche a scegliereunopportuna origine del sistema dascissa curvilinea) in modo da soddisfare la condizione

DTdA = 0 (1.9)

la funzione dingobbamento2 si esprime come

T= 2(

T

T) (1.10)

dove T esprime il valor medio della funzione T sulla sezione. Si riassumono le proprieta`

notevoli di T.

Proprieta` I: La funzione dingobbamento T, Eq. (1.10), corrisponde alla parte puramente

deformativa dellingobbamento d, Eq. (1.7).

Proprieta` II: La funzione dingobbamento T verifica le seguenti identita`DTx dA = 0,

DTy dA = 0 (1.11)

Infatti per la Proprieta` I, T = d = 2 0+xT yyT x. Sostituendo questa espressionedi

Tnelle (1.11), e sfruttando proprieta` geometriche banali, si verificano le identita`.

2 La torsione non uniforme

Nelle condizioni in cui lingobbamento della sezione sia impedito oppure sia applicato un

momento torcente variabile lungo la linea dasse, insorge uno stato di tensione longitudinale

autoequilibrato a cui si associa, per lequilibrio allo scorrimento, uno stato di tensione

tangenziale detto secondario. Poiche` nelle condizioni predette (ingobbamento impedito o

momento torcente variabile), la curvatura torsionale non e` piu` uniforme; inoltre, stante la

w(z, s) = (z)T (s), segue che lelongazione ( = w) e la tensione longitudinale sono date,

rispettivamente, da

= (z)T(s) = E

T (2.12)

Dallequilibrio di un concio di trave in direzione z, si ottiene il seguente sforzo di scorrimento

il cui carattere secondario e` dichiarato con il pedice 2:

q2 = 2b = s0b(s)ds = E

s0T b ds (2.13)

2La T , avente come polo il centro di torsione e lorigine tale da soddisfare lEq. (1.9), descrive la

cosiddetta area settoriale principale.



Si genera quindi una coppia torcente secondaria data da

MT2 = c0(y yT ) q2ds a =

c0q2 rT ds = E (2.14)

dove

= c0

( s0

Tb ds

)d

T(2.15)

Posto (s) = s0 T b ds, integrando per parti , si ottiene

= c0dT = T

c0

+ c0T

dds

ds = c02Tb ds =

D2TdA (2.16)

La funzione e` detta rigidezza allingobbamento (warping rigidity). Sommando gli effet-

ti della torsione primaria di De Saint Venant, MT1 = GJ, e quelli della torsione non

uniforme, si ottiene

MT = GJ E (2.17)

2.1 Effetto della rigidezza allingobbamento

Lequazione di equilibrio di una trave soggetta ad una densita` di coppie torcenti mT si

scrive M T+mT = 0, ovvero, in virtu` della (2.17),

E GJ = mT (2.18)

Se si trascura leffetto della rigidezza aggiuntiva E dovuto alla torsione non uniforme

GJ = mT (2.19)

Nel secondo caso le condizioni al contorno sono = 0 se la rotazione torsionale e` impedita

o GJ = 0 se la rotazione e` libera; nel caso di torsione non uniforme, sono necessarieulteriori condizioni al contorno, ovvero occorre aggiungere informazioni sul tipo di vincolo.

Un vincolo atto ad impedire la rotazione torsionale consentendo tuttavia lingobbamento e`

detto ritegno torsionale. In questo caso,

= 0, E = 0 (2.20)

La condizione vincolare impone lannullamento delle tensioni normali = E corrispon-dente al libero ingobbamento della sezione.

Al fine di apprezzare leffetto della rigidezza aggiuntiva da torsione non uniforme, si

integrano le equazioni (2.19) e (2.18) con mT uniforme e considerando ritegni torsionali. La

(2.19) conduce a

1 =mT `

2

2GJ

(z

` z

2

`2

)(2.21)



Lintegrazione della (2.18), unitamente alle condizioni (2.20), fornisce

= 1 +mT `

2

GJT

[e

Tz` + e

(1 z

`)

1 + e

T

](2.22)

dove T= `2GJ/(E) quantifica la snellezza torsionale. Leffetto della maggiore rigidezza

torsionale fa s che le rotazioni torsionali siano ridotte rispetto alla teoria della torsione

uniforme. Infatti, calcolando il rapporto tra e 1 in mezzeria si ottiene

1= 1 8

T

(e

T /2 1)2

1 + e

T

< 1 (2.23)

In Fig. 2(a) si riportano gli andamenti della rotazione torsionale di una trave in acciaio C

310x31 di luce ` = 4 m, con ritegni torsionali, soggetta ad un momento torcente mT = 500

Nm/m. In Fig. 2(b) si riporta il rapporto percentuale tra e 1 in mezzeria. Per la trave

considerata, GJ = 10699 N m2, E = 6098 N m4, T = 43.9. La rotazione ottenuta e`

l83 % di quella fornita dalla teoria della torsione uniforme. Per elevate snellezze torsionali,

leffetto della torsione non uniforme diventa inapprezzabile.

0 1 2 3 40

0.02

0.04

0.06

0.08

z

0 20 40 60 80 1000

20

40

60

80

(a) (b)

%

T

C 310x31

T G

Figura 2: (a) Rotazione torsionale in una trave C 310x31 di luce ` = 4 m senza il contrib-

uto di MT2

(linea sottile) e con il contributo da torsione non uniforme (linea spessa); (b)

rotazione in mezzeria calcolata con la (2.22) rapportata a quella ottenuta con la (2.21) in

funzione di T .



3 Sezioni di interesse tecnico

Si riportano nel seguito alcune sezioni di interesse tecnico con il centro di torsione,

linerzia torsionale J e la rigidezza allingobbamento .

3.1 Sezione a T

J =bt3 + dw3

3, =

b3t3

144+d3w3

64 0 (3.24)

T

GTG

Figura 3: Sezione a T, d = d t/23.2 Sezione a L

J =(b + d)t3

3, = (d)3(b)3

t3

36 0 (3.25)

T

T

TG

Figura 4: Sezione a L, d = d t/2, b = b t/2.



3.3 Sezione a doppio T

J =2bt3 + dw3

3, =

d2b3t24

(3.26)

Figura 5: Sezione a doppio T, d = d t

3.4 Sezione a doppio T con ali diseguali

J =b1t

31 + b2t

32 + d

w3

3, =

(d)2(b1)3t112

, =1

1 + (b1/b2)3t1/t2(3.27)

T

G

G

T d1

Figura 6: Sezione a doppio T asimmetrica, d = d (t1 + t2)/2.



3.5 Sezione a C

J =2bt3 + dw3

3, = (d)2(b)3t

[1 3

6+2

2

(1 +

dw6bt

)] =

12 + (dw)/(3bt)

(3.28)

La posizione del centro di torsione e` data da

xT = xG + b w

2(3.29)

T

T Gd1

G

Figura 7: Sezione a C, d = d t, b = b w/2.



4 Le equazioni di equilibrio linearizzate

Lo stato di presollecitazione della trave si pensa essere indotto da azioni destremita` -

forza centrata di compressione P, coppia flettente m = Mxax+Myay , forza di taglio T ap-

plicata nel centro di taglio3 - e da forze distribuite trasversali. Gli effetti della torsione e del

conseguente ingobbamento delle sezioni sono tenuti in conto solo nel passaggio dalla config-

urazione di riferimento a quella variata. Lo stato di tensione indotto dalla presollecitazione

si puo`, percio`, esprimere come

0 = PA+Mx(z)Ix

y My(z)Iy

x, 0 = 0xax + 0y ay (4.30)

Lo stato di deformazione e` descritto dal tensore di Green-Lagrange D il quale, adottando

la notazione tensoriale, si scrive4

D =u+u>

2+u>u

2= E+D(2), D(2)ij =

12uk,iuk,j (4.31)

La parte di primo ordine e` il tensore della deformazione infinitesima la cui unica compo-

nente non nulla e` lelongazione longitudinale che consta di un contributo flessionale, ky a,e di un contributo indotto dalla torsione non uniforme,

T,

= k y a + T= kyx+ kxy + T = uGx vGy + T (4.32)

stanti le equazioni di congruenza5 kx = vG e ky = uG di una trave assunta indeformabilea taglio. Lo spostamento di un punto materiale generico della trave e` dato da

v(y, z) = vG+ (y y

T), w(y, z) =

T(4.33)

Le componenti della parte del secondo ordine del tensore di Green-Lagrange nelle quali

spendono lavoro le tensioni di presollecitazione sono

D(2)11 =

12(u2 + v2 + w2)

D(2)13 =

12(u,xu + v,xv + w,xw), D

(2)23 =

12(u,yu + v,yv + w,yw)

(4.34)

Trascurando i gradienti dello spostamento longitudinale rispetto a quelli associati allo

spostamento nel piano della sezione e adottando la notazione ingegneristica, posto (2)ij =

2D(2)ij , si ottiene

(2) =12(u2 + v2), (2)xz = u,xu

+ v,xv, (2)yz = u,yu + v,yv (4.35)

3Coincidente con il centro di torsione T.4Si adotta la convenzione classica fk,i = fk/xi, con i = 1, 2, 3 e {x1, x2, x3} {x, y, z}.5Le equazioni di congruenza linearizzate si possono scrivere come segue: = a + = u

G a,

k = . Decomposto uG = wGa + vG (con vG = uGax + vGay) segue che = vG a. Dal vincolo di

indeformabilita` a taglio, = 0, si ottiene x = vG e y = uG . Quindi, kx = vG e ky = uG .Draft: 20 novembre 2006


Sostituendo la (4.33) nella (4.35) si ottengono le equazioni di congruenza nonlineari in

funzione degli spostamenti generalizzati (vG(z), (z))

(2) =12

{u2G+ v2

G+ 2

[(x xT )2 + (y yT )2

]+ 2

[vG(x xT ) uG(y yT )

] }(2)xz =

[vG+ (x x

T)], (2)yz =

[uG (y y

T)] (4.36)

Nel paragrafo seguente si calcola lenergia potenziale totale.

4.1 LEnergia potenziale totale

Lenergia potenziale totale U si esprime come

U = WE +WG L (4.37)

dove WE e WG sono, rispettivamente, lenergia potenziale elastica e geometrica. Lenergia

elastica si calcola come

WE=

12

V

E2dV +12

`0

GJ2dz

=12

`0

[EIy(uG)

2 +EIx(vG)2 + E()2 +GJ2

]dz

(4.38)

Lenergia geometrica e` il lavoro delle tensioni di presollecitazione nelle componenti del

secondo ordine del tensore della deformazione e si esprime come

WG =V0ijD

(2)ij dV =

V0(2)dV +

V 0 (2)dV =

`0

(W

G[0] +W

G[0)

]dz (4.39)

avendo posto (2) = (2)xz ax + (2)yz ay , W G [

0] e` lenergia elastica specifica (per unita` di

lunghezza di trave) associata alle tensioni longitudinali di presollecitazione mentre W G[ ] e`

lenergia geometrica specifica associata alle tensioni tangenziali. Si ottiene

W G[0] =

D0(2)dA

=12

D

(PA+Mx(z)Ix

y My(z)Iy

x

){u2G+ v2

G+ 2

[(x xT )2 + (y yT )2

]+ 2

[vG(x xT ) uG(y yT )

]}dA

= P2[u2G+ v2

G+ 2r2

T+ 2(u

GyT vGxT )

]+Mx

(Cx

uG

)+My

(Cy

vG

)(4.40)

dove

Cx = yT +12Ix

D(y y)ydA, Cy = xT

12Iy

D(y y)xdA, r2

T=

IGA

+ yT yT (4.41)

I coefficienti Cx e Cy sono detti coefficienti di forma della sezione ed il significato apparira`

chiaro dalle equazioni di equilibrio. Lenergia geometrica specifica assume la forma

W G[0] =

D

{0x

[vG+ (x xT )

] 0y [uG (y yT )] }dA (4.42)Draft: 20 novembre 2006


Al fine di integrare la (4.42), si utilizzano le equazioni di equilibrio integrale alle basi e di

equilibrio indefinito, quella al contorno, e di equilibrio globale:D0xdA = Tx = M y ,

D0ydA = Ty = M

x

0 = (0) su D, 0 n = 0, su D(4.43)

Percio` la (4.42) diventa

W G[0] = (u

GM x + v

GM y) +

(xTMy yTM x) +

D0 ydA (4.44)

Al fine di calcolare lultimo integrale, si utilizza la seguente identita`

0 y = 12 [(y y)0] 1

2(y y) 0 = 1

2 [(y y)0] + 1

2(y y)(0) (4.45)

Quindi, applicando il teorema di Gauss e la condizione di equilibrio al contorno, nonche`

(0) = M x/Ixy M y/Iyx e la (4.41) si ottieneD0 ydA =1

2

D(y y)(0 n)ds+ 1

2

D(y y)(0)dA = 1

2

D(y y)(0)dA

=M x(Cx + yT ) +My(Cy xT )

(4.46)

Sostituendo questa nella (4.42) si ottiene

W G[0] =

[M x(Cx

uG) +M y(Cy

vG)] (4.47)

Infine, lenergia geometrica specifica si esprime come

W G= P

2[u2G+ v2

G+ 2r2

T+ 2(u

GyT v

GxT)]

+Mx(Cx

uG

)+My

(Cy

vG

)+[M x(

Cx uG) +M y(Cy vG)]}

= P2[u2G+ v2

G+ 2r2

T+ 2(u

GyT vGxT )

]+(Mx)[Cx uG ] + (My)[Cy vG ]

(4.48)

Lenergia potenziale delle forze interne, elastiche e geometriche, diventa

W = WE +WG =12

`0

[EIy(uG)

2 + EIx(vG)2 +E()2 + GJ2

]dz

12

`0P[u2G+ v2

G+ 2r2

T+ 2(u

GyT v

GxT)]

+ `0(Mx)[Cx uG ]dz +

`0(My)[Cy vG ]dz

(4.49)



4.1.1 La stazionarieta` dellenergia potenziale totale

Imponendo la stazionarieta` di U (i dettagli saranno inseriti in una futura appendice)

U = WE+ W

G L = 0 (4.50)

si perviene al seguente sistema di equazioni differenziali6:

EIyu+P (u + y

T) + (Mx) = 0

EIxv+P (v x

T) + (My) = 0

EGJ + P (r2T + y

Tu x

Tv)

Cx[(Mx) +Mx] Cy [(My) +My] +Mxu +Myv

+[(x

Q x

T)fx + (yQ yT )fy

] = 0

(4.51)

Ad esso si aggiungono opportune condizioni al contorno. Si osservi il pieno accoppiamento

tra le variabili di flessione (u, v) e quella di torsione .

5 Casi notevoli di instabilita` flesso-torsionale

5.1 Trave a profilo aperto compressa

Assumendo m 0 e f 0, la (4.51) diventaEIyu

+P (u + yT ) = 0

EIxv+P (v xT ) = 0

EGJ + P (r2T + yT u

xT v) = 0(5.52)

Per semplicita` di trattazione, si consideri una trave semplicemente appoggiata ed avente

ritegni torsionali in corrispondenza degli appoggi. Le condizioni al contorno, in entrambe

le sezioni di estremita`, si esprimono

u = 0, v = 0, EIxv = 0, EIyu = 0, = 0, E = 0 (5.53)

Le soluzioni hanno evidentemente la seguente forma7:

u = U1 sinnpiz

`, v = U2 sin

npiz

`, = U3 sin

npiz

`(5.54)

Sostituendo la (5.54) nella (5.52), usando la notazione matriciale, si ottiene8Pny P 0 PyT

0 Pnx P PxTPyT PxT (Pn P )r2T

U1

U2

U3

=

0

0

0

(5.55)6Si e` omesso il pedice G per snellezza notazionale7Sono tali da soddisfare identicamente tutte le condizioni al contorno e, per opportuni valori di

(U1, U2, U3), soddisfano le equazioni di equilibrio8Si osservi la simmetria della matrice dei coefficienti.



dove

Pnx = n2pi2

EIx`2

, Pny = n2pi2

EIy`2

, Pn =n2pi2E/`2 +GJ

r2T

(5.56)

Poiche` si intende determinare il carico critico ed il corrispondente modo, questo e` atteso che

si verifichi per n = 1. Denoteremo con (Px, Py , P) i valori di (Pnx , Pny , P

n ) corrispondenti a

n = 1. Si osservi che (Px, Py) sono i carichi critici Euleriani che indurrebbero sbandamento

flessionale nei piani yz e xz.

Sono ammesse soluzioni non banali di (5.55) se e solo se il determinante della matrice

dei coefficienti si annulla fornendo lequazione caratteristica nella forma

F(P ) = (Px P )(Py P )(P P )

(xTrT

)2(Py P )P 2

(yTrT

)2(Px P )P 2 = 0

(5.57)

Il carico critico, Pc, e` la piu` piccola radice di (5.57). Osserviamo che nel caso di sezioni

bisimmetriche, T G, percio` xT = yT 0. La (5.57) diventa

F(P ) = (Px P )(Py P )(P P ) = 0 (5.58)In questo caso non si verifica accoppiamento flesso-torsionale. Il carico critico e`

Pc =min{Px, Py, P}. Poiche` P > (Px, Py), linstabilita` si manifesta come nellasta di Eu-lero, per flessione nel piano dinerzia debole, ed il carico critico e` quello Euleriano. A ciascun

livello di carico corrispondente a Px, Py , o P, corrisponde un modo di buckling puramente

flessionale (Px o Py ,) o torsionale P .

Nel caso di sezione generica, priva di assi di simmetria, e` intuitivo pensare che lac-

coppiamento flesso-torsionale sia tale da far manifestare linstabilita` attraverso un modo

flesso-torsionale ad un livello di carico inferiore rispetto a quello puramente flessionale

di tipo Euleriano. Si puo`, infatti, dimostrare9 che Pc 0 e F(Px) < 0, segue che Pc < Px. Se, al contrario, Py < Px,

poiche` F(0) > 0 e F(Py) < 0, segue che Pc < Py.Draft: 20 novembre 2006


Le radici sono

P = Px, Px =12K

[(Py + P)

(Py + P)2 4KPyP

](5.60)

dove K = 1 (yT/r

T)2 e` detto fattore daccoppiamento flesso-torsionale. Si osservi che

laccoppiamento riguarda la flessione intorno allasse di simmetria, ay , ovvero nel piano di

inflessione xz, e la torsione. Si puo` dimostrare, con ragionamento analogo al precedente, che

con riferimento al problema accoppiato, Pc


G (u, 0, 0) (0, v, )

(a) (b)

Figura 8: (a) Modo critico (puramente flessionale) e (b) secondo modo di buckling (flesso-

torsionale) di una sezione C 310 x31.

Con riferimento ad una trave appoggiata con ritegni torsionali, si assuma la soluzione del

tipo (5.54). Il sistema risolvente diventaPy 0 Mx0 Px My

Mx My r2TP + 2(CxMx + CyMy)

U1

U2

U3

=

0

0

0

(5.64)Lequazione caratteristica e`

F(Mx,My) = M2x

Py+M2yPx

2CxMx 2CyMy rT 2P = 0 (5.65)

Questa equazione rapparesenta nel piano delle sollecitazioni (Mx,My) (Fig. 8) unellisse,

detta frontiera di buckling, con assi paralleli a Mx = 0 e My = 0. In generale, assegnata una

coppia m = Mxax+Myay , ovvero unasse di sollecitazione, questa corrisponde ad un punto

sollecitazione Q nel piano (Mx,My). Facendo crescere lintensita` della coppia, tenendofisso lasse di sollecitazione, ovvero percorrendo una retta per lorigine e passante per Q, siragginuge la situazione critica in corrispondenza dellintersezione della retta con la frontiera

di buckling, nel punto sollecitazione Qc cui corrisponde la coppia critica mc. In generale,il modo critico e` di tipo flesso-torsionale con (u, v, ) 6= (0, 0, 0), si manifesta quindi conuno sbandamento flessionale secondo un piano dinflessione deviato e con unavvitamento

torsionale intorno allasse di torsione. Poiche` U2/U1 = (Iy/Ix)(My/Mx), langolo formato

dal piano dinflessione con lasse x e` arctan((Iy/Ix)(My/Mx)).

Le intersezioni della frontiera di buckling con gli assi rappresentano le coppie critiche

intorno agli assi principali che inducono flessioni rette accompagnate da torsione. Il puntoDraft: 20 novembre 2006


O

Mxc

Q

Qx

F

Qc

=

MycQy=

Mx

My

Figura 9: Frontiera di buckling di una sezione con asse di simmetria x.

Qx corrisponde alla coppia critica

Mxc = CxPy C2xP

2y + rT 2PyP (5.66)

mentre il punto Qy corrisponde alla coppia critica

Myc = CyPx C2yP

2x + rT 2PxP (5.67)

5.3.1 Sezioni monosimmetriche

Nel caso di sezioni monosimmetriche, ad esempio rispetto allasse y, Cy = 0, quindi, il

momento critico diventa.

Myc = pi`

EIx

(pi2

`2E+ GJ

)(5.68)

Inoltre, trascurando il contributo di (come nelle sezioni tipo L, T), il momento critico e`

quello di Prandtl

Myc = pi`

EIxGJ (5.69)

5.4 Altri casi notevoli di sollecitazione

Si riportano, a titolo meramente illustrativo, alcuni casi notevoli di sollecitazione per i

quali sono disponbili soluzioni in forma tabellare per le quali si rimanda a testi specializzati.

In Fig. 9(a), e` considerato il caso di trave semplicemente appoggiata con ritegni torsionali,



la flessione fuori piano e` tuttavia bloccata10. Trascurando , il momento critico e`

Mc =2pi`

EIy GJ (5.70)

Quindi, laggiunta del vincolo di tipo flessionale fa raddoppiare il momento critico di Prandtl.

Nelle figure Fig. 9(b)-(e) sono riportate condizioni di sollecitazione che conducono a mo-

menti di presollecitazione variabili lungo lasse della trave, quindi a problemi differenziali

a coefficienti variabili la cui soluzione diventa notevolmente piu` complessa. Si ricorre a

funzioni non elementari per la relativa rappresentazione come, ad esempio, la funzione di

Bessel. Le soluzioni sono comunque fornite nella forma

Mc =

EIy GJ

`2(5.71)

dove il fattore e` dato in funzione del rapporto T per diverse posizione della forza (centro

di torsione, intradosso, estradosso), e per diverse condizioni di vincolo.

F

l

(a)

(b)

(c)

F

(d)

(e)

Figura 10: Casi notevoli di sollecitazione.

10Questo vincolo e` indicato con linea piu` spessa rispetto agli altri casi



Appendice

5.4.1 Il lavoro delle forze esterne

Il lavoro compiuto dalle forze esterne f(z) si scrive come

L = `0f v

Qdz (5.72)

dove vQe` lo spostamento del punto dapplicazione Q della forze esterne. Sia y

Q= y

Qy

T

il vettore di posizione di Q rispetto al centro di torsione T, dove yQ e` il vettore di posizione

di Q rispetto a G. Poiche` la sezione ruota intorno a T di un angolo (supposto finito, ai fini

dellanalisi), lo spostamento di Q si calcola come vQ = yQ yQ , avando indicato con yQ ilvettore di posizione rispetto a T del punto Q, posizione assunta da Q nella configurazione

variata. Il tensore di rotazione piano

R(z) =

[cos sin sin cos

](5.73)

Si ha yQ = RyQ , quindi vQ = (R I)yQ di componenti

uQ= (cos 1)(x

Q x

T) sin (y

Q y

T),

vQ= sin (x

Q x

T) + (cos 1)(y

Q y

T)

(5.74)

Effettuando uno sviluppo in serie di Mac Laurin e arrestandosi a termini di ordine di 2, si

ottiene

uQ = (yQ yT )122(xQ xT ),

vQ= 1

22(y

Q y

T) + (x

Q x

T)

(5.75)

Quindi, il lavoro delle forze esterne del secondo ordine fornisce

L(2) = `0f v(2)

Qdz = 1

2

`0

[(xQ xT )fx + (yQ yT )fy

]2dz (5.76)



Figura 11: Tabella A: Profilato ad L a lati uguali.



Figura 12: Tabella A (segue): Profilato ad L a lati uguali.



Figura 13: Tabella B: Profilato ad T a spigoli vivi.



Figura 14: Tabella C: Profili IPE.



Figura 15: Tabella D: Profili HE.



Figura 16: Tabella E: Profilati ad U serie normale.



Figura 17: Tabella E (segue): Profilati ad U serie normale.


stability profili aperti

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