stavebnicky casopiscee.northwestern.edu/people/bazant/pdfs/papers/014.pdf · 2013. 2. 20. ·...
TRANSCRIPT
Batant, Z.P. (1964). "Approximate methods of analysis of creep and shrinkage of complex nonhomogeneous structures and use of computers" (in Czech with English summary), Stavebn'/cky • Casopis (SAV, Bratislava), 12,414-431.
STAVEBNICKY CASOPIS
SEPARA.'l'NY VYTLACOK
VYDAVATE:CSTVO
SLOVENSKEJ AKADtMIE VIED
BRATISLAVA
"ticke pripady nedosaiitelne a predstavuju krajne hranice. Vyrovnana hod nota hygrometrickej zmeny sa dosahuje podohne ako pri lahkjch het6noch na haze umeMho ka.meniva za tjch istjch vlhkostl a Uloznych podmienok v ohdohl 300 ai 400 dni.
Verkosi deformacii z titulu hygrometrickjch zmien je funkciou mnozstva aleho prijatia vlhkosti.
Pre uvedenj druh p6rosilikatov je hodnota ocakavanej vefkosti hygrometrickej smeny dana rovnieou, ktora hola zostrojena na zaklade schematickeho vziahu (13):
Eb,l = 4SeK. (14) •
Platl pre teleso rozmerov 10 X 10 x40 em, pricom
Se - mnozstvo vyparovanej aleho prijatej vody v sledovanom case' v tonach/m3,
K - korekcnj suciniter, ktorj sa pohyhuje od 0,8 do 1,3.
Pre vplyv geometrickjch rozmerov telesa na prieheh povrchovjch a osovjch hygrometrickjch zmien za konAtantllej relativnej vlhkosti platia tie iste zasady ako pri lahkjch bet6noch na haze umeMho kameniva.
Odovzdane 20. 6. 1963
DiskUllo~ pdspevky k tomuto l!lauku (v rozsahu oajviaeej 2 str8OY) pr05ime poslat trojmo re.6Iakcii l!asopisu do 31. 10. 1964, aby sme ich mohli uverejuit vo februarovom /!isle 1965.
IllpnHTHmCK RpyMn
AOJIrODPEMEHHbIE ClloHcTDA JJErIUIX BETOlIOll
(¥ ca,LIKa H rH,LIPOMCTPH'ICCRHe H3MelleHHJI)
II CTaTbC pnCCMOTpeHhI OTj.\enbHhle cpaKTophl, KOTopLIe OKa3LIBalOT BnHJIHHe Da yca,LIKy ]I I'H,LIPOMCTPH'lccKHe H3MelleHHJI JlerKHX 6eTOHOB H nOKaaalla roaHMocBII3h MCm,LIy BHMH. Ha OCBOBe H,LIeanbllOii MOj.\e:IH yca,LIOlfULIX IIPOl\CCCOB aBTOp ,LIeJIaCT BLIBO~\ MaTeMaTB'leCROrO DhlpamellHJI "pol\ccca peaKl\HH H ypaBHcHHoro 3Ha'ICHHJI yca,LIKH. BLIJIO YCTallOBnCIIO, 'ITO ypaBllellHoe 3Ha'lellHe ycaj.\KH nJIOTHhlX nerKHX 6eTOHOB Ha 6a3e HCKYCCTBCHIILIX 3anonHHTencii ,LIOCTHraeTCII B nCpHO,LI OT 300 ,LIO 400 CYTOK. To me caMoe YCT8HOBJlellHC ,LIciiCTBHTcnhHO H ,LInll 1I0pocHnHKaToB. rnaBHLIMH cp8KTopaMH ,LInJI 6eTolloB Ha 6a3e HCRYCCTBCH.1I0ro sanonllHTCnJl, npc~~nO;IaraJI nocToJlHIlYIO TCMncpaTYPY oRpymalOll\cro B03,L1yxa H paa.MapOB Tcna, JIBnJlIOTCJI MHomCCTBO l\CMCHTHoro CBJI3h1BalOmCro BemCCTBa H OTHOCHTcnbHaH BnamHOCTh Cpe,LILI. 3TH onpeAcnCHHJI MomHO HCIIOJlbaOBaTh ,LInll MaTCMaTH'ICCROrO BLIpamCIIHII lIPOl\CCCOD ycal~lm, npJl'lCM OCTanhllLIC <p8KTOPId. CYMMHPYIOTCH B. 1I0npaBO'IHLIii KO<lCPCPBl\HCHT, SHa'lCIIBC ROToporo Kone6neTClI B npe,LIcnax OT 0,8 ,LIO 1,2. 06HapymcHa nCpBB'IHall .3aIIHCHMOCTh Mem,LIy ycaj.\KoH, rH,LIpOMcTPH'ICCKHMH HSMCIICHHlIMH H MllomCCTBOM HcnapcllHoii ltJlJl npHUJITOii BO,LILI sa onpc,LICncHIIOc BpCMH.
XO,LI yca]\o'llloro nponccca MomHO XOPOlilO BLIpa3HTh npB nOMOlllH nOKaaaTcnhlloH <PYIIKl\HH, BLIBC,LICHIIOH Ha OCIIOBC pCOnOrH'ICCKOii MOj.\cnH HCO,LIHOpO,LIHOrO yupyro-BlIsKoro BCU~CCTBa, RaR n npB nOMOlllH norapHcpMH'ICCHOii CPYIIKl\HH.
lIa OCIlOBallHH HcnLITallHH 6LIno OIIpC,LICnCHO, 'ITO ypaBHcHHOC aHa'lCIIHC ycaAKH nnOTHLlX .. llCrHHX 6CTOHOB Ha 6aac ncrHHX aanonHHTcncii MomHO 1I0ny'IHTh YCHOPCHHLlM HcnLITaHHCM, ~nBTcnhHOCTh HOTOpoii Bccm 10 ,LIHcii.
llJJHJIIlHC paaMcpoB Tcna Ha yca,LIO'lHLIC JIOXO,LlLl no JIOBCPXHOCTH MomllO nHmh Mano llpH6n1l3HTcnLIl0 BblpaaHTb npB nOMOmH JIOCTOHHHOii, aaBHCJIlIwii TO.'IbKO OT IIOBCPXIIOCTH HCJIapeHHH, ncplIMcTpa, RJIll OT HX BaaHMIIOro OTHomCIIHII.
3a.4U!'CaHUR U omSbI«bl" amou cmambe na80 noc.namb« mpex Iwnu.'IX (lte 60.nbUle 2 cmpaHulf) pe8a"lfuu :Hlyplta.na 80 31. 10. 1964 2., "",06,,, ,M03/Cno 6bl.ao ony6.nUJ;06amb ux « gie«pa.nbC"O,M 1I0.Mepe 1965 2.
Summary on the page 436.
413
STAVEBNICKY CASOPIS 'sAV XII, 7 -- BRATISLAVA 19'H
In •. ZUENf:K 1'. BAZANT. C, Sc.
StAve"n. "stav CVUT, I'raha
l'fllIlLI2.N"f: METOIlY rtF-SF-Nt DOTVAROVANt A SMRStOVANf
NIHIOMOGENNICH nETONOVYCII KONSTRUKCl
A U2.ITI SAMOCINNYCH POC1TACO
Oherne fe~eni "Ii"11 n.,)lolllogenniho do~varOVRnf a smrsl'ovani pri Apolup,iaobenf be' "'111 rflzntlho 81Of! a I",tolln s M.eH nebo' a I'",lIoiilll, jci bylo nvei'e.jneno r. 1962 v Nank1l 121, je 11 vlr,ekriil stat icky nellrcityrlt kon8\rukci siozite a pracne a u vHeiny okrajovydl ltJoll d811ydl v prostor1l .lifcrenciRlnimi rovnicemi i ncmozne. Proto v teto prad, jli navnzelllc na citovany I\IRllek [2J, l'ok1lsiIne se odvodit plibJizna konvcrgujid l",s''I11 pro "Iozitl\j~i "Iohy dolvarovRni, jake r,i'cdstavuji napr. zavescne betonove Ir""H"'r. lII"sty sc ~iklllymi i I'n,aholickymi zavi"snymi lany (na"f. most. pfes zaliv MaTllc.nibo ve V"IIez,"'lc), tIIontovanc "etonove konstrukce ramove, betonove nosniky IIa IITllznem J1o.lklnd/;, ""'uhy 0 d"skach, stcnach, skorl'J1inach ap.
I'f,,,ll'uklR,ly 0 "ri'lb~hll ,101 vnroviinl a zaklRdni vztahy jeou uv~deny ve [2], taUe z,l" jim strllcnc vyjmml1lj",nll hlavIII hody. Zakladnim predpokladem je Dischingeruv zj".III"dll~""y I'riibi'h li,,,,ar,,iho ,Iutvnrov","i II smdl'ovalli belollu, dany soucinitelem ,lotvll[ov",,1 ",(1) jak" ("nkd 1'1I8U I. Pro vyjaMeni nchomogenity kon8trnkce, spoIu""s,,hld ... 1 ellSI1 '~., He zn,'a,1i .Iiil" I'redpokilld, ze kfivky q;//(I) = 11'//(1) - "'n(I~) pro riizllc i'aRli n kunslruhe JROII navziijem alinni porlle koelidenlll alinity dOlvarovani x. Ij. -TII(I) = 1t!p(I), I'fi"cmz '1',(1.) znoN zv"I,m"u zaklndni krivku dolvaroyani a q;(/) = "= '1"(1) - '1',(,/). I' .... """'R otllloRfcrirkych I'odmillck se vyjadi'lIje redukei casu.
fi"'"ni en"nych" priihi'-llll Hlnticky ,,,,urcitych veliein Xj(l) n·krat stRticky neurc;teho sySlem1l .. I .. ,,'n" II"'ltIlI1o(!;cnniho z hledieka dotvRrovRnl je dano systemem linearnfch ,lifcnm.,ji.lnieh rovnie 1. radII
(1)
(i = 1, ... , n).
lIo,llInly flU resl" fI;/ vyjll.tfujl J1'lIznoslnl kOIlRtaJlty zaklR,lni 51.nlicke sOIl.tavy dane rCRI" tr,,"sIoruWV811c kOllRlrukce, jcz jc delinovana jako konstrukec totozlla s danou.
Rvsnk se zmenymi kOllslantami l,ruzllosti E' = Elx, p.', G' = ~E'/(l + p.'). Hod-2
nnly bp rcsJl' 0; vyjn.Ifuji deformac" ve smyslu Xi od vII"jsilto zatizeni a ltodnoty b;,., ,I..formac" 0'\ pomi'rnydl slll,.teni Yo f:'m(OO) I 11'(00). no clenu 15, se tez zahrn1lje v1iv I'0"''''u l'otll'or a tqlt'llle ,lilalRce. Vyznam l'fedpokladu alinity kfivek dotvarovani 5poelva v tom, ze koC/icicllty b;; a pri staMm zatfzeni tez 15; jsoll konstantnl. V OPRC-
nem pfipade by byly koelicienty Yo a tedy i hodnoty O;j' 0; casove promenne. Rovnice. (1) by mi'ly sice stejny tvar, ale jejich feseni by bylo pracnejM.
Rovnicu (1) Ize upravit na tzv. kanonicky tvar
dX,(t) I -- = A/jX,(/) + B,(/) dtp
;_1
(i = 1, .. . ,n), (la)
kde [Ai;] = - [bi;]-l [0:1], [B,(I)) = - [bij]-1 [b;(/) + ~~i~) + b; .. .]. Zavorky { I znael etvercovou matici s indexy i, j nebo 810upcovou matiei s indexy i.
1. 1nlegrace rozvojem v mocninou radu
U'-aZlljme staticky.ne1lrcitou.konst~ukciapfcdpokIRdejmc, ie funkce bat), db;(/)/dtp. dane pnibi'hem :vnejiliho zatize~i. a. posllvy podpor, Ize v jistem inlervRlu vyjadfit mocnin01l fun kci q;(t) (jaou spojite 8. majl,spojite derivace). 'Relieni pict varnych [ovnie (1) Ize pak hledat v tomto intervalu ve tvaru mocninlle fady [6]
XiI') = X/(It ) + 2: X;(a)q;a. a.-I
(i = 1, ' .. , n). (2)
Koeficicnly fady Ize urcit bud dosazenim roy. (2) do (1) (metodou ncurcityc1t soueinitehi), nebo podle vzorce Taylorova
X_I da.X,(I.) ;(a.)- >x! d~ (3)
Derivaei dX; / d." Ize vyjadi'it pHmo z roy. (1) pomod hod not Xi' Vysi\i derivnee daX; / d."a Ize VypOC1St, dcrivuji-li se (I\: - 1) krat rovnice (1). Ohdrii se tak rekurentni vztahy
(4)
(i = 1, ... , n), • kdc Xi(O) = Xi(ld· Pro I\: > 1 je zde zi'ejme da.-Ib;,.., I drpa-l = O. Pii konstantnlm
zalizelli a IIeposuvllosti podpor anul1lji se i derivace hodnot bi a bi R rovnice se zjednodu"nji.
Rovnice (4) tvori systemy n linearntch rovnie pro nezname XI(al' ., "X.lal' ktere lIIaji vsechny stejnou matici [bil]' Je to matice pro reSent dane pruzne konstrukce. Podl" rovnic (4) nnizeme postupne vypoeitat koeficicnty Xi(a) mocninne rady, poCinaje od dalle pocatecni hodnoty Xj(lk).
Postup resen' je zllRzornen v matieove symbolice v tab. la. Omczime-Ji Be v fade (2) lla konecny pocet Clenu az do radll "'." lze reSent povaZovat za pfiblizne. l'ro zbytek I'0dle Taylorova noree plati vyraz [da.+lX;(/t)/dtpa.+l] gia.+ll «to + 1) 1, kde 'I znacl jistou hodnotu v intervalu (I., I). Maji-Ii se z danych konecnyeh hodnot X i ( (0) zpetne IIri'it pocatecnl hodnoty Xi(l l ) IIutne k dosaZeni tech to konecnych hodnot, platl zrejme tytez rovllice, v nichz se pOllze zamenl'o za 00 a q; = 11'(1) - tp(lt ) za - (",(00) -- 'F(I».
415
Tabullta I.. 'nne fad •
m .. kove .cherna pro vypocet ko:6.c.entu mC:) b) ohe!~e
a) pro .taticky lIeurcitou Iron.tru c. - rovn. , •• ' Be-
., • ,<fIt~11I ICIITOD CTenClIJlOrO pHIl/I; 8) )\Jill "TilTH IC. IIH
UJlllI'ORlln fxeMn Ailli pllt. leTR "?~ '~PYKII,I\I'I 6) B o6,ueM cJly'lae
011 PU)ll'JIMMOIl nour. . '. r a ower series;
moc ,Iilll\r.," fnr evaluation of rA>eflic.ento 0 t) I
8) for a statically indeterminate structure, genera
0) ]
-1[" dtJj{/}+~'
[Ai)·-[/Jilr~[6;J, [Bi(f)J·-[~ij -l8,(/)1- dl 1m
1-- a I Xi lIk) - Xifo/ J
L{a+1-+as ana a $ a. --.!!!-----KONEC
b)
4111
0' -S/a-I)
rnifr'n; dt/ormact rt 1m/slu rnitlnidl si( S
odporidajici na
'/nil ;nim st/am
1
frans/ormorant tons/rutc;
1 da -1 S (f) )
(S(a-IJ +la-7JJ d.r...a-f z k
, 'f r'rrolan': na dani pruint rnilfnt SI r J •
, rnl'fr'n"mi dt/ormactml Ds' ,,., _I) ,,tonsfrukCl,, .....
- !
ana a ~ a. --~---_/(ONE:.C
2. Integrace postupnjmi aproximacemi
Jako prve pfiblizeni se zvoli hodnoty XU) = X/(Ik) a dosadi 8e za X/(I) do rovnie (1).
Integrovanim teehto rovnie od , = '0 do I obddl se rovni~,e, jell pro r-tou aproximaei zni
' ~ >
tI fI t t
2: bii[X"" -X/(II·)] + Z b;j J X/(,_I) dtp + J b;dtp + 15,(1) - b/(I
l) + 15;"" Vi(t) = 0 (5)
/=1 f-l '. I.
(i = I, ",' n).
Jejieh 'denim lze urcit hodnoty XiI,) 7, hodnot X/ [61. Tyto hodnoty s rostouefm r
ohvykle kOJlverguji k pfe8nemu feBeni. (V [6J je udano pon,,';rne jednoduehe omezeni
chyby.) Vypocteny analytieky ryraz pro X/(I) je totolny 8 rozvojem (2) v moeninou
fadu. P08tupn
e aproximaee kOllverguji i kdyz se za X/(I) zvoli libovolny analyticky
"yraz (omezeny V danem intervalu), spliiujici pocatecni podmfnky.
3. Numerickd integrace polygondlni (Eulerova-Cauchyho)
Interval 0 ~ q;(I) ~ q;(q), kde q;(/) = 11'(/) - tp(/t), rozdelime na mo dilkti ,111"") =
= IP(OI' - 1P(",-I,. Hodnotam dlP(") odl'ovidaji podle klivky IP(/) (spojita staile .ros
touei funkee) ca80ve useky ,1'(") ='I(m) - l'no-ll, kde tp,m) = fP(I"A'). PH rovllomernelll
dille';' na dilky Lltp = q;(q) I <no nejsou zrejmc odpovidajfci ca80ve usekydt(m) stejne.
Hodnoty X/(I), resp. M(I), '" na konci m-teho dflku oznacme Xlm" resp. M'''), ,."
kde Xl"" = X,(I'''''). Podo!me oZllacme i Ilodnoty bIOI', <I;(no) odpovidajiC( vnejSimu
zaLfzeni a eelkovemu posuvu podpor v case I'm'. Zmenam vnejsfho zatizenf a posuvtim
podpor v casovem useku 1''''-11 < I < ,'m) od'JOvidaji Zmeny .dbl"". PrtibeJl zatizeni,
a posuvti podpor i jejich derivaci mnze byt nesl'ojity, aVSak je vhodne volit deleni tak; ,
ahy nespojitosti byly pouze v delicich hodech 1(").
Pisme mocninnou radu (2) pro m-ty dilek s pocatecnf hodnotou ~"-1l. Volrme-li
L1 II' dostatecne male, lze 8e v mocninne fade omezit pfiblizne jen na prry clen. Nahra
dime-Ii v roy. (2) q; za L19', X,(') 70a X?"', Xi(/d za Xl"'-l, a oznaclrne_li Xm)L1q; =
= AXlm) , obdriime pro m-ty dilek diferencni vztah Xl'"' = Xl'"-l) + ,1 Xl"" .
Zanedbanim clcnn radu druheho a vyll8feh vznika zde chyba, jejiz velikost podle
vzoree Taylorova je ~ d9'2ld
2X,(/j"") I dtpsJ, kde Ii'" je jista hod nota v intervalu
(,(no-II, ,(m). Z roy. (4) pro" = I VYl'lyvaji po znasobeni ..11/' a pfislusnych dosazenieh
diferencni rovnice ,.ro m-ty dUek [6J
" .. L d"L1X\"" + ,19' (L d~.x',"-ll + t:I~"-l) + d' ) + dt:l'm, = 0 (i = 1 n) (6)
;= 1 " J i= 1 'J J , II"., t , ••• , ,
Ivoi'Jcf system n lincarnfclt ro\'uic pro nezname AX)"" s malici [b/&J dane pr\4zne kon-
8trukce. PH vypoctu se vyjde 0.1 .1an)'ch poC3tecnicll hodnot Xl' = X/(/J a opako
""lIim reselli rOY. (6) a "i'icitani/ll zmen AX:'"' se IJOstupn;; ziskaji hodnoty XY"'
a Xl'",' = Xii q).
Tento postup mitzeme oznacit za numerickou integraci vpi'ed. Jeji blokove schema
jc znazorneno v matieove symbolice lIa tab. 2a. Potiebujemeoli vypocist lIaopak
Zpetne vychozf llOdlloty potrehne k dosazenf dalleho konecneho stavu, P08tupujellle
tzv. numerickou inlegraci vzad, vychazejfcf z konecne ml8to z pocateeni hodnoty
v danem dilku.· Jeji hlokove schema se zfska zamenami operacf 1 __ m, Xlo, -+ Xio"
Tahulkn 2. 1 61nt). B1okov~ .c"~mn pro numeric~ou integraci. ~pt)d ~o yton ,
a) pro Itatick.y nenr~ltou k.on.tm CI, 0 ecn
.. or 01 R OllopeA (nOJIRrollonbnoii); 0) Ann CTnTJI-HnolloooJl eXOM .. J\.JIII IIYMOJlJl'JeCIIOH 1l!.'I~OIl~TI~YI(1V1JI 6) 0 0611\OM enyqoo
b)
'IOCI(II lIoonpoJIOJIJlMO , •
Bloc diagram for numerical integration ahead ~)p olygonil); a) for a .tRtically indeteflninate Itmcture, genera
ZACAT[/( ----.,.J~1:....-..:..:.m:.:...t..-1X:.!..i..:(.:.!fk!.:.)_-_X...:,_· (_o'-..J J ,'.
{Xi (mil·
ZACAT[f'( J 1-m, SOt} _S(DI j J '~
0.' (m-1J • millnf d~/ormar:~ rt smfs1u mitlnkb sil $
odpovidajl r:/ na /rans/ormovant kons/ruke;
ynilfnlm silam S (m-1)
1 s,(m-1).e.f_ rnilln; sily ryrolani na dan! pruJnt
Ironsfrukci md;n/mi dt/ormactmi o;(m-1) .4f
!
(m) Sfm-1I s • f S' (m- 11.e.'! +S~m ~f + .6S:m),
TlSf'( Sfm}
1
S
___ n!.-___ KONEC ano -' s m. L{m+-1 m -m.l" "
418
m < m" za m,,->--m, X .. (oo)--+Xr." m> 0 a velicin X!,",-ll, 15;'("'-1) za X~"', b)m,.
Diferencni rovnice pro integraei zpet maji tvar X:m-ll = X~"" _ LlX:"", kde
.. .. I (\ILlXt' + LlIP (L c5:/Xt
l + b;r") + c5; .. , ) + Llc5:m, = 0 (i = 1, ... ,n). (6a) 1-1 i-I
Pii vypoctu se vyjde z pozadovanych konecnyeh hodnot X,( 00).
4. Numerick6. integrace Rungelto-Kuttova
Tato numerieka integrace dava fdeni se znacne mensl chybou nez pfedchazejici
metody, nebot: vypoctene pi'iblizne feSenl rna s piesnym iesellim v pocatkustyk
ctvrteho i'Bdu [6], [4J. Rdeni je dano vzorcem
1 Xlm, = Xlm-
ll + 6'LlIP(lklml + 2 2kt' + 2 3kl"" + 4kl'''') (i = 1, ... , n), (7)
kde hodnoty 1klml, '" se postupne urci feiienim rovnie
II II
\' c5. 1klm' + \' !'J~X\m-l' + c5~("-I) + ~b\m-ll + 15' = 0 ~ tf' ~." , . dfP ' 1m.,
i-1 i-1 (8a)
.. .. \' 15 4kl
m, + \' !'J~ (x\m-ll + LIm 3klt·') + !'J~(") + ~ bcml + 15' = 0 (8d)
~ '/' ~ II, r, , dIP' ,m, i-I i=1
(i = 1, ... , n).
B1okove scbema feSeni je ZnaZOrlleno V tab. 5.3. Index m _ -} znael hodnotu
1 odpovidajici hodnote IP('·) - TLlIP1m
). POSh~p integrace zpet dostavame odtud napl.
zamenou LlIP za - LlIP' a obracenym cislovanim dilku. (Poznamka: Numericka inte
grace polygonalni i Rungeho-Kuttova by platila beze zmeny i kdyby nel'latiia
afinita dotvarovanl a " bylo promenne. nei!eni by vliak bylo zkolllplikovano lilll, ze
pro kddy dUek by bylo tfeba urcit jinou bodnotu c5;i' 15;, c5;",<.)
5. Zobecnen€ pfibli£njch fdeni
Pi'ibliZna feseni dotvarovanf Ize zobecnit pro okrajove ulohy dane. diferencialnimi
rovnicemi v prostorovych soufadnicich (napr. desky, steny, skofepiny; nosnik na prui:
nem I'odklade, obeena telesa ap.). Kdybychom totiz resili okrajovou tilobu v prostoro-
419
~R"ul~a 3 rod Runge-Kuua (vpled);
~ 8(>hi-ma I'm numer.ckoll "'leg k; b) "beene
Dlukov 0) ,.ro "laticlt.y neurc;t"u "on81~ _;~', Til (ollepcll.); a) IIJ.II CT8TO'IOCKR
Ml' nfll('{'f(oii nlfTPI'J..UUUflf PYIIH.' l~ C~I C'J'y'.ae
UJWIWBnIl ,'xe"l1 ItJIII IfY I OK KoncTI'YKI(''''. 6) B 06 I (h d)'
lIeOnp"')lCJII'IM ., inte ration of Run~e,.Kuttf': n ea ,
Dloc ,!ingram ro. ~lUmller~rdeter.!;lIale structure, b) general
8) ror R 8talmo y 1ft
m S'm. - ..!!~--- IfONEC
-b)
ZACi.T[K ...r 1-m S(ft) -+ SIOI J
b Sfm-1J o'(m-1)_iako ~fab,2..., (), d S(m-7)
S O'(m-I) 1S(m} .. IS ' m + Ssm +~ 1
IS'(m! - jako I' ftr/), 20... S ..L
i -ls'm) s{m-f!-s fm-1}) I
'0: (m) • /ako 102b ,(sCm-1J+ 24 'P +1 z 1
I' a, .. ,fm) , ~ S(m-FJ :s 20 fDdmJ 2Sfm} .2S ~ Ssm + 1
2S,(m1 a lako rfab. ... S I
i) (m-1))
20dmJ _ Jako ~1J2b (s'm-f).+ 1 4'P 2:;1m}+S:m-; -SI 1 '
yo, .. . 2 I S (m--)
S 2 ,fm} :1 (m) .,3S 'fm) rSsm +~ 1 2
JS' fm} - jako I' fa/J.2b , .. Os I S
s!m/ fm-1))
I ( (m-1) A fJs(m) + 1 - 51 I
J'?lifmJ-iako rfab.2b, .. S + '1 'fm! 5' +~S(ro) 3D' fro} '1 (m). S r m 1
4s (ml - Jako I' Iob,2/J,.. SIS j
I
l J 3 fm) "S(m))
1 ('S(mJ +22SfmJ +2 S + S(m) - S(m-ll +:t .. 'f'
~. nt -KON anD ...rm ~ mo ---
L--{m+1-+m .r £c
420
,vjeh 80uiadnici'ch nekterou piibliznou metodou, napi. metodou siti, ohdrieli hychom
system rovnie tvarn (1). Pro pOcet rovnic 11 ...... a::> kon\'erguje toto ieseni k piesnemtJ:
ident v prostorovych souiadnici'ch. Jestliiie predpokladame, ie takova formulaee
ieleDf teto sOustavy Jinearn'ch rovnic, ktera nezavisl na poctu rovnic n, pI8tl ne
am!!n!!n!! i pro n -+ 00, plyne odtud moiDost zobeeneni na okrajove ulohy. Jde pi'itom
pOuze 0 to, naIezt takove V}jadren. piibIiinych reScnl dotvarovani, ktere by nczaviseJo
na volb!! staticky neurcitych a jejich poctu.
Oznacme ohecne Sz(/), resp. LlS;/"" vnitrn) s:ly (nopi. napeti, ohyoovy moment,
normaillou silu op.) vyvolane na dane pruine konstrukei vnejSinl zatiienim, eelkovym
p08uvem pocll'or a tepJotou v case t, resp. piirustkem zatiZeni, pOsuvcm podpor a zme
nou tel,lot v C8Sovem interndu Llt!m, = t rm' _ I'm-I'; S; .. yniti'ni sily vyvolane na
dane pruine konslrukci pomf:rnymi 8mrsli'nimi x 1', ... (00)/ '1'(00). Potom pJati, ze pri
hlizl\e reselli Vlliti'nich ail S(I) \' ooeClle uloze rOZ\'ojem v mocllillnou fadu je dano
'"
sclIematem pod Ie tab. lh, kde Set) = S(tk) + r S(U)7j!u, Ilrihlizne reseni numerickou
~=1
jntegraei polygonalni schematem podle oLr. 20, numerickon
integraei Runge-Kutta
8chematem podle ohr. 3b. 0 spn'vnosti ohecne formnlace pro stotieky neurcitou kon-
8trukci Ize
Be presvedcit, d05adi-li 5e za S(I) vnitini sily M(I), N(t), '" konstrukce
(M = IDl + 4: M,X;), jimz no transformovane konstrukci odpovidaji vniti'm deformace
,
lIfet) I E'I, N(t) / E'p, ... , a "yjadfi·li Be reseni dane Jlruzne konslrukce podle pie
tvarnych vyminek .taticky llenrcite konstrukce (silo\'a metoda). Dostanon se tak
rovnice v tab. la, 2a, 30.
6. Pfet:o,1 "nilf" .. dPjoTmoce 1/" zlI/iien{
Podlc l'redesleho odstavce pii resel1i dOh'arovan; lioovoillon "fiblizlIon
mClodou
jde v pod~lal" 0 problem un:eni \'Uilrnich "il S', resp. S; .. , vyvolanydl na dane }lruine
kOnstrukci vnitrnimi deformaccmi J),~, real'.;e 1', .. ( a::» / 'P( co), kde 1J.~ znaci dc(orm8ei
ve IlmysJIl "nitfnlch sil, o,lpo\'idojici 110 transformovone kon.trukei vnitinflll silam S
podle Hoo
keov8 zakolla
pro transfornwvane tl'leso (E', fl.', G'). Je to prohlem leorie
'ruzlIosti.
Obecnj pastup je tento: Defonnacc 1J.~ a I'omcrna smriteni "E".( 00) I 'P( 00) Be zrni§i
no dane pruine konstrukei (konstonty E, fl., G) vnitl'nimi silami S plynoucimi z Hoo
keoVft zakona. Dale 5e urel zatif.eni t, jake o<l/,o\'ida vnilcnlm silam S podle diferen_
eialuich podminek rovno\'Bl,y a podJe I'0dminek rOnwvahy ua I'0vrchu ti'Jesa (na
koncfeh pruttt, na okrajich desky al'.) a pfiJ/adnc COVlIovalty \' J'}ocl"'dl nespojiteho
pruhcIlu funkce x (body nespojitosti x n prntu, cary nespojitostj u desky ap,). Nakonec
so i'esenim dane pruzne konstruk('c (konstauty E, fl., G) "ypocton ynitin' siIy If vyvo_
Jane na clane pruiln" konstrukei zatiicnim _ i. Uciuck deformace 1J.~ a 8mrstcnf
"E",,(oo) / '1(00) lIa dane Ilruine koll.teukci jc pak dan vnitiuimi silami S' + S;", =
=8+8.
Suadne je to \I konstrukce z peUltl homogenniho priirezu, kdc plati M = _ "~f,
IV = - xN - EFIC£, .. (co) / '1(co), t = dM/dx. Zdc znacl x delku ptutu, ~f, N, t
~Jly},ovy moment, silu nornullnou a pOSouvajici, F plochu Pfure?u. Podle covule
rovnovaby vnitinim siJam M, N pi/sJns; .pojite zat/zeni i = d2(xM) I dx2
napiic
prutu a ;; = dN/dx podel prntu. Piilorn lIa koncich l'rntii re.p. ,'misteeh nab/e Zmeny %
(9)
Z I,fetvarnyeh rovllie danebo
hotlnoty -, (L'-' + E€') _ (1 -1') EE~ -tl'-~-~,
E.y~N ---'-=-......,-, ... , T,.,. = - 2 (1 + ,,)
(10)
(1 = - --(1 + 1') (1 - 21') • . d ovida zatlieni danebo pruzneho telesa objemo-
. dl (511) ne1.RVIS( lIa E. Tornu 0 I' ,-Jez p~.e : _ V ji a llovrehovym zat!ienlrn p,. • .. , ""vrnt 811arnl V .. ' " • - - a- (11)
• V- = 0(1,. ~TII!.. _ -~!~, ... • - -ox - oy oz
(12) - - + T- +;i . , - Il (1 n, ,~ , ,r k I r - ,. r V f' de nesl,oJ'itosti fun ee
'I Jlovrcbu. I' Il'a h e kd II II j80n AmeroVe roviny norma r lo§e dale zavest IIOmerne povrc o~
en., " 0)'U8 ni\J'lIkoi I'lo§c je uutno -: telo I' _ -) kde aresI" (1" ~-,,(x,y,- - )+"(T -T •... , ..... za~ieul § = n,(a" - ;;~I) + ",(T, .. -; :::~, 1" ~\:j~dne ':~rane JllochY,nespoJltosU
(13)
OIlpovida koeftcientn "., resp. d"t"'I!'~~. stra~e.1Slleeielne l,ro 1" =" piau ve amyslu nornuily), resp. lla ru le JeJI a
( _ a ( ~_._~COO»)+~("T,.)+a;-("T .. )"" Vs = -ii~" (1~ + -1 - 21' .,,(00) oy
. E £, .. (00) ... __ . _____ x-----,··· P. = - "P. - n,. 1 _ 2" tp(oo)
(14)
: t' je l,ostll,' obdobnY· .' T k pf pro izo-PH rovinne slo~elle nal'Jalos I I' ke rcselll desek 8 skofeplll aJ .. 8 11;'. ani
Analogieky (losUlI' 1'1111.1 !,ro t~I:~:I~eh sotlfadnicich x, y, II hledlska ot"arov , trol'n( (Iesku UoholllOgclllU. v ld k Y II plat! avilak homogeun( 1'0 tlou§iee eo y • , iU _. - M ~ _ (15)
'M - M, +1' ,. 1(' - ---') D' • - - M~ + I!:_...!L ;" = ~.-~) D' • '., - (1 -I'
w' = ------'2) D' 'rr (1 -I' -, (16) 'Z% (1+1' _ _, ~') 1fI =D(l+l')tV,.".
_ -, -, ) 1U =D(w, +pw'rr' ., M = D(II1,u + I' w'rr ., Nr
s '. d vida zatizeni P llovrchu desky taUe vnitfn! de£orn1ael 0 1'0 ~ I - 01 iff (17)
aiM 0 M., + __ ,. p = -axz~ + 2 --a;ay- ay'
422
a zatiieni okraju momenty lil,. il". 2l1r a posouvajlcimi silami T.,. T,. pripadne te.; jejich zmenami na caraeh nespojitosti x = x(x. y). (U vetknutych okraju se zadzenl M., • ...• T., • ... pHmo rusi s vetknutim. u' kloubovyeh okraju se rtAl pouze
~'" Tl
.) O~nac~ni zde je: w = w(x. y) pruhybova plocha. W'.,." .•. jeji derivaee. M.,. M'II' M
I,. T.,. T, momenty (zahrnujici u pfedpjate desky pribliine i momenty od pfed
peti) a posouvajiei slly E. E'.".,,' pruznostni konstanty dane. resp. transformovane
a D = 112 Ed31 (1 _,,'), D' = 112 E'd3 1 (1 _,,'I) valcove tuhosti. Pro ,,' ~" platl
M.,,= - x~I",. M, = - x~I!I' ~lrll = -xM"". T., = - xT." I'll = - xT,I •
Nakonec uk.zme jeste postup u nosniku na pruzntlm podklade. V teorii pruznosti platl pfetvarne rovnice d1fV I dxz = - M I EJ. p = kw. kde w(x, I) je pruhybova cara, M ohybovj moment vcetnc vlivu predpct! nosniku. p(X.I) reakce podkladu a k konstanta vyjadfujicl pruznost podkladu. Rovnice rovnovahy zni dZM/dx2 = 'I - p. kde q(x. I) je zatizenl nosnlku. Uvalujeme-li dotvarovani v nosniku i v podkladu (koeficienty afinity x, resp. x pl. plati podle rovnice rovnovahy
- diM diM 'I = - xpP + x-dXl = + - "/1'1 - (x/l - ,,) dxz ' (18)
lJcinek zatizeni q spolu se zatiienim - xlii a -"T na koncich nORniku a (XI - xt)M. (x! - xl)T v bodech nespojitosti " = x(x) Ize vycislit z tabulek pflcinkovjch car pro praZny lIosllik. Pro sterkove nebo I'iskove podloZi Ize dosadit " ~ O.
U ramove konstrukce je vyhodnti uzit k rdeni ucillku vnitfni deformace D~ + D; .. s metody deformacni nebo metod rozvodu deformace a rozdClovani momentu (Cro880va). Potom Ize pfimo urcit zatiieni slycnikii, nahrazujici ucinek teto deformace. Snadno Ize ukbat. ze pro xii' = eonst. po deice prutu ik Ize ucinek deformace D~ nahradit
zatizenim stycniku momenty -Mil' = x",M, .. a posouvajicimi silami - Tn = X,tT, •• lJcinek deformace D;", se pri fdeni deformacni metodou urci primo z pootoceni ,,; .. ,. spojnic koncu prutu. odpo\'idajlcieh smritenfm XE,,,,(OO) 1.,,(00); pfi fdeni Cros80voU
metodou je tfeba urcit tez odpovidajici zatfzenl stycniku -if, .. . - T,,,, = - (M,,,, + fa 'I'.. .a-
+ 1il"" ) I', .... (U oboustranne vetknuteho prutu je M,,. = - '";''' GEl/I.) i" fit t.
7. Pfiblilne fdent ide61ntmi pfel1:6rnymi rrwduly
Toto reSeni. ktere se u fdeni prUfezu v praxi casto uliva, vyplyva z pretvarnyeh rovnie pro souctove deformaee pruzne i dlouhodobe, psanych za pfiblizneho predpokladu. ze vnitrnf sUy jsou v priibchu casu konstantul. Pro jcdnotluehost uVaZujme pouze uemenne zatizenf. U statieky neurcile konstrukce obdriime pfetvarne rovniee
.. L ("if + ";;V;(/» Xi(l) + "i('t) + (6; + 6;" ) 9i(I) = 0, ;-1 •
(19)
l,ri cemz pro pocRtecni stav "Iati ~ 6,jXi (lt ) + 6,(11,) = O. Dosadime-li odtud za 6,(11-)' , obdriime system linearnich rovnic
n ..
.L ("if + biiv;(I»(Xi') - Xj(/.» + 9i(I) (2: b;jXj(I.) + bi + 6;n.) = 0 (20)
1-1 l=t (i = 1 .... , n), z niehi Ize vypocist zmeny XN) - Xj(t, ).
423
" I'hovolny pruzny system. J 'z obcenit na Ideso a I b{"z " d' a
'l'ellto postul' leselll 1M slta. ~o ~c z. '() _ S(I ) od casu tl. do t je pii • ne .!n
Z roY. (20) vidime, ie ~n"'!.a VII~t::~;::~~~ ~ 'modul; pruzllosti !;d(l)k:i' ~~l 4trTs~2
jako vllilflli slly vyvo.a~;; ~(I) : 8mrStellimi ",(e".(ro)/tp(co» .".(1]" esila~tpS(~) Ila
vnitfllimi deformaeonu "I '1 S I vidajici pocatei\lllm vmt rum . ko
,.\' 'III deform ace vo snlys u 81 01 po . E' ') Modllly E'd(') nazveme Ja
VII.£ . • ( k stantanu . P . k .
trn".formovanc kOllstrukcl s o~ " I konstrukci jako idealnl konstru CI. , 'nl
illenlnl pfetvRrt\e motlllly a o~Jt~vI~aJI~enf ani novznikR posuv podpor; smrilto;:ne
Nem~nf·li 80 v caRe 'I' stallc 0 Im80 . 't" rdenlm idealnf konstru ee pro
n~lll'latiiuje, ol"lrZl .e lcAcn!, X/(I) pros. ~ tma z vyehozi rovniee, nebot! ~,(tl-) ::lizllnl a smrstell!. Tato v'yhodna vlnstllost ~". Pia zapsat ve tvaru ') di1
Xt + dld +
. 'z ' takioe rovnlel ze _ a ~; odl'ovhlnji tCllluZ zall CIIl, •
-+- ~ (I) = O. , J'e'te' dalsl ideMnl pruznostnl konstanty un. .., l v -ha zavest "
.PH slozcne n8PJalostl Je rc ctovyeh I'retvamyeh
] kt, ' odvodit porovll8111m ze sou
}tId' Gid
= T Eld
/( I + Ilid)' '.re II I d I r. 8 protvarnymi rovnieomi idealnlho
'.. h'(orrnnec prnine i f on lO ()),
rovnle td"AR }"O • '. C.- (L + /",';;(1»/(1 -+- ",r(I)).. hovu'c limiw!m
telcRa. Ohdrzl 8.ll1l,I(I) - I ~. "'I,imi pi'"tvnrnY'1lI 1Il0duly vy. J.' () '_(1) _
.,I·:~'h'~:' ::,~:,:~C;:;;'!;,.:~: .. f;;:'::~~~:I~~~'ro t')(lrdcti~kkY/f~~al:~: :; -: ~e :~:s/~de t or.drZ~ /'111' • . ( ) _ ' jc sl'lJI(ma \,0 IIun, ,.
- I£/x c= E', hm It i " I -It,. , k nstrukci •
;~rlik .. larlll reAc,,' lin I.rnllsfll,rn;~~~'d °li~to q;(I) a :r.avcdenlm clcnu od zDlellY za"
l'sonhn roY. (;'.:11) Jlro mnly • , ~', <p II
tiZell! Ila konci "ilku se ohdrzl system
n
" (': // X''" 2: (bit + ~;ILI(I')t1x~n) +A<p j';;l il i
1-1
1) -+- d;,m I' f) +,101'''' = 0 +r""t '
(20)
(i = 1, ... , n),
.. 'd'iku l'odlo teehto rovnie XWI·-ll v I'rtslu8nem , .
" " , A XlIII) z I",unleenl h"dlloty f i
IIrm')ICI L' t . . . vpred. ., 'I' zallzcnl
lze I'fOvadct nlllll(lfWktll, 'k~,~~~~~ XVn' _ LlXY") , zjistlme, ie. I'll st~ :t~~t ~ tedy
DORadlmc·\i do (20) I (li)- '1IOIygonaini nllmerickou mtcgraCl. I ellne
. (20) I loznn R roy. In pro " co do presllostl rovlloe. .
J" roy. .0 ,;IX'''') 'sou '£0 oha 1'0stlll'Y steJlle a. , v.red Tez tento
i vYI'°i'ttm.; hotlnol.y - i J I obracellou lIumcrickou IIltegracl I .
I'rolo IIlllZeme I.IlI,l .. I'""IUI' lIu.zva~
t Ize Obrillit lifO illtegrncl zpct. I'0S lip
Nurnerick6 inlegrace illlerpolacllC
8. d' I' .i'iblizJl'~ pr,",)"h - (",·1) do I = I'''') a nnhra "lie·, I ;,,,-1)/,191
Illl"l~ruj","".li Tnv. (I) ... ~ '. --- I '. _em f' .(1) = x"n-Il -+- L1X~"\('P(') _ tp
X. a ,\; li.warll'lll i"I .... I'"larllllll \} fIl • , ,
a~., obdri.ime rovni.,e
) • (In -,,' X 'nI-ll -+- O~("'-ll -+- 0;", ) + " 1 ·JX'!") + LHp un I I ,
('ijL qJ L )
2 i~l
(i = 1, ... , n), (21)
424
podle niehz Ize provadet postup numcrieke illtegraee vl'red. Ohdoblle Ize obdrzet
rovniee
n n
~ (.5 .. - ~.5:LI())) L1X\ml - L1m (~ .5~·x(m) + ,f'''') +.5' ) + ~ " 2 I, r I 1" ~ II, I '''',
i-I i-I
1 + Llo~"') - TLl6;.<mILlrp = 0 (i = 1, ... , n),
(21a)
podle nicnz Ize postupovat zJHit.
Toto feselll Ilazveme Ilumeriekou illtegraci interpolaclll. Vid,lIle, ie pied"tavuje
8tlednl cestu mezi roy. (6) a (20), tj. mezi l'olygonaIni integracl "pred a zpct. (Z mate
matickeho hlediska je toto reSen! sl'ecieln!m /,Hl'adem obeencj"i AdamBovy interl'o,
lacnl metody [6J.)
Vyrazy .5ii + -} .5,jL1!p, .5; + ~ .5;LI." predstavuji deforlllaee tla konstrukci, jez
nUsto modulu
E rna moduly E = it I (I + -:- leLl.,,) . Z tollOto zji~eni pi'lmo plyne,
Ie resenl Ize provadet /,odle laL. 2a, zanlcnl.li se .5ii
a 6, za uvcdene vy,azy. ({csenl
lze dRle zobecnit i na telesa. Plali zde postup podle tab. 2b, jestlize Se vsude mlsto
dane prnzne kOllstrukce s konstantami E, f.t, G uVaZuje kollstrukce s moduly E =
~ E/(l + ~ XA.) • , k •• ,,,.,,,.; /i~ (" + ; "'XA.) / (q ~XA+ - 1 - _ C = TE/(l + f.t).
Je.Ji zatlzenl promenne, mu" jeho promena hyt v di/deh I'lynula (nejle"" linearne
ve 9'). Nah'" Zmeny zatiieni Ila !tranici dUku jc tfeha poeitat Ila dane pruille kOllstrukci
(8 moduly E, f.t).
. V pTfpade, kdy Ilcjde 0 znu'nu slatiekelto pUso!."ni ani posuv podpor, tj. veilkere
zatffenl hylo zavedeno aZ na delinitivni sOustavl', nelze _ na rozdil od reSeni idealnimi
moduly - reSell! ohdriet proste zatiienilll konstrukce s moduly E, ji, G.
Pfi naltrazeni dane pruine konslrukee za konstrukei s 1Il0dnly E, ;;. G plati pro
Edenl i Odstavee 5,6.
9. RelaxacuC numerick6 illiegrace
PolygonaInf Ilumericka integracc odpovida pfetvarnYIll podminkam psanym pro
dcformace za piedpokladu konstantnfho stavu vnitfllielt sil 1'0 dobu ,11. Jiny postup
Ize odvo,)it z hounllt relaxace vllitcnleh sil, pfedpoklada-li 8e 1'0 kratkon dobu LIt!"')
kOnstalttnl stay deformace. ZmcllY vllitlllich sil vZlliklc rclaxaci za prcdpokladu kOIl-
8tanh,,},0 stavu deformace oznacme LlS('.). Po uplynuti do by Llt'm) Be uvolnf stav
deformace, efmz v kOllstrukci vZlliknou Zmeny vnitrnich sil LIS''''" jeZ piihlizne (v li
mite pro LIt -+ 0) vyjadrujl ucinek dotvarovanl a slIlrsfoVRIII. OZllacime.Jj + L1i(';;)
zattzelll, jez ]Jodie diferellcialnlcn a okrajovjch podminck rovnovahy teIesa odpovida
vnitrnim siIam + Lls(m" a L1Sim) vnitfnf slly, jei jsou na dane pruine konstrukci
VyvoJnny zatiZenfm - Z(m" je ucinck «otvarovani a Smrstovanl za dobu .LItl",) dan
zml!nami vllitfnlch sil ,181.') = LlSlm) + LlSim).
42:>
D tol1oto feilenf budeme },ro jednoduchost uvaiovat pouze pffpad p' ~p. Snadno Ize IIk"'at. ie sUy IlSi"') se rovnajl (1 - e-""") - nasobku, vnitfmch ail se ..... l) plus vnitfnlch sil, jei by vZDikly od smrAteni HE ... (OO)/Ip(OO) podle teone pruinOllti. Oznaefm,,·li E" = E/H' nove modllly pminosti. kde H' = (1 - e-""''')/(1 - e-"") a D; vnittnl deformad ve amysln vnitfnich ail S odpovidajicf I'll modllleeh E" vnitfnim si/am S a pomernym smritenlm H·E ... (OO)/Ip(oo), sjistfme, Ie £IS('" jsou vnitfm sUy, je! lIa damS .,mine konstrukci, tj. rEi moduleeh E, mill vnitfni deformaee D8(1 - e-"").
Tim dostavrime postup I,odolmy pfedchazejicfm numerickym integraclm, jeji mitieme nallvat inlegracf relaxacnl. Plati pro ni schema poatupu numerieke integrace I,olygomilm (tab. 2a, b). jestliie misto transformovantS konstmkce s moduly E' uvaiujeme konstrllkei 8 mod Illy E' = E/H'(p' =p) a misto £19' uvaiujeme 1 - e-"". Pro urcell( £Ize .. , 1,lat.1 i zde odstavee 6, pficeml vsak Ie je nutno zamciiovat za H'. D konstrukec z .,rlltu Ize ucillek zadleni £IZ(·'lIrcit tel vyhodnc pHcinkovymi carami.
Pffme fe§em statieky neurcittS konstrtlkee je drino systemem diferenenleh rovnie tvaru (6), kde mlst.o di/, di a 6;",,£19' je tfeba dosadit hodnoty di/, tJj pro konstrukei s moduly E" = E/Ie' a I.odlloty 6; .. ,£1'1' pro IImdtenl (1 - e-""") 6 ... (00)/9'<00). Vybodou feilenf je, ie matice systemu je [d'/}' tj. matice dane pruine konstrukee. nefornlaee {J'I' d, Ize stanovit I,fimo z momentovyeh ploch redukovanjch nasobitelem 1 - e-"-1,, a ze smrltenl (1 - e-"""> £ .... (00)/0'1(00).
Obdobne by bylo moino· odvodit i postup relaxaenl numerieke integrace zpet. Byl by shodny II pfedcltbejlcfm fCSemm, II tim jedinym romUem, Ie mlsto 8c .. -1I
8e uvainje S( .. , a mlsto 1 - C-MA,. a 1 - e-A, Be uvaAuje e"-1,, - 1 a e,l" - 1. V limite pro £1'1'''' 0 j80U vAecltny melody za pfedpokladu konvergence totolne II integracl l>olygon81nl. V soultlase stirn ,'ro £1'1' ... 0 je zde lim (1 - e--1")/£Irp = 1 a lim Ie' = H.
Vyja,lfi.1i 8e fnllkee ,pi" moellinnou fadou a ponechajl.1i Be pouze prve dva C1"ny, dostavime posllIl' numerieke illtegrace polygonalul.
POJlhadi pro lie = const. utlava Cunkee 1 - e-M" promenu vnitrnlch IIi! homogenn( konstrukce, driva relaxacnl numeriekri illtegraee pfesue feilenl vnitfnieh .il pro homo· gcnnl konslrukd. tj. pro Ie = eonst. (stacl zde tedy volit jen jeden dOek £19' = q;{oo». Naproli tomu 1,,,lygonrilnl nllmerieka integraee diva v tomlo pflpade jen pfiblilne feSenl. Poskytnje vAak naopak pfesne feSenl deformace u statieky urcite konslrukce, kdelto felallRCDI integrace nikoliv. Z toho vyplyva. Ie teto melody je vhodne uilt tI malo nehomogcflDleh konstmkci, tj. u konstrukcf, kde IC je blld malo promenne (male rozdlly stM!), ncbo cast II odlilnym H je mali a ma malou tuhost. Pfitom mri amyal ji ulh pouze v I,ff"adeeh. j~dna-li lie pfevrilne 0 relaxaei naped, tj. 0 vliv smenyatatiekeho pusohenl, 1108UVU podpor, IImeny teploty, pfedl.etl, mktilikaee. amriiiovim • nikoliv 0 vliv nelaomogenity. (Pozna Be to tim, ie Be nearm jed nat 0 pffpad, kdy dEinek u odl'0vldajlel velieiny na homogennl konatrukei by byl nulovy nebo velmi maly.)Davri I,olom velmi dobre hodnoty. Tak napf. lie hodl u letmo betonovanyeh m08tu pro reakei konzoly na opefe krajnihQ pole, ne vlak pro pOllouvajlcf ailu v kloubu IItfe,llllho pole. I'm konstrukee, kde Lelon apolupullobl II vetlfmi ocelovymi castmi, Be
nehodl. (Vi8Uty most, oblouk s tihlem ap.) (Pro Ie ... eonst. mual ae blliit k nule odchylka od feAenl I,feaneho vidy pOuu v absolutm hodnote. Pomerna odehylka viiei pftlanemu lelenl fte pro H -+ 1 mule blliit k libovolne hodnot!!, kdyi pro Ie -+ conBt. Jim AX = 0, Ij. ktlyi ucinek na odl'ovldajlcf velicinu homogennl konstrukee je nulovy, nebot ae palt jedn8 0 limitu typu 0/0.)
Relaxacnl integtaee je shodnai II polygollrilni integraei v tom, Ie vnitfni slly £18("> se ureuji ze zaUieni - £IZ'''' na dane prulne konlltrukei. PiellnlljAi by pfi dallem dilku
426
L1rp bylo, urCovat je n k -valRe tal POlltU ~ a • o.n~trulci II moduly E,jalo Ii' .. schemata podle p ~b tJ.mCn& lnterpoloin{ n"nuric/tf i p Integr~el IDterpolacni. Dostai_ je tieba uvaiovat k~!' bk ~de v~ak misto tran8f:!:'::~:tJlRe plkau pro nej opet ieSen! d ~ ru el S 1R0duly EW _ EIH" onstru ee a moduly E'
anc pruine ko t k - I a 8mritcni ,,' E ( )/ pievaine relaxaee na ~trU ee II moduly E Edit koDstruke' .... 00_9'(00) a mlsto· numerieke integraee pc a male nehomogenity je to v.:s~ modulr E. Pro pHpady
. e IROU neJpiesnejlii zptisob
. 10. Ufit£ partikularn£ho reiene Pli kOnstalltnim zatiien' I
nyeh metod snadn J ~m ZIl u statieky neureite kOlls k elelly podJe rovni': vy ouclt. cleny od vDej§iho zatizeni a tru ee z.rovnie v!eeh pfiblii •. integraei dostaneme pro p~rtdtuIarni reSeni {2J. Tal napE smritenll. dosadi·1i 8e za tY10
rOVDIee . pro po ygonruni numerickou
" r 15 £IXIttII + A ;. , i-I il i "'9' ~ <Si~(X(,") - X ) = 0
a podobne u ostatnich i-I' ip (61.) je-li jii piedem znamo metod., ~artikulrirni reseni X je vliak v " Z rovnie (5.6b) je tei' n,ebot JIR~k by jeho urcenil;fedstavovh~dne ~ilt 'pou~e tehdy, rovnaji_li lie partil I' ,..:;azc;:nll vldet. ZIl vnitfni sUy 8e C a 0 pocetm praei navie. hodnotam, a to tlmu a In .. odnotim. Jinak 81.' s ostu e v .ase ne~eni pouze tehdy, Vi( 00) je loneenri pomaleJl, elm jsou jim bUie.ldos~ m e~~~ hIlil 1 partikulrirnim
Nevyhodou pflbliin '. nou JfC vAak, nebot' hodnota kal!dy jednotli 'dan' yeh .fesem pil diU beznych ocet' cel~ vypoeet o7.kov?t.p;:~:e~~~tav je (na rozdil od !been~~:\~o~uce: je, Ie pro pOlllce vypoCfst vIiv teto z a ~ato lI~ena mala, je vhodne en v. a~, 4) nutno· 8 mnohem meniif om. meny zvlalit' a vysledek pricist n h . p~dle prmelpu SupernumeriektS integr~ce ernou pfellnosti. Staei k tomu uiIt vEU~n ot ~o J~ moino jii provest
Je.Jj znaimo partik' I' 'f ou Jen Jeden dUek nektere S( ) u arm eeeni I b fe:.,:/;p~ruo odliilne poeatecnf Pod:=.!~; j8;:h!a::~:!. Ua~!!fedpokladu, ~e prubehy
Casto 8e atavi i ,. 5 OSOI1 v partikulamim d . , e vzaJemny vJiv t . k ii pro , 9= j jsou vUci d 8 atle y neurcityeh veJicin . •
80ustavo i jako statiek II m~Ie). Pak je moino piibJiine liJe ~aly (koefic.iellty neureitou nniklo l. neurCltou, Volime-Ji J'i J'ako s t avo t lIakladnf 8tatiekou <S* ' u IIru...,nina va b X oua avo (n - 1) k ' . ii' resp. 6;,*, obdrifme pfibliin ~ Y i' a oznacime_Ji pffsJusne p i rat 5tataeky
y vzorec ru nostni koefic.ienty
Ncld J X i (,) = Xi" + (X.('t) - Xi )e-<d~*/d~);(1) y ze misto <S;i· Id! hrubC'i t'l d . , p • (22)
u Ietmo betonovanyeh dmov~h :'ost:S:~~h~:!!i~iU~:.oree Ize v praxi divat napf.
11. VfpoCeI deformat:s Lze ukizat, ie Priibeh d r.
Rozvoj v fadu nebo dir. e o?",aee llle uriovat zeela obd b •. vnitfni' sUy, pfieem" I erenc~ vztahy pii numericke int 0 n~ ~ako u vnitinieh sil, • iii m 8to VDltfnfch 'J S' egrael J80U st . e . k Je tieba uVaZovat d C. Sl vyvolanyeh vnitfni d .. eJn Ja 0 pro E - e ormaee vyvoIane toutei '.. e,ormacf D; + D"
, resp. E, tj. odpovfdajici silam S'. vnltrru deformad na konstrukei 8 mod:i;
427
12. ProkcicM pou!ili jr.dnorlirjc/J metod 0 v:Ypocet no 50moiinnjc/J poCl!ocic/J
Pro uzitl
v ,.ra"i je vH~i .. nu n"jvhndncjill numericka integrace, a to hlavne integrace
rol
, ... "" .e'" R.".,.K,,"" V,U'~' dll •• A.'~ v.,li, ...... _"d, p' 0,04" O,l.Il vj .... " ~ ...... , ...... """". 0,2" 0,' ,Il vi""" .... j .. , ..... "'",.; vzhlm1enl k ,.racno
Rti. V rltOeet jllllnollO \<Ioku u druhe Bletody vyiaduje sice pfea
",Il"" v'~ ..... ,,' ,,, ... , .......... ~' vjpo'" j ........... , '1 .... ShU"''' dO., J. ",0,' •• 0,', p" vy,'"'" ...... ymi .......... , ." •• d .. , 1,0 •• 2,0, 'j.
plll'adue i j"n je(len dUllk. ,.' ...... ~.v,j .... v .. ', .• , •••• ,.d" ( ..... p""",.f>" •• ~.,-.. .,;) jo vh.d'" .. " to .. , 'd, ie , ..... _, •• " ..... ,,'ok; vj< .. pro ., ..... vo,,,.,"" .11, .u,y,,· by' ,,,.,,, v .'i.kj,b dol"'" v;,,",,,eb .• ,.b." vj,,,.,~ ~.d .... ", h"'''''Y v U'" vol"eJIl eaBe a hOllnoty "y~iliclt .Ierivad. I)ava I,resncjlll hodnoty pro Blensl tp. Pro
velkn ';P (tp > 1) jsou m\d.ylky Zllaene, nebo relleni vubcc nekonverguje. Vy.-", •• " " .. "".,' " ... ,ri,k< '''''On'' , ''' ...... ,~ .. i·m v ,.d. j. ","
.; 1,.d."UvY,h .... d'" ~ ",,"i' ...... " ...... , .ro"" .... , ...... U "", ....
.. "",,,' ~""'1 " ... " •••. ". ,y. .... , ......... i' d'" rid, "0' , ...... ' _dd [0,,1", in bt" v,",,,, jll ......... d.m ,,rypol'" ."a."v,.h .... P .. v .... .. vo"'" d.r" •• '" " ... " .. ,,' ,~ ...... , d •• ' .,",,,, '.M, .. h,,"" p'''.'ovf'''' f.ar l\ebo \.Ioeh, lei. pro "" ... he \.flrady j~nu seR,aveny V tabu\kneh. Orakovani stejneho
..... "" ...... , .. , vi"""'';'''' dll"" a.' .... ,,~ .. """,, .... ". v .... •• ...
saJnocinnc I'0eltace. Numerieka integraee
r"la"aenl, vedoucl tef. nil fellenl dane ltruf.ne kOnB\rukee
(matiee
Ih"l"), j. vb"'" p" ,t,,,.,,, h ... jm' ....... h.m' v, .... p., ... "h, hdy" i .. •• p"v"" • ~,,,"" •• ,~" • mOl ... b.~"'.' "M~.h" (Ire .... N ..... p ... " • ",II, ,,"'''y ... " .... , ." , .. k, vliv p_~ ..... ', ,,"'.' ...... ", ,,"i""" ,.",,\re,' ."" .m"''''''')' P."m ... a .. Ii' ui., ~ 0,5 •• 2 (' .. , ,"hy) • "'y'" je vehni main. Ze v~ech Bll,t ... 1 je z b\ediska I'fesnosti l,Ei stejne \'.ocetnll,raci obvykle nejvyhodn"jsl
.. mc."" , ..... '" i ... '.' .... , ."dto ,.". 5.13. Cd" •• , ... " oti' j~ j"~ "".h J, ~ "(00\. N. ".", ,,' ..... b.~i'·"h m.'" vlah ....................... . •• " .. " .. k" .... ",., \',,1, "''''' • "''','i''''· k.m'Nh", iMU
•
1i .... - • ...... " , .• "", .. , ",' ".h."' ..... y ..... , ........ m"'~ \0,,1", ...... m,. ji .... .,L ....
w'''' ., .... ;,. I'""'''" • k."".'" • P'"'' ..... ;'" .""'" b.m .... ·, ..
i
p' M'" '''';'' i' .. ",i,h .... ij .. p""Ii •• ' m."" (.b', .. • .,." 1 •• , ''''y\. , ..... Ii ~ """'" ....... ci ",p'"'' mil ... b.~""" h.m""'" j. id'O _Oiil ". 1a"Ili',,1 inter\.olncnl inlegraee. IJtihlizne fcilclll il\ealnhni nlt,duly nebo obrlieenOu ntlmeriekou integrael tei nevede
....... 1 •• ,,' ,'n."~ .... 'n.h" • " d. r'-"''' i' "Ilhla
.. , ............. m.ri
.... in""''' '''''''''''''' M' ... ,., .. " je ••• M iob h ........... " • .... My, M,. ~ je'" • ,;"",,, ,Ii" ~""'." h"" '''''''1',\0 v"h'" •• v ...... " ... m "'''''''m systemu (nal't. tl .Iozenebo llfilrezu). pHkla,.m ~d,ro"h .... " .. k" M ''''''jm vii ...... <vu .... , • ... ","v'" ~ ""In' .iI, j~" ...... ", "''''',. _y " ....... , ••• b'1'" • h.~'Nhci ~.b ... " ... ".ky "'''''''' uh" j ... ~. 0'" k ..... ' .Iib""" -"",y • v, ...... • oi"l< p~v',' no ""''''''''m p""" .. K .... N n. v.uk .. ' .. , ...... droo ,.;.t ... y 'z nnvrbu silllicnlh
tl lnOStl1 toholO IYl'u 9-krat statieky neurCiteho 0 polich 46 + 115 +
+" m K ." ... l., ... ",,,,,vi"; py' •• y vY'ky 18 m, d. i'ii.hi """, ... ~ .".h • • ..... • U," I" dv"" ..... ,'" "v".Y"" , ............ y oil v, ...... vyil, ...... '%'
-428
smeny extremnieb 0' ' aZ 690
/ ••• hybovyeh mo " /0 VU"I bod nota mentu v tramu ' -Pfiblizne met d m od BtaICho zatiieni prumcrne 30 aZ 40
0
/ . teze d' 0 y pfevadi prohl' . /0' max.mal"h
ane pruine ko em nebomoge 'h ~e(ormaee h ' nstrukce podle teor • ,nm 0 dotvarovan' -....... , ;" ............... p,,"Um'; 'N .... " .ro .... , 1' •• ..; -h "d. "'",,' silami pod~eOta ~ocetne feiitelna pro oZh
e pO;aZovat za quasistatieJ!y' °Zecllhe vnitflll
eorle pr' .. eene zotlZ ' b' . to 0 I ...... ' .... i ........ :-... J' .... , •• "'i,d., :ro • ,.m"Ym' • •• =h~,'.·" chyby. Prohlem dotvaro:' k?nvergujici metodou, J'iz rro dlle~oBlogenlll dotvaro';,m! ant a smri(ova ,. i ze o"abnout rb am
ill Je t m pfeveden na prohl' 1 ~voille male em teone peuZlloBti.
• I.,Baiant Z. P' LITERATURA ruzneho staff. Inlet·', Vh; dotvarovani a smrii ' a srnrliiovan{ betonZrske atavhy 11. 426 Prah ovan{ u .taticky neurCit • r .. ;",m ''''. Zh,;.:;bo~"F"';W •• ""':k~' - ~. B.,.., ,1'1~ .. kT""""dci z betonu
, . _ 3. B a is n t Z vyt~ steJDOjmeDlle diz a ~ruf~zech. Stavcbni e?rJe o~varovan{ !.:r ........ ro.ti.~. V 'ii' D ............. d" r:'h .... ~, ........ i , ,,~lM~' 9, ,,",
::'if:\:.!.;::."' .. !:\~i?l~4:·t;:!~: r?fn. "'1.~~:::..~:;,j;'dhO~!::~: vorge.pannter B ,pnnger. _ 5 n' 1 ., urner •• ehe B b dl un Hochbau
trainte, Th. II 160 ~~onkoll.tmktionen. 4 Krue E., Sebragseilbriick e an ung von DifferenPraba 1963 . ...: 7 V .rn}962. _ 6. Rekt' ongres, Federation Inle en a~. Beton at.. Sonder
D , • . oJ"'" Z'~ .. y. K ....... P" rn.b.~" d , P' • a 8' lileralura J' e d ., a ady malemalik I SN" re lied uziu, mat e 'k
a
recon-uve ella v proei (2J y . TL (5. vyd) P hematl y. SNTL . ., ra a 1959. '
Di.kusul pHs~ II Od d -&oopiou do 31 10 v l~ k lomutO l!lauku ( evz ano 20.6. 1963 •• • a~y .ylo main • v ro .... hu u"jriee 2 str ) o J" uvefejDiI T .morov"m l!is~ 116':~et" lrojmo retlak"i
429
'I"''''IIT BI'Nlelin. O(jO(jIlUlII .. .,mllo IIO.'IY'IJITh IIpOllcrc OIlI'('ilmlClIIlH KOl}!jl!jJRI\I1CIITOO S,n, I'1I;lll Will 1I1'01l:1II0'1I,IIOii III1YTI'elllwii rlf)l!>l SIt) (IIHnpJllKeJlIlII, narHoaKIll\crO "OMCHTa) .IK,oc)ii YIIJ'Yl'oii l'HC'TPM1>I C IH'O;1I10PO;UIOii lIo;mY1IceTbIO. Ilpn:)ToM S'{II, pnOJlrICT{'U Rlly-
11'''IIIIl'ii ("Ilm, 1lI,!:IRIIIIIIOii JI H"lIllOii Yllpyroii lWlleTI'Y1UlllIf OllyTpClIlIHMIf IIC!jl0PMIll\lIJJMII IJ~(('I-U l'OI'JIIlC'H) THO.H. 'I h. IIpll tlPM /);cu-n 060:lIJ8'IHCT IJII),TpeIIlIJOK) }lC«POPMRl(HK) eOOT
nt'T<"TllyHllnyHI y TI'III"·'I)('I'MJll'onlllllloii IWlleTI'Y"'llfll JlllyTPClIlIlIM eHJlaM S,a-ll H S,(/) II S,~".(l) f.OOTD., ftlly,,.PPIIIWii t~"JIO eno'rne1'l"rnYJuillcii lJIwJJllfcli HHrpY3He B MOMl',I1' BPCMCHH
I Y ;l"1I110ii If F"JlHY "',m( 00)1'1'( 00) y TI'llue1,0I'MHI'ooalllloii KOIICTPYKI\lfIl_ COOTD. 111'11 pCIIIC',mn 111'11 IfOMnlllll "He.!lellll('l'O Jfll'l'lH'PllPOllfll1JfJI (~ Ulal'OM Llrp BhJ1IHCJIHKJ'rCJI
",lI"T"lIll1l11f,W na'WIIl'1I1111 ILqm." D (m + 1) III1TCPDHJI(] 110 KOIIIICDI.IM 31111'IellHIIM XI·> II 1II'(',~J,f)lYII(eM IfIITel'"nJIll (YI'''HII('1I0e (li) -rUOJl. 2) l'ellJ(,IIIH' M01""0 ToKlIIe 060611\IITI> .IHJooii BIIYTpcllllnii ('"JII.( S('"' JlpoltaJlnJlhllOii YIII)YI'OH (,Hr,TCMJ.t. Ee J13MCIICllne ASc,"+u n (II! + 1) III1Tl'llRnJII' 117; I'll II IIf"'Te II UllyTPl'IIIWii ,·.IIJIO Dhl:lllmllloii B )lmmoii yllpyroii
"llrT""" nlll·TpellllllMII J\I"""I'MIIIIIIIIMH lJ.;'M'Aip .. 11 yeHJlIHlMIl "Llii'M = 1I,-q,"',.(oo)I'I'(oo) YOt',JIlf1WIIIIOII lin IIJJlIfIllJW 1I1'ltl'UIIlnllnn BlfCllIlien nHI'py3KH, npH 'WM I)~("') oooaHIl'loeT'
"lIy"'Pellll~'~' Iw(I'(lI'''IIII)I~' 1'00l·DC,..,TDYII.IlIYIO Y TpIUW1."pMllpOOUIIIIOii HOIICTPYKl(IIH
BIIYTIKlIlIIlI.l ellJlIIM S''''. "p"'le,"I' '!Hem'1I110m llllTerl'lfpOOlllllf1l If pn:lDcpTI.IDHIUIII II pllJl MOllllIO T/IIUlto IIe.IfOJllhl0-
n:rl'l. IIpl! Tal( IlIl:lMIlUPMUM ()(ipnTlloM IIpOllccr,c, f(OI')l1l 110 TpefiYCMMM O}(OIl'IHTCJlhIlMM
alll1'1C1l1U1M S( 00) lIymllo ulIl'''lleJIlfTl. 1II1'l/lJIt.lIJ,fC 3118'ICIIHII S(/.), IWTOP"'C 11)'1"110 ocy-1I1""'·hJfTh liP" IIOl'.TpoiiJ(o. IIMI'O)llloii oeOOCIIII()(\TI,1U 'IIII'JIOIIII"I"O III1Terl'RpOOOIIHII H paaDepTl,lIInlllfJI n IHlI\ IIJ1JIIICT"11 TO, 'ITO II/," IIUlKllOM IIIRI"O (TUOJl. 1 II 2) IIClDTOp!leTCII peUlClIHC
;ullllloii Y"I'ymii I'II .. T" .. ],I, IWTopoe y CTIITH'ICCIIII 1I00llJlCIICJlHMOii KOIICTPYIU\lIII IIIIHO oril'''"I"III,ii M"Tpllllnii 1 ,1" 11. :)TII MnTI'"II" OOI,IIIIIOHOIIIIO 1f311ecTlln IICIICJI 118'IIIJIOM PCIIICIIIIII IIJJII co MOll(lfO Oil p"llnJIIlTJ. II I'" IIIIMIIIIIH JllIII II ii IImf II11DOPXIIOCTCii BJIIIJIIIHII. HOTOPI.IC
Ofil,l'lIHI HaDceTII'" 1I1II1"IK'II. ,)T" OI'OOI'IIIIOeTI, JlCJlnCT IK)IIICIIIIC oeoomlllo OIdm)l""'M B CJIY'IOC IIpJ1~WJlellnn flnTOMUTlf'leflUtX nIoPIJ1('JlltTC',TlhllhIX MnI!!JU[ OC06CHIIO B TOM cnytJoe CC."'1U nY)J(JI() Jlflllllll"JlllaJt )'OunT .. IICeKOJlhHO n(',X.);~II"'X ('O(~T()nIIHII.
lipnM(' TOI'O DI>I 111'111' II 1,1 1\ Jll'yrn" IIPJf(jJIIIlK"~.IIII,IC pCIII~IIIIII. B 'UleTIIOeTII JlClllelllfe "PH IIOMOnl" Till( llltal.lUnt'MIolX M)(t'n:,.,III,IX MO](YJlCn JlC4'0(lMnII,J1H, pemcllne tJHrJlCl1l1h1M IIIITO
qllll'OlllllllleM PYIII·~~HYTT", JfllTOP"OJlIIIIIIOllllidM H lIeJlaIIC!lI~IIOllllbIM H IIbl'lIfCJlCUHe )\C
','OI'MII 1\11 II. '1'1111'1111" illlllllOll II I'"rim·,' 12111 n Illllllloii pnuoT" ""JIIIC"·" IIIIII00JII'l' 001111"1 II plI no,I3Y
'ft'I"I'1i t'OI'JlneIiO )\JIIIIIIII11'1'I," ;ho 1H:'IIIf'IIIW IIP1UWIUIMO It n ('JIY'HIC tlO}\CiieTIJIfTCnhIlO(TJ{
1I1"'llIIIIJIOlll"llItll 0 1111"11111111111""11 111'11 111,1 X ilOOllllO'lIIo1"11 JLP1'OPMllPOlUIIIHlI IIJIII HlIlIIC JllfllciiHUI'TII, 110 ero "I'YJIOf'MHUl'Tf, JI :)TOM ('JIY'IUC ynn,lln 1IHIJIW1'!'.JI. Ifa 4Ull('ra DOaMO)f(~I()CTlf pe-
1111'1111" "pOOJII'MI,1 JleiiI"T"fllI 1I0JI:tY'II'CTII 111'" IIOMOIII" flOIl1·oIIll0l·0 pC 111('11 If II ylIPYI'OIf rllcTcMI~ r,It':tYf11', 'I"'U HlUI()llUI an)tu'ln T(~Uplin yllpyl'()(~nt pelllltMIUI IVIJI nOllll'l'O eJIY'IUH DIIYTPCIIIICIl
1\I"I .. ;"MIII\1I11 IIDJIIICTI"II TIlIIlIIIJ jJI)IIlIIMoii D eJIY'lI1O neollllopOlllloii IIOJlaY'IC",.1I
:Ja.4tco1laltuJJ u omnl.'R'" N .mw;i ('maml.,' IIado IIIJ('Jlnmb R mpcx konUJJX (lie 6oJu,ute 2 cmpn-111110 peaa"""" :JItYP'/(/.'" i/" :II. 10. llJ(i4 e., ,,111061>1 .'WJIC/IO 61>1J10 0Ily6J1""oOamb fiX 0 rPe0PUJlbOW,H Ilo"wcpe 1905 e.
ZdCllek 1'. Bazout
A "pnox J MAT F. JlO:T 1(0» S OF SO)'UTION OF CUEEP AND SIIHINKAGI~ OF COMI'LICATEIl NON-HOMOGENEOUS
STHUCTUUES AND THE USE 0)' COMPUTERS
In the "resent pnp.r, rclnlcd III thr J>al'~r loy the aUlhor [21. the annlysis of effects of creepnnd "hrinkage is given with rf'gan) to lnore complirntetl non-honlO~cneolis stntctures ~md, IU~ IRnny time" Atnt,jen1ly iUflclcrmillot(' structures 011(1 honndary prohlems given hy differentinl rqnationlll. Tht"' gr,IH~rnJ Aolnliun nr.cOfling 10 121 in the8e cases is either to cun,bf'ry by nr evrll impossihlr.. '1'1." ,.rohlelll is solved for eoch initial stnte of internal forces separately hy npl'ruxirnntc nu~tlu)ll!'\, r,fJv('rgin~ ttl the eXAct fmllitioll nnd Allowing therefore t.he solution to he nl' nrbitrnrily 8nlllil error. The fl1udnmcntnl R~SllJnl'tion adopted is nischiuger's cour@le fOI""
linr.,.f (·rer .. of cnurrcle, r.xpr("~sr(l hy ('r(,f'll fRctor ~(t). :For the lIonhomogenity of creep it is. ""1'1", ... 11 arcordin!! to 121, thnt there exist. a II1l1tual affinity of curves 'I'(t) which is expressed by afrinity factor. of cr.e" ".
430
. ae solution of statically indeterminate quantities X .(1) may be found in the form of a power <fies (2) with residue which may be neglected. For coefficients X"a, recurrent systems of linear
·cquations (4) are set up (see tab. la), where 6" or 6;, express the elasticity coefficients of tbe given and transformed structure respecitively, i. e. of the structure equal to the given one but having its elasticity constants E' = EI" and 1". and where 6,(1), 6;(1) or 6;m, denote the deformatioJls of the primary system in the sense of X t due to external load in time t or to specific lIhrinkage "c.m(oo)I'I'(oo) and q,(1) = tp(t) - tp(t.), where t. is the initial time. By generalization a procedure is found for the evaluation of coefficient. S,m of the series (2a) for any internal force S(t) (stress, bending moment., ... ) of arbitrary elastic system subject to non·homogeneous creep. It is shown, that S'(U) is equal to an internal force produced in the given elastic structure by internal strains D.~fU-ll according to tab. lb, where D;(U-.l1 is an internal deformation corresponding in the transformed structure to the internal forces S,a_1> and S.(t) or S~~(t) the internal strain corresponding to external force in time t,t acting on the given and transformed structure respeclively. The effect of the internal strain D~ or D;m may be also replaced by volume forces and by the specific load given by eq. (11), (12) as a loading case for the calculation of S,n,.
If the solution is carried out by numerical integration over the portions t1 iji, the changes II XjM' in the m-th portion are evaluated sucessively from the resulting values XjM_1I in the preceedingportion [eq. (6). tab. 2). This procedure may also be generalized for a general internal force S'~' of arbitrary elastic system. Its variation AS,m-1> in the m-th portion dip is equal to the internal force produced in the given elastic structure by internal strains D~'M-ll Aip and by shrinkages ",.1'_ = L1ip"'.m(oo)fq:(oo) increased by the influence of the increment of external load, D~'M~" denoting internal strain, corresponding to internal forces S(,.-1) which are in action in the transformed structure.
The procedure of numf'!rical integration and of expansion into series may also be used for the ·so-called hack ward procedure consisting in the backward determination of the necessary initial values S(t.) to be introduced on the site from the required final values S( 00).
It is an advantageous feature of the numerical integration and of the solution using the expansion into series. that at each step (Tab. I and 2) the solution of the same elastic system is repeated. which e. g. in the case of a statically indeterminate structure is given by inverse matrix [6,,)-1 and usually is known before the calculation is started or may be found from the influence lines or influence !urface! usually known beforehand. This feature make. the present procedure particularly convenient for calculation by automatic computers~ expecially if is necessary to take .account of several initial stages.
In the following part of the paper, other approximate solutions are derived. especially solutions, using the so-called ideal moduli (equation 20). The value of the error, committed owing to the use of this method of solution is not known in advance and cannot be arbitrarily reduced. Thcre are other kind. of numerical integration derived in the paper, e. g. the interpolational and exponential numerical integration. Further the deformations are also analyzed.
The solution given in paper (2) as we" as in this paper is the most general solution pos.ible in case that Dischinger's assumption for creep is adopted. It would be feasible even in the case, if the assumption of affinity of the creep curves should not hold good, of course at the cost of increased amount of calculation work required. The reduction oC the problem of creep to repeated solutions of the given elastic system shows, that every problem soluble on the assumption oC the theory of elasticity for any internal strain may also be solved for the case of non-homogeneous .,reep,
Di.cu .. ion ofthi .• paper should b •• enl in triplicnt. (on. copy not exceeding 2 pages) to the F:dilor hy 31. 10. 1964, to b. published in the F.bruary 1965 i.sue of this Journal.
431.
DISKUSIA
k clank .. A. A. Gvozdeva
ZAKLAUNltlKOLY TEORIE ZELEZOBETONU PRO NEJBLIZSfCH 20 LET
V N.le 7/1963 Slav.blll,hllo casopion jsme lIvefejllili olrucny vytah It tlank .. prof. A. A. Gvozdeva. uvefejlleJU'ho v coool,ioe Izveotija ASiA SSSR v tl.l" 4/1962. Na vyzVlI k diok .. oi jsme dostali hilI .. odpovi'd!. I'rotoie lIelze pro n_dootatek mfota uvefejllit vieehny pflopevky v plllem rozonh ... (I"'.zlJj~nle oe lIa oli.tenl nejzavailli'jiileh lIooorti a lIamett,.
\)j.kllse se zucaHtllili: doc. illi. V. Frailo. C. S. (VUIS Bratislava). prof. Ini. dr. K. Hav_lka. i'len.kordllOlldellt SAY (SV!\T. Broli,lova). prof. ill I. dr. K. "n,ball. tlen-kordpDlldent CsAV ( ... S-eVUT.l'raha). doc. illz. dr. I. llruban. C. Se. (VUT. Brno).llIz.J. Krchov.C. Sc. (S(}-CVUT). doc.lnf.. J. "Dill (FS -- l~VUT), dr. illi. O. Volellta, C. Sc. (SU - CVUT), Inl. M. Tichy. C. Se_ (SO - CVU'I'), illi. M. Vorllcek. C. Sc. (SU - CVUT). doc. inil. J. Zvara (SVST).
Prof. lIrubnn: Spolf.ba ell.r!!le pro len •• klor vY.lnvhy. ktery vyuilv6 betonovych konotnlkcf.je zhruba
u",erllA kubotnf. ve.lavelleh .. hetollu a v8ze opotfebovane mekke I pfedpillalle oceli. Tulo sku teenoot mll.lme mit lIa ",yoli ,'fi .tallovenl omcrti ryvojt! teorie ielezobel .. novYch kOllstrllkcl.
l'lijde .. "". t,.ly l,'r.lev.hn 0 vedeeke idelll onkh probli;mti. ktere hledajl ceoty k uspofe knbntury .tavehlll.h kOllotrukcf takovym zp.i80bem. aby .e pfitom n"zmellilo jejieh .tabilito a jejlch fUllke,,' "lIlIzilelIl08t. K tOlllnto clli vedou v POdAtate dye eeoty:
a) ,,1"piovAIII mechallickyeh vlastllo.t' betonn a oeeli tak, aby bylo moine zaehytit Alejlle .fly mCIIAlml ""ifezy otavebllieh prvkti.
b) vYlllllh,illi lakovyeh novyeh typ{' .kon.trukcf. ktere vyhovl pro 18dany ucel pfi men Ii opottel.e mal.erinlu.
Z tohoto vyplyvo jnolle," jnk by ml'la byt zameiena dkladnl ved_cU p,aCe v oboru teorie hetonoryeh konstrllkcl II nBs.
I'rof. lJo"rlkn. doc. Zvnrn: l'oEorllooi tre"" ohroti( jedlloznac .. e IIR fohke .taveblle hmoty, ktor'; II vyrobne maju vy
.·III\.lza( vo forme tak",.r hotovyeh I'rvkov (Btro,me prvky. obvodovy philit,rozderovacie priecky. hOI.ttve nOone I' ... ky a podobne) a nle .urovY material vyzaduJ6ei naroeny spraeovRtefsky proces no stnvbe.
VIAcej On '"""ovo( "oniilin kovov. V prllmde uskutocnenlA myiliellky odzbrojenlo (Ci uz I'lootocllcho aleho 1,,,llIcho) budo ekollomieke hfodl.U (i ked dlleo ve[mi obmedzelle) dovorovai liir.ie "ollf.iti" nnjmli fnhkyeh kovov. ktor'; v komblnaeii s rahkymi bet6nml maju buduenost IIielen pri l,ylllvrj 0 obeio"okej vy.tavbe, ole aj pri mostoeh. najmll vaciilch rozplitl. Dlleiille te",lellcie Vo vY.knme - zn'il( vah .. oeel" n. minimum - nebud6 v nijokom prlpade opodstaillen".
V obla.tI hel,,"ovyeh kOllstrukcil je polreb"" "ryrnzllii tendeneie po viicil!eh rozplitlaeh pri zn.tr.~elll prirmy8ehlych ohjektov, kde dneilne modllly podpornych oy.temov 9 X 18 m, prlp. 18 X 24 lit z.fnlckn .. cpo.tnriln hloYlle pri zmenaeh ryrobnyeh progromov podnlkov. ktor'; sa ."",yhllntlle V I""h,rllosti ""otnvia v celom rode priemyslovyeh odvetvl. Dneiny 8mer vyvoja v uolr".ell! vefkych 1",dorY80v (.treilnY "Iasi) Ireba ,·Idiet: lIie v systeme vlizn!k - streslla .Insko, nle v celyrh prlestororych tellko.lenllYeh likru"llIovyeh prvkoch (llapr. armome"elltovyeh) .koml,l.lovoIlY"" nz A krytinon a • pouiit{m okla tak. aby zaotreieny prie.tor mal rovllomerne prlrod .. lle o.vetlellie ,lfocovm1ho "roBlredi •.
Doc. IIrllbRn: I'M nfkolikn velkyrh IItczitllirotl .. {eh ""utHlch v Americe a v Evro"e se doop,Ho k poznolku.
ze vhodne u'pllhhlo,"1 .ko"",iIlOVR konBtrukee je v "fitomne dobe nejhoepodarnejiim fdenlm otfech IIA ,·elke ,o"(l0ny.
Praktirke vyuziti skofe"in je .tale brzdt'no n.dostatk_m teoretickych podkladi, pro vysetfell£
432