stŘednÍ odbornÁ Škola elektrotechnickÁ centrum …rovnice... · 2020. 3. 18. · 8 příklad 2...
TRANSCRIPT
STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁCentrum odborné přípravy
VÝRAZY, ROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC
Identifikace projektu
Název a číslo globálního grantu
Registrační číslo projektu
Název projektu
Název příjemce podpory
Hluboká nad Vltavou 2011
STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁCentrum odborné přípravy
VÝRAZY, ROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC
Název a číslo globálního grantu
Zvyšování kvality ve vzdělávání kraji
CZ.1.07/1.1.10
CZ.1.07/1.1.10/01.0015
Inovace a vytvoření odborných učebních textů pro rozvoj klíčových kompetencí vrámcové vzdělávací programy
Střední odborná škola elektrotechnická, odborné přípravy Hluboká nad Vltavou
STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ
VÝRAZY, ROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC
Zvyšování kvality ve vzdělávání v Jihočeském
Inovace a vytvoření odborných učebních textů pro rozvoj klíčových kompetencí v návaznosti na
Střední odborná škola elektrotechnická, Centrum odborné přípravy Hluboká nad Vltavou
2
3
Na zpracování učebního textu Výrazy, rovnice, soustavy rovnic se podíleli učitelé
SOŠE, COP, Hluboká nad Vltavou:
Železná Hana
Kouřilová Blanka
Lád Ladislav
4
5
Obsah
1 Výrazy .......................................................................................................................... 7
1.1 Početní operace s výrazy ........................................................................................ 8
1.1.1 Sčítání a odčítání mnohočlenů ....................................................................... 8
1.1.2 Násobení mnohočlenů ..................................................................................... 9
1.2 Druhá mocnina dvojčlenu a rozdíl druhých mocnin .......................................... 10
1.3 Třetí mocnina dvojčlenu, rozdíl a součet třetích mocnin .................................. 11
1.4 Rozklad výrazů na součin ..................................................................................... 12
1.4.1 Rozklad pomocí vytknutí před závorku ....................................................... 12
1.4.2 Rozklad pomocí vzorců .................................................................................. 13
1.5 Lomené výrazy ....................................................................................................... 14
1.5.1 Rozšiřování a krácení lomených výrazů ..................................................... 15
1.5.2 Sčítání a odčítání lomených výrazů ............................................................. 16
1.5.3 Násobení a dělení lomených výrazů............................................................ 17
1.5.4 Složené lomené výrazy .................................................................................. 18
1.6 Úlohy na procvičení ............................................................................................... 19
2 Vyjádření neznámé ze vzorce .................................................................. 25
2.1 Způsob řešení ......................................................................................................... 25
2.2 Úlohy na procvičení ............................................................................................... 29
3 Převody jednotek ............................................................................................... 31
3.1 Fyzikální veličiny a jednotky ................................................................................. 31
3.1.1 Mezinárodní soustava jednotek SI ............................................................... 31
3.1.2 Přehled nejčastěji používaných fyzikálních veličin a fyzikálních jednotek
v matematice, fyzice a elektrotechnice ...................................................................... 33
3.2 Úlohy na procvičení ............................................................................................... 36
6
4 Řešení rovnic ........................................................................................................ 38
4.1 Lineární rovnice ...................................................................................................... 38
4.2 Lineární rovnice s neznámou ve jmenovateli .................................................... 42
4.3 Lineární rovnice s absolutní hodnotou ................................................................ 43
4.4 Lineární rovnice s parametrem ............................................................................ 46
4.5 Kvadratická rovnice ................................................................................................ 47
4.6 Úlohy na procvičení ............................................................................................... 52
5 Řešení soustav rovnic .................................................................................... 54
5.1 Soustava dvou lineárních rovnic o dvou neznámých ....................................... 54
5.1.1 Metoda dosazovací (substituční) .................................................................. 54
5.1.2 Metoda sčítací (adiční) ................................................................................... 57
5.1.3 Metoda srovnávací (komparační) ................................................................. 59
5.1.4 Metoda grafická ............................................................................................... 61
5.2 Soustava tří lineárních rovnic o třech neznámých ............................................ 66
5.3 Soustava lineární a kvadratické rovnice ............................................................. 70
5.4 Úlohy na procvičení ............................................................................................... 73
6 Řešení úloh na procvičení ........................................................................... 76
Použitá literatura ..................................................................................................... 85
7
1 Výrazy
S výrazy se setkáváme ve všech oblastech matematiky. Výrazy jsou matematické zápisy,
ve kterých se objevují čísla, písmena, závorky, znaky a znaménka početních úkonů. Výrazy
mohou mít různý tvar, např.: 3; 22; 2a; yx 32 + ; bm +2 ; 2−x ; c
z3; atd.
Výraz tedy je: každé číslo a každá proměnná;
součet, rozdíl, součin a podíl dvou výrazů;
odmocnina a absolutní hodnota výrazu.
Písmena ve výrazech mohou nabývat různých hodnot, nazýváme je proměnné a podle
toho jaká čísla do daného výrazu za proměnné dosadíme, dostaneme číselnou hodnotu tohoto
výrazu. Za proměnné můžeme zvolit jen taková čísla, po jejichž dosazení má výraz smysl.
Při jakýchkoliv úpravách matematických výrazů musí být splněny dvě základní podmínky
algebry: 1. nelze dělit nulou (tedy ani ve jmenovateli zlomku nemůže být nula);
2. v množině reálných čísel neexistuje odmocnina ze záporného čísla.
Další výhodou užívání výrazů je vztah mezi výrazem a určitým matematickým zápisem.
Výrazy umožňují nahradit slovní popis různých matematických postupů jednoduchým
a přehledným zápisem, uplatňují se při popisu fyzikálních dějů, při řešení slovních úloh, apod.
Např. slovní popis výpočtu obsahu S trojúhelníku se základnou z a výškou v zní takto: Obsah
S trojúhelníku je roven polovičnímu součinu délky základny z a k ní příslušné výšky v.
Matematický zápis je podstatně jednodušší: vzS ⋅=2
1.
Řešené úlohy
Příklad 1
Určete podmínky platnosti následujících výrazů:
a) y
x
−1 podm.: 101 ≠⇒≠− yy
b) b
a+2 podm.: 0≠b
c) z−1 podm.: 0≥z
d) 2−r podm.: 202 ≥⇒≥− rr
8
Příklad 2
Nahraďte matematickým výrazem slovní popisy:
a) Polovina součtu druhých mocnin čísel r, s ( )22
2
1sr + .
b) Polovina druhé mocniny součtu čísel r, s ( )2
2
1sr + .
c) Druhá mocnina polovičního součtu čísel r, s ( )2
2
1
+ sr .
d) Trojnásobek součtu čísel r, s ( )sr +3 .
e) Druhá mocnina rozdílu čísel r, s ( )2sr − .
1.1 Početní operace s výrazy
Budeme se zabývat hlavně výrazy, ve kterých mají všechny proměnné přirozené
mocnitele; takové výrazy nazýváme mnohočleny. Tento celek rozdělíme na početní operace
sčítání a odčítání mnohočlenů a operaci násobení mnohočlenů.
1.1.1 Sčítání a odčítání mnohočlenů
Součet výrazů dostaneme tak, že sečteme členy se stejnými proměnnými a se stejnými
mocniteli. Chceme- li mnohočlen odečíst, musíme přičíst mnohočlen k němu opačný. Opačné
výrazy jsou takové výrazy, jejichž součet je roven nule. Poznáme je též podle opačných
znamének.
9
Řešené úlohy
Příklad 3
Sečtěte výrazy:
a) ( ) ( ) bababababa +=−++=−++ 281321513215
b) ( ) ( ) 72643254325 22222 +−=+++−=+++− xxxxxxxx
Příklad 4
Odečtěte výrazy:
a) ( ) ( ) bababababa 321321513215 +=+−+=−−+
b) ( ) ( ) 13443254325 22222 −−=−−+−=+−+− xxxxxxxx
1.1.2 Násobení mnohočlenů
a) Jednočlenem: Mnohočlenem násobíme jednočlenem, když tímto jednočlenem
vynásobíme každý člen mnohočlenu.
Řešené úlohy
Příklad 5
Násobte výrazy:
a) ( ) xxzxxyx 1510355327 32 −+=⋅−+
b) ( ) bababababa 22232 1248302856 +−=+−⋅
c) ( ) ( ) 2222 331 yxyx +−=−⋅−
b) Mnohočlenem: Mnohočlenem násobíme mnohočlenem tak, že každý člen
jednoho mnohočlenu vynásobíme každým členem druhého mnohočlenu.
10
Řešené úlohy
Příklad 6
Násobte výrazy:
a) ( ) ( ) 1717201431252014135 232232 −+−=−++−−=−⋅+− xxxxxxxxxxx
1.2 Druhá mocnina dvojčlenu a rozdíl druhých mocnin
Vzorce pro druhou mocninu známe už ze základní školy.
( )
( ) 222
222
2
2
bababa
bababa
+−=−
++=+
Často se vyskytují tyto případy:
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )222222
222222
111
111
bababababa
bababababa
−=−⋅=−⋅−=−⋅−=+−
+=+⋅=+⋅−=+⋅−=−−
Vidíme, že druhé mocniny opačných výrazů se rovnají.
Srovnejme s druhými mocninami opačných čísel: ( )22 99 −= . Druhé mocniny opačných
výrazů se rovnají stejně jako druhé mocniny opačných čísel
POZOR!
( )
( ) 222
222
baba
baba
−≠−
+≠+
PLATÍ! ( ) ( )bababa +⋅−=− 22 tento vztah je to vzorec pro rozdíl druhých
mocnin nebo-li vzorec pro rozdíl čtverců.
11
Řešené úlohy
Příklad 7
Vypočtete podle vzorců:
a) ( ) 181614 22 +−=− xxx
b) ( ) 121 2422 ++=+ aaa
c) ( )( ) 4362626 2 −=+− aaa
1.3 Třetí mocnina dvojčlenu, rozdíl a součet třetích mocnin
Vzorce, které známe už ze základní školy, nyní doplníme o následující:
( )
( )
( )( )
( )( )2233
2233
32233
32233
33
33
babababa
babababa
babbaaba
babbaaba
++−=−
+−+=+
−+−=−
+++=+
POZOR!
Zatímco pro součet druhých mocnin žádný vzorec neexistuje, pro součet třetích mocnin
ano.
Řešené úlohy
Příklad 8
Vypočtete podle vzorců:
a) ( ) ( ) ( ) 11248641143143414 2332233 −+−=−⋅⋅+⋅⋅−=− xxxxxxx
b) ( ) ( ) ( ) 133113131 246322223232 +++=+⋅⋅+⋅⋅+=+ aaaaaaa
12
1.4 Rozklad výrazů na součin
Někdy je nutné vyjádřit výrazy ve tvaru součinu, např. potřebujeme-li zkrátit zlomek
(lomený výraz), říkáme o nich, že je rozkládáme na součin. Používáme při tom tyto
způsoby: vytýkání před závorku;
rozklad podle vzorců.
1.4.1 Rozklad pomocí vytknutí před závorku
Při roznásobení součtu nebo rozdílu používáme distributivní zákon:
( )
( ) cabacba
cabacba
⋅−⋅=−⋅
⋅+⋅=+⋅
Je zřejmé, že toto pravidlo lze použít i v opačném směru ( )zyxxzyx +⋅=+ . Jsou-li
všechny členy výrazu násobky stejného činitele, pak tento činitel lze vytknout před závorku
a tím celý výraz rozložit na součin.
POZOR! Vytýkáme-li před závorku celý člen výrazu, nezbude po něm číslo 0 ale 1.
( ) ( )mmmnm +⋅=+ 1
Vytknutí znaménka minus, tedy vlastně vytknutí čísla (-1), „technicky způsobuje“, že se
výraz uvnitř závorky změní na opačný: ( ) ( )yxyx −−⋅−=+ 1
( ) ( ) ( ) ( )xyyxyx −⋅−=+−⋅−=− 11
Nejsme- li si jisti správností vytknutí, provedeme zkoušku roznásobením.
Nejde- li vytknout ze všech členů mnohočlenu stejný člen, použijeme postupné
(stupňovité) vytýkání: ( ) ( )bacbaabcacaba −⋅−−⋅=+−−2 . Tento výraz je vlastně
dvojčlen, ve kterém můžeme vytknout celý dvojčlen v závorce:
( ) ( ) ( ) ( )cababacbaa −⋅−=−⋅−−⋅ .
13
Řešené úlohy
Příklad 9
Rozložte na součin:
a) ( )55 −=− xyyxy
b) ( )dcbaaadacaba −++=−++2
c) ( )zyxzyx +−=+− 42662412
d) ( ) ( ) ( )( )caxbxbcxbacxcbaxab −+=+−+=−−+
1.4.2 Rozklad pomocí vzorců
Při rozkladu použijeme již známé vzorce: ( ) 222 2 bababa ++=+
( ) 222 2 bababa +−=−
( ) ( )bababa +⋅−=− 22
( ) 32233 33 babbaaba +++=+
( ) 32233 33 babbaaba −+−=−
( ) ( )2233 babababa ++⋅−=−
( ) ( )2233 babababa +−⋅+=+
Zde je důležité poznat příslušný vzorec, najít „systém“ jak ho poznat, což představuje
určité množství zkušeností se vzorci. Vhodným příkladem je například rozklad výrazu
25102 ++ xx , protože si lze snadno představit 2510,525 2 ⋅== , potom je na vzorci
( ) 222 2 bababa ++=+ vidět, že xa = a 5=b . Dostáváme tak řešení
( )2222 55522510 +=+⋅⋅+=++ xxxxx
Ovšem často musíme oba způsoby rozkladu kombinovat, vhodně používáme toho, že
druhé mocniny opačných výrazů se rovnají, apod. Praxi v tomto rozkladu je nutno získat
vyřešením většího počtu příkladů.
14
Řešené úlohy
Příklad 10
Rozložte na součin:
a) ( ) ( )22222 3323189 yxyyxxyxyx −=+⋅⋅−=+−
b) ( )( )10710710049 2 +−=− mmm
c) ( ) ( ) ( )[ ] ( )2222222 52255222225204250408 babbaababababa +=+⋅⋅+=++=++
d) ( ) ( )( )111 23 ++−=− ssss
e) ( ) ( )( )9643232278 2333 +−+=+=+ bbbbb
1.5 Lomené výrazy
Lomené výrazy jsou výrazy, které mají tvar zlomku, v jehož jmenovateli jsou jedna nebo
i více proměnných. Např.: x
2;
7
5
−+
x
x;
52 2 +− mm
m;
xy
yxyx 22 +−;
13
1
−−
a.
Početní výkony s lomenými výrazy musí mít stejná pravidla jako početní výkony
se zlomky. Proto je vhodné zopakovat si počítání se zlomky.
Řešené úlohy
Příklad 11
Spočítejte:
a) 152
91
19
13
8
7
10
215
8
7
5
1
2
3
8
7=⋅=
−⋅=
−⋅
b) 12
5
12
9104
4
3
6
5
3
1=
−+=−+
c) ( ) ( )30
1
5
1
6
15:
6
235:
3
2
2
1−=
−⋅=−−
=−
−
15
Nyní si připomeneme určování podmínek, pro něž má lomený výraz smysl. Hodnota
jmenovatele se nesmí rovnat nule, tj. pro všechny proměnné ve jmenovateli se výraz nesmí
rovnat nule.
Řešené úlohy
Příklad 12
Rozhodněte za jakých podmínek mají dané výrazy smysl:
a) x
2 0≠x
b) 7
5
−+
x
x 707 ≠⇒≠− xx
c) xy
yxyx 22 +− 0, ≠yx
d) 13
1
+−
a
3
1013 −≠⇒≠+ aa
1.5.1 Rozšiřování a krácení lomených výrazů
Při rozšiřování a krácení se lomený výraz nezmění, když jeho čitatele i jmenovatele
vynásobíme nebo vydělíme stejným nenulovým výrazem. Když dělíme čitatele
i jmenovatele lomeného výrazu stejným výrazem nebo číslem, mluvíme o krácení lomeného
výrazu. Když násobíme čitatele i jmenovatele lomeného výrazu stejným výrazem nebo
číslem, mluvíme o rozšiřování lomeného výrazu. Je přitom důležité si zapamatovat, že
rovnost mezi daným a upraveným lomeným výrazem platí jen pro ty hodnoty proměnných,
pro něž mají smysl oba tyto výrazy. Přitom si dáváme pozor na to, že stejně jako u zlomků
i u lomených výrazů lze krátit jen tehdy, když v čitateli i jmenovateli je výraz ve tvaru
součinu. Není-li v tomto tvaru, musíme ho získat vhodným rozkladem.
16
Řešené úlohy
Příklad 13
Zjednodušte lomené výrazy:
a) 337
.7
21
72
2
2
3 x
x
xx
x
x=
⋅
⋅=
b) ( )( )
12
2
232
232
64
46−=
−=
−⋅−−⋅
=−−
ba
ba
ab
ba
1.5.2 Sčítání a odčítání lomených výrazů
Opět jako u zlomků platí, že lomené výrazy lze sčítat nebo odčítat pouze v tom případě,
pokud mají stejného jmenovatele. Nemají-li, musíme ho nalézt a výrazy na společného
jmenovatele převést. Společný jmenovatel musí být co nejjednodušší, musí to být nejmenší
společný násobek všech jmenovatelů. Dále je výhodné nechat společný jmenovatel ve tvaru
součinu, abychom mohli později ve výpočtu využít možnost krácení.
Řešené úlohy
Příklad 14
Zjednodušte dané výrazy:
a) ( )
( ) ( ) ( )1.
57
1.
255
1.
21.5
1
25
++
=+++
=+++
=+
+bb
b
bb
bb
bb
bb
bb podm.: 0,1−≠b
b) ( )( ) 7
3
7.17
3
77
3
−−
=−−
+−
=−
+− a
a
a
a
aa
a
a podm.: 7≠a
c) ( )
x
x
x
xx
x
xx
x
x
4
68
4
662
4
63.2
2
3
4
3 −=
+−=
+−=+
− podm.: 0≠x
d) ( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )aa
aa
aa
aaaa
aa
aaa
a
a
a
a
+−+−
=+−
+−−++=
+−−−++
=+−
+−
+2.2.2
5
2.2.2
2222
2.2.2
1.21.2
42
1
4
1 22
2
podm.: 2±≠a
17
1.5.3 Násobení a dělení lomených výrazů
Postup je stejný jako u běžných zlomků: násobíme čitatel čitatelem a jmenovatel
jmenovatelem.
0 0 .
.. ≠∧≠= DB
DB
CA
D
C
B
A
Před násobením vždy, pokud je to možné, krátíme pomocí tzv. křížového pravidla, je třeba
stále na tuto možnost myslet a používat ji.
Řešené úlohy
Příklad 15
Zjednodušte dané výrazy:
a) a
b
a
b
b
a 2
3.
62
3
2= podm.: 0, ≠ba
b) y
xx
y
xxy
3
3
9
33
2
2
−=
−⋅ podm.: 0≠y
c) ( )( )
( ) 222
22 1.
..
.
..
rs
sr
srs
sr
sry
r
rsr
srsr
srs
r
sr
sr +=
+=
−+−
=−
−
podm.: yrsr ≠≠ ;0,
Při dělení lomených výrazů opět postupujeme jako při dělení zlomků. Dělit lomeným
výrazem znamená násobit převrácenou hodnotou výrazu.
0 0 0 .
.: ≠∧≠∧≠= DCB
CB
DA
D
C
B
A
Převrácený výraz k danému lomenému výrazu je výraz, který vznikne tak, že v daném
lomeném výrazu vyměníme čitatele se jmenovatelem. Důsledně dbáme na určování
podmínek platnosti výrazů a to i u čitatelů výrazů s převrácenou hodnotou.
18
Řešené úlohy
Příklad 16
Zjednodušte dané výrazy:
a) 6
5
3.
2
5
9
4.
8
15
4
9:
8
15 22
2
2 xyxy
y
x
x
y
x
y
x
y=== podm.: 0, ≠yx
b) ( )
21.
21.
2
1.1:
2
22 aaa
a
ab
b
aa
ab
a
b
aa==
++
=++
podm.: 1;0, −≠≠ aba
c) n
nmnm
nmn
nm
n
mn
mn
nm
nn
my
nm
mn
nm
−=
−=
+−+
=+−
+=−
+
+1
.1
1.
1
1.
11:
1
podm.: 1;0; −≠≠≠ mnnmn
1.5.4 Složené lomené výrazy
Při úpravě složených lomených výrazů se postupuje obdobně jako při dělení lomených
výrazů.
0 0 0 .
.: ≠∧≠∧≠=== DCB
BC
AD
CB
DA
D
C
B
A
D
CB
A
Řešené úlohy
Příklad 17
Zjednodušte dané výrazy:
a) x
y
x
y
x
y
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
5
124.
5
3
3
4.
5
9
4
3:
5
9
4
3
5
9
2
2
2
2
2
2==== podm.: 0, ≠yx
b) 11
.1
1
1.
11:
1
1
1
2
2
2
2
2
2 −=
−=
−
+=
−+=
−
+
a
b
a
b
a
b
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
podm.: 1;0 ±≠≠ ab
19
1.6 Úlohy na procvičení
1.1 Určete podmínky, za kterých mají smysl výrazy:
a) 1+
−z
yx
b) 42 −x
c) 3
1
+y
d) 31 −− b
1.2 Nahraďte slovní popis matematickým zápisem:
a) dvojnásobek součtu čísel a, b
b) druhá mocnina rozdílu čísel a, b
c) rozdíl druhých mocnin čísel x, y
d) polovina součtu druhých mocnin čísel m, n
e) součet absolutních hodnot čísel a, b
1.3 Zjednodušte výrazy:
a) ( ) mm −−− 11
b) ( ) 2222222 6252 baababbaababba +++−−+
c) ( ) ( )[ ]1128 −−+−−−+ rsrsr
d) ( )[ ]22 115 aa −−−
e) ( ) 522 2 −++−+− aaccaac
f) ( ) ( ) ( )13232 ++−−− xxx
g) ( )[ ] xxyyx 46428 +++−−
h) ( ) ( )12,424,369,546,648,664,724,1185,12 −−−−−−−− yxxyx
20
1.4 Vynásobte:
a) ( ) ( )aba −⋅−3
b) ( )222 baab +⋅
c) ( ) ( )z−⋅− 33
d) ( )1324 +−⋅ bac
e) ( ) ( )1253 2 −⋅+− xxx
f) ( ) ( )aaa −⋅−+ 212
g) ( ) ( )132 +⋅−⋅ xx
h) ( ) ( )bababa +⋅+− 22
1.5 Umocněte podle vzorců:
a) ( )22 a−
b) ( )235 ba +
c) ( )213 +− x
d) ( ) ( )baba 2424 +⋅−
e) ( )322 +x
f) ( )32ba −
1.6 Rozložte na součin pomocí vytýkání:
a) ba 42 +
b) aba 32 −
c) 22 105 xxy +
d) 3223 201015 yxyxx −+
e) ababab 1863 23 −+
21
1.7 Postupným vytýkáním rozložte na součin:
a) asarsr −−+ 55
b) byaybxax −−+ 22
c) 3223 yxyyxx −−+
d) 134 +++ xxx
e) 3223 yxyyxx −+−
1.8 Pomocí vzorců rozložte na součin:
a) 21449 yy +−
b) 144 2 ++ aa
c) 962 −+− xx
d) 162 −y
e) 22 49 ab −
f) 962346 33 bbxbxx +++
g) 32489664 rrr −+−
h) 3827 b+
i) 33 827 ba −
1.9 Kombinované příklady na rozklad na součin.
a) xxx +− 23 816
b) 4445 22 abbaa −+−
c) 24512080 aa +−
d) 22 254016 abyabxyabx ++
22
1.10 Určete, kdy má výraz smysl:
a) x2
1
b) 2
2
−x
c) 32
24
+−
x
x
d) 1
12 −y
1.11 Zkraťte lomené výrazy:
a) yx
xy2
2
12
30
b) ss
s
82
162
2
+
−
c) bcac
bcac
+−
d) abb
aba
−
−2
2
1.12 Rozšiřte lomené výrazy tak, aby měly stejné jmenovatele:
a) xyy
x 1,
3
2
b) 1
1,
1
2
−−
+ x
x
x
c) y
y
y −− 7,
7
3
d) 1
2,
5
+bb
23
1.13 Sečtěte nebo odečtěte lomené výrazy a určete podmínky, kdy výraz dává smysl:
a) 22
1 a
a+
b) a
b
b
a−
c) 1++x
y
y
x
d) aa
a
aa
a
22
1122 −
−−
−
+
1.14 Vynásobte lomené výrazy:
a) ab
ba
ba
ab
24
36 2 −⋅
−
b) 2
23 1
xyx ⋅
c) x
x
x
x
−+
⋅+−
2
2
2
2
d) x
x
x
xx
−⋅
−1
232
e) xy
yx
yx
yx
6
102
5
3 2 −⋅
−
1.15 Vydělte lomené výrazy:
a) b
b3
1:2 2
b) x
y
y
x:
2
3
c) 2
2:
12
3
−− r
r
r
r
24
d) ba
ba
ba
ba
55
66:
33
22
−+
−+
e) 22
2
22:
dc
cdc
dc
dc
−
+−+
1.16 Upravte složené lomené výrazy:
a)
b
a1
1
b)
2
1
xy
xy
yx +
c)
6
32
2
ab
ba
d)
a
ba
b
−
+
1
1
e)
23
32yx
yx
−
+
25
2 Vyjádření neznámé ze vzorce
S úpravami výrazů a dosazováním do vzorců se setkáváme nejen v matematice, ale
i v dalších vyučovacích předmětech (např. fyzika, chemie, odborné předměty). Důležité je
také užívání vzorců a výrazů při řešení praktických úloh v technické praxi.
2.1 Způsob řešení
Při řešení takových úloh můžeme postupovat dvěma způsoby:
a) dosadit do vzorce známé číselné hodnoty a ze vzniklé rovnice vypočítat neznámou
hodnotu, těmito výpočty lze získat dílčí hodnoty, které můžeme postupně dosazovat
do dalších vzorců;
b) vyjádřit ze vzorců proměnné bez numerických výpočtů a získané výsledky dosazovat do
dalších vzorců, takto získat konečný vzorec a do něho teprve dosadit dané číselné hodnoty
a provést numerický výpočet.
První způsob je správný, ale matematicky nevhodný. Je velmi pracný a počet chyb
v částečných výpočtech se dalším počítáním zvětšuje.
Druhý způsob je výhodnější. Dochází k menším chybám a při dalším počítání můžeme
využít konečný vzorec. To je výhodné, jestliže máme určit hodnotu neznámé pro různé
číselné hodnoty daných proměnných. Nemusíme se pak zdržovat s řešením daných rovnic pro
každý případ zvlášť. Obecné vyjádření požadované proměnné nám také umožňuje pochopit
širší souvislosti. V tomto postupu se projevuje snaha zobecnit získané poznatky, což je jeden
z charakteristických rysů matematiky.
Jestliže chceme vyjádřit určitou proměnnou z nějakého vzorce, považujeme vzorec
za rovnici, ve které všechny proměnné kromě té, kterou chceme vyjádřit, považujeme
za konstanty a proměnnou, kterou chceme vyjádřit, za neznámou.
26
Řešené úlohy
Příklad 1
Vypočtěte výšku lichoběžníku o obsahu S = 35 m2 a základnách a = 10 m, b = 5 m. Pro
výpočet použijeme vzorec pro výpočet obsahu lichoběžníku ( )
2
vcaS
+= .
Řešení – způsob a):
( )
m 514
7014
70
15 : / 1507
2 / 2
41035
==
=
⋅=
⋅⋅+
=
v
v
v
v
Výška daného lichoběžníku je 5 m.
Řešení – způsob b):
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )m 5
14
70
410
35.22
2
: / 2
2 / 2
==+
=+
=
=+
++=
⋅+
=
ca
Sv
vca
S
cavcaS
vcaS
Výška daného lichoběžníku je 5 m.
27
Příklad 2
Vypočtěte celkový odpor R dvou paralelně zapojených vodičů o odporech R1 = 120 Ω
a R2 = 400 Ω ze vztahu 21
111
RRR+= .
Řešení – způsob a):
Ω 92,3R
R92,3
13:/ 131200
1200 / 1200
13
R
1
1200
3101
400
1
120
11
=
=
=
⋅=
+=
+=
R
R
R
R
Celkový odpor dvou paralelně zapojených vodičů je 92,3 Ω.
Řešení – způsob b):
( ) ( )
( )
( )Ω 3,92
520
48000
400120
400120
: /
/ 1
111
21
21
21
21
212121
2121
12
21
==+⋅
=+
=
=+
++=
⋅+
=
+=
RR
RRR
RRR
RR
RRRRRRR
RRRRR
RR
R
RRR
Celkový odpor dvou paralelně zapojených vodičů je 92,3 Ω.
28
Příklad 3
Určete teplotní součinitel odporu hliníku, který má při teplotě t1 = 0°C odpor R0 = 5,2 Ω a při
teplotě t2 = 60 °C odpor R = 6,5 Ω. Při výpočtu použijte vztah vyjadřující závislost odporu
vodiče na teplotě: ( )TRR ∆+= α10 , teplotní rozdíl 12 ttT −=∆ .
Řešení:
( )
13
0
0
0
0
000
000
0
K 103,40043,02,560
2,55,6α
α
: / α
/ α
α1
−−⋅==⋅−
=∆
−=
=∆
−
∆∆=−
−∆+=
∆+=
TR
RR
TR
RR
TRTRRR
RTRRR
TRR
Teplotní součinitel odporu hliníku je 4,3·10-3 K-1.
Příklad 4
Těleso dopadlo na povrch Země rychlostí v = 20 m·s-1. Z jaké výšky těleso padalo? (Odpor
vzduchu neuvažujeme, g = 10 m·s-2). Pro volný pád platí vztahy: gtv = , 2
2
1gts = .
Řešení:
m 2020
400
102
20
22
1
2
1
22
2
2
2
==⋅
===
=⇒=
=
g
v
g
vgs
g
vtgtv
gts
Těleso padalo z výšky 20 m.
29
Příklad 5
Vyjádřete ze zákona zachování hybnosti 02211 =+ vmvm rychlost v2.
Řešení:
: /
/ 0
2
112
21122
112211
m
vmv
mvmvm
vmvmvm
−=
−=
−=+
Rychlost 2
112
m
vmv −= .
2.2 Úlohy na procvičení
2.1 Těleso vržené svisle vzhůru vystoupí za dobu t = 10 s do výšky h = 500 m. Určete, s jakou
rychlostí v0 bylo těleso vrženo, jestliže pro vrh svislý vzhůru platí vztah 20 2
1gttvh −= ,
kde g = 10m.s-2.
2.2 Ze vztahu pro výpočet tepla )( 12 ttmcQ −= vyjádřete teplotu t2.
2.3 Pro velikost odporu měděného drátu, který má kruhový průřez platí vztah S
lR ρ= , kde
ρ je měrný odpor mědi, l j délka drátu a S je obsah kruhového průřezu ( 2πrS = ).
Vyjádřete z daných vzorců poloměr kruhu r.
2.4 Kinetická energie tělesa, které má hmotnost m a pohybuje se rychlostí v, je 2k 2
1mvE = .
Vyjádřete z tohoto vzorce hmotnost m.
2.5 Rychlost dopadu tělesa, které spadlo volným pádem z výšky h je ghv 2= , kde
g = 10 m.s-2 je tíhové zrychlení. Z jaké výšky padalo těleso, které dopadlo na Zem
rychlostí v = 10 m.s-1?
30
2.6 Pro objem kužele platí vzorec vrV 2π3
1= . Vyjádřete z tohoto vzorce výšku v.
2.7 Pro povrch válce výšky v a poloměru podstavy r platí vzorec )(π2 vrrS += . Vyjádřete
z tohoto vzorce výšku v.
2.8 Pro výpočet kapacity dvou sériově spojených kondenzátorů platí vzorec 21
111
CCC+= .
Upravte tento vzorec a vyjádřete C2, pak dosaďte C1 = 5 F a za C = 33,3 F a vypočtěte C2.
2.9 Pro vzájemné silové působení dvou bodových nábojů Q1 a Q2 platí Coulombův zákon
vyjádřený vztahem 2
21
r
QQkF = . Vyjádřete z tohoto vztahu velikost náboje Q1.
2.10 Ze vztahu pro výpočet svorkového napětí ie IRUU −= vyjádřete vnitřní odpor Ri.
31
3 Převody jednotek
V matematice, fyzice, elektrotechnice a dalších odborných předmětech vyjadřujeme
fyzikální vlastnosti těles tak, aby byly měřitelné. Vlastnosti fyzikálních objektů, které
můžeme měřit a vyjadřovat číselně, nazýváme fyzikální veličiny.
3.1 Fyzikální veličiny a jednotky
Fyzikální veličiny jsou určeny číselnou hodnotou a jednotkou. Měřit fyzikální veličinu
znamená porovnávat její velikost s velikostí veličiny stejného druhu, kterou jsme zvolili za
jednotku. Číselná hodnota vyjadřuje, kolikrát je měřená fyzikální veličina větší nebo menší
než zvolená jednotka.
Fyzikální jednotky jsou stanoveny na základě dohody. Ve většině států světa i u nás je na
základě mezinárodních dohod uzákoněna tzv. Mezinárodní soustava jednotek SI podle
francouzského názvu Systéme International d`Unités (systém enternasjonal dynité).
3.1.1 Mezinárodní soustava jednotek SI
1. Mezinárodní soustava jednotek SI je založena na sedmi základních fyzikálních
veličinách a jejich jednotkách.
Základní veličina Značka veličiny Základní jednotka Značka jednotky
délka l metr m
hmotnost m kilogram kg
čas t sekunda s
elektrický proud I ampér A
termodynamická teplota T kelvin K
látkové množství n mol mol
svítivost I kandela cd
2. Soustava SI má dále dvě doplňkové jednotky pro rovinný a prostorový úhel.
Veličina Značka veličiny Jednotka Značka jednotky
rovinný úhel φ radián rad
prostorový úhel Ω steradián sr
32
3. Jednotky dalších fyzikálních veličin získáme odvozením ze základních jednotek
dosazením do definičních vztahů těchto veličin. Tyto jednotky nazýváme odvozené jednotky
soustavy SI,
např.: jednotka rychlosti: 1sms
m −⋅===t
sv metr za sekundu,
jednotka síly Nsmkg -2 =⋅⋅=⋅= amF newton,
jednotka hustoty 3m
kg==
V
mρ kilogram na metr krychlový atd.
4. Do soustavy SI patří také násobky a díly základních a odvozených veličin, které
vytvoříme pomocí mocnin čísla 10 a vyjadřujeme je pomocí předpon.
Předpona Značka Počet jednotek Předpona Značka Počet jednotek
deka dk 10 deci d 10-1
hekto h 102 centi c 10-2
kilo k 103 mili m 10-3
mega M 106 mikro µ 10-6
giga G 109 nano n 10-9
tera T 1012 piko p 10-12
Při převádění násobků a dílů fyzikálních veličin na základní veličiny a naopak je nutné
umět násobit a dělit čísly: 10; 102; 103 … a 10-1; 10-2; 10-3 … .
Např: 34 · 10 = 340 34 · 10-1 = 34 · 0,1 = 3,4
34 · 102 = 34 · 100 = 3 400 34 · 10-2 = 34 · 0,01 = 0,34
34 · 103 = 34 · 1 000 = 34 000 34 · 10-3 = 34 · 0,001 = 0,034, atd.
Ve výsledku zůstává pořadí číslic stejné jako v prvním činiteli, pouze se posunuje
desetinná čárka. Při násobení čísly 10; 102; 103 atd. posunujeme desetinnou čárku doprava, při
násobení čísly 10-1; 10-2; 10-3 atd. posunujeme desetinnou čárku doleva.
Při převodu plošných jednotek se počet nul nebo desetinných míst ve výsledku zdvojnásobí
(mocnitel 2 u jednotky). Při převodu objemových jednotek se počet nul nebo desetinných míst
ve výsledku ztrojnásobí (mocnitel 3 u jednotky).
Při velkém počtu desetinných míst nebo nul vyjadřujeme výslednou hodnotu pomocí
mocnin čísla 10, např.: 5 nF = 5 · 10-9 F, 1 268 TJ = 1 268 · 1012 J atd.
33
5. Kromě jednotek soustavy SI se mohou používat další jednotky užívané spolu s SI,
které se dříve nazývaly vedlejší a jsou vžité v běžné praxi. Patří mezi ně např.: jednotky pro
čas – den, hodina, minuta;
jednotka pro objem – litr (1 l = 1 dm3 = 0,001 m3);
jednotky pro úhel – úhlový stupeň, úhlová minuta, úhlová vteřina;
jednotka pro hmotnost – tuna (1t = 1 000 kg).
Při výpočtech a dosazování do vzorců musíme tyto jednotky převádět do soustavy SI.
Můžeme se setkat ještě s jednotkami, které se nemají používat, ale vzhledem k tomu, že se
některé v praxi objevují, je třeba jim rozumět.
např.: jednotka pro plošný obsah – ar, hektar (1 ha = 100 ar, 1 ha = 10 000 m2);
jednotka pro hmotnost – metrický cent (1q = 100 kg).
3.1.2 Přehled nejčastěji používaných fyzikálních veličin a fyzikálních
jednotek v matematice, fyzice a elektrotechnice
Fyzikální veličina Značka veličiny
Fyzikální jednotka Značka jednotky
délka l metr m
plošný obsah S čtverečný metr m2
objem V krychlový metr m3
čas t sekunda s
hmotnost m kilogram kg
hustota ρ kilogram na krychlový metr kg·m-3
dráha s metr m
rychlost v metr za sekundu m·s-1
úhlová rychlost ω radián za sekundu rad·s-1
zrychlení a metr za sekundu na druhou m·s-2
perioda T sekunda s
frekvence (kmitočet) f hertz Hz
síla F newton N
práce W joule J
energie E joule J
34
výkon P watt W
moment síly M newton metr N·m
tlak p pascal Pa
látkové množství n mol mol
teplo Q joule J
měrná tepelná kapacita c joule na kilogram a kelvin J·kg-1·K-1
teplota t stupeň celsia °C
termodynamická teplota T kelvin K
vlnová délka λ metr m
napětí U volt V
elektrický potenciál φ volt V
odpor R ohm Ω
vodivost G siemens S
rezistivita ρ ohm metr Ω·m
hustota proudu J ampér na čtverečný metr A·m-2
náboj Q coulomb C
plošná hustota náboje σ coulomb na čtverečný metr C·m-2
intenzita elektrického pole E volt na metr V·m-1
permitivita ε farad na metr F·m-1
kapacita C farad F
impedance Z ohm Ω
reaktance X ohm Ω
magnetická indukce B tesla T
magnetický indukční tok Φ weber Wb
intenzita magnetického pole H ampér na metr A·m-1
permeabilita µ henry na metr H·m-1
indukčnost L henry H
magnetomotorické napětí Fm ampér A
magnetický odpor Rm reciproký henry H-1
35
Řešené úlohy
Příklad 1:
Vyjádři v základních jednotkách:
3,6 km = 3,6 · 103 = 3,6 · 1 000 = 3 600 m
0,4 dm = 0,4 · 10-1 = 0,4 · 0,1 = 0,04 m
7 200 mm = 7 200 · 10-3 = 7 200 · 0,001 = 7,2 m
260 cm = 260 · 10-2 = 260 · 0,01 = 2,6 m
253 cm2 = 253 · 10-4 = 253 · 0,000 1 = 0,025 3 m2
44 dm2 = 44 · 10-2 = 44 · 0,01 = 0,44 m2
6 000 000 mm2 = 6 000 000 · 10-6 = 6 000 000 · 0,000 001 = 6 m2
25 cm3 = 25 · 10-6 = 25 · 0,000 001 = 0,000 025 m3
3,7 mm3 = 3,7 · 10-9 = 3,7 · 0,000 000 001 = 0,000 000 003 7 m3
28 l = 28 dm3 = 28 · 10-3 = 28 · 0,001 = 0,028 m3
5 681 391 mg = 5 681 391 · 10-6 = 5 681 391 · 0,000 001 = 5,681 391 kg
3 214 g = 3 214 · 10-3 = 3 214 · 0,001 = 3,214 kg
13 kW = 13 · 103 = 13 · 1 000 = 13 000 W
165 GJ = 165 · 109 J = 165 · 1 000 000 000 = 165 000 000 000 J
61 µF = 61 · 10-6 F = 61 · 0,000 001 = 0,000 061 F
39 mA = 39 · 10-3 A = 39 · 0,001 = 0,039 A
333-
m
kg 14500
m
kg
000001,0
001,014,5g·cm 14,5 =
⋅=
41 min 23 s = 41 · 60 + 23 = 2 460 + 23 = 2 483 s
1 h 26 min = 1 · 3600 + 26 · 60 = 3 600 + 1 560 = 5 160 s
1 kW·h = 1 000 · 3 600 W·s = 36 · 105 W·s = 36 · 105 J
15 kW·h = 15 · 1 000 · 3 600 W·s = 540 · 105 W·s = 540 · 105 J
1-1- m·s 106,3
36
s 600 3
m 000 136 km·h 36 ==
⋅=
36
Příklad 2:
Vyjádři v jednotkách se správnou předponou:
27 · 103 m = 27 km
0,061 · 10-1 m = 0,061 dm
3 596 · 10-3 m = 3 596 mm
320 · 10-2 m = 320 cm
2,65 · 10-4 m2 = 2,65 cm2
145 · 10-2 m2 = 145 dm2
1 200 000 · 10-6 m2 = 1 200 000 mm2
48 · 10-6 m3 = 48 cm3
3,7 · 10-9 m3 = 3,7 mm3
28 · 10-3 m3 = 28 dm3
13 · 103 W = 13 kW
165 · 109 J = 165 GJ
61 · 10-6 F = 61 µF
39 · 10-3 A = 39 mA
3.2 Úlohy na procvičení
3.1 Vyjádři v základních jednotkách:
a) 6,2 km; 0,026 km; 0,3 dm; 11,5 dm; 65 cm; 0,2 cm; 312 mm; 5 mm;
b) 14,568 dm3; 2 459 l; 2 689,258 ml; 25 689 235 cm3; 356 254 189 mm3;
21 569 378 cl;
c) 5g; 6 235 mg; 3 568 241 mg; 5 687 g; 1,25 t; 0,2568 t; 25 q; 3 560 q;
d) 25 min; 3 h; 41 min 23 s; 1 h 26 min; 2 h 35 min 27 s; 1h 30 min; 1 den;
e) 2,4 g·cm-3; 14,5 g·cm-3; 0,8 g·cm-3; 1,61 g·cm-3; 0,87 g·cm-3; 7,7 g·cm-3;
f) 18 km·h-1; 60 km·h-1; 90 km·h-1; 120 km·h-1; 72 km·h-1; 30 km·h-1; 38,2 km·h-1;
37
g) 0,3 MN; 124 kN; 0,96 kN; 2,5 kJ; 1.4 MJ; 5,3 GJ; 0,21 MPa; 23,5 kW; 1,2 kW;
h) 2 µC; 300 µC; 50 µF; 20 pF; 9,7 pF; 1,6 nF; 9,2 MΩ; 3,5 kΩ; 400 kΩ; 30 mA;
400 mA.
3.2 Vyjádři v jednotkách se správnou předponou:
a) 36 · 103 m; 0,015 · 10-1 m ; 1 548 · 10-3 m ; 620 · 10-2 m ;
b) 1,65 · 10-4 m2 ; 658 · 10-2 m2 ; 2 560 000 · 10-6 m2 ;
c) 29 · 10-6 m3; 5,4 · 10-9 m3; 49 · 10-3 m3;
d) 94 · 103 W; 368 · 109 J ; 629 · 1012 W;
e) 46 · 10-6 C ; 18 · 10-3 A ; 67 · 10-12 F.
38
4 Řešení rovnic
Porovnejme následující zápisy: zápis č. 1 5x·3x = 15x2
zápis č. 2 5x·3x = 60
zápis č. 3 5x + 3x = 40
Zápis číslo 1 udává, že výraz před rovnítkem se rovná výrazu za rovnítkem. Takovému
zápisu se říká rovnost. Rovnost platí pro každou hodnotu čísla x.
Zápisy číslo 2 a 3 se stanou rovností jen při určité velikosti čísla x (v zápise č. 2 x = 2,
v zápise č. 3 x = 5). Tento zápis nazýváme rovnice.
Při řešení rovnic provádíme různé úpravy, které vedou ke stále jednodušším rovnicím.
Přitom dbáme na to, aby po každé úpravě byla dodržena zásada rovnosti obou stran rovnice.
Úpravy, které nám tuto zásadu zaručí, nazýváme ekvivalentní úpravy. Jsou to tyto úpravy:
1. K oběma stranám rovnice můžeme přičíst stejné číslo nebo stejný matematický výraz.
2. Obě strany můžeme vynásobit týmž číslem nebo výrazem různým od nuly.
3. Obě strany rovnice můžeme zaměnit.
Pokud provádíme pouze ekvivalentní úpravy, není nutné provádět zkoušku. Většinou však
zkoušku provádíme, abychom ověřili správnost řešení.
Mimo tyto úpravy používáme ještě úpravy dovolené. Taková úprava není ekvivalentní,
např.: Obě strany rovnice můžeme umocnit týmž mocnitelem. Pokud použijeme takovou
úpravu rovnice je vždy nutné provádět zkoušku.
Dále v této kapitole popíšeme základní typy rovnic a způsoby jejich řešení.
4.1 Lineární rovnice
Lineární rovnice (rovnice 1. stupně) je každá rovnice, kterou lze pomocí ekvivalentních
úprav převést na tvar: neznámá. je ,0 , , kde ,0 xaRbabax ≠∈=+
Člen ax se nazývá lineární člen, a je koeficient lineárního členu, b je absolutní člen.
Každé číslo x, pro které se levá strana dané rovnice rovná nule, se nazývá kořen (řešení)
rovnice.
39
Při úpravách lineárních rovnic postupujeme takto:
1. Odstraníme závorky ve výrazech.
2. Vhodným vynásobením obou stran rovnice se zbavíme zlomků.
3. Rovnici upravíme na tvar ax = -b.
4. Obě strany rovnice dělíme číslem a ≠ 0.
Rovnice ax + b = 0 má tedy kořen 0 , ≠−= aa
bx .
Řešené úlohy
Řešte rovnice a proveďte zkoušku:
Příklad 1
( ) ( )
( )
7x3
21
3:213
61562
6615662
závorky eroznásobím nejprve 52332
=−−
=
−=−
−−=−+
−=++
−⋅=++⋅
x
- / x
xxx
) x- / (- xxx
xxx
Zkouška:
( )
( ) ( )
PL
P
L
=
=⋅=−⋅=−⋅⋅=
=+=+⋅=++⋅=
279351435723
2772071027372
40
Příklad 2
( ) ( )
( )
7
17
1
7-: / 17
1292643
12964 / 6241293
61221233
6 / 3
122
2
3
=
−−
=
−=−
−+=−−
−+−++=+−
++⋅=+⋅
⋅++
=+−
x
x
x
xxx
xx-xxx
xxx-
xxx
Zkouška:
PL
P
L
=
=+=+⋅=+
+
=++⋅
=
=+−
=+−
=+⋅−
=+
−
=+−
=
7
4
7
1
7
3
7
1
3
1
7
9
7
1
37
72
7
1
3
17
12
7
4
7
14102
7
102
2
1
7
202
27
211
22
37
1
Příklad 3
( )
( )
410
40
10- : / 4010
15252010
15-20- / 2520441501
6 / 6
25204
3
2
2
5
3
5
6
52
3
2
2
1
35
22
22
22
=−−
=
−=−
−−=−
−+−=+
⋅+−
−=+
−−=
+⋅
x
x
x
xx
xxxxx
xxxx
xxx
41
Zkouška:
( )
PL
P
L
=
=−
=−=−=−
−⋅
=−⋅
−⋅
=
=⋅=+
⋅=
+⋅=
6
55
6
964
6
9
3
32
6
3
3
32
6
58
3
162
6
)542(
3
42
6
55
6
115
6
385
2
1
3
45
2222
Příklad 4
( )[ ]
[ ]
510
483584
48/ 354884
351224
35624
−=
−−=−+−
−−−=++−
−=++−⋅
−=++⋅−⋅
xxxx
xxxxx
xxxx
xxxx
Jestliže při řešení rovnice vznikne nesprávná rovnost, daná rovnice nemá řešení.
Příklad 5
( ) ( )
00
49-1-64x4x-
49-4x / 146449
1232149
=
+=+
++−−=−−
−−⋅=+⋅−
xx
xx
Jestliže při řešení rovnice vznikne správná rovnost, dané rovnici vyhovuje každé číslo,
rovnice má nekonečně mnoho řešení.
42
4.2 Lineární rovnice s neznámou ve jmenovateli
Pokud se neznámá v rovnici vyskytuje ve jmenovateli, je nutné před započetím řešení
stanovit podmínku řešitelnosti. Víme, že „je zakázáno“ dělit nulou, proto musí být
jmenovatel, ve kterém se objevuje neznámá, různý od nuly. Pak řešíme rovnici tak, abychom
nejdříve odstranili zlomky. Najdeme společný jmenovatel (nejlépe nejmenší společný
násobek všech zlomků) a tím pak celou rovnici vynásobíme. Dále pokračujeme v úpravě
s využitím ekvivalentních úprav, až dostaneme řešení a
bx −= . Nyní je nutné zjistit, zda
vypočtená hodnota neznámé neodporuje stanoveným podmínkám. Pokud se tak stane, není
získaná hodnota neznámé kořenem dané rovnice.
Řešené úlohy
Řešte rovnice a proveďte zkoušku:
Příklad 6
( )
3
2- : / -62-
66- / 12-66-4
3 / 4
22
3
4
0 : podmínka 4
22
3
4
=
=
+=
⋅−=−
≠−=−
x
x
xxx
xxx
xxx
Zkouška:
PL
3
2
3
46
3
42P
3
2
3
2
3
4L
=
=−
=−=
=−=
43
Příklad 7
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
3
2
3-: / 23-
22-- / 222
221
2 :podm. 22 / 22
1
222
−=
=
++=−+−
+⋅=−⋅+
±≠−⋅+⋅−
=++
x
x
xxxxxxx
xxxx
xxxx
x
x
x
Zkouška:
PL
P
L
=
==
−⋅
−=−
−=
−−
−=
−−
−=
=⋅==+−
+−
=+−
+−=
4
1
24
6
8
3
3
2
3
83
2
3
623
2
23
23
2
4
1
4
3
3
1
3
43
1
3
623
32
23
2
13
2
4.3 Lineární rovnice s absolutní hodnotou
Obsahuje-li rovnice výraz v absolutní hodnotě, je nutné rozdělit množinu reálných čísel na
více intervalů. V každém intervalu pak řešíme rovnici samostatně, přepsanou bez absolutních
hodnot.
Při tom vycházíme z definice absolutní hodnoty výrazu. Platí: Je-li hodnota výrazu
kladná nebo rovna 0, rovná se jeho absolutní hodnota výrazu samému, je-li jeho hodnota
záporná, rovná se jeho absolutní hodnota výrazu opačnému.
Je-li v rovnici jeden výraz v absolutní hodnotě, řešíme rovnici na dvou intervalech, jsou-li
v rovnici dva výrazy v absolutní hodnotě, řešíme rovnici na třech intervalech atd.
44
Postup řešení:
1. Nejprve určíme tzv. „nulové body“. Nulový bod je taková hodnota neznámé, při jejímž
dosazení je výraz v absolutní hodnotě roven nule. Tento bod tvoří hranici mezi tím, kdy
je výraz v absolutní hodnotě kladný a kdy je záporný.
2. Určíme znaménka jednotlivých výrazů v absolutních hodnotách v daných intervalech.
3. Přepíšeme rovnici bez absolutních hodnot, tzn. odstraníme znaky absolutní hodnoty
podle definice absolutní hodnoty výrazu, pro každý získaný interval zvlášť.
4. V každém intervalu řešíme rovnici zvlášť. Zjistíme, zda vypočtená hodnota neznámé
leží v daném intervalu či nikoliv. Pokud ano, je vypočtená hodnota kořenem naší
rovnice, pokud ne, není tato hodnota kořenem naší rovnice.
5. Pokud získáme vyhovující řešení ve více intervalech. je výsledkem sjednocení všech
těchto řešení.
Řešené úlohy
Řešte rovnice
Příklad 8
4=x 0 bod nulový 1 0 =x
( ),0- ∞ ),0 ∞⟨
x - +
( )
-4
0,4
4
4
1 =⇒
∞−∈−
−=
=−
P
x
x
4 P
),04
4
2 =⇒
∞⟨∈
=x
-4;4 PP 21 =∪= P
45
Příklad 9
51 =−x 1 bod nulový 1 0 =x
( ),1- ∞ ),1 ∞⟨
x - 1 - +
( )
-4
1,4
-4x
4
51
1 =⇒
∞−∈−
=
=−
=+−
P
x
x
6 P
),16
6
51
2 =⇒
∞⟨∈
=
=−
x
x
-4;6 PP 21 =∪= P
Příklad 10
42 −=+ xx 2 bod nulový 1 0 −=x
( ),-2- ∞ ),2 ∞⟨−
x + 2 - +
( )
2,1
1
22
42
1 =⇒
−∞−∉
=
−=−
−=−−
P
x
x
xx
P
60
60
60
42
2 =⇒
−≠
−=
−=
−=+
x
xx
PP 21 =∪= P
46
Příklad 11
123 +−=+ xx -3,-1 body nulové 0 =x
( ),-3- ∞ )1,3 −⟨− ),1 +∞⟨−
x + 3 - + + x + 1 - - +
( )
( )
,-3- 3
3
62
123
1---23--
1 =
∞∉−
−=
=−
++=−−
=
P
x
x
xx
xx
( )
)1,3 P
00
123
1---23
2 −⟨−=
=
++=+
=+
xx
xx
( )
-1
),11-
1
22
1--23
1-23
3 =
+∞⟨−∈
−=
−=
=+
+=+
P
x
x
xx
xx
⟩−⟨−=∪∪= 1,3PP 321 PP
4.4 Lineární rovnice s parametrem
Lineární rovnice s parametrem je rovnice, ve které se kromě neznámé objevuje ještě další
proměnná. Tuto proměnnou nazýváme parametr. Parametr můžeme chápat jako písmeno,
které má význam čísla. Parametr může být libovolné reálné číslo. Řešit rovnici s parametrem
znamená určit kořeny dané rovnice v závislosti na konkrétních hodnotách parametru.
Nedílnou součástí řešení rovnic s parametrem je kromě vyjádření kořenů také diskuze o počtu
kořenů v závislosti na hodnotě parametru.
Řešené úlohy
Řešte rovnice a proveďte diskuzi vzhledem k parametru:
Příklad 12
( )
1
4
R parametr, je 41
+=
∈=+⋅
px
pppx
Diskuze: 1. p = -1 x ∈ (tzn. rovnice nemá řešení)
2. p ∈ R--1 1
4
+=
px
47
Příklad 13
( )( )( )
( )( )pp
px
pppx
ppx
pp xx-p
px-ppxppx
ppxp
px
+−
−=
−=+−
−=−
−−=
−−=+
⋅−=+
11
2
211
21
/
/ 1
2
2
22
Diskuze: 1. 0=p rovnice nemá smysl
2. 1=p 20 −= rovnice nemá řešení
3. 1−=p 20 = rovnice nemá řešení
4. 1-R ±∈p ( )( )pp
x+−
−=⇒
11
2
4.5 Kvadratická rovnice
Kvadratická rovnice je každá rovnice, kterou je možné pomocí ekvivalentních úprav
převést na tvar: ax2 + bx + c = 0, kde ax
2 nazýváme kvadratický člen, bx lineární člen,
c absolutní člen, a, b, c jsou reálná čísla, a ≠ 0, x je neznámá.
Kvadratická rovnice má různé tvary:
ax2 + bx = 0, kvadratická rovnice bez absolutního členu
ax2 + c = 0, ryze kvadratická rovnice (rovnice bez lineárního členu)
ax2 + +bx + c = 0 obecná kvadratická rovnice.
Z obecné kvadratické rovnice nejprve vypočítáme diskriminant D = b2 – 4ac.
Je-li D > 0, pak výsledkem jsou kořeny x1, x2 a
Dbx
22,1
±−=
je-li D = 0, pak výsledkem je jeden dvojnásobný kořen x1,2. a
bx
22,1
−=
je-li D < 0, pak rovnice nemá na množině reálných čísel řešení.
48
Má-li kvadratická rovnice tvar kvadratické rovnice bez absolutního členu nebo tvar ryze
kvadratické rovnice, není nutné diskriminant počítat a rovnice lze řešit rozkladem na součin
dvou dvojčlenů, buď pomocí vytýkání nebo s využitím vzorce ( ) ( )bababa +⋅−=− 22 .
Řešené úlohy
Řešte rovnice:
Příklad 14
( )
5 0
05 0
05
05
21
2
==
=−∨=
=−⋅
=−
xx
xx
xx
xx
Rovnice má dva kořeny. Při řešení kvadratické rovnice bez absolutního členu, je vždy
jeden kořen roven 0.
Příklad 15
( )
7 0
07 03
073
0213
21
2
−==
=+∨=
=+⋅
=+
xx
xx
xx
xx
Rovnice má dva kořeny.
49
Příklad 16
0252 =−x
Tento typ rovnice můžeme řešit dvojím způsobem.
( ) ( )
5 5
05 05
055
025
21
2
−==
=+∨=−
=+⋅−
=−
xx
xx
xx
x
Jiný způsob řešení:
5
25
25
025
2,1
2
2
±=
±=
=
=−
x
x
x
x
Při použití kteréhokoliv způsobu řešení musíme dojít ke stejnému výsledku. Takovýto typ
rovnice má vždy dva kořeny. Tyto kořeny jsou čísla opačná.
Příklad 17
( )
( )
22
15
32
15
2
15
12
15
124256145
065
2
1
2,1
2
2
=−
=
=+
=
±=
⋅±−−
=
=−=⋅⋅−−=
=+−
x
x
x
D
xx
Tato rovnice má dva kořeny x1 = 3 a x2 = 2.
50
Příklad 18
( )
( )4
2
8
12
8
0646416148
0168
816
2,1
2
2
2
==⋅−−
=
=−=⋅⋅−−=
=+−
=+
x
D
xx
xx
Tato rovnice má jeden tzv. dvojnásobný kořen.
Tento typ úplné kvadratické rovnice, ve které je diskriminant roven nule, lze řešit také
rozkladem na součin s využitím vzorce pro druhou mocninu dvojčlenu:
( ) 222 2 bababa +±=± .
( )
( ) ( )
4
044-x
04
0168
816
2
2
2
=
=−⋅
=−
=+−
=+
x
x
x
xx
xx
Příklad 19
124160368546
08652
2
−=−=⋅⋅−=
=++
D
xx
Diskriminant D < 0 a proto rovnice nemá řešení v množině reálných čísel.
Některé rovnice s neznámou ve jmenovateli mohou vést na řešení kvadratické rovnice.
U takové rovnice musíme nejprve stanovit podmínky řešitelnosti a potom rovnici pomocí
ekvivalentních úprav převést na tvar ax2 + +bx + c = 0. Dále řešíme rovnici pomocí výpočtu
diskriminantu a vzorce a
Dbx
22,1
±−= .
51
Příklad 20
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
92
18
2
810
12
2
2
810
2
810
12
6410
643610091410
0910
x15566220
1556622x-x
1553-3xx-x2x-x
351321
13podmínky 13x / 1
52
3
2
1
2,1
2
2
22
22
22
−=−
=−−
=
−=−
=+−
=
±−=
⋅±−
=
=−=⋅⋅−=
=++
+−++−+−=
++−+−=
+++⋅=
+⋅+−⋅+⋅=−⋅
≠∧−≠−⋅+⋅−
+=+
x
x
x
D
xx
xxxxx
xxxx
x
xxxxx
xxxxx
x
Oba kořeny splňují podmínky řešitelnosti, a proto má rovnice dva kořeny x1 =-1, x2 = -9
Příklad 21
( ) ( )
034
02232
2232
21231
1podmínky 1
22
1
3
2
2
2
=+−
=+−+−+−
++−=+−
++−⋅=+−⋅
≠−+
+=−
+
xx
xxxxx
xxxxx
xxxx
xx
x
xx
52
( )
( )
12
24
32
24
2
24
12
44
412163144
2
1
2,1
2
=−
=
=+
=
±=
⋅±−−
=
=−=⋅⋅−−=
x
x
x
D
Kořen x2 = 1 odporuje podmínce, a proto nemůže být řešením dané rovnice, daná
kvadratická rovnice má pouze jeden kořen x = 3.
4.6 Úlohy na procvičení
4.1 Řešte rovnice v množině R a proveďte zkoušku:
a) xxx 48286 −+=+
b) ( ) ( ) ( )343332 +−=+−+ xxx
c) 7,06,15,15,06,21,1 −+=−+ xxx
d) 4
18
5
3 −−=
+ xx
4.2 Řešte rovnice v množině R, proveďte zkoušku a stanovte podmínky řešitelnosti:
a) 2
1
3
21=−
xx
b) 2
2
1
1
−+
=+−
x
x
x
x
c) 13
1
4
1
13
32
+−
+=+−
x
x
x
x
d) 162
6
3
3
2
1−
+=
+−
xx
53
4.3 Řešte rovnice v množině R:
a) 35 −−= xx
b) xx 324 −=−
c) 2222 +−=−− xxx
d) 22 −=− xx
4.4 Řešte rovnice a proveďte diskuzi vzhledem k parametru:
a) ( ) 42 2 −=− ppx parametr Rp ∈
b) ( ) ( )12212 −−=− ppx parametr Rp ∈
c) xppx +=+ 144 parametr Rp ∈
d) 1
22
−=
−xt
t parametr Rt ∈
4.5 Řešte rovnice v množině R a proveďte zkoušku:
a) 1
11
1 +−=
+−
xx
xx
b) ( )( ) ( )( )6554104332 +−−=−+ xxxx
c) 216152 =+ xx
d) 5
14
3
3
−−
−=−+
x
x
x
x
54
5 Řešení soustav rovnic
V praxi často narážíme na příklady, ve kterých neřešíme jednu rovnici, ale řešíme zároveň
dvě či více rovnic se stejnými neznámými. Při řešení soustav rovnic používáme již známé
ekvivalentní úpravy. Způsoby řešení takových soustav rovnic si ukážeme v této kapitole.
5.1 Soustava dvou lineárních rovnic o dvou neznámých
Soustavou dvou lineárních rovnic o dvou neznámých rozumíme dvě rovnice se společnými
neznámými (např. x, y). Řešením takové soustavy je buď jediná uspořádaná dvojice čísel
[x;y], nekonečně mnoho uspořádaných dvojic čísel [x;y], nebo nemá soustava žádné řešení.
Soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých můžeme řešit několika různými
metodami. Pomocí ekvivalentních úprav nejprve upravíme obě rovnice na tvar, ve kterém
jsou neznámé na levé straně rovnic a na pravé straně rovnic je reálné číslo, pak teprve
vybereme vhodnou metodu řešení.
5.1.1 Metoda dosazovací (substituční)
V této metodě vyjádříme z jedné rovnice jednu z neznámých a tento výraz pak dosadíme
do druhé rovnice. Tím vznikne lineární rovnice s jednou neznámou, kterou řešíme pomocí
ekvivalentních úprav. Získanou hodnotu jedné neznámé dosadíme do některé z rovnic
soustavy a dopočítáme hodnotu druhé neznámé.
Řešené úlohy
Příklad 1
Řešte soustavu rovnic v R:
5
12
=+
=−
yx
yx
Z druhé rovnice vyjádříme x: yx −= 5
Dosadíme do první rovnice:
55
( )
( )
2
35
3 3
9
3-: / 93
10- / 1210
152
=
−=
=−−
=
−=−
=−−
=−−⋅
x
x
yy
y
yy
yy
Řešením dané soustavy je uspořádaná dvojice [2;3].
Zkoušku provádíme dosazením vypočtených hodnot do obou rovnic.
11
1
1
1
134322
PL
P
L
=
=
=−=−⋅=
22
2
2
5
532
PL
P
L
=
=
=+=
Příklad 2
Řešte soustavu rovnic v R:
yx
yx
1335
624
=−
=+
Z první rovnice vyjádříme y: x y
xy
232
46
−=
−=
Dosadíme do druhé rovnice:
( )
1 22-3y
2 11
22
2211
13695
132335
−=⋅=
==
=
=+−
=−⋅−
y
xx
x
xx
xx
Řešením dané soustavy je uspořádaná dvojice [2;-1].
Zkouška:
( )
11
1
1
6
6281224
PL
P
L
=
=
=−=−⋅+⋅=
( )
22
2
2
13
133101325
PL
P
L
=
=
=+=−⋅−⋅=
56
Příklad 3
Řešte soustavu rovnic v R:
22
12
−=+
=+
yx
yx
Z první rovnice vyjádříme x: yx 22 −=
Dosadíme do druhé rovnice:
22
22
2222
−≠
−=
−=+− yy
Dospěli jsme k nepravdivému výroku, a proto daná soustava rovnic nemá řešení.
Příklad 4
Řešte soustavu rovnic v R:
( ) ( )xyyx
yx
−⋅=+−⋅
=−
132
6210
2:/
xyyx
yx
3322
35
−=+−
=−
x3/−
35
35
=−
=−
yx
yx
Z jedné rovnice vyjádříme y: 35x-y =
Dosadíme do druhé rovnice:
( )
33
3355
3355
=
=+−
=−−
xx
xx
Dospěli jsme k pravdivému výroku, a proto má daná soustava nekonečně mnoho řešení.
57
5.1.2 Metoda sčítací (adiční)
Princip sčítací metody spočívá v tom, že vhodně vynásobíme jednu nebo obě rovnice (čísly
různými od nuly) tak, aby po sečtení rovnic zmizela jedna z proměnných a z obou rovnic
vznikla jedna lineární rovnice s jednou neznámou, kterou řešíme pomocí ekvivalentních
úprav. Získanou hodnotu jedné neznámé dosadíme do některé z rovnic soustavy a dopočítáme
hodnou druhé neznámé.
Řešené úlohy
Příklad 5
Řešte soustavu rovnic v R:
5
12
=+
=−
yx
yx
Nyní spolu obě rovnice sečteme a získáme jednu lineární rovnici:
2
3: / 63
=
=
x
x
Výsledek dosadíme např. do druhé rovnice a vypočteme y.
3
2- / 52
=
=+
y
y
Řešením dané soustavy je uspořádaná dvojice [2;3].
Zkouška:
11
1
1
1
134322
PL
P
L
=
=
=−=−⋅=
22
2
2
5
532
PL
P
L
=
=
=+=
Příklad 6
Řešte soustavu rovnic v R:
1335
624
=−
=+
yx
yx
2/
3/
⋅
⋅
26610
18612
=−
=+
yx
yx
58
Nyní spolu obě rovnice sečteme a získáme jednu lineární rovnici:
2
22: /4422
=
=
x
x
Výsledek dosadíme např. do druhé rovnice a vypočteme y.
( )2-: /22
862
6224
−=
−=
=+⋅
y
y
y
1−=y
Řešením dané soustavy je uspořádaná dvojice [2;-1].
Zkouška:
( )
11
1
1
6
6281224
PL
P
L
=
=
=−=−⋅+⋅=
( )
22
2
2
13
133101325
PL
P
L
=
=
=+=−⋅−⋅=
Příklad 7
Řešte soustavu rovnic v R:
22
12
−=+
=+
yx
yx
( )2/ −⋅
22
22
−=+
−=−−
yx
yx
Nyní spolu obě rovnice sečteme a získáme výraz: 40 −=
Dospěli jsme k nepravdivému výroku, a proto daná soustava rovnic nemá řešení.
Příklad 8
Řešte soustavu rovnic v R:
( ) ( )xyyx
yx
−⋅=+−⋅
=−
132
6210
2:/
xyyx
yx
3322
35
−=+−
=−
x3/−
59
35
35
=−
=−
yx
yx
( )1/ −⋅
35
35
=−
−=+−
yx
yx
Nyní spolu obě rovnice sečteme a získáme výraz: 00 = .
Dospěli jsme k pravdivému výroku, a proto má daná soustava nekonečně mnoho řešení.
5.1.3 Metoda srovnávací (komparační)
Při použití této metody vyjádříme z obou rovnic stejnou neznámou. Protože levé strany
rovnic jsou si rovny, musí si být rovny i pravé strany. Tak opět získáme lineární rovnici
s jednou neznámou. Tuto rovnici vyřešíme, tím získáme hodnotu jedné neznámé a dále
postupujeme stejně jako při použití dosazovací nebo sčítací metody. Získanou hodnotu jedné
neznámé dosadíme do některé z rovnic soustavy a dopočítáme hodnou druhé neznámé.
Řešené úlohy
Příklad 9
Řešte soustavu rovnic v R:
5
12
=+
=−
yx
yx
Z obou rovnic vyjádříme x:
yx
yx
−=⇒
+=⇒
5 2
1
Protože se rovnají levé strany rovni, musí se rovnat i pravé strany:
( )
93
2101
521
52
1
=
−=+
−⋅=+
−=+
y
yy
yy
yy
3:/
2/⋅
2
35
3
=
−=
=
x
x
y
Řešením dané soustavy je uspořádaná dvojice [2;3].
60
Zkouška:
11
1
1
1
134322
PL
P
L
=
=
=−=−⋅=
22
2
2
5
532
PL
P
L
=
=
=+=
Příklad 10
Řešte soustavu rovnic v R:
1335
624
=−
=+
yx
yx
Z obou rovnic vyjádříme y:
3
1352
46
−=⇒
−=⇒
xy
xy
Protože se rovnají levé strany rovnice, musí se rovnat i pravé strany:
( ) ( )
( )22-:/ 4422
1810 26101218
1352463
6 / 3
135
2
46
−=−
−=−
−⋅=−⋅
⋅−
=−
x
x-/-xx
xx
xx
12
22
246
2
−=
−=
⋅−=
=
y
y
y
x
Řešením dané soustavy je uspořádaná dvojice [2;-1].
Zkouška:
( )
11
1
1
6
6281224
PL
P
L
=
=
=−=−⋅+⋅=
( )
22
2
2
13
133101325
PL
P
L
=
=
=+=−⋅−⋅=
5.1.4 Metoda grafická
Při grafickém řešení soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých vyjádříme z
rovnic y, tzn., že obě rovnice vyjádříme jako
funkcí do jedné kartézské soustavy souřadnic. Zjistíme souřadnice společný
grafů, tyto souřadnice jsou řešením dané soustavy.
Řešené úlohy
Příklad 11
Řešte soustavu rovnic v R:
5
12
=+
=−
yx
yx Z obou rovnic vyjádříme
f1: x 0 0,5
y -1 0
61
Při grafickém řešení soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých vyjádříme z
, tzn., že obě rovnice vyjádříme jako předpis lineární funkce. Sestrojíme grafy těchto
funkcí do jedné kartézské soustavy souřadnic. Zjistíme souřadnice společný
grafů, tyto souřadnice jsou řešením dané soustavy.
Řešte soustavu rovnic v R:
obou rovnic vyjádříme y:5:
12:
2
1
+−=⇒
−=⇒
xyf
xyf
f2: x 0 5
y 5 0
Při grafickém řešení soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých vyjádříme z obou
lineární funkce. Sestrojíme grafy těchto
funkcí do jedné kartézské soustavy souřadnic. Zjistíme souřadnice společných bodů obou
62
Řešením dané soustavy je uspořádaná dvojice [2;3].
Zkouška:
11
1
1
1
134322
PL
P
L
=
=
=−=−⋅=
22
2
2
5
532
PL
P
L
=
=
=+=
Příklad 12
Řešte soustavu rovnic v R:
1335
624
=−
=+
yx
yx Z obou rovnic vyjádříme
f1: x 0 1,5
y 3 0
Řešením dané soustavy je uspořádaná dvojice [2;
Zkouška:
(
11
1
1
6
1224
PL
P
L
=
=
−⋅+⋅=
63
obou rovnic vyjádříme y:
3
13
3
5:
32:
2
1
−=⇒
+−=⇒
xy f
xyf
f2: x 0 5
y
3
13
0
Řešením dané soustavy je uspořádaná dvojice [2;-1].
) 6281 =−=
(
22
2
2
13
325
PL
P
L
=
=
−⋅−⋅=
3
13
3
) 133101 =+=−
Příklad 13
Řešte soustavu rovnic v R:
22
12
−=+
=+
yx
yx
Z obou rovnic vyjádříme
f1: x 0 2
y 1 0
Přímky, které jsou grafem funkcí
společný bod a proto soustava rovnic nemá řešení.
64
obou rovnic vyjádříme y:
12
:
12
:
2
1
−−=⇒
+−=⇒
xyf
xyf
f2: x 0 -2
y -1 0
Přímky, které jsou grafem funkcí f1 a f2 jsou navzájem rovnoběžné různé, nemají tedy žádný
společný bod a proto soustava rovnic nemá řešení.
jsou navzájem rovnoběžné různé, nemají tedy žádný
Příklad 14
Řešte soustavu rovnic v R:
( ) ( )xyyx
yx
−⋅=+−⋅
=−
132
6210
/
35
35
=−
=−⇒
yx
yx Z
f1: x 0
5
3
y -3 0
Přímky, které jsou grafem funkcí
společné, a proto soustava rovnic má nekonečně mnoho řešení.
65
2:/
xyyx
yx
3322
35
−=+−
=−⇒
x3/−
Z obou rovnic vyjádříme y::
:
2
1
=⇒
=⇒
yf
yf
f2: x 0
5
3
y -3 0
Přímky, které jsou grafem funkcí f1 a f2, spolu navzájem splývají, mají tedy všechny body
a proto soustava rovnic má nekonečně mnoho řešení.
35
35
−=
−
x
x
spolu navzájem splývají, mají tedy všechny body
66
5.2 Soustava tří lineárních rovnic o třech neznámých
Při řešení soustav tří rovnic o třech neznámých nejčastěji používáme metodu dosazovací.
Z jedné z rovnic vyjádříme jednu neznámou, tu dosadíme do zbývajících dvou rovnic. Takto
vznikne soustava dvou rovnic o dvou neznámých, které řešíme vhodně zvolenou metodou.
Po vyřešení soustavy dvou rovnic o dvou neznámých dosadíme vypočtené hodnoty do některé
z rovnic (nejvhodnější je dosadit do rovnice, ze které jsme na počátku výpočtu vyjadřovali
jednu neznámou) a dopočítáme poslední neznámou. Soustava tří rovnic o třech neznámých
má (stejně jako soustava dvou rovnic o dvou neznámých) jedno řešení, nebo nekonečně
mnoho řešení, nebo nemá žádné řešení.
Řešené úlohy
Příklad 15
Řešte soustavu rovnic v R:
7523
662
42
−=+−
=−+−
=++
zyx
zyx
zyx
Z 1. rovnice vyjádříme x a dosadíme do zbývajících dvou rovnic: zyx 24 −−=
( )( ) 752243
66242
−=+−−−⋅
=−+−−⋅−
zyzy
zyzy
7526312
66428
−=+−−−
=−+++−
zyzy
zyzy
1275
8623
−−=−−
+=−
zy
zy
195
1423
−=−−
=−
zy
zy ( ) 2-/
⋅
38210
1423
=+
=−
zy
zy
Obě rovnice spolu sečteme a získáme výraz:
13: /5213 =y
4=y
67
Vypočtenou hodnotu y dosadíme do jedné z posledních dvou rovnic a vypočteme z:
( )2-: / 22
12142
12- / 14243
=−
−=−
=−⋅
z
z
z
1−=z
Vypočtené hodnoty y a z dosadíme do rovnice vyjadřující x a vypočteme hodnotu x:
( )2
1-2-4-4
24
=
⋅=
−−=
x
x
zyx
Řešením dané soustavy je uspořádaná trojice čísel [2;4;-1].
Zkouška:
( )
11
1
1
1
4
4
1242
PL
P
L
L
=
=
=
−⋅++=
( )
22
2
2
2
6
6
16422
PL
P
L
L
=
=
=
−⋅−+⋅−=
( )
33
3
3
3
7
7
154223
PL
P
L
L
=
−=
−=
−⋅+⋅−⋅=
Příklad 16
Řešte soustavu rovnic v R:
102
023
203
−=+−
=+−
=+
zx
zy
yx
Z 1. rovnice vyjádříme x a dosadíme do třetí rovnice: yx 320 −=
( ) 103202
023
−=+−⋅−
=+−
zy
zy
10640
023
−=++−
=+−
zy
zy
40/+
306
023
=+
=+−
zy
zy
2/⋅
306
046
=+
=+−
zy
zy
68
Obě rovnice spolu sečteme a získáme výraz:
305 =z 5:/
6=z
Vypočtenou hodnotu z dosadíme do jedné z posledních dvou rovnic a vypočteme y:
6: / 246
6- / 3066
=
=+
y
y
4=y
Vypočtenou hodnotu y dosadíme do první rovnice a vypočteme x:
8
4320
320
=
⋅−=
−=
x
x
yx
Řešením dané soustavy je uspořádaná trojice čísel [8;4;6].
Zkouška:
11
1
1
20
20438
PL
P
L
=
=
=⋅+=
22
2
2
0
06243
PL
P
L
=
=
=⋅+⋅−=
33
3
3
10
10682
PL
P
L
=
−=
−=+⋅−=
Příklad 17
Řešte soustavu rovnic v R:
34
832
5
=+−
=+−
=+
zyx
zyx
yx
Z 1. rovnice vyjádříme x a dosadíme do třetí rovnice: yx −= 5
( )( ) 345
8352
=+−−
=+−−⋅
zyy
zyy
345
83210
=+−−
=+−−
zyy
zyy
355
8510
=+−
=+−
zy
zy
5/
10/
−
−
25
25
−=+−
−=+−
zy
zy
( )1/ −⋅
69
25
25
−=+−
=−
zy
zy
Obě rovnice spolu sečteme a získáme výraz: 00 =
Dospěli jsme k pravdivému výroku, a proto má daná soustava rovnic nekonečně mnoho
řešení.
Příklad 18
Řešte soustavu rovnic v R:
1632
1022
5
=++−
=++−
=+−
zyx
zyx
zyx
Z 1. rovnice vyjádříme x a dosadíme do třetí rovnice: zyx −+= 5
( )( ) 16352
10225
=++−+⋅−
=++−+−
zyzy
zyzy
1632210
10225
=+++−−
=+++−−
zyzy
zyzy
16310
1035
=++−
=++−
zy
zy
10/
5/
+
+
263
153
=+
=+
zy
zy
( )1/ −⋅
263
153
=+
−=−−
zy
zy
Obě rovnice spolu sečteme a získáme výraz: 110 =
Dospěli jsme k nepravdivému výroku, a proto daná soustava rovnic nemá řešení.
70
5.3 Soustava lineární a kvadratické rovnice
Při řešení soustavy jedné lineární a jedné kvadratické rovnice používáme metodu
dosazovací. Z lineární rovnice vyjádříme vhodně jednu neznámou a tu dosadíme
do kvadratické rovnice. Kvadratickou rovnici řešíme obvyklým způsobem, jak jsme si
vysvětlili dříve. Po vyřešení kvadratické rovnice a výpočtu jedné neznámé dosadíme
vypočtenou hodnotu zpět do lineární rovnice a dopočítáme hodnotu druhé neznámé. Soustava
lineární a kvadratické rovnice může mít dvě řešení, jedno řešení, nekonečně mnoho řešení
nebo nemá žádné řešení.
Řešené úlohy
Příklad 19
Řešte soustavu rovnic v R:
33
122
=+
=+
yx
yx
Z druhé rovnice vyjádříme x a dosadíme do druhé rovnice: yx 33 −=
( )
0495
2:/ 081810
19189
133
2
2
22
22
=+−
=+−
=++−
=+−
yy
yy
yyy
yy
( )
( )
5
4
10
19
110
19
10
19
52
19
180814549
2
1
2,1
2
=−
=
=+
=
±=
⋅±−−
=
=−=⋅⋅−−=
y
y
y
D
Dosazením vypočtených hodnot y1 a y2 do lineární rovnice vypočítáme hodnoty x1 a x2.
71
5
3
5
123
5
433
0
133
2
2
1
1
=
−=⋅−=
=
⋅−=
x
x
x
x
Řešením této soustavy rovnic jsou dvě uspořádané dvojice čísel [ ]
5
4;
5
3 ,1;0 .
Zkouška:
2,22,2
1,2
22
1,2
2,12,1
1,122
1,1
35
15
5
12
5
3
5
43
5
3
125
25
25
16
25
9
5
4
5
3
3130
11010
PL
PL
PL
PL
===+=⋅+=
===+=
+
=
==⋅+=
==+=+=
Příklad 20
Řešte soustavu rovnic v R:
12
32 22
=+
−=+−
yx
yx
Z druhé rovnice vyjádříme y a dosadíme do první rovnice: xy 21−=
( )
( )
0587
3882
34412
3212
2
22
22
22
=+−
−=+−+−
−=+−⋅+−
−=−⋅+−
xx
xxx
xxx
xx
( ) 76140645748 2 −=−=⋅⋅−−=D
72
Diskriminant této kvadratické rovnice je záporný, takže tato rovnice nemá řešení v R.
Z toho vyplývá, že nemá řešení ani daná soustava rovnic.
Příklad 21
Řešte soustavu rovnic v R:
012
012 2
=++−
=−−+−
yx
yxxyy
Z druhé rovnice vyjádříme x a dosadíme do první rovnice: 12 += yx
( )
00
011222
0112122
22
2
=
=−−++−−
=−−++⋅+−
yyyyy
yyyyy
Dospěli jsme k pravdivému výroku, a proto má daná soustava rovnic nekonečně mnoho
řešení.
Příklad 22
Řešte soustavu rovnic v R:
1
2
2162 2
−=−
−=−
yx
yx
Z druhé rovnice vyjádříme x a dosadíme do první rovnice: 1−= yx
( )
( )
025204
02112484
2112124
2 / 2
21612
2
2
2
2
=+−
=+−+−
−=−+−⋅
⋅−=−−⋅
yy
yyy
yyy
yy
( ) 0400400254420 2 =−=⋅⋅−−=D
Diskriminant je roven nule, a proto má kvadratické rovnice jediný kořen:
73
( )2
5
8
20
42
20==
⋅−−
=y
Dosazením vypočtené hodnoty y do lineární rovnice vypočítáme hodnotu x.
2
3
12
5
1
=
−=
−=
x
x
yx
Řešením této soustavy rovnic je uspořádaná dvojice čísel
2
5;
2
3.
Zkouška:
22
1
2
1
12
2
2
5
2
3
2
21
4
42
4
6018
2
30
4
18
2
56
2
32
PL
PL
=−=−=−=
=−=−=−
=−=⋅−
⋅=
5.4 Úlohy na procvičení
5.1 Řešte dosazovací metodou soustavy rovnic a proveďte zkoušku:
12
4 a)
=+
=+−
yx
yx
2463
52 b)
−=+−
=−
yx
yx
26
63 c)
=+
=+−
yx
yx
5.2 Řešte sčítací metodou soustavy rovnic a proveďte zkoušku:
2
134
1042 a)
−=+
=+−
yx
yx
1545
347 b)
=+
=+
yx
yx
74
5
1113
2014 c)
=−
=−
yx
yx
5.3 Řešte soustavy rovnic a proveďte zkoušku:
01745
0173 a)
=−−
=−−
yx
yx
22,01,0
102 b)
=+
=+
yx
yx
4
1
2
1
5
1
5,00,4 c)
=−
=−
yx
yx
13
23
2
34
13
53
5
23 d)
+=−
−−
+=−
−−
yyxxy
xyxxy
74
853
12
53
3
1 e)
−+
=
−−
=−
x
y
y
x
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1835
65123275 f)
+⋅+=+⋅+
−⋅+⋅=−⋅+
yxyx
yxyx
5.4 Řešte soustavy tří rovnic o třech neznámých a proveďte zkoušku:
12
255
1334 a)
=+−−
=++
=+−−
zyx
zyx
zyx
423
122
3 b)
−=−+−
=++−
=−+
zyx
zyx
zyx
11
13
18 c)
=+
=+
=+
zy
zx
yx
75
132
3233
2 d)
−=−−−
=++
=+−
zyx
zyx
zyx
5243
567
0324 e)
=++−
−=+−
=+−
zyx
zyx
zyx
5243
1067
0324 f)
=++−
=+−
=+−
zyx
zyx
zyx
5.5 Řešte soustavu lineární a kvadratické rovnice a proveďte zkoušku:
032
122
3 a) 22
=−
=−
yx
yx
012
044 b) 22
=−+
=−−
yx
xyx
032
094 c) 22
=−
=−
yx
yx
yx
xxy
2
03y5 d) 2
=
=+−
76
6 Řešení úloh na procvičení
1.1 Určete podmínky, za kterých mají smysl výrazy:
a) 101 −≠⇒≠+ zz
b) 2042 ≥⇒≥− xx
c) 3+y >0 x⇒ >-3
d) 303 ≥⇒≥− bb
1.2 Nahraďte slovní popis matematickým zápisem:
a) ( )ba +⋅2
b) ( )2ba −
c) 22 yx −
d) ( )2222
2
1
2nm
nm+⋅=
+
e) ba +
1.3 Zjednodušte výrazy:
a) m22 −
b) abbaba 2222 −+
c) r11
d) 24a
e) 522 2 −+− caa
f) x4
g) yx 66 +
h) 10825 −− yx
77
1.4 Vynásobte:
a) aba +− 23
b) 33 22 abba +
c) 93 −z
d) cabac 4128 +−
e) 51276 23 −+− xxx
f) 2323 −++− aaa
g) 642 2 −− xx
h) 33 ba +
1.5 Umocněte podle vzorců:
a) 244 aa +−
b) 22 93025 baba ++
c) 169 2 +− xx
d) 22 416 ba −
e) 824248 23 +++ xxx
f) 3223 8126 babbaa −+−
1.6 Rozložte na součin pomocí vytýkání:
a) ( )ba 22 +⋅
b) ( )ba 32 −⋅
c) ( )xyx 25 2 +⋅
d) ( )32 4235 yyxx −+⋅
e) ( )623 2 −+⋅ bbab
78
1.7 Postupným vytýkáním rozložte na součin:
a) ( ) ( )sra +⋅−5
b) ( ) ( )bayx +⋅−2
c) ( ) ( )yxyx +⋅− 22
d) ( ) ( )113 +⋅+ xx
e) ( ) ( )yxyx −⋅+ 22
1.8 Pomocí vzorců rozložte na součin:
a) ( )27 y−
b) ( )212 +a
c) ( ) ( )231 −⋅− x
d) ( ) ( )44 +⋅− yy
e) ( ) ( )abab 2323 +⋅−
f) ( )332 bx +
g) ( )34 r−
h) ( )( )246923 bbb +−+
i) ( )( )22 46923 bababa ++−
1.9 Kombinované příklady na rozklad na součin.
a) ( ) ( )1414 −⋅−⋅ xxx
b) ( )( )( )( )12... 22 −++− abababa
c) ( ) ( )aa 34345 −⋅−⋅
d) ( ) ( )yxyxab 5454 +⋅+⋅
79
1.10 Určete, kdy má výraz smysl:
a) 0≠x
b) 2≠x
c) 2
3−≠x
d) 1±≠x
1.11 Zkraťte lomené výrazy:
a) 0;0;2
5≠≠ yx
x
y
b) 4;0;2
4−≠≠
−ss
s
s
c) 0;; ≠−≠+−
cbaba
ba
d) babb
a≠≠− ;0;
1.12 Rozšiřte lomené výrazy tak, aby měli stejné jmenovatele:
a)xyxy
x
3
3,
3
2 2
b) 1
1,
1
222
2
2 −
−
−
−
x
x
x
x
c) 7
,7
3
−−
− y
y
y
d) bb
b
bb
b
+++
22
2,
55
1.13 Sečtěte nebo odečtěte lomené výrazy a určete podmínky, kdy výraz dává smysl:
a) a
a
2
12 +; 0≠a
b) ab
ba 22 −; 0;0 ≠≠ ba
80
c) xy
xyyx ++ 22
; 0;0 ≠≠ yx
d) aa
a
22
32 −+
; 1;0 ≠≠ aa
1.14 Vynásobte lomené výrazy:
a) 0;0;;2
3≠≠≠ baba
b
b) 0;2 ≠xxy
c) 2;1 ±≠− x
d) 1;0;3 ≠≠= xxx
e) yxyxx 5;0;0; ≠≠≠
1.15 Vydělte lomené výrazy:
a) 0;6 3 ≠bb
b) 0;0;3
4
≠≠ yxy
x
c) 2;2
1;0;
24
63≠≠≠
−−
rrrr
r
d) ba ±≠;9
5
e) ( )
dccc
dc±≠≠
+⋅;0;
2
1.16 Upravte složené lomené výrazy:
a) b
a; 0;0 ≠≠ ba
b) 2yyx + ; 0;0 ≠≠ yx
c) b
a2; 0;0 ≠≠ ba
d) baaba
ba≠≠
−+
;0;
81
e) 2
3;
32
23 yx
yx
yx≠
−+
2.1 Těleso bylo vrženo rychlostí 100 m·s-1.
2.2 Teplota mc
mctQt 1
2 +
= .
2.3 Poloměr kruhového průřezu π
ρ
R
lr = .
2.4 Hmotnost 2
k2
v
Em = .
2.5 Těleso padalo z výšky 5 m.
2.6 Výška 2π
3
r
Vv = .
2.7 Výška válce r
rSv
π2
π2 2−= .
2.8 Kapacita C2 = 9,8 F.
2.9 Velikost náboje 2
2
1kQ
FrQ = .
2.10 Velikost vnitřního odporu zdroje I
UUR
−= e
i .
3.1 Vyjádři v základních jednotkách:
a) 6 200 m; 26 m; 0,03 m; 1,15 m; 0,65 m; 0,002 m; 0,312 m; 0,005m;
b) 0,014568 m3; 2,459 m3; 0,002689258 m3; 25,689235m3; 0,356254189 m3;
215,69378 m3;
c) 0,005 kg; 0,006 235 kg; 3,568 241 kg; 5,687 kg; 1 250 kg; 256,8 kg; 2 500 kg;
356 000 kg;
d) 1500 s; 10 800 s; 2 483 s; 5 160 s; 9 327 s; 5 400 s; 86 400 s;
e) 2 400 kg·m-3; 14 500 kg·m-3; 800 kg·m-3; 1 610 kg·m-3; 870 kg·m-3; 7 700 kg·m-3;
82
f) 5 m·s-1; 16,66 m·s-1; 25 m·s-1; 33,33 m·s-1; 20 m·s-1; 8,33 m·s-1; 10,61 m·s-1;
g) 3 000 000 N; 124 000 N; 960 N; 2 500 J; 1 400 000 J; 5 300 000 000 J; 210 000 Pa;
23 500 W; 1 200 W;
h) 0,000 002 C; 0,000 3 C; 0,000 005 F; 0,000 000 000 02 F; 0,000 000 000 0097 F;
0,000 000 0016 F; 9 200 000 Ω; 3 500 Ω; 400 000 Ω; 0,03 A; 0,4 A.
3.2 Vyjádři v jednotkách se správnou předponou:
a) 36 km; 0,015 dm; 1 548 mm; 620 cm;
b) 1,65 cm2; 658 dm2; 2 560 000 mm2;
c) 29 cm3; 5,4 mm3; 49 dm3;
d) 94 kW; 368 GJ; 629 TW;
e) 46 µC; 18 mA; 67 pF.
4.1 Řešte rovnice v množině R a proveďte zkoušku:
a) 0=x
b) 3−=x
c) 8,1=x
d) 17=x
4.2 Řešte rovnice v množině R, proveďte zkoušku a stanovte podmínky řešitelnosti:
a) 3
2=x
b) 0=x
c) 9=x
d) 1=x
4.3 Řešte rovnice v množině R:
a) 4P =
b) P =
c) 1P =
83
d) ∞⟩⟨= ,2P
4.4 Řešte rovnice a proveďte diskuzi vzhledem k parametru:
a) Diskuze: 1. 2 =p 00 = Rx ∈⇒
2. 2-R∈p 2+=⇒ px
b) Diskuze: 1. 5,0=p 00 = Rx ∈⇒
2. 0,5-R∈p 2−=⇒ x
c) Diskuze: 1. 25,0=p 00 = Rx ∈⇒
2. 0,25-R∈p 1−=⇒ x
d) Diskuze: 1. 0=t rovnice nemá smysl
2. 2=t 40 = rovnice nemá řešení
3. ,20-R∈t t
tx
−+
=⇒2
2
4.5 Řešte rovnice v množině R:
a) 1 ;0 21 == xx
b) 2±=x
c) x1 = 6; x2 = -2
d) x1 = 9; x2 = 4
5.1 Řešte dosazovací metodou soustavy rovnic a proveďte zkoušku:
a) Řešením soustavy je uspořádaná dvojice [4; 8].
b) Dospěli jsme k nepravdivému výroku, soustava nemá řešení.
c) Řešením soustavy je uspořádaná dvojice [0; 2].
5.2 Řešte sčítací metodou soustavy rovnic a proveďte zkoušku:
a) Řešením soustavy je uspořádaná dvojice [-2; 1,5].
b) Řešením soustavy je uspořádaná dvojice [-1; 5].
c) Řešením soustavy je uspořádaná dvojice
5
1;
5
114.
84
5.3 Řešte soustavy rovnic a proveďte zkoušku:
a) Řešením soustavy je uspořádaná dvojice [5; 2].
b) Dospěli jsme k nepravdivému výroku, daná soustava nemá řešení.
c) Dospěli jsme k pravdivému výroku, daná soustav má nekonečně mnoho řešení.
d) Řešením soustavy je uspořádaná dvojice [2; 3].
e) Řešením soustavy je uspořádaná dvojice [2; -1].
f) Řešením soustavy je uspořádaná dvojice [1; 3].
5.4 Řešte soustavy tří rovnic o třech neznámých a proveďte zkoušku:
a) Řešením soustavy je uspořádaná trojice [-1; 2; 1].
b) Řešením soustavy je uspořádaná trojice [1; 5; 3].
c) Řešením soustavy je uspořádaná trojice [10; 8; 3].
d) Řešením soustavy je uspořádaná trojice [-2; 2; 6].
e) Dospěli jsme k pravdivému výroku, daná soustav má nekonečně mnoho řešení.
f) Dospěli jsme k nepravdivému výroku, daná soustav nemá řešení.
5.5 Řešte soustavu lineární a kvadratické rovnice a proveďte zkoušku:
a) Řešením soustavy jsou dvě uspořádané dvojice [ ] [ ]4;6,4;6 −− .
b) Dospěli jsme k nepravdivému výroku a proto daná soustava rovnic nemá řešení.
c) Dospěli jsme k pravdivému výroku a proto daná soustava rovnic má nekonečně mnoho
řešení.
d) Řešením soustavy jsou dvě uspořádané dvojice [ ] [ ]2;4,0;0 .
85
Použitá literatura
[1] SLOUKA, Radim. Algebra : pro žáky 5.-9. tříd ZŠ, studenty víceletých gymnázií a třídy s
rozšířenou výukou matematiky. 1. vydání. Olomouc : FIN, spol. s r. o., 1994. 231 s.
ISBN 80-85572-62-1.
[2] CALDA, Emil. Matematika pro dvouleté a tříleté učební obory SOU, 1. díl. 1. vydání.
Praha : Prometheus, 2003. 239 s. ISBN 80-7196-253-8.
[3] CALDA, Emil. Matematika pro dvouleté a tříleté učební obory SOU, 2.díl. 1. vydání.
Praha : Prometheus, 2003. 201 s. ISBN 80-7196-260-0.
[4] BUŠEK, Ivan; BOČEK, Leo; CALDA, Emil. Matematika pro gymnázia : Základní
poznatky z matematiky. 2.vydání. Praha : Prometheus, 1995. 165 s. ISBN 80-85849-34-8.
[5] CALDA, Emil; PETRÁNEK, Oldřich; ŘEPOVÁ, Jana. Matematika pro střední odborné
školy a studijní obory středních odborných učilišť, 1. část. 2. vydání. Praha : Státní
pedagogické nakladatelství, 1986. 195 s. 14-040-86.
[6] HALOUZKA, Alois. Písemky z matematiky SŠ. 1. vydání. Praha : NAKLADATELSTVÍ
SCIENTIA, spol. s r. o., 2005. 205 s. ISBN 80-86960-00-5.
[7] SLOUKA, Radim, et al. Sbírka příkladů z matematiky : pro žáky 5.-9. tříd ZŠ, studenty
víceletých gymnázií a třídy s rozšířenou výukou matematiky. 1. vydání. Olomouc : FIN,
spol. s r. o., 1993. 223 s. ISBN 80-85572-55-9.
[8] BOHUNĚK, Jiří. Sbírka úloh z fyziky pro ZŠ 1. díl. 2. vydání. Praha : Prometheus, 1996.
126 s. ISBN 80-85849-06-2.
[9] JANEČEK, František. Sbírka úloh z matematiky pro střední školy : výrazy, rovnice,
nerovnice a jejich soustavy. 4. vydání. Praha : Prometheus, 2004. 194 s.
ISBN 80-7196-076-4.
[10] Testy z matematiky 2003. 1. vydání. Brno : DIDAKTIS, 2002. 144 s.
ISBN 80-86285-51-0.
[11] Testy z matematiky 2004. 1. vydání. Brno : DIDAKTIS, 2003. 144 s.
ISBN 80-86285-75-8.