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• Stefano CERONI - 753605
• Sara TOIA - 753606
Università degli Studi di MilanoFacoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
Dipartimento di Informatica e Comunicazione Corso di Laurea in Tecnologie dell’Informazione e della Comunicazione
e Informatica
SIMULAZIONE DEL MOVIMENTO ONDOSO DI UN FLUIDO CON IL METODO DI KASS E MILLER TRAMITE UNA SUPERFICIE DI
BEZIER
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RICHIAMI SUI FLUIDI
FLUIDO: sostanza che si deforma con continuità sotto l’applicazione di una forza di taglio.
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RICHIAMI SUI FLUIDI
FLUIDO: sostanza che si deforma con continuità sotto l’applicazione di una forza di taglio.
Gli strumenti disponibili per lo studio di un fluido sono:
1.Conservazione della massa2.Leggi di Newton3.Principi della termodinamica
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RICHIAMI SUI FLUIDI
FLUIDO: sostanza che si deforma con continuità sotto l’applicazione di una forza di taglio.
Gli strumenti disponibili per lo studio di un fluido sono:
1.Conservazione della massa2.Leggi di Newton3.Principi della termodinamica
N.B.: nel nostro lavoro andremo ad utilizzare le leggi di Newton
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DINAMICA DEI FLUIDI
Le grandezze di base sono:
ESTENSIVE (proporzionali alla massa del sistema)
• Massa scalare• Momento lineare vettoriale• Momento angolare vettoriale• Energia scalare
INTENSIVE (indipendenti dalla massa del sistema)
• Pressione scalare• Velocità vettoriale
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FISICA: MOTO ONDOSO
Le onde sono provocate dall’attrito del vento con la superficie d’acqua
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FISICA: MOTO ONDOSO
Le onde sono provocate dall’attrito del vento con la superficie d’acqua
CARATTERISTICHE DI UN’ONDA
• lunghezza: distanza fra cresta e cresta oppure fra ventre e ventre
• altezza: distanza verticale tra cresta e cavo
• velocità di propagazione: spazio percorso da una cresta nell’unità di tempo
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FISICA: MOTO ONDOSO
Il moto del liquido viene espresso tramite le equazioni di Navier-Stokes:
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FISICA: MOTO ONDOSO
Il moto del liquido viene espresso tramite le equazioni di Navier-Stokes:
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dove: u,v e w = componenti della velocità rispettivamente lungo le
coordinate spaziali x,y,z p = pressione ν = coefficiente di viscosità del fluido ρ = densità del fluido fx,fy e fz = componenti forze esterne lungo le coordinate x,y,z
FISICA: MOTO ONDOSO
Il moto del liquido viene espresso tramite le equazioni di Navier-Stokes:
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Per il nostro fluido deve essere soddisfatta anche l’equazione di continuità:
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Assicurando cioè che, preso un volume infinitesimale di liquido, la quantità di flusso entrante nella superficie che racchiude il volume, sarà uguale alla quantità di flusso uscente
Per il nostro fluido deve essere soddisfatta anche l’equazione di continuità:
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SIMULAZIONE DEL MOVIMENTO ONDOSO DI UN FLUIDO CON IL METODO DI KASS E MILLER
TRAMITE UNA SUPERFICIE DI BEZIER
acqua in computer grafica = COMPLESSA DA SIMULARE
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SIMULAZIONE DEL MOVIMENTO ONDOSO DI UN FLUIDO CON IL METODO DI KASS E MILLER
TRAMITE UNA SUPERFICIE DI BEZIER
riflessione delle onde, movimento delle acque, comportamenti di oggetti
immersi, ecc. …
acqua in computer grafica = COMPLESSA DA SIMULARE
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SIMULAZIONE DEL MOVIMENTO ONDOSO DI UN FLUIDO CON IL METODO DI KASS E MILLER
TRAMITE UNA SUPERFICIE DI BEZIER
riflessione delle onde, movimento delle acque, comportamenti di oggetti
immersi, ecc. …
acqua in computer grafica = COMPLESSA DA SIMULARE
DISPENDIO COMPUTAZIONALE
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SIMULAZIONE DEL MOVIMENTO ONDOSO DI UN FLUIDO CON IL METODO DI KASS E MILLER
TRAMITE UNA SUPERFICIE DI BEZIER
questo metodo permette la simulazione del movimento ondoso in maniera
• veloce • stabile • facilmente implementabile• senza un eccessivo dispendio computazionale
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Per esprimere il moto del liquido, il metodo fa riferimento alle equazioni di Navier-Stokes.
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Per esprimere il moto del liquido, il metodo fa riferimento alle equazioni di Navier-Stokes.
Poiché queste sono complesse, Kass e Miller si avvalgono di tre assunzioni:
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Per esprimere il moto del liquido, il metodo fa riferimento alle equazioni di Navier-Stokes.
Poiché queste sono complesse, Kass e Miller si avvalgono di tre assunzioni:
1. il fluido è una superficie con valori di altezza
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Per esprimere il moto del liquido, il metodo fa riferimento alle equazioni di Navier-Stokes.
Poiché queste sono complesse, Kass e Miller si avvalgono di tre assunzioni:
1. il fluido è una superficie con valori di altezza
2. la componente verticale della velocità va ignorata
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Per esprimere il moto del liquido, il metodo fa riferimento alle equazioni di Navier-Stokes.
Poiché queste sono complesse, Kass e Miller si avvalgono di tre assunzioni:
1. il fluido è una superficie con valori di altezza
2. la componente verticale della velocità va ignorata
3. la componente orizzontale della velocità è costante
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NO A ONDE CHE SI INFRANGONO NO A CORRENTI VERTICALI
Per esprimere il moto del liquido, il metodo fa riferimento alle equazioni di Navier-Stokes.
Poiché queste sono complesse, Kass e Miller si avvalgono di tre assunzioni:
1. il fluido è una superficie con valori di altezza
2. la componente verticale della velocità va ignorata
3. la componente orizzontale della velocità è costante
![Page 23: Stefano CERONI - 753605 Sara TOIA - 753606 Università degli Studi di Milano Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali Dipartimento di Informatica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062404/5542eb5a497959361e8c7c60/html5/thumbnails/23.jpg)
Sapendo che:
b(x) = altezza del suoloh(x) = altezza dell’acqua
La profondità dell’acqua d (x) sarà data da:
d (x) = h(x) – b(x)
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Considerando le assunzioni viste precedentemente, le equazioni del moto ondoso diventano:
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Considerando le assunzioni viste precedentemente, le equazioni del moto ondoso diventano:
dove u(x) = velocità orizzontale dell'ondag = accelerazione di gravità
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Considerando le assunzioni viste precedentemente, le equazioni del moto ondoso diventano:
dove u(x) = velocità orizzontale dell'ondag = accelerazione di gravità
Legge di Newton (F = ma)
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Considerando le assunzioni viste precedentemente, le equazioni del moto ondoso diventano:
dove u(x) = velocità orizzontale dell'ondag = accelerazione di gravità
Legge di Newton (F = ma)
Legge di Conservazione del volume
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Differenziando la prima rispetto a x, e la seconda rispetto a t si ottiene:
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Differenziando la prima rispetto a x, e la seconda rispetto a t si ottiene:
Sostituendo avremo:
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che è l'equazione che esprime la legge del moto di un'onda di velocità v = (gd)
Differenziando la prima rispetto a x, e la seconda rispetto a t si ottiene:
Sostituendo avremo:
½
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Per risolvere l’equazione
è necessario costruire una rappresentazione discreta dell’equazione continua.
Ovvero, bisogna procedere con una discretizzazione, ottenendo:
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Per risolvere l’equazione
è necessario costruire una rappresentazione discreta dell’equazione continua.
Ovvero, bisogna procedere con una discretizzazione, ottenendo:
![Page 33: Stefano CERONI - 753605 Sara TOIA - 753606 Università degli Studi di Milano Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali Dipartimento di Informatica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062404/5542eb5a497959361e8c7c60/html5/thumbnails/33.jpg)
Il risultato acquisito va integrato.
Ci sono diversi modi per procedere. Kass e Miller suggeriscono di utilizzare un metodo implicito di primo ordine.
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Si ottiene:
![Page 35: Stefano CERONI - 753605 Sara TOIA - 753606 Università degli Studi di Milano Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali Dipartimento di Informatica](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062404/5542eb5a497959361e8c7c60/html5/thumbnails/35.jpg)
Si ottiene:
che, con i dovuti ri-arrangiamenti, diventa:
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Linearizzando l’ultima equazione si ottiene:
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Linearizzando l’ultima equazione si ottiene:
dove A è una matrice quadrata, così composta:
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A questo punto è possibile procedere con l’implementazione dell’algoritmo.
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