stiffness 9
TRANSCRIPT
Lecture No. : 9 تاسعةالمحاضرة ال
F = K Dl l l
T K =g
K l
T T
m m
Drive the member local stiffness matrix
Obtain the member global stiffness matrix
Drive the member transformation matrix
T
Solution Steps of assembly method :
Remember
Make assembly F = K D
Kuu
Kru
Kur
Krr
Fu
Fr
Du
Dr
=
Make partition
Kg
m Kg
m Kg
m Kg
m
Remember
Kuu
Kru
Kur
Krr
Fu
Fr
Du
Dr
=
Extract the stiffness equation
KuuFuDu= Kur
Dr+
KuuDu =
-1
{ }Fu KurDr-
Obtain the deformation
Remember
Find internal forces in members
Calculate the reactions
KruFrDu= Krr
Dr+
gF = K
l lm m mT D
T
Remember
d1
d2
d3
d1
d2
Normal Force doesn’t taken
Drive the member local stiffness
matrix
k11F1
F2
=
k21
F3 k31
k12
k22
k32
k13
k23
k33
F4k41 k42 k43
k14
k24
k34
k44
d1
d2
d3
d4
d1
d2d4
d3
First column in
Local Stiffness matrix
d1 =1
DD6 EI
L2
D6 EI
L2
D12 EI
L3
D12 EI
L3
d3
d4
d2
d2
D12 EI
L3
F2 =
F3 = -
F4 =
F1 =D12 EI
L3
D6 EI
L3
D6 EI
L3
DD6 EI
L2
D6 EI
L2
D12 EI
L3
D12 EI
L3
=
k31
12 EI
L3
6 EI
L2
-12EI
L3
6 EI
L2
k11
k21
k41
Second column in
Local Stiffness matrix
d2 =1
q
q4 EI
L
q2 EI
L
q6 EI
L2
q6 EI
L2
d3
d4
d1
d2
F3 =F1
=
F4 =F2 =
q6 EI
L2
q6 EI
L2-
q2 EI
L
q4 EI
L
q
q4 EI
L
q2 EI
L
q6 EI
L2
q6 EI
L2
Second column in
Local Stiffness matrix
=
k12
k22
k32
k42
6 EI
L2
4 EI
L
6 EI
L2-
2 EI
L
Third column in
Local Stiffness matrix
d3 =1
D
D6 EI
L2
D6 EI
L2
D12 EI
L3
D12 EI
L3
d3
d4
d1
d2
D12 EI
L3
D6 EI
L2
D6 EI
L2
D12 EI
L3F1
=
F3 =
F4 =F2 = - -
-
DD6 EI
L2
D6 EI
L2
D12 EI
L3
D12 EI
L3
Third column in Local Stiffness matrix
=
k13
k23
k33
k33
12 EI
L3
6 EI
L2
12 EI
L3
6 EI
L2
-
-
-
Fourth column in
Local Stiffness matrix
d4 =1
q
q4 EI
Lq2 EI
Lq6 EI
L2
q6 EI
L2
d3
d4
d1
d2
F1
=
F3=
F2
=
F4=
q6 EI
L2
q2 EI
L
q4 EI
L
D6 EI
L2-
q
q4 EI
Lq2 EI
Lq6 EI
L2
q6 EI
L2
Fourth column in
Local Stiffness matrix
=
k14
k24
k34
k44
6 EI
L2
2 EI
L
6 EI
L2-
4 EI
L
K l
12 EI
L3
6 EI
L2
6 EI
L2
4 EI
L
-12 EI
L3
=
-12 EI
L3
-6 EI
L2
-6 EI
L2
12 EI
L3
-6 EI
L2
6 EI
L2
2 EI
L
6 EI
L2
2 EI
L
-6 EI
L2
4 EI
L
K l
12 EI
L3
6 EI
L2
6 EI
L2
4 EI
L
-12 EI
L3
=
-12 EI
L3
-6 EI
L2
-6 EI
L2
12 EI
L3
-6 EI
L2
6 EI
L2
2 EI
L
6 EI
L2
2 EI
L
-6 EI
L2
4 EI
L
K l
=EI
L3
K l
12 EI
L3
6 EI
L2
6 EI
L2
4 EI
L
-12
EIL3
= -12
EIL3
-6 EI
L2
-6 EI
L2
12 EI
L3
-6 EI
L2
6 EI
L2
2 EI
L
6 EI
L2
2 EI
L
-6 EI
L2
4 EI
L
12
6 L
- 12
6 L
6 L
- 6 L
4 L2
2 L2
- 12
6 L
12
6 L
- 6 L
2 L2
4 L2
6 L
d1
d2
Normal Force doesn’t taken
d1
If Shear is omitted
Drive the member local stiffness
matrix
k11F1
F2
=k21
k12
k22
d1
d2
d1d2
K l
12 EI
L3
6 EI
L2
6 EI
L2
4 EI
L
-12 EI
L3
=
-12 EI
L3
-6 EI
L2
-6 EI
L2
12 EI
L3
-6 EI
L2
6 EI
L2
2 EI
L
6 EI
L2
2 EI
L
-6 EI
L2
4 EI
L
K l
4 EI
L=
2 EI
L
2 EI
L
4 EI
L
K l
=2EI
L1
2
2
1
Construct the stiffness matrix
for the shown beam where EI
is constant for all members
Example 1:
8 10
A CB
First element : (A-B )
Start Joint : A End Joint : B
K l
=EI
L3
12
6 L
- 12
6 L
6 L
- 6 L
4 L2
2 L2
- 12
6 L
12
6 L
- 6 L
2 L2
4 L2
6 L
K l K
g=
K l
12 EI
L3
6 EI
L2
6 EI
L2
4 EI
L
-12 EI
L3
=
-12 EI
L3
-6 EI
L2
-6 EI
L2
12 EI
L3
-6 EI
L2
6 EI
L2
2 EI
L
6 EI
L2
2 EI
L
-6 EI
L2
4 EI
L
K l
=EI
L3
12
6 L
- 12
6 L
6 L
- 6 L
4 L2
2 L2
- 12
6 L
12
6 L
- 6 L
2 L2
4 L2
6 L
K l
= EI
.023
.0937
-.023
.0937
.0937
.5
.0937
.25
-.023
.0937
.023
-.0937
.0937
.25
-.0937
.5
A B
A
B
Second element : ( B-c)
Start Joint : B End Joint : c
K l
12 EI
L3
6 EI
L2
6 EI
L2
4 EI
L
-12 EI
L3
=
-12 EI
L3
-6 EI
L2
-6 EI
L2
12 EI
L3
-6 EI
L2
6 EI
L2
2 EI
L
6 EI
L2
2 EI
L
-6 EI
L2
4 EI
L
K l
= EI
.012
.06
-.012
.06
.06
.4
-.06
.2
-.012
-.06
.012
-.0937
.06
.20
-.06
.4
B C
C
B
Assembly :
K =g
1 EI
.023
.0937
-.023
.0937
.0937
.5
.0937
.25
-.023
.0937
.023
-.0937
.0937
.25
-.0937
.5
A B
B
A
EI . 06
-.012
.06
.06
.4
.2
-.012
-.06
.012
-.06
.06
.2
-.06
.012
-.06
K =g
2
.4
B C
B
C
Ks = EI
.023
.0937
-.023
.0937
0
0
.0937
.5
.0937
.25
0
0
-.023
.0937
.035
-.0337
-.012
.06
.0937
.25
-.0337
.9
-.06
.2
0
0
-.012
-.06
.012
-.06
0
0
.06
.2
-.06
.4
A B C
B
A
C
Partition
KuuK =
Kru
Kur
Krr
u r
u
r
Kuu = EI .90
Example 2:
Construct the stiffness matrix for the shown
beam where EI is constant for all members
4254
ECB DA
= E I
12/L^3
6/L^2
-12/L^3
6/L^2
6/L^2
2/L
6/L^2-
4/L
12/L^3-
6/L^2-
12/L^3
6/L^2-
6/L^2
-6/L^2
4/L
2/L
K g
K l
=
K l
First element : (A-B )
Start Joint : A
End Joint : B
Angle : 0
s = sin q = 0
c = cos q = 1
Is conastant EA
LAB = 400 cm
Kl= EI
.1875
.375
-.1875
.375
.375
1
-.375
.5
-.1875
-.375
.1875
-.375
.375
.5
-.375
1
A B
B
A
Second element : B-C )
Start Joint : B
End Joint : c
Angle : 0
s = sin q = 0
c = cos q = 1
Is conastant EA
LBC = 500 cm
EI .24
-.096
.24
.24
.8
.4
-.096
-.24
.096
-.24
.24
.4
-.24
.096
-.24
.8
B C
B
C
K =g
1
End Joint : D
Third element : (C-D )
Start Joint : C
Angle : 0
s = sin q = 0
c = cos q = 1
LCD = 200 cm
Is conastant EA
= EI
1.5
1.5
-1.5
1.5
1.5
2
-1.5
.2
-1.5
-1.5
1.5
-1.5
1.5
1
-1.5
.2
C D
D
C
K l
Fourth element : (D-E )
Start Joint :D
End Joint : E
Angle : 0
s = sin q = 0
c = cos q = 1
Is conastantEA
LD-E = 400 cm
Kl
=EI
.1875
.375
-.1875
.375
.375
1
-.375
.5
-.1875
-.375
.1875
-.375
.375
.5
-.375
1
D E
D
E
K =
s
.1875 .375
.375 1
-.1875 -.375
.375 .5
0 0
0 0
0 0
0 0
-.096 -.24
.24 .4
0 0
0 0
0
0
0 0
0
00
0 0
0 0
0
0
0
0
0
0 0
0
0
-.1875 .375
-.375 .5
.2835 -.135
-.135 1.8
00
00
-.096
-.24
.24
.4
1.596 1.26
1.26 2.8
-1.5 1.5
1.5 1
0 0
0 0
0
0
-1.5 1.5
1.5 1
1.687 -1.125
-1.125 3
-.1875
.375
-.375
.5
0
0
0
0
0
0
-.1875 .375
-.375 .5
.1875
-.375 1
-.375
A B C D E
A
B
C
D
E
KUU
1.8 EI
0.4 EI
0
0.4 EI
2.8 EI
EI
0
EI
3 EI
=
1.8
0.4
0
0.4
2.8
1
0
1
3
EI=
Example 3:
Calculate the deformation of the shown
beam where EI = 105 kN.m2 for all members
4254DCB
EA 30 kNm50 kNm60 kNm
KUU
1.8 EI
0.4 EI
0
0.4 EI
2.8 EI
EI
0
EI
3 EI
=
1.8
0.4
0
0.4
2.8
1
0
1
3
EI
The stiffness equation
F = K D
Stiffness matrix From Exampl (2)
F1
F2
=
-60
-50
F3
30
= d1
d2
-60
-50
1.8
.4
.4
2.8
F = K D
30 d3
0
1
01 3
D =
qB
qC
qD
D = K-1 F
- 60
- 50
30
=
1.8
0.4
0
0.4
2.8
1
0
1
3
qB
qC
qD
1
EI
-1
- 60
- 50
30
=
7.4
-1.2
.4
-1.2
5.4
-1.8
.4
-1.8
4.88
qB
qC
qD
1
105
1
12.84=
- 0.290
- 0.196
0.165
X10-3
rad
Example 4:
Draw B.M.D for the shown beam where EI =
105 kN.m2 for all members
4
A
B
E
5 2 4C D
60 kNm 50 kNm 30 kNm
From the previous example
=
qB
qC
qD
- 0.290
- 0.196
0.165
X10-3
rad
4
A
B
E
5 2 4C D
=
qB
qC
qD
- 0.290
- 0.196
0.165
X10-3
rad
EI = 105 kN.m2
For member AB
LAB
MAB = =
= - 14.5 kN.m2 EI
LAB
MBA= (2 qB + qA ) =5x104(2X-0.029)x10-3
5x104(0-0.29)x10-3(2 qA + qB )2 EI
= - 29 kN.m
4
A
B
E
5 2 4C D
=qC
qD
- 0.290
- 0.196
0.165
X10-3
rad
qB
EI = 105 kN.m2
For member BC
LBC
MBC = (2 qB + qC ) =
2 EI
LBC
MCB= (2 qC + qB ) =
4x104(2x-0.29-0.196)x10-3
= - 31 kN.m
4x104(2x-0.196-0.029)x10-3
= - 27.3 kN.m
MAB = - 14.5 kN.m
MBA= - 29 kN.m
MBC = - 31 kN.m
MCB= - 27.3 kN.m
MCD = - 22.7 kN.m
MDC= 13.5 kN.m
MDE = 16.5 kN.m
MED= 8.3 kN.m
A B B C C D D E
14.5 29 31 27.3 22.7 13.5 16.5 8.3
A B B C C D D E
14.5 29 31 27.3 22.7 13.5 16.5 8.3
14.5
31
27.3
22.7
13.5
16.5
B.M.D
14.513.5
16.527.3
22.731
29
A
B
E
C D
60 kNm 50 kNm 30 kNm
Example 5:
Draw B.M.D for the shown beam where EI is
constant for all members
2
A B CD
1 2 2 1 2
100 kN 200 kN 150 kN
Solution Steps of assembly method :
Drive the member local stiffness
matrix
Localk11F1
F2
=
k21
F3 k31
k12
k22
k32
k13
k23
k33
F4k41 k42 k43
k14
k24
k34
k44
d1
d2
d3
d4
d3
d1
d2d4
First column in
Local Stiffness matrixD
=1D6 EI
L2
D6 EI
L2
D12 EI
L3
F1 = D12 EI
L3
F2 = D6 EI
L2
D6 EI
L2
F3 = D12 EI
L3
-
F4 =
first column in Local Stiffness
matrix
=
k31
k41
D12 EI
L3
D6 EI
L2
D-12 EI
L3
D6 EI
L2
k11
k21
Second column in
Local Stiffness matrix
d2 =1
q4 EI
L
q2 EI
L
q6 EI
L2
q6 EI
L2
F3 =F1
=
F4 =F2 =
q6 EI
L2q6 EI
L2
-
q2 EI
L
q4 EI
L
Second column in
Local Stiffness matrix
=
k12
k22
k32
k42
q6 EI
L2
q4 EI
L
q6 EI
L2
- q2 EI
L
Third column in Local Stiffness matrix
d3 =1
D12 EI
L3D12 EI
L3
D6 EI
L2
D6 EI
L2
Third column in Local Stiffness matrix
=
k13
k23
k33
k33
D-12 EI
L3
D-6 EI
L2
D12 EI
L3
D-6 EI
L2
D12 EI
L3
D-6 EI
L2
D-6 EI
L2F4 =
F3 = F1 = D-12 EI
L3
F2 =
Fourth column in
Local Stiffness matrix
q6 EI
L2
q6 EI
L2
q4 EI
L
q2 EI
L
F1
=F3=
F2
=
F4
=
q6 EI
L2
q2 EI
L
D-6 EI
L2
q4 EI
L
K l
D12 EI
L3
q6 EI
L2
q6 EI
L2
q4 EI
L
D-12 EI
L3
=
D-12 EI
L3
D-6 EI
L2
D-6 EI
L2
D12 EI
L3
D-6 EI
L2
q6 EI
L2
q2 EI
L
q6 EI
L2
q2 EI
L
D-6 EI
L2
q4 EI
L
First element : (A-B )
Start Joint : A
End Joint : B
Angle : 0
s = sin q = 0
c = cos q = 1
EA Is conastant
LAB = 300 cm
K l K
g=
K l
=E I
12/L^3
6/L^2
-12/L^3
6/L^2
6/L^2
2/L
6/L^2-
4/L
12/L^3-
6/L^2-
12/L^3
6/L^2-
6/L^2
-6/L^2
4/L
2/L
K l
= EI
0.44
0.67
-0.44
0.67
0.67
1.33
-0.67
0.67
-0.44
-0.67
0.44
-0.67
0.67
0.67
-0.67
1.33
A B
A
B
Second element : ( B-c)
Start Joint : B End Joint : c
=E I
12/L^3
6/L^2
-12/L^3
6/L^2
6/L^2
2/L
6/L^2-
4/L
12/L^3-
6/L^2-
12/L^3
6/L^2-
6/L^2
-6/L^2
4/L
2/LK
l
K l
= EI
0.1875
0.375
-0.1875
0.375
0.375
1
-0.375
0.5
-0.1875
-0.375
0.1875
-0.375
0.375
0.5
-0.375
1
B C
C
B
Second element : ( C-D )
Start Joint : C End Joint : D
=E I
12/L^3
6/L^2
-12/L^3
6/L^2
6/L^2
2/L
6/L^2-
4/L
12/L^3-
6/L^2-
12/L^3
6/L^2-
6/L^2
-6/L^2
4/L
2/LK
l
K l
= EI
0.44
0.67
-0.44
0.67
0.67
1.33
-0.67
0.67
-0.44
-0.67
0.44
-0.67
0.67
0.67
-0.67
1.33
C D
C
D
K g
= EI
0.44
0.67
-0.44
0.67
0.67
1.33
-0.67
0.67
-0.44
-0.67
0.44
-0.67
0.67
0.67
-0.67
1.33
A B
A
B
K g
= EI
0.1875
0.375
-0.1875
0.375
0.375
1
-0.375
0.5
-0.1875
-0.375
0.1875
-0.375
0.375
0.5
-0.375
1
B C
C
B
K g
= EI
0.44
0.67
-0.44
0.67
0.67
1.33
-0.67
0.67
-0.44
-0.67
0.44
-0.67
0.67
0.67
-0.67
1.33
C D
C
D
Ks = EI
0.44
.
0
9
3
7
0.67
-0.44
0.67
0
0
0.67
1.33
-0.67
0.67
0
0
0.67
0.67
.-0.295
2.33
-0.375
0.5
0
0
-0.1875
-.375
.2525
0.295
0
0
0.375
0.5
0.295
2.33
0
0
-.44
-.67
A B C
B
A
C
K l K
g=
00 0 -.44 -.67 -.67
0 0 0 .67 0.67 1.33
D
D
-0.44
-0.67
.0.6275
-0.295
-0.1875
0.375
0
0
0
0
.67
0.67
0
0
0
0
-.67
0.44
Partition
KuuK =
Kru
Kur
Krr
u r
u
r
Kuu = EI
2.33
2.33
0.5
0.5
Force vectorTransformation from member forces to Joint forces
L
P
8
LP
8
LP
90
P a b2
L2
L
P
a b P b a2
L2
2
A B CD
1 2 2 1 2
100 kN 200 kN 150 kN
100 kN 150 kN
200 kN
100 kNm100 kNm
44.4 kNm
22.2 kNm
66.7 kNm
33.3 kNm
Fixed End
Reaction
(FER)
2
A B CD
1 2 2 1 2
100 kN 200 kN 150 kN
100 kN 150 kN
200 kN
100 kNm100 kNm
44.4 kNm
22.2 kNm
66.7 kNm
33.3 kNm
Fixed End
Action
(FEA)
2
A B CD
1 2 2 1 2
100 kN 200 kN 150 kN
100 kNm
44.4 kNm 66.7 kNm
100 kNm
33.3 kNm55.6 kNm
2
A B CD
1 2 2 1 2
100 kN 200 kN 150 kN
33.3 kNm55.6 kNm
F1
F2
=
-55.6
33.3
F = K D
k11F1
F2
=k21
k12
k22
d1
d2
-55.6
33.3=
7/3
0.5 7/3
0.5EI
qB
qC
qB
qC
=1
EI
7/3
0.5 7/3
0.5-1
-55.6
33.3
qB
qC
=1
EI
7/3
0.5 7/3
0.5-1
-55.6
33.3
qB
qC
=1
EI
-28.18
20.31
Internal forces in beam elements
2 EI
LMAB= ( 2 + )qA qB
MBA=2 EI
L( + 2 )qA qB
MBA=2 EI
L( + 2 )qA qBM(FER) BA +
MAB= ( 2 + )qA qBM(FER) AB +2 EI
L
2
A B CD
1 2 2 1 2
100 kN 200 kN 150 kN
100 kN 150 kN
200 kN
100 kNm100 kNm
44.4 kNm
22.2 kNm
66.7 kNm
33.3 kNm
Fixed End
Reaction
(FER)
qB
qC
=1
EI
-28.18
20.31
2 EI
LMAB= ( 2 + )qA qBM(FER) AB +
MBA=2 EI
L( + 2 )qA qBM(FER) BA +
100 kN
44.4 kNm22.2 kNm
= 22.2 + 2/3 (-28.18) = 3.4
= -44.4 + 2/3 (2x-28.18) = - 82
A B
qB
qC
=1
EI
-28.18
20.31
2 EI
LMBC= ( 2 + )qB qCM(FER) BC +
MCB=2 EI
L( + 2 )qB qCM(FER) CB +
= 100 + 2/4 (2x-28.18+20.31) = 82
= -100 + 2/4 (-28.18+2x20.31) = - 93.8
200 kN
100 kNm100 kNm
B C
qB
qC
=1
EI
-28.18
20.31
2 EI
LMCD= ( 2 + )qC qDM(FER) CD +
MDC=2 EI
L( + 2 )qC qDM(FER) DC +
= 66.7 + 2/3 (2x20.31) = 93.8
= -33.3 + 2/3 (20.31) = - 19.8
150 kN
33.3 kNm66.7 kNm
C D
MAB= 3.4
MBA= -82
MBC= 82MCB= -93.8
MCD= 93.8MDC= -19.8
3.4
82
19.8
93.8
B.M.D
3.4
82
19.8
93.8
B.M.D
2
A B CD
1 2 2 1 2
100 kN 200 kN 150 kN
55.887.9
69.1
66.7
10.9
200
112.1
100
30.9
Example 6:
Draw B.M.D for the shown beam where EI is
shown in figure
3
AB C D
5 5 2
100 kN 200 kN 100 kN
3 2
250 kN
III2 I2 I2 I
E
Solution Steps of assembly method :
Drive the member local stiffness
matrix
Localk11F1
F2
=
k21
F3 k31
k12
k22
k32
k13
k23
k33
F4k41 k42 k43
k14
k24
k34
k44
d1
d2
d3
d4
d3
d1
d2d4
First column in
Local Stiffness matrixD
=1
`D6 EI
L2
D6 EI
L2
D12 EI
L3
F1 = D12 EI
L3
F2 = D6 EI
L2
D6 EI
L2
F3 = D12 EI
L3
-
F4 =
first column in Local Stiffness
matrix
=
k31
k41
D12 EI
L3
D6 EI
L2
D-12 EI
L3
D6 EI
L2
k11
k21
Second column in
Local Stiffness matrix
d2 =1
q4 EI
L
q2 EI
L
q6 EI
L2
q6 EI
L2
F3 =F1
=
F4 =F2 =
q6 EI
L2q6 EI
L2
-
q2 EI
L
q4 EI
L
Second column in
Local Stiffness matrix
=
k12
k22
k32
k42
q6 EI
L2
q4 EI
L
q6 EI
L2
- q2 EI
L
Third column in Local Stiffness matrix
d3 =1
D12 EI
L3D12 EI
L3
D6 EI
L2
D6 EI
L2
Third column in Local Stiffness matrix
=
k13
k23
k33
k33
D-12 EI
L3
D-6 EI
L2
D12 EI
L3
D-6 EI
L2
D12 EI
L3
D-6 EI
L2
D-6 EI
L2F4 =
F3 = F1 = D-12 EI
L3
F2 =
Fourth column in
Local Stiffness matrix
q6 EI
L2
q6 EI
L2
q4 EI
L
q2 EI
L
F1
=F3=
F2
=
F4
=
q6 EI
L2
q2 EI
L
D-6 EI
L2
q4 EI
L
K l
D12 EI
L3
q6 EI
L2
q6 EI
L2
q4 EI
L
D-12 EI
L3
=
D-12 EI
L3
D-6 EI
L2
D-6 EI
L2
D12 EI
L3
D-6 EI
L2
q6 EI
L2
q2 EI
L
q6 EI
L2
q2 EI
L
D-6 EI
L2
q4 EI
L
First element : (B-C )
Start Joint : B
End Joint : C
Angle : 0
s = sin q = 0
c = cos q = 1
EA Is conastant
LAB = 1000 cm
K l K
g=
K l
=E I
12/L^3
6/L^2
-12/L^3
6/L^2
6/L^2
2/L
6/L^2-
4/L
12/L^3-
6/L^2-
12/L^3
6/L^2-
6/L^2
-6/L^2
4/L
2/L
K l
= EI
0.024
0.12
-0.024
0.12
0.12
0.8
-0.12
0.4
-0.024
-0.12
0.024
-0.12
0.12
0.4
-0.12
0.8
B C
B
C
First element : (C-D )
Start Joint : C
End Joint : D
Angle : 0
s = sin q = 0
c = cos q = 1
EA Is conastant
LAB = 500 cm
K l K
g=
K l
=E I
12/L^3
6/L^2
-12/L^3
6/L^2
6/L^2
2/L
6/L^2-
4/L
12/L^3-
6/L^2-
12/L^3
6/L^2-
6/L^2
-6/L^2
4/L
2/L
K l
= EI
0.096
0.24
-0.096
0.24
0.24
0.8
-0.24
0.4
-0.096
-0.24
0.096
-0.24
0.24
0.4
-024
0.8
C D
C
D
Assembly :
K g
= EI
0.024
0.12
-0.024
0.12
0.12
0.8
-0.12
0.4
-0.024
-0.12
0.024
-0.12
0.12
0.4
-0.12
0.8
B C
B
C
K g
= EI
0.096
0.24
-0.096
0.24
0.24
0.8
-0.24
0.4
-0.096
-0.24
0.096
-0.24
0.24
0.4
-024
0.8
C D
C
D
Ks = EI
0.024
.
0
9
3
7
0.12
-0.024
0.12
0
0
0.12
0.8
-0.12
0.4
0
0
-0.024
-0.12
0.12
0.12
-0.096
0.024
0.12
0.4
0.12
1.6
-0.024
0.4
0
0
-0.096
-0.24
0.096
-0.24
0
0
0.24
0.4
-0.24
0.8
B C D
C
B
D
K l K
g=
Partition
KuuK =
Kru
Kur
Krr
u r
u
r
Kuu = EI
0.8
0.4
0
0.4
1.6
0.4 0.8
0.4
0
Force vector
Transformation from member forces to Joint forces
L
P
8
LP
8
LP
128
P a b2
L2
L
P
a b P b a2
L2
100 kN
100 kN200 kN
250 kNm250 kNm
300 kNm
200 kNm
Fixed End Reaction (FER)
3
AB C D
5 5 2
100 kN 200 kN 100 kN
3 2
250 kN
E
250 kN180 kNm 120 kNm
100 kN
100 kN200 kN
250 kNm250 kNm
300 kNm
200 kNm
Fixed End Action (FEA)
3
AB C D
5 5 2
100 kN 200 kN 100 kN
3 2
250 kN
E
250 kN180 kNm 120 kNm
250 kNm250 kNm
300 kNm
200 kNm
3
AB C D
5 5 2
100 kN 200 kN 100 kN
3 2
250 kN
E
180 kNm 120 kNm
50 kNm 70 kNm 80 kNm
3
AB C D
5 5 2
100 kN 200 kN 100 kN
3 2
250 kN
E
50 kNm 70 kNm 80 kNm
F1
F2=
50
70
F3 - 80
F = K DThe stiffness equation
=
50
70
- 80
0.8
0.4
0
0.4
1.6
0.4
0
0.4
0.8
EI
qB
qC
qD
=
50
70
- 80
0.8
0.4
0
0.4
1.6
0.4
0
0.4
0.8
qB
qC
qD
1
EI
-1
=1
EI
27.08
70.83
- 135.42
=
qB
qC
qD
1
EI
27.08
70.83
- 135.42
Internal forces in beam elements
2 EI
LMAB= ( 2 + )qA qB
MBA=2 EI
L( + 2 )qA qB
M(FER) AB +
M(FER) BA +
100 kN
100 kN200 kN
250 kNm250 kNm
300 kNm
200 kNm
Fixed End Reaction (FER)
3
AB C D
5 5 2
100 kN 200 kN 100 kN
3 2
250 kN
E
250 kN180 kNm 120 kNm
2 E(2I)
LMBC= ( 2 + )qB qCM(FER) BC +
MCB=2 E(2I)
L( + 2 )qB qCM(FER) CB +
= 250 + 4/10 (2x27.08+70.83) = 300
= -250 + 4/10 (27.08+2x70.83) = - 182.5
200 kN
250 kNm250 kNm
B C
=
qB
qC
qD
1
EI
27.08
70.83
- 135.42
2 E(2I)
LMBC= ( 2 + )qB qCM(FER) BC +
MCB=2 E(2I)
L( + 2 )qB qCM(FER) CB +
= 250 + 4/10 (2x27.08+70.83) = 300
= -250 + 4/10 (27.08+2x70.83) = - 182.5
200 kN
250 kNm250 kNm
B C
=
qB
qC
qD
1
EI
27.08
70.83
- 135.42
MBC= 300MCB= -182.5
MCD= 182.5MDC= -200
300
200
B.M.D
A
B C D
E
182.5
B.M.D
3
AB C D
5 5 2
100 kN 200 kN 100 kN
3 2
250 kN
E
300200
A
B C D
E
182.5241.25
500
258.75
189.5
300
110.5
Example 7:
Draw B.M.D for the shown beam where EI is
constant for all members
A B
5 5
240 kN
C
5 5
120 kN
K l
D12 EI
L3
q6 EI
L2
q6 EI
L2
q4 EI
L
D-12 EI
L3
=
D-12 EI
L3
D-6 EI
L2
D-6 EI
L2
D 12 EI
L3
D-6 EI
L2
q6 EI
L2
q2 EI
L
q6 EI
L2
q2 EI
L
D-6 EI
L2
q4 EI
L
q4 EI
L
First element : (A-B )
EA conastant
LAB = 10 m
12 EI
L3=0.012EI
q6 EI
L2
q4 EI
L
q2 EI
L=0.06 EI
=0.4 EI
=0.2 EI
K l
=
0.012 EI
0.012 EI 0.012 EI
0.012 EI
0.06 EI
0.06 EI
0.06 EI0.06 EI
0.06 EI
0.06 EI
0.06 EI
0.06 EI
0.4 EI
0.4 EI
0.2 EI
0.2 EI
A
A
B
B
Second element : ( B-c)
EI conastant
LAB = 10 m
12 EI
L3=0.012EI
q6 EI
L2
q4 EI
L
=0.06 EI
=0.4 EI
=0.2 EIq2 EI
L
K l
=
0.012 EI
0.012 EI 0.012 EI
0.012 EI
0.06 EI
0.06 EI
0.06 EI0.06 EI
0.06 EI
0.06 EI
0.06 EI
0.06 EI
0.4 EI
0.4 EI
0.2 EI
0.2 EI
A
A
B
B
K g
K l
=
Assembly :
=
K gg1
0.012 EI 0.06 EI 0.012 EI 0.06 EI
0.06 EI 0.4 EI 0.06 EI 0.2 EI
0.012 EI 0.06 EI 0.06 EI0.012 EI
0.06 EI 0.2 EI 0.4 EI0.06 EI
2=
K gg
0.012 EI
0.012 EI 0.012 EI
0.012 EI
0.06 EI
0.06 EI
0.06 EI0.06 EI
0.06 EI
0.06 EI
0.06 EI
0.06 EI
0.4 EI
0.4 EI
0.2 EI
0.2 EI
A B
A
B
=
0.012
-0.012
-0.012
0.06
0.06
-0.06 0.06
0.06
-0.06
0.06
-0.06
0.4
0.4
0.2
0.2
A
A
B
B
K s
0.0
0.8
0.024
0.0
0.0
0.0
0.0 0.0
0.0
0
0.0
0.0
0.012
-0.012
-0.012
0.06
-0.06
0.2
0.2
-0.06
-0.06
EI
c
c
Partition
KuuK =
Kru
Kur
Krr
u r
u
r
Force vectorTransformation from member forces to Joint forces
L
P
8
LP
8
LP-
240 kN300 kNm300 kNm
Fixed End
Reaction
(FER)
A B
5 5
240 kN
C
5 5
120 kN
120 kN150 kNm150 kNm
300 kNm300 kNm
A B
5 5
240 kN
C
5 5
120 kN
150 kNm150 kNm
120120 6060
F1
F2
=
120
-300
F3
F6
F5
F4
180
150
60
150
120
-300
180
150
60
150
0.012
-0.012
-0.012
0.06
0.06
-0.06 0.06
0.06
-0.06
0.06
-0.06
0.4
0.4
0.2
0.2
0.0
0.8
0.024
0.0
0.0
0.0
0.0 0.0
0.0
0
0.0
0.0
0.012
-0.012
-0.012
0.06
-0.06
0.2
0.2
-0.06
-0.06
d1
d2
d3
d4
d5
d6
= EI
120
-300
180
150
60
150
-0.012 0.06
-0.06
0.06
-0.06
0.06
-0.06
0.4
0.4
0.2
0.2
0.0
0.8
0.024
0.0
0.0
0.0
0.0 0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.012
-0.012
-0.012
0.06
-0.06
0.2
0.2
-0.06
-0.06
d1
d2
d3
d4
d5
d6
=EI
=
qB
qC
150
150
0.8
0.2 0.4
0.2EI
qB
qC
=1
EI
-1150
150
0.8
0.2 0.4
0.2
qB
qC
=1
EI
107.14
321.43
qB
qC
=1
EI
-1150
150
0.8
0.2 0.4
0.2
Internal forces in beam elements
2 EI
LMAB= ( 2 + )qA qB
MBA=2 EI
L( + 2 )qA qB
M(FER) AB +
M(FER) BA +
240 kN300 kNm300 kNm
Fixed End
Reaction
(FER)
A B
5 5
240 kN
C
5 5
120 kN
120 kN150 kNm150 kNm
2 EI
LMAB= ( 2 + )qA qB
MBA=2 EI
L( + 2 )qA qB
M(FER) AB +
M(FER) BA +
= 300 + 2/10 (107.14) = 321.4
= -300 + 2/10 (2x107.14) = - 257.1
qB
qC
=1
EI
107.14
321.43
240 kN
300 kNm300 kNm
A B
2 EI
LMBC= ( 2 + )qB qC
MCB=2 EI
L( + 2 )qB qC
M(FER) BC +
M(FER) CB +
= 150 + 2/10 (2x107.14+321.43) = 257.1
= -150 + 2/10 (107.14+2x321.43) = 0
120 kN
150 kNm150 kNm
B C qB
qC
=1
EI
107.14
321.43
MAB= 321.4
MBA= -257.1
MBC= 257.1MCB= 0
321.4
257.1
B.M.D
93.8
128.55
300
171.45
A B
5 5
240 kN
C
5 5
120 kN
321.4
257.1
B.M.D
289.25
600
310.75
Beams with settlement
D
D6 EI
L2
D6 EI
L2D12 EI
L3
D12 EI
L3
Fixed End
Reaction
(FER)
Beams with settlement
D
D6 EI
L2
D6 EI
L2
D12 EI
L3
D12 EI
L3
Fixed End
Reaction
(FER)
Beams with settlement
D
D3 EI
L2D3 EI
L3
D3 EI
L3
Fixed End
Reaction
(FER)
Beams with settlement
D
D3 EI
L2D3 EI
L3
D3 EI
L3
Fixed End
Reaction
(FER)
169
Example 8:
Draw B.M.D for the shown beam due to the
shown loads and vertical downward
settlement at support B (2000/EI) and at
support C (1000/EI) where EI is constant for
all members
A B
5 5
240 kN
C
5 5
120 kN
=0.8
0.2 0.4
0.2K EI
From example 7 :
240 kN300 kNm300 kNm
Fixed End
Reaction
(FER)
A B
5 5
240 kN
C
5 5
120 kN
120 kN150 kNm150 kNm
For
Loads
Fixed End Reaction (FER)
A B
5 5
C
5 5
For
settlement
1000
EI
2000
EI
6 EIx1000
102 EI
6 EIx1000
102 EI
6 EIx2000
102 EI
6 EIx2000
102 EI
120
120 6060
300 kNm300 kNm
A B
5 5
240 kN
C
5 5
120 kN
150 kNm150 kNmFor
Loads
For
settlement 120 120 60 60
Fixed End
Reaction
(FER)
210 kNmTotal 90 kNm
420 180 90 210
A B
5 5
240 kN
C
5 5
120 kN
Fixed End
Reaction
(FER)
210 kNm90 kNm
Fixed End
Action
(FEA)
210 kNm90 kNm
A B
5 5
240 kN
C
5 5
120 kN
Fixed End
Action
(FEA)
210 kNm90 kNm
F1
F2
=90
210
F = K D
k11F1
F2
=k21
k12
k22
d1
d2
=
qB
qC
qB
qC
=1
EI
-1
90
210
90
210
0.8
0.2 0.4
0.2EI
0.8
0.2 0.4
0.2
qB
qC
=1
EI
-21.43
535.71
qB
qC
=1
EI
-190
210
0.8
0.2 0.4
0.2
Internal forces in beam elements
2 EI
LMAB= ( 2 + )qA qB
MBA=2 EI
L( + 2 )qA qB
M(FER) AB +
M(FER) BA +
300 kNm300 kNm
A B
5 5
240 kN
C
5 5
120 kN
150 kNm150 kNmFor
Loads
For
settlement 120 120 60 60
Fixed End
Reaction
(FER)
210 kNmTotal 90 kNm
420 180 90 210
2 EI
LMAB= ( 2 + )qA qB
MBA=2 EI
L( + 2 )qA qB
M(FER) AB +
M(FER) BA +
= 420 + 2/10 (-21.43) = 415.7
= -180 + 2/10 (2x-21.43) = - 188.6
180 kNm420 kNm
A B qB
qC
=1
EI
-21.43
535.71
2 EI
LMBC= ( 2 + )qB qC
MCB=2 EI
L( + 2 )qB qC
M(FER) BC +
M(FER) CB +
= 90 + 2/10 (2x-21.43+535.7) = 188.6
= -210 + 2/10 (-21.43+2x535.71) = 0
210 kNm90 kNm
B C qB
qC
=1
EI
-21.43
535.71
MAB= 321.4
MBA= -257.1
MBC= 257.1MCB= 0
415.7
188.6
B.M.D
93.8
94.3
300
205.7
A B
5 5
240 kN
C
5 5
120 kN
415.7
188.6
B.M.D
302.15
600
297.85