stromy

Teoretická informatikaTomáš Foltý[email protected]

Stromy

Teoretická informatika

Opakování

• Co je to graf?• Co je to sled, tah, cesta?• Co je to eulerovský a hamiltonovský graf?• Co je to (slabě / silně) souvislý graf?• Co je to izomorfismus grafů?• Co je to matice sousednosti?• Co je to matice incidence?• Jak jinak lze implementovat graf?

strana 2


Definice pojmů

• Graf bez kružnic (acyklický graf) se nazývá les

• Souvislý les se nazývá strom• Les je tedy takový graf, jehož každou

komponentou je strom• Stromy mohou být

– neorientované– orientované (kořenové)


Vlastnosti stromů

• Je dán strom G = (U, H, f). Pak |H| = |U| – 1 – důkaz indukcí přes počet uzlů stromu

• Mezi každými dvěma uzly stromu vede jediná cesta

• Přidáním jedné nové hrany do stromu vznikne kružnice (právě jedna)

• Každý uzel stromu je artikulace, každá hrana stromu je most

• Strom je minimální souvislý graf na daných vrcholech

strana 4


Neorientované stromy

• Uzel se stupněm 1 nazveme list.• Každý strom obsahuje alespoň jeden

list– v grafu, kde stupeň každého uzlu ≥ 2

musí existovat kružnice

• Graf vzniknuvší ze stromu odstraněním libovolného listu a s ním incidentní hrany, je opět strom.

strana 5


Kořenový strom I.

• Orientovaný strom je graf, jehož symetrizace je strom.

• Jestliže vybereme jeden uzel, který nazveme kořen, a všechny hrany jsou orientovány směrem od kořene, získáváme kořenový strom.

• Pro daný uzel pak hovoříme o – předchůdcích (rodičích)– následnících (potomcích)– sousedech (sourozencích)

• Uzel bez potomků se nazývá list– vstupní stupeň = 1, výstupní stupeň = 0


Kořenový strom II.

• Vzdálenost uzlu od kořene se nazývá výška uzlu.

• Výška stromu je výška uzlu (listu) s největší výškou.

• Liší-li vzdálenost (délka cesty) mezi kořenem a všemi listy nejvýše o 1, mluvíme o vyváženém stromu


Aplikace stromů

• Uzlově ohodnocený strom• Binární vyhledávací strom

– složitost vyhledávání je log(n) a ne n• je-li strom vyvážený

• Řazení algoritmem heap-sort– časová složitost n*log(n)

• Kódování– Morse, Huffmann, …


Binární vyhledávací strom

• Binární vyhledávací strom (BST) je uspořádaný binární uzlově ohodnocený strom, v němž pro každý uzel platí– hodnoty v levém podstromu jsou menší, než hodnota

v daném uzlu– hodnoty v pravém podstromu jsou větší, než

hodnota v daném uzlu– někdy připouštíme i rovnost, ale jen v 1 směru

• Algoritmy:– vyhledání uzlu– přidání uzlu– odebrání uzlu


BVS: Vyhledávání

strana 10

• Vstup: strom T, klíč k

• Výstup: ukazatel na uzel s klíčem k nebo NULL

• Otázka: Jak implementovat vkládání a rušení uzlu?


AVL stromy

• Pojmenován po autorech– Adelson-Velskii a Landis

• Samovyvažující binární vyhledávací strom• Pro každý uzel platí

– v levém podstromu jsou menší klíče– v pravém podstromu jsou větší klíče– výška levého a pravého podstromu se liší

nejvýše o 1• U každého uzlu koeficient vyváženosti

– rozdíl výšek levého a pravého podstromu


Vkládání uzlu do AVL stromu

• Vložíme uzel jako v BVS• Aktualizujeme koeficienty vyváženosti• Provedeme vyvážení pomocí

cyklických záměn ukazatelů– levá nebo pravá rotace: novým kořenem

se stává kořen vyššího podstromu– maximálně dvě (protisměrné) rotace na

jedno vložení


Vyvažování AVL stromu: levá rotace

• Pravý podstrom o 2 vyšší než levý– v pravém podstromu je vyšší pravý podstrom

• Analogicky pravá rotace

strana 13

zdroj: wikipedia


Vyvažování AVL stromu: dvojitá rotace

• Pravý podstrm o 2 vyšší než levý– v pravém podstromu vyšší levý podstrom

• Analogicky opačné rotace

strana 14


Rušení uzlu z AVL stromu

• Je-li rušený uzel list, odebereme jej

• Není-li, je třeba jej nahradit nejlevějším uzlem pravého podstromu nebo nejpravějším uzlem levého podstromu– Ten může mít maximálně 1 podstrom; jeho kořen jde

na místo zrušeného uzlu

• Aktualizujeme koeficienty vyváženosti až ke kořeni– V případě potřeby provedeme vyvážení


Halda (heap)

• Statická reprezentace prioritního stromu– zleva úplný vyvážený binární strom– každý uzel nese vyšší hodnotu, než všichni jeho

potomci– maximální hodnota je tedy v kořeni

• Pole, v němž jsou uzly určeny indexy– kořen má index 0– levý potomek uzlu s indexem n má index 2n+1– pravý potomek uzlu s indexem n má index 2n+2– rodič uzlu s indexem n má index [(n-1)/2]

• Halda šetří místo, protože není potřeba ukládat ukazatele

strana 16


Vkládání do haldy

• Vložíme nový uzel na nejbližší volnou pozici tak, aby strom zůstal zleva úplný

• Dokud má vkládaný uzel větší prioritu, než jeho rodič, vyměníme je– “probubláváme” s uzlem směrem nahoru

na správné místo

• Maximální počet výměn je h = log2n

strana 17


Vybírání z haldy

• Vždy vybíráme kořen– protože má nejvyšší prioritu

• Na jeho místo vložíme nejpravější list (L) maximální výšky– kvůli zachování levé úplnosti stromu

• Dokud má L nižší prioritu než některý z jeho potomků, vyměníme jej s potomkem vyšší priority– “probubláváme” s uzlem směrem dolů

• Maximální počet výměn je h = log2n

strana 18


Heap sort

• Řazení haldou

• Vybudování haldy vložením všech prvků– n*log(n)

• Postupné odebírání kořene a rekonstrukce haldy– n*log(n)

stromy

Documents