struktur statis tak tentu - simak-unwiku.ac.id + cross.pdf · metoda clapeyron atau yang dikenal...

A. Struktur Statis Tertentu dan Struktur Statis Tak Tentu

Struktur statis tertentu : Suatu struktur yang mempunyai kondisi di mana jumlah reaksi

perletakannya sama dengan jumlah syarat kesetimbangan statika.

Struktur statis tak tentu : suatu struktur yang mempunyai kondisi di mana jumlah reaksi

perletakannya melebihi jumlah syarat kesetimbangan statika.

Jenis perletakan dan reaksi yang timbul :

Mampu menahan gaya vetikal dan horisontal

tetapi mengalami rotasi (putaran sudut)

Mampu menahan gaya vetikal dan

mengalami rotasi

Mampu menahan gaya vetikal, horisontal

dan momen serta tidak mengalami

rotasi tumpuan

Jumlah syarat kesetimbangan statika :

1. Struktur 2 dimensi : 3 syarat kesetimbangan ----> Fx = 0 ; Fy = 0 ; M = 0

2. Struktur 3 dimensi : 6 syarat kesetimbangan ----> Fx = 0 ; Fy = 0 ; Fz = 0

Mx = 0 ; My = 0 ; Mz = 0

Pada suatu struktur balok atau portal, apabila jumlah joint (titik kumpul atau titik simpul) termasuk

perletakan dinyatakan sebagai j, jumlah batang yang dibatasi 2 joint dinyatakan sebagai m, dan

jumlah reaksi perletakan dinyatakan sebagai r maka dalam bentuk formula,

3

Jenis peletakan

Perletakan Sendi

Perletakan Rol

Perletakan Jepit

2

STRUKTUR STATIS TAK TENTU

Simbol/notasi Reaksi dan rotasi yang timbulNo.

1

y

x

z

x

y

Struktur statis tertentu : 3j = 3m + r

Struktur statis tak tentu : 3j < 3m + r

B. Contoh Struktur StatisTertentu dan Struktur Statis Tak Tentu

1.

Reaksi perletakan, r = 3 3j = 3m + r

Jumlah batang, m = 1 (3 * 2) = (3 * 1) + 3

Jumlah joint, j = 2 6 = 6 -------> Struktur statis tertentu

2.


Jumlah batang, m = 0 (3 * 1) = (3 * 0) + 3


3.


Jumlah batang, m = 1 (3 * 2) = (3 * 1) + 3


4.


Jumlah batang, m = 1 (3 * 2) = (3 * 1) + 4

Jumlah joint, j = 2 6 < 7 -------> Struktur statis tak tentu

A BRAy

RAx

RBy

A

RAy

RAx

MA

A BRAy

RAx

RBy

A B

RAy

RAx

RBy

RBx

y

x

y

x

y

x

y

x

5.


Jumlah batang, m = 2 (3 * 3) = (3 * 2) + 4

Jumlah joint, j = 3 9 < -------> Struktur statis tak tentu

6.


Jumlah batang, m = 2 (3 * 3) = (3 * 2) + 8

Jumlah joint, j = 3 9 < -------> Struktur statis tak tentu

7.

Reaksi perletakan, r = 3j = 3m + r

Jumlah batang, m = 3 (3 * 4) = (3 * 3) + 9

Jumlah joint, j = 4 < -------> Struktur statis tak tentu12

10

18

9

13

14

y

x

B C

RBx

RBy

RCx

RCy

A

RAy

RAx

MA MC

A

RAy

RAx

B

RBy

C

RCy

y

x

z

x

y

B

RBzRBy

RBx

RCz

RCxRCy

Tumpuan sendi

A

RAz

RAxRAy

C

C. Metode Analisis Pendekatan

dengan nol.

1. Struktur balok yang kedua ujungnya terjepit dengan beban merata

1) Balok statis tak tentu

kedua ujung terjepit

dengan beban merata

2) Sketsa deformasi balok

Terdapat dua titik belok

yaitu titik M dan N

Pada titik M dan N

momen lenturnya

sama dengan nol

3) Struktur diuraikan menjadi

segmen-segmen statis

stertentu yg terpisahkan

pada titik belok

Reaksi tumpuan dan

momen untuk masing-

masing segmen dapat

dihitung.

Segmen I :

RM = RN

= (w x 0,58L)/2

= 0,29 wL

ML = (wL2)/8

= (w x (0,58L)2)/8

= wL2/24

Metode analisis pendekatan didasarkan pada deformasi balok (struktur) dengan mencermati lokasi

titik-titik belok, di mana pada titik-titik belok deformasi balok (struktur) momen lenturnya sama

A B

MAMB

RA RB

L

A B

M N

0,21L 0,21L0,58L

w

A B

MAMB

RARB

M N

RM RN

0,21L 0,21L0,58L

w

ww

ML

(I)

(II) (II)

(+)

Segmen II :

RM atau RN menjadi

beban pada segmen II

RA = RB

= (w x 0,21L)+RM

= 0,21 wL + 0,29 wL

= 0,5 wL

MT = - (RM x 0,21L) -

(w x 0,21L) x (0,21L/2)

= - (0,29 wL x 0,21 L) -

0,022 wL2

= - wL2/12

Diagram momen untuk seluruh

struktur adalah gabungan dari

diagram momen masing-masing

segmen.

Diagram gaya lintang

2. Struktur balok yang kedua ujungnya terjepit dengan beban terpusat


kedua ujung terjepit

dengan beban terpusat


Terdapat dua titik belok

yaitu titik M dan N

Pada titik M dan N

momen lenturnya

sama dengan nol

ML=wL2/24

(-)

MT=- wL2/12

(-)

(+)

A B

MAMB

RARB

L

L/2

P

A B

M N

0,25L 0,25L0,5L

MT

(-)

(+)

(-) D=1/2wL

D=1/2wL



tertentu yang terpisahkan

pada titik belok

Reaksi tumpuan dan

momen untuk masing-

masing segmen dapat

dihitung.

Segmen I :

RM = RN

= 1/2 P

ML = 1/4 PL

= 1/4 x P x 0,5L

= 1/8 PL

Segmen II :

RM atau RN menjadi

beban pada segmen II

RA = RB

= RM

= 1/2 P

MT = - (RM x 0,25L)

- (1/2 P x 0,25L)

= -1/8 PL




segmen.


A B

MAMB

RARB

M N

0,25L 0,25L0,5L

(II) (II)

RM RN

P

(I)

ML

MT

ML = 1/8PL

MT=-1/8PL

(+)

(-)(-)

(+)

(-) D=-1/2P

D=1/2P

3. Struktur balok terjepit dan tumpuan sendi dengan beban merata


ujung terjepit dan

tumpuan sendi dengan

beban merata


Terdapat satu titik belok

yaitu titik M

Pada titik M momen

lenturnya adalah nol




pada titik belok

Reaksi tumpuan dan

momen untuk masing-

masing segmen dapat

dihitung.

Segmen I :

RM = RA

= (w x 0,75L)/2

= 0,375 wL

ML = (wL2)/8

= (w x (0,75L)2)/8

= 9/128 wL2

Segmen II :

RM menjadi beban pada

segmen II

RB = (w x 0,25L)+RM

= 0,25 wL + 0,375 wL

= 0,625 wL

A B

MB

RARB

L

w

A

M

0,25L0,75L

A

B

MB

RA

RB

M

RM

0,25L0,75L

w

w

(I)

(II)

ML

(+)

MT

(-)

MT = - (RM x 0,25L) -

(w x 0,25L) x (0,25L/2)

= - (0,375 wL x 0,25 L) -

0,03125 wL2

= - wL2/8




segmen.


4. Struktur balok terjepit dan tumpuan sendi dengan beban terpusat


ujung terjepit dan

tumpuan sendi dengan

beban terpusat


Terdapat satu titik belok

yaitu titik M

Pada titik M momen

lenturnya sama dengan

nol

MT=-wL2/8

(-)

ML=9/128wL2

(+)

A B

MB

RARB

L

A

B

M

0,2725L0,7275L

P

L/2

P

(+)

(-)

D=-0,625wL

D=0,375wL




pada titik belok

Reaksi tumpuan dan

momen untuk masing-

masing segmen dapat

dihitung.

Segmen I :

RM = (0,5/0,7275) x P

= 0,687 P

RA = (0,2275/0,7275) x P

= 0,313 P

ML = RA x 0,5L

= 0,313P x 0,5L

= 5/32 PL atau

ML = RM x 0,2275L

= 0,687P x 0,2275L

= 5/32 PL

Segmen II :

RM menjadi beban pada

segmen II

RB = RM

= 0,687 P

MT = - (RM x 0,2725L) -

= - (0,687 P x 0,2725 L) -

= -3/16 PL




segmen.

A

RA

RM

(I)

B

MB

RB

M(II)

P

0,2725L0,7275L

0,5L 0,2275L

ML

(+)

MT

(-)

ML=5/32 PL

(+)

MT=-3/16 PL

(-)


D. Metode Clapeyron

1. Pengertian metode Clapeyron

persyaratan yaitu :

1) Keseimbangan

kaku sama dengan nol.

2) Kestabilan

sama besarnya dan arahnya

Perhatikan konstruksi di bawah ini !

Batang T1, T2, T3 bertemu di titik simpul T dengan sambungan kaku maka,

MT1 + MT2 + MT3 = 0 dan qT1 = qT2 = qT3

diasumsikan sebagai sambungan kaku, dimana dalam sambungan kaku harus dipenuhi dua

Jumlah momen batang-batang yang bertemu pada sebuah titik simpul yang disambung secara

Rotasi batang-batang yang bertemu pada sebuah titik simpul yang disambung secara kaku

Metoda Clapeyron atau yang dikenal juga dengan Metode Persamaan Tiga Momen adalah salah cara

menyelesaikan suatu struktur statis tak tentu di mana meliputi perhitungan semua gaya-gaya luar

(reaksi perletakan) dan gaya-gaya dalam (gaya normal, gaya lintang, momen) pada struktur tersebut.

Pada suatu struktur balok dan portal, sambungan antara batang-batang pada struktur tersebut

D=-0,687P

D=0,313P

1 2

3

T

MT1

MT2

MT3

P

qT3

qT2

qT1

(+)

(-)

Deformasi (rotasi) balok disebabkan oleh beberapa faktor yaitu :

1) Akibat beban luar yang bekerja

a) Beban terpusat di tengah bentang

q12 = q21 =

b) Beban terpusat jarak a dari tumpuan 1

q12 =

q21 =

c) Beban merata

q12 = q21 =

d) Beban merata setengah bentag

q12 =

q21 =

2) Akibat momen pada salah satu ujung balok

a) Momen di ujung balok 1

q12 =

q21 =

3 EI

PL2

Pb (L2 - b

2)

6 EI L

24 EI

16 EI

M1 L

Pa (L2 - a

2)

6 EI L

wL3

384 EI

7 wL3

9 wL3

384 EI

M1 L

6 EI

1 2q12 q21

P

EI

L/2 L/2

1 2q12 q21

P

EI

a b

L

1 2q12 q21

EI

L

w

1 2q12 q21

EI

w

L/2 L/2

M1

1 2q12 q21

EI

L

b) Momen di ujung balok 2

q12 =

q21 =

3) Akibat perpindahan (translasi) relatif ujung balok terhadap ujung balok yang lain

q12 = q21 =

bergoyang.

sebagai berikut :

1)

2)

3) Batang dibatasi oleh dua titik simpul, sehingga pergerakan titik simpul searah batang sama.

Dari konsep tersebut dapat dirumuskan : n = 2 j – (m + 2f + 2 h + r)

dimana,

n = jumlah derajat kebebasan dalam pergoyangan.

j = jumlah titik simpul termasuk perletakan

m = jumlah batang yang dibatasi oleh dua joint.

f = jumlah perletakan jepit.

h = jumlah perletakan sendi.

r = jumlah perletakan rol

Apabila n 0, struktur tidak dapat bergoyang.

dari dua ketentuan syarat sambungan kaku seperti yang disebutkan diatas yaitu :

1) Jumlah momen-momen batang yang bertemu pada satu titik simpul sama dengan nol.

2) Rotasi batang-batang yang bertemu pada satu titik sama, besar dan arahnya.Dan kalau ada variabel D perlu persamaan keseimbangan struktur.

(bilangan yang tidak diketahui) dan pergoyangan (defleksi D ) pada struktur-struktur yang dapat

Untuk menentukan apakah sebuah struktur dapat bergoyang atau tidak, dapat dilihat dari teori

Suatu titik simpul mempunyai dua kemungkinan arah pergerakan, yaitu vertikal dan horizontal.

Perletakan jepit dan perletakan sendi tidak dapat bergerak vertikal maupun horizontal,

sedangkan perletakan rol dapat bergerak hanya pada satu arah yaitu searah bidang perletakan.

Untuk menghitung variabel yang ada, disusun persamaan-persamaan sejumlah variabel yang ada

Metoda Clapeyron (Persamaan Tiga Momen) memakai momen-momen batang sebagai variabel

3 EI

D

L

M2 L

6 EI

M2 L

M2

1 2q12 q21

EI

L

1 2

q12

q21

L

D

2. Langkah-langkah penyelesaian metode Clapeyron

Untuk menyelesaikan perhitungan struktur statis tidak tertentu dengan metode Clapeyron (metode

Persamaan Tiga momen) urutan langkah-langkah yang harus dikerjakan adalah sebagai berikut :

1) Tentukan apakah struktur statis tidak tertentu tersebut mempunyai pergoyangan, dengan

rumus :

n = 2 j – (m + 2f + 2 h + r)

Kalau n 0, berarti stuktur tersebut tidak bergoyang.

a)

Balok diatas tiga tumpuan, A jepit, B dan C rol, dengan beban seperti

tergambar, maka :

j = 3 ; m = 2 ; f = 1 ; h = 0 ; r = 2

n = 2 j – (m + 2f + 2 h + r)

= (2 x 3) - ((2 + (2 x 1) + (2 x 0) + 2))

= 0 --------> Tidak ada pergoyangan

b)

Suatu portal dengan perletakan A dan B sendi, dengan ukuran dan beban

seperti tergambar, maka :

j = 4 ; m = 3 ; f = 0 ; h = 2 ; r = 0

n = 2 j – (m + 2f + 2 h + r)

= (2 x 4) - ((3 + (2 x 0) + (2 x 2) + 0))

= 1 --------> Ada pergoyangan

w=5 kN/m

AB 6 mCD4 m3 m

P=10 kN

EI EI EI

4 m 1,5 mA B

P1=4 kN

P2=6 kN

w=5 kN/m

C D E

4 m EI EI

EI EI

2)

ketentuan yang harus diperhatikan yaitu :

a) Batang tidak berubah panjang, suatu batang ( ij ) kalau joint i bergerak ke kanan sebesar D , maka joint j juga akan berpindah ke kanan sebesar D.

b)

digambarkan dari arah asli sumbu batang ke arah sumbu batang setelah bergoyang.

3)

sama, tetapi arahnya berlawanan.

batang yang lain besar maupun arahnya dimisalkan dengan mengingat ketentuan bahwa

jumlah momen-momen batang yang bertemu pada satu titik simpul sama dengan nol. Jadi

kalau pada satu titik simpul bertemu dua batang , maka besarnya momen-momen batang tadi

Kalau ada pergoyangan, gambarkan bentuk pergoyangan dan tentukan arah rotasi batang –

batang akibat pergoyangan tersebut. Dalam menggambarkan bentuk pergoyangan ada dua

Batang dapat berotasi akibat perpindahan relatif ujung-ujung batang. Perpindahan relatif

antara ujung-ujung batang dapat digambarkan tegak lurus sumbu batang dan arah rotasi

Gambarkan permisalan arah momen-momen batang. Untuk momen kantilever, dapat dihitung

besarnya dan ditentukan secara pasti arah putarannya, sedangkan untuk momen- momen

w=5 kN/m P=10 kN

ABCD MABMBAMBCMCBMCD

P1=4 kN

4) Gambar pemisalan bentuk garis elastis struktur.

bahwa :

a)

harus digambarkan dengan arah rotasi yang sama yaitu searah jarum jam.

b)

rotasi),

searah jarum jam, maka batang-batang yang lain yang bertemu pada titik simpul tersebut

Ujung batang yang terjepit tetap mengalami rotasi (pada saat pemisalan garis elastis

batang yang ujungnya terjepit diasumsikan sebagai tumpuan sendi, sehingga mengalami

Untuk menggambarkan permisalan bentuk garis elastis struktur, harus mengingat ketentuan

Rotasi batang-batang yang bertemu pada satu titik simpul adalah sama besarnya maupun

arahnya. Jadi kalau salah satu batang yang bertemu pada satu titik dimisalkan rotasinya

A B

P1=4 kN

P2=6 kN

w=5 kN/m

C D EMDE

MDB

MDCMCD

MCA

A B

P1=4 kN

P2=6 kN

w=5 kN/m

C D E

qDBBqCA

qCDB qDC

qDE

w=5 kN/m P=10 kN

ABCD

qBA

qBC

Walaupun terjepit tetap mengalami rotasi

5)

batang (Δ) kalau ada goyangan.

6)

momen dan rotasi batang-batang pada titik simpul atau perletakan.

a)

tanda negatif (-) , atau sebaliknya.

b) Rotasi batang dengan perletakan jepit sama dengan nol.

c)

sebaliknya diberi tanda negatif (-).

d)

menghubungkan antara variable satu dengan yang lainnya.

7)

yang dimisalkan terbalik.

8)

tidak tertentu tersebut dapat digambarkan.

3. Contoh-contoh soal :

(free body diagram), maka bidang momen, gaya lintang dan gaya normal dari struktur statis

Dari persamaan-persamaan yang disusun diatas , maka variable-variable yang berupa momen-

momen batang tadi dapat dihitung besarnya. Kalau nilai variable yang didapat positif (+),

maka arah momen permisalan benar, sedangkan kalau nilainya negatif (-), maka arah momen

Setelah momen-momen diperoleh, dengan perhitungan keseimbangan tiap-tiap batang

(rotasi batang) dengan beban dan momen – momen yang ada pada batang tersebut.

Kalau arah rotasi batang pada permisalan garis elastis sesuai dengan rotasi batang yang

diakibatkan oleh beban dan momen batang yang bekerja diberi tanda positif (+) , kalau

Kalau ada variable pergoyangan (Δ) maka perlu tambahan persamaan keseimbangan

struktur. Disini kita buat perhitungan “ free body diagram” dengan arah momen-momen

batang seperti yang dimisalkan , sehingga kita mendapatkan satu persamaan yang

yang ada. Penyusunan persamaan – persamaan tersebut berdasarkan ketentuan keseimbangan

Momen batang-batang yang bertemu pada satu titik simpul sama dengan nol. Untuk

momen batang yang digambarkan dengan arah sama, diberi tanda sama. Misalnya kalau

searah jarum jam diberi tanda positif (+). Maka yang berlawanan arah jarum jam diberi

Rotasi batang-batang yang bertemu pada satu titik simpul sama besar maupun arahnya .

Untuk menyusun persamaan rotasi harus memperhatikan permisalan garis elastis

Dari langkah 1-4 yang telah dikerjakan diatas dapat ditentukan jumlah variablenya, yaitu

momen-momen batang yang belum diketahui besarnya dan perpidahan relatif ujung

Untuk menghitung variable-variable diatas, susunlah persamaan-persamaan sejumlah variable

struktur statis tak tentu - simak-unwiku.ac.id + cross.pdf · metoda clapeyron atau yang dikenal...

Documents