struktura a vlastnosti l.tek iartemis.osu.cz/fypx1/sklenak.pdf · rovnoměrný pohyb hb po...

FYZIKA 1

UČEBNÍ TEXT KATEDRY FYZIKY PrF OU

L.SKLENÁK, 2002

Fyzika 1 PřF OU, Sklenák, 2002 1

1. MECHANIKA HMOTNÉHO BODU (HB)

KINEMATIKA HB

Hmotný bod (dále jen HB) je nejjednodušším z modelů reálných objektů (těles) používaných v mechanice. Za hmotný bod můžeme považovat každé těleso, jehož vlastní rozměry můžeme při vyšetřování daného pohybu zanedbat. Zavedení tohoto modelu podstatně zjednoduší popis pohybu, kterým se zabývá kinematika.

Základními veličinami kinematiky HB jsou polohový vektor ( )trrrr

= , vektor okamžité rychlosti ( )tvv =

rr a vektor okamžitého zrychlení ( )ta=a .

rr

Rozhodnutí o pohybovém stavu HB a popis pohybu můžeme učinit až po volbě vztažné soustavy – jednoho nebo několika těles, která pokládáme za klidná. Pro popis pohybu je nutno připojit ke vztažné soustavě soustavu souřadnic – např. kartézskou soustavu souřadnic (KSS) s bázovými vektory ( )001 ,,i

r, ( )010 ,,j

r,

( 100 ,,kr

) - obr.1.1

( )trr

ir j

r

kr

Obr.1.1

Trajektorie HB v dané vztažné soustavě

z(t)

y(t)

x(t)

0

z

y

x

„HB“ •

Po volbě vztažné soustavy a soustavy souřadnic můžeme (každému) HB přiřadit jeho polohový vektor ( ) ( ) ( ) ( )ktzjtyitxtrr

rrrrr++== . Počáteční bod polohového

vektoru je trvale v počátku soustavy souřadnic, koncový bod je spojen se „svým“ HB a spolu s ním se pohybuje. Trajektorie pohybu HB - množina bodů v prostoru, jimiž HB prochází, obecně prostorová křivka, „dráha“ HB z hlediska jejího tvaru. Trajektorie není fyzikální veličina - nelze ji měřit. Můžeme ji pouze „hodnotit“ a zařadit - přímka, křivka, kružnice, kuželosečka apod. Podle (tvaru) trajektorie dělíme pohyby HB na přímočaré a křivočaré.


DRÁHA

rr

∆

( )tA

( )t ′

∆s = délka oblouku AB

trajektorie HB

Obr.1.2

•

• B

Je to skalární veličina - délka s∆ oblouku trajektorie, který HB opíše (urazí) za časový interval t−tt ′=∆ (obr.1.2); [ ] m=s .

PRŮMĚRNÁ RYCHLOST

Průměrná rychlost HB na dráze s∆ uražené za časový interval ttt ′−=∆ je [ ]1-

pp sm ⋅=∆∆= vtsv ; - skalární veličina.

OKAMŽITÁ RYCHLOST POHYBU

Okamžitá rychlost HB - vektorová veličina - ( ) ( ) ( ) ( )ktvjtvitvt zyxvrrr

++=v ;

[ ] -1sm ⋅=v .

Pohyb HB po křivočaré trajektorii (obr.1.3);

tečna

0τ

0τ′r

( )tvr

rr

r ′r

rr

∆ s∆

( )tA

( )t ′B

r .tt −′=, ttttt ∆>′≈′≈ B,A, Obr.1.3

BA →⇒′→ tt , rr ′→τ′→rrr

,0τr

0 .

Dráha HB - oblouk AB o délce s∆ ; změna polohy HB je rrr −′=∆

rrr.

P

Průměrná rychlost HB v intervalu ttt −′=∆ je ts ∆p ∆=v . Trajektorie HB

Okamžitá rychlost HB v okamžiku t ⇒ „návrat“ z blízkého následného okamžiku

t ′ do uvažovaného (počátečního) okamžiku t .

Tento limitní přechod t→′t představuje základní krok vyšší matematiky pro získání okamžitých vektorových nebo skalárních fyzikálních veličin.

!!! 0∆ →⇔→′ ttt !!!

srrrrttt ∆→∆⇒→∆⇔→′τ→τ′→⇒→⇔→′ 0,AB0∆ 00

rrrrrr, .

00 τ′τrr, - jednotkové tečné vektory trajektorie HB v bodech A,B. Formální úprava:

ttt d∆0∆ →⇔→


t∆ - konečný, měřitelný (časový) interval, td - nekonečně malý, neměřitelný, neurčitý - infinitesimální (časový) interval.

.;; srrrrrtt dddddd∆ 0 =τ=→∆⇒→rrrr

Vektor okamžité rychlosti HB (v okamžiku t):

( ) rtr

trtv

t&r

rrr

==∆∆

=→∆ d

d0

lim .

Vektor okamžité rychlosti ( )trv pohybu HB je první (úplnou) derivací polohového vektoru ( )tr

r - vektorové rovnice dráhy HB podle času ⇔ vektor ( )trv

představuje okamžitou změnu polohového vektoru ( )trr

.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] =++=++== ktzj

tyi

txktzjtyitx

tttrtv

rrrrrrrr

dd

dd

dd

dd

dd

( ),,, zyxzyx vvvvkvjvivrrrr

=++= ( ) ⇒τ=τ== 00 dd

dd

dd rrr

r

ts

tr

trtv

Vektor okamžité rychlosti má v každém bodě trajektorie směr její tečny v tomto bodě - vektor v je souhlasně rovnoběžný s jednotkovým tečným vektorem

r0τr -

( ) ( )ttv 0τ↑↑rr

.

SPECIÁLNÍ PŘÍPAD konst.=v

r - vektor v je vektorovou konstantou - má tedy stálý směr a konstantní

velikost - pohyb HB je v tomto případě přímočarý a rovnoměrný.

r

Dráhu ( ts ∆ ) HB za časový interval 12 ttt −=∆ určíme jako rozdíl souřadnic HB, příslušejících okamžikům 12 t,t ⇒

( ) ( ) ( ) .tvtxtxts ∆=−=∆ 12

POZNÁMKA: Tento vztah pro výpočet dráhy lze použít i tehdy, je-li pohyb HB pouze rovnoměrný ( )konst.=v .

OKAMŽITÉ ZRYCHLENÍ POHYBU HB

Okamžité zrychlení HB: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 2sm −⋅=++= aktajtaitata zyx ;rrrr

- vektorová veličina.

Pohyb HB po křivočaré trajektorii (obr.1.4)

⇒→′−′=∆>′≈′≈ ttttttttt ;,,BA, ., rrvvrrrr

→′→′→ A,B

Chceme-li určit vektor okamžitého zrychlení HB v okamžiku t , provedeme opět „návrat“ do tohoto okamžiku obvyklým krokem ( )ttt d0 →∆→∆

( ) .,,, vvvvrrrrtttttrrrrrsrr

ddA,Bd0 →∆→′→∆→′→⇒→′⇔→∆→∆


vr

v ′r

rr

∆

r ′r

rrObr.1.4

Pa)

( )tA

( )t ′B

vr

v ′r

vvvrrr

−′=∆

b) Vektor okamžitého zrychlení pohybu HB je pak

( ) vtv

tvta

t&r

rrr

==∆∆

=→∆ d

d0

lim

Vektor okamžitého zrychlení pohybu HB ( )tra je první (úplnou) derivací vektoru okamžité rychlosti ( )tv HB podle času ⇔ vektor

r ( )tar

představuje okamžitou změnu vektoru ( )tv

r.

Současně platí také

( )[ ] ,rtr

tr

ttv

ttv &&r

rrr

r

==

== 2

2

dd

dd

dd

dd

dd

takže vztah mezi kinematickými veličinami popisujícími pohyb HB lze vyjádřit v jednoduché podobě

rva &&r&rr==

( ) ( ) ( );,,,,,,,, zyxzyx aaaavvvvzyxrrrr

⇔== 2

2

dd

dd

tx

tva x

x xva xx &&& == , ⇔== 2

2

dd

dd

ty

tv y

ya yva yy &&& == ,

⇔== 2

2

dd

dd

tz

tva z

z zva zz &&& == .

SPECIÁLNÍ PŘÍPAD

konst.=ar

⇒ vektor a má stálý směr a konstantní velikost ⇒ HB koná přímočarý, rovnoměrně zrychlený nebo rovnoměrně zpomalený pohyb.

r

( ) konst.konst.,konst.,konst. ===⇒= zyxzyx aaaaaaaa ,,,rr

Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb ( 0varr

↑↑ ):

( ) 0vattv += ; ( ) 002

21 xtvattx ++= . Za časový interval t,0 urazí HB dráhu

( ) tvatts 02

21 += .


Rovnoměrně zpomalený přímočarý pohyb ( 0vrr

↑↓a ):

( ) 0vattv +−= ; ( ) 002

21 xtvattx ++−= . Za časový interval t,0 , urazí HB dráhu

( ) tvatts 02

21 +−= .

POHYB HB PO KRUŽNICI

Křivočarý pohyb HB – pohyb s tzv. dostředivým zrychlením r

va2

d =r

; trajektorií

pohybu je kružnice o poloměru r - HB koná rovinný pohyb; volba KSS: rr =⇒≡

rS0 .

A. ROVNOMĚRNÝ POHYB HB PO KRUŽNICI

konst.=v ; konst.=r ⇒ .konst2

d ==r

va .

Úhlová dráha - úhel opsaný průvodičem HB (jeho polohovým vektorem) za časový interval

( ) [ ] ( ) 1rad ==ϕϕ ;tt,0 . Hodnota úhlu ϕ v obloukové míře je

( ) ttrv ω=rtvrs ===ϕ ; konst.=ω=rv , rv=ω . ω je velikost úhlové rychlosti HB; . [ ] ( ) 11 ssrad −− =⋅=ω

Složky polohového vektoru HB v okamžiku t (obr.1.5)

( ) ( ) .sin;cos trtytrtx ω=ω=

y

dn aaarrr

==

x 0 ≡ S A ≈ (t = 0)

B ≈(t)

x(t)

y(t) Obr.1.5

( )tvr

( )tr

r

ϕ(t) = ωt

složky vektoru okamžité rychlosti v okamžiku t :

( ) ( ) ( ) ( ) .cos;sin trtytvtrtxtv yx ωω==ωω−== &&

Složky vektoru okamžitého (normálového) zrychlení v okamžiku t :

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ).sin

;cos

tytrtytvtatxtrtxtvta

yy

xx22

22

ω−=ωω−===

ω−=ωω−===

&&&

&&&


Odtud dostáváme

( ) jtritrtrrrr

ω+ω= sincos , ( ) jtritrtvrrr

ωω+ωω−= cossin

( ) jtritrtarrr

ωω−+ωω−= sincos 22 .

Rovnoměrný pohyb HB po kružnici je periodický pohyb s periodou T . Vyjádření periody získáme z podmínky periodičnosti goniometrických funkcí tωsin a tωcos ⇒

( ) ( ) π=ω⇒π+ω=+ω 22 TtTt sinsin ⇒ ωπ

=2T .

Frekvence f pohybu je pak [ ] ( )hertzHzs2

1 1 ==πω

== −fT

f ; .

B. NEROVNOMĚRNÝ POHYB HB PO KRUŽNICI.

( )tvv = . Vyjádřeme dráhu pohybu HB a derivujme ji podle času

( ) ( ) rrravsrrvsrtts ε=ω=ϕ===ω=ϕ==ϕ= &&&&&&&& t;; ⇒

2nt ω=ε=ω=ϕ= rararvrs ;;; ; ε ω ϕ= =& &&

ε je úhlové zrychlení pohybu; [ ] . ( ) -2-2 ssrad =⋅=ε

Je-li pohyb HB po kružnici rovnoměrně zrychlený nebo zpomalený, platí

( ) ..;. 0t 0konstkonst ω=ω=ε⇒=ε= ra

( ) ( ) ( ) 000t ω+ε±=ω=⇒ω+ε±=+±= ttrtvrtrvtatv

K určení polohy HB na kružnici můžeme použít délku oblouku ( )ts , měřeného od bodu [ 0,r ] v kladném i záporném smyslu [kružnice je „souřadnicovou osou“ a ( ) )∞±∈ ,0ts ]. Jinou možností je použití úhlové souřadnice – hodnoty

orientovaného úhlu ( ) )∞±∈ϕ ,0t , jehož počátečním ramenem je kladná poloosa x. Při rovnoměrně zrychleném nebo zpomaleném pohybu HB lze tyto souřadnice vyjádřit jako

( ) ( ) ( ) 002

002

002

t 21

21

21

ϕ+ω+ε±=ϕ=⇒ϕ+ω+ε±=++±= tttrtsrtrtrstvtats

Pro úhlovou dráhu za časový interval t,0 dostáváme

( ) .ttt 02

21

ω+ε±=ϕ

Znaménko (+) ve výše uvedených vztazích platí pro pohyb zrychlený, znaménko (-) pro pohyb zpomalený.

Fyzika 1 PřF OU, Sklenák, 2002

7

DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU

Předmět studia: vzájemné působení těles, vedoucí ke změně jejich pohybového stavu.

Základní veličina: síla F . . r

[ ] -2smkgN ⋅⋅==F

Druhy sil (v mechanice): vtištěné (potenciálové, disipativní), setrvačné. Základ a východisko dynamiky - tři zákony pohybu (publikované poprvé společně I.NEWTONEM r.1687) + axiom o nezávislosti silového působení.

Zákon setrvačnosti (G.GALILEI) Každé těleso setrvává ve stavu klidu nebo pohybu rovnoměrném přímočarém,

pokud není vnější (vtištěnou) silou nuceno tento pohybový stav změnit

konst.0 =⇔= vFrrr

Setrvačnost - základní vlastnost hmoty. Jestliže na HB schopný pohybu nepůsobí (vtištěná) síla, nebo na něj působí více sil, které mají nulovou výslednici ⇒

konst.0 =⇔= vFrrr

- HB koná setrvačný pohyb, což je pohyb rovnoměrný přímočarý nebo relativní klid.

Ve vztažných soustavách, v nichž platí zákon setrvačnosti, koná volné těleso výhradně setrvačný pohyb. Takovým soustavám říkáme setrvačné neboli

inerciální.

HYBNOST HB Vektorová veličina p

r definovaná jako součin hmotnosti m a vektoru v okamžité

rychlosti HB:

r

[ ] .;; 1smkgdd −⋅⋅=↑↑=== pvprm

trmvmp

rr&rr

rr

Setrvačný pohyb: ( )konst.konst.konst. ==⇒= mpvrr

.

Hmotnost m - míra látky obsažené v tělese o objemu V ⇒ průměrná hustota látky (tělesa) je [ ] 3

p mkg −⋅=ρ=ρ ;Vm Hmotnost tělesa (hmotného bodu) pokládáme v newtonovské mechanice za konstantní. Hybnost je informativnější veličinou než okamžitá rychlost, neboť velikost hybnosti vypovídá o setrvačných účincích tělesa hmotnosti m , pohybujícího se rychlostí v a také - jak dále uvidíme – i o impulsu síly, potřebném např. k jeho zastavení (srovnej pohyb komára a lokomotivy, dějící se stejnou rychlostí).

Druhý pohybový zákon Okamžitá změna hybnosti tělesa je rovna vtištěné síle ⇒ Fp

tp r&rr

==dd .

.FaFamtvm

tpm

rrrrrr

↑↑⇒===⇒=dd

ddkonst.


8

⇒=⇒>∧= FammFam 0rr

aFm =s , takto definovanou hmotnost (tělesa) nazýváme hmotnost setrvačná.

Těleso v gravitačním poli se (v daném bodě pole) pohybuje s gravitačním zrychlením ga

r r a gravitační síla působící na těleso je tedy

r ⇒= gg amF ggg aFm = ;

gm je tzv. hmotnost gravitační.

Podle jednoho z nejdůležitějších principů fyziky platí mmm == gs . V pozemských

podmínkách na těleso o hmotnosti m působí tíhová síla GgmF ==G

rrr.

Zákon akce a reakce Akce F

r vyvolává vždy stejně velikou reakci FF =′′;

rF opačného směru

( )FFFFrrr

−=′⇒↑↓′r

. Síly vzájemného působení těles mají stejnou velikost, opačný směr, společnou vektorovou přímku a stejnou dobu působení.

Fr

akce tělesa hmotnosti 1m vůči tělesu hmotnosti 2m , F ′r

- reakce tělesa hmotnosti 2m vůči tělesu hmotnosti 1m ⇒

⇒−=⇒=′=−=′ 22111122 amamamFamFFFrrrrrrrr

,; .;1

2

2

121 m

maa

aa =↑↓rr

Síly akce a reakce jsou síly působící na dvě různá tělesa - nelze je proto spolu skládat. Vzájemné působení těles se uskutečňuje buď při přímém kontaktu (srážce), nebo na dálku - prostřednictvím silových polí (např. polí gravitačních).

Axiom o nezávislosti silového působení Působí-li na HB více vtištěných sil současně, je výsledné zrychlení HB vektorovým součtem – tzv. superpozicí dílčích zrychlení v libovolném pořadí (vektorových) sčítanců.

⇒==== nn amFamFamFamFrr

Krrrrrr

,,,, 332211

( ) Fm

FFFFm

aaaaa nn

rrK

rrrrL

rrrr 11321321 =+++=++++= ,

nFFFFFr

Krrrr+++= 321

SÍLA JAKO PŘÍČINA ZMĚNY POHYBOVÉHO STAVU HB konst.konst. =⇒= aF

rr⇒ rovnoměrně zrychlený nebo zpomalený přímočarý

pohyb HB, ( ) ( )taatFrrrr

=⇒=F ⇒ obecně nerovnoměrný a křivočarý pohyb HB ⇒

( ) ntntntnt FFamamaamamFaaarrrrrrrrrrr

+=+=+==⇒+= ;

tFr

- tečná složka vtištěné síly, n

rF - normálová složka vtištěné síly.


9

02

0

2

n0t dd nrmn

rvmF

tvmF

rrrrrr

ω==τ= , .

Tečná složka vtištěné síly mění velikost vektoru (okamžité) rychlosti vr

pohybu HB, normálová složka mění jeho směr. POZNÁMKA - při rovnoměrném pohybu po kružnici působí na HB, která má nenulovou pouze normálovou složku

02

0

2

nd nrmnr

vmFFFrrrrr

ω==== .

Vzhledem k tomu, že tato normálová síla směřuje stále do středu trajektorie HB, říkáme ji síla dostředivá. Stejně tak i normálové zrychlení při rovnoměrném , jehož je tato síla příčinou, nazýváme zrychlení dostředivé - ( ) d0

20

2n anrvnr

rrrr==ω=a .

HYBNOST HB (TĚLESA) A IMPULS SÍLY

⇒=⇒⋅= tFptFtp ddd

dd rrrr

Ippprrrr

=−′=∆p′r

pr

p

Obr.1.6 (t´)

(t)

r

Iprr

dd = .

Elementární změna pr

d vektoru hybnosti HB p

r je

rovna elementárnímu impulsu síly tFI dd =

rr ⇒

tFIp dddrrr

== .

Na obr.1.6 je Ippprrrr

=−′=∆ celková změna hybnosti HB; Ir

je celkový impuls síly v konečném časovém intervalu t∆ .

DISIPATIVNÍ SÍLY

Disipativní síly jsou síly odporující pohybu těles ⇒ vFrr

↑↓ . Disipativní síly působí pouze na pohybující se tělesa.

Obr.1.7

v

konst.=gr

gmGFNrrrr

=== n

TFr

vr

tFr

TFr

gmGrr

=

α== cos, GNFN n

rr

α

TŘECÍ SÍLA

Třecí síla T

rF se projevuje při

vlečení (smýkání) jednoho tělesa po povrchu jiného, obvykle klidného tělesa - obr.1.7.


10

Velikost třecí síly závisí - na jakosti styčných ploch obou těles ( )f ,

- na velikosti N síly Nr

, která k sobě tlačí styčné plochy a je k nim kolmá,

NfFvF =∧↑↓ TTrr

.

Velikost třecí síly nezávisí - na velikosti styčných ploch,

- na velikosti (relativní) rychlosti jednoho tělesa vůči druhému.

Bezrozměrový součinitel třecí síly f souvisí s jakostí styčných ploch a druhem látek, které se po sobě smýkají. Jeho hodnota 0f je při uvádění těles z klidu do pohybu (za jinak stejných podmínek ) větší, než při pohybu samém ( )ff >0 .

„Přitlačující“ silou Nr

je nejčastěji tíha vlečeného tělesa nebo její složka (obr.1.7).

VALIVÝ ODPOR Valivý odpor vF

r se projevuje při válení jednoho tělesa po povrchu jiného tělesa.

V případě kola o poloměru r , jedoucího po vodorovné rovině platí

rNFvF ξ=∧↑↓ vv

rr,

kde ξ je součinitel (nebo také rameno) valivého odporu [ ] m=ξ . Příčinou valivého odporu je deformace podložky v okolí styku s kolem.

POSUVNÝ POHYB TĚLESA PO NAKLONĚNÉ ROVINĚ

A. 0T =F - těleso se po nakloněné rovině pohybuje bez působení síly odporující jeho pohybu.

Na těleso (obr.1.10b) působí tíhová síla , a reakce nakloněné ntG FFgmFrrrr

+==

roviny . Výslednice těchto sil nFR −=rr

rr

( ) tnntG FFFFRFFrrrrr

=−++=+= , α= sinmgFt

je konstantní síla, která uděluje tělesu o hmotnosti m zrychlení

α=↑↑ sin, gaFa t

rr

Toto (konstantní) zrychlení roste s náklonem roviny a pro přechází v α o90=αtíhové zrychlení.

B. 0T ≠F . Na těleso v tomto případě působí síly , a , pro něž platí GFr

Rr

TFr

ntG FFFrrr

+= , F , F , , , F , α= sinmgt α= cosmgn nFRrr

−= tT FFrr

↑↓ Nf=T

⇒= nFNrr

α= cosmgfTF . Jejich výslednicí je síla

TtTG FFFRFFrrrrrr

+=++= , ( )α−α= cossin fmgF .


11

Je-li , je příčinou rovnoměrně zrychleného pohynu se zrychlením 0>F

( )gfaFa α−α=↑↑ cossin,rr

Poznámka Pomocí nakloněné roviny s plynule proměnným úhlem sklonu můžeme měřit klidovou hodnotu součinitele třecí síly. Při malém sklonu je a těleso 0f FF >T

je v klidu. Zvětšováním sklonu dosáhneme té hodnoty úhlu , při níž se dá αtěleso do pohybu. Právě při tomto sklonu je ⇒α⇒= cossinmgFFT = mgf0α

α= tg0f .


12

MECHANICKÁ PRÁCE A ENERGIE

MECHANICKÁ PRÁCE

ELEMENTÁRNÍ PRÁCE SÍLY Předpokládejme, že při absenci disipativních sil působí na HB ( )m jeho elementární dráze ( )zyxr dddd ,,

r, 0d τ

rrr

pouze vtištěná síla Fr

; elementární dráha

( zyxr dddd ,, )r HB je tedy současně elementárním posunutím působiště síly F .

na

r

Skalární veličina rFrr

d⋅ je tzv. dráhovým účinkem síly Fr

při posunutí jejího působiště (při jejím působení na HB) po dráze rd

r. Tuto veličinu nazýváme

elementární práce síly a označujeme Wd . Platí tedy

rFWrr

dd ⋅=

CELKOVÁ PRÁCE SÍLY PŮSOBÍCÍ NA KONEČNÉ DRÁZE

Síla ( zyx FFFF ,,r ) při posunutí ( zyxr dddd ,,

r ) svého působiště (při posunutí HB, na

nějž síla F působí) vykoná elementární práci r

α=++=⋅= cosrFzFyFxFrFW zyx ddddddrr

Připomeňme, že vektor rr

d má nekonečně malou velikost, takže síla Fr

má na této nekonečně malé dráze (během posunutí svého působiště o r

rd ) stálou velikost i

směr (obr.1.8).

α= cosFFF tt ; r

FrnF

r

rr

d

Obr.1.8

α m

Z obr.1.8 je patrné, že elementární práci síly lze zapsat také jako

( ) rFrFrFrFW d dddd t=α=α=⋅= coscosrr

.

Kladnou nebo zápornou práci tedy koná pouze tečná složka tFr

síly Fr

, zatímco

práce její normálové složky nFr

je rovna nule ( )090d on =α=α⊥ cos,,rF

rr.

Celková práce síly při jejím působení na konečné dráze AB je součtem elementárních prací na nekonečně malých úsecích této dráhy. Tento výpočet je


13

obecně velmi obtížný, neboť během svého působení může síla Fr

měnit svůj směr i velikost (obr.1.9a).

Fr

3Fr

2Fr

1Fr

s α α A B α

A

B

b)

a)

Obr. 1.9

Ve zvláštním případě, kdy vektor F

r síly svírá s trajektorií stálý αúhel a velikost F

síly je konstantní (obr.1.9b), můžeme celkovou práci W síly působící na konečné dráze s určit podle jednoduchého vztahu

Fr

sFsFW t=α= cos

Je-li 0=α a m 1=s , je hodnota celkové práce W vykonané silou Fr

o velikosti N 1=F rovna J 1 (džaul).

VÝKON SÍLY OKAMŽITÝ VÝKON

Upravme výraz vyjadřující elementární práci síly Fr

následujícím způsobem

vFtrF

tW

trFW

rrrrrr⋅=⋅=⇒⋅=

dd

dd

d1dd .

Okamžitý výkon tWP dd= síly Fr

určíme tedy jako skalární součin vektoru síly Fr

a vektoru okamžité rychlosti v pohybu HB, na nějž tato síla působí r

vFt

WPrr⋅==

dd

PRŮMĚRNÝ VÝKON Průměrný (střední) výkon sP proměnné síly ( )tF

r během časového intervalu t,0

určíme z její celkové práce W za čas t

tWP =s


14

Hlavní jednotkou SI výkonu je W1watt =1 . Mnohem častěji se používají jednotky násobné nebo dílčí - W mW, kW, MW, GW, µ apod. Z jednotky výkonu je odvozena i velmi často používaná jednotka práce nebo energie

Ws1s1W1J1tPW =⋅=⇒= . Ws - wattsekunda.

MJ63Ws103,6kWh1kWh,1Wh101Wh,1Ws3600 63 ,=⋅==⋅= .

MECHANICKÁ ENERGIE

POHYBOVÁ (KINETICKÁ) ENERGIE

Skalární veličina 2k 2

1 vmE = se nazývá pohybová neboli kinetická energie HB.

Kinetická energie HB závisí výhradně na hmotnosti (m ) HB a na velikosti (v ) jeho okamžité rychlosti (v dané vztažné soustavě). Je-li HB v této soustavě v relativním klidu, je jeho kinetická energie nulová pouze v této vztažné soustavě. Vzhledem k tomu, že neexistuje soustava absolutně klidná (neexistuje hmota bez pohybu), má každé těleso (nenulovou) kinetickou energii. Při absenci disipativních sil lze psát

WErFmv ddd21d k

2 =⇒⋅=

rr

Důsledek

Nepůsobí-li na (zrychleně nebo zpomaleně) se pohybující HB disipativní síly, je elementární práce Wd na něj přitom působící vtištěné síly F

r rovna

(elementární) změně kdE kinetické energie HB.

Pomocí kinetické energie lze výrazně zjednodušit výpočet celkové práce síly. Působí-li výsledná síla F

r na HB po dráze AB , a má-li HB v bodě A rychlost 1v

r a

v bodě B rychlost 2rv , pak celková práce W síly F

r na této dráze je rovna

( ) ( )⇒−= AB kk EEW ( )21

222

1 vvmW −=

POLOHOVÁ (POTENCIÁLNÍ) ENERGIE Zatímco kinetickou energii má každé (i zcela dynamicky izolované a „osamocené“) těleso (HB), o polohové energii pE můžeme hovořit pouze v případě minimálně dvou těles, která na sebe vzájemně silově působí. Z názvu této energie plyne její souvislost s polohou tělesa (HB) - polohovou neboli potenciální energii pE má pouze to těleso (HB), které se nachází v silovém poli vytvářeném (buzeném) jiným tělesem (nebo tělesy).

Polohová energie HB závisí na jeho poloze (v silovém poli), je tedy funkcí polohy (polohového vektoru) HB: ( ) ( )r== ,, rEzyxE pppE .


15

POTENCIÁLNÍ ENERGIE TÍHOVÁ

Nachází-li těleso (HB) hmotnosti m v homogenním tíhovém poli ( )konst.=gr

, můžeme jeho tzv. potenciální tíhovou energii vyjádřit ve tvaru

( ) zgmzE =p

Pro absolutní určení potenciální energie tímto vztahem je nutno dohodou stanovit nulovou hladinu potenciální energie podmínkou, že pro 0=z je 0=pE .

POTENCIÁLNÍ ENERGIE PRUŽNOSTI Při pružné deformaci vzniká v deformovaném tělese síla pružnosti neboli elastická síla pF

r, kterou se těleso „brání proti deformaci“. Je-li např. v případě pružinového

oscilátoru yr

vektor jeho okamžité výchylky z rovnovážné polohy, je velikost pFr

síly

pružnosti pFr

při malých deformacích oscilátoru přímo úměrná velikosti výchylky; síla pružnosti však má vzhledem k vektoru y

r opačný směr. Platí tedy vektorová

rovnice 0p >−= kykF ;

rr

Celkovou práci deformující síly a tím i potenciální energii pružnosti pE oscilátoru při dosažení libovolné výchylky o velikosti y′ z jeho rovnovážné polohy ( )0=y vypočteme jako

2p 2

1 ykE ′=

KONZERVATIVNÍ SILOVÉ POLE

Silové pole, v němž se mechanická energie pk EE +=E zachovává (konzervuje), nazýváme konzervativní.

( ) ⇒=∆=+∆ 0pk EEE konst=E

Tento výsledek vyjadřuje velmi důležitý zákon zachování mechanické energie HB.

Konzervativním silovým polem je např. homogenní tíhové pole ( )konst.=gr

při absenci disipativních sil (ve vakuu).

Práce při přemístění HB v konzervativním silovém poli závisí pouze na počáteční a koncové poloze HB v tomto poli

V konzervativním silovém poli celková práce nezávisí na délce a tvaru trajektorie Skončí-li tedy HB po pohybu po jakkoliv složité, ale uzavřené trajektorii v konzervativním silovém poli ve své výchozí poloze, je celková práce k tomu použité síly rovna nule.


16

NEKONZERVATIVNÍ SILOVÉ POLE V tomto silovém poli působí na pohybující se HB (těleso) kromě síly pole i síly, odporující jeho pohybu, kterým říkáme síly disipativní (třecí síla, valivý odpor, odpor prostředí apod.).

Mechanická energie HB se v nekonzervativním silovém poli nezachovává. Její část se během pohybu spotřebuje na práci nutnou k překonání sil odporujících

pohybu.

V nekonzervativním silovém poli celková práce závisí na délce a tvaru trajektorie

Elementární práci vtištěné síly Fr

můžeme v nekonzervativním silovém poli zapsat jako

WWWrF ′δ+δ==⋅⋅ ddrr

,

kde část Wδ se projeví změnou kinetické energie HB a část W ′δ se spotřebuje na překonání disipativních sil, odporujících pohybu HB (tělesa). Práce W ′δ se zpravidla přemění ve vnitřní energii HB (tělesa) a prostředí, v němž probíhá pohyb.


17

VZTAŽNÉ SOUSTAVY

Dnes již dávno překonaná NEWTONOVA představa o tom, že prostor a čas jsou absolutní (nezávislé na hmotě a jejím pohybu) umožňovala existenci jakési základní, absolutní vztažné soustavy, od níž by se odvozovaly všechny ostatní soustavy. Otázka – je volba vztažné soustavy (klidného tělesa) lhostejná z hlediska platnosti zákonů mechaniky ? Z hlediska kinematiky je to skutečně lhostejné, neboť mechanický pohyb je relativní a volba vztažné (souřadnicové) soustavy je zpravidla ovlivněna pouze požadavkem co nejjednoduššího matematického popisu. Z hlediska dynamiky na volbě vztažné soustavy záleží, neboť v některých soustavách vznikají problémy s „reálností“ sil v těchto soustavách působících.

Vztažné soustavy v nichž platí NEWTONOVY pohybové zákony (jejich matematický tvar je v těchto soustavách stejný), se nazývají soustavy inerciální

KLASICKÝ (GALILEŮV) PRINCIP RELATIVITY

Platí-li NEWTONOVY pohybové zákony v jedné (inerciální) vztažné soustavě, platí také ve všech vztažných soustavách, které se vůči této soustavě pohybují

setrvačným pohybem, t.j pohybem rovnoměrným přímočarým

Důsledky – inerciálních soustav je nekonečně mnoho a nelze je mechanickými prostředky od sebe odlišit - mechanické děje v nich probíhají naprosto stejně. Všechny inerciální soustavy jsou pro popis a studium mechanických dějů zcela rovnocenné – žádná z nich není privilegovaná – neexistuje proto absolutní pohyb (HB, tělesa) vztažený k některé (privilegované) inerciální soustavě.

GALILEOVA TRANSFORMACE INERCIÁLNÍ VZTAŽNÉ SOUSTAVY

Zvolme „klidnou“ (inerciální) KSS: ( xyz0S ) a pohybující se KSS: ( zyx ′′′′′ 0S .) Obě soustavy mají stejné bázové vektory a soustava S′ se vůči S pohybuje unášivou rychlostí ju

r↑↑

r (Obr.1.10).

1. Pohyb S′ vůči S je setrvačný (rovnoměrný přímočarý) - soustava S′ je tedy rovněž inerciální soustavou; ( ) 0konst.00konst. =⇒==⇒= uuuuuu y &

rr,,; .

ur

jr

Obr.1.10

z´

y´ ut y

0 0´

z

x

y ≡ y´

x´

A [x,y,z] [x´,y´,z´]


18

Počátek měření času zvolme v okamžiku, kdy obě soustavy splývaly. V okamžiku t platí ro souřadnice (libovolného) bodu p A - které jsou složkami polohových vektorů rr

a r HB (′r

A ) – v soustavách S a S tzv. GALILEOVA transformace ′

ttzz

tuyyxx

=′=′−=′=′

; ⇒

zz

yy

xx

vvzzuvvuyy

vvxx

=′⇒=′

−=′⇒−=′=′⇒=′

&&

&&

&&

⇒ ⇒ ⇒

zz

yy

xx

aaaaaa

=′

=′=′

FFamamaarrrrrr

=′⇒=′⇒=′

00rrrr

=′⇒= FF

Je-li soustava S′ inerciální, nemění se GALILEOVOU transformací SS ↔′ matematický tvar zákonů mechanického pohybu - říkáme, že tyto zákony jsou invariantní vůči GALILEOVĚ transformaci. Pro pozdější diskuse upozorněme na transformační vztah tt =′ , který je vyjádřením GALILEOVA i NEWTONOVA (chybného) předpokladu existence absolutního, na ničem nezávisejícího času, který běží ve všech soustavách stejně.

NEINERCIÁLNÍ VZTAŽNÉ SOUSTAVY 2. Soustava S′ se vůči S pohybuje nerovnoměrným přímočarým pohybem unášivou rychlostí ju

r↑↑

r; ( ) u00 auutuuuu yzx =≠⇒=== && ,; . Pak pro složky

okamžité rychlosti v a r

v HB v soustavách ′r

S a S′ platí

zz

yy

xx

vvuvv

vv

=′

−=′=′

⇒ a ⇒ a ⇒ ⇒

zz

yy

xx

aaaa

aa

=′

−=′=′

u uaarrr

−=′ uamamamrrr

−=′

( ) ususss 0 aaamamFFFFFFrrrrrrrrrrr

−=−===′∧=⇒+=′ ;

Z výsledku vidíme, že v soustavě S′ působí na HB (kromě vtištěné síly vzájemného působení) tzv. setrvačná (kinematická) síla ss amF

r=

r, kterou

pozorovatel P′ spojený se soustavou S′ nevnímající její nerovnoměrný pohyb vůči soustavě S nedokáže vysvětlit vzájemným působením s dalším tělesem.

Pozorovatel P spojený se soustavou S , který vidí pohyb soustavy S′ , umí vysvětlit vznik této setrvačné síly nerovnoměrným pohybem soustavy S′ a může ji proto vyjádřit pomocí unášivého zrychlení ua

r soustavy S′ jako ( )uss amamF

rrr−== .

Zrychlení sar

, opačné k unášivému zrychlení uar

( us arr

−=a ), nazýváme setrvačné zrychlení. V neinerciální vztažné soustavě S′ mají pohybové zákony HB jiný matematický tvar než v inerciální soustavě S a proto lze soustavu S (mechanickými prostředky) odlišit od soustavy

′S . Pro přechod mezi těmito soustavami již neplatí GALILEOVA

transformace.


19

Příklady neinerciálních soustav – kabina výtahu, vagón, autobus apod., konající nerovnoměrný pohyb vůči povrchu Země. V případě, že by např. kabina výtahu (volně) padala, byla by kabina sama a všechna tělesa uvnitř kabiny by byla v tzv. beztížném stavu.

SETRVAČNÉ SÍLY PŮSOBÍCÍ V ROTUJÍCÍ SOUSTAVĚ S´ Zvolme pro jednoduchost rovnoměrné otáčení ( konst.=ω ) soustavy S′ kolem pevné osy ( z0konst. ↑↑=

rω ) – obr.1.11

1. HB pevně spojený s otáčející se soustavou ( zyx ′′′′′ 0S ) je unášen rychlostí rv ′×ω=urrr

o velikosti Rrv ω=α′ω= sinu a pohybuje se proto s unášivým dostředivým zrychlením ( ω⊥=

rrrvddu aaa ) o velikosti 2

d ω= Ra . Stejně jako v případě nerovnoměrného přímočarého pohybu soustavy S′ je i při jejím otáčení unášivé zrychlení příčinou setrvačného zrychlení odu aaa =−=sa

r−=

rrr,

jemuž vzhledem k jeho směru říkáme setrvačné odstředivé zrychlení oar

. Na HB (m) působí tedy v rotující soustavě S′ setrvačná odstředivá síla

( )ω⊥==r

ooos FamFFrrrr

o velikosti 2o ω= mRF .

Obr.3.3 ωr

ωr

uvr

r ′r

uvr

os aarr

=

du aarr

=

R

z ≡ z´

y´

y

x´ x

0 ≡ 0´ α

2. Další setrvačnou silou působící v rotující soustavě S′ je tzv. CORIOLISOVA síla ( )cFr

. Účinek této síly, která působí pouze na HB (tělesa), které(á) se vůči soustavě S pohybují, si popíšeme na následujícím příkladě - obr.1.12 ′

ωr

Obr.1.12 s

ω∆t

A 0 ≡ 0´

ω∆t

B´

A´ D

uvr

v ′r

vr

B

Pozorovatel , sedící v bodě a nevnímající otáčení s ním spojené soustavy S′ , střílí do terče v bodě B . Po pečlivém zamíření ve směru AB a výstřelu zjistí, že minul terč a jeho střela dopadla do bodu D . I při opakovaní střelby je výsledek stále stejný. Z jeho hlediska je tento výsledek vysvětlitelný pouze

P′ A


20

působením „neznámé“ síly, která vychyluje letící střelu na severní polokouli směrem vpravo. Čárkovaně znázorněný oblouk DA′ je trajektorie střely „pozorovaná“ pozorovatelem P . ′

Z hlediska pozorovatele P v inerciální soustavě S je chování střely pochopitelné, neboť ví o tom, že se soustava S′ otáčí. V bodě A má tedy střela kromě rychlosti v ′

r správně namířené pozorovatelem P′ do bodu B ještě

unášivou rychlost uvr

o velikosti ω= A0uv . Z hlediska pozorovatele P tedy letící střela koná složený pohyb výslednou rychlostí uvvv

rrr+′= po trajektorii AD .

Fyzika 1 PřF OU, L.Sklenák, 2002

21

2. MECHANIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ

Soustava hmotných bodů (SHB) - soubor hmotných bodů, které tvoří určitý celek – např. planetární systém, kulečníkové koule na kulečníkovém stole, molekuly ideálního plynu v nádobě apod. Mechanika SHB je rozšířením a zobecněním mechaniky jediného HB.

VNĚJŠÍ A VNITŘNÍ SÍLY Soustava – n hmotných bodů ( nmmmm K,,, 321 ) . Na tý−k HB ( km ) této SHB působí obecně vnější síly, mající původ mimo SHB a vnitřní síly vzájemného působení mezi HB tvořícími danou soustavu. Označme výslednici všech vnějších sil působících na tý−k HB jako kF

r a vnitřní síly jako nkkkkkk FFFFF KK ,,,,,, ,, 1121 +−

rrrrr.

Výslednice všech sil, působících na tý−k HB je tedy

∑=

≠=

+=ni

kiiikk FFF

,,

1

rrr.

2. pohybový zákon (pohybová rovnice) pro tý−k HB má tedy tvar

.,

,∑=

≠=

+===ni

kiiikkk

k FFFpt

p

1dd rrr

&rr

Sečtěme nyní vektorově pohybové rovnice všech HB soustavy a předpokládejme, že vnitřní síly vzájemného působení mezi HB jsou silami akce a reakce. Při tomto předpokladu se vnitřní síly navzájem ruší. Označme dále jako

∑=

=n

kkpp

1

rr , ∑

=

=n

kkF

1

rrF

celkovou hybnost SHB a výslednici všech vnějších sil působících na SHB.

PRVNÍ IMPULSOVÁ VĚTA Okamžitá změna celkové hybnosti SHB je rovna výslednici vnějších sil, které na

SHB působí ⇔ ∑∑==

===n

kk

n

kk FFpp

11

rr&r&r

Důsledek pro dynamicky izolovanou SHB:

konst.011

==⇒== ∑∑==

n

kk

n

kk ppFF &r&r

rrr,

což je vyjádřením velmi důležitého zákona zachování (celkové) hybnosti dynamicky izolované SHB. Hybnosti jednotlivých HB (těles) tvořících izolovanou soustavu se samozřejmě mohou při vzájemném silovém působení měnit, v každém okamžiku však musí být jejich vektorový součet roven témuž vektoru (který může být i nulový).


22

HMOTNÝ STŘED SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ ÚKOL: Najít polohu ( Tr

r ) (myšleného) hmotného bodu, který by měl hmotnost celé SHB ( )∑ =

== nk kmmm 1T a „do něhož“ by bylo možno umístit působiště

výslednice ∑ == n

k kFF 1

rr vnějších sil působících na SHB.

Pohyb tohoto myšleného bodu – tzv. hmotného středu SHB - může nahradit (posuvný) pohyb celé SHB. Výhoda - výrazné matematické zjednodušení při popisu (posuvného) pohybu SHB. Pro polohový vektor hmotného středu SHB vzhledem k výše uvedeným požadavkům dostáváme

∑∑∑

=

=

= == nk kkn

k k

nk kk rm

mm

rmr 1

1

1T

1 rr

r

Tento vztah je vektorovou rovnicí, která vede ke třem skalárním složkovým rovnicím umožňujícím určení složek polohového vektoru hmotného středu ( TTT zyxr ,, )r

(a tím tedy i souřadnic tohoto myšleného bodu).

∑∑∑

==

= == nk kkn

k k

nk kk xm

mm

xmx 1

1

1T

1 , ∑∑∑

==

= == nk kkn

k k

nk kk ym

mm

ymy 1

1

1T

1 .

∑∑∑

==

= == nk kkn

k k

nk kk zm

mm

zmz 1

1

1T

1 ,

POZNÁMKA V homogenním silovém poli (např.v homogenním tíhovém poli konst.=g

r) je

hmotný střed SHB (tělesa) totožný s těžištěm soustavy (tělesa).

VZTAŽNÁ SOUSTAVA HMOTNÉHO STŘEDU Zvolíme-li počátek vztažné soustavy v hmotném středu SHB, dostaneme tzv. vztažnou soustavu hmotného středu (obr.2.1). Ve vztažné soustavě hmotného středu, v níž je hmotný střed SHB počátkem, je polohový vektor hmotného středu (počátku) nulový ⇒

mP

P´≡ T (HS)

Obr.2.1

krr

Trr

kr ′r

k

∑ ==′=′ n

k krmm

r 1T 01 rrr.

Hmotnému středu SHB a vztažné soustavě HS můžeme přisoudit další důležitou vlastnost. Platí zřejmě

⇒=′=′=′=′=′⇒=′ ∑∑∑∑∑=====

0dd0

11111

rrr&rrrrppvmrmrm

trm

n

kk

n

kkk

n

kkk

n

kkk

n

kkk

Ve vztažné soustavě (svého) hmotného středu je celková hybnost soustavy hmotných bodů trvale nulovým vektorem.


23

VĚTA O POHYBU HMOTNÉHO STŘEDU Zapišme 2.pohybový zákon pro SHB pomocí celkové hybnosti a výslednice vnějších sil jako

r. Vyjádříme-li úplnou časovou derivaci celkové hybnosti Fp&

r=

pomocí veličin souvisejících s hmotným středem soustavy jako

T12T

2

12

2

1 dd

dd

dd amm

trrm

tvm

tp n

k knk kk

nk kk

rr

rr&r ==== ∑∑∑ ===

a srovnáme-li ji s 2. pohybovým zákonem, můžeme psát ⇒ Famrr

=T

Posuvný pohyb soustavy hmotných bodů lze nahradit pohybem jejího hmotného středu

Důsledek:

Je-li výslednice vnějších sil působících na soustavu hmotných bodů nulová, koná její hmotný střed v (inerciální) soustavě setrvačný pohyb (nebo je v relativním

klidu).

( )0konst.0 T1

rrrrr=⇔== ∑

=

vFFn

kk

Uvažujme nyní jediný HB ze SHB nebo ještě lépe jeden HB ze soustavy nekonečně mnoha HB tvořících tzv. tuhé těleso a studujme jeho pohyb při otáčení SHB nebo tohoto tělesa kolem pevné osy o .

MOMENT SÍLY Představme si, že se HB pohybuje po kružnici π∈k se středem v bodě PS ≡ a poloměrem rr

r= (obr.2.2). Na HB působí síla F

r, jejíž nositelka leží v rovině π .

Upravme pohybovou rovnici HB vektorovým násobením polohovým vektorem rr

HB zleva na tvar

( )⇒=× F

tvmr

rrr

dd ( ) Fr

tvmr

rrr

r×=×

dd

Objasněme nejdříve význam pravé strany tohoto výrazu.

FMrMMFrrrrrrrr

⊥∧⊥⇒=×

Mr

je vektor, kterému říkáme moment síly Fr

vzhledem k počátku vztažné soustavy. M

r je tzv. osový (axiální) vektor [jeho nositelkou je osa o – obr.2.2].

π∈Fr

, , M ; π∈rr

o∈π⊥ Mrr

, rFFrrrrrr

∨=⇔= 00M

FpFpFrMr

síly rameno −=α= ;sin .


24

π

Mr

rr

Fr

k

o Obr.2.2

HB p

P

POZNÁMKA (pro budoucnost) – fyzikální význam momentu síly vzhledem k … Je-li námi uvažovaný HB součástí tělesa – např. destičky na obr.2.2 – vyjadřuje vektor FrM

r×=rr

- moment síly Fr

vzhledem k ose o ( r je polohový vektor působiště síly

r

Fr

) – otáčivý účinek této síly na dané těleso, schopné otáčení kolem pevné osy o . Smysl otáčivého účinku vzhledem ke směru vektoru momentu síly je dán pravidlem pravé ruky – má-li vztyčený palec (pravé) ruky směr vektoru M

r, mají natažené prsty

(pravé) ruky směr (nerovnoměrného) otáčení daného tělesa. Je-li tedy těleso silou Fr

uváděno do otáčivého pohybu kolem osy o z klidu, jde o zrychlený otáčivý pohyb. Zanikne-li v určitém okamžiku moment síly, která uvedla těleso do otáčivého pohybu nebo tento pohyb zrychluje či zpomaluje, koná od tohoto okamžiku těleso rovnoměrný („setrvačný“) otáčivý pohyb kolem osy o úhlovou rychlostí, kterou mělo v okamžiku zániku momentu síly vzhledem k této ose. Objasněme nyní fyzikální význam levé strany výrazu

( ) Frtvmr

rrr

r×=×

dd ,

kterou můžeme upravit následujícím způsobem

( ) ( ) ( ) btbpr

tvmr

tm

tvmr &r

rrrrr

rr

==×=×=×dd

dd

dd

dd .

vmrprbrrrr

×=×=r

- vektor (okamžitého) momentu hybnosti HB vzhledem k počátku vztažné soustavy. ; [ ] 1− JssJsmkgm =⋅=⋅⋅⋅=b b

r je osový vektor

s nositelkou o .

Pohybovou rovnici HB můžeme tedy po těchto úpravách pravé i levé strany výrazu

( ) Frtvmr

rrr

r×=×

dd

zapsat jako Mbtb r&rr

==dd

Okamžitá změna vektoru momentu hybnosti HB je rovna (vektoru) momentu (vtištěné) síly vzhledem k témuž bodu.


25

Důsledek: ( )0konst.0rrrr

=⇔= bM , což je matematickým vyjádřením důležité věty o zachování vektoru momentu hybnosti.

Z této věty plyne zajímavý závěr: vbrbvmrbrrrrrrr

⊥∧⊥⇒×= ; konst.=br

⇒ polohový vektor r

r HB i vektor v jeho okamžité rychlosti leží stále v téže rovině trajektorie

pohybu HB, jehož moment hybnosti je konstantní vektor, je rovinná křivka.

r⇒

Návrat do mechaniky SHB

2. IMPULSOVÁ VĚTA

Okamžitá změna (vektoru) celkového momentu hybnosti SHB ∑ == n

k kbb 1

rr

vzhledem k danému bodu je rovna celkovému momentu vnějších sil ∑ =

nk kM1=M

r r

(vzhledem k témuž bodu) na SHB působících

Mbtb r&rr

==dd

Důsledek: ( )0konst.0 =⇒= bMrrrr

- věta o zachování vektoru momentu hybnosti SHB.

DŮLEŽITÁ SHRNUTÍ, ZOBECNĚNÍ A ZÁVĚRY 1.impulsová věta – hmotný střed SHB se pohybuje jako (jediný) HB, na nějž působí

výslednice vnějších sil a jehož hmotnost je rovna celkové hmotnosti SHB. Vlastní pohyb hmotného středu SHB nemá vliv na (možné) otáčení SHB kolem osy,

která prochází jejím hmotným středem. 2.impulsová věta – okamžitá změna celkového momentu hybnosti SHB vzhledem k jejímu hmotnému středu (nebo vzhledem k libovolnému pevnému bodu) je rovna výslednému momentu vnějších sil vzhledem k témuž bodu. „Pevný“ bod – nehybný

vzhledem k libovolné inerciální soustavě.

Jestliže platí 0011

rrrrrr==∧== ∑∑

==

n

kk

n

kk MMFF , nazývá se SHB dynamicky izolovaná.

Pro (každou) dynamicky izolovanou SHB platí

Věta o zachování hybnosti SHB – celková hybnost dynamicky izolované soustavy je konstantní a její hmotný střed se (v inerciální soustavě) pohybuje

setrvačným pohybem - ( )0konst.0 T1

rrrrr=⇒== ∑

=

vFn

kkF .

Věta o zachování momentu hybnosti SHB – celkový moment hybnosti dynamicky izolované SHB vzhledem k jejímu hmotnému středu (nebo vzhledem

k libovolnému pevnému bodu) je konstantní –

( )0konst.011

rrrrrr==⇒== ∑∑

==

n

kk

n

kk bbMM .


26

3. MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA

Tuhé těleso (TT) je opět pouze zjednodušením – je to model skutečných těles. Východiskem při studiu pohybu tuhého tělesa je mechanika SHB, neboť

Tuhé těleso je soustava nekonečně mnoha hmotných bodů podrobených dokonale tuhým vazbám. Vzájemná poloha hmotných bodů tvořících tuhé těleso

se proto působením vnějších sil nemění.

Důsledky: Stálý tvar a objem TT, účinek vnějších sil na TT je pouze pohybový (nedochází k deformaci tělesa), stálá poloha hmotného středu (HS) v tělese, ze všech úvah je možno vyloučit vnitřní síly. Matematické důsledky přechodu od soustavy konečného počtu HB k TT – náhrada součtu určitým integrálem (viz dále) přes celý objem TT:

∑ ∫∞→

=

→n

i V1

HUSTOTA Spojitost látkového prostředí tvořícího TT umožňuje zavedení pojmu jeho průměrné hustoty pρ jako hmotnosti objemové jednotky TT.

Průměrná hustota:

∆∆

==ρ=ρVm

Vm

p ; místní (lokální) hustota: Vm

V ∆∆

=ρ→∆ 0lim ;

[ ] 3mkg −⋅=ρ .

Je-li (místní) hustota funkcí polohy v TT: ( ) ( )zyxr ,,ρ=ρ=ρr

, je těleso nehomogenní. Platí-li ( )zyx ,,ρ≠ρ , je TT homogenní, je (místní) hustota v celém TT stejná a platí Vm=ρ=ρ p .

KINEMATIKA TUHÉHO TĚLESA Pro jednoznačné určení (okamžité) polohy TT stačí znát souřadnice tří jeho různých bodů neležících v přímce, tj. právě devět souřadnic. Zvolíme-li takové body TT, je jejich vzájemná vzdálenost konstantní, což představuje tři matematické podmínky pro souřadnice těchto bodů, ať je poloha TT jakákoliv. Proto se z devíti souřadnic těchto bodů pouze šest mění skutečně nezávisle – říkáme, že TT má šest stupňů volnosti ( )6=n . Je-li TT upevněno v jednom bodě, je 3=n , je-li upevněno ve dvou (různých) bodech, je 1=n , je-li upevněno ve třech (různých) bodech, je nehybné a

0=n . Popis pohybu TT je obecně složitý, proto jej rozkládáme na čistou translaci (pouze pohyb posuvný) a na čistou rotaci – pouze pohyb otáčivý kolem osy nebo bodu.

ČISTÁ TRANSLACE TT Všechny body TT mají tutéž okamžitou rychlost ( )tvv

rr= pohybu.


27

Při studiu čisté translace TT stačí tedy zabývat se pohybem jeho jediného bodu – obvykle jeho hmotného středu (těžiště).

ČISTÁ ROTACE TT

Všechny body TT mají stejnou (okamžitou) úhlovou rychlost ( )tω=ωrr ; Vektor

úhlové rychlosti ωr rotace TT leží trvale v jeho (okamžité) ose o otáčení (obr.3.1).

A) ROTACE KOLEM PEVNÉ OSY – přímky o , která je v inerciální soustavě v klidu.

ookonst.o ∈ωω=rrr,;u - vektor úhlové rychlosti

ωr má stálý směr, jeho velikost může nebo nemusí být funkcí času - podle toho rozlišujeme nerovnoměrnou, resp. rovnoměrnou rotaci TT kolem pevné osy.

Pro tzv. obvodovou rychlost ovr

libovolného bodu TT v daném okamžiku platí (počátek vztažné soustavy leží kdekoliv na ose o ) - rv

rrr×ω=o ⇒

( )rvvrrr

oo = - obr.3.1. Nositelkou vektoru ovr

je tečna ke kružnici (trajektorii bodu TT) o poloměru

R , jejíž střed S leží na ose otáčení TT ( )oo oo ⊥⇒ω⊥ vvrrr

.

Pro velikost ov okamžité rychlosti ovr

platí ω=αω=×ω= Rrrv sinrr

o .

B) ROTACE KOLEM BODU PEVNÉHO V TĚLESE Obvykle jde o hmotný střed (těžiště) T TT, do něhož umístíme počátek vztažné soustavy ( )PT0 ≡≡ . Počáteční bod vektoru úhlové rychlosti ωr je trvale totožný s tímto bodem – tzv. středem otáčení TT. Vektor úhlové rychlosti je v tomto případě funkcí času: ( )tω=ω

rr – obecně se tedy v čase mění jak směr, tak i velikost úhlové rychlosti.

VÝSLEDNÝ POHYB TT Výsledný pohyb libovolného bodu TT je složením jeho čisté translace a rotace.

DYNAMIKA TUHÉHO TĚLESA Vzhledem k dokonale tuhým vazbám mezi body TT nemusíme brát v úvahu působení vnitřních sil. Uvažme nejdříve případ, kdy na TT působí konečný počet (soustava) vnějších sil nFFF

rK

rr,,, 21 , n je přirozené číslo.

Zvolíme-li vztažnou soustavu s počátkem ve středu otáčení TT ( )o0P ∈≡ ; o je osa otáčení TT, mají působiště těchto sil polohové vektory nrrr

rK

rr,,, 21 . Vnější síly,

působící na TT, jsou vázanými vektory – jejich působišti (počátečními body) jsou určité (obvykle povrchové) body TT.

o

0

R

α

Obr.3.1

S ωr ov

r

rr


28

DYNAMICKÉ ÚČINKY PŮSOBENÍ SOUSTAVY VNĚJŠÍCH SIL NA TT

Má-li soustava nFFFr

Krr

,,, 21 nenulovou výslednici nFFFFr

Lrrr

+++= 21 , je důsledkem jejího působení nerovnoměrný (obecně křivočarý) posuvný pohyb TT.

Má-li soustava nFFFr

Krr

,,, 21 nenulový výsledný (celkový) moment ∑ =

=×=

nii ii FrM 1

rrr

vzhledem ke středu otáčení ( )0 TT, který je současně počátkem vztažné soustavy ( )o0P ∈≡ , je důsledkem jejího působení nerovnoměrný otáčivý pohyb TT kolem tohoto bodu.

Výslednice Fr

sil nFFFr

Krr

,,, 21 : ∑=

=

=+++=ni

iin FFFFF

121

rrL

rrr a její působiště -

nezávislost na volbě vztažné soustavy.

Výsledný (celkový) moment Mr

sil nFFFr

Krr

,,, 21 vzhledem k počátku vztažné

soustavy – středu otáčení TT ( )0P ≡ : ∑∑=

=

=

=

×==ni

iii

ni

ii FrMM

11

rrrr - závislost na volbě

vztažné soustavy - závislost na poloze středu otáčení TT !!!.

Pohybové účinky soustavy sil na TT závisí tedy výhradně na vektorových součtech ∑ =

= ni iFF 1

rr a ∑ =

= ni iMM 1

rr ⇒

Různé soustavy sil mohou mít na TT tytéž pohybové účinky mají-li stejnou výslednici F

r a stejný výsledný moment M

r vzhledem k témuž středu otáčení.

Takovým soustavám sil říkáme soustavy dynamicky ekvivalentní.

Tato skutečnost předznamenává náš další postup – zjednodušení soustavy vnějších sil při zachování stejných pohybových účinků.

PRAVIDLA PRO SKLÁDÁNÍ SIL PŮSOBÍCÍCH NA (JEDINÉ) TT

A. Dvě opačné síly na téže nositelce nemají na TT žádný pohybový účinek

Výslednice: ( ) 0rrr

=−+ FF .

Momenty sil vzhledem k 0P ≡ :

MFrF

rrr=× , ( ) MFrFr FF

rrrrr−=×−=−×− ⇒ ( ) 0

rrr=−+ MM ; FpMM =−=

rr.

p p

P≡ 0 P≡ 0 P≡ 0

Obr.3.2

p

Fr

Fr

− Fr

Fr

Fr

− Fr

−


29

Výsledný moment sil Fr

a Fr

− vzhledem k bodu 0P ≡ je tedy nulový.

B1. Účinek síly na TT se nezmění, přemístíme-li (posuneme) působiště síly po její nositelce ( )n - obr.3.3.

( ) nn ∈→∈ BA Původním působištěm síly F

r je bod A . Do nově zvoleného působiště B na

nositelce n síly Fr

„vložíme“ dvě opačné síly ( )Fr

a Fr

− , které podle A nemají na TT žádný pohybový účinek. Složíme-li nyní síly F

r− a F

r, jejichž výslednice i

výsledný moment vzhledem k bodu 0P ≡ jsou opět nulové vektory, zůstane nám jen „přesunutá“ (posunutá) síla ( )F

r s působištěm v bodě B , která má na TT

stejný pohybový účinek jako síla Fr

s působištěm v bodě A ⇒

B2. Přeneseme-li v TT působiště síly Fr

z bodu A do libovolného bodu B (mimo její nositelku n ) – obr.3.4, musíme k síle ( )F

r s působištěm v bodě B přidat

dvojici sil Fr

a Fr

− s momentem

( ) FdFrFrrMrrrrrrrr

×=×=×−= BABAD .

Vektor dr

(i moment DMr

) nezávisí na volbě vztažné soustavy !

Do nového působiště – bodu B na přímce n′ opět „vložíme“ dvě opačné síly ( )Fr

a Fr

− , které mají nulovou výslednici. Kromě přesunuté síly ( )Fr

máme nyní

A B

P ≡ 0

Obr.3.3

n p ( )F

r F

r− F

r

(n´)

A n

B

P ≡ 0

Obr.3.4 Fr

− ( )Fr

Fr

Brr

Arr

BA rrrr

−


30

co do činění se dvěma opačnými silami na různých (rovnoběžných) nositelkách – silou F

r v původní poloze na nositelce n a silou F

r− na nositelce n′ .

Síly Fr

a Fr

− , které nemají výslednici, se navzájem neruší, nýbrž tvoří velmi důležitý silový útvar (soustavu), nazývaný dvojice sil. Určeme nyní výsledný moment DM

r těchto dvou sil vzhledem k bodu 0P ≡ – středu otáčení TT, kterým

prochází (okamžitá) osa otáčení:

( ) ( ) ⇒×=×−=−×+×= FrFrrFrFrMrrrrrrrrrr

BABABAD FdMrrr

×=D

Z tohoto výsledku je patrné, že moment DMr

dvojice sil nezávisí na poloze osy otáčení (na volbě vztažné soustavy) a je roven momentu síly F

r (v původní

poloze) vzhledem k ose, procházející jejím novým působištěm BABABA ==−= rrrd

rrrr.

Vzhledem k této nezávislosti na volbě vztažné soustavy je moment dvojice sil volný vektor – jde o „moment“, který nemusíme doplnit slovy „vzhledem k …“!

Moment DMr

dvojice sil Fr

a Fr

− má na TT pouze otáčivý účinek a je kolmý k rovině, určené nositelkami sil F

r a F

r− , tvořících dvojici. Směr vektoru DM

r

(obr.3.5) je opět určen pravidlem pravé ruky – „… natažené prsty mají směr síly Fr

(!!!), vztyčený palec určuje směr vektoru DMr

“.

Z právě uvedeného výsledku plyne další důležité pravidlo – Dvojici sil F

r a F

r− říkáme v tomto případě (při přenosu působiště síly F

r)

kompenzační silová dvojice. Kompenzace silovou dvojicí ( )[ ]FFD

rrr−, sil F

r a F

r− při přenosu působiště síly F

r

mimo její nositelku je dána nutností zachování otáčivého účinku síly Fr

vzhledem k bodu 0P ≡ v původním i v novém působišti. Tento účinek je dán momentem M

r síly F

r vzhledem k bodu 0P ≡ (obr.3.4). Srovnejme

( ) ( )( ) ⇒×=+×=→×=→ FrFrMFFrMFrrrrrrrrrr

ABA BA ?;

( ) DBABAAB MFrFrrFrFrrrrrrrrrrr

=×=×−=×+×−=?

B

A

Obr.3.5 DMr

DMr

DMr

DMr

drrr

=BA

Fr

( )Fr

Fr

−


31

PODMÍNKY ROVNOVÁHY TUHÉHO TĚLESA

Tuhé těleso je v rovnováze, když výslednice ∑ ==

ni iFF 1

rr soustavy vnějších sil

působících na těleso a výsledný moment ∑ == n

i iMM 1

rr těchto sil vzhledem k ose

otáčení jsou nulové vektory.

Nastanou-li v určitém okamžiku podmínky rovnováhy a je-li TT v tomto okamžiku v klidu, nemůže být uvedeno do posuvného ani do otáčivého pohybu. Není-li TT v tomto okamžiku v klidu, koná od tohoto okamžiku pohyb splňující zákony zachování hybnosti a momentu hybnosti.


32

SKLÁDÁNÍ SIL PŮSOBÍCÍCH NA TT

VÝSLEDNICE SOUSTAVY SIL

Obecně prostorovou soustavu ( )niFi ,,, K21=r

sil působících na TT, můžeme po přenesení jejich působišť do téhož bodu při zachování pravidel A a B (po dvojicích) skládat (vektorově sčítat). Grafický postup skládání různoběžných a rovnoběžných sil je naznačen na obr.3.5. Připomeňme, že při skládání mimoběžných sil musíme přenos jejich působiště mimo nositelku kompenzovat příslušnou silovou dvojicí (viz pravidlo B2 str.29). Po konečném počtu těchto kroků tak dospějeme k výslednici ∑= i iFF

rr.

Z obr.3.5 je patrná platnost následujícího tvrzení:

Součet momentů 111 Frrrr

×=M , 222 Frrrr

×=M sil 1Fr

, 2Fr

vzhledem k libovolnému bodu nositelky Fn jejich výslednice 21 FFF +=

rrr je roven nulovému vektoru: 021 =+M

rrrM .

21 FFrr

+

2Fr1F

r

2Fr

1Fr

nF

1rr

21 FFrr

+

1Fr

nF

S S

2rr

p2 p1

2Fr

2Fr

1Fr

( )Rr

( )Rr

−

( )RFrr

+1

( )RFrr

−+2

( ) ( ) 2121 FFRFRFFrrrrrrr

+=−+++=

P

Obr.3.5


33

Této, tzv. MOMENTOVÉ VĚTY, používáme často při rozkladu sil na rovnoběžné složky nebo při záměně jedné soustavy sil soustavou dynamicky ekvivalentní.

TĚŽIŠTĚ TUHÉHO TĚLESA

( )∞→= nigmi ,,, Kr

21 - soustava

s výslednicí souhlasně rovnoběžných sil

mggmFi

ii

irrr

=== ∑∑∞

=

∞

= 11G gm

r.

Těžištěm tuhého tělesa nazýváme působiště tíhové síly GF

r

působící na tuhé těleso. V homogenním tíhovém poli ( )konst.=gr

- obr.3.6 - je těžiště T totožné s hmotným středem tuhého tělesa.

irr

Trr

GFrkonst.=g

r

gmir

mi

Obr.3.6

T

P

T

Výsledný moment soustavy je roven momentu jejich ( ∞→= nigmi ,,, Kr

21 )výslednice

r vzhledem k témuž bodu GF

rrrr ∞∞

GT1

T11

FrgmrgmrMMi

ii

iii

i

rrrr×=×=×== ∑∑∑

==

∞

=

.

Obrovské matematické zjednodušení pro TT ( )∞→n :

⇒ρ=⇒=ρ VmVm dddd

( ) ( ) ( ) ( )⇒ρ==ρ=== ∫∫∑∫∫∑

∞

=

∞

= Vmiii

Vmii VrmrmrVmmm dddd

11

rrr;

( )

( )

( )

( )∫

∫

∫

∫

∑

∑ρ

ρ

===∞

=

∞

=

V

V

m

m

ii

iii

V

Vr

m

mr

m

mrr

d

d

d

d

1

1T

rrr

r

Vd je nekonečně malý, homogenní (objemový) element tuhého tělesa, jehož hmotnost je a hustota je . md ρ

Homogenní TT ( )konst.=ρ ( )

( )

( )

( )

( )

( )

⇒=ρ

ρ

=ρ

ρ

=∫

∫

∫

∫

∫

∫

V

V

V

V

V

V

V

Vr

V

Vr

V

Vr

rd

d

d

d

d

d

T

rrr

r ⇒

( )∫=V

VrV

r d1T

rr


34

URČOVÁNÍ POLOHY TĚŽIŠTĚ TT Lineární TT (prut, tyč, pražec apod.) – podpírání až do dosažení rovnováhy vůči otáčení. Rovinné TT – zavěšování – získání alespoň dvou těžnic.

Homogenní TT jednoduchého tvaru – T v geometrickém středu.

Homogenní symetrické TT – T na ose symetrie.

Obecné TT – výpočet (určitá integrace).

POHYB TUHÉHO TĚLESA

∑=

⇒≠=n

ii FF

10rrr

TT koná nerovnoměrný posuvný pohyb;

( ) ( )∑ ∑= −

⇒≠≠==×n

i

n

iiii MMMFr

1o

100rrrrrrr

TT koná nerovnoměrný otáčivý pohyb kolem

bodu (nebo osy).

KINETICKÁ ENERGIE POSUVNÉHO POHYBU TT

⇒== ∑∑∞

=

∞

=

2

1pos. k,

1 21

iiii

i vmEmm ; Tposk, 21 vmE

r=

KINETICKÁ ENERGIE ROTAČNÍHO POHYBU TT Úhlová rychlost rotačního pohybu: ωr . Obvodová (postupná) rychlost tého−i bodu TT: irv ×ω=o

rrr (obr.3.1). Součet kinetické energie posuvných pohybů bodů TT při

jeho rotaci tvoří (celkovou) kinetickou energii rotačního pohybu TT a tedy

( ) ( ) ⇒αω=×ω== ∑∑∑∞

=

∞

=

∞

= 1

22

1

22o

1rotk, 2

121

21

iiii

iiii

irmrmvmE sin

rr ∑∞

=

ω=1

22rot k, 2

1i

iiRmE ;

iR – vzdálenost tého−i bodu od osy otáčení. Položíme-li JRmi

ii =∑∞

=1

2 , dostaneme

2rot k, 2

1ω= JE

[ ] 2

1

2 mkg ⋅== ∑∞

=

JRmJi

ii ; - moment setrvačnosti TT vzhledem k ose otáčení

KINETICKÁ ENERGIE SLOŽENÉHO POHYBU TT

Posuvný pohyb TT + otáčení TT kolem osy procházející jeho těžištěm (HS)

20

2Trot k,pos k,k 2

121

ω+=+= JvmEEE


35

STEINEROVA VĚTA

Moment setrvačnosti J TT vzhledem k ose o neprocházející jeho těžištěm je roven momentu setrvačnosti 0J vzhledem k ose o′ procházející těžištěm a

rovnoběžné s osou o oo ′ , zvětšenému o součin hmotnosti m TT a druhé

mocniny vzdálenosti a osy o od těžiště: 20 maJJ += .

( )

POHYBOVÁ ROVNICE TUHÉHO TĚLESA ROTUJÍCÍHO KOLEM PEVNÉ OSY

Okamžitá změna ω=ε &r úhlové rychlosti ϕ=ω &rr rotace je spojena s prací síly Fr

, působící na TT na úhlové dráze ϕr . Bez této práce by se TT otáčelo kolem pevné osy rovnoměrně. Moment síly F

r vzhledem k pevné ose otáčení o je FrM

r×=0

sr.

Pohybovou rovnici TT rotujícího kolem pevné osy o pak můžeme psát jako

ooooo2

2

dd

dd MJMJMJM

tJJM

tJJ =ε=ω=ϕ=

ω=ω=

ϕ=ϕ ;;;; &&&

rr&r

r&r&&r

Výraz o2

2

dd M

tJ

r&r

=ϕ je pohybovou rovnicí rotačního pohybu TT kolem pevné

osy, výraz je vyjádřením 2. NoMJrr

=ε EWTONOVA pohybového zákona pro rotační pohyb TT kolem pevné osy.

ZÁKON ZACHOVÁNÍ MOMENTU HYBNOSTI TT ⇒=ω⇒=⇒= konst.konst.0 oo bM

rrr TT koná rovnoměrnou rotaci TT kolem pevné

osy o .

POZNÁMKA. ( )⇒≠= 0konst.o

rrM rovnoměrně zrychlená (zpomalená) rotace TT

kolem pevné osy o a tedy

( ) ( ) konst.21 o

02

0 ==εε±ω=ωε±ϕ=ϕJ

Mtttt ;;

DŮSLEDKY ZÁKONA ZACHOVÁNÍ MOMENTU HYBNOSTI TT

1. ω′

=ω′∧ω′→ω′→⇒=ω=JJJJJb ;konst. (piruety apod.)

2. ⇒= okonst.br

Při značné velikosti momentu hybnosti TT (vrtule, lodní hřídel apod.) je ke změně směru osy otáčení zapotřebí značná práce vnějších sil, projevuje se tzv. gyroskopický efekt. Proto se „rychle“ rotující TT vyznačují značnou stabilitou směru osy otáčení (např. kolo, ruční rotační hoblík, rotující projektil apod.)


36

ROVNOVÁŽNÁ POLOHA TT V (HOMOGENNÍM) SILOVÉM POLI

Nutné podmínky rovnováhy TT (relativního klidu) – nulová výslednice a nulový výsledný moment vnějších sil vzhledem k těžišti TT. O druhu rovnovážné polohy rozhoduje změna potenciální energie při nepatrném vychýlení TT

Rovnovážná poloha stálá - pE je minimální

Rovnovážná poloha vratká - pE je maximální

Rovnovážná poloha volná - pE je konstantní

STABILITA ROVNOVÁŽNÉ (STÁLÉ) POLOHY TT

Těžnice – přímka procházející těžištěm TT . Míra stability rovnovážné polohy TT – „změna“ při přechodu (otočení) TT z rovnovážné polohy stálé do rovnovážné polohy vratké. Tato změna může být posuzována z různých hledisek.

o

Obr.3.7

α

h - r

h r

t

t´

T

1. Hledisko GEOMETRICKÉ – ukazatelem změny je změna výšky těžiště TT. Příklad – TT je kvádr stojící na jedné ze svých stěn na vodorovné rovině (Obr.3.7); α - úhel mezi svislými těžnicemi t a t′ v rovnovážné poloze stálé a rovnovážné poloze vratké; o – hrana kácení TT. Mírou stability TT je vzdálenost hr − .

2. Hledisko ENERGETICKÉ vycházející z práce při přechodu: poloha stálá → poloha vratká. ( hrmgE −=∆= p )W - možnost diskuse o stabilitě z hlediska veličin

hrm ,, .

3. Hledisko DYNAMICKÉ vycházející z velikosti F síly Fr

potřebné pro přechod: poloha stálá → poloha vratká. Velikost F síly F

r určíme z porovnání momentů

vzhledem k ose o:

G1

22G1 F

ppFpFFp ≥⇒≥ .


37

4. GRAVITACE KINEMATIKA

Historické východisko – „Nebeská“ mechanika

KEPLEROVY ZÁKONY Objekt – Sluneční soustava. Johannes KEPLER - 17. století (Praha) – 3 zákony o pohybu planet.

1. Všechny planety se pohybují po elipsách o malé výstřednosti, v jejichž společném ohnisku leží Slunce

Obr.4.1

a

b a

e F1

Výstřednost (excentricita):

lineární , 22 bae −=

numerická . ae=ε

kružnice: ; elipsa: 1<0 ε< ; 0=ε

parabola: 1=ε ; hyperbola: 1>ε . Pro Zemi 0170Z ,=ε & ; perihélium – začátek ledna, afélium – začátek července.

2. Plošné rychlosti planet jsou konstantní ( )konst.=w

( ) konst.0excentr.konst. o ≠⇒≠ε∧= vw ⇒

Země ⇒ severní polokoule - letní půlrok (21.3. – 23.9. – 186 dní), zimní půlrok (23.9. – 21.3. – 179 dní).

3. Poměry druhých mocnin oběžných dob (T ) a třetích mocnin velkých poloos ( )a drah jednotlivých planet jsou stejné: ⇒=== konst.2211 LaTa 3232T 32 ka=T

Přesná platnost pouze pro malé planety (Merkur, Venuše, Země, Mars). U velkých planet (Jupiter, Saturn) – značná odchylka.

DYNAMIKA NEWTONŮV GRAVITAČNÍ ZÁKON

Každá dvě (hmotná) tělesa se navzájem přitahují silami téže velikosti. Lze-li tato tělesa považovat za hmotné body nebo homogenní koule, můžeme sílu jejich

vzájemného přitahování vyjádřit jako

221

321

221

rmmFr

rmm

rr

rmmF κ=κ−=κ−= ;

rr ,

kde 21 m,m jsou hmotnosti těles a r je vzdálenost hmotných bodů (nebo středná koulí).


38

smkg 106,67 -23-1-11 ⋅⋅⋅=κ - gravitační konstanta. Vzhledem k její nepatrné hodnotě se gravitační přitahování projevuje pouze tehdy, je-li hmotnost alespoň jednoho z uvažovaných těles velká – např. v gravitačním pole Země. Poznámka – Nelze-li tělesa považovat za hmotné body nebo za homogenní koule, je výpočet síly jejich vzájemného gravitačního působení matematicky složitější.

GRAVITAČNÍ POLE Gravitační pole buzené tělesem je zprostředkovatelem a nositelem sil jeho (vzájemného) gravitačního působení (interakce) na jiná tělesa. Gravitační pole je nositelem potenciální energie – má tedy hmotnou povahu.

MATEMATICKÉ MODELY GRAVITAČNÍHO POLE A. VEKTOROVÝ MODEL

Gravitační pole buzené tělesem o hmotnosti M je definováno vektorovou funkcí polohy - vektorem intenzity gravitačního pole ( )rK

rr=Kr

.

Intenzita gravitačního pole K v jeho libovolném bodě r

( )rr

je síla, kterou pole v tomto bodě působí na těleso (HB) jednotkové hmotnosti ( )kg 1 ; [ ] . 1kgN ⋅=K

Má-li pole v daném bodě intenzitu Kr

, působí pole na těleso o hmotnosti m , nacházející se v tomto bodě, silou KmF =

rr (obr.4.2).

Předpokládejme, že všechna dále uvažovaná tělesa lze považovat za HB nebo homogenní koule.

⇒Fm

r1=−= K

rr

rMmF

rrr

2 ; Obr.4.2 m

KmFrr

= r

P

M ( ) [ ] 1-kgN ⋅=KrMK ;,

rr

2 =⇒−= Krr

rMK

rrr

=∧= amFKmFrrrr

.

⇒g rr

rMaK

rrr

2g −==

Intenzita ( rMKr,= )

rrK gravitačního pole buzeného tělesem o hmotnosti M je

v každém bodě rovna gravitačnímu zrychlení ga (libovolného) tělesa r

nacházejícího se v tomto bodě.

Gravitační pole můžeme pomocí vektoru jeho intenzity Kr

v různých bodech geometricky znázornit. Je-li tělesem budícím pole (gravitačním centrem) homogenní koule (nebo může být považováno za HB), jsou nositelkami vektoru intenzity přímky (paprsky, radiály), procházející středem koule (HB). Takovému silovému poli říkáme obecně pole radiální nebo také pole centrální síly. S ohledem na požadavky přesnosti můžeme ve větší nebo menší části (nehomogenního gravitačního) pole považovat jeho intenzitu K

r za konstantní

vektor ( )konst.g == aKrr

a považovat tuto část pole za pole homogenní (obr.4.3).


39

Kr

Obr.4.3

pole homogenní

pole radiální (nehomogenní)

B. SKALÁRNÍ MODEL Gravitační pole buzené tělesem o hmotnosti M je popsáno skalární funkcí polohy – potenciálem ( )rV=V gravitačního pole.

Uvažujme přemístění (např. volný pád) tělesa hmotnosti m v (radiálním) gravitačním poli, buzeném tělesem hmotnosti M , po radiále z bodu A do bodu B (obr.4.4).

Na těleso ( )m působí při tomto přemístění gravitační síla gFr

, jejíž velikost se mění se vzdáleností r od (středu P ) gravitačního centra ( )M .

Obr.4.4

rr

d

gFr

r

B A P

m M

Určíme nyní celkovou práci BAW gravitační síly gFr

při přemístění BA → . Její

elementární práce Wd je rovna ( )rF dg ↑↑rr

( )0ddd 2g cos⋅κ=⋅= rr

MmrFWrr

a celková práce BAW při BA → je tedy

BA22BA

B

A

B

A

B

A

1ddrmM

rmM

rmM

rrmMr

rmMW

r

r

r

r

r

r

κ−κ=

−κ=κ=κ= ∫∫ .

Přesuneme-li bod A do nekonečna ( )rrr =∞→ BA ; a vztáhneme-li práci

gravitační síly gFr

na jednotku hmotnosti přemisťovaného tělesa, dostaneme matematické vyjádření potenciálu ( )rV gravitačního pole v závislosti na vzdálenosti r od (středu) (gravitačního) centra silového pole jako


40

( ) ( ) ⇒κ−∞

κ== →∞

rMM

mWrV r ( )

rMr κ−=V

Potenciál ( )rV (radiálního) gravitačního pole ve vzdálenosti r od (středu) gravitačního centra ( určíme podle vztahu )M

( ) [ ] 1-kgJ ⋅=κ−= VrMrV ; .

Potenciál ( )rV gravitačního pole ve vzdálenosti r od (středu) gravitačního centra je roven práci gravitačního pole při přemístění tělesa jednotkové hmotnosti

z nekonečna do vzdálenosti r .

Potenciál ( )rV gravitačního pole tedy nabývá pouze záporných hodnot. Je tomu tak proto, že jeho funkční závislost na r musí splňovat dvě podmínky – musí být rostoucí funkcí vzdálenosti r a současně musí být v limitě pro ∞→r (při vymizení gravitačního pole) roven nule. Geometrickým znázorněním skalárního modelu gravitačního pole jsou plochy stejného potenciálu – ekvipotenciální plochy. I bez obrázku je zřejmé, že ekvipotenciálními plochami radiálního gravitačního pole jsou soustředné kulové plochy se středem ve středu gravitačního centra. Nositelka vektoru intenzity gravitačního pole je normálou k ekvipotenciální ploše v daném bodě gravitačního pole. Ekvipotenciálními plochami homogenního pole jsou navzájem rovnoběžné roviny.

POTENCIÁLNÍ ENERGIE TĚLESA V GRAVITAČNÍM POLI Nachází-li se těleso (HB) o hmotnosti m v radiálním gravitačním poli buzeném tělesem o hmotnosti M v bodě s potenciálem V , je jeho potenciální gravitační energie pE v tomto bodě rovna

⇒= mVEp rMmE κ−=p

GRAVITAČNÍ POLE ZEMSKÉ Pro další úvahy budeme považovat Zemi za homogenní kouli o poloměru

m 106,378 6Z ⋅=R a hmotnosti kg 105,98 24

Z ⋅=M . Pro velikost intenzity a gravitačního zrychlení nehomogenního radiálního zemského gravitačního pole platí

2Z

g rMaK == .

Povrch Země: ( ) ( ) ⇒κ==⇒= 2Z

ZZgZZ R

MRaRKRr & 2

0g sm 9,81 −⋅== ga & ;

0g je dohodou stanovaná velikost tzv. normálního tíhového zrychlení na povrchu Země .


41

POTENCIÁLNÍ GRAVITAČNÍ ENERGIE TĚLESA V NADMOŘSKÉ VÝŠCE h

Přemístění tělesa (HB) hmotnosti m z bodu A ( )ZR na povrchu Země do bodu B ( )hR +Z je spojeno se změnou jeho potenciální energie. Zvolíme-li zemský povrch za nulovou ekvipotenciální hladinu – můžeme (v nepříliš velké nadmořské výšce h ) použít pro potenciální (gravitační ≈ tíhovou) energii tělesa (HB) známý vztah

( ) hgmhE 0p =

POHYB V NEHOMOGENNÍM GRAVITAČNÍM POLI ZEMĚ A SLUNCE

Pohyb balistických raket, (umělých) družic Země, Slunce a kosmických sond letících mimo Sluneční soustavu. Představme si, že umělá družice je dopravena raketoplánem do (tentokráte značné) výšky h nad zemský povrch a v této výšce je jí udělena rychlost v

r, jejíž nositelka je

pro jednoduchost kolmá na radiálu gravitačního pole - obr.4.5

h Obr.4.5

kvv =

go FFrr

−=

gFr

rr A

RZ A

Podmínkou pro pohyb družice po kružnici kolem Země je její „beztížný“ stav – nulová výslednice gravitační síly a setrvačné odstředivé síly.

( ) ⇒+

=+

κ⇒=+hR

vmhR

mMFFZ

2k

2Z

Zog 0

rrr

⇒+

=+

κ=+

κ=hR

RghR

RRM

hRMv

Z

2Z

0Z

2Z

2Z

Z

Z

Z2k &

takže tzv. kruhová nebo také 1. kosmická rychlost kv družice ve výšce h nad zemským povrchem je

( ) ( )hR

Rghvhv

+==

Z

2Z

01k &


42

Velikost kruhové nebo také 1. kosmické rychlosti pro povrch zemský ( )0=h-1

Z0k skm 7,9 ⋅== && Rgv . je

GEOSTACIONÁRNÍ DRUŽICE Jde o družici, která obíhá Zemi po kružnici ležící v rovině zemského rovníku s periodou jeden den ( d 1 =T ) – její postupný pohyb po kružnicové trajektorii je synchronní s otáčením Země – družice tedy „visí“ nad určitým bodem zemského rovníku a je používána zejména ke komunikačním účelům.

Poloměr kružnicové trajektorie geostacionární družice je dán podmínkami

( ) ( ) ( ) ( ) ⇒π

=+⇒+π

=∧+

= 2

20

2Z3

ZZ

kZ

2Z

0k 42 TgR

hRT

hRhv

hRR

ghv

Z3

2

20

2Z

4R

TgRh −

π= ; ( )km 000 35 =&h .

Na obr.4.6 jsou znázorněny trajektorie družice v závislosti na velikosti její okamžité rychlosti v bodě A (ve výšce h nad zemským povrchem). Po nejmenší eliptické trajektorii, jejíž část prochází zemským tělesem, se pohybují balistické rakety. Zvětšuje-li se rychlost družice, pohybuje se tato po elipse kolem Země – bod A je apogeem – bodem, v němž je družice nejdále od zemského povrchu. Při dalším zvětšování rychlosti dosáhne družice kruhové rychlosti, příslušející

vzdálenosti bodu A od zemského povrchu.

v > vk

v = vk

vp

A v < vk

Obr.4.6

Má-li družice v bodě A rychlost větší, než je rychlost kruhová, pohybuje se družice opět po elipse, bod A je však již pro tyto eliptické trajektorie perigeem. Další zvětšování rychlosti družice má za následek stále větší výstřednost její trajektorie. Při dosažení tzv. parabolické rychlosti pv (v bodě A ) se již (eliptická) trajektorie neuzavře a družice po parabolické trajektorii uniká z dosahu zemského gravitačního pole a stává se umělou družicí Slunce. K určení parabolické (nebo také únikové, či 2. kosmické) rychlosti (v dané vzdálenosti od povrchu Země) si stačí uvědomit, že družice uniká do „nekonečna“, v němž se „zastaví“. Její mechanická energie je tedy nulová, neboť je v relativním klidu vůči Zemi a potenciál zemského gravitačního pole v nekonečnu je roven nule.

Pokládáme-li zemské gravitační pole za konzervativní, musí být součet kinetické a potenciální energie družice pohybující se parabolickou rychlostí roven nule v libovolném bodě její trajektorie – i ve výšce h tedy musí platit

⇒=+

κ=⇒=+

κ−⇒=+ 2k

Z

Z2p

Z

Z2ppk 220

210 v

hRMv

hRmMmvEE 2kp vv =


43

Pro zemský povrch ( 0=h ) má parabolická rychlost (nebo také úniková či 2. kosmická rychlost) velikost ( ) ( ) skm 11,22 1-

ZkZp ⋅=⋅= && RvRv .

Planeta Země je přirozenou družicí Slunce, kolem něhož se pohybuje po přibližně kružnicové trajektorii kruhovou rychlostí -1

Sk, skm 30 ⋅=&v . K úniku z gravitačního pole Slunce z bodů zemské trajektorie je tedy zapotřebí parabolické rychlosti -1

Sk,Sp, skm 1422 ⋅== ,&vv vůči Slunci. Má-li se však tento únik uskutečnit ze Země, nestačí udělit raketě nebo sondě rychlost

-1s⋅km 11221142,1 =−= ,,v vůči Zemi, neboť je nutno překonat zemskou přitažlivost příslušnou parabolickou rychlostí. Pro tzv. 3. kosmickou rychlost potřebnou k úniku z gravitačního pole Slunce z povrchu Země tedy platí

⇒+=+= 222Zp,

223 21112,1 ,&vvv ( ) 1

Z3 skm 16,7 −⋅=&Rv


44

5. MECHANIKA TEKUTIN TEKUTINY – společný název pro kapaliny a plyny. Jejich společnou vlastností (a odlišností od pevných látek) je tekutost - schopnost snadného a neomezeného pohybu částic v celém tekutinou zaujímaném objemu. Díky tekutosti nemají tekutinová tělesa stálý tvar a mohou být snadno dělena na části. V mechanice tekutin opět používáme modely. Nejjednodušším modelem je tzv. ideální tekutina.

Částice ideální tekutiny na sebe vzájemně nepůsobí – při jejich pohybu (proudění) neexistuje vnitřní tření (viskozita) a proto nedochází k disipaci

mechanické energie. Ke změně tvaru tekutinového tělesa proto není zapotřebí konat práci

IDEÁLNÍ PLYN

„nabídnutého“ objemu), velmi dobrá stlačitelnost

rozpínavost (zaujmutí jakéhokoliv IDEÁLNÍ KAPALINA nestlačitelnost

IDEÁLNÍ TEKUTINA nulová viskozita

Skutečné (reálné) tekutiny se od ideálního modelu liší zejména tím, že mají nenulovou viskozitu - vnitřní tření, projevující se při jejich proudění. Tradiční rozdělení mechaniky tekutin

• STATIKA (hydrostatika, aerostatika) – studium vlastností klidných (nepohybujících se) tekutin,

• DYNAMIKA (hydrodynamika, aerodynamika) – studium vlastností pohybujících se (proudících) tekutin.

STATIKA TEKUTIN S ohledem na výše uvedené vlastnosti modelových tekutin a vzhledem k tomu, že v klidné (neproudící) tekutině se její viskozita neprojevuje, můžeme říci, že ve statice můžeme i skutečné tekutiny považovat za ideální (skutečné kapaliny jsou prakticky nestlačitelné, stlačitelnost skutečných plynů je pro naše úvahy dostačující).

TLAK V TEKUTINĚ Síly působící na tekutiny mohou být jednak plošné – působící na tekutinu v nádobě uzavřené pohyblivým pístem plošnou (tlakovou) silou. Plošnou sílu označujeme Tr

, vztahujeme ji na jednotku plochy a proto je její hlavní jednotkou PamN 2 =⋅ − . Na rozdíl od plošné síly působí např. gravitační pole Země silami na částice v celém objemu tekutiny. Vztáhneme-li velikost sil tohoto typu na jednotku objemu, říkáme jim síly objemové, označujeme je F

r a hlavní jednotkou jejich velikosti je 3m−⋅N .

Vztáhneme-li objemovou sílu na jednotku hmotnosti, říkáme jim síly hmotnostní, označujeme je G

r a hlavní jednotkou jejich velikosti je 1kgN −⋅ . Převod (téže) síly


45

objemové Fr

na sílu hmotnostní Gr

je dán vztahem GF ρ=rr

!!, v němž ρ je (místní) hustota tekutiny. K vysvětlení pojmu „tlak v tekutině“ vyjdeme z jednoduchého experimentu. Zhotovíme si jednoduchou sondu z plechové nebo plastové krabičky válcového tvaru, jejíž jednu kruhovou podstavu nahradíme velmi tenkou pružnou membránou – např. z části gumového balónku. Membránu k plášti krabičky přilepíme nebo jinak připevníme tak, aby vnitřek krabičky byl vzduchotěsný a membrána byla rovinná (obr.5.1a) Ponoříme-li sondu do (klidné) vody v otevřené nádobě, pozorujeme deformaci membrány (obr.5.1b,c). Tvar deformované membrány (v téže hloubce pod hladinou vody) přitom nezávisí na natočení membrány a svědčí o tom, že voda působí na plochu S∆ membrány plošnou silou F∆

r, která je vždy kolmá (k původní) rovině

membrány. Při libovolném natočení membrány má tedy síla na ni působící vody vždy směr opačný ke směru vnější normály - 0nF ↑↓

rr (obr.5.1c). ∆

Kdybychom použili více sond o různých průměrech membrán, zjistili bychom, že deformační účinek a tím i velikost deformující síly je tím větší, čím větší je plošný obsah S∆ membrány.

Zhodnotíme-li výsledky experimentu, zjistíme, že vektor plošné tlakové síly Fr

∆ , kterou působí (klidná) voda (kapalina, tekutina) na membránu o plošném obsahu S∆ lze zapsat jako

00 >∆−=∆ pnSpF ;rr

Velikost F∆ síly Fr

∆ je SpF ∆=∆ a odtud

[ ] PamN 2 =⋅=∆∆

= −pSFp ;

Skalární veličině p definované tímto vztahem (a popsaným experimentem) říkáme tlak v (klidné) tekutině. Je-li ploška S∆ dostatečně (nekonečně) malá ( )SS d→∆ , tj.

Fr

∆

gr

0nr

Obr.5.1 c)

a)

b)


46

„vystačíme-li“ pro ni s jediným vektorem 0nr

vnější normály, můžeme místní (lokální) tlak v tekutině zapsat jako (POZOR, nejde o derivaci)

SFp

dd

= .

Připomeňme znovu, že tlak p je skalární (stavovou) veličinou – není tedy silou.

Tlak je stav tekutiny, při němž je tekutina schopna působit (plošnou) tlakovou silou na povrch těles s ní se stýkajících (i na povrch částí sebe sama).

Tlak Pa 1 (jednoho pascalu) se projevuje (nebo je vyvolán) silou o velikosti N1 působící (kolmo) na plochu (část roviny) o plošném obsahu 2m1 .

Vyjádřeme rozměr Pa následujícím způsobem: -3-3-2 mJmmN mN Pa ⋅=⋅⋅=⋅= ; pascal je tedy rozměrově totéž, jako -3m⋅J . Můžeme tedy říci, že tlak v tekutině je možno chápat také jako hustotu potenciální tlakové energie tekutiny, kterou je možno využít ke konání mechanické práce.

Tlak v tekutině je důsledkem působení plošné, nebo objemové síly na tekutinu.

Povšimněme si v této souvislosti, že na obr.5.1 je znázorněn vektor tíhového zrychlení – voda v nádobě se tedy nachází v tíhovém poli. Bez působení (objemové) tíhové síly na vodu v nádobě bychom v ní výše popsaným experimentem žádný tlak nezjistili. Je-li „původcem“ tlaku v tekutině plošná síla

působící na tekutinu v nádobě

prostřednictvím (pohyblivého) pístu, je tlak vyvolaný tímto plošným silovým působením ve všech místech tekutiny stejný: ( ) konst.=≠ prpp ;

r Takto

vzniklému tlaku říkáme tlak PASCALŮV. Objemová síla – např.síla gravitačního (tíhového) pole – vyvolává v tekutině tlak, jehož hodnota je funkcí polohy v tekutině - ( )rpp =

r. Tomuto tlaku říkáme tlak

hydrostatický (aerostatický).

PASCALŮV ZÁKON Tlak vyvolaný vnější plošnou silou je v celém objemu klidné tekutiny stejný

Působí-li na tekutinu současně síla plošná i objemová, je PASCALŮV tlak příspěvkem k celkovému tlaku v tekutině.

ROZDĚLENÍ HYDROSTATICKÉHO TLAKU Uvažujme (klidnou) kapalinu o hustotě ρ v nádobě v homogenním – např. tíhovém – poli hmotnostní síly ( gGgG ,,00

r⇒= )

rr - obr.5.2. Pro hydrostatický tlak hp v

hloubce z pod (volnou) hladinou klidné tekutiny platí známý vztah

( ) gzzp ρ=h


47

V praxi je volná hladina kapaliny v otevřené nádobě (hladiny jezer, rybníků, moří apod.) vždy ve styku s vrstvou vzduchu, představující „píst“, kterým tíha vzdušného obalu Země nad volnou hladinou působí na kapalinu. Působení této plošné síly vyvolává v celé kapalině PASCALŮV tlak konst.p =p . Pro celkový tlak v hloubce pod volnou hladinou klidné tekutiny tedy platí

z

( ) pgzpzp p =ρ+= ( )zphp +

Zatímco PASCALŮV tlak pp je ve všech místech kapaliny stejný, je hydrostatický tlak hp funkcí polohy ( )[ zpp hh = ]. Množině bodů, v nichž je v (klidné) kapalině stejný

hydrostatický tlak, říkáme hladina (izobarická plocha). Hladině odpovídající nulovému hydrostatickému tlaku, říkáme volná hladina kapaliny.

z

( )zpp hp +

Obr.5.2

0

z

pp pp

pppp

pppp

konst.=gr

V homogenním tíhovém poli jsou hladinami hydrostatického tlaku klidné kapaliny části (rovnoběžných) vodorovných rovin – jsou tedy kolmé k vektoru intenzity tíhového pole, které je příčinou hydrostatického tlaku. Je-li klidná kapalina v homogenním tíhovém poli v navzájem spojených (otevřených) nádobách a v každé z nich vytváří volnou hladinu, leží všechny tyto volné hladiny v téže (vodorovné) rovině – této skutečnosti využívají např. stavbaři, proto jsou vodárny na kopcích, na tomto principu pracují kapalinové tlakoměry apod.

Obecně platí, že hladina tlaku, vyvolaného v kapalině objemovou silou, je v každém bodě kolmá k nositelce vektoru této síly. Nachází-li se (klidná, neproudící) kapalina ve dvou různých silových polích současně, jsou hladiny tlaku kolmé k výslednici intenzit těchto polí. S homogenním tíhovým polem se zpravidla skládá pole setrvačné síly. Proto se změna tvaru volné hladiny kapaliny v nádobě projevuje např. při nerovnoměrném posuvném pohybu nádoby ve směru odlišném od svislého, v nádobě, která rotuje kolem osy apod.

ARCHIMÉDŮV ZÁKON

Těleso ponořené do kapaliny (tekutiny) je nadlehčováno silou P , jejíž velikost r

P je rovna velikosti G tíhy G

r kapaliny (tělesem) vytlačené;

gr

Obr.5.3

Pr

VGr

ρ

V

Jednoduchý důkaz platnosti tohoto zákona podal ST

k

EVIN. Má-li být kapalina v nádobě na obr.5.3 v klidu, musí na každou její část – a tedy i na část ve tvaru oule o objemu V - působit kromě tíhové síly GF

r hydrostatická vztlaková síla téže

velikosti a opačného směru. Musí proto platit (ρ je hustota kapaliny)

Pr

⇒= P⇒=+ FPF GG 0rrr

VGgVP =ρ= .


48

Použití ARCHIMÉDOVA zákona: využití hydrostatické vztlakové síly – plování těles, hustoměry, měření hustoty pevné látky dvojím vážením apod.

TLAKOVÁ SÍLA KAPALINY NA STĚNU NÁDOBY Kapalina o hustotě ρ se stýká se svislou stěnou nádoby ve tvaru obdélníka o rozměrech l,h – obr.5.4.

dx

x

h

l

x

0 Obr.5.4

Na element Sd stěny v hloubce x pod volnou hladinou kapaliny působí elementární tlaková síla F

rd o velikosti

xxgl dρ=SgxSpF ddd ρ== .

Velikost celkové tlakové síly získáme určitou integrací

( )gShlghFxlgxxlgFF

hh

S

ρ=ρ=⇒

ρ=ρ== ∫∫ 2

121

2dd 2

0

2

0

.

Působiště celkové tlakové síly na stěnu určíme vzhledem k rovnoběžnosti elementárních tlakových sil (stejným postupem jako polohu těžiště tělesa) podle vztahu

⇒= ∑∑∞

=

∞

= 11 iii

iiF FxFx

rr

( )∫=S

F FxF

x d1 ⇒

⇒=

=ρ

ρ= ∫ lh

lhxSh

lxlxggSh

xhh

F 2

3

0

3

0

2

32

32d2 hxF 3

2=

Velmi snadný je výpočet tlakové síly (klidné) kapaliny o hustotě ρ na vodorovné dno nádoby, které leží v hladině (stejného) hydrostatického tlaku v hloubce h pod volnou hladinou kapaliny. Pak platí gShF ρ= .

Velikost tlakové síly kapaliny na dno nádoby nezávisí na tvaru nádoby a tato tlaková síla může být větší, než je velikost tíhy kapaliny v nádobě – hydrostatické paradoxon (PASCAL) .

MĚŘENÍ TLAKU V TEKUTINĚ

Obr.5.5

1p

h

0p

ρ

01 pghp +ρ=

TLAKOMĚRY (MANOMETRY)

Kapalinové tlakoměry (manometrické trubice s kapalinou známé hustoty ρ – obr.5.5). Kovové tlakoměry – aneroidy – využívající deformace pevného tělesa.


49

BAROMETRICKÝ TLAK Tlak (ve) vzduchu - aerostatický tlak ve vzdušném obalu Země. Předvídán dávno, poprvé změřen 1643 – TORRICELLI (VIVIANI) – TORRICELLIHO pokus – východisko pro měření tlaku (rtuťový manometr) i pro historicky první jednotku tlaku – hydrostatický tlak sloupce rtuti o výšce mm 1 - torr 1Hg mm =1 .

Tlak vzduchu závisí zejména na nadmořské výšce a na počasí. Pro srovnávací účely byla dohodnuta referenční hodnota – normální atmosférický tlak

( )torrů 760Hg mm 760hPa 1000Pa 10013251 5n ==≈⋅= ,p

Normální atmosférický tlak je roven hydrostatickému tlaku sloupce rtuti o výšce mm 760 při teplotě C0 o a normálním tíhovém zrychlení 2

0 sm 806659 −⋅= ,g . Za těchto (normálních) podmínek je hustota rtuti 33

Hg mkg 1059513 −⋅⋅=ρ , .

Převodní vztahy pro některé dřívější jednotky tlaku (nepatřící do SI !!)

Pa 109,81 torrů 735,52(at) atmosféra 1Pa, 10 1torrů 750,07(b) bar Pa, 133,322 Hg mm 1 torr 1

4

5

⋅==

⋅====

DYNAMIKA TEKUTIN Studium pohybu – proudění – tekutin je velmi obtížné. Proto provádíme mnohá zjednodušení vzdalující použité modely od reality. I přesto je možno tímto modelovým postupem získat mnoho užitečných vztahů a zákonů. Připomeňme, že zásadním zjednodušením v případě modelů - ideálních tekutin, je nulové vnitřní tření (viskozita).

USTÁLENÉ PROUDĚNÍ IDEÁLNÍ TEKUTINY

Při ustáleném proudění tekutiny se rychlost může měnit s polohou, v daném bodě tekutiny však zůstává stálá.

Proudnice – (spojitá) křivka, jejíž tečna v každém bodě je nositelkou vektoru rychlosti proudění tekutiny. Při ustáleném proudění se proudnice neprotínají – v každém bodě ustáleně proudící tekutiny existuje (pouze) jediný vektor rychlosti proudění. Proudová trubice – množina proudnic, procházejících uzavřenou křivkou, která není proudnicí. V praxi jsou proudovými trubicemi hadice, trubice apod. Proudové vlákno – vnitřek proudové trubice. Vzhledem k tomu, že se proudnice při ustáleném proudění neprotínají, nemohou částice tekutiny opustit „své“ proudové vlákno, vlákno omezující proudová trubice je pro částice tekutiny neprostupná. PAMATUJ! – naprostá většina zákonů proudění tekutin je definována pro tekutinu v proudové trubici.

Je-li proudění tekutiny ustálené, jsou proudnice shodné s trajektoriemi částic tekutiny.


50

ROVNICE SPOJITOSTI TOKU (ROVNICE KONTINUITY) Vzhledem k neprostupnosti proudové trubice platí při ustáleném proudění tekutiny

(proudovou trubicí) zákon zachování hmotnosti – za časový interval t∆

⇒∆

projde libovolným (příčným) průřezem trubice (obr.5.6) tatáž hmotnost tekutiny

ρ=∆ρ tvStvS 222111

konst.=ρSv

Výrazu v rámečku říkáme rovnice kontinuity neboli rovnice spojitosti toku (pro libovolnou proudovou trubici ustáleně proudící tekutiny).

1vr

2vr

tv ∆1

tv ∆21ρ

2ρ

S2

S1

Obr.5.6

Je-li ideální tekutinou kapalina, je její hustota ρ konstantní a rovnice kontinuity pro danou proudovou trubici má tvar

konst.konst. =⇒=ρ Sv

VÝTOK KAPALINY OTVOREM V NÁDOBĚ Kapalina o hustotě je uzavřena ve válci s pístem, jehož vnitřní příčný průřez má plošný obsah (obr.5.7). Při uzavřeném otvoru O je tlak v kapalině

SF=1p a (např. atmosférický) tlak vně válce má hodnotu 12 p<p .

ρS

Obr.5.7

Otevřeme-li otvor a posuneme-li píst, vytéká kapalina rychlostí v

r. Hmotnost

objemové jednotky kapaliny ve válci měla před otevřením otvoru potenciální tlakovou energii 1p . V okamžiku jejího výtoku otvorem nabyla kinetickou energii

221

k vE ρ=∆ na úkor poklesu potenciální tlakové energie 012p <−=∆ ppE .

S p2

Fr

p1

(ρ)

O

xd

vr

Ze zákona zachování mechanické energie dostáváme

⇒−=ρ⇒∆−=∆ 212

pk 21 ppvEE

( )ρ−

= 212 ppv

VÝTOK KAPALINY OTVOREM Z NÁDOBY V TÍHOVÉM POLI

Použijeme-li vztahu ( )ρ−

= 212 ppv , v němž položíme ghpp ρ+= 01 a 02 pp = ,

dostaneme tzv. TORRICELLIHO vzorec: hgv 2= Kapalina tedy z otvoru vytéká stejnou rychlostí, jakou by dosáhla volným pádem z výšky h .

Fyzika 1 PřF OU, L.Sklenák, 2002 51

vr

gr

Obr.5.8 Má-li otvor O ve stěně nádoby plošný obsah (obr.5.8), měla by tímto otvorem za dobu t vytéci kapalina o objemu

Sp0

tSvV =

( konst.=konst ⇒ v.=h ). h (ρ)

V případě skutečných kapalin vyteče za čas t objem V ′ menší než V : VV ε=′ , 1<ε je tzv. výtokový činitel, který závisí především na viskozitě vytékající kapaliny.

O p1

BERNOULLIHO ROVNICE Ustálené proudění (ideální) kapaliny (proudovou) trubicí proměnného průřezu. Vektor ( )rvv

rrr= rychlosti proudění je obecně různoběžný s vektorem tíhového

zrychlení g (obr.5.9). r

h1

Ep = 0

Obr.5.9

1S

2S2vr

1vr

gr

(ρ) p2

p1

h2

Zapíšeme-li zákon zachování mechanické energie pro hmotnost objemové jednotky kapaliny ve dvou náhodně zvolených místech (průřezech) proudové trubice, dostaneme

222

122

212

111 vghpvghp ρ+ρ+=ρ+ρ+ .

Pro libovolný průřez (téže) proudové trubice s ustáleně proudící kapalinou tedy platí tzv. BERNOULLIHO rovnice – zákon zachování mechanické energie pro (ideální) kapalinu ve tvaru

konst.21 2 =ρ+ρ+ vghp

Hustota mechanické energie ustáleně proudící ideální kapaliny je ve všech místech (téže) proudové trubice stejná.

BERNOULLIHO rovnice platí přibližně i pro skutečné kapaliny. Pro plyny je přibližná platnost téže rovnice zajištěna pro rychlosti menší než 1sm 40 −⋅ .


52

PRŮTOK IDEÁLNÍ KAPALINY VODOROVNOU TRUBICÍ Místní výška proudové trubice je při její vodorovné poloze stálá – BERNOULLIHO rovnici lze zapsat jednodušeji jako

⇒= konst.ρ+=ρ+ 222

12

212

11 vpvp

konst.221 =ρ+ vp

konst.cds ==+ ppp

⇒

spp = je tzv. tlak statický, d2 pv =ρ2

1 je tzv. tlak dynamický a konst.c =p je celkový tlak tekutiny v (dané) proudové trubici. Pro vodorovnou proudovou trubici tedy platí

Obr.5.10

1vr

1vr

2vr

(ρ)

≈ p1

≈ p2

≈ p1 – p2

≈ p1

S2 S1 S1

c2

s 21 pvp =ρ+

Mění-li se průřez trubice, mění se v důsledku platnosti rovnice kontinuity i rychlost proudění kapaliny a tím tedy i její dynamický tlak dp . Při enormním zúžení trubice a velké rychlosti proudění tak může statický tlak sp poklesnout pod hodnotu okolního atmosférického tlaku. Prostřední manometrickou trubicí na obr.5.10 by tedy byl za této situace do proudové trubice nasáván vzduch. Tohoto jevu se používá např. v rozprašovačích, vodních vývěvách apod. Při velkých rychlostech větru je při obtékání sedlových střech statický tlak vzduchu menší, než tlak vzduchu v budově – dochází tedy k nasávání střechy směrem vzhůru. Stejný původ má i obtížné dýchání při velkém větru – v plicích se jen těžko vytváří potřebný podtlak nutný pro nasávání vzduchu zvenčí. Zmenšení statického tlaku vody nebo vzduchu se projevuje mezi míjejícími se loděmi, kamiony apod., což může vést k jejich kolizím.

MĚŘENÍ TLAKU (A RYCHLOSTI) V PROUDÍCÍ TEKUTINĚ Statický tlak sp v proudící kapalině měříme výškou h′ sloupce kapaliny ve svislé manometrické trubici M na obr.5.11.

Chceme-li změřit celkový tlak cp proudící kapaliny, musíme kapalinu „zastavit“ v zahnutém ústí tzv. PITOTOVY trubice P . Spojením manometrické a PITOTOTOVY trubice vznikne trubice PRANDTLOVA (obr.5.12). Toto zařízení se používá k měření rychlosti vzduchu obtékajícího pohybující se pevné těleso a tím i rychlosti tělesa – např. letadla.

≈ ps

vr

M P Obr.5.11

≈ pd ≈ p0 h´

h

Pro velikost v rychlosti ( vr

− ) obtékajícího vzduchu (nebo rychlosti vr

pohybujícího se tělesa pevně spojeného s PRANDTLOVOU trubicí) platí (obr.5.12)


53

ds0 ppph =−≈

v

vr

−

( )ρsp

→0p

ρ′

h

Obr.5.12

r

⇒ρ′=ρ==− ghvppp 2ds0 2

1

hgvρρ′

=2

PROUDĚNÍ SKUTEČNÉ TEKUTINY Skutečné tekutiny – zejména kapaliny – se vyznačují větší či menší viskozitou, která ovlivňuje jejich proudění. Viskozita neboli vnitřní tření patří k disipativním

silám, jejichž působení se projevuje úbytkem potenciální

Obr.5.13

vr

vh

ph

H

tlakové energie kapaliny. Na obr.5.13 je znázorněn výtok kapaliny otvorem u dna vodorovnou trubicí. Předpokládejme, že volná hladina kapaliny v nádobě je trvale udržována ve stejné výši nade dnem nádoby ( )konst.=H .

Za ideálního stavu by volná hladina kapaliny ve všech manometrických trubicích měla být ve stejné výši – samozřejmě níže, než volná hladina kapaliny v nádobě. Tento pokles – tzv. rychlostní výška vh je mírou dynamického tlaku dp , příslušejícího konstantní rychlosti proudění tekutiny trubicí. Protože platnost rovnice kontinuity musí být ve všech místech vodorovné trubice zachována, projevuje se podél trubice úbytek mechanické energie následkem viskozity proudící kapaliny postupným poklesem jejího statického tlaku sp . Výšku

ph , která je mírou tohoto úbytku mechanické energie proudící viskózní kapaliny, nazýváme „ztracená“ výška.

VISKOZITA (VNITŘNÍ TŘENÍ) SKUTEČNÝCH TEKUTIN Vnitřní tření nebo také viskozita skutečných tekutin je způsobena vzájemným silovým působením jejich částic. Viskozita se projevuje zejména při proudění skutečných kapalin. Následkem viskozity se rychlost proudící kapaliny zmenšuje směrem od osy proudové trubice k jejím stěnám. Je tomu tak proto, že tzv. mezní vrstva kapaliny, která je ve styku s vnitřním povrchem stěny (vůči proudící kapalině nehybné) proudové trubice, je prakticky v klidu. V tomto případě jde o tzv. vnější tření mezi kapalinou a stěnou trubice.


54

Mírou viskozity skutečných kapalin (tekutin) je tzv. součinitel dynamické viskozity η ; [ ] (pascalsekunda). sPa ⋅=η

PROUDĚNÍ LAMINÁRNÍ A TURBULENTNÍ Proudění ideální kapaliny je vždy nevírové – v ideální kapalině se nemohou působením konzervativních sil tvořit víry. Jestliže však již nějakým způsobem víry vznikly, pak se budou v proudící kapalině setrvačností udržovat stále s neměnnou rychlostí rotace (HELMHOLTZOVA věta). Vzhledem k nulové viskozitě ideální kapaliny se při jejím proudění všechny částice objemového elementu (obr.5.14) pohybují posuvným pohybem stejnou rychlostí.

Obr.5.14 r ( )rvvrr

≠

Ve skutečné kapalině je výsledný pohyb jejího objemového elementu vždy složený s pohybu posuvného a pohybu otáčivého. Příčinou rotace elementu je viskozita kapaliny – brzdící efekt těch částic elementu, které jsou blíže mezní vrstvě, má na objemový element proudící kapaliny otáčivý účinek.

ROZLOŽENÍ RYCHLOSTÍ PŘI PROUDĚNÍ SKUTEČNÉ KAPALINY Při proudění skutečné kapaliny proudovou trubicí lpí krajní (mezní) vrstva kapaliny na stěnách trubice a rychlost proudění se zvětšuje směrem k ose trubice, v níž dosahuje maxima. Obálkou rychlostí ( )rv

r částic skutečné kapaliny,

nacházejících se v daném okamžiku v příčném průřezu proudové trubice je rotační paraboloid souosý s proudovou trubicí (obr.5.15).

( )rvvrr

=

Obr.5.15

Proudění skutečné kapaliny s tímto rozdělením rychlostí jejích částic říkáme laminární.

Při laminárním proudění sice dochází ke vzniku vírů – kromě posuvného koná element kapaliny ještě rotační pohyb. Převládajícím pohybem je však pohyb posuvný. Proudnice se při laminárním proudění neprotínají a jsou „přibližně

rovnoběžné“.

Při dosažení (a překročení) určité mezní (kritické) hodnoty střední rychlosti proudění dochází k jeho kvalitativní změně – dominantním se stane rušivý vliv vírů (turbulencí) – proudnice se začnou proplétat (a protínat), dochází proto k promíchávání proudící kapaliny. Odpor proti proudění se výrazně zvětší. Proudění laminární (vláknové) se změnilo v proudění turbulentní (vírové, vířivé).


55

Při turbulentním proudění dochází k rozvoji vírů, nastává promíchávání kapaliny, proudnice se proplétají a protínají – proudění již není ustálené – v průsečíku

proudnic je rychlost částic kapaliny neurčitá

I přes neurčitost rychlosti v některých místech proudové trubice lze zjistit průměrné rozložení rychlosti turbulentního proudění v příčném průřezu proudové trubice. Obálka rychlostí již není paraboloidem jako při proudění laminárním, ale rychlost v celé vnitřní části trubice je přibližně stejná.

Anglický fyzik REYNOLDS při svých pokusech v 90. letech 19. století zjistil, že o druhu proudění tekutiny v trubici (nebo při obtékání pevných těles tekutinou) rozhoduje bezrozměrová veličina

ηρ

=dvsRe

nazývaná na počest svého objevitele REYNOLDSOVO číslo (d je charakteristický rozměr – např. poloměr trubice nebo obtékané koule, ρ je hustota tekutiny, η je součinitel její dynamické viskozity a sv je střední rychlost proudění – relativní rychlost tekutiny vůči jí obtékanému tělesu). Laminární proudění přechází v turbulentní při dosažení a překročení tzv. kritické hodnoty kRe REYNOLDSOVA čísla. Z pokusů plyne, že kritickou hodnotou je 1000Re . k ≈

REYNOLDSOVO číslo má důležitý význam při studiu odporu (prostředí), který kladou tělesa proudění kapalin nebo plynů (nebo kapaliny či plyny pohybu těles). Je-li těleso tak velké, že není možno studovat odpor na originálu (letadlo, raketoplán, loď, automobil), můžeme je studovat na modelech těchto těles. Výsledky získané pomocí modelu budou však podle teorie (mechanické) podobnosti srovnatelné se skutečností pouze tehdy, provádí-li se měření při stejném REYNOLDSOVĚ čísle.

ODPOR PROSTŘEDÍ Odporem prostředí rozumíme silové působení tekutin na pevná tělesa, namířené proti směru (relativní) rychlosti tělesa vzhledem k tekutině. Projevuje se tedy jak při pohybu těles v „klidné“ tekutině, tak i při obtékání „klidného“ tělesa tekutinou.

Empiricky bylo zjištěno, že síla odporu tekutiny závisí na její dynamické viskozitě, na velikosti (relativní) rychlosti tělesa (vzhledem k tekutině) a vykazuje

velmi silnou závislost na tvaru tělesa.

1. Odpor prostředí při laminárním proudění tekutiny kolem pevného tělesa. Při malé střední rychlosti laminárního obtékání tělesa tekutinou nedochází k porušení „rovnoběžnosti“ proudnic a za tělesem nevznikají (větší) víry.

2. Při větších rychlostech obtékání pevného tělesa tekutinou se mezní vrstva tekutiny odtrhne od obtékaného tělesa a v za tělesem vznikne tzv. mrtvý prostor, v němž se začínají tvořit a vyvíjet víry.


56

Velikost odporu prostředí lze v tomto případě poměrně jednoduše (přibližně) určit pouze za předpokladu, že nedochází ke stlačování obtékající tekutiny. Tato podmínka není splněna např. při pohybu letadla ve vzduchu při rychlosti srovnatelné s rychlostí zvuku ve vzduchu (v okolí přední části letadla dochází ke značné kompresi vzduchu, který „nestačí letadlu uhnout“). Obecně lze závislost velikosti síly odporu prostředí na rychlosti tekutiny vzhledem k tělesu vyjádřit empiricky získaným vztahem

2vBvAF +=

v němž BA, jsou součinitelé, závisející zejména na tvaru obtékaného tělesa a na dynamické viskozitě obtékající tekutiny.

Při malých rychlostech se uplatňuje člen lineární (Av ), při velkých rychlostech pak člen kvadratický ( )2Bv . Připomeňme, že jakýkoliv teoretický výpočet síly odporu prostředí je pouze přiblížením ke skutečnosti a proto musí být teorie ověřována experimenty s modely automobilů, letadel, lodí apod. v aerodynamických a hydrodynamických tunelech.

Blíží-li se rychlost v proudění tekutiny (plynu) při obtékání rychlosti šíření zvuku c v daném prostředí, začíná se tekutina stlačovat, hromadí se před tělesem a její hustota se značně zvětšuje. Odpor prostředí za této situace prudce roste, neboť lokální „zhuštění“ tekutiny před tělesem se nestačí přenést do okolí. Před tělesem se tak vytváří tzv. tlaková (zvuková) bariéra, tlačená tělesem dopředu. Při překonávání tlakové bariéry dochází k vyrovnání velmi rozdílných tlaků před a za tělesem, provázenému zvukovými efekty značné intenzity – z místa tohoto neobyčejně intenzivního rozruchu se šíří tzv. rázová vlna. Při překonávání tlakové bariéry je těleso vystaveno extrémnímu silovému působení. Po překonání tlakové bariéry je závislost síly odporu prostředí na rychlosti opět přibližně kvadratická. Podílu rychlosti proudění tekutiny při obtékání tělesa k rychlosti šíření zvuku v daném prostředí říkáme MACHOVO číslo cv=Ma .

struktura a vlastnosti l.tek iartemis.osu.cz/fypx1/sklenak.pdf · rovnoměrný pohyb hb po...

Documents