subastas final

8/19/2019 Subastas Final

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MicroeconomíaSubastas

Presentado por Hugo Vega

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Febrero 2016

Subastas Febrero 2016 1 / 1


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Subastas

subastas son un ejemplo ideal para aplicar juegos bayesianos

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Subastas


teoŕıa de juegos ha permitido entender y diseñarsubastas—ingenieŕıa económica

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Subastas



un subastador quiere vender un objeto y sabe que hay npostores interesados

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Subastas




modelo de valoraciones independientes: cada postor conoce suvaloración (su tipo) e ignora la de los demás

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Subastas





modelo de valoraciones comunes: cada postor conoce su tipo,pero la verdadera valoración es la suma de los tipos

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Subastas





modelo de valoraciones comunes: cada postor conoce su tipo,pero la verdadera valoración es la suma de los tipos

ejemplo sencillo de valoraciones independientes: cada postortiene una valoración v i obtenida de una función dedistribución uniforme en el intervalo [0, 1]—el tipo de un jugador es su valoración

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Subasta inglesa

subastador comienza anunciando un precio bajo y lo vasubiendo, postores se van retirando conforme consideran queel precio es muy alto y cuando queda un solo postor se lleva elobjeto

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Subasta inglesa


usada en antigüedades, autos usados, ganado, etc.

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Subasta inglesa



acción de un postor b i ∈ + tal que postor se retira si preciosupera a b i

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Subasta inglesa



acción de un postor b i ∈ + tal que postor se retira si preciosupera a b i

entonces pago de postor i dadas acciones b = (b 1, . . . , b n) es(ignorando empates)

u i (b , v ) =

v i − máx j =i b j si b i > máx j =i b j 0 si b i < máx j =i b j

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Equilibrio bayesiano en subasta inglesa

equilibrio bayesiano: b i = v i para todo i —¡conviene pujar laverdadera valoración!

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con una puja menor, postor se arriesga a perder cuando leconviene ganar; con una puja mayor, postor se arriesga a

ganar cuando le conviene perder

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ganar cuando le conviene perder gana el postor con la puja más alta y paga la segunda

puja—equivalente a una subasta de segundo precio

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ganar cuando le conviene perder gana el postor con la puja más alta y paga la segunda

puja—equivalente a una subasta de segundo precio

ganancia esperada para subastador: valor esperado de la

segunda de un conjunto de n variables aleatorias uniformesindependientes: Ev (2,n)

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Subasta a sobre cerrado

postores env́ıan pujas b i ∈ +, ganador es quien env́ıa la pujamás alta y paga su propia puja

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u i (b , v ) =

v i − b i si b i > máx j =i b j 0 si b i < máx j =i b j

S

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u i (b , v ) =


gana el postor con la puja más alta y paga su propiapuja—subasta de primer precio

S b b d

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u i (b , v ) =


gana el postor con la puja más alta y paga su propiapuja—subasta de primer precio

¿con qué subasta gana más el subastador, subasta inglesa osubasta a sobre cerrado?

E ilib i b i b d i i

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Equilibrio bayesiano en subasta de primer precio

supongamos que todo postor diferente a i puja b j = λv j paraalgún λ ∈ (0, 1]

E ilib i b i b t d i i

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entonces i gana si b i > λv j para todo j = i , que ocurre conprobabilidad (b i /λ)n−1

E ilib i b i b t d i i

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utilidad esperada para i de pujar b i es (v i − b i )(b i /λ)n

−1

E ilib io ba esia o e s basta de i e ecio

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utilidad esperada para i de pujar b i es (v i − b i )(b i /λ)n−1

CPO: −(b i /λ)n−1 + (v i − b i (n − 1)b n−2i /λ

n−1 = 0


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n−1 = 0

simplificando, b i = n−1

n v i , una regla lineal de conducta


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n−1 = 0



pero entonces b i = n−1

n v i para todo i es un equilibrio

bayesiano


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n−1 = 0



pero entonces b i = n−1

n v i para todo i es un equilibrio

bayesiano ganancia esperada para subastador n−1

n Ev (1,n)

¿con qué subasta está mejor el subastador?

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¿con que subasta esta mejor el subastador?

subasta de primer precio: n−1n

Ev (1,n)


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Ev (1,n) subasta de segundo precio: Ev (2,n)


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pero Ev (2,n) = n−1

n Ev (1,n)


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n Ev (1,n)

¡equivalencia de ingresos para el subastador!


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n Ev (1,n)

¡equivalencia de ingresos para el subastador!

¿es éste un resultado general?—Vickrey, y años despuésMyerson e independientemente Riley y Samuelson,demuestran que śı

Modelo general de subastas

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n postores interesados en adquirir un objeto


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g


cada postor tiene una valoración por el objeto v i ; valoracionesson variables aleatorias independientes con la mismadistribución continua F sobre [v , v ]


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g



conjunto de acciones de cada postor: puja b i ∈ +


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g




subasta definida por (i) regla de asignación del objetox (b ) = x 1(b ), . . . , x n(b ) tal que x i (b ) ≥ 0 y ∑ i x i (b ) ≤ 1para todo b especificando probabilidad de recibir el objeto(permitimos asignación aleatoria y no asignar el objeto)


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g




subasta definida por (i) regla de asignación del objetox (b ) = x 1(b ), . . . , x n(b ) tal que x i (b ) ≥ 0 y ∑ i x i (b ) ≤ 1para todo b especificando probabilidad de recibir el objeto(permitimos asignación aleatoria y no asignar el objeto)

(ii) regla de precios p (b ) = p 1(b ), . . . , p n(b ) especificandoprecios pagados por cada postor (permitimos que paguen losperdedores—ejemplo: subasta en que las pujas no sonreembolsables)

Teorema de equivalencia de ganancias del subastador

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subasta es eficiente si en el equilibrio bayesiano simétricox i = 1 si v i > máx j =i v j (gana el postor con valoración másalta)

subasta tiene cota inferior de excedente si en el equilibrio

bayesiano simétrico E(x i v i − p i ) = 0 si v i = v (postor convaloración más baja posible espera un excedente de cero)

TeoremaEn toda subasta eficiente con cota inferior de pagos la ganancia

esperada del subastador es la misma.

Demostración (sketch)

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principio de revelación: en vez de considerar subasta original,consideremos juego de revelación directa en el que cadapostor anuncia directamente su valoración, y regla deasignación y regla de precios dependen directamente devaloraciones: x̂ (v ) = x (b (v )), p̂ (v ) = p (b (v ))


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idea: si es un equilibrio actuar de acuerdo a estrategia b (v ) enel juego original, entonces es un equilibrio decir la verdaderavaloración en el juego de revelación directa


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idea: si es un equilibrio actuar de acuerdo a estrategia b (v ) enel juego original, entonces es un equilibrio decir la verdaderavaloración en el juego de revelación directa

definamos excedente de postor con valoración v i como

S (v i ) = E(x i (v )v i − p i (v )|v i )

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Demostración (continúa)


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compatibilidad de incentivos:

S (v i ) ≥ E(x i (v i , v −i )v i − p i (v

i , v −i )|v i )

= S (v i ) + (v i − v i )π (v

i )


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i , v −i )|v i )

= S (v i ) + (v i − v i )π (v

i )

tomando v = v + dv ,tenemosS (v i ) ≥ S (v i + dv ) − dv π (v i + dv )


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i , v −i )|v i )

= S (v i ) + (v i − v i )π (v

i )


similarmente S (v i + dv ) ≥ S (v i ) + dv π (v i )


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i , v −i )|v i )

= S (v i ) + (v i − v i )π (v

i )


similarmente S (v i + dv ) ≥ S (v i ) + dv π (v i ) usando las dos restricciones

π (v i + dv ) ≥ S (v i + dv ) − S (v i )

dv ≥ π (v i )


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i , v −i )|v i )

= S (v i ) + (v i − v i )π (v

i )



π (v i + dv ) ≥ S (v i + dv ) − S (v i )

dv ≥ π (v i )

tomando ĺımites con dv → 0, dS

dv = π (v )


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i , v −i )|v i )

= S (v i ) + (v i − v i )π (v

i )



π (v i + dv ) ≥ S (v i + dv ) − S (v i )

dv ≥ π (v i )

tomando ĺımites con dv → 0, dS

dv = π (v )

conociendo S (v ) y π (·) (regla de asignación), podemosencontrar S (·). . . excedente esperado depende sólo de regla de

asignación y de excedente de v

Demostración (concluye)

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como excedente es independiente de formato de subasta, yregla de asignación es la misma para todas las subastaseficientes, precio esperado para cada postor debe ser el mismoen todas las subastas eficientes


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entonces ganancia esperada del subastador debe ser la mismapara todas las subastas eficientes


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entonces ganancia esperada del subastador debe ser la mismapara todas las subastas eficientes

nota: hemos probado no sólo equivalencia de gananciaesperada del subastador, sino también equivalencia deexcedente esperado del postor una vez que este conoce suvaloración

¿Cómo maximizar ganancias del subastador?

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usando el principio de revelación, podemos diseñar subastasóptimas (que maximizan los ingresos esperados del

subastador)


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subastador)

descubrir qué juego maximiza algún objetivo se llama diseñode mecanismos


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subastador)


algunos consejos provenientes de la teoŕıa de diseño de

mecanismos

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subastador)



mecanismos imponer un precio de reserva o puja ḿınima (esto elimina

eficiencia porque puede ser que ningún postor tenga unavaloración tan alta)

usar subasta ascendente o de segundo precio (esto es útil en

subastas con valoraciones comunes, pues reduce “maldición delganador”, y hace más fácil cálculo del postor)


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subastador) descubrir qué juego maximiza algún objetivo se llama diseño

de mecanismos


mecanismos imponer un precio de reserva o puja ḿınima (esto elimina

eficiencia porque puede ser que ningún postor tenga unavaloración tan alta)

usar subasta ascendente o de segundo precio (esto es útil en

subastas con valoraciones comunes, pues reduce “maldición delganador”, y hace más fácil cálculo del postor) favorecer a postores que probablemente están en desventaja

(esto elimina eficiencia porque puede ganar un postor que notenga la valoración más alta)

Diseñando una subasta óptima: ejemplo

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fuente: Ken Binmore, Fun and Games , caṕıtulo 11

una persona quiere vender su casa y tiene dos compradorespotenciales, I y II

cada comprador tiene dos valoraciones posibles, Alta ($ 4

millones) y Baja ($ 3 millones); las valoraciones sonindependientes; la probabilidad de que la valoración de cadauno sea baja es p

problema: encontrar el mecanismo (el juego bayesiano) que

maximiza las ganancias esperadas del vendedor

Diseñando una subasta óptima . . .

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mecanismo simétrico de revelación directa: a, b ,A, B

especificando probabilidad de ganar si la valoración es alta obaja, y pago si valoración es alta o baja

problema de diseño: máx 2((1 − p )A + pB ) sujeto a

compatibilidad de incentivos

4a − A ≥ 4b − B (CI1)

3b − B ≥ 3a − A (CI2)

participación

4a − A ≥ 0 (RI1)

3b − B ≥ 0 (RI2)

Restricciones de factibilidad

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solo hay un objeto a subastar lo que impone restricciones

sobre a y b

por simetŕıa, la probabilidad de ganar ex ante debe ser menora 1/2. . .

(1 − p )a + pb ≤ 1/2 (F1)

cota superior al de alta valoración

a ≤ p + (1/2)(1 − p ) = (1/2)(p + 1) (F2)

cota superior al de baja valoración

b ≤ 1 − p + (1/2)(p ) = 1 − p /2 (F3)

Simplificando

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CI1 + CI2 implican 4(a − b ) ≥ A − B ≥ 3(a − b ) entonces

A ≥ B y a ≥ b (o si no contradicción). . . comprador conmayor valoración espera recibir la casa con mayor probabilidadpero espera pagar más

CI1 + RI2 implican RI1, por lo tanto las restriccionesrelevantes son CI1 y CI2 o RI2. . . comprador con mayor

valoración obtiene una renta informaciones

RI2 está activa, si no se puede aumentar objetivo delsubastador incrementando A y B pari passu

usando CI1 y RI2, A − B = 4(a − b ) y B = 3b , entonces

A = 4a − b y B = 3b función objetivo incorporando CI y RI

(1 − p )A + pB = 4(1 − p )a + (4p − 1)b

Problema simplificado

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máxa,b

(1 − p )a + (p − 1/4)b

sujeto a(1 − p )a + pb ≤ 1/2 (F1)

a ≤ p + (1/2)(1 − p ) = (1/2)(p + 1) (F2)

b ≤ 1 − p + (1/2)(p ) = 1 − p /2 (F3)

b

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0

1+p 2

1

2(1−p ) a

12p

1 − p 2

F1

F2

F3

(1 − p )a + (p − 1/4)b

si p > 1/4

si p < 1/4

p < 1/4 ⇒ objetivo es decreciente en b p > 1/4 ⇒ solución de esquina pues objetivo tiene pendientemayor que F2

Conclusión: subasta óptima

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si p < 1/4 entonces a = (p + 1)/2, b = 0, A = 2(p + 1),B = 0, con rendimiento para el subastador 4(1 − p 2)

si p > 1/4 entonces a = (p + 1)/2, b = p /2, A = 2 + 3p /2,

B = 3p /2, con rendimiento para el subastador 4 − p si p = 1/4, muchas subastas óptimas; a = (p + 1)/2,

b ∈ [0, p /2]

¿Cómo implementar la subasta óptima?

Implementando la subasta óptima

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si p < 1/4 subasta óptima se puede implementar mediantesubasta de precio fijo: el subastador anuncia que el precio delobjeto es 4, si no hay ningún postor el objeto no se vende, ysu hay dos postores el objeto es dado con probabilidad 1/2 acada posible comprador

si p > 1/4 entonces subasta óptima se puede implementarmediante subasta de precio promedio: el subastador anunciaque sólo hay dos posibles pujas, 3 y 4, y se lleva el objetoquien someta la puja más alta y paga el promedio de las

pujas—en ese caso cada postor tiene incentivos para declararla verdad

Subasta de precio promedio

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postor de alta valoración es indiferente entre decir la verdad y

mentir:

p × (4 − 4 + 3

2 ) + (1 − p ) × 0 = p × (4 − 3) ×

1

2 (CI1)

y para cualquier combinación convexa de las pujas mayor queel promedio prefiere mentir

postor de baja valoración es indiferente entre participar o noparticipar

¿es esta subasta es eficiente?

¿por qué ganancia del subastador no es la misma que consubasta de segundo precio?

Eficiencia y optimalidad

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p

u

primer mejor

óptimo bajo restricciones

pérdida

social

excedente

de postores

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

3.2

3.4

3.6

3.8

4.0

Eficiencia y optimalidad

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primer mejor = ganancia con información completa para el

subastador = 4(1 − p 2) + 3p 2 = 4 − p 2 óptimo bajo restricciones

=

4(1 − p 2) si p ≤ 1/4

4 − p si p ≥ 1/4

si p < 1/4, pérdida social = 3p 2 = valor del objeto ×probabilidad de que objeto no se venda porque los dospostores son de baja valoración

si p >

1/

4, objeto se vende siempre, pero postor de altavaloración paga 3.5 en vez de 4 cuando el otro postor es debaja valoración

Recapitulación

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juegos bayesianos

equilibrio bayesiano

subastas de segundo y primer precio

subastas eficientes teorema de equivalencia de ingresos del subastador

diseño de mecanismos

subastas óptimas = subastas eficientes
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subastas final

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