sucesiones imp
DESCRIPTION
Sucesiones ImpTRANSCRIPT
Sucesiones de numeros reales
Cesar Asensio, Luis M. Esteban y Antonio R. Laliena
Dpto. Matematica Aplicada
E.U.P.L.A.
Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA) Sucesiones 1 / 24
Indice
1 Definicion y primeras propiedades
2 Convergencia
3 Calculo de lımites
4 Tecnicas de eliminacion de indeterminaciones
Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA) Sucesiones 2 / 24
Definicion
El concepto de funcion
Dados dos conjuntos A y B, se define
Funcion de A en B
Ley de emparejamiento de los elementos de A con elementos de B, quecumpla que todo elemento de A esta emparejado con un solo elementode B.
f : A → Bx 7→ f(x)
Notas:
1 El conjunto A se denomina dominio de la funcion f y el Bcodominio.
2 Dado a ∈ A, su pareja f(a) se denomina imagen de a por f .
3 El conjunto de todas las imagenes (que es un subconjunto de B) sedenomina imagen, rango o recorrido de f y se representa por f(A).
Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA) Sucesiones 3 / 24
Definicion
Definicion de sucesion
Llamamos sucesion de numeros reales a una funcion
f : N → Rx 7→ xn
donde xn se denomina termino general de la sucesion. Suelerepresentarse por {xn} o {xn}∞n=1 o por su termino general xn.
Ejemplo: xn = 1n
xn : 1 7→ 12 7→ 1/2. . .n 7→ 1/n. . .
Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA) Sucesiones 4 / 24
Definicion
Sucesion acotada, monotona
Decimos de una sucesion {xn} es acotada si |xn| ≤ k para algun k ∈ R.
Decimos que una sucesion {xn} es monotona
Creciente: n < m⇒ xn < xm.
Decreciente: n < m⇒ xn > xm.
No decreciente: n < m⇒ xn ≤ xm.
No creciente: n < m⇒ xn ≥ xm.
Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA) Sucesiones 5 / 24
Definicion
Sucesiones en wxMaxima
Para introducir una sucesion en wxMaxima utilizamos el operador deasignacion :=, por ejemplo
declare(n,integer);
a[n]:=1/n;
Con la primera orden le indicamos al programa que la variable n esentera (en nuestro caso sera entera positiva). Con la segunda orden leindicamos que tenemos una funcion con una variable entera, es deciruna sucesion. Maxima considera los terminos de la sucesion comoelementos de una lista, de ahı que la variable la ponga entre corchetes
Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA) Sucesiones 6 / 24
Definicion
Representacion grafica de sucesiones
Dada una sucesion {xn}, si en el plano R2 representamos los puntos(n, xn) obtenemos la grafica de la sucesion. Por ejemplo, los diezprimeros terminos de xn = 1/n quedan
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 2 4 6 8 10
x n=
1/n
n
Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA) Sucesiones 7 / 24
Definicion
Graficas de sucesiones en wxMaxima
Las ordenes utilizadas en wxMaxima para la grafica anterior son
declare(n,integer);
a[n]:=1/n;
xx:makelist(i,i,1,10);
yy:a[xx];
plot2d([discrete,xx,yy],[style,[points,1]],
[x,-1,11],[y,-1,2],
[xlabel,‘‘n’’], [ylabel,‘‘x n=1/n’’],
[plot format, gnuplot])$
Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA) Sucesiones 8 / 24
Convergencia
Sucesion convergente
Definicion
Decimos que una sucesion xn es convergente, o que converge a uncierto numero l ∈ R si basta tomar n suficientemente grande para tenerlos terminos de la sucesion (a partir de ese n) tan cerca de l como sequiera.
Cuando una sucesion es convergente a l decimos que tiene lımite l y lodenotamos
lımn→∞
xn = l, o xnn→∞−→ l
PROPIEDADES:
1 Unicidad.
2 Existencia de lımite =⇒ acotacion.
Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA) Sucesiones 9 / 24
Convergencia
Sucesion divergente y oscilante
Definicion
Decimos que una sucesion xn es divergente a ∞ si basta tomar nsuficientemente grande para tener los terminos de la sucesion (a partirde ese n) tan grandes como se quiera. Analogamente, decimos que unasucesion xn es divergente a −∞ si basta tomar n suficientementegrande para tener los terminos de la sucesion (a partir de ese n) tanpequenos como se quiera.
Cuando una sucesion es divergente a ±∞ decimos que tiene lımite ±∞y lo denotamos
lımn→∞
xn = ±∞, o xnn→∞−→ ±∞
Decimos que una sucesion xn es oscilante si no es convergente nidivergente. En este caso se dice que no tiene lımite.
Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA) Sucesiones 10 / 24
Convergencia
Monotonıa, acotacion y convergencia
Teorema
Toda sucesion monotona y acotada es convergente.
Teorema
Toda sucesion monotona y no acotada es divergente.
Teorema
Si xnn→∞−→ 0 e yn es acotada entonces xn yn
n→∞−→ 0
Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA) Sucesiones 11 / 24
Calculo de lımites
Aritmetica de lımites
Consideremos dos sucesiones an y bn.
Teorema
Si existen lımn→∞ an = l ∈ R y lımn→∞ bn = m ∈ R, entonces“existen y valen”
1 lımn→∞
(an + bn
)= l +m, salvo el caso ∞−∞,
2 lımn→∞
(anbn
)= lm, salvo el caso 0∞,
3 lımn→∞
(an/bn
)= l/m, salvo los casos ∞/∞ y 0/0, (bn 6= 0),
4 lımn→∞
(abnn
)= lm, salvo los casos 1∞, 00 y ∞0, (an > 0).
Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA) Sucesiones 12 / 24
Calculo de lımites
Aritmetica de lımites (2)
Observaciones:
1 Indeterminaciones: ∞−∞, 0∞, ∞/∞, 0/0, 1∞, 00 y ∞0.
2 Lo que el anterior Teorema dice es que, a efectos practicos, loslımites se pueden calcular sustituyendo n por ∞ en la expresion dela que hay que calcular el lımite. Aparecen operaciones queinvolucran infinitos,...
Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA) Sucesiones 13 / 24
Calculo de lımites
Aritmetica de infinito
SUMA
+ −∞ a ∞−∞ −∞ −∞ ?
b −∞ a+ b ∞∞ ? ∞ ∞
Ejemplo:lımn→∞
(n+ 3
)=∞+ 3 =∞.
Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA) Sucesiones 14 / 24
Calculo de lımites
Aritmetica de infinito (2)
PRODUCTO a, b > 0
* −∞ −a 0 a ∞−∞ ∞ ∞ ? −∞ −∞−b ∞ ab 0 −ab −∞0 ? 0 0 0 ?
b −∞ −ab 0 ab ∞∞ −∞ −∞ ? ∞ ∞
Ejemplo:
lımn→∞
(n2 − 3n
)= lım
n→∞(n− 3)n =∞ · ∞ =∞
Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA) Sucesiones 15 / 24
Calculo de lımites
Aritmetica de infinito (3)
COCIENTE x/y. a, b > 0
y \ x −∞ −a 0 a ∞−∞ ? 0 0 0 ?
−b ∞ a/b 0 −a/b −∞0 * * ? * *
b −∞ −a/b 0 a/b ∞∞ ? 0 0 0 ?
Ejemplo:
lımn→∞
n2 − 3n
2n+ 1= lım
n→∞
n2−3nn
2n+1n
= lımn→∞
n− 3
2 + 1/n=∞− 3
2 + 0=∞
Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA) Sucesiones 16 / 24
Calculo de lımites
Aritmetica de infinito (4)POTENCIA xy. a, b > 0
y \ x 0 0 < a < 1 1 a > 1 ∞−∞ ∞ ∞ ? 0 0
−b ∞ a−b 1 a−b 0
0 ? 1 1 1 ?
b 0 ab 1 ab ∞∞ 0 0 ? ∞ ∞
Ejemplo:lımn→∞
(n+ 1
2
)n=∞∞ =∞.
Nota: Para calcular estos lımites puede ser util la identidad
ab = eb ln a
Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA) Sucesiones 17 / 24
Calculo de lımites
Calculo de lımites con wxMaxima
wxMaxima permite calcular lımites con la orden (accesible desde lapestana Analisis) limit.
Por ejemplo,
declare(n,integer);
limit((n+1/2)^(n), n, inf);
calcula el lımite del ultimo ejemplo.
Ejercicio: Calcular con wxMaxima los lımites
lımn→∞
(n+ 3
), lım
n→∞
(n2 − 3n
), lım
n→∞
n2 − 3n
2n+ 1, lım
n→∞sinnπ
Ejercicio: Limpiar la memoria de wxMaxima y calcular
lımn→∞
sinnπ
Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA) Sucesiones 18 / 24
Criterios
Teoremas calculo lımites
Regla de Sandwich
Sean {xn}, {yn} y {zn} tres sucesiones de numeros reales tales que
xn ≤ zn ≤ yn ∀n ≤ n0
para algun n0 ∈ N. Si
lımn→∞
xn = lımn→∞
yn = λ ∈ R
Entonces,lımn→∞
zn = λ
Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA) Sucesiones 19 / 24
Criterios
Teoremas calculo lımites (2)
Criterio de Stolz
Sean dos sucesiones de numeros reales {xn} e {yn} tales que verificanlas dos condiciones
1 {yn} es monotona (en sentido estricto).
2 lımn→∞ xn = 0 = lımn→∞ yn o lımn→∞ yn = ±∞.
Entonces, si lımn→∞xn+1−xn
yn+1−yn = λ ∈ R se cumple
lımn→∞
xnyn
= λ
Ejercicio:
lımn→∞
1 + 2√
2 + 3√
3 + · · ·+ n√n
n2
Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA) Sucesiones 20 / 24
Criterios
Sucesiones equivalentes
an ∼ bnanbn
n→∞−→ 1
Por ejemplo,√n2 + 1 ∼ n ya que
lımn→∞
√n2 + 1
n= lım
n→∞
√n2 + 1
n2
= lımn→∞
√1 +
1
n2= 1
Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA) Sucesiones 21 / 24
Criterios
Utilidad de las equivalencias
Principio de sustitucion
Si an ∼ bn entonces
lımn→∞
anϕn = lımn→∞
bnϕn,
lımn→∞
ϕn
an= lım
n→∞
ϕn
bn,
siempre que los lımites de la derecha existan.
En lenguaje menos tecnico, en un lımite se puede sustituir una expresionpor otra equivalente si la parte sustituida multiplica (divide) a todo elresto del lımite, es decir a la parte no sustituida.
Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA) Sucesiones 22 / 24
Criterios
Ejemplo de utilizacion de equivalencias
Se sabe que sin an ∼ an si an → 0 para n→∞ y ası podemos sustituir
lımn→∞
(an + 1) sin an√an + 1− 1
= lımn→∞
(an + 1) an√an + 1− 1
,
por aplicacion del Principio de sustitucion.
En el lımite
lımn→∞
an + sin an√an + 1− 1
no se puede sustituir sin an por an invocando el Principio de sustitucion.
Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA) Sucesiones 23 / 24
Criterios
Unas cuantas equivalencias
unn→∞−→ 1
lnun ∼ un − 1
ann→∞−→ 0
ln(1 + an) ∼ an,
kan − 1 ∼ an ln k, (kan ∼ an ln k + 1),
sin an ∼ tan an ∼ an ∼ arcsin an ∼ arctan an ∼ an,
1− cos an ∼ a2n/2, (cos an ∼ 1− a2n/2)
Equivalencia de Stirling
n! ∼ nne−n√
2πn
Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA) Sucesiones 24 / 24