Suites numériques

I / Rappels de PremièreDéfinitionOn appelle suite numérique une liste ordonnée de nombres, appelés termes, chaque terme étant repéré dans la liste par sa position n ( n est donc un nombre entier ), appelé rang ou indice.Une suite peut donc être vue comme une fonction définie sur ℕ qui, à un rang n donné,fait correspondre une unique image, souvent notée un : f : ℕ → ℝn ⟼ unLorsque l’on veut désigner :- la suite dans sa globalité , on écrit (un) ( parfois juste u )- le terme de rang n, on écrit u n- Le premier terme, ou terme initial , se note la plupart du temps u 0 ( ou u 1 ) .On peut définir une suite soit :◉ par une formule explicite :le terme de rang n est défini directement en fonction de n : un = f ( n )◉ par une relation de récurrence :le terme de rang n + 1 se déduit du terme de rang n : u n + 1 = f ( u n )Exemples ▸ 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; … : suite des nombres premiers ▸ 2 ; 7 ; 1 ; 8 ; 2 ; 8 ; 1 ; 8 ; 2 ; … : suite des chiffres du nombre réel e ▸ 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; 34 ; … : suite de Fibonacci ▸ 7 ; 22 ; 11 ; 34 ; 17 ; 52 ; 26 ; 13 ; 40 ; 20 ; 10 ; 5 ; 16 ; 8 ; 4 ; 2 ; 1 ; 4 ; 2 ; 1 ; … : suite de SyracuseCas des suites arithmétique et géométrique• Le chiffre d’affaire d’une société est de 50 000 € et augmente de 6 % chaque année :S.G. : Vn + 1 = Vn × 1,06 et V 0 = 50000 ou Vn = 50 000 × 1,06 n • Le nombre d’habitants était de 48 000 puis diminue de 320 par an :S.A. : Un + 1 = U n – 320 et U 0 = 48000 ou Un = 48 000 – 320 × n• Le stock de pommes est de 500 kg. À chaque marché, le stock baisse de 80 %, le maraîcher rajoute alors 100 nouveaux kilos de pommes :Sn + 1 = Sn × 0,20 + 100 : cette suite est appelée suite arithmético-géométrique

II / Raisonnement par récurrencePrincipe du raisonnement par récurrenceSi une proposition est vraie pour un entier naturel n 0 , et s ’ il est prouvé que, lorsqu’elle est vraie pour un entier naturel p supérieur ou égal à n 0 , elle est également vraie pour l’entier naturel suivant p + 1, alors elle est vraie pour tous les entiers naturels supérieurs ou égaux à n 0 .Comme, en général, la proposition commence au rang 0 (voire, au rang 1), on pourra retenir cet énoncé :◉ étape d’initialisation :si on arrive à prouver qu’une proposition est vraie au rang 0◉ étape d’hérédité :et si , en supposant cette proposition vraie pour un rang p quelconque, on arriveà prouver qu’elle reste également vraie au rang p + 1◉ alors la proposition est vraie pour tout entier naturel n.

2 illustrations intéressantes à retenir :

ou bien avec un escal ier : s i on peut accéder à la première marche de l ’escal ier ( init ia lisat ion )et s i l ’on sait passer d’une marche àla suivante (hérédité )alors on peut monter tout l ’escal ier.Exemples❶ Soit ( an ) une suite définie sur ℕ par :

{a0 = 5an+1 = 3 an + 4Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, a n = 7 × 3 n – 2 .❷ Soit ( bn ) une suite définie sur ℕ par :{b0 = 43bn+1 = 0,2 bn + 7 Montrer par récurrence que la suite ( bn ) est décroissante sur ℕ.

III / Limite finie ou infinie d’une suiteLimite infinie d’une suiteDire qu’une suite (u n) a pour limite +∞ lorsque n tend vers +∞ signifie que tout intervalle du type ] A ; +∞ [ (où A est un nombre réel) contient toutes les valeurs u nà partir d’un certain rang. On note alors : limn→+∞

un = +∞ .

Il en va de même pour une limite égale à −∞ :Dire qu’une suite (u n) a pour limite −∞ lorsque n tend vers +∞ signifie que tout intervalle du type ] −∞ ; A [ (où A est un nombre réel) contient toutes les valeurs u nà partir d’un certain rang. On note alors : limn→+∞

un = −∞ .

Limite de suites de référenceLes suites ( n ), ( n 2 ), ( n 3 ) , ( √n ) et ( e n ) ont pour limite +∞.VocabulaireSi une suite ( u n ) a pour limite +∞ ( resp. −∞ )alors on dit que ( u n ) diverge vers +∞ ( resp. vers −∞ ).

Exemples❸ Soit ( cn ) une suite arithmétique de 1 e r terme c 0 = 2021 et de raison – 9 .Déterminer la l imite de la suite ( c n ).❹ Soit ( d n ) la suite définie sur ℕ par : d0 = 5 et dn + 1 = 1,8 dn – 3 .A l’aide de la calculatrice (aides : Casio / Texas ) :a) Conjecturer le sens de variations et la l imite de ( d n ).b) Déterminer à partir de quel rang dn ≥ 10 6 (on appelle cela une recherche de seuil )

Limite finie d’une suiteDire qu’une suite ( u n ) a pour limite un nombre réel l lorsque n tend vers +∞ signifie que tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de u nà partir d’un certain rang.On note : limn→+∞

un = l . On dit alors que la suite ( u n ) converge vers l .

Propriété ( admise )Lorsqu’elle existe, cette l imite est unique.Limite de suites de référenceLes suites (1n) , ( 1n2) , ( 1n3) , ( 1√n) et ( 1en) ont pour limite 0.Exemples❺ Soit ( g n ) une suite géométrique de 1 e r terme g 0 = 2021 et de raison e−1 .Déterminer la l imite de la suite ( g n ) .❻ Soit ( h n ) une suite définie sur ℕ par : hn =

4n + 9n + 2. a) A l’aide de la calculatrice, conjecturer le sens de variations et la l imite de (h n). b) Déterminer à partir de quel rang hn < 4,01 (on appelle cela une recherche de seuil ) .

Suite qui n’a pas de limite, suite convergente, suite divergente♦ Une suite n’admet pas nécessairement une limite infinie ou une limite finie ! Par exemple, la suite ( u n ) définie par : pour tout entier naturel n, u n = ( −2 ) n n’admet aucune limite ( u 0 = 1 ; u1 = −2 ; u2 = 4 ; u 3 = −8 ; u 4 =16 ; u5 = −32 etc.. . )♦ les suites qui admettent une limite f inie sont dites convergentes♦ les suites dites divergentes sont celles qui ne sont pas convergentes , ou bien parce que leur limite est +∞ ou − ∞ , ou bien parce qu’elles n’admettent aucune limite

IV / Opérations sur les limitesOn considère deux suites ( u n ) et ( v n ) dont on connaît les l imites et on veutdéterminer les l imites de leur somme ,de leur produit et de leur quotient .On utilise alors les propriétés suivantes, qui sont admises .Dans certains cas, il est impossible de répondre, c’est ce qu’on appelle une formeindéterminéeLimite d’une somme de deux suites Si limn→+∞

un = L L L +∞ −∞ +∞ Et lim

n→+∞vn = L’ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞

Alors limn→+∞

( un + v n ) = L + L’ +∞ −∞ +∞ −∞ F . I .Limite du produit de deux suites Si lim

n→+∞un = L L > 0ou +∞ L < 0ou −∞ L > 0ou +∞ L < 0ou −∞ 0

Et limn→+∞

vn = L’ +∞ +∞ −∞ −∞ ∓∞ Alors lim

n→+∞( un × vn ) = L × L’ +∞ −∞ −∞ +∞ F . I .

Limite du quotient de deux suites Si limn→+∞

un = L L L > 0 L > 0 L < 0 L < 0 ∓∞ 0 Et lim

n→+∞vn = L’ ≠ 0 ∓∞ 0 – 0 + 0 – 0 + ∓∞ 0

Alors limn→+∞ ( unvn ) = LL ’ 0 −∞ +∞ +∞ −∞ F . I . F . I .

Méthode pour lever une indéterminationPour résoudre une forme indéterminée, il faut transformer l’écriture (le plus souvent, par factorisation, en factorisant par le terme de plus haut degré ) afin de se ramener à l ’utilisation des propriétés précédentes.Exemples Déterminer la l imite des suites suivantes :❼ in = n² + n – 5 ❽ jn = n2√n + 2 ❾ kn = – n³ + 2 n ² ❿ mn =− 1

2n − 5⓫ on =

2n1− n2 ( avec n ≥ 2 ) ⓬ pn = 2n − 30√n + 4

V / Limites : théorème de comparaison, théorème des gendarmesThéorèmes de comparaison ( à utiliser dans le cas d’une l imite infinie )Soient ( u n ) et ( v n ) deux suites telles que, à partir d’un certain rang, un ≤ vn .◉ si lim

n→+∞un = +∞ alors lim

n→+∞vn = +∞ .

◉ si limn→+∞

vn =−∞ alors limn→+∞

un =−∞ .Démonstration au programme→ voir sur Yvan Monka : https://youtu.be/qIBlhdofYFI Théorème des gendarmes ( à utiliser dans le cas d’une l imite finie )Soient ( un ) , ( vn ) et ( wn ) trois suites telles que, à partir d’un certain rang, un ≤ vn ≤ wnSi ( un ) et ( wn ) convergent vers le réel L, alors ( vn ) converge également vers L .Illustration graphique RemarqueLe « théorème des gendarmes » est aussi appelé « théorème de l’encadrement » ou « théorème du sandwich ».

Exemples⓭ Soit ( qn ) la suite définie sur ℕ par : q n = en .a) Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n, e n ≥ n + 1 .b) En déduire que la suite ( q n ) diverge vers +∞ .⓮ Soit ( rn ) la suite définie, pour tout entier n ≥ 1, par : rn = cos (n) + 2sin(n)n2 .

a) Démontrer que, pour tout entier n ≥ 1, −3n2 ≤ rn ≤ 3n2 .b) En déduire que la suite ( r n ) converge vers 0.

VI / Cas des suites monotonesDéfinition préalable : suite majorée, suite minorée, suite bornée◉ Une suite ( u n ) est dite majorée s’il existe un réel M tel que, pour tout entier naturel n, u n ≤ M . On dit alors que M est un majorant de la suite.◉ Une suite ( u n ) est dite minorée s’ il existe un réel m tel que, pour tout entier naturel n, u n ≥ m . On dit alors que m est un minorant de la suite.◉ Une suite est dite bornée si elle est minorée et majorée .

Théorème de la convergence monotone◉ Toute suite croissante et majorée est convergente. Et dans ce cas, la l imite l de cette suite est inférieure ou égale au majorant M.◉ Toute suite décroissante et minorée est convergente. Et dans ce cas, la l imite l de cette suite est supérieure ou égale au minorant M.

Remarques• Toute suite croissante et non majorée est divergente vers + ∞ .Démonstration au programme→ voir sur Yvan Monka : https://youtu.be/rttQIYOKCRQ • Toute suite décroissante et non minorée est divergente vers −∞ .Exemples⓯ Soit ( f n ) la suite définie sur ℕ par : fn + 1 = 23

fn + 43

et f 0 = 1Montrer que la suite ( f n ) est majorée par 4.⓰ Soit ( e n ) la suite définie, pour tout entier naturel n, par : en =

n − 1n + 4.a) Montrer que ( e n ) est majorée par 1.b) Montrer que ( e n ) est croissante sur ℕ.c) La suite ( e n ) est-elle convergente ?

VII / Cas des suites géométriquesOn considère la suite géométrique ( q n ) où q est un nombre réel. Alors :q ≤ – 1 – 1 < q < 1 q = 1 q > 1( qn ) n’a pas delimite limn→+∞

qn = 0 limn→+∞qn = 1 limn→+∞

qn = +∞

Démonstrations⦁ voir sur Øljen : https://www.youtube.com/watch?v=Cs5yeIazgTQ ⦁ voir sur Yvan Monka :- inégalité de Bernoulli : https://youtu.be/H6XJ2tB1_fg - l imite de (q n ) : https://youtu.be/aSBGk_GEEew ExemplesDéterminer la l imite des suites suivantes, définies sur ℕ :⓱ sn = – 4 × 2 n ⓲ tn = – 5 × ( 1/3 ) n ⓳ wn = 3 n – 5 n ⓴ zn = 3 / 5 n

Correction du § II❶ étape d’initialisationd’une part : a0 = 5d’autre part : 7 × 30 – 2 = 7 × 1 – 2 = 7 – 2 = 5donc, la proposition à démontrer est vraie au rang 0 : a0 = 7 × 30 – 2étape d’héréditéon suppose la proposition vraie pour un certain rang p : ap = 7 × 3p – 2 et démontrons alors que la proposition reste vraie au rang p+1 :ap+1 = 3 ap + 4 ( par définition de la suite (a n) )ap+1 = 3 × ( 7 × 3p – 2 ) + 4ap+1 = 3 × 7 × 3p – 3× 2 + 4 ( on développe et on regroupe )ap+1 = 7 × 3p × 31 – 6 + 4ap+1 = 7 × 3p+1 – 2la proposition reste donc vraie au rang p+1conclusionLa proposition à démontrer est vraie au rang 0 et possède la propriété d’êtrehéréditaire, donc elle est vraie sur ℕ : pour tout entier n : an = 7 × 3n – 2❷ Tout d’abord, il faut comprendre que montrer qu’une suite est décroissante revient àmontrer que, pour tout entier naturel n , bn+1 < bn .étape d’initialisationb0 = 43 et b1 = 0,2 × 43 + 7 = 15,6donc, la proposition à démontrer est vraie au rang 0 : b1 < b0étape d’héréditéon suppose la proposition vraie pour un certain rang p : bn+1 < bn et démontrons alors que la proposition reste vraie au rang p+1 :bn+1 < bn ( on part de l’inégalité supposée vraie )0,2 × bn+1 < 0,2 × bn ( on passe au terme suivant à l’aide de la définition de la suite )0,2 bn+1 + 7 < 0,2 bn + 7bn+2 < bn+1la proposition reste donc vraie au rang p+1conclusionLa proposition à démontrer est vraie au rang 0 et possède la propriété d’êtrehéréditaire, donc elle est vraie sur ℕ : la suite ( bn ) est décroissante sur ℕ .

Corrections du § III❸ On a donc : cn = 2021 – 9 n .Or limn→+∞

n = +∞ donc limn→+∞

−9n = −∞ donc limn→+∞

2021 − 9n = −∞Ainsi : limn→+∞cn = −∞ , c ’est-à-dire la suite (c n) est divergente.

❹ a) La suite ( d n ) semble croissante et sa limite égale à + ∞.b) Deux méthodes pour la recherche de seuil :Menu Recur / Mode Suite Algorithme en Python Résultat de l’algorithme :

d2 3 ≃ 929 350 et d 2 4 ≃ 1 672 827 donc dn ≥ 10 6 à partir du rang n = 24.❺ On a donc : g n = 2021 × (e−1)n = 2021 × e−1×n = 2021 × e−n =2021 × 1

en.

Or limn→+∞

1

en= 0 donc lim

n→+∞2021×

1

en= 0 .Ainsi : limn→+∞

gn = 0 , c’est-à-dire la suite ( g n ) converge vers 0.❻ a) La suite (h n) semble décroissante et sa limite semble être 4 . b) Trois méthodes pour la recherche de seuil :Tableur de la calculatrice Algorithme en Python Résoudre une inéquation

4n + 9n + 2

< 4,01

n >9−2× 4,014,01 − 4n > 98doncà partir du rang n = 99

Correction du § IV❼ lim

n→+∞n2 = +∞ , lim

n→+∞n = +∞ et lim

n→+∞5 = 5 donc, par somme, lim

n→+∞in = +∞ .

❽ limn→+∞

n2 = +∞ et limn→+∞

√n = +∞ donc, par produit, limn→+∞

n2√n = +∞ . de plus, lim

n→+∞= 2 donc, par somme, lim

n→+∞j n = +∞ .

❾ limn→+∞

−n3 = −∞ et limn→+∞

2n2 = +∞ : par somme, cela conduit à une forme indéterminée donc on transforme l’écriture de un ( n ≠ 0 ) : un = n3(−1 + 2n2n3 )= n3(−1 + 2n ) lim

n→+∞−1 = −1 et lim

n→+∞

2n

= 0 donc par somme limn→+∞

−1 + 2n

= −1

et limn→+∞

n3 = +∞ donc, par produit, limn→+∞

n3(−1 + 2n ) = −∞ donc lim

n→+∞k n = −∞ .

❿ limn→+∞

2n = +∞ et limn→+∞

−5 = −5 donc, par somme, limn→+∞

2n − 5 = +∞

limn→+∞

−1 = −1 donc, par quotient, limn→+∞

−12n − 5

= 0 soit limn→+∞

mn = 0 .⓫ lim

n→+∞2n = +∞ et lim

n→+∞1− n2 = +∞ : par quotient, cela conduit à une forme indéterminée

donc on transforme l’écriture de on ( n ≠ 0 ) : on =2nn2( 1n2 − 1) =

2n( 1n2 − 1).

limn→+∞

n = +∞ et limn→+∞

1

n2− 1 = −1 donc par produit lim

n→+∞n( 1n2 − 1) = −∞

et limn→+∞

2 = 2 donc, par quotient, limn→+∞

2

n( 1n2 − 1)= 0 donc lim

n→+∞on = 0 .

⓬ avec un peu d’anticipation, on constate qu’on va aboutir à une forme indéterminée, donc on factorise : pour n ≠ 0 : pn = n(2− 30 √nn + 4n)= n(2− 30√n + 4n)

limn→+∞

2 = 2 , limn→+∞

−30√n

= 0 et limn→+∞

4n

= 0 donc, par somme, limn→+∞ (2 − 30

√n+ 4n) = 0

et limn→+∞

n = +∞ donc, par produit , limn→+∞

n(2 − 30

√n+ 4n) = +∞ donc lim

n→+∞pn = +∞

Correction du § V⓭ a) étape d’initialisatione0 = 1 et 0 + 1 = 1donc la proposition est vraie au rang 0 : e0 ≥ 0 + 1étape d’héréditéon suppose vraie la proposition, pour un certain rang p : ep ≥ p + 1 alors : ep × e ≥ ( p + 1 ) × ec’est-à-dire : ep + 1 ≥ e × ( p + 1 )or, e ≥ 2 donc : e ×( p + 1 ) ≥ 2 ×( p + 1 )≥ 2 p + 2≥ p + p + 2≥ p + 2donc : ep + 1 ≥ p + 2la proposition reste donc vraie au rang p+1conclusion la proposition à démontrer est vraie au rang 0 et possède la propriété d’êtrehéréditaire, donc elle est vraie sur ℕ : pour tout entier naturel n : en ≥ n + 1b) d’après a) : pour tout entier naturel n, n + 1 ≤ q nor, limn→+∞

n+1 =+∞ donc, d’après le théorème de comparaison , limn→+∞qn =+∞c’est-à-dire : la suite ( q n ) diverge vers +∞ .

⓮ a) on sait que, pour tout réel x, – 1 ≤ cos(x) ≤ 1 et – 1 ≤ sin(x) ≤ 1donc, pour tout entier naturel n : −3≤ cos(n) + 2sin (n)≤ 3et donc : −3n2 ≤ cos (n) + 2sin(n)n2 ≤ 3n2 soit −3n2 ≤ rn ≤ 3n2 .b) or limn→+∞

−3n2 = 0 et limn→+∞

3n2 = 0donc, d’après le théorème des gendarmes , limn→+∞rn = 0c’est-à-dire : la suite ( r n ) converge vers 0.

Correction du § VI⓯ La suite étant définie par une formule de récurrence, on va démontrer la propositionà l’aide d’un raisonnement par récurrence :étape d’initialisationf0 = 1 et 1 < 4 donc f 0 < 4 : la proposition est vraie au rang 0étape d’héréditéon suppose la proposition vraie pour un certain p : f p < 42/3 × f p < 2/3 × 4 2/3 f p + 4/3 < 8/3 + 4/3 fp + 1 < 4la proposition reste donc vraie au rang p + 1conclusionla proposition à démontrer est vraie au rang 0 et possède la propriété d’êtrehéréditaire donc elle est vraie sur ℕ : pour tout entier naturel n , fn < 4c’est-à-dire la suite ( fn ) est majorée par 4.⓰ a) il faut montrer que, pour tout entier naturel n : en ≤ 1le numérateur « n – 1 » est inférieur au dénominateur « n + 4 »donc le quotient est bien inférieur à 1 : en ≤ 1

b) pour tout entier naturel n : en+1− en =n+1 − 1n+1 + 4

−n − 1n + 4en+1− en =

nn + 5−

n − 1n + 4en+1− en = n (n+4 )(n + 5)(n+4)

− (n − 1)(n+5)(n + 4)(n+5)en+1− en =

n2 + 4n − (n − 1)(n+5)(n + 4)(n+5)en+1− en = n2 + 4n − n2− 5n + n + 5(n + 4)(n+5)en+1− en = 5

(n + 4)(n+5)comme 5 > 0 , n+4 > 0 et n+5 > 0 alors e n + 1 – e n > 0donc la suite ( e n ) est croissante sur ℕ.c) la suite ( e n ) est croissante et majorée sur ℕ donc d’après le théorème de laconvergence monotone, la suite ( e n ) est convergente.

Correction du § VII⓱ comme 2 > 1 alors limn→+∞

2n = +∞ donc limn→+∞−4 ×2n = −∞ : limn→+∞

sn = −∞

⓲ comme 13 < 1 alors limn→+∞(13 )

n= 0 donc limn→+∞

−5 ×(13 )n

= 0 : limn→+∞tn = 0

⓳ w n = 3n − 5n = 3n ×(1−5n3n )= 3n ×(1−(53)n)comme 3 > 1 alors limn→+∞

3n = +∞

comme 53 > 1 alors limn→+∞(53 )

n= +∞ et donc limn→+∞

1 − (53)n

= −∞

ainsi, par produit , limn→+∞3n ×(1−(53)

n) = −∞ c’est-à-dire limn→+∞

wn = −∞

⓴ zn =35n = 3× 15n = 3 ×(15 )

n

comme 15 < 1 alors limn→+∞(15)

n= 0 donc limn→+∞

3 ×(15)n= 0 : limn→+∞

zn = 0