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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 1
Sumário e Objectivos
Sumário: Perpendicularidade das Tensões Principais. Elipsóide de Lamé. Tensões Octaédricas. Caso Particular do Estado Plano de Tensão. Tensões Principais Secundárias. Circunferência ou Circulo de Mohr.
Objectivos da Aula: Ser Capaz de proceder à Construção de Mohrpara estados planos. Comparar os resultados Analíticos com os Resultados Gráficos.
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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 2
Helicóptero
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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 3
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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 4
Estrutura de um veículo Automóvel
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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 5
Propagação de Fendas
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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 6
Perpendicularidade das Tensões Principais
Admita-se que o sistema de eixos Oxyz é tal que uma das direcções (por exemplo o eixo dos zz) é coincidente com uma das direcções principais, por exemplo, .Nestas condições as tensões tangenciais, são nulas e o sistema de equações que permite o cálculo das direcções principais étal que
xx xy
yx yy
zz
0 l0 m 0
0 0 n
−σ⎡ ⎤⎧ ⎫σ τ⎪ ⎪⎢ ⎥−σ =τ σ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥−σσ⎣ ⎦⎩ ⎭
Equação característica
[ ] xx xyzz
xy yy0
− σσ τ− σ =σ − στ σ
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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 7
Soluções da Equação Característica
[ ] xx xyzz
xy yy0
− σσ τ− σ =σ − στ σ
A equação é verificada se for
0 com 0
ou
0 com 0
yyxy
xyxxzz
yyxy
xyxxzz
=σ−στ
τσ−σ≠σ−σ
≠σ−στ
τσ−σ=σ−σ
No 1º caso a direcção principal correspondente é l=m=0 e n=1
No 2º caso tem de ser n=0, as outras tensões principais, pertencem ao plano xy que é perpendicular a z
σσ 21 e
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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 8
Elipsóide de Lamé
No caso de se escolher um sistema de eixos coincidente com as direcções principais, o tensor das tensões toma a forma
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
σσ
σ
3
2
1
000000 Numa faceta cuja normal tem cossenos directores,
{l,m,n}, as componentes do vector tensão, T, são
σ=σ=
σ=
33
22
11
nTmTlT
ou
σ=
σ=
σ=
3
3
2
2
1
1
Tn
Tm
Tl
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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 9
Elipsóide de Lamé
Tendo em conta que 1nml 222 =++
σ=
σ=
σ=
3
3
2
2
1
1
Tn
Tm
Tle que
Obtém-se
1TTT23
23
22
22
21
21 =
σ+
σ+
σ
Que corresponde à Equação de um Elipsóide no espaço , o Elipsóide de LaméT e T ,T 321
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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 10
Tensões Octaédricas
Considere-se que as tensões estão representadas no sistema de eixos principais, existem oito planos cujas normais são igualmente inclinadas em relação ás direcções principais e que contém as facetas do octaedro representado na figura. As facetas deste octaedro têm cossenos directores iguais em valor absoluto, no referencial cartesiano coincidente com os eixos principais. As tensões normais que actuam nas faces deste octaedro são as chamadas Tensões Octaédricas.
x≡1
y≡2
z≡3
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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 11
Tensões Octaédricas
Os cossenos directores das normais às facetas são iguais entre si e verificam a igualdade 2 2 2 1l m n+ + =
31n
31m
31l ±=±=±=
As equações de Cauchy que permitem o cálculo do tensor das tensões conhecido o versor da normal conduzem às tensões seguintes nas facetas do Octaedro
3
nT 3
mT 3
lT 33z
22y
11x
σ±=σ=σ±=σ=σ±=σ=
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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 12
Tensões Octaédricas
A componente normal da tensão T , pode ser calculada considerando o produto do transposto do vector T pelo versor da normal à faceta, ou seja
3
nT 3
mT 3
lT 33z
22y
11x
σ±=σ=σ±=σ=σ±=σ=
3I
3nmlTnTmTl 13213
22
21
2zyxoct =σ+σ+σ=σ+σ+σ=++=σ
A componente tangencial da tensão nas facetas do octaedro pode ser calculada considerando a equação
σ−=τ 2oct
2oct
2oct T
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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 13
3
nT 3
mT 3
lT 33z
22y
11x
σ±=σ=σ±=σ=σ±=σ=
3I
3nmlTnTmTl 13213
22
21
2zyxoct =σ+σ+σ=σ+σ+σ=++=σ
σ−=τ 2oct
2oct
2oct T
( )
( ) ( )I3I92
9II2I3
19I
31
nml
22
21
212
221
212
322
21
2oct
23
222
221
22oct
−=−−=
=−σ+σ+σ=σ−σ+σ+σ=τ
Tensões Octaédricas
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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 14
Estado Plano de Tensão
θ
θ
x
x´A B
Cyy´
θ
90º x´
yy´
xσxx
σyy
τxy
σxx
σyy
τxy
σ ´´xx
(a)(b)
D E
Fx´y´τ
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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 15
Estado Plano de Tensão
As Tensões no Sistema de Eixos Ox´y´ são
x´x´ xx yy xy1 cos2 1 cos2 sen2
2 2+ θ − θ
= + + θσ σ σ τ
yy xxx´y´ xysen2 cos2
2−σ σ= θ + θτ τ
xx yy xx yyy´y´ xycos2 sen2
2 2+ −σ σ σ σ= − θ − θσ τ
xx yy x´x´ y´y´+ = +σ σ σ σ
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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 16
Tensões Principais-Estado Plano de Tensão
xx yyx´x´xy
d 2sen2 2 sen2 0d 2
−σ σσ = − θ + θ =τθ
( )xy
pxx yy
tan g2/ 2
τ=θ−σ σ
( )2
xx yy 2max xymin
xx yyx´x´ 22
−⎛ ⎞σ σ+σ σ= ± +σ ⎜ ⎟ τ⎜ ⎟⎝ ⎠
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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 17
Tensões Principais Secundárias num plano
Considere-se um sistema de eixos ortogonal Oxyz e determinem-se as equações de transformação para as componentes σx´x´, σyý´, σz´z´, relativamente a um novo sistema de eixos coordenados Oxý´z´ obtidos a partir dos primeiros por rotação θ em relação ao eixo dos zz.
x´x´ yy yy xyxx xx1 1) )cos2 sen2( (2 2
= + + − θ + θσ σσ σ σ τ
yy xxx´y´ xysen2 cos2
2−σ σ= θ + θτ τ
xx yy xx yyy´y´ xycos2 sen2
2 2+ −σ σ σ σ= − θ − θσ τ
O=O´
z=z´
x yx´
θ
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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 18
Tensões Principais Secundárias
Da equação que fornece a tensão de corte ou tangencial se se considerar esta tensão nula obtém-se o ângulo θp que é tal que:
( )2
2 xyp
xx yy
tgτ
θσ σ
=−
Tendo em conta que tg2θp=tg(2θp+π) pode dizer-se que existem duas direcções Ox´e Oy´ mutuamente ortogonais que satisfazem a condição de ser τxy=0. Para estas duas direcções éfácil verificar que ∂σx´x´/ ∂θ=0 e ∂σy´y´/ ∂θ=0 .As direcções assim definidas dizem-se direcções principais secundárias.
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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 19
Tensões Principais Secundárias
As Tensões normais correspondentes, Tensões Principais Secundárias são:
2
xx yy 21 xy
2
xx yy 22 xy
xx yy22
xx yy22
−⎛ ⎞σ σ+σ σ= + +σ ⎜ ⎟ τ⎜ ⎟⎝ ⎠
−⎛ ⎞σ σ+σ σ= − +σ ⎜ ⎟ τ⎜ ⎟⎝ ⎠
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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 20
Circulo de Mohr para o Estado Plano de Tensão
xx yy xx yyx´x´ xycos2 sen2
2 2+ −σ σ σ σ= + θ + θσ τ yy xx
x´y´ xysen2 cos22−σ σ= θ + θτ τ
xx yy xx yyx´x´ xycos2 sen2
2 2+ −σ σ σ σ− = θ + θσ τ
xx yyx´y´ xysen2 cos2
2−σ σ= − θ + θτ τ
Estas Equações Podem ser Escritas com a Forma
Elevando ao quadrado as duas expressões, adicionando e simplificando, obtém-se:
2 2xx yy xx yy2 2
x´x´ x´y´ xy2 2+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ σ σ σ− + = +σ τ τ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 21
Circulo de Mohr para o Estado Plano de Tensão
Uma vez que as tensões no sistema de eixos Oxy são conhecidas e as tensões no sistema de eixos Ox´y´ são desconhecidas e variáveis, a equação anterior é equivalente à equação de um circulo no plano σ,τ.
2 2xx yy xx yy2 2
x´x´ x´y´ xy2 2+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ σ σ σ− + = +σ τ τ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ou ( )2 2 2
x´y´a bx´x´− + =σ τ
ondexx yy
2xx yy 2
xy
a OC2
b R2
σ
+σ σ= =
−⎛ ⎞σ= = + τ⎜ ⎟⎝ ⎠
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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 22
Circulo de Mohr para o Estado Plano de Tensão
σ
),(A xyxx τσ
O Cθp2
),(B xyyy τ−σ
2OCa yyxx σ+σ
==
τ+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ σ−σ 2xy
yyxx2
2
xx yy
2xx yy 2
xy
a OC2
b R2
σ
+σ σ= =
−⎛ ⎞σ= = + τ⎜ ⎟⎝ ⎠
σ1σ2
τ
E F
GA
B
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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 23
Mudança de Eixos usando a Construção de Mohr
α2θp
Aθ
O C
y
x
x´
y´
θ
xxσ
xyτ xxσ
xyτ
yyσ
xx yy
2+σ σ
x´x´σ
x´y´τ
x´x´ x´y´( , )σ τB
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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 24
Círculos de Mohr 3D
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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 25
Tensões Normal numa Faceta com normal n
σ≥σ≥σ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
σσ
σ
123
3
2
1
sendo 00
0000
σ=σ=σ=
3zz
2yy
1xx
nTnTnT
nnnT 2z3
2y2
2x1n σ+σ+σ=
Tensão Normal
nnnT 2z
23
2y
22
2x
21
2 σ+σ+σ=
Tensão T
1nnn 2z
2y
2x =++
(1) (2)
(3)As equações (1),(2),(3) constituem um sistema de equações por solução do qual se pode determinar as componentes de n
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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 26
Componentes de n –normal à faceta
))(()(TTTn
))(()(TTTn
))(()(TTTn
3231
2121n2t
2n2
z
2123
1313n2t
2n2
y
1312
3232n2t
2n2
x
σ−σσ−σσσ+σ+σ−+
=
σ−σσ−σσσ+σ+σ−+
=
σ−σσ−σσσ+σ+σ−+
=
Considere-se a 1ª equação, passando o denominador para o 1ºmembro e adicionando a ambos os membros da equação , obtém-se
( )σ+σ 322
41
( )[ ] ( ) ( )( ) σσ−σ−σσ−σ+σ+σ==+σ+σ− 322x312132
2412
121
2t322
1n
2nR com RTT
( )[ ] ( ) ( )( ) σσ−σ−σσ−σ−σ+σ==+σ+σ− 132y322113
2412
222
2t132
1n
2nR com RTT
( )[ ] ( ) ( )( ) σσ−σ−σσ−σ+σ+σ==+σ+σ− 122z323121
2412
323
2t212
1n
2nR com RTT
Procedendo de igual modo com as outras duas equações, obtém-se
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Círculos de Mohr
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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 28
Valores Limites dos Raios
[ ])(R)( 3221
113221 σ+σ−σ≤≤σ−σ
[ ] )(R)( 3121
23121
2 σ−σ≤≤σ+σ−σ
[ ]σ−σ+σ≤≤σ−σ 32121
32121 )(R)(
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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 29
Problemas Propostos -Círculo de Mohr
1) Considere um estado de tensão plano cujas componentes das tensões são:
a)Desenhe um elemento de dimensões infinitesimais, dx e dy e represente as tensões a actuarem no elemento.
b)Desenhe o círculo de Mohr correspondente ao estado de tensão referido.
c)Indique no círculo de Mohr os pontos A e B que correspondem ao estado de tensão que se obtém nas direcções x´ e y´ que fazem 40ºno sentido dos ponteiros do relógio com o sistema de eixos inicial.
d)Determine o tensor das tensões no sistema de eixos Ox´y´e) Determine as tensões principais.
i jσ =⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
80 6060 20
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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 30
Problemas Propostos -Circulo de Mohr
2) Desenhe os círculos de Mohr para os estados de tensão seguintes:
σ
Tracção simples
σ=100MPaa)
corte puro
b) τ=10MPa
Tracção em duas direcções
σ
c) σ
σ
σ
τ
σ
d) σ
σ
σ σ
e) σ
σ
σ
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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 31
Problemas Propostos -Circulo de Mohr
3) Considere o estado de tensão seguinte: 100 50 20
50 80 5020 50 40
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
a) Determine as Tensões Principais
b) Desenhe os círculos de Mohr
c) Determine as tensões tangenciais máximas
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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 32
Problemas Propostos -Circulo de Mohr
3. Considere o Estado Plano de tensão e num ponto do sólido considere que o tensor das tensões é
50 30MPa
30 80−⎡ ⎤
⎢ ⎥⎣ ⎦
(2.0) a) Determine o tensor das tensões no ponto, num sistema de eixos que se obtém rodando de 30º, em torno do eixo dos zz no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio, o sistema de eixos inicial.
(1.0) b) Determine as Tensões Principais e a tensão de corte máxima.
Utilize a Construção de Mohr
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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 33
Problemas Propostos -Circulo de Mohr(4)
4. O campo de Tensões num corpo sólido elástico, homogéneo e isotrópico é definido pelas seguintes componentes:
( )120 2 , 100 2 e 100 2 yy xy xy xz zxz y z yσ τ τ τ τ= − = = − = =
As restantes componentes do Tensor das Tensões são nulas.
a) Mostre que tal campo de Tensões está necessariamente associado a um campo de forças de Volume uniforme e paralelo ao eixo dos yy.
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Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 34
Problemas Propostos -Circulo de Mohr(4 cont)
b) Determine as Tensões principais nos pontos A(0,√2/2, -√2/2) e B=(0 ,-√2/2, √2/2) , e as respectivas direcções.
c) Desenhe os círculos de Mohr correspondentes ao estado de Tensão no ponto C =(0 ,√2/2, √2/2) .
d) À volta do ponto B, desenhe um paralelepípedo elementar de faces paralelas aos planos cartesianos e, sobre cada uma das faces represente as tensões correspondentes.