sumÁrio · luiz eduardo de latorre 1 nÚmeros naturais como decorrência da necessidade de contar...

Luiz Eduardo De Latorre

0

SUMÁRIO

NÚMEROS NATURAIS ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 01 NÚMEROS INTEIROS -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 01 NÚMEROS RACIONAIS ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 01 NÚMEROS IRRACIONAIS --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 01 NÚMEROS REAIS ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 02 OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS -------------------------------------------------------------------------------------------------- 02 ORDEM DAS OPERAÇÕES -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 03 NÚMERO COM VÍRGULAS ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 04 DIVISÃO UM CASO ESPECIAL --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 05 MÚLTIPLOS E DIVISORES -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 05 CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 06 PRIMOS E COMPOSTOS --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 08 MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 09 OPERAÇÕES COM FRAÇÕES ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 10 POTENCIAÇÃO --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 13 SISTEMA LEGAL DE MEDIDAS --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 15 RAZÃO E PROPORÇÃO(DIVISÃO PROPORCIONAL)------------------------------------------------------------------------------------- 17 REGRA DE TRÊS SIMPLES -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 21 REGRA DE TRÊS COMPOSTA ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 24 PORCENTAGEM -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 29 EQUAÇÃO DE 1º GRAU ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 34 EQUAÇÕES DE 2º GRAU --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 36 INEQUAÇÕES DE 1º E 2º GRAU ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 40 SISTEMA DE EQUAÇÕES --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 42 FUNÇÕES ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 45 NOÇÕES DE GRÁFICOS ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 48 SEQUÊNCIA NUMÉRICA ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 52 FUNÇÕES EXPONENCIAIS -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 55 FUNÇÕES LOGARÍTMICAS ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 56 GABARITO --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 60


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NÚMEROS NATURAIS

Como decorrência da necessidade de contar objetos surgiram os números naturais que é simbolizado pela letra N e é formado pelos números 0, 1, 2, 3, …, ou seja: N = {0; 1; 2; 3; …}

Um subconjunto de N muito usado é o conjunto dos números naturais menos o zero, ou seja N – {0} = conjuntos dos números naturais positivos, que é representado por N*.

NÚMEROS INTEIROS

Chama-se o conjunto dos números inteiros, representado pela letra Z, o seguinte conjunto: Z = {…, -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …}

No conjunto Z distinguimos alguns subconjuntos notáveis que possuem notação própria para representá-los:

1. Conjunto dos inteiros não negativos: Z+ = {0; 1; 2; 3; …}; 2. Conjunto dos inteiros não positivos: Z- = {…; -3; -2; -1; 0}; 3. Conjunto dos inteiros não nulos: Z* = {…, -3; -2; -1; 1; 2; 3; …}; 4. Conjunto dos inteiros positivos Z+* = {1; 2; 3; …}; 5. Conjunto dos inteiros negativos Z-* = {…; -3; -2; -1}.

NÚMEROS RACIONAIS

O conjunto dos números racionais, simbolizado pela letra Q, é o conjunto dos números que podem ser escritos na forma de uma fração p/q, com p e q inteiros quaisquer e q diferente de zero:

NÚMEROS IRRACIONAIS

Como o próprio nome sugere um número irracional é todo número não racional, isto é, todo

número que não pode ser escrito na forma de uma fração p/q, onde p e q são inteiros e q

diferente de zero. Exemplos:

32, 5,


2

NÚMEROS REAIS

O conjunto dos números reais, simbolizado pela letra R, é o formado por todos os números

racionais e por todos os números irracionais:

R = {x | x é racional ou x é irracional}

Desse modo todos os conjuntos numéricos (N, Z e Q), bem como o conjunto dos números

irracionais são subconjuntos de R.

OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS:


3

ORDEM DAS OPERAÇÕES

PRIORIDADE DAS OPERAÇÕES PRIORIDADE DOS PARENTESES

Raiz e Potência Parênteses Divisão e Multiplicação Colchetes

Subtração e Soma Chaves

Exemplo:

a) 9 b) 17 c) 20 d) 62 e) 22

a) 30 b) 62 c) 31 d) 22 e) 17

Exercícios:

Dada a soma abaixo:

1 – Efetuando a operação: A + B – C + D – E = Y , temos que:

a) 15

b) 16

c) 17

d) 18

e) 19

2 – Efetuando a operação: A + B x C – D x E = X , temos que X:

a) 27

b) 17

c) 7

d) 37

e) - 72


4

Dado a soma:

3 – Referente aos valores acima pode dizer que:

a) A + C = 2.D

b) C = 2.B

c) B + D = E

d) B – A = D

e) C – E = A

NÚMEROS COM VÍRGULAS

Soma:

Subtração:

Multiplicação:

Divisão:


5

DIVISÃO – UM CASO ESPECIAL

a) 101,008 b) 10,1008 c) 1010,8 d) 1010,08

Exemplos:

Esse breve exercício acima serve para pensarmos na resposta ao invés de simplesmente sair

fazendo, temos que cuidar na divisão, que tipo de resposta aparece, exige a conta até 1 casa

depois da vírgula, 2 casas, nenhuma casa, é com essas pequenas observações que ganhamos

tempo para fazer as outras questões.

MULTIPLOS E DIVISORES

Dizemos que um número natural n divide um número natural m, quando m

nnão deixa resto, ou

seja, a divisão é exata. Representamos simbolicamente: n|m. Nestas condições, n é um divisor

de m e m é um múltiplo de n.

Exemplos:

o 2 divide 16 ou seja, 2|16 porque 16:2 = 8 e resto = zero. Portanto, 2 é divisor de 16 e 16

é múltiplo de 2.

o 5 divide 35 ou seja, 5|35 porque 35:5 = 7 e resto = zero. Portanto, 5 é divisor de 35 e 35

é múltiplo de 5.

o 7 divide 105 ou seja, 7|105 porque 105:7 = 15 e resto = zero. Portanto, 7 é divisor de 105

e 105 é múltiplo de 7.

Conjunto dos Divisores:


6

D(3) = {1,3}

D(20) = {1,2,4,5,10,20}

D(6) = {1,2,3,6}

Conjunto dos Mútiplos:

M(2) = {0,2, 4, 6, 8, ...}

M(5) = {0,5,10,15, ...}

CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE

O que são os critério de divisibilidade?

São critérios que nos permite verificar se um numero é divisível por outro sem precisarmos

efetuar grandes contas.

Quando um número é divisível por 2?

Quando o seu ultimo algarismo for um numero par, ou seja, quando ele terminar em 0 ou 2 ou 4

ou 6 ou 8.

Exemplo:

3.260 é divisível por 2 (ultimo algarismo é PAR)

521 Não é divisível por 2 (ultimo algarismo é IMPAR)

Quando um número é divisível por 3?

Um numero e divisível por 3 quando a soma dos valores absoluto dos seus algarismos for

divisível por 3.

Exemplo:

870 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos e igual a 8+7+0=15, e 15 é

divisível por 3.

1.234 Não é divisível por 3 pois a soma dos seus algarismo é igual a 1+2+3+4 = 10, e

10 Não é divisível por 3

Quando um número é divisível por 4? Um número e divisível por 4 quando termina em “00” ou quando o numero formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4. Exemplo: 9500 é divisível por 4, pois termina em 00. 6532 é divisível por 4, pois 32 é divisível por 4. 836 é divisível por 4, pais 36 é divisível por 4. 9870 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 70 não é divisível por 4. Quando um número é divisível por 5? Um número é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5.


7

Exemplos: 425 é divisível por 5, pois termina em 5. 78960 é divisível por 5, pois termina em 0. 976 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5. Quando um número é divisível por 6? Um número é divisível por 6 quando e divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. Exemplos: 942 é divisível por 6, porque é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. 6456 é divisível por 6, porque é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo . 984 não é divisível por 6, é divisível por 2, mas não é divisível por 3. 357 não é divisível por 6, é divisível por 3, mas não é divisível por 2.

Quando um número é divisível por 8? Um numero e divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o numero formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8. Exemplos: 2000 é divisível par 8, pois termina em 000. 98120 é divisível por 8, pois 120 é divisível por 8. 98112 é divisível por 8, pois 112 é divisível por 8. 78341 não é divisível por 8, pois 341 não é divisível por 8.

Quando um número é divisível por 9? Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 9. Exemplo: 6192 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos e igual a 6+1+9+2=18, e como 18 é

divisível por 9, então 6192 é divisível por 9. 129 não é divisível por nove, pois a soma dos seus algarismo é igual a 1+2+9 = 12, e 12

não é divisível por 9

Quando um número é divisível por 10? Um número natural e divisível por 10 quando ele termina em 0. Exemplos: 8170 é divisível por 10, pois termina em 0. 5987 não é divisível por 10, pois não termina em 0. Quando um número é divisível por 11? Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem impar e a dos de ordem par é divisível por 11. Exemplos: 87549

o S.I (soma das ordens Impares) = 9+5+8 = 22 o Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11 o SI - Sp = 22 - 11 = 11

Como 11 é divisível por 11, então o numero 87549 é divisível por 11. 439087


8

o S.I (soma das ordens Impares) = 4+9+8 = 21 o Sp (soma das ordens pares) = 3+0+7 = 10 o SI - Sp = 21 - 10 = 11

Como 11 é divisível por 11, então o numero 439087 é divisível por 11.

NÚMEROS PRIMOS E COMPOSTOS

Os números naturais se dividem em 4 grupos: O zero, o um, os números primos e os números

compostos.

NÚMEROS PRIMOS

Um número é dito primo quando ele admite apenas dois divisores distintos. Um número

primo só é múltiplo de si mesmo e de 1.

ALGUNS PRIMOS: (saiba esses de cor...): 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,

...

NÚMEROS COMPOSTOS

São todos os números que são obtidos de produtos de primos, por exemplo: Pense no 20 ele é

2 x 2 x 5 ou seja produto de 3 números primos.

Observação: Todos os conceitos podem ser estendidos ao conjunto dos Números Inteiros:

Z = {0, ±1, ±2, ±3, ...} e o zero e o um não são primos nem compostos.

OBS 1: O número 1 não é primo, e nem COMPOSTO

OBS 2: O número 0 Possui INFINITOS divisores, mas não é considerado um número

COMPOSTO.

OBS 3: Todo número natural diferente de 0 e 1, ou é PRIMO ou é COMPOSTO

MMC – MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM

O MMC é o menor múltiplo de dois ou mais números dados.


9

Para encontrá-lo usamos dois métodos o da fatoração ou pela visualização da fatoração dos números dados.

Algoritmo de fatoração:

2

60 2

30 2

15 3

5 5

1 ___

2 3 5

Numero Divisores

Assim concluímos que 60 =22 X 3 X 5

Que 60 é um número composto

Podemos agora determinar quem são os divisores do número 60:

1 = Todo número é divisível por 1;

2, 3 e 5 = Fatores primos encontrados na fatoração

4 = 2 x 2

6 = 2 x 3

10 = 2 x 5

12 = 2 x 2 x 3

20 = 2 x 2 x 5

30 = 2 x 3 x 5

60 = 2 x 2 x 3 x 5

60 = {1; 2; 3; 4; 6; 10; 12; 20; 30; 60}

Total de Divisores = 10

OBS: Note que ao colocarmos os divisores de um número em ordem crescente, podemos obter o

número como produto entre os extremos em ordem (A1 x An, A2 x An-1 e assim sucessivamente).

Neste exemplo:

1 x 60 = 60

2 x 30 = 60

3 x 20 = 60

4 x 12 = 60

6 x 10 = 60


10

Exercícios:

1)

2)

3)

Respostas: 1) 5 ---- 2) 6 ---- 3)


11

Banca Concurso Cargo Ano

FCC TRF - 4ª REGIÃO Analista Judiciário 2010

4 Ao conferir a elaboração dos cálculos em um processo, um Analista do Tribunal

Regional Federal percebeu que o total apresentado era maior que o valor real.

Ele comunicou ao responsável pela elaboração dos cálculos que a diferença

encontrada, em reais, era igual ao menor número inteiro que, ao ser dividido por

2, 3, 4, 5 ou 6, resulta sempre no resto 1, enquanto que, quando dividido por 11,

resulta no resto 0. Dessa forma, se o valor real era R$ 10 258,00, o total

apresentado era

a) R$ 10 291,00.

b) R$ 10 345,00.

c) R$ 10 379,00.

d) R$ 10 387,00.

e) R$ 10 413,00.


FCC TRT - 22ª Região (PI) Analista Judiciário 2010

5 Seja P o produto de um número inteiro e positivo N por 9. Se N tem apenas três

dígitos e P tem os algarismos das unidades, das dezenas e das centenas iguais a

4, 6 e 3, respectivamente, então P + N é igual a:

a) 6 480. b) 6 686. c) 6 840.

d) 5 584. e) 5 960.


FCC Banco do Brasil Escriturário 2010

6 As estatísticas da Campanha Nacional de Prevenção de Cancer de pele,

organizada a 11 anos pela sociedade Brasileira de Dermatologia, revelam que o

brasileiro não se protege adequadamente ao sol: 70% dos entrevistados

afirmaram não usar qualquer tipo de proteção solar, nem mesmo quando vão a

praia (adaptado de www.sbd.org.br). Se foram entrevistadas 34430 pessoas, o

número delas que usam protetor solar é de:

a) 24101. b) 15307. c) 13725.

d) 12483. e) 10329.

http://www.sbd.org.br/


12


Cesgranrio Banco do Brasil Escriturário 2010

7 Segundo dados do Sinduscon-RIO, em fevereiro de 2010 o custo médio

da construção civil no Rio de Janeiro era de R$ 875,18 por metro

quadrado. De acordo com essa informação, qual era, em reais, o custo

médio de construção de um apartamento de 75 m² no Rio de Janeiro no

referido mês?

a) R$ 65.638,50. b) R$ 65.688,00. c) R$ 66.048,50.

d) R$ 66.128,50. e) R$ 66.634,00.


FCC 2006

8 Ao dividir o número 762 por um número inteiro de dois algarismos, Natanael

enganou-se e inverteu a ordem dos dois algarismos. Assim, como resultado,

obteve o quociente 13 e o resto 21. Se não tivesse se enganado e efetuasse

corretamente a divisão, o quociente e o resto que ele obteria seriam,

respectivamente, iguais a:

a) 1 e 12 b) 8 e 11 c) 10 e 12 d) 11 e 15 e) 12 e 11



9 Pretendendo fazer uma viagem à Europa, Mazza foi certo dia a uma agência do

Banco do Brasil comprar Euros e Dólares. Sabe-se que ela usou R$ 6132,00 para

comprar € 2800,00 e que, com R$ 4200,00 comprou US$ 2500,00. Com base

nessas duas transações, é correto afirmar que, nesse dia, a cotação do euro em

relação ao dólar, era de 1 para:

a) 1,4204 b) 1,4028 c) 1,3844 d) 1,3606 e) 1,3036


13

POTENCIAÇÃO

Definição: Potência de grau n de um número X é o produto de n fatores iguais a X. Xn= X x X x X .. . x X

n vezes X é a base da potência e n é o expoente da potência, que determina seu grau. Assim: 3³ = 3 x 3 x 3 = 27 (- 1)4 = (- 1) x (- 1) x (- 1) x (- 1) = 1 (- 1)5 = (- 1) x (- 1) x (- 1) x (- 1) x (-1)= -1 Casos particulares:

a) Potência par sinal positivo:

b) Potência impar sinal será o mesmo da base

c) Todo número diferente de zero, elevado a zero é igual a 1

Multiplicação de potências de mesma base: Mantém-se a base comum e soma-se os expoentes.

4 3 4 3 72 2 2 2x

Divisão de potências de mesma base: Mantém-se a base comum e soma-se os expoentes.

1818 15 3

15

1010 10

10

Multiplicação de bases diferentes mas com mesma potência: Multiplica-se as bases e eleva a potência que é igual para os dois fatores

7 7 7 73 5 (3 5) 15

Divisão de bases diferentes mas com mesma potência: Divide-se as bases (quando posssível) e eleva a potência que é igual para os dois fatores


14

444

4

10 102 16

5 5

Potência de potência: Eleva-se a base ao produto dos expoentes

3

2 65 5

Expoente negativo: Qualquer número diferente de zero, elevado a expoente negativo é igual a uma fração cujo numerador é a unidade e cujo denominador é a mesma base da potência elevada ao mesmo expoente com o sinal positivo

2

2

1 110 0,01

10 100

REGRAS DE POTÊNCIA


15

Exercício 10: (PUC-SP) O número de elementos distintos da sequência 24, 4

2, 4

-2 (-4)

2, (-2)

4, (-2)

-4 é:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

Exercício 11: (FEI-SP) O valor da expressão A = (-2) + (-3) x (-2)-1

:(-3) é:

a) 1

b) -5/6

c) -5/3

d) -5/2

SISTEMA LEGAL DE MEDIDAS

Principais medidas utilizadas:

METRO UNIDADE DE COMPRIMENTO m

METRO QUADRADO UNIDADE DE SUPERFÍCIE m²

METRO CÚBICO UNIDADE DE VOLUME m³

LITRO UNIDADE DE CAPACIDADE l

GRAMA UNIDADE DE MASSA g

Agora vamos ver os principais múltiplos e submúltiplos de cada uma delas:

Unidade de Comprimento

MULTIPLOS UNID. PRINC. SUBMÚLTIPLOS

quilômetro Hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro

km Hm Dam M dm cm mm

1000 m 100 m 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m

Cada unidade de comprimento é dez vezes maior que a unidade imediatamente inferior

Unidade de Capacidade


Quilolitro Hectolitro Decalitro Litro Decilitro Centilitro Mililitro

kl Hl Dal L dl cl ml

1000 l 100 l 10 l 1 l 0,1 l 0,01 l 0,001 l

Cada unidade de capacidade é dez vezes maior que a unidade imediatamente inferior


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Unidade de Massa


KILOGRAMA HECTOGRAMA DECAGRAMA GRAMA DECIGRAMA CENTIGRAMA MILIGRAMA

kg hg dag G dg cg mg

1000g 100g 10g 1g 0,1g 0,01g 0,001g

Cada unidade de massa é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior

Temos que tomar cuidados ao converter medidas ao quadrado e ao cubo, veja como fazermos

isso nas tabelas abaixo:

MEDIDAS AO QUADRADO


Quilômetro ² Hectômetro ² Decâmetro ² Metro ² Decímetro ² Centímetro ² Milímetro ²

km² hm² dam² m² dm² cm² mm²

1 x 10^6 m² 1 x 10^4 m² 1 x 10^2 m² 1 m² 1 x 10^-2 m² 1 x 10^-4 m² 1 x 10^-6 m²

Cada unidade de comprimento é “ 10 ² “ vezes maior que a unidade imediatamente inferior

MEDIDAS AO CUBO


Quilômetro ³ Hectômetro ³ Decâmetro ³ Metro ³ Decímetro ³ Centímetro ³ Milímetro ³

km³ hm³ dam³ m³ dm³ cm³ mm³

1 x 10^9 m³ 1 x 10^6 m³ 1 x 10^3 m³ 1 m³ 1 x 10^-3 m³ 1 x 10^-6 m³ 1 x 10^-9 m³

Cada unidade de comprimento é " 10 ² " vezes maior que a unidade imediatamente inferior

Litro um caso a parte:

O litro ( l ) é uma medida de volume muito comum e que corresponde a 1 dm³.

1 litro = 0,001 m³ => 1 m³ = 1000 litros

1 litro = 1 dm³

1 litro = 1.000 cm³

1 litro = 1.000.000 mm³


17

12. No almoxarifado de certa empresa há um rolo de arame cujo fio mede 0,27 km de comprimento. Se todo o fio desse rolo for cortado em pedaços iguais, cada qual com 120 cm de comprimento, o número de partes que serão obtidas é (A) 225 (B) 205 (C) 180 (D) 160 (E) 155

RAZÃO E PROPORÇÃO (DIVISÃO PROPORCIONAL)

Razão: é uma forma de se realizar a comparação de duas grandezas. Temos que a razão entre 2 números a e b (sendo b ≠ 0) e dada por:

, ou

Na definição acima os termos são: a = chamado de antecedente b = chamado de conseqüente Exemplo: A razão entre 2/3 e 4/5 é de:

A razão é 5/6, ou podemos dizer, a razão de 5 para 6. Proporção: é uma igualdade entre duas ou mais razões.

Podemos ler assim: 2 está para 4, assim como 4 está para 8.

*** Em toda proporção o produto dos extremos é igual ao produto dos meios*** Exemplo: Defina o valor de x, para a proporção a seguir:


18

Temos que:

a : b = x : c 2 : 5 = x : 7

5x = 14 x = 2,8



13 - Pesquisadores descobriram que o uso do fundo preto nas páginas de busca da internet

produz um consumo menor de energia em relação à tela branca. Se todas as buscas fossem feitas

com tela preta, a economia total em um tempo médio de 10 segundos seria equivalente à energia

gasta por 77 milhões de geladeiras ligadas ininterruptamente durante 1 hora. Nessas condições, a

economia total em um tempo médio de buscas de 30 minutos seria equivalente à energia gasta

por essas geladeiras ligadas ininterruptamente durante

a) 8 dias.

b) 7 dias e meio.

c) 5 dias.

d) 3 dias.

e) 2 dias e meio.



14 - Segundo a Associação Brasileira de Franchising, o faturamento de franquias ligadas aos

setores de saúde e bem estar quase dobrou de 2004 a 2009, pois neste período a receita total das

empresas passou de 5 bilhões para 9,8 bilhões de reais. Se esse crescimento tivesse ocorrido de

forma linear, a receita total das empresas desse setor, em bilhões de reais, teria sido de

a) 5,34 em 2005.

b) 6,92 em 2006.

c) 7,44 em 2007.

d) 8,22 em 2008.

e) 8,46 em 2008.


19


FCC TRF Analista Judiciário 2011

15 - Dois Técnicos Judiciários de um setor do Tribunal Regional Federal - Paulo e João - têm,

respectivamente, 30 e 35 anos de idade e seus respectivos tempos de trabalho nesse setor são 6

e 9 anos. Incumbidos de arquivar os documentos de um lote, eles os dividiram entre si em partes

diretamente proporcionais aos seus respectivos tempos de serviço nesse setor, cabendo a Paulo

78 documentos. Se a divisão tivesse sido feita em partes inversamente proporcionais às suas

respectivas idades, quantos documentos caberiam a João?

a) 82.

b) 85.

c) 87.

d) 90.

e) 105


FCC TRF Técnico Judiciário 2007

16 - Certo dia, Veridiana saiu às compras com uma certa quantia em dinheiro e foi a apenas três

lojas. Em cada loja ela gastou a quarta parte da quantia que possuia na carteira e, em seguida,

usou R$ 5,00 para pagar o estacionamento onde deixou seu carro. Se após todas essas atividades

ainda lhe restaram R$ 49,00, a quantia que Veridiana tinha inicialmente na carteira estava

compreendida entre

a) R$ 20,00 e R$ 50,00.

b) R$ 50,00 e R$ 80,00.

c) R$ 80,00 e R$ 110,00.

d) R$ 110,00 e R$ 140,00.

e) R$ 140,00 e R$ 170,00.


20


FCC TRT – RS Analista Judiciário 2011

17 - Certo dia, um Analista Judiciário digitou parte de um texto sobre legislação trabalhista. Ele

executou essa tarefa em 24 minutos, de acordo com o seguinte procedimento:

- nos primeiros 8 minutos, digitou a quarta parte do total de páginas do texto e mais 1/4 de

página;

- nos 8 minutos seguintes, a terça parte do número de páginas restantes e mais 1/3 de página;

- nos últimos 8 minutos, a metade do número de páginas restantes e mais 1/2 página.

Se, dessa forma, ele completou a tarefa, o total de páginas do texto era um número:

a) quadrado perfeito.

b) par.

c) compreendido entre 1 e 10.

d) compreendido entre 10 e 15.

e) compreendido entre 15 e 20.


FCC TRT – RS Analista Judiciário 2011

18 - Considere que Asdrúbal tem um automóvel que, em média, percorre 14 quilômetros de

estrada com 1 litro de gasolina. Certo dia, após ter percorrido 245 quilômetros de uma rodovia,

Asdrúbal observou que o ponteiro do marcador da gasolina, que anteriormente indicava a

ocupação de

da capacidade do tanque, passara a indicar uma ocupação de

. Nessas condições,

é correto afirmar que a capacidade do tanque de gasolina desse automóvel, em litros, é:

a) 50.

b) 52.

c) 55.

d) 60.

e) 65.


21


FCC MPE – RS Agente Administrativo 2010

19 - A tabela a seguir mostra as participações dos três sócios de uma empresa na composição de

suas ações.

Os lucros da empresa em determinado ano, que totalizaram R$ 560.000,00, foram divididos entre

os três sócios proporcionalmente à quantidade de ações que cada um possui. Assim, a sócia Maria

Oliveira recebeu nessa divisão

a) R$ 17.500,00.

b) R$ 56.000,00.

c) R$ 112.000,00.

d) R$ 140.000,00.

e) R$ 175.000,00.

REGRA DE TRÊS - SIMPLES

Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro

valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos

três já conhecidos.

Passos utilizados numa regra de três simples:

1. Identificar o que o problema está pedindo;

2. Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo

na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência;

3. Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

4. Montar a proporção e resolver a equação.

Exemplos:

1 - Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a

energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para

1,5m2, qual será a energia produzida?

Solução: montando a tabela:


22

Área (m2) Energia (Wh)

1,2 400

1,5 x

Identificação do tipo de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).

Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta.

Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas

são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido

(para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.

2 Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso

em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de

480km/h?

Solução: montando a tabela:

Velocidade (Km/h) Tempo (h)

400 3

480 x

Identificação do tipo de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).

Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui.


23

Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são

inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário

(para cima) na 1ª coluna.

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.

20 – Certa máquina gasta 20 segundos para cortar uma folha de papelão de formato retangular

em 6 pedaços iguais. Assim sendo, quantos segundos essa mesma máquina gastaria para cortar

em 10 pedaços iguais outra folha igual á primeira se, em ambas as folhas, todos os cortes devem

ter o mesmo comprimento?

a) 32 b) 33,3 c) 34 d) 35,5 e) 36


FCC TRF – 1ª REGIÃO TECNICO JUDICIÁRIO 2006

21 - Certo dia, um técnico judiciário foi incumbido de digitar um certo número de

páginas de um texto. Ele executou essa tarefa em 45 minutos, adotando o seguinte

procedimento:

o nos primeiros 15 minutos, digitou a metade do total das páginas e mais meia página;

o nos 15 minutos seguintes, a metade do número de páginas restantes e mais meia página;

o nos últimos 15 minutos, a metade do número de páginas restantes e mais meia página.

Se, dessa forma, ele completou a tarefa, o total de páginas do texto era um número

compreendido entre

a) 5 e 8

b) 8 e 11

c) 11 e 14

d) 14 e 17

e) 17 e 20




24

REGRA DE TRÊS COMPOSTA

A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou

inversamente proporcionais.

Exemplos:

1: Para alimentar 120 galinhas durante 20 dias são necessários 400kg de milho. Quantas galinhas podem ser alimentados com 600kg de milho durante 24 dias?

120 20 400

X 24 600

GALINHAS DIAS MILHO

O que queremos saber? Qts galinhas são alimentadas durante 24 dias com 600 kg de milho. Vamos fazer algumas perguntas para o problema para entendermos melhor: 1ª Pergunta: Milho fixo – Se tivermos que alimentar as galinhas por mais dias, alimentaremos mais ou menos galinhas? MENOS DIAS = GALINHAS = Inv. Proporcional. 2ª Pergunta: Dias fixos – Se tivermos mais milho alimentaremos mais ou menos galinhas? MAIS

MILHO = GALINHAS = Diret. Proporcional.

SOLUÇÃO:

1º) Endireite todas as setas.

2º) Isole a fração do x e iguale ao produto de todas as outras.

Portanto serão alimentadas 150 galinhas.


25

2 - Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões

serão necessários para descarregar 125m3?

Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em

cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:

8 20 160

5 X 125

HORAS CAMINHÕES VOLUME

O que queremos saber? Qts caminhões são necessários para descarregar 125 m3 de areia em 5 horas. Vamos fazer algumas perguntas para o problema para entendermos melhor: 1ª Pergunta: Horas fixa: – Se precisarmos carregar menos volume, vamos precisar de mais ou menos caminhões? MENOS VOLUME = CAMINHOES = Dir. Proporcional. 2ª Pergunta: Volume fixo: – Se tivermos menos horas para carregar, vamos precisar de mais caminhões ou menos caminhões? MAIS

HORAS = CAMINHÕES = Inv. Proporcional.

SOLUÇÃO:



Portanto serão alimentadas 25 caminhões.


26

3 - Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos

serão montados por 4 homens em 16 dias?

8 20 5

4 X 16

HOMENS CARRINHOS DIAS

O que queremos saber? Qts carrinhos são montados por 4 homens em 16 dias? Vamos fazer algumas perguntas para o problema para entendermos melhor: 1ª Pergunta: Homens fixo: – Se trabalharmos mais dias vamos produzir mais ou menos carrinhos? MAIS DIAS = CARRINHOS = Dir. Proporcional. 2ª Pergunta: dias fixos: – Se tivermos mais homens vamos produzir mais ou menos carrinhos? MAIS

HOMENS = CARRINHOS = Dir. Proporcional.

SOLUÇÃO:



Portanto serão montados 32 carrinhos.


27

4 Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro?

2 9 2

3 X 4

PEDREIROS DIAS MURO

O que queremos saber? Quql o tempo que 3 pedreiros levam para fazer um muro de 4 metros? Vamos fazer algumas perguntas para o problema para entendermos melhor: 1ª Pergunta: Muro fixo: – Se aumentarmos o número de pedreiros vamos precisar de mais ou menos dias para construir o muro? MENOS PEDREIROS = DIAS = Inv. Proporcional.

2ª Pergunta: Pedreiros fixo: – Se formos construir um muro maior vamos precisar de mais dias ou menos dia ? MAIS

PEDREIROS = DIAS = Dir. Proporcional.

SOLUÇÃO:



Portanto vai levar 12 dias para o muro ser construído.


28


FCC TRE – AC TECNICO JUDICIÁRIO 2010

22 - Em uma papelaria, Romeu gastou R$ 312,00 na compra de algumas unidades de

certo tipo de caneta esferográfica que estava em promoção e, como bonificação,

recebeu mais 8 unidades iguais a elas. Com isso, Romeu percebeu que cada caneta

que tinha comprado havia saído por R$ 0,80 a menos, ou seja, cada caneta saiu por

a) R$ 6,20.

b) R$ 6,00.

c) R$ 5,80.

d) R$ 5,20.

e) R$ 5,00.


FCC TRF – 5ª REGIÃO TECNICO JUDICIÁRIO 2008

23 - Sabe-se que, juntos, três funcionários de mesma capacidade operacional são

capazes de digitar as 160 páginas de um relatório em 4 horas de trabalho ininterrupto.

Nessas condições, o esperado é que dois deles sejam capazes de digitar 120 páginas

de tal relatório se trabalharem juntos durante

a) 4 horas e 10 minutos.

b) 4 horas e 20 minutos.

c) 4 horas e 30 minutos.

d) 4 horas e 45 minutos.

e) 5 horas.


29

PORCENTAGEM

Vamos trabalhar esse assunto com três definições complementares:

1. Taxa Unitária;

2. Fator de Capitalização;

3. Fator de Descapitalização.

Vamos ver um a um:

TAXA UNITÁRIA: Quando pegamos uma taxa de juros e dividimos o seu valor por 100, encontramos a taxa unitária

A taxa unitária é importante para nos auxiliar a desenvolver todos os cálculos em matemática financeira. Pense na expressão 20% (vinte por cento), ou seja, esta taxa pode ser representada por uma fração, cujo o numerador é igual a 20 e o denominador é igual a 100.

Exercícios: Escreva as taxas de juros em forma de taxa unitária:

a) 45% b) 10% c) 0,2% d) 0% e) 30,3% f) 2,345%

g) 7,02%

FATOR DE CAPITALIZAÇÃO:

Vamos imaginar que certo produto sofreu um aumento de 20% sobre o seu valor inicial. Qual novo valor deste produto? Claro que se não sabemos o valor inicial deste produto fica complicado para calcularmos, mas podemos fazer a afirmação abaixo: O produto valia 100% sofreu um aumento de 20%, logo está valendo 120% do seu valor inicial. Como vimos no tópico anterior, podemos calcular qual o fator que podemos utilizar para calcular o novo preço deste produto, após o acréscimo.


30

120Fator de Capitalização = 1,2

100

O Fator de capitalização Trata-se de um número no qual devo multiplicar o meu produto para obter como resultado final o seu novo preço, acrescido do percentual de aumento que desejo utilizar. Assim se o meu produto custava R$ 50,00, por exemplo, basta multiplicar R$ 50,00 pelo meu fator de capitalização por 1,2 para conhecer seu novo preço, neste exemplo será de R$ 60,00. CALCULANDO O FATOR DE CAPITALIZAÇÃO: Basta somar 1 com a taxa unitária, lembre-se que 1 = 100/100 = 100%

COMO CALCULAR:

o Acréscimo de 45% = 100% + 45% = 145% = 145/ 100 = 1,45

o Acréscimo de 20% = 100% + 20% = 120% = 120/ 100 = 1,2

ENTENDENDO O RESULTADO: Aumentar o preço do meu produto em 20% deve multiplicar por 1,2 Exemplo 1.3.1: um produto que custa R$ 1.500,00 ao sofrer um acréscimo de 20% passará a custar 1.500 x 1,2 (fator de capitalização para 20%) = R$ 1.800,00 COMO FAZER:

Acréscimo de 30% 1,3

Acréscimo de 15% 1,15

130 = 100% + 30% = 130% =

100

115 = 100% + 15% = 115% =

100

103 = 1Acréscimo de 3% 1,03

Acréscimo de 20

00% + 3% = 103% = 100

300 = 100% + 200% = 30 00% =

0% 3

1 0

1.3.1 AGORA É A SUA VEZ:

Acréscimo Calculo Fator

15%

20%

4,5%

254%

0%


31

63%

24,5%

6%

FATOR DE DESCAPITALIZAÇÃO:

Vamos imaginar que certo produto sofreu um desconto de 20% sobre o seu valor inicial. Qual novo valor deste produto? Claro que se não sabemos o valor inicial deste produto fica complicado para calcularmos, mas podemos fazer a afirmação abaixo: O produto valia 100% sofreu um desconto de 20%, logo está valendo 80% do seu valor inicial. Como vimos no tópico anterior (1.1 taxas unitárias), podemos calcular qual o fator que podemos utilizar para calcular o novo preço deste produto, após o acréscimo.

80Fator de Descapitalização = 0,8

100

O Fator de descapitalização trata-se de um número no qual devo multiplicar o meu produto para obter como resultado final o seu novo preço, considerando o percentual de desconto que desejo utilizar. Assim se o meu produto custava R$ 50,00, por exemplo, basta multiplicar R$ 50,00 pelo meu fator de descapitalização por 0,8 para conhecer seu novo preço, neste exemplo será de R$ 40,00. CALCULANDO O FATOR DE DESCAPITALIZAÇÃO: Basta subtrair o valor do desconto expresso em taxa unitária de 1, lembre-se que 1 = 100/100 = 100% COMO CALCULAR:

o Desconto de 45% = 100% - 45% = 65% = 65/ 100 = 0,65

o Desconto de 20% = 100% - 20% = 80% = 80/ 100 = 0,8

ENTENDENDO O RESULTADO: Para calcularmos um desconto no preço do meu produto de 20% deve multiplicar o valor deste produto por 0,80 Exemplo 1.4.1: um produto que custa R$ 1.500,00 ao sofrer um desconto de 20% passará a custar 1.500 x 0,80 (fator de descapitalização para 20%) = R$ 1.200,00 COMO FAZER:


32

Desconto de 30% 0,7

Desconto de 15% 0,85

70 = 100% 30% = 70% =

100

85 = 100% 15% = 85% =

100

97 = 1Desconto de 3% 0,97

Desconto de

00% 3% = 97% = 100

50 = 100% 50% = 50% =

10050% 0,5

1.4.1 AGORA É A SUA VEZ:

Desconto Calculo Fator

15%

20%

4,5%

254%

0%

63%

24,5%

6%

24 - As estatísticas da Campanha Nacional de Prevenção ao Câncer de Pele, organizada há 11

anos pela Sociedade Brasileira de Dermatologia, revelam que o brasileiro não se protege

adequadamente do sol: 70% dos entrevistados afirmaram não usar qualquer tipo de proteção

solar, nem mesmo quando vão à praia (adaptado de www.sbd.org.br). Se foram entrevistadas

34430 pessoas, o número delas que usam protetor solar é

a) 24 101

b) 15 307

c) 13 725

d) 12 483

e) 10 329




33


FCC Sergipe Gás Assistente Administrativo 2010

25 - A tabela abaixo apresenta o consumo médio mensal de 100 residências em um bairro servido

pela SERGAS.

Escolhendo-se uma dessas residências ao acaso, a probabilidade de que o seu consumo médio

mensal de gás natural seja de 25 m3 é

a)

b)

c)

d)

e)


FCC DNOCS Administrador 2010

26 - Em uma loja, as unidades vendidas por dia de um determinado eletrodoméstico apresentam

a seguinte distribuição de probabilidades de ocorrência de venda:

A probabilidade de que em um determinado dia tenham sido vendidas mais que uma unidade do

eletrodoméstico é igual a

a) 87,5%.

b) 80,0%.

c) 75,0%.

d) 60,0%.

e) 50,0%.


34

EQUAÇÕES DE 1º GRAU

Para resolver um problema matemático, quase sempre devemos transformar uma sentença

apresentada com palavras em uma sentença que esteja escrita em linguagem matemática. Esta é

a parte mais importante e talvez seja a mais difícil da Matemática.

Exemplo: Em uma corrida de taxi o taxista cobra o valor da bandeirada e mais R$ 3,00 o

quilômetro rodado, sabendo que o valor da bandeirada é R$ 4,50, como podemos equacionar esse

problema para entender como funciona esse taxímetro?

Sentença matemática

4,5 + 3x = valor da corrida

Normalmente aparecem letras conhecidas como variáveis ou incógnitas. A partir daqui, a

Matemática se posiciona perante diferentes situações e será necessário conhecer o valor de algo

desconhecido, que é o objetivo do estudo de equações. Usaremos uma letra qualquer, por

exemplo x, para simbolizar a quantidade de quilômetros rodados. Assim, a equação poderá ser

escrita, do ponto de vista matemático, como:

4,5 + 3x = valor da corrida

Exercícios:

27 - Em uma corrida de taxi o taxista cobra o valor da bandeirada e mais R$ 5,00 o quilômetro

rodado, sabendo que o valor da bandeirada é R$ 2,00. Sabendo que o valor da corrida deu R$ 62

reais, podemos afirmar que o taxi rodou nessa corrida a distância de?

a) 10 km b) 13 km c) 12km d) 20km e) 11Km

28 - Em uma certa cidade do interior do RS o taxista “A” cobra R$ 14,00 de bandeirada e mais R$

1,30 o quilômetro rodado, sabendo que nessa mesma cidade temos o taxista “B” que cobra o

valor de R$ 1,90 a bandeirada e mais 2,40 o km rodado. Sabendo desta diferença de preços uma

empresa que utiliza muito o serviço de taxistas, resolveu trabalhar com os dois, mas para saber

quando chamar um ou outro, com base nessas afirmações acima podemos afirmar que:

a) Após 9 km o taxista A é mais barato

b) Até 11 km o taxista B é mais caro

c) Após 11 km o taxista B é mais caro

d) Até 9 km o taxista A é mais barato.

e) Não tem diferença de preços caso seja rodado 12,1 km.


35

29 - Três torneiras enchem um tanque. A 1º enche

do tanque, a 2º enche

do restante, ficando

150.000 mililitros para a terceira torneira. Qual a capacidade desse tanque?

a) 1.200.000 mm b) 900.000 mm c) 750.000 mm d) 800.000 mm


FCC 2001

30 - Cada um dos 784 funcionários de uma Repartição Pública presta serviço em um único dos seguintes setores: administrativo (1), processamento de dados (2) e serviços gerais (3). Sabe-se

que o número de funcionários do setor (2) é igual a

do número dos de (3). Se os funcionários do

setor (1) são numericamente iguais a

do total de pessoas que trabalham na Repartição, então a

quantidade de funcionários do setor... a) (1) é 284 b) (2) é 15 c) (2) é 180 d)) (3) é 350 e) (3) é 380


FCC 2008

31 - Um lote de 9 000 disquetes foi colocado em 4 caixas de tamanhos diferentes, de forma que

o número de disquetes colocados em cada uma correspondia a

da quantidade colocada na

anterior. O número de disquetes colocados na a) primeira foi 4 075. b) segunda foi 2 025. c) terceira foi 850. d) quarta foi 500. e) quarta foi 255.


FCC 2004

32 - Hoje, dois técnicos judiciários, Marilza e Ricardo, receberam 600 e 480 processos para arquivar, respectivamente. Se Marilza arquivar 20 processos por dia e Ricardo arquivar 12 por dia, a partir de quantos dias, contados de hoje, Marilza terá menos processos para arquivar do que Ricardo? a) 12 b) 14 c))16 d) 18 e) 20


36

EQUAÇÕES DE 2º GRAUS

Toda equação do tipo: , com , denomina-se uma equação de 2º grau, ou

seja, temos uma incógnita elevada ao quadrado.

O que precisamos saber sobre esses tipos de equações:

O mais importante é reconhecê-las, vejamos abaixo alguns tipos de “cara” que ela aparece:

Sabendo identificá-las, facilmente chegamos ao valor de a, b ou c.

Exemplos:

1)

a = ,b= ,c=

2)

a = ,b= ,c=

3)

a = ,b= ,c=

4)

a = ,b= ,c=

5)

a = ,b= ,c=

6)

a = ,b= ,c=


37

Em alguns casos acima, não temos os valores de b, ou de c, isto é, b = 0 e/ou c = 0, nestes

casos podemos resolvê-las de maneira mais simples, conforme o exemplo abaixo:

1º caso: b=0

x²-9=0 » x²=9 » x= » x=

2º caso: c=0

x²-9x=0 » Basta fatorar o fator comum x x(x-9)=0 » x=0,9

3º caso: b=c=0

2x²=0 » x=0

Agora vamos ver como podemos efetuar o cálculo das equações de 2º grau completas, ou seja, a, b e c diferentes de 0. Para essas podemos ter no máximo duas raízes reais, e para achá-las utilizamos a fórmula de Bháskara:

Curiosidade:

Como chegamos a fórmula de Bháskara

Considerando a equação: ax²+bx+c=0, vamos determinar a fórmula de Bháskara:

Multiplicamos os dois membros por 4a:

4a²x²+4abx+4ac=0 4a²x²+4abx=-4ac Somamos b² aos dois membros:

4a²x²+4abx+b²=b²-4ac

Fatoramos o lado esquedo e chamamos de (delta) b²-4ac:

(2ax+b)²=

2ax+b=


38

2ax=-b

Logo:

ou

Temos mais algumas formas de encontramos as raízes de uma equação de 2º grau, vamos ver apenas mais uma:

Dado , temos como raízes:

Dois números que somados da “- b” e multiplicados dão “c”.

Exemplo:

Logo: a = 1; b = - 7 e c = 10

Dois números que somados dão – b e multiplicados dão c.

2 + 5 = 7 (b=-7, -b = 7), e 2 x 5 = 10. Portanto 2 e 5 são as raízes da equação.

Podemos ter também alguns tipos de raízes de 2º grau “camufladas”, vamos ver:

Eliminando os denominadores temos:

Chegamos em uma equação de 2º grau simples.

Outra situação que podemos ter é aparecer uma equação bi-quadrada:

Neste caso temos que atribuir um valor para , podemos usar outra incógnita qualquer, como

por exemplo, , usando a regra da potência temos também que , podemos reescrever essa equação utilizando as incógnitas “y”.

Depois encontrando o valor de “y” temos que colocar na igualdade , e achar os valores de “x”.


39

Exercícios:

33 - Encontre as raízes das equações:

a)

b)

c)

d)

e)

34 - Um grupo de amigos vai a uma festa e no final da noite a conta totaliza R$ 108,00 reais.

Inicialmente, a combinação feita seria dividir a conta igualmente entre todos. Todavia, três amigos

notam que estão sem dinheiro, o que força os restantes a contribuírem cada um com mais R$

6,00 para que a conta seja paga. Quantas pessoas havia no grupo inicial?

a) 12

b) 7

c) 9

d) 8

e) 2


FCC SEAD Agente Penitenciário 2002

35 - Em certo momento, o número X de soldados em um policiamento ostensivo era tal que

subtraindo-se do seu quadrado o seu quádruplo, obtinha-se 1 845. O valor de X é

a) 42 b) 45 c) 48 d) 50 e) 52


ADVISE SESC –SE Blibliotecnomista 2010

36 – O conjunto solução da equação

é:

a) {-2}

b) {8}

c) d) {3, 2}

e) {1}


40

INEQUAÇÕES

Inequações de primeiro grau:

São “equações” sem igualdade, onde temos em vez de o sinal da igualdade ( =), teremos sinais

indicando que uma expressão é maior ( >), menor (<), menor igual (≤) ou maior igual (≥) do que

a outra, vamos ver alguns exemplos de inequação:

a) 2x – 6 > 0, x ϵ R.

Nessa inequação queremos saber para quais valores de “x” a expressão 2x – 6 assume valores

maiores do que 0.

b) x -3 < 4, x ϵ R

Nessa inequação queremos saber para qual valores de “x” a expressão x – 3 assume valores

menores que 4.

c) x – 1 ≥ 2x + 7, x ϵ R

Nessa inequação queremos saber para qual valores de “x” a expressão x - 1 e maior ou igual a

expressão 2x - 7.

d) - 3x ≤ - x² + 4, x ϵ R

Nessa inequação queremos saber qual os valores que “x” pode assumir para que 3x seja menor

ou igual a - x² + 4.

O processo de resolução é o mesmo que o das equações para encontrar as raízes, mas no caso

das inequações depois desse cálculo temos que interpretar o sinal apresentado. Agora vamos

calcular as inequações acima:

a) 2x – 6 > 0, x ϵ R.

2x – 6 > 0

2x > 6

x > 3

Logo, podemos afirmar que “x” pode assumir qualquer valor maior que 3 para tornar essa

desigualdade verdadeira.

b) x -3 < 4, x ϵ R

x – 3 < 4

x < 4 + 3

x < 7

Para essa inequação x poderá assumir qualquer valor menor que 7.


41

c) x – 1 ≥ 2x + 7, x ϵ R

x – 1 ≥ 2x + 7

x – 2x ≥ 7 + 1

x ≥ 8

Podemos dizer que para qualquer “x” maior ou igual a 8, a expressão da esquerda é maior ou

igual que a da direita.

d) 3x ≤ - x² + 4, x ϵ R

No caso de inequações de segundo grau, temos que deixar um dos lados da inequação igual a 0,

e depois fazer o cálculo para encontrar as raízes da equação de 2º grau.

- 3x ≤ - x² + 4

x² - 3x – 4 ≤ 0

vamos calcular através da soma e produto, dois números que somados da “- b” e multiplicados

dão “c”.

testando chegamos a 4 e -1, agora temos que montar o gráfico apenas no eixo “x” para ver quais

os intervalos que satisfaz essa desigualdade.

Analisando o gráfico, temos como solução dessa inequação o intervalo -1 ≤ x ≤ 4.


Cesgranrio BNDES Técnico de Arquivo 2010

37 - O conjunto-solução da inequação 9 - x² > 0 é

a) - 3 > x > 3

b) - 3 < x < 3

c) x > 3

d) x < 3

e) x > 3


42


FGV CAERN Agente Administrativo 2010

38 - O conjunto de todas as soluções reais da inequação 2x + 1 < 3x + 2 é

a)] - ∞, - 1 [

b)] - ∞, 1 [

c)] – 1, + ∞ [

d) ] 1, + ∞ [

e)] -1, 1 [

Gabarito: letra c

SISTEMA DE EQUAÇÕES

Em alguns problemas temos que trabalhar com duas incógnitas, e temos mais de uma condição

para chegarmos a resposta desejada, para esses casos temos que trabalhar com duas equações

simultaneamente, não podendo deixar de lado qualquer informação dada, para trabalharmos

esses tipos de problemas usamos um sistema de equações, com ele podemos trabalhar com

quantas incógnitas e condições for necessárias, vamos acompanhar o exemplo abaixo para

entender melhor:

Dado dois números, x e y, pertencentes ao conjunto dos números naturais, sabemos que a soma

deles é igual a sete.

Apenas com essa informação temos diversas possibilidades, considere S = { x, y};

S= { 0, 7}; S = { 1, 6}; S = { 2, 5}; S = { 3, 4}; S = { 4, 3}; S = { 5, 2}; S = { 6, 1}; S = { 7, 0}

Mas sei também que a diferença entre eles ( x – y = 1), é 1.

Para resolvemos temos que armar o seguinte sistema:

Resolvemos esse sistema somando as equações:


43

Exercícios:

39 - Uma equipe formada por dois atletas, A e B, disputou uma prova de revezamento,

completando-a em 2min 27s. Sabendo se que o atleta A foi 10% mais rápido do que o B e que os

dois percorreram distâncias iguais, conclui-se que o tempo gasto pelo atleta B foi:

a) 1min 20s

b) 1min 15s

c) 1min 10s

d) 1min 17s

e) 1min 12s


FCC MPU Técnico Administrativo 2007

40 - Floriano e Peixoto são funcionários do Ministério Público da União e, certo dia, cada um deles recebeu um lote de processos para arquivar. Sabe-se que: - os dois lotes tinham a mesma quantidade de processos; - ambos iniciaram suas tarefas quando eram decorridos 37/96 do dia e trabalharam ininterruptamente até concluí- la; - Floriano gastou 1 hora e 45 minutos para arquivar todos os processos de seu lote; - nas execuções das respectivas tarefas, a capacidade operacional de Peixoto foi 60% da de Floriano. Nessas condições, Peixoto completou a sua tarefa às

a) 11 horas e 15 minutos b) 11 horas e 20 minutos c) 11 horas e 50 minutos d) 12 horas e 10 minutos e) 12 horas e 25 minutos



41 – Em um dado momento em que Ari e Iná atendiam ao público nos guichês de dois caixas de uma Agência do Banco do Brasil, foi observado que a fila de pessoas à frente do guichê ocupado por Ari tinha 4 pessoas a mais que aquela formada frente ao guichê que Iná ocupava. Sabendo que, nesse momento, se 8 pessoas da fila de Ari passassem para a fila de Iná, esta última ficaria com o dobro do número de pessoas da de Ari, então, o total de pessoas das duas filas era:

a) 24 b) 26 c) 30 d) e) 36


44

FUNÇÕES

Dados dois conjuntos A e B não vazios , chama-se função (ou aplicação) de A em B, representada

por

f : A B ; y = f(x) ,

uma relação que associa a cada elemento de A , um único elemento de B.

Podemos entender uma função como uma máquina, que transforma uma coisa em outra,

conforme o desenho abaixo:

Esse conteúdo é muito amplo, temos diversas definições dentro do assunto funções, vamos ver

um breve resumo sobre o conteúdo para revisar alguns conceitos, já que o mais importante é

sabermos como cai esse conteúdo em concursos públicos.

Considere as três relações abaixo:

Esta não é uma função, pois o elemento 3 em X é associado com dois

elementos (d e c) em Y

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Naofuncao1.png


45

Esta não é uma função, pois o elemento 1 em X não é associado com

um elemento em Y.

Esta é uma função, ela pode ser definida explicitamente pela

expressão:

DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM:

Dado os conjuntos A = {0, -1, -2, -3} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e a função ,

, sendo x A, defina o domínio, contradomínio e a imagem de f.

Para entendermos melhor vamos acompanhar no esquema abaixo:

Domínio = D (f) = { 0, -1, -2. -3} = A

Contradomínio = CD (f) = B

Imagem = Im (f) = { 1, 4, 9, 0}

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Naofuncao2.png

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Funcao_venn.png

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Funcoes_x2.png


46

Um caso especial: Função de segundo grau:

Para determinados os vértices de uma parábola temos que encontrar o par ordenado de pontos, dadas por:

P = {x, y}

Também sabemos que o valor de “c” da equação da parábola e o ponto em que a parábola cora o eixo das ordenadas (y).

Outras informações importantes que temos que saber sobre as parábolas e referente aos valores

de a, b e c, serem maiores ou menores de 0.

a < 0, quando a “boca” da parábola estiver voltada para baixo.

a > 0, quando a “boca” da parábola estiver voltada para cima.

Se a<0 e as duas raízes forem negativas. Então b<0 Se a>0 e as duas raízes forem negativas. Então b>0 Se a<0 e as duas raízes forem positivas. Então: b>0 Se a>0 e as duas raízes forem positivas. Então: b<0

Para determinar se “c” é menor ou não que “0”, basta observar onde ele corta o eixo das

ordenadas (y).


47

Exercícios:


FCC AL – SP Técnico Legislativo 2010

42 - O gráfico a seguir representa a função f, de domínio real, dada pela lei

Sabendo que a, b e c são constantes, é correto concluir que

a) a < 0, b < 0 e c < 0

b) a < 0, b < 0 e c > 0

c) a < 0, b > 0 e c < 0

d) a < 0, b > 0 e c > 0

e) a > 0, b < 0 e c < 0


48

NOÇÕES DE GRÁFICOS

Temos que conhecer alguns tipos de gráficos, abaixo tem uma tabela que mostra os principais

tipos:


49

Vamos trabalhar com alguns exercícios de concursos para aprender a interpretar informações

dadas:


FCC MPE-RS Agente Administrativo 2010

43 - O gráfico mostra as receitas que uma empresa conseguiu em cada mês de um ano, além dos

custos que ela teve nos respectivos meses.

Considerando que o lucro mensal de uma empresa seja dado pela diferença entre a receita e o

custo, nessa ordem, observados naquele mês, o maior lucro mensal obtido por essa empresa no

ano considerado ocorreu no mês de

a) Dezembro b) Outubro c) Maio d) Fevereiro e) Janeiro


FCC AL – SP Agente Legislativo 2010

44- Para testar a capacidade operacional de dois Agentes Legislativos, um mesmo texto de 50 páginas foi encaminhado a cada um para digitação. Na figura abaixo, as curvas I e II descrevem os respectivos desempenhos dos Agentes Adrien e Régine ao longo da digitação de tal texto.


50

Considerando que eles iniciaram juntos a digitação e que cada página tinha 30 linhas, então, de acordo com as informações do gráfico, é correto afirmar que

a) A capacidade operacional de Régine foi maior que a de Adrien. b) Adrien digitou, em média, 12 linhas por minuto. c) Decorridos 60 minutos do início da digitação, um dos Agentes havia digitado 5 páginas a

mais do que o outro. d) Régine digitou, em média, 9 linhas por minuto. e) Decorridos 60 minutos do início da digitação, o número de páginas digitadas por Adrien era

igual a 125% do número digitado por Régine.



45 - Uma variável real y depende de uma variável real x de forma que, sempre que x aumenta 4 unidades, o valor de y aumenta 2 unidades. Dentre os gráficos abaixo, o único que pode representar a relação de dependência dessas duas variáveis é

a) b) c)


51

d) e)



46 -Toda a água existente num reservatório será transferida para outro reservatório , para que sejam feitas as manutenções necessárias. O gráfico a seguir representa o nível de água em cada reservatório em função do tempo, desde o início do processo.

Os níveis de água nos dois reservatórios ficaram iguais, após iniciado o processo, no tempo de: a - 1 hora e 40 minutos. b - 1 hora e 50 minutos. c - 2 horas. d - 2 horas e 10 minutos. e - 2 horas e 20 minutos.


FCC TRT Engenhreiro 2009

47. Após a realização de um Congresso, alguns participantes foram consultados sobre a temática nele desenvolvida. Os resultados dessa pesquisa são apresentados nos quadros seguintes:


52

Considere que, em cada critério de avaliação da temática, os percentuais de homens e mulheres sejam os mesmos que os apresentados no gráfico de setor. Assim sendo, se 72 homens classificaram a temática de “Muito boa”, então, com relação ao total de pessoas consultadas, de quantas unidades o número de homens excede o de mulheres? (A) 100 (B) 120 (C) 150 (D) 180 (E) 190

SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS

Conjuntos de objetos de qualquer natureza, organizados ou escritos numa ordem bem

determinada.

Para representar uma seqüência, escrevemos seus elementos, ou termos, entre parênteses.

É importante destacar que, ao contrário do que ocorre num conjunto, qualquer alteração na

ordem dos elementos de uma seqüência altera a própria seqüência.

Exemplos:

a) O conjunto (janeiro, fevereiro, março, abril... dezembro) é chamado seqüência ou sucessão dos

meses do ano.

b) O conjunto ordenado (0, 1, 2, 3, 4, 5...) é chamado seqüência ou sucessão dos números

naturais.

Uma sucessão, ou sequência é definida como sendo um conjunto S, dotado das seguintes

características:


53

1. Todos os seus elementos são do mesmo tipo;

2. Os elementos também são denominados termos da sucessão;

3. Cada termo possui uma posição definida, dentro do conjunto S;

4. A posição de cada termo é determinada por um número natural, denominado índice;

5. Cada termo possui um único índice, e cada índice pertence a um único termo;

6. Dois termos só podem ser permutados se os seus respectivos índices também forem.

Exemplos:

Progressão Arítmética:

É uma sequência em que cada termo, a partir do segundo. É a soma do anterior com uma constante, denominada razão. Esta razão e representada pela letra r.

Elementos de uma P.A.

a1 - 1o termo

an - termo genérico (ou n-ésimo termo)

r – razão

n - número de termos

Sn - soma dos termos

TM - termo médio

Progressão Geométrica:

É uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é o produto do anterior com uma constante, denominada razão, representada pela letra 'q'.

Elementos de uma P.G.

a1 - 1o termo

an - termo genérico, termo geral (ou n-ésimo termo)

q – razão

n - número de termos

Sn - soma dos termos


54

Pn- produto dos termos Fórmulas usadas em problemas envolvendo P.A. ou P.G.

Progressão Aritimética Progressão Geométrica

Fórmula do termo Geral

Soma dos termos

Termo médio

Representação de 3 termos (x-r); x; (x+r)

Exercícios:

48 - Qual é o primeiro termo de uma P.A. cujo sétimo termo é 46, sendo o termo precedente 39 ?

49 - Numa P.A. de razão 5, o primeiro termo é 4. Qual é a posição do termo igual a 44 ?

50 - Numa estrada existem dois telefones instalados no acostamento: um no quilometro 3 e outro

no quilometro 88. Entre eles serão colocados mais 16 telefones, mantendo-se entre dois telefones

consecutivos sempre a mesma distância. Determine em quais marcos quilométricos deverão ficar

esses novos telefones.

51- Escreva os cinco primeiros termos de cada P.G., sendo dados:

a) a1 = 2 e q = 3

b) a1 = 3 e q = -1


55

52 - Calcule o valor do primeiro termo de uma P.G., sabendo que o quarto termo é -108 e a razão é q = 3.



53 - Uma pessoa abriu uma caderneta de poupança com um primeiro depósito de R$ 200,00 e, a partir dessa data, fez depósitos mensais nessa conta. Se a cada mês depositou R$ 20,00 a mais do que no mês anterior, ao efetuar o 15o depósito, o total depositado por ela era

a) R$ 5100,00 b) R$ 5000,00 c) R$ 4900,00 d) R$4800,00 e) R$4700,00



54 - Considere as progressões aritméticas: P: (237, 231, 225, 219, ...) e Q: (4, 9, 14, 19, ...). O menor valor de n para o qual o elemento da sequência Q localizado na posição n é maior do que o elemento da sequência P também localizado na posição n é igual a

a) 22

b) 23

c) 24

d) 25

e) 26


CESGRANRIO BNDES Técnico Administrativo 2010

55 - A sequência numérica (6, 10, 14, ... , 274, 278, 282) tem 70 números, dos quais apenas os três primeiros e os três últimos estão representados. Qualquer número dessa sequência, excetuando-se o primeiro, é igual ao termo que o antecede mais 4. A soma desses 70 números é

a) 8920 b) 10080 c) 13560 d) 17840 e) 20160


56

FUNÇÕES EXPONENCIAIS

A função denominada como exponencial possui essa relação de dependência e sua principal característica é que a parte variável representada por x se encontra no expoente.

Exemplos de funções exponenciais: y = 4 x y = 3 x + 4

y = 0,7 x

y = 9 x

A lei de formação de uma função exponencial indica que a base elevada ao expoente x precisa ser maior que zero e diferente de um, conforme a seguinte notação: f: R→R tal que y = a x, sendo que a > 0 e a ≠ 1. Uma função pode ser representada através de um gráfico, e no caso da exponencial, temos duas situações: a > 0 e 0 < a < 1. Observe como os gráficos são constituídos respeitando as condições propostas:

Uma função exponencial é utilizada na representação de situações onde a taxa de variação é considerada grande, por exemplo, em rendimentos financeiros capitalizados por juros compostos, no decaimento radioativo de substâncias químicas, desenvolvimento de bactérias e micro-organismos, crescimento populacional entre outras situações. As funções exponenciais devem ser resolvidas utilizando, se necessário, as regras envolvendo potenciação. Vamos apresentar alguns exemplos envolvendo o uso de funções exponenciais. Exemplo 1 (Unit-SE) Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos

após a sua compra, é dado por , em que v0 é uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12 000,00, determine o valor que ela foi comprada. Temos que v(10) = 12 000, então:

http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-exponencial-1.htm


57

A máquina foi comprada pelo valor de R$ 48 000,00.

Exemplo 2 (EU-PI) Suponha que, em 2003, o PIB (Produto Interno Bruto) de um país seja de 500 bilhões de dólares. Se o PIB crescer 3% ao ano, de forma cumulativa, qual será o PIB do país em 2023, dado em bilhões de dólares? Use 1,0320 = 1,80. Temos a seguinte função exponencial

O PIB do país no ano de 2023 será igual a R$ 900 bilhões.

FUNÇÕES LOGARÍTMICAS

Toda função definida pela lei de formação , com a ≠ 1 e a > 0, é denominada função logarítmica de base a. Nesse tipo de função o domínio é representado pelo conjunto dos números reais maiores que zero e o contradomínio, o conjunto dos reais.

Exemplos de funções logarítmicas:

f(x) = log5x f(x) = log2x

f(x) = log1/3x f(x) = log10x f(x) = log1/5x f(x) = log4x

f(x) = log2(x – 2) f(x) = log0,2x

http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-logaritmica.htm



58

Gráfico de uma função logarítmica Para a construção do gráfico da função logarítmica devemos estar atentos a duas situações:

1ª ) a > 1

2ª) 0 < a < 1

Para a > 1, temos o gráfico da seguinte forma: Função crescente

a > 1


59

Para 0 < a < 1, temos o gráfico da seguinte forma:

Função decrescente

0 < a < 1

Características do gráfico da função logarítmica, y = logax

O gráfico está totalmente à direita do eixo y, pois ela é definida para x > 0.

Intersecta o eixo das abscissas no ponto (1,0), então a raiz da função é x = 1.

Note que y assume todos as soluções reais, por isso dizemos que a Im(imagem) = R.



60

GABARITO

1 C 29 B

2 B 30 D

3 C 31 B

4 C 32 C

5 E 33 calcular raizes

6 E 34 C

7 A 35 B

8 E 36 C

9 E 37 B

10 B 38 C

11 D 39 d

12 A 40 D

13 B 41 E

14 B 42 A

15 D 43 B

16 D 44 B

17 C 45 C

18 D 46 B

19 E 47 B

20 E 48 4

21 A 49 9ª posição

22 D 50 8-13-18-23-28-33-38-43-48-53-58-63-68-73-78-83

23 C 51 a) PG ( 2, 6, 18, 54, 162, ...) b) PG (3, -3, 3, -3, 3, -3, ...)

24 E 52 4

25 A 53 A

26 C 54 B

27 C 55 B

28 C

sumÁrio · luiz eduardo de latorre 1 nÚmeros naturais como decorrência da necessidade de contar...

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