Sur quelques structures algébriques

utiles au traitement de l'information

en robotique, informatique et physique

Jean Baptiste Latre

Rapport de Master25/03/13 - 06/09/13

WN-PA-13-105

1

Table des matières

1 Présentation et motivations du projet 6

2 Structures d'accueil 82.1 Le groupe Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.1 Présentation générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.1.2 Direction Scienti�que . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 CERFACS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.1 Présentation générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.2 Equipe Algorithmes Parallèles . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Trois domaines d'application externe 113.1 Robotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Informatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2.1 Calcul des dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2.2 Traitement du signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2.3 Traitement de l'image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2.4 Modélisation 3D (textures, réalité augmentée) . . . . . . . 13

3.3 Physique théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.3.1 Mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3.2 Mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3.3 Electromagnétisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.4 Résumé et perspectives pour le Calcul Scienti�que . . . . . . . . 16

4 Propriétés et classi�cation des structures algébriques en petitedimension 194.1 Notions communes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.1.1 Rappels sur les algèbres réelles . . . . . . . . . . . . . . . 194.1.2 Procédé de duplication de Dickson généralisé . . . . . . . 204.1.3 Opérations de conjugaison, trace et magnitude . . . . . . 204.1.4 Diviseurs de zéro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.1.5 Algèbres de Dickson généralisées . . . . . . . . . . . . . . 214.1.6 Algèbres Ak(Aα) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.2 Dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2.1 Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2.2 Nombres biréels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2.3 Nombres duaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2.4 La triple nature dynamique du plan numérique . . . . . . 244.2.5 Polynômes dans les algèbres composites . . . . . . . . . . 25

4.3 Dimension 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.3.1 Quaternions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.3.2 Quaternions fendus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.3.3 Polynômes unilatéraux dans H et�H . . . . . . . . . . . . 294.3.4 Nombres bicomplexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.3.5 Polynômes bicomplexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.3.6 Nombres complexes duaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.4 Dimension 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.4.1 Octonions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.4.2 Octonions fendus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.4.3 Quaternions biréels (Biquaternions) . . . . . . . . . . . . 354.4.4 Quaternions duaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.4.5 Quaternions complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.5 Dimension 2k, k ≥ 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2

5 Conclusion et perspectives 38

Références bibliographiques 39

Annexe 44

A Organigramme de la Direction Scienti�que 44

3

Remerciements

Je souhaiterais remercier toutes les personnes qui m'ont aidé durant monstage. En premier lieu, M. Ricoux qui a �nancé ce stage et qui a montré uninterêt bienveillant pour notre travail. Je n'oublie pas le Pr Serge Gratton pourm'avoir présenté le Cerfacs ainsi que les chercheurs et les industriels qui m'ontaccompagné. Je remercie particulièrement les personnes de l'administration oudu secrétariat, dont les nombreux services rendus sont trop souvent passés soussilence. Mon travail n'aurait pu se faire sans Mme Séverine Toulouse, docu-mentaliste au Cerfacs, grâce à la qualité de son travail, qui va de pair avec sagentillesse.

Je remercie les personnes avec qui j'ai pu travailler au quotidien notammentGabriel Jonville et surtout Monserrat Rincón avec qui j'ai pu beaucoup échangeret partager.

Mes remerciements vont principalement au Pr Françoise Chatelin pour sonencadrement unique, qui dépasse largement le simple cadre professionnel. Le donrare qui l'habite pour la compréhension du Calcul est loin d'être la seule de sesqualités, scienti�que ou humaine.

En�n, je remercie les chercheurs et les employés du Cerfacs avec qui j'ai pupartager de très bons moments pendant ces quelques mois.

4

5

1 Présentation et motivations du projet

Sous la direction de M. Philippe Ricoux, la Direction Scienti�que du groupeTotal a entrepris avec l'équipe Algorithmes Parallèles du CERFACS une ré-�exion autour de la manière d'exploiter au mieux les capacités sans cesse crois-santes des ordinateurs en termes de �abilité, de vitesse et de parallélisme. Cetteré�exion repose en amont sur une recherche de nouveaux moyens de traiter l'in-formation �sous ses aspects à la fois scienti�ques et informatiques �a�n detirer le meilleur parti des nouvelles architectures massivement parallèles.

Dans ce cadre, il a été proposé comme sujet de stage d'établir un état deslieux des outils modernes �mais encore peu connus �qui sont utilisés par lesingénieurs et les chercheurs pour traiter l'information avec plus d'e�cacité et depertinence qu'avec les moyens classiques (corps des nombres réels ou complexeset anneaux de matrices). Il est indéniable que durant tout le XXe siècle, plusieursdomaines-clés de l'activité scienti�que et technologique ont béné�cié de manièreessentielle des nouveaux outils algébriques issus de l'algèbre moderne créée auXIXe siècle. Par exemple, à la suite de Cli�ord (1873) les mécaniciens ont utiliséles nombres duaux (2D et 4D) pour modéliser les mouvements des corps rigides,permettant l'essor actuel de la robotique. De manière tout aussi fondamentale,l'algèbre non associative (mais alternative) des octonions (8D), est au coeur dela compréhension de l'Univers actuellement proposée par la physique des hautesénergies [Baez, 2002, Baez & Huerta, 2009].

Nous allons nous intéresser plus particulièrement à trois domaines, avec pre-mièrement la robotique et la représentation des systèmes mécaniques articulés.Le deuxième domaine concerne l'emploi d'outils non-classiques en informatique,en traitement du signal et de l'image, ainsi qu'en la modélisation 3D et la réalitéaugmentée. Le dernier domaine de notre étude concerne la physique, de l'in�-niment petit (mécanique quantique appliquée aux nanotechnologies) et de l'in-�niment grand (électromagnétisme, relativité restreinte , télécommunications,téléphones mobiles et GPS).

Plusieurs algèbres réelles telles que les biréels (2D), les bicomplexes (4D)et les biquaternions (8D) par exemple, ont été découvertes depuis longtemps(deuxième moitié du XIXe siècle) et sont restées néanmoins ignorées et parfoisdécriées ou même ridiculisées. Par exemple, F. Klein écrit à propos des poly-nômes quaternioniques ayant plusieurs in�nités de zéros :

�Daÿ man in dieser Theorie zu Resultaten gelangt, die im Sinne der gewöhn-lichen Algebra absurd sind, zeigt folgendes Beispiel : ...� 1

[Klein, 1880-1881, p.20].

Il ne semblait guère plus facile en 1850 d'accepter que 1 ou 0 puissent avoirdes racines carrées non réelles (autres que ±1 ou 0), qu'il n'avait été possible en1545 d'admettre, avec Cardan, que −1 ait deux racines imaginaires ! Après unelongue période de circonspection, ces nouvelles algèbres ont �ni par connaîtredepuis plusieurs dizaines d'années un regain d'intérêt, lié à des spéci�cités quene peuvent o�rir les structures usuelles. Malgré l'intérêt croissant suscité par lesujet au sein des communautés d'ingénieurs et de physiciens, ces algèbres n'ontpour l'instant béné�cié d'aucune étude systématique et la littérature mathé-

1�Dans cette théorie, l'on obtient des résultats absurdes au sens de l'algèbre classique,

comme le montre l'exemple suivant : ...�

6

matique disponible reste très limitée, sans réelle analyse commune. Les deuxobjectifs principaux du stage sont 1) de réaliser une classi�cation algébrique desstructures de petite dimension (≤ 8) et 2) de répertorier les domaines où ellesprésentent une supériorité indiscutable sur les structures classiques. Au coursde ce travail, certaines propriétés spéci�ques à chacune de ces algèbres ont étéétudiées, a�n d'établir de nouveaux résultats théoriques qui répondent à desquestions soulevées dans les publications actuellement disponibles. Ces résul-tats con�rment tout l'intérêt de ces algèbres pour un traitement e�cace pluscomplet de l'information dans les sciences de la nature.

Dans le texte qui suit, nous commençons au �2 par une présentation desstructures d'accueil et de leurs activités.

Nous poursuivons au �3 par une présentation non technique de l'utilisationfaite actuellement de ces algèbres dans les trois domaines mentionnés ci-dessus,en précisant les avantages qui motivent leur emploi.

Le �4 est consacré à une dé�nition mathématique précise des notions algé-briques utilisées par les ingénieurs et les physiciens et propose une classi�cationdes algèbres de petite dimension (≤ 8) actuellement utilisées en science. Nousdonnons les démonstrations mathématiques à l'appui des quelques problèmesouverts que nous avons pu résoudre. Puis nous abordons le phénomène de com-plexi�cation structurelle grâce à un aperçu des algèbres réelles non associativesde dimension 2k, k ≥ 3 obtenues à partir des algèbres hypercomplexes de Dick-son [Chatelin, 2012] par deux types de processus de duplication.

Le �5 conclut notre exposé en résumant les propriétés spéci�ques de cesalgèbres qui en font les compléments fort utiles de la classique algèbre des ma-trices sur R ou C si l'on veut parvenir dans l'avenir à une résolution analytique(simulation numérique) encore plus performante des modélisations utilisées parles sciences de la nature. Ce but ne pourra évidemment être abordé qu'aprèsune étude algébrique très approfondie de ces nouveaux outils de Calcul.

7

2 Structures d'accueil

2.1 Le groupe Total

2.1.1 Présentation générale

Total est un acteur majeur de l'énergie en France et dans le monde. Ses acti-vités couvrent notamment tous les segments de l'industrie pétrolière et gazière.Elles s'exercent aussi dans les domaines de la chimie et des énergies nouvelles.

Début 2012, Total a réorganisé ses activités de chimie, ra�nage et marke-ting de produits pétroliers en les agençant autour de deux domaines : Ra�nage-Chimie et Marketing & Services. Cette évolution permet de pro�ter des complé-mentarités industrielles entre le ra�nage et la pétrochimie, pour de meilleuresperformances. Elle donne aussi une visibilité accrue aux activités commercialesde Total.

Désormais, le Groupe est donc structuré autour des trois secteurs suivants :� L'Amont qui regroupe l'exploration et la production de pétrole, ainsi queles activités liées au gaz.

� Le secteur Ra�nage-Chimie qui rassemble le ra�nage, la pétrochimie,la chimie de base, les fertilisants et la chimie de spécialités (caoutchouc,résines, adhésifs, métallisation), et les activités de Trading-Shipping.

� Le secteur Marketing & Services qui recouvre l'approvisionnement et lacommercialisation de produits pétroliers ainsi que, depuis le 1er juillet2012, l'activité Énergies Nouvelles.

Actuellement dirigé par Christophe de Margerie, Total est en 2012 le 5egroupe pétrolier intégré international coté dans le monde, la 2e capitalisationboursière de la Place de Paris et de la zone euro : 92,3 milliards d'euros au31/12/2012. Il est présent dans plus de 130 pays et mène des activités d'explo-ration et de production de pétrole et de gaz dans plus de 50 pays. Partenairede nombreuses entreprises, le groupe Total est actuellement l'un des principauxactionnaires du CERFACS.

2.1.2 Direction Scienti�que

La Direction Scienti�que initie et évalue les opportunités de recherche pourla Direction Générale et les di�érentes branches d'activité. Elle soutient lesprojets de Recherche & Développement des entités opérationnelles de Total parune approche transversale et pluridisciplinaire incluant des partenariats avec lesGrands Organismes, Instituts et Universités au niveau mondial.

Parmi les thématiques de recherche (cf. Annexe A), M. Philippe Ricoux, Di-recteur Scienti�que Adjoint, est responsable des activités de type Modélisationet Techniques Numériques. Cette thématique regroupe les sciences et technolo-gies qui permettent de traiter des problèmes en les modélisant soit de manièrerigoureuse (équations di�érentielles représentant un phénomène physique ou chi-mique) soit de manière empirique (développement de modèles multi variablespolynomiaux par exemple) et en proposant des solutions par des simulationsnumériques.

L'objectif principal de cette thématique est l'approfondissement et le déve-loppement de méthodes dans les principaux axes suivants :

� mathématiques appliquées (équations aux dérivées partielles, équationsdi�érentielles stochastiques, ...)

8

� simulation numérique et calcul intensif (High Performance Computing,HPC),

� traitement de données (statistiques, méthodes de classi�cation et DataMining),

� méthodes d'optimisation, recherche opérationnelle,� traitement numérique du signal, traitement d'images

Le rôle de l'équipe Traitement Numérique et Modélisation est de faire rayon-ner dans tous le groupe ces thématiques essentielles, de supporter chercheurs etopérationnels des branches sur ces créneaux, d'aider les branches par le �nance-ment et le suivi d'actions concertées de recherches dans ces di�érents domaines(thèses, post-doctorats, . . . ). M. Philippe Ricoux anime également plusieursClubs Inter Branches (Mathias, APC, Image) qui mettent en contact des expertsaux compétences scienti�ques transverses pour traiter divers enjeux communs.

2.2 CERFACS

2.2.1 Présentation générale

Le CERFACS (Centre Européen de Recherche et de Formation Avancée enCalcul Scienti�que) est un centre de recherche crée en 1987 dont l'objectif estde développer des méthodes de simulation numérique avancées ainsi que les so-lutions algorithmiques qui adressent les plus grands problèmes scienti�ques ettechniques abordés dans la recherche publique et industrielle, ces simulationsnumériques requièrent l'utilisation des moyens de calcul les plus puissants. LeCERFACS est dirigé par un Conseil de Gérance dont les membres sont issus dechacun de ses actionnaires, il béné�cie par ailleurs des recommandations de sonConseil Scienti�que.

Le CERFACS a sept actionnaires :� TOTAL, multinationale du domaine de l'énergie,� EDF, Electricité de France,� CNES, Centre National d'Etudes Spatiales,� EADS France, European Aeronautic and Defence Space Company,� Météo-France,� ONERA, centre français de recherche en aéronautique,� SAFRAN, groupe international de haute technologie.

Le CERFACS héberge des équipes inter-disciplinaires, adressant à la fois ledomaine de la recherche et de la formation avancée, composées de : physiciens,mathématiciens appliqués, analystes numériciens et ingénieurs logiciels.

Environ 150 personnes travaillent au CERFACS dont plus de 130 chercheurset ingénieurs issus de nombreux pays di�érents. Neuf domaines de recherchesont couverts au CERFACS : l'algorithmique parallèle, le couplage de codes,l'aérodynamique, les turbines à gaz, la combustion, le climat, l'impact environ-nemental, l'assimilation de données et l'électromagnétisme.

Certaines des activités de recherche du CERFACS sont associées au CNRS(Centre National de la Recherche Scienti�que), au sein d'une "Unité de Re-cherche Associée" (SUC, URA 1875). Le CERFACS et l'INRIA (Institut Na-tional de Recherche en Informatique et Automatique) ont également mis encommun une part de leurs activités respectives au sein du laboratoire Hie-PACS (High-End Parallel Algorithms for Challenging Numerical Simulations).Le CERFACS est également impliqué dans TVE (Terre Vivante et Espace) re-groupant plusieurs laboratoires. Il est également membre du RTRA/STAE (Ré-

9

seau Thématique de Recherche Avancée "Sciences et Technologies pour l'Aéro-nautique et l'Espace") et participe aux activités de AESE (Pôle de Compétitivité"Aéronautique, Espace et Systèmes Embarqués").

2.2.2 Equipe Algorithmes Parallèles

L'équipe Algorithmes Parallèles, au sein du Projet Algo-EMA dirigé par leProfesseur Serge Gratton de l'INP-ENSEEIHT, a pour objectif d'étudier et dedévelopper des méthodes numériques et des logiciels génériques pour un usageoptimal, en termes de performance et �abilité, des calculateurs scalaires, vecto-riels et parallèles lors de la résolution de systèmes d'équations et de problèmesd'optimisation. Cette équipe participe à la promotion du calcul à haute perfor-mance (HPC) à travers la formation avancée et les activités de consultance.

Les activités de recherche concernent plusieurs thématiques :� algèbre linéaire :

solveurs linéaires directs creuxsolveurs linéaires itératifs et préconditionnementproblèmes aux valeurs propresnoyaux de calcul et librairies pour les calculateurs à hauteperformance

� systèmes non linéaires et optimisation� Calcul Qualitatif (traitement de l'information en environnement haute-ment non linéaire).

Le Projet Algo-EMA organise des cycles de formation, des séminaires in-ternationaux et reçoit des visites de chercheurs ; ses membres sont égalementimpliqués dans l'enseignement de plusieurs écoles d'ingénieurs (INPT, ISAE).

10

3 Trois domaines d'application externe

3.1 Robotique

Les nombres duaux (2D) ont été introduits au XIXe siècle par Cli�ordet leur application à la cinématique des corps rigides est connue depuis plusd'un siècle avec les travaux de Kotelnikov (Ukraine) et Study (Allemagne)[Kotelnikov, 1895, Study, 1901]. Le principe de transfert établit l'équivalenceentre les modélisations utilisant les nombres réels et celles utilisant les nombresduaux. La généralisation des opérateurs aux nombres duaux permet une re-présentation compacte en 3 équations duales au lieu de 6 équations réelles[Brodsky & Shoham, 1999].

A�n de résoudre les équations de la cinématique, plusieurs algorithmes clas-siques intervenant en algèbre linéaire ont été implémentés pour les nombresduaux (QR, SVD). Ils montrent une amélioration importante des temps de calculpar rapport aux autres méthodes existantes, en prenant le cas d'un système detype RCCC (Figure 1), un cas fréquent de système à quatre barres où R désigneune liaison pivot et C une liaison pivot-glissante [Pennestrì & Stefanelli, 2007].Pour ce même type de système, les nombres duaux et les complexes duaux (4D)sont utilisés pour la description ainsi que la détection théorique et numériquedes singularités [Cheng & Thompson, 1996].

Fig. 1 � Système 4 barres RCCC composé d'une liaison pivot (R) et de 3 liaisonspivot-glissantes (C)

La représentation des rotations dans l'espace est une notion importante pourde nombreux systèmes mécaniques. En particulier, le cas de la mécanique spa-tiale lors de la seconde moitié du XXe siècle a mis en évidence l'utilité desquaternions. En e�et, ils ont plusieurs avantages par rapport aux autres re-présentations existantes. Ils permettent tout d'abord d'éviter le problème dublocage de cardan (gimbal lock) correspondant à la perte d'un degré de libertéqui survient avec l'utilisation des angles d'Euler. Ensuite, les quaternions sontnumériquement plus stables que les matrices de rotation qui subissent une perted'orthogonalité due au calcul à précision �nie. Un autre avantage sur les matricesde rotation concerne le coût mémoire, 4 paramètres su�sent pour un quaternionau lieu de 9 pour les matrices.

Plus récemment, plusieurs approches ont combiné les nombres duaux et lesquaternions pour cumuler leurs avantages respectifs. Les quaternions duaux,

11

c'est-à-dire des quaternions à composantes duales formant des vecteurs 8D, sontutilisés par exemple pour le contrôle des robots manipulateurs [Pham et al., 2010]ou pour l'analyse d'erreur des systèmes de navigation inertielle [Wu et al., 2006].

Concernant les robots manipulateurs équipés d'une caméra pour contrôlerleur mouvement, l'étalonnage de la position relative et de l'orientation entrele robot et la caméra (�hand-eye calibration�) est un problème présent dans denombreux systèmes. Selon les auteurs, les quaternions duaux sont non seulementadaptés pour étudier ces problèmes mais constituent la solution optimale car leséquations ne contiennent pas d'information inutile sur des éléments invariantsconsidérés dans les représentations matricielles [Daniilidis, 1999].

Les di�érentes approches traitent à la fois de problèmes analytiques et nu-mériques et les principaux arguments évoqués en faveur de leur utilisationconcernent la compacité des formulations, le traitement des singularités et plusgénéralement une représentation précise et e�cace des systèmes étudiés.

3.2 Informatique

3.2.1 Calcul des dérivées

Les dérivées partielles de fonctions interviennent dans de nombreux pro-blèmes complexes de la physique et sont généralement traitées par des méthodesnumériques. La théorie des nombres multicomplexes de Segre [Segre, 1892] estdepuis peu appliquée au calcul des dérivées d'ordre élevé en di�érentiation auto-matique [Lantoine et al., 2012]. Cette méthode �testée sur des cas réels �pré-sente à la fois des facilités d'implémentation et un coût de calcul moindre parrapport aux méthodes actuelles (AD02, TAPENADE). Les travaux en coursappliquent les nombres multicomplexes aux problèmes d'optimisation faisantintervenir des informations sur le jacobien ou la hessienne d'une fonction.

3.2.2 Traitement du signal

En traitement du signal, les quaternions ont été la première structure utiliséedès les années 1990 pour dé�nir les fonctions de transfert ou encore plusieurstransformées classiques (Fourier, Hadamard,...). Même si des algorithmes per-formants ont pu être implantés [Pei et al., 2001], les quaternions �qui sont non-commutatifs �se révèlent trop limités pour des signaux multiples. La plupartdes travaux récents utilisent donc des structures commutatives de dimension2 (biréels) [Alfsmann & Göckler, 2007], 4 (bicomplexes) [Pei et al., 2004] et en-visagent une généralisation au cas commutatif multicomplexe avec D = 2N

[Alfsmann, 2006, Price, 1991].

L'atout majeur de ce type d'algèbres dé�nies sur les biréels, qui ne sontpas des corps mais des anneaux, est qu'elles admettent une décomposition encomposantes orthogonales indépendantes. Ceci est rendu possible par l'exis-tence de diviseurs de zéro (x et y 6= 0 tels que x × y = 0) qui jouent un rôlefondamental. Cette propriété �par dé�nition impossible dans les corps et lesalgèbres à division (x 6= 0⇒ x−1 existe) �permet de réduire de manière signi-�cative la complexité des algorithmes, les multiplications se faisant composanteà composante, tant que l'associativité est maintenue (D ≤ 8).

3.2.3 Traitement de l'image

Dans le cas du traitement de l'image (Figure 2), l'utilisation des nombresbicomplexes fournit un outil e�cace pour la détection de tailles, formes et cou-

12

leurs [Pei et al., 2004]. Mais contrairement au traitement du signal, l'utilisationdes quaternions est avantageuse pour la transformée de Fourier, puisqu'elle per-met de traiter l'image comme un champ de vecteurs et non plus comme lasuperposition de trois images scalaires [Ell & Sangwine, 2007].

Fig. 2 � Détection de contours pour la couleur marron : image originale (a),découpage (b) et superposition des deux images (c) [Pei et al., 2004].

3.2.4 Modélisation 3D (textures, réalité augmentée)

Depuis plusieurs années, les quaternions connaissent un usage intensif dansles jeux vidéos ou la réalité augmentée pour la modélisation des rotations[Azuma et al., 1999, DeLoura, 2001]. Ces applications à la représentation in-formatique sont directement héritées des travaux sur les systèmes mécaniquesprésentés plus haut.

La réalisation de textures géométriques (skinning) est concernée à la fois parles problématiques de cinématique des corps rigides (modélisation de person-nages animés) et rotations dans l'espace (mouvements des personnages).

En tant que modélisation numérique de certains aspects de la robotique, ilest donc naturel d'y retrouver l'utilisation des quaternions duaux, qui présenteun grand intérêt pour l'industrie du divertissement (cinéma, internet, portables).Cette algèbre permet en e�et de supprimer des artéfacts numériques présentsdans les transformations linéaires classiques (Figure 3, gauche), en conservantun coût mémoire et une rapidité quasi-équivalente [Kavan et al., 2008].

L'objectif de cette méthode n'est pas de fournir une déformation la plus pous-sée et réaliste possible, proposée par exemple par [Vaillant et al., 2013] �quirelève d'un tout autre type d'approche �mais bien de produire un algorithmerapide de faible coût capable de traiter de multiples modèles en intéraction (jeuxvidéos, simulation de foules).

3.3 Physique théorique

Les perspectives d'utilisation dans la physique se révèlent encore plus richesque dans les exemples robotiques et informatiques précédemment cités. En e�et,l'utilisation de structures algébriques non standard présente un double intérêt,d'une part pour leur application à une large variété de domaines (relativité, théo-ries particulaires,...) mais également pour révéler di�érents aspects d'un mêmephénomène (électromagnétisme, mécanique quantique). Si l'algèbre linéaire desmatrices et les nombres complexes sont très utiles pour la description de l'envi-ronnement �observable� ou directement accessible (géométries euclidiennes, ...),ces outils linéaires peuvent ne plus être les mieux adaptés à l'étude de phéno-mènes plus généraux et à la mise à jour des mécanismes sous-jacents qui les

13

Fig. 3 � Comparaison entre le modèle linéaire (gauche) et les quaternions duaux(droite) [Kavan et al., 2008] en texturation (skinning).

gouvernent. Ils sou�rent d'un cadre trop restrictif comparé à l'étude des struc-tures présentées par la suite, dont les propriétés spéci�ques répondent �d'unemanière naturelle �aux caractéristiques fortement non linéaires des problèmesétudiés.

3.3.1 Mécanique

De façon générale, les trois unités non réelles (de carré 1, 0 ou −1), qui sontà la source de toutes les algèbres présentées dans notre exposé, sont introduitesdans [Kisil, 2012] a�n de traduire les caractères elliptique, parabolique et hy-perbolique rencontrés en mécanique. Les nombres biréels (2D) sont utilisés engéométrie hyperbolique pour décrire les transformations de Lorentz en relati-vité et restreinte dans le plan de Minkowski [Sobczyk, 1995, Catoni et al., 2005,Catoni et al., 2008] mais également en physique des hautes énergies (HEP) pourétudier des relations liées à la supersymétrie (SUSY) [Emam, 2011]. La su-persymétrie et les équations de Yang-Mills sont aussi abordées avec les qua-ternions, les octonions (8D) [Baez & Huerta, 2009] et les biquaternions (8D)[Kassandrov, 2007].

3.3.2 Mécanique quantique

La mécanique quantique a déjà été largement étudiée dans le cadre des qua-ternions (nombreuses références dans les ouvrages cités, cf. infra). Les cas de l'os-cillateur harmonique quantique [Lavoie et al., 2010] ou du problème du potentielde Coulomb [Mathieu et al., 2012] sont analysés avec les bicomplexes (4D). Lesquaternions et les quaternions fendus (4D) sont considérés comme un prolonge-ment naturel en mécanique hamiltonienne et hermitienne permettant d'abordercertains aspects (relatifs aux symétries de l'espace-temps) qui n'apparaissentpas dans le cas de la mécanique classique, puisqu'ils n'ont pas d'impact sur leséquations réelles [Brody & Graefe, 2011a, Brody & Graefe, 2011b]. La dimen-sion 8, avec les octonions et les octonions fendus, est considérée a�n d'exprimerles relations de la chromodynamique quantique (QDC) [Bisht et al., 2011].

14

3.3.3 Electromagnétisme

Un des problèmes les plus étudiés provient des équations de Maxwell et del'électrodynamique. D'un point de vue épistémologique, il semble intéressantde rappeler que les relations connues aujourd'hui sous la dénomination �équa-tions de Maxwell� ne sont que la version simpli�ée des équations originales[Maxwell, 1873], sous la forme du calcul vectoriel promue dans la physique parGibbs et Heaviside [Crowe, 1994]. La première version écrite par Maxwell de songrand livre sur l'Electromagnétisme fut en e�et écrite à l'aide des quaternions,mais l'aspect mathématique trop novateur a amené une nouvelle version tron-quée, qui reste la forme couramment enseignée jusqu'à nos jours. Après avoirréécrit les équations sous forme vectorielle pour qu'elles soient comprises par leplus grand nombre, Maxwell écrit alors :

�I am convinced, however, that the introduction of the ideas, as distinguishedfrom the operations and methods of Quaternions, will be of great use to us inthe study of all parts of our subject, and especially in electrodynamics, where wehave to deal with a number of physical quantities, the relations of which to eachother can be expressed far more simply by a few words of Hamilton's than by theordinary equations.� 2

[Maxwell, 1873], �11

L'opérateur nabla ∇ dé�ni par Hamilton en 1847, dont le nom est dû à P.Tait suite à une correspondance personnelle avec Maxwell, est le seul reliquatqui subsiste de l'héritage de Hamilton. Malheureusement, il est souvent présentécomme une simple notation informelle, un moyen mnémotechnique pour allégerles notations et représenter les identités entre les opérateurs di�érentiels grad,div et rot, alors même qu'il cristallise de manière essentielle le lien entre lesquaternions et l'électromagnétisme.

Il existe plusieurs formulations des équations de Maxwell qui selon la di-mension et la structure utilisée soulignent di�érentes perspectives physiquespossibles sur les phénomènes électromagnétiques. En dimension 4, la di�ractionet la déviation des ondes électromagnétiques peut être décrite par un forma-lisme bicomplexe [Hashimoto, 2000]. Les équations peuvent être également vuescomme conséquence d'un modèle plus large basé sur les quaternions complexesappelé �algébrodynamique� [Kassandrov, 2000] qui contient aussi la descriptionde l'espace de Minkowski [Kassandrov, 2009]. Dans ce formalisme, leur expres-sion permet de coupler le magnétisme et l'électricité en une seule équation[Alexeyeva, 2009] pour donner des solutions à certaines équations théoriquesde la physique [Alexeyeva, 2013]. Les avantages des quaternions complexes sontprésentés dans [Khmelnytskaya & Kravchenko, 2009], où des solutions analy-tiques et numériques aux équations de l'électromagnétisme sont comparées àcelles résultant de solutions matricielles. En se basant sur l'opérateur de Moisil-Teodorescu [Moisil & Teodorescu, 1931], cette approche réunit les équations sca-laire et vectorielle [Kravchenko, 2003]. Toujours en dimension 8, d'autres struc-tures permettant une représentation simple et compacte sont exploitées, notam-

2�Je suis convaincu, cependant, que l'introduction des idées, qui se distinguent par les

opérations et les méthodes quaternioniques, nous sera d'une grande utilité dans l'étude de

toutes les parties de notre sujet, et en particulier dans l'électrodynamique, où nous avons à

traiter d'un certain nombre de grandeurs physiques, les relations entre celles-ci pouvant être

exprimées beaucoup plus simplement par la formulation de Hamilton que par les équations

ordinaires.�

15

ment les octonions et les octonions fendus [Nurowski, 2009, Chanyal et al., 2011,Bisht et al., 2013, Gogberashvili, 2006, Gogberashvili, 2009] ou encore les bi-quaternions fendus [Demir et al., 2010].

3.4 Résumé et perspectives pour le Calcul Scienti�que

Pour les trois domaines d'application que nous avons présenté, nous appor-tons ci-dessous quelques éléments de réponse aux questions initialement posées,à savoir quels types d'algèbres sont utilisés et en quoi ces structures o�rent unesupériorité par rapport aux méthodes classiques.

En robotique, les algèbres basées sur les nombres duaux interviennent demanière essentielle car elles permettent de lier �par un seul nombre dual �larotation et la translation. Les notions de postition et d'orientation sont trai-tées séparément dans le cadre classique. Par comparaison, des relations internessurgissent du Calcul dans les conditions limites, expliquées par les équationsduales de manière adéquate. En e�et, le couplage partiel existant entre la partieréelle et la partie non réelle d'un nombre dual se traduit dans la résolution deséquations du mouvement par la détermination des racines duales de polynômes.La représentation duale (en 2, 4 et 8D) est connue et utilisée par une partieimportante de la communauté des roboticiens.

En informatique, l'usage des quaternions permet une plus grande �abilitédes calculs en précision �nie par comparaison avec celui des matrices orthogo-nales. Concernant la stabilité et la précision des calculs, l'utilisation d'une baseappropriée pour les algèbres construites à partir des nombres biréels o�re desperspectives inédites pour la détermination des racines de polynômes. La repré-sentation idempotente (voir 4.2.5) permet de ramener l'étude d'un polynôme àune variable biréelle (2D) à la recherche des racines réelles de deux polynômesréels qui sont indépendants l'un de l'autre. Contrairement aux nombres com-plexes où les composantes réelle et imaginaire sont intimement liées, l'existencede racines réelles détermine entièrement les racines non réelles. Cette propriétéspectaculaire �qui réalise une réduction de la dimension et de la complexitéde la représentation des biréels �est appliquée principalement au traitementnumérique du signal et de l'image, et peut également être utile dans un en-vironnement parallèle. Comme présenté plus haut, un autre aspect concernel'utilisation des quaternions duaux pour leur représentation commune des rota-tions et des translations.

En physique, les propriétés mathématiques requises et la dimension utiliséevont de pair avec la complexité du phénomène étudié. Plus le domaine devientfondamental, plus les contraintes usuelles du calcul doivent être abandonnéesa�n d'obtenir une représentation plus �dèle de la réalité observée (cf. la re-marque de Maxwell citée plus haut). Plus particulièrement en électrodynamique,la réuni�cation des contributions scalaire et vectorielle grâce aux quaternionscomplexes semble constituer une alternative crédible au calcul vectoriel actuel-lement en vigueur. Nous insistons encore sur le fait que la manière dont leséquations ont été transmises ne correspond pas à la façon dont elles ont étépensées. L'écriture transgressive �qui permet de mélanger des scalaires et desvecteurs �est classiquement interdite, parce que considérée comme dénuée desens dans les méthodes couramment usitées. Elle possède au contraire une inter-prétation très simple à l'aide d'un quaternion complexe, la partie scalaire étant

16

associée à la partie réelle et la partie vectorielle à la partie purement imaginaire.La séparation des principaux opérateurs di�érentiels (grad, div, rot) �que Ha-milton considérait comme une perte d'information physique�n'a alors plus lieud'être.

Dans le tableau suivant se trouve une synthèse des di�érentes algèbres uti-lisées ainsi que les domaines d'applications recensés pour chacune d'entre ellesjusqu'à ce jour.

Dimension Construction2 Complexes Complexes fendus = Biréels Duaux �

TDS, TL, PTEMink, SUSY RCCC

4 Quaternions Quaternions fendus Bicomplexes Complexes duauxTDS, RA, MQ, EMink TDSI RCCCMQ, EM MQ, EM

8 Octonions Octonions fendus Biquaternions Quaternions Quaternions(Quaternions biréels) duaux complexes

HEP, SUSY, QCD, EM EqC RM, SNI, SUSY, EM,QCD, EM TG EMink

Fig. 4 � Application des algèbres de dimension D ≤ 8

� Robotique :

EqC : Equations de la cinématique,PT : Principe de transfert,RCCC : Systèmes 4 barres RCCC,RM : Robots manipulateurs,SNI : Système de navigation inertielle,

� Informatique :

RA : Réalité augmentée,TDS(I) : Traitement du signal (et de l'image)TG : Textures géométriques

� Physique :

EM : ElectromagnétismeEMink : Plan est espace de MinkowskiHEP : Physique des hautes énergiesMQ : Mécanique quantiqueQCD : Chromodynamique quantiqueSUSY : SupersymétrieTL : Transformations de Lorentz

17

Nous verrons que la représentation de phénomènes complexes et les di�é-rentes écritures d'une même équation ne sont pas de simples reformulationséquivalentes. La diversité de représentations peut être vue comme la manifesta-tion subtile des di�érentes facettes d'un même phénomène, qui sont dissimuléesau coeur des lois de la Physique et du Calcul.

En e�et, il su�t, pour s'en convaincre, de prendre l'exemple d'un polynôme àcoe�cients réels. A priori, le domaine dans lequel existent les solutions n'est pas�xé par la donnée des coe�cients réels, mais il est généralement implicitementconsidéré comme le corps des complexes car ce dernier est algébriquement clos.Une conséquence immédiate est que choisir un domaine de résolution revient àsupprimer de l'information algébrique. Par exemple, le polynôme P = X2 − 1possède deux racines réelles 1 et −1, pourtant, les deux quantités biréelles u et−u, non réelles mais de carré égal à 1 (voir 4.2.2), sont aussi racines. Ainsi, cepolynôme peut se factoriser comme P = (X−1)(X+ 1) mais également commeP = (X − u)(X + u). Nous obtenons alors deux représentations distinctes dumême polynôme, autrement dit, deux manières distinctes de représenter la mêmeinformation �nale. Cette liberté disparaît dès lors que l'on se restreint à des so-lutions réelles ou complexes.

Les structures impliquées présentent de profondes relations entre elles (em-boîtement, séparation des variables, mesures naturelles autres que la normeeuclidienne) qui seront explicitées dans les parties suivantes. Le passage à desdimensions croissantes (2k → 2k+1) entraîne certes la perte de certaines pro-priétés familières en calcul (commutativité, associativité de la multiplicationpar exemple, ...) mais constitue un enrichissement du sens physique qui peutleur être rattaché grâce à l'émergence de nouvelles opportunités de calcullorsque k → k + 1.

Nous terminons ce résumé sur les algèbres non classiques et leurs applica-tions actuelles en science et technologie par un exemple d'Analyse Numériquequi suggère de nouvelles idées dont pourrait béné�cier le Calcul Scienti�queen général. L'exemple mathématique que nous voulons citer est la théorie deGustafson, appelée par lui �Antieigenvalue analysis� qui montre que l'e�cacitéde vastes classes d'outils numériques tels que les méthodes itératives, les onde-lettes ou les statistiques repose sur des propriétés d'optimisation non seulementdu classique quotient de Rayleigh R(A, x) = <Ax,x>

||x||2 mais aussi du quotient

G(A, x) = <Ax,x>||Ax||||x|| , x ∈ Rn\{0}, où A est une matrice symétrique d'ordre n

dé�nie positive [Gustafson, 2012, Chapitres 4 à 6, pp. 53-121 ]. On remarqueque G(A, x) = cos θ(A, x) où θ(A, x) = ](x,Ax) : l'angle θ n'est pas nul lorsquex n'est pas une direction propre. Et de manière totalement imprévue, le quo-tient G(A, x) possède des minima locaux qui peuvent s'exprimer, lorsque x estun vecteur du sous-espace invariant associé à deux valeurs propres distinctes0 < λ < λ′, à l'aide des nombres biréels λ+λ′

2 ± λ′−λ2 u. L'optimisation à la Gus-

tafson, qui explique la convergence optimale de tant de méthodes numériques,fait émerger une structure biréelle 2R du plan des valeurs propres. Ce résultat estmoins surprenant qu'il n'y paraît à première vue : le polynôme caractéristiquede A symétrique admet n valeurs propres réelles et donc au plus n2 − n valeurspropres non réelles dans 2R. Ce résultat ouvre des perspectives inédites surle domaine de la théorie spectrale des matrices symétriques et des opérateursautoadjoints, qui jusqu'à présent était considéré comme bien circonscrit par lechamp complexe.

18

4 Propriétés et classi�cation des structures algé-

briques en petite dimension

4.1 Notions communes

Dans ce paragraphe, nous rappelons quelques notions d'algèbre ainsi que deséléments communs aux structures utilisées.

4.1.1 Rappels sur les algèbres réelles

Dans tout ce qui suit, A désigne une algèbre réelle munie de l'opérationd'addition classique notée +, de la multiplication externe par un scalaire (réel)et d'une multiplication interne notée ×. La structure d'algèbre réelle peut êtrerésumée en trois propriétés :

1. (A,+, ·) est un espace vectoriel sur R, de dimension �nie n ∈ N∗,2. (A,×,+) est un anneau,

3. ∀λ ∈ R, ∀(x, y) ∈ A2, λ(x× y) = (λx)× y = x× (λy).

La multiplication interne × est l'opération la plus importante pour com-prendre les notions du Calcul et peut avoir les propriétés suivantes :

1. Commutativité : ∀(x, y) ∈ A2, x× y = y × x,2. Associativité : ∀(x, y, z) ∈ A3, (x× y)× z = x× (y × z),3. Alternativité : ∀(x, y) ∈ A2, x× (x× y) = (x× x)× y et

(x× y)× y = x× (y × y),

4. Flexibilité : ∀(x, y) ∈ A2, (x× y)× x = x× (y × x),

5. Associativité des puissances : ∀x ∈ A, (x× x)× x = x× (x× x).

Il est clair que chaque propriété précédemment citée implique les suivantesde la liste en cascade (1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 4 ⇒ 5). Dans le cadre classique, lamultiplication est souvent commutative (analyse réelle ou complexe) ou asso-ciative (calcul matriciel sur R ou C). Pourtant, nous verrons que les propriétés1 et 2 ne sont pas indispensables pour faire du Calcul : tout au contraire, ellespeuvent être contraignantes. Il a été démontré que les seules propriétés 4 et 5permettent de faire émerger des aspects de calcul qui semblent représenter plus�dèlement la réalité physique que ne le peuvent les propriétés classiques 1 ou 2[Chatelin, 2012].

Nous utiliserons également trois propriétés pour un élément x ∈ A :

� idempotence : x2 = x,� nilpotence : ∃n ≥ 2, xn = 0, en particulier pour n = 2,� diviseur de zéro : x 6= 0 et ∃y 6= 0, x× y = 0.

L'existence d'éléments idempotents, nilpotents et des diviseurs de zéro estune caractéristique essentielle des algèbres présentées ci-dessous et constitue untrait indispensable à la compréhension des structures algébriques dé�nies danscette partie.

19

4.1.2 Procédé de duplication de Dickson généralisé

A partir de l'algèbre A, le procédé de duplication consiste à dé�nir unealgèbre B = A ⊕ Ag où g désigne un générateur non réel, tel que g2 = α,α ∈ R∗. Les éléments de B s'écrivent comme un couple de deux éléments de A :

B = {z = x+ yg, (x, y) ∈ A2}.

Par construction, B possède une structure d'espace vectoriel sur R où lesopérations d'addition et de multiplication externe sont dé�nies à partir de cellesde l'espace vectoriel A. Ainsi, dim(B) = 2dim(A) = 2n et pour z = x + yg,z′ = x′ + y′g ∈ B, et λ ∈ R on a :

z + z′ = (x+ x′) + (y + y′)g et λz = λx+ λyg.

La multiplication interne pour B, également notée × sera dé�nie dans les pa-ragraphes 4.1.5 et 4.1.6. En itérant à partir de A0 = R, on peut construire unesuite d'algèbres Ak de dimension D = 2k, k ∈ N, le passage à la dimensionsupérieure s'e�ectue en rajoutant un générateur :

Ak = Ak−1 ⊕Ak−1 × gk.

En plus de l'unité réelle 1, une algèbre de dimension 2k, k ≥ 1 possède kgénérateurs non réels (gi)1≤i≤k. Ce sont les générateurs qui, par multiplication,permettent d'engendrer la base canonique pour l'espace vectoriel linéaire Ak.

Par exemple, on peut écrire l'ensemble des nombres complexes C = R⊕Ri,1 et g = i sont les générateurs de C et permettent de former la base {e0 =(1, 0) = 1, e1 = (0, 1) = i}.

L'augmentation de la dimension a un rôle di�érent de celui généralementdonné en algèbre linéaire numérique. Pour les problèmes matriciels, la dimensionest une conséquence de la �nesse de la représentation issue des méthodes detype éléments �nis, ou encore de la taille des problèmes de théorie des graphespar exemple. La notion de dimension est liée à la complexité de résolution dessystèmes linéaires qui en résultent, mais les règles de Calcul et la signi�cationphysique restent identiques quelle que soit la taille n des matrices, n ∈ N.

En conséquence, une des profondes di�érences existant entre les problèmeslinéaires matriciels et les algèbres hautement non linéaires est que le passageentre deux dimensions successives implique une modi�cation des propriétés al-gébriques associées et donc de l'interprétation physique qui peut lui être rat-tachée. Chaque nouvelle étape de duplication permet l'apparition de nouveauxéléments et la perte de certaines caractéristiques usuelles laisse place à d'autrespropriétés qui continuent d'émerger sans �n, au fur et à mesure que la dimension2k croît, k ∈ N.

4.1.3 Opérations de conjugaison, trace et magnitude

Les algèbres dupliquées peuvent être munies d'une conjugaison que l'on notez†, pour tout z ∈ Ak. La notion de conjugaison permet de dé�nir deux applica-tions pour un élément z ∈ Ak :

� une trace : z 7→ τ(z) = z + z†,

� une magnitude : z 7→ µ(z) = z × z†.

20

Comme la multiplication, ces trois applications prennent une forme particu-lière dans les algèbres dé�nies dans les paragraphes 4.1.5 et 4.1.6. Nous verronsque la magnitude vient généraliser la notion de norme pour un espace vectoriel.

4.1.4 Diviseurs de zéro

L'ensemble des nombres de magnitude nulle est noté Z :

Z = {z ∈ Ak, µ(z) = 0}.

Pour k ≤ 3, l'existence de diviseurs de zéro non triviaux est caractérisée parles nombres de magnitude nulle, di�érents de zéro que l'on désigne par :

Z∗ = {z 6= 0, µ(z) = 0}.

∀z /∈ Z∗, on peut alors dé�nir l'inverse comme :

z−1 =z†

µ(z).

Pour k ≥ 4, il existe des diviseurs de zéro de magnitude non nulle, la notiond'inverse est donc modi�ée. Pour z ∈ Ak, z 6= 0 on considère :

Zer(z) = {u 6= 0, u× z = 0},

et on a alors Z∗ ⊂ Zer(z). L'ensemble de tous les diviseurs de zéro de Ak est

noté Zer(Ak) et pour tout z /∈ Zer(Ak), z−1 =z†

µ(z).

4.1.5 Algèbres de Dickson généralisées

Les algèbres de Dickson (Ak)k∈N constituent une suite d'algèbres hypercom-plexes sur R de dimension 2k établie par le processus de duplication, où laconjugaison et la multiplication sont dé�nies de manière récursive dans Ak =Ak−1 ⊕ Ak−1gk, g2

k = α ∈ R∗, k ≥ 1 en partant de A0 = R :

� (x, y) = (x,−y),� (x, y)× (x′, y′) = (x× x′ + αky′ × y, y′ × x+ y × x′), αk ∈ R∗.

Pour z ∈ Ak, la conjugaison † est notée avec une barre dans les algèbres deDickson (z† = z), qui donne la trace τ1(z) = z+z et la magnitude µ1(z) = z×z.

Pour z 6= 0, l'inverse est donc dé�ni comme z−1 =z

µ(z).

La trace et la magnitude sont des quantités réelles. La magnitude µ1(z) = zzdé�nit une forme quadratique dont l'étude permet de décrire les algèbres de di-mension 2 et dont les conséquences se répercutent dans les algèbres de Dickson[Chatelin, 2013].

De la dé�nition générale de la multiplication, nous conservons le cas αk = −1qui génère les algèbres de la version standard du procédé de Dickson, et le casαk = 1 qui engendre alors les algèbres de Dickson fendues�Ak (�split-algebras�),le terme fendu faisant référence à la signature de la magnitude comportant lemême nombre de signes + et −. Il est possible de donner une expression simplede la magnitude dans le cas des algèbres de Dickson. Pour un élément dupliqué

21

z = (x, y) ∈ Ak, k ≥ 1, la magnitude s'écrit comme la somme des carrés desnormes euclidiennes de ses deux composantes :

µ(z) = ||x||2 + ||y||2

ce qui explique que le mot �norme� soit souvent rencontré pour désigner lamagnitude. L'emploi de ce terme est déjà abusif étant donné qu'il désigne lecarré de la norme euclidienne mais il devient encore plus discutable dans lesalgèbres de Dickson fendues où la magnitude est réelle mais peut ne pas être designe positif :

µ(z) = ||x||2 − ||y||2 .

∀k ≥ 1 les algèbres Ak et�Ak sont quadratiques :

∀z ∈ {Ak,�Ak} , z2 = (z + z)z − zz .

En utilisant les notations précédemment introduites, on peut écrire :

∀z ∈ {Ak,�Ak}, z2 = τ1(z)z − µ1(z).

Cette relation est connue mais peu utilisée, elle est pourtant essentielle, puis-qu'elle permet d'écrire z2 comme une combinaison linéaire de 1 et de z avec descoe�cients réels qui sont la trace et la magnitude. Ceci implique que l'évolutiondes puissances d'un élément reste con�née dans le plan {1, z}, z /∈ R, les consé-quences pour les polynômes et l'exponentielle sont donc primordiales.

Le procédé de duplication de Dickson (1912), généralisé par [Albert, 1942],peut être considéré comme le squelette de la classi�cation entreprise dans lesparagraphes suivants. Une étude approfondie des propriétés aussi intrigantesque méconnues des algèbres de Dickson se trouve dans [Chatelin, 2012].

4.1.6 Algèbres Ak(Aα)

A partir des algèbres de Dickson Ak, on peut dé�nir une autre suite d'al-gèbres dupliquées à partir d'une algèbre Aα de dimension 2 associée à un gé-nérateur g, tel que g2 = α, α ∈ {−1, 0, 1}. Au lieu de considérer 2k compo-santes réelles comme dans les algèbres de Dickson, on représente ces algèbresavec 2k composantes de dimension 2 dans Aα, entraînant une dimension �naleD = 2k+1.

La multiplication entre deux nombres utilise à la fois les règles dé�nies dansAk et celles dans Aα. Dans ces algèbres, la conjugaison † est notée avec uneétoile (z† = z∗) et elle est dé�nie par z∗ = (x, y)∗ = (x,−y), qui donne la traceτ2(z) = z + z∗ et la magnitude µ2(z) = z × z∗. Pour z 6= 0, l'inverse est donc

dé�ni comme z−1 =z∗

µ2(z).

Les deux conjugaisons τ1 pour Ak et τ2 pour Ak(Aα) sont distinctes à partirde la dimension réelle 4. La trace et la magnitude d'un élément z ∈ Ak sont desquantités réelles (τ1(z) = 2<z) alors que pour un élément dans Ak(Aα), k ≥ 1,la trace et la magnitude appartiennent à Ak−1(Aα).

22

4.2 Dimension 2

Parmi les di�érents types de construction algébrique, la dimension 2 joueun rôle fondamental car elle est non seulement la plus ancienne étudiée maiségalement à la base de toutes les structures de dimension supérieure présentéesdans ce chapitre. Si la dimension 2 demeure facilement abordable d'un point devue théorique, son étude n'en est pas moins d'une grande richesse au niveau dusens que l'on peut lui conférer.

L'étude de la forme quadratique dé�nie par la magnitude montre qu'il n'existeque trois types d'algèbres qui coexistent sur R2 et qui peuvent être canonique-ment représentées par les complexes (g2 = −1) , les biréels (g2 = 1) et lesduaux (g2 = 0) respectivement associés aux caractères elliptique, hyperboliqueet parabolique possibles de la forme quadratique µ1(z) = zz [Chatelin, 2013,Chapitre 2]. Les trois structures sont commutatives et donc associatives.

4.2.1 Nombres complexes

La découverte de l'unité imaginaire i =√−1 par Cardano remonte au XVIe

siècle pour la résolution de certaines équations cubiques. Elle a permis d'écrireles solutions de l'équation quadratique ax2 + bx + c = 0 quand le discriminant∆ = b2 − 4ac est négatif, et d'améliorer la compréhension de cette équation,dont l'étude a commencé il y a plus de quatre mille ans. Cette découverte aété lentement et di�cilement acceptée au long des siècles mais a permis deproposer un modèle aujourd'hui standard pour les phénomènes ondulatoires,reposant notamment sur le rôle central de l'exponentielle complexe et donc surle couplage des fonctions trigonométriques sin et cos qui ne peut se manifesteren analyse réelle.

L'ensemble des nombres complexes noté C constitue l' exemple le plus simpled'algèbre réelle obtenue par le procédé de duplication de Dickson (C = A1)[Chatelin, 2012, Chapitre 2].

4.2.2 Nombres biréels

L'idée d'introduire une unité non-réelle est reprise au XIXe siècle par J. Co-ckle avec le cas d'une unité unipotente u, telle que u2 = 1, u 6= ±1 [Cockle, 1848].

L'ensemble des nombres biréels est dé�ni comme :2R = {z = x+ yu, (x, y) ∈ R2}.

Cette algèbre est un anneau, ce qui permet d'appréhender dès la dimension2 la notion de diviseurs de zéro. Cette propriété fondamentale introduit uneprofonde distinction entre les nombres complexes et les biréels et elle a de nom-breuses conséquences dans la représentation et la résolution des polynômes. Ene�et, on remarque que

e+ =1 + u

2et e− =

1− u2

= e∗+ = e+

sont deux éléments idempotents(e2± = e±

)qui sont des diviseurs de zéro (e+e− = 0).

Ces deux éléments sont de première importance car ils permettent de construirela base idempotente de l'ensemble des biréels :

∀z = x+ uy ∈2 R, z = (x+ y)e+ + (x− y)e− = Xe+ + Y e−.

Les nombres biréels coïncident avec les nombres complexes fendus�C ( pre-mière algèbre de Dickson fendue�A1 avec g1 = g = u, g2 = 1) de magnitude

23

µ1(z) = x2 − y2. L'identité�C ≡2 R est un cas particulier à la dimension 2.

Le nombre d'articles mathématiques est relativement limité avec par exemple[Sobczyk, 1995, Rochon & Shapiro, 2004], car les nombres biréels sont généra-lement traités comme un cas particulier des nombres bicomplexes à 4D (voir4.3.4).

4.2.3 Nombres duaux

La troisième unité non-réelle, a été publiée par W. Cli�ord, c'est celle decarré nul telle que n2 = 0, n 6= 0, (n pour nilpotent) [Cli�ord, 1873]. On trouveégalement la notation ε dans plusieurs articles de robotique. L'ensemble desnombres duaux est dé�ni comme :

D = {z = x+ yn, (x, y) ∈ R2}.

Puisque la magnitude d'un nombre dual z est une semi-norme, µ1(z) = x2 ≥0, l'ensemble des nombres duaux comporte donc tout comme les biréels des di-viseurs de zéro, caractérisés par l'axe non réel nR.

Dès leur introduction, les nombres duaux ont rapidement séduit les roboti-ciens par leur capacité à représenter les mouvements des corps rigides et sontmaintenant pleinement admis dans cette communauté. Cependant, ils n'ont sus-cité que de peu d'intérêt parmi les mathématiciens, à quelques exceptions près[Vignaux, 1936]. Utilisés d'une manière descriptive par les roboticiens, l'explica-tion de la structure et des propriétés des nombres duaux reste encore inexploréeet mériterait plus de considération théorique.

4.2.4 La triple nature dynamique du plan numérique

Pour un nombre z = x+ yg, g2 = α, α ∈ {−1, 0, 1} dans le plan numérique,la magnitude dé�nit une forme quadratique dont les trois types possibles sontelliptique pour les complexes (g = i, α = −1, µ1(z) = x2 + y2) hyperboliquepour les biréels (g = u, α = 1, µ1(z) = x2 − y2) et parabolique pour les duaux(g = n, α = 0, µ1(z) = x2)(Figure 5).

A partir de la dé�nition donnée dans 4.1.6, on considère pour les plus grandesdimensions les trois suites d'algèbres Ak(C), Ak(2R) et Ak(D), k ≥ 0 avec A−1 =C, A1 =2 R et A0 = D.

Les conséquences de l'existence des trois caractères elliptique, hyperboliqueet parabolique de la forme quadratique dé�nie par la magnitude peuvent êtreillustrées par l'étude de l'itération logistique (additive et multiplicative), lorsqueles variables et les paramètres sont de dimension 2 de type complexe, biréelou dual. Cette approche apporte une vue nouvelle sur les ensembles de Juliaet de Mandelbrot dont les propriétés n'ont été étudiées que dans le cas de ladynamique complexe [Devaney, 1989]. L'analyse sur C de ces ensembles restepartielle. Grâce aux représentations idempotente ou nilpotente de zk, elle peutêtre menée à son terme sur les biréels et les duaux [Senn, 1990, Artzy, 1992,Metzler, 1994, Rincón-Camacho & Chatelin, 2013] (Figure 6).

24

Fig. 5 � Magnitude complexe µ1(z) = x2 +y2 (gauche), biréelle µ1(z) = x2−y2

(centre) et duale µ1(z) = x2 (droite).

Fig. 6 � Ensemble de Mandelbrot complexe (gauche), biréel (centre) et dual(droite).

4.2.5 Polynômes dans les algèbres composites

Nous introduisons une dénomination commune pour les algèbres des nombresbiréels et duaux sous le terme de �nombres composites�. En e�et, l'étude des ra-cines de polynômes dans les algèbres composites révèle une dichotomie du plannumérique entre les nombres complexes et les nombres composites. Nous pré-sentons quelques propriétés des polynômes biréels et des polynômes duaux.

Soit P un polynôme dans 2R[X], pour z = x+yu, (x, y) ∈ R2, on peut écriredans la forme la plus générale :

P (z) =n∑k=0

ckzk, ck = ak + bku, ak, bk ∈ R.

On suppose que cn 6= 0, et deg(P ) = n ≥ 1.En posant x = x+ y, y = x− y et ak = ak + bk, bk = ak − bk, on obtient la

représentation idempotente de P :

P (z) =

(n∑k=0

akxk

)e+ +

(n∑k=0

bkyk

)e− = P+(x)e+ + P−(y)e− .

25

Les polynômes P+ et P− sont à coe�cients réels dans R[X], on note n+ =max(k ≤ n, ak 6= 0) et n− = max(k ≤ n, bk 6= 0) les degrés respectifs de P+ etP−. Si n+ et n− ≥ 1, on note c (resp. c′) le nombre (�ni ou in�ni) de racines r(resp. r′) réelles de P+ (resp. P−).

Proposition 4.1. P possède des racines biréelles ssi min(c, c′) ≥ 1. L'ensembledes zéros est constitué de 1 ≤ cc′ <∞ points si max(c, c′) <∞ ou d'un nombre�ni de lignes parallèles à une bissectrice si c ou c′ est in�ni.

Preuve : Si max(c, c′) <∞, toute racine biréelle de P est de la forme

z =r + r′

2+r − r′

2u

= re+ + r′e−

Si c = ∞ et c′ < ∞ (P+ ≡ 0), il existe une in�nité non dénombrable deracines z = r′e− + Re+ . On conclut de manière similaire si c′ = ∞ et c < ∞(P− ≡ 0).

�

Exemple 4.1. Soit P = X3 − (9 + u)X2 + (19 + 12u)X − 15− 15u,la représentation idempotente de P est P = P+e+ + P−e− avec P+ = X3 −10X2 + 31X − 30 et P− = X3 − 8X2 + 7X. Les racines réelles r de P+ sont 2,3 et 5 et les racines r′ de P− sont 0, 1 et 7.

Les 9 racines biréelles sont 1 + u, 3 + 2u, 5 − 2u,6 − u, 3 + u

2,

32

(1 + u),

2 + u,52

(1 + u),9− 5u

2.

On peut remarquer que P = (X − (1 + u))(X − (3 + 2u))(X − (5 − 2u)) et

que P = (X − 52

(1 + u))(X − 3 + u

2)(X − (5− 2u)).

4

La structure d'anneau de 2R implique que si les polynômes P+ ou P− nesont pas identiquement nuls, il existe au plus n2 racines biréelles, nombre trèssupérieur aux n racines complexes lorsque n devient grand, n ≥ 2.

Le cas des polynômes duaux o�re d'autres possibilités, elles aussi très éloi-gnées de la théorie complexe. Soit P un polynôme dual, pour tout z = x+ yn,n2 = 0, n 6= 0, (x, y) ∈ R2 :

P (z) =m∑k=0

ckzk, ck = ak + bkn , ak, bk ∈ R.

On suppose que cm 6= 0, et deg(P ) = m ≥ 1. Pour k ≥ 2, nk = 0, on a alors

∀k ≥ 1, zk = xk + kxk−1yn.

L'évolution de la puissance d'un nombre dual implique que ∀k, 1 ≤ k ≤ m,

ckzk = (ak + bkn)(xk + kxk−1yn) = akx

k + (ykakxk−1 + bkxk)n

On introduit donc les polynômes de R[X], P1 =m∑k=0

akXk et P2 =

m∑k=0

bkXk ce

qui permet d'écrire :

26

P (z) = P1(x) + (yP ′1(x) + P2(x))n

Cette relation est appelée la représentation nilpotente de P par analogieavec la représentation idempotente des biréels. Trois polynômes P1, P ′1 et P2

sont utilisés pour D à la place des deux polynômes P+ et P− pour 2R. Onremarque la di�érence entre d'un côté une séparation totale des parties réelleet non réelle pour le cas biréel et de l'autre côté une séparation partielle pourle cas dual. Cette dernière se traduit par une relation a�ne en y pour la partienon réelle yP ′1(x) + P2(x) de la représentation nilpotente.

Proposition 4.2. z = x+ yn est une racine de P ssi

1. x est une racine simple de P1 et y = −P2(x)P ′1(x)

2. x est une racine au moins double de P1 et une racine de P2 et y quelconque.

Preuve : P (z) = 0⇔ P1(x) = yP ′1(x) + P2(x) = 0.

Si P ′1(x) 6= 0, y = −P2(x)P ′1(x)

sinon P (z) = 0⇒ P2(x) = 0

�

Exemple 4.2. Soit P = X2 − (5− n)X + 6− 4n, la représentation nilpotentedonne P1 = X2 − 5X + 6 = (X − 3)(X − 2), P ′1 = 2X − 5 et P2 = X − 4.

P1 a deux racines réelles 2 et 3 qui génèrent donc les deux racines duales3 + n et 2− 2n.

4

Il est nécessaire de soulever deux points importants qui concernent les ra-cines duales. Premièrement, si x est une racine simple de P1 telle que P ′1(x)→ 0,

P2(x) 6= 0, alors z = x − P2(x)P ′1(x)

n est une racine de P dont la partie située

sur l'axe nilpotent n'est pas bornée. Au cas limite, P1(x) = P ′1(x) = 0 etP (z) = P2(x) 6= 0, ce qui met en évidence l'existence d'une singularité. Deuxiè-mement, si l'on prend le second cas de la proposition 4.3, il existe une in�niténon dénombrable de racines. Dans [Cheng & Thompson, 1996] se trouvent deuxillustrations de ces phénomènes, le premier cas correspond à l'introduction d'undegré de liberté interne d'un système (le cas in�ni montre les limites de la re-présentation machine des nombres en précision �nie) et le second cas montreun autre type de singularité dans la représentation des systèmes mécaniquesarticulés. Ces deux remarques viennent justi�er d'une manière théorique grâceà l'étude des racines de polynôme des observations sur des systèmes mécaniquesréels simulés par le calcul à précision �nie.

Les algèbres composites 2R et D �qui ne sont pas des corps mais des anneaux�impliquent une extension du cadre classique du théorème de D'Alembert-Gauss valable sur le corps C (théorème fondamental de l'algèbre). De plus, troisremarques sur les racines biréelles et duales sont à souligner.

En premier lieu, en comparaison aux n racines du cadre classique pour unpolynôme de degré n, le nombre de racines dans les algèbres composites peutdépasser le degré du polynôme et permettre jusqu'à l'existence de n2 racinespour les biréels et même une in�nité.

Ensuite, on constate que sur C, il n'existe aucun lien entre l'existence deracines réelles et complexes, alors que sur 2R et D les racines non réelles sontdéterminées par les caractéristiques des racines réelles, issues des représentationsidempotente et nilpotente.

27

Le dernier point concerne l'indépendance des deux composantes réelle et nonréelle. Pour les nombres biréels, la séparation des variables due à la représenta-tion idempotente est totale et pour les nombres duaux, la partie non réelle esta�ne en y.

Ces résultat sont absolument étonnants, tant par leur simplicité que par lesconséquences sur les possibilités de Calcul dans les algèbres composites, parcomparaison avec le Calcul sur les nombres complexes.

4.3 Dimension 4

A partir de la dimension 4, il est possible de dé�nir un nombre illimité d'al-gèbres qui augmente avec la dimension [Tambour, 2011]. Bien que ces structuressoient mathématiquement intéressantes, l'application aux problèmes réels quenous avons trouvé dans la littérature nous conduit à limiter notre présentationà certaines classes d'algèbres dont les propriétés sont héritées des algèbres deDickson et de la triple nature du plan numérique.

Nous présentons quatre structures dont deux non commutatives (quaternionset quaternions fendus) issues du procédé de Dickson généralisé (4.1.5) et deuxautres commutatives (bicomplexes et complexes duaux) construites à partir desbiréels et des duaux.

4.3.1 Quaternions

Les quaternions ont été introduits par W. Hamilton en 1843 dans le butde multiplier des triplets pour la représentation de points dans l'espace. Lesquaternions forment un corps non-commutatif qui constitue le deuxième niveaude la construction de Dickson. La perte de la commutativité a longtemps été unfrein à l'utilisation des quaternions, y compris pour les mathématiciens.

L'ensemble des quaternions est dé�ni comme :

H = {q = a+ bi+ cj + dk, (a, b, c, d) ∈ R4} ,

où les unités i, j et k = ij véri�ent la relation gravée par Hamilton sur le pontde Brougham (près de Dublin), aujourd'hui commémorée par une plaque :

i2 = j2 = k2 = ijk = −1.

La table de multiplication permet de dé�nir complètement l'algèbre :

× 1 i j k1 1 i j ki i −1 k −jj j −k −1 ik k j −i −1

Le conjugué d'un quaternion q est q = a − bi − cj − dk d'où la magnituded'un quaternion qui s'écrit µ1(q) = qq = a2 + b2 + c2 + d2. La magnitude estici une quantité réelle positive égale au carré de la norme euclidienne. Commel'algèbre est à division, tout nombre di�érent de zéro est inversible (∀q 6= 0 ,

q−1 =q

µ1(q)) :

Z∗(H) = ∅.

28

4.3.2 Quaternions fendus

Les quaternions fendus ont été introduits par J. Cockle en 1849 sous le nomde coquaternions. A partir des générateurs i complexe i2 = −1 et u biréel u2 = 1qui engendrent la base {1, i, u, v}, avec v = iu = −ui (v2 = 1), l'ensemble desquaternions fendus est dé�ni comme :

�H = {q = a+ bi+ cu+ dv, (a, b, c, d) ∈ R4}.

Tout comme celle de H, la table de multiplication est anti-symétrique :

× i u vi −1 v −uu −v 1 −iv u i 1

La multiplication n'est pas commutative et l'introduction de l'unité unipo-tente u au lieu d'une seconde unité imaginaire de carré négatif entraîne l'exis-tence de diviseurs de zéro.

Le conjugué d'un quaternion fendu q est q = a−bi−cu−dv d'où la magnituded'un quaternion qui s'écrit µ1(q) = qq = a2 +b2−c2−d2. La magnitude devientun nombre réel quelconque et l'ensemble des diviseurs de zéro s'écrit :

Z∗(�H) = {q ∈�H\{0}, µ1(q) = 0⇔ a2 + b2 = c2 + d2}.

4.3.3 Polynômes unilatéraux dans H et�H

L'évolution de la puissance d'un quaternion ou d'un quaternion fendu restecon�née dans le plan dé�ni par l'unité réelle 1 et q, puisque q2 = τ1(q)q −µ1(q). Il est démontré que pour l'étude d'un polynôme unilatère dans H[X]Π =

∑k ckX

k, ck ∈ H et pour une variable q ∈ H de trace τ = τ1(q) et demagnitude µ = µ1(q), on peut écrire :

Π(q) =n∑k=0

ckqk = A(τ, µ) +B(τ, µ)× q

où A et B sont deux polynômes quaternioniques mais qui utilisent les deuxvariables réelles associées à q, la trace et la magnitude. Cette représentationpermet d'obtenir les di�érents types de zéros, étant donné qu'il en existe unein�nité [Eilenberg & Niven, 1944, Gentili et al., 2008]. Une méthode dévelop-pée à partir de ce principe fournit une manière théorique explicite d'obtenirles racines, et un algorithme dérivé de ce modèle permet une approximationnumérique de tous les zéros ainsi que de leur type [Janovská & Opfer, 2010].

Une approche similaire débutée pour les polynômes unilatéraux à coe�-cients dans les quaternions fendus�H [Pogoruy & Rodríguez-Dagnino, 2010], aété achevée dans [Chatelin, 2013, Chapitre 5].

La détermination des racines de tels polynômes est déjà mathématiquementintéressante, mais joue en plus un rôle déterminant dans les applications puisqueles polynômes peuvent être reliés à la modélisation discrète de phénomènes,de la même façon que l'exponentielle�qui peut être dé�nie pour toutes lesalgèbres de Dickson�est rattachée aux équations di�érentielles et au tempscontinu [De Leo et al., 2006].

29

4.3.4 Nombres bicomplexes

Les bicomplexes furent appelés Tessarines par leur inventeur J. Cockle (1848-49). Le terme de nombres bicomplexes est dû à C. Segre [Segre, 1892] qui lesdécouvre de manière indépendante. Les nombres bicomplexes sont la complexi-�cation des nombres biréels et nous utiliserons la représentation de Cockle quiintroduit en plus de l'unité imaginaire i, l'unipotent u de carré un qui dé�nit labase {1, i, u, ui}, avec ui = iu.

2C = {q = (a+ ib) + (c+ id)u = x+ uy, (a, b, c, d) ∈ R4, (x, y) ∈ C2} .

Tout comme l'on peut écrire 2R = R ⊕ Ru, l'ensemble des nombres bicom-plexes se reformule comme 2C = C⊕Cu, ce qui met bien en évidence le passagedes coordonnées, des réels aux complexes.

Les nombres bicomplexes forment un anneau commutatif où le conjugué estdé�ni par q∗ = x − uy ce qui donne la magnitude complexe µ2(q) = x2 − y2.L'ensemble des diviseurs de zéro véri�e :

Z∗(2C) = {q ∈ 2C\{0}, µ2(q) = 0⇔ ab+ cd = 0⇔ |x| = |y|} .

La caractérisation des diviseurs de zéro fait intervenir les deux éléments idem-potents e+ et e− (4D) analogues à ceux introduits pour les biréels (2D). Ilsconstituent en e�et une base de 2C et l'ensemble des nombres de magnitudenulle peut se réécrire comme la réunion des idéaux engendrés par ces deux élé-ments [Segre, 1892] :

Z(2C) = I(e+) ∪ I(e−).

Cette représentation est fondamentale pour la détermination des racines depolynômes. Au delà des travaux de C. Segre qui présentent et résolvent entière-ment la question des racines de polynômes bicomplexes, des études analytiquesont été e�ectuées [Scorza-Dragoni, 1934, Price, 1991]. Les résultats algébriquesde Segre ont été périodiquement redécouverts dans plusieurs articles récents, parexemple [Rochon & Shapiro, 2004, Luna-Elizarrarás et al., 2012]. Une étude desbicomplexes avec notamment des résultats sur l'équation cubique se trouve dans[Hestenes et al., 1991].

4.3.5 Polynômes bicomplexes

Soit Π =n∑k=0

ckXk, ck = ak + bku , ak, bk ∈ C, et q = x + uy, x, y ∈ C

une variable bicomplexe . On suppose que cn 6= 0, et deg(Π) = n ≥ 1. Nousréutilisons les notations du paragraphe 4.2.5 pour la représentation idempotente,q = xe+ + ye− et ∀k, 0 ≤ k ≤ n, ck = ake+ + bke−, x, y, ak, bk ∈ C. On noten+ = max(k ≤ n, ak 6= 0) et n− = max(k ≤ n, bk 6= 0) et l'on introduit les

deux polynômes complexes Π+ =n∑k=0

akXk et Π− =

n∑k=0

bkXk de degré n+ et

n− tels que :Π(z) = Π+(x)e+ + Π−(y)e−.

Si cn est un diviseur de zéro ( cn ∈ I(e+) ∪ I(e−) ), ak = 0 (resp. bk = 0)donc n+ < n et n− = n (resp. n− < n et n+ = n). Dans le cas contrairen+ = n− = n.

Les n+ (resp. n−) racines (dans C) de Π+ (resp. Π−) sont notées r+j 1 ≤j ≤ n+ (resp. r′−k 1 ≤ k ≤ n−)avec leur multiplicité.

30

Proposition 4.3. Pour l'existence des racines de Π, il existe 3 cas :

1. Si min(n+, n−) ≥ 1, Π possède N = n+n− racines bicomplexes, qui sontdonnées par

qjk =r+j + r−k

2+r+j − r−k

2u, 1 ≤ j ≤ n+et 1 ≤ k ≤ n− .

2. Si Π+ ou Π− sont constants et non nuls (N = 0), Π n'a pas de racine,

3. Si Π+ ≡ 0 ou Π− ≡ 0, il existe une in�nité de racines bicomplexes.

Preuve : Si min(n+, n−) ≥ 1, toute racine bicomplexe de Π est de la formeqjk = r+je+ + r−ke− . Si Π+ ≡ 0, il existe une in�nité non dénombrable deracines q = r−ke− + Ce+. Si n+ = 0, ∀k, 1 ≤ k ≤ n − 1, ck = bke− et Π+ =a0 6= 0, il n'y a pas de racine. On conclut de manière similaire pour (Π− ≡ 0)et n− = 0. En général, n ≤ N = n+n− ≤ n2.

�

Comme énoncé plus haut, la détermination des racines de polynômes estrésolue depuis leur introduction par C. Segre. Cependant, une question en-core ouverte, soulevée mais jamais entièrement résolue dans plusieurs références[Sobczyk, 1995, Price, 1991] concerne la multiplicité des factorisations pour unpolynôme. Sur C, qui est un corps algébriquement clos, la factorisation d'un po-lynôme complexe est unique à l'ordre près des facteurs. Ce n'est pas le cas dans2C, et nous proposons dans ce qui suit notre contribution personnelle à l'étudedes conditions d'existence et du nombre de ces factorisations dans certains cas[Latre & Chatelin, 2013].

Dé�nition 4.1. On dit que le polynôme Π est scindé sur 2C s'il s'écrit commeun produit de polynômes de degré 1.

Dé�nition 4.2. Soit (q1, .., qn) ∈ (2C)n. On dit que (q1, .., qn) est un systèmede racines de Π si l'on peut écrire

Π = cn∏

1≤l≤n

(X − ql) .

Proposition 4.4. Π est scindé sur 2C ⇔ N = n2 ou N =∞

Preuve : 1)Si 1 ≤ n+ ≤ n, n− = n, N = n+n− ≤ n2. On a donc

Π =

an+

∏1≤j≤n+

(X − rj)

e+ +

bn− ∏1≤k≤n−

(X − r′k)

e− .

On ne peut écrire une forme scindée de Π que si n+ = n d'où N = n2.

2) Si Π+ = 0 (N = ∞), Π =

bn− ∏1≤k≤n−

(X − r′k)

e−. Il su�t de choisir

n racines ql de la forme ql = r′le− + zle+, avec zl quelconque dans C.

�

Le nombre de factorisations est non dénombrable lorsque N = ∞. Dans lecas N = n2, on peut représenter les n2 racines de Π dans un tableau de taillen× n avec les n racines de Π+ (resp. Π−) sur la verticale (resp. horizontale).

31

PPPPPPPPΠ+

Π− r′1 .. r′k .. r′n

r1: :rj .. qjk ..: :rn

Fig. 7 � N = n2 racines qjk = rje+ + r′ke− de Π dans la base idempotente

Lemme 4.1. Lorsque N = n2, un système de racines de Π s'obtient en choi-sissant rj et r′k de telle manière que la paire (j, k) n'apparaisse qu'une seulefois.

Preuve : Chaque racine rj est associée à une seule racine r′k pour former uneracine ql, 1 ≤ l ≤ n (voir la preuve de la proposition 4.4).

�

Nous dé�nissons quelques notations pour les racines bicomplexes. On noteρs (resp. ρt) les d (resp. d′) racines complexes distinctes de Π+ (resp. Π−) comp-tées avec leur multiplicité ms (resp. m′t) pour s = 1, .., d et t = 1, .., d′. Ainsi,Π a dd′ racines ωst = ρse+ + ρte−. Pour chaque racine ωst, on appelle répé-tition µst = msm

′t le nombre d'apparitions de ωst dans l'ensemble des N racines.

On note F le nombre de factorisations distinctes de Π.

Lemme 4.2. Si N = n2, F ≤ n!

Preuve : les racines de Π+ et Π− sont toutes simples. Il y a donc n! systèmesde racines distincts. Le nombre de systèmes de racines diminue avec la présencedes racines multiples.

�

Exemple 4.3. Reprenons le polynôme biréel P = X3−(9+u)X2+(19+12u)X−15 − 15u de l'exemple 4.2, qui peut être considéré comme un polynôme bicom-plexe. Il possède n2 = 9 racines simples. Donc il existe 3! = 6 factorisations dis-tinctes sur 2C. En plus des deux factorisations données dans l'exemple 4.2, il enexiste 4 autres dé�nies par les systèmes de racines suivants : {1+u, 2+u, 6−u},{3

2(1 + u),

9− 5u2

,3 + u

2}, {6− u, 3 + u

2,

32

(1 + u)} et {2 + u,52

(1 + u),9− 5u

2}

.

4Lorsque Π+ ou Π− ont des racines multiples, il faut distinguer deux types de

�multiplicité� pour chaque racine distincte ωst de Π. Premièrement, la répétitionµst = msm

′t qui désigne le nombre d'apparitions de ωst dans l'ensemble des

racines de Π, et deuxièmement la multiplicité algébrique νst pour laquelle ωstpeut apparaître dans l'une des multiples factorisations. Sur 2C, la notion demultiplicité algébrique pour une racine multiple dépend de la factorisation.

Lemme 4.3. νst ≤ min(ms,m′t) ≤ µst .

Preuve : La racine ωst est répétée µst fois dans l'ensemble des racines ce quiconstitue le bloc de taille ms ×m′t dans le tableau (Figure 8) et la multiplicitéalgébrique νst ne peut pas dépasser min(ms,m

′t).

�

32

m′t︷ ︸︸ ︷PPPPPPPPΠ+

Π− ρ′1 .. ρ′1 .. ρ′t · · · ρ′t .. ρ′d′ · · · ρ′d′

ρ1 ω11 .. ω11 ω1d′ · · · ω1d′

:

ms

ρs ωst .. ωst

: :. . . :

ρs ωst .. ωst:ρd ω1d′ .. ω1d′ ωdd′ · · · ωdd′...

.... . .

......

. . ....

ρd ω1d′ .. ω1d′ ωdd′ · · · ωdd′

Fig. 8 � N = n2 racines ωst = ρse+ + ρ′te− de Π dans la base idempotente

On considère à présent le cas où l'un des deux polynômes Π+ ou Π− nepossède que des racines simples et l'autre au moins une racine multiple.

Lemme 4.4. Si N = n2, d = n et d′ < n ( resp. d < n et d′ = n ), on a alors

F =n!∏

1≤t≤d′m′t!

(resp. F =n!∏

1≤s≤d

ms!).

Preuve : Pour construire un système de racines avec d < n et d′ = n, onchoisit ρ1 parmi m1 possibles, que l'on associe à une racine r′ choisie parmi n,il y a donc {m1

n = n!m1!(n−m1)!

. Puis, on choisit une racine ρ2 parmi m2, que l'onassocie à une racine r′ parmi n−m2 d'où {m2

n−m1possibilités. On continue jusqu'à

ρd, choisie parmimd valeurs, associée à une racine r′ parmi n−(m1+...+md−1) =md. Donc F = n!

m1!(n−m1)!× (n−m1)!m2!(n−m1−m2)!

× ...× md!md! = n!Q

1≤s≤d

ms! . Cette formule

est également connue sous le nom de coe�cient multinomial. Elle représente lenombre de partitions d'un ensemble de n éléments en d ensembles de taillem1, ...,md.

�

4.3.6 Nombres complexes duaux

Comme les nombres bicomplexes, les complexes duaux correspondent à lacomplexi�cation des nombres duaux à deux dimensions réelles.

C(D) = {q = (a+ ib) + (c+ id)n = x+ yn, (a, b, c, d) ∈ R4, (x, y) ∈ C2} = D(C)

L'algèbre des complexes duaux est commutative, les deux deux générateursi et n commutent. Le conjugué est dé�ni par q∗ = x − yn ce qui donne lamagnitude complexe µ2(q) = x2. Comme pour les nombres duaux, l'ensembledes nombres de magnitude nulle est caractérisé par l'axe non réel :

Z(C(D)) = Cn.

Les complexes duaux n'ont reçu que très peu de marques d'intérêt mathé-matique. Pourtant, les propriétés tout à fait remarquables de la représentation

33

nilpotente o�rent de vastes possibilités. Obtenue pour les duaux à 2D, la re-présentation nilpotente peut être prolongée à la dimension 4 tout comme il aété fait pour la représentation idempotente pour le passage des biréels aux bi-complexes. De plus, tout comme les bicomplexes, les complexes duaux sont unealgèbre commutative et il est démontré que l'on ne peut généraliser complète-ment les bases de la théorie des fonctions analytiques que pour des algèbres quipossèdent cette propriété [Sche�ers, 1893].

4.4 Dimension 8

Les algèbres de dimension 8 sont nombreuses et très peu connues. A partir dela dimension 8, la commutativité de la multiplication disparaît et l'associativitén'est maintenue que dans certains cas. L'absence des ces deux caractéristiquesest souvent considérée, à tort, comme rédhibitoire. Au contraire, cette libertédans le Calcul laisse une plus grande place à l'expression plus �dèle de la réa-lité physique. Les algèbres que nous présentons proviennent pour la plupart dequestions soulevées par la Physique et plus généralement du traitement de l'in-formation. La demande d'une étude théorique plus approfondie de ces structuresn'a reçu que peu d'écho à quelques exceptions près parmi les mathématiciens,elles sont donc quasiment �terra incognita�. Les communautés des ingénieurset des physiciens, en partie bloquées par ces questions théoriques ont donc étéamenées à proposer elles-mêmes des éléments de réponse.

4.4.1 Octonions

Les octonions ont été introduits par J. Graves en 1843 et forment une algèbre(non associative) à division que l'on peut appeler un �corps non-associatif� quiconstitue le troisième niveau de la construction de Dickson. Avec R, C et H, lesoctonions G forment les quatre seules algèbres réelles à division (théorème deFrobenius généralisé dû à Hurwitz). Les octonions ne sont plus associatifs maisconservent la propriété d'alternativité (voir 4.1.1).

Contrairement aux quaternions, la table de multiplication n'est pas unique :en e�et, la perte de l'associativité entraîne l'existence de 480 tables essentiel-lement distinctes à un homéomorphisme près [Coxeter, 1946]. Seules deux sontconsidérées, celle de Cartan et Shouten (1926) pour la physique [Baez, 2002] etcelle issue du procédé de Dickson donnée par Graves et Cayley.

A partir de la dimension 8, il est plus aisé d'utiliser les notations de laconstruction de Dickson pour décrire les propriétés d'un octonion x = (p, q)avec p, q ∈ H. Le conjugué d'un octonion est x = (p,−q) d'où la magnitudequi s'écrit µ1(x) = xx = ||p||2 + ||q||2. La magnitude est ici une quantité réellepositive égale au carré de la norme euclidienne. Comme l'algèbre est à division,

tout nombre di�érent de zéro est inversible (∀x 6= 0 , x−1 =x

µ1(x)) :

Z∗(G) = ∅.

4.4.2 Octonions fendus

Les octonions fendus�G sont une extension non associative mais alternativedes quaternions obtenue à part du procédé de Dickson. Comme pour les octo-nions, la table de multiplication n'est pas unique et il est préférable de prendrela dé�nition de la multiplication donnée par Dickson avec les deux composantes

34

quaternioniques.

Le conjugué d'un quaternion fendu x = (p, q) avec p, q ∈ H est x = (p,−q)ce qui donne la magnitude µ1(x) = xx = ||p||2 − ||q||2. La magnitude est designe indéterminé et l'ensemble des diviseurs de zéro s'écrit :

Z∗(�G) = {x ∈�G\{0}, µ1(q) = 0⇔ ||p||2 = ||q||2}.

4.4.3 Quaternions biréels (Biquaternions)

L'ensemble des quaternions biréels a été introduit par W. Cli�ord en 1873sous le nom de biquaternions [Cli�ord, 1873]. Ils forment une algèbre associa-tive :

H(2R) = {q = a+ bi+ cj + dk, (a, b, c, d) ∈ (2R)4}.Comme pour les biréels et les bicomplexes, on peut écrire H(2R) = H ⊕ Hu,ce qui justi�e selon nous le terme de biquaternion et le fait d'utiliser égalementla notation H(2R) = 2H grâce à la représentation idempotente sur H, à lasuite de 2R et 2C pour les dimensions 2 et 4. Le conjugué d'un quaternionbiréel x = p + qu, p, q ∈ H est x∗ = (p,−q) d'où la magnitude qui s'écritµ2(x) = xx∗ = p2 − q2 ∈ H.

Z(2H) = {x = p+ qu ∈ 2H, p2 = q2}.

Les quaternions biréels possèdent des éléments idempotents et nilpotents,mais à notre connaissance aucune étude théorique approfondie n'a été réalisée.

4.4.4 Quaternions duaux

La notion de quaternion dual est une conséquence des travaux de Cli�ord(1873) et de Study (1901) sur la robotique. Les quaternions duaux forment unealgèbre associative :

H(D) = {q = a+ bi+ cj + dk, (a, b, c, d) ∈ D4}.

On peut également représenter H(D) comme H⊕Hn. Le conjugué d'un quater-nion dual x = p + qn, p, q ∈ H est x∗ = (p,−q) d'où la magnitude qui s'écritµ2(x) = xx∗ = p2 ∈ H . Donc, comme les quaternions forment une algèbre àdivision, on a :

Z(H(D)) = Hn.

Une démonstration de la possibilité fondamentale de représentation com-mune de la rotation est de la translation se trouve dans [Tambour, 2011, p.183-4].

4.4.5 Quaternions complexes

Les quaternions complexes ont été introduits par Hamilton sous le nom debiquaternions [Hamilton, 1853]. Cependant, nous réservons le terme de biqua-ternions au sens de Cli�ord, c'est-à-dire aux quaternions biréels. Même si lesbiquaternions de Cli�ord ont été introduits après les quaternions complexesd'Hamilton, le terme biquaternion nous semble, comme indiqué dans le para-graphe 4.4.3, une suite logique aux termes de biréels et bicomplexes.

Cette algèbre associative est construite comme l'ensemble des quaternions àcomposantes complexes, elle est donc dé�nie par :

H(C) = {q = a+ bi+ cj + dk, (a, b, c, d) ∈ C4}.

35

Les propriétés algébriques des quaternions complexes ont été explorées pardes chercheurs provenant du domaine du traitement du signal et de l'image.Selon les auteurs, les articles ne sont pas une étude abstraite des proprié-tés des quaternions complexes ni une mise en perspective avec les autres al-gèbres mais sont un outil pour la manipulation d'expressions et de formulesqui permettent un éclairage nouveau sur les problèmes en science et en ingé-nierie [Sangwine et al., 2011]. On trouve alors une description de la structuredes diviseurs de zéro qui contiennent des éléments nilpotents et idempotents etégalement une étude sur les racines de l'unité dans l'algèbre des quaternionscomplexes [Sangwine & Alfsmann, 2010, Sangwine, 2006].

La version complexe des quaternions s'inscrit dans la continuité des travauxde Hamilton et Maxwell sur l'électromagnétisme, elle constitue notamment lesujet de thèse de C. Lanczos [Lanczos, 1919] qui est plus connu parmi les ingé-nieurs pour les méthodes de résolution numériques en algèbre linéaire.

4.5 Dimension 2k, k ≥ 4

La dimension 8 est une frontière dans les caractéristiques des suites d'al-gèbres étudiées. Au delà de cette dimension, les algèbres ne sont plus associa-tives et comportent toutes des diviseurs de zéro qui ne sont plus entièrementdéterminés par la magnitude. Signalons aussi que seules les algèbres de dimen-sion D ≤ 8 sont dé�nies par au plus 3 générateurs, qui dans les applicationsphysiques peuvent être considérés comme les 3 dimensions physiques de l'espaceordinaire. Dans le cas des algèbres de Dickson généralisées Ak et �Ak, k ≥ 4le fait qu'elles soient quadratiques permet de s'intéresser aux polynômes et àl'exponentielle dans ces algèbres [Chatelin, 2012] et donc de trouver des applica-tions potentielles en plus grande dimension. Pour les algèbres dérivées Ak(Aα),α ∈ {−1, 0, 1}, l'étude de leur propriété est actuellement trop peu avancée pourdonner une réponse éclairée sur leurs éventuelles applications à des problèmesde la physique ou de l'ingénierie à partir de la dimension 16.

Bien que chaque algèbre ait ses caractéristiques propres, il ne faut pas perdrede vue la construction et les liens qui existent entre les di�érentes structures. Ladiversité des algèbres que nous avons présentée doit être interprétée comme uneliberté de choix dans le Calcul pour déterminer les propriétés utiles à l'applica-tion souhaitée. Nous résumons dans le tableau suivant (Figure 9) les algèbresque nous avons pu associer à des applications réelles. Il fait écho au tableau duparagraphe 3.4 qui répertorie les utilisations pour la robotique, l'informatiqueet la physique. Nous mettons ici en exergue les propriétés communes de la ma-gnitude pour chaque colonne, qui sont liées aux types de construction obtenuspar le procédé de Dickson (Ak,�Ak) et ses dérivées Ak(Aα).

36

ConstructionXXXXXXXXXXDimension

µ ||x||2 + ||y||2 ∈ R+ ||x||2 − ||y||2 ∈ R x2 − y2 ∈ A x2 ∈ A x2 + y2 ∈ A

2 C �C = 2R D �

4 H �H 2C C(D)

8 G �G H(2R) = 2H H(D) H(C)

D ≥ 16 Ak �Ak Ak−1(2R) = 2Ak−1 Ak−1(D) Ak−1(C)

Fig. 9 � Algèbres pour le traitement de l'information

37

5 Conclusion et perspectives

Nous avons recensé les structures algébriques utilisées dans les applicationspour la robotique, l'informatique et la physique. Leur caractère particulier, liéau rôle de la multiplication, fait de ces algèbres un cadre de calcul bien adaptéaux problèmes fortement non linéaires. Cela fait émerger de nouvelles possibili-tés pour le Calcul, qui restent largement inexplorées à ce jour.

Contrairement à la plupart des articles trouvés dans la littérature qui traitentchaque structure comme un cas particulier, nous avons présenté les di�érentesalgèbres sous une construction commune issue du procédé de Dickson. C'est jus-tement la comparaison de ces structures qui met en évidence que le Calcul estpar exemple très spéci�que dans C, alors qu'il prend une forme di�érente pour lesalgèbres composites 2R et D. L'existence de diviseurs de zéro est profondémentliée à la multiplicité des choix pour une représentation plus générale du trai-tement de l'information. L'étude des racines de polynômes n'est pas seulementd'un intérêt théorique puisqu'elle permet d'expliquer certains comportementsde systèmes mécaniques et physiques. C'est pourquoi, nous avons pu étudierpersonnellement quelques aspects sur la factorisation.

L'utilisation des algèbres hypercomplexes semble bien implantée dans cer-tains domaines de la robotique, où plusieurs résultats permettent d'estimer lamesure de leur potentiel. En informatique, plusieurs axes de recherche pour trai-tement du signal et de l'image manifestent un intérêt notable pour ces structures,mais leur application est ralentie par la connaissance encore trop limitée de leurspropriétés algébriques. Même si ces algèbres ont été découvertes il y a plus d'unsiècle elles sont sujettes d'une manière continue à une forte résistance provenantde la majeure partie de la communauté scienti�que. Le cas des quaternions estrévélateur : découverts par Hamilton, utilisés par Maxwell et Lanczos, ils ontété longtemps enterrés et attaqués de manière parfois violente (Klein, Kelvin).Pleinement conscient de leur potentiel, Maxwell écrivait déjà en 1870 dans Ap-plication of Quaternions to Electromagnetism : �The limited use which has upto the present time been made of Quaternions must be attributed partly to therepugnance of most mature minds to new methods involving the expenditure ofthought.� Les quaternions n'ont �nalement été utilisés sans réserve qu'à partirde la seconde moitié du XXe siècle pour les domaines qui nécessitent la modé-lisation des rotations en 3D.

Il reste aujourd'hui beaucoup à découvrir sur les propriétés théoriques deces nombres et les aspects numériques qui en découlent. Au vu de leur emploivarié dans de nombreux domaines de la science, il nous semble déterminantd'approfondir dans l'avenir l'étude algébrique des structures présentées, a�nd'apporter de réelles idées nouvelles pour le Calcul. Ceci a�n de répondre aumieux au dé� crée par l'arrivée imminente sur le marché des supercalculateurs detype �extreme computing�, la nouvelle génération de calculateurs multiparallèles.

38

Références

[Albert, 1942] Albert, Abraham Adrian. 1942. Quadratic forms permitting com-position. The Annals of Mathematics, 43(1), 161�177.

[Alexeyeva, 2009] Alexeyeva, L. A. 2009. Newton's laws for a biquaternionicmodel of the electro-gravimagnetic �eld, charges, currents and their interac-tions. Journal of Physical Mathematics Vol. 1 (2009), Article ID S090604.

[Alexeyeva, 2013] Alexeyeva, L. A. 2013. Biquaternions algebra and its applica-tions by solving of some theoretical physics equations. Int.J. Cli�ord Analysis,Cli�ord Algebras and their Applications. - 2012. - Vol. 7. - Issue 1. - 19pp.

[Alfsmann, 2006] Alfsmann, Daniel. 2006. On families of 2N-dimensional hyper-complex algebras suitable for digital signal processing. In : Proc. EuropeanSignal Processing Conf.(EUSIPCO 2006), Florence, Italy.

[Alfsmann & Göckler, 2007] Alfsmann, Daniel, & Göckler, Heinz G. 2007. Onhyperbolic complex LTI digital systems. Pages 1322�1326 of : Proc. EUR-ASIP 15th European Signal Processing Conference (EUSIPCO 2007), Poz-nan, Poland.

[Artzy, 1992] Artzy, Rafael. 1992. Dynamics of quadratic functions in cycleplanes. Journal of Geometry, 44(1), 26�32.

[Azuma et al., 1999] Azuma, Ronald, Ho�, Bruce, Neely III, Howard, & Sarfaty,Ron. 1999. A motion-stabilized outdoor augmented reality system. Pages252�259 of : Virtual Reality, 1999. Proceedings., IEEE. IEEE.

[Baez, 2002] Baez, John C. 2002. The octonions. Bull. Amer. Math. Soc, 39,145�205.

[Baez & Huerta, 2009] Baez, John C., & Huerta, John. 2009. Division algebrasand supersymmetry I. Superstrings, Geometry, Topology, and C*-Algebras.Proc. Symp. Pure Math, 81, 65�80.

[Bisht et al., 2011] Bisht, PS, Li, Tianjun, Negi, OPS, et al. 2011. Quaternionoctonion reformulation of quantum chromodynamics. International Journalof Theoretical Physics, 50(2), 594�606.

[Bisht et al., 2013] Bisht, P.S., Pandey, Bimal, & Negi, O.P.S. 2013. Interpre-tations of octonion wave equations. arXiv preprint arXiv :0708.1664v1.

[Brodsky & Shoham, 1999] Brodsky, Vladimir, & Shoham, Moshe. 1999. Dualnumbers representation of rigid body dynamics. Mechanism and machinetheory, 34(5), 693�718.

[Brody & Graefe, 2011a] Brody, Dorje C., & Graefe, Eva-Maria. 2011a. Co-quaternionic quantum dynamics for two-level systems. Acta Polytechnica 51,14-20 (2011).

[Brody & Graefe, 2011b] Brody, Dorje C, & Graefe, Eva-Maria. 2011b. On com-plexi�ed mechanics and coquaternions. J. Phys. A 44 (2011) 072001, Jan.

[Catoni et al., 2008] Catoni, F., Boccaletti, D., Cannata, R., Catoni, V., Niche-latti, E., & Zampetti, P. 2008. The Mathematics of Minkowski Space-Time :With an Introduction to Commutative Hypercomplex Numbers. Frontiers inMathematics. Birkhäuser Verlag AG.

[Catoni et al., 2005] Catoni, Francesco, Cannata, Roberto, Catoni, Vincenzo, &Zampetti, Paolo. 2005. Lorentz surfaces with constant curvature and theirphysical interpretation. Nuovo Cim. B120 (2005) 37.

[Chanyal et al., 2011] Chanyal, BC, Bisht, PS, & Negi, OPS. 2011. Generalizedsplit-octonion electrodynamics. International Journal of Theoretical Physics,50(6), 1919�1926.

39

[Chatelin, 2012] Chatelin, Françoise. 2012. Qualitative Computing : a computa-tional journey into nonlinearity. World Scienti�c Publishing Company, Sin-gapour.

[Chatelin, 2013] Chatelin, Françoise. 2013. Numbers in Mind : A computationaltheory of information with three spatial dimensions (livre en préparation).World Scienti�c and Imperial College Press, London.

[Cheng & Thompson, 1996] Cheng, H, & Thompson, Sean. 1996. Dual Polyno-mials and Complex Dual Numbers for Analysis of Spatial Mechanism. Pages19�22 of : Proc. of ASME 24th. Biennial Mechanisms Conference, Irvine,California.

[Cli�ord, 1873] Cli�ord, William K. 1873. Preliminary sketch of bi-quaternions.Proc. London Math. Soc, 4(381-395), 157.

[Cockle, 1848] Cockle, James. 1848. III. On Certain Functions Resembling Qua-ternions, and on a New Imaginary Algebra. Phil. Mag. (3), 33, 435�439.

[Coxeter, 1946] Coxeter, HSM. 1946. Integral Cayley numbers. Duke Mathe-matical Journal, 13(4), 561�578.

[Crowe, 1994] Crowe, MJ. 1994. A History of Vector Analysis : The Evolutionof the Idea of a Vectorial System. Mineola, NY : Dover Publications.

[Daniilidis, 1999] Daniilidis, Konstantinos. 1999. Hand-eye calibration usingdual quaternions. The International Journal of Robotics Research, 18(3),286�298.

[De Leo et al., 2006] De Leo, Stefano, Ducati, Gisele, & Leonardi, Vinicius.2006. Zeros of unilateral quaternionic polynomials. Electron. J. Linear Alge-bra, 15(297-313), 152.

[DeLoura, 2001] DeLoura, Mark A. 2001. Game Programming : Gems 2. Cen-gage learning.

[Demir et al., 2010] Demir, Süleyman, Tan�³l�, Murat, & Candemir, Nuray.2010. Hyperbolic Quaternion Formulation of Electromagnetism. Advancesin Applied Cli�ord Algebras, 20, 547�563.

[Devaney, 1989] Devaney, Robert L. 1989. An introduction to chaotic dynamicalsystems. Addison-Wesley, Menlo Park, California.

[Eilenberg & Niven, 1944] Eilenberg, Samuel, & Niven, Ivan. 1944. The �fun-damental theorem of algebra� for quaternions. Bulletin of the American Ma-thematical Society, 50(4), 246�248.

[Ell & Sangwine, 2007] Ell, Todd A, & Sangwine, Stephen J. 2007. Hypercom-plex Fourier transforms of color images. Image Processing, IEEE Transactionson, 16(1), 22�35.

[Emam, 2011] Emam, Moataz H. 2011. Split-complex representation of theuniversal hypermultiplet. Phys.Rev., D84, 045016.

[Gentili et al., 2008] Gentili, Graziano, Struppa, Daniele C, & Vlacci, Fabio.2008. The fundamental theorem of algebra for Hamilton and Cayley numbers.Mathematische Zeitschrift, 259(4), 895�902.

[Gogberashvili, 2006] Gogberashvili, Merab. 2006. Octonionic electrodynamics.Journal of Physics A : Mathematical and General, 39(22), 7099.

[Gogberashvili, 2009] Gogberashvili, Merab. 2009. Rotations in the space ofsplit octonions. Advances in Mathematical Physics, 2009.

[Gustafson, 2012] Gustafson, Karl. 2012. Antieigenvalue Analysis : With Ap-plications to Numerical Analysis, Wavelets, Statistics, Quantum Mechanics,Finance, and Optimization. World Scienti�c , Singapour.

40

[Hamilton, 1853] Hamilton, William Rowan. 1853. On the geometrical inter-pretation of some results obtained by calculation with biquaternions. Pages388�390 of : Proceedings of the Royal Irish Academy, vol. 5.

[Hashimoto, 2000] Hashimoto, Masahiro. 2000. Bicomplex Waves in Electroma-gnetic Scattering and Di�raction Problems.

[Hestenes et al., 1991] Hestenes, D, Reany, Patrick, & Sobczyk, Garret. 1991.Unipodal algebra and roots of polynomials. Adv. Appl. Cli�ord Algebras,1(1), 31�51.

[Janovská & Opfer, 2010] Janovská, Drahoslava, & Opfer, Gerhard. 2010. Anote on the computation of all zeros of simple quaternionic polynomials.SIAM Journal on Numerical Analysis, 48(1), 244�256.

[Kassandrov, 2000] Kassandrov, V. V. 2000. Biquaternion Electrodynamics andWeyl-Cartan Geometry of Space-Time. Grav.Cosmol.1 :216-222,1995, July.

[Kassandrov, 2007] Kassandrov, Vladimir V. 2007. Quaternionic Analysis andthe Algebrodynamics. "Space-Time Structure. Algebra and Geometry", eds.D.G.Pavlov, Gh. Atanasiu, V.Balan.Moscow : Lilia-Print, 2007, pp. 441-473.

[Kassandrov, 2009] Kassandrov, Vladimir V. 2009. Algebrodynamics over com-plex space and phase extension of the Minkowski geometry. Physics of AtomicNuclei, 72(5), 813�827.

[Kavan et al., 2008] Kavan, Ladislav, Collins, Steven, �ára, Ji°í, & O'Sullivan,Carol. 2008. Geometric skinning with approximate dual quaternion blending.ACM Transactions on Graphics (TOG), 27(4), 105.

[Khmelnytskaya & Kravchenko, 2009] Khmelnytskaya, Kira V., & Kravchenko,Vladislav V. 2009. Biquaternions for analytic and numerical solution of equa-tions of electrodynamics. arXiv preprint arXiv :0902.3490v1.

[Kisil, 2012] Kisil, VladimirV. 2012. Hypercomplex Representations of the Hei-senberg Group and Mechanics. International Journal of Theoretical Physics,51(3), 964�984.

[Klein, 1880-1881] Klein, Felix. 1880-1881. Funktionentheorie in geometrischerBehandlungsweise : Vorlesung, gehalten in Leipzig 1880/81 p.20. Teubner-Archiv zur Mathematik. B.G. Teubner Verlagsgesellschaft, édité par König,F. (1987).

[Kotelnikov, 1895] Kotelnikov, AP. 1895. Screw calculus and some of its appli-cations to geometry and mechanics. Annals of Imperial University of Kazan.

[Kravchenko, 2003] Kravchenko, Vladislav V. 2003. Applied quaternionic ana-lysis. Vol. 28. Heldermann.

[Lanczos, 1919] Lanczos, Cornelius. 1919. The relations of the homogeneousMaxwell's equations to the theory of functions�A contribution to the theory ofrelativity and electrons (1919, Typeseted by Jean-Pierre Hurni with a prefaceby Andre Gsponer, 2004) ; e-print. arXiv preprint physics/0408079.

[Lantoine et al., 2012] Lantoine, Gregory, Russell, Ryan P, & Dargent, Thierry.2012. Using multicomplex variables for automatic computation of high-orderderivatives. ACM Transactions on Mathematical Software (TOMS), 38(3),16.

[Latre & Chatelin, 2013] Latre, Jean-Baptiste, & Chatelin, Françoise. 2013.About some Cli�ord algebras in 4D (en préparation). Advances in appliedCli�ord algebras.

[Lavoie et al., 2010] Lavoie, Raphael Gervais, Marchildon, Louis, & Rochon,Dominic. 2010. The bicomplex quantum harmonic oscillator. arXiv preprintarXiv :1001.1149.

41

[Luna-Elizarrarás et al., 2012] Luna-Elizarrarás, ME, Shapiro, M, Struppa, DC,& Vajiac, A. 2012. Bicomplex numbers and their elementary functions. Cubo(Temuco), 14(2), 61�80.

[Mathieu et al., 2012] Mathieu, J., Marchildon, L., & Rochon, D. 2012.The bicomplex quantum Coulomb potential problem. arXiv preprintarXiv :1207.0766v1, July.

[Maxwell, 1873] Maxwell, J. Clerk. 1873. A Treatise on Electricity and Magne-tism. Dover Publications, New York.

[Metzler, 1994] Metzler, Wolfgang. 1994. The �mystery�of the quadratic Man-delbrot set. American Journal of Physics, 62, 813.

[Moisil & Teodorescu, 1931] Moisil, Gr C, & Teodorescu, N. 1931. Fonctionsholomorphes dans l'espace. Mathematica (Cluj), 5, 142�159.

[Nurowski, 2009] Nurowski, Pawel. 2009. Split octonions and Maxwell equa-tions. Acta Physica Polonica A Vol.116 No. 6.

[Pei et al., 2001] Pei, Soo-Chang, Ding, Jian-Jiun, & Chang, Ja-Han. 2001. Ef-�cient implementation of quaternion Fourier transform, convolution, and cor-relation by 2-D complex FFT. Signal Processing, IEEE Transactions on,49(11), 2783�2797.

[Pei et al., 2004] Pei, Soo-Chang, Chang, Ja-Han, & Ding, Jian-Jiun. 2004.Commutative reduced biquaternions and their Fourier transform for signaland image processing applications. Signal Processing, IEEE Transactions on,52(7), 2012�2031.

[Pennestrì & Stefanelli, 2007] Pennestrì, E, & Stefanelli, R. 2007. Linear alge-bra and numerical algorithms using dual numbers. Multibody System Dyna-mics, 18(3), 323�344.

[Pham et al., 2010] Pham, Hoang-Lan, Perdereau, Véronique, Adorno,Bruno Vilhena, & Fraisse, Philippe. 2010. Position and orientation controlof robot manipulators using dual quaternion feedback. Pages 658�663of : Intelligent Robots and Systems (IROS), 2010 IEEE/RSJ InternationalConference on. IEEE.

[Pogoruy & Rodríguez-Dagnino, 2010] Pogoruy, Anatoliy A, & Rodríguez-Dagnino, Ramón M. 2010. Some algebraic and analytical properties of co-quaternion algebra. Advances in applied Cli�ord algebras, 20(1), 79�84.

[Price, 1991] Price, Gri�th Baley. 1991. An introduction to multicomplex spacesand functions. Vol. 140. CRC Press.

[Rincón-Camacho & Chatelin, 2013] Rincón-Camacho, M. Monserrat, & Cha-telin, Françoise. 2013. Quadratic iterations in the numerical plane (en prépa-ration). Int. J. Bif. Chaos.

[Rochon & Shapiro, 2004] Rochon, D, & Shapiro, M. 2004. On algebraic pro-perties of bicomplex and hyperbolic numbers. Anal. Univ. Oradea, fasc. math,11, 71�110.

[Sangwine, 2006] Sangwine, Stephen J. 2006. Biquaternion (complexi�ed qua-ternion) roots of -1. Advances in Applied Cli�ord Algebras, 16 (1), 63-68.

[Sangwine & Alfsmann, 2010] Sangwine, Stephen J, & Alfsmann, Daniel. 2010.Determination of the biquaternion divisors of zero, including the idempotentsand nilpotents. Advances in applied Cli�ord algebras, 20(2), 401�410.

[Sangwine et al., 2011] Sangwine, Stephen J, Ell, Todd A, & Le Bihan, Nicolas.2011. Fundamental representations and algebraic properties of biquaternionsor complexi�ed quaternions. Advances in Applied Cli�ord Algebras, 21(3),607�636.

42

[Sche�ers, 1893] Sche�ers, MG. 1893. Sur la généralisation des fonctions ana-lytiques. CR Acad. Sc, 116, 1114.

[Scorza-Dragoni, 1934] Scorza-Dragoni, Giuseppe. 1934. Sulle funzioni olomorfedi una variabile bicomplessa. Mem. Reale Accademia d'Italia V, p.597-665.

[Segre, 1892] Segre, Corrado. 1892. Le rappresentazioni reali delle forme com-plesse e gli enti iperalgebrici. Mathematische Annalen, 40(3), 413�467.

[Senn, 1990] Senn, Peter. 1990. The Mandelbrot set for binary numbers. Ame-rican Journal of Physics, 58, 1018�1018.

[Sobczyk, 1995] Sobczyk, Garret. 1995. The hyperbolic number plane. TheCollege Mathematics Journal, 26(4), 268�280.

[Study, 1901] Study, E. 1901. Geometrie der Dynamen. Teubner, Leipzig.

[Tambour, 2011] Tambour, Jérôme. 2011. Ensemble de nombres. Forum Futura-Science.

[Vaillant et al., 2013] Vaillant, Rodolphe, Barthe, Loïc, Guennebaud, Gael,Cani, Marie-Paule, Rohmer, Damien, Wyvill, Brian, Gourmel, Olivier, & Pau-lin, Mathias. 2013. Implicit Skinning : Real-Time Skin Deformation withContact Modeling. ACM Transaction on Graphics (TOG). Proceedings ofACM SIGGRAPH.

[Vignaux, 1936] Vignaux, Juan Carlos. 1936. Sobre el número complejo dual.Anales de la Sociedad Cientí�ca Argentina, 121, 108�127.

[Wu et al., 2006] Wu, Yuanxin, Hu, Xiaoping, Wu, Meiping, & Hu, Dewen.2006. Strapdown inertial navigation using dual quaternion algebra : erroranalysis. Aerospace and Electronic Systems, IEEE Transactions on, 42(1),259�266.

43

A Organigramme de la Direction Scienti�que

Org

anig

ram

me

DG

/DS

–26

févr

ier 20

13*

: Te

mp

s p

art

iel

Resp

onsa

ble

s te

chnolo

giq

ues

Resp

onsa

ble

sgéogra

phiq

ues

Resp

onsa

ble

s Th

ém

atiq

ues

et

Anim

atio

ns

transv

ers

es

Gest

ion-

Secré

taria

t-

Contrats

C.N

ETTE

R

N.A

MA

RA

GG

I

C.M

ORIN

C.P

RIE

UR

J-C

.DE

WIT

Biom

ass

e, b

iote

chnolo

gie

et p

oly

mère

sJ-

M.B

RU

SSO

N

Anim

atio

n: B

iom

ass

e

Cata

lyse

et p

rocédés

F.LU

CK

C.Y

AC

ON

O

Anim

atio

n:

XtL

Ca

taly

se-p

roc

éd

és,

V

alo

risa

tion d

u C

O2

Méth

odes

analy

tiques

J-C

.DE

WIT

B.N

EFF*

Anim

atio

n: R

ése

au

Gro

up

eA

na

lytiq

ue

,REA

CH

Modélis

atio

net t

echniq

ues

num

ériq

ues

PH.R

ICO

UX

A.L

EWA

LLE

P.T

ERPO

LILL

I*P

H.B

OLO

N*

Anim

atio

n :

Ma

thia

s, Im

ag

e,

Info

rma

tique

ind

ust

rielle

,C

ontr

ôle

ava

nc

é

Dire

cte

ur Sc

ientif

ique

J-F.

MIN

STER

Géolo

gie

-géophys

ique

J-F.

MIN

STER

Maté

riaux-

Inte

rface p

roduit

support

PH-F

.GIR

ARD

Anim

atio

n:

Co

mm

unic

atio

n R

&D

Na

no

tec

hno

log

ies

Envi

ronnem

entet C

O2

–

Progra

mm

e e

fficacité

énerg

étiq

ue

M.R

ICH

E

J-P.G

OU

RLI

A*

Anim

atio

n:

Clu

b E

ne

rgie

Dire

cte

urSc

ientif

ique A

djo

int

Ph. T

AN

GU

Y

Pro

gra

mm

es,

Pa

rte

na

riats

etRe

latio

ns

Inte

rna

tiona

les

Anim

atio

n: I

nno

Ene

rgy

Am

ériq

ues

S.JA

FFER

*

Chin

eXU

Zho

ng

hua

*G

UO

Bin

Com

ité T

echnolo

gie

Gro

upe

Sec

réta

ire g

éné

ral:

J.JE

AN

BA

RT

Re

spo

nsa

ble

Ag

rém

ent

Ho

mo

log

atio

n G

roup

e:A

.RO

CH,

Sec

réta

riat: P

.JO

AC

HIM

,T.M

AIL

LY

Do

cum

enta

tion, c

om

munic

atio

n:

CH.F

LAM

AN

T

Norm

alis

atio

nD

.DEU

TSC

H

G.T

RIC

AN*

Maté

riaux-

Stru

ctu

res

L.H

ASP

ESLA

GH

Anim

atio

n: R

ela

tions

stru

ctu

res/

pro

prié

tés

de

sm

até

riaux,

Mé

tiers

R&

D

44