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民國 98 年， 28(3) ， 1-18林安裕

報告者 : 林維達

目錄 摘要 前言 研究方法 研究結果 結論 參考文獻

摘要

由於 SVD （ Singular Value Decomposition ）分解之技術可將一矩陣分解成兩個正交矩陣與一個對角陣之特質，為壓縮技術領域中之一重要方法。

若色彩、明暗對比皆假定均化之簡單影像及 LTI 多輸入多輸出 MIMO 之控制系統，由文中模擬之結果，可看出利用 SVD 的確能達到預期之效果。

LTI ： Linear Time InvariableMIMO ： Multi Input Multi Output

前言

資料壓縮技術應用對象主要為針對一般數位資料、多媒體資料。

資料壓縮需求之不同，以過程之失真度來衡量概分為無失真壓縮與失真壓縮兩種。

本文擬以探討奇異值分解法 SVD 嘗試應用於影像與控制系統模式簡化之研究，採用失真壓縮技術。

研究方法 矩陣運算與內積空間為線性代數所探討的四大範疇中的

兩個，對任一矩陣其秩數決定，是線性代數上之重要課題。

所謂矩陣之秩，可定義如下： range(A) = { y R∈ m : y = Ax 對某些 x R∈ n }

rank(A) = dim( range(A) )

若對一矩陣 A ，存在一行列式值不等於零之最大階數之附矩陣 Mm×m ，則 A 之秩數為 m 。

研究方法 一向量集合 A = { x 1,x 2,.....,x p }

　 若滿足 x i T x j = 0 for i ≠ j 　，則稱 A 為正交向量集合；若滿

足 x i T x j =δ ij 　　，則稱 A 為正規正交向量集合

一矩陣 Q ，若滿足 QTQ = I ，則稱 Q 為正交矩陣。

研究方法 – 矩陣分解

三角分解法是將方陣分解成一個上三角形矩陣和一個下三角形矩陣，此法又稱為 LU 分解法。

QR 分解法是將矩陣 Am×n （假定 m ≥ n ）分解成一正規正交矩陣與一上三角形矩陣。

亦即 A = QR － (1)

上式中 Q ∈ ℜm×m 為正規正交矩陣， R ∈ ℜm×n 為上三角形矩陣，且滿足 QTQ = I 。

研究方法 – 矩陣分解

奇異值分解法為另一種正交矩陣分解法，為一種基底變換之演算法則。本法則將一矩陣分解為兩個正交矩陣與一個對角陣，表示如下

A 為一 m×n 實矩陣， A =UΣVT － ( 2 )

上式中 U ∈ ℜm×m 與 V ∈ ℜn×n 皆為正交矩陣， Σ = diag(σ1,σ2,....,σp) ∈ ℜm×n

p = min{m,n } 。 Σ 之特性為 σk > 0 for 1 ≤ k ≤ p ,

且 σi = 0 for ( p + 1) ≤ k ≤ n 。

研究方法 – 矩陣分解

U 之行向量稱為左奇異向量， VT 之列向量稱為右奇異向量， σi 我們稱為奇異值，

由 (2) 式可得　　 UTAV = diag(σ1 ,σ2,.......,σp)∈ℜm×n

Σ 之形式如下：

研究方法 - SVD 運算特性

考慮矩陣 A 為方陣，則 (3) 式成為一方對角陣，令 (3)式中之 U 、 V 改表示如下：

U=[ u1 u2 .............un ]

V=[ v1 v2 .............vn ]

上式中 ui , vi , λi 分別為 U 、 V 之行向量， λi 為對角 陣中之項。 若 A 為非奇異，則 p=n 。

研究方法 – SVD 處理法則

壓縮過程以下圖表示

研究方法 – 控制系統模式簡化

如下圖所示，對一 LTI 系統，系統轉換函數可表示為 :

T =[I + PG]−1PGF ； P Ƥ∈

研究方法 – 控制系統模式簡化

當引入去耦控制器後，相對缺點是提高了系統的階數

研究結果 – case A

圖 4-1 秩數為 67 、 72 、 113 及45

圖 4-2 秩數降為 33 、 36 、 56 及 25

圖 4-3 秩數降為 16 、 18 、 28 及 15

圖 4-4 秩數降為 5 、 5 、 5 及 5

研究結果 – case A

研究結果 – case A

圖 6-2 將秩數降為 33 、 36 、 56 及25

圖 6-1 秩數為 67 、 72 、 113 及 45

研究結果 – case B

研究結果 – case C

圖 8-2 秩數降為20

圖 8-1 秩數為40

圖 8-3 秩數降為5

研究結果 – case C

研究結果 – case C

結論

針對色彩、明暗對比皆假定均化之簡單影像及 LTI-MIMO之控制系統，採用 SVD 之技術，分別達到壓縮及簡化之效果。

影像幾何特性分佈較複雜時影像壓縮比顯得較低，若強行降低秩數，影像重整時，顯得有較大之失真度；反之，當幾何特性分佈較為單純時，影像各像素間相干度較強，亦即資料之亂度較小。

報告完畢，感謝聆聽 !!

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