Sveučilište u Rijeci • University of Rijeka Trg braće Mažuranića 10 • 51 000 Rijeka • Croatia

T: (051) 406-500 • F: (051) 216-671; 216-091 W: www.uniri.hr • E: ured@uniri.hr

1

Opće informacije

Nositelj predmeta Neven Grbac

Naziv predmeta METRIČKI PROSTORI

Studijski program Diplomski studij Fizika i matematika

Status predmeta Obvezatan

Godina 1. godina ECTS koeficijent opterećenja studenata 5 Bodovna vrijednost i

način izvođenja nastave Broj sati (P+V+S) 30 + 30 + 0 1. OPIS PREDMETA

1.1. Ciljevi predmeta Cilj kolegija je upoznati studente s osnovnim rezultatima matematičke analize u metričkim i topološkim prostorima. U okviru ovog kolegija potrebno je usvojiti osnovne pojmove i svojstva metričkih te topoloških prostora, usvojiti pojam konvergencije niza te niza funkcija, kao i pojam neprekidnosti funkcije.

1.2. Uvjeti za upis predmeta Program kolegija u korelaciji je s ostalim kolegijima iz matematike, posebice s kolegijima Matematička analiza I, Matematička analiza II i Matematička analiza III.

1.3. Očekivani ishodi učenja za predmet Očekuje se da će studenti po završetku kolegija i nakon položenog ispita biti sposobni:

• definirati metriku i argumentirano primijeniti definiciju te nabrojati primjere metričkih prostora; • demonstirati konstrukciju topološke strukture na metričkom prostoru te definirati topologiju i nabrojati primjere

topoloških prostora; • razlikovati načine zadavanja topologije; • primjenom separacijskih aksioma kategorizirati topološke prostore; • objasniti pojam konvergencije niza, razlikovati običnu od uniformne konvergencije niza funkcija; • definirati Cauchyjev niz i potpun metrički prostor te iskazati osnovna svojstva ovih prostora i navesti Banachov

teorem o fiksnoj točki; • definirati neprekidnost i uniformnu neprekidnost funkcije u topološkom prostoru; • opisati kompaktne prostore i usporediti različite karakterizacije kompaktnosti u metričkim prostorima te nabrojati

svojstva neprekidnih funkcija na kompaktima; • matematički dokazati utemeljenost svih tvrdnji koje se koriste u okviru kolegija.

1.4. Sadržaj predmeta

Metrički prostori, definicija i primjeri. Omeđeni i potpuno omeđeni prostori. Topološka struktura. Ekvivalentne metrike. Direktni produkt prostora. Potprostor. Topološki prostor. Baza topologije. Nutrina i zatvorenje skupa. Zatvoreni skupovi. Separabilnost. Produkt i kvocijent prostora. Aksiomi separacije. Konvergencija nizova. Točka gomilanja. Bolzano-Weierstrassov teorem. Nizovi funkcija, uniformna konvergencija. Cauchyjev niz. Potpun metrički prostor. Banachov teorem o fiksnoj točki. Neprekidna preslikavanja. Homeomorfizam. Uniformna neprekidnost. Urysonova lema i Tietzeov teorem o proširenju. Povezanost prostora. Kompaktnost. Karakterizacija kompaktnih skupova u Rn. Teorem Tihonova. Neprekidne funkcije na kompaktu.

Sveučilište u Rijeci • University of Rijeka Trg braće Mažuranića 10 • 51 000 Rijeka • Croatia

T: (051) 406-500 • F: (051) 216-671; 216-091 W: www.uniri.hr • E: ured@uniri.hr

2

1.5. Vrste izvođenja nastave

predavanja seminari i radionice vježbe e-učenje terenska nastava praktična nastava praktikumska nastava

samostalni zadaci multimedija i mreža laboratorijski rad projektna nastava mentorski rad konzultativna nastava ostalo ___________________

1.6. Komentari

1.7. Obveze studenata Studenti su obvezni zadovoljiti uvjete za dobivanje potpisa te položiti završni ispit (detalji će biti prikazani u izvedbenom planu predmeta).

1.8. Praćenje1 rada studenata Pohađanje nastave 0.6 Aktivnost u nastavi 0.6 Seminarski rad Eksperimentalni rad Pismeni ispit 2.4 Usmeni ispit 1.4 Esej Istraživanje Projekt Kontinuirana provjera znanja Referat Praktični rad Portfolio

1.9. Ocjenjivanje i vrednovanje rada studenata tijekom nastave i na završnom ispitu Rad studenta na predmetu će se vrednovati i ocjenjivati tijekom nastave i na završnom ispitu. Ukupan broj bodova koje student može ostvariti tijekom nastave je 70 (ocjenjuju se aktivnosti označene u tablici), dok na završnom ispitu može ostvariti 30 bodova. Detaljna razrada načina praćenja i ocjenjivanja rada studenata bit će prikazana u izvedbenom planu predmeta.

1.10. Obvezna literatura (u trenutku prijave prijedloga studijskog programa)

S. Mardešić, Matematička analiza u n-dimenzionalnom realnom prostoru I, Školska knjiga, Zagreb, 1974.

1.11. Dopunska literatura (u trenutku prijave prijedloga studijskog programa) 1. Schaum's outline series, Theory and Problems of General Topology, McGraw-Hill book company, USA, 1965. 2. M. Mršević, Zbirka rešenih zadataka iz topologije, Naučna knjiga, Beograd, 1977.

1.12. Broj primjeraka obvezne literature u odnosu na broj studenata koji trenutno pohađaju nastavu na predmetu

Naslov Broj primjeraka Broj studenata S. Mardešić, Matematička analiza u n-dimenzionalnom realnom prostoru I, Školska knjiga, Zagreb, 1974. 5 10

1.13. Načini praćenja kvalitete koji osiguravaju stjecanje izlaznih znanja, vještina i kompetencija U zadnjem tjednu nastave iz ovog kolegija provodit će se anonimna anketa u kojoj će studenti evaluirati kvalitetu održane nastave. Na kraju svakog semestra (1. ožujka i 30. rujna tekuće akademske godine) provest će se analiza uspješnosti studenata na održanim ispitima u tom semestru.

1 VAŽNO: Uz svaki od načina praćenja rada studenata unijeti odgovarajući udio u ECTS bodovima pojedinih aktivnosti tako da ukupni broj ECTS bodova odgovara bodovnoj vrijednosti predmeta. Prazna polja upotrijebiti za dodatne aktivnosti.