systemy liczbowe w architekturze komputerów materiał do wykładu 1/3

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

dr inż. Rafał Klaus

Systemy liczbowe Systemy liczbowe w architekturze w architekturze

komputerówkomputerówmateriał do wykładu 1/3materiał do wykładu 1/3

Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich

zastosowań w przemyśle" POKL.04.01.02-00-189/10

2 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Systemy liczboweSystemy liczbowe

Addytywne: w których liczby tworzy się przez dodawanie

kolejnych symboli, np. rzymski system liczbowy, hieroglificzny,

alfabetyczny, gdzie wartość liczby jest sumą wartości jej znaków cyfrowych

Pozycyjne: które posiadają symbole n liczb naturalnych:

0, 1, 2, ..., n − 1, gdzie n to tzw. podstawa systemu, która może być dowolną liczbą naturalną większą niż 1.

System System pozycyjnypozycyjny

oznaczając przez

cn - cyfrę systemu pozycyjnego

i n – pozycję cyfry

p - podstawę systemu,

wartość reprezentowaną przez symbol liczby zapisujemy jako sumę iloczynów postaci:


cn * p n + . . . + c2 * p 2 + c1 * p 1 + c0 * p 0

System dziesiętnySystem dziesiętny


Symbol Wartość w systemie Liczba

6 6 *10 0 sześć

65 6 * 10 1 + 5 * 10 0 sześćdziesiąt pięć

243 2 * 10 2 + 4 * 10 1 +3 * 10 0 dwieście czterdzieści trzy

Konwersje systemówKonwersje systemów

(4013)5 = 4 * 5 3 + 0 * 5 2 + 1 * 5 1 + 3 * 5 0 = 500 + 5 + 3 = (508)10


System dwójkowySystem dwójkowy

Cyframi tego systemu są: 0 i 1.

Symbolizują one dwa stany tzw. 0 - stan niski – (brak działania/brak sygnału)1- stan wysoki – (działanie układu/sygnał)


1

t00,8

2

5U[V]

0

Konwersja (z BIN na DEC)Konwersja (z BIN na DEC)

(11011101)2 =

= 1 * 2 7 + 1 * 2 6 + 0 * 2 5 + 1 * 2 4 + 1 * 2 3 + 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0

= 128 + 64 + 16 + 8 + 4 + 1 =

= (221)10


Konwersja (z DEC na BIN)Konwersja (z DEC na BIN)


DEC BIN : dzielenie przez 2

44 0

22 0 4410 = 1011002

11 1

5 1

2 0

1 1

0

Konwersja (z DEC na BIN)Konwersja (z DEC na BIN)


Część całkowita liczby: 61 .Kolejne

wyniki

dzielenia

przez 2

30 115 07 13 11 10 1

Część ułamkowa liczby

. 5625

Kolejne

wyniki

mnożenia

przez 2

1 12500 25000 50001 0000

61.562510 = 111101.10012

Część całkowita

Reszta

System szesnastkowySystem szesnastkowy


Cyframi tego systemu są: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

(1011|0011|1010)2 = (B3A)16

(11|1011|1110)2 = (0011|1011|1110)2 = (3BE)16


Cyfry systemu szesnastkowego

Liczby systemu dziesiątkowego

Liczby systemu dwójkowego

0 0 00001 1 00012 2 00103 3 00114 4 01005 5 01016 6 01107 7 01118 8 10009 9 1001A 10 1010B 11 1011C 12 1100D 13 1101E 14 1110F 15 1111

Konwersja HEXKonwersja HEX

HEX na DEC(3BE)16 = 3 * 16 2 + 11 * 16 1 + 14 * 16 0 = 768 + 176 + 14 = (958)10

BIN na HEX

1111000111000.111000111B

1 1110 0011 1000.1110 0011 1

0001 1110 0011 1000.1110 0011 10001 E 3 8 . E 3 8

1111000111000.111000111B = 1E38.E38H


Konwersja HEX na BINKonwersja HEX na BIN

0E6C.7F8H

E 6 C . 7 F 81110 0110 1100 . 0111 1111 1000

0E6C.7F8H = 111001101100.011111111000B


Liczby stałoprzecinkoweLiczby stałoprzecinkowe

cn-1...c0,c-1c-2...c-m = cn-1pn-1 + ... + c0p0 + c-1p-1 + c-2p-2 + ... +c-mp-m

253,763 = 2 x 102 + 5 x 101 + 3 x 100 + 7 x 10-1 + 6 x 10-2 + 3 x 10-3

432,321(5) = 4 x 52 + 3 x 51 + 2 x 50 + 3 x 5-1 + 2 x 5-2 + 1 x 5-3

432,321(5) = 4 x 25 + 3 x 5 + 2 x 1 + 3 x 1/5 + 2 x 1/25 + 1 x 1/125

432,321(5) = 100 + 15 + 2 + 3/5 + 2/25 + 1/125

432,321(5) = 117 86/125

432,321(5) = 117,688


Dwójkowe liczby stałoprzecinkoweDwójkowe liczby stałoprzecinkowe

1101,1011(2) = 1 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 + 1 x 2-1

+ 0 x 2-2 + 1 x 2-3 + 1 x 2-4

1101,1011(2) = 1 x 8 + 1 x 4 + 0 x 1 + 1 x 1 + 1 x ½ + 0 x 1/4

+ 1 x 1/8 + 1 x 1/16

1101,1011(2) = 8 + 4 + 1 + 1/2 + 1/8 + 1/16

1101,1011(2) = 13 + 10/16

1101,1011(2) = 13,625


Operacje arytmetyczne Operacje arytmetyczne - dodawanie- dodawanie


Tabliczka dodawania binarnego

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 0 i 1 dalej

1001 9

+ 0011 +3

1100 12

1010 10

+ 0110 +6

10000 16Przekroczenie górnej granicy liczby - nadmiar (ang. overflow).

0011,011 3,375

+ 0111,110 + 7,750

1011,001 11,125

Operacje arytmetyczne Operacje arytmetyczne - odejmowanie- odejmowanie


Tabliczka odejmowania binarnego

0 - 0 = 0

1 - 0 = 1

1 - 1 = 0

0 - 1 = 1 i pożyczka

1011 11

- 0101 -5

0110 6

0011 3

- 0100 -4

...111111

-1Przekroczenie dolnej granicy liczby - niedomiar (ang. underflow).

1111 15

- 0111 -7

1000 8

Operacje arytmetyczne Operacje arytmetyczne - mnożenie- mnożenie


Tabliczka mnożenia binarnego

0 x 0 = 0

1 x 0 = 0

0 x 1 = 0

1 x 1 = 1

0011 3

x 0101 x 5

0011

0000 ...

+ 0011

001111 15

1011 11

x 1101 x 13

1011

1011 33

+ 1011 + 11

10001111 143

nadmiar (ang. overflow)

Operacje arytmetyczne Operacje arytmetyczne - mnożenie- mnożenie


10,1 2,5

x 11,01 x 3,25

101 125

101 50

+ 101 + 75

10000011000,001

81258,125

polega na cyklicznym odejmowaniu odpowiednio przesuniętego dzielnika od dzielnej


Operacje arytmetyczne Operacje arytmetyczne - dzielenie- dzielenie

Podzielimy 1110(2) przez 11(2) (14 : 3).

1

1110 - dzielna

11 - przesunięty dzielnik

0010 - różnica dzielnej i przesuniętego dzielnika


Operacje arytmetyczne Operacje arytmetyczne - dzielenie- dzielenie

100 - wynik dzielenia

1110 - dzielna

- 11 - dzielnik

0010 - dzielna po odejmowaniu przesuniętego dzielnika

- 11 - dzielnika nie można odjąć

0010 - dzielna

- 11 - dzielnika nie można odjąć, koniec

0010 - reszta z dzielenia

Liczby ujemne Liczby ujemne znak-modułznak-moduł

Znak kodowany jest stanem najstarszego bitu:

Wartość liczby obliczamy wg następującego wzoru:


bit znaku = 0 - liczba dodatnia

bit znaku = 1 - liczba ujemna

WZ-M = (1 - 2 x bit znaku) x WM

WZ-M = (-1)bit znaku x WM

liczba w kodzie Z-Mliczba w kodzie Z-M

(0 101)(ZM) = (1 - 2 x 0) x (1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20)(0 101)(ZM) = 1 x (1 x 4 + 1 x 1)(0 101)(ZM) = 1 x (4 + 1)(0 101)(ZM) = 1 x 5(0 101)(ZM) = 5

(1101)(ZM) = (1 - 2 x 1) x (1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20)(1101)(ZM) = -1 x (1 x 4 + 1 x 1)(1101)(ZM) = -1 x (4 + 1)(1101)(ZM) = -1 x 5(1101)(ZM) = -5


Liczba w kodzie Z-MLiczba w kodzie Z-M


7 6 .....................

znak moduł 000...0 + 0

0 1

+ –

– 127 + 127

100...0 – 0

Two's Complement Two's Complement Numbering System – U2Numbering System – U2


WU2 = cn-1 x (- pn-1) + cn-2 x pn-2 + ... + c1 x p1 + c0 x p0

0101(U2) = 0 x (- 23) + 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20

0101(U2) = 0 x (- 8) + 1 x 4 + 0 x 2 + 1 x 10101(U2) = 0 + 4 + 10101(U2) = 5

1101(U2) = 1 x (- 23) + 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20

1101(U2) = 1 x (- 8) + 1 x 4 + 0 x 2 + 1 x 11101(U2) = (- 8) + 4 + 11101(U2) = - 8 + 51101(U2) = - 3

Kod U2Kod U2

Oblicz wartość przeciwną do liczby 0011(U2) = 3:

Sprawdzenie

1101(U2) = 1 x (-23) + 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20

1101(U2) = 1 x (-8) + 1 x 4 + 0 x 2 + 1 x 11101(U2) = -8 + 4 + 11101(U2) = -3


NOT 0011

1100

+ 0001

1101

Kod U2 - działaniaKod U2 - działania


5 + (-3) 2-(-3)0101 0010

+ 1101 - 11011 0010 1 0101

Wynik 2 Wynik 5

(-2) x 3

11111110

x 00000011 11111110

+ 11111110

1011111010

Wynik = -6

10

0110 : 0011

- 011

0000

0011

NOT 0010

1101

+ 0001

1110

6 = 0110(U2)

-3= 1101(U2) - zmieniamy na 3 = 0011(U2)

kod BCD - Binary Coded Decimalkod BCD - Binary Coded Decimal


20010

30011

70111

91001

2379(10) = 0010001101111001(BCD

01101000100100110110(BCD) = 0110 1000 1001 0011 011001101000100100110110(BCD) = 6 x 104 + 8 x 103 + 9 x 102 + 3 x 101 + 6 x 100

01101000100100110110(BCD) = 6 x 10000 + 8 x 1000 + 9 x 100 + 3 x 10 + 6 x 101101000100100110110(BCD) = 60000 + 8000 + 900 + 30 + 601101000100100110110(BCD) = 68936

1672(16) = 0001011001110010(2) = 0001 0110 0111 0010(BCD) = 1672(10

Kod BCD – korekcja Kod BCD – korekcja


29 + 19 31 -180010 1001 0011 0001

+ 0001 1001 - 0001 1000 0100 0010 0001 1001

+ 0000 0110 - 0000 01100100 1000 0001 0011

Wynik = 48 Wynik = 13

Kod Gray’aKod Gray’a


Kod Gray’a000001011010110111101100

Zapis zmiennoprzecinkowyZapis zmiennoprzecinkowy

m - mantysa zapisana w systemie o podstawie pp - podstawa danego systemu pozycyjnegow - wykładnik zapisany w systemie o podstawie p.


WFP = m x pw

9,45 x 1015 = 94,5 x 1014 = 0,945 x 1016

Liczby zmiennoprzecinkoweLiczby zmiennoprzecinkowe

(3,21 x 1012)(4)

m = 3,21(4) = 3 x 40 + 2 x 4-1 + 1 x 4-2 = 3 x 1 + 2 x 1/4 + 1 x 1/16

m = 3 + 2/4 + 1/16 = 39/16

p = 10(4) = 1 x 41 + 0 x 40 = 1 x 4 + 0 x 1p = 4

w = 12(4) = 1 x 41 + 2 x 40 = 1 x 4 + 2 x 1 = 4 + 2w = 6

(3,21 x 1012)(4) = 39/16 x 46 = 14592 (10)



p = 2 , standard IEEE 754

s c m 63 62 52 51 0

znak liczby 10...01 2

0 + 10...10 3

1 – 10...11 4

01...00 – 3

cecha 01...01 – 2

przesunięta 01...10 – 1

01...11 0

10...00 1

dziękuję


systemy liczbowe w architekturze komputerów materiał do wykładu 1/3

Documents