systemy liczbowe

Systemy liczbowe

opracowanie: Agata Idczak

System liczbowy

to inaczej zbiór reguł do jednolitego zapisywania i nazywania liczb.

dla każdego systemu liczbowego istnieje zbiór znaków, za pomocą których tworzy się liczby. Znaki te zwane cyframi można zestawiać ze sobą na różne sposoby otrzymując nieskończoną liczbę kombinacji.

Dziesiętny system liczbowy

zwany też systemem decymalnym lub

arabskim to pozycyjny system liczbowy,

w którym podstawą pozycji są kolejne

potęgi liczby 10. Do zapisu liczb

potrzebne jest więc 10 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4,

5, 6, 7, 8, 9.

Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciąg cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby stanowiącej podstawę systemu. Część całkowitą i ułamkową oddziela separator dziesiętny

Pozycyjny, dziesiętny system liczbowy jest obecnie na świecie podstawowym systemem stosowanym niemal we wszystkich krajach.


Dwójkowy system liczbowy

(inaczej binarny) to pozycyjny system

liczbowy, w którym podstawą pozycji

są kolejne potęgi liczby 2. Do zapisu

liczb potrzebne są więc tylko dwa

znaki: 0 i 1.

powszechnie używany w informatyce.

System binarny to system, dzięki któremu powstały maszyny cyfrowe w tym i komputery. Komputer składa się z części elektronicznych, gdzie wymiana informacji polega na odpowiednim przesyłaniu sygnałów. Podstawą elektroniki jest prąd elektryczny, który w układach elektronicznych albo płynie albo nie. Komputer rozpoznaje sygnały i interpretuje płynący prąd jako "1", a jego brak jako "0". Operując odpowiednim ustawieniem, kiedy ma płynąc prąd, a kiedy nie ustawia różne wartości zer i jedynek. Procesor konwertuje je na liczby i w ten sposób powstają czytelne dla nas obrazy, teksty, dźwięk itp


liczba zapisana w dziesiętnym systemie

liczbowym jako 10, w systemie

dwójkowym przybiera postać 1010,

gdyż:

1x23 + 0x22 + 1x21 + 0x20 = 8+2 = 10


Obliczanie wartości binarnej liczby zapisanej w systemie dziesiętnym

zamiana 3010 na liczbę w systemie dwójkowym:30 ÷ 2 = 15 reszty 015 ÷ 2 = 7 reszty 17 ÷ 2 = 3 reszty 13 ÷ 2 = 1 reszty 11 ÷ 2 = 0 reszty 1

Aby obliczyć wartość dwójkową liczby przepisujemy od końca reszty, które nam wyszły.

Tak więc 3010 = 111102


Konwersji (zamiany) liczby w systemie dziesiętnym na system dwójkowy można dokonać poprzez wielokrotne dzielenie przez 2 i spisywanie reszt z dzielenia. Podczas dzielenia można otrzymać reszty 0 albo 1. Przy ilorazie równym zero należy spisać ostatnią resztę i odczytać ciąg utworzony z reszt zaczynając od ostatniej, kończąc na pierwszej. Utworzony w ten sposób ciąg jest reprezentacją binarną liczby dziesiętnej


Obliczanie wartości dziesiętnej

liczby zapisanej w systemie

dwójkowym

111102 =11110=

1x24 + 1x23 + 1x22 + 1x21 + 0x20 =

1 x 16 + 1 x 8 + 1 x 4 + 1 x 2 + 0 x 1

= 16 + 8 + 4 + 2 = 30


127 ÷ 2 = 63 reszty 1 19 ÷ 2 = 9 reszty 163 ÷ 2 = 31 reszty 1 9 ÷ 2 = 4 reszty 131 ÷ 2 = 15 reszty 1 4 ÷ 2 = 2 reszty 015 ÷ 2 = 7 reszty 1 2 ÷ 2 = 1 reszty 07 ÷ 2 = 3 reszty 1 1 ÷ 2 = 0 reszty 1

3 ÷ 2 = 1 reszty 1 1910 =

(10011)2 1 ÷ 2 = 0 reszty 1

12710 = (1111111)2


Dodawanie liczbDo wykonywania dodawania niezbędna jest znajomość tabliczki dodawania, czyli wyników sumowania każdej cyfry z każdą inną. W systemie dwójkowym mamy tylko dwie cyfry 0 i 1, zatem tabliczka dodawania jest prosta i składa się tylko z czterech pozycji:

0 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 10


Mnożenie liczbMnożenie liczb w układzie dwójkowym jest szczególnie proste, gdyż cała tabliczka mnożenia przedstawia się następująco:

0 ∙ 0 = 00 ∙ 1 = 01 ∙ 0 = 01 ∙ 1 = 1


Odejmowanie można zastąpić

dodawaniem, jeżeli utworzy się

dopełnienie odejmowanej liczby.

Dzielenie w układzie dwójkowym to

wielokrotne odejmowanie


System ósemkowy, zwany też oktogonalnym. Podstawą tego systemu jest liczba 8 i posiada on osiem cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Liczba 8 to trzecia potęga dwójki. Każdym trzem cyfrom systemu binarnego (dwójkowego) odpowiada jedna cyfra systemu ósemkowego.

System ten więc jest również wykorzystywany w informatyce.

Ósemkowy system liczbowy

Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciągi cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby będącej podstawą systemu, np. liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 100, w ósemkowym przybiera postać 144, gdyż:

• 1×82 + 4×81 + 4×80 = 64 + 32 + 4 = 100.


Przykład zamiany liczby z systemu dziesiętnego na system ósemkowy100:8 = 12 reszty = 4 12:8 =1 reszty = 4 1:8= 0 reszty = 1 Teraz czytamy od dołu: 144 w systemie oktalnym to 100 w systemie dziesiętnym.


Szesnastkowy system liczbowy

system różny od tego, którego używamy na co dzień. Różni się o tyle, że bazuje na liczbie 16, a więc potrzebuje 16 znaków za pomocą, których można zapisać dowolną liczbę. Szesnastkowy system liczbowy jest właściwy komputerom, ponieważ pozwala na zapis większych liczb w mniejszych przestrzeniach pamięci.


W systemie szesnastkowym wyróżniamy 16 cyfr:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F Często system szesnastkowy jest

określany nazwą Hex od słowa stworzonego przez firmę IBM hexadecimal.


Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciągi znaków, z których każdy jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby stanowiącej podstawę systemu, np. liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 1000, w hex przybiera postać 3E8, gdyż:

3×162 + 14×161 + 8×160 =

= 768 + 224 + 8 = 1000.


Hex jest powszechnie używany w informatyce, ponieważ wartość pojedynczego bajtu można opisać używając tylko dwóch cyfr szesnastkowych. W ten sposób można kolejne bajty łatwo przedstawić w postaci ciągu liczb hex. Jednocześnie zapis 4 bitów można łatwo przełożyć na jedną cyfrę hex.


Dla przykładu: 216 = 65.536dec = 1.0000hex

224 = 16.777.216dec = 100.0000hex

232 = 4.294.967.296dec = 1.0000.0000hex

216-1 = 65.535dec = FFFFhex

224-1 = 16.777.215dec = FF.FFFFhex

232-1 = 4.294.967.295dec = FFFF.FFFFhex

FFFFhex, FF.FFFFhex i FFFF.FFFFhex są krótsze i

łatwiejsze do zapamiętania.

Konwersji (zamiany) liczby w systemie dziesiętnym na system heksadecymalny można dokonać poprzez wielokrotne dzielenie przez 16 i spisywanie reszt z dzielenia. Przy ilorazie równym zero należy spisać ostatnią resztę i odczytać ciąg utworzony z reszt zaczynając od ostatniej, kończąc na pierwszej. Utworzony w ten sposób ciąg jest reprezentacją szesnastkową liczby dziesiętnej.


systemy liczbowe

Documents