TÄRPPEJÄ – YO 2010TÄRPPEJÄ – YO 2010PITKÄ MATEMATIIKKAPITKÄ MATEMATIIKKA

KURSSIT 0 - 2KURSSIT 0 - 2

2.

3.

S08

4

3

32

1x | 12

6 – 4x > 9

-4x > 3 | : (-4)

4

3x

25555555 nnnnn

25555 n

251 55 n

24

251

n

n

4x3 - 5x2 = 2x – 3x3

4x3- 5x2 – 2x + 3x3 = 0

7x3 – 5x2 – 2x = 0

x(x2 – 5x2 – 2) = 0

x = 0 V x = 1 V x = -2/7

YOs09

VEROTON HINTA + ALV = VEROLLINEN HINTA (ASIAKKAAN MAKSAMA HINTA)

veroton hinta = x

1,17 x = 54,35

x = 46,65

UUSI ALV = 17 % - 9 % = 8 %

1,08 46,45 50,17

54,35 € – 50,17 € = 4,18 € HALVEMPI

50,17 / 54,35 = 0,9231

100% - 92,3% = 7,7 %

Esimerkki 3

Sievennä murtolauseke

273

312)(

2

2

xx

xxr

)2)(31

(3

)4(3 2

xx

x

rtk-kaavalla nimittäjän nollakohdat

x1 = 1/3 ja x2 =2

)2)(13(

)2)(2(3

xx

xx

)2)(31(

)2)(2(3

xx

xx

x

x

31

63

KURSSI 3KURSSI 3

S06

r

A

Ar 2

A

r 2

A

r

Ympyrän ympäri piirretty neliö

sivu = 2r

A

2

AA

AN4

)2( 2

Ympyrän sisään piirretty neliö:

r = neliön lävistäjän puolikas

neliön sivu a: 2)2(22 raa

A

aA

Aa

s

2

42

2

2

242 2 ra

YOS08

d = 0,35 m

d = 0,10 m

14 m

h

35,0

10,0

14

h

)(4

4,135,0

mh

h

Tukin pituus = 14m – 4 m = 10 m

Yhden tukin tilavuus: 4385,0405,03

114175,0

3

1 22 V

Kaadettujen määrä: 456200

V

Huom: vastaukseksi on käynyt myös 457, 450, 460

KURSSI 4KURSSI 4

S08Taulukkokirjan kaava:

y – y0 = k(x – x0)

5

11

5

3

1135

1153

xy

xy

yx

k = 3/5

)6(5

38 xy

)6(3405 xy

183405 xy

02253 yx

YMPYRÄN TANGENTTI

suora s on tangentti

tangentilla ja ympyrällä yksi yhteinen piste

yhteiseen pisteeseen piirretty säde on kohtisuorassa tangenttia vasten

s

Esimerkki 4, kirjasta

Määritä pisteestä (3, 5) ympyrälle x2 + y2 = 2 piirrettyjen tangenttien yhtälöt

Tangentin kulmakerroin = k

Tangentin yhtälö:

y – 5 = k(x – 3)

kx – y – 3k + 5 = 0

Ympyrän kp = (0, 0) säde = 2

Tangentti on säteen etäisyydellä keskipisteestä:

2)1(

|5300|22

k

kk2

1

|35|2

k

k 12|35| 2 kk

22|35| 2 kk 2293025 22 kkk 023307 2 kk

Ratkaisukaavalla: k = 1 tai k = 23/7

x – y + 2 = 0, 23x – 7y -34 = 0

22

00

ba

cbyaxd

KURSSI 5KURSSI 5

jijiAB 24)13()37(

jijiCD 64)42()13(

282644

CDAB

522024 22

AB 13452)6()4( 22

CD

28

7

13252

28cos

3,150

KUVIO – 1 PISTE

i + 7j =x(2i + 3j) +y(-7i + 6j)

i + 7j =2xi + 3xj -7yi + 6yj

i + 7j =(2x-7y)i + (3x+6y)j

763

172

yx

yx

14126

3216

yx

yx

33y = 11

y = 1/3

x sijoittamalla: x= 5/3

)23

7- 5

3

10

(3

1

3

57

jiji

tai

baji

KURSSI 6KURSSI 6

P(kuoret samanväriset)

= P(rr tai mm tai ss)

15

1

16

237,0

30

11

15

7

16

8

15

5

16

6

S05

s00

300310

15

25 = 32

E.4. Noppaa heitetään kahdesti. Esitä satunnaismuuttujan x = silmälukujen erotuksen itseisarvon jakauma.

1 2 3 4 5 61. noppa

2. noppa6

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

0

4

3

2

1

0

1

3

2

1

0

1

2

2

1

0

1

2

3

1

0

1

2

3

4

0

1

2

3

4

5

p0 = 6/36p1 = 10/36p2 = 8/36 p3 = 6/36 p4 = 4/36 p5 = 2/36

x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4, x5 = 5

E.7. Mikä on kahden nopan heitossa silmälukujen erotuksen itseisarvon odotusarvo?

E.4…p0 = 6/36p1 = 10/36p2 = 8/36 p3 = 6/36 p4 = 4/36 p5 = 2/36

18

355

36

24

36

43

36

62

36

81

36

100

36

6Ex =

x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4, x5 = 5

i

iixpXE )(

Edellinen päivä Seuraava päivä: sataa pouta

Pouta 0,20 0,80

Sade 0,60 0,40

Ylihuomenna sataa, kun tänään on pouta

PPS tai PSS

P(PPS tai PSS) = 1 0,80 0,20 + 1 0,20 0,60 = 0,28

V: 28 % todennäköisyydellä

KURSSI 7KURSSI 7

Dsinx = cosx

Dcosx = -sinx

Dfg =fDg + gDf

f ’(x) = sinx Dcosx + cosx Dsinx

= sinx (-sinx) + cosx cosx

= -sin2x + cos2x

f ’(0) = -sin20 + cos20 = 1

f ’ (x) = 2x – 3

2x – 3 = 1

2x = 4

x = 2

k = tan

y ’ = 2x – 2

2x – 2 = 1

x = 3/2

y sijoittamalla

y = (3/2)2 – 2 (3/2) – 3 =-15/4

KURSSI 8KURSSI 8

ex = e0

x = 0

logxy = logx + logy

logxr = rlogx

yxy

xlogloglog

log(xy2) – 2logy

= logx + logy2 – 2logy

= logx + 2logy – 2logy

=logx

E.4.E.4. Milloin funktio f(x) = ln (x2 + 3) - ½ln x on vähenevä?

f ’(x) = xx

x

xx

x

2

1

3

21

2

1

3

222

xx

xxx

2)3(

)3(1222

2

xx

xx

2)3(

342

22

xx

x

2)3(

)1(32

2

0 1

x2 - 1

2x

- +

+ +

f ’(x)

f (x)

- +

Määritelty, kun x > 0, jolloin jatkuva ja derivoituva

V: Vähenevä, kun 0 < x < 1V: Vähenevä, kun 0 < x < 1

KURSSI 9KURSSI 9

E.4.Määritä yhtälön sin 2x = sin 30° ne ratkaisut, jotka ovat välillä [-180°, 270°].

2x = 30 + n 360 tai 2x = (180 - 30) + n 360

2x = 30 + n 360 tai 2x = 150 + n 360 x = 15 + n 180 tai x = 75 + n 180

x = -165 tai x = 15 tai x = 195 x = -105 tai x = 75 tai x = 255

K06

S04

KURSSI 10KURSSI 10

2

12

1dx

x 2

1

2dxx

Cn

xdxx

nn

1

1

)12

(/122

1

x)

1(/

12

1

xx

1/2

1

2

1)

2

1())

1

1

2

1(

S20082.

dxxe x )( 3 dxxdxe x333

1

Cn

fdxff

nn

1'

1

Osittaisintegointi fdxgfggdxf ''

3dxxeE x.17. f ’(x) = ex g(x) = x

f(x) = ex g’(x) = 1

dxeexdxexe xxxx 1

CexCeex xxx )1(