ANTIDERIVADAS 

Definición: 

La  función  F  es  una  antiderivada  de  f  en  un 

intervalo I si y sólo si  ( )´( ) ( )x I F x f x∀ ∈ =  

Ejemplos: 

f(x)  F(x) Sen(x)  ‐Cos(x)+C ex  ex+C 

Cos(x)  Sen(x)+C x  2

2x C+  

1x  

ln x C+  

Sec2(x)  Tan(x)+C Csc2(x)  ‐Cot(x)+C 

2

11x +  

arc tan(x)+C ‐arc cot(x)+C 

2

11 x−  

arc sen(x)+C ‐arc cos(x)+C 

xn, n≠‐1  1

, 11

nx nn

+

≠ −+  

2

11x x −  

arc sec(x)+C ‐arc csc(x)+c 

ax, a lR+‐{1} 

{ }, 1ln( )

xa a lRa

+∈ −  

Sec(x)Tan(x)  Sec(x)+C Csc(x)Cot(x)  ‐Csc(x)+C 

 

De acuerdo a la definición de antiderivada: 

F es una antiderivada de f ↔ ( )´( ) ( )F x f x= . 

 

( )( ) ´( ) , pero ´( ) ( )( )

d F x C F x dx F x f xf x dx

+ = =

=  

El  operador  inverso  del  diferencial    es  el 

integral indefinido que está denotado por 

d

∫  

( )( ) ( )

( ) ( )

d F x C f x dx

f x dx F x C

+ =

⇒ = +

∫ ∫∫  

 

TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS 

1. ( ) ( )kf x dx k f x dx=∫ ∫ , k es una constante real 

2. ( )( ) ( ) ( )f g x dx f x dx g x dx+ = +∫ ∫ ∫  3. kdx kx C= +∫ , k es una constante 

real 4. 1

, 11

nn xx dx C n

n

+

= + ≠+∫ −  

5. lndx x Cx= +∫  

6. x xe dx e C= +∫  

7. { }, 1ln( )

xx aa dx C a lR

a+

= + ∈ −∫  

8. ( ) ( )Sen x dx Cos x C= − +∫  9. ( ) ( )Cos x dx Sen x C= +∫  10. 2( ) ( )Sec x dx Tan x C= +∫  11. 2( ) ( )Csc x dx Cot x C= − +∫  12. ( ) ( ) ( )Sec x Tan x dx Sec x C= +∫  13. ( ) ( ) ( )Csc x Cot x dx Csc x C= − +∫  14.

2 ( )1

( )

dx arcTan x Cx

arcCot x C

= ++

= − +

∫ 

15. 2

( )1

( )

dx arcSen x Cx

arcCos x C

= +−

= − +

∫ 

16. 2

( )1

( )

dx arcSec x Cx x

arcCsc x C

= +−

= − +

∫ 

17. , 0

kxkx ee dx C k

k= + ≠∫  

 

Demostrar las propiedades de linealidad de la antiderivada. 

Actividad realizada en el aula. 

 

Ejemplos: 

Determinar  la  antiderivada  de  las  siguientes funciones: 

1. 4( ) 3 ( ) ( ) 3 ( )f x Sec x Tan x Cos xx

= − + −  

2. ( )22

2( ) ( ) 3 21

x xg x Sec x ex

= + − ++  

 

Desarrollo 

1.

43 ( ) ( ) 3 ( )

3 ( ) ( ) 4 3 ( )

3 ( ) 4 ln 3 ( )

Sec x Tan x Cos x dxx

dxSec x Tan x dx dx Cos x dxx

Sec x x x Sen x C

⎛ ⎞− + − =⎜ ⎟⎝ ⎠

= − + −

= − + − +

∫

∫ ∫ ∫ ∫  

2. Realizado en la pizarra por alumnos. 

 

TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN 

1. REGLA GENERALIZADA DE LA POTENCIA 

Teorema: 

Si  g  es  una  función  derivable  y  n  es  un número real diferente de ‐1, entonces: 

1( )( ) ´( ) , 11

nn g xg x g x dx C n

n

+

= + ≠+∫ −  

 (demostración de teorema realizada en la pizarra) 

EJEMPLOS: 

Determinar las siguientes antiderivadas: 

1.  3( ) ( )Sec x Tan x dx∫

ln( )x dxx∫2.  

( )2( ) 1dx

arcTan x x +∫3.  

4.  kxe dx∫

5.  4( ) (2 )Sen x Sen x dx∫

2

( ) 21

arcSen x dxx+

−∫6.