Procesos Estocasticos 1. Tarea-examen 2Prof. Begona Fernandez FernandezAyud. Daniel Cervantes Filoteo

Resuelva los siguientes problemas justificando sus respuestas y entregue sus resultados, por equiposde a lo mas 5 integrantes, en un formato limpio y ordenado.

1. Sea (,F , P ) un espacio de probabilidad y sean F1 F2 F algebras. Sea Y una Fvariablealeatoria. Demuestre que:

E[Y |F1] = E[E[Y |F1]|F2] = E[E[Y |F2]|F1]

2. Sea (,F , (Fn)0n, P ) un espacio de probabilidad filtrado y tomemos (Xn)0nK una Fn martin-gala. Demuestre que:

Xn = E[Xk|Fn], 0 n k K

3. Consideremos el espacio de resultados de dos lanzamientos de monedas = {AA,AS, SA, SS}.Supongamos que los precios de una accion estan dados por:

S0 = 4, S1(AA) = S1(AS) = 8, S1(SA) = S1(SS) = 2,

S2(AA) = 16, S2(AS) = S2(SA) = 4, S2(SS) = 1

Definimos a la variable X = I{4}(S2). Determine la algebra generada por S1 y la generada porX.

4. Sea n un entero positivo y a y b reales. Consideremos el espacio de todos los vectores en Rn talesque sus entradas son a o b. Para e i = 1, ..., n definimos Xi() como la proyeccion en lacoordenada i. Definimos ademas a la variables Yi = X1 + +Xi y Zi = X1X2 Xi.a) Demuestra que la algebra generada por (X1, ..., Xn) es igual a la algebra generada por

(Y1, ..., Yn).

b) Si a y b son distintos de cero. Demuestra que la algebra generada por (X1, ..., Xn) es iguala la algebra generada por (Z1, ..., Zn).

c) Para n = 2, a = 0 y b = 1, muestra que la algebra generada por (X1, ..., Xn) contienepropiamente a la algebra generada por (Z1, ..., Zn).

5. En la urna de Polya comienzan w bolas blancas y b bolas negras. En un paso se saca una pelotaaleatoriamente, se ve, se regresa y ademas se mete otra con el mismo color. Se repite el proceso. SeaXn la proporcion de bolas blancas en la urna tras n pasos. Demuestre que Xn es una martingalarespecto de la filtracion natural.

6. Sea Xn una cadena de Morkov con espacio de estados finito E R. Supongamos que la cadenatiene dos estados absorbentes i y j, y los demas son transitorios. Sea g : R R tal que g(Xn) esuna martingala.

Demuestre, usando las propiedades de martingalas, que las probabilidades de absorcion k,i, k,jcon k E y j 6= k 6= i, satisfacen:

g(k) = g(i)k,i + g(j)k,j

k,i + k,j = 1

7. Considere una cadena de Markov Xn con espacio de estados E = {0, ..., 2N}. Con probabilidades detransicion:

Pi,j =

(2N

j

)pji (1 pi)2Nj

a) Supongamos que pi =i

2N. Demuestre que Xn es martingala y calcule las probabilidades de

absorcion.

b) Sea 0 < q < 1 y supongamos:

pi =1 qi

1 q2NDemuestre que q2NXn es martingala y calcule las probabilidades de absorcion.

8. Sea Xn un proceso con incrementos independientes y E[Xn] = 0 para toda n. Demuestre que esteproceso es una martingala (aunque no es necesario, puede utilizar la filtracion natural).

9. Considere una caminata aleatoria Sn =n

i=1 Yi tal que la funcion generadora de momentos mY (s)es finita para alguna s R. Demuestre que la sucesion:

Xn =esSn

mY (s)n

es una Fn martingala, con Fn = (Y1, ..., Yn).10. Sea Cn un proceso predecible y acotado y sea Mn una martingala. Construimos al proceso:

Xn =ni=1

Ci(Mi Mi1)

con X0 = 0. Demuestre que Xn es una martingala.

11. Considere que la probabilidad de obtener sol en cada lanzamiento de una moneda es 0.5. Y TomemosXn = 1 si en el lanzamiento n se obtiene sol y Xn = 1 en caso contrario. Para el proceso:

Yn =ni=1

Xi

a) Demuestre que es una martingala respecto a {Fn} con Fn = (X1, ..., Xn).b) Sea s una constante positiva y definimos:

Zn = esYn

(2

es + es

)nDemuestre que Zn es una martingala respecto a {Fn}.

12. Sea Xn un proceso integrable. Demuestre que Xn = max{X1, . . . , Xn} es una submartingala.

13. Sean X1, X2, . . . v.a.i.i.d. tales que P[Xi = 1] = p y P[Xi = 1] = 1 p y sea Sn = X1 + +Xn.Demuestre que:

Yn =

(1 pp

)Snes una martingala.

14. Sean X1, X2, . . . variables aleatorias independientes tales que E[Xi] = 1. Demuestre que:

Yn =ni=1

Xi

es una martingala.

15. Sean X1, X2, . . . variables aleatorias independientes tales que E[Xi] = i y Var(Xi) = 2i < .Demuestre que:

Yn =

(ni=1

(Xi i))2

ni=1

2i

es una martingala.

16. Sea Nt un proceso de Poisson de parametro . Demuestre que los siguentes procesos son martingalas:

a) Yn = (Nn n)2 n.b) Yn = exp(Nn + n(1 e)); R.

17. Sean X1, X2, . . . variables aleatorias independientes tales que Sn = X1 + +Xn es una martingala.Demuestre que E[XiXj ] = 0 para i 6= j.

En los siguientes dos ejercicios Considere el Modelo de Cox-Ross y Rubinstein:

S0n = (1 + r)n, S00 = 1,

Sn = Sn1Tn, S0 = s.

donde las v.a. Tn son independientes, identicamente distribuidas con valores en {1 + b, 1 + a}.Supongamos que r (b, a). Calcule p tal que

p = P [Tn = 1 + a],

y satisface que Sn es martingala.

18. Sea Cn (Pn) el valor de un Call (Put) europeo al instante n sobre una unidad de un activo conriesgo de precio de ejercicio K y fecha de ejercicio T . Usando la formula en terminos de esperanzacondicional para Cn y Pn demuestre que

Cn Pn = Sn K(1 + r)(Tn)

19. Demuestre que Cn se puede escribir como

Cn = c(n, Sn),

donde

c(n, x) = (1 + r)NnE[x

Ni=n+1

Ti K]

+

.

De una expresion explcita para la expresion de c(n, x).

20. Consideremos un call europeo sobre dolares con fecha de ejercicio manana, es decir T = 1. SeaS0 = 150 pesos el precio de hoy de 100 dolares. Supongamos que 100 dolares manana tienen dosposibilidades, o bien pueden valer 180 pesos con probabilidad ,7 o bien pueden valer 90 pesos conprobabilidad ,3 y que el precio de ejercicio K es igual a 150 pesos. Supongamos que la tasa libre deriesgo es r = 0. Tenemos:

E [(ST K)+] = 21Encuentre una estrategia de inversion con la que se puede hacer arbitraje.

Este ejemplo muestra que en la valuacion de un instrumento hay que calcular la esperanza conrespecto a la probabilidad P .