Universidad del Bo-Bo Facultad de Ingeniera Depto. Ingeniera Industrial Investigacin de Operaciones II: TEORIA DE COLAS, FENOMENOS DE ESPERA Integrantes:Pedro Chvez Cristian GuajardoVictor PinoMilton SaavedraN Grupo:7 Profesor:Milton Ramrez Domingo 29 de Enero de 2012 2 INDICE I. INTRODUCCION .......................................................................................................................... 3 II. MODELO DE LINEAS DE ESPERA. ............................................................................................... 4 II.1.Elementos bsicos del modelo de Lneas de espera ..................................................... 4 II.1.a.Fuente de entrada o poblacin potencial ........................................................ 4 II.1.b.Cliente .................................................................................................................. 4 II.1.c.Capacidad de la cola .......................................................................................... 4 II.1.d.Disciplina de la cola ............................................................................................ 4 II.1.e.Instalacin o mecanismo de servicio ............................................................... 4 II.1.f.Cola ....................................................................................................................... 5 II.1.g.Sistema de la cola .............................................................................................. 5 II.2.Consideraciones ............................................................................................................ 5 III. PROCESO BASICO DE COLAS ..................................................................................................... 6 III.1.Estructura bsica ........................................................................................................... 6 III.2.Tipos de Sistemas .......................................................................................................... 6 III.2.a.Una lnea un servidor. ........................................................................................ 6 III.2.b.Una lnea, mltiples servidores. ....................................................................... 6 III.2.c.Varias lneas, mltiples servidores. ................................................................. 7 III.2.d.Una lnea, servidores secuenciales. ................................................................ 7 IV. FUNCIONES DE LA DISTRIBUCION DE POISSON Y EXPONENCIAL ............................................ 7 IV.1.Axiomas ......................................................................................................................... 8 IV.1.a. Axioma 1 ................................................................................................................. 8 IV.1.b.Axioma 2 .............................................................................................................. 8 IV.1.c.Axioma 3 .............................................................................................................. 8 IV.2.Colas especializadas de Poisson .................................................................................... 9 V. MEDIDA DE RENDIMIENTO DE ESTADO DESEABLE ................................................................. 10 VI. LINEAS DE ESPERA CON LLEGADAS Y SALIDAS COMBINADAS. .............................................. 11 VII. APLICACIONES Y EJEMPLO .................................................................................................... 12 VII.1.Ejemplo .................................................................................................................... 12 VIII. CONCLUSIONES .................................................................................................................... 14 IX. REFERENCIAS .......................................................................................................................... 15 3 I. INTRODUCCION Lateoradecolasesunacoleccindemodelosmatemticosquedescriben sistemas de lneas de espera particulares o de sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar el comportamiento de estado estable, como la longitud promedio de la lnea y el tiempo de espera promedio para un sistema dado.Bsicamentelosobjetivosdelateoradecolaspermitenidentificarelnivel ptimo de capacidad del sistema que minimiza el coste global del mismo, sin dejar de lado la atencin al tiempo de permanencia en el sistema o en la cola. EstateoraapareceaprincipiosdelsigloXXparaestudiarlosproblemasde congestindetrficoquesepresentabanenlascomunicacionestelefnicas.Erlang, destacadomatemticodans,fueelprimeroentratareltrficotelefnicodeforma cientfica (entre los aos 1903 y 1905), y estableci la unidad de trfico telefnico, que recibe su nombre.Comnmenteelproblemaenlascolassurgealquererestableceruna determinadacapacidadotasadeservicioqueseabalanceada,puestoqueunmal clculo de las colas puede llevar a un costo operacional excesivo, y en contraposicin puedecausarcostossocialeslosquesevenreflejadosenunaprdidadeclientes, como tambin al mantener empleados ociosos. A continuacin se presentan en detalle los elementos que conforman el modelo delneasdeespera,mtodosparasudesarrolloylosproblemasenquesepueden aplicar. 4 II. MODELO DE LINEAS DE ESPERA. Cuandosehabladelneasdeesperaserefierealascreadaspor clientes o por las estaciones de servicio. Un factor por lo que los clientestengan que esperarencolapuedeserporquelosmedioexistentessonlosinadecuadospara satisfacer la demanda de servicio, en estos casos, la cola tiende a ser explosiva, esto significa que ha medida que pase el tiempo la cola ir en aumento.Los modelos de lnea de espera consisten en frmulas y relaciones matemticas que pueden usarse para determinar las caractersticas operativas (medidas de desempeo) para una cola. Si se tiene, dicha informacin, se puede ser capaz de tomar decisiones que equilibren los niveles de servicio deseables con el costo de proporcionar dicho servicio. II.1.Elementos bsicos del modelo de Lneas de espera II.1.a.Fuente de entrada o poblacin potencial Conjuntodeindividuosposiblesusuariosdelservicio.Estapuedeserfinitao infinita, aunque esta ltima no es realista, nos ayuda a resolver de forma ms sencilla muchassituacionesenlasquelapoblacinesfinitaperodegrantamao.Ejemplos seran: personas, automviles, mquinas que puedan requerir reparacin, documentos y diversos artculos. II.1.b.Cliente Todoindividuo,entidadoelementodelapoblacinpotencialquesolicitael servicio, en ocasiones formar una cola. II.1.c.Capacidad de la cola Mximo nmero de clientes que pueden estar haciendo cola antes de recibir el servicio. Puede ser finito o infinito. II.1.d.Disciplina de la cola Ordenenelqueseseleccionanlosmiembrosdeunacolapararecibirel servicio. Las disciplinas ms habituales son: -LadisciplinaFCFS(firstcomefirtsserve):Seatiendealclientequeprimerohaya llegado. -La disciplina LCFS (last come first serve): Se atiende primero al cliente que ha llegado ltimo. -La SIRO (random selection of service): Selecciona a los clientes de forma aleatoria. II.1.e.Instalacin o mecanismo de servicio Procedimientoporelcualseentregaelservicioalcliente.Consisteenunao msinstalacionesdeservicio,dondecadaunadeellasconstaconunooms servidores.Conocidoelnmerodeservidoresesnecesarioconocereltiempoque transcurre desde el inicio del servicio hasta su terminacin en una instalacin segn el 5 cliente, el cual es llamada tiempo o duracin de servicio. Un modelo de un sistema de colas debe especificar la distribucin de la probabilidad de los tiempos de servicio para cada servidor. II.1.f.Cola Nmerodeclientesqueesperanseratendidosporelservicioquehan solicitado, no incluye a quien est recibiendo el servicio. II.1.g.Sistema de la cola Conjuntoformadoporlacolayelmecanismodeservicio,lafuentesonlos clientes que tienen la alternativa de iniciar el servicio o esperar en la cola su turno. Loselementosbsicosdeunmodelodeesperadependendelossiguientes factores: -Distribucin de llegada. -Distribucin de tiempo de servicio. -Diseo de instalaciones de servicios. -Disciplina de servicio. -Tamao de cola. -Fuente de llamadas. II.2.Consideraciones Otrofactorquepodraconsiderarseenlaslneasdeesperaeslaconducta humana, ya que un cliente puede cambiarse de una lnea de espera a otra pensando enreducirsutiempodeespera.Algunaspersonastambinpuedeneludirlalnea cuandosepercatanquelademoraserdeartotiempo,obien,puedenrenunciar despus de estar un momento en la fila ya que su espera haya sido demasiado larga. Como complemento definiremos los costos posibles: -Costos de espera: Es lo que significa al cliente tener que esperar en la cola, es decir el costo oportunidad del tiempo que ha de demorarse en ser atendido.-Costo de servicio: Es el costo de operacin del servicio entregado. Uno de los objetivos de un sistema de colas es encontrar el sistema del costo total mnimo.Desde el punto de vista de un modelo de espera, una situacin de lneas de esperasegeneradelasiguientemanera:cuandounclientellegaauna instalacinseformaunalneadeespera,elservidoratiendealcliente correspondientedelacolaparacomenzaryprestarelservicio,alterminarel servicioconelcliente, serepiteelservicioconelsiguienteenespera.Se supone quenosepierdetiempoentreelmomentoqueunclienteyaatendidosaledela instalacin y la admisin de un nuevo cliente en espera. Desdeelpuntodevistadelanlisisdecolas,lallegadadeclientesse representapormediadel"tiempoentrellegadas"yel serviciosedescribeporel "tiempo de -servicio" por cliente. En general los tiempos entre llegada y servicios pueden -ser probabilstica. 6 III. PROCESO BASICO DE COLAS Elprocesobsicosupuestoporlamayoradelosmodelosdecolaesel siguiente:losclientesentranyseunenalsistemadecolas,endeterminado momentoseseleccionaunmiembrolacolaparaproporcionarleelservicio, medianteunareglaconocidacomo"disciplinadecola",posteriormenteenun mecanismo de servicio se lleva a cabo la necesidad del cliente, ante lo cual sale delsistemadecolas.Ladisciplinamscomnesalquellegaprimerosele atiendeprimero(FCFS).Otrasdisciplinasinfluyenalquellegaalltimosele atiendeprimero(LCFS)yservicioenordenaleatorio(SIRO).Losclientes tambin se pueden seleccionar de la cola con pase en algn orden de prioridad. III.1.Estructura bsica Permitiendoquevarenelnmerodecolasyelnmerodeservidores,pueden hacerselos:diagramasde,loscuatro,tiposdesistemascomoseobservaenlas siguientes figuras. III.2.Tipos de Sistemas III.2.a.Una lnea un servidor. Seutilizaparadescribir sistemasdeunasolacola,como lavadosdeautoosistemasde descarga. III.2.b.Una lnea, mltiples servidores. Unalneademltiples servidores,esutilizadotpicamente ensistemasenlosqueseavanza mediantevariosservidores,comoen unacarniceraofarmacia,enlaque cuando se llega al local se debe sacar unnmeroyseesperaelturno correspondiente. 7 III.2.c.Varias lneas, mltiples servidores. Esaquelendondecada serviciotienesupropiacola, estoquedaclaroenelcasode losbancosyaqueestostienen colasparaclientes,empresasy pblico general. III.2.d.Una lnea, servidores secuenciales. Esunsistemadecolade servicios, esto generalmente ocurre en una fbrica. IV. FUNCIONES DE LA DISTRIBUCION DE POISSON Y EXPONENCIAL En la mayor parte de las situaciones de colas, el arribo de los clientes ocurre en formatotalmentealeatoria:estecarcteraleatoriosignificaquelaocurrenciadeun evento (por ejemplo la llegada de un cliente o el trmino de un servicio) no est influido por el tiempo que trascurre desde la ocurrencia del ltimo evento.Lostiemposaleatoriosentrellegadasydeserviciosedescribeenforma cuantitativaconelpropsitodelmodeladodecolasmedianteladistribucin exponencial, que se define como: te T f** ) (oo=, 0 > t (Exponencial) Con media { })`=o1t E 8 Parailustrarlaaplicacindelasdistribucionesdepoissonyexponencial,se consideraunasituacindeesperaenlacualelnumerodellegadasysalidas(alas que se le da servicio), durante un intervalo de tiempo es controlado por los siguientes axiomas. IV.1.AxiomasIV.1.a. Axioma 1 La probabilidad que un evento (llegada o salida) ocurra entre los tiempos t y t+h dependenicamentedelalongituddehloquesignificaquelaprobabilidadno depende ni del numero de evento que ocurren hasta el tiempo t ni del valor especifico delperiodo(0,t).(Matemticamentedecimosquelafuncindeprobabilidadtiene incrementos independientes estacionarios). IV.1.b. Axioma 2 Laprobabilidadqueocurranneventosduranteunintervalodetiempomuy pequeo h es positiva, pero menos que uno. IV.1.c.Axioma 3 Cuandomucho,puedeocurriruneventoduranteunintervalodetiempomuy pequeo h. Estastrescondicionesdescribenunprocesodondeelconteodeeventos duranteunintervalodetiempodadosigueladistribucindepoissonyque equivalentemente, el intervalo de tiempos entre eventos sucesivos es exponencial. En este caso decimos que las condiciones representan un proceso de poisson, definiendo lo siguientes se tiene: Pn(t)= probabilidad de que ocurran n eventos durante el tiempo t. Comof(t)esunadistribucinexponencial,lateoradelaprobabilidadindica Pn(t) debe ser una distribucin de poisson, o sea: !* ) * () (*ne tt Pt nnoo= ,,... 2 , 1 , 0 = n (Poisson) El valor medio de n durante un periodo dadot es { } { } t t n E * / o = = eventos. Esto significa que alfa representa la tasa a la que ocurren los eventos. La conclusin de los resultados anteriores es que si el intervalo de tiempo entre eventos sucesivos es exponencial con media de 1/ounidades de tiempo, entonces, el nmerodeeventosdeunperiododadodebecorresponderaunadistribucinde 9 poisson,oconunatasamediadeocurrencia(eventoporunidaddetiempo)o .El enunciado inverso igual es verdadero. El proceso de poisson esun proceso completamente aleatorio porque tiene la propiedaddequeelintervalodetiempoquepermanecehastalaocurrenciadel prximoevento,estotalmenteindependientedelintervalotiempoquehatrascurrido desdelaocurrenciadelltimoevento.Estapropiedadequivaleademostrarel siguiente enunciado de probabilidad: { } { } T t P s T S T t P > = > + > | Donde s es el intervalo de tiempo desde la ocurrencia del ltimo evento.Como t es exponencial, tenemos: { }{ }{ }{ }{ } S t PS T t PS T PS T S T t PS T S T t P> + >=>> + >= > + >|| TSS Teee**) ( *ooo+ = = { } T t P> = Esta propiedad suele denominarse olvido o falta de memoria de la distribucin exponencial, y es la base para demostrar que la distribucin de poisson es totalmente aleatoria. Otra caracterstica que distingue a la de poisson es que es la nica distribucin cuyamediaesigualalavarianza.Enocasionesseusaestapropiedadcomoun indicadorinicialparaconocersilosdatosdemuestra setomarondeunadistribucin de poisson. IV.2.Colas especializadas de PoissonSetieneunasituacinespecializadadecoladepoissoncservidores paralelosidnticos.Unclienteenesperaseseleccionadelacolaparainicialel servicioconelprimerservidorlibre.Latasadellegadaalsistemaes clientespor unidad de tiempo. Todos los servidores ofrecen servicios iguales lo que significa que la tasa de servicio para cualquier servidor esclientes por unidad de tiempo. El nmero declienteenelsistemaestdefinidoparaincluirlosqueestnenservicioylosque esperan en la cola.La notacin estndar descrita fue ideada originalmente por DG kendall en 1953 en la forma (a/b/c) y sele conoce enla literatura como notacin de kendall despus, A.M. lee en 1966 agreg los smbolos d y e a la notacin de kendall. En el modelo se 10 aumentalanotacindekendall-leemedianteelusodelsmbolof,querepresentala capacidad de las fuentes de llamadas. (a/b/c):(d/e/f) Donde: - a: descripcin de la distribucin de llagadas- b: descripcin dela distribucin del tiempo de servicio (o de salidas) - c: numero de servidores en paralelo - d: disciplina general de servicio o de la cola - e: nmero mximo (finito o infinito) admitido en el sistema (en la cola y adems en el servicio). - f: tamao de la fuente de llegada (finito o infinito) La notacin estndar para representar las distribuciones de llagada y salida (smbolos a y b) son: -M: distribucin de llegadas o salidas Markovianas (o de poisson) o como de forma equivalente, distribucin de llegadas o de tiempo de servicio exponencial. -D: distribucin degenerada (tiempos constantes) -Ek: distribucin Erlang o gama del tiempo (suma de distribuciones exponenciales independientes) -GI: distribucin general (permite cualquier distribucin arbitraria) del tiempo de llegadas. -G: distribucin general (permite cualquier distribucin arbitraria) del tiempo de servicio. La notacin de la disciplina de colas (smbolo d) incluye: -FCFS: el primero que llega es el primero que se entiende -LCFS: el ltimo que llega es el primero que se atiende -SIRO: servicio en orden aleatorio. -GD: disciplina general, es decir, cualquier tipo de disciplina. V. MEDIDA DE RENDIMIENTO DE ESTADO DESEABLE Lasmedidasdedesempeodeestadoestables sepuedenusarparaanalizar laoperacindelaslneasdeesperaconelfindehacerrecomendacionessobreel diseodelsistema,entrelasprincipalesmedidasdedesempeosecuentan:el nmero de clientes estimados en espera, el tiempo estimado de espera por cliente y la utilizacin estimada del servicio. Lasmedidasderendimientomscomnmenteusadasenunasituacindecolas son: -Ls: nmero esperado de clientes en el sistema. -Lq: nmero esperado de clientes en la cola. -Ws: tiempo aproximado de espera en el sistema. -Wg: tiempo aproximado de espera en la cola. 11 -C: nmero esperado de servidores ocupados. VI. LINEAS DE ESPERA CON LLEGADAS Y SALIDAS COMBINADAS. Modelo (M/M/1) :(GD//) Esteesunmodelodondeseindicaquelaentradaollegadaalsistemaes poisson,laatencinesexponencial,setieneunnicoservidorqueprestalos servicios. Este modelo presenta una disciplina de cola general (generalmente es fcfs), la capacidad del sistema y de la fuente son infinitas. Sesuponequelastasasdellegadassonindependientesdelnmeroenel sistema, es decir n = . Similarmente se supone que el servidor completa su servicio a una tasa constante, es decir, n = . Definiendoobtenemoslasiguientefrmulageneralparaestemodelo generalizado de Poisson: Ecuaciones del Sistema M/M/1( > ): =Tasa de llegada o nmero promedio de llegada de cliente por unidad de tiempo. 1/=Tiempo medio entre llegadas. 1/=Tiempo promedio de atencin a un cliente. =Tasadeservicioonmeropromediodeserviciosporunidaddetiempo.Este parmetro representa la mxima capacidad de servicio.n=Cantidad de clientes en espera. PW : Probabilidad de que el sistema este ocupado. Pw debe ser menor que 1 porque de locontrario,silleganmsclientesquelacapacidaddeatencinquedebetenerel sistema,seformarunacolacuyocrecimientoserinfinito.Siesmayorque1,se debern agregar ms servidores al sistema de manera que se cumpla la condicin. = =WPP0 : Probabilidad de que el sistema este vaco. = = = = 1 1 10 WP PPn: Probabilidad de que haya n unidades en el sistema. n nnP P P ) .( .0 0 = = 12 L: Valor esperado de unidades en el sistema. == ==10 nnnP L Lq: Valor esperado de unidades que esperan ser atendida (cola). ) ( 12 2 ==qLW: Valor esperado del tiempo en que una unidad se encuentra en el sistema. = =1 LWWq:Valoresperadodeltiempoenqueunaunidadtienequeesperarantesdeser atendida (tiempo en la cola). ) .( = =qqLWLas lneas de espera que combinan salidas y llegadas se inician en condiciones transitorias y llegan gradualmente al estado estable despus de haber transcurrido un tiempolosuficientementegrande,siemprequelosparmetrospermitanquese alcance el estado estable. VII. APLICACIONES Y EJEMPLO Un ejemplo claro de este tipo de colas es en un lavado de autos en donde se disponedeunamaquinanicapararealizarelservicioylosclientesesperandosu servicio. El uso de cajeros automticos es otro ejemplo de este tipo de modelo. El uso de la maquina principal para el proceso de la madera en un aserradero. VII.1.Ejemplo Losclienteslleganaunaventanillabancariadeautoservicio,segnuna distribucin de Poissoncon media de 10 por hora.El tiempo de servicio por cliente es exponencial con media de 5 minutos.El espacio en frente de la ventanilla, incluyendo alautoalqueseleestdandoservicio,puedeacomodarunmximodetres automviles. Otros vehculos pueden esperar fuera de este espacio. a)Culeslaprobabilidaddequeunclientequellegapuedamanejardirectamente hasta el espacio frente a la ventanilla? + =qL L1+ =qW W 13 b) Cul es la probabilidad de que un cliente que llega tendr que aguardar fuera del espacio indicado? c)Cuntosespaciostendrnqueproporcionarenfrentedelaventanillademanera quetodoslosclientesquelleganpuedanesperarfrenteastaalmenosel20%del tiempo? Solucin: Resolviendo mediante el modelo(M/M/1) :(GD//)a) = 10 clientes/hora = 10(Clientes/hora)*(1/60)= 0,16667 clientes/minuto = 5 minutos Porlotanto,laprobabilidaddequeunclientequellegapuedamanejardirectamente hasta el espacio frente a la ventanilla es de aproximadamente un 96,7%b) la posibilidad de que un cliente que llega tenga que aguardar afuera, implicara que este es el cliente n 4, pues en la ventanilla solo hay 3 puestos, por ende n=4 =/ =0,16667/5= 0,03333 Luego,,laprobabilidaddequeunclientequellegatengaqueaguardarfueradel espacio indicado es del 0% c) en el enunciado se indica que Por lo tanto, los espacios en la ventanilla, para que el cliente espere como mnimo un 20% del tiempo frente a ella tiene como valor ptimo 1 sola ventanilla 14 VIII. CONCLUSIONES Lossistemasdecolassonmuycomuneshoyenda,yaqueparadiversos trmites, tales como trmites bancarios, pago de cuentas, etc.; o utilizacin de algunos servicios, como por ejemplo cajeros automticos, se pueden producir colas, por lo cual este tipo de sistemas no se pueden dejar de lado. El tema de tener que realizar colas es algo engorroso, que tiene efecto sobre la calidad devida de las personas, ya que estasdebendedicarpartedesutiempoaesperarseratendidos,locualesuncosto para estas personas. Es por esto que las empresas estn tratando de buscar la forma dereducirestoatravsdelosserviciosadomiciliooutilizacindesistemasonline, comosonelcasodepagodecuentas,pedidosdecomida,etc;elobjetivoque pretenden conseguir con esto es que los clientes prefieran utilizar el servicio prestado porestetipodeempresas,yaqueconestodisminuirnsuscostos,loscostosdela empresa y por consiguiente esto provocar un aumento de la productividad de esta. UnclaroejemplosonlastiendasdeRetailquetrabajanintensamenteenel temadelateoradecolas.Enlosmdulosdeatencinaclientes,sehan implementadonmerosdeatencinparaluegoserllamadoparasolucionarsus problemas. En sntesis, la teora de las colas es el estudio matemtico de las colas o lneas deespera,dondelaformacindecolasesunfenmenocomnqueocurresiempre que la demanda efectiva de un servicio excede a la oferta efectiva, por lo que se trata deunapotenteherramientaquepuedeserdegranutilidadenunainfinidadde situacionestantocotidianascomoindustrialesyquesenospresentarnreiteradas veces en nuestro ambiente laboral. 15 IX. REFERENCIAS -Ricardo Cao, Ricardo Cao Abad. Introduccin a la Simulacin y a la Teora de Colas.[RecursoBibliogrfico].1Ed.NETBIBLIO,Corua,Espaa,2002 [Consulta: 24 de Enero del 2012] -ThomasL.Saaty,RafaelProBermejo.Elementosdelateoradecolas. [Recurso Bibliogrfico].Aguilar, 1997 [Consulta: 24 de Enero del 2012] -DaviddelaFuenteGarca;RalPinoDiez.Teoradelneasdeespera: Modelos de Colas. [Recurso Bibliogrfico].Universidad de Oviedo, Servicio de Publicaciones, Espaa, 2001[Consulta: 24 de Enero del 2012] -FrancoBelliniM.TeoradeLneasdeEspera.[Enlnea]Investigacinde Operaciones,UniversidadSantaMara,Caracas,Venezuela.[Consulta:26de Enerodel2012].Disponibleen:http://www.investigacion-operaciones.com/Teoria_colas_web.htm -Prof.EfranMuretti.SistemadeColas.[Enlnea]SimulacindeSistemas, UGMA,Barcelona,Venezuela.[Consulta:28deEnero2012].Disponibleen: http://members.libreopinion.com/ve/efrain-muretti/simulacion/ss_colas.pdf