tarea1 dinámica de estructuras

Universidad Técnica Federico Santa María Campus San Joaquín

Segundo Semestre 2015

Tarea 1 Dinámica de Estructuras Camilo Figueroa 201011518-6 [email protected] Paula Pérez 201011502-K [email protected]

Resumen En este informe se utilizan ecuaciones de movimiento para sistemas de un grado de libertad sometidos a fuerzas de excitación armónica y al registro de aceleraciones del sismo del 27 de Febrero de 2010 de Maule. En el primer caso se resolverá la ecuación planteada mediante solución analítica y mediante el método numérico de Newmark. En los otros casos, se resolverá mediante este método para caso lineal y no lineal.

Problema 1

El problema se trata de resolver la ecuación de movimiento para un sistema con excitación armónica dada:

�̈� + 2𝑑𝜔𝑛�̇� + 𝜔𝑛2𝑥 = 4𝜋2 sin 𝜋𝑡

La solución analítica de esta ecuación proporciona el siguiente gráfico:

Gráfico 1: desplazamiento del sistema en función del tiempo ante una excitación armónica.

En este gráfico se observa una solución de tipo sinusoidal cuya amplitud decrece con el tiempo, pues debido al amortiguamiento en el sistema la solución homogénea se disipa y sólo se mantiene la estacionaria.

Para casos en que la fuerza aplicada al sistema complica la resolución de la ecuación de movimiento se utilizan métodos numéricos, tales como el método de Newmark, Runge-Kutta o diferencia central. Se resolvió la ecuación mediante el método de Newmark, que utiliza intervalos de tiempo ∆𝑡. En este caso,

estos intervalos se han definido como 𝑇𝑛, 𝑇𝑛

2,

𝑇𝑛

10 y

𝑇𝑛

20.

Finalmente, los resultados para cada uno de estos intervalos quedan expresados en una serie de gráficos en orden respectivo:

Figura 1: gráficos de desplazamiento del sistema en función del tiempo mediante el método de Newmark.

Se aprecia en el primer gráfico, para 𝑇𝑛, que la

solución no es estable. En el segundo gráfico, para 𝑇𝑛

2,

tampoco es estable. En el tercer gráfico, para 𝑇𝑛

10, la

solución si es estable, pero no se aproxima adecuadamente a la solución analítica. En el cuarto

gráfico en cambio, para 𝑇𝑛

20, la solución es estable y si

es una buena aproximación a la solución analítica. Esto indica que al utilizar intervalos muy grandes la solución no es bien representada, pues se omiten muchos valores máximos.

Problema 2 Para este problema no se trabaja con una fuerza de excitación armónica, sino que con el registro de aceleraciones del terremoto de Maule del 27 de Febrero de 2010. Por lo tanto, la ecuación que se utiliza es:

-2

-1

0

1

2

0 5 10 15 20

De

spla

zam

ien

to [

m]

Tiempo [s]

Tiempo vs Desplazamiento



�̈� + 2𝑑𝜔𝑛�̇� + 𝜔𝑛

2𝑥 = −�̈�𝑔

Considerando tres amortiguamientos distintos, 0%, 2% y 5%, se busca obtener el espectro de desplazamiento para cada uno de ellos. Es decir, los desplazamientos máximos asociados a cada frecuencia natural. Para este caso, los períodos naturales han variado desde 0,2 [𝑠] a 5 [𝑠], en intervalos de 0,05 [𝑠], y de este modo se miden las frecuencias naturales para las cuales se debe encontrar el desplazamiento máximo. Utilizando el método de Newmark de aceleración constante se obtienen los siguientes espectros de desplazamiento para cada razón de amortiguamiento, considerando abscisas log

10𝑇𝑛 y ordenadas log

10𝑆𝐷:

Gráfico 2: espectro de desplazamiento en función del periodo natural para distintas razones de amortiguamiento. Los valores se encuentran normalizados por un logaritmo en base 10.

Se aprecia que para periodos naturales altos los espectros tienden a unirse. Esto se debe a que al existir periodos naturales altos la estructura se vuelve muy flexible y su desplazamiento máximo será igual al del suelo, independientemente del amortiguamiento.

Problema 3

Para este problema se considera que la fuerza tiene un valor máximo 𝐹𝑦 dado que se tiene una relación elastoplástica. Esto quiere decir que una vez superado un desplazamiento de fluencia dado por la relación 𝑢𝑦 = 𝐹𝑦 𝑘⁄ el sistema no soporta más carga que 𝐹𝑦

pero se sigue deformando. Para esta situación, la ecuación de movimiento del sistema queda definida por:

𝑚�̈�(𝑡) + 𝑐�̇�(𝑡) + 𝑓𝑁𝐿(𝑥(𝑡), �̇�(𝑡), 𝑧(𝑡)) = −𝑚𝑢𝑔(𝑡)

Para resolver esta ecuación de movimiento se debe utilizar el método de Newmark no lineal utilizando el registro de aceleración del terremoto de 2010, masa unitaria de 1 [𝑘𝑔], rigidez del sistema de 𝑘 =4𝜋2 [𝑁 𝑚⁄ ] y amortiguamiento 𝑐 = 0.25[𝑁𝑠 𝑚]⁄ . Como se observa en la ecuación de movimiento, la fuerza de restitución para un sistema elastoplástico depende además de una variable auxiliar 𝑧(𝑡). Esta variable auxiliar lo que hace es mantener la siguiente condición:

𝑥(𝑡) − 𝑧(𝑡) ≤ 𝑢𝑦

Esto quiere decir que 𝑧(𝑡) va tomando valores para que se cumpla la desigualdad de manera que la fuerza de restitución no supere la fuerza de fluencia. La respuesta del sistema a causa del terremoto de 2010 queda representada por el siguiente gráfico:

Gráfico 3: respuesta del sistema ante el sismo en función del tiempo, considerando un sistema elastoplástico.

En el gráfico se observa que para los primeros segundos el sistema oscila en torno a su posición de equilibrio, en cambio para desplazamientos más grandes éste empieza a oscilar en torno a una posición negativa de desplazamiento, lo que quiere decir que la estructura no regresa a su posición inicial ya que se trata de un sistema elastoplástico. Se observa que para tiempos altos, la estructura oscila entre una posición aproximada de −0.13 [𝑚]. Luego, se analiza la fuerza de restitución 𝑓𝑁𝐿 en función del desplazamiento de la estructura, obteniéndose:

-0,25

-0,2

-0,15

-0,1

-0,05

0

0,05

0,1

0,15

0 50 100

De

spla

zam

ien

to r

ela

tivo

[m

]

Tiempo [s]

Respuesta del sistema



Gráfico 4: fuerza de restitución del sistema elastoplástico en función del desplazamiento relativo.

Este gráfico confirma lo explicado anteriormente; la fuerza de restitución toma un valor máximo correspondiente a la fuerza de fluencia 𝐹𝑦, y esto se debe a la condición 𝑥(𝑡) − 𝑧(𝑡) ≤ 𝑢𝑦. Cuando el

desplazamiento 𝑥(𝑡) no supera la fuerza de fluencia, el sistema permanece en su rango lineal, sin producirse una deformación residual.

Problema 4

Al igual que en el problema anterior, se presenta un sistema elastoplástico. Sin embargo ahora se conocen 4 valores de fuerza de fluencia normalizada, es decir, la fuerza de fluencia de un sistema elastoplástico (𝐹𝑦)

dividido en la fuerza máxima que experimenta un sistema lineal (𝐹𝑜):

�̅�𝑦 =𝐹𝑦

𝐹𝑜

Luego, se desea conocer la razón entre el desplazamiento máximo de un sistema elastoplástico y el desplazamiento máximo de un sistema lineal correspondiente:

𝑢𝑚

𝑢𝑜

El valor del desplazamiento máximo del sistema elastoplástico 𝑢𝑚 es posible calcularlo utilizando el método de Newmark no lineal. En cambio, el valor del desplazamiento máximo del sistema lineal es válido calcularlo con la formulación de Newmark para el caso lineal como en los problemas 1 y 2. Considerando una razón de amortiguamiento de 𝑑 =2%, se calculan los desplazamientos máximos para cada caso de �̅�𝑦 y el espectro de desplazamiento para

el caso lineal, obteniéndose 4 curvas para cada valor de �̅�𝑦:

Gráfico 5: espectro de desplazamiento máximo normalizado en función del período natural para distintos valores de F̅y.

Del gráfico se observa claramente que para períodos naturales bajos las curvas se encuentran muy separadas entre sí, siendo la curva correspondiente a �̅�𝑦 = 0.125 la de mayor valor, debido a que el sistema

entra en fluencia para un valor muy pequeño de desplazamiento. Por otra parte, se observa que para valores altos de períodos naturales las curvas tienden a superponerse y tender a 1, esto debido a que la estructura es muy flexible, siendo el desplazamiento relativo igual al desplazamiento del suelo 𝑢𝑔,

independiente del desplazamiento de fluencia. Se observa que para el caso de �̅�𝑦 = 1 la curva tiene un

valor constante igual a 1 para todo período natural, esto debido a que el desplazamiento máximo del sistema elastoplástico es igual al desplazamiento máximo del sistema lineal. Por último, se desea conocer la ductilidad del desplazamiento correspondiente a:

𝜇 =𝑢𝑚

𝑢𝑦

Dado que se tienen 4 valores de fuerza de fluencia normalizada, hay 4 valores de desplazamiento de fluencia 𝑢𝑦 distintos.

Luego, graficando los valores de la ductilidad de desplazamiento para los 4 valores de fuerza de fluencia normalizada, se obtiene:

-2,8

-1,8

-0,8

0,2

1,2

2,2

-0,2 -0,1 0 0,1

Fue

rza

de

re

stit

uci

ón

[N

]

Desplazamiento [m]

Fuerza restitución vs Desplazamiento



Gráfico 6: ductilidad de desplazamiento en función del período natural para distintos valores de F̅y.

Se observa que en este gráfico para períodos naturales bajos ocurre lo mismo que en el caso anterior. Sin embargo, para períodos naturales altos las curvas tienden al valor del coeficiente de reducción de resistencia 𝑅𝑦 que está definido como:

𝑅𝑦 =𝐹𝑜

𝐹𝑦=

𝑢𝑜

𝑢𝑦

Entonces, como la ductilidad de desplazamiento está definida por:

𝜇 =𝑢𝑚

𝑢𝑦

Multiplicando por el desplazamiento máximo de un sistema lineal, se obtiene:

𝜇 =𝑢𝑚

𝑢𝑦∗

𝑢𝑜

𝑢𝑜= 𝑅𝑦

𝑢𝑚

𝑢𝑜

Pero como se explicó anteriormente, para períodos naturales altos, tanto 𝑢𝑚 como 𝑢𝑜 tienden al desplazamiento del suelo 𝑢𝑔, entonces:

𝜇 ≈ 𝑅𝑦

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