Tartalomjegyzek

Eloszo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1. A halmazelmelet es a matematikai logika kialakulasa, fejlodese . . . . . . 52. Bevezetes a kulonbozo matematikai logikai nyelvek elmeletebe . . . . 143. Az elsorendu nyelvek, szintaktikai fogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234. A nyelv szemantikaja, igazsagertekeles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305. Logikai torvenyek, Boole-kombinaciok, a kijelenteslogika nyelve . . 416. A tiszta predikatumlogika nyelve, a logikai torvenyek alkalmazasa 547. Logikai kovetkezmeny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638. Predikatumkalkulus, a termeszetes levezetes technikaja . . . . . . . . . . 739. Formalis axiomatikus elmeletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

10. A naiv halmazelmelet nyelve, antinomiak a naiv halmazelmeletben 9411. A Zermelo—Fraenkel-fele axiomatikus elmelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10412. Relaciok es fuggvenyek, a termeszetes szamok . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11113. Rendszamok, szamossagok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12014. A bizonyıtaselmelet fo problemai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Irodalom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Jelolesek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

3

4

Eloszo

Ez az osszeallıtas a harmadeves matematika szakos hallgatok szamaraeloırt Halmazelmelet, matematikai logika cımu targy eloadasainak anyagattartalmazza.

A foiskolan a matematika szakosok nem hallgatnak un. filozofiai logikat,ezert roviden foglalkozunk a hagyomanyos logika nehany temakorevel is.

Felepıtesunk alapvetoen igazodik a Kossuth Lajos Tudomanyegyetemenoktatott Matematikai logika, illetve Halmazelmelet cımu targyak tematika-jahoz, de a foiskolai viszonyokhoz, igenyekhez igazıtva. Reszletesebben tar-gyaljuk a kijelentes- es predikatumlogikat, alkalmazasaikat; az alaposabbelsajatıtashoz szukseges lenne minel tobb feladat megoldasa. Gyakorlati orahianyaban erre csak egyeni munka kereteben van lehetoseg, ehhez a meg-oldott mintapeldak, a gyakorlat cımszo alatti kidolgozott feladatok adnaksegıtseget. (Feladatok talalhatok az irodalomjegyzekben felsorolt konyvek-ben.)

Terjedelmi okok miatt ez az anyag nem adja az egyes temakorok precızkidolgozasat. Sok esetben nem pontos, hanem szemleletes meghatarozastkozlunk, de a definıcio szo utan minden esetben precız megfogalmazas ko-vetkezik, ıgy jol elkulonıtheto a pongyola es a szabatos resz. A tetelek nagyreszet nem bizonyıtjuk, nehany esetben pedig csak a bizonyıtas vazlatatkozoljuk.

5

6

1. A halmazelmelet es a matematikai logikakialakulasa, fejlodese

Nem celunk a ket tudomanyag tortenetenek reszletes bemutatasa, denehany alapveto osszefugges megvilagıtasahoz szukseges a torteneti hatterismerete.

1.1. Halmazelmelet

Fiatal tudomanyag, letrejotte a XIX. szazad masodik felere teheto, aminem veletlen, hiszen a halmazok vizsgalatahoz nagyfoku absztrakcio szuk-seges. Ekkorra ertek el a matematikai kutatasok olyan szintet, hogy az ilyenabsztrakcio szuksegesse es lehetove valt. Az elozmenyek kozul a kovetkezoharom a legfontosabb.

1. A matematikusok figyelme a halmazok elemeirol a halmazokrairanyult. Olyan problemak vezettek ide, melyeket bizonyos halmazokra anel-kul sikerult megoldani, hogy azokat az egyes halmazelemekre vonatkoztattakvolna (pl. biztosıtasi matematika, kinetikus gazelmelet).

2. A kritikai szellem fejlodese, ami azt jelentette, hogy reszletesenelemeztek a korabban magatol ertetodonek es ezert altalanos ervenyunektekintett megallapıtasokat. (Ennek nagy szerepe volt a matematikai logikafejlodeseben is.)

3. A legdontobb momentum az volt, amikor a vegtelen sorok vizsga-lata kozben felismertek, hogy a veges halmazok tulajdonsagaival nemrendelkeznek torvenyszeruen a vegtelen halmazok is.

A ma naiv halmazelmeletnek nevezett rendszer megalkotoja GeorgCantor (1845—1918) volt, akitol a halmaz fogalmanak az alabbi korulı-rasa szarmazik: ,,a halmaz meghatarozott, kulonbozo, kepzeletunkben vagygondolatainkban folfogott dolgok osszessege; a kerdeses dolgok a halmazelemei.”

(A tovabbiakban az alapveto halmazelmeleti fogalmakat — reszhalmaz,halmazok egyenlosege, muveletek, szamossag stb. — ismertnek tetelezzukfel, hiszen az analızis targyalasakor ezeket az olvaso megismerte ([9]). Resz-letes targyalasukra a 10. fejezetben kerul sor.)

Cantor vetette fel a halmazelmelet egyik alapveto problemajat, az un.kontinuumhipotezist, amely szerint nem letezik olyan halmaz, amelynekszamossaga a megszamlalhatoan vegtelen halmazok szamossaganal nagy-obb, de a kontinuumszamossagnal kisebb.

7

A vegtelen halmazok elmeletenek kezdettol fogva voltak bıraloi, deaddig szilard elmelet volt, mıg logikai ellentmondasokat nem fedeztek felbenne. Egyike ezeknek a Russell-fele antinomia, melynek nepszeru valtozataa kovetkezo (pontos megfogalmazasa a 10. fejezetben).

A falu borbelyanak a definıcioja a kovetkezo: A falu borbelya az a ferfia faluban, aki azokat es csak azokat a ferfiakat borotvalja meg a faluban,akik nem maguk borotvalkoznak. Kerdes: Borotvalkozik-e a borbely?

A tobbi (amelyeket kesobb ismertetunk) antinomia fellepese is jelezte,hogy mennyire sulyos a problema. Alatamasztotta ezt a matematikai logikaazon tetele, hogy ha egy strukturaban egy tetel es tagadasa is bizonyıthato,akkor barmely benne megfogalmazhato tetel es tagadasa is igazolhato. Mivela halmazelmelet alkalmazasat mar a matematika majdnem minden agabanelkezdtek, ıgy alapveto fontossagu volt az ellentmondasok kikuszobolese. Amegoldasi modok alapjan harom fo iranyzat kulonıtheto el:

1. Logicizmus: Bertrand Russell a legjelentosebb kepviseloje, akiszerint a matematika a logika resze. Hasonloan velekedett Gottlob Frege,a modern logika egyik megalkotoja is: ,,. . . az aritmetika csupan tovabbfej-lesztett logika, s minden aritmetikai tetel logikai torveny — noha leszarmaz-tatott . . .” ([3]) 103. old.

Ezen iranyzat kepviseloi szerint az ellentmondasok forrasa az, hogy azantinomiakban szereplo fogalmak definialasakor felhasznaljuk magat azt afogalmat is, amit definialni akarunk, azaz valamely definıcioban felhaszna-lunk egy olyan halmazt, aminek a definialando dolog is eleme. Igy a meg-oldas az ilyen definıciok eltiltasa lenne, ami sok nehezseggel jarna, hiszenszamos ilyen jellegu, egyebkent jol hasznalhato definıcioja van a matemati-kanak. (Pl. ket egesz szam legnagyobb kozos osztoja a ket szam kozos osztoihalmazanak azon eleme, amely e halmaz barmely elemevel oszthato stb.)

2. Intuicionizmus: L. E. J. Brouwer, H. Weyl es H. Poinca-re voltak ezen iranyzat legnevesebb kepviseloi. Szerintuk az ismeretszerzesmodja nem a tapasztalat vagy a logika, hanem valami megmagyarazhatat-lan, velunk szuletett osintuicio. Ebbol a filozofiai allaspontbol kovetkezik az,hogy a matematika feladata a logikatol es a tapasztalattol fuggetlen, intu-itıv konstrukcios tevekenyseg. Az antinomiak oka ıgy abban rejlik, hogy amatematikusok vizsgalataikat kiterjesztettek az intuitıve nem konstrualhatovegtelen halmazokra is.

Elismerik a potencialisan vegtelen letezeset, azaz a valos szamok osszes-seget nem mint halmazt engedik meg, hanem mint a szabad keletkezes ko-zeget; a valos szamok soha sincsenek keszen, mindig keletkezoben vannak.

Megjegyzes. Mar Arisztotelesz hasznalta a ketfele vegtelen meg-kulonbozteteset. Az, amelyiket potencialisan vegtelennek nevez, nem

8

mas, mint valamilyen folyamat korlatlan tovabbfolytatasanak a lehetosege.Ennek a legegyszerubb matematikai megjelenese a termeszetes szamok soro-zatanak vegtelensege. Kiindulva abbol, hogy barmely konkretan megadotttermeszetes szamnal, egy hozzaadasaval, tudunk eggyel nagyobb termesze-tes szamot kepezni, kimondjuk, hogy barmely termeszetes szamnal van na-gyobb termeszetes szam. Ez utobbi allıtas tulajdonkeppen azt jelenti, hogya termeszetes szamok sorozata vegtelen, s itt a vegtelen egeszen pontosanmeghatarozott ertelemben szerepel.

A matematikaban nagyobb szerepe van a masik, az aktualisan veg-telen fogalmanak. Az ilyen halmaz keszen, befejezetten tartalmaz vegtelensok elemet, mar sem elvenni, sem hozzatenni nem lehet anelkul, hogy ahalmaz meg ne valtozna.

Az intuicionista allaspont az aktualisan vegtelen fogalmat nem ismeriel, s eszerint az ellentmondasok megszunteteset az ilyen matematikai fo-galmak kiiktatasa jelenti. Ez a megoldas a matematika egyes teruleteinekmegcsonkıtasat eredmenyezne.

Az iranyzat kovetoi kidolgoztak az ugynevezett intuicionista logikat,melybol hianyzik a harmadik kizarasanak elve. (A hagyomanyos logikanakmeg Arisztotelesztol szarmazo ezen torvenye szerint egy allıtas ha nem igaz,akkor hamis, harmadik lehetoseg nincs.) Az antinomiak lenyege szerintukabban keresendo, hogy a kizart harmadik logikai elvet vegtelen halmazokrais alkalmaztak.

Az intuicionista felfogas szerint valamely dolog letezeset csak akkorfogadhatjuk el tenykent, ha azt meg is tudjuk konstrualni. Igy hıvei nemismerik el az un. egzisztencia teteleket, melyek bizonyıtasa soran valamilyenmatematikai objektum letezeset bizonyıtjuk, de az eloallıtasa nem tortenikmeg.

Az intuicionista allaspont alapjan folepıtett matematikaban nem lep-nek ugyan fol az antinomiak — hiszen a bennuk szereplo kritikus halmazoknem konstrualhatok —, viszont kenytelenek lemondani a hagyomanyos ma-tematika nagy teruleteirol.

3. Formalizmus: nem celunk ezen iranyzat reszletesebb elemzese, sza-munkra D. Hilbert programja az alapveto fontossagu. Allaspontjanak le-nyege az, hogy mivel a halmazelmelet addigi formajaban barmikor bovıthetouj fogalmakkal, (barmi lehet halmaz) valoszınu, hogy az ellentmondasok okaez a kotetlenseg. Megoldas az elmelet szabatos felepıtese, az axiomatikusmodszer. A halmazelmeletet es az egesz matematikat jo axiomarendsze-rekkel kell megalapozni, es akkor az ellentmondasok nem jelentkeznek.

Az elso halmazelmeleti axiomarendszert E. Zermelo dolgozta ki, me-lyet kesobb A. Fraenkel egeszıtett ki. Mivel az ilyen felepıtesben axiomak

9

rogzıtik, hogy mi lehet halmaz, s a halmazok osszesseget nem eleve adotthalmaznak, hanem folyton bovulo osszessegnek tekintik, a naiv halmazelme-let osszes eredmenye megkaphato, s az eddig ismert antinomiak nem lepnekfol.

Az ellentmondasok kikuszobolesenek ezen, maig is a leghatekonyabbmodjarol, az ezekkel kapcsolatos problemakrol, a legujabb kutatasi terule-tekrol az utolso negy fejezetben lesz szo.

A halmazelmeleti kutatasok, a halmazelmelet jelentoseget hangsulyozzaaz az alapveto fontossagu szerep, amit ez az elmelet a matematika egeszebenjatszik, hiszen a matematika minden aganak modellje elkeszıtheto benne.

1.2. Matematikai logika

Az axiomatikus modszer nagy hatassal volt a matematikai logika fejlo-desere, de a logika egyes eredmenyei is befolyasoltak az axiomarendszerekalkalmazasat.

Mi a logika? Leggyakrabban filozofiai logikat ertenek alatta, ami —roviden megfogalmazva — a gondolkodas torvenyeivel foglalkozo tudomany.Egyik aga a formalis logika, melynek alapjai mar Arisztotelesz (i. e.300 korul) Organon cımu munkajaban megjelentek. A logikai torvenyek al-talanossaganak kifejezesere betuparametereket hasznalt. Az alabbi kovet-keztetes szerkezetenek leırasa betuk hasznalataval a kovetkezo volt:

Minden negyzet rombusz Minden S MMinden rombusz deltoid Minden M P

Minden negyzet deltoid Minden S P

Kidolgozta a szillogizmusok elmeletet, melyrol reszletesebben a 6. feje-zetben lesz szo.

Nevehez fuzodik ket torveny, a mar emlıtett harmadik kizarasanakelve es az ellentmondasmentesseg torvenye, amely szerint egy allıtasnem lehet egyszerre igaz is es hamis is. Az ezeket a torvenyeket elfogadologikat keterteku, (alternalo) logikanak nevezik. (Leteznek tobb lehe-toseget megengedo logikak is, de mi ezekkel nem foglalkozunk.)

A kesobbiek soran sokaig nem szuletett jelentosebb eredmeny, de ami-kor a matematika fejlodesevel, elvontabba valasaval, felvetodott a helyesmatematikai bizonyıtas kriteriumai meghatarozasanak szuksegessege, akkora matematikusok ujıtottak meg a logikat.

G. W. Leibniz mar a XVII—XVIII. szazad fordulojan kıserletet tettegy nagyobb hatoereju logika kidolgozasara. Egy olyan univerzalis nyelvetkeresett, amely a gondolkodas minden elemi tevekenyseget szimbolumokkal

10

fejezne ki, s a koztuk levo kapcsolatokat a logika torvenyei biztosıtanak.Remelte, hogy a filozofusok is hosszas vitak helyett kezbe veszik a papırt,ceruzat es kiszamıtjak, hogy kinek van igaza.

Ez volt a matematikai logika gondolatanak az elso megjelenese. A meg-valosulas a XIX. szazad kozepeig varatott magara, amikor is G. Boolemegkezdte az un. logikai algebra kidolgozasat. G. Frege, majd G. Pea-no munkassaga nyoman kialakult a szimbolumrendszer, s ezzel lezarult amatematikai logika fejlodesenek elso szakasza.

A masodik szakasz az axiomatikus vizsgalatokkal kapcsolatos; a hal-mazelmeleti antinomiak kikuszobolesere iranyulo torekvesek nagy lokest ad-tak a matematikai logika fejlodesenek is. A XX. szazad harmincas eveibenszulettek a bizonyıtaselmelet elso nagy eredmenyei, melyek tobbek kozottK. Godel, A. Church nevehez fuzodnek.

Az otvenes evektol kezdve egyre tobb tudomanyban alkalmazzak hasz-nos segedeszkozkent a modern logikat; ilyenek pl. a szamıtastechnika, anyelveszet es a pszichologia egyes agai.

E rovid torteneti attekintes utan fogalmazzuk meg pontosabban, hogymi a logika, a matematikai logika targya. A logika targya lenyegebena helyes kovetkeztetes fogalmanak tisztazasa, torvenyeinek feltarasa. Az el-nevezesek nem egysegesek; a modern formalis logikat nevezik matematikailogikanak vagy szimbolikus logikanak is. Az elso elnevezes annyiban jogos,hogy a modern logika matematikai eszkozoket hasznal egy-egy logikai elme-let pontos leırasara.

Mi a tovabbiakban matematika logikanak tekintjuk azt a tudoma-nyagat, melynek targya maga a matematika, pontosabban az egyes mate-matikai elmeletek, mint pl. az analızis, algebra, elemi geometria stb. Masmatematikai tudomanyagaktol elteroen a vizsgalt elmeletre vonatkozo glo-balis kerdesekkel foglalkozik, pl. ellentmondasos-e az elmelet stb. (Ezeket aproblemakat a 9. fejezetben targyaljuk.)

1.3. A matematikai elmeletek atfogo vizsgalata

1. Elso lepeskent a vizsgalt elmeletet pontosıtani kell egy precız ma-tematikai logikai nyelv segıtsegevel.

A szimbolikus nyelvek lehetove teszik szamos pontatlansagnak az elke-ruleset, melyek a beszelt nyelv alkalmazasakor elofordulnak. A formalis nyel-vet azon tul, hogy ertelemmel bıro szavak helyett pusztan jelkombinaciokszerepelnek benne, elsosorban az kulonbozteti meg a termeszetes nyelvektol,hogy kifejezeseinek, az un. formulaknak a kepzesi modjat precız szabalyokrogzıtik.

11

Azt is lehet mondani, hogy a matematika ott kezdodik, ahol megje-lenik a pontos nyelvek alkalmazasa. A tanulmanyozott elmelet lefordıtasat aprecız matematikai logikai nyelvre az elmelet formalizalasanak nevezzuk.A matematika a formalizalas utan kezdodik.

Megjegyzes. a) Napjainkban lehetove valik a formalis logika maremlıtett, Leibniz altal is megfogalmazott alapveto celkituzesenek megvalo-sıtasa: leırva valamely specialis formalizalt nyelv segıtsegevel barmely gon-dolatmenet osszes kezdo feltetelet, a tovabbi logikai okfejtesek szamıtasokkalhelyettesıthetok.

b) A formalizalas kovetkezetes vegigvitele a hetkoznapi matematikaitevekenyseg soran nem tortenik meg, mert mint latni fogjuk, a terjedelmesformulak alkalmazasa nehezkesse tenne a veluk valo manipulalast. A gyakor-latban nem okoz gondot a matematikai formulak es a koznapi nyelv egyutteshasznalata.

Az egyes matematikai elmeletekre vonatkozo atfogo vizsgalatok azon-ban szuksegesse teszik a mesterseges nyelv hasznalatat, s ennek hianyabannem lenne mod a halmazelmelet logikailag kielegıto megalapozasara sem.

A precız nyelvhasznalat szuksegesseget indokoljak az un. Richard-feleparadoxonhoz hasonlo problemak is.

Az emlıtett paradoxon a termeszetes szamok halmazan belul lep fol,s lenyege a kovetkezo: a termeszetes szamok leırhatok veges szamu olyanjelsorozatokkal, melyek magyar nyelven ertelmes mondatok; pl. paros prımtermeszetes szam — egyertelmuen a 2-t definialja.

Bizonyıthato, hogy veges sok olyan termeszetes szam van, amely 100ırasjellel leırhato; vannak tehat olyanok is, melyek 100 jellel nem definialha-tok, s letezik ezek kozott legkisebb. Az alabbi kiemelt mondat viszont aztbizonyıtja, hogy ez a szam megis leırhato szaz ırasjellel:

A legkisebb, magyar nyelven szaz ırasjellel (a szokozt beleertve) nemdefinialhato termeszetes szam.

Ez a mondat pontosan szaz jelet tartalmaz, s a szaz jellel nem leırhatolegkisebb termeszetes szamot definialja, ami nyilvanvalo ellentmondas.

Maga a formalizalas azonban nem ved meg az ellentmondasok fellepe-setol (ezt latni fogjuk a 10. fejezetben a naiv halmazelmelet targyalasakor),ezt az adott elmelet axiomarendszerenek kell biztosıtania.

2. Az axiomatikus modszer, az axiomarendszerekkel szembenikovetelmenyek:

Az eddigi tanulmanyai soran a hallgatosag talalkozott mar axiomatiku-san felepıtett matematikai elmeletekkel (pl. analızis, gometria), de ugy gon-doljuk hogy nem lesz haszontalan, ha osszefoglaljuk az axiomatikus modszerlenyeget.

12

Valamely tudomany (nem csak a matematikara vonatkoznak az alab-biak) egy fejezetenek axiomatikus folepıtesen a kovetkezoket ertjuk:

1. Az adott tudomanyagbol kiragadunk nehany fogalmat, ezeket nemdefinialjuk, hanem definialatlan alapfogalomnak tekintjuk. Ezek szar-mazhatnak a tapasztalati ismeretanyag absztrakt modellizalasabol (terme-szetes szam, pont, egyenes stb.) vagy a matematika mas fejezeteibol (halmaz,struktura stb.).

2. A tudomanyagbol kiragadunk nehany, az alapfogalmak kozotti ossze-fuggesekrol szolo allıtast; ezeket nem bizonyıtjuk, hanem bizonyıtas nelkulikiindulo kijelenteseknek tekintjuk, es axiomaknak nevezzuk.

Az axiomakban a tudomanyag alapfogalmain kıvul csak logikai fogal-mak szerepelhetnek.

Egy axiomarendszer megadasa tehat az alapfogalmak es az axiomakmegadasat jelenti.

3. Az axiomakbol a logika kovetkeztetesi szabalyai segıtsegevel bizonyıt-hato kijelenteseket az axiomarendszer teteleinek nevezzuk. A tetelekben arendszer alapfogalmain es logikai fogalmakon kıvul csak az alapfogalmaksegıtsegevel definialhato fogalmak szerepelhetnek.

Annak pontos tisztazasa, hogy milyen logikai fogalmak es milyen kovet-keztetesi szabalyok szerepelhetnek egy axiomatikusan folepıtett elmeletben,a matematikai logika feladata. Szigorubb axiomatikus targyalasban az alap-fogalmak es axiomak mellett a megengedett kovetkeztetesi szabalyokat isfelsoroljak.

Az axiomarendszerekkel szemben tobb kovetelmenyt fogalmaznak meg.A legfontosabb elvaras az, hogy ellentmondastalan legyen, azaz ne le-hessen az axiomarendszerbol egy allıtast es annak a tagadasat is levezetni.Annak a bizonyıtasa, hogy egy axiomarendszerben nincs ellentmondas, igennehez feladat, okairol kesobb lesz szo.

Szokasos, de nem feltetlen kovetelmeny egy axiomarendszerrel szemben,hogy az axiomai legyenek fuggetlenek, azaz ne legyenek benne olyanok,amelyeket a tobbibol le lehet vezetni. Modszertani, egyszerusıtesi szem-pontbol a legtobb axiomarendszer nem ilyen, hiszen a legtobb esetben enneka kovetelmenynek nincs kulonosebb jelentosege.

Vannak azonban olyan esetek, amikor lenyeges annak eldontese, hogyegy axioma fuggetlen-e a tobbitol; gondoljunk csak a parhuzamossagi axio-maval kapcsolatos evszazadokon at tarto vizsgalatokra.

Egy adott matematikai rendszernek tobbfele axiomatikus felepıtese,azaz tobbfele axiomarendszere is lehetseges. Azt, hogy ket axiomarendszerugyanazt a matematikai strukturat axiomatizalja, ugy bizonyıtjuk, hogy azegyikben bizonyıtjuk a masik axiomait es fordıtva. (Szigorubb targyalasban

13

a hasznalt kovetkeztetesi szabalyokrol is bizonyıtani kell, hogy kolcsonosenervenyesek.) A kolcsonos bizonyıthatosag eseten a ket axiomarendszertegymassal ekvivalensnek nevezzuk.

3. A matematikai allıtasok igazsaganak kerdese:A modern matematikai logikaban felvetodnek a kovetkezo kerdesek:

Milyen a matematikai gondolatmenet es a valosag viszonya? Milyen hasznoskovetkezmenyek kaphatok a matematikai bizonyıtasok segıtsegevel? Hogyandefinialhato az igaz fogalma?

Ezek nagyon osszetett, erdekes kerdesek, s megvalaszolasuk nagyresztfilozofiai alapallastol is fugg.

Nezzunk erdekessegkeppen nehany filozofiai eszmefuttatast, hogy azu-tan visszaterve a tiszta matematikahoz, a tovabbi vitat meghagyjuk a filo-zofusoknak.

— Az igaz fogalma Arisztotelesznel a kovetkezokeppen jelenikmeg: ,,Hamis az, amikor azt mondjuk arrol, ami van, hogy nincs, vagyamikor arrol, ami nincs, azt mondjuk, hogy van; igaz pedig az, amikor aztmondjuk arrol, ami van, hogy van, vagy amikor arrol, ami nincs, azt mond-juk, hogy nincs.”

Tarski megkıserelte matematikailag szabatosan megfogalmazni Arisz-totelesz igazsagfelfogasat, de ez a probalkozasa nem aratott sikert.

— Az axiomak igazsagaval kapcsolatos filozofiai vitakban alapveto azegyes iranyzatoknak a halmazelmelet axiomairol valo velekedese. Tobbfeleeltero allaspont ismeretes, itt csak ket lenyegesen eltero nezetet ismertetunk.

A platonizmus szerint objektıve letezik egy idealis vilag, halmazelme-leti univerzum, s errol a vilagrol megfelelo matematikai logikai nyelven igazvagy hamis allıtasok tehetok a fentebb ismertetett arisztoteleszi ertelemben.A halmazelmeleti univerzum objektumai nem materialisak, allandoak, sminden rajuk vonatkozo ertelmes kerdesre letezik hatarozott valasz, megha egy adott pillanatban nem is tudjuk azt a valaszt.

Erdekes teny, hogy a halmazelmelet tobb negatıv tetelet felallıto Godelis platonista volt, nezeteit jellemzi a kovetkezo idezet:

,,Bar tavol esik az erzekszervi tapasztalattol, igenis letezik valami amierzekeli a halmazelmelet objektumait is. Ez abbol a tenybol is lathato, aho-gyan az axiomak rank kenyszerıtik magukat, mint igazsagokat.”

Ezen allaspont szerint annak az oka, hogy vannak allıtasok, amelyek ahalmazelmelet illeto axiomarendszereben nem donthetok el, az, hogy vala-milyen nyilvanvalo elvet nem vettek fel az axiomak listajara. Ez a jelenlegieldonthetetlenseg nem befolyasolja az allıtas igaz vagy hamis voltat. ,,. . .barmely adott pillanatban a matematikusoknak az ideak eme vilagarol csakegy nem teljes, toredekes kepe lehet” (R. Thom).

14

A formalista allaspont szerint az egesz matematika nem mas, minteloırt szabalyok szerinti manipulacio puszta szimbolumokkal, amelyek nemkepviselnek semmit, csupan onmagukat. ,,A matematikat tehat ugy hataroz-hatjuk meg, mint azt a targyat, amellyel kapcsolatban sem azt nem tudjuk,hogy mirol beszelunk, sem pedig azt, hogy igaz-e az amit mondunk” — ırtaRussell, aki korabban platonista volt.

Az ilyen filozofiai hozzaallas alapjan jelentest csak akkor kapnak a for-mulak, ha pl. valamilyen fizikai ertelmet tulajdonıtunk nekik. Egy ilyenertelmezes eseten mar lehet beszelni allıtasok igaz vagy hamis voltarol, ma-guknak a formulaknak azonban nincsen semmifele igazsagerteke.

Felvetodhet a kerdes, hogy hogyan viszonyul mindezekhez az atlagosalkoto matematikus? Leggyakrabban a kovetkezokeppen: ,,amikor matema-tizal, meg van gyozodve arrol, hogy objektıv realitassal dolgozik, ha azon-ban a filozofusok ratamadnak a paradoxonjaikkal, visszavonul a formalizmussancai moge — amıg beken nem hagyjak” ([13]).

15

2. Bevezetes a kulonbozo matematikai logikainyelvek elmeletebe

Ebben a fejezetben altalanossagban beszelunk a matematikai logikai (atovabbiakban roviden: mat. log.) nyelvek legfontosabb jellemzoirol, majdroviden ismertetunk nehany konkret nyelvet, melyek elokeszıtik a azoknaka fogalmaknak a megerteset, amelyeket kesobb definialunk.

A mat. log. nyelv funkcioja a vizsgalt matematikai elmelet tenya-nyaganak pontos leırasa. Ehhez kulonbozo jeleket hasznal, melyekbol ,,er-telmes” jelsorozatokat keszıtve a matematikai allıtasok szerkezete leırhato.

Ket kulonbozo jellegu jelsorozatot hasznalunk: a kifejezeseket, ter-meket, melyek matematikai objektumok jelolesere szolgalnak, (pl. f(x, y),0, x + y, ahol f fuggvenyjel, x, y valtozojelek), es a formulakat, melyek amatematikai erveles leırasara szolgalnak (pl. x = y).

Megjegyzes. A kesobbiek soran is fogunk meg utalni arra, hogy a ma-tematikai logikaban nem egyseges sem a terminologia, sem a jelolesrendszer.Van olyan felepıtes, ahol a nyelv alapveto objektumait tekintik kifejezesek-nek, s ezeket osztjak formulakra es termekre ([2]).

A termeszetes nyelvekbol nem mindent hasznalunk fel, de azon elemei,amelyekre a matematika epıt, tukrozodnek a mat.log. nyelvekben is:

Termeszetes nyelv

Valtozo: egy adott tıpushoz tartozotetszoleges objektum jelolesere hasz-naljak.

Pontos mat. log. nyelv

Szinten valtozok: szerepuk analog.

Objektumnev:pl. 0, 2, 4

2 , 5 − 3, π — itt ot nevharom objektumot jelol, ugyanis a2, 4

2 , 5 − 3 ugyanazt az objektumot,a 2-t jeloli.

Konstansok (pl. 0) vagy parame-ter nelkuli kifejezesek (pl. 3+5).

Nevforma: a nevforma olyan jel-kombinacio, amelybol objektumne-vet kapunk, ha parametereit megfe-leloen valasztott objektumnevekkelhelyettesıtjuk. Pl. (x− 1)2−1; ha azx helyere 2-nek a nevet ırjuk, meg-kapjuk a 0 nevet, 3-at ırva a 3-t stb.

Parametert tartalmazo termek:precız szabalyok hatarozzak meg egyadott nyelv termeinek osszesseget.

16

Rogzıtett parametertartomany ese-ten minden nevforma meghatarozzaparametereinek egy fuggvenyet, de anevforma es a fuggveny nem egy esugyanaz; az x2 − 2x az elozo pelda-etol kulonbozo nevforma, de a valosszamok halmazan mindketto ugyan-azt a fuggvenyt hatarozza meg.

Kijelentes: kijelento mondat alak-jaban megfogalmazott, esetleg ma-tematikai szimbolumokat is haszna-lo szoveg, amely meghatarozott gon-dolatot fejez ki, es melyrol eldonthe-to, hogy igaz vagy hamis. Pl. a nyolcparos szam; 3 + 5 = 8.

Parametermentes formulak (zartformulak vagy mondatok): igazsager-tekuk a nyelv interpretaciojatol fugg.

Kijelento forma (nyitott mondat):olyan szoveg, amelybol kijelentest ka-punk, ha a benne szereplo valtozo-kat (parametereket) megfeleloen va-lasztott objektumnevekkel helyette-sıtjuk. Pl. x paros; x < y.

Parametertol fuggo, un. nyitottformulak.

Megjegyzes. A tovabbiakban foleg matematikai szovegeket fogunkformalizalni, de a bevezetoben emlıtett ok miatt idonkent utalunk, meg-jegyzes formajaban, a hagyomanyos logika elemeire is. Nehany kiegeszıtesmar itt is szukseges.

Az objektumnevek (individuumnevek) a hetkoznapi, nem matematikaiszovegben vagy tulajdonnevkent, vagy un. korulıras formajaban jelennekmeg. Az utobbiakkal szemben fennallo kovetelmeny az, hogy pontosan egyfogalmat fejezzenek ki. Igy nem tekintheto individuumnevnek a ma uralkodonemet-romai csaszar, ill. a Tisza jobb oldali mellekfolyoja korulıras.

Kijelentesen az altalanosan alkalmazott keterteku logikaban olyan kije-lento mondatot ertenek, amelyrol az adott korulmenyek kozott eldontheto,hogy igaz vagy hamis. A legegyszerubb, un. atomi kijelentesek logikaiertekenek eldontese nem a logika feladata. Bizonyos esetekben a tapaszta-lat (pl. Esik az eso.) az arisztoteleszi definıcionak megfeleloen egyszerueneldontheti, mıg bonyolultabb problemakban ez az illeto szaktudomanyokfeladata (pl. Az egri Szepasszony-volgyben talalt sır honfoglalaskori.).

Az olyan kijelento mondatok, amelyekrol nem lehet egyertelmuen el-donteni, vagy amelyekrol az adott korulmenyek kozott nem lehet eldonteni,

17

hogy igazak vagy hamisak, nem kepezhetik logikai vizsgalatok targyat. (Pl.az ,,Ez a kep giccs.” mondat logikai ertekenek megıtelese a giccs fogalmanakpontos definıcioja hianyaban szubjektıv. A ,,Napoleon a waterlooi csatareggelen tojast reggelizett.” mondat jelenleg a logikai vizsgalatokban nemszamıt kijelentesnek, mert ırasos bizonyıtek hianyaban nem lehet eldonteniigaz vagy hamis voltat.)

Az atomi kijelentesekbol un. osszetett kijelentesek kepezhetok, deaz utobbiak logikai erteket a komponensek logikai ertekenek egyertelmuenmeg kell hataroznia. Pl.

Laci jelesen erettsegizett.

Laci Gorogorszagba utazott.

Tegyuk fel, hogy mindket kijelentes igaz, s kapcsoljuk ossze oket a ko-vetkezokeppen:

Laci jelesen erettsegizett es Gorogorszagba utazott.

Laci Gorogorszagba utazott, mert jelesen erettsegizett.

Az elso osszetetelt igaznak erezzuk, de a masodikat, az okhatarozoiosszetetelt mar nem. (Nem biztos, hogy azert utazott el, mert jelesen erett-segizett.)

A tovabbiakban pontosan rogzıteni fogjuk, hogy melyek az atomi kije-lentesek, s melyek az osszetett kijelentesek.

A mat. log. nyelvek pontosan meghatarozott jelsorozatokbol allnak,de meg kell kulonboztetni a nyelv szintaxisat es szemantikajat.

A szintaxis a jelsorozatok alakjat, es a veluk vegezheto atalakıtasokatvizsgalja, ekkor a formula onmagaban csak bizonyos szimbolumok rendszere,semmit sem jelent, csak szintaktikai objektum.

Az elnevezes magyarazata: szintaxisnak nevezik a nyelvtudomany azonagat, amely kizarolag a jelek olyan kapcsolataival foglalkozik, amelyek ajelentesre valo hivatkozas nelkul ertelmezhetok. A szintaktikailag felepıtettlogikai rendszereket szokas logikai kalkulusoknak is nevezni. A nyelv sze-mantikaja a formulak es kifejezesek ertelmezesenek kerdesevel foglalkozik.(Szemantika magyarul: jelentestan.)

A tovabbiakban latni fogjuk, hogy egy tiszta szintaktikai rendszer em-lekeztet a tarsasjatekokra, pl. a sakkra. A sakkban a babuk, alakjuk alapjan,kategoriaba soroltak (gyalogos, lo stb.). Pontosan rogzıtettek a szabalyok,melyekhez indoklas nem tartozik. Egy kalkulus hasonlo jellegu: szabalyainagyon pontosak, de a kalkuluson belul nincs magyarazat hozzajuk. Ez ert-heto, a szabalyok indoklasa csak szemantikai lehet, de ennek mar nincs helyea szintaxisban. Barmilyen kalkulus csak azzal a feltetellel tekintheto logikairendszernek, ha szabalyaihoz szemantikai indokolas csatolhato.

18

Nagyon fontos, hogy megkulonboztessuk azt a nyelvet amelyrol be-szelunk attol, amelyen beszelunk. Az elobbit targynyelvnek az utobbitmetanyelvnek nevezzuk. A metanyelv nyilvanvaloan gazdagabb mint atargynyelv; nalunk nyilvanvaloan a magyar a metanyelv, s hogy ezt hogyanalkalmazzuk, arra meg ebben a fejezetben latunk peldat.

Tarski a Richard-fele es az un. hazug antinomiajanak az alapveto okatabban latja, hogy nem kulonboztettek meg a ketfele nyelvet. Egy nyelvszemantikajat is ugyanazon a nyelven muveltek, es altalanossagban veveugy jartak el, mintha a vilagon csak egyetlenegy nyelv lenne.

A hazug antinomiaja igen regi eredetu, altalaban Eubulidesz (i. e.IV. sz.) gorog logikusnak tulajdonıtjak es meg most is elemzik es vitatjak;nagy hatassal volt a modern logika fejlodesere. Tobbfele megfogalmazasa isismert, nezzuk a kovetkezot ([13]):

Kepzeljunk el egy szazoldalas konyvet, melynek valamennyi oldalanegyetlen mondat all. Az elso oldalon ez olvashato:

E konyv 2. oldalan levo mondat igaz.A masodik oldalon ez:

E konyv 3. oldalan levo mondat igaz.Ez ıgy folytatodik a 99. oldalig, de az utolso, a 100. oldalon ez all:

E konyv 1. oldalan levo mondat hamis.Vegiggondolhato, hogy akar azt tesszuk fol, hogy az 1. oldalon levo

mondat hamis, akar azt, hogy igaz, mindig ellentmondast kapunk.

Mielott precızebben targyalnank a nyelveket, nezzunk nehany konkretpeldat:

1. A Geom nyelv: az elemi geometria tenyanyaganak leırasara szolgal.Harom fajta valtozo talalhato ebben a nyelvben (a jelek mellett, a

kettospont utan azok szemantikaja, jelentese talalhato):A,B, C, . . . (latin ırott nagybetuk): a haromdimenzios euklideszi ter

pontjai.a, b, c, . . . (latin ırott kisbetuk): az elobbi ter egyenesei.α, β, γ, . . . (gorog kisbetuk): a fenti ter sıkjai.Konstans nincs.

Atomi formulak:1. (A = B):A egyenlo B-vel, olvasando, s hogy igaz vagy hamis, az konkret

helyettesıtessel dontheto el: azaz igaz, haA es B helyere a ter ugyanazonpontja kerul, hamis, ha kulonbozo.

2. (A ∈ a): az A pont illeszkedik az a egyenesre a kiolvasasa, ugyanisa szemantikaja a kovetkezo: ha A helyere konkret pontot, a helyerekonkret egyenest helyettesıtunk, akkor a formula aszerint igaz vagyhamis, hogy a pont illeszkedik-e az egyenesre vagy sem.

19

3. (A ∈ α): az A pont illeszkedik az α sıkra. Szemantikaja hasonlo azelozokehez.

A felhasznalt jelek a valtozokon kıvul az =,∈, ( ). Az atomi formulaktovabbi felhasznalasa soran a kulso zarojelet elhagyhatjuk.

Osszetett formulak: atomi formulakbol negy logikai osszekotojel esket kvantor segıtsegevel kaphatok. Metanyelvi kiolvasasuk es megnevezesukaz alabbi tablazatban talalhato, szemantikai vizsgalatukra kesobb kerul sor.

Targynyelvi jel Metanyelvi kiolvasas Metanyelvi megnevezesnem, nem igaz negaciojel (tagadasjel)

∧ es konjunkciojel∨ vagy, legalabb az egyik diszjunkciojel (alternaciojel)⇒ ha . . . akkor kondicionalisjel (implikaciojel)∀ barmely/minden univerzalis kvantor∃ letezik/van olyan egzisztencialis kvantor

Ha A es B formulak, akkor A ∧ B, A ∨ B,A ⇒ B, A is formulak. HaA egy formula, x tetszoleges (barmely fajtaju) valtozo, akkor az alabbiak isformulak:

∀xA: minden x-re ervenyes A, vagy rovidebben minden x-re A.∃xA: letezik olyan x, hogy A, vagy van olyan x, hogy A.Ezzel keszen is van a Geom nyelv leırasa: le tudunk ırni olyan kije-

lenteseket, amelyek nem fejezhetok ki atomi formulakkal.Be lehet vezetni kenyelmi szempontbol uj jeleket, de ezek tulajdon-

keppen az elozoek rovidıtesere szolgalnak; szerepel meg a :⇔ jel, amely adefinıcio szerint szofordulatot helyettesıti, azaz a jobb oldalon levo, mar is-mert formula helyett hasznalhatjuk a bal oldalon levot. (A : tehat mindig ameghatarozandohoz van kozelebb). A definialo egyenlosegjel, a :=, termekkozott hasznalatos.

Ezek alapjan bevezetjuk, es a tobbi nyelvben is alkalmazzuk az alabbiformulat:

(A ⇔ B) :⇔ ((A ⇒ B)∧ (B ⇒ A)): A akkor es csak akkor, ha B (pon-tosan akkor), ahol A es B formulakat jelolnek, a ⇔ pedig bikondicionalisjel(ekvivalenciajel).

Az a es b egyenesek egybeeseset kifejezo, a = b alaku atomi formulanincs a nyelvben, de ugyanezt a gondolatot kifejezhetjuk ugy is, ha aztmondjuk, hogy barmely pont akkor es csak akkor illeszkedik a-ra, ha illesz-kedik b-re is. Bevezetve az uj jelolest:

(a = b) :⇔ ∀A(A ∈ a ⇔ A ∈ b).

20

Hasonlo modon az α egybeesik a β sıkkal, ıgy ırhato:

(α = β) :⇔ ∀A(A ∈ α ⇔ A ∈ β).

Bevezethetok a tagadas rovidıtesere a kovetkezok:

(A 6= B) :⇔ (A = B),(a 6= b) :⇔ (a = b),(α 6= β) :⇔ (α = β).

Nezzunk nehany peldat arra, hogy hogyan lehet kijelenteseket lefordı-tani erre a nyelvre:

Az a egyenes az α sıkban van. Eloszor atfogalmazzuk ugy, hogy az eddigbevezetett formulakkal le lehessen ırni (s nyilvan ugyanazt jelentse). Az aegyenes minden pontja az α sıknak is pontja. Ez mar leırhato:

(a ∈ α) :⇔ ∀A(A ∈ a ⇒ A ∈ α).

Az a es b egyenes parhuzamos. Atfogalmazva: Az a es b egyenesek egysıkban vannak es nincs kozos pontjuk.

(a‖b) :⇔ ∃α(a ∈ α ∧ b ∈ α) ∧ ∃A(A ∈ a ∧ A ∈ b).

Gyakran elofordulo allıtasok a matematikaban az un. egzisztencia-unicitas tıpusu kijelentesek, azaz melyek azt fejezik ki, hogy egy es csakegy olyan x letezik, mely eleget tesz az A feltetelnek. Az ilyeneket ki lehetfejezni ket allıtas konjunkciojakent: azaz le kell ırni, hogy a szoban forgo xletezik, aztan pedig azt, hogy barmely ket objektum, ami az A-t kielegıti,egybeesik.

∃!xA :⇔ ∃xA ∧ ∀x∀y((A(x) ∧A(y)) ⇒ x = y).

Itt A(x) es A ugyanazok a formulak, A(y) pedig A(x)-bol ugy keletkezik,hogy az x parametert uj valtozoval, y-nal helyettesıtjuk. (Errol kesobbbovebben lesz szo.)

∃!: letezik egy es csak egy; ez a kiolvasasa, a megnevezese pedig egzisz-tencia-unicitas kvantor.

Formalizaljuk az elozo jel segıtsegevel Hilbert elso illeszkedesi axio-majat: Ket kulonbozo pontra egy es csak egy egyenes illeszkedik.

∀A∀B ((A 6= B) ⇒ ∃!a(A ∈ a ∧ B ∈ a)) .

21

Az ∃! jel alkalmazasa nelkul joval bonyolultabb a formula:

∀A∀B((A 6= B) ⇒ (∃a(A ∈ a ∧ B ∈ a) ∧ ∀a∀b(((A ∈ a ∧ B ∈ a)∧∧ (A ∈ b ∧ B ∈ b)) ⇒ a = b))).

2. Az Ar nyelv. A termeszetes szamokra vonatkozo allıtasok leırasarahasznaljak.

Csak egyfajta valtozok szerepelnek, x, y, z, . . ., amelyek a termeszetesszamok halmazabol barmely erteket felvehetnek.

Konstans a 0, mely a nulla termeszetes szamot jeloli.Fuggvenyszimbolumok:S: 1-nek a hozzaadasat jelenti.+: osszeadas a termeszetes szamok koreben.·: szorzas a termeszetes szamok koreben.A valtozokbol es a 0 konstansbol a fuggvenyszimbolumok segıtsegevel

kifejezesek (termek) alkothatok. A termalkotas pontos szabalyarol kesobblesz szo, itt csak konkret peldan tekintjuk at. A termek hasonloak az algebraikifejezesekhez, es a bennuk szereplo parameterek ertekeitol fuggoen konkrettermeszetes szamot hataroznak meg.

Pl. A 0 ·y +(SS0+Sx) term kepzesi sorrendje az alabbi abran lathato.

Ezen term szemantikaja a kovetkezo: ha az itt szereplo parameterek,az x es y helyere konkret termeszetes szamot ırunk, es elvegezzuk a kijeloltmuveleteket, megkapjuk a term erteket.

Pl. legyen y = 5, x = 3, ekkor 0+(2+4)=6, de ha y = 2, x = 4, akkoraz ertek 7.

22

Vannak parametermentes termek, ezek erteke eleve adott, nem fugg azertekelestol. Ebben a nyelvben peldaul az (SS0 + S0) · S0 term, erteke 9.

Atomi formulak: (t = z) alakuak, ahol t es z tetszoleges term.Igazsagerteke fugg a parameterei ertekelesetol, ahol a t es z term pa-

rametereinek osszessege jelenti a formula parametereit. Ha egy adott para-meterertekeles mellett a t es z erteke megegyezik, akkor a (t = z) formulaigaz, ha nem, akkor hamis.

Pl. x + y = Sy + y. Ez a formula x = 3, y = 2 eseten igaz, de azx = 6, y = 3 ertekeleskor mar nem.

Osszetett formulak: atomi formulakbol epulnek fel, a Geom nyelvbenleırt modon.

Nezzuk nehany aritmetikai osszefugges leırasat ebben a nyelvben:

x 6= y :⇔ (x = y),x ≤ y :⇔ ∃z(x + z = y),x < y :⇔ (x ≤ y) ∧ (x 6= y).

x osztoja y-nak allıtas a kovetkezo alaku:

(x | y) :⇔ ∃z(z · x = y).

x prımszam:

(x 6= 0) ∧ (x 6= S0) ∧ ∀z ((z | x) ⇒ (z = S0 ∨ z = x)) .

A prımszamok szama vegtelen. Formulaja:

∀x∃y ((x < y) ∧ (y prımszam)) .

Gyakorlat. 1. Az alabbi formulaknak mi a jelentese, es az alapjanigaz vagy hamis ertekuek?

(a) ∀x∃y(y < x)Minden termeszetes szamnal van kisebb termeszetes szam; hamis.

(b) ∃x∀y(y < x).Letezik legnagyobb termeszetes szam; hamis.

2. Mi a formulaja a kovetkezo allıtasnak? A 2x2 +x+1 = 0 egyenletnekvan ket kulonbozo gyoke.

∃y∃z(((SS0·(y·y)+S0·y+S0) = 0)∧((SS0·(z·z)+S0·z+S0) = 0)∧(z 6= y)).

Elvileg egy mat. log. nyelv minden elkepzelheto interpretaciojat lehetvizsgalni. Ha az Ar nyelvben a valtozok a termeszetes szamok halmazat

23

futjak be, aritmetikai, vagy szokasos, kozonseges interpretaciorolbeszelunk. Ennek a nyelvnek ez az interpretacioja alapveto, megis tobbmas interpretacio is megadhato. Ha R a valos szamok halmazat jeloli, esa valtozok ertekei valos szamok, akkor R-interpretaciorol beszelunk. (Afuggvenyek is a valos szamok koreben vannak ertelmezve.)

Az olyan formulat, amelybol az Ar nyelv adott interpretaciojaban val-tozoinak minden ertekelesekor igaz erteku formula keletkezik, az Ar nyelvaritmetikai torvenyenek nevezzuk. Nyilvanvalo, hogy vannak olyan for-mulak, amelyek a termeszetes szamok halmazaban torvenyek, de R-beli in-terpretacioban nem. Pl. ∀x∀y(x + y = y + x) mindket esetben torveny,mıg ∀x∀y ((x + y = 0) ⇒ (x = 0 ∧ y = 0)) a termeszetes szamok halmazantorveny, R-ben nem.

Gyakorlat. 1. A ∀x∃y(x + y = 0) formula aritmetikai torveny-emindket interpretacioban?

R-ben igen, de a termeszetes szamok halmazaban nem.

2. Mit fejez ki az alabbi formula es melyik interpretacioban igaz?

∃x(x · x) = SS0.

Letezik√

2. R-ben igaz.

Megjegyzes. A matematikaban tobbfele nyelvet hasznalnak. Reszlete-sebben a halmazelmelet leırasara szolgalo nyelvekkel foglalkozunk, de meg-emlıtjuk meg a Vect nyelvet, amely a valos vektorterek leırasara alkalmas.Kettıpusu valtozoi vannak, a nullad fajtajuak a valos szamokat jelolik, azelso fajtajuak a vektorokat. Ket konstans talalhato benne, a 00, amely a0 valos szamot jelenti, es a 01, amely a nullvektort. A nyelv interpretaci-ojat egy konkret n-dimenzios valos En vektorter kijelolese meghatarozza.(Reszletes leırasa a ([2])-ben.)

24

3. Az elsorendu nyelvek, szintaktikai fogalmak

Ebben a fejezetben pontosıtjuk a matematikai logikai nyelvek struktu-rajat. Megadjuk az egyik legelterjedtebbnek, az elsorendu nyelvnek a fele-pıteset, s nehany formulakkal vegezheto manipulaciot vizsgalunk meg.

3.1. Termek es formulak

Az elsorendu Ω nyelvet a kovetkezo negy halmazbol allo rendszerreladjuk meg:

Ω = 〈S, C,F ,P〉.

1. S: egy nem ures halmaz, melynek elemeit tıpusoknak (fajtaknak,individuum- vagy objektumfajtaknak) nevezzuk.

Minden tıpushoz bizonyos szimbolumok megszamlalhato rendszere tar-tozik, melyeket bizonyos tıpusu valtozoknak, individuumvaltozoknaknevezunk. Pl. A Geom nyelv haromtıpusu nyelv, a Vect nyelv ket-, az Aregytıpusu nyelv.

Legelterjedtebbek az un. egytıpusu nyelvek, melyekben az S egyelemuhalmaz. A tovabbiakban a halmazelmelet leırasara mi is egytıpusu nyelvethasznalunk, ıgy a tobbtıpusu nyelvekre csak rovid utalasokat teszunk.

2. C: az Ω nyelv konstansainak (esetleg ures) halmaza.(Hasznalatos meg az individuumszimbolum, individuumnev elne-

vezes is.)A nem egytıpusu nyelvekben kulonbozo tıpusu konstansok leteznek, es

ezek kulonboznek egymastol. Pl. A Geom nyelvben a C ures halmaz, Ar-benegyelemu, mıg a Vect-ben ketelemu halmaz.

3. F : elemei a nyelv fuggvenyszimbolumai (fuggvenyjelei); ez lehetures halmaz is.

Minden f ∈ F fuggvenyjelhez egy bizonyos objektumot rendelunk hoz-za, az adott fuggvenyjel alakjat. Az egytıpusu nyelvek eseten a fuggvenyjelalakjat valtozoi szama meghatarozza:

(x1, x2, . . . , xk 7→ x);

ez egy k-valtozos (k > 0) fuggvenyjel alakja. (Tobbtıpusu nyelvek eseten azegyes valtozok tıpusat is jelolni kell.)

25

Pl. a Geom nyelvben az F is ures halmaz, az Ar-ben f egyvaltozos, es g, hketvaltozos fuggvenyek szerepelnek az alabbi jelolesek szerint:

St := f(t),(t + z) := g(t, z),(t · z) :=h(t, z).

4. P: nem ures halmaz, elemei az Ω predikatumszimbolumai, pre-dikatumbetuk. (Relaciojeleknek is nevezik ezeket.)

Minden P ∈ P predikatumszimbolumhoz hozzarendelunk egy bizonyosobjektumot, az adott predikatumbetu alakjat. Egytıpusu nyelvben ez akovetkezo lehet:

P (x1, x2, . . . , xk), ahol k ≥ 0, es a predikatumbetu valtozoinak a szamatjeloli. Ha k = 0, akkor az ilyen predikatumbetuket propozicionalis valto-zoknak vagy propozicionalis betuknek nevezzuk. (Tobbtıpusu nyelvbenitt is kulon jeloljuk a valtozok tıpusat.) Pl. Az Ar nyelvben egyetlen predi-katumszimbolum van, a P .

(t = z) :⇔ P (t, z).

Az adott Ω nyelvben definialhatok bizonyos szabalyos szovegek, ertelmesjelsorozatok, melyek az Ω szimbolumai, logikai jelek es un. segedjelek, azazzarojelek, vesszok segıtsegevel allıthatok elo. Ezek az Ω nyelv alakzatai,melyek ket csoportra oszthatok: kifejezesekre (termekre) es formulakra.

A term definıcioja Ω-ban:A definıcio induktıv es harom pontbol all. Az elso ketto az indukcio

alapja: bennuk kozvetlenul meg vannak jelolve azok az objektumok, ame-lyeket termeknek kell tekinteni. A harmadik az indukcios lepes, vagyis ageneralo szabaly, amely szerint a mar megkonstrualt termekbol ujakatszabad kepezni.

1. Az Ω nyelv minden valtozoja (azonos tıpusu) term.2. Az Ω nyelv minden konstansa (azonos tıpusu) term.3. Ha f k-valtozos fuggvenyjel es ti (i = 1, 2, . . . , k) term, ugy f(t1, . . . , tk)

is term. (Tobbtıpusu nyelvekben a valtozok es az f(t1, . . . , tk) termtıpusat is jelolni kell.)Minden term tehat vagy a nyelv valtozoja, vagy konstansa, vagy a ko-

rabban megkonstrualt termekbol a generalo szabaly alkalmazasaval nyertalakzat. Pl. valamely nyelvben h(g(c, y), h(y, g(c, x))) term lehet, ahol g, hketvaltozos fuggvenyjelek, c konstans, x, y valtozok.

26

A t termben a fuggvenyjelek szama a term osszetettseget mutatjameg, azaz azt, hogy hanyszor alkalmazzuk a generalo szabalyt. (Az elozopeldaban ez 4.) A term barmely valtozoja a term parametere.

Az Ω nyelv atomi formulainak definıcioja:

A P (t1, . . . , tk) alakzat atomi formula, ahol P az Ω nyelv predika-tumbetuje, t1, . . . , tk termek.

Specialisan, ha P propozicionalis betu, azaz nullvaltozos predikatum,akkor P onmagaban is atomi formula.

Ezeket prımformulaknak vagy elemi formulaknak is nevezik, s az el-nevezesek is utalnak arra, hogy ezek a formulak epıtokovei. A kovetkezodefinıcioban ez a szerep nyilvanvalova valik.

Az Ω nyelv formulainak definıcioja:Induktıv modon tortenik, az elso pont az indukcio alapja, a masodik es

harmadik generalo szabaly, melyek alapjan uj formulak kepezhetok a marmegkonstrualtakbol.

A felepıteshez logikai szimbolumokat — logikai osszekotojeleketes kvantorokat — alkalmazunk.

Logikai osszekotojelek: ∧,∨,⇒, .Kvantorok: ∀, ∃.

Elnevezesuk, kiolvasasuk a Geom nyelvben mar szerepelt.

Az induktıv definıcio:1. Minden atomi formula az Ω nyelv formulaja.

2. Ha A es B az Ω nyelv formulai, akkor az

(A ∧B), (A ∨B), (A ⇒ B), A

is formulak.

3. Ha A formula, x tetszoleges Ω-beli valtozo, akkor

∀xA, ∃xA

is formulak. A definıcio alapjan minden formula a kovetkezo alakok kozulpontosan az egyiket veszi fol:

(a) az Ω nyelv atomi formulaja.(b) (A4 B), (ahol 4 az ∧,∨,⇒ jelek egyike, A es B formulak) vagy

A.(c) QxA, ahol A formula, x az Ω valtozoja, Q pedig az ∀ vagy ∃ kvantor.

Pl. ∀x∃z (P (f(x, y)) ∧ ∃xR(x, f(x, z))) — egy megfelelo nyelvben formula.

27

A logikai szimbolumok szama a formula osszetettseget adja meg. Azatomi formulake nulla, az elozo pelda formulajae negy.

Definıcio. Egy A formula minden olyan reszet, amely maga is formula,az A reszformulajanak nevezzuk.

Pl. az elozo peldaban ∃xR (x, f(x, z)) reszformula.

Megjegyzes. A mar korabban bevezetett rovidıto jeloleseket, ⇔, ∃!,a bevezetesuk alapjan alkalmazni fogjuk.

A zarojelek szamanak csokkentesere vannak kulonbozo megallapodasok,de didaktikai szempontbol mi tovabbra is csak a formulak, termek kulsozarojeleinek elhagyasat alkalmazzuk.

Definıcio. A ∀xA, ∃xA formulakban a ∀x, ∃x jelkombinaciot kvan-toros elotagnak, az x valtozot a kvantoros elotag valtozojanak, A-t akvantoros elotag hataskorenek nevezzuk.

Definıcio. Azt mondjuk, hogy egy valtozo egy formulaban kotottelofordulasu, ha szerepel egy rajta hato kvantor hataskoreben.

Egy valtozo elofordulasa valamely formulaban szabad, ha nem kotott,(azaz nem vonatkozik ra kvantor). A szabad elofordulasu valtozo a formulaparametere. Pl. ∃x(x ∈ y) ∧ ∃y(y ∈ z).

Egy valtozo ugyanabban a formulaban elofordulhat tobbszor, s lehetnemelyik elofordulasa kotott, nemelyik szabad. A fenti peldaban y elsoelofordulasa szabad, a masodik kotott.

Az alabbi peldaban kiemeltuk a szabad valtozokat:

(∀x(Pf(x)) ∧ ∃xQ(x, z)) ⇒ (∃xR(x, x) ∨Q(z,x)) .

Definıcio. Az Ω nyelv egy formulaja zart formula vagy mondat, hanincs benne szabad valtozo.

A nyelv szabad valtozot tartalmazo formulajat nyitott formulanak(predikatumnak) nevezzuk, s ez n-valtozos, ha benne n kulonbozo val-tozonak van szabad elofordulasa.

Az elozo pelda formulaja ketvaltozos, parameterei az x es a z is.

Megjegyzes. Az elsorendu nyelvben az atomi formulak valtozoi nyil-van szabad valtozok.

Az elsorendu nyelv elnevezesben az elsorendu jelzo arra utal, hogy eb-ben a nyelvben a kvantorok csak valtozojelekre vonatkozhatnak, predika-tumbetukre nem.

Az eddig megismert nyelvek mind elsorendu nyelvek, nem elsorendurea halmazelmeletben latunk majd peldat.

28

A formula definıcioja alapjan barmely jelsorozatrol eldontheto, hogyformula-e vagy sem. Pl.

1. (A ∧B) ⇒ (C ∨D).2. ∃x( P (a) ∨ ∀x(Q(x, y) ⇒ R(x))).3. ∀x(Q ⇔.4. (A ∧B ⇒ (C ∨D).5. ∀xQ(x, y) ⇒.

Az 1. 2. jelsorozat formula, a 3. 4. 5. nem formula.Az allıtasok egy elsorendu nyelvben zart formulakkal ırhatok le. Nagyon

fontos, hogy az alkalmazott nyelvre torteno fordıtas helyes legyen, hiszen atovabbi manipulaciok mar a formulara vonatkoznak. A formalizalas gyakor-lasara, a helyes szerkezet feltarasanak vizsgalatara a kijelentes- es predika-tumlogika nyelvenek targyalasakor kerul sor.

3.2. Kotott valtozok atjelolese, valtozokhelyettesıtese termekkel

A formulakkal vegzett manipulaciok soran gyakran alkalmazzuk ezt aket eljarast. Nem foglalkozunk veluk reszletesen, csak a leglenyegesebb, ahasznalat soran elofordulo legfontosabb tudnivalokat ismertetjuk.

(a) Kotott valtozo atjelolese

A kotott valtozonak nincs onallo jelentese, at lehet jelolni mas valtozora,a formula ertelme ettol nem valtozik, de amint a kovetkezo peldaban latnifogjuk, bizonyos esetekben ez bekovetkezhet.

Tekintsuk a mar korabban szerepelt, az Ar nyelv kozonseges inter-petaciojaban az x ≤ y relaciot kifejezo ∃z(x + z = y) formulat, ahol xes y szabad, z kotott. A z-t u-val helyettesıtve, a ∃u(x + u = y) ugyanaztfejezi ki. Ha azonban z helyere x-et ırunk, a ∃x(x + x = y) formula marmast jelent: y paros szam. Mıg az eredeti formulaban ket szabad valtozovolt, az utobbiban mar csak egy, az y.

A kotott valtozo atjelolesekor a kovetkezo fontos szabalyt kell be-tartani: az atjeloles utan egyetlen reszformula szabad valtozoja sem valhatkototte. Ezen szabaly betartasaval torteno atjelolest szabalyos atjeloles-nek nevezzuk.

Definıcio. Ha az A es A′ formulak csak szabalyosan vegrehajtottkotott valtozo atjeloleseben kulonboznek egymastol, akkor kongruens for-mulaknak nevezzuk oket, vagy azt mondjuk, hogy az A′ az A variansa.Jele: A ≈ A′.

29

A kovetkezo formulaban kiemeltuk a szabad valtozokat:

∀x ((P (f(x)) ∧ ∃xQ(x, z)) ⇒ ∃yR(x, y)) ∨Q(z,y).

Az egyes kvantorok hataskoreben allo, azaz kotott valtozokat hagyjuk ki,s jeloljuk oket a t, , © szimbolumokkal. (Ezek nem tartoznak a nyelvjeleihez, csak a szerkezet feltarasat segıtik.)

∀ t ((P (f(t)) ∧ ∃ Q( , z) ⇒ ∃©R(t,©)

) ∨Q(z, y).

Ez az eredeti formula vaza. Ket formula akkor es csak akkor kongruens,ha megegyezo vazzal rendelkeznek.

(b) Termek helyettesıtese formulakbaTekintsuk az a pontban szereplo ∃z(x+z = y) formulat. Helyettesıtsuk

x-et az (x · z) termmel, hogy megkapjuk az x · z ≤ y osszefuggest. Jelolese:(∃z(x + z = y))x

x·z. Ekkor a ∃z(x · z + z = y) formulat kapjuk, ami mastfejez ki, es csak ket parametere van, mıg az eredetinek harom. Az elteresoka az, hogy az (x · z) termben z szabad, de a helyettesıtes soran bekerulta ∃z kvantoros elotag hataskorebe. Ez kikuszobolheto, ha eloszor atjeloljuka kotott valtozot: ∃u(x+u = y), ezutan helyettesıtunk. (∃u(x + u = y))x

x·z;a kapott ∃u(x · z + u = y) mar a kıvant osszefuggest fejezi ki.

Fontos szabaly, hogy csak szabad valtozot helyettesıthetunk term-mel, es a helyettesıtes utan a szabad valtozobol nem lehet kotott valtozo,azaz a helyettesıto term valtozoja nem kerulhet kvantor hataskorebe. Ezenfeltetelnek elegettevo helyettesıtest szabad vagy megengedett helyette-sıtesnek nevezzuk.

Ha egy helyettesıtes nem szabad az A formula szamara, akkor keresunkolyan A′ formulat, amelyre A ≈ A′; azaz megkeressuk A egy variansat,amelyre a helyettesıtes mar megengedheto, s az ıgy nyert helyettesıtest Aszabalyos helyettesıtesenek nevezzuk.

Igazolhato, hogy a szabalyos helyettesıtes eredmenye a kongruenciatoleltekintve egyertelmuen meghatarozhato, valamint az is, hogy minden for-mulahoz talalhato alkalmas varians, amely segıtsegevel a szabalyos helyet-tesıtes elvegezheto. Ez utobbi allıtas bizonyıtasahoz szukseges a kovetkezodefinıcio:Azt mondjuk, hogy egy formula rendelkezik a valtozotisztasag tulaj-donsaggal, ha benne egyreszt a kotott valtozok kulonboznek a szabadvaltozoktol, masreszt barmely ket kvantoros elotag ket kulonbozo elofordula-sa kulonbozo valtozokat kot meg.

Nem bizonyıtjuk, csak egy kesobbi gyakorlatban mutatjuk meg, hogyminden A formulahoz letezik vele ekvivalens, valtozotisztasaggal rendelkezoB formula, azaz minden formula valtozotisztasagu alakra hozhato.

30

Megjegyzes. Nem szabalyos helyettesıtest gyakorlatilag nem alkal-maznak a matematikai logikaban, ezert a tovabbi fejezetekben roviden csakhelyettesıtest monduk, de mindig szabalyos helyettesıtest fogunk alatta er-teni.

Gyakorlat. 1. Az alabbi formulaban vegezzunk szabalyos helyette-sıtest!

A ‖ jel azt jelenti, hogy a bal oldalon allo valtozok helyere a jel jobboldalan allo termeket kell helyettesıteni.

(∃yP (z, y, x)) (x, y, z‖z, z, y)

Elso lepeskent celszeru jelolni a kotott valtozokat, mivel azokat nem helyet-tesıtjuk, ıgy ebben az esetben csak az x-et es z-t kell figyelembe venni. Havegrehajtjuk a helyettesıtest, a kapott ∃yP (y, y, z) formula szerkezete, vazanem egyezik meg az eredetievel; ıgy ez nem megengedett helyettesıtes lenne.Jeloljuk at a kotott valtozot egy, a formulaban nem szereplo valtozora:

(∃uP (z, u, x)) (x, z‖z, y)

az ıgy kapott formulaban elvegezve a helyettesıtest, ez mar megengedettlett: ∃uP (y, u, z).

2. (∃z∀yQ(x, y) ⇒ P (x)) (x‖f(x, z)).∃z∀yQ(x, y) ⇒ P (x).A szabad valtozok kiemelesebol lathato, hogy az ∃ hataskoreben nincs

valtozo; az ilyen kvantort fiktıv kvantornak nevezzuk.∃z∀yQ (f(x, z), y) ⇒ P (f(x, z)) nem megengedett. Az elobbi eljarast

alkalmazva: (∃u∀yQ(x, y) ⇒ P (x)) (x‖f(x, z)), a kapott formula mar jo:∃u∀yQ (f(x, z), y) ⇒ P (f(x, z)).

3. (P (x, y) ⇒ ∀yQ(y))(

x yf(x, y) z

). Ez a jeloles is hasznalatos, azt

jelenti, hogy a felso sorban levo valtozok helyere az alattuk levo megfelelotermet kell ırni. P (f(x, y), z) ⇒ ∀yQ(y): az ıgy elvegzett helyettesıtes marmegengedett is.

Osszefoglalva: az eljaras lenyege az, hogy ha a beırando termek kozottvan olyan, amelyiknek a valtozoja a helyettesıtes utan bekerulne valamelykvantor hataskorebe, akkor elso lepeskent a kotott valtozot atjeloljuk egyalkalmas beture (a legszerencsesebb, ha az alakzatokban nem szereplo betuthasznalunk), s utana vegezzuk el a helyettesıtest.

31

4. A nyelv szemantikaja, igazsagertekeles

Az elozo fejezetben a nyelv szintaxisaval, alaktanaval foglalkoztunk,amelyben a beszelt nyelvekre vonatkozo hasonlattal elve, megadtuk a nyelvszotarat es nyelvtanat. A nyelv leırasa azonban nem fejezodhet itt be; azegyik lehetseges folytatas a nyelv logikai kalkulussa valo fejlesztese tovabbiszintaktikai definıciok reven, a masik pedig a nyelv szemantikajanak a leı-rasa. Ebben a reszben a masodik lehetoseget vizsgaljuk meg, azaz megadjuka nyelv interpretaciojanak a fogalmat.

Ahhoz, hogy meghatarozzuk, hogy mit fejeznek ki a nyelv formulai,eloszor meg kell mutatnunk, hogy milyen halmazt futnak be a nyelv valtozoi.

4.1. Objektumtartomany

Legyen adott egy elsorendu nyelv

Ω = 〈S, C,F ,P〉.

Minden S-beli tıpushoz hozzarendelunk egy nem ures halmazt, amit a tı-pus objektumtartomanyanak, vagy hordozojanak nevezunk. A Geomnyelvben ez harom halmazt jelent, de az egytıpusu nyelvekben egyet, ezerta tovabbiakban csak objektum- vagy individuumtartomanyrol fogunk be-szelni.

A tovabbi cel olyan formulak es termek tanulmanyozasa, amelyekbena parameterek helyere a hordozo objektumai kerulnek. Pl. az Ar nyelvszokasos interpretaciojaban az x + y = z formulaban a valtozok helyeretermeszetes szamokat ırva; 3 + 5 = 8, 4 + 5 = 2 stb. — jo lenne, ha az ilyenun. ertekelt formulak valamely nyelv formulai lennenek. Meg lehetne tenni,hogy az eredeti Ω nyelvet kibovıtjuk az objektumtartomany elemeivel, ujkonstanskent hasznalva azokat. Ebbol azonban — itt nem reszletezett —formai nehezsegek adodnanak, ezert a kovetkezokeppen jarunk el. Ha adottegy D hordozo, akkor minden a ∈ D objektumhoz hozzarendelunk egy ujszimbolumot, a-t, es megalkotjuk az uj nyelvet, melyet ugy kapunk, hogyΩ-t kibovıtjuk az uj szimbolumokkal. Az uj nyelv tehat ıgy definialhato:

Ω(D) = 〈S, C(D),F ,P〉.

Megjegyzes. Az uj nyelv a regitol csak az uj konstansok jelenletevelkulonbozik. A gyakorlatban, ha nem all fenn a felreertes veszelye, az a jeloleshelyett, az a-t hasznaljuk.

32

Az Ω(D) nyelv zart kifejezeset, azaz amely parametereket nem tartal-maz, az Ω nyelv ertekelt kifejezesenek nevezzuk. Barmely ertekelt kife-jezes az Ω nyelv megfelelo kifejezesebol szarmaztathato, ha az utobbibanminden parametert az Ω(D) nyelv valamely uj konstansaval helyettesıtjuk.

4.2. Az Ω nyelv interpertacioja

A matematikai logika egyik alapveto fogalma az Ω nyelv interpre-tacioja (mas terminologiaban az Ω nyelv algebrai strukturaja) vagy az Ωnyelv modellje.

Ahhoz, hogy az Ω nyelv egy M interpretaciojat definialhassuk, megkell hatarozni nehany fuggvenyt. (Mi ezeket egytıpusu nyelvekre vonatkoz-tatjuk.)

1. Megadjuk az Ω nyelv D hordozojat, azaz megadjuk a valtozok ob-jektumtartomanyat. Ez tekintheto egy D fuggvenynek, mely a valtozohal-mazhoz a D-t rendeli.

2. Minden konstansnak megfeleltetunk egy objektumot, azaz meghata-rozzuk a

C : c 7−→ c (c ∈ C, c ∈ D)

fuggvenyt.

3. Minden f ∈ F fuggvenyszimbolumnak megfeleltetunk egy f fugg-venyt, azaz a D-n ertelmezett, es D-beli erteket felvevo konkret fuggvenyt,amely annyi valtozot tartalmaz, ahany valtozos az f fuggvenyjel.

F : f 7−→ f.

4. Minden P ∈ P predikatumszimbolumhoz hozzarendelunk egy konk-ret P predikatumot. Predikatum alatt egy k-valtozos fuggvenyt ertunk,mely a D halmazbol vett a1, . . . , ak elemrendszerekhez a 0 vagy 1 igazsa-gerteket rendeli. A 0 a hamis, az 1 az igaz erteket jelenti.

Ha specialisan k = 0, azaz P propozıcionalis betu, akkor ennek a betu-nek is 0 vagy 1 az erteke. Jeloles. P : P 7−→ P .

Igy az Ω nyelv M interpretaciojat a leırt negy fuggveny hatarozzameg:

M = 〈D, C,F ,P〉.

Megjegyzes. A nyelv interpretacioja intuitıv felfogasban ugy kepzel-heto el, mint egy eloıras, amely a nyelv szimbolumainak valodi objektumo-kat feleltet meg, azaz megtolt tartalommal. A D hordozot alaphalmaznak

33

is szokas nevezni, ennek elemeirol szolnak az allıtasok. (Pl. a termeszetesszamok halmaza.) Ezen nem ures halmazbol vehetik fel a valtozojelek azertekuket, s a konstansok is ennek a halmaznak bizonyos elemeit jelolik. Afuggvenyjelek is ezen a halmazon ertelmezett, konkret, annyi valtozos fugg-venyt jelentenek, ahany valtozos a fuggvenyjel. (Pl. + jelolje a termeszetesszamhalmazon ertelmezett osszeadast.) A predikatumbetuknek pedig olyankonkret, a D-n ertelmezett predikatumok (relaciok) felelnek meg, melyekrolfeltetelezzuk, hogy eldontheto, hogy igazak vagy hamisak.

Az ıgy ertelmezett interpretacio meghatarozza a klasszikus elsoren-du szemantikat. A matematikai logikaban a formulak mas ertelmezese islehetseges, vannak nem klasszikus logikan alapulo nem klasszikus szeman-tikak, pl. az intuicionista szemantika is ilyen. A nem elsorendu nyelvek sze-mantikaja is mas: mi a tovabbiakban szemantika alatt altalaban a klasszikuselsorendu szemantikat fogjuk erteni.

4.3. Ertekelt termek es formulak

Ha rogzıtve van az Ω nyelv egy M modellje akkor Ω-ban ertelmezvevannak ertekelt termek es formulak.

Definıcio. Az ertekelt term erteket bonyolultsaga szerinti induk-cioval hatarozzuk meg; a t term erteket jelolje |t|M , ez a D egy eleme.

1. Ha a tekintett term c ∈ C konstans, akkor az M interpretaciobanhozza van rendelve egy meghatarozott c objektum; legyen |c|M = c.

2. Ha a tekintett term alakja a, hol a ∈ D, akkor legyen |a|M = a.

3. Ha a tekintett term alakja: f(t1, . . . , tk), ahol t1, . . . , tk kisebb bo-nyolultsagu ertekelt termek, akkor |t1|M , . . . , |tk|M ertekek ismertek. MivelM -ben az f fv-szimbolumnak megfelel egy f fuggveny, legyen definıcio sze-rint

|f(t1, . . . , tk)|M = f(|t1|M , . . . , |tk|M ).

Megjegyzes. Egy zart term egyben ertekelt term, es ıgy meghatarozM -ben egy |t|M objektumot. Igy nyilvanvalo, hogy minden term erteke egykonkret D-beli elem.

Az Ω nyelv M modelljeben ertekelt formulakat M -ben igaz es M -benhamis formulakra osztjuk.

Ha A M -ben ertekelt formula, akkor az M |= A alakzat azt fogja jelen-teni, hogy az A formula igaz M -ben.

34

Definıcio. M |= A definıcioja az A formula bonyolultsaga szerintiindukcioval:

1. Ha a formula P (t1, . . . , tk) alaku, azaz atomi formula, a t1, . . . , tkertekelt termek, ıgy |t1|M , . . . , |tk|M bizonyos objektumok M -ben.

A P predikatumszimbolumnak megfelel egy konkret P predikatum,amelyhez 1 vagy 0 ertek tartozik, ıgy

M |= P (t1, . . . , tk) :⇔ P (|t1|M , . . . , |tk|M ) = 1.

Ha a formula nem atomi, akkor igazsagerteket kisebb bonyolultsaguformulak segıtsegevel hatarozzuk meg.

2. M |= A ∧B :⇔ M |= A es M |= B.3. M |= A ∨B :⇔ M |= A vagy M |= B.4. M |= A ⇒ B :⇔ ha M |= A, akkor M |= B.5. M |= A :⇔ nem igaz, hogy M |= A.6. M |= ∀xA :⇔ minden a ∈ D eseten M |= Ax

a.7. M |= ∃xA :⇔ van olyan a ∈ D, hogy M |= Ax

a.

Megjegyzes. (a) A logikai kotoszavak pontos ertelmezesere meg csakezek utan terunk ra, de lathato, hogy a jobb oldalon mindenutt kisebbbonyolultsagu formulak allnak, mint a bal oldalon.

(b) Az univerzalis kvantorra vonatkozo allıtas szemleletesen megfogal-mazva azt jelenti, hogy a ∀xA akkor igaz, ha x helyebe a D elemeit teveaz A formula minden egyes esetben igaz. A ∃xA eseteben, ha van olyanD-beli elem, amelyre igaz az A formula, akkor az eredeti formula is igaz.Ezeknek a formulaknak az eseteben, ha a D vegtelen halmaz, akkor vegtelenszamu kisebb bonyolultsagu formulat kellene megvizsgalni. Mivel ez nemvalosıthato meg, szukseg van bizonyos elmeleti vizsgalatokra. Ez az egyikoka az igazsagertek fogalma koruli problemaknak, melyekrol mar korabbanszoltunk.

Definıcio. Az ertekelt A formulat M -ben hamisnak nevezzuk, haM |= A nem igaz.

Az elobbi definıcio azt is jelenti, hogy M |= A.

Osszefoglalva az eddigieket: a parametert tartalmazo formula vagyatomi predikatum, vagy logikai osszekotojelekkel kepzett un. osszetett pre-dikatum, de mindket esetben parametereitol fuggo, 0 vagy 1 erteket felvevofuggveny. A zart formula ertekelt formula, es az M modellben meghatarozzaa 0 vagy 1 erteket; a zart formula ıgy minden modellben egy kijelentesthataroz meg.

35

Megjegyzes. A 0 es 1 szimbolumokat logikai ertekeknek nevezzuk.A logikai ertek jelolesere hasznaljak meg a h es az i betuket, egy A formulaeseten pedig az |A| = i, ill. az |A| = h jelolest.

4.4. A logikai oszekotojelek (junktorok vagy kapcsolok)jelentesenek pontosıtasa

Definıcio szerint a junktorokkal eloallıtott formulak logikai erteke azalabbi tablazatban megadott modon fugg a felhasznalt formulak logikaierteketol:

A B A ∧B A ∨B A ⇒ B A ⇔ B A

1 1 1 1 1 1 0

1 0 0 1 0 0 0

0 1 0 1 1 0 1

0 0 0 0 1 1 1

Megjegyzes. A logikai osszekotojelek mar a kozep- es felsofoku tanul-manyok soran is elofordultak, a tapasztalatok azonban azt mutatjak, hogyfoleg a kesobbi formalizalasok elokeszıtese, valamint a mar emlıtett filozofiailogikai ismeretek hianya miatt, reszletesebben ki kell ternunk ezek vizsgala-tara. A tanıtasi gyakorlatban is nelkulozhetetlen ezek alapos ismerete, hiszenaz altalanos iskolaban A logika elemeinek tanıtasa cımszo alatt, foleg fe-ladatokon keresztul, nagyreszt a junktorok tulajdonsagainak az elmelyıtesefolyik.

Lathato volt a formula definıciojaban, hogy az osszekotojelek bizonyosszavakhoz (nem, es stb.) kapcsolodnak, mely szavakat a hagyomanyos logi-kaban logikai szavaknak is neveznek. Ezek jelentesenek felhasznalasat ugybiztosıtja a modern logika, hogy kiindulva a kerdeses szo (kifejezes) koz-nyelvi hasznalatabol, megallapıtja a legfontosabb, legvilagosabb hasznalatimodjat, s ennek alapjan rogzıti a szo (kifejezes) jelenteset az un. igazsagsza-baly formajaban. Az igazsagszaballyal rogzıtett jelentest kiterjeszti azokraaz esetekre is, amelyekben a koznapi nyelvhasznalat bizonytalan (ld. kondi-cionalis).

Az altalunk kovetett felepıtesben formulakra alkalmazzuk a logikai osz-szekotojeleket, es minden esetben megadjuk az ertekelest (ld. [2]). A mate-matikai logika masik felepıtesenek (ennek az elnevezeseit hasznaljak az al-talanos es kozepiskolaban) a lenyege a kovetkezokeppen fogalmazhato meg:(ld. [12], [15], [16]).

36

Eloszor definialjak a kijelentest (allıtast), mint olyan kijelento mon-datot, amelyre az igaz es hamis tulajdonsagok kozul pontosan az egyik vo-natkozik. Az igaz es hamis tulajdonsagokat a kijelentesek logikai ertekeneknevezik. (Minden kijelenteshez pontosan egy logikai ertek tartozik.)

Kijelentesekbol muveletekkel ujabb, un. osszetett kijelentesek kepez-hetok. A logikaban csak olyan muveletekkel, ill. ezekkel konstrualt osszetettkijelentesekkel foglalkoznak, amelyek eleget tesznek az un. ertekelesi alap-elvnek, amely szerint az osszetett kijelentes logikai erteket komponenseineklogikai erteke egyertelmuen meg kell hogy hatarozza. Igy az olyan muvele-teket, amelyekkel az ertekelesi alapelvnek elegettevo osszetett kijelentesekkepezhetok, logikai muveleteknek nevezik. (Ilyen osszetetelre mar utal-tunk a 2. fejezet 2. megjegyzeseben.)

Az osszetett kijelentesek komponenseit kis- (p, q, r, . . .) vagy nagybetu-vel (A, B,C, . . .) jelolik, s kijelentesvaltozoknak nevezik. (Jegyzetunkbenkovetett felepıtesben ezek a propozicionalis betuknek felelnek meg.)

A logikai osszekotojeleket ( ,∧,∨,⇒,⇔) kijelenteslogikai muveleti je-leknek nevezik, s alkalmazasuk kijelentesekre (kijelentes valtozokra) torte-nik. Ebben a nomenklaturaban a negacio elnevezes jelenti magat a muveletetes a vegeredmenyet is. (Hasonlo a helyzet a tobbi muvelet eseteben is.)

A ketfele felepıtes ekvivalens. Precız igazolasra terjedelmi okok mi-att nincs mod; meg lehet mutatni, hogy az osszetett kijelentes szerkezetenekfelırasaval, a formalizalassal kijelentesvaltozokbol, muveleti jelekbol es zaro-jelparokbol felepıtett jelsorozat kaphato, melyet kijelenteslogikai formulanakneveznek, s ez az altalunk kovetett felepıtesben is formula (propozicionalisbetukbol, logikai osszekoto jelekbol all, s eleget tesz a formula definıcioja-ban megszabott felteteleknek). Ha a kijelentesvaltozoknak logikai ertekeketadunk akkor interpretaljuk oket, s ez azonos az altalunk bevezetett inter-pretacioval.

Ha tekintunk egy altalunk definialt, propozicionalis betukbol es logikaiosszekotojelekbol felepıtett formulat, akkor, mivel a propozicionalis betukparametermentes formulak, valamint igaz, ill. hamis erteket rendeltunk hoz-zajuk, tekinthetok kijelentesvaltozoknak, a formula pedig valamely osszetettkijelenetest reprezentalo formulanak.

A tovabbiakban hasznalni fogjuk, foleg a feladatokban, a masik felepıteselnevezeseit is.

1. NegacioA metanyelvi kiolvasasa: nem A, nem igaz, hogy A vagy ezzel egyen-

erteku megfogalmazas. Jelolesere hasznalatos meg a ∼ A, A is.A tablazatbol kiolvashato, hogy A negacioja akkor es csak akkor igaz,

ha A hamis.

37

A metanyelvi kiolvasaskor az utolso mondatresz arra utal, hogy forma-ilag, stilarisan, tobbfelekeppen is lehet tagadni, de az elozo mondat szerintiertekelest mindig szemelott kell tartani. Pl. Tamas magasabb, mint Gabor.Ennek a mondatnak a tagadasa nemcsak a Nem igaz, hogy Tamas maga-sabb, mint Gabor, hanem a Tamas nem magasabb, mint Gabor alakban isırhato. A nem kotoszo bevitele a mondatba nem minden esetben jelenti azeredeti allıtas tagadasat. Pl.

Nemelyik emlos tud repulni.Nemelyik emlos nem tud repulni.Mivel mindket allıtas igaz, a masodik nem lehet az elso tagadasa. A

Minden negyzet deltoid. allıtas tagadasa sem az Egyetlen negyzet sem del-toid, hanem a Van olyan negyzet, ami nem deltoid allıtas; a minden, letezikszavakkal kezdodo allıtasok tagadasara meg visszaterunk.

2. KonjunkcioA ∧ B metanyelvi kiolvasasa: A es B, vagy ezzel egyenerteku meg-

fogalmazas. Jelolesere hasznaljak meg az & jelet is.

Ertekeles. Az A∧B formula akkor es csak akkor igaz, ha az A es a Bformula is igaz.

A konjunkcio kifejezesere mas kotoszo is szolgalhat, de csak olyan, amieleget tesz az ertekelesnek, azaz mellerendelest fejez ki. A Feligazsag nemigazsag koznapi gondolkodasmod jelenik meg a konjunkcio ertekeleseben. Aformalizalaskor kell ugyelni arra, hogy nem minden konjunkcio van es-selkifejezve, valamint nem minden es fejez ki konjunkciot. Pl. Nepal, melynekfovarosa Katmandu, azsiai orszag. Atfogalmazva: Nepal fovarosa Katmandu,es Nepal azsiai orszag.

Lathato, hogy gyakran az aki, amely vonatkozo nevmas is konjunkciotleplez, s gyakoriak meg a de, pedig, noha, . . . megis stb. kotoszavak is.

Anna es Bella testverek. Itt az es nem fejez ki konjunkciot, mıg az Annaes Bella bolcseszek mondatban igen, mert ez utobbi atfogalmazhato Annabolcsesz es Bella bolcsesz formaban. Az elso allıtas nem bonthato szet, mertegy relaciot fejez ki.

Osszegezve: a konjunkcio ket kijelentes, illetve formula egyuttes allıta-sat jelenti.

3. DiszjunkcioA ∨B metanyelvi kiolvasasa: A vagy B, ahol a vagy kotoszot meg-

engedo ertelemben hasznaljuk.

Ertekeles. az A∨B formula akkor es csak akkor igaz, ha az A es a Bformula kozul legalabb az egyik igaz.

38

A vagy kotoszo kulonbozo jelenteseit az alabbi peldak illusztraljak:(a) A 12 oszthato 3-mal vagy 4-gyel.

(b) A sıkban adott ket egyenes vagy egyallasu vagy metszi egymast.

(c) Iszik vagy vezet.

Az elso kijelentesben a vagy megengedo ertelmu. Az ilyen osszetettkijelentes igaz, ha legalabb az egyik kijelentes igaz. Ebben az esetben minda ket kijelentes igaz, tehat az osszetett kijelentes is igaz.

A masodik peldaban a ket reszallıtas egyutt nem lehet igaz, ebben azesetben a vagy kotoszo kizaro ertelmu. Az alabbi tablazatbol lathato,hogy az ilyen mondat akkor es csak akkor igaz, ha pontosan az egyik reszal-lıtas igaz.

A harmadik pelda ismert szlogen, ami a koznapi ertelemben is ugyertendo, hogy a ket reszallıtas egyutt nem teljesulhet, de az sem baj, haaz egyiket sem csinalja az ember. Igy akkor es csak akkor igaz, ha legfel-jebb az egyik komponens igaz. Ezt osszeferhetetlensegi ertelmu vagynaknevezzuk.

Az alabbi tablazatokban a nagybetuk az egyes reszallıtasokat jelolik.

(a)

A B A ∨B

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0 (b)

C D C 4D

1 1 0

1 0 1

0 1 1

0 0 0

(c)

E F E | F1 1 0

1 0 1

0 1 1

0 0 1

Mar korabban is emlıtettuk, hogy a terminologia nem egyseges a logi-kaban, s ez ebben az esetben kulonosen erzekelheto. A diszjunkciot alter-nacionak is nevezik, a kizaro vagy-ot Zsegalkin-muveletnek vagy szigorudiszjunkcionak (kizaro diszjunkcionak, antivalencianak). Jele: 4 (olv. ki-zarja).

A (c) esetre a Sheffer-muvelet elnevezes hasznalatos, jele: | (olv. vo-nal).

39

4. KondicionalisA ⇒ B metanyelvi kiolvasasa: ha A, akkor B.

Ertekeles. Az A ⇒ B formula akkor es csak akkor hamis, ha A igazes B hamis formula. Itt megint megjelenik a koznapi gondolkodas hatasa,hiszen igazbol hamis nem kovetkezhet, de az ertekeles osszessegeben nemteljesen felel meg a ha . . . akkor kifejezessel kapcsolatos koznapi velekedes-nek.

Az A-t elotagnak, a B-t utotagnak nevezzuk; tovabbiakban latnifogjuk, hogy ez a megkulonboztetes szukseges.

Az elnevezese sokaig implikacio volt, de mivel ez a kovetkezmenyrela-cioval kapcsolatos teves asszociaciot kelthet, helyesebb a kondicionalis elne-vezest hasznalni.

Foleg a matematikai szaknyelvben a ,,Ha A akkor B” alakot a kovetkezovaltozatban is hasznaljuk:

A-nak szukseges feltetele a B;B-nek elegseges feltetele az A;A csak akkor ha B.

5. BikondicionalisA ⇔ B metanyelvi kiolvasasa: A akkor es csak akkor, ha B.

Ertekeles. A ⇔ B formula akkor es csak akkor igaz, ha A es B formulalogikai erteke megegyezik.

Mar a Geom nyelvben bevezettuk a bikondicionalist:

A ⇔ B :⇔ (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A).

Ebbol a definıciobol adodik az ertekelese, valamint, a foleg matemati-kaban hasznalatos kiolvasasai:

A-nak szukseges es elegseges feltetele B;B-nek elegseges es szukseges feltetele A.

Az ilyen tıpusu allıtasokat kriteriumoknak is szokas nevezni.Jelolesere hasznaljak meg az ≡ jelet is, elnevezese pedig ekvivalencia

volt, de mivel ez osszetevesztheto a logikai ekvivalenciaval, celszeru a bikon-dicionalis elnevezes hasznalata.

Megjegyzes. A felsorolt formulak ertekelesenek ismerete a tovabbha-ladashoz feltetlen szukseges. Az alabbi tablazatokbol leolvashato, hogy melyesetekben cserelheto fol az A es B. Lathato, hogy a kondicionalisban nem,jogos az elo- es utotag megkulonboztetes.

40

Gyakorlat. A tovabbi vizsgalatokhoz nagyon fontos a biztos for-malizalas, hiszen egy szoveges kovetkeztetest csak ugy tudunk majd precızenvizsgalni, ha formalizaljuk, de ha rossz a fordıtas, a vizsgalatnak nincsertelme.

A formalizalashoz pontos recept nem adhato; megfelelo gyakorlassalelerheto, hogy erezni lehessen, milyen atfogalmazas szukseges ahhoz, hogya kijelentes szerkezete feltaruljon. Nezzunk nehany peldat!

1. Ha ketszer ketto negy, akkor a 9 oszthato 5-tel.Egy allıtas tobbfelekeppen formalizalhato; ezt a mondatot is lehetne az

Ar nyelven leırni, de a legegyszerubb a kovetkezo: jelolje A a ketszer kettonegy, B a 9 oszthato 5-tel reszallıtast. Ekkor a formula A ⇒ B alaku.

Itt A es B propozicionalis betuk. Erdekes a logikai ertek vizsgalata,hiszen itt nyilvanvaloan, mivel A igaz, B hamis, az eredeti allıtas hamis.

2. Ha a 9 oszthato 5-tel, akkor a ketszer ketto negy.A formula B ⇒ A, es mivel az elotag hamis, az utotag igaz, az eredeti

allıtas igaz.

3. Peter csak akkor szellemes, ha reszeg.Legyen Peter szellemes S, Peter reszeg R. A formula S ⇒ R.Ha elhagynank a csak szot, akkor R ⇒ S alaku lenne a formula, hiszen

ha Peter reszeg, akkor szellemes alakra lehetne atfogalmazni.

4. Nem minden madar tud repulni.Az egyik lehetoseg az, hogy a Minden madar tud repulni allıtas legyen

A, s ıgy a formula A. Ez a megoldas azonban a legtobbszor nem kielegıto,fel kell tarni az A-ban levo kvantoros szerkezetet. Ehhez meg kell adnunkegy alaphalmazt, amit D-vel vagy a gyakorlatban inkabb U -val jelolunk.Legyen U a madarak halmaza. Ezutan megnezzuk, hogy milyen predikatumszerepel az allıtasban; T (x) :⇔ x tud repulni. Igy a szerkezet

∀xT (x).

41

Kesobb azonban, a kovetkeztetesek vizsgalatakor ez a formula sem leszkielegıto. Ha ugyanis az alaphalmaz a madarakenal bovebb halmaz (gerince-sek, elolenyek, allatok), akkor mas lesz a formula. Legyen U := elolenyekekkor ıgy fogalmazhato at az allıtas: Nem igaz, hogy minden elolenyre tel-jesul, hogy ha az madar, akkor tud repulni.

Lathato, hogy ıgy meg egy predikatum szukseges: M(x) :⇔ x madar.

∀x (M(x) ⇒ T (x)) .

Ez a formula mar teljesen feltarja a kijelentes szerkezetet.

5. Egyetlen politikus sem tevedhetetlen.Atfogalmazva: Nem letezik olyan ember, aki politikus es tevedhetetlen.

U := emberek, P (x) :⇔ x politikus, T (x) :⇔ x tevedhetetlen,

∃x (P (x) ∧ T (x)) .

Ha azonban az alaphalmaz a politikusok halmaza, akkor a formula:

∃xT (x).

Megjegyzes. A peldakban tobb lehetoseget is megmutattunk, de ko-rantsem merıtettuk ki az osszeset (errol meg kesobb lesz szo). Lathato tehat,hogy a formalizalast meghatarozza eloszor is a nyelv, amelyben dolgozunk;ha ez nem adott, akkor a feladatnak leginkabb megfelelo nyelvet hasznaljuk.Az egyenerteku atfogalmazas segıt a szerkezet feltarasaban.

42

5. Logikai torvenyek, Boole-kombinaciok,a kijelenteslogika nyelve

5.1. Logikai torvenyek, Boole-kombinaciok

Definıcio. Az Ω nyelv A formulaja logikai torveny, vagy azonosanigaz formula, vagy tautologia, ha A az Ω minden interpretaciojaban,minden ertekeles eseten igaz. Jelolese: |= A.

Definıcio. Az A formula logikailag ellentmondasos, vagy kontra-dikcio, ha minden interpretacioban, minden ertekeleskor hamis.

Definıcio. Az A formula kielegıtheto, ha letezik olyan M modell esabban olyan ertekeles, amelyre az A igaz.

A tautologia alapveto jelentosegu fogalmat L. Wittgenstein vezettebe a logikaba; a fogalom lenyeget jol mutatja a tole szarmazo idezet: ,,Akijelentes mutatja azt, amit mond; a tautologia es az ellentmondas mutatjaazt, hogy nem mond semmit. A tautologianak nincsenek igazsagfeltetelei,minden feltetel nelkul igaz; az ellentmondas pedig semmifele feltetel mellettsem igaz.”

Definıcio. Valamely A es B formula logikailag ekvivalens, ha azA ⇔ B formula logikai torveny. Jele: A ∼ B.

Az A ⇔ B ertekelese alapjan az A es B formula akkor es csak akkorekvivalens, ha logikai ertekuk megegyezik.

A logikai vizsgalatokban tehat at lehet terni az egyik formularol a velelogikailag ekvivalens formulara, azaz helyettesıteni lehet egymassal az ilyenformulakat.

Definıcio. Azt mondjuk, hogy az Ω nyelv A formulaja az A1, . . . , Ak

Ω-beli formulak Boole-kombinacioja, ha az A formula az A1, . . . , Ak for-mulakbol a ∧,∨,⇒, logikai jelek segıtsegevel epul fol, kvantorok nelkul. AzAi-ket (i = 1, . . . , k) komponenseknek nevezzuk.

Megjegyzes. A komponensek tartalmazhatnak kvantorokat. Altala-ban azt vizsgaljuk, hogy az A logikai erteke hogyan fugg komponensei logikaierteketol, s ıgy legtobbszor ezek felepıtesere nincs is szukseg, csak a logikaiertekukre.

Azt, hogy a Boole-kombinacioban a komponensek logikai erteke hogyanhatarozza meg a formula erteket, a Quine-fele tablazatbol (ertektabla-zatbol) leolvashatjuk. Mar eddig is lathattuk, hogy a negacio ertektablazata,mivel csak egy komponens van, ketsoros, de a ketkomponensu konjunkcio

43

stb. eseten a tablazat mar negysoros. n komponens eseten a 0, 1 ertekekosszes lehetseges ismetleses variacioja miatt a sorok szama 2n.

A tablazat kitoltesekor figyelembe kell venni a zarojeleket, hiszen ezekadjak meg a muveletek elvegzesenek sorrendjet. A fooszlop a formula fologikai osszekotojele alatt keletkezik, s ez adja meg a formula logikai erteket.Pl. (A ∨B) ⇔ ( A ∧ B).

Definıcio. Az olyan Boole-kombinaciot, amelyhez tartozo ertektabla-zatban a fooszlop csupa 1-esbol all, propozicionalis tautologianak ne-vezzuk.

A fenti pelda ilyen, azaz logikai torveny. Tehat a Boole-kombinaciok ese-teben ertektablazattal eldontheto, hogy egy formula logikai torveny-e vagysem. (Ha a fooszlopban nem all csupa 1-es, attol meg lehet logikai torveny aformula, de ez mar a komponensek belso szerkezetebol adodhat, amit majdkesobb vizsgalunk.)

5.2. A kijelenteslogika nyelve

A Boole-kombinaciok tanulmanyozasa a kijelenteslogika nyelve segıtse-gevel tortenik.

Ebben a nyelvben valtozok az A, B,C, . . . , P,Q, R nullvaltozos predi-katumok, azaz propozicionalis betuk. (Ezek megszamlalhato halmaza).

Formulak ezekbol a ∨,∧,⇒, jelekkel kepezhetok.Formalizalaskor ebben a nyelvben az allıtasoknak az un. kulso (durva)

szerkezetet tarjuk fel. (Ld. az elozo gyakorlat elso harom peldajat.) Pl. Min-den paralelogramma trapez.

A kijelenteslogika nyelven a formulaja csak P , de a finomszerkezete:

∀x (P (x) ⇒ T (x)) (U := sıkidomok).

Megjegyzes. Altalaban ket reszre osztjak a logikat, kijelenteslogikaraes predikatumlogikara (elsorendu logikara). Mi nem ezt a modszert kovetjuk,hanem ezeket specialis matematikai logikai nyelveken leırhato elmeletekkenttargyaljuk.

44

A tovabbiakban a kijelenteslogika nehany torvenyet vesszuk sorra,igazolas nelkul. Mechanikusan minden torveny ertektablazattal igazolhato,de egyeb eljarasokra is latunk majd peldat.

Megfelelo helyettesıtessel ezek a torvenyek mas nyelvekben is alkalmaz-hatok.

Az elso hat torvenypar a konjunkciora, diszkjunkciora es negaci-ora vonatkozik.

1. Kommutativitas:

(A ∧B) ∼ (B ∧A),(A ∨B) ∼ (B ∨A).

2. Asszociativitas:

(A ∧ (B ∧ C)) ∼ ((A ∧B) ∧ C) ,

(A ∨ (B ∨ C)) ∼ ((A ∨B) ∨ C) .

3. Idempotencia:

(A ∧A) ∼ A,

(A ∨A) ∼ A.

4. Disztributivitas.

(A ∧ (B ∨ C)) ∼ ((A ∧B) ∨ (A ∧ C)) ,

(A ∨ (B ∧ C)) ∼ ((A ∨B) ∧ (A ∨ C)) .

5. Eliminacio (elnyeles, abszorbcio):

(A ∨ (B ∧A)) ∼ A,

(A ∧ (B ∨A)) ∼ A.

6. A de Morgan-torvenyek:

( (A ∧B)) ∼ ( A ∨ B),( (A ∨B)) ∼ ( A ∧ B).

Megjegyzes. 1. Lathato, hogy mindegyik torvenybol ketto van, segyikbol ugy kaphato a masik, hogy a ∧ es ∨ jeleket felcsereljuk. Ha Aolyan formula, amelyben csak a ∧,∨, logikai jelek fordulnak elo, akkor azt

45

az A′ formulat, amelyet A-bol ugy kapunk, hogy a ∧ jelek helyere ∨ jeleketırunk es fordıtva, A dualisanak nevezzuk.

2. Mivel a konjunkcio es diszjunkcio asszociatıv, ertelmezheto a vegessok tagu, mindket fajta formula. Az A1, A2, . . . , An (n ∈ N +) formulakkonjunkciojan ertjuk:

(a) Az egytagu konjunkcio maga a formula.(b) Ha az A1 ∧ A2 ∧ . . . ∧ An−1 konjunkciot mar ertelmeztuk, ahol

n ≥ 2, akkor (A1 ∧ A2 ∧ . . . ∧ An) :⇔ (A1 ∧ A2 ∧ . . . ∧ An−1) ∧ An. Azıgy definialt formula akkor es csak akkor igaz, ha minden tagja igaz, mıga hasonlo modon ertelmezheto (megvalosıtasat az olvasora bızzuk) dualisaakkor es csak akkor hamis, ha minden tagja hamis.

3. Az elso de Morgan-torveny azt jelenti, hogy konjunkciot ugy ta-gadunk, hogy vesszuk a tagok negaltjanak diszjunkciojat. Ez, es a masiktorveny is kiterjesztheto veges sok tag esetere.

4. Boole volt az, aki felfedezte bizonyos logikai es matematikai mu-veletek analogiajat, s ezen analogia miatt neveztek sokaig a konjunkciotlogikai szorzasnak, a diszjunkciot logikai osszeadasnak. Hogy az analogianem tokeletes, azt mutatja az is, hogy a logikaban ket disztributıv torvenyervenyes.

7. A kondicionalisra vonatkozo torvenyek:(a) (A ⇒ B) ∼ (( (A ∧ B)),(b) (A ⇒ B) ∼ ( A ∨B).A kondicionalis tehat kifejezheto ∧, , illetve ∨, -val; atalakıtasokban

gyakran hasznalt osszefuggesek.(c) A kontrapozicio torvenye: (A ⇒ B) ∼ ( B ⇒ A).Az A ⇒ B kondicionalis megfordıtasanak nevezzuk a B ⇒ A-t, s lattuk,

hogy ez nem egyenerteku az eredetivel. Ez a torveny azt fejezi ki, hogy azA ⇒ B kontrapozicioja, a B ⇒ A egyenerteku az eredeti kondicionalissal.

Konnyen belathato, hogy a kondicionalis nemcsak hogy nem kommu-tatıv, de nem asszociatıv, s nem is idempotens, melyet a kovetkezo torvenyfejez ki.

(d) Az azonossag torvenye: |= A ⇒ A.(e) Tranzitivitas (hipotetikus szillogizmus vagy lancszabaly):

|= ((A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C)) ⇒ (A ⇒ C).

(f) Reductio ad absurdum: |= ((A ⇒ B) ∧ (A ⇒ B)) ⇒ A.Az utobbi ket torveny a kovetkezteteseknel jatszik nagy szerepet.(g) A kondicionalis ondisztributivitasa:

(A ⇒ (B ⇒ C)) ∼ ((A ⇒ B) ⇒ (A ⇒ C)) .

46

8. A ketszeres tagadas torvenye: A ∼ A.Ennek a torvenynek fontos kovetkezmenye az, hogy egy formula elott

allo veges sok negaciojel eseten, ha azok szama paros, akkor elhagyhatok,ha paratlan, akkor eggyel helyettesıthetok.

9. Arisztotelesz torvenyei:|= A ∨ A: a kizart harmadik torvenye,|= (A ∧ A): az ellentmondasmentesseg torvenye.Legyen C tetszoleges formula; bevezetjuk a kovetkezo jelolest:

> :⇔ C ∨ C : szabvanyigaz,

⊥ :⇔ C ∧ C : szabvanyhamis.

10. Muveletek szabvanyformulakkal (kiszamıtasi torvenyek):A ∨ > ∼ > A ⇒ > ∼ >A ∨ ⊥ ∼ A A ⇒ ⊥ ∼ AA ∧ > ∼ A > ⇒ A ∼ AA ∧ ⊥ ∼ ⊥ ⊥ ⇒ A ∼ >

Megjegyzes. Csak a legfontosabb, a tovabbiakban is elofordulo tor-venyeket ismertettuk.

A propozicionalis betuk (kijelentesvaltozok) halmazan ertelmezett egy-valtozos muveletre (negacio) es ket ketvaltozos muveletre (konjunkcio, disz-junkcio) ervenyes az elso ot torveny, valamint a 9. Letezik ket kituntetettelem, a > es ⊥; a 10. konjunkciora es diszjunkcora vonatkozo negy osszefug-gese az elozo mondatban felsoroltakkal egyutt azt jelenti, hogy a tekintetthalmaz a muveletekkel egyutt Boole-algebrat alkot. (A torvenyek kozottvannak olyanok, melyek a tobbiek segıtsegevel igazolhatok, azaz kevesebbun. alapazonossag is elegendo ahhoz, hogy valamely halmaz a rajta definialtmuveletekkel egyutt Boole-algebrat alkosson, de ezzel reszletesebben nemfoglalkozunk.) Megyjegyezzuk meg, hogy egy halmaz reszhalmazainak azosszessege a komplementerkepzesre, unio- es metszetkepzesre Boole-algebratalkot, valamint az esemenyalgebrak is Boole-algebrak.

A kondicionalis, mint lattuk, kifejezheto ∧, , illetve ∨, -val, ami azt je-lenti, hogy elegendo lenne csak harom jel. Megmutathato, hogy a konjunkciois kifejezheto negacio es diszjunkcio segıtsegevel:

(A ∧B) ∼ ( A ∨ B) , valamint (A ∨B) ∼ ( A ∧ B) is teljesul.

Mindezek alapjan elegendo lenne csak ket jellel, pl. ∧ es -val dolgozni; ekkorazonban nagyon nehezkesse valna a formulakkal valo manipulalas. Elijeszto

47

peldakent fejezze ki az olvaso a bikondicionalist csak ∧ es segıtsegevel! (Er-dekessegkent megemlıtjuk, hogy egy muvelet, a Sheffer-muvelet is elegendoa kijelenteslogikai formulak leırasahoz.)

5.3. A diszjunktıv es a konjunktıv normalformak

Definıcio. A B1 ∧ . . . ∧ Bk alaku formulat, ahol minden Bi Boole-kombinacio komponense vagy negaltja (tehat Aj vagy Aj), elemi kon-junkcionak nevezzuk.

Az elemi konjunkcio allhat egy tagbol is, valamint a zarojelek elhe-lyezese es a tagok sorrendje egy adott elemi konjunkcioban tetszoleges lehet,mivel ıgy egymassal logikailag ekvivalens formulak keletkeznek.

Definıcio. A B1∨ . . .∨Bk alaku formula, ahol minden Bi komponens,vagy annak negaltja, elemi diszjunkcio.

Definıcio. A diszjunktıv normalforma (d. nf.) D1 ∨ . . .∨Dn alakuformula, ahol minden Ds (s = 1, . . . n) elemi konjunkcio.

Definıcio. A konjuktıv normalforma (k. nf.) E1 ∧ . . . ∧ Em alakuformula, ahol minden Es (s = 1, . . . n) elemi diszjunkcio.

m = 1 es n = 1 is lehetseges, ıgy az elemi diszjunkcio es konjunkcioegyben k. nf., illetve d. nf. is.

Megjegyzes. Eszreveheto, hogy a megfelelo fogalmak egymas dualisai.

Tetel. Minden Boole-kombinacio a komponenseibol kepzett d. nf.-ra es k. nf.-ra hozhato. (Azaz logikailag ekvivalens valamely d. nf.-val esvalamely k. nf.-val.)

A bizonyıtas a logikai torvenyek alkalmazasaval tortenik: eloszor a bi-kondicionalis, kondicionalis jelektol szabadulunk meg, kifejezve oket ∧,∨,jelekkel. Ezutan a ketszeres tagadas es a de Morgan-torvenyek alkalmaza-saval elerjuk, hogy a tagadas csak a komponensekre vonatkozzon. Vegul adisztributivitas elvet alkalmazzuk, hogy a diszjunkciok a konjunkciok utanszerepeljenek a formulaban, s az ıgy kapott alak mar d. nf. A megfelelodisztributıv torveny hasznalataval, vagy egyeb atalakıtassal k. nf. alakrahozhato. Gyakran a kapott formula tovabb egyszerusıtheto, mint ezt azalabbi peldaban meg is mutatjuk. Legyen adott a kovetkezo Boole-kombi-nacio:

(C ⇒ A) ⇒ ( (B ∨ C) ⇒ A) .

Hozzuk az elozo utmutatasok alapjan d. nf.-ra es k. nf.-ra!

48

Az attekinthetoseg miatt bal oldalon egymas alatt szerepelnek a jobboldalon jelzett torvenyek alkalmazasa utan kapott, egymassal ekvivalens for-mulak.

Alkalmazott tulajdonsag(C ⇒ A) ⇒ ( (B ∨ C) ⇒ A) 7/b( C ∨A) ∨ ( (B ∨ C) ∨A) 6, 8

(C ∧A) ∨ ((B ∨ C) ∨A) 2(C ∧ A) ∨B ∨ C ∨A

Ez a formula mar egyik d. nf.-ja az eredeti formulanak. Ebbol a d.nf.-bol k. nf.-t nyerunk az alabbi atalakıtasokkal:

(C ∧ A) ∨B ∨ C ∨A 2(C ∧ A) ∨ (B ∨ C ∨A) 4(C ∨B ∨ C ∨A) ∧ ( A ∨B ∨ C ∨A)

Ez mar az egyik k. nf. A formula tovabbi atalakıtasokkal (3,1,2)(C ∨B ∨A) ∧ (> ∨B ∨ C) 10(C ∨B ∨A) ∧ > 10C ∨B ∨A

alakra hozhato. Tehat

((C ⇒ A) ⇒ ( (B ∨ C) ⇒ A)) ∼ (C ∨B ∨A).

5.4. n-valtozos kijelenteslogikai formulak

Eddig foleg egy es ketvaltozos formulakkal (muveletekkel) foglalkoz-tunk, de mar utaltunk ra, hogy n valtozo eseten az ertektablazat 2n sorbolall. Felmerul a kerdes, hogy hany n-valtozos formula, muvelet letezik?(Szokas igazsagfuggvenyekrol is beszelni, hiszen tulajdonkeppen az igaz,hamis ketelemu 0, 1 halmazon ertelmezett, 0, 1-beli ertekeket felvevon-valtozos fuggvenyekrol van szo.)

Nezzuk eloszor, hany egyvaltozos van!

A 1. 2. 3. 4.

1 1 1 0 0

0 1 0 1 0

1. >,2. A (egytagu ∧, vagy ∨),3. A,4. ⊥.

Az elozo tablazat kitoltesekor lathato volt, hogy a ket helyre a 0, 1 erte-keket 2 ·2 = 4-felekeppen ırhattuk be, ezert az egyvaltozos muveletek szama4. Ket valtozo eseten a tablazatnak negy sora van, s ezekebe a sorokba a

49

0, 1 ertekek 24 felekeppen ırhatok, ıgy a ketvaltozos muveletek szama 24 == 16. Az alabbi tablazat tanulmanyozasa nem erdektelen, hiszen megmu-tatja, hogy mindegyik muvelet elofordult mar.

50

Altalanosan tehat, n valtozo eseten a 2n sorba kell beırni a 0, 1 erteke-ket, ıgy az n-valtozos muveletek szama 22n

.A tovabbiakban megmutatjuk, hogy ha adott egy formula vagy muve-

let ertektablazatanak egy oszlopaval, akkor hogyan lehet azt felırni Boole-kombinaciokent. Legyen n = 3, azaz megadunk egy A(P,Q, R) formulat azalabbi tablazattal:

P Q R A(P, Q, R)

1 1 1 1

1 1 0 0

1 0 1 1

1 0 0 0

0 1 1 1

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 0

Valasszuk ki a tablazatbol azokat a sorokat, ahol az A erteke 1. Mindensornak megfeleltetunk egy elemi konjunkciot ugy, hogy a valtozo igaz ertekeeseten a valtozot, hamis erteke eseten a negaltjat vesszuk:

P ∧Q ∧R,

P ∧ Q ∧R,

P ∧Q ∧R.

Igy a konjunkciok akkor es csak akkor igazak, ha a valtozok a tablazat-beli ertekeket veszik fol. Ezutan olyan formulat kell felırni, amely pon-tosan ebben a harom esetben igaz. Ehhez a diszjunkcio azon tulajdonsagathasznaljuk fol, hogy pontosan akkor igaz, ha legalabb az egyik tagja igaz.A keresett formula a fenti elemi konjunkciok diszjunkcioja:

(P ∧Q ∧R) ∨ (P ∧ Q ∧R) ∨ ( P ∧Q ∧R).

Ez a formula egy specialis d. nf. A megoldas soran lathatova valt, hogy ezzelaz eljarassal barmely n-valtozos formula felırhato az adott n valtozobol a,∧,∨ jelekkel, ugy, hogy az ertektablazatban megadott esetekben es csak

azokban igaz. Nyilvanvalo, hogy d. nf. alak, es bizonyos esetekben tovabbiegyszerusıtesek is lehetsegesek.

51

5.5. A kijelenteslogika alkalmazasa

A gyakorlati alkalmazasok kozul egyet ismertetunk egy kicsit reszlete-sebben: ez az aramkorokkel kapcsolatos felhasznalas.

A kijelenteslogika es az aramkorok kozti kapcsolatot elsonek 1910-ben afizikus Ehrenfest vetette fol, de a gyakorlati kidolgozasara a 30-as evekbenkerult sor, amikor komolyabb muszaki jelentosegre tett szert.

Az aramkorok es a ,∨,∧ jeleket tartalmazo formulak kozotti analogiaa kovetkezo: a propozicionalis betuknek (kijelentesvaltozoknak) kapcsolokfeleljenek meg, melyek zart allapota az igaz, nyitott allapota a hamis erteketjelentse. Ha A-nak megfelel egy bizonyos kapcsolo, akkor a A-nak az el-lentetesen mukodo kapcsolo feleljen meg. A propozicionalis betuk konjunkci-ojanak a kapcsolok soros, diszjunkciojuknak a kapcsolok parhuzamos kotesefelel meg.

Egy formulat, ha aramkorrel akarjuk reprezentalni, eloszor d. nf. (eset-leg k. nf.) alakra kell hozni.

Sematikus abrazolassal a kondicionalis aramkore a kovetkezo:

(A ⇒ B) ∼ ( A ∨B)

Egyreszt tehat szemleltethetok a kijelenteslogikai formulak, masresztmegvalosul az aramkorok vizsgalata, egyszerusıtese, matematikai modsze-rekkel. Az un. minimalizalasi modszerek eseteben azt vizsgaljak, hogy egyadott celra konstrualt aramkorrel lehet-e ekvivalens, egyszerubb aramkortszerkeszteni? Ekkor a leırt analogia segıtsegevel felırjak az aramkor for-mulajat, majd a logikai torvenyek alkalmazasaval megprobaljak egyszerubbalakra hozni, amelynek mar egyszerubb aramkor felel meg. Nezzuk ezt egypeldan keresztul.

Egyszerusıtsuk a kovetkezo oldalon lathato elso aramkort. Az aramkor-nek megfelelo formula:

( A ∧ B ∧ C) ∨ ( A ∧ B ∧ C) ∨ (A ∧ B ∧ C) ∨ (A ∧B ∧ C).

52

Az elso ket diszjunkcios tagbol a ( A ∧ B)-t, a masik ket diszjunkciostagbol az (A ∧ C)-t kiemelve, majd a megfelelo logikai torvenyeket alkal-mazva:

((( A ∧ B) ∧ ( C ∨ C)) ∨ ((A ∧ C) ∧ ( B ∨B))) ∼(( A ∧ B) ∧ >) ∨ ((A ∧ C) ∧ >)) ∼(( A ∧ B) ∨ (A ∧ C)).Ennek mar egyszerubb az aramkore:

Gyakorlat. Az eddig megvizsgalt peldakban is lathato, hogy az alap-veto logikai torvenyek ismerete mennyire fontos, s lenyeges lenne minel tobbfeladat megoldasa is. Az itt kovetkezo osszetettebb peldak az alkalmazasoklehetosegeit reprezentaljak. A normalformara valo alakıtas tobbek kozottarra is jo, hogy attekinthetobbe tegye egy osszetett kijelentes szerkezetet, skonnyebb legyen eldonteni azt, hogy milyen feltetelek mellett igaz, ill. hamis.

1. Nem igaz, hogy ha Peter most megkapja az osztondıjat, akkor ajovoben kevesbe fog igyekezni, s hogy ha most nem kapja meg az osztondıjat,akkor el fog kedvetlenedni. Mikor igaz, illetve hamis ez a kijelentes?

Alkalmazzuk a kovetkezo jelolest: M jelolje a ,,Peter most megkapjaaz osztondıjat”, K a ,,Peter a jovoben kevesbe fog igyekezni”, E a ,,Petermajd elkedvetlenedik” kijelenteseket.

Formalizalva: ((M ⇒ K) ∧ ( M ⇒ E))Atalakıtva: (M ⇒ K) ∨ ( M ⇒ E)

A de Morgan-torveny es a kettos tagadas torvenye alapjan:

( M ∨K) ∨ ( M ∨ E) ∼(M ∧ K) ∨ ( M ∧ E).

Az allıtas tehat igaz, ha Peter megkapja az osztondıjat es a jovoben nem

53

tanusıt kevesebb igyekezetet, vagy ha nem kapja meg, de azert nem kedvet-lenedik el.

A hamis ertek megallapıtasahoz celszerubb a k. nf. alak.Az utolso formulabol beszorzassal:

(M ∨ ( M ∧ E)) ∧ ( K ∨ ( M ∧ E)) ∼((M ∨ M) ∧ (M ∨ E) ∧ ( K ∨ M) ∧ ( K ∨ E)) .

A konjunkcio hamis, ha valamely tagja hamis. Itt az elso tag nem lehethamis, de a kovetkezo harom tag barmelyikenek a hamissaga eseten az ere-deti allıtas is hamis. Szovegesen ıgy is meg lehet fogalmazni: az osszetettkijelentes hamis, ha ,,Peter nem kapja meg az osztondıjat es elkedvetlene-dik”, vagy ,,Peter megkapja az osztondıjat es a jovoben kevesbe igyekszik”,vagy ,,a jovoben kevesbe igyekszik es egyben el is kedvetlenedik” allıtasokvalamelyike igaz.

Mindezeket formalizalas nelkul is ki lehet okoskodni, de sokkal bonyo-lultabb allıtasok is leteznek, amelyeket fejszamolassal mar nem lehet meg-oldani.

2. A kovetkezo feladat Kalmar Laszlotol szarmazik, s az aramkorokkelkapcsolatos gyakorlati alkalmazasra mutat peldat:

Egy halokocsi haromagyas fulkeje szamara olyan aramkort kell ter-vezni, melynek segıtsegevel a fulke utasai tobbsegi alapon dontik el, hogyegjen-e a kozos villany. Aki azt akarja, hogy egjen, megnyom egy gombot azagyanal, aki azt, hogy ne egjen, nem nyomja meg a gombot. Milyen legyenaz aramkor, hogy a szavazas befejezese utan akkor es csak akkor egjen avillany, ha legalabb ketten nyomtak meg a gombot?

Eloszor felırjuk annak a haromvaltozos formulanak az ertektablazatat,melynek az erteke akkor es csak akkor igaz, ha legalabb ket valtozo ertekeigaz:

A B C F (A, B,C)

1 1 1 1

1 1 0 1

1 0 1 1

1 0 0 0

0 1 1 1

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 0

54

A korabban mar ismertetett modon felırjuk a specialis d. nf. alakot:

(A ∧B ∧ C) ∨ (A ∧B ∧ C) ∨ (A ∧ B ∧ C) ∨ ( A ∧B ∧ C).

Az ennek megfelelo aramkor:

(A formula atalakıtasaval az aramkor egyszerusıtheto, ennek elvegzesetgyakorlatkent ajanljuk.)

55

6. A tiszta predikatumlogika nyelve, a logikaitorvenyek alkalmazasa

6.1. A tiszta predikatumlogika nyelve

A formulak kvantoros strukturajanak tanulmanyozasara szolgal a tisztapredikatumlogika nyelve. Ebben a nyelvben egytıpusu valtozok vannak, nin-csenek konstansok, fuggvenyjelek, de megszamlalhatoan vegtelen, tetszole-ges valtozoszamu predikatumszibolummal rendelkezik.

Ebben a nyelvben formalizalva feltarul az allıtasok belso, un. finom-szerkezete.

A tovabbiakban sorra veszunk nehany fontosabb, ebben a nyelvbenmegfogalmazhato logikai torvenyt. Igazolasuk kulonbozo modjairol ke-sobb lesz szo.

Az A(x), A(x, y) azt jeloli a tovabbiakban, hogy az x es y valtozofellephet A-beli parameterkent (de nem feltetlenul az).

1. Fiktıv kvantorok esete: Itt x nem parameter A-ban.

∀xA ∼ A,

∃xA ∼ A.

2. Egynemu kvantorok csereje:

∀x∀yA(x, y) ∼ ∀y∀xA(x, y),∃x∃yA(x, y) ∼ ∃y∃xA(x, y).

3. Kvantorcsere kondicionalisban:

|= ∀xA(x) ⇒ ∃xA(x),|= ∃y∀xA(x, y) ⇒ ∀x∃yA(x, y).

Megjegyzes. Az utobbi ket torveny tulajdonkeppen azt fejezi ki,hogy a kulonbozo tıpusu kvantorok ugyan nem cserelhetok fol, de ezek akondicionalisok logikai torvenyek, azaz az elotagbol kovetkezik az utotag.Jol szemlelteti ezt a kovetkezo pelda: egy hatfos tarsasagra, amely haromhazasparbol all, vonatkozzon az alabbi ket allıtas:

1. Valaki mindenkit ismer.2. Mindenkit ismer valaki.

56

Ha I(x, y) :⇔ x ismeri y-t, akkor az elso kijelentes formulaja: ∃x∀yI(x, y).Tegyuk fel, hogy ez az allıtas igaz. Ekkor relacionyilakkal ez az (a) abranlathato modon abrazolhato.

A masodik allıtas igaz volta a (b) abran lathato modon is abrazolhato,hiszen mindenkit ismer valaki, ebben az esetben pl. a hazastarsa.

A formula ekkor: ∀y∃xI(x, y), s nyilvanvaloan az elsobol kovetkezik amasodik.

4. A de Morgan-fele kvantoros torvenyek:

∀xA(x) ∼ ∃x A(x),∃xA(x) ∼ ∀x A(x).

Megjegyzes. Szovegesen megfogalmazva ez a ket torveny azt jelenti,hogy kvantorral kezdodo formulat ugy negalunk, hogy vesszuk a masik kvan-tort, es a kvantor hataskoreben levo formula negaltjat.

Pl. a 4. fejezetben a negacioval kapcsolatban emlıtett ,,Minden negyzetdeltoid” kijelentes tagadasa az elso de Morgan-torveny alapjan a ,,Van olyannegyzet, ami nem deltoid” allıtas.

,,Letezik tokeletes ember” kijelentes tagadasa a masodik torveny alap-jan ekvivalens a kovetkezo kijelentessel: ,,Minden emberre teljesul, hogy nemtokeletes”, azaz ,,Senki sem tokeletes”. (A peldamondatok formalizalasat,es a torvenyek teljesulesenek ellenorzeset gyakorlaskent az olvasora bızzuk.)

Ezekben a torvenyekben is kifejezodik az, hogy az ∀ a ∧, az ∃ a ∨altalanosıtasanak tekintheto. Ha az alaphalmaz veges, akkor ervenyes:

∀xA(x) ∼ A(u1) ∧A(u2) ∧ . . . ∧A(un),∃xA(x) ∼ A(u1) ∨A(u2) ∨ . . . ∨A(un).

ahol az ui − k(i = 1, . . . , n) az alaphalmaz elemei.

5. Kvantorok egyoldali kiemelese: Itt x nem parameter A-ban.A ∧ ∀xB(x) ∼ ∀x (A ∧B(x)) A ⇒ ∀xB(x) ∼ ∀x (A ⇒ B(x))

57

A ∨ ∀xB(x) ∼ ∀x (A ∨B(x)) A ⇒ ∃xB(x) ∼ ∃x (A ⇒ B(x))A ∧ ∃xB(x) ∼ ∃x (A ∧B(x)) ∀xB(x) ⇒ A ∼ ∃x (B(x) ⇒ A)A ∨ ∃xB(x) ∼ ∃x (A ∨B(x)) ∃xB(x) ⇒ A ∼ ∀x (B(x) ⇒ A)

A konnyebb megjegyzes erdekeben celszeru a lenyeget szovegesen meg-fogalmazni. Az elso negy azt jelenti, hogy ha konjunkcio es diszjunkcioeseteben egy tagra vonatkozik a kvantor, akkor az kiemelheto.

A masodik negyes lenyege: kondicionalis utotagjabol azonos tıpusu, azelotagbol a masik kvantor emelheto ki.

6. Kvantorok ketoldali kiemelese:

∀xA(x) ∧ ∀xB(x) ∼ ∀x (A(x) ∧B(x)) ,

∃xA(x) ∨ ∃xB(x) ∼ ∃x (A(x) ∨B(x)) .

Konjunkciobol az univerzalis, diszjunkciobol az egzisztencialis kvantor emel-heto ki.

|= (∃x(A(x) ∧B(x))) ⇒ (∃xA(x) ∧ ∃xB(x)) ,

|= (∀xA(x) ∨ ∀xB(x)) ⇒ ∀x (A(x) ∨B(x)) .

6.2. A logikai torvenyek igazolasa

A kvantort tartalmazo torvenyek szemantikai igazolasara nezzuk akovetkezo peldat:

|= ∃x A ⇒ ∀xA.

Ez a torveny a ∃x A es a ∀xA formulak Boole-kombinacioja. Az alabbitablazatbol lathato, hogy nem propozicionalis tautologia, a finomszerkezetealapjan viszont logikai torveny.

∃x A ∃x A ⇒ ∀xA

0 1 1 1

0 1 1 0

1 0 1 1

1 0 0 0

Legyen M a nyelv tetszoleges modellje, s jelolje A′ az A ertekelt alakjat,ekkor igazolni kell, hogy M |= ∃x A′ ⇒ ∀xA′.

Tegyuk fel, hogy M |= ∃x A′, bizonyıtani kell, hogy M |= ∀xA′; azazminden, az objektumtartomanybol valasztott elem eseten az A′ formula

58

igaz. Ha lenne olyan a elem, amelyre A′ hamis, azaz M 6|= (A′)xa, akkor erre

az a-ra M |= (A′)xa, ami azt jelenti, hogy letezik olyan a elem, amelyre A′

igaz, azaz M |= ∃x A′, ami ellentmond a feltetelnek.Ebben az esetben az igazolas a ∀ es ∃ ertekelese alapjan tortent. Sokszor

azt kell igazolni, hogy egy formula nem logikai torveny. Ez tortenhet ugyis, hogy megadunk egy interpretacioban egy olyan ertekelest, amelyre azertekelt formula hamis, s ekkor az eredeti formula nem torveny, hisz nemminden interpretacioja igaz. Pl.

∀x∃yP (x, y) ⇒ ∃y∀xP (x, y).

Legyenek x, y ertekei termeszetes szamok, es P (x, y) :⇔ x < yM |= ∀x∃yP (x, y): minden termeszetes szamnal van nagyobb.M 6|= ∃y∀xP (x, y): letezik olyan termeszetes szam, amely barmely

termeszetes szamnal nagyobb.

Gyakorlat. Bizonyıtsuk be a kovetkezo formulakrol, hogy nem logikaitorvenyek!

1. (P ⇒ Q) ⇒ (Q ⇒ P ) Mivel ez csak propozicionalis betuket tartal-maz, ertektablazatanak elkeszıtesevel lehetne igazolni, de sokkal egyszerubb,ha megadjuk annak egy hamis sorat. Mivel kondicionalis a fo jel is, meg-nezzuk, hogy lehetseges-e olyan ertekeles, amelyre az elotag igaz, az utotaghamis. A P hamis, Q igaz ertekeles ilyen.

(P ⇒ Q) ⇒ (Q ⇒ P )1 0 0

0 1 1 0

2. ∃xP (x) ⇒ ∀xP (x) A kondicionalis egyetlen esetben hamis; meg-nezzuk, hogy van-e olyan eset, amikor az elotag igaz, az utotag hamis. Ha∃xP (x) igaz, akkor van olyan a univerzumbeli elem, hogy (P ′)x

a rovidebbenjelolve: P (a) igaz. Ha ∀xP (x) hamis, akkor van olyan b individuum, hogyP (b) hamis. Van tehat olyan P (a) ⇒ P (b) ertekeles, amely hamis, ıgy azeredeti formula sem torveny.

3. ∀x (P (x) ∨Q(x)) ⇒ (∀xP (x) ∨ ∀xQ(x)). Az elozo feladat megol-dasanak gondolatmenetet kovetve, ebben az esetben az utotag hamis, ha∀xP (x) hamis es ∀xQ(x) is hamis. Ez azt jelenti, hogy van olyan individu-umtartomanybeli b elem amelyre P (b) hamis es c elem, amelyre Q(c) hamis.(Semmi sem zarja ki, hogy ugyanazon elem eseten legyenek hamisak, de eleveazt feltetelezni nem lehet.)

Az elotag igaz volta feltetelezi, hogy a P (x)∨Q(x) minden elemre igaz,pl. b-re is igaz: P (b)∨Q(b). Ha P (b) hamis, Q(b) igaz, Q(c) hamis, a formulahamis. Letezik tehat olyan ertekeles, amelyre a formula hamis.

59

6.3. Egyretu formulak

Vannak olyan specialis predikatumlogikai formulak, melyek esetebena torvenyek vizsgalatara a Venn-diagram is felhasznalhato; ezek az un.egyretu formulak.

Definıcio. Az egyvaltozos predikatumbetuket es ezeknek a ,∧,∨,⇒jelekkel torteno osszekapcsolasat nyitott egyretu formulaknak nevezzuk.Pl. Q(x), R(x) ⇒ Z(x).

Definıcio. Ha a nyitott egyretu formulaban szereplo valtozot individu-umnevvel helyettesıtjuk (konkretizaljuk), vagy kvantorral lekotjuk, akkorzart egyretu formulat kapunk.

A Q(x)-bol ıgy lehet pl. Q(a) vagy ∀xQ(x) zart formula. Az inter-pretacio soran ezeknek allıtasok felelnek meg.

Az egyretu formulak es a halmazelmeleti fogalmak kozott az alabbimegfeleltetes hozhato letre:

Legyen adott egy nem ures halmaz: U (univerzum, individuumtar-tomany).

Legyenek P (x), Q(x), R(x), . . . ennek elemein ertelmezett predikatumok(tulajdonsagok). Az U azon reszhalmazat, amely rendelkezik az illeto tu-lajdonsaggal, P, Q, R, . . .-vel jeloljuk, s szokas ezeket az illeto predikatumigazsaghalmazanak nevezni. Peldaul, ha U a termeszetes szamok halmaza,akkor a prımszam, paratlan szam stb. tulajdonsagok vizsgalatat visszave-zetjuk a prımszamok, paratlan szamok stb. halmazanak vizsgalatara. Igy anyitott egyretu formulaknak reszhalmazok, a zartaknak pedig halmazelme-leti allıtasok felelnek meg (lasd a kovetkezo oldalon levo abrat).

A hagyomanyos logika nevezetes allıtasai a szingularis es a kategorikuskijelentesek. A P (a) szerkezetu allıtas a szingularis kijelentes, a kate-gorikus kijelenteseket es a nekik megfelelo halmazelmeleti allıtasokat a60. oldal abraja tartalmazza.

Megjegyzes. Az allıto kategorikus kijelentesek mellett szereplo a esi betuk a latin affirmo (allıtok) szo elso ket maganhangzoja: ezzel jelolteka klasszikus logikaban az ilyen tıpusu allıtasokat. Hasonloan hasznaltak anego (tagadok) maganhangzoit a masik ket allıtas eseteben.

A kovetkezo fejezetben, a kovetkeztetesek vizsgalatakor lesz kulonosenhasznos a Venn-diagramok alkalmazasa; a klasszikus logika egy lenyeges fe-jezetenek, a kategorikus szillogizmusok elmeletenek vizsgalatat egyszerusıtile ezek hasznalata.

60

61

62

6.4. A logikai torvenyek nehany alkalmazasa

1. Adott formula bizonyos atalakıtasakor (pl. d. nf.-ra hozas) alkalmaz-zuk ugy a torvenyeket, hogy a formula valamely reszformulajat a vele ekvi-valens formulaval helyettesıtjuk. Pl.

(R(x) ∨ ∀z ∀xQ(x, z)) ∼ (R(x) ∨ ∀z∃x Q(x, z)) .

Itt, mint mar korabban is tettuk, a de Morgan-torvenyt alkalmaz-tuk. (Bonyolultabb formulakban ugyelni kell a valtozokra, ha szukseges,atjelolest kell alkalmazni.)

2. A logikai torvenyek segıtsegevel a formulak specialis alakra hozha-tok; egy ilyen peldaul a kovetkezo:

Definıcio. Az Ω nyelv Q1x1 . . . QnxnA alaku formulajat prenex for-mulanak nevezzuk, ha Q1 . . . Qn kvantorok es A kvantormentes formula.Megengedett az n = 0, azaz a kvantormentes formula is prenex formula.Valamely A formula prenex alakjanak nevezunk minden olyan B prenexformulat, amely A-val logikailag ekvivalens, azaz A ∼ B.

Tetel. Minden A formula prenex alakra hozhato, azaz van olyan Bprenex formula, hogy A ∼ B.

A tetel bizonyıtasanak csak a vazlatat ismertetjuk: alkalmazva a valto-zok tisztazasarol szolo allıtast, elobb megadjuk a valtozok tisztasaganak ele-get tevo C formulat, melyrol belathato, hogy ekvivalens A-val. C-ben tehatminden kotott valtozo kulonbozik minden parametertol, masreszt mindenkvantoros elotag ket kulonbozo elofordulasa kulonbozo valtozokat kot meg.C-t ezutan prenex alakra hozzuk, alkalmazva az egyoldali kvantorkiemelestorvenyeit, melyek alkalmazasat a valtozok tisztasaga teszi lehetove. Pl.

∀x ∃yP (x, y)⇒ ∀x (Q(x) ⇒ ∃yP (x, y)) ∼∀x ∃yP (x, y) ⇒ ∀u (Q(u) ⇒ ∃vP (u, v)) ∼∀x∀y P (x, y) ⇒ ∀u (Q(u) ⇒ ∀v P (u, v)) ∼∀x∀y P (x, y) ⇒ ∀u∀v (Q(u) ⇒ P (u, v)) ∼

∃x∃y∀u∀v ( P (x, y)) ⇒ (Q(u) ⇒ P (u, v))).

Megjegyzes. 1. A kapott prenex formula kvantormentes reszebena logikai osszekotojelek sorrendje megegyezik az eredeti formulaban levosorrenddel.

2. A kvantorok kiemelesenek a sorrendje tetszes szerint valtoztathato,ıgy a prenex alak kvantoros elotagja (prefixum) fugg az atalakıtas modjatol.

63

3. A kijelenteslogika torvenyei a predikatumlogikaban is alkalmazhatok,ıgy pl. a ⇒ kifejezheto ,∧,∨-val: elerheto, hogy csak atomi formularavonatkozzon. Alkalmazzuk ezeket a kovetkezo formulara!

( ∀xP (x, y) ⇒ (∃yQ(x, y) ∧R(x))).

A (A ⇒ B) ∼ (A ∧ B) torvenyt alkalmazva:

∀xP (x, y) ∧ (∃yQ(x, y) ∧R(x)) ∼∃x P (x, y) ∧ (∀y Q(x, y) ∨ R(x)).

Gyakorlat. Hatarozzuk meg az alabbi formulak prenex alakjat!

∃x∀yP (x, y)∨∃x∀yQ(x, y),∃x∀yP (x, y) ∨ ∃u∀vQ(u, v) ∼

∃x∃u∀y∀v (P (x, y) ∨Q(u, v)) .

∃x∀yP (x, y)⇒ ∃x∀yQ(x, y),∃x∀yP (x, y) ⇒ ∃u∀vQ(u, v) ∼

∀x∃y∃u∀v (P (x, y) ⇒ Q(u, v)) .

(∀xP (x) ⇒ Q(, x, y))⇒ ∀x∃yQ(x, y) ∼(∀xP (x) ⇒ Q(x, y)) ∨ ∀x∃yQ(x, y) ∼( ∀xP (x) ∨Q(x, y)) ∨ ∃x (∃yQ(x, y)) ∼(∃x P (x) ∨Q(x, y)) ∨ ∃x∀y Q(x, y) ∼∃x P (x) ∨Q(r, y) ∨ ∃u∀v Q(u, v),

∃x∃u∀v ( P (x) ∨Q(r, y) ∨ Q(u, v)) .

((A ⇒ B) ∼ ( A ∨B) torvenyt alkalmaztuk ketszer.)Nyilvanvalo, hogy ebben a feladatban mas megoldas is alkalmazhato.

64

7. Logikai kovetkezmeny

7.1. A logikai kovetkezmeny fogalma

Formulak igaz voltanak megallapıtasat megkonnyıthetik az olyan sza-balyok, amelyek alapjan adott formulakbol ujabbak nyerhetok ugy, hogy azeredeti formulak igazsagabol mindig kovetkezik az uj formula igazsaga. Ahelyes kovetkeztetesi szabalyok vizsgalata a logika egyik kozponti proble-maja.

Definıcio. Jelolje Γ az Ω nyelv veges sok formulajanak halmazat, Apedig az Ω nyelv egy formulajat. Azt mondjuk, hogy A logikai kovetkez-menye (szemantikai kovetkezmenye) a Γ -beli formulaknak (ezt Γ |= A-val jeloljuk), ha az Ω nyelv minden M interpretacioja, valamint az A-nakes a Γ -beli formulaknak minden olyan ertekelese eseten, amikor a Γ -beliformulak mindegyike igaz M -ben, A is igaz M -ben.

Fontos megjegyezni azt, hogy a Γ -ban es A-ban fellepo azonos parame-terek mindig megegyezo ertekekkel helyettesıtendok.

Ha a Γ a B1, . . . , Bn formulakbol all, akkor ezeket premisszaknak(felteteleknek), az A-t konkluzionak (zarotetelnek) nevezzuk.

B1

B2...

B1, . . . , Bn

ABn

A

A premisszak es a konkluzio fentebbi formacioit kovetkeztetesi se-maknak nevezzuk. (A tovabbiakban az elso alakzatot hasznaljuk.)

Tetel. Egy A formula akkor es csak akkor logikai kovetkezmenye aB1, . . ., Bn formulaknak, ha a (B1 ∧ . . .∧Bn) ⇒ A formula logikai torveny.

Bizonyıtas. A definıciok alapjan a bizonyıtas nagyon egyszeru. Te-gyuk fel, hogy B1, . . . , Bn |= A, igazoljuk, hogy |= (B1 ∧ . . . ∧ Bn) ⇒ A.Legyen M a nyelv egy modellje, es egy tetszoleges ertekeleskor kapott formu-lakat jelolje B′

1, . . . B′n, A′. Be kell latni, hogy M |= (B′

1∧ . . .∧B′n) ⇒ A′. Ha

valamely B′i nem igaz, akkor az elotag hamis, s ıgy az egesz formula igaz; ha

minden i-re M |= B′i, akkor a feltetel miatt M |= A′, tehat a kondicionalis

igaz.Az allıtas megfordıtasa hasonloan igazolhato.

65

A definıciobol es a tetelbol kovetkeznek az alabbiak:1. Tobb premissza helyett hasznalhatunk egyet, azok konjunkciojat.2. A feladatok megoldasakor gyakran hasznaljuk az eredeti definıcioval

egyenerteku alabbi megfogalmazast: helyes egy kovetkeztetes, ha nincs olyanertekeles, amelyre a premisszak igazak, a konkluzio pedig hamis.

A kijelenteslogikaban a definıcio ugy is megfogalmazhato, hogy A kovet-kezmenye a B1, . . . , Bn formulaknak, ha a kozos ertektablazatot elkeszıtveA legalabb azokon a helyeken igaz, ahol a Bi-k mindegyike igaz.

3. Szoveges kovetkeztetest ugy vizsgalunk, hogy eloszor formalizaljukegy megfelelo nyelvben, majd a kapott formulakra alkalmazzuk a definıciot.

4. Ha a sema egyretu formulakat tartalmaz, akkor Venn-diagrammalegyszeruen eldontheto a kovetkeztetes helyessege. A definıcio es az elozo fe-jezetben leırt hozzarendelesek alapjan adodik, hogy egy ilyen sema akkor escsak akkor helyes, ha a premisszak Venn-diagramja tartalmazza a konkluzioVenn-diagramjat. (Ha egy reszhalmazban nincs semmifele jel, ez azt jelenti,hogy a premisszak arra vonatkozoan nem adnak semmilyen informaciot.)

7.2. A kovetkeztetes helyessegenek eldontese

A kovetkeztetes helyessegenek eldontesere nezzunk az alabbi peldabanharom kulonbozo modszert:

Ez a negyszog paralelogramma vagy deltoid.Ez a negyszog nem paralelogramma.

Ez a negyszog deltoid.

Egy konkret negyszogre vonatkozik az allıtas, ıgy a formalizalas a kije-lenteslogika nyelven elvegezheto:

P ∨ DP

D

Eloszor abrazoljuk kozos ertektablazatban a formulakat:

P D P ∨D P

1 1 1 0

1 0 1 0

0 1 1 1

0 0 0 1

66

Lathato, hogy abban a sorban, ahol a ket premissza mindegyike igaz,a konkluzio is igaz, tehat helyes a kovetkeztetes.

Masodszor mutassuk meg, hogy nem letezik olyan interpretacio, hogya premisszak igazak, a konkluzio pedig hamis. Tegyuk fel ennek az el-lenkezojet:

P ∨ DP

D

igazigaz

hamis.

A feltevesbol adodik, hogy P hamis, de ekkor D es P hamis volta esetena diszjunkciojuk is hamis, ami ellentmond a feltetelnek. Ellentmondashozjutottunk, tehat nem letezik a feltetelezett interpretacio, s ıgy helyes akovetkeztetes.

Harmadszor az elozo tetel alapjan bizonyıtsuk be, hogy

|= ((P ∨D) ∧ P ) ⇒ D.

Ezt tobbfelekeppen lehet igazolni, itt most a logikai torvenyeket alkalmaz-zuk:

( ((P ∨D) ∧ P ) ∨D) ∼ ( (P ∨D) ∨ P ∨D) ∼ ( (P ∨D) ∨ (P ∨D)) ∼ >.

Megjegyzes. Tobb kulonbozo parametermentes formulat tartalmazokovetkeztetesi sema eseten az elso modszer hosszadalmas, de a ket utobbicelravezeto lehet. (A tovabbiakban foleg a masodik eljarast alkalmazzuk).

Gyakorlat. 1. Helyes-e az alabbi sema?

(a) P ⇒ (Q ⇒ R)P ⇒ QP ⇒ P

(P ∨R) ⇒ Q

11

0

0 ⇒ (0 ⇒ 1)0 ⇒ 0

(0 ∨ 1) ⇒ 0

A harmadik premissza tautologia, ıgy elhagyhato. A rovidebb jelolesmiatt a feltetelezett ertekeket a formulak melle ırjuk. Mivel a kondicionalisharom esetben igaz, celszeru a konkluziobol kiindulni. Ez csak akkor hamis,ha P ∨ R igaz, Q hamis. A masodik premisszabol P hamis kovetkezik, haQ hamis. Visszaterve a konkluziora, R csak igaz lehet. Megvizsgalva a P, Qhamis, R igaz ertekelesre az elso premisszat, az is igaz: ıgy talaltunk olyanertekelest, amelynre a premisszak igazak, a konkluzio pedig hamis, ıgy asema nem helyes.

67

(b) P ⇒ (Q ⇒ R)P ⇒ QR ⇒ P

(P ∨R)

111

0

P := 1, R := 0

1 ⇒ (1 ⇒ 0) 01 ⇒ 1 10 ⇒ 1 1

(1 ∨ 0) 0

P := 0, R := 1

1 ⇒ 0 0

(0 ∨ 1) 0

P := 1, R := 1

1 ⇒ (1 ⇒ 1) 11 ⇒ 1 11 ⇒ 1 1

(1 ∨ 1) 0

Itt is a masodik modszert alkalmazva, tegyuk fol, hogy letezik olyanertekeles, amelyre a premisszak igazak, a konkluzio pedig hamis. A semabanszereplo formulak propozicionalis betuinek ilyen feltetel mellett tobbfeleertekelesi lehetosege van. Induljunk ki a harmadik premissza igaz ertekebol,ez a P es R fent megmutatott harom ertekelese eseten valosul meg. Azelso esetben P -t igaznak, R-et hamisnak tekintve a masodik premisszabanQ csak igaz lehet. Igy viszont az elso premissza hamis, ami ellentmond akiindulasi feltetelunknek.

A P hamis, R igaz ertekelesre az utolso premissza hamis. Mivel ezellentmondas, a tobbi formulat nem is kell vizsgalni.

Ha P es R igazak, akkor a premisszak mindegyike igaz, a konkluziohamis, s ıgy, mivel talaltunk olyan ertekelest (mindharom propozicionalisbetu erteke igaz), amelyre a premisszak igazak, a konkluzio hamis, a semanem helyes.

Ha az utobbi esettel kezdtuk volna, a masik ket lehetoseg vizsgalataranem is lett volna szukseg, hiszen mar ez mutatja, hogy helytelen a sema. Hatobb lehetoseg eseten az elso ellentmondast mutat, mint itt is, nem szabadleallni azzal, hogy helyes a sema, hiszen a fennmarado lehetosegek kozottmeg lehet olyan ertekeles, amelyre nincs ellentmondas. Ha minden lehetosegelletmondashoz vezet, akkor helyes a kovetkeztetes.

A feladat megoldasat kovetve eszreveheto, hogy a semak vizsgalatakoraz ertekelest celszeru az egyszerubb formulaknal kezdeni, ill. azoknal (havannak ilyenek) amelyek csak egyfelekeppen lehetnek igazak vagy hamisak.Pl. az (a) esetben nem celszeru az elso premisszabol kiindulni.

A (b) feladat elso ertekelesekor az elso premissza igaz ertekebol meg-kaphattuk volna, hogy Q hamis, de ekkor a masodik premisszanal adodottvolna az ellentmondas. Lathato, hogy a vizsgalat menetetol fuggoen az el-lentmondas (ha van) kulonbozo formulaknal bukkanhat elo.

68

2. Helyes-e az alabbi kovetkeztetes?

Ma osztalyfonoki ora vagy iskolai unnepely van.Ha ma osztalyfonoki ora van, akkor a magyarora elmarad.A tanıtas ma nem fejezodik be 12-kor.Ha ma iskolai unnepely van, akkor a tanıtas 12-kor befejezodik.

A magyarora ma elmarad.

(O: Ma osztalyfonoki ora van; U: Ma iskolai unnepely van; M : Ma amagyarora elmarad; B: A tanıtas ma 12-kor befejezodik.)

Ertelemszeru jelolesekkel, a kijelenteslogika nyelven a sema a kovetkezo.

O ∨ UO ⇒ MU ⇒ B

B

M

1111

0

1 ∨ 01 ⇒ 00 ⇒ 0

0

0

0

M, B hamis voltabol kiindulva adodik a tobbi valtozo ertekelese. Azellentmondas megmutatasa nem csak a masodik premisszanal tortenhet. Akovetkeztetes tehat helyes.

3. Milyen konkluzio vonhato le a kovetkezo premisszakbol?

Ha Anna nem megy koncertre, Denes sem megy.Ha Anna megy koncertre, Elemer nem megy.Denes megy koncertre.

Ez az eddigiektol eltero tıpusu feladat, hiszen nem a helyesseget kelleldonteni, hanem meg kell adni a konkluziot, azaz megmondani, hogy afeltetelek teljesulese eseten ki megy koncertre, es ki nem. Ez egy egyszerupelda, fejben is kilogikazhato, tobb premissza eseten azonban a kovetkezoeljaras a celszeru: eloszor is formalizaljuk a premisszakat, s nezzuk meg,hogy igaz voltukbol az egyes valtozokra milyen ertekeles adodik: (Az A,D, Ebetuk jeloljek az Anna megy koncertre, Denes, ill. Elemer megy koncertreallıtasokat).

A ⇒ DA ⇒ E

D

111

0 ⇒ 01 ⇒ 1

1

Itt csak egy lehetoseg van: A,D igaz, E hamis. Fel kell ırni azt aformulat, amely ezen ertekelesre igaz. A korabban alkalmazott eljarassal:

69

A∧ E∧D. A konkluzio tehat az, hogy Anna es Denes megy koncertre, Ele-mer pedig nem, de az uj informacio csak az, hogy Anna megy a koncertre,Elemer pedig nem.

4. Helyes-e az alabbi kovetkeztetes?

Lacinak nincs kocsija.Eva csak olyan fiukat szeret, akiknek van kocsijuk.

Tehat Eva nem szereti Lacit.

Ezt a szoveget a masodik premissza miatt a predikatumlogika nyelvenlehet formalizalni; egy lehetoseg erre a kovetkezo: U := fiuk, K(x) :⇔ x-nek van kocsija, E(x) :⇔ Eva szereti x-et, l := Laci.

K(l)∀x(E(x) ⇒ K(x))

E(l)

11

0

Tegyuk fel, hogy van olyan ertekeles, hogy a zarotetel hamis es a feltete-lek igazak. Mivel a masodik premissza igaz volta azt jelenti, hogy a formulaminden U -beli elemre igaz, ıgy l-re is:

K(l)E(l) ⇒ K(l)

E(l)

11

0

11 ⇒ 1

1

01

0

Lathato az ellentmondas, ıgy a sema helyes.Mivel csak egyretu formulak szerepelnek, alkalmazhato a Venn-diag-

ramos modszer is:

K(l)∀x(E(x) ⇒ K(x))

E(l)

l /∈ KE \K = ∅

l /∈ E

Ebben az eljarasban az abrazolast azzal (azokkal) a premisszaval (pre-misszakkal) kezdjuk, amelyik (amelyek) ures halmazt eredmenyez (eredme-nyeznek). Az abra akkor attekintheto, ha a premisszak kozos Venn-diagram-ja harom, esetleg negy halmazbol all.

7.3. Nevezetes kovetkeztetesi semak

Vannak olyan semak, amelyek gyakran elofordulnak, s ıgy ezek is-merete megkonnyıtheti a kovetkeztetesek vizsgalatat. Ezek egy resze torveny

70

formajaban mar elofordult, de a fontossaguk miatt itt is felsoroljuk oket. Akijelenteslogika nyelven fogalmazzuk meg a semakat, melyek ertelemszeruenkiterjeszthetok kvantoros formulakra is.

1. Modus ponens (helyezo mod):

P ⇒ QP

Q

2. Indirekt semak:(a) P ⇒ Q

P ⇒ Q

P

(b) QP ⇒ Q

P

(c) P ⇒ QQ

P

P ⇒ QP ⇒ Q

P

QP ⇒ Q

P

P ⇒ QQ

P

A jobboldali oszlopban szereplo un. cafolo alak ugy adodik, hogy Phelyere P -t ırunk. Az (a) semat (egyes helyeken az eredeti, mashol a cafoloalakot) reductio ad absurdumnak nevezzuk (lehetetlenre valo vissza-vezetes). Lathato, hogy ebbol az osszes tobbi megkaphato. Szokas a (b) elsosemajat nevezni indirekt bizonyıtasnak, hiszen ez felel meg a szokasos in-direkt gondolatmenetnek: ha a bizonyıtando allıtas tagadasabol kovetkezikegy allıtas, s igaz annak tagadasa is, akkor az eredeti allıtas az igaz.

3. Kontrapozıcio:

P ⇒ Q

Q ⇒ P

71

4. Lancszabaly: (hipotetikus szillogizmus)

P ⇒ QQ ⇒ R

P ⇒ R

5. Diszjunktıv szillogizmus:

P ∨QP

Q

Az utolso sema igazolasat vegeztuk el haromfelekeppen, a tobbiek bi-zonyıtasa is hasonloan tortenhet: ezt az olvasora bızzuk.

Hogy alkalmazasuk mennyire leegyszerusıtheti a feladatok megoldasat,azt meg tudjuk mutatni az elozo gyakorlat masodik peldajan:

O ∨ UO ⇒ MU ⇒ B

B

M

U ⇒ BB

U

O ∨ UU

O

O ⇒ MO

M

Itt kihasznaltuk, hogy a premisszak sorrendje tetszoleges lehet.

7.4. Kategorikus szillogizmusok

A hagyomanyos logikanak egyik legfontosabb feladata volt bizonyosspecialis kovetkeztetesek, a kategorikus szillogizmusok vizsgalata. Ezekolyan kovetkeztetesi semak, melyeknek ket premisszajuk van, s ezek, vala-mint a konkluzio is, kategorikus kijelentesek. A szillogizmusokat mechaniku-san, un. alakzatok szerint csoportosıtottak:

I. II. III. IV.α(P,Q) α(Q,P ) α(P, Q) α(Q,P )β(R,P ) β(R, P ) β(P, R) β(P, R)

γ(R,Q) γ(R, Q) γ(R, Q) γ(R, Q)

A P, Q, R egyargumentumu predikatumot jelol, az α, β, γ a negy ka-tegorikus kijelentes valamelyiket jelenti. Egy-egy tıpusbol 43 = 64 darab,osszesen 256 lehetoseg van. A klasszikus formalis logika egyik alapveto prob-lemaja volt ezek kozul a helyeseknek a felkutatasa; osszesen 19 helyesettalaltak, s ezek megjegyzesere a kozepkorban elnevezeseket krealtak, majd

72

versbe szedtek ezeket. Ma mar erre nincs szukseg, hiszen ha barmelyiketfelırjuk a 256-bol, Venn-diagrammal konnyen eldontheto, hogy helyes-e vagysem.

A 19-bol valojaban csak 15 helyes, negy csak tovabbi un. egzisztencialispremissza felvetelevel valik helyesse. Hogy ez mit jelent, azt a kovetkezopeldan mutatjuk meg:

Minden madar tojas utjan szaporodik.Minden madar gerinces.

Van olyan gerinces allat, amely tojas utjan szaporodik.

U := allatok, T (x) :⇔ x tojas utjan szaporodik, M(x) :⇔ x madar,G(x) :⇔ x gerinces.

∀x(M(x) ⇒ T (x))∀x(M(x) ⇒ G(x))

∃x(G(x) ∧ T (x))

aa

i

M \ T = ∅M \G = ∅G ∩ T 6= ∅

A Venn-diagram, amely a premisszakat abrazolja, nem tartalmazza akonkluzio Venn-diagramjat. Igy a kovetkeztetes nem helyes, holott, ha jo-zan esszel vegiggondoljuk, helyesnek erezzuk; azert, mert hallgatolagosanfeltetelezzuk, hogy leteznek madarak, holott a premisszakban ez nem sze-repel. Ha kiegeszıtjuk a felteteleket ∃xM(x)-szel, azaz egy egzisztencialispremisszaval, akkor a Venn-diagramm alapjan is helyes a sema.

Gyakorlat. 1. Helyes-e az alabbi szillogizmus?

∀x(T (x) ⇒ R(x))∃x(R(x) ∧ V (x))

∃x(V (x) ∧ T (x))

ei

o

T ∩R = ∅R ∩ V 6= ∅V \ T 6= ∅

Helyes.

73

2. Irjon fol az alabbi betuk alapjan egy kategorikus szillogizmust, esdontse el, hogy helyes-e!

ii

i

A negy lehetoseg kozul vizsgaljuk meg a kovetkezot:

∃x(P (x) ∧Q(x))∃x(P (x) ∧R(x))

∃x(R(x) ∧Q(x))

P ∩Q 6= ∅P ∩R 6= ∅R ∩Q 6= ∅

Ha a Venn-diagramban a jeleket a harom halmaz metszetebe tesszuk,helytelenul azt mondhatjuk, hogy jo a sema, holott az abrank azt mu-tatja, hogy nem helyes a szillogizmus. Erdemes megvizsgalni az un. indirektmodszerrel is:

∃x(P (x) ∧Q(x))∃x(P (x) ∧R(x))

∃x(R(x) ∧Q(x))

11

0

P (a) ∧Q(a)P (b) ∧R(b)

R(b) ∧Q(b))

11

0

P (a) 1; Q(a) 1P (b) 1; R(b) 1

R(b) 1; Q(b) 0

A konkluzio hamis volta azt jelenti, hogy az R(x) ∧Q(x) minden uni-verzumbeli elemre hamis. Az elso premissza igaz, ıgy van olyan a ∈ U elem,amelyre P (a) ∧ Q(a) igaz. A masodik feltetel is igaz, tehat letezik olyanb ∈ U , hogy P (b)∧R(b) igaz. Semmi sem indokolja, hogy ugyanazt a betuthasznaljuk, azaz hogy a ket allıtas ugyanarra az elemre igaz. Mint az abranlathato, adodott egy olyan ertekeles, hogy a premisszak igazak, a konkluziohamis, tehat nem helyes a sema.

74

8. Predikatumkalkulus, a termeszeteslevezetes technikaja

Az elozo fejezetekben a logikai torvenyek igazolasat a modellek sze-mantikai tulajdonsagara alapozva vegeztuk. A szemantikai analızis sokszorelegge bonyolult, nehezkes. A modern matematikai logika fejlodesenek kez-deten megmutattak, hogy nem feltetlenul szukseges a szemantikai vizsgalat.Barmely logikai torveny levezetheto formalis uton, nehany egyszeru kiinduloformulabol, nehany egyszeru levezetesi szabaly segıtsegevel.

A negyedik fejezetben emlıtettuk, hogy a nyelv tovabbi szintaktikaidefinıciok reven logikai kalkulussa fejlesztheto; ezt a lehetoseget vizsgaljukmost meg.

8.1. A predikatumkalkulus

A szintaktikailag felepıtett logikai rendszereket szokas logikai kalku-lusoknak is nevezni. A kijelenteslogika ilyen modon torteno felepıtesetkijelenteskalkulusnak, a predikatumlogikaet predikatumkalkulusnak,(fuggveny-, relaciokalkulus) nevezzuk. Mi reszletesebben az utobbival is-merkedunk meg.

A pontos definıciok elott azonban ismet hangsulyozni kell a kovetke-zoket: egy tiszta szintaktikai rendszer emlekeztet a tarsasjatekokra, pl. asakkra. A sakkban a babok, alakjuk alapjan, kategoriaba soroltak (lo, bastyastb.). Pontosan rogzıtettek a jatszma szabalyai, de a szabalyokhoz indoklasnem csatlakozik; arra, hogy egy lonak miert lougrasban kell lepnie, nincsmagyarazat. Egy kalkulus hasonlo jellegu, szabalyai nagyon pontosak, denincs magyarazat hozzajuk (a kalkuluson belul), ez ertheto is, hiszen aszabalyok indoklasa csak szemantikai lehet, de ennek mar nincs helye aszintaxisban. Igy egy kalkulus csak azzal a feltetellel tekintheto logikai rend-szernek, ha szabalyaihoz szemantikai indoklas csatolhato.

Egy logikai rendszer felepıtheto tisztan szintaktikai uton, kalkulus for-majaban is, de egy kalkulus csak akkor szamıt logikai rendszernek, ha olyanszemantikai interpretacio csatlakozik hozza, amely meggyozoen bizonyıtja,hogy valoban a logikai osszefuggesek (mindenekelott a kovetkezmenyrelacio)torvenyeit abrazolja.

A szintaktikai felepıtes szuksegesseget indokolja meg az is, hogy az in-terpretacio ertelmezeseben tamaszkodunk a halmaz fogalmara, es ezen ke-resztul a halmazelmeletre (lasd a szemantikai vizsgalatokat). Az antinomiakfellepese miatt viszont a halmazelmelet, mint korabban megmutattuk, csak

75

akkor tekintheto szabatos matematikai tudomanynak, ha a klasszikus logikakeretei kozott epıtjuk fel (axiomatizaljuk). De ekkor a logika es a halmazel-melet kolcsonosen egymasra hivatkozo es tamaszkodo elmeletek lesznek; ezta hibas kort vagjuk szet a logika olyan szintaktikai felepıtesevel, amely nemtamaszkodik a halmazelmeletre.

A logika es a halmazelmelet abszolut szetvalasztasa lehetetlen, hiszenmint lattuk, a kalkulus minden szabalyahoz es definıciojahoz szemantikaimagyarazatot kell adni.

Ha a mar kesz szemantikus logikai rendszerbol indulunk ki (mint ahogymi is tesszuk), tobbfele lehetoseg kozott valaszthatunk, azaz a klasszikuslogika tobbfelekeppen foglalhato kalkulusba. Az altalunk hasznalt rendszerkovetkezo:

Rogzıtsunk egy Ω mat. log. nyelvet. A predikatumkalkulus axiomaia kovetkezo (Ω-beli) formulak:

1. A ⇒ (B ⇒ A);2. (A ⇒ (B ⇒ C)) ⇒ ((A ⇒ B) ⇒ (A ⇒ C));3. A ⇒ (B ⇒ (A ∧B));4. (A ∧B) ⇒ A;5. (A ∧B) ⇒ B;6. (A ⇒ C) ⇒ ((B ⇒ C) ⇒ ((A ∨B) ⇒ C));7. A ⇒ (A ∨B);8. B ⇒ (A ∨B);9. (A ⇒ B) ⇒ ((A ⇒ B) ⇒ A);

10. A ⇒ A;11. ∀xA ⇒ A(x‖t);12. ∀x (C ⇒ A(x)) ⇒ (C ⇒ ∀xA(x)): x nem parameter C-ben;13. A(x‖t) ⇒ ∃xA;14. ∀x (A(x) ⇒ C) ⇒ (∃xA(x) ⇒ C): x nem parameter C-ben.

(Az A(x‖t)formulaban x valtozo, t vele azonos tıpusu term; ezen jeloleshelyett az egyszerubb A(t)-t hasznaljuk.)

Mivel A, B,C tetszoleges Ω-beli formulak, ıgy minden sor egy axioma-sema. Barmely axiomasemabol vegtelen sok konkret axioma nyerheto, ha asemaban szereplo A, B,C formulat tetszoleges modon rogzıtjuk. (A kalku-lus axiomait pontosabb lenne alapsemaknak nevezni, hiszen a tudomanyosnyelvhasznalatban egy elmelet alapfolteveseit nevezik axiomaknak, mi azon-ban megtartjuk az elterjedt axioma megnevezest.)

Nem nehez belatni, hogy minden itt szereplo axioma logikai torveny.A predikatumkalkulus levezetesi szabalyai az alabbi alakzatok:

A,A ⇒ B

B: a modus ponens,

76

A

∀xA: az altalanosıtas szabalya,

ahol A, B tetszoleges formula, x tetszoleges valtozo.

Definıcio. Legyen Γ formulak veges rendszere, (B1, . . . , Bm), A pedigegy formula. Azt mondjuk, hogy a Γ-beli formulakbol a predikatum-kalkulusban A levezetheto (jele: Γ ` A), ha letezik olyan D1, . . . , Dn

veges formulasorozat, ahol A = Dn es a D1, . . . , Dn−1 sorozat tagjai vagy apredikatumkalkulus axiomai, vagy a megelozo tagokbol adodnak a levezetesiszabalyok alkalmazasaval, vagy Γ-beli formulak. A D1, . . . , Dn−1 sorozatazon tagjat, mely Γ-beli elem, es nem valamely kovetkeztetesi szabaly al-kalmazasaval kerult a sorozatba, nyılt premisszanak, vagy hipotezisneknevezzuk. Ha a ∀xC formulat a C-bol nyertuk az altalanosıtas soran, akkorx nem lehet parameter egyik olyan nyılt premisszaban sem, ami megelozi aC tekintett elofordulasat.

A definıcio utolso mondata nagyon lenyeges feltetelt tartalmaz, hiszenaz alabbi egyszeru peldan is lathato, hogy ennek figyelmen kıvul hagyasanem eredmenyez levezetest:

P ⇒ Q(x)∀x(P ⇒ Q(x))

.

A kovetkezo pelda levezetes, ahol az elso formula hipotezis, a masodika 12. axioma. Az alabbi alakzatot levezetesfanak, vagy roviden leveze-tesnek nevezik. A vonal alatti formula az also formula.

∀x(P ⇒ Q(x)) ∀x(P ⇒ Q(x)) ⇒ (P ⇒ ∀xQ(x))P ⇒ ∀xQ(x)

.

Definıcio. (a) Ha az A formulanak a Γ-bol valo levezetese soranvannak olyan Γ-beli elemek, melyek nem lepnek fel a levezetes soran hipo-teziskent, akkor azt mondjuk, hogy az A formula ezen levezetese nemfugg az emlıtett formulaktol.

(b) Ha a Γ ures, akkor ez azt jelenti, hogy letezik A-nak hipotezismenteslevezetese. Ekkor a ` A jelolest hasznaljuk, es azt mondjuk, hogy A apredikatumkalkulus levezetheto formulaja, logikai tetel.

(c) A Γ ` A alakzatot szekvencianak nevezzuk. A Γ ` A szekvenciamegalapozasa alatt olyan levezetes megkonstrualasat ertjuk, amelyben Aalso formula es minden hipotezis Γ-beli formula.

(d) A Γ 6` A, 6` A jelolesek a nem levezethetoseget jelentik.

Nezzunk a jobb megertes kedveert ket peldat.

77

Legyen A egy formula, x es y azonos tıpusu kulonbozo valtozo, valaminty ne legyen parameter A-ban. Igazoljuk a

` ∀xA ⇒ ∀y(A(x‖y))

szekvenciat.

Hagyomanyos jelolest alkalmazva a tovabbiakban a

` ∀xA(x) ⇒ ∀yA(y)

alakot hasznaljuk. A ∀xA(x) ⇒ A(y) formula a 11. axioma megfelelo alakja,es erre alkalmazva az altalanosıtas szabalyat

∀y(∀xA(x) ⇒ A(y))

adodik. Az alabbi levezetesfaban a vonal feletti masodik formula a 12.axioma alapjan, az also formula pedig a vonal felettiekbol a modus ponensfelhasznalasaval adodik:

∀y(∀xA(x) ⇒ A(y))∀y(∀xA(x) ⇒ A(y)) ⇒ (∀xA(x) ⇒ ∀yA(y))∀xA(x) ⇒ ∀yA(y)

Igy az eredeti formula levezetese megtortent.

2. Igazoljuk, hogy minden A formula eseten ` A ⇒ A.Az attekinthetoseg kedveert nem a levezetesfa format hasznaljuk, ha-

nem egymas ala ırjuk az egyes formulakat. Az 1. axiomasemaban B-t he-lyettesıtsuk A ⇒ A-val. Az ıgy kapott axioma: A ⇒ ((A ⇒ A) ⇒ A). Az 2.axiomasemabol

(A ⇒ ((A ⇒ A) ⇒ A)) ⇒ ((A ⇒ (A ⇒ A)) ⇒ (A ⇒ A))

adodik. Az elozo ket formulabol modus ponenssel kapjuk az

(A ⇒ (A ⇒ A)) ⇒ (A ⇒ A)

formulat. Az elso axiomasemaban B helyere A-t ırva A ⇒ (A ⇒ A). Azutolso ket formulara alkalmazva ismet a modus ponenst, kapjuk az A ⇒ Aformulat.

Az ilyen levezeteseket szokas formalis levezetesnek is nevezni, s mintlathato, egyszeru torvenyek levezetese is meglehetosen hosszadalmas lehet.

78

Felmerulhet a kerdes, hogy a levezethetoseg es a logikai kovetkezmeny-fogalom kozott milyen kapcsolat van.

Reszletesen nem foglalkozunk ezzel a temakorrel, csak a legfontosabberedmenyeket emlıtjuk meg.

Ha Γ ` A, akkor Γ |= A is teljesul, akkor a kalkulus helyes a szeman-tikus rendszerre nezve: ha ennek a megfordıtasa igaz, azaz ha Γ |= A akkorΓ ` A, akkor azt mondjuk, hogy a kalkulus teljes a szemantikus rendszerrenezve. Ha mind a ketto teljesul, akkor adekvat.

A helyesseg viszonylag konnyen igazolhato; a predikatumkalkulusteljesseget Godel 1930-ban, az un. Godel-fele teljessegi tetelben bi-zonyıtotta. Specialisan, ha Γ ures, akkor ugy fogalmazhato az elobbi ered-meny, hogy a predikatumkalkulusban minden azonosan igaz formula leve-zetheto az adott axiomakbol az elfogadott levezetesi szabalyok alapjan, esfordıtva. |= A akkor ` A es ha ` A akkor |= A.

Megjegyzes. 1. Az elozokbol kovetkezik, hogy a levezetes a logikaitorvenyek feltarasanak fontos eszkoze.

2. A klasszikus (elsorendu) logika eseteben tehat a kovetkezmenyle-vezetheto, tautologialevezetheto formula szemantikai-szintaktikai fogalmakfelcserelhetok egymassal.

3. A masodrendu logikara az elobbi allıtas nem altalanos ervenyu, de a10. fejezetben fogjuk latni, hogy megadhato olyan masodrendu nyelv, mely-ben szinten egybeesik a szemantikai logikai kovetkezmeny es a szintaktikailogikai levezethetoseg fogalma.

8.2. A termeszetes levezetes technikaja

A klasszikus (elsorendu) logikat tobbfele modon lehet tiszta szintakti-kai rendszer (kalkulus) formajaban folepıteni; a kulonfele valtozatok abbanternek el az altalunk ismertetettol, hogy mas axiomakat vesznek fol es maslevezetesi szabalyokat hasznalnak. Az axiomak szamanak csokkentese a le-vezetesi szabalyok szamanak novelesevel jar. A klasszikus logika felepıthetoolyan kalkulus formajaban is, ahol axiomak nincsenek, csak levezetesi sza-balyok; ezt a kalkulust a termeszetes levezetes rendszerenek nevezzuk;G. Gentzen nemet matematikus dolgozta ki.

Mint korabban lattuk, a levezetesek gyakran hosszadalmasak, nem ha-sonlıtanak a matematikaban hasznalt levezetesekre. Az elobbieket foleg azelmeleti kutatasokban alkalmazzak, ahol fontos, hogy a levezetesek struktu-raja egyszeru legyen.

Gyakorlati celokat szolgal a levezetesi semakra vonatkozo specialis se-gedszabalyok rendszere, amelyek megkonnyıtik a levezeteseket. Felhasznala-

79

sukkal a szekvenciak megalapozhatok a predikatumkalkulusbeli levezetesekmegkonstrualasa nelkul. Ezen szabalyok rendszeret nevezik a termeszeteslevezetes technikajanak is.

Az alapveto szabalyt az un. dedukciotetel adja:Ha Γ, A ` B, akkor Γ ` A ⇒ B.

(Bizonyıtasatol eltekintunk, az erdeklodo olvaso megtalalja [2]-ben vagy[14]-ben.)

A tetel azt jelenti, hogy a Γ ` A ⇒ B levezetese celjabol elegendo bebi-zonyıtani, hogy Γ, A ` B, es ez joval egyszerubb. A matematikai gyakorlat-ban ennek a kovetkezo szituacio felel meg: ha be kell bizonyıtani A ⇒ B-takkor A-t a feltetelek koze (hipotezisnek) veve igazoljak, hogy ekkor B tel-jesul.

Az azonossag torvenye: Γ, A ` A.A termeszetes levezetes megengedo szabalyai:

Az elnevezes azt jelenti, hogy ha adva van a vonal feletti szekvencialevezetese, akkor megkonstrualhato a vonal alattie is.

1. A bovıtes szabalya:Γ ` A

Γ, B ` A.

2. A permutalas szabalya:Γ, B, C,E ` A

Γ, C, B,E ` A.

3. A redukcio szabalya:Γ, B, B, E ` A

Γ, B, E ` A.

4. A vagas szabalya:Γ ` A;E, A ` B

Γ, E ` B.

Ezeknek a szabalyoknak az igazolasa nagyon egyszeru, nezzuk peldaulaz utolsoet: a dedukciotetel miatt ha E, A ` B, akkor E ` A ⇒ B. Ebboles Γ ` A-bol a modus ponens es a bovıtes szabalya alapjan kovetkezik:Γ, E ` B.

A felsorolt szabalyokat gyakran alkalmazzak a logikai levezetesek sorankulon hivatkozas nelkul.

A termeszetes levezetes logikai szabalyai:Minden logikai jelhez es kvantorhoz ket szabaly kapcsolodik, a beveze-

tes es az eltavolıtas szabalya. Az elso azt rogzıti, hogy milyen feltetelekkelszabad folvenni a levezetesben egy olyan semat, amelyben a fo muveleti jela szoban forgo logikai jel: a masodik azt ırja elo, hogy szoban forgo jelettartalmazo semabol hogyan kovetkeztethetunk olyanra, amelyben az illetojel mar nem szerepel.

80

Bevezetes: Eltavolıtas:

Kondicionalis:Γ, A ` B

Γ ` A ⇒ B;

Γ ` A; Γ ` (A ⇒ B)Γ ` B

.

Konjunkcio:

Γ ` A; Γ ` B

Γ ` (A ∧B);

Γ, A, B ` C

Γ, (A ∧B) ` C.

Diszjunkcio:

Γ ` A

Γ(A ∨B);

Γ ` B

Γ ` (A ∨B);

Γ, A ` C; Γ, B ` C

Γ, (A ∨B) ` C.

Negacio:

Γ, A ` B; Γ, A ` B

Γ ` A;

Γ ` A

` A.

Univerzalis kvantor:Γ ` A(y)

Γ ` ∀yA(y);

Γ ` ∀xA

Γ ` A(x‖t) .

Itt y nem parameter Γ-ban.

Egzisztencialis kvantor:

Γ ` A(x‖t)Γ ` ∃xA

;Γ, A(y) ` C

Γ,∃yA(y) ` C.

Itt y nem parameter semΓ -ban, sem C-ben

Bikondicionalis:Γ, A ` B; Γ, B ` A

Γ ` (A ⇔ B);

Γ ` A; Γ ` (A ⇔ B)Γ ` B

;

Γ ` B; Γ ` (A ⇔ B)Γ ` A

.

A felsorolt szabalyok megalapozasa nem nehez, ıgy pl. a ⇒ bevezetesenem mas, mint a dedukciotetel, az eltavolıtas pedig a vonal feletti levezete-sekbol a modus ponenssel kaphato.

81

A konjunkcio bevezetesehez hasznaljuk a 3. axiomat. A feltetel esa modus ponens alapjan:

A ⇒ (B ⇒ (A ∧ B))Γ ` A

Γ ` B ⇒ (A ∧B)Γ ` B

Γ ` (A ∧B)A tobbi szabaly levezeteset az olvasora bızzuk.

Termeszetes levezetesen tehat olyan semasorozatot ertunk, melynekminden egyes tagja vagy nyılt premissza, vagy a felsorolt szabalyok szerintkovetkezik az elozo tagokbol. Igy tulajdonkeppen az axiomak mellozese valiklehetove, ami egyszerusıti a levezeteseket. Mar Gentzen is hangsulyozta,hogy a termeszetes levezetes szabalyai a matematikai erveles (bizonyıtas)atomi lepeseit reprezentaljak. Peldaul a ∨ eltavolitas szabalya megfelelaz esetelemzes modszerenek: ha A ∨B-bol le kell vezetni C-t, akkor azesetelemzes a kovetkezokeppen tortenik: ha A ∨ B igaz, akkor A vagy Bigaz, ezert eleg ket esetet megvizsgalni, kulon-kulon levezetni A-bol C-t esB-bol C-t.

Az ∃ eltavolıtas megfeleloje a konkretizalas szabalya: ha bizonyosesetben ∃yA(y)-bol le kell vezetni C-t, akkor, mivel letezik olyan y, amelyreA(y), ki lehet valasztani egy ilyen y-t, s ezert eleg feltenni, hogy A(y), esebbol levezetni C-t.

A bevezetesenek megfeleloje a redukcio ad absurdum. Hogy bi-zonyıtsuk A-t, eleg feltenni, hogy A teljesul es ellentmondashoz jutunk;azaz egy megfelelo B-t kivalasztva A-bol levezetjuk B-t es B-t.

A gyakorlatban a felsorolt szabalyokat fordıtott sorrendben alkalmaz-zuk. Ha igazolni kell a vonal alatti szekvenciat, lathato hogy eleg a vonalfelettieket igazolni.

A termeszetes levezetes technikajanak alapveto szabalya, hogy igyekez-zunk a bonyolultabb szekvenciak bizonyıtasat visszavezetni nehany egysze-rubb szekvencia igazolasara ugy, hogy az eredetiben levo formulakat fel-daraboljuk a termeszetes levezetes technikajanak segıtsegevel. Ket peldatmutatunk meg ennek a technikanak az alkalmazasara:

1. Bizonyıtsuk be, hogy ` (A ∨ (B ∧ C)) ⇔ ((A ∨B) ∧ (A ∨ C)).Ebben a formulaban a ⇔ a fo jel, ıgy a ⇔ bevezetese alapjan eleg

igazolni az

A ∨ (B ∧ C) ` (A ∨B) ∧ (A ∨ C)(1)

82

es(A ∨B) ∧ (A ∨ C) ` A ∨ (B ∧ C)(2)

szekvenciakat.Az (1)-ben a diszjunkcio eltavolıtasat alkalmazva, eleg levezetni a ko-

vetkezo ket szekvenciat:

A ` (A ∨B) ∧ (A ∨ C),(3)(B ∧ C) ` (A ∨B) ∧ (A ∨ C).(4)

(3) jobb oldalan ∧ a fo jel, ıgy eleg igazolni, hogyA ` A ∨B(5)

esA ` A ∨ C(6)

teljesul.

Az A ` A azonossag torvenyebol es a ∨ bevezetesebol ezek a szekven-ciak levezethetok. A (4)-ben alkalmazzuk a ∧ eltavolıtas szabalyat, ıgy elegbizonyıtani a

(7) B, C ` (A ∨B) ∧ (A ∨ C)

teljesuleset. A jobb oldalon ∧ a fo jel, ezert a bevezetesere vonatkozo szabalyalapjan eleg igazolni a

B, C ` A ∨B(8)B, C ` A ∨ C(9)

szekvenciat.

A (8) levezetesehez a B ` B, a (9) igazolasahoz a C ` C azonossagtorvenyt, valamint mindketto eseteben meg a ∨ bevezetesenek szabalyat isalkalmazva a szekvenciak teljesulese megmutathato.

Igazoltuk a (3) es a (4) szekvenciat, s ıgy az (1)-et is.A (2) szekvenciaban a bal oldalon szereplo ∧ miatt celszeru alkalmazni

a jel eltavolıtasara vonatkozo szabalyt, amely alapjan adodik

(10) A ∨B,A ∨ C ` A ∨ (B ∧ C).

83

A bal oldalra alkalmazzuk a ∨ eltavolıtasat negyszer, ıgy a kovetkezo negyszekvencia adodik:

A,A ` A ∨ (B ∧ C),(11)B,A ` A ∨ (B ∧ C),(12)A,C ` A ∨ (B ∧ C),(13)B,C ` A ∨ (B ∧ C).(14)

A (11), (12), (13) a ∨ bevezetese miatt teljesul. A (14) igazolasahoztekintsuk a B, C ` B es B, C ` C szekvenciakat, melyek az azonossagtorvenye alapjan adodnak. Ezekbol a ∧ bevezetesevel kapjuk a B, C ` B∧Cszekvenciat, melybol az azonossag torvenyenek ismetelt felhasznalasaval esa ∨ bevezetesenek szabalya alapjan adodik a (14).

Levezetve a (3) es (4) szekvenciakat is, igazoltuk az eredeti allıtast.

2. Bizonyıtsuk be, hogy ` A ⇒ ( A ⇒ B).Ennek az igazolasa most ugy tortenik, hogy ,,felulrol lefele” alkalmazzuk

a szabalyokat, nem ugy mint az elozo peldaban, ahol ,,alulrol epıtkeztunk”.Az azonossag torvenye alapjan:

A, A, B ` A(1)A, A, B ` A(2)

ezekre a bevezeteset alkalmazva adodik, hogyA, A ` B(3)

A eltavolıtasaval, majd a ⇒ bevezetesenek ketszeri alkalmazasaval kapjuka

A, A ` B(4)es az eredeti

` A ⇒ ( A ⇒ B)(5)

szekvenciakat.

Megjegyzes. 1. Amint ezen a ket peldan is lathato volt, meg ezzela technikaval is meglehetosen hosszadalmasak a levezetesek, ıgy a kovetke-zo fejezetben tovabbi rovidıteseket fogunk alkalmazni. A kesobbiek soranpedig, mivel az ervenyes es levezetheto fogalmak a predikatumkalkulusbanmegegyeznek, a bizonyıtasok soran a rovidebb szemantikai igazolast fogjukhasznalni.

2. A termeszetes levezetes technikajanak meg leteznek a felsoroltakonkıvul is szabalyai, de az ismertetettek a leggyakoribbak.

84

9. Formalis axiomatikus elmeletek

9.1. A formalis axiomatikus elmeletekkel kapcsolatosfogalmak es fontosabb tetelek

Eddig a logikai torvenyek bizonyıtasi modszereit tanulmanyoztuk, mostazt nezzuk meg, hogy milyen eszkozok segıtsegevel nyerhetok tetelek a konk-ret matematikai elmeletekben, mint pl. az aritmetikaban, halmazelmeletben.

Definıcio. Formalis axiomatikus elmelet alatt olyan T = 〈Ω, X〉part ertunk, ahol Ω egy mat. log. nyelv es X Ω-beli zart formulak halmaza.Az X-beli formulak a T elmelet nem logikai axiomai.

Definıcio. Azt mondjuk, hogy az Ω nyelv A formulaja levezetheto aT elmeletben (jelolese: T ` A), ha megadhato T -beli nem logikai axiomakveges Γ rendszere ugy, hogy a predikatumkalkulusban teljesul a Γ ` Aszekvencia.

Az utobbi definıciot roviden es pongyolan ugy szoktuk hasznalni, hogyaz A allıtas levezetheto a T elmeletben logikai torvenyekkel.

Szemleletesen ugy is ki lehetne fejezni a formalis elmeletek lenyeget,hogy az ember a gondolkodasi gyakorlataban elfogad bizonyos allıtasokat,szabalyokat, s ennek megfeleloen jatszik.

Mivel a levezethetoseg szintaktikai es nem szemantikai fogalom, a T ` Ateny ellenorizheto anelkul, hogy foglalkozni kellene a T -beli axiomak jelente-sevel vagy tanulmanyozni kellene az Ω nyelv modelljeit. Eleg meghatarozniaz axiomak egy Γ veges rendszeret, es megalapozni a Γ ` A szekvenciat,amelyben minden hipotezis Γ-beli, az also formula pedig A. A T elmeletaxiomai kifejezhetnek nagyon bonyolult tenyeket, az axiomakat kielegıtomodellek letezese is kerdeses lehet, de a levezethetoseg tenye ettol fuggetle-nul csak formalis, elvben szamıtogeppel is elvegezheto.

A tovabbiakban az axiomatikus elmeletek olyan tulajdonsagait defini-aljuk, amelyek teljesulese az egyes elmeletek eseteben a formalizalas segıtse-gevel eldontheto. Az ezekkel kapcsolatos tetelek nagy reszet bonyolultsagukmiatt nem bizonyıtjuk, sot lesz olyan eset is, amikor meg a tetel precızkimondasat is melloznunk kell.

Definıcio. Az Ω nyelv M interpretacioja a T = 〈Ω, X〉 elmelet mo-dellje, ha M |= A minden A ∈ X eseten.

Megjegyzes. Nem keverendo ossze a nyelv es az elmelet modellje;nyilvan a nyelvnek csak azon modellje modellje az elmeletnek is, amelybenaz axiomak mindegyike igaz.

85

Specialisan X lehet ures halmaz is, ekkor a nyelv barmely interpretaci-oja tekintheto az elmelet modelljenek. Lehetseges olyan X is, hogy egyalta-lan nincs modellje, ekkor azt mondjuk, hogy szemantikusan ellentmondasos.Altalaban egy T elmelethez sok modell adhato, s minden ilyen modellt Xtıpusu matematikai strukturanak nevezunk (pl. Az Ar nyelvben adottaxiomakat kielegıto interpretaciokat gyuruknek nevezzuk).

Tetel. Ha M a T elmelet egy modellje, es T ` B, akkor a B formulaminden ertekelese eseten teljesul: M |= B.

Ezt a tetelt nem bizonyıtjuk; ennek az allıtasnak a megfordıtasa isteljesul, melyet hamarosan igazolni is fogunk.

Definıcio. A T = 〈Ω, X〉 formalis axiomatikus elmelet ellentmon-dastalan (konzisztens), ha nem letezik az Ω nyelvben olyan A zart for-mula, melyre T ` A es T ` A egyarant teljesul.

Megjegyzes. Megmutathato, hogy a T elmelet akkor es csak akkorellentmondasmentes, ha van olyan B allıtas, hogy B nem vezetheto le T -ben.

Godel-fele teljessegi tetel. Minden elsorendu mat. log. nyelvet hasz-nalo ellentmondastalan elmeletnek van modellje.

Erre, az 1930-ban kimondott tetelre mar hivatkoztunk, ha nem is ebbenaz alakjaban. Magat a tetelt nem bizonyıtjuk, de a kovetkezmenyekentadodo allıtast, ami az elozo tetel megfordıtasa, igen.

Nyilvanvalo, hogy egy ellentmondasos elmeletnek nincs modellje, s hasz-nalhatatlan, mert benne minden allıtas levezetheto. Legyen ugyanis egyrendszer ellentmondasos, azaz van olyan B formulaja, hogy B es B le-vezetheto. Legyen egy tetszoleges formula C.

Folhasznalva, hogy a B ⇒ ( B ⇒ C) tautologia, tehat levezetheto;alkalmazva ra ketszer a levalasztasi szabalyt, levezettuk a C-t, de ugyanıgymegkaphattuk volna C-t is.

Kovetkezmeny. Ha egy A formula igaz a T elmelet minden modell-jeben, akkor T ` A.

Bizonyıtas. Legyen A olyan formula, amely igaz T minden modell-jeben. Jelolje A′ azt a formulat, melyet A-bol kapunk altalanos kvantoroksegıtsegevel: ekkor A′ is igaz T minden modelljeben. Bizonyıtsuk be, hogyT ` A′, ebbol ∀ eltavolıtassal igazolhato, hogy T ` A.

Tegyuk fel, hogy T ` A′ nem teljesul. Vizsgaljuk meg azt a T ′ el-meletet, melyet T -bol ugy kapunk, hogy A′-t hozzavesszuk T nem logikaiaxiomaihoz.

X: T nem logikai axiomai.

86

X, A′: T ′ nem logikai axiomai.Az allıtjuk, hogy T ′ ellentmondastalan. Ha nem ıgy lenne, akkor lenne

olyan B formulaja, amelyre T ′ ` B es T ′ ` B is fennallna. Ekkor azonbana bevezetesevel igazolhato, hogy T ` A′, majd eltavolıtassal T ` A′,ami ellentmond annak a feltetelnek, hogy T ` A′ nem teljesul.

Igy T ′ ellentmondastalan, s ıgy a Godel tetel szerint van egy M mo-dellje. M a T -nek is modellje es M |= A′, de a kezdeti feltetel miatt A′

igaz T minden modelljeben, tehat M |= A′. Ez ellentmondas, tehat T ` A′

s ıgy T ` A.

Tetel. (A predikatumkalkulus teljessege.) Ha az A formula logi-kai torveny, akkor levezetheto a predikatumkalkulusban.

Bizonyıtas. Az allıtas az elozo kovetkezmenybol adodik, ha azt olyanelmeletre alkalmazzuk, amelynek nincsenek nem logikai axiomai.

Kovetkezmeny. Legyen Γ formulak egy veges rendszere, A egy for-mula az Ω nyelvben. Ekkor Γ |= A akkor es csak akkor, ha Γ ` A.

Ez a kovetkezmeny azt a mar emlıtett fontos tenyt fejezi ki, hogy alogikai kovetkezmeny szemantikus fogalma egybeesik a levezethetoseg szin-taktikai fogalmaval.

Tetel. (A logikai kompaktsag.) Legyen X a nyelv zart formulainakegy halmaza. Ha X minden veges reszhalmazahoz van modell, akkor az egeszX-nek is letezik modellje.

Bizonyıtas. Az adott feltetelek mellett a T = 〈Ω, X〉 ellentmondasta-lan axiomatikus elmelet. Ha nem az lenne, azaz ha T -ben levezetheto lennevalamely C es C formula, akkor meghatarozhato lenne X-nek egy olyan X ′

veges reszhalmaza, amelyre X ′ ` C es X ′ ` C, azaz X ′-nek nem leteznemodellje. Ezek szerint T ellentmondastalan, alkalmazhato ra a Godel-tetel,tehat van modellje.

Definıcio. Egy T = 〈Ω, X〉 formalis axiomatikus elmelet teljes (ne-gacioteljes vagy kategorikus) ha az Ω nyelv minden A zart formulajaeseten ervenyes a T ` A vagy T ` A.

Godel-fele inkompletibilitasi tetel: Minden, elegge kifejezo es ef-fektıv modon meghatarozott elmelet szuksegkeppen nem teljes.

Megjegyzes. Godelnek ezt az 1931-tol szarmazo nagyjelentosegu te-telet sem szabatosan megfogalmazni, sem a bizonyıtasat kozolni terjedel-messege miatt nem tudjuk.

A tetel egy fontos kovetkezmenye, hogy ha egy axiomarendszer ellent-mondastalan, es Godel tetele ervenyes ra, akkor ellentmondastalansaga a

87

rendszeren belul nem bizonyıthato. (Az ellentmondastalansaggal kapcso-latos problemakra az utolso fejezetben meg visszaterunk.)

Definıcio. Egy T = 〈Ω, X〉 formalis axiomatikus elmelet egy A allıtasafuggetlen X-tol, ha X 6` A.

Megjegyzes. Nyilvanvalo, hogy a definıcio arra az esetre is vonatko-zik, ha A axioma, tehat az a kifejezes, hogy egy axioma nem fugg a rendszertobbi axiomajatol, azt jelenti, hogy azokbol nem levezetheto. A gyakorlat-ban hasznalt axiomarendszerek tobbsege didaktikai okokbol nem fuggetlenrendszer, s ez nem okoz gondot. Van azonban olyan eset, amikor lenyegesannak vizsgalata, hogy egy bizonyos axioma levezetheto-e a tobbibol vagysem; gondoljunk csak az axiomarendszerekkel kapcsolatos vizsgalatok nagyihletojere, Euklidesz V. posztulatumara!

Definıcio. Egy T = 〈Ω, X〉 formalis axiomatikus elmeletben az Xaxiomarendszerre nezve az A es B allıtas ekvivalens, ha X ` A ⇔ B.

Definıcio. Egy formalis axiomatikus elmelet ket modellje izomorf,ha koztuk kolcsonosen egyertelmu, relacio es muvelettarto megfeleltetes le-tesıtheto.

Definıcio. Egy formalis axiomatikus elmelet monomorf (kategori-kus a megszamlalhato szamossagban), ha az osszes megszamlalhatomodellje izomorf egymassal.

9.2. A formalis axiomatikus elmeletek rendeltetese

A formalis axiomatikus elmeletek rendeltetese tetelek bizonyıtasanakpontos leırasa kulonbozo matematikai elmeletekben. Ehhez ket dolog szuk-seges:

1. A bizonyıtando teteleket pontos mat. log. nyelvben kell megfogalmazni.

2. A bizonyıtas menetet pontos predikatumkalkulusbeli levezetes alakja-ban kell megkonstrualni.

Miutan egy matematikai elmeletet (pl. aritmetikat vagy halmazelme-letet) pontosıtottunk formalis axiomatikus elmelette, kulonbozo pontosanfogalmazott kerdeseket tehetunk fel az elmeletrol, es pontos modszerekkelmegvalaszolhatjuk azokat. Ilyen kerdes lehet peldaul, hogy a tekintett elme-let ellentmondastalan-e, vagy teljes-e.

Megjegyzes. Osszefoglalva azt mondhatjuk, hogy egy mat. log. nyelv,a hozzatartozo logikai axiomak rogzıtese, majd nem logikai axiomak egy (ve-

88

ges) rendszerenek kijelolese utan egy matematikai elmelethez jutunk. Az el-melet kifejtese allıtasok (szabad valtozot nem tartalmazo formulak, kifejeze-sek), sorozatan keresztul tortenik. Ezek egy resze tetel, melyekhez levezetestartozik, masik resze definıcio.

Egy elmelet semaja tehat a kovetkezokeppen abrazolhato.

NYELV — AXIOMAK — DEFINICIO — LEVEZETES ↓

logikai matematikai TETEL

Szuksegesnek tartjuk reszletesebben kiterni a definıciok es a bizonyı-tasok elemzesere. A foiskolai tanulmanyok soran a kulonbozo elmeletekbenmar alkalmaztuk ezeket a fogalmakat, megis fontosnak tartjuk, hogy egyleendo tanar tisztaban legyen az ezekkel kapcsolatos problemakkal.

Nezzuk eloszor a definıciokat; mint mar lathattunk is ra peldakat,ezek logikai funkcioja a targyalas tomorebbe, attekinthetobbe tetele (ld.⇔, ∃!). Egy elmelet definıcioi kulonbozo jelentoseguek lehetnek: van olyaneset, amikor csak egyszeru nevadasrol van szo, de van amikor egy definı-cio megalkotasa komoly eredmeny, amely sokaig meghatarozza egy elmeletsorsat (pl. az analızisben a hatarertek Cauchytol szarmazo fogalma).

G. Frege a definıcioval kapcsolatban a kovetkezot hangsulyozza: ,,He-lyenvalo itt tisztaznunk, hogy mi a definialas, es mit lehet vele elerni. Ugylatszik, hogy sokan teremto erot tulajdonıtanak neki, ambar semmi egyebnem tortenik, mint hogy valamit elhatarolva kiemelunk, es nevvel jelolunkmeg. Ahogyan a geografus sem teremt tengert, amikor hatarvonalakat huzes ezt mondja: a vızfelszınnek ezen vonalakkal hatarolt reszet Sarga-tenger-nek fogom hıvni, ugy a matematikus sem tud definialasaval semmit semalkotni a valosagban. Egy dolognak sem varazsolhatunk olyan tulajdonsa-gokat pusztan definıcioval, amelyekkel az eleve nem bır, kiveve azt az egyet,hogy a neve az legyen, aminek elneveztuk. . . Eppıgy pusztan definialas revena lusta diakot szorgalmassa lehetne tenni ([3], 200. o.).

Egy definıcio logikai szerkezeteben harom fo alkatresznek kell sze-repelnie:

1. Az a kifejezes, melynek jelenteset meg akarjuk magyarazni; ez a de-finiendum (a meghatarozando).

2. Az a — tobbnyire osszetett — kifejezes, amely magyarazza a defini-endumot; ez a definiens (a meghatarozo).

3. Kotoelem, amely kimondja, hogy a definiendum es a definiens je-lentese azonos, es jelzi, hogy ez definıcio.

A definiendum szintaktikai kategoriaja szerint a definıcio logikai szer-kezete kulonbozo alakokat olthet:

89

A predikatum definıcioja: Tegyuk fel, hogy az n-argumentumu Ppredikatumot akarjuk definialni. Definienskent egy n-valtozos konkret pre-dikatumot, nyitott mondatot kell valasztani, legyen ez A(x1, . . . , xn). A de-finıcio logikai szerkezet a kovetkezo lesz:

∀x1 . . . ∀xn(P (x1 . . . xn) ⇔ A(x1 . . . xn)).

Kiolvasasa a kovetkezo: Definıcio szerint a valtozo barmely erteke-lese eseten P (x1 . . . xn) akkor es csak akkor, ha A(x1 . . . xn). Szokasos azalabbi rovidebb jeloles: P (x1 . . . xn) ⇔df A(x1 . . . xn), ill. . . . :⇔ . . .. Itt a⇔ jelenek also indexekent follepo df , ill. a : jelzi, hogy definıciorol van szo,vagyis hogy a bikondicionalis a valtozok minden ertekelese mellett igaznakszamıt.

A definıcio formailag szabatos, ha(a) a definiendumban es a definiensben ugyanazok a valtozok szerepel-

nek szabadon,(b) a definialando P predikatum a definiensben nem fordul elo.

A definıcio tartalmilag akkor helyes, ha a nyelvkozosseg (tudoma-nyos fogalom eseten a szakertok kozossege) a definiendumot valoban ugyan-abban az ertelemben hasznalja, mint a definienst. A tartalmi helyesseg ko-vetelmenye csak akkor johet szamıtasba, ha a definiendum mar rogzıtett esszabatos ertelmu kifejezes.

(Egy definıcio bevezetese sokszor ızles dolga, vagy a hagyomanyorzese,mint peldaul az, hogy ket egyenes parhuzamossagat a hagyomanyos euklidsziertelemben definialjuk, vagy megengedjuk az egybeesest is; hasonlo a helyzeta 0 termeszetes szam voltaval.)

A kozles szempontjabol (ıgy a pedagogiai gyakorlatban is) egy de-finıcio akkor celravezeto, ha a befogadok a definiensben szereplo kifejezesekjelenteset mar ismerik.

A felsorolt kıvanalmak a definıciok egyeb tıpusaira is ertelemszeruenalkalmazandok.

Nezzunk egy hetkoznapi peldat, a nagynenje predikatum definıciojat!Laza fogalmazasban: a nagyneni a szulo notestvere. Legyen ismert a szuloje,testvere, no predikatumok jelentese. Ezekkel megfogalmazva x nagynenje y-nak, ha x no es x testvere y valamelyik szulojenek.

x nagynenje y-nak :⇔ (x no ∧∃z (x testvere z-nek ∧ z szuloje y-nak)).(Hasonlo definialast mar vegeztunk az egyes mat. log. nyelvekben alkal-mazott formalizalaskor.) Formailag szabatos a kapott definıcio, ugyanis adefiniendum nem fordul elo a definiensben, es mindkettoben ugyanazonvaltozok szerepelnek szabadon.

90

A definıcioba itt meg az is belefoglalhato, hogy a valtozok milyen mini-malis targyalasi univerzumban kvantifikalhatok, kiegeszıtheto az x szemely∧y szemely taggal, bar a hiany ebben az esetben nem zavaro. Az iskolaioktatasban nem hasznalunk logikai formulakat, hanem verbalis definıciokatkozlunk. A nagyneni definıcioja lehetne a kovetkezo:

Azt mondjuk, hogy az x szemely nagynenje az y szemelynek, ha xnotestvere y egyik szulojenek. A valtozok hasznalatat is el lehet kerulni, azegyik, ill. a masik szavak hasznalataval.

Az azt mondjuk, vagy az azt ertjuk, hogy kitetel jelzi, hogy definıcio-rol van szo, amit nem kell indokolni, bizonyıtani; ertelmetlen volna peldaulaz kerdezni: a Laci anyukajanak novere miert nagynenje Lacinak? (Hogymennyire nem folosleges ezt hangsulyozni, azt meg a hallgatosag korebenis gyakran elkovetett hiba mutatja. Pl. A hurnegyszogre vonatkozo tetelkimondasat gyakorta kezdik ıgy: Egy negyszoget akkor es csak akkor ne-vezunk hurnegyszognek, ha szemkozti szogeinek osszege 180. Holott elottemar definialtak a hurnegyszoget, mint olyan negyszoget, melynek csucsaiegy korre illeszkednek, s a kimondott allıtast ez utobbi definıcio felhaszna-lasaval kellene bizonyıtaniuk.)

Szamos pelda van arra, hogy a definiens tobbfelekeppen is valaszthato,pl. a negyzet definialhato, mint egyenlooldalu teglalap, vagy mint derekszogurombusz. (A hagyomanyos logikaban regebben legkozelebbi nemfogalomnakneveztek a teglalap, ill. rombusz fogalmakat; hogy melyiket valasztjuk, az avizsgalati szempontoktol fugg.) Ha formalizaljuk a definıciokat, akkor (ex-plicit vagy implicit modon) jelezni kell a szabad valtozoknak a definıcioszempontjabol szoba joheto ertekeit; ez az amit legszukebb targyalasi uni-verzumnak neveztunk.

A term definıcioja.(A) Individualis fogalom definıcioja:

a := b.

Itt b tobbnyire leıras, amelyben az a nev termeszetesen nem fordulhat elo.Pl. c := a feny sebessege vakuumban.

(B) Osszetett termek definıcioja:

f(x1 . . . xn) :=ϕ(x1 . . . xn).

Itt f n-argumentumu fuggveny, ϕ olyan n-valtozos fuggveny, amely-ben ugyanazon valtozok szerepelnek szabadon, mint a bal oldalon es f nem

91

fordul elo benne. Az azonossag ugy ertendo, hogy a valtozok minden megen-gedett ertekelese mellett igaz. Pl. valos szam negyzeten az onmagaval valoszorzatat ertjuk. Ennek szerkezete a kovetkezo:

x valos szam ⇒ (x2 := x · x).

A kotoelem itt nem a bikondicionalis jele, hanem a :=, ami ertheto, hiszena bikondicionalis jele mondatokat vagy predikatumokat, az azonossag jelepedig neveket kapcsolhat ossze.

Az itt felsoroltak logikai szempontbol adtak a definıciok alapveto tıpu-sait. A tudomanyfilozofiai szakirodalom neha tagabb ertelemben hasznalja adefinıcio fogalmat, amennyiben definıcioknak tekint olyan magyarazatokat,eljarasokat, utasıtasokat stb. is, amelyek logikai ertelemben nem tekinthetokdefinıcioknak.

A definıciok matematikaban gyakran hasznalt fajtaja az induktıv vagyrekurzıv definıcio, amelyre mar az elozo fejezetekben lattunk peldat.

Vegul nehany megjegyzes a bizonyıtasokkal kapcsolatban:Az axiomatikus elmeletekben a tetel elnevezes mellett hasznalatos a

kovetkezmeny, lemma elnevezes is, ez a terminologiai valtozatossag a leve-zetett eredmenyek sulyozasat szolgalja: a lenyegesebb allıtasok a tetelek,a lemmak segedszerepet jatszanak, a kovetkezmenyek pedig az eppenlevezetett tetelekbol logikailag kozvetlenul, vagy rovid levezetessel adodnak.Ebben a megkulonboztetesben adodhatnak szubjektıv elemek is, s fugg afelepıtestol is. (Thalesz tetele a geometria bizonyos felepıteseben egyszerukovetkezmenykent adodik.)

A koznapi nyelvben a bizonyıtasokat kozvetlen (direkt), vagy koz-vetett (indirekt) csoportokba soroljak.

A matematikaban gyakran hasznalt bizonyıtasi modrol, a teljes in-dukciorol a kesobbiek soran lesz szo.

9.3. Pelda formalis axiomatikus elmeletre

Az Ar elemi aritmetika olyan formalis axiomatikus elmelet, amelyneka nyelve a mar ismertetett Ar.

Ez egytıpusu nyelv, konstans a 0, osszetett termek: St, (t + z), (t · z),atomi formulai a (t = z) formalis egyenlosegek.

Nem logikai axiomak. (A parametereket tartalmazo formulak eleminden parameter szerinti univerzalis kvantor ertendo!)

92

Az egyenloseg axiomai.1. x = x.2.

((x = y) ∧ (x = z)

) ⇒ (y = z).

Peano-fele axiomak:3. Sx 6= 0.4. (Sx = Sy) ⇔ (x = y).5. (A(0) ∧ ∀x(A(x) ⇒ A(Sx))) ⇒ ∀xA(x).

(ez a teljes indukcio elve; itt az A(x) az Ar nyelv tetszoleges formulaja,ezert az 5. valojaban az indukcio axiomasemaja, amely vegtelen sok axiomathataroz meg; a formula ele teve a ∀A-t, az elobbi allıtast fejezne ki, de marnem elsorendu nyelven.)

Az osszeadast es a szorzast definialo axiomak:6. x + 0 = x.7. x + Sy = S(x + y).8. x · 0 = 0.9. x · Sy = x · y + x.

Az Ar nyelv termeszetes szamok halmazaval (tovabbiakban ω-val jelol-juk) megadott modellje egyben az Ar elmeletnek is modellje. Az axiomakkivalasztasa olyan, hogy az osszes jol ismert teny, amely az Ar nyelvbenmegfogalmazhato es igaz ω-ban, levezetheto az Ar elmeletben. Nehez olyanallıtast talalni, amely igaz ω-ban, de nem vezetheto le az Ar formalis axio-matikus elmeletben. Elsonek Godel talalt ilyet az inkompletibilitasi tetelekovetkezmenyekent. A tetel bizonyıtasi modszere tobbek kozott lehetoveteszi olyan Ar-beli A allıtas konstrualasat, amelyre teljesul, hogy sem Asem A nem vezetheto le, de ugyanekkor igaz ω-ban, azaz ω |= A.

Az elmelet inkompletibilitasa nem kuszobolheto ki. Ha ugyanis Y -naljelolve az Ar osszes olyan allıtasainak halmazat, amelyek igazak ω-ban, te-kintjuk a T = 〈Ar, Y 〉 elmeletet; ez teljes elmelet, de ennek meghatarozasanem effektıv. Nem hatarozhato meg tisztan szintaktikai eszkozokkel, hiszenaz Y halmaz definıciojaban szuksegkeppen szerepelnek szemantikai fogal-mak.

Bizonyıthato, hogy leteznek az Ar elmeletnek ω-val nem izomorf mo-delljei. Igy, bar ennek az elmeletnek az eredeti rendeltetese az ω modell tu-lajdonsagainak leırasa, leteznek ω-tol lenyegesen eltero modelljei is. Ennekaz az oka, hogy az Ar elmelet axiomai gyengebb kovetelmenyeket tamasz-tanak a modellel szemben, mint amilyenek az ω-t jellemzik.

Megjegyzes. A matematikai axiomarendszerek vizsgalataban alap-veto logikai szerepet jatszik az egyenloseg relacio. Ha olyan elsorendunyelveket vizsgalunk, amelynek jelei kozott az = is szerepel, akkor axiomak-

93

ban kell szabalyozni ezen relacio tulajdonsagait, hogy ez valoban a szokasosegyenloseget jelentse.

1. ∀x(x = x).2. ∀x∀y((x = y) ⇒ (t(x) = t(y))).3. ∀x∀y((x = y) ⇒ (A(x) ⇔ A(y))).A felsorolt harom osszefugges, melyekben t es A a nyelv tetszoleges

terme, illetve formulaja, az egyenlosegaxiomak. Ha ezeket logikai axi-omakent kezelik az elmeletben, akkor azt mondjak, hogy az elmeletet azegyenloseggel kiegeszıtett predikatumkalkulusban vizsgaljak. Altala-nosabb azonban az, hogy ezeket az axiomakat is a nem logikai axiomak kozesoroljak, hiszen ez olyan elmeletekben is alkalmazhato, ahol nincs specialisegyenlosegpredikatum, hanem az egyenloseget kulon definialjak az elmelet-ben: ilyen pl. a halmazelmelet.

A hagyomanyos logikaban az 1.-t az onazonossag torvenyekent em-lıtik, es az =-t azonossagpredikatumnak nevezik.

A masik ket axioma azt fejezi ki, hogy ha kulonbozo valtozojelek azonosdolgokat jelolnek, akkor ezek a fuggvenyek es relaciojelek argumentumaibanpotolhatok egymassal.

A logikaban mind a koznyelvhez, mind a termeszettudomanyokhoz al-kalmazkodva azonossagon a megnevezett objektumok azonossagat, nem pe-dig a megnevezes modjanak azonossagat ertjuk.

A matematikaban az = jelet es az azonos szot tobbnyire a logikai azo-nossagpredikatummal azonos ertelemben hasznaljuk (pl. 3 · 4 = 12, vagybarmely haromszogben a beırt kor kozeppontja azonos a belso szogfelezokmetszespontjaval). Az x2− y2 = (x + y) · (x− y) azonossag tulajdonkeppena

∀x∀y((x2 − y2) = (x + y) · (x− y))

univerzalis allıtas rovidıtese (az univerzum valamilyen szamhalmaz).Amikor azonban azt mondjuk, hogy ket haromszog egybevago, ha meg-

felelo oldalaik egyenlok, akkor nem ugy ertjuk, hogy azonosak, hanem ugy,hogy azonos mertekuek, hiszen ellenkezo esetben csak egyetlen haromszog-rol lenne szo. Ez a pelda is illusztralja, hogy nem helyes az egyenlo szohasznalata az azonos helyett, es fordıtva meg kevesbe. Elvegre torveny elottmindnyajan egyenloek lehetunk anelkul, hogy azonosak lennenk egymassal([6], 108. o.).

Mi tovabbra is egyenlosegpredikatumrol fogunk beszelni, de a fenti meg-jegyzesek figyelembevetelevel.

94

9.4. Formulak levezetese a gyakorlatban

Vegul nezzuk meg, hogy a gyakorlatban hogyan tortenik az egyesaxiomatikus elmeletekben az egyes formulak levezethetosegenek iga-zolasa!

Nem szukseges felepıteni a teljes levezetest, elegendo a termeszetes le-vezetes technikajanak az alkalmazasa, de mint lattuk, meg ez is eleg hossza-dalmas. Ezert alkalmazzuk a rovidıtett leırast, amely mellozi a ` jelet. A`-tol balra ırando formulakat szoveges megjegyzesekkel kıserjuk, s ıgy elke-ruljuk a premisszak tobbszori masolasat, es a termeszetes levezetes torvenyeiszerint felepıtett levezetest kozelebb visszuk a matematikaban megszokottszoveges formaju bizonyıtasokhoz. Nezzunk erre ket peldat!

1. Bizonyıtsuk be, hogy a predikatumkalkulusban.

` ∃xA(x) ⇒ ∀x A(x).

A pontos levezetes:(1) A(x), ∀x A(x) ` A(x): az azonossag torvenye alapjan;(2) A(x), ∀x A(x) ` ∀x A(x): az azonossag torvenye alapjan;(3) A(x), ∀x A(x) ` A(x): (2)-bol ∀ eltavolıtassal;(4) A(x) ` ∀x A(x): (3)-bol bevezetessel;(5) ∃xA(x) ` ∀x A(x): ∃ eltavolıtassal (4)-bol;(6) ` ∃xA(x) ⇒ ∀x A(x): ⇒ bevezetessel (5)-bol.

Ugyanezen levezetes rovidıtett valtozata a kovetkezo:Be kell bizonyıtani, hogy ∃xA(x) ⇒ ∀x A(x). Ehhez elegendo meg-

mutatni, hogy ha ∃xA(x), akkor ∀x A(x). A feltetel miatt letezik olyan x,amelyre A(x) teljesul. Az allıtassal ellentetben tegyuk fel, hogy ∀x A(x).Mivel ebbol A(x) kovetkezik, ıgy ellentmondasra jutottunk, hiszen a felte-telbol az kovetkezik, hogy van olyan x, amelyre A(x) teljesul; tehat igaz azeredeti allıtas.

2. Bizonyıtsuk be, hogy ` ∀x∀y(x = y ⇒ y = x) teljesul Ar-ben.A bizonyıtast most mar csak szoveges formaban adjuk meg. Legyen x, y

tetszolegesen rogzıtett, es tegyuk fel hogy x = y. Az Ar elmelet 2. axiomajaszerint

∀x∀y∀z((x = y ∧ x = z) ⇒ y = z).Ebben z-t x-szel helyettesıtve

(x = y ∧ x = x) ⇒ y = x.

Az elso axioma alapjan x = x, masreszt a feltetel szerint x = y, tehat afentiek szerint y = x.

95

10. A naiv halmazelmelet nyelve,antinomiak a naiv halmazelmeletben

Mielott megismerkednenk a halmazelmelet Zermelo es Fraenkelaltal kidolgozott formalis axiomatikus elmeletevel, ebben a fejezetben a naivhalmazelmelettel foglalkozunk. Felepıtve formalis elmeletkent latni fogjuk,hogy hogyan adodnak a mar emlıtett antinomiak.

A naiv halmazelmelet nyelve:

A halmazelmeleti tulajdonsagok leırasara alkalmas nyelvnek (M +) egy-tıpusu valtozoi vannak, melynek ertekei halmazok. Konstans nincs; a ter-met es formulat egyszerre definialjuk a kovetkezo induktıv definıcioval.

1. Minden valtozo term.

2. Ha t es z term, akkor (t ∈ z) formula.

3. Ha ϕ es ψ formula, akkor (ϕ ∧ ψ), (ϕ ∨ ψ), (ϕ ⇒ ψ), ϕ is formulak.

4. Ha x valtozo, ϕ formula, akkor ∀xϕ, ∃xϕ formulak.

5. Ha x valtozo, ϕ formula, akkor az x : ϕ kifejezes term. (Kiolvasva:az osszes olyan x halmaza, amelyre ϕ.)

Az 5.-ben definialt termre azt fogjuk mondani, hogy absztrakciovaldefinialt halmaz, magat a termet pedig ϕ-absztrakcionak nevezzuk. Azabsztrakcioban a nyelv tetszoleges formulaja szerepelhet; ezert azt szoktakmondani, hogy az M + nyelvben meg van engedve a korlatlan absztrak-cio. Az x : ϕ termben x kotott valtozo, ugy hogy az x : szimbolumkvantorkent viselkedik, ıgy az M +-beli termek kotott valtozokat is tartal-mazhatnak.

Az elozo bekezdesben leırtakbol is lathato, hogy az M + nem elsoren-du nyelv. Az 5. lehetove teszi uj termek alkotasat formulak segıtsegevel,mıg az elsorendu nyelvekben erre nincs lehetoseg, ott a termeket kulon de-finialjuk. Az M +-ban bizonyos termekben alkotoreszkent szerepelhetnek akorabban megkonstrualt formulak. Pl. az x : ∃y(x ∈ y) ∈ y : (y ∈ y)kifejezes formula.

Felepıtese:x y (x ∈ y)∃y(x ∈ y)

x : ∃y(x ∈ y)

y y (y ∈ y)(y ∈ y)

y : (y ∈ y)

termek

formulakformulaktermek

x : ∃y(x ∈ y) ∈ y : (y ∈ y) formula

96

A formula bonyolultsagat a benne szereplo ∈, : ,∧,∨,⇒, , ∀, ∃ jelekszama adja. Ez az elozo peldaban 7.

Az elsorendu nyelvekhez hasonloan M +-ban is felepıtheto a kotott val-tozok atjelolese es a szabalyos helyettesıtes elmelete; ezzel nem foglalkozunk,az eddig szokasos modon alkalmazni fogjuk oket.

A szemantika szokasos fogalmai is megadhatok az M + szamara. Tegyukfel, hogy letezik egy µ objektumtartomany, amelyet befutnak a nyelv valto-zoi, s melynek elemeit halmazoknak nevezzuk. µ-ben ertelmezzuk az a ∈ bpredikatumot, amely igaz, vagy hamis barmely ket halmaz eseten. Bonyo-lultsag szerinti indukcioval definialhato az ertekelt term erteke es a formulaigazsagerteke. Arra, hogy milyen tovabbi tulajdonsagokkal rendelkezik a µstruktura es mennyire jogos a µ vizsgalata, kesobb terunk ra.

A szintaktikus fogalomrendszer is kiepıtheto, ıgy a logikai levezetes el-melete. A predikatumkalkulus az M + nyelven is muvelheto, es teljes analo-giat mutat az elsorendu nyelveket alkalmazo rendszerrel.

Az M + nyelvet alkalmazo formalis axiomatikus elmelet alatt olyan T == 〈M +, X〉 part ertunk, ahol X M +-beli zart formulakbol allo halmaz, Xelemei a T elmelet nem logikai axiomai.

Megjegyzes. Igazolhato, hogy az M + nyelvet alkalmazo elmeletbenis a levezetheto formula szintaktikai fogalma egybeesik az elmelet mindenmodelljeben igaz formula szemantikai fogalmaval.

Mivel a T formalis axiomatikus elmeletben a levezethetoseg es a logi-kai kovetkezmenyfogalom egybeesik, a tovabbiakban legtobbszor mellozve alevezeteseket, a szemantikai kovetkezmenyfogalomra hivatkozunk.

A tovabbiakban egy specialis formalis axiomatikus elmeletet vizsgalunkmeg M + nyelvben, melyet szinten M +-szal jelolunk es naiv halmazelme-letnek nevezunk.

A nem logikai axiomak ismertetese elott bevezetunk nehany szokasosjelolest:

x nem eleme y-nak:

x /∈ y :⇔ (x ∈ y),

x resze y-nak:x ⊆ y :⇔ ∀z(z ∈ x ⇒ z ∈ y),

x es y egyenlo:

x = y :⇔ (x ⊆ y) ∧ (y ⊆ x),

97

x nem egyenlo y-nal:

x 6= y :⇔ (x = y),

x valodi resze y-nak:

x ⊂ y :⇔ (x ⊆ y) ∧ (x 6= y).

Ezek a jelolesek mas termekre is vonatkozhatnak, de termek helyette-sıtesekor szabalyos helyettesıtest kell alkalmazni.

Az x = y definıciojanak atalakıtasaval adodik:

∀z(z ∈ x ⇒ z ∈ y) ∧ ∀z(z ∈ y ⇒ z ∈ x) ∼∀z((z ∈ x ⇒ z ∈ y) ∧ (z ∈ y ⇒ z ∈ x)) ∼

∀z(z ∈ x ⇔ z ∈ y).

Gyakran hasznaljuk a kapott alakot, ami annak felel meg, hogy kethalmaz akkor es csak akkor egyenlo, ha elemeik is egyenlok.

Nem logikai axiomak: ket axiomasemaja van az elmeletnek:1. Meghatarozottsagi axioma:

(x = y ∧ x ∈ z) ⇒ y ∈ z.

2. Absztrakcioaxioma:

(z ∈ y : ϕ(y)) ⇔ ϕ(z),

ahol ϕ tetszoleges M +-beli formula.

Megjegyzes. 1. Az absztrakcioaxioma az y : ϕ term alapveto tu-lajdonsagat ırja le. Mindket axioma ele minden parameter szerinti kvantorertendo, hisz csak ıgy lesznek zart formulak.

2. Az M + elmeletben levezetheto formulakat a naiv halmazelmelettorvenyeinek nevezzuk. Ha A egy ilyen formula, vagyis M + ` A, akkorezt roviden ıgy jeloljuk: .A (A balrol allo ponttal azt fejezzuk ki, hogy az Aformula halmazelmeleti torveny). Szemantikai szempontbol .A jelentese: azA formula igaz minden M +-beli modellben, minden ertekelesre.

3. Az elmelet kiepıtese ugy tortenik, hogy bevezetunk fogalmakat, azezekre vonatkozo alapveto tulajdonsagot megmutatjuk az axiomak alapjan,

98

majd erre epıtve levezetunk nehany tulajdonsagot. Nem targyaljuk az elme-letet teljes reszletesseggel.

4. Egyszerubb allıtasok levezetesehez csak logikai torvenyek kellenek.Pl. .x ⊆ x. A teljes alak: ∀z(z ∈ x ⇒ z ∈ x), vagyis ∀z(A ⇒ A) ahol Ajelentese z ∈ x. A ⇒ A logikai torveny, igaz minden z-re, tehat ∀z(A ⇒ A).

5. A meghatarozottsagi axiomabol kovetkezik, hogy az x = y egyenlosegrendelkezik a szokasos tulajdonsagokkal, azaz:

.x = y ⇒ (ϕ(x) ⇔ ϕ(y)),

.x = y ⇒ (t(x) = t(y)),

ahol t tetszoleges term, ϕ tetszoleges formula. A torvenyek a termek esformulak bonyolultsaga szerinti indukcioval igazolhatok.

1. Nem rendezett par fogalma:

x, y := z : z = x ∨ z = y.

Alapveto tulajdonsaga:

(10.1) .(u ∈ x, y) ⇔ (u = x ∨ u = y).

Az absztrakcioaxioma alapjan nyilvanvalo.A nem rendezett par tovabbi, szamunkra lenyeges tulajdonsagai ezen

torveny alapjan igazolhatok.

1. .x ∈ x, y.2. .y ∈ x, y.3. .x, y = y, x.4. .x, y = u, v ⇔ ((x = u ∧ y = v) ∨ (x = v ∧ y = u).

Nezzuk pl. az 1. bizonyıtasat: helyettessıtsuk az (10.1)-ben u-t x-re:x ∈ x, y ⇔ (x = x ∨ x = y).

Az x = x halmazelmeleti torveny (igazolasat az olvasora bızzuk), ıgya bikondicionalis jobb oldala igaz, s mivel torvenybe helyettesıtettunk, amiminden ertekeles eseten igaz, ıgy a ⇔ bal oldalan allo x ∈ x, y formularais ugyanez teljesul.

2. Az egyelemu halmaz fogalma:

x := z : z = x.

99

Alaptulajdonsaga: .u ∈ x ⇔ (u = x). Kozvetlenul adodik az abszt-rakcioaxiomabol.

Levezetheto tulajdonsagok:

.x ∈ x; .x = y ⇔ x = y.

3. Az ures halmaz fogalma:

∅ := x : x 6= x.

Alaptulajdonsag: .∀z(z /∈ ∅).Az absztrakcioaxiomaja szerint: z ∈ ∅ ⇔ z 6= z.A jobb oldal hamis, mivel z = z, s ıgy a bal oldal is hamis, tehat

∀z(z /∈ ∅). Fel kell hıvnunk a figyelmet arra, hogy x es x nem egyeznekmeg. Konnyen igazolhato, hogy ∅ 6= ∅.

∅ = ∅ eseten minden z-re teljesulne, hogy z ∈ ∅ ⇔ z ∈ ∅. Ekkor∅-ra is ervenyes lenne, hogy ∅ ∈ ∅ ⇔ ∅ ∈ ∅, de a bikondicionalis bal oldalahamis, ami ellentmond annak, hogy torvenybe helyettesıtettunk. .∀u(∅ ⊆ u)levezetese konnyu gyakorlat.

4. Ket halmaz metszete, unioja, kulonbsege:

x ∩ y := z : z ∈ x ∧ z ∈ y,x ∪ y := z : z ∈ x ∨ z ∈ y,x \ y := z : z ∈ x ∧ z /∈ y.

Alaptulajdonsagok:1. .u ∈ x ∩ y ⇔ (u ∈ x ∧ u ∈ y);2. .u ∈ x ∪ y ⇔ (u ∈ x ∨ u ∈ y):3. .u ∈ x \ y ⇔ (u ∈ x ∧ u /∈ y).Ezek az absztrakcioaxioma kozvetlen kovetkezmenyei; beloluk tobb is-

mert tulajdonsag (pl. disztributivitas) levezetheto, de ezekre nem terunkki.

5. A korlatozott (restringalt) kvantor fogalma:Hangsulyoznunk kell, hogy ez logikai fogalom, eddig meg nem volt ra

szukseg, de a tovabbiakban alkalmazni fogjuk.1. (∀x ∈ y)ϕ(x) :⇔ ∀x(x ∈ y ⇒ ϕ(x));2. (∃x ∈ y)ϕ(x) :⇔ ∃x(x ∈ y ∧ ϕ(x)).

100

Kiolvasva:1. Minden y-beli x eseten fennall ϕ(x);2. Van olyan y-beli x, amelyre ϕ(x) teljesul.(Roviden: Minden x eleme y eseten fennall ϕ(x), ill. van olyan x eleme

y, amelyre ϕ(x) teljesul.)A kozonseges kvantorok szamos tulajdonsaga ervenyes a korlatozott

kvantorok eseten is. pl. a de Morgan-fele kvantoros torvenyek:

(10.2) . (∀x ∈ y)ϕ(x) ⇔ (∃x ∈ y) ϕ(x)

(10.3) . (∃x ∈ y)ϕ(x) ⇔ (∀x ∈ y) ϕ(x)

Megjegyzes. A korlatozott kvantorokat hasonloan definialhatjuka ⊆ szimbolumra is, az Ar nyelvben pedig a ≤ jelre.

A logikaban ezeket altalanosan a kovetkezokeppen vezetik be:Legyen U egy nem ures halmaz, s J ennek egy nem ures reszhalmaza,

P (x) U -n ertelmezett predikatum. A ∀jx (olvasva: J minden x elemere igaz,hogy . . .) J halmazra korlatozott univerzalis kvantor igaz, ha a P (x) a Jminden egyes elemere igaz, minden mas esetben hamis. A masik korlatozottkvantor definialasa hasonlo; mindketto tulajdonkeppen arra ad lehetoseget,hogy olyan konjunkciot es diszjunkciot definialjunk, amelyek az individu-umtartomanynak nem az osszes, megis vegtelen sok elemere vonatkoznak.(Nyilvan ha U = J , akkor a korlatozott kvantorok a kozonseges kvantorokbamennek at.)

Ha valamely elmeletben kulonbozo individuumtartomanyokra vonat-kozolag elofordulnak a minden es van olyan szavak, akkor celszeru ezekegyesıteset tekinteni individuumtartomanynak, s ekkor az elobbi szavakattartalmazo allıtasok korlatozott kvantorokkal formalizalhatok.

6. Halmazrendszerek unioja es metszete:

∪x := z : (∃u ∈ x)(z ∈ u),∩x := z : (∀u ∈ x)(z ∈ u).

Alapveto tulajdonsagok:

(10.4) .z ∈ ∪x ⇔ (∃u ∈ x)(z ∈ u),

(10.5) .z ∈ ∩x ⇔ (∀u ∈ x)(z ∈ u).

101

Kovetkezmenyei az absztrakcioaxiomanak.

7. Az univerzalis halmaz (univerzum; az osszes halmazok halmaza):

U := z : z = z.

Alapveto tulajdonsag: .∀z(z ∈ U).Az absztrakcioaxioma alapjan: .z ∈ U ⇔ z = z. A jobb oldal mindig

igaz, s a korabban alkalmazott gondolatmenet alapjan kovetkezik az allıtas.

8. Az altalanos komplementer:

x :=U \ x.

Alapveto tulajdonsag: .u ∈ x ⇔ u /∈ x. (Nem bizonyıtjuk.)Ezek utan lehet igazolni tobbek kozott a halmazelmeleti de Morgan-

torvenyeket is; itt csak az ures rendszer metszetere es uniojara vonatkozoallıtasokat bizonyıtjuk.

1. . ∪ ∅ = ∅.(10.4) alapjan: .z ∈ ∪∅ ⇔ ∃u(u ∈ ∅ ∧ z ∈ u). Mivel nem letezik ∅-beli uelem, a jobb oldal hamis, ıgy a bal oldal is, tehat ∀z(z /∈ ∪∅), azaz ∪∅ = ∅.

2. . ∩ ∅ = U .(10.5) szerint: .z ∈ ∩∅ ⇔ ∀u(u ∈ ∅ ⇒ z ∈ u). A jobb oldali kondicionalisminden u-ra igaz, mert az u ∈ ∅ hamis. Innen ∀z(z ∈ ∩∅), es ıgy ∩∅ = U .

9. x osszes reszhalmazainak halmaza (hatvanyhalmaz):

Px := z : z ⊆ x.

Alapveto tulajdonsag: .u ∈ Px ⇔ (u ⊆ x).

10. Egy kituntetett vegtelen halmaz fogalmat fogjuk bevezetni,de ehhez szuksegesek az alabbi definıciok:

Az x halmaz rakovetkezoje: Sx := x ∪ x.Egy halmazt progresszıvnek nevezunk, ha elemkent tartalmazza az

ures halmazt es minden elemevel egyutt a rakovetkezojet is.

Formalisan: Prog(x) :⇔ (∅ ∈ x) ∧ (∀z ∈ x)(Sz ∈ x).A kituntetett vegtelen halmaz: az osszes progresszıv halmazbol allo

halmazrendszer metszete.

ω := ∩ x : Prog(x).

102

Szemleletesen az ω halmaz felfoghato ugy, mint az alabbi vegtelen halmaz-sorozat:

∅, ∅, ∅, ∅, ∅, ∅, ∅, ∅, . . .Itt minden elem, az elsot kiveve, a megelozonek a rakovetkezoje es

az elemek paronkent kulonbozok. A sorozat n-edik tagja (0-val kezdve aszamolast) n elemu halmaz. (Neumann Janos javasolta, hogy ezen halma-zokbol allo sorozat tagjaikent definialjak a termeszetes szamokat.)

Levezethetok az alabbi tulajdonsagok:

.∅ ∈ ω; .z ∈ ω ⇒ Sz ∈ ω; . Prog(x) ⇒ (ω ⊆ x).

11. Kijelolessel definialt halmaz:Ez a halmazok absztrakcioval torteno definialasanak specialis esete.

x ∈ y : ϕ(x) := x : x ∈ y ∧ ϕ(x),

ahol y szabad, x kotott valtozo. Kiolvasva: az osszes olyan y-beli x-ekhalmaza, amelyre ϕ(x).

Alaptulajdonsag:

u ∈ x ∈ y : ϕ(x) ⇔ (u ∈ y ∧ ϕ(u)).

12. Russell-fele halmaz:

R = x : x /∈ x.

Ez egy konkret halmaz, amit egy zart term ır le.

Az absztrakcioaxioma alapjan: .u ∈ R ⇔ u /∈ u. Helyettesıtsuk uhelyere R-et: .R ∈ R ⇔ R /∈ R.

. (R ∈ R ⇔ R /∈ R).

( (A ⇔ A) tetszoleges A eseten logikai torveny.)Az allıtas es tagadasa is levezetheto, ıgy ellentmondashoz jutottunk; ez

a Russell-fele antinomia.Vizsgaljuk meg az ilyen tıpusu antinomiak jellemzoit!

Mar a bevezeto reszben szerepelt a hazug antinomiaja, amely hasonloszerkezetu, de logikai ellentmondas. Lenyege a kovetkezokeppen is megfo-galmazhato: valaki azt mondja: En hazudok. Igaz, vagy hamis az allıtasa?

103

Vegiggondolva, a ket paradoxonban az a kozos, hogy mind a ket allıtasonmagara hivatkozik. Az ilyen jelenseget az elidegenedes absztrakcioja-nak nevezik; ilyenkor a kutato a sajat gondolatait vizsgalja.

Megszabadulhatunk az antinomiaktol, ha ertelmetlennek vagy helyte-lenul konstrualtnak tekintjuk a megvizsgalt kijelenteseket. Meg kellene adniazokat a kriteriumokat, amelyek alapjan elkulonıthetok lennenek az ertelmeses a nem ertelmes kijelentesek, de a tudomany napjainkban meg ezt nemtudja megtenni.

Visszaterve a halmazelmeletre, lathatjuk, hogy az absztrakcioaxiomaalkalmazasa soran igenybe vesszuk az elidegenedes absztrakciojat. Eloszormegfogalmazunk egy ϕ(y) tulajdonsagot, es aztan kepezzuk a vizsgalattargyat, a y : ϕ(y) halmazt. A ϕ(y) tulajdonsag vonatkozhat barmely hal-mazra, ıgy a tekintendo y : ϕ(y) halmazra is. Igy tortenik az onmagarahivatkozas.

Bizonyos ertelemben a y : ϕ(y) halmazt nem lehet uj halmaznak te-kinteni, rola mar volt szo a ϕ(y) tulajdonsag fogalmazasa soran. A Russell-fele x : x /∈ x halmaz konstrualasahoz szukseges az x /∈ x tulajdonsagvizsgalata kulonbozo x halmazok eseten, azon halmaz eseteben is, amelyeteppen definialunk.

Az onmagara hivatkozast megengedo elmeletet nem predikatıv el-meletnek nevezik; ıgy a naiv halmazelmelet is ilyen. Ezert az absztrak-cioaxiomaval definialt halmazokat nem tekintjuk ujaknak, fel kell tetelezni,hogy a halmazok osszessege mar megvan, es az absztrakcioaxiomaval ebbolaz osszesegbol csupan kijeloljuk a bennunket erdeklo halmazokat.

A nem predikatıv definıciok kikuszobolese a matematika jelentos atala-kıtasat igenyelne, ezert altalaban kompromisszumos megoldast valasztanak,ahol szukseges hasznaljak az axiomat, de alkalmazasat korlatozzak.

A nem predikatıv definıciok nagyon gyakoriak a matematikaban, hiszena termeszetes szamok koreben is szokasos az ilyen definıcio: tekintsuk alegkisebb olyan szamot, minek ilyen es ilyen tulajdonsagai vannak. Nyilvanez a szam is belejatszik a sajat definıciojaba: a legkisebbet csak az osszesilyen tulajdonsagu szam kozul valaszthatjuk ki, valamennyi kozott pedig ois ott van.

A Russell-fele antinomianak tobbfele megfogalmazasa is lehetseges; azelso fejezetben ismertettuk a kozismert falu borbelya alakot. Ennek a fogal-mazasnak a hatranya az, hogy tulajdonkeppen nem ellentmondas, hanemcsak az derul ki, hogy a definıcio hibas, ugyanis a definialas kozben a faluosszes tobbi lakosara gondoltunk, csak a borbelyra nem. A feltetel, ame-lyet ki kell elegıtenie a borbelynak, ellentmondasos, teljesıthetetlen. (Mond-hatjuk, hogy ilyen borbely nem letezik.) A halmazelmeletben is termeszetes

104

feltenni, hogy a Russell-fele halmaz nem letezik, de felmerul a kerdes, hogymilyen halmazok leteznek es milyenek nem?

Az antinomak miatt at kell vizsgalni a µ strukturarol alkotott elkepzele-seinket, s at kell alakıtani az M + nyelv felepıteset. Eddig felteteleztuk, hogyminden M +-beli zart term definial egy halmazt, vagyis hogy barmely ϕ(x)feltetel meghataroz egy x : ϕ(x) objektumot. Kiderult, hogy ez belsolegellentmondasos, nem letezik ilyen tulajdonsagu µ struktura. Lathato, hogymaga a formalizalas nem ved meg az ellentmondasoktol, meg kell hatarozniazokat a felteteleket, amelyek alkalmasak halmazok definialasara. Hogy mi-lyen szempontok alapjan valaszthatok ki azok a feltetelek, amelyekkel lehethalmazt definialni, erre a mai logika nem tud kielegıto valaszt adni. Leteziknehany, a gyakorlatban kenyelmes megoldas, kozuluk legnepszerubb a Zer-melo altal javasolt es Fraenkel altal tokeletesıtett felepıtes. Kozos kiin-dulopont az, hogy nem tekintik halmaznak a tul nagy halmazokat, mint pl.a naiv halmazelmelet univerzalis halmazat.

105

11. A Zermelo—Fraenkel-fele axiomatikus elmelet

Az M + elmeletrol kiderult, hogy ellentmondasos, ıgy benne mindenformula levezetheto. A szemantika szempontjabol ez azt jelenti, hogy az el-meletnek nem letezik modellje. Meg kell tehat valtoztatni mind az elmeletnyelvet, mind az axiomait. A cel azonban az, hogy az M +-beli konstrukcioknagyobb resze megmaradjon, az ismert antinomiak ne lepjenek fol es eleggazdag maradjon ahhoz, hogy megfeleljen a gyakorlati matematika celjai-nak.

A Zermelo—Fraenkel-fele axiomatikus elmelet leırasahoz ketfele nyelvethasznalnak.

A ZF+ nem elsorendu nyelv. Egytıpusu valtozoi vannak: x, y, z, . . ., sezek ertekei halmazok.

A formula es a term fogalmanak definialasa egyutt, induktıv modontortenik:

1. minden valtozo term;2. ha t es z term, akkor (t ∈ z) formula;3. ha ϕ es ψ formula, akkor (ϕ ∧ ψ), (ϕ ∨ ψ), (ϕ ⇒ ψ) es ϕ szinten

formula;4. ha x valtozo, ϕ formula, akkor ∀xϕ es ∃xϕ formula;5. az ∅ es ω szimbolumok termek;6. ha t es z term, akkor t, z szinten term;7. ha t term, akkor Pt es ∪t is term;8. ha ϕ formula, t term, x olyan valtozo, amely nem parameter t-ben,

akkor x ∈ t : ϕ term;9. ha ϕ formula, t term, x es y olyan kulonbozo valtozok, amelyek nem

parameterei t-nek, akkor

y : x ∈ t, (x 7→ y), ϕ term.

A ZF+-ban az ∅, ω, P t,∪t nincs definialva, mindegyik a nyelv alapszim-boluma.

A ZF egyszerubb, elsorendu nyelv. Ez is egytıpusu, valtozoi: x, y, . . . ,amelyek halmazokat jelolnek. Nincs konstans, fuggvenyszimbolum; termekcsak a valtozok. Egyetlen ketvaltozos predikatumszimbolum az ∈.

A ZF nyelv resze a ZF+-nak, de bizonyıthato, hogy minden ZF+-beliformula ekvivalens ZF+-ban egy ZF-beli formulaval. A valtozokon feluli ter-mek nem nelkulozhetetlen elemei a halmazelmelet nyelvenek; a termeketcsak az elmelet kifejtesenek kenyelmesebbe tetele celjabol vezetik be. Amatematikai logikaban gyakrabban a ZF nyelvet alkalmazzak, de bizonyos

106

matematikai konstrukciok tanulmanyozasahoz kenyelmesebb eszkoz a ZF+

nyelv.Mi az axiomak ismeretetesekor a ZF nyelvet hasznaljuk. A tovabbiak-

ban egyszerubb, rovidebb formulai miatt a ZF+ nyelvet alkalmazzuk, megegyszer hangsulyozva azt a tenyt, hogy ezek a formulak atırhatok az egy-szerubb szerkezetu, de bizonyos esetekben bonyolult definıciokat igenylo ZFnyelvre.

Megjegyzes. 1. Terjedelmi okok miatt az elmeletnek csak a vazla-tos felepıteset tekintjuk at (reszletes targyalasa megtalalhato ([2])-ben). Igykenytelenek vagyunk a precız formalizalast is mellozni, az axiomak egy re-szet is szovegesen fogalmazzuk meg.

2. Az axiomak sorrendje az itt kozolttol eltero is lehet. Az axiomakegy resze bizonyos kiindulo halmazok letezeset kıvanja meg, masok azt feje-zik ki, hogy ha bizonyos halmazok leteznek, akkor bizonyos halmazelmeletimuveletek segıtsegevel beloluk mas halmazok kepezhetok.

3. Az alabbiakban ismertetett kilenc axiomat tartalmazo elmeletet ZFelmeletnek, a tizedik, a kivalasztasi axioma hozzavetelevel kapott elmeletetZFC elmeletnek nevezzuk.

A ZFC formalis axiomatikus elmelet nem logikai axiomai:1. A meghatarozottsagi axioma:

∀x∀y∀z((x = y ∧ x ∈ z) ⇒ y ∈ z).

Megjegyzes. Az egyenloseg itt sem logikai fogalom, ertelmezese a ko-vetkezo:

x = y :⇔ ∀u(u ∈ x ⇔ u ∈ y).

Ebbol az axiomabol (a tobbi axioma segıtsegevel) bizonyıthatok az egyen-losegre vonatkozo torvenyek: (ZF+ nyelven megfogalmazva)

.x = y ⇒ (ϕ(x) ⇔ ϕ(y)),

.x = y ⇒ (t(x) = t(y)).

(A .A jeloles ugyanazt jelenti, mint az M + elmeletben.)

2. Az ures halmaz axiomaja:

∃u∀z(z /∈ u).

Az axioma alapjan letezik ures halmaz. Jele: ∅, s az elso axiomabol levezet-heto, hogy csak egy van.

107

3. Paraxioma:

∀x∀y∃u∀z(z ∈ u ⇔ (z = x ∨ z = y)).

Ez halmazalkoto axioma, szovegesen ugyanis azt fejezi ki, hogy barmely kethalmazhoz letezik olyan halmaz, amelynek mindketto eleme es mas elemenincs. Az 1. axiomabol adodik az egyertelmuseg; csak egy ilyen halmaz van.Jele: x, y. A nem rendezett par fogalma tehat a ZF-ben alapfogalom, anaiv halmazelmeletben megfogalmazott alaptulajdonsag a paraxioma miattervenyes, a tobbi fontos tulajdonsag belole levezetheto.

Az egyelemu halmaz definıcioja:

x := x, x.

Alaptulajdonsaga a nem rendezett par tulajdonsagaibol kovetkezik:

.u ∈ x ⇔ u = x.

.u ∈ x ⇔ u ∈ x, x ⇔ (u = x ∨ u = x) ⇔ u = x minden A-ra(A ∨A) ⇔ A.

Megjegyzes. Az eddigi axiomak alapjan tehat letezik az ures halmaz,letezik az egyelemu halmaz, melynek az ∅ az eleme, valamint kepezhetovegtelen sok ketelemu halmaz:

∅, ∅, ∅, ∅, ∅, . . .

4. Unioaxioma: Barmely halmazrendszerhez letezik olyan halmaz,amely mindazokat es csak azokat a halmazokat tartalmazza elemkent, ame-lyek a rendszer legalabb egy halmazanak elemei. (A halmazrendszer kitetelebben a felepıtesben folosleges, mert itt a halmazok elemei is halmazok, deaz altalanos hasznalatban ez a megfogalmazas a szokasos.)

Formalizalva: ∀x∃u∀z(z ∈ u ⇔ (∃v ∈ x)(z ∈ v)). Jele: ∪x.

Megjegyzes. 1. A meghatarozottsagi axioma garantalja az egyertel-museget. (A tovabbiakban mar erre kulon nem fogunk utalni.)

2. Ket halmaz egyesıtesenek definıcioja:

x ∪ y := ∪ x, y.

Az alaptulajdonsag levezetheto: .(w ∈ (x ∪ y)) ⇔ ((w ∈ x) ∨ (w ∈ y)).

108

3. Bovıtheto a halmazok kore, bevezethetok a rendezetlen harmasok,negyesek stb. Pl. x, y, z := (x∪y)∪z— felteve, hogy x, y, z halmaz.(x ∪ y = x, y).

5. Hatvanyhalmaz-axioma: Minden halmazhoz van olyan halmaz,amelynek az elemei az adott halmaz reszhalmazai. Jele: Px.

Formalizalva:

∀x∃u∀z(z ∈ u ⇔ z ⊆ x), ahol z ⊆ x :⇔ ∀u(u ∈ z ⇒ u ∈ x).

6. A vegtelen halmaz axiomaja: Letezik olyan halmaz, amelynekeleme az ∅ es minden y eleme eseten y ∪ y is eleme a halmaznak.

Formalizalva:

∃u(∀z(∀x(x /∈ z) ⇒ z ∈ u)∧ (∀z ∈ u)(∃v ∈ u)∀x(x ∈ v ⇔ (x ∈ z ∨ x = z))).

Megjegyzes. Az y halmaz rakovetkezojen ertjuk az y ∪ y halmazt,ugyanugy, mint az elozo fejezetben, s az ottani terminust hasznalva azaxiomabol a progresszıv halmaz letezese kovetkezik.

7. Reszhalmaz-axioma (a kijeloles axiomaja): Minden x halmazes ϕ tulajdonsag eseten letezik egy olyan u halmaz, amelyhez x-nek pontosanazok az elemei tartoznak, amelyekre a ϕ tulajdonsag teljesul.

Formalizalva: ∀x∃u∀z(z ∈ u ⇔ (z ∈ x ∧ ϕ(z)), ahol ϕ(z) tetszolegesZF-beli formula, amely nem tartalmazza u-t parameterkent. Jelolese: u == z ∈ x : ϕ(z).

Megjegyzes. 1. Az axiomaban az u-ra tett feltetel nagyon lenyeges,mert ıgy kuszobolheto ki az onmagara valo hivatkozas hibaja.

2. Levezetheto belole, hogy nem letezik univerzalis halmaz: ,,Semmisem tartalmazhat mindent” (P. R. Halmos).

Legyen a ϕ tulajdonsag: /∈ .∀x∃u∀z(z ∈ u ⇔ (z ∈ x∧z /∈ z)). Valasszukz-t specialisan u-nak: ∀x∃u(u ∈ u ⇔ (u ∈ x∧ u /∈ u)). Belatjuk, hogy innenu /∈ x kovetkezik. Ha u ∈ x teljesulne, akkor ket eset lehetseges: u ∈ u vagyu /∈ u. Ha u ∈ u, akkor u ∈ x alapjan u /∈ u is fennall, mıg u /∈ u-bolhasonlo modon u ∈ u kovetkezik. Mindketszer ellentmondashoz jutottunk,azaz u /∈ x. Tehat tetszolegesen valasztott x-hez letezik olyan u, hogy u /∈ x.

3. Ez tulajdonkeppen axiomasema, hiszen vegtelen sok axiomat jelent,minden (megengedett) ϕ formula eseten egyet.

4. Definialhato ket halmaz metszete, kulonbsege, valamint az ω halmazletezese is levezetheto.

109

8. A helyettesıtes (potlas) axiomaja: Ha a v halmaz x elemehezhozza van rendelve egy elem (z), akkor letezik olyan u halmaz, amelynekelemei a hozzarendelt (z) elemek.

Formalizalva:

∃u∀z(z ∈ u ⇔ (∃x ∈ v)(ϕ(x, z) ∧ ∀y(ϕ(x, y) ⇒ (z = y)),

ahol ϕ tetszoleges ZF-beli formula, amelyben u es v nem parameter.

Megjegyzes. A fuggveny fogalmanak felhasznalasaval az axioma ko-vetkezokeppen fogalmazhato: Ha v egy halmaz es f egy olyan v-n ertel-mezett fuggveny, amely a halmazelmelet fogalmaival definialhato, akkor fertekkeszlete is halmaz.

Erre az axiomara azert van szukseg, hogy novekvo szamossagu hal-mazsorozathoz megadhato legyen ezek mindegyikenel nagyobb szamossaguhalmaz.

9. Regularitasi axioma (a fundaltsag axiomaja): Ha x nem ureshalmaz, akkor x-ben van olyan z elem, hogy z ∩ x = ∅.

Formalizalva: ∀x(∃z(z ∈ x) ⇒ (∃z ∈ x) ∃u(u ∈ z ∧ u ∈ x)).

Megjegyzes.1. Ennek az axiomanak a kovetkezmenye, hogy bizonyos ertelemben min-

den halmaz az ures halmazbol epıtheto fel a hatvanyhalmazkepzes mu-velete segıtsegevel.2. A regularitasi axiomat nem hasznaljak a matematikai allıtasok le-

vezetesekor, de egyszerubbe teszi a nyelv interpretalasat, ezert altalabanbesoroljak a ZF axiomai koze.

3. Segıtsegevel be lehet bizonyıtani, hogy nem letezik olyan x halmaz,amelyre teljesul, hogy x ∈ x, valamint ket halmaz nem lehet kolcsonoseneleme egymasnak.

Az elso allıtas formulaja: ∀x(x /∈ x).Az allıtassal ellentetben tegyuk fel, hogy ∃x(x ∈ x). Ekkor egyreszt

x ∈ x ∩ x teljesul, hiszen x ∈ x. Masreszt a 9. axioma miatt x-nekvan olyan eleme, melynek az x-szel vett metszete az ures halmaz. Mivelx egyetlen eleme az x, ıgy x ∩ x = ∅ kovetkezik, ami ellentmond azx ∈ x ∩ x feltetelnek. Ebbol kovetkezik, hogy a Russell-fele antinomianem lephet fol.

A masodik allıtast is indirekt uton igazolva, tegyuk fel, hogy letezikolyan x es y halmaz, amelyekre y ∈ x es x ∈ y. Tekintsuk a Q = x, yhalmazt. Q nem ures, s ugyanakkor nincs olyan eleme, amelynek Q-val valometszete az ures halmaz lenne; ez ellentmond a 9. axiomanak.

110

10. Kivalasztasi axioma: Ha egy x nem ures halmaz elemei paron-kent diszjunkt, nem ures halmazok, akkor letezik olyan z kivalaszto halmaz,amelynek x minden elemevel pontosan egy kozos eleme van.

Ennek az axiomanak a jele AC (axiom of choice). (Az axioma pontos,formalizalt alakjat nem adjuk meg, mert tobb fogalom, jeloles bevezeteselenne szukseges hozza.)

Megjegyzes. 1. Az AC sajatossaga, hogy a kivalaszto halmaz (masmegfogalmazasban a kivalasztasi fuggveny) meghatarozasarol nem esik szobenne, csak a letezeset allıtja, a konkret leırasat nem tartalmazza. Az AC-tfelhasznalo matematikai teteleknek is hasonlo tulajdonsaguk van, bizonyostulajdonsagu halmazok letezeset allıtjak, de nem adnak modot ezek meg-konstrualasara. Ezert sok matematikus (ld. intuicionista allaspont) ellenziezen axioma mertektelen alkalmazasat, de ennek ellenere a gyakorlati ma-tematikaban gyakori bizonyıtasi segedeszkoz.

2. Az AC fuggetlen a ZF elmelettol, azaz ZF 6` AC; hasonlo a szerepe,mint a geometriaban a parhuzamossagi axiomanak.

A ZFC elmelet fontosabb jellemzoi:(a) Gazdag eszkoztarral rendelkezik, gyakorlatilag minden eddig bi-

zonyıtott matematikai tetel leırhato a ZF nyelv segıtsegevel, es bizonyıthatoa ZFC elmeletben.

(b) Az eddig ismert antinomiak nem lepnek fol sem a ZF-ben, sem aZFC-ben.

A gazdagsag egyben olyan szempontbol nehezseget is jelent, hogy nemsikerult meg bizonyıtani egyik elmelet ellentmondastalansagat sem. Csakrelatıv eredmenyek vannak; ha letezik ZF-nek egy modellje, akkor konstru-alhato egy masik modell is, amely rendelkezik meghatarozott tovabbi tulaj-donsagokkal.

Godel es Cohen nehany fontosabb eredmenye:(a) Ha a ZF (ZFC) elmelet ellentmondastalan, akkor nem teljes.(b) Ha a ZF elmelet ellentmondastalan, akkor ZF-ben nem vezetheto

le sem a kivalasztasi axioma, sem a tagadasa.(c) Ha a ZF elmelet ellentmondastalan, akkor a ZFC is az, es a ZFC-ben

nem vezetheto le sem a kontinuumhipotezis, sem a tagadasa.3. Nem fuggetlen rendszer, pl. a paraxioma levezetheto.4. A mai matematikaban egyseges halmazelmeleti alapot ad minden

matematikus szamara. Nem ez az egyetlen lehetseges megfelelo alap a ma-tematika precız felepıtesehez; nepszerusegenek oka az egyszeruseg es a tor-tenetileg kialakult hagyomany.

111

Megemlıtjuk meg a Godel—Bernays—Neumann-fele elmeletet,amelyben hasznaljak a halmazokon kıvul az osztaly fogalmat is. Rovidencsak annyit, hogy az osztaly fogalma bovebb mint a halmaze: osztaly lehetegyben halmaz is, a valodi osztaly azonban nem. Intuitıv megfogalmazasbanazt mondhatjuk, hogy a valodi osztalyok hatarozatlan szamossagu, nagyonnagy rendszerek. Az osztaly elemei mindig halmazok (nem valodi osztalyok).Az osztalyokkal is vegezhetok bizonyos halmazelmeleti muveletek a halma-zokkal analog modon.

Konstrualhato az osszes halmazok U osztalya, amely nem halmaz, ha-nem valodi osztaly, a halmazelmelet univerzuma. A ZF elmelet es a hal-mazok osszessege olyan gazdag, hogy nem szukseges a valodi osztalyokhasznalata, az osztaly helyett mindig vizsgalhatok az osztalyt meghatarozofeltetelek. Ilyen ertelemben szokas beszelni pl. az osszes csoportok, az osszestestek stb. osztalyarol.

112

12. Relaciok es fuggvenyek,a termeszetes szamok

Ebben a fejezetben vazlatos attekinteset adjuk annak, hogy a ZFCelmelet alapjan hogyan epıtheto ki a relaciok, fuggvenyek, termeszetes esvalos szamok elmelete. Hasonlo felepıtes talalhato [9]-ben, s ıgy az analızisbolismert, analog modon megfogalmazott fogalmakra, allıtasokra csak utalnifogunk.

A naiv halmazelmeletben emlıtett muveleti tulajdonsagok a ZFC-benis levezethetok, ezekkel nem foglalkozunk.

12.1. Relaciok es fuggvenyek

A rendezett par fogalma tobbfelekeppen vezetheto be a halmazelme-letben, csak az a fontos, hogy tetszoleges x es y halmaz eseten ugy legyenmeghatarozva egy (x, y) harmadik halmaz, hogy mindig teljesuljon a kovet-kezo:

∀x∀y∀u∀v(x, y) = (u, v)

) ⇔ (x = u ∧ y = v).

A ,,legnepszerubb” definıcio Kuratowskitol szarmazik:

(x, y) := x, x, y.

Igazolhato, hogy erre teljesul a kıvant tulajdonsag.

Megjegyzes. Szoveges megfogalmazasa a kovetkezo: ,,rendezett paronolyan ketelemu halmazt ertunk, amelynek egyik eleme egyelemu halmaz,masik eleme pedig ketelemu halmaz, megpedig annak az elemenek, amiegyelemu halmaz, egyetlen eleme eleme annak az elemenek is, ami ketelemuhalmaz. Valamely rendezett par elso komponensen ertjuk annak az elemenekamely egyelemu halmaz, egyetlen elemet; masodik komponensen pedig an-nak az elemenek, amely ketelemu halmaz, azt az elemet, amelyik nem elemeannak az elemenek, amelyik egyelemu halmaz.” ([5], I. kotet, 285. o.) (Ittaz egyelemu, ketelemu halmaz definialhato a szamossag fogalma nelkul.)

Lehet definialni a rendezett harmasokat stb. a kovetkezokeppen:

(x) :=x, (x1, . . . , xn, xn+1) :=((x1, . . . xn), xn+1

).

Relacio: rendezett parokbol allo halmazkent definialhato:

Rel(x) := (∀z ∈ x)∃uv(z = (u, v)

).

113

Azt mondjuk, hogy u es v az R relacioban vannak, ha (u, v) ∈ R. Azutobbival egyenerteku jeloles: uRv.

Az R relacio ertelmezesi tartomanya az R-beli parok elso komponen-seibol allo halmaz, ertekkeszlete a masodik komponenseibol allo halmaz.(Ezen halmazok formalis megadasat mellozzuk.)

Ket halmaz Descartes-szorzata: az x es y halmazok Descartes-szorzata azon (u, v) parokbol all, amelyekre u ∈ x, v ∈ y teljesul. Jele:x× y.

Megjegyzes. Szokasos a fordıtott sorrend is: eloszor definialni a Des-cartes-szorzatot, es ennek reszhalmazakent ertelmezni a relaciot.

Definialhato a szokasos modon az inverz relacio, relaciok kompozıcioja;formalis leırasukat, mind a Descartes-szorzatet is, nem elemezzuk.

Specialis relaciok:

Ekvivalenciarelacio: reflexıv, szimmetrikus es tranzitıv tulajdonsagurelacio. Ezen tulajdonsagok formalizalva (ZF+ nyelven):R reflexıv

Ref(R) :⇔ (∀x ∈ Fld(R))(xRx).

Fld(R) jelenti a relaciomezot, azaz az osszes olyan u halmazat, amelyre uvalamely R-beli par elso vagy masodik tagja.R tranzitıv

Trans(R) :⇔ ∀x∀y∀z((xRy ∧ yRz) ⇒ xRz).

R szimmetrikus

Sym(R) :⇔ ∀x∀y(xRy ⇒ yRx).

Megadhato ezek utan (formalisan is) az X nem ures halmaz oszta-lyozasanak definıcioja: olyan W halmaz, amely X-nek olyan paronkentdiszjunkt nem ures reszhalmazaibol all, melyeknek unioja X. Igazolhato,hogy egy ekvivalenciarelacio meghatarozasa egyenerteku a relaciomezo egyosztalyozasanak a megadasaval. (Az X,W, Y, . . . nagybetuk az elmeletbenszereplo halmazokat jelolik.)

Feligrendezesi relacio (parcialis rendezes):A feligrendezes olyan relacio, amely reflexıv, tranzitıv es antiszimmet-

rikus.R antiszimmetrikus

Ant Sym(R) :⇔ ∀x∀y((xRy ∧ yRx) ⇒ x = y).

114

Megjegyzes. A matematikaban es mas tudomanyokban szeleskoruenalkalmazzak a relacio fogalmat. (Pl. a halmazok kozott ertelmezett reszhal-maz-relacio: u ⊆ v; a sıkbeli egyenesekre vonatkozo parhuzamossagi relacio:a‖b).

A nagyobb pontossagot igenylo matematikai logikaban es halmazelme-letben az altalaban pontatlanul hasznalt relacio fogalmat szet kell valasztaniket kulonbozo fogalomra.

Egy objektumpar valamely tulajdonsagat ketvaltozos kijelento for-manak fogjuk nevezni, ezek a ZF+ nyelv formulaival leırhatok. Pl. az ureszhalmaza v-nek kijelento formanak a

∀z(z ∈ u ⇒ z ∈ v)

formula felel meg, ezt u ⊆ v-vel jeloltuk. Lehet vizsgalni az (u, v) parokat,de levezetheto, hogy az osszes ilyen par nem halmaz.

A felepıtesunkben viszont a relacio eppen parok halmaza; hogy meg-alkossunk parokbol allo halmazt, szukseges pontos szabalyok alkalmazasa-val korulhatarolni azon objektumok csaladjat, amelyekre a kijelento formavonatkozik. Pl. elmeletunkben bizonyıthato, hogy letezik az osszes sıkbeliegyenesek α halmaza. Ezert megalkothato kijelolessel a parhuzamossagirelacio a sıkban halmaza:

‖ := z ∈ α× α : ∃a∃b(z = (a, b) ∧ a‖b)

ahol (a‖b) egy ZF+-beli formula, amely leırja a megfelelo kijelento format.Az az altalanos elv, hogy a halmazok letezeset kulon bizonyıtani

kell, meghatarozott szabalyok szerint, peldaul leırva a halmazokat termeksegıtsegevel. Bizonyos halmazok letezese kovetkezhet az axiomakbol is.

Hasonlo felepıtesben targyalhato a tobbvaltozos relaciok elmelete.Pl. a haromvaltozos relacio nem mas, mint rendezett harmasokbol allo hal-maz.

Az (egyvaltozos) fuggveny: olyan R relacio, amely eleget tesz akovetkezo feltetelnek: ha (u, v1) ∈ R es (u, v2) ∈ R, akkor v1 = v2.

Pontos definıcio.

Fnc(R) :⇔ Rel(R) ∧ ∀u∀v1∀v2((uRv1 ∧ uRv2) ⇒ v1 = v2).

A konjunkcio masodik tagjat a masodik koordinatara vonatkozo egyer-telmusegi feltetelnek nevezik.

115

Megjegyzes. 1. Mivel minden fuggveny relacio is, ıgy a fuggvenyertelmezesi tartomanyanak, ertekkeszletenek, fuggvenyek kompozıciojanakfogalma mar adott.

2. Azt mondjuk, hogy az f fuggveny az X halmazt az Y halmazbakepezi, es ezt f :X → Y jelolessel fejezzuk ki, ha f ertelmezesi tartomanyaX, ertekkeszlete pedig Y -nak reszhalmaza.

Az f fuggveny az x-hez y-t rendeli, ha (x, y) ∈ f . Pontosan:

(f : x 7→ y) :⇔ Fnc(f) ∧ ((x, y) ∈ f

).

Ha f fuggveny, es x eleme f ertelmezesi tartomanyanak, akkor letezikpontosan egy olyan y, amelyre f : x 7→ y. Ez az y az f fuggveny ertekex-ben, amelyet f(x)szel jelolunk.

3. Az altalanos matematikai gyakorlatban fuggveny alatt neha valto-zotol fuggo analitikus kifejezest ertenek; pl. beszelnek az x2 − 2x− 1 fugg-venyrol. Pontos nyelvben az ilyen tıpusu kifejezesnek nem fuggveny, hanemterm felel meg. A term nem a fuggvenyt, hanem a fuggveny ertekkeszletetırja le.

Ha adott egy t(x) term, es szeretnenk segıtsegevel egy z ertelmezesitartomanyu fuggvenyt keszıteni, akkor ehhez egy masik termet kell igenybevenni;

f = (x, t(x)) : x ∈ z.Az ıgy definialt f -re ervenyes:

.(∀x ∈ z)(f : x 7→ t(x)).

4. Az f fuggveny kolcsonosen egyertelmu (bijekcio), ha az inverzrelacio is fuggveny.

12.2. Termeszetes szamok

Tekintsuk az alabbi, halmazokbol allo sorozatot:

∅, ∅, ∅, ∅, ∅, ∅, ∅, ∅, . . .

Az elso tag az ures halmaz, es minden tovabbi tag az elotte allo xtagbol keletkezik az S operacio alkalmazasaval, tehat S(x) = x ∪ x. Azelso tagnak nincs eleme, a masodik tag egyelemu, harmadik ketelemu stb. Asorozat minden tagja az ot megelozo tagokbol allo halmaz, ıgy pl. a ∅, ∅tagot ∅ es ∅ elozi meg. A sorozat elemeinek sorrend szerinti rendezeset

116

tekintve lathatjuk, hogy a < b akkor es csak akkor, ha a ∈ b (a es b jeloljemost a sorozat elemeit). Az elemnek lenni relacio tehat meghatarozza asorozat tagjainak linearis rendezeset.

Mint mar emlıtettuk, Neumann Janos indıtvanyozta, hogy a terme-szetes szamokat a fenti sorozat tagjaikent definialjak:0 := ∅; 1 := ∅; 2 := ∅, ∅, . . . s ha n termeszetes szam adott, akkora kovetkezo termeszetes szam legyen Sn.

A vegtelen halmaz axiomaja garantalja a letezeset, s ha kepezzuk azosszes progresszıv halmaz metszetet, levezetheto, hogy az az ω-val egye-zik meg, azaz a legkisebb olyan halmaz amely minden termeszetes szamottartalmaz, vagyis a termeszetes szamokbol all es semmi masbol.

Az ıgy definialt ω-ra teljesulnek a termeszetes szamok alapveto tulaj-donsagait kifejezo Peano-axiomak:

1. .(∀x ∈ ω)(Sx 6= 0);2. .(∀x∀y ∈ ω)(Sx = Sy ⇔ x = y).3. Minden ZF+-beli ϕx formula eseten teljesul:

.(ϕ(0) ∧ (∀x ∈ ω)(ϕ(x) ⇒ ϕ(Sx))) ⇒ (∀x ∈ ω)ϕ(x).

A 3. allıtast a teljes indukcio elvenek nevezzuk.

Bizonyıtas. 1. Mivel x ∈ Sx(= x ∪ x), ıgy Sx = ∅ eseten x ∈ ∅teljesulne, ami lehetetlen.

2. Terjedelmessege miatt nem bizonyıtjuk (ld. [2]).3. Tegyuk fel, hogy ϕ(0) es (∀x ∈ ω)(ϕ(x) ⇒ ϕ(Sx)); mutassuk meg,

hogy (∀x ∈ ω)ϕ(x). Tekintsuk az u = x ∈ ω : ϕ(x) halmazt. A feltetelbolkovetkezik, hogy Prog(u), tehat ω ⊆ u es ezek alapjan (∀x ∈ ω)ϕ(x).

A termeszetes szamok minden tovabbi, a matematikaban szukseges tu-lajdonsaga levezetheto a Peano-axiomakbol. A halmazelmeleten belul defi-nialhatok a Neumannetol eltero modon is a termeszetes szamok, de lenyeges,hogy az elobbi axiomak allıtasai ervenyesek legyenek.

Pontosan leırva a Peano-fele struktura alatt egy

〈ω′, 0′, S′〉

objektumharmast ertunk, ahol ω′ halmaz, 0′ ∈ ω′ a struktura nullelemees S′ egyvaltozos fuggveny; S′: ω′ → ω′, es teljesulnek az alabbi feltetelek(Peano-axiomak):1 (∀x ∈ ω′)(S′x 6= 0′);2 (∀x∀y ∈ ω′)(S′x = S′y ⇔ x = y);3 (∀z ⊆ ω′)(0′ ∈ z ∧ ((∀x ∈ ω′)(x ∈ z ⇒ S′x ∈ z)) ⇒ (∀x ∈ ω′)(x ∈ z)).

117

Megjegyzes. 1. A 3 feltetelbol levezetheto a teljes induckio elvenek3-beli alakja.

2. Igazolhato az is, hogy ha egy 〈ω′, 0′, S′〉 strukturaban teljesul 1.es 2., akkor 3. ekvivalens a legkisebb elem elvevel: ω′ minden nem uresreszhalmazaban van legkisebb elem.

3. A Peano-axiomak izomorfiatol eltekintve egyertelmuen hatarozzakmeg a termeszetes szamokat a halmazelmeletben. A ZF elmeletben bizo-nyıthato ugyanis a kovetkezo tetel:

Ha 〈ω1, 01, S1〉 es 〈ω2, 02, S2〉 Peano-fele struktura, akkor letezik pon-tosan egy f : ω1 → ω2 fuggveny, amelyre teljesul:

1. f kolcsonosen egyertelmuen kepezi le ω1-et az egesz ω2-re.2. f(01) = 02;3. f(S1x) = S2f(x) minden x ∈ ω1 eseten.

(Nem bizonyıtjuk.) A tetel allıtasa azt fejezi ki, hogy a termeszetesszamok strukturaja monomorf (vagy kategorikus) a halmazelmeletenbelul. Ez utobbi megkotes lenyeges, kapcsolatos a teljes indukcio elvenekPeano-fele strukturakra vonatkozo megfogalmazasaval es ertelmezesevel. Le-nyeges momentum az, hogy az indukcioelv 3-as alakjaban szereplo ϕ(x) ahalmazelmelet tetszoleges formulaja, a 3’-ben pedig a z valtozo a termeszetesszamok halmazanak osszes reszhalmazat befutja. Ha a 3. feltetelben szereploformulak halmazat leszukıtjuk, akkor letrejohetnek nem izomorf strukturakis.

A szemantika szempontjabol az elozo tetel azt fejezi ki, hogy a ZF elme-let valamely rogzıtett M modelljeben barmely ket Peano-struktura izomorf.A ZF elmelet kulonbozo modelljeibol valasztott Peano-strukturak azonbannem szuksegkeppen izomorfak, sot meg szamossaguk is kulonbozhet. Szem-leletesen fogalmazva, ket Peano-struktura csak azonos halmazelmeleti kor-nyezetben, egyazon univerzumon belul izomorf.

A halmazelmeletben elfogadott terminologia szerint a Peano-strukturatdefinialo feltetelek nem elemi axiomak: ezen strukturak tulajdonsagai fugg-nek attol a halmazelmelettol, amelyben a strukturak vizsgalata folyik, hiszena teljes indukcio elvenek fogalmazasaban explicite szerepelnek halmazok.

A Peano-axiomak segıtsegevel a ZF-ben a termeszetes szamok mindenismert tulajdonsaga bizonyıthato.

A rendezes definıcioja:

m < n :⇔ m ∈ n;m ≤ n :⇔ m ∈ Sn.

118

A fuggvenyek a termeszetes szamok halmazan indukcioval definialha-tok: meg kell adni eloszor a fuggveny erteket az m = 0 helyen, majd feltete-lezve, hogy m-ben mar ismert a fuggveny erteke, meg kell hatarozni Sm-benis. A fuggvenyek meghatarozasanak ezt a modjat primitıv rekurzionaknevezik.

A termeszetes szamok koreben ismert fuggvenyek kozul szamos defini-alhato primitıv rekurzioval.

Az osszeadas:

n + 0 = n

n + Sm = S(n + m)

A szorzas:

n · 0 = 0n · Sm = n ·m + n

A hatvanyozas: (feltetelezve, hogy n0 = 1)

n0 = S0nSm = nm · n

A megelozoszam-fuggveny:

P0 = 0PSn = n

A kivonas:

n −· 0 = n

n− Sm = P (n −· m)

(m ≤ n eseten n −· n megegyezik az szokasos n−m kulonbseggel, ha pedign < m akkor n m = 0.)

A tovabbiakban a halmazok szamossagaval kapcsolatban terunk ki ne-hany a termeszetes szamokkal kapcsolatos problemara. Ehhez szuksegunkvan a kovetkezo definıciokra:

Ket halmaz szamossaga megegyezik, vagy ket halmaz ekvi-valens, ha letezik bijekcio, amelyik az egyik halmazt a masikra kepezi le.Jele: x ' y.

119

Valamely halmaz veges, ha ekvivalens valamely termeszetes szammal.

Fin(x) :⇔ (∃m ∈ ω)(x ' m).

Valamely halmaz megszamlalhato, ha ekvivalens a termeszetes sza-mok halmazaval.

Count(x) :⇔ (x ' ω).

Tetel. Az ω vegtelen halmaz, azaz

. Fin(ω).

A bizonyıtas fobb lepesei a kovetkezok:1. Igazoljuk, hogy termeszetes szam nem lehet ekvivalens valodi resz-

halmazaval, pontosan:

(∀m ∈ ω)∀x(x ⊂ m ⇒ (m ' x)).

Ennek igazolasa teljes indukcioval tortenik. Ha m = 0, akkor igaz, mertx ⊂ 0 minden x-re hamis.

Tegyuk fel, hogy ∀x(x ⊂ m ⇒ (m ' x)) teljesul.Tekintsunk tetszoleges x ⊂ Sm halmazt, es igazoljuk, hogy (Sm ' x).

Indirekt uton tegyuk fel az ellenkezojet; Sm ' x, es legyen f : Sm → x amegfelelo bijekcio.

Ismeretes, hogy Sm = n : n ≤ m, m = n : n < m.Tekintsuk az alabbi ket esetet:(a) m /∈ x. Ekkor a g = f \ (m, f(m)) fuggvenyt tekintve

g: m → x \ f(m);g bijekcio, amely megvalosıtja az m ' x \ f(m) ekvivalenciat, ami ellent-mond az indukcios feltevesnek.

(b) m ∈ x. Ekkor tekintsuk a k termeszetes szamot, amelyre f(k) = mes a g = (f \ (k,m), (m, f(m))) ∪ (k, f(m)) fuggvenyt.

Ez g: m → x \ m bijekcio, tehat m ' x \ m, ami lehetetlen azindukcios feltetel miatt. Igy valoban (Sm ' x).

2. Masodikkent azt latjuk be, hogy az ω halmaznak van olyan valodiresze, amellyel ω ekvivalens. Pl. be lehet bizonyıtani, hogy ω ekvivalens a2n : n ∈ ω halmazzal.

3. Ha Fin(ω) igaz lenne, akkor valamely m termeszetes szamra tel-jesulne, hogy ω ' m. De ekkor m is ekvivalens lenne valamely valodireszhalmazaval, ami ellentmond az 1-ben igazoltnak.

120

Cantor tetele: .∀x (x ' Px).Bizonyıtas. Indirekt uton, tegyuk fel, hogy letezik olyan x amely ek-

vivalens a hatvanyhalmazaval, azaz x ' Px. Legyen f :x → Px a megfelelobijekcio. Tekintsuk a v = z ∈ x : z /∈ f(z) halmazt.

Nyilvanvalo, hogy v ⊆ x vagyis v ∈ Px.A v definıcioja alapjan:

(∀z ∈ x)(z ∈ v ⇔ z /∈ f(z)).

Mivel f bijekcio, letezik z0 ∈ x, amelyre f(z0) = v.Erre a z0-ra is teljesul, hogy z0 ∈ v ⇔ z0 6∈ f(z0), tehat z0 eseten igaz,

hogy z0 ∈ v ⇔ z0 /∈ v, ami ellentmondas.

Kovetkezmeny. A Pω halmaz vegtelen es nem megszamlahato.A Cantor-fele kontinuumhipotezis a kovetkezokeppen fogalmaz-

hato: miden olyan halmazrendszer, amely a termeszetes szamok halmaza-nak reszhalmazaibol all, vagy veges, vagy megszamlalhato, vagy szamossagamegegyezik a termeszetes szamok hatvanyhalmazanak szamossagaval.

(∀y ⊆ Pω)(Fin(y) ∨ Count(y) ∨ y ' Pω).

Az allıtas lenyege az, hogy nem letezik olyan halmaz, amelynek sza-mossaga hatarozottan az ω es Pω halmazok szamossaga koze esik.

Godel es Cohen mar emlıtett eredmenyei azt igazoltak, hogy a kontinu-umhipotezis nem fugg a ZFC axiomaitol, azaz a ZFC-ben nem bizonyıthatosem a hipotezis, sem a tagadas.

A valos szamok halmaza a termeszetes szamok halmaza segıtsegevelfelepıtheto. A valos szamok R halmaza es a valos szamokkal vegezheto szo-kasos muveletek a ZF elmeletben definialhatok. (A felepıtest nem vegezzukel.)

121

13. Rendszamok, szamossagok

13.1. Rendszamok

Definıcio. Feligrendezett halmaz alatt (eles rendezes eseten) egy(P, <) part ertunk, ahol P halmaz, < egy relacio P -n es minden p, q, r ∈ P -re teljesul:

1. (p < p),2. ((p < q) ∧ (q < r)) ⇒ (p < r).

Definıcio. Feligrendezett halmaz alatt (nem eles rendezes ese-ten) egy (P,≤) part ertunk, ahol P halmaz, ≤ egy relacio P -n es mindenp, q, r ∈ P -re teljesul:

1. p ≤ p,2. ((p ≤ q ∧ (q ≤ r)) ⇒ p ≤ r,3. ((p ≤ q) ∧ (q ≤ p)) ⇒ p = q.Az eles rendezes elnevezes azt jelenti, hogy a < relacio nem lehet az

egyenloseg tulajdonsagaival rendelkezo relacio, azaz nem reflexıv, tehat csakaz elso definıcioban felsorolt ket tulajdonsag teljesul. A nem eles rendezesesete az elozo fejezetben megfogalmazott feligrendezesi relacionak felel meg.

Megjegyzes. A ketfele ertelemben feligrendezett halmazok kozott kol-csonosen egyertelmu megfeleltetes letesıtheto.

A (P, <) eseten definialhato egy uj relacio, amely nem eles rendezes:

p ≤ q :⇔ (p < q) ∨ (p = q).

Ha viszont (P,≤) adott, akkor p < q :⇔ (p ≤ q)∧ (p 6= q) eles rendezes lesza P -n.

Igy egy adott feligrendezett halmaz eseten szabadon hasznaljuk az eleses a nem eles rendezest, ahogy kenyelmesebb; feltetelezve, hogy az atmenetegyikrol a masikra a fenti modon tortenik. A (P, <)-et roviden csak P -veljeloljuk.

Definıcio. Egy feligrendezett P halmazt linearisan rendezett hal-maznak nevezunk, ha minden p, q ∈ P eseten

(p < q) ∨ (p = q) ∨ (q < p) (trichotomia)teljesul.

A nem eles feligrendezes eseten az ekvivalens feltetel: minden p, q ∈ P -re:

(p ≤ q) ∨ (q ≤ p) (dichotomia).

122

Definıcio. Egy feligrendezett P halmaz fundalt halmaz, ha mindennem ures reszhalmazaban van minimalis elem. Formalisan:

(∀Q ⊆ P )(Q 6= ∅ ⇒ (∃p ∈ Q)(∀q < p)(q /∈ Q)).

(A formulabol lathato, hogy egy feligrendezett halmaznak p minimalis ele-me, ha nincs olyan halmazbeli elem, amely megelozne.)

A fundalt halmazok azert erdekesek, mert alkalmazhato korukben egy-fajta indukcios elv, amely a teljes indukcio termeszetes altalanosıtasa.

A transzfinit indukcio elve: legyen P egy fundalt halmaz, ϕ(x)tetszoleges formula, ahol x egy kijelolt valtozo, akkor mindig teljesul:(∀p((∀q < p)ϕ(q) ⇒ ϕ(p))) ⇒ ∀pϕ(p) (ahol p es q a P -t futjak be).

(Szemleletes megfogalmazasban: ha egy elem osszes megelozojenek ahalmazbeli jelenletebol kovetkezik, hogy a halmazban maga az elem is jelenvan, akkor a halmaz szuksegkeppen tartalmazza az osszes elemet.)

Bizonyıtas. Tegyuk fel, hgy ∀p((∀q < p)ϕ(q) ⇒ ϕ(p)), es igazoljuk,hogy ∀pϕ(p). A modszer indirekt, tegyuk fol, hogy letezik p0, amelyre ϕ(p0).Tekintsuk ekkor a Q = p : ϕ(p) halmazt. Ez nem ures halmaz, s mivelP fundalt halmaz, van benne minimalis elem, legyen ez p1.p1 ∈ Q es (∀q <p1)(q /∈ Q). Erre a p1 elemre teljesul: (∀q < p1)ϕ(q), ezert az indukciosfelteves miatt ϕ(p1). Ez viszont lehetetlen, mivel p1 ∈ Q. A kapott ellent-mondas miatt ∀pϕ(p).

Megjegyzes. A szokasos matematikai indukcio elveben megfogalma-zott allıtas ket dologban kulonbozik a fentebb megfogalmazott allıtastol.Az egyik kulonbseg az, hogy az utobbiban minden elemre nem az elemmegelozojerol, hanem az elem osszes megelozojenek a halmazarol terunkat; a masik az, hogy a transzfinit indukcioban nincs a kezdoelemre (0-ra)vonatkozo felteves. (Az utobbi feltetel burkoltan benne van a feltetelekben,de nincs kulon kihangsulyozva.)

Definıcio. Jolrendezett halmaznak nevezunk egy halmazt, ha li-nearisan rendezett es fundalt.

Megjegyzes. Bizonyıthato, hogy minden (Neumann-fele) termeszetesszam, valamint az ω jolrendezett halmaz (itt a rendezes alatt az ∈ relacioertendo).

Definıcio. Egy z halmaz tranzitıv, ha minden x eleme eseten x elemeiegyben z-nek is elemei. Formalisan:

(∀x ∈ z)(∀u ∈ x)(u ∈ z).

123

Definıcio. Egy z halmaz rendszam, ha z tranzitıv es jolrendezett az∈ relaciora nezve.

Megjegyzes. 1. Bizonyıthato, hogy minden termeszetes szam, vala-mint az ω rendszam.

2. Az ,,x rendszam” tulajdonsag jelolesere az On(x) kifejezes haszna-latos. A tulajdonsag helyett szokas az osszes rendszamok On oszatalyarolbeszelni, es On(x) helyett az x ∈ On jelolest hasznalni. Bizonyıthato, hogyOn valodi osztaly es nem halmaz. Pontosan: Nem letezik olyan F hal-maz, hogy ∀x(x ∈ F ⇔ On(x)) — ıgy elkerulheto az osztaly fogalmanakhasznalata.

Nehany, a rendszamokkal kapcsolatos fogalom, tulajdonsag:

Definıcio: Legyenek α, β, γ, . . . olyan valtozok, amelyeknek az ertekeirendszamok. Ekkor

α < β :⇔ α ∈ β.

Az iment ertelmezett rendezesre ervenyesek az alabbi osszefuggesek:1. . (α < α),2. .((α < β) ∧ (β < γ)) ⇒ (α < γ),3. .(α ⊂ β) ⇔ α ∈ β.(A masodik torveny allıtasa kozvetlenul adodik a γ tranzitıv voltabol,

a masik ket allıtast nem bizonyıtjuk).A definıcio alapjan egyszeruen igazolhato, hogy ha α rendszam, akkor

Sα is az, valamint ha α rendszam, akkor ∪α is az.

Gyakorlat. α ∈ β ∨ α = β ∨ β ∈ α, ahol α es β rendszamok. Legyenγ = ∪Sα, Sβ, ekkor az elozo allıtas alapjan γ is rendszam. Az α ∈ γ esβ ∈ γ is fennall, s mivel γ az ∈ relacio altal linearisan rendezett halmaz,teljesul az igazolando osszefugges.

Az α rendszamot rakovetkezo rendszamnak nevezunk, ha van olyanβ rendszam, hogy α = Sβ, ellenkezo esetben α limeszrendszam.

Igazolhato, hogy1. minden nullatol kulonbozo termeszetes szam rakovetkezo rendszam

(a 0 limeszrendszam);2. ω a legkisebb 0-tol kulonbozo limeszrendszam.Megadhato a rendszamok koreben ket muvelet, mely rendszamhoz rend-

szamot rendel, es ezek segıtsegevel akarmilyen rendszamnal nagyobbrendszam alkothato, s ez a folyamat veg nelkul folytathato. Bizonyosertelemben a szamlalast az ω-n tul folytatjuk, vagyis a vegtelenen tulra ter-jesztjuk ki a szamlalast. Ezert a rendszamokat transzfinit szamoknak isszokas nevezni.

124

A termeszetes szamokhoz hasonloan a rendszamok koreben is defini-alhatok a fuggvenyek; itt transzfinit indukcio segıtsegevel. Mivel azonbanOn nem halmaz, a rajta ertelmezett fuggveny sem halmaz, ıgy bizonyosmegszorıtassal ertelmezheto a fuggveny.

Az indukcioval torteno definıcionak is letezik a transzfinit megfeleloje.Roviden csak annyit: a jolrendezett halmazokon (rendszamokon) konstru-alhato olyan fuggveny, hogy barmely elemhez tartozo fuggvenyerteket amegelozo elemeken felvett fuggvenyertekek hatarozzak meg; ez az eljarasa transzfinit rekurzio.

A transzfinit rekurzio segıtsegevel definialhatok a rendszamokkal veg-zett muveletek.

Definıcio. Legyen λ tetszoleges, de nullatol kulonbozo limeszrend-szam.

A rendszamok osszeadasa:

β + 0 = β,

β + Sα = S(β + α),β + λ = ∪β + γ : γ < λ.

A rendszamok szorzasa:

β · 0 = 0,

β · Sα = β · α + β,

β · λ = ∪β · γ : γ < λ.A tekintett muveletek a termeszetes szamok eseten egybeesnek a szo-

kasos osszeadassal, szorzassal, de nagyobb rendszamok eseten a muveletekaltalaban nem rendelkeznek a termeszetes szamok koreben ervenyes muve-leti tulajdonsagokkal. Pl.

2 + ω = ω de ω < ω + 2, ıgy 2 + ω 6= ω + 2,

2 · ω = ω; ω < ω · 2, s ıgy 2 · ω 6= ω · 2.

A tovabbiakban a feligrendezett halmazok koreben definialunkegy lekepezest, majd sorra vesszuk az ehhez kapcsolodo legfontosabb fo-galmakat.

Definıcio. Legyen (P1, <1), (P2, <2) feligrendezett halmaz. Azt mond-juk, hogy valamely f fuggveny hasonlosagi lekepezes P1 es P2 kozott, haf bijekcio, ertelmezesi tartomany a P1, ertekkeszlete P2 es

(∀u∀v ∈ P1)(u <1 v ⇔ f(u) <2 f(v))

125

(azaz f kolcsonosen egyertelmu es rendezestarto). Jelolese: f : P1 '0 P2.

Definıcio. Ket feligrendezett halmazt hasonlonak nevezzunk, vagyazt mondjuk, hogy azonos rendtıpussal rendelkeznek, ha letezik ha-sonlosagi lekepezes a ket halmaz kozott. Jelolese: P1 '0 P2.

Definıcio. Ha (P, <) feligrendezett halmaz, u ∈ P , akkor a P -beliv < u elemekbol allo, P (u)-val jelolt halmazbol es ugyanabbol a < relaci-obol osszetevodo

(P (u), <

)part a P u altal meghatarozott szeletenek

nevezzuk. (Roviden P (u) szeletnek.)

Bizonyıthato osszefuggesek:1. Jolrendezett halmaz nem hasonlo egyetlen szeletehez sem.2. Ha P1 es P2 jolrendezett halmaz, akkor a kovetkezo harom osszefug-

ges kozul pontosan az egyik igaz:(a) P1 '0 P2,(b) (∃u1 ∈ P1)(P

(u1)1 '0 P2),

(c) (∃u2 ∈ P2)(P1 '0 P(u2)2 ), ahol u1 es u2 egyertelmuen meghataro-

zott.(Ezt az allıtast szokas osszehasonlıthatosagi tetelnek nevezni, s ıgy

megfogalmazni: ket jolrendezett halmaz vagy hasonlo, vagy egyikuk hasonloa masik egy szeletehez.)

3. Minden jolrendezett halmaz hasonlo egy es csak egy rendszamhoz.Ezt a rendszamot a P jolrendezett halmaz rendtıpusanak nevezzuk esP -sal jeloljuk.

Azt lehet mondani, hogy minden jolrendezett halmaz rendszammalmerheto, es a hasonlo halmazok merteke megegyezik. A rendszamok egyfajtamertekskalat kepeznek, amellyel a jolrendezett halmazok hossza merheto.

4. Valamely α rendszamot kezdorendszamnak nevezunk, ha α nemekvivalens egyetlen nala kisebb rendszammal sem.

Erre a fogalomra vonatkozo legfontosabb allıtasok:(a) Minden termeszetes szam kezdorendszam.(b) ω kezdorendszam.(c) Minden rendszamhoz letezik nala nagyobb kezdorendszam.Terjunk vissza a tetszoleges feligrendezett halmazokhoz. Amint lattuk,

minden P jolrendezett halmaznak megfeleltetheto egy specialis jolrendezetthalmaz, a P rendszam ugy, hogy teljesul:

P1 '0 P2 ⇔ P1 = P2.

Tetszoleges feligrendezett halmaz eseten nincs lehetoseg erre a megfelel-tetesre, megis a hasonlosag fogalma lehetoseget ad arra, hogy esetunkben is

126

beszelhessunk rendtıpusok megegyezeserol, ill. meghatarozott rendtıpu-su halmazokrol. Az elv a kovetkezo: ha valamely formula egy feligrende-zett halmaz egy bizonyos tulajdonsagat fejezi ki es a logikai szimbolumokonkıvul csak a feligrendezett halmaz elemeinek, reszhalmazainak es a rendezesirelacionak a jelet tartalmazza, akkor ez a tulajdonsag invarians a ha-sonlosaggal szemben. Igy, ha talalunk ilyen tulajdonsagot amellyel egy xfeligrendezett halmaz rendelkezik, de y nem, akkor a ket halmaz nem ha-sonlo.

Ezt a gondolatmenetet alkalmazva meg fogjuk mutatni, hogy a racio-nalis, a valos es a termeszetes szamok, valalmint az ω? halmaz, amelyet ugykapunk, hogy az ω-n a fordıtott rendezest tekintjuk, nem hasonlok. Eloszorbevezetjuk az alabbi fogalmakat:

Az mondjuk, hogy egy P feligrendezett halmaz rendtıpusa η, ha Phasonlo a racionalis szamok halmazahoz (a szokasos rendezest tekintve), hapedig a P a valos szamok halmazahoz hasonlo, akkor azt mondjuk, hogya rendtıpusa λ. (Itt az η, λ objektumokat nem hataroztuk meg). Pon-tosıtjuk az ω? meghatarozasat: legyen ω? = (ω, R1) linearisan rendezett,ahol αR1β :⇔ β ∈ α.

Igy az ω? = (ω, R1) es az ω = (ω,∈) azonos alaphalmazzal, de kulonbo-zo rendezesi relacioval rendelkezik. Azt mondjuk, hogy egy P feligrendezetthalmaz rendtıpusa ω?, ha P hasonlo ω?-hoz.

Megmutatjuk tehat azt, hogy az η, γ, ω, ω? paronkent kulonbozorendtıpusok, azaz az egyes halmazoknak van olyan invarians tulajdonsaga,amivel a tobbi nem rendelkezik. Ilyen pl. a rest alkoto halmazok letezese.

Definıcio. Legyen (P, <) linearisan rendezett halmaz, Q1, Q2 ⊆ P .Azt mondjuk, hogy Q1 es Q2 rest alkot P -ben, ha

1. Q1 ∪Q2 = P,Q1 ∩Q2 = ∅, Q1 6= ∅, Q2 6= ∅,2. (p ∈ Q1 ∧ q < p) ⇒ q ∈ Q1 es (q ∈ Q2 ∧ q < p) ⇒ p ∈ Q2,

3. (∀q ∈ Q1)(∃p ∈ Q1)(q < p) es (∀p ∈ Q2)(∃q ∈ Q2)(q < p).

A racionalis szamok halmazaban vannak rest alkoto halmazok, pl. a√

2-nel kisebb racionalis szamok halmaza, a

√2-nel nagyobb racionalis szamok

halmaza — ezek rest alkotnak, a valos szamok halmazaban azonban nin-csenek resek. Igy a racionalis szamok halmaza es a valos szamok halmazanem hasonlo, tehat η 6= λ.

Definıcio. Azt mondjuk, hogy egy (P,<) linearisan rendezett halmazp1 es p2 eleme ugrast alkot, ha

1. p1 < p2

2. (p1 ≤ p ≤ p2 ⇒ (p1 = p ∨ p = p2).

127

Belathato, hogy ω es ω?-ban vannak ugrasok, a racionalis es a valosszamok halmazaban nincsenek. Igy

η 6= ω? ;λ 6= ω?

η 6= ω ;λ 6= ω.

Definıcio. Valamely (P, <) linearisan rendezett halmaz p elemet mi-nimalisnak nevezzuk, ha (∀q ∈ P )(q ≤ p ⇒ q = p).

ω-ban van minimalis elem, ω?-ban nincs, ıgy ω 6= ω?. Az ugras, aminimalis elem letezese is invarians tulajdonsag, s ıgy (ha nem is teljesprecizitassal) belattuk, hogy a negy rendtıpus valoban paronkent kulonbozo.

Az η rendtıpusu halmazokat jellemzi a hıres Cantor-tetel, melyet csakbizonyıtas nelkul kozlunk:

Egy (P, <) linearisan rendezett halmaz akkor es csak akkor η rendtı-pusu, ha

1. P ' ω (megszamlalhato),2. p < z ⇒ ∃q(p < q ∧ q < z) (suruseg),3. ∀p∃q∃z(q < p ∧ p < z) (az elso es utolso elem hianya).

Megjegyzes. 1. Korabban mar definialtuk ket halmaz ekvivalencia-janak a fogalmat. Eszerint ha ket halmaz ekvivalens, szamossaguk egyenlo;a hasonlosag eseteben szerepe van a rendezesnek, hiszen ha ket jolrendezetthalmaz hasonlo, akkor egyenlo a rendszamuk.

2. Veges halmazokat tekintve nyilvanvalo, hogy minden veges rendezetthalmaz jolrendezett. Az is teljesul, hogy ugyanannyi elembol allo ket vegesrendezett halmaz hasonlo egymashoz, azaz veges halmazok eseteben ha aszamossaguk megegyezik, akkor a rendszamuk is egyenlo. Veges rendezetthalmazok rendszamait sorszamoknak is szokas nevezni.

13.2. Szamossagok

A halmazok szamossaganak ketfele bevezetese lehetseges. Az AC nelkul,illetve a AC felhasznalasaval.

Eloszor a kivalasztasi axioma nelkul nezzuk meg a legfontosabbosszefuggeseket.

Definıcio. Azt mondjuk, hogy az x halmaz beagyazhato az y hal-mazba, ha x bijektıv modon kepezheto le y valamely reszhalmazara. Jele:x∼⊂ y.

128

Bizonyıtas nelkul kozoljuk a Cantor—Schroder—Bernstein-tetelt:Ha x

∼⊂ y es y∼⊂x, akkor x ∼ y.

A ZF halmazelmeletben minden x halmazhoz hozza lehet rendelni egymasik Card d(x) vagy x-sal jelolt halmazt, amelyet az x halmaz sza-mossaganak nevezunk, ugy, hogy teljesul a kovetkezo alapveto tulajdonsag:

∀x∀y(x ' y ⇔ x = y).

Megjegyzes. Ha nem tamaszkodunk az AC-re, akkor a szamossag tu-lajdonkeppen az egymassal ekvivalens halmazok kozos tulajdonsaga. Pontosmeghatarozasa bonyolult (szoros kapcsolatban van a fundaltsag axiomaja-val); altalaban elegendo a fenti alapveto tulajdonsag.

A szamossagnak lenni tulajdonsag meghatarozasa es jelolese:

Card d(z) :⇔ ∃x(z = x).

Szokasos jeloles meg a z ∈ Card d, de belathato, hogy a Card d nem halmaz,ıgy csak mint az osszes szamossagok osztalyarol lehet beszelni.

Definıcio. A szamossagok koreben az m ≤ n relacio:

m ≤ n :⇔ ∃x∃y(x = m ∧ y = n ∧ x∼⊂ y).

Konnyen belathato, hogy

m ≤ n ⇒ ∀x∀y((x = m ∧ y = n) ⇒ x∼⊂ y),

tehat az m ≤ n relacio nem fugg az x, y reprezentansok valasztastol, ame-lyekre x = m, y = n.

Megjegyzes. 1. Definialhato m < n, valamint a szamossagok korebenaz osszeadas, szorzas, hatvanyozas. (A rendszamoktol elteroen a szamossa-gok osszeadasa es szorzasa kommutatıv tulajdonsagu.)

2. A termeszetes szamok eseteben igazolhato, hogy az N = α : α ∈ ωhalmaz ekvialens ω-val, es a ket halmaz kozotti f : α ⇔ α bijekcio hasonlo-sag, amely muvelettarto az osszeadasra es szorzasra nezve. Ezert a termesze-tes szamok halmazat azonosıtjak N -nel, azaz veges halmazok szamossagatnevezik termeszetes szamoknak.

3. Bizonyıthatok a kovetkezo allıtasok:(a) Px = 2x, ahol 2 ∈ N es a jobb oldalon a szamossagokra ertelmezett

hatvanyozas szerepel.

129

(b) Minden m szamossag eseten m < 2m.

Definıcio. Valamely m szamossagot alefnek nevezunk, ha m valamelyjolrendezett halmaz szamossaga, vagyis letezik olyan (P, <) jolrendezett hal-maz, hogy m = P . Peldaul, ha α rendszam, akkor α alef.

Megjegyzes. 1. Igazolhato az a — szemleletesen a kovetkezokeppenmegfogalmazott — allıtas, hogy a vegtelen alefek osztalya es a kezdorend-szamok osztalya izomorf es hasonloan rendezett.

2. Az ℵ0 a termeszetes szamok halmazanak szamossagat, ℵ1 az elsovegtelen megszamlalhatatlan rendszam szamossagat jeloli a legtobb hal-mazelmelettel foglalkozo munkaban. Az ℵ0,ℵ1, . . . ,ℵα, . . . sorozatban min-den vegtelen alef megtalalhato.

3. A vegtelen alefek eseten a rendezes visszavezetheto a rendszamokrendezesere, s ıgy a trichotomia ervenyes az alefekre is: minden m,n alefeseten m < n ∨m = n ∨ n < m.

Felmerulhet a kerdes, hogy vannak-e olyan szamossagok, amelyek nemalefek? A valasz attol fugg, hogy a ZF-hez hozzavesszuk-e a kivalasztasiaxiomat vagy sem.

Ha nem fogadjuk el a kivalasztasi axiomat, akkor tobb kulonbozo struk-tura tekintheto a ZF elmelet modelljenek, s koztuk lehetnek olyanok is,melyekben gazdag rendszert alkotnak a nem alef szamossagok. Specialisannem mindig alef-szamossag a kontinuumszamossag, a Pω. Az ilyen struktu-rakban a Pω halmaz nem jolrendezheto.

A kivalasztasi axiomat elfogadva, a ZFC-ben minden szamossagalef. Ez a nevezetes jolrendezesi tetel kovetkezmenye; a tetelt Zermelobizonyıtotta az AC segıtsegevel. A tetel allıtasa: Minden halmaz jol rendez-heto. Bizonyıthato az is, hogy ez a tetel ekvivalens a kivalasztasi axiomaval.

A kivalasztasi axioma kritikaja, az ekvivalencia miatt, a jolrendezesitetelt is illeti: a jolrendezesnek csak az egzisztenciaja van biztosıtva.

A kivalasztasi axiomaval ekvivalens allıtas meg a Zorn-lemma:Legyen (P, <) olyan feligrendezett halmaz, amelyben minden Q ⊆ P

lanc felulrol korlatos. Ekkor van P -ben maximalis elem:

(∃w ∈ P )(∀y ∈ P ) (w < y).

(Valamely feligrendezett halmaz reszhalmazat lancnak nevezzuk, ha azoroklott rendezesre nezve linearisan rendezett.)

Egy (P, <) feligrendezett halmaz Q reszhalmazanak w ∈ P elem felsokorlatja (es akkor Q felulrol korlatos), ha (∀y ∈ Q)(y ≤ w).

130

Az alabbiakban felsorolunk nehany olyan allıtast, amely a ZF-ben nembizonyıthato; igazolasukhoz szukseg van a kivalasztasi axiomara.

1. Ha egy halmaz vegtelen, akkor van megszamlalhatoan vegtelen reszhal-maza.

2. Ha egy halmaz vegtelen, akkor ekvivalens valamely valodi reszhalma-zaval.

3. A valos szamok halmazanak letezik nem merheto reszhalmaza.A ZFC-ben tehat minden szamossag egyben alef. Kolcsonosen egyer-

telmu megfeleltetes letesıtheto a veges alefek es a termeszetes szamok, ill.vegtelen alefek es a kezdorendszamok kozott.

Az AC felhasznalasaval az x halmaz szamossaga a kovetkezokep-pen definialhato: olyan δ kezdorendszam, amelyre x ' δ. (Gyakori ez adefinialasi mod, de mint lattuk, a szamossagok elmelete felepıtheto az ACnelkul is, csak az a felepıtes bonyolultabb.)

Az AC teljesulese eseten minden vegtelen szamossag, ıgy a Pω is ℵα

alaku, bizonyos α eseten. Mivel egyenlo ez az α? A Cantor-fele kon-tinuumhipotezis ekvivalens azzal, hogy Pω = ℵ1, maskent foglamazva:ℵ1 = 2ℵ0 .

A legujabb kutatasok megmutattak, hogy tobb, a kontinuumsejteshezhasonlo jellegu allıtast nem lehet igazolni sem es cafolni sem. Pl: ℵ2 = 2ℵ0 ,2ℵ0 = 2ℵ1 stb.

Megjegyzes. 1. Pω 6= ℵω. (Ez egy Konig Gyula nevehez fuzodo tetelkovetkezmenye.)

2. Az AC-t elfogadva a szamossagok azonosıthatok kezdorendszamok-kal, de meg ekkor sem szabad osszekeverni az osszeadas es a szorzas muve-letet a szamossagok, ill. a rendszamok ertelmeben.

3. Mar korabban hangsulyoztuk, hogy a ZF elmeletben az osszes hal-mazok U osszessege nem halmaz. Ha ugyanis (ugy mint a naiv halmazelme-letben) halmaz, akkor adodik az un. ,,osszes dolgok antinomiaja”.

Jelolje u az U szamossagat, s kepezzuk az U hatvanyhalmazat, PU -t. A13.2. masodik megjegyzesenek 3.a. pontja alapjan ez utobbi halmaz szamos-saga 2u, s a (b) resz alapjan u < 2u. Mivel azonban az U minden halmazttartalmaz, a PU -t is, s ıgy a korabbak alapjan 2u ≤ u, ami ellentmond azelozo megallapıtasnak.

4. Vegul megfogalmazzuk a Card d halmazvoltaval kapcsolatos Cantor-paradoxont. Ha Card d halmaz, akkor a szamossagat m-mel jelolve, mivelminden kezdorendszamnal van nagyobb, letezik n szamossag, melyre m < n.De mivel n is szamossag, n ∈ Card d, ıgy n < n, ami lehetetlen.

131

14. A bizonyıtaselmelet fo problemai

D. Hilbert 1900-ban, Parizsban, a II. Nemzetkozi Matematikai Kong-resszuson Matematikai problemak cımu eloadasaban 23 olyan problematsorolt fol, amelyek az akkori matematika kulonosen fontos, megoldatlanproblemai voltak.

A masodik problema kozvetlenul kapcsolodott Hilbertnek a geomet-ria alapjaira vonatkozo vizsgalataihoz, s ez volt az, amely a logika fejlodesereigen nagy hatast gyakorolt. Az alapproblema a geometria Hilbert-fele axio-marendszere ellentmondastalansaganak igazolasa volt. Hilbert felismerte,hogy az axiomarendszer ellentmondastalansaganak kozvetlen igazolasahozaz axiomarendszer logikai szerkezetenek gondos elemzese szukseges, s ezformalizalassal valosıthato meg. A formalizalas modszere egy matematikaielmelet kutatasaban azt jelenti, hogy a T tartalmas elmeletet elobb egy Tformalis axiomatikus elmelette rendezzuk, es azutan a T -t vizsgaljuk pontosmatematikai eszkozokkel. Ha a formalizalas sikeres, akkor a T elmelet jol in-terpretalja a T tartalmas elmeletet, es T vizsgalata segıt T megismereseben.A modern matematikai logikaban kozponti szerepet jatszo modszer, a for-malizalas segıtsegevel sikerult jelentos eredmenyeket elerni az axiomatikuselmeletekkel kapcsolatban. Roviden osszegezzuk ezeket az eredmenyeket.

1. Ellentmondastalansag

A formalis axiomatikus elmeletek targyalasakor is hangsulyoztuk, hogyez mennyire fontos tulajdonsag. Ha az elmelet ellentmondastalan, akkor vanmodellje, es megtoltheto bizonyos szemantikai tartalommal, valamint sokellentmondastalan elmeletben ha levezetheto egy meghatarozott egyszerualaku formula (az un. Hilbert-fele realis mondat), akkor az tartalmilag isigaz mondat. Alapveto kerdes az, hogy hogyan lehet igazolni az elmeletekellentmondastalansagat.

Terjunk vissza Hilberthez es a geometriahoz!A nem euklideszi geometria megalkotoi, Bolyai Janos es N. I. Lo-

bacsevszkij meg voltak gyozodve rendszeruk ellentmondastalansagarol, debizonyıtani nem tudtak. A XIX. szd. masodik feleben tobben (F. Klein, H.Poincare) megtalaltak a bizonyıtas modjat az un. modellmodszerben.Ennek a lenyege az a felismeres volt, hogy a geometria rendszerenek axio-matikus targyalasaban az alapfogalmak tulajdonsagaibol mindig csak annyitszabad felhasznalni, amennyi az axiomakbol kiolvashato. Az alapfogalmakszemleletes tartalmatol el kell tekinteni, s az axiomarendszer egy modellje-nek kell tekinteni barmilyen termeszetu dolgoknak minden olyan rendszeret,amelyekben az axiomak altal kifejezett allıtasok teljesulnek. Igy megalkottak

132

a hiperbolikus geometria modelljeit. (Pl. Cayley—Klein-modell). A modell-ben a hiperbolikus geometria minden axiomajanak megfelel az euklideszigeometria egy (bizonyıthato) tetele, es a hiperbolikus geometria mindentetelenek a modell nyelvere valo lefordıtasa az euklideszi geometria egytetele. Ha a hiperbolikus geometriaban van ket olyan tetel, ami egymastagadasa, akkor ezek megfeleloi az euklideszi geometria egymasnak ellent-mondo tetelei. A modellek azt mutatjak, hogy a hiperbolikus geometriaellentmondastalan, ha az euklideszi geometria is az. Igy a modellek a hiper-bolikus geometria relatıv ellentmondastalansagat igazoltak (az euklideszigeometriahoz kepest), de felvetodott a kerdes, hogy ellentmondastalan-e azeuklideszi geometria? Hilbert az altala kidolgozott, az euklideszi geometriatmegalapozo axiomarendszer szamara modellt keszıtett, az alapgondolatotaz analitikus geometriabol merıtve, a valos szamok koreben. Igy az euk-lideszi geometria ellentmondastalan, ha a valos szamok elmelete is az; s ezvolt a mar emlıtett 2. problema: bizonyıtando a valos szamok elmeletenekellentmondastalansaga.

A modellmodszer alapjan ez visszavezetheto a termeszetes szamok arit-metikajanak ellentmondastalansagi vizsgalatara. Itt azonban ket problemaadodik: egyreszt a modellmodszerrel nem lehet tovabb menni, elkerulhetet-len, hogy vegul egy olyan axiomarendszerhez jussunk, amelyre meg egysze-rubb alapfogalmak es axiomak felhasznalasaval nem tudunk modellt keszı-teni, s ezert az ellentmondastalansagot valahogyan kozvetlenul kell megmu-tatni.

A masik nehezseg az, hogy amikor a valos szamok felepıtesehez a ter-meszetes szamokbol modellt keszıtunk, akkor tulajdonkeppen az ordogotBelzebubbal uzzuk ki, ugyanis az ilyen modellekben lenyeges szerep jut avegtelen halmazoknak. Ahhoz tehat, hogy ezt a modszert alkalmazni lehes-sen, a vegtelen halmazok elmeletenek ellentmondastalansagat kell tisztazni,de mint ismert, ez Hilbert eloadasanak idejen kenyes kerdes volt.

Lathato tehat, hogy ket fontos feladatot kellett megoldani: a halmaz-elmeletet meg kellett szabadıtani az ellentmondasoktol, masresztkozvetlenul igazolni legalabb a termeszetes szamok axiomrendsze-renek ellentmondastalansagat.

Az elso problema megoldasat vegigkisertuk, s lathato, hogy lenyegeskerdeskent merul fel, hogy a halmazelmelet axiomarendszere ellentmon-dastalan-e? A matematikai logikara alapozott Hilbert-fele bizonyıtaselmeletmodszereivel K. Godel 1931-ben bebizonyıtotta, hogy ha egy axiomarend-szer elegge tartalmas, akkor az axiomarendszer ellentmondastalansagat so-hasem lehet bebizonyıtani olyan eszkozokkel, amelyek magaban az axioma-rendszerben megfogalmazhatok. Igy az ZF elmelet ellentmondastalansaganem bizonyıthato az elmeleten belul.

133

Az termeszetes szamok elmeletenek ellentmondastalansaga 1936-bantisztazodott, amikor Gentzen bizonyos halmazelmeleti segedeszkozokre ta-maszkodva talalt ra korrekt bizonyıtast. (A Godel-tetelnek megfeleloen atermeszetes szamok keretein tullepve tortent a bizonyıtas.)

Az ellentmondastalansag vizsgalata a nem klasszikus logikak tanulma-nyozasara, a matematika hagyomanyostol eltero felepıtesenek keresesere osz-tonzi a matematikusokat.

2. TeljessegMikozben egy T elmeletet formalizalunk, igyekszunk az adott nyelv ke-

retein belul minel teljesebben visszatukrozni T lenyeget. A mar ismertetettGodel-fele inkompletibilitasi tetel alapjan az ismert elmeletek tobbsegebenmegfogalmazhato olyan allıtas, amely sem nem bizonyıthato, sem nem ca-folhato. Peldaul az Ar, ZF, ZFC elmeletek nem teljesek, de az R teljes.

Szorosan kapcsolodik ehhez a tulajdonsaghoz a kovetkezo, eddig megnem emlıtett jellemzo, az eldonthetoseg.

3. EldonthetosegValamely T elmelet eldontheto, ha az alabbi problema algoritmikusan

megoldhato: tetszoleges T -beli formularol eldontendo, hogy levezetheto-e atekintett formula a T elmeletben vagy sem. (Roviden fogalmazva az algo-ritmus nem mas, mint valamely pontos eloıras, amelynek alapjan a bemenoobjektumok egy adott osztalyaba tartozo barmely bemeno objektumhoz ef-fektıv modon megadhato a kimeno objektum.)

A kijelenteskalkulusban egy tetszoleges formula igaz voltanak eldontesealgoritmikus eszkozokkel egyszeruen megoldhato (ertektablazattal). A pre-dikatumkalkulusban joval nehezebb kerdes ennek, az un. eldontesproble-manak a megoldasa. 1936-ban A. Church amerikai matematikus igazolta,hogy az eldontesproblemahoz nem lehet talalni megoldo algoritmust. Ez abizonyıtas igenyelte eloszor az algoritmus addig intuitive vilagos fogalma-nak szabatos matematikai definıciojat, es kiindulopontja lett a matematikailogika egy ma is rohamosan fejlodo aganak, az algoritmuselmelet kiala-kulasanak. Ennek kereteben vizsgaljak az algoritmusok bonyolultsagat, sbizonyos modszerek lehetoseget adnak arra, hogy szamıtogepek segıtsegevelmegvalosuljon az automatikus bizonyıtaskereses.

Szabatos algoritmusdefinıciot alkotott Kleene, valamint A. M. Tu-ring, aki egy absztrakt gep fogalmat vezette be (ezt a gepet ma Turing-gepnek nevezzuk), es az algoritmus szabatos matematikai fogalmat ugydefinialta, mint olyan eljarast, amely az emlıtett geppel megvalosıthato.Igazoltak, hogy a kulonbozo algoritmusfogalmak ekvivalensek.

134

A predikatumkalkulus tehat pelda nem teljes es nem eldontheto el-meletre; az Ar, ZF, ZFC szinten nem teljes es nem eldontheto elmeletek.Vannak nem teljes eldontheto elmeletek, pl. az Abel-csoportok elemi elme-lete; teljes, nem eldontheto elmelet a T = 〈Ar, Y 〉, ahol Y az osszes olyanAr-beli mondatok halmaza, amelyek igazak az Ar ω modelljeben.

1948-ban A. Tarski ırt le egy olyan algoritmust, amely lehetove tesziaz elemi geometria barmely allıtasatrol eldonteni, hogy az igaz vagy hamis.

Ebben a fejezetben csak nagyon roviden foglaltuk ossze azokat a forma-lis axiomatikus elmeletekkel kapcsolatos legfontosabb problemakat, amelyekvizsgalata a bizonyıtaselmelet feladatat kepezi. Az erdeklodo olvaso ala-posabban elmelyedhet ebben a temakorben pl. a [2], [10], [15] irodalmaktanulmanyozasaval.

135

Irodalom

[1] Csaszar A.: Hogyan latta Hilbert a matematika jovojet? Nagy pilla-natok a matematika torteneteben. Gondolat, Budapest, 1981.

[2] Dragalin A.—Buzasi Sz.: Bevezetes a matematika logikaba. Debre-cen, 1986.

[3] Frege, G.:Logika, szemantika, matematika. Gondolat, Budapest, 1980.

[4] Halmos, P. R.: Elemi halmazelmelet. Siegler, L. E.: Halmazelmeletifeladatok. (Egy kotetben) Muszaki Konyvkiado, Budapest, 1981.

[5] Kalmar L.: A matematika alapjai. Felsooktatasi Jegyzetellato Valla-lat, Budapest, 1959.

[6] Polos L.—Ruzsa I.: A logika elemei. Foiskolai tankonyv, Tankonyv-kiado, Budapest, 1987.

[7] Popov, A. I.: A matematikai logika elemei. Gondolat, Budapest, 1961.

[8] Reinhardt, F.—Soeder, H.: SH atlasz.Matematika.Springer-Verlag,Budapest ·Berlin, 1993.

[9] Riman J.: Matematikai analızis I. EKTF L¡ceum Kiad, Eger, 1994.

[10] Ruzsa I.: A matematika nehany filozofiai problemajarol. Ruzsa I.—Urban J.: Matematikai logika. (Egy kotetben) Tankonyvkiado, Buda-pest, 1966.

[11] Ruzsa I.: Klasszikus, modalis es intenzionalis logika. Akademiai Kiado,Budapest, 1984.

[12] Szendrei J.—Toth B.: Logika. Tankonyvkiado, Budapest, 1973.

[13] Szilasi J.: Geometria I. Debrecen, 1990.

[14] Tarski, A.: Bizonyıtas es igazsag. Gondolat, Budapest, 1990.

[15] Urban J.: Matematikai logika. Muszaki Konyvkiado, Budapest, 1983.

[16] Urban J.: Matematikai logika. (A specialis matematikai osztalyok re-szere.) Tankonyvkiado, Budapest, 1987.

136