第 6回　復習問題

第 1問S系 (x,y座標)は慣性系、S’系 (X,Y座標)は S系から見て角速度 ω で左回転している。ここで小文字は S

系、大文字は S’系での量を表し、大文字にダッシュがついたものは S’系の量を S系に座標変換したものであるとする。

問 1

質量mの質点 Pの S系での座標が r = (x, y)、質点 Pの S’系での座標がR = (X, Y )であるとき、

r = (x, y) = (X cos ωt − Y sinωt, X sinωt + Y cos ωt) (1)

であることを示せ。

式 (1)の両辺を tで微分すると

v = r = (x, y) = (X cos ωt−Xω sinωt− Y sinωt−Y ω cos ωt, X sinωt+Xω cosωt+ Y cos ωt−Y ω sinωt)(2)

となる。

問 2

式 (2)の両辺を tで微分するとa = r = (x, y)

ただし、

x = X cosωt − 2Xω sin ωt − Xω2 cos ωt − Y sin ωt − 2Y ω cos ωt + Y ω2 sin ωt (3)

y = X sinωt + 2Xω cos ωt − Xω2 sin ωt + Y cos ωt − 2Y ω sinωt − Y ω2 cos ωt (4)

であることを示せ。

S’系から見た質点 Pの加速度A = (X, Y )を S系での座標に変換すると、式 (1)と同様にして

A′ = (X cosωt − Y sinωt, X sinωt + Y cos ωt) (5)

1

となる。

問 3

ma − mA′ (6)

を計算せよ。

ω2R′ = ω2r = (Xω2 cos ωt − Y ω2 sinωt, Xω2 sinωt + Y ω2 cos ωt) (7)

である。また、S’系での速度 V は (X, Y )であり、S系に座標変換すると

V ′ = (V ′x, V ′

y) = (X cos ωt − Y sinωt, X sinωt + Y cos ωt) (8)

問 4

ma − mA′ + mω2R′ = 2mω(−V ′y , V ′

x) (9)

である事を示せ。

ma = f ′ は慣性系で質点 Pに働く力、つまり「本物の力」である。f ′ を S’系に座標変換したものを f と書く事にする。回転軸ベクトルを ω = (0, 0, ω)と定義する (反時計周りで ω > 0)。

問 5

式 (9)を書き直すとmA′ = f ′ + mω2R′ − 2mω × V ′ (10)

もしくは S’系での座標に書き直して

mA = f + mω2R − 2mω × V (11)

と表される事を示せ。

mω2Rは 遠心力 と呼ばれ、回転中心から遠ざかる向きに働く。−2mω × V はコリオリ力と呼ばれ、速度に垂直な向きに働く。

2

問 6

時計周りに回転している系の上で歩くと、コリオリ力は進行方向から見て右と左のどちらに作用するか。

まとめ考えている物理量がどの座標系から見たもので、どの座標系の成分で表しているかに注意する。ここでは位置、速度、加速度などの物理量は S’系から見たものを考えたいので、S’系の成分で (X, Y ),(X, Y ),(X, Y )となる量を式 (1)と同様に S系に座標変換して比較している。S’系での (X, Y )を S系へ座標変換したものは(x, y)と当然一致するが、S’系で (X, Y ),(X, Y )を S系へ座標変換したものは (x, y),(x, y)と一致しないことに注意。(理由も考えて欲しい)

3